CONSTRUCCIN DE GRFICAS Y ECUACIONES EMPRICAS

1. Resumen :

La construccin de grafica nos sirve para predecir el comportamiento de variables relacionadas entre s a travs de una ecuacin, en el presente informe trataremos sobre tres experiencias.

La primera experiencia basada en la ley de Hooke, muestra una funcin lineal con variables de deformacin experimentada por el resorte (Li) y del peso aplicado al resorte (Pi), la cual realizaremos mediante el mtodo visual y el mtodo de los mnimos cuadrados.

La segunda experiencia basada en la cada libre de los cuerpos muestra una funcin potencia con variable de tiempo (Ti) y de espacio recorrido (Hi), realizado mediante el mtodo de los mnimos os cuadrados.

La ltima experiencia, basada en la descarga de un condensador nos muestra una funcin exponencial con variables de tiempo de descarga (Ti) y de diferencia potencial en el condensador (Vi), realizado mediante el mtodo de los mnimos cuadrados.

2. Objetivos :

Dados los datos experimentales de tres experiencias realizadas en la UNS, graficarlos en papel milimetrado, identificar el tipo de curva y determinar su ecuacin emprica.

Aplicar cambio de variable y/o logaritmo para transformar la ecuacin de un de una curva (exponencial, potencial, logaritmo, etc.) a una recta.

Aplicar el mtodo de los mnimos cuadrados para hallar la ecuacin emprica de una recta y representarlo grficamente.

3. Fundamentos terico:

Una variable es una cantidad a la cual puede asignrsele, durante un proceso, un nmero ilimitado de valores. Cuando dos variables tales como e estn relacionados de tal forma que a cada valor de , y esta es:

A la variable x se le llama independiente, porque toma el valor que se le asigna arbitrariamente, la otra se llama dependiente ya que debe tomar los valores que satisfacen la relacin particular.Las funciones se representan grficamente en un sistema de coordenadas rectangulares mediante puntos que satisfacen la ecuacin y=f(x).Estas grficas, que son lneas rectas o curvas representan el lugar geomtrico de los puntos que cumplen con la relacin establecida entre las variables.La pendiente b de la ecuacin de una recta y=a+bx, tal como la representada en la figura 1, que pasa por los puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2), se define por:

Muchas leyes fsicas se expresan mediante la ecuacin de una recta, como ejemplo tenemos rectilneo uniforme e=vt donde y =ea= 0, b=v. Asi tenemos funciones de la forma:

La prolongacin de una pequea cantidad de una lnea recta o curva por cualquiera de sus extremos se llama extrapolacin y es una tcnica til para obtener coordenadas en forma aproximada, propias de la grfica que no se tenan inicialmente , obtenindose valores fuera del intervalo experimental . La extrapolacin no es un proceso seguro, por lo que se debe tener cuidado en su utilizacin. Otra tcnica es la interpolacin , que consiste en obtener una de las coordenadas por ejemplo x fijada la otra, es decir y, a travs de la correspondencia que establece entre ambas la grfica. Ver figuras 5 y 6

Si la grfica no es una recta, Cmo encontrar los valores de Ay B en la funcin potencia?Una tcnica muy empleada es aplicando logaritmo y cambio de variable.Tenemos: Aplicando logaritmos: lny =lnA + Bln xCambio de variable: Remplazando: ecuacin de la recta

4. Mtodo de los mnimos cuadrados :

En un experimento realizado en el laboratorio se han medido cantidades de dos magnitudes fsicas x e y, con el propsito de descubrir o verificar la ley fsica que las vincula. Como consecuencia, se han obtenido n pares de valores (xi, yi), que representados grficamente muestran un conjunto de puntos que sugiere la forma de una lnea recta.

Existen dos formas de hacer este grfico:

1. Trazando directamente la lnea recta entre los puntos (mtodo visual)2. Encontrando los parmetros ay b de la ecuacin de la recta : , por el mtodo de los mnimos cuadrados y luego graficarlo. Donde ay b se calcula con las siguientes formulas:

.. (2)

Las desviaciones de a y b mediante las siguientes ecuaciones:

Donde:

5. Parte experimental :

5.1. Materiales Calculadora Juego de pistoletes , regla y borrador 6 unidades de papel milimetrado.

5.2. Procedimiento

Para representar una curva o recta grficamente en un papel grfico, indique cada punto experimental con una seal encerrada por un circulo pequeo o cruz, previamente escoger una escala para cada variable fsica en forma adecuada. Despus de indicar los puntos experimentales, dibuje lo mejor posible una curva o recta continua que pase entre los puntos.Algunas veces no es posible dibujar una curva o recta que pase por todos los puntos trazados. En este caso, quedaran algunos puntos a uno y otro lado de la curva o recta.Cuando aparezcan dos o ms curvas en la misma grafica se debern utilizar distintos smbolos para cada grupo de datos

5.3. Tabulacin de datos:

En el laboratorio de fsica de la UNS se realizaron los siguientes experimentos:a) Experimento N 1 : ley de Hooke

Tabla N 1

Li (m)0.0520.1020.1550.2060.258

Pi (N)1.962.943.924.905.88

Donde: Li: Deformacin experimentada por el resorte Pi: Peso aplicado al resorte que est suspendido por uno de sus extremos.

Resultado: Utilizaremos los mnimos cuadrados y linealizaremos para poder verificar los datos y la grfica:

NXi=L(m)Yi=P(N)

.

10.0521.960.0027040.10192

20.1022.940.0104040.29988

30.1553.920.0240250.6076

40.2064.90.0424361.0094

50.2585.880.0665641.51704

TOTAL0.77319.60.1461333.53584

Datos a necesitar

Utilizando la frmula 2:

Utilizando la frmula 3 :

Formula emprica

a=ra poder verificar los datos y la grafica .rafica}.NLi(m)Pi(N)

10.0521.97151244

20.1022.92106778

30.1553.92759644

40.2064.89614289

50.2585.88368045

TOTAL0.77319.6

2. Experimento: Cada Libre De Un Cuerpo

Ti(s)0.1120.1550.1890.2160.2640.3060.3340.3620.3910.419

Hi(m)0.050.100.150.200.300.400.500.80.70.8

Donde: Ti: tiempo que demora en recorrer el espacio Hi Hi: espacio recorrido por el cuerpo que cae.

Resultado: Haciendo un cambio de variables:

Lo llevamos a la forma de trabajo por mnimos cuadrados: Nt=lnTh=lnHt.h

1-2.18925641-2.995732274.792843626.55842608

2-1.86433016-2.302585093.475726954.29277884

3-1.66600826-1.897119982.775583543.16061757

4-1.53247687-1.609437912.348485362.46642638

5-1.33180618-1.20397281.773707691.60345842

6-1.18417018-0.916290731.402259011.08504416

7-1.09661429-0.693147181.202562890.7601151

8-1.01611107-0.510825621.03248170.51905557

9-0.93904772-0.356674940.881810620.33493479

10-0.86988436-0.223143550.75669880.19410909

TOTAL-13.6897055-12.708930120.442160220.974966

Utilizando la frmula 2:

entonces A=4.988510065

Utilizando la frmula 3 :

entonces B=2.102331875

Formula emprica

Nth

1-2.18926-2.99733

2-1.86433-2.31394

3-1.66601-1.89683

4-1.53248-1.61599

5-1.33181-1.19394

6-1.18417-0.88343

7-1.09661-0.69927

8-1.01611-0.52996

9-0.93905-0.36789

10-0.86988-0.22241

TOTAL-13.68971-12.72099

Ti (s)0.04.147.5811.8713.9716.9220.2424.1628.6537.1046.51

Vi (v)15121087654321

b) 1Experimento: Descarga de un Condensador

V = A eBTHaciendo un cambio de variable:V = A eBTLnV = lnA + BTv = a + bt, donde: v = lnVa = ln Ab = Bt = TCuadro 1: Descarga de un Condensadornt (s)V (v)t2(s2)t v (v.s)v2(v2)

10.000150.000000.000000225

24.141217.139649.68144

37.581057.456475.8100

411.878140.896994.9664

513.977195.160997.7949

616.926286.2864101.5236

720.245409.6556101.225

824.164583.705696.6416

928.653820.822585.959

1037.1021376.41074.24

1146.5112163.18046.511

Total211.14736050.71615413.22673

Utilizando la frmula 2

a = -127.9767776

Utilizando la frmula 3

b = 7.013093463Buscando r

CONCLUSIONES

Analizando el mtodo visual y mtodo de los mnimos cuadrados, se concluye que: El mtodo visual es un anlisis de la grfica del cual se extraen los elementos necesarios como la pendiente y la constante para realizar la frmula emprica (Y = a + bx). Este mtodo no es el ms adecuado ya que se trabaja en base a datos obtenidos mediante instrumentos de medicin, los cuales por ms precisos que sean siempre tienen un pequeo margen de error. El mtodo de los mnimos cuadrados trabaja en base a la aplicacin de los datos en frmulas, las cuales permiten hallar con mayor exactitud la pendiente (b) y la constante (a); datos necesarios para encontrar la frmula emprica. Por lo tanto es recomendable utilizar el mtodo de los mnimos cuadrados.

CUESTIONARIO:

1. De las grficas obtenidas, con qu tipos de funciones lo puedes relacionar.

La del experimento: Ley de Hooke, representa una funcin lineal. La del experimento: Cada libre de un cuerpo, representa una funcin potencia. La del experimento: Descarga de un condensador, representa una funcin exponencial.

2. Una vez identificadas las grficas, la que corresponde a una recta, determinar su ecuacin emprica por el mtodo visual y tambin por el mtodo de los mnimos cuadrados.

Ley de Hooke:

Ecuacin emprica es: P = a + b L (1)

Como es una lnea recta no hay necesidad de aplicar logaritmos ni cambio de variable, procedemos a obtener los valores de a y b. I. MTODO GRFICO O VISUAL:1.- Hallando (a) por extrapolacin:a = 0.9982.- Para la pendiente (b) Remplazando en la ecuacin emprica (1) P = 0.998 + 19.03 L II. MINIMOS CUADRADOS

Donde la formula emprica (2)

3. Para la grfica de curva transformadas a una recta y determinar la ecuacin emprica de las curvas En la funcin potencial; la ecuacin original es:H = AT B

H = 4.986 T 2.102; en donde: Ln A = a, B = b

La ecuacin emprica es: h = 1.607 + 2.102 t

En la funcin exponencial, la ecuacin original es:

V = A e BT

V = 15.533 e 0.0572 t; en donde: Ln A = a ; B = b

La ecuacin emprica es: v = 2.743 0.0572 t4. Dar tres ejemplos de ecuaciones de Leyes fsicas que correspondan a una funcin lineal y de potencia. Identifique cada variable y constante.FUNCION LINEALFUNCION POTENCIA

1. Mov. Rect. Uniforme

E = v . te = espaciov = velocidad constantest = tiempo.

1. Energa potencial elstica

E pk = kx 2

x : longitud estirada o comprimida del resorte.k : cte. elstica del resorte

2. F = m . a

F = fuerza.m = masa; m es cte.a = aceleracin.

2. Potencia elctrica:

P = I . R2R = resistencia cte.I, P = variables.

3. Energa potencial gravitatoria.

Ep = m. g. hm . g: fuerza de atraccin ejercidapor la tierra sobre el cuerpo.

3. Energa cintica:

Ek = m v 2

m = masa.v = velocidad

5. Para trazar una grfica que corresponde una recta, con cul mtodo es ms conveniente trazarlo, con el Mtodo Visual o empleando el Mtodo de los mnimos cuadrados por qu:Cuando hemos visto en una prctica realizada al mtodo ms conveniente es el de los mnimos cuadrados porque nos proporciona valores estadsticamente significativos de las incertidumbres en la pendiente y en la ordenada al origen, es un procedimiento matemtico que nos ayuda a identificar la mejor lnea para el conjunto de puntos dados, y de esta manera nos ayuda a tener ms seguridad de nuestros resultados que el mtodo grfico.

6. Empleamos al anlisis dimensional para el experimento (a), hallar las dimensiones de las constantes y dar sus unidades en el sistema internacional.

En el experimento (a): Ley de HookeP = a + b L P = K x [P] = [K] [x] Unidades en sistema M L T-2 = K LK = Kg / s 2 K = M T-2

7. En los tres grficos dados se hizo la interpolacin, entonces por interpolacin tenemos que: a) 1 cm 0.40 N x 4N x = 10 cmPor interpolacin tenemos que L tiene: 10.57 cm

1 cm0.015 m 10.57 L L = 0.159 m

b) 1 cm0.06 m Y0.25 m Y = 4.17 cm

Por interpolacin tenemos que

T tiene: 9.77 cm

1 cm0.025 S 9.57 T

T = 0.2445

c) 1 cm1.25 V Z4.5 V

Z = 3.6 cm

Por interpolacin tenemos que T tiene: 8.94 cm

1 cm2.5 s 8.94 cm T

T = 22.35 s