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palmira-valsecchi
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CONSEGUENZE FONDAMENTALI DELLA CONTINUITÀ E DELLA DIFFERENZIABILITÀ
DELLE FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI.
Argomenti della lezioneArgomenti della lezioneConseguenze della Conseguenze della
continuità delle funzioni.continuità delle funzioni.Conseguenze della Conseguenze della
differenziabiltà delle funzioni di differenziabiltà delle funzioni di più variabili: continuità, più variabili: continuità, derivabilità, gradiente.derivabilità, gradiente.
CONSEGUENZE CONSEGUENZE DELLA CONTINUITÀDELLA CONTINUITÀ
Un sottoinsieme A RRnn si dice limitato se esiste un numero
reale r > 0, tale che A {x RRnn : |x|<r } = SO
r.
Un sottoinsieme K RRnn limitato e chiuso si dice anche
un insieme compatto.
Teorema
Ogni funzione continua f : K Rn R,
con K chiuso e limitato,
ha un valore massimo e uno minimo.
(di Weierstrass)
Un sottoinsieme A RRnn si dice connesso (per archi) se comunque si prendano due punti x,y A esiste un arco di curva continua a valori in A che congiunge x con y.
Un arco di curva continua è una funzione f : I RRnn , f = (f1 , .., fn)T, nella quale le singole componentif1(t) , .., fn(t) sono funzioni continue. I = [a,b] è un intervallo della retta reale, per esempio I = [0,1].
xy
f(0)= (f1(0),…, fn(0))T = x
f(1)= (f1(1),…, fn(1))T = y
Teorema(degli zeri)
Sia A un insieme connesso in Rn ef : A Rn R, una funzione continua.
Se x e y sono punti di A tali che
f(x) > 0 e f(y) < 0,
allora esiste z A tale che f(z) = 0.
CONSEGUENZE CONSEGUENZE DELLA DELLA
DIFFERENZIABILITÀDIFFERENZIABILITÀ
TeoremaTeoremaOgni funzione differenziabile
in un punto x0
è continua
nello stesso punto.
f : A Rn Rf : A Rn R
si dice differenziabile in
x0 = (x01, x0
2 ,… x0n)
T
si dice differenziabile in
x0 = (x01, x0
2 ,… x0n)
T
se esiste un’ applicazionese esiste un’ applicazione
lineare L : Rn R tale che lineare L : Rn R tale che
f(x) = f(x0)+ L(x-x0)+(x)|x-x0|
con (x) 0 se x x0.
Un’applicazione lineare
L : Rn RL : Rn R
si scrive esplicitamente
L(x - x0) = L1(x1- x10)+…+ Ln(xn- xn
0)L(x - x0) = L1(x1- x10)+…+ Ln(xn- xn
0)
con L1, …, Ln numeri reali.
limlimxx xx00
ff (( xx ))ff (( xx00))
TeoremaTeoremaSe una funzione è differenziabile
in un punto x0, essa
ha derivate in ogni direzione
in x0. In particolare, ha tutte
le derivate parziali.
Sia x = x0 + vt l’equazione della retta per x0 di direzione v.
|x - x0| = |t| |v| = |t|, |v| = |t|, poiché |v| = 1 (v è un versore).
f(x0+vt)-f(x0)_____________________
t== L(v)+(x0+vt) |t||t|
t
Dunque
∂f∂v
(x0) = L(v) = L1v1+…+ Lnvn
In particolare
∂f∂ek
(x0) = L(ek) = L10+…+ Lk1 +
…+ Ln0= Lk =∂f∂xk
(x0)
Si dice differenziale di f in x0
dfx0 (x-x0) = L(x-x0) =
(x0)(x1- x10)+…+
∂f∂xn
∂f∂x1
(x0)(xn- xn0)
La derivata direzionale si scrive
∂f∂v
(x0) = ∂f∂x1
(x0)v1 +…+∂f∂xn
(x0)vn
Se f, in particolare, è la proiezionesull’asse k-esimo, f(x1,…, xn) = xk,
le derivate parziali di f rispetto a xi sono Di f(x0) = ik (0 se i≠k, 1 se i=k),
e perciò il suo differenziale in x0 èdfx0(x-x0) = xk - xk
0. Dunque: dxk (x-x0) = xk - xk
0. Da ciò nasce la notazione spesso
usata
dfx0 = (x0)ddx1+…+ ∂f∂xn
∂f∂x1
(x0)ddxn
Il vettore che ha come componentile derivate parziali di f in x0 si dice il gradientegradiente della funzione in x0.
(grad f)(x0) = (f )(x0) =
=((∂f/∂x1)(x0), …, (∂f/∂xn)(x0))T=
=((D1f)(x0) , …, (Dnf)(x0))T
CONCLUSIONE
Se f è differenziabile in x0
f ha derivate in x0 in ogni direzione e
(Dvf)(x0) = (grad f)(x0)v =
= (f)(x0)v = (f)(x0), v
Nota: il simbolo si legge “nabla”.
Supponiamo |(f)(x0)| ≠ 0. Poiché
(Dvf)(x0) = (f)(x0), v =|(f)(x0)|||v| cos cos
Il massimo di (Dvf)(x0) si ha per =0, =0,
il minimo per il minimo per = =. Cioè la derivata . Cioè la derivata direzionale è massima nella direzionedirezionale è massima nella direzionedi di (f)(x0); minima nella direzioneopposta -(f)(x0).
ULTERIORI CONSEGUENZEDELLA DIFFERENZIABILITÀ
Se f è differenziabile in x0 vale
f(x) = f(x0)+ L(x-x0)+(x)|x-x0|
con (x) 0 se x x0.
Il valore di f(x) è dato dalla somma di un termine lineare f(x0)+ L(x-x0) e di un contributo infinitesimo (x)|x-x0| d’ordine maggiore di uno (rispetto
a |x-x0| ).
Il termine lineare f(x0)+ L(x-x0) è in Rn l’equazione di un “iperpiano”, chesi dice l’iperpiano tangente al grafico
di f in x0.
z-z0 = (x0)((x1- x10) +…+
∂f∂xn
∂f∂x1
(x0)((xn- xn0)
Equazione dell’iperpiano tangente al grafico di f in x0.
Equazione del piano tangente al grafico di f(x,y) in (x0,y0).
z-z0 = (x0)((x- x0) +∂f∂y
∂f∂x
(x0)((y - y0)
0
4
2
0
-2
-4
-6
y
0
2
1
0
-1
-2
x
0
2
1
0
-1
-2