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ISSN 2007-1957
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Ejemplar 18. Enero-Julio de 2018
CONSTRUCCIONES MENTALES DEL CONCEPTO DE LÍMITE DE
UNA FUNCIÓN
Martha Patricia Jiménez Villanueva
Profesora Titular C
Gelacio Castillo Cabrera
Profesora Titular C [email protected]
María del Rosario Rocha Bernabé
Profesora Titular C
Escuela Superior de Cómputo, Instituto Politécnico Nacional
Resumen
En este trabajo se documentan las construcciones mentales que realizan los
alumnos, sobre el concepto de límite de una función, mediante el desarrollo de
prácticas de laboratorio y el uso del software Mathematica. Su desarrollo se
determina por el diseño e implementación de la enseñanza que plantea el ciclo
de investigación de la teoría APOE. El objetivo de esta investigación es aportar
evidencias sobre cómo los alumnos construyen su comprensión del concepto de
límite, cuyos resultados muestran la concepción de límite, como un Proceso
complejo, ya que este no se construye solo mediante la repetición de Acciones
que se interiorizan, sino que además, es necesario la coordinación de Procesos.
Palabras clave: Límite de una función, práctica de laboratorio,
construcciones mentales, teoría APOE
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El estudio del concepto de límite en los
cursos de Cálculo es fundamental ya que en este
descansan firmemente otros conceptos
(continuidad, derivada, integral) y quizá
también sea el más complejo.
Muchos autores han aportado evidencia de
que el concepto de límite presenta dificultades
para muchos estudiantes y reportan pocos éxitos
en su comprensión, es así como Cottrill, et al.,
(1996), Páez Murillo (2004) y Jiménez
Villanueva (2008), lo exponen.
En particular, el propósito de este trabajo es
presentar los resultados obtenidos sobre las
diferentes construcciones mentales que los
alumnos tienen sobre el concepto de límite de
una función, a través de prácticas de laboratorio
y el uso del software Mathematica. Así mismo,
el objetivo de la investigación es aportar
evidencias sobre cómo el estudiante puede
construir su comprensión de este concepto
matemático.
Para desarrollar este trabajo, se ocupa como
modelo, el propuesto por Cottrill, et al., (1996),
en el que se describen las construcciones
mentales que debería desarrollar un individuo
para la construcción del concepto de límite de
una función en un punto dado.
El desarrollo de este documento está
estructurado en cinco secciones. En la primera,
se realiza una descripción de los referentes
teóricos que sustentan el desarrollo de este
trabajo los cuales se configuran entorno a las
construcciones mentales que, desde el punto de
vista de la teoría APOE (Arnon, et al., 2014), un
estudiante desarrolla en la construcción de su
conocimiento.
En la segunda sección se presentan los
resultados de investigaciones centradas en el
concepto de límite, donde se resaltan las
dificultades de los estudiantes en la
comprensión de este concepto. En la tercera
sección se presenta a manera de ejemplo el
diseño de una práctica de laboratorio para el
aprendizaje del límite de una función a través de
la metodología usada en su implementación. En
la cuarta parte se presenta el análisis de los
resultados. Finalmente, en la última sección se
exponen algunas reflexiones sobre el trabajo
realizado y la pertinencia de su continuación.
1 - La teoría APOE.
El desarrollo de esta investigación se
sustenta en la teoría APOE (Arnon, et al., 2014),
la cual se basa en la idea de abstracción
reflexiva de Piaget extendida hacia la
construcción del conocimiento matemático en
estudiantes universitarios.
En los últimos años, se han publicado varios
estudios centrados en conceptos de Cálculo que
toman como marco de referencia la teoría
APOE: límite (Cottrill, et al., 1996), derivada
(Asiala, Cottrill, Dubinsky, & Schwingendorf,
1997), integral definida (Czarnocha, Prabhu, &
Vidakovic, 2001), (Llinares, Estruch Fuster, &
Boigues Planes, 2010).
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La teoría APOE proporciona un ciclo de
investigación (Arnon, et al., 2014) que integra
tres componentes: 1) Análisis teórico, 2) Diseño
e implementación de enseñanza y 3)
Observación, análisis y verificación de datos.
Estos componentes se muestran en el siguiente
esquema.
Figura 1. Ciclo de enseñanza de la teoría APOE.
[Esquema]. Tomado de: Arnon, I., Cottril, J.,
Dubinsky, E., Oktac, A., Roa-Fuentes, S.,
Trigueros, M., & Weller, K. (2014). APOS Theory
A Framework for Research and Curriculum
Development in Mathematics Education. New York
Heidelberg Dordrecht London: Springer.
La repetición de este ciclo conduce, por un
lado, a un refinamiento del análisis teórico, que
permite obtener una descripción más detallada
de la forma en que se construye un concepto
matemático; y por otro lado, a una revisión del
diseño de enseñanza como resultado de los
datos empíricos que se obtienen en el desarrollo
del tercer componente.
El propósito del análisis teórico de un
concepto, es proponer modelos que pueden
desarrollarse en la mente de un individuo
cuando está tratando de aprenderlos. Este
modelo es conocido como descomposición
genética preliminar del concepto, el cual es un
conjunto estructurado de construcciones
mentales que pueden describir, cómo el
concepto puede ser construido (Arnon, et al.,
2014).
Como resultado del desarrollo del ciclo de
investigación planteado en la teoría APOE, se
han propuesto modelos que describen cómo un
concepto puede desarrollarse en la mente de un
individuo, cuando está tratando de aprenderlo.
En particular, con respecto al límite,
concepto que nos ocupa en este trabajo, para
Cottrill et al., (1996), plantean un modelo
preliminar e indican elementos que se deben
considerar para su refinación con base en datos
empíricos. De acuerdo con esta teoría, el
desarrollo de la comprensión de un concepto
inicia cuando el sujeto realiza acciones sobre
objetos matemáticos previamente construidos,
ya que estas son el medio para acercarse al
objeto de conocimiento. Cuando el individuo
reflexiona sobre estas acciones y logra hacerlas
suyas en el sentido que toma consciencia del
resultado de la acción, interioriza acciones en
procesos.
Así mismo, cuando el individuo siente la
necesidad de aplicar acciones sobre un proceso,
necesita encapsularlo en objetos para operar con
estos y, se espera que sean desencapsulados
para regresar a los procesos de los cuales
surgieron. Las interrelaciones que establece el
individuo con otros conceptos dan lugar a la
conformación de un esquema del concepto en
cuestión.
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Para el desarrollo de este trabajo se considera
la descomposición genética planteada por
Cottrill, et al., (1996), diseñada como resultado
del desarrollo del primer componente del ciclo
de investigación y se hace un acercamiento al
desarrollo del segundo componente.
Una vez que se establece una
descomposición genética preliminar, la teoría
APOE propone el diseño de un modelo de
enseñanza que siga el camino cognitivo
señalado, de tal manera que los individuos
puedan construir el concepto con base a los
elementos descritos en el análisis teórico.
El enfoque pedagógico, propuesto en la
Teoría APOE, para la implementación de la
secuencia de enseñanza y aprendizaje, se
denomina ciclo de enseñanza ACE el cual
consta de tres componentes: actividades,
discusión en clases y ejercicios.
Las actividades son sesiones en el
laboratorio de cómputo. Su objetivo principal es
que los alumnos obtengan experiencia con los
problemas matemáticos que posteriormente se
desarrollan en el salón de clase.
La discusión en clase se realiza en sesiones
dentro del salón, donde los alumnos trabajan en
pequeños grupos sobre las actividades
realizadas en el laboratorio, para lo cual utilizan
lápiz y papel. La función del profesor es por un
lado, quien dirige la discusión diseñada para
propiciar la reflexión de los alumnos sobre el
trabajo hecho en el laboratorio y de lo que se
hace en el salón, y por el otro, también les
proporciona definiciones, explicaciones que se
entremezclan con preguntas cuyas respuestas
son importantes, además, de aportar
descripciones para unir las ideas planteadas.
Los ejercicios son tareas relativamente
tradicionales, asignadas a los alumnos para
trabajar fuera de las sesiones de laboratorio y de
las sesiones de clase.
La idea de este enfoque pedagógico es que
mediante actividades en computadora se apoya
la activación de mecanismos mentales como la
interiorización y la encapsulación, que
conducen al desarrollo de construcciones
mentales, como procesos y objetos.
La aplicación de cada ciclo de la secuencia
de enseñanza proporciona una oportunidad para
recoger datos. La fase de recolección y análisis
de datos es crucial para las investigaciones
basadas en la teoría APOE, ya que sin evidencia
empírica, una descomposición genética
permanece sólo como una hipótesis.
Así mismo, el modelo de enseñanza incluye
actividades que los estudiantes desarrollan en
grupos colaborativos, diseñadas para trabajar
con el uso de un lenguaje de programación
matemática. La frase “lenguaje de
programación matemática” se refiere a un
programa que satisface tres propiedades
(Arnon, et al., 2014):
• La sintaxis cercana a la notación
matemática formal
• La posibilidad de usar controles como If
y, y For que pueden ser usados para realizar
procedimientos matemáticos
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• Y la posibilidad de programar subrutinas
que pueden ser manipuladas y usadas como
entradas de otros programas
En particular, el Software Mathematica
satisface las propiedades que debe cumplir un
lenguaje de programación matemática por tanto
puede considerarse como tal y sus
características lo hacen útil para propiciar la
realización de construcciones mentales
sugeridas en la descomposición genética
propuesta por Cottrill, et al., (1996).
2 - Antecedentes teóricos.
En la literatura diversos autores coinciden en
que los estudiantes presentan dificultades en la
comprensión del concepto de límite en el
contexto de funciones o en el de sucesiones y
series (Hitt & Lara chavez, 1999), (Vinner,
1989), (Eisenberg & Dreyfus, 1991). Muchas
de las dificultades encontradas cuando los
alumnos tratan con otros conceptos, como
continuidad, diferenciabilidad, integración,
pueden estar relacionadas a sus dificultades con
el concepto de límite (Orton, 1983).
De acuerdo con un estudio realizado por Hitt
y Lara (1999) con profesores de una institución
de enseñanza media, reportan que algunas de las
dificultades de aprendizaje del concepto de
límite se deben a la forma cómo se enseña. Por
ejemplo, en la enseñanza tradicional de la
matemática básica, se considera que hay un
mayor nivel curricular cuando el contenido
generalmente se desenvuelve en el registro
algebraico, en consecuencia, se le exige al
alumno aprender algoritmos, para resolver los
ejercicios rutinarios de límites.
Con relación a lo anterior, Vinner (1989)
señala lo siguiente: los alumnos consideran que
la demostración algebraica es, a pesar de todo,
más matemática y más general, por tanto, es
preferible tener la seguridad, que arriesgarse
por la claridad, simplicidad, inmediatez, etc., de
la demostración visual; además, puntualiza que
los estudiantes frenan el aprendizaje con sentido
y prefieren memorizar fórmulas y técnicas
algebraicas porque consideran que es una receta
efectiva para tener éxito en los exámenes
estándares.
En este mismo sentido, Eisenberg y Dreyfus
(1991) señalan que, aunque los beneficios de la
visualización de conceptos matemáticos son
frecuentemente defendidos, muchos estudiantes
son reacios a aceptarlos; ellos prefieren el
pensamiento algorítmico sobre el visual.
Por otro lado, Sierpinska (1985) analizó la
dificultad de identificar la tangente como el
límite de una secante variable, y con base en los
resultados de una investigación clasificó los
obstáculos en la comprensión de este concepto
en cinco categorías:
1) Horror infiniti
2) Obstáculos ligados a la noción de función
3) Obstáculos geométricos
4) Obstáculos lógicos
5) Obstáculos simbólicos
Para continuar con esta investigación,
Sierpinska (1985) parte de la hipótesis de que es
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necesario crear un conflicto cognitivo para que
un obstáculo sea eliminado, al respecto y con
base en los resultados obtenidos, este autor
reporta que ninguno de los estudiantes superó
completamente los obstáculos, sin embargo, los
conflictos cognitivos surgieron y esto podría ser
un punto de partida.
Con respecto al primer obstáculo, Horror
infiniti, Sacristán Rock (1988) consideró en su
investigación los procesos infinitos con relación
al conflicto que pueda surgir en la mente de los
estudiantes en cuanto a si una sucesión infinita
“tiende hacia algo”, ese algo es su límite y si es
alcanzado o no. Entre los resultados obtenidos
destaca lo siguiente: el límite es visto en general
como un tope que no se puede rebasar, aunque
se pueda alcanzar, pero además no
necesariamente es conocido o está bien
definido; las concepciones que los alumnos
tienen del infinito en una expansión decimal
infinita y son básicamente concepciones del
infinito potencial.
Por otra parte, Cottrill, et al., (1996) con base
a un análisis de la literatura centrada en el
concepto de límite y en la observación de un
grupo experimental, identifican elementos
claves que se deben considerar para la
comprensión de este concepto matemático.
Como resultado, los autores proponen un
modelo preliminar para comprender el límite,
organizado en siete pasos, los cuales no
necesariamente se siguen en el orden dado, más
bien es en un ir y venir sobre estos pasos según,
los estudiantes construyan este concepto.
1) La acción de evaluar f en un punto único
x que es considerado cercano o incluso
igual al valor de a.
2) La acción de evaluar la función en un
número específico de puntos, cada
punto sucesivo más cercano al valor de
a (a es el punto donde se quiere calcular
el límite).
3) Construcción de un esquema coordinado.
4) Interiorización del paso 2, con el fin de
construir un proceso dominio en el
cual, x se aproxima al valor de a.
5) Construcción de un proceso rango en el
cual, y se aproxima a L.
6) Coordinación de (a), (b) vía f. Esto es, la
función f se aplica al proceso de x,
aproximándose al valor de a para
obtener el proceso f (x) aproximándose
a L.
7) Realizar acciones sobre el concepto de
límite, por ejemplo, hablar acerca del
límite de composición de funciones. De
esta forma el esquema 3, es
encapsulado en un objeto.
8) Reconstruir el proceso del paso 3c en
términos de intervalos y desigualdades.
Esto se realiza introduciendo
estimaciones numéricas de las
aproximaciones, símbolos, 0 < |𝑥 −𝑎| < 𝛿 y |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀.
9) Aplicar un esquema de cuantificación
para conectar el proceso reconstruido
en el paso 4, para obtener así, la
definición formal del límite.
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10) Una concepción 휀 − 𝛿 aplicada a
situaciones específicas.
Con base en la descomposición genética
propuesta por Cottrill, et al., (1996), en la
siguiente sección se presenta el diseño de
instrumentos para la enseñanza y el aprendizaje
del concepto de límite de una función.
3 - Desarrollo: diseño de la enseñanza y
el aprendizaje del concepto de límite.
La práctica en clase con el tema del concepto
de límite se realizó después de un mes de
iniciado el ciclo escolar en la Unidad de
aprendizaje Cálculo. Durante ese primer mes,
se proporcionó entrenamiento sobre el software
Mathemática, para lo cual se usó como espacio
el laboratorio. Además se diseñaron seis
prácticas que se realizaron en tres sesiones (dos
prácticas por sesión) con duración de 90
minutos cada una, estas se centraron en los
siguientes aspectos:
1 Nociones básicas (presentación del
entorno del software con operaciones
básicas)
2 Funciones matemáticas definidas en
Mathematica y su sintaxis (algebraicas
y trascendentes)
3 Uso del comando Plot para graficar
funciones
4 Uso del comando Table para generar
listas de elementos, por ejemplo, pares
ordenados
5 Uso del comando Manipulate el cual
genera controles que permiten una
manipulación interactiva de listas de
diferentes tipos de datos por medio de
parámetros (números, expresiones
algebraicas, gráficas, etc.)
6 Exploración de otros comandos del
software como sumatorias, derivadas,
límites e integrales
Los alumnos que participaron en el proyecto,
pertenecieron a un grupo de la Unidad de
Aprendizaje Cálculo (30 alumnos). Esta Unidad
de Aprendizaje tiene como programación
curricular, tres sesiones de clase a la semana,
noventa minutos cada una, dentro de las cuales,
una se realiza en el laboratorio de cómputo, el
cual, cuenta con el software Mathemática
instalado en cada computadora.
La estrategia pedagógica que se aplicó en
este curso experimental está basada en el ciclo
de enseñanza ACE, cuyos componentes
anteriormente expuestos, se diseñaron del
siguiente modo:
Actividades En el software Mathematica
(diseñadas para hacer las
construcciones mentales que
se señalan en la
descomposición genética
propuesta por Cottrill et al.,
(1996).
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Discusión en
el salón de
clase
Se orienta a llevar a los
alumnos a reflexionar sobre
las actividades realizadas en
la computadora y en los
ejercicios extra clase.
Ejercicios
extra clase
Para reforzar las ideas
construidas por los alumnos.
Con el objetivo de delimitar el trabajo
presentado en este documento, se hará
referencia a las actividades propuestas para
promover las construcciones mentales
solicitadas en los tres primeros pasos de la
descomposición genética planteada por Cottrill,
et. al., (1996), para lo cual se desarrolló lo
siguiente:
1) Investigar en Mathematica las
aproximaciones. Los alumnos escriben,
en el software un código para
determinar lo siguiente:
a) Un conjunto de números que se
aproximen al valor de a por su izquierda.
b) El valor de la función en un valor de x
igual al valor de a.
c) Un conjunto de números que se resulta al
evaluar la función en el conjunto
obtenido en el inciso a).
Con este punto se buscó que los alumnos
investigaran qué pasa con el valor de la función
cuando el valor de x está muy cerca (por la
izquierda) del valor de a, así como hacer
predicciones.
2. Construir en Mathematica un valor al
que se aproxima el límite. Los alumnos
construyen un código con base al código
escrito en el paso 1, que les permitiera
investigar qué pasa con el valor de la
función cuando el valor de x está muy
cerca (por la derecha) del valor de a, así
como, hacer predicciones.
Con lo anterior se esperó que los alumnos
interiorizaran la acción de tratar con valores que
incrementalmente se acercan al punto límite,
tanto en el dominio como en el rango, al
construir en Mathematica un código que
pudiera dar sucesión finita de puntos en el
dominio, que empezara en un punto x0
(apropiadamente elegido), y que se aproxime al
valor de a. Además, pudiera evaluar una
función dada en cada uno de los elementos de la
sucesión finita del dominio.
3. Investigaciones gráficas. Los alumnos
grafican diferentes funciones e
investigan qué pasa en la gráfica de una
función cuando x se acerca a un valor
determinado, a. Esto, desde nuestro
punto de vista, les permite establecer
relaciones entre los conceptos de límite y
continuidad de una función en un punto
dado.
Por otra parte, respecto a la programación de
la práctica en el laboratorio de cómputo, esta se
realizó durante varias semanas; para cada
semana se diseñó: una práctica de laboratorio,
una lista de ejercicios 1 (extra-clase), discusión,
una lista de ejercicios 2 (extra-clase).
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A continuación, se muestra a modo de
ejemplo, una práctica, una sección de la lista de
ejercicios 1 y una situación que introduce la
discusión en el salón de clase.
Figura 2. Castillo Cabrera, G. Jiménez Villanueva, M.
P. Rocha Bernabé, M. del R. (2016). Práctica de
laboratorio.
En la figura 2 se presenta la primera práctica
con la que trabajan los alumnos en el
laboratorio. En esta se pide escribir un
programa que genera un conjunto de valores
que se acercan a un valor dado “a” por su
izquierda, así como un conjunto formado por
los valores de la función; para lograr esta
actividad se utiliza el software Mathemática.
La intensión de esta actividad, es que el
alumno identifique el valor al que tiende la
función a medida que el valor de x se aproxima
al valor de “a” por la izquierda. Posteriormente,
se pide reconstruir el programa para hacer un
acercamiento al valor de “a” por la derecha y
determinar el comportamiento de la función;
además, determinar si la función está definida
en x=a.
Después de la fase experimental se plantean
ejercicios extra-clase para que los estudiantes
ganen experiencia con funciones específicas.
En estos se plantean por ejemplo, situaciones
como las siguientes:
Investigar el comportamiento de las
funciones en los puntos a=1, a=0 y a= -1
i) 𝑓5(𝑥) =𝑥
|𝑥|
ii) 𝑓6(𝑥) = 𝑆𝑖𝑛 (1
𝑥)
iii) Sea 𝑓7(𝑥) = {𝑥 − 2 𝑠𝑖 𝑥 < 1−𝑥2 𝑥 ≥ 1
Para iniciar la discusión en el salón de clase
se plantea una situación como la siguiente:
Para una llamada telefónica de larga
distancia, un hotel hace un cargo de $ 9.00
por el primer minuto y de $ 1 por cada
minuto o fracción adicional. Identificar con
c(x) la función costo de la llamada, donde x
representa el tiempo de la llamada.
Calcula los siguientes límites, si existen.
a) 𝑙𝑖𝑚𝑥→3
𝑐(𝑥)
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b) 𝑙𝑖𝑚𝑥→3.5
𝑐(𝑥)
4 - Análisis de resultados
A continuación, se presentan algunas
respuestas comunes de los alumnos al trabajar
con la situación planteada en la sesión de
discusión. Se usa la notación P, para identificar
al profesor y E para identificar la respuesta de
los estudiantes.
1) Construcciones de acción
P: ¿Cuál es el límite de la función en x=3.5?
E: El límite es 12.
P: ¿Por qué crees que ese es el límite?
E: Porque primero construí una función por
partes y al sustituir en la función veo que el
valor de la función es 12, entonces el límite es
12.
Este es un ejemplo que se repite en varias
situaciones en las cuales, algunos estudiantes
reiteradamente muestran que su comprensión
del límite de una función en un punto, significa
el valor de la función en ese punto. Cuando
estos estudiantes hablan acerca del límite en
general, explícitamente hablan acerca de c(a)
como el límite en a. Cuando la función no está
definida en x=a señalan que el límite no existe.
P: ¿Esto siempre pasa? o ¿Hay casos en los
que no puedan evaluar?
E: Hay casos en los que no se puede evaluar
porque la función no está definida. En ese punto
y el límite no está definido. En este caso sí
puedo evaluar.
P: ¿Qué significa que el límite no esté
definido?
E: Bueno, quise decir que el límite no existe,
porque la función no está definida.
P: Entonces, si la función está definida en
x=a ¿el límite de la función es f(a)?
E: Si puedo evaluar, sí.
Algunos estudiantes hacen esto para otros
valores, incluso para los puntos de salto, dado
que pueden evaluar en esos puntos.
P: ¿Cuál es el límite de la función en x=3?
E: El límite es 11.
P: ¿Por qué es 11?
E: Porque la función evaluada en x=3 vale
11 y ese es su límite.
Hay estudiantes que evalúan en un único
punto. En este caso, los estudiantes señalan que
el límite de una función en un punto es el valor
de la función evaluada en ese punto, si la
función está definida ahí mismo. Estos
estudiantes tienen una noción estática del límite
de una función, por lo que piensan, que si la
función no está definida en el punto entonces el
límite no existe.
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P: ¿Qué pasa si la función no está definida
en el punto donde se quiere calcular el límite?
E: El límite no existe.
Así, para estos estudiantes, si el límite existe,
debe ser el valor de la función evaluada en el
punto.
2) Construcciones de proceso.
Algunos estudiantes empiezan con
declaraciones similares a las que se mencionan
en los extractos anteriores, posteriormente hay
un cambio entre una evaluación estática y
empiezan hacer una evaluación más dinámica,
al evaluar en varios puntos.
En el siguiente extracto de la discusión, un
estudiante, toma valores muy cercanos al valor
de a, lo cual puede considerarse como la
interiorización de una acción en un proceso de
x acercándose al valor de a, por un lado y f(x)
acercándose a un valor L.
E: Yo creo que el límite es 11 y 12.
P: ¿Por qué crees que tiene dos límites?
E: Porque cuando evalúo en 3 el valor de la
función es 11, pero cuando evaluó en valores
cercanos a 3 el valor de la función es 12.
P: ¿Por qué en un caso evalúas en 3 y en otro
caso te acercas a 3?
E: porque vi que en este caso si me acerco a
tres por este lado (izquierda), el límite es el
mismo que si evaluó en el punto. Si me acerco
por este lado (derecha) me acerco a 12, pero la
función evaluada en 3 no es 12.
Si la función no está definida en el punto
algunos estudiantes evalúan en punto cercanos
al valor de a.
P: ¿Qué pasa si la función no está definida
en el punto?
E: En ese caso tomo valores cercanos al
punto, y veo que el límite seguiría siendo 11 y
12.
Esta explicación, da la pauta para pensar, que
algunos estudiantes ven, el acercarse al valor de
a por la izquierda y por la derecha, como dos
procesos separados que les lleva a concluir que
hay funciones que tienen dos límites.
Pocos alumnos parecen coordinar estos dos
procesos, esto se evidencia cuando explican que
si se acercan al valor de a por su izquierda y por
su derecha el valor de la función se acerca a un
valor único, como se muestra en el párrafo
siguiente.
E: Si tengo una función que no está definida
en x=a, por ejemplo 𝑓(𝑥) =𝑥2−1
𝑥−1 no está
definida en x=1, si me acerco a uno por su
derecha 1.5, 1.4, 1.3 la función se va acercando
a 2 y si me acerco por su izquierda 0.5, 0.6, 0.7
la función también se va acercando a dos.
P: ¿qué significa eso?
E: Que el límite en x=1 es dos.
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Para que estos alumnos vean un proceso
único, deben coordinarse con estos mediante el
conector de conjunción “y” a fin de realizar una
construcción proceso de dominio de una
función, como un único proceso que le lleve a
establecer |𝑥 − 𝑎| < 𝛿.
P: ¿Qué pasa en la situación de las llamadas
en x=3?
E: Bueno, aquí [señala la gráfica de la
función por partes] si me acerco por la
izquierda de 3, el límite es 11, si me acerco por
la derecha el límite es 12.
P: Entonces, ¿en x=3 la función tiene dos
límites?
E: No, tiene un límite por la derecha y un
límite por la izquierda.
P: Pero la pregunta es cuál es el límite en
x=3, no el límite por la derecha o por la
izquierda.
E: Lo que veo es que en esta función …,
señala la función, 𝑓(𝑥) =𝑥2−1
𝑥−1, el límite por la
derecha es igual al límite por la izquierda.
P: ¿Qué quieres decir?
E: Que los límites laterales son iguales y
puedo hablar del límite en x=3.
P: ¿y si son diferentes?
E: No puedo hablar del límite en el punto.
5 - Reflexiones finales
En este trabajo se hace un primer
acercamiento al desarrollo del segundo
componente que plantea el ciclo de
investigación de la teoría APOE. Es así que se
diseñó una práctica de laboratorio con base a la
descomposición genética del concepto de límite
que plantean Cottrill et al., (1996). Con esto se
intenta aportar evidencia de si los alumnos
hacen las construcciones mentales sugeridas
por la descomposición genética propuesta.
De acuerdo a los resultados se concluye que
es necesario incluir en la descomposición
genética planteada por Cottrill, et al., (1996),
dos procesos: el “tiende por la izquierda” y el
“tiende por la derecha”, que se coordinan para
construir un proceso único.
Este análisis sugiere que la construcción de
dominio como un proceso único es mucho más
que un proceso, que es capturado por la
interiorización de una acción. Su construcción
implica la coordinación de dos procesos:
“acercarse por la derecha de a”, “acercarse por
la izquierda de a”, mediante el conector de
conjunción “y”.
La construcción del proceso único “acercarse
al valor de a” que incluye un acercamiento tanto
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por la derecha como por la izquierda,
relacionada con la noción de “desigualdad con
valor absoluto”, lo que permite al estudiante dar
sentido a la expresión |𝑥 − 𝑎| < 𝛿.
Por otro lado, se requiere la construcción de
un proceso “rango” vía una función para
identificar (si es posible) el valor al que se
acerca la función, primero dependiendo si el
acercamiento es por la derecha o por la
izquierda del número a, dando lugar a dos
nuevos procesos que se coordinan en un
proceso único mediante el conectivo de
conjunción, a fin de dar sentido a la expresión
|𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀.
Finalmente, la falta de coordinación entre
estos dos procesos conduce al estudiante a
pensar en la existencia de dos límites.
Referencias.
Arnon, I., Dubinsky, E., Trigueros, M., Weller, K.,
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Este trabajo fue presentado en el XVII
Simposium Internacional “Aportaciones de las
Universidades a la Docencia, la Investigación,
la Tecnología y el Desarrollo”, que se llevó a
cabo del 28 al 30 de septiembre del 2016 en la
Escuela Superior de Ingeniería Química e
Industrias Extractivas del Instituto Politécnico
Nacional.
