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Submitted on 1 Oct 2018

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Contributions à la résolution globale de problèmesbilinéaires appliqués à l’indstrie porcine

Emilie Joannopoulos

To cite this version:Emilie Joannopoulos. Contributions à la résolution globale de problèmes bilinéaires appliqués àl’indstrie porcine. Optimisation et contrôle [math.OC]. INSA de Rennes, 2018. Français. �NNT :2018ISAR0006�. �tel-01885186�

THESE INSA Rennessous le sceau de l’Université Bretagne Loire

pour obtenir le titre deDOCTEUR DE L’INSA RENNES

Spécialité : Mathématiques et leurs Interactions

présentée par

Emilie JoannopoulosECOLE DOCTORALE : MATHSTICLABORATOIRE : IRMAR

Contributions à la résolutionglobale de problèmesbilinéaires appliqués à

l’industrie porcine

Thèse soutenue le 27.04.2018devant le jury composé de :

Abdel LisserProfesseur des Universités, Université Paris-Sud / PrésidentCharles AudetProfesseur, Ecole Polytechnique de Montréal (Canada) / RapporteurFrançois ClautiauxProfesseur des Universités, Université de Bordeaux / RapporteurPaul ArmandProfesseur des Universités, Université de Limoges / ExaminateurAmélie LambertMaître de Conférences, Conservatoire National des Arts et Métiers de Paris / ExaminatriceFrançois DubeauProfesseur, Université de Sherbrooke (Canada) / Co-directeur de thèseJean-Pierre DussaultProfesseur, Université de Sherbrooke (Canada) / Co-encadrant de thèseMounir HaddouProfesseur des Universités, INSA de Rennes / Co-directeur de thèse

Contributions à la résolution globale de problèmes bilinéaires appliqués à l’industrie

porcine

Emilie Joannopoulos

En partenariat avec

Document protégé par les droits d’auteur

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✷✳✶✳✷ ■♥st❛♥❝❡s ❝♦♥s✐❞éré❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸

✷✳✶✳✸ ▲❡ ♠♦❞è❧❡ ✐❞é❛❧ ✿ ✉♥❡ ❜♦r♥❡ ✐♥❢ér✐❡✉r❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✺

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❍✳✷✳✷ ❋✐❝❤✐❡r ❝♦♠♠❛♥❞❡s ✿ ❤❢♣✳r✉♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽✻

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①✐✐✐

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✶ ❉✐èt❡ ❛♥♥✉❡❧❧❡ à ❝♦ût ♠✐♥✐♠❛❧ ❡♥ ❛♦ût ✶✾✸✾✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸

✶✳✶ ▲✐st❡✱ ♣r✐① ❡t ✐♥❝♦r♣♦r❛t✐♦♥ ♠❛①✐♠❛❧❡ ❞❛♥s ❧❡s ♠é❧❛♥❣❡s ❞❡s ✐♥❣ré❞✐❡♥ts ✉t✐❧✐sés

❧♦rs ❞❡s s✐♠✉❧❛t✐♦♥s✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸

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❛✈❡❝ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ tr❛❞✐t✐♦♥♥❡❧❧❡ ❡t ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ✐❞é❛❧❡✱ ❛♣♣❧✐q✉é❡ ❛✉① ❞♦♥✲

♥é❡s ❞❡ ✷✵✶✶ ❡t ✷✵✶✻✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹

✷✳✶ ❈♦♠♣❛r❛✐s♦♥ ❞❡ ❧❛ ✈❛❧❡✉r ♦♣t✐♠❛❧❡ ❞❡ s♦❧✈❡✉rs ❣❧♦❜❛✉① ✭❈♦✉❡♥♥❡✱ ❇❆❘❖◆✮

❛✈❡❝ ✉♥ s♦❧✈❡✉r ♥♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡ ✭■♣♦♣t✮✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✸

✸✳✶ ❱❛❧❡✉rs ♦♣t✐♠❛❧❡s ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ♣é♥❛❧✐sé ❡t ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ✐♥✐t✐❛❧✱ ❞✐st❛♥❝❡ à ❧❛

s♦❧✉t✐♦♥ ❧♦❝❛❧❡ x∗ipopt ❡t ❞✐st❛♥❝❡ à ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ré❛❧✐s❛❜❧❡ ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ✐♥✐t✐❛❧

✭d(x∗, S) = ‖max(0, g(x, y, z)‖✮✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✼

✸✳✷ ❱❛❧❡✉r ♦♣t✐♠❛❧❡ ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡ s♦❧✈❡✉r ■♣♦♣t✮ ❡t ❞✉ ♠♦❞è❧❡ ❞✐s❝rét✐sé

✭s♦❧✈❡✉r ❈P▲❊❳✮ ❛✐♥s✐ q✉❡ ❧❡ t❡♠♣s ❈P❯ ✭❡♥ s❡❝♦♥❞❡✮✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✶

✸✳✸ ❘és✉♠é ❞❡s ❞✐✛ér❡♥ts rés✉❧t❛ts ❞❡ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❧❛❣r❛♥❣✐❡♥♥❡✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✺

✹✳✶ ❘és✉♠é ❞❡s ♣♦✐♥ts ♣rés❡♥tés ❞❛♥s ❧❡s ✜❣✉r❡s ✹✳✸ ❡t ✹✳✹✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✷

✹✳✷ ❈♦ût ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❡♥ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞✉ ❝♦♥t❡①t❡ ❞❡ ♣r✐①✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✺

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✹✳✸ ❈♦ût ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❡♥ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞✉ ❝♦♥t❡①t❡ ❞❡ ♣r✐① ❡♥ ❝♦♥s✐❞ér❛♥t ❧❛ s♦✲

❧✉t✐♦♥ r♦❜✉st❡✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✽

✹✳✹ ❘és✉❧t❛ts ❞❡s ♣r♦❜❧è♠❡s ❜✐♥✐✈❡❛✉① ❞ét❡r♠✐♥❛♥t ❧❡ ❝♦♥t❡①t❡ ❞❡ ♣r✐① ❧❡ ♣❧✉s ❡t

❧❡ ♠♦✐♥s ❢❛✈♦r❛❜❧❡ à ❧❛ ♠✐s❡ ❡♥ ♣❧❛❝❡ ❞✬✉♥❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ▼❈✲✶▼❋✲❊▲✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✵

✺✳✶ ❱❛❧❡✉r ♦♣t✐♠❛❧❡✱ P ❡①❝rété ❡t ◆ ❡①❝rété ❞❡s ❞✐✛ér❡♥t❡s ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥s ❛✈❡❝ ❧❡s

♣r✐① ❞❡ ✷✵✶✶ ❡t ❝♦♠♣❛r❛✐s♦♥ ▼❈✲✶▼❋✲❊▲ ❡t ▼❈✲■❋✲❊▲ ❛✈❡❝ ▼❈✲✸P❋✲❊❋✳ ✳ ✶✶✽

✺✳✷ ❱❛❧❡✉r ♦♣t✐♠❛❧❡✱ P ❡①❝rété ❡t ◆ ❡①❝rété ❞❡s ❞✐✛ér❡♥t❡s ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥s ❛✈❡❝ ❧❡s

♣r✐① ❞❡ ✷✵✶✻ ❡t ❝♦♠♣❛r❛✐s♦♥ ▼❈✲✶▼❋✲❊▲ ❡t ▼❈✲■❋✲❊▲ ❛✈❡❝ ▼❈✲✸P❋✲❊❋✳ ✳ ✶✶✾

①✈

▲■❙❚❊ ❉❊❙ ❋■●❯❘❊❙

✶ ❘é♣❛rt✐t✐♦♥ ❞❡ ❧❛ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ♣♦r❝✐♥❡ ❞❛♥s ❧❡ ♠♦♥❞❡✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶

✶✳✶ ➱✈♦❧✉t✐♦♥ ❞✉ ♣♦✐❞s ❞❡ ❧✬❛♥✐♠❛❧ ♠♦②❡♥ ❝♦♥s✐❞éré✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵

✶✳✷ ➱✈♦❧✉t✐♦♥ ❞✉ ❜❡s♦✐♥ q✉♦t✐❞✐❡♥ ❡♥ é♥❡r❣✐❡ ♥❡tt❡✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵

✶✳✸ ➱✈♦❧✉t✐♦♥ ❞✉ ❜❡s♦✐♥ q✉♦t✐❞✐❡♥ ❡♥ ❞✐✛ér❡♥ts ❛❝✐❞❡s ❛♠✐♥és✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶

✶✳✹ ➱✈♦❧✉t✐♦♥ ❞✉ ❜❡s♦✐♥ q✉♦t✐❞✐❡♥ ❡♥ ❛❝✐❞❡s ❛♠✐♥és ♥♦♥ ❡ss❡♥t✐❡❧s✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷

✶✳✺ ➱✈♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ ❧❛ ❝♦♥s♦♠♠❛t✐♦♥ ♠❛①✐♠❛❧❡ ❛✉t♦r✐sé❡ ♣♦✉r ❧✬❛♥✐♠❛❧ ♠♦②❡♥ ❝♦♥s✐✲

❞éré✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷

✶✳✻ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ❞✉ ❢♦♥❝t✐♦♥♥❡♠❡♥t ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ tr❛❞✐t✐♦♥♥❡❧❧❡✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻

✶✳✼ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ✐❞é❛❧❡✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽

✶✳✽ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ❞✉ ❢♦♥❝t✐♦♥♥❡♠❡♥t ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ♣❛r ♠é❧❛♥❣❡s✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾

✶✳✾ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❤②❜r✐❞❡✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷

✷✳✶ ●r❛♣❤❡ r❡♣rés❡♥t❛♥t ✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ♣♦♦❧✐♥❣✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✻

✷✳✷ ●r❛♣❤❡ r❡♣rés❡♥t❛♥t ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ❞✐èt❡ ♣♦r❝✐♥❡ s♦✉s ❧❛ ❢♦r♠❡ ❞✬✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡

❞❡ ♣♦♦❧✐♥❣✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✾

✸✳✶ ❘❡♣rés❡♥t❛t✐♦♥ ❣r❛♣❤✐q✉❡ ❞❡ ❧✬❡♥✈❡❧♦♣♣❡ ❞❡ ▼❝❈♦r♠✐❝❦ ♣♦✉r ✉♥ t❡r♠❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡✳ ✻✻

①✈✐

✸✳✷ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ❞❡ ❧❛ s✉r❢❛❝❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡ B = {(x, y, z) ∈ [0, 5]3|xy + z > 4}✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✶

✸✳✸ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ❞❡ ❧❛ s✉r❢❛❝❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡ B ❡t ❞❡ s❛ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❞❡ ▼❝❈♦r♠✐❝❦ BM ✳ ✽✷

✸✳✹ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ❞❡ ❧❛ s✉r❢❛❝❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡ B ❡t ❞❡ s♦♥ ❡♥✈❡❧♦♣♣❡ ❝♦♥✈❡①❡ BT ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✸

✸✳✺ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ❞❡ ❧❛ s✉r❢❛❝❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡ B ❡t ❧❡s r❡❧❛①❛t✐♦♥s ❞❡ ❚❛✇❛r♠❛❧❛♥✐ ❡t ❛❧✳

BT ❡t ▼❝❈♦r♠✐❝❦ BM ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✹

✸✳✻ ❊①❡♠♣❧❡ t❡❧ q✉❡ ❧❛ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❞❡ ▼❝❈♦r♠✐❝❦ ❡st ✐♥❝❧✉s❡ ❞❛♥s ❧❛ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❞❡

❚❛✇❛r♠❛❧❛♥✐✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✺

✹✳✶ ❊♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s s♦❧✉t✐♦♥s ❞✉ ♠♦❞è❧❡ ❚❈✲✶▼❋✲❊▲ ❛♣♣❧✐q✉é ❛✉① ❞♦♥♥é❡s ❞❡ ✷✵✶✶✳ ✾✽

✹✳✷ ❊♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s s♦❧✉t✐♦♥s ❞✉ ♠♦❞è❧❡ ❚❈✲✶▼❋✲❊▲ ❛♣♣❧✐q✉é ❛✉① ❞♦♥♥é❡s ❞❡ ✷✵✶✻ ✾✾

✹✳✸ ❊♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s s♦❧✉t✐♦♥s ❞✉ ♠♦❞è❧❡ ❚❈✲✸❍❋✲❊▲ ❛♣♣❧✐q✉é ❛✉① ❞♦♥♥é❡s ❞❡ ✷✵✶✶✳✶✵✶

✹✳✹ ❊♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s s♦❧✉t✐♦♥s ❞✉ ♠♦❞è❧❡ ❚❈✲✸❍❋✲❊▲ ❛♣♣❧✐q✉é ❛✉① ❞♦♥♥é❡s ❞❡ ✷✵✶✻ ✶✵✸

✹✳✺ ❘é♣❛rt✐t✐♦♥ ❞❡s ❝♦ûts ❡♥ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞❡s ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥s✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✻

✺✳✶ ❋♦♥❝t✐♦♥♥❡♠❡♥t ❞✬✉♥❡ ♣♦r❝❤❡r✐❡ ❛♣♣❧✐q✉❛♥t ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❞❡ ♣ré❝✐s✐♦♥✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✸

✺✳✷ ◗✉❛♥t✐té ❞✬❛❧✐♠❡♥t ✐♥❣éré q✉♦t✐❞✐❡♥♥❡♠❡♥t ♣❛r ❧❡ ♣♦r❝ ♥◦✻ ✭❞♦♥♥é❡s ❜r✉t❡s✮✳ ✶✶✺

✺✳✸ P♦✐❞s ✈✐❢ ❤❡❜❞♦♠❛❞❛✐r❡ ❞✉ ♣♦r❝ ♥◦✻ ✭❞♦♥♥é❡s ❜r✉t❡s✮✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✺

✺✳✹ ◗✉❛♥t✐té ❞✬❛❧✐♠❡♥t ✐♥❣éré q✉♦t✐❞✐❡♥♥❡♠❡♥t ♣❛r ❧❡ ♣♦r❝ ♥◦✻ ✭❞♦♥♥é❡s ❧✐ssé❡s✮✳ ✶✶✺

✺✳✺ ◗✉❛♥t✐té ❞❡ ♣r♦té✐♥❡ ❞❛♥s ❧❡ ❝♦r♣s ❞✉ ♣♦r❝ ♥◦✻ ✭❞♦♥♥é❡s ❜r✉t❡s✮✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✺

✺✳✻ ✶❡r ❣r♦✉♣❡ ❞✬❛♥✐♠❛✉① ❞♦♥t ❧❛ ❝r♦✐ss❛♥❝❡ ❡st s❡♠❜❧❛❜❧❡✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✻

✺✳✼ ✷♥❞ ❣r♦✉♣❡ ❞✬❛♥✐♠❛✉① ❞♦♥t ❧❛ ❝r♦✐ss❛♥❝❡ ❡st s❡♠❜❧❛❜❧❡✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✻

✺✳✽ ✸❡ ❣r♦✉♣❡ ❞✬❛♥✐♠❛✉① ❞♦♥t ❧❛ ❝r♦✐ss❛♥❝❡ ❡st s❡♠❜❧❛❜❧❡✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✻

✺✳✾ ✹❡ ❡t ✺❡ ❣r♦✉♣❡ ❞✬❛♥✐♠❛✉①✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✻

①✈✐✐

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①✈✐✐✐

◆❖❚❆❚■❖◆

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• MN ❡st ❧✬❛♣♣♦rt ❡♥ ♥✉tr✐♠❡♥t ❞❡s ✐♥❣ré❞✐❡♥ts ✭♠❛tr✐❝❡ ❞❡ t❛✐❧❧❡ |I| × |N |✮ ✱ ❞♦♥t

❧✬é❧é♠❡♥t mni r❡♣rés❡♥t❡ ❧✬❛♣♣♦rt ❡♥ ♥✉tr✐♠❡♥t n ❞❡ ❧✬✐♥❣ré❞✐❡♥t i✱ ♣♦✉r t♦✉t n ∈ N

❡t ♣♦✉r t♦✉t i ∈ I✳ ▲❡ ✈❡❝t❡✉r ❧✐❣♥❡ r❡♣rés❡♥t❛♥t ❧✬❛♣♣♦rt ❡♥ ♥✉tr✐♠❡♥t n ❞❡ ❝❤❛q✉❡

✐♥❣ré❞✐❡♥t s❡r❛ ♥♦té mn·✱

• e ❡st ❧❡ ❜❡s♦✐♥ ❡♥ é♥❡r❣✐❡ ♣♦✉r t♦✉t❡ ❧❛ ♣ér✐♦❞❡ ❞❡ ❝r♦✐ss❛♥❝❡ ✭✈❡❝t❡✉r ❞❡ t❛✐❧❧❡ |J |✮✱❞♦♥t ❧✬é❧é♠❡♥t ej r❡♣rés❡♥t❡ ❧❡ ❜❡s♦✐♥ ❡♥ é♥❡r❣✐❡ ❛✉ ❥♦✉r j✱ ♣♦✉r t♦✉t j ∈ J ✱

①✐①

• B ❡st ❧✬❛♣♣♦rt ♠❛①✐♠✉♠ ❛✉t♦r✐sé ❡♥ ♥✉tr✐♠❡♥ts ♣♦✉r t♦✉t❡ ❧❛ ♣ér✐♦❞❡ ❞❡ ❝r♦✐ss❛♥❝❡

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❞✉ ♥✉tr✐♠❡♥t n ❛✉ ❥♦✉r j✱ ♣♦✉r t♦✉t n ∈ N ❡t ♣♦✉r t♦✉t j ∈ J ✱

• B ❡st ❧❡ ❜❡s♦✐♥ ❡♥ ♥✉tr✐♠❡♥ts ♣♦✉r t♦✉t❡ ❧❛ ♣ér✐♦❞❡ ❞❡ ❝r♦✐ss❛♥❝❡ ✭♠❛tr✐❝❡ ❞❡ t❛✐❧❧❡

|N |× |J |✮✱ ❞♦♥t ❧✬é❧é♠❡♥t bnj r❡♣rés❡♥t❡ ❧❡ ❜❡s♦✐♥ ❞✉ ♥✉tr✐♠❡♥t n ❛✉ ❥♦✉r j✱ ♣♦✉r t♦✉t

n ∈ N ❡t ♣♦✉r t♦✉t j ∈ J ✱

• Wmax ❡st ❧❛ ❝❛♣❛❝✐té ❞✬✐♥❣❡st✐♦♥ ✭✈❡❝t❡✉r ❞❡ t❛✐❧❧❡ |J |✮✱ ❞♦♥t ❧✬é❧é♠❡♥t wmaxj r❡♣rés❡♥t❡

❧❛ q✉❛♥t✐té ♠❛①✐♠❛❧❡ ❞✬❛❧✐♠❡♥ts q✉❡ ❧❡ ♣♦r❝ ♣❡✉t ✐♥❣ér❡r ❛✉ ❥♦✉r j✱ ♣♦✉r t♦✉t j ∈ J ✱

• xmax ❡st ❧❡ ✈❡❝t❡✉r ❞❡ r❡str✐❝t✐♦♥ ✭✈❡❝t❡✉r ❞❡ t❛✐❧❧❡ |I|✮✱ ❞♦♥t ❧✬é❧é♠❡♥t xmaxi r❡♣rés❡♥t❡

❧❛ ♣r♦♣♦rt✐♦♥ ♠❛①✐♠❛❧❡ ❞❡ ❧✬✐♥❣ré❞✐❡♥t i ❞❛♥s ❧❡s ♠é❧❛♥❣❡s✱

• c ❡st ❧❡ ✈❡❝t❡✉r ♣r✐① ✭✈❡❝t❡✉r ❞❡ t❛✐❧❧❡ |I|✮✱ ❞♦♥t ❧✬é❧é♠❡♥t ci r❡♣rés❡♥t❡ ❧❡ ♣r✐① ❞❡

❧✬✐♥❣ré❞✐❡♥t i✱ ♣♦✉r t♦✉t i ∈ I✱

• RP ❡st ❧❛ q✉❛♥t✐té ❞❡ ♣❤♦s♣❤♦r❡ r❡t❡♥✉❡ ♣❛r ❧✬❛♥✐♠❛❧ ✭✈❡❝t❡✉r ❞❡ t❛✐❧❧❡ |J |✮✱ ❞♦♥t

❧✬é❧é♠❡♥t RPj r❡♣rés❡♥t❡ ❧❛ q✉❛♥t✐té ❞❡ P r❡t❡♥✉❡ ❛✉ ❥♦✉r j✱

• RN ❡st ❧❛ q✉❛♥t✐té ❞✬❛③♦t❡ r❡t❡♥✉❡ ♣❛r ❧✬❛♥✐♠❛❧ ✭✈❡❝t❡✉r ❞❡ t❛✐❧❧❡ |J |✮✱ ❞♦♥t ❧✬é❧é♠❡♥t

RNj r❡♣rés❡♥t❡ ❧❛ q✉❛♥t✐té ❞❡ P r❡t❡♥✉❡ ❛✉ ❥♦✉r j✳

▲❡s ✈❛r✐❛❜❧❡s s♦♥t ✐♥tr♦❞✉✐t❡s ❞❡ ❧❛ ♠❛♥✐èr❡ s✉✐✈❛♥t❡ ✿

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• Q ❡st ❧❛ ♠❛tr✐❝❡ ❞❡s q✉❛♥t✐tés ❞✬❛❧✐♠❡♥ts✱ ❞❡ t❛✐❧❧❡ |J | × |A|✱ ❞♦♥t ❧✬é❧é♠❡♥t qja r❡♣ré✲

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❉❛♥s ✉♥ ♣r❡♠✐❡r t❡♠♣s✱ ♥♦✉s ❛❧❧♦♥s ✐♥tr♦❞✉✐r❡ ❧❛ ♥♦t✐♦♥ ❞❡ ♣❤❛s❡✳ ❯♥❡ ♣❤❛s❡ ❡st ✉♥ ✐♥t❡r✈❛❧❧❡

❞❡ t❡♠♣s ❞✉r❛♥t ❧❡q✉❡❧ ❧❡s ❛♥✐♠❛✉① s♦♥t ♥♦✉rr✐s ❛✈❡❝ ✉♥ ♠ê♠❡ ♠é❧❛♥❣❡✳

①①

◆♦✉s ❛❧❧♦♥s ♠❛✐♥t❡♥❛♥t ❞é✜♥✐r ✉♥❡ ♥♦t❛t✐♦♥ ♣♦✉r ❧❡s ❞✐✛ér❡♥ts ♠♦❞è❧❡s q✉❡ ♥♦✉s ❛❧❧♦♥s

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• XX r❡♣rés❡♥t❡ ❧❡ ♥♦♠❜r❡ ❞✬♦❜❥❡❝t✐❢s ❞✉ ♠♦❞è❧❡ ❡t ♣r❡♥❞r❛ ❧❛ ✈❛❧❡✉rMC s✐ ❧❡ ♠♦❞è❧❡

❝♦♥s✐❞éré ❡st ♠♦♥♦❝r✐tèr❡✱ ❝✬❡st✲à✲❞✐r❡ q✉✬✐❧ ♥❡ ♠✐♥✐♠✐s❡ q✉❡ ❧❡ ❝♦ût ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥✱

♦✉ TC s✬✐❧ ❡st tr✐❝r✐tèr❡✱ ❝✬❡st✲à✲❞✐r❡ ♠✐♥✐♠✐s❛♥t ❧❡ ❝♦ût ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❡t ❧❡s r❡❥❡ts

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• Y Y Y r❡♣rés❡♥t❡ ❧❛ ♠ét❤♦❞❡ ❞✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❡t ♣❡✉t ♣r❡♥❞r❡ ❧❡s ✈❛❧❡✉rs s✉✐✈❛♥t❡s ✿

✖ pP❋ ♣♦✉r ✉♥❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ à p ♣❤❛s❡s ✭p P❤❛s❡s ❋❡❡❞✐♥❣ s②st❡♠✮✱

✖ ✶▼❋ ♣♦✉r ✉♥❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ♣❛r ♠é❧❛♥❣❡ ✭✶ ♣❤❛s❡ ▼✐①❡❞ ❋❡❡❞✐♥❣ s②st❡♠✮✱

✖ p▼❋ ♣♦✉r ✉♥❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❛✈❡❝ ♣ré♠é❧❛♥❣❡s à p ♣❤❛s❡s ✭p ♣❤❛s❡s ▼✐①❡❞ ❋❡❡❞✐♥❣

s②st❡♠✮✱

✖ p❍❋ ♣♦✉r ✉♥❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❤②❜r✐❞❡ à p ♣❤❛s❡s ✭❍②❜r✐❞ ❋❡❡❞✐♥❣ s②st❡♠ ✇✐t❤ p

♣❤❛s❡s✮✱

✖ ■❋ ♣♦✉r ✉♥❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ✐❞é❛❧❡ ✭■❞❡❛❧ ❋❡❡❞✐♥❣✮ ❀

• ZZ r❡♣rés❡♥t❡ ❧❛ ♠ét❤♦❞❡ ❞❡ ♠♦❞é❧✐s❛t✐♦♥ ❞❡ ❧✬é♥❡r❣✐❡ ❡t ♣r❡♥❞r❛ ❧❛ ✈❛❧❡✉r EF s✐ ❧❛

❞❡♥s✐té é♥❡r❣ét✐q✉❡ ❡st ✜①❡ ❡t EL s✐ ❧❛ ❞❡♥s✐té é♥❡r❣ét✐q✉❡ ❡st ❧✐❜r❡✳

①①✐

■◆❉❊❳ ❉❊❙ ▼❖❉➮▲❊❙

▲❡ ♠♦❞è❧❡ tr❛❞✐t✐♦♥♥❡❧

minX

∑

j∈J

ct(qj1x·1 + qj2x·2 + qj3x·3)

s✳à qj1x·1 ∈ Sj, j ∈ J1,qj2x·2 ∈ Sj, j ∈ J2,qj3x·3 ∈ Sj, j ∈ J3,

✭▼❈✲✸P❋✲❊❋✮

❛✈❡❝

Sj =

ya = qjax·a

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

bnj 6 mn·ya 6 bnj, ∀n ∈ N,mEya = ej,∑

a∈A

qja 6 Wmaxj ,

qja > 0, ∀a ∈ A,0 6 xia 6 xmax

i , ∀a ∈ A, ∀i ∈ I,∑

i∈I

xia = 1, ∀a ∈ A.

.

①①✐✐

▲❡ ♠♦❞è❧❡ ✐❞é❛❧

{

minX

∑

a∈A

∑

j∈J

qja (ctx·j)

s✳à qjax·a ∈ Sj, ∀j ∈ J,✭▼❈✲■❋✲❊▲✮

❛✈❡❝

Sj =

ya = qjax·a

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

bnj 6 mn·ya 6 bnj, ∀n ∈ N,mEya = ej,∑

a∈A

qja 6 Wmaxj ,

qja > 0, ∀a ∈ A,0 6 xia 6 xmax

i , ∀a ∈ A, ∀i ∈ I,∑

i∈I

xia = 1, ∀a ∈ A.

.

▲❡ ♠♦❞è❧❡ ♣❛r ♠é❧❛♥❣❡s

{

minX,Q

∑

j∈J

ct (qj1x·1 + qj2x·2)

s✳à (qj1x·1 + qj2x·2) ∈ Sj, ∀j ∈ J,✭▼❈✲✶▼❋✲❊▲✮

❛✈❡❝

Sj =

y = qj1x·1 + qj2x·2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

bnj 6 mn·y 6 bnj, ∀n ∈ N,mEy = ej,qj1 + qj2 6 Wmax

j ,qja > 0, ∀a ∈ {1, 2},0 6 xia 6 xmax

i , ∀a ∈ {1, 2}, ∀i ∈ I,∑

i∈I

xia = 1, ∀a ∈ {1, 2}.

.

①①✐✐✐

▲❡ ♠♦❞è❧❡ ❤②❜r✐❞❡

minX,Q

∑

j∈J

∑

a∈{1,...,p}

qjactx·a

s✳à∑

a∈{1,...,p}

qjax·a ∈ Sj, ∀j ∈ J,

qj1 = 0, ∀j 6∈ J1,qjk = 0, ∀j 6∈ Jk−1 ∪ Jk, ∀k ∈ {2, ..., p},qj,p+1 = 0, ∀j 6∈ Jp,

✭MC✲p❍❋✲❊▲✮

❛✈❡❝

Sj =

y =∑

a∈{1,...,p}

qjactx·a

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

bnj 6 mn·y 6 bnj, ∀n ∈ N,mEy = ej,∑

a∈{1,...,p}

qja 6 Wmaxj ,

qja > 0, ∀a ∈ {1, ..., p},0 6 xia 6 xmax

i , ∀a ∈ {1, ..., p}, ∀i ∈ I,∑

i∈I

xia = 1, ∀a ∈ {1, ..., p}.

.

①①✐✈

■◆❚❘❖❉❯❈❚■❖◆

❈❤❛q✉❡ ❛♥♥é❡✱ ❝❡ s♦♥t ♣❧✉s ❞❡ ✶✵✾ ♠✐❧❧✐♦♥s ❞❡ t♦♥♥❡s ❞❡ ✈✐❛♥❞❡ ❞❡ ♣♦r❝ q✉✐ s♦♥t ❝♦♥s♦♠♠é❡s

❞❛♥s ❧❡ ♠♦♥❞❡✳

❊♥ ❋r❛♥❝❡ ❝♦♠♠❡ ❛✉ ❈❛♥❛❞❛✱ ❧✬✐♥❞✉str✐❡ ♣♦r❝✐♥❡ ❡st ✉♥❡ ❛❝t✐✈✐té é❝♦♥♦♠✐q✉❡ ✐♠♣♦rt❛♥t❡

♣✉✐sq✉❡ ❝❡s ❞❡✉① ♣❛②s s♦♥t ♣❛r♠✐ ❧❡s ✶✵ ♣❧✉s ❣r♦s ♣r♦❞✉❝t❡✉rs ❞❡ ♣♦r❝s✳ ❈❡tt❡ ❛❝t✐✈✐té

r❡♣rés❡♥t❡ ✉♥❡ ♣❛rt ✐♠♣♦rt❛♥t❡ ❞❡ ❧❛ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ❛❣r✐❝♦❧❡ ❞❡ ❝❤❛q✉❡ ♣❛②s ❛✈❡❝ ✺✪ ❡t ✶✵✪

r❡s♣❡❝t✐✈❡♠❡♥t✳

❋✐❣✉r❡ ✶ ✕ ❘é♣❛rt✐t✐♦♥ ❞❡ ❧❛ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ♣♦r❝✐♥❡ ❞❛♥s ❧❡ ♠♦♥❞❡✳

❊♥ ❋r❛♥❝❡✱ ♦♥ é❧è✈❡ ❡t ❛❜❛t ✷✹ ♠✐❧❧✐♦♥s ❞❡ ♣♦r❝s ❛♥♥✉❡❧❧❡♠❡♥t✱ ❝❡ q✉✐ ❡♥ ❢❛✐t ❧❡ tr♦✐s✐è♠❡

♣r♦❞✉❝t❡✉r ❡✉r♦♣é❡♥✱ ❞❡rr✐èr❡ ❧✬❆❧❧❡♠❛❣♥❡ ❡t ❧✬❊s♣❛❣♥❡✱ ❡t ❧❡ ❤✉✐t✐è♠❡ ♣r♦❞✉❝t❡✉r ♠♦♥❞✐❛❧✳

▲❛ ❇r❡t❛❣♥❡ ❡st ❧❛ ré❣✐♦♥ ♣r♦❞✉✐s❛♥t ❧❡ ♣❧✉s ❞❡ ♣♦r❝s ❡♥ ❋r❛♥❝❡ ❛✈❡❝ ♣rès ❞❡ ✻✵✪ ❞✉ ❝❤❡♣t❡❧

❢r❛♥ç❛✐s✳

❊♥ ❝♦♠♣❛r❛✐s♦♥✱ ❧❡ ❈❛♥❛❞❛ ♣r♦❞✉✐t ❡♥✈✐r♦♥ ✷✶ ♠✐❧❧✐♦♥s ❞❡ ♣♦r❝s ❛♥♥✉❡❧❧❡♠❡♥t ❡t ❡st ❧❡

✶

tr♦✐s✐è♠❡ ♣r♦❞✉❝t❡✉r ❛♠ér✐❝❛✐♥✱ ❞❡rr✐èr❡ ❧❡s ➱t❛ts✲❯♥✐s ❡t ❧❡ ❇rés✐❧✳ ❈✬❡st é❣❛❧❡♠❡♥t ❧❡ ♥❡✉✲

✈✐è♠❡ ♣r♦❞✉❝t❡✉r ♠♦♥❞✐❛❧✳ Près ❞❡ ✽ ♠✐❧❧✐♦♥s ❞❡ ♣♦r❝s s♦♥t é❧❡✈és ❡t ❛❜❛tt✉s ❛✉ ◗✉é❜❡❝✱

s♦✐t ❡♥✈✐r♦♥ ✸✽✪ ❞❡ ❧❛ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ❝❛♥❛❞✐❡♥♥❡✱ ❝❡ q✉✐ ❡♥ ❢❛✐t é❣❛❧❡♠❡♥t ❧❛ ♣r♦✈✐♥❝❡ ❧❛ ♣❧✉s

♣r♦❞✉❝tr✐❝❡✳

❈❡s ❞❡✉① ♣❛②s ❡t ré❣✐♦♥s s♦♥t ❞❡s ♣r♦❞✉❝t❡✉rs ♣♦r❝✐♥s ❝♦♠♣❛r❛❜❧❡s✳ ❈✬❡st ❡♥ ♣❛rt✐❡ ❝❡ q✉✐

♥♦✉s ❛ ❡♥❝♦✉r❛❣és à ré❛❧✐s❡r ❝❡tt❡ t❤ès❡ ❡♥ ❝♦t✉t❡❧❧❡ ❡♥tr❡ ❧✬❯♥✐✈❡rs✐té ❞❡ ❙❤❡r❜r♦♦❦❡✱ ❛✉

❈❛♥❛❞❛✱ ❡t ❧✬■◆❙❆ ❞❡ ❘❡♥♥❡s✱ ❡♥ ❋r❛♥❝❡✳

❚♦✉t❡❢♦✐s✱ ❧❛ ♣r✐♥❝✐♣❛❧❡ ♠♦t✐✈❛t✐♦♥ ❞❡ ❝❡tt❡ t❤ès❡ ❡st ❛✈❛♥t t♦✉t é❝♦♥♦♠✐q✉❡ ❡t ❡♥✈✐r♦♥♥❡✲

♠❡♥t❛❧❡✳ ❊♥ ❡✛❡t✱ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ r❡♣rés❡♥t❡ ✼✵✪ ❞✉ ❝♦ût t♦t❛❧ ❞❡ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ❞❛♥s ✉♥ é❧❡✈❛❣❡

❞❡ ♣♦r❝ à ❧✬❡♥❣r❛✐ss❡♠❡♥t ❡t✱ ❞❛♥s ❧❡ ❝♦♥t❡①t❡ é❝♦♥♦♠✐q✉❡ ❛❝t✉❡❧✱ ✐❧ ❡st ❡ss❡♥t✐❡❧ ❞❡ ♣❛r✈❡✲

♥✐r à ré❞✉✐r❡ ❛✉t❛♥t q✉❡ ♣♦ss✐❜❧❡ ❝❡ ❝♦ût ❞❡ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥✳ ❉✬❛✉tr❡ ♣❛rt✱ ❧✬✐♥❞✉str✐❡ ♣♦r❝✐♥❡

❡st ❢réq✉❡♠♠❡♥t ❝✐té❡ ❝♦♠♠❡ ét❛♥t ✉♥ ❛❣❡♥t ♣♦❧❧✉❛♥t✱ ♥♦t❛♠♠❡♥t ♣❛r ❧✬❛♣♣♦rt ♠❛ss✐❢ ❞❡

♣❤♦s♣❤❛t❡ ❡t ♥✐tr❛t❡ ❧♦rs ❞❡ ❧✬é♣❛♥❞❛❣❡ ❞❡ ❧✐s✐❡r✳ ■❧ ❡st ❞♦♥❝ é❣❛❧❡♠❡♥t ✐♠♣♦rt❛♥t ❞❡ ré✲

❞✉✐r❡ ❝❡tt❡ ❝❛✉s❡ ❞❡ ♣♦❧❧✉t✐♦♥✳ ❯♥❡ ♠❛♥✐èr❡ ❞❡ ♣❛r✈❡♥✐r à ❝❡s rés✉❧t❛ts ❡st ❞✬❛❣✐r s✉r ❧❡s

♠ét❤♦❞❡s ❞✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥✳ ◆♦✉s ❛❧❧♦♥s ♠♦❞é❧✐s❡r ♠❛t❤é♠❛t✐q✉❡♠❡♥t ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❞❡s ♣♦r❝s

❡♥ ❝r♦✐ss❛♥❝❡✲✜♥✐t✐♦♥ ❡t ♥♦✉s ❛❧❧♦♥s ❝❤❡r❝❤❡r à ❡♥ ♠✐♥✐♠✐s❡r ❧❡ ❝♦ût t♦✉t ❡♥ ✐♥té❣r❛♥t ❞❡s

❝♦♥tr❛✐♥t❡s s✉r ❧❡s r❡❥❡ts ❞❡ ♣❤♦s♣❤♦r❡ ❡t ❞✬❛③♦t❡✳

▲❛ ♠♦❞é❧✐s❛t✐♦♥ ❞❡ ❞✐èt❡ ❢✉t ✐♥tr♦❞✉✐t❡ ❡♥ ✶✾✹✺ ♣❛r ❧✬é❝♦♥♦♠✐st❡ ❛♠ér✐❝❛✐♥ ●❡♦r❣❡ ❙t✐❣❧❡r

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✼✼ ✐♥❣ré❞✐❡♥ts ❞♦✐t êtr❡ ♠❛♥❣é❡ s✉r ✉♥❡ ❜❛s❡ q✉♦t✐❞✐❡♥♥❡ ❛✜♥ q✉❡ ❧✬❛♣♣♦rt ❞❡s ♥❡✉❢

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• N ✿ ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s ♥✉tr✐♠❡♥ts ❀

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• c ✿ ❧❡ ✈❡❝t❡✉r ♣r✐① ❞❡s ✐♥❣ré❞✐❡♥ts ❀

• b ✿ ❧❡ ✈❡❝t❡✉r ❞❡s ❜❡s♦✐♥s ❡♥ ♥✉tr✐♠❡♥ts✳

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♣❛ss❡ ❞✬✉♥ s♦♠♠❡t à ✉♥ ❞❡ s❡s s♦♠♠❡ts ❛❞❥❛❝❡♥ts✱ r❡❧✐és ❡♥tr❡ ❡✉① ♣❛r ❞❡s ❛rêt❡s✱ ❞❡ ♠❛♥✐èr❡ à

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❉❛♥s ❬✷✾❪✱ ❉❛♥t③✐❣ r❛❝♦♥t❡ ❧✬❤✐st♦✐r❡ ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ❞✐èt❡✳ ❊♥ ✶✾✹✼✱ ✐❧ ❡♥tr❡♣r✐t ❞❡ t❡st❡r s♦♥

❛❧❣♦r✐t❤♠❡ s✉r ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ❙t✐❣❧❡r✳ ❈❡ ❢✉t ❛❧♦rs ❧❡ ♣r❡♠✐❡r ❝❛❧❝✉❧ ✧❞❡ ❣r❛♥❞❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥✧✳

❘és♦✉❞r❡ ❝❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ✾ éq✉❛t✐♦♥s ❡t ✼✼ ✈❛r✐❛❜❧❡s ♣r✐t ❡♥✈✐r♦♥ ✶✷✵ ❥♦✉rs✳ ■❧s ❞é❝♦✉✈r✐r❡♥t

❛❧♦rs q✉❡ ❧❛ ✈r❛✐❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ ❝❡ ♠♦❞è❧❡ ❛ ❡♥ ré❛❧✐té ✉♥ ❝♦ût ❞❡ ✸✾✳✻✾ ✩❯❙✱ s♦✐t ✵✳✷✹ ✩❯❙ ❞❡

♠♦✐♥s q✉❡ ❝❡ q✉✬❛✈❛✐t ❞ét❡r♠✐♥é ❙t✐❣❧❡r✱ ❝❡ q✉✐ ♥✬❡st ♣❛s tr♦♣ ♠❛✉✈❛✐s ♣♦✉r ❞❡s ❤❡✉r✐st✐q✉❡s✳

◗✉❡❧q✉❡s ❛♥♥é❡s ♣❧✉s t❛r❞✱ ❞é❜✉t ✶✾✾✵✱ ▲❛♥❝❛st❡r ❬✻✷✱ ✻✶❪ ❛ ét✉❞✐é ❧❡s ❞✐✛ér❡♥t❡s é✈♦❧✉t✐♦♥s

❞✉ ♠♦❞è❧❡ ❝❧❛ss✐q✉❡ ❞❡ ❞✐èt❡ ❛✈❡❝ ❞✐✛ér❡♥t❡s ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥s ❝♦♠♠❡ ❧❛ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ♥♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡

♦✉ ❡♥❝♦r❡ st♦❝❤❛st✐q✉❡✳ ❈❡♣❡♥❞❛♥t✱ ❝✬❡st ❧❛ ♣r♦❣r❛♠♠❛t✐♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡ q✉✐ ❡st ❧❛ ♣❧✉s ré♣❛♥❞✉❡

❞❛♥s ❧❛ ♠♦❞é❧✐s❛t✐♦♥ ❞❡ ❞✐èt❡✳

❊♥ ✷✵✵✶✱ ●❛r✐❧❧❡ ❡t ●❛ss ❬✹✺❪ ♦♥t r❡✈✐s✐té ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ❞✐èt❡ ❞❡ ❙t✐❣❧❡r✳ ❯♥❡ ✐❧❧✉str❛t✐♦♥ ❞❡

❧✬✐♥✢❛t✐♦♥ ❞❡s ♣r✐① ❛ été ❢♦✉r♥✐❡✳ ❊♥ ✉t✐❧✐s❛♥t ❧❛ ❞✐èt❡ ❞ét❡r♠✐♥é❡ ♣❛r ❙t✐❣❧❡r✱ ♠❛✐s ❛✈❡❝ ❧❡ ♣r✐①

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▲❛ s✉✐t❡ ❞❡ ❝❡ ❝❤❛♣✐tr❡ s❡r❛ ❝♦♥s❛❝ré❡ à ❧✬ét✉❞❡ ❞❡s ❞✐✛ér❡♥ts ♠♦❞è❧❡s ❞❡ ❞✐èt❡ ❞é✈❡❧♦♣♣és

♣♦✉r ❧✬✐♥❞✉str✐❡ ♣♦r❝✐♥❡✳ ▲❡s ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥s ♣rés❡♥té❡s ✐❝✐ s❡r♦♥t t♦✉t❡s ❛♣♣❧✐q✉é❡s ❛✉① ♠ê♠❡s

❞♦♥♥é❡s✳

◆♦✉s ❝♦♥s✐❞ér❡r♦♥s ✉♥ ❛♥✐♠❛❧ ♠♦②❡♥✱ r❡♣rés❡♥t❛t✐❢ ❞✬✉♥ tr♦✉♣❡❛✉✳ ■❧ s❡r❛ é❧❡✈é ❞❡ ✷✵ ❦❣ à

✶✸✵ ❦❣ ❞❡ ♣♦✐❞s ✈✐❢ ✭✜❣✉r❡ ✶✳✶✮ ❛✈❡❝ ✉♥ ❣❛✐♥ ♠♦②❡♥ q✉♦t✐❞✐❡♥ ❞❡ ✶ ❦❣✴❥♦✉r✳ ■❧ ❝♦♥s♦♠♠❡

✻✽✹ ✺✷✼ ❦❝❛❧ ❞✬é♥❡r❣✐❡ ♥❡tt❡ ♣♦✉r t♦✉t❡ ❧❛ ♣ér✐♦❞❡ ❞❡ ❝r♦✐ss❛♥❝❡✱ s♦✐t ✉♥❡ ❝♦♥s♦♠♠❛t✐♦♥

♠♦②❡♥♥❡ q✉♦t✐❞✐❡♥♥❡ ❞❡ ✻✶✻✼ ❦❝❛❧✴❥♦✉r ✭✜❣✉r❡ ✶✳✷✮✳

▲❡s ❜❡s♦✐♥s ❡♥ ❛❝✐❞❡s ❛♠✐♥és ❞❡ ❧✬❛♥✐♠❛❧ ♠♦②❡♥ ❝♦♥s✐❞éré s♦♥t r❡♣rés❡♥tés ❛✉① ✜❣✉r❡s ✶✳✸ ❡t

✶✳✹✳

❊♥✜♥✱ ♥♦✉s ❝♦♥s✐❞ér♦♥s ❞❛♥s ❝❡s ét✉❞❡s q✉❡ ❧❡ ♣♦r❝ ❝♦♥s♦♠♠❡ ❥✉sq✉✬à s❛t✐s❢❛✐r❡ s♦♥ ❜❡s♦✐♥

❡♥ é♥❡r❣✐❡ ❬✸✹❪✳ ◆♦✉s ❝♦♥s✐❞ér♦♥s é❣❛❧❡♠❡♥t q✉❡ ❧❡s ❛♥✐♠❛✉① ♦♥t ✉♥❡ ❝❛♣❛❝✐té ❞✬✐♥❣❡st✐♦♥

♠❛①✐♠❛❧❡ ❞ét❡r♠✐♥é❡ ❡♥ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞❡ ❧❡✉r ♣♦✐❞s ✈✐❢ ❬✷✶❪✳ ❈❡tt❡ ❝❛♣❛❝✐té ❡st r❡♣rés❡♥té❡ à ❧❛

✜❣✉r❡ ✶✳✺✳

❉❛♥s ❧❡s ❝❤❛♣✐tr❡s s✉✐✈❛♥ts✱ ♥♦✉s ❛♣♣❧✐q✉❡r♦♥s ❞✐✛ér❡♥ts ♠♦❞è❧❡s s✉r ❞❡✉① ❥❡✉① ❞❡ ♣r✐① ❞❡s

✐♥❣ré❞✐❡♥ts✱ ❧✬✉♥ ❛✈❡❝ ❧❡s ♣r✐① ❞❡ ✷✵✶✶ ❡t ❧✬❛✉tr❡ ♣❧✉s ré❝❡♥t✱ ❛✈❡❝ ❧❡s ♣r✐① ❞❡ ✷✵✶✻✳ ▲❛ ❧✐st❡ ❞❡s

✐♥❣ré❞✐❡♥ts ❛✐♥s✐ q✉❡ ❧❡s ♣r✐① ❡♥r❡❣✐strés ❛✉ ❞é❜✉t ❞❡ ❝❤❛q✉❡ ♠♦✐s ❞❡ ♥♦✈❡♠❜r❡ ✷✵✶✵ à ♦❝t♦❜r❡

✾

❋✐❣✉r❡ ✶✳✶ ✕ ➱✈♦❧✉t✐♦♥ ❞✉ ♣♦✐❞s ❞❡ ❧✬❛♥✐♠❛❧♠♦②❡♥ ❝♦♥s✐❞éré✳

❋✐❣✉r❡ ✶✳✷ ✕ ➱✈♦❧✉t✐♦♥ ❞✉ ❜❡s♦✐♥ q✉♦t✐❞✐❡♥❡♥ é♥❡r❣✐❡ ♥❡tt❡✳

✷✵✶✶ ♥♦✉s ♦♥t été ❢♦✉r♥✐s ♣❛r ❆❧✐♠❡♥t ❇r❡t♦♥ ✐♥❝✳ ✭❙❛✐♥t ❇❡r♥❛r❞✱ ◗❝✱ ❈❛♥❛❞❛✮✱ t❛♥❞✐s q✉❡

❝❡✉① ❞❡ ✷✵✶✻ ♥♦✉s ♦♥t été ❢♦✉r♥✐s ♣❛r ❆✈✐♠✐① ◆✉tr✐t✐♦♥ ✐♥❝✳ ✭▲é✈✐s✱ ◗❈✱ ❈❛♥❛❞❛✮✳ ▲❛ ❧✐st❡

❞❡s ✐♥❣ré❞✐❡♥ts✱ ❧❡✉r ♣r✐① ♠♦②❡♥ ❞❛♥s ❝❤❛❝✉♥ ❞❡s ❞❡✉① s❝é♥❛r✐♦s✱ ❛✐♥s✐ q✉❡ ❧❛ ♣r♦♣♦rt✐♦♥

♠❛①✐♠❛❧❡ à ✐♥té❣r❡r ❞❛♥s ❧❡s ♣ré♠é❧❛♥❣❡s s♦♥t ❞✐s♣♦♥✐❜❧❡s ❞❛♥s ❧❡ t❛❜❧❡❛✉ ✶✳✶✳ ❉❛♥s t♦✉t❡s

❧❡s s✐♠✉❧❛t✐♦♥s✱ ✉♥ ♣ré♠✐① ❝♦♥t❡♥❛♥t ❞❡s ✈✐t❛♠✐♥❡s ❡t ❞❡s tr❛❝❡s ❞❡ ♠✐♥ér❛✉① ❛ été ✐♠♣♦sé

à ✉♥ t❛✉① ✜①❡ ❞❡ ✺ ❦❣✴t✳

▲❛ ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♥✉tr✐t✐♦♥♥❡❧❧❡ ❞❡s ✐♥❣ré❞✐❡♥ts ❛ été ❞é✜♥✐❡ à ❧✬❛✐❞❡ ❞❡s t❛❜❧❡s ◆❘❈ ✭✷✵✶✷✮✳

✶✳✷ ▼♦❞é❧✐s❛t✐♦♥

❉❛♥s ❝❡tt❡ s❡❝t✐♦♥✱ ♥♦✉s ♣r♦♣♦s♦♥s ✉♥❡ ♠♦❞é❧✐s❛t✐♦♥ ♠❛t❤é♠❛t✐q✉❡ ❞✉ ❝♦ût ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛✲

t✐♦♥✱ ❞❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❞❡ ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❞❡s ❛❧✐♠❡♥ts ❡t ❞❡s ❜❡s♦✐♥s ❞❡s ❛♥✐♠❛✉①✳ ◆♦✉s ✉t✐❧✐s❡r♦♥s

♣❛r ❧❛ s✉✐t❡ ❝❡s ♠♦❞é❧✐s❛t✐♦♥s ♣♦✉r ❞❛♥s ❧❡s ❞✐✛ér❡♥t❡s ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥s ❞✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥✳

❚♦✉t ❛✉ ❧♦♥❣ ❞❡ ❝❡tt❡ t❤ès❡✱ ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s ✐♥❣ré❞✐❡♥ts ❞✐s♣♦♥✐❜❧❡ ♣♦✉r ❧❛ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ❡st

❞♦♥♥é ♣❛r ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ I✱ J s❡r❛ ❧❛ ♣ér✐♦❞❡ ❞❡ ❝r♦✐ss❛♥❝❡ ❞❡s ❛♥✐♠❛✉①✱ N ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s ♥✉✲

tr✐♠❡♥ts ❡ss❡♥t✐❡❧s✱ ❡t A ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s ❛❧✐♠❡♥ts✱ ♦✉ ♠é❧❛♥❣❡s✱ ✉t✐❧✐sés ❧♦rs ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥✳

❚♦✉t❡s ❧❡s ♥♦t❛t✐♦♥s ✉t✐❧✐sé❡s s♦♥t r❛♣♣❡❧é❡s ❡t r❡❣r♦✉♣é❡s ❞❛♥s ❧❛ s❡❝t✐♦♥ ♥♦t❛t✐♦♥ ♣❛❣❡ ①✐①✳

✶✵

❋✐❣✉r❡ ✶✳✸ ✕ ➱✈♦❧✉t✐♦♥ ❞✉ ❜❡s♦✐♥ q✉♦t✐❞✐❡♥ ❡♥ ❞✐✛ér❡♥ts ❛❝✐❞❡s ❛♠✐♥és✳

✶✳✷✳✶ ▼♦❞é❧✐s❛t✐♦♥ ❞✉ ❝♦ût ❞✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥

❉❡ ♠❛♥✐èr❡ ❣é♥ér✐q✉❡✱ ♠✐♥✐♠✐s❡r ❧❡ ❝♦ût ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ s❡ tr❛❞✉✐t ♣❛r ❧❛ ♠✐♥✐♠✐s❛t✐♦♥ ❞❡

❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ♦❜❥❡❝t✐❢ s✉✐✈❛♥t❡ ✿∑

a∈A

∑

j∈J

qja(

ctx·a)

. ✭✶✳✶✮

♦ù qja ❡st ❧❛ q✉❛♥t✐té ❞✬❛❧✐♠❡♥t a ✐♥❣éré❡ ❧❡ ❥♦✉r j✱ c ❡st ❧❡ ✈❡❝t❡✉r ❝♦ût ❞❡s ✐♥❣ré❞✐❡♥ts ❡t

x·a ❡st ❧❡ ✈❡❝t❡✉r r❡♣rés❡♥t❛♥t ❧❛ ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t a✳

▲❛ ♠♦❞é❧✐s❛t✐♦♥ ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❝❤❡③ ❧❡ ♣♦r❝ r❡❣r♦✉♣❡ q✉❛tr❡ t②♣❡s ❞❡ ❝♦♥tr❛✐♥t❡s q✉✐ s♦♥t

❧✐é❡s r❡s♣❡❝t✐✈❡♠❡♥t à ✿

✶✶

❋✐❣✉r❡ ✶✳✹ ✕ ➱✈♦❧✉t✐♦♥ ❞✉ ❜❡s♦✐♥ q✉♦t✐❞✐❡♥❡♥ ❛❝✐❞❡s ❛♠✐♥és ♥♦♥ ❡ss❡♥t✐❡❧s✳

❋✐❣✉r❡ ✶✳✺ ✕ ➱✈♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ ❧❛ ❝♦♥s♦♠♠❛t✐♦♥♠❛①✐♠❛❧❡ ❛✉t♦r✐sé❡ ♣♦✉r ❧✬❛♥✐♠❛❧ ♠♦②❡♥❝♦♥s✐❞éré✳

• ❧❛ ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❞❡s ♠é❧❛♥❣❡s✱

• ❧✬❛♣♣♦rt ❡♥ ♥✉tr✐♠❡♥ts✱

• ❧✬❛♣♣♦rt ❡♥ é♥❡r❣✐❡✱

• ❧❛ ❝❛♣❛❝✐té ❞✬✐♥❣❡st✐♦♥ ❞❡s ❛♥✐♠❛✉①✳

✶✳✷✳✷ ❈♦♥tr❛✐♥t❡s ❞❡ ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

▲❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❧✐é❡s à ❧❛ ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❞✉ ♠é❧❛♥❣❡ s♦♥t ✉♥✐q✉❡♠❡♥t ♣rés❡♥t❡s ♣♦✉r ✉♥❡ q✉❡s✲

t✐♦♥ ❞❡ ❢❛❜r✐❝❛t✐♦♥ ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t✳ ❊♥ ❡✛❡t✱ ♣♦✉r q✉❡ ❧❡s ❣r❛♥✉❧és ❛✐❡♥t ❞❡ ❧❛ t❡♥✉❡✱ ✐❧s ❞♦✐✈❡♥t

s❛t✐s❢❛✐r❡ ❝❡rt❛✐♥❡s ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✳ P❛r ❡①❡♠♣❧❡✱ ❧❡ ♠é❧❛♥❣❡ ♥❡ ❞♦✐t ♣❛s ❝♦♥t❡♥✐r ♣❧✉s ❞❡ ✻✵✪

❞❡ ♠❛ïs ♦✉ ✷✺✪ ❞❡ ❣r✉ ❞❡ ❜❧é✳ ❊❧❧❡s ❛♣♣❛r❛✐ss❡♥t ❡♥ t❛♥t q✉❡ ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❞❡ ❜♦r♥❡s s✉r ❧❡s

✈❛r✐❛❜❧❡s X = (xia)i∈I,a∈A ❝♦rr❡s♣♦♥❞❛♥t ❛✉① ♠é❧❛♥❣❡s ✉t✐❧✐sés ❡t s♦♥t ❞❡ ❧❛ ❢♦r♠❡

0 6 xia 6 xmaxi , ∀a ∈ A, ∀i ∈ I. ✭✶✳✷✮

❉❡ ♣❧✉s✱ ❧❡s ♠é❧❛♥❣❡s ét❛♥t ❢♦r♠✉❧és ❡♥ ♣r♦♣♦rt✐♦♥✱ ❧❛ s♦♠♠❡ ❞❡ t♦✉s ❧❡s ✐♥❣ré❞✐❡♥ts ❞♦✐t

✶✷

■♥❣ré❞✐❡♥t Pr✐① ♠♦②❡♥ ✷✵✶✶ ✭✩✴t✮ Pr✐① ♠♦②❡♥ ✷✵✶✻ ✭✩✴t✮ xmax

❇❧é ❞✉r ✸✷✶ ✷✷✺ ✵✳✹❇❧é t❡♥❞r❡ ◆✴❆ ✷✷✺ ✵✳✹❈❛r❜♦♥❛t❡ ❞❡ ❝❛❧❝✐✉♠ ✽✵ ✽✸ ✶❈❤❧♦r✉r❡ ❞❡ s♦❞✐✉♠ ✶✾✽ ✶✽✵ ✶❉▲✲♠❡t ✺✼✺✵ ✹✽✵✵ ✶❉rè❝❤❡s ◆✴❆ ✷✻✺ ✵✳✶✺❋❛r✐♥❡ ❞❡ ✈✐❛♥❞❡ ✺✸✷ ✺✵✺ ✵✳✵✸●r❛s ❛♥✐♠❛❧ ✶✷✸✻ ✼✸✵ ✵✳✵✺●r✉ ❞❡ ❜❧é ✷✹✷ ✶✽✸ ✵✳✷✺▲✲❧②s✐♥❡ ❍❈❧ ✷✽✵✽ ✶✼✺✵ ✶▲✲t❤r❡♦ ✸✼✺✵ ✷✹✵✵ ✶▲✲tr②♣t♦ ✺✼✵✵✵ ✶✵✵✵✵ ✶▼❛✐s ✸✷✵ ✷✷✸ ✵✳✻❖r❣❡ ✷✽✽ ✶✽✵ ✵✳✻P❤♦s♣❤❛t❡ ❜✐❝❛❧❝✐q✉❡ ✾✵✻ ✼✻✶ ✶Pré♠✐① ✺✷✻✾ ✹✹✵✵ ✵✳✵✵✺❚♦✉rt❡❛✉ ❞❡ ❝♦❧③❛ ✸✶✼ ✸✼✷ ✵✳✵✺❚♦✉rt❡❛✉ ❞❡ s♦❥❛ ✹✺✺ ✺✺✽ ✶

❚❛❜❧❡❛✉ ✶✳✶ ✕ ▲✐st❡✱ ♣r✐① ❡t ✐♥❝♦r♣♦r❛t✐♦♥ ♠❛①✐♠❛❧❡ ❞❛♥s ❧❡s ♠é❧❛♥❣❡s ❞❡s ✐♥❣ré❞✐❡♥ts ✉t✐❧✐sés❧♦rs ❞❡s s✐♠✉❧❛t✐♦♥s✳

êtr❡ ✶✵✵✪✱ ✐✳❡✳∑

i∈I

xia = 1, ∀a ∈ A. ✭✶✳✸✮

✶✳✷✳✸ ❈♦♥tr❛✐♥t❡s ❞❡s ♥✉tr✐♠❡♥ts

▲❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❧✐é❡s à ❧✬❛♣♣♦rt ❡♥ ♥✉tr✐♠❡♥ts s♦♥t ❞❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❜✐♦❧♦❣✐q✉❡s✱ ♥é❝❡ss❛✐r❡s

♣♦✉r q✉❡ ❧❡ ♣♦r❝ ❛✐t ✉♥❡ ❝r♦✐ss❛♥❝❡ ♥♦r♠❛❧❡✳ ❊❧❧❡ tr❛❞✉✐t ❧❡ ❢❛✐t q✉❡ ❧✬❛♣♣♦rt ❡♥ ♥✉tr✐♠❡♥t

n ∈ N ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❞✉ ❥♦✉r j ❞♦✐t êtr❡ ❝♦♠♣r✐s ❡♥tr❡ ❞❡✉① ❜♦r♥❡s bnj ❡t bnj✳ ❊❧❧❡ ❡st

é❝r✐t❡ ♠❛t❤é♠❛t✐q✉❡♠❡♥t s♦✉s ❧❛ ❢♦r♠❡

bnj 6 mn·

(

∑

a∈A

qjax·a

)

6 bnj, ∀n ∈ N, ∀j ∈ J, ✭✶✳✹✮

♦ù mn· ❝♦rr❡s♣♦♥❞ à ❧✬❛♣♣♦rt ❡♥ ♥✉tr✐♠❡♥t n ❞❡s ✐♥❣ré❞✐❡♥ts ❞❡ I✳

❉✬❛✉tr❡s t②♣❡s ❞❡ ❝♦♥tr❛✐♥t❡s s✉r ❧❡s ♥✉tr✐♠❡♥ts ❡①✐st❡♥t✳ ❊♥ ❡✛❡t✱ ❧❡ r❛t✐♦ ❝❛❧❝✐✉♠✴♣❤♦s♣❤♦r❡

✶✸

❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t ❞♦✐t é❣❛❧❡♠❡♥t s❛t✐s❢❛✐r❡ ❝❡rt❛✐♥❡s ❜♦r♥❡s✳ ❊♥ ♥♦t❛♥t bCaP ❡t bCaP ❧❛ ❜♦r♥❡

✐♥❢ér✐❡✉r❡ ❡t s✉♣ér✐❡✉r❡ r❡s♣❡❝t✐✈❡♠❡♥t ❞❡ ❝❡ r❛t✐♦✱ ❧❛ ❝♦♥tr❛✐♥t❡ s✬é❝r✐t ❞❡ ❧❛ ❢❛ç♦♥ s✉✐✈❛♥t❡

bCaP,j 6

mCa·

(

∑

a∈A

qjax·a

)

mP ·

(

∑

a∈A

qjax·a

) 6 bCaP,j, ∀j ∈ J. ✭✶✳✺✮

❈❡tt❡ ❝♦♥tr❛✐♥t❡ ♣❡✉t êtr❡ é❝r✐t❡ ❡♥ t❛♥t q✉❡ ❞❡✉① ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❧✐♥é❛✐r❡s ❞✬✐♥é❣❛❧✐té q✉✐ s♦♥t

mCa·

(

∑

a∈A

qjax·a

)

− bCaP,jmP ·

(

∑

a∈A

qjax·a

)

> 0 ✭✶✳✻✮

❡t

bCaP,jmP ·

(

∑

a∈A

qjax·a

)

−mCa·

(

∑

a∈A

qjax·a

)

> 0. ✭✶✳✼✮

P❛r ❧❛ s✉✐t❡✱ ❛✜♥ ❞❡ s✐♠♣❧✐✜❡r ❧❛ ❧❡❝t✉r❡ ❞✉ ♠♦❞è❧❡✱ ❝❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s s❡r♦♥t ✐♥❝❧✉s❡s ❞❛♥s ❝❡❧❧❡s

❞é✜♥✐❡s ♣❛r ✭✶✳✹✮✳

✶✳✷✳✹ ❈♦♥tr❛✐♥t❡s ❞✬é♥❡r❣✐❡

▲❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❧✐é❡s à ❧✬❛♣♣♦rt ❡♥ é♥❡r❣✐❡ s♦♥t é❣❛❧❡♠❡♥t ♥é❝❡ss❛✐r❡s ♣♦✉r q✉❡ ❧❡ ♣♦r❝ ❛✐t

✉♥❡ ❝r♦✐ss❛♥❝❡ ♥♦r♠❛❧❡✳ ◆♦✉s s✉♣♣♦s❡r♦♥s q✉✬✉♥ ♣♦r❝ ♠❛♥❣❡r❛ ❥✉sq✉✬à ❝❡ q✉❡ s♦♥ ❜❡s♦✐♥

❡♥ é♥❡r❣✐❡ s♦✐t s❛t✐s❢❛✐t✱ ♥✐ ♣❧✉s ♥✐ ♠♦✐♥s ❬✸✹❪✳ ❆✐♥s✐✱ ❝❡tt❡ ❝♦♥tr❛✐♥t❡ ❛♣♣❛r❛îtr❛ ❝♦♠♠❡

❝♦♥tr❛✐♥t❡ ❞✬é❣❛❧✐té ❞❛♥s ❧❛ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ♠❛t❤é♠❛t✐q✉❡ ❡t ❛✉r❛ ❧❛ ❢♦r♠❡ s✉✐✈❛♥t❡

mE

(

∑

a∈A

qjax·a

)

= ej, ∀j ∈ J. ✭✶✳✽✮

♦ù mE ❡st ❧✬❛♣♣♦rt ❡♥ é♥❡r❣✐❡ ❞❡s ✐♥❣ré❞✐❡♥ts ❡t ej ❧❡ ❜❡s♦✐♥ ❡♥ é♥❡r❣✐❡ ❞✉ ❥♦✉r j✳

✶✳✷✳✺ ❈♦♥tr❛✐♥t❡s ❞✬✐♥❣❡st✐♦♥

▲❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❧✐é❡s à ❧❛ ❝❛♣❛❝✐té ❞✬✐♥❣❡st✐♦♥ s♦♥t ❞❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ♣❤②s✐q✉❡s ❞❡s ❛♥✐♠❛✉①✳

❊♥ ❡✛❡t✱ ✉♥ ❛♥✐♠❛❧ ♣♦ssè❞❡ ✉♥ ❡st♦♠❛❝ ♣♦✉✈❛♥t ❛❝❝✉❡✐❧❧✐r ✉♥❡ q✉❛♥t✐té ♠❛①✐♠❛❧❡ ❬✷✶❪✳ ❆✐♥s✐✱

✶✹

❧❛ q✉❛♥t✐té ❞✬❛❧✐♠❡♥ts ❞♦♥♥é❡ ❛✉ ❥♦✉r j ♥❡ ❞♦✐t ♣❛s ❞é♣❛ss❡r ❝❡tt❡ ❝❛♣❛❝✐té✱ ♥♦té❡ Wmaxj ✳ ▲❛

❝♦♥tr❛✐♥t❡ ❡st ❞♦♥❝ ✉♥❡ ❝♦♥tr❛✐♥t❡ ❞✬✐♥é❣❛❧✐té ❡t s✬é❝r✐t s♦✉s ❧❛ ❢♦r♠❡

∑

a∈A

qja 6 Wmaxj , ∀j ∈ J. ✭✶✳✾✮

❊♥✜♥✱ ❧❛ q✉❛♥t✐té ❞✬❛❧✐♠❡♥ts ❞♦♥♥é❡ ♥❡ ♣♦✉✈❛♥t ♣❛s êtr❡ ♥é❣❛t✐✈❡ ♣❛r ❞é✜♥✐t✐♦♥✱ ♥♦✉s ✐♥tr♦✲

❞✉✐s♦♥s ❞❡s ❜♦r♥❡s s✉r ❧❡s ✈❛r✐❛❜❧❡s Q ❞é✜♥✐❡s ♣❛r ❧✬éq✉❛t✐♦♥

qja > 0, ∀a ∈ A, ∀j ∈ J. ✭✶✳✶✵✮

❉❛♥s ❧❛ s✉✐t❡ ❞❡ ❝❡tt❡ t❤ès❡✱ ❡t ❛✜♥ ❞❡ s✐♠♣❧✐✜❡r ❧❛ ❧❡❝t✉r❡✱ ♥♦✉s ♥♦t❡r♦♥s Sj ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s

❝♦♥tr❛✐♥t❡s à s❛t✐s❢❛✐r❡ ♣♦✉r ❧❛ ❥♦✉r j✳ ❆✐♥s✐✱ ✉♥❡ ❞✐èt❡ s❛t✐s❢❛✐s❛♥t ❧❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❞✉ ❥♦✉r j

❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ s❡r❛ ♥♦té❡ qjax·a ∈ Sj✱ ♦ù

Sj =

∑

a∈A

qjax·a

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

bnj 6 mn·y 6 bnj ∀n ∈ N,mEy = ej,∑

a∈A

qja 6 Wmaxj ,

qja > 0 ∀a ∈ A,0 6 xia 6 xmax

i ∀a ∈ A, ∀i ∈ I,∑

i∈I

xia = 1 ∀a ∈ A.

. ✭✶✳✶✶✮

✶✳✸ ▲❡s ❞✐✛ér❡♥t❡s ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥s

✶✳✸✳✶ ▲❛ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ tr❛❞✐t✐♦♥♥❡❧❧❡

❆✉❥♦✉r❞✬❤✉✐✱ ❞❛♥s ❧❛ ♣❧✉♣❛rt ❞❡s ✉♥✐tés ❞❡ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ♣♦r❝✐♥❡✱ ❧❡s ♣♦r❝s s♦♥t ♥♦✉rr✐s ❡♥ tr♦✐s

♣❤❛s❡s✱ ❛✈❡❝ ✉♥ ♠é❧❛♥❣❡ ❝♦♠♣❧❡t ♣♦✉r ❝❤❛q✉❡ ♣❤❛s❡ ✭✜❣✉r❡ ✶✳✻✮✱ ❝✬❡st✲à✲❞✐r❡ q✉❡ ❝❤❛q✉❡

♠é❧❛♥❣❡ s❛t✐s❢❛✐t à ❧✉✐ s❡✉❧ t♦✉s ❧❡s ❜❡s♦✐♥s ❞❡ ❧❛ ♣❤❛s❡ à ❧❛q✉❡❧❧❡ ✐❧ ❡st ❛ss♦❝✐é✳ ❉❡ ♣❧✉s✱ ❧❡✉r

❞❡♥s✐té é♥❡r❣ét✐q✉❡ ❡st ❝♦♥♥✉❡✱ ❡t ❣é♥ér❛❧❡♠❡♥t ✜①é❡ à ✷✹✼✺ ❦❝❛❧✴❦❣✳

❈♦♠♠❡ ♥♦✉s ❧❡ ♣ré❝✐s✐♦♥s ❞❛♥s ❧❛ s❡❝t✐♦♥ ✶✳✷✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s s✉♣♣♦sé q✉❡ ❧❡s ♣♦r❝s s❡ ♥♦✉rr✐ss❡♥t

❥✉sq✉✬à s❛t✐s❢❛✐r❡ ❧❡✉r ❜❡s♦✐♥ ❡♥ é♥❡r❣✐❡✳ ❈♦♥♥❛✐ss❛♥t ❝❡ ❜❡s♦✐♥✱ ♥♦✉s ♣♦✉✈♦♥s ❞ét❡r♠✐♥❡r ❧❛

✶✺

❋✐❣✉r❡ ✶✳✻ ✕ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ❞✉ ❢♦♥❝t✐♦♥♥❡♠❡♥t ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ tr❛❞✐t✐♦♥♥❡❧❧❡✳

q✉❛♥t✐té ❞✬❛❧✐♠❡♥ts ✐♥❣érés ❝❤❛q✉❡ ❥♦✉r✳ ❆✐♥s✐✱ ❧❛ ✈❛r✐❛❜❧❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❛♥t❡ Q ❡st ❝♦♥♥✉❡ ❡t

♣❡✉t êtr❡ ✜①é❡ à ❝❡s ✈❛❧❡✉rs✳

❋✐♥❛❧❡♠❡♥t✱ ❧❡ ♠♦❞è❧❡ ♠❛t❤é♠❛t✐q✉❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❛♥t à ❝❡tt❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ♥❡ ❝♦♠♣♦rt❡ q✉❡ ❧❛

✈❛r✐❛❜❧❡ X ❝♦♠♠❡ ✐♥❝♦♥♥✉❡✱ s♦✐t ❧✬❛❧✐♠❡♥t ✉t✐❧✐sé ♣♦✉r ❝❤❛❝✉♥❡ ❞❡s ♣❤❛s❡s✳ ◆♦✉s ♣♦✉rr♦♥s

❝♦♥st❛t❡r ❛✉ ✜❧ ❞❡ ❧❛ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ❞❡ ❝❡tt❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ q✉❡ ❧❡ ♠♦❞è❧❡ ♠❛t❤é♠❛t✐q✉❡ ❛ss♦❝✐é

à ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ tr❛❞✐t✐♦♥♥❡❧❧❡ ❡st ✉♥ ♠♦❞è❧❡ ❧✐♥é❛✐r❡✳

❊♥ r❡♣r❡♥❛♥t ❧❡s ❢♦r♠✉❧❡s ❞❡ ❧❛ s❡❝t✐♦♥ ♣ré❝é❞❡♥t❡✱ ❧❡ ♠♦❞è❧❡ ♠❛t❤é♠❛t✐q✉❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❛♥t

à ✉♥❡ t❡❧❧❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥✱ ❝✬❡st✲à✲❞✐r❡ ✉♥❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ à tr♦✐s ♣❤❛s❡s ✉t✐❧✐s❛♥t ✉♥ ✉♥✐q✉❡

♠é❧❛♥❣❡ ♣❛r ♣❤❛s❡✱ s♦✐t tr♦✐s ❛✉ t♦t❛❧✱ ❡t ❞♦♥t ❧❛ ❞❡♥s✐té é♥❡r❣ét✐q✉❡ ❡st ✜①é❡✱ ❡st ♥♦té❡

▼❈✲✸P❋✲❊❋ ❡t s✬é❝r✐t ✿

minX

∑

j∈J

ct(qj1x·1 + qj2x·2 + qj3x·3)

s✳à qj1x·1 ∈ Sj, j ∈ J1,qj2x·2 ∈ Sj, j ∈ J2,qj3x·3 ∈ Sj, j ∈ J3.

✭✶✳✶✷✮

♦ù J1, J2 ❡t J3 ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥t ❛✉① ❡♥s❡♠❜❧❡s ❞❡ ❥♦✉rs ❞❡ ❧❛ ♣❤❛s❡ ✶✱ ✷ ❡t ✸ r❡s♣❡❝t✐✈❡♠❡♥t✳

❖♥ ♣❡✉t ❝♦♥st❛t❡r q✉❡ ❧❡ ♠♦❞è❧❡ ♣rés❡♥té ✐❝✐ ❡st ✉♥ ♠♦❞è❧❡ ❞❡ ♣r♦❣r❛♠♠❛t✐♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡✳ ▼✐s

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❆✐♥s✐✱ ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ✭✶✳✶✷✮ ♣❡✉t êtr❡ rés♦❧✉ à ❧✬❛✐❞❡ ❞❡ s♦❧✈❡✉rs ❧✐♥é❛✐r❡s t❡❧s q✉❡ ▼✐♥♦s ❬✻✾❪✱

▲♦q♦ ❬✶✵✸❪ ♦✉ ❡♥❝♦r❡ ❈P▲❊❳✱ ❡t s❛ ✈❛❧❡✉r ♦♣t✐♠❛❧❡ ❡st ✶✵✵✳✸✸ ♣♦✉r ❧❡ s❝é♥❛r✐♦ ❞❡ ♣r✐① ❞❡

✶✻

✷✵✶✶ ❡t ❞❡ ✼✸✳✾✹ ♣♦✉r ❧❡ s❝é♥❛r✐♦ ❞❡ ♣r✐① ❞❡ ✷✵✶✻✳

❈❡ t②♣❡ ❞✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❡st ❝♦✉r❛♠♠❡♥t ✉t✐❧✐sé ❞❛♥s ❧✬✐♥❞✉str✐❡ ♣♦r❝✐♥❡✱ ❡♥ ❋r❛♥❝❡ ❝♦♠♠❡

❛✉ ❈❛♥❛❞❛✱ ❝✬❡st ♣♦✉rq✉♦✐ t♦✉t❡s ❧❡s ❝♦♠♣❛r❛✐s♦♥s ❢❛✐t❡s ❞❛♥s ❧❛ s✉✐t❡ ❞❡ ❝❡t ❡ss❛✐ s❡r♦♥t

ré❛❧✐sé❡s ♣❛r r❛♣♣♦rt à ❝❡tt❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥✳

✶✳✸✳✷ ▲❛ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ♠✉❧t✐♣❤❛s❡

P❧✉s t❛r❞✱ ✉♥❡ ét✉❞❡ ❝♦♥❝❡r♥❛♥t ❧❡ ♥♦♠❜r❡ ❞❡ ♣❤❛s❡s ❞✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ à ❝♦♥s✐❞ér❡r ❛ été ré❛❧✐✲

sé❡✳ ▲❡t♦✉r♥❡❛✉✲▼♦♥t♠✐♥② ❡t ❛❧✳ ❬✻✹❪ ♦♥t ét✉❞✐é ❡♥ ✷✵✵✺ ❧✬✐♠♣❛❝t é❝♦♥♦♠✐q✉❡ ❡t ❡♥✈✐r♦♥♥❡✲

♠❡♥t❛❧ ❞✬✉♥❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ✉t✐❧✐s❛♥t ✉♥ ❛❧✐♠❡♥t ❝♦♠♣❧❡t ♣❛r ♣❤❛s❡ ❡♥ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞✉ ♥♦♠❜r❡ ❞❡

♣❤❛s❡s✳ ▲❡s ❛❧✐♠❡♥ts ✉t✐❧✐sés ❞♦✐✈❡♥t ❞♦♥❝ s❛t✐s❢❛✐r❡ ❧❡s ❜❡s♦✐♥s ❞❡s ❛♥✐♠❛✉① ♣♦✉r ❝❤❛❝✉♥❡

❞❡s ♣❤❛s❡s✳ ■❝✐ ❡♥❝♦r❡✱ ❧❛ ❞❡♥s✐té é♥❡r❣ét✐q✉❡ ét❛♥t ✜①é❡✱ ❧❡s ✈❛r✐❛❜❧❡s ✧qja✧ s♦♥t ❝♦♥♥✉❡s ❡t

✜①é❡s✱ ❡t ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ à rés♦✉❞r❡ ❡st ❛❧♦rs ✉♥ ♣r♦❣r❛♠♠❡ ❧✐♥é❛✐r❡✳

❈❡tt❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❡st ♠❛t❤é♠❛t✐q✉❡♠❡♥t ♠♦❞é❧✐sé❡ ❞❡ ❧❛ ❢❛ç♦♥ s✉✐✈❛♥t❡ ✿{

minX

∑

a∈A

∑

j∈J

qja (ctx·a) =

∑

j∈J

qj· (ctx·j)

s✳à x·a ∈ Sj, ∀j ∈ Ja, ∀a ∈ A.✭✶✳✶✸✮

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s❡♠❜❧❡ ❞❡s ❥♦✉rs ❞❡ ❧❛ ♣❤❛s❡ a✳ ❊♥ ✉t✐❧✐s❛♥t ❧❡s ♥♦t❛t✐♦♥s ❞é✜♥✐❡s ♣ré❝é❞❡♠♠❡♥t✱ ❝❡tt❡ ❛❧✐✲

♠❡♥t❛t✐♦♥ s❡r❛ ♥♦té❡ ▼❈✲pP❋✲❊❋ ❧♦rsq✉❡ p ♣❤❛s❡s s♦♥t ❝♦♥s✐❞éré❡s✳

▲♦rs ❞❡ ❝❡tt❡ ét✉❞❡✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ❝♦♥s✐❞éré ✉♥❡ ❞❡ ✷ à ✶✵ ♣❤❛s❡s ❡t |J | ♣❤❛s❡s✱ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❛♥t à❞❡s ♣❤❛s❡s q✉♦t✐❞✐❡♥♥❡s✳ ◆♦✉s ❛✈♦♥s ❝♦♥st❛té ✉♥❡ ❞✐♠✐♥✉t✐♦♥ ❞✉ ❝♦ût ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥❛✈❡❝

✉♥❡ ❛✉❣♠❡♥t❛t✐♦♥ ❞✉ ♥♦♠❜r❡ ❞❡ ♣❤❛s❡s✳

q✉❡ ♣❧✉s ❧❡ ♥♦♠❜r❡ ❞❡ ♣❤❛s❡s ❛✉❣♠❡♥t❡✱ ♣❧✉s ❧❡ ❝♦ût ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❞✐♠✐♥✉❡✳ ❊♥ ♦❜s❡r✈❛♥t

♥♦s s♦❧✉t✐♦♥s✱ ♥♦✉s r❡♠❛rq✉♦♥s q✉❡ ❧❡ ❝♦ût ✉♥✐t❛✐r❡ ❞❡s ❛❧✐♠❡♥ts ❞✐♠✐♥✉❡ ❛✉ ❝♦✉rs ❞✉ t❡♠♣s✳

■❧ ❡st r❛✐s♦♥♥❛❜❧❡ ❞❡ ♣❡♥s❡r q✉✬❡♥ ❛✉❣♠❡♥t❛♥t ❧❡ ♥♦♠❜r❡ ❞❡ ♣❤❛s❡s✱ ❧❡ ❝♦ût ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥

❞✐♠✐♥✉❡✳ ❖r✱ ♥♦✉s ♥❡ ♣♦✉✈♦♥s ❧❡ ♣r♦✉✈❡r q✉❡ ❧♦rsq✉❡ ❧❡s ❝❤❛♥❣❡♠❡♥ts ❞❡ ♣❤❛s❡ s❡ ❢♦♥t ❛✉①

✶✼

❋✐❣✉r❡ ✶✳✼ ✕ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ✐❞é❛❧❡✳

♠ê♠❡s ♠♦♠❡♥ts✳ P❛r ❡①❡♠♣❧❡✱ ♥♦✉s ♣♦✉✈♦♥s ❧❡ ♣r♦✉✈❡r ❡♥ ♣❛ss❛♥t ❞❡ ✷ à ✹ ♣❤❛s❡s ❡♥

❞✐✈✐s❛♥t ❝❤❛q✉❡ ♣❤❛s❡ ❡♥ ✷ s♦✉s✲♣❤❛s❡s✱ ♠❛✐s ♣❛s ❧♦rsq✉❡ ♥♦✉s ♣❛ss♦♥s ❞❡ ✷ à ✸ ♣❤❛s❡s✱ ❛✈❡❝

❞❡s ♣❤❛s❡s ❞❡ ❞✉ré❡ é❣❛❧❡✳

▲❡ s②stè♠❡ ❞✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❧❡ ♣❧✉s ❛✈❛♥t❛❣❡✉① é❝♦♥♦♠✐q✉❡♠❡♥t ❡st ❝❡❧✉✐ ❝♦♠♣t❛♥t T = |J |♣❤❛s❡s✳ ❈❡tt❡ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ❡st é❣❛❧❡♠❡♥t ❛♣♣❡❧é❡ ♠ét❤♦❞❡ ✐❞é❛❧❡✳

✶✳✸✳✸ ▲✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ✐❞é❛❧❡

▲✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ✐❞é❛❧❡ ♣❡r♠❡t ❞❡ ♥♦✉rr✐r ❧❡s ❛♥✐♠❛✉① ❛✈❡❝ ❧❡ ♠é❧❛♥❣❡ s❛t✐s❢❛✐s❛♥t ❧❡s ❜❡s♦✐♥s

❡t ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❡t à ❝♦ût ♦♣t✐♠❛❧ ♣♦✉r ❝❤❛q✉❡ ❥♦✉r ✭✜❣✉r❡ ✶✳✼✮✳ ❙♦♥ ♠♦❞è❧❡ ♠❛t❤é♠❛t✐q✉❡ ❡st

❞♦♥♥é ♣❛r{

minX

∑

a∈A

∑

j∈J

qja (ctx·j)

s✳à qjax·a ∈ Sj, ∀j ∈ J.✭✶✳✶✹✮

❙❡❧♦♥ ❧❡s ♥♦t❛t✐♦♥s ✉t✐❧✐sé❡s✱ ❡❧❧❡ ❡st ♥♦té❡ ▼❈✲■❋✲❊▲✳ ❙❛ s♦❧✉t✐♦♥ ♦♣t✐♠❛❧❡ ❛ ✉♥ ❝♦ût ❞❡

✾✻✳✾✾ ♣♦✉r ❧❡ s❝é♥❛r✐♦ ✷✵✶✶ ❡t ✼✵✳✶✽ ♣♦✉r ❧❡ s❝é♥❛r✐♦ ✷✵✶✻✱ ❝❡ q✉✐ ❝♦rr❡s♣♦♥❞ à ✉♥❡ ré❞✉❝t✐♦♥

❞❡ ✸✳✸✸✪ ❡t ✺✳✵✾✪ r❡s♣❡❝t✐✈❡♠❡♥t✱ ❡♥ ❝♦♠♣❛r❛✐s♦♥ à ▼❈✲✸P❋✲❊❋✳

▲❡ ❝♦ût ❞✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ♣❡✉t ❡♥❝♦r❡ êtr❡ ré❞✉✐t✳ ❊♥ ❡✛❡t✱ ♥♦✉s ✐♥tr♦❞✉✐s♦♥s ✉♥❡ ♠ét❤♦❞❡ ❞❡

♠♦❞é❧✐s❛t✐♦♥ ♣❡r♠❡tt❛♥t ❞❡ ❧❛✐ss❡r ❧✬é♥❡r❣✐❡ ❞❡s ❛❧✐♠❡♥ts ✈❛r✐❡r ❞✬✉♥ ❥♦✉r à ❧✬❛✉tr❡✳ ❈❡tt❡

♠ét❤♦❞❡ s❡r❛ ♣❛r ❧❛ s✉✐t❡ ❛♣♣❡❧é❡ ♠♦❞è❧❡ à é♥❡r❣✐❡ ❧✐❜r❡✳

❈❡❧❛ ♥♦✉s ❛♠è♥❡ ❞♦♥❝ à ❧✬ét✉❞❡ ❞❡ ▼❈✲■❋✲❊▲✳ ▼ê♠❡ ❞❛♥s ❝❡ ❝❛s✱ ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ét✉❞✐é r❡st❡

✶✽

❋✐❣✉r❡ ✶✳✽ ✕ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ❞✉ ❢♦♥❝t✐♦♥♥❡♠❡♥t ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ♣❛r ♠é❧❛♥❣❡s✳

❧✐♥é❛✐r❡ ❞û ❛✉ ❢❛✐t q✉❡ ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❡st sé♣❛r❛❜❧❡ ❥♦✉r ♣❛r ❥♦✉r ❡t q✉❡ ❞❡s ❛❧✐♠❡♥ts ❝♦♠♣❧❡ts

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♣♦✉r ❧❡ s❝é♥❛r✐♦ ✷✵✶✻✱ s♦✐t ✉♥❡ ré❞✉❝t✐♦♥ ❞❡ ✺✳✹✼✪ ❡t ✾✳✵✼✪ r❡s♣❡❝t✐✈❡♠❡♥t✱ ❡♥ ❝♦♠♣❛r❛✐s♦♥

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✶✳✸✳✹ ▲❛ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ♣❛r ♠é❧❛♥❣❡s

P❧✉s ré❝❡♠♠❡♥t✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ❞é✈❡❧♦♣♣é ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❞✐t❡ ♣❛r ♠é❧❛♥❣❡s ❬✺✻✱ ✺✼❪✳ ❈❡tt❡ ♠é✲

t❤♦❞❡ ❝♦♥s✐st❡ à ♥♦✉rr✐r ❧❡s ❛♥✐♠❛✉① ❛✈❡❝ ❞❡✉① ♣ré♠é❧❛♥❣❡s ❡t ❡♥ ❝♦♥s✐❞ér❛♥t ❞❡s ♣❤❛s❡s

q✉♦t✐❞✐❡♥♥❡s ✭✜❣✉r❡ ✶✳✽✮✳ ▲❡s ♣ré♠é❧❛♥❣❡s s❡r♦♥t ❝♦♠❜✐♥és ❞✐✛ér❡♠♠❡♥t ❝❤❛q✉❡ ❥♦✉r ❛✜♥ ❞❡

s❛t✐s❢❛✐r❡ ❧❡s ❜❡s♦✐♥s ❥♦✉r♥❛❧✐❡rs✳ ❈❡tt❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❡st ♥♦té❡ ▼❈✲✶▼❋✲❊▲✳

◆♦✉s ✉t✐❧✐s♦♥s ❞❡✉① ♣ré♠é❧❛♥❣❡s✱ ❞♦♥❝ A = {1, 2}✳ ▲❡s ♣❤❛s❡s ❞✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ s♦♥t q✉♦t✐✲

❞✐❡♥♥❡s✱ ❛✐♥s✐ J = 1, ..., 111✳ ▲❛ ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t ✉t✐❧✐sé ❛✉ ❥♦✉r j ❡st ❞♦♥❝ ❞♦♥♥é❡

♣❛r ❧❛ ❢♦r♠✉❧❡

y·j = qj1x·1 + qj2x·2. ✭✶✳✶✺✮

✶✾

❈♦♥tr❛✐r❡♠❡♥t ❛✉① ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥s ♣rés❡♥té❡s ♣ré❝é❞❡♠♠❡♥t q✉✐ ♠✐♥✐♠✐s❛✐❡♥t ❧❡ ❝♦ût ❞❡ ❧✬❛❧✐✲

♠❡♥t ✭✩✴❦❣✮✱ ❝❡❧❧❡✲❝✐ ❝❤❡r❝❤❡ à ♠✐♥✐♠✐s❡r ❧❡ ❝♦ût t♦t❛❧ ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ✭✩✴♣♦r❝✮✳ ▲❛ ❞❡♥s✐té

é♥❡r❣ét✐q✉❡ ❞❡s ♣ré♠é❧❛♥❣❡s ✉t✐❧✐sé❡ s❡r❛ ❞✐t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡✱ ❝✬❡st✲à✲❞✐r❡ q✉✬❡❧❧❡ ♥✬❡st ♣❛s ❝♦♥♥✉❡

❛✈❛♥t ❧✬♦♣t✐♠✐s❛t✐♦♥ ❡t q✉✬❡❧❧❡ ♣❡✉t ✈❛r✐❡r ❞✬✉♥ ♠é❧❛♥❣❡ à ✉♥ ❛✉tr❡✳ ❉❛♥s ❝❡ ❝❛s✱ ❧❡s q✉❛♥✲

t✐tés q·1 ❡t q·2 s♦♥t ✐♥❝♦♥♥✉❡s ✭❝❛r ❡❧❧❡s ❞é♣❡♥❞❡♥t ❞❡ ❧❛ ❞❡♥s✐té é♥❡r❣ét✐q✉❡✮ ❡t s♦♥t ❞♦♥❝

❝♦♥s✐❞éré❡s ❝♦♠♠❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❞❛♥s ❧❡s ♠♦❞é❧✐s❛t✐♦♥s✳

❆✐♥s✐✱ ❡♥ s✉✐✈❛♥t ❧❡s ♥♦t❛t✐♦♥s ✐♥tr♦❞✉✐t❡s ♣ré❝é❞❡♠♠❡♥t✱ ❧❡ ♠♦❞è❧❡ ♠❛t❤é♠❛t✐q✉❡ ❛ss♦❝✐é à

❝❡tt❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❡st ❞♦♥♥é ♣❛r ❧❡ ♠♦❞è❧❡ s✉✐✈❛♥t ✿

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minX,Q

∑

j∈J

ct (qj1x·1 + qj2x·2)

s✳à (qj1x·1 + qj2x·2) ∈ Sj, ∀j ∈ J.✭✶✳✶✻✮

▲❡ ♠♦❞è❧❡ ♣rés❡♥té ❝✐✲❞❡ss✉s ❡st ✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡✳ ❊♥ ❡✛❡t✱ ❧❡s ✈❛r✐❛❜❧❡s ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡

ét❛♥t ❧❛ ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❞❡s ♣ré♠é❧❛♥❣❡s ✭X = (xia)✮ ❡t ❧❡s q✉❛♥t✐tés ❞❡ ❝❤❛❝✉♥ ❞✬❡✉① ❞♦♥♥é❡s

❝❤❛q✉❡ ❥♦✉r ✭Q = (qja)✮✱ ♦♥ ♣❡✉t ♥♦t❡r q✉❡ ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ♦❜❥❡❝t✐❢ ❡t ❧❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s s✉r ❧✬é♥❡r❣✐❡

❡t ❧❡s ♥✉tr✐♠❡♥ts ❢♦♥t ❛♣♣❛r❛îtr❡ ❞❡s t❡r♠❡s ❜✐❧✐♥é❛✐r❡s qjax·a✳

◆♦✉s ✈❡rr♦♥s ♣❧✉s t❛r❞ ✭❝❤❛♣✐tr❡ ✷✮ ❞❛♥s ❝❡ ♠❛♥✉s❝r✐t q✉❡ ❝✬❡st ❝❡ ♣r♦❜❧è♠❡ q✉✐ ❛ été ❧❡

♣r✐♥❝✐♣❛❧ ❛①❡ ❞❡ r❡❝❤❡r❝❤❡ ❞❡ ♠❛ t❤ès❡✳ ❊♥ ❡✛❡t✱ ❧❡s ♣r♦❜❧è♠❡s ❜✐❧✐♥é❛✐r❡s s♦♥t ❞❡s ♣r♦❜❧è♠❡s

♥♦♥ ❝♦♥✈❡①❡s ❡t ✐❧ ❡st ❞♦♥❝ ❞✐✣❝✐❧❡ ❞✬❡♥ ♦❜t❡♥✐r ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❣❧♦❜❛❧❡✳ ◆♦✉s s♦♠♠❡s t♦✉t❡❢♦✐s

❝❛♣❛❜❧❡s ❞✬♦❜t❡♥✐r ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❧♦❝❛❧❡✳

▲❡ ❝♦ût ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❛ss♦❝✐é à ❝❡ s②stè♠❡ ❞✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ q✉❡ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ❞ét❡r♠✐♥é ❣râ❝❡

à ✉♥ s♦❧✈❡✉r ❞✬♦♣t✐♠✐s❛t✐♦♥ ♥♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡ t❡❧ q✉❡ ■♣♦♣t ❬✶✵✺❪ ♣❛r ❡①❡♠♣❧❡ ❡st ❞❡ ✾✻✳✷✸✩ ♣♦✉r ❧❡

s❝é♥❛r✐♦ ✷✵✶✶ ❡t ❞❡ ✻✽✳✾✾✩ ♣♦✉r ❧❡ s❝é♥❛r✐♦ ✷✵✶✻✳ ❈❡❝✐ r❡♣rés❡♥t❡ ✉♥❡ ré❞✉❝t✐♦♥ ❞❡ ✹✳✵✽✪ ❡t

✻✳✻✾✪ r❡s♣❡❝t✐✈❡♠❡♥t ♣❛r r❛♣♣♦rt à ✉♥❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ tr❛❞✐t✐♦♥♥❡❧❧❡✳ ❉❡ ♣❧✉s✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ♣✉

❝♦♥st❛t❡r q✉❡ ❧❡s r❡❥❡ts ❧✐és à ❝❡tt❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ét❛✐❡♥t ré❞✉✐ts ❞❡ ✸✳✸✪ ♣♦✉r ❧❡ ♣❤♦s♣❤♦r❡ ❡t

❞❡ ✶✹✳✽✪ ♣♦✉r ❧✬❛③♦t❡ ♣♦✉r ❧❡ s❝é♥❛r✐♦ ❞❡ ✷✵✶✶✳ ❙✐ ♦♥ ❝♦♥s✐❞èr❡ ❧❡ s❝é♥❛r✐♦ ✷✵✶✻✱ ❧❡s r❡❥❡ts ❞❡

♣❤♦s♣❤♦r❡ ❛✉❣♠❡♥t❡♥t ❧é❣èr❡♠❡♥t ✭✰✵✳✸✶✪✮ t❛♥❞✐s q✉❡ ❝❡✉① ❞✬❛③♦t❡ s♦♥t ré❞✉✐ts ✭✲✻✳✷✺✪✮✳

✷✵

✶✳✹ ❯♥❡ ♥♦✉✈❡❧❧❡ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ❤②❜r✐❞❡

❉✉r❛♥t ❝❡tt❡ t❤ès❡✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ❞é✈❡❧♦♣♣é ❞❡ ♥♦✉✈❡❛✉① ♠♦❞è❧❡s✱ ♣❡r♠❡tt❛♥t ❞❡ ré❞✉✐r❡ ❞❛✲

✈❛♥t❛❣❡ ❧❡ ❝♦ût ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥✳ ◆♦✉s ❧❡s ♣rés❡♥t♦♥s ❞❛♥s ❝❡tt❡ s❡❝t✐♦♥✳

❯♥❡ ❢❛ç♦♥ ❞❡ ré❞✉✐r❡ ❞❛✈❛♥t❛❣❡ ❧❡ ❝♦ût ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❡st ❞❡ ❝♦♠❜✐♥❡r ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ♣❛r

♣❤❛s❡ ✭pP❋✮ ❡t ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ♣❛r ♠é❧❛♥❣❡s ✭✶▼❋✮✳ ❈❡tt❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❝♦♥s✐st❡ à ❞✐✈✐s❡r

❧❛ ♣ér✐♦❞❡ ❞❡ ❝r♦✐ss❛♥❝❡ ❞❡s ❛♥✐♠❛✉① ❡♥ p ♣❤❛s❡s ❡t ♣♦✉r ❝❤❛❝✉♥❡ ❞✬❡❧❧❡✱ ❧❡s ❛♥✐♠❛✉① s♦♥t

♥♦✉rr✐s s✉✐✈❛♥t ✉♥❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ♣❛r ♠é❧❛♥❣❡s✳

▲❡ ♠♦❞è❧❡ r❡♣rés❡♥t❛♥t ❝❡tt❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❡st{

minX,Q

∑

k∈{1,...,p}

∑

j∈Jk

ct(qkj1xk·1 + qkj2xk·2)

s✳à qkj1xk·1 + qkj2xk·2 ∈ Sj, ∀j ∈ Jk, ∀k ∈ {1, ..., p}.✭✶✳✶✼✮

❈❡tt❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥✱ ♥♦té❡ p▼❋✱ ♣rés❡♥t❡ t♦✉t❡❢♦✐s ✉♥ ❞é❢❛✉t q✉✐ ♥♦✉s ❡♠♣ê❝❤❡ ❞❡ ❧✬✉t✐❧✐s❡r

❡♥ ✐♥❞✉str✐❡✳ ❊♥ ❡✛❡t✱ ♦♥ ♣❡✉t ❝♦♥st❛t❡r s✉r ❧❡s rés✉❧t❛ts ♥✉♠ér✐q✉❡s ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ✶▼❋✱

q✉❡ ❧❛ ré♣❛rt✐t✐♦♥ ❞✬✉t✐❧✐s❛t✐♦♥ ❞❡s ♠é❧❛♥❣❡s ❡st ❞✬❡♥✈✐r♦♥ ✼✵✪ ♣♦✉r ✉♥ ❡t ✸✵✪ ♣♦✉r ❧✬❛✉tr❡✳

P♦✉r ❞❡s r❛✐s♦♥s ♣r❛t✐q✉❡s ❡t é❝♦♥♦♠✐q✉❡s✱ ✐❧ ❡st ♣ré❢ér❛❜❧❡ q✉❡ ❧❡s s✐❧♦s s♦✐❡♥t r❡♠♣❧✐s ❛✈❡❝

❞❡s q✉❛♥t✐tés s✐♠✐❧❛✐r❡s✳

❯♥❡ ♠❛♥✐èr❡ ❞✬② ♣❛r✈❡♥✐r ❡st q✉❡ ❞❡✉① ♣❤❛s❡s ❝♦♥sé❝✉t✐✈❡s ❛✐❡♥t ✉♥ ♠é❧❛♥❣❡ ❡♥ ❝♦♠♠✉♥✳

◆♦✉s ♣r♦♣♦s♦♥s ❞♦♥❝ ✉♥❡ ♥♦✉✈❡❧❧❡ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ✿ ❧❛ ♠ét❤♦❞❡ ❤②❜r✐❞❡✳ ◆♦✉s

♥♦t♦♥s ❝❡tt❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ XX✲p❍❋✲❊▲✱ ♦ù XX ❡st MC ♦✉ TC ❡♥ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞✉ ♥♦♠❜r❡ ❞❡

❝r✐tèr❡s ❝♦♥s✐❞érés✳ ▲❡ ❢♦♥❝t✐♦♥♥❡♠❡♥t ❞❡ ❝❡tt❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❡st ❧❡ s✉✐✈❛♥t ✿

• ❧❛ ♣ér✐♦❞❡ ❞❡ ❝r♦✐ss❛♥❝❡ ❡st ❞✐✈✐sé❡ ❡♥ p ♣❤❛s❡s✱

• ♣♦✉r ❝❤❛q✉❡ ♣❤❛s❡✱ ❞❡✉① ♣ré♠é❧❛♥❣❡s s♦♥t ✉t✐❧✐sés✱

• ❧❡s ❞❡✉① ♣ré♠é❧❛♥❣❡s s♦♥t ❝♦♠❜✐♥és ❞✐✛ér❡♠♠❡♥t q✉♦t✐❞✐❡♥♥❡♠❡♥t✱

• ❞❡✉① ♣❤❛s❡s ❝♦♥sé❝✉t✐✈❡s ♦♥t ✉♥ ♠é❧❛♥❣❡ ❡♥ ❝♦♠♠✉♥✱

• ✉♥ t♦t❛❧ ❞❡ p+ 1 ♣ré♠é❧❛♥❣❡s ❡st ✉t✐❧✐sé✳

▲❡ ❝❛s p = 3✱ s❡r❛ ré❣✉❧✐èr❡♠❡♥t ❝♦♥s✐❞éré ❝♦♠♠❡ ❡①❡♠♣❧❡ t♦✉t ❛✉ ❧♦♥❣ ❞❡ ❝❡tt❡ s❡❝t✐♦♥✱ ❝✬❡st

♣♦✉rq✉♦✐ ♥♦✉s ❧❡ ❞ét❛✐❧❧♦♥s ❞❛✈❛♥t❛❣❡✳ ❆✐♥s✐✱ ❧♦rsq✉❡ ♥♦✉s ❝♦♥s✐❞ér♦♥s ❧❛ ♠ét❤♦❞❡ ❤②❜r✐❞❡

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✷✶

• ❧❡s ♠é❧❛♥❣❡s ✶ ❡t ✷ s♦♥t ❝♦♠❜✐♥és ❞❛♥s ❧❛ ♣❤❛s❡ ✶✱

• ❧❡s ♠é❧❛♥❣❡s ✷ ❡t ✸ s♦♥t ❝♦♠❜✐♥és ❞❛♥s ❧❛ ♣❤❛s❡ ✷✱

• ❧❡s ♠é❧❛♥❣❡s ✸ ❡t ✹ s♦♥t ❝♦♠❜✐♥és ❞❛♥s ❧❛ ♣❤❛s❡ ✸✳

❋✐❣✉r❡ ✶✳✾ ✕ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❤②❜r✐❞❡✳

▲❛ ✜❣✉r❡ ✶✳✾ ✐❧❧✉str❡ s❝❤é♠❛t✐q✉❡♠❡♥t ❝❡tt❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥✳

✶✳✹✳✶ ▼♦❞é❧✐s❛t✐♦♥ ♠❛t❤é♠❛t✐q✉❡

❉❡ ♠❛♥✐èr❡ ❣é♥ér❛❧❡✱ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❤②❜r✐❞❡ à p ♣❤❛s❡s ❝♦♥s✐❞èr❡ p+1 ♠é❧❛♥❣❡s✳ ❊♥ ✉t✐❧✐s❛♥t

❧❡s ♥♦t❛t✐♦♥s ❞é✜♥✐❡s ♣ré❝é❞❡♠♠❡♥t✱ ♦♥ ❝♦♥s✐❞èr❡ A = {1, 2, ..., p, p + 1}✳ ▲❡s ✈❛r✐❛❜❧❡s ❞✉

♠♦❞è❧❡ s♦♥t ❞♦♥❝ x·1, x·2, ...x·p, x·p+1 ♣♦✉r ❧❡s p+1 ♠é❧❛♥❣❡s ✉t✐❧✐sés ❡t q·1, q·2, ...q·p, q·p+1 ♣♦✉r

❧❡s q✉❛♥t✐tés ❞♦♥♥é❡s ❞❡ ❝❤❛q✉❡ ♠é❧❛♥❣❡✳ ❆✐♥s✐✱ ❧✬❛❧✐♠❡♥t ❞♦♥♥é à ✉♥ ❛♥✐♠❛❧ ❧❡ ❥♦✉r j ❡st

❞♦♥♥é ♣❛r ❧❛ ❢♦r♠✉❧❡∑

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qjax·a. ✭✶✳✶✽✮

▲❡ ❝♦ût ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❡st ❛❧♦rs ♠♦❞é❧✐sé ♣❛r ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥

∑

j∈J

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qjactx·a. ✭✶✳✶✾✮

◆♦t♦♥s J1, J2, ..., Jp✱ ❧❡s ❡♥s❡♠❜❧❡s ❞❡ ❥♦✉rs ❞❡s ♣❤❛s❡s ✶✱ ✷✱ ✳✳✳✱ p✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡♠❡♥t✳

❆✜♥ q✉❡ ❧❡s ♠é❧❛♥❣❡s s♦✐❡♥t ✉t✐❧✐sés ❞❡ ❧❛ ♠❛♥✐èr❡ ❞♦♥t ♦♥ ❧❡ s♦✉❤❛✐t❡✱ ♥♦✉s ❞❡✈♦♥s ❢♦r❝❡r ❧❡s

q✉❛♥t✐tés ✉t✐❧✐sé❡s à êtr❡ ♥✉❧❧❡s ❧♦rsq✉❡ ❧❡ ♠é❧❛♥❣❡ ♥✬❡st ♣❛s ✉t✐❧✐sé✳ ❯♥ ♠é❧❛♥❣❡ k ❡st ✉t✐❧✐sé

✷✷

✉♥✐q✉❡♠❡♥t ♣❡♥❞❛♥t ❧❡s ♣❤❛s❡s k − 1 ❡t k✳ ▲❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s q✉❡ ♥♦✉s ❞❡✈♦♥s ❝♦♥s✐❞ér❡r s♦♥t

❞♦♥❝ ❞é✜♥✐❡s ♣❛r

qj1 = 0, ∀j 6∈ J1, ✭✶✳✷✵✮

qjk = 0, ∀j 6∈ Jk−1 ∪ Jk, ∀k ∈ {2, ..., p}, ✭✶✳✷✶✮

qj,p+1 = 0, ∀j 6∈ Jp. ✭✶✳✷✷✮

▲❛ ré❛❧✐s❛❜✐❧✐té ❞❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ♥✉tr✐t✐♦♥♥❡❧❧❡s ❡st q✉❛♥t à ❡❧❧❡✱ ❞♦♥♥é❡ ♣❛r ❧❛ ❢♦r♠✉❧❡

∑

a∈A

qjax·a ∈ Sj. ✭✶✳✷✸✮

❋✐♥❛❧❡♠❡♥t✱ ❧❡ ♠♦❞è❧❡ ❣é♥ér❛❧ ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❤②❜r✐❞❡ ♠♦♥♦❝r✐tèr❡ ✭MC✲p❍❋✲❊▲✮ ❡st

❞♦♥♥é ♣❛r

minX,Q

∑

j∈J

∑

a∈A

qjactx·a

s✳à∑

a∈A

qjax·a ∈ Sj, ∀j ∈ J,

qj1 = 0, ∀j 6∈ J1,qjk = 0, ∀j 6∈ Jk−1 ∪ Jk, ∀k ∈ {2, ..., p},qj,p+1 = 0, ∀j 6∈ Jp.

✭PHybride✮

▲❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ✭PHybride✮ r❡st❡ ✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞✬♦♣t✐♠✐s❛t✐♦♥ très ❞✐✣❝✐❧❡ ✿ ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ♦❜❥❡❝t✐❢

❡t ❧❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s s♦♥t ❜✐❧✐♥é❛✐r❡s✳ ❉❛♥s ❧✬ét✉❞❡ ♠❛t❤é♠❛t✐q✉❡ ♣rés❡♥té❡ ♣❧✉s ❧♦✐♥ ❞❛♥s ❧❡

❝❤❛♣✐tr❡ ✷✱ ♥♦✉s ❞é❝r✐✈♦♥s ❧❡s ❞✐✛ér❡♥t❡s ♣r♦♣r✐étés✱ ❧❡s ❛✈❛♥t❛❣❡s ❡t ✐♥❝♦♥✈é♥✐❡♥ts ❛ss♦❝✐é❡s

à ❝❡ t②♣❡ ❞❡ ♣r♦❜❧è♠❡✳

◆♦✉s ❛✈♦♥s ♣rés❡♥té ❝❡tt❡ ♥♦✉✈❡❧❧❡ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ❤②❜r✐❞❡✱ ❧❡ ♠♦❞è❧❡ ❡t ❧❡s rés✉❧t❛ts ♥✉♠ér✐q✉❡

❛ss♦❝✐és ❧♦rs ❞❡s ✹✾e ❏♦✉r♥é❡s ❞❡ ❧❛ ❘❡❝❤❡r❝❤❡ P♦r❝✐♥❡ ❡t ♦♥t ❢❛✐t ❧✬♦❜❥❡t ❞✬✉♥ ❛rt✐❝❧❡ ❞❡

❝♦♥❢ér❡♥❝❡ ✭❛♥♥❡①❡ ❇✮

✶✳✹✳✷ ❘és✉❧t❛ts ♥✉♠ér✐q✉❡s

◆♦✉s ❛✈♦♥s ❛♣♣❧✐q✉é ❧❡ ♠♦❞è❧❡MC✲p❍❋✲❊▲ ✭PHybride✮ ♣♦✉r ❧❡s ❞♦♥♥é❡s ❞❡ ✷✵✶✶ ❡t ✷✵✶✻✳ ❆✜♥

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✷✸

❉♦♥♥é❡s ▼ét❤♦❞❡ ❈♦ût ✭✩✴♣♦r❝✮ P ❡①❝rété ✭❦❣✮ ◆ ❡①❝rété ✭❦❣✮

✷✵✶✶

▼❈✲✶▼❋✲❊▲ ✶✵✵✳✸✸ ✶✳✷✵✸ ✹✳✵✻✷▼❈✲✶❍❋✲❊▲ ✾✻✳✷✸ ✶✳✶✻✸ ✸✳✹✻✸▼❈✲✷❍❋✲❊▲ ✾✺✳✷✾ ✶✳✶✾✶ ✸✳✸✹✼▼❈✲✸❍❋✲❊▲ ✾✺✳✶✷ ✶✳✶✼✼ ✸✳✸✸✾▼❈✲✹❍❋✲❊▲ ✾✺✳✶✵ ✶✳✶✼✵ ✸✳✸✷✹▼❈✲■❋✲❊▲ ✾✹✳✽✹ ✶✳✶✼✷ ✸✳✷✾✸

✷✵✶✻

▼❈✲✶▼❋✲❊▲ ✼✸✳✾✹ ✶✳✷✾✽ ✹✳✶✶✷▼❈✲✶❍❋✲❊▲ ✻✽✳✾✾ ✶✳✸✵✷ ✸✳✽✺✺▼❈✲✷❍❋✲❊▲ ✻✽✳✸✼ ✶✳✷✾✽ ✸✳✽✼✾▼❈✲✸❍❋✲❊▲ ✻✼✳✻✻ ✶✳✷✼✾ ✸✳✽✹✸▼❈✲✹❍❋✲❊▲ ✻✼✳✺✵ ✶✳✷✼✼ ✸✳✽✾✻▼❈✲■❋✲❊▲ ✻✼✳✷✸ ✶✳✷✼✹ ✸✳✽✻✷

❚❛❜❧❡❛✉ ✶✳✷ ✕ ❈♦♠♣❛r❛✐s♦♥ ❞❡s ♠ét❤♦❞❡s ❞✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ MC✲p❍❋✲❊▲✱ ♣♦✉r p❂✶ à p❂✹✱❛✈❡❝ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ tr❛❞✐t✐♦♥♥❡❧❧❡ ❡t ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ✐❞é❛❧❡✱ ❛♣♣❧✐q✉é❡ ❛✉① ❞♦♥♥é❡s ❞❡ ✷✵✶✶ ❡t✷✵✶✻✳

❞❡ ✶ à ✹ ❡t ♥♦✉s ❝♦♠♣❛r♦♥s ❧❡s rés✉❧t❛ts à ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ tr❛❞✐t✐♦♥♥❡❧❧❡ ▼❈✲✸P❋✲❊❋ ❡t à

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◆♦t♦♥s q✉❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ♣❛r ♠é❧❛♥❣❡s ▼❈✲✶▼❋✲❊▲ ♣❡✉t ❛✉ss✐ êtr❡ ♥♦té❡ ▼❈✲✶❍❋✲❊▲✳ ❊♥

❡✛❡t✱ ❧❛ ♣ér✐♦❞❡ ❞❡ ❝r♦✐ss❛♥❝❡ ❡st ❝♦♥s✐❞éré❡ ❝♦♠♠❡ ✉♥❡ s❡✉❧❡ ♣❤❛s❡ ❡t ❞❡✉① ❛❧✐♠❡♥ts s♦♥t

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▲❡ t❛❜❧❡❛✉ ✶✳✷ r❡❣r♦✉♣❡ ❧❡ ❝♦ût ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥✱ ❡t ❧❡s r❡❥❡ts ❞❡ ♣❤♦s♣❤♦r❡ ❡t ❞✬❛③♦t❡ ♣♦✉r

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♣❤❛s❡s ♣❡r♠❡t ❞❡ ré❞✉✐r❡ ❧❡ ❝♦ût ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❞❡ ✺✳✵✪✱ ✺✳✶✾✪ ❡t ✺✳✷✶✪ r❡s♣❡❝t✐✈❡♠❡♥t

♣♦✉r p = 2, 3 ❡t ✹✱ ❡♥ ✉t✐❧✐s❛♥t ❧❡s ❞♦♥♥é❡s ❞❡ ✷✵✶✶✳ P❛r❛❧❧è❧❡♠❡♥t✱ ❧❡s r❡❥❡ts ❞❡ ♣❤♦s♣❤♦r❡

s♦♥t ré❞✉✐ts ❡♥tr❡ ✶✳✵✪ ❡t ✸✳✸✪ ❡t ❧❡s r❡❥❡ts ❞✬❛③♦t❡ ❡♥tr❡ ✶✹✳✽✪ ❡t ✶✽✳✷✪✳

▲♦rsq✉❡ ❝❡ ♠♦❞è❧❡ ❡st ❛♣♣❧✐q✉é ❛✉① ❞♦♥♥é❡s ❞❡ ✷✵✶✻✱ ❧❡s rés✉❧t❛ts ♥✉♠ér✐q✉❡s s♦♥t s❡♠✲

❜❧❛❜❧❡s✳ P♦✉r p = 2✱ ✸ ❡t ✹✱ ♦♥ ♦❜s❡r✈❡ ✉♥❡ ré❞✉❝t✐♦♥ ❞✉ ❝♦ût ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❞❡ ✼✳✺✸✪✱

✽✳✹✾✪ ❡t ✽✳✼✵✪ r❡s♣❡❝t✐✈❡♠❡♥t✳ ▲❡s r❡❥❡ts ❞❡ ♣❤♦s♣❤♦r❡ s♦♥t✱ q✉❛♥t à ❡✉①✱ ré❞✉✐ts ❥✉sq✉✬à

✶✳✼✪ ❡t ❝❡✉① ❞✬❛③♦t❡ ❡♥tr❡ ✺✳✷✺✪ ❡t ✻✳✺✪✳

◆♦✉s ♥❡ ♣rés❡♥t♦♥s ♣❛s ❧❡s rés✉❧t❛ts ♣♦✉r ❞❡s p ≥ 5 ❞❛♥s ❝❡ ♠❛♥✉s❝r✐t✳ ❊♥ ❡✛❡t✱ ♦♥ ♣❡✉t

✷✹

r❡♠❛rq✉❡r✱ ❞❛♥s ❧❡ t❛❜❧❡❛✉ ✶✳✷✱ q✉❡ ❧❡ ❝♦ût ❞✬✉♥❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❤②❜r✐❞❡ à ✹ ♣❤❛s❡s ❡st s✐t✉é

à s❡✉❧❡♠❡♥t ✵✳✷✾✪ ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ✐❞é❛❧❡ ❧♦rsq✉❡ ♥♦✉s ✉t✐❧✐s♦♥s ❧❡s ❞♦♥♥é❡s ❞❡ ✷✵✶✶✱ ❡t

à ✵✳✸✼✪ ❧♦rsq✉❡ ♥♦✉s ✉t✐❧✐s♦♥s ❧❡s ❞♦♥♥é❡s ❞❡ ✷✵✶✻✳ ▲✬❛♠é❧✐♦r❛t✐♦♥ q✉❡ ♥♦✉s ré❛❧✐s♦♥s ❡♥

❛✉❣♠❡♥t❛♥t p ❡st très ❢❛✐❜❧❡ ♣♦✉r ❞❡s ✈❛❧❡✉rs ❞❡ p ≥ 5✳ ❚♦✉t❡❢♦✐s✱ ❛✉❣♠❡♥t❡r ❧❡ ♥♦♠❜r❡ ❞❡

♣❤❛s❡s ❝♦♥s✐❞éré❡s ❞✐♠✐♥✉❡r❛ ❧❡ ❝♦ût ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥✳

✶✳✺ ❍✐ér❛r❝❤✐❡ ❞❡s ♠♦❞è❧❡s

■❧ ❡①✐st❡ ✉♥❡ ❤✐ér❛r❝❤✐❡ ❡♥tr❡ ❧❡s ✈❛❧❡✉rs ♦♣t✐♠❛❧❡s ❞❡s ❞✐✛ér❡♥ts ♠♦❞è❧❡s ♠❛t❤é♠❛t✐q✉❡s q✉❡

♥♦✉s ✈❡♥♦♥s ❞✬✐♥tr♦❞✉✐r❡✱ ❝❤❛❝✉♥ r❡♣rés❡♥t❛♥t ✉♥❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥✳ ❆✐♥s✐✱ ❡♥ ✈❡rs✐♦♥ ♠♦♥♦❝r✐✲

tèr❡✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ❧❡ t❤é♦rè♠❡ s✉✐✈❛♥t✳

❚❤é♦rè♠❡ ✶ ▲❡s ✈❛❧❡✉rs ♦♣t✐♠❛❧❡s ❞❡s ♠♦❞è❧❡s ❞✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ s♦♥t ❧✐é❡s ♣❛r ❧❡s r❡❧❛t✐♦♥s

s✉✐✈❛♥t❡✱ ♦ù ❧❡s ✐♥é❣❛❧✐tés s✉r ❧❡s s❡❣♠❡♥ts ✈❡rt✐❝❛✉① ❞♦✐✈❡♥t êtr❡ ❧✉❡s ❞❡ ❤❛✉t ❡♥ ❜❛s ✿

▼❈✲■❋✲❊▲

▼❈✲■❋✲❊❋

▼❈✲p▼❋✲❊▲

▼❈✲pP❋✲❊▲

▼❈✲pP❋✲❊❋

▼❈✲p▼❋✲❊❋

▼❈✲✶▼❋✲❊▲

▼❈✲✶▼❋✲❊❋

▼❈✲✶✶✶▼❋✲❊❋

▼❈✲✶✶✶▼❋✲❊▲

6 6 6 6 6

6

6

6

6

6

6

6

6

Pr❡✉✈❡✳

❙♦✐tM1 ❡tM2 ❞❡✉① ♠♦❞è❧❡s✳ ❖♥ ✈❡✉t ♠♦♥tr❡r q✉❡ ❧❡✉rs ✈❛❧❡✉rs ♦♣t✐♠❛❧❡s s✉✐✈❡♥t ❧❛ r❡❧❛t✐♦♥

✷✺

s✉✐✈❛♥t❡ ✿

v(M1) 6 v(M2).

P♦✉r ❝❡❧❛✱ ✐❧ s✉✣t ❞❡ r❡♠❛rq✉❡r q✉❡ ❧❛ s♦❧✉t✐♦♥ ♦♣t✐♠❛❧❡ ❞❡ M2✱ x∗(M2) ❡st ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥

ré❛❧✐s❛❜❧❡ ♣♦✉r M1✳

✶✳ v(▼❈✲❳❳❳✲❊▲) 6 v(▼❈✲❳❳❳✲❊❋✮✳

■❧ ❡st é✈✐❞❡♥t q✉❡ ❧❛ ✈❛❧❡✉r ♦♣t✐♠❛❧❡ ❞✬✉♥ ♠♦❞è❧❡ ▼❈✲❳❳❳✲❊❋ ❡st ♣❧✉s ❣r❛♥❞❡ q✉❡

❝❡❧❧❡ ❞✬✉♥ ♠♦❞è❧❡ ▼❈✲❳❳❳✲❊▲✳ ❊♥ ❡✛❡t✱ ❧❡s ♠♦❞è❧❡s à é♥❡r❣✐❡ ✜①❡ s♦♥t ♠♦❞é❧✐sés

❞❡ ❧❛ ♠ê♠❡ ♠❛♥✐èr❡ q✉❡ ❧❡s ♠♦❞è❧❡s à é♥❡r❣✐❡ ❧✐❜r❡✱ ❛✈❡❝ ❝❡♣❡♥❞❛♥t ❧❛ ❝♦♥tr❛✐♥t❡ ❞❡

❞❡♥s✐té é♥❡r❣ét✐q✉❡ ❡♥ ♣❧✉s✱ ♠♦❞é❧✐sé❡ ♣❛r

∑

i∈I

mtEx·a = dEj, ✭✶✳✷✹✮

♦ù dEj ❡st ❧❛ ❞❡♥s✐té é♥❡r❣ét✐q✉❡ s♦✉❤❛✐té❡✳

✷✳ v(▼❈✲p▼❋✲❊▲) 6 v(▼❈✲✶▼❋✲❊▲✮ ❡t v(▼❈✲p▼❋✲❊❋) 6 v(▼❈✲✶▼❋✲❊❋✮✳

◆♦t♦♥s xA ❡t xB ❧❡s ♠é❧❛♥❣❡s ✉t✐❧✐sés ❞❛♥s ❧❛ s♦❧✉t✐♦♥ ♦♣t✐♠❛❧❡ x∗1 ❞❡ ▼❈✲✶▼❋✲❊▲✳ ■❧

s✉✣t ❞❡ ♥♦t❡r q✉✬❡♥ ✉t✐❧✐s❛♥t✱ ♣♦✉r ❝❤❛q✉❡ ♣❤❛s❡ ❞❡ ▼❈✲p▼❋✲❊▲✱ ❧❡s ♠é❧❛♥❣❡s xA ❡t

xB✱ ♥♦✉s r❡tr♦✉✈♦♥s x∗1✳ ❈✬❡st ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ré❛❧✐s❛❜❧❡ ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ▼❈✲p▼❋✲❊▲✱ s❛♥s

q✉✬❡❧❧❡ s♦✐t ❢♦r❝é♠❡♥t ♦♣t✐♠❛❧❡✳ ❆✐♥s✐✱ ♦♥ ❛ ❜✐❡♥ v(▼❈✲p▼❋✲❊▲) 6 v(▼❈✲✶▼❋✲❊▲✮✳

❖♥ ✉t✐❧✐s❡ ❧❛ ♠ê♠❡ t❡❝❤♥✐q✉❡ ♣♦✉r ♣r♦✉✈❡r v(▼❈✲p▼❋✲❊❋) 6 v(▼❈✲✶▼❋✲❊❋✮✳

✸✳ v(▼❈✲p▼❋✲❊▲) 6 v(▼❈✲pP❋✲❊▲✮ ❡t v(▼❈✲p▼❋✲❊❋) 6 v(▼❈✲pP❋✲❊❋✮✳

◆♦t♦♥s xA1, xA2, xB1, xB2✱ ✳✳✳✱ xp1, xp2 ❧❡s ♠é❧❛♥❣❡s ✉t✐❧✐sés ❞❛♥s ❧❛ s♦❧✉t✐♦♥ ♦♣t✐♠❛❧❡

❞❡ ▼❈✲p▼❋✲❊▲✳ ❖♥ r❡♠❛rq✉❡ ❛❧♦rs q✉✬❡♥ ♣♦s❛♥t ✜①❛♥t xλ2 = 0 ❞❛♥s ❧❡ ♠♦❞è❧❡ ▼❈✲

p▼❋✲❊▲✱ ♦♥ r❡tr♦✉✈❡ ❧❛ s♦❧✉t✐♦♥ ♦♣t✐♠❛❧❡ ❞❡ ▼❈✲pP❋✲❊▲✳ ❖♥ ❛ ❞♦♥❝ ✐♠♠é❞✐❛t❡♠❡♥t

q✉❡ v(▼❈✲p▼❋✲❊▲) 6 v(▼❈✲pP❋✲❊▲✮✳ ❖♥ ✉t✐❧✐s❡ ❧❛ ♠ê♠❡ t❡❝❤♥✐q✉❡ ♣♦✉r ♣r♦✉✈❡r

v(▼❈✲p▼❋✲❊❋) 6 v(▼❈✲pP❋✲❊❋✮✳

✹✳ v(▼❈✲✶✶✶▼❋✲❊▲) 6 v(▼❈✲p▼❋✲❊▲✮ ❡t v(▼❈✲✶✶✶▼❋✲❊❋) 6 v(▼❈✲p▼❋✲❊❋✮✳

❙♦✐t (x∗A, x∗B, q

∗A, q

∗B) ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦♣t✐♠❛❧❡ ❞❡ ▼❈✲p▼❋✲❊▲✳ ❖♥ r❡♠❛rq✉❡ q✉✬❡♥ ♣♦✲

s❛♥t✱ ♣♦✉r t♦✉t j ∈ J ✱ xAj = x∗A, xBj = x∗B, qAj = q∗Aj ❡t qBj = q∗Bj✱ ♦♥ r❡tr♦✉✈❡

✷✻

✉♥ ♣♦✐♥t ré❛❧✐s❛❜❧❡ ❞❡ ▼❈✲✶✶✶▼❋✲❊▲ ❡t ♦♥ ❛ ✐♠♠é❞✐❛t❡♠❡♥t q✉❡ v(▼❈✲✶✶✶▼❋✲

❊▲) 6 v(▼❈✲p▼❋✲❊▲✮✳ ❖♥ ✉t✐❧✐s❡ ❧❛ ♠ê♠❡ t❡❝❤♥✐q✉❡ ♣♦✉r ♠♦♥tr❡r q✉❡ v(▼❈✲

✶✶✶▼❋✲❊❋) 6 v(▼❈✲p▼❋✲❊❋✮✳

✺✳ v(▼❈✲■❋✲❊▲) 6 v(▼❈✲✶✶✶▼❋✲❊▲✮ ❡t v(▼❈✲■❋✲❊❋) 6 v(▼❈✲✶✶✶▼❋✲❊❋✮✳

❙♦✐❡♥t (x∗A1, x∗B1, ..., x

∗A111, x

∗B111, q

∗A1, q

∗B1, ..., q

∗A111, q

∗B11) ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ ▼❈✲✶✶✶▼❋✲

❊▲✳ ❖♥ r❡♠❛rq✉❡ q✉✬❡♥ ♣♦s❛♥t xij = q∗Ajx∗Aji + q∗Bjx

∗Bji ♣♦✉r t♦✉t i ∈ I ❡t ♣♦✉r t♦✉t

j ∈ J ♦♥ ♦❜t✐❡♥t ✉♥ ♣♦✐♥t ré❛❧✐s❛❜❧❡ ❞❡ ▼❈✲■❋✲❊▲✳ ❖♥ ❛ ❞♦♥❝ ✐♠♠é❞✐❛t❡♠❡♥t q✉❡

v(▼❈✲■❋✲❊▲) 6 v(▼❈✲✶✶✶▼❋✲❊▲✮✳ ❖♥ ✉t✐❧✐s❡ ❧❛ ♠ê♠❡ t❡❝❤♥✐q✉❡ ♣♦✉r ♠♦♥tr❡r q✉❡

v(▼❈✲■❋✲❊❋) 6 v(▼❈✲✶✶✶▼❋✲❊❋✮✳

■❧ ❡①✐st❡ é❣❛❧❡♠❡♥t ✉♥❡ ❤✐ér❛r❝❤✐❡ ❛✈❡❝ ❧❡s ♠♦❞è❧❡s ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❤②❜r✐❞❡ q✉✐ ❡st rés✉♠é❡

❞❛♥s ❧❡ t❤é♦rè♠❡ s✉✐✈❛♥t✳

❚❤é♦rè♠❡ ✷ ▲❡s ✈❛❧❡✉rs ♦♣t✐♠❛❧❡s ❞❡s ♠♦❞è❧❡s ❞✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ à é♥❡r❣✐❡ ❧✐❜r❡ s♦♥t ❧✐é❡s ♣❛r

❧❡s r❡❧❛t✐♦♥s s✉✐✈❛♥t❡s ✿

▼❈✲■❋✲❊▲ ▼❈✲p▼❋✲❊▲ MC✲p❍❋✲❊▲

▼❈✲pP❋✲❊▲

▼❈✲✶▼❋✲❊▲

6 6

6

6

Pr❡✉✈❡✳

✶✳ v(MC✲p❍❋✲❊▲) 6 v(▼❈✲pP❋✲❊▲✮✳

❙♦✐t x1, x2, ..., xp ❧❡s ♠é❧❛♥❣❡s ❞❡ ❧❛ s♦❧✉t✐♦♥ ♦♣t✐♠❛❧❡ ❞❡ ▼❈✲pP❋✲❊▲ ❡t q1, q2, ...qp ❧❡s

q✉❛♥t✐tés✳ ◆♦t♦♥s q✉❡ ♣♦✉r ❝❤❛q✉❡ ♣❤❛s❡ k✱ ♦♥ ❛ qjk 6= 0 s✐ ❡t s❡✉❧❡♠❡♥t s✐ j 6∈ Jk✳

❘❡♠❛rq✉♦♥s ♠❛✐♥t❡♥❛♥t q✉❡ ❝❡tt❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❡st ré❛❧✐s❛❜❧❡ ♣♦✉r ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡MC✲p❍❋✲

❊▲✳ ❊♥ ❡✛❡t✱ ♣♦✉r ❝❤❛q✉❡ ♣❤❛s❡ k✱ ♦♥ ♣❡✉t ✉t✐❧✐s❡r ❧❡s ♠é❧❛♥❣❡s xk ❡t xk+1✱ ❛✐♥s✐ q✉❡

✷✼

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♣❤❛s❡ ✶✱ ♦♥ ✉t✐❧✐s❡ ❧❡s ♠é❧❛♥❣❡s ✶ ❡t ✷✱ ♠❛✐s qj2 = 0 ♣♦✉r t♦✉t j ∈ J1✳ ❋✐♥❛❧❡♠❡♥t✱

✉♥✐q✉❡♠❡♥t ❧❡ ♠é❧❛♥❣❡ ✶ ❡st ✉t✐❧✐sé ❡♥ ♣❤❛s❡ ✶✳ P♦✉r ❧❛ ♣❤❛s❡ ✷✱ ♦♥ ✉t✐❧✐s❡ ❧❡s ♠é❧❛♥❣❡s

✷ ❡t ✸✱ ♠❛✐s qj3 = 0 ♣♦✉r t♦✉t j ∈ J3✱ ❞♦♥❝ ✜♥❛❧❡♠❡♥t ✉♥✐q✉❡♠❡♥t ❧❡ ♠é❧❛♥❣❡ ✷ ❡st

✉t✐❧✐sé✳ ❊t ♦♥ ♣r♦❝è❞❡ ❞❡ ❧❛ ♠ê♠❡ ♠❛♥✐èr❡ ♣♦✉r t♦✉t❡s ❧❡s ♣❤❛s❡s✳ ❆✐♥s✐✱ ❧❛ s♦❧✉t✐♦♥

♦♣t✐♠❛❧❡ ❞❡ ▼❈✲pP❋✲❊▲ ❡st ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ré❛❧✐s❛❜❧❡ ❞❡ MC✲p❍❋✲❊▲✳

✷✳ v(MC✲p❍❋✲❊▲) 6 v(▼❈✲✶▼❋✲❊▲✮✳

❙♦✐t x1 ❡t x2 ❧❡s ♠é❧❛♥❣❡s ❞❡ ❧❛ s♦❧✉t✐♦♥ ♦♣t✐♠❛❧❡ ❞✉ ♠♦❞è❧❡ ▼❈✲✶▼❋✲❊▲ ❡t q1 ❡t

q2 ❧❡s q✉❛♥t✐tés ❛ss♦❝✐é❡s✳ ◆♦t♦♥s y1, y2, ..., yp+1 ❧❡s ♠é❧❛♥❣❡s ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ MC✲

p❍❋✲❊▲ ❡t w1, w2, ..., wp+1 ❧❡s q✉❛♥t✐tés ❛ss♦❝✐é❡s✳ ❊♥ ♣r❡♥❛♥t✱ ♣♦✉r ❝❤❛q✉❡ ♣❤❛s❡

k✱ yk = x1, yk+1 = x2 ❡t wjk = qj1, wj,k+1 = qj2 ♣♦✉r t♦✉t j ∈ Jk s✐ k ❡st ✐♠♣❛✐r ❡t

yk = x2, yk+1 = x1 ❡t wjk = qj2, wj,k+1 = qj1 ♣♦✉r t♦✉t j ∈ Jk s✐ k ❡st ♣❛✐r✱ ♦♥ r❡tr♦✉✈❡

❧❛ s♦❧✉t✐♦♥ ♦♣t✐♠❛❧❡ ❞✉ ♠♦❞è❧❡ ▼❈✲✶▼❋✲❊▲✳ ❆✐♥s✐✱ ❝✬❡st ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ré❛❧✐s❛❜❧❡ ❞✉

♣r♦❜❧è♠❡ MC✲p❍❋✲❊▲✱ ❡t ♦♥ ❛ ❞✐r❡❝t❡♠❡♥t v(MC✲p❍❋✲❊▲) 6 v(▼❈✲✶▼❋✲❊▲✮✳

✸✳ v(▼❈✲p▼❋✲❊▲) 6 v(MC✲p❍❋✲❊▲✮

❈❡tt❡ ✐♥é❣❛❧✐té ❞é❝♦✉❧❡ ✐♠♠é❞✐❛t❡♠❡♥t ❞✉ ❢♦♥❝t✐♦♥♥❡♠❡♥t ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❤②❜r✐❞❡✳

❊♥ ❡✛❡t✱ s♦✐t x1, x2, ..., xp+1 ❧❡s ♠é❧❛♥❣❡s ❞❡ ❧❛ s♦❧✉t✐♦♥ ♦♣t✐♠❛❧❡ ❞✉ ♠♦❞è❧❡ MC✲

p❍❋✲❊▲ ❡t q1, q2, ..., qp+1 ❧❡s q✉❛♥t✐tés ❛ss♦❝✐é❡s ❡t s♦✐t y1, y2, ..., y2p, w1, w2, ..., w2p ❧❡s

♠é❧❛♥❣❡s ❡t q✉❛♥t✐té ❞✬✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ ▼❈✲p▼❋✲❊▲✳ P♦✉r ❝❤❛q✉❡ ♣❤❛s❡ k > 2✱ s✐ ♥♦✉s

♣♦s♦♥s ❧❡s ♠é❧❛♥❣❡s yk−2 ❡t yk−1 à êtr❡ é❣❛✉① ❛✉ ♠é❧❛♥❣❡ xk ❡t wj,2k−2 = qjk ♣♦✉r t♦✉t

j ∈ Jk−1 ❡t wj,2k−1 = qjk✱ ♣♦✉r t♦✉t j ∈ Jk✳ ❖♥ ♣♦s❡ ❞❡ ♣❧✉s y1 = x1✱ ❡t wj1 = qj1 ♣♦✉r

t♦✉t j ∈ J1✳ ❆✐♥s✐✱ ❝❡tt❡ s♦❧✉t✐♦♥✱ ✐❞❡♥t✐q✉❡ à ❧❛ s♦❧✉t✐♦♥ ♦♣t✐♠❛❧❡ ❞❡MC✲p❍❋✲❊▲ ❡st

✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ré❛❧✐s❛❜❧❡ ❞❡ ▼❈✲p▼❋✲❊▲ ❞✬♦ù v(▼❈✲p▼❋✲❊▲) 6 v(MC✲p❍❋✲❊▲✮✳

❖♥ ❛ ❧❡s ♠ê♠❡s r❡❧❛t✐♦♥s ♣♦✉r ✉♥❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ à é♥❡r❣✐❡ ✜①❡✳ ❙❛ ♣r❡✉✈❡ s❡ ❢❛✐t ❞❡ ❧❛ ♠ê♠❡

♠❛♥✐èr❡ q✉❡ ❝❡❧❧❡ ❞✉ t❤é♦rè♠❡ ✷✳

❚❤é♦rè♠❡ ✸ ▲❡s ✈❛❧❡✉rs ♦♣t✐♠❛❧❡s ❞❡s ♠♦❞è❧❡s ❞✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ à é♥❡r❣✐❡ ✜①❡ s♦♥t ❧✐é❡s ♣❛r

✷✽

❧❡s r❡❧❛t✐♦♥s s✉✐✈❛♥t❡s ✿

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6

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▲❛ rés♦❧✉t✐♦♥ ♥✉♠ér✐q✉❡ ❞❡ ❝❡ ♠♦❞è❧❡ s❡ ❢❛✐t ❢❛❝✐❧❡♠❡♥t ❣râ❝❡ à ❞✐✛ér❡♥ts s♦❧✈❡✉rs ❞✬♦♣t✐✲

♠✐s❛t✐♦♥ ♥♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡✳ ❉❡ ♣❧✉s✱ ♥♦✉s ♦❜t❡♥♦♥s ❞❡ très ❜♦♥s rés✉❧t❛ts ❛✈❡❝ ✉♥❡ ❞✐♠✐♥✉t✐♦♥

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❚♦✉t❡❢♦✐s✱ ❞✬✉♥ ♣♦✐♥t ❞❡ ✈✉❡ ♠❛t❤é♠❛t✐q✉❡✱ ❝❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❡st ❡①trê♠❡♠❡♥t ❞✐✣❝✐❧❡ à rés♦✉❞r❡✳

▼ê♠❡ ❞❛♥s ❧❛ ✈❡rs✐♦♥ ❧❛ ♣❧✉s s✐♠♣❧❡✱ ❧❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡ ❞✐s❥♦✐♥t✱ ❝❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❡st ❞✐✣❝✐❧❡✳ ❱ér✐✜❡r

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❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❜✐❧✐♥é❛✐r❡s ❡t ❧✐♥é❛✐r❡s✳

❊♥ ✉t✐❧✐s❛♥t ❧❡s ♥♦t❛t✐♦♥s s✉✐✈❛♥t❡s ✿

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✖ J ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s ❥♦✉rs ❞❡ ❧❛ ♣ér✐♦❞❡ ❞❡ ❝r♦✐ss❛♥❝❡✱

✖ P ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s ♥✉tr✐♠❡♥ts✱

✖ x1 ❡t x2 ❧❛ ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❞❡s ❛❧✐♠❡♥ts✱

✖ y1 ❡t y2 ❧❡s q✉❛♥t✐tés ❥♦✉r♥❛❧✐èr❡s ❞❡ x1 ❡t x2 r❡s♣❡❝t✐✈❡♠❡♥t✱

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✖ dp ❡t dp❧❡s ❜♦r♥❡s ✐♥❢ér✐❡✉r❡ ❡t s✉♣ér✐❡✉r❡ ❞✉ ♥✉tr✐♠❡♥t p✱

✖ A ✉♥❡ ♠❛tr✐❝❡ r❡♣rés❡♥t❛♥t ❧❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❧✐♥é❛✐r❡s ✭t②♣✐q✉❡♠❡♥t✱ ❧❛ ❝♦♥tr❛✐♥t❡ ❞❡

♣r♦♣♦rt✐♦♥ s✉r ❧❛ ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❞❡s ❛❧✐♠❡♥ts ❡t ❧❛ ❝♦♥tr❛✐♥t❡ ❞❡ ❝❛♣❛❝✐té ❞✬✐♥❣❡st✐♦♥✮✱

✖ b ❡t b ❧❡s ❜♦r♥❡s ✐♥❢ér✐❡✉r❡ ❡t s✉♣ér✐❡✉r❡ ❞❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❧✐♥é❛✐r❡s✱

✖ ux1, ux2

, uy1 ❡t uy2 ❧❡s ❜♦r♥❡s s✉♣ér✐❡✉r❡s ❞❡s ✈❛r✐❛❜❧❡s✱

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i∈I

∑

j∈J

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s✳à dpj 6∑

i∈I

qpi (x1iy1j + x2iy2j) 6 dp

j , ∀p ∈ P, ∀j ∈ J,

b 6 A

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6 b,

0 6

x1x2y1y2

6

ux1

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.

✭✷✳✶✮

❈❡ ♠♦❞è❧❡ s❡ ❧✐♠✐t❡ ❛✉① ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❞✬✐♥é❣❛❧✐tés✳ ❉❛♥s ❧❡ ❝❛s ❞❡ ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❞✬é❣❛❧✐té✱ ♦♥

✸✷

❝♦♥s✐❞ér❡r❛ q✉❡ ❧❡s ❜♦r♥❡s s✉♣ér✐❡✉r❡ ❡t ✐♥❢ér✐❡✉r❡ s♦♥t é❣❛❧❡s✳ ■❧ ② ❛ 2(|I|+ |J |) ✈❛r✐❛❜❧❡s ❡t|P | × |J | ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❜✐❧✐♥é❛✐r❡s✳ ▲❡ ♥♦♠❜r❡ ❞❡ ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❧✐♥é❛✐r❡s ❝♦rr❡s♣♦♥❞ ❛✉ ♥♦♠❜r❡

❞❡ ❧✐❣♥❡s ❞❡ ❧❛ ♠❛tr✐❝❡ A ❡t ✐❧ ② ❛ ❛✉ ♣❧✉s 2(|I|+ |J |) ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❞❡ ❜♦r♥❡s✳

▲❡s ♣r♦❜❧è♠❡s ❜✐❧✐♥é❛✐r❡s ♦♥t été ✐♥tr♦❞✉✐ts ♣♦✉r ❧❛ ♣r❡♠✐èr❡ ❢♦✐s ♣❛r ◆❛s❤ ❬✼✵❪ ❞❛♥s ❧❡ ❝❛❞r❡

❞❡ ❧❛ t❤é♦r✐❡ ❞❡s ❥❡✉① ❛✈❡❝ ❝❡ q✉✐ ❡st ❛✉❥♦✉r❞✬❤✉✐ ❛♣♣❡❧é ❧❡ ❥❡✉ ❜✐♠❛tr✐❝✐❡❧✳ ▲❡ ♣r♦❜❧è♠❡

❜✐❧✐♥é❛✐r❡ tr❛❞✐t✐♦♥♥❡❧✱ ❡t ❧❡ ♣❧✉s s♦✉✈❡♥t ét✉❞✐é✱ ❛ ✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ♦❜❥❡❝t✐❢ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡ ❡t ❞❡s

❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❧✐♥é❛✐r❡s✳ ■❧ ❡st ❣é♥ér❛❧❡♠❡♥t ❢♦r♠✉❧é

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xy

)

6 b.✭✷✳✷✮

❈❡s ♣r♦❜❧è♠❡s ❞✐✛èr❡♥t ❝❡♣❡♥❞❛♥t ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ✭✷✳✶✮ ❝❛r ✐❧s ♥❡ ❝♦♥t✐❡♥♥❡♥t ♣❛s ❞❡ ❝♦♥tr❛✐♥t❡s

❜✐❧✐♥é❛✐r❡s✳ ▲❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ✭✷✳✷✮ ❛ été ❧❛r❣❡♠❡♥t ét✉❞✐é ❬✷✱ ✹✱ ✶✼✱ ✶✽✱ ✸✺✱ ✹✵✱ ✹✷✱ ✹✸✱ ✺✸✱ ✺✽✱ ✻✵✱

✺✾✱ ✻✺✱ ✼✸✱ ✾✵✱ ✾✷✱ ✾✶✱ ✾✾❪ ❡t ❞✐✛ér❡♥ts ❛❧❣♦r✐t❤♠❡s ♦♥t été ❞é✈❡❧♦♣♣és ❛✜♥ ❞❡ ❞ét❡r♠✐♥❡r

✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❣❧♦❜❛❧❡✳ ❈❡rt❛✐♥s ✉t✐❧✐s❡♥t ❞❡s ❛❧❣♦r✐t❤♠❡s ❞❡ ❇r❛♥❝❤ ❛♥❞ ❇♦✉♥❞ ❬✹✱ ✸✺✱ ✹✵✱

✻✺✱ ✾✷✱ ✾✶❪✱ ❞❡s ❛❧❣♦r✐t❤♠❡s ❞❡ ♣❧❛♥s ❝♦✉♣❛♥ts ❬✷✱ ✹✸✱ ✾✵❪✱ ♦✉ ❡♥❝♦r❡ ❞❡s tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❡♥

♣r♦❜❧è♠❡s ❧✐♥é❛✐r❡s ♠✐①t❡s ❡♥ ♥♦♠❜r❡s ❡♥t✐❡rs ❬✶✼✱ ✹✷✱ ✺✽✱ ✼✸❪✳ ◆♦t♦♥s q✉❡ ❝❡s ❛❧❣♦r✐t❤♠❡s

♦♥t été t❡stés s✉r ❞❡s ♣r♦❜❧è♠❡s ❞❡ ♣❡t✐t❡ t❛✐❧❧❡✱ ❣é♥ér❛❧❡♠❡♥t ♠♦✐♥s ❞❡ ✶✵ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❡t ✶✵

❝♦♥tr❛✐♥t❡s✳ ▲❡ ♣❧✉s ❣r♦s ♣r♦❜❧è♠❡ ❝♦♥s✐❞éré ❞❛♥s ❝❡s ❞✐✛ér❡♥ts ❛rt✐❝❧❡s ❛ ✶✻✽ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❡t ✹✽

❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❬✾✵❪✳ ❈❡♣❡♥❞❛♥t✱ ❝❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❛ été ✐♥tr♦❞✉✐t ✐❧ ② ❛ ♣❧✉s✐❡✉rs ❞é❝❡♥♥✐❡s✳ ▲❡s ❛rt✐❝❧❡s

♣❧✉s ré❝❡♥ts ❛♣♣❧✐q✉❡♥t ❧❡✉rs ♠ét❤♦❞❡s ❡t ❛❧❣♦r✐t❤♠❡s s✉r ❞❡s ♣r♦❜❧è♠❡s ❛②❛♥t ✷✸ ✈❛r✐❛❜❧❡s

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♥♦✉s ♥♦✉s ✐♥tér❡ss♦♥s ❡t q✉✐ ❝♦♠♣♦rt❡ ❡♥✈✐r♦♥ ✷✺✵ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❡t ✷✼✵✵ ❝♦♥tr❛✐♥t❡s✳

✷✳✶✳✷ ■♥st❛♥❝❡s ❝♦♥s✐❞éré❡s

❚♦✉t ❛✉ ❧♦♥❣ ❞❡ ❝❡ ❝❤❛♣✐tr❡✱ ❞❡✉① ✐♥st❛♥❝❡s t②♣✐q✉❡s s❡r♦♥t ❝♦♥s✐❞éré❡s✳ ❊❧❧❡s ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥t

à ❞❡✉① s❝é♥❛r✐♦s ré❡❧s à ❞❡s ✐♥st❛♥ts ❞✐✛ér❡♥ts✳ P♦✉r ♣❧✉s ❞❡ s✐♠♣❧✐❝✐té✱ ♥♦✉s ❧❡s ❞é♥♦♠♠❡r♦♥s

✐♥st❛♥❝❡ ✶ ❡t ✐♥st❛♥❝❡ ✷✳ ▲❛ ♠♦❞é❧✐s❛t✐♦♥ ❡st ❢❛✐t❡ s✉r ✉♥ ❛♥✐♠❛❧ ♠♦②❡♥✱ r❡♣rés❡♥t❛t✐❢ ❞✬✉♥❡

✸✸

♣♦♣✉❧❛t✐♦♥✳

▲✬✐♥st❛♥❝❡ ✶ ❝♦rr❡s♣♦♥❞ à ❞❡s ❞♦♥♥é❡s ❞❡ ✷✵✶✶✳ ▲❛ ♣ér✐♦❞❡ ❞❡ ❝r♦✐ss❛♥❝❡ ❞❡ ❧✬❛♥✐♠❛❧ ❡st ❞❡

✶✶✶ ❥♦✉rs ❡t ✶✻ ✐♥❣ré❞✐❡♥ts ❞✐✛ér❡♥ts s♦♥t ✉t✐❧✐sés✳ ❆✐♥s✐✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s |I| = 16 ❡t |J | = 111✱

❝✬❡st✲à✲❞✐r❡ 2(|I| + |J |) = 254 ✈❛r✐❛❜❧❡s✳ ❉❡ ♣❧✉s✱ |P | = 21 ❡t A ∈ R(4+|J |)×2(|I|+|J |)✳ ❆✐♥s✐✱ ❧❡

♣r♦❜❧è♠❡ q✉❡ ♥♦✉s ❝♦♥s✐❞ér♦♥s ❞❛♥s ❝❡tt❡ ✐♥st❛♥❝❡ ❛ |P |× |J | = 2331 ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❜✐❧✐♥é❛✐r❡s✱

❞♦♥t ✶✶✶ ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❞✬é❣❛❧✐té✱ (4 + |J |) = 115 ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❧✐♥é❛✐r❡s ❡t 2(|I| + |J |) = 254

❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❞❡ ❜♦r♥❡✱ s♦✐t ✉♥ t♦t❛❧ ❞❡ ✷✼✵✵ ❝♦♥tr❛✐♥t❡s✳

❉❛♥s ❧✬✐♥st❛♥❝❡ ✷✱ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❛♥t à ❞❡s ❞♦♥♥é❡s ❞❡ ✷✵✶✻✱ s❡✉❧s ❧❛ ❧✐st❡ ❞❡s ✐♥❣ré❞✐❡♥ts ❡t ❧❡✉r

♣r✐① ❝❤❛♥❣❡♥t✳ ❉❛♥s ❝❡ ❝❛s✱ ✶✽ ✐♥❣ré❞✐❡♥ts s♦♥t ✉t✐❧✐sés✳ ❆✐♥s✐✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s |I| = 18✱ |J | =111✱ |P | = 21 ❡t A ∈ R

(4+|J |)×2(|I|+|J |)✳ ▲❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❛ ❛❧♦rs ✷✺✽ ✈❛r✐❛❜❧❡s✱ ✷✸✸✶ ❝♦♥tr❛✐♥t❡s

❜✐❧✐♥é❛✐r❡s✱ ❞♦♥t ✶✶✶ ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❞✬é❣❛❧✐té✱ ✶✶✺ ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❧✐♥é❛✐r❡s ❡t ✷✺✽ ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❞❡

❜♦r♥❡✱ s♦✐t ✉♥ t♦t❛❧ ❞❡ ✷✼✵✹ ❝♦♥tr❛✐♥t❡s✳

❉❛♥s ❧❡s ❞❡✉① s❝é♥❛r✐♦s✱ ❧❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❛ss♦❝✐é❡s ❛✉ ❜❡s♦✐♥ ❡♥ é♥❡r❣✐❡✱ q✉❡ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ❞é❝r✐t❡s

❡♥ ❞ét❛✐❧ ♣❛r ❧✬éq✉❛t✐♦♥ ✭✶✳✽✮ ♣❛❣❡ ✶✹✱ s♦♥t ❝♦♥s✐❞éré❡s ❝♦♠♠❡ ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❞✬é❣❛❧✐té✳ ▲❡s

❛❧✐♠❡♥ts ét❛♥t ♠♦❞é❧✐sés ❡♥ ♣r♦♣♦rt✐♦♥✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ❞❡✉① ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❧✐♥é❛✐r❡s ❞✬é❣❛❧✐té ✭✉♥❡

♣♦✉r ❝❤❛q✉❡ ♠é❧❛♥❣❡✮✳ ❉❡ ♣❧✉s✱ ❧❛ ♣r♦♣♦rt✐♦♥ ❞✬✉♥ ❞❡s ✐♥❣ré❞✐❡♥ts ❡st ✜①é❡ à ✵✳✺✪ ❞❛♥s

❝❤❛q✉❡ ♠é❧❛♥❣❡✳ ❆✐♥s✐✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ✉♥ t♦t❛❧ ❞❡ ✶✶✺ ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❞✬é❣❛❧✐té✳

▲❛ ♣❧✉♣❛rt ❞❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❧✐♥é❛✐r❡s ❞✬✐♥é❣❛❧✐té r❡♣rés❡♥t❡♥t ❧❡s ❜❡s♦✐♥s ❡♥ ♥✉tr✐♠❡♥ts✳ ❯♥❡

❝♦♥tr❛✐♥t❡ ❧✐♥é❛✐r❡ r❡♣rés❡♥t❡ ❧❛ ❝❛♣❛❝✐té ❞✬✐♥❣❡st✐♦♥ ✭✈♦✐r ✭✶✳✾✮ ♣❛❣❡ ✶✺✮✱ t❛♥❞✐s q✉❡ ❧❡s ❛✉tr❡s

s♦♥t ❞❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❞❡ ❜♦r♥❡✳

❉❛♥s ❝❡ ❝❤❛♣✐tr❡✱ ♥♦✉s ♥♦✉s ❝♦♥❝❡♥tr♦♥s s✉r ✉♥ ❛♥✐♠❛❧ ♠♦②❡♥✳ ❊♥ ❡✛❡t✱ ♥♦✉s ✈❡rr♦♥s ❞❛♥s

❧❡ ❝❤❛♣✐tr❡ ✺ ❧❛ ♠♦❞é❧✐s❛t✐♦♥ ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❞✬✉♥ tr♦✉♣❡❛✉ ❡t ♥♦✉s ❝♦♥st❛t❡r♦♥s q✉❡ ❧❛

t❛✐❧❧❡ ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ❛✉❣♠❡♥t❡ r❛♣✐❞❡♠❡♥t✳ ❊♥ ❡✛❡t✱ ♣♦✉r ❝❤❛q✉❡ ❛♥✐♠❛❧ s✉♣♣❧é♠❡♥t❛✐r❡✱ ♥♦✉s

❞❡✈♦♥s ❛❥♦✉t❡r 2|J | = 222 ✈❛r✐❛❜❧❡s ❡t (|P |+3)|J | = 2664 ❝♦♥tr❛✐♥t❡s✳ ◆♦✉s ✈❡rr♦♥s ❞❛♥s ❧❡s

s❡❝t✐♦♥s s✉✐✈❛♥t❡s ❧❡s ❞✐✣❝✉❧tés r❡♥❝♦♥tré❡s ❡♥ ♥❡ ❝♦♥s✐❞ér❛♥t q✉✬✉♥ ❛♥✐♠❛❧ ♠♦②❡♥✳ ❆✐♥s✐✱

♣♦✉r s✐♠♣❧✐✜❡r ❝❡tt❡ ét✉❞❡✱ ♥♦✉s ♥❡ ❝♦♥s✐❞ér❡r♦♥s ♣❛s ❧❡ tr♦✉♣❡❛✉✱ ♠❛✐s ✉♥✐q✉❡♠❡♥t ❧❡ ♠♦❞è❧❡

s✉r ✉♥ ❛♥✐♠❛❧ ♠♦②❡♥✳

✸✹

✷✳✶✳✸ ▲❡ ♠♦❞è❧❡ ✐❞é❛❧ ✿ ✉♥❡ ❜♦r♥❡ ✐♥❢ér✐❡✉r❡

❈♦♠♠❡ ♥♦✉s ❧✬❛✈♦♥s ✐♥tr♦❞✉✐t ❞❛♥s ❧❛ s❡❝t✐♦♥ ✶✳✸✳✸✱ ✉♥❡ ❜♦r♥❡ ✐♥❢ér✐❡✉r❡ ♥❛t✉r❡❧❧❡ ❛✉ ♣r♦✲

❜❧è♠❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡ ❡st ❞♦♥♥é❡ ♣❛r ❧❡ ♠♦❞è❧❡ ❞✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ✐❞é❛❧❡✳ ❖♥ ♣❡✉t ❧❡ r❡♠❛rq✉❡r ❣râ❝❡

❛✉ t❤é♦rè♠❡ ✶✳ ❈❡ ♠♦❞è❧❡ ét❛♥t ❧✐♥é❛✐r❡✱ ♥♦✉s s♦♠♠❡s ❛ss✉rés ❞✬❡♥ ♦❜t❡♥✐r ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥

❣❧♦❜❛❧❡✳

P♦✉r ❧✬✐♥st❛♥❝❡ ✶✱ ❧❛ ✈❛❧❡✉r ❞❡ ❧❛ ❜♦r♥❡ ✐♥❢ér✐❡✉r❡ ❡st ❞❡ ✾✹✳✽✹✱ t❛♥❞✐s q✉✬❡❧❧❡ ❡st ❞❡ ✻✽✳✾✾

♣♦✉r ❧✬✐♥st❛♥❝❡ ✷✳

✷✳✶✳✹ ❋♦r♠✉❧❛t✐♦♥ s♦✉s ❢♦r♠❡ ❞✬✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ♣♦♦❧✐♥❣

▲❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞é❝r✐t ♣❛r ❧❡ ♠♦❞è❧❡ ✭✷✳✶✮✱ ♣❡✉t êtr❡ ❛ss♦❝✐é à ✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ♣♦♦❧✐♥❣ ♣❛rt✐❝✉❧✐❡r✳

▲❡s ♣r♦❜❧è♠❡s ❞❡ ♣♦♦❧✐♥❣ s♦♥t très ❝♦♥♥✉s ♣♦✉r êtr❡ ✉t✐❧✐sés ❞❛♥s ❧✬✐♥❞✉str✐❡ ♣étr♦❝❤✐♠✐q✉❡

❡t ❛ été ❧❛r❣❡♠❡♥t ét✉❞✐é ❬✻✱ ✼✱ ✾✱ ✶✾✱ ✸✵✱ ✹✵✱ ✹✾✱ ✺✵✱ ✺✶✱ ✽✺❪✳ ❈♦♠♠❡ ♣♦✉r ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡

❜✐❧✐♥é❛✐r❡ ❣é♥ér❛❧✱ ❝❡s ét✉❞❡s ♣rés❡♥t❡♥t ❞❡s ♠ét❤♦❞❡s ❜❛sé❡s s✉r ❞❡s ❛❧❣♦r✐t❤♠❡s ❞❡ ❇r❛♥❝❤

❛♥❞ ❇♦✉♥❞✳ ❈❡rt❛✐♥s ❡ss❛✐s ♥✉♠ér✐q✉❡s ❞❡ ❝❡s ♠ét❤♦❞❡s ♦♥t été ré❛❧✐sés s✉r ❞❡s ♣r♦❜❧è♠❡

❞✬❛ss❡③ ❣r❛♥❞❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥✱ ♠❛✐s ♥❡ s♦♥t ❣é♥ér❛❧❡♠❡♥t ♣❛s rés♦❧✉ à ❧✬♦♣t✐♠✉♠ ❣❧♦❜❛❧✳

❉❛♥s ❝❡tt❡ s❡❝t✐♦♥✱ ♥♦✉s ❞é❝r✐✈♦♥s ❞❡✉① ❢❛ç♦♥s ❞❡ ❢♦r♠✉❧❡r ✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ♣♦♦❧✐♥❣✱ ❧❛ p✲

❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ❡t ❧❛ q✲❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥✳

▲❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ♣♦♦❧✐♥❣ st❛♥❞❛r❞ ❛ été ✐♥tr♦❞✉✐t ♣❛r ❍❛✈❡r❧② ❬✺✶❪ ❡♥ ✶✾✼✽✳ ▲❡ ❝♦♥❝❡♣t ❞✉

♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ♣♦♦❧✐♥❣ ❡st ❧❡ s✉✐✈❛♥t✳ ▲❡s ♠❛t✐èr❡s ♣r❡♠✐èr❡s✱ s♦✉✈❡♥t ❛♣♣❡❧é❡s ✐♥♣✉ts ✭I✮✱ s♦♥t

❡♥✈♦②é❡s ❞❛♥s ❞❡s rés❡r✈♦✐rs✱ s♦✉✈❡♥t ❛♣♣❡❧és ♣♦♦❧s ✭P ✮✱ ♣♦✉r êtr❡ ♠é❧❛♥❣é❡s ❡♥s❡♠❜❧❡✳ ▲❡s

♠é❧❛♥❣❡s ❛✐♥s✐ ♦❜t❡♥✉s s♦♥t ❡♥✈♦②és ❞❡s rés❡r✈♦✐rs ✈❡rs ❧❡s ♣r♦❞✉✐ts ✜♥❛✉①✱ s♦✉✈❡♥t ❛♣♣❡❧és

♦✉t♣✉ts ✭O✮✳ ▲❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ♣♦♦❧✐♥❣ ♣❡✉t êtr❡ ✐❧❧✉stré ♣❛r ✉♥ ❣r❛♣❤❡ ✭✜❣✉r❡ ✷✳✶✮✳

❉❛♥s ❧❛ p✲❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ❞✬✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ♣♦♦❧✐♥❣✱ ❧❡s ✈❛r✐❛❜❧❡s r❡❧✐❛♥t ❧❡s ✐♥♣✉ts ❛✉① ♣♦♦❧s✱

r❡♣rés❡♥tés ♣❛r ❧❡s fip✱ i ∈ I, p ∈ P ❞❛♥s ❧❡ ❣r❛♣❤❡ ❞❡ ❧❛ ✜❣✉r❡ ✷✳✶✱ s♦♥t ♠♦❞é❧✐sé❡s ♣❛r ❧❛

q✉❛♥t✐té ❝✐r❝✉❧❛♥t s✉r ❝❤❛q✉❡ ❛r❝✳ ❆✉❝✉♥❡ q✉❛♥t✐té ♥❡ ❞♦✐t r❡st❡r ❞❛♥s ❧❡s ♣♦♦❧s✳ ❆✐♥s✐✱ ♥♦✉s

✸✺

■◆P❯❚❙ P❖❖▲ ❖❯❚P❯❚❙

i1

i2

i3

i4

p1

p2

j1

j2

j3

j4

fi1p1

fi1p2

fi3p1

fi3p2

fi4p2

fp1j1

fp1j2

fp2j2

fp2j3

fp2j4

fi4j4

❋✐❣✉r❡ ✷✳✶ ✕ ●r❛♣❤❡ r❡♣rés❡♥t❛♥t ✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ♣♦♦❧✐♥❣✳

❞❡✈♦♥s ❛❧♦rs ❛❥♦✉t❡r ✉♥❡ ❝♦♥tr❛✐♥t❡ ❞❡ ❝♦♥s❡r✈❛t✐♦♥

∑

i∈I

fip =∑

j∈O

fpj ∀p ∈ P. ✭✷✳✸✮

❈✬❡st ❛✐♥s✐ q✉❡ ❍❛✈❡r❧② ❛ ✐♥tr♦❞✉✐t ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ♣♦♦❧✐♥❣ ❞❛♥s ❬✺✶❪✳

P❧✉s t❛r❞✱ ❇❡♥✲❚❛❧ ❡t ❛❧✳ ❬✶✾❪ ♦♥t ♣r♦♣♦sé ❞❡ ♠♦❞é❧✐s❡r ❧❡ ✢♦t ❡♥tr❡ ❧❡s ✐♥♣✉ts ❡t ❧❡s ♣♦♦❧s

❡♥ ♣r♦♣♦rt✐♦♥✳ ❈❡tt❡ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ❡st ❛♣♣❡❧é❡ q✲❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ❡t ✐♥tr♦❞✉✐t ✉♥❡ ❝♦♥tr❛✐♥t❡ ❞❡

♣r♦♣♦rt✐♦♥∑

i∈I

fip = 1 ∀p ∈ P. ✭✷✳✹✮

❉❛♥s ❧❡ ❝❛s ❞❡ ❧❛ ❞✐èt❡ ♣♦r❝✐♥❡✱ ❧❡s ✐♥♣✉ts ♥❡ ♣❡✉✈❡♥t ♣❛s êtr❡ ❛❥♦✉tés ❞✐r❡❝t❡♠❡♥t ❛✉① ♦✉t♣✉ts✳

P❛r ❡①❡♠♣❧❡✱ ❞❛♥s ❧❛ ✜❣✉r❡ ✷✳✶✱ ❧✬❛r❝ fi4,j4 ♥✬❡st ♣❛s ❛✉t♦r✐sé✳ ➚ ♣❛rt✐r ❞❡ ♠❛✐♥t❡♥❛♥t✱ ♥♦✉s

♥❡ ❝♦♥s✐❞ér❡r♦♥s ♣❧✉s ❧❡s ❛r❝s ♥✬❛②❛♥t ♣❛s ❞✬❡①tré♠✐té ❞❛♥s P ✳

❉❛♥s ❧❛ s✉✐t❡ ❞❡ ❝❡tt❡ s❡❝t✐♦♥✱ ♥♦✉s ♥♦✉s ❝♦♥❝❡♥tr❡r♦♥s s✉r ❧❛ ♠♦❞é❧✐s❛t✐♦♥ ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡

♣♦♦❧✐♥❣✳

❉❡ ♠❛♥✐èr❡ ♣❧✉s ❣é♥ér❛❧❡✱ ♥♦t♦♥s I ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s ✐♥♣✉ts✱ P ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s ♣♦♦❧s✱O ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡

❞❡s ♦✉t♣✉ts ❡t K ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s ❛ttr✐❜✉ts ❞❡ q✉❛❧✐té ✭♥✉tr✐♠❡♥ts ❞❛♥s ❧❡ ❝❛s ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥

✸✻

♣♦r❝✐♥❡✮✳ N = I ∪ P ∪O ❡st ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s ♥÷✉❞s ❡t ♣♦✉r t♦✉t i ∈ N ✱ bi ❡st ❧❛ ❝❛♣❛❝✐té ❞✉

♥÷✉❞ i✳

▲✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s ❛r❝s ❡st A = (I×P )∪ (P ×O) ❡t ♣♦✉r t♦✉t (i, j) ∈ A✱ cij ❡st ❧❡ ❝♦ût ✉♥✐t❛✐r❡

❞❡ ❧✬❛r❝ (i, j)✳ P♦✉r t♦✉t i ∈ I ❡t ♣♦✉r t♦✉t k ∈ K✱ qki r❡♣rés❡♥t❡ ❧❡ ♣❛r❛♠ètr❡ ❞❡ q✉❛❧✐té

✉♥✐t❛✐r❡ ❞❡ ❧✬❛ttr✐❜✉t k à ❧✬✐♥♣✉t i✱ t❛♥❞✐s q✉❡ ♣♦✉r t♦✉t o ∈ O ❡t ♣♦✉r t♦✉t k ∈ K✱ qko ❡st ❧❛

❜♦r♥❡ ❞❡ q✉❛❧✐té ✉♥✐t❛✐r❡ ❞❡ ❧✬❛ttr✐❜✉t k à ❧✬♦✉t♣✉t o✳

❖♥ ♥♦t❡r❛ N+i ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s s✉❝❝❡ss❡✉rs ❞❡ i✱ ✐✳❡✳ N+

i = {j : (i, j) ∈ A}✱ ❡t N−i ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡

❞❡s ♣ré❞é❝❡ss❡✉rs ❞❡ i✱ ✐✳❡✳ N−i = {j : (j, i) ∈ A}✳

❙♦✐t fij ❧❡ ✢♦t s✉r ❧✬❛r❝ (i, j) ∈ A ❡t wki ❧❛ q✉❛❧✐té ✉♥✐t❛✐r❡ ❞❡ ❧✬❛ttr✐❜✉t k ∈ K ❞✉ ✢♦t

q✉✐tt❛♥t ❧❡ ♥÷✉❞ i ∈ I ∪ P ✭s✐ i ∈ I✱ ❛❧♦rs wki = qki ✮✳ ▲❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ♣♦♦❧✐♥❣ s♦✉s ❧❛ ❢♦r♠❡

p✲❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ❡st ❛❧♦rs ❞♦♥♥é ♣❛r

(Pp−pooling)

minf,w

∑

(i,j)∈A

cijfij

s✳à∑

p∈N+

i

fip 6 bi , ∀i ∈ N\O,

∑

p∈N−o

fpo 6 bo, ∀o ∈ O,

∑

i∈N−p

fip −∑

o∈N+p

fpo = 0, ∀p ∈ P,

∑

i∈N−p

qki fip − wkp

∑

o∈N+p

fpo = 0, ∀p ∈ P, ∀k ∈ K,

∑

p∈N−o

wkpfpo − qko

∑

p∈N−o

fpo 6 0, ∀o ∈ O, ∀k ∈ K,

fij > 0, ∀(i, j) ∈ A.

✭✷✳✺✮

✭✷✳✻✮

✭✷✳✼✮

✭✷✳✽✮

✭✷✳✾✮

✭✷✳✶✵✮

✭✷✳✶✶✮

▲❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ✭✷✳✻✮✕✭✷✳✼✮ ❡①♣r✐♠❡♥t ❧❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❞❡ ❝❛♣❛❝✐té ❞❡ ❝❤❛q✉❡ ♥÷✉❞✱ ✭✷✳✽✮ ❡①✲

♣r✐♠❡ ❧❛ ❝♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ❞✉ ✢♦t ❡♥tr❛♥t ❡t s♦rt❛♥t ❞❡s ♣♦♦❧s ❡t ❧❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ✭✷✳✾✮ ❡t ✭✷✳✶✵✮

♣❡r♠❡tt❡♥t ❞❡ s❛t✐s❢❛✐r❡ ❧❛ q✉❛❧✐té ❞❡ ❝❤❛q✉❡ ❛r❝✳

▲❛ q✲❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ❡st ❧é❣èr❡♠❡♥t ❞✐✛ér❡♥t❡ ❡t ❞é❝♦✉❧❡ ❞✬✉♥ ❝❤❛♥❣❡♠❡♥t ❞❡ ✈❛r✐❛❜❧❡✳ ❙♦✐t

✸✼

yip, i ∈ I, p ∈ P ❧❛ ♣r♦♣♦rt✐♦♥ ❞✉ ✢♦t ❛❧❧❛♥t ❞❡ ❧✬✐♥♣✉t i ❛✉ ♣♦♦❧ p✳ ❆✐♥s✐✱ s✐ ❧❡ ✢♦t ❛❧❧❛♥t à p

❡st ♥♦♥ ♥✉❧✱ ♦♥ ❛ yip =fip

∑

o∈N+p

fpo✳ ❖♥ r❡♠❛rq✉❡ ❛❧♦rs q✉❡ ♣♦✉r t♦✉t i ∈ I, p ∈ P ✱

fip = yip∑

o∈N+p

fpo.

●râ❝❡ à ❝❡tt❡ r❡♠❛rq✉❡✱ ♦♥ ❛ q✉❡ ✭✷✳✽✮✱ ♣♦✉r t♦✉t p ∈ P ✈❛✉t∑

i∈N−p

yip∑

o∈N+p

fpo −∑

o∈N+p

foj = 0,

⇐⇒∑

i∈N−p

yip = 1.

❉❡ ♣❧✉s✱ ✭✷✳✾✮ s❡ réé❝r✐t✱ ♣♦✉r t♦✉t p ∈ P, k ∈ K

wkp =

∑

i∈N−p

qki yip,

❡t ✭✷✳✶✵✮ s❡ réé❝r✐t ✱ ♣♦✉r t♦✉t o ∈ O✱ ♣♦✉r t♦✉t k ∈ K✱∑

p∈N−o

∑

i∈N−p

qki yipfpo − qko

∑

p∈N−o

fpo 6 0,

⇐⇒∑

p∈N−o

∑

i∈N−p

qki yipfpo 6 qko

∑

p∈N−o

fpo, ∀o ∈ O, ∀k ∈ K.

❆✐♥s✐✱ ❧❛ q✲❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ♣♦♦❧✐♥❣ ❡st

minf,y

∑

p∈P

∑

i∈N−p

∑

o∈N+p

cipyipfpo

s✳à∑

p∈N+

i

∑

o∈N+p

yipfpo 6 bi, ∀i ∈ I,

∑

o∈N+p

fpo 6 bp, ∀p ∈ P,

∑

p∈N−o

fjo 6 bo, ∀o ∈ O,

∑

p∈N−o

∑

i∈N−p

qki yipfpo 6 qko

∑

p∈N−o

fpo, ∀o ∈ O, ∀k ∈ K,

∑

i∈N−p

yip = 1, ∀p ∈ P,

fpo > 0, ∀o ∈ O, ∀p ∈ N−o ,

0 6 yip 6 1, ∀p ∈ P, ∀i ∈ N−p .

✭Pq−pooling✮

✸✽

❖♥ r❡♠❛rq✉❡r❛ q✉❡ ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ✭✷✳✶✮ ❡st ❢♦r♠✉❧é ❞❡ ❝❡tt❡ ♠❛♥✐èr❡✳ ❊♥ ❡✛❡t✱ ❞❛♥s ❧❡ ❝❛s

❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ♣♦r❝✐♥❡✱ ❧❡s ✐♥♣✉ts r❡♣rés❡♥t❡♥t ❧❡s ✐♥❣ré❞✐❡♥ts✱ ❧❡s ♦✉t♣✉ts r❡♣rés❡♥t❡♥t

❧❡s ❥♦✉rs ❞❡ ❧❛ ♣ér✐♦❞❡ ❞❡ ❝r♦✐ss❛♥❝❡ ❡t ❧❡s ♣♦♦❧s r❡♣rés❡♥t❡♥t ❧❡s ❞❡✉① ♠é❧❛♥❣❡s ✉t✐❧✐sés✳ ▲❛

✈❛r✐❛❜❧❡ xpi ❞❡ ✭✷✳✶✮✱ ♣♦✉r t♦✉t i ∈ I✱ ❝♦rr❡s♣♦♥❞ à ❧❛ ♣r♦♣♦rt✐♦♥ ❞❡ ❧✬✐♥❣ré❞✐❡♥t i ❛❧❧❛♥t

❞❛♥s ❧❡ ♠é❧❛♥❣❡ p✱ ❡t ❡st ❞♦♥❝ ❧❛ ✈❛r✐❛❜❧❡ yip ❞✉ ♠♦❞è❧❡ ✭Pq−pooling✮✳ ▲❛ ✈❛r✐❛❜❧❡ ypj ❞❡ ✭✷✳✶✮

❝♦rr❡s♣♦♥❞ à ❧❛ q✉❛♥t✐té ❞✉ ♠é❧❛♥❣❡ p ❛❧❧❛♥t ❛✉ ❥♦✉r j ❡t ❡st ❡①❛❝t❡♠❡♥t ❧❛ ✈❛r✐❛❜❧❡ fpj

❞❡ ✭Pq−pooling✮✳ ▲❡ ❣r❛♣❤✐q✉❡ r❡♣rés❡♥t❛♥t ✭✷✳✶✮ s♦✉s ❧❛ ❢♦r♠❡ ❞✬✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ♣♦♦❧✐♥❣ ❡st

♣rés❡♥té ✜❣✉r❡ ✷✳✷✳

■♥❣ré❞✐❡♥ts ▼é❧❛♥❣❡s ❏♦✉rs

▼❛ïs

❇❧é

✳✳✳

❉rè❝❤❡s

●r✉

p1

p2

j1

j2

✳✳✳

jT−1

jT

x1,mais

x2,mais

x1,dreches

x2,dreches

x2,gru

y1j1

y1j2

y2j2

y2jT−1

y2jT

❋✐❣✉r❡ ✷✳✷ ✕ ●r❛♣❤❡ r❡♣rés❡♥t❛♥t ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ❞✐èt❡ ♣♦r❝✐♥❡ s♦✉s ❧❛ ❢♦r♠❡ ❞✬✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡❞❡ ♣♦♦❧✐♥❣✳

◆♦t♦♥s ❛❧♦rs q✉❡ ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s ♣ré❞é❝❡ss❡✉rs ❞✬✉♥ ♠é❧❛♥❣❡ p ♥❡ s♦♥t q✉❡ ❞❡s ✐♥❣ré❞✐❡♥ts✱

❛✐♥s✐✱ N−p = I✱ q✉✐tt❡ à ❛❥♦✉t❡r ❞❡s ❛r❝s ❞❡ ✈❛❧❡✉rs ♥✉❧❧❡s ❧♦rsq✉✬✐❧s ♥❡ s♦♥t ♣❛s ♣rés❡♥ts✳

❉❡ ♠ê♠❡✱ ❧❡s ♣ré❞é❝❡ss❡✉rs ❞❡ ❝❤❛q✉❡ ❥♦✉r j s♦♥t ❞❡s ♠é❧❛♥❣❡s p ❡t ❞♦♥❝ N−o = P ✱ ❧❡s

s✉❝❝❡ss❡✉rs ❞✬✉♥ ♠é❧❛♥❣❡ p s♦♥t ✉♥✐q✉❡♠❡♥t ❞❡s ❥♦✉rs ❡t ❞♦♥❝ N+p = O✱ ❧❡s s✉❝❝❡ss❡✉rs ❞✬✉♥

✐♥❣ré❞✐❡♥t i s♦♥t ❧❡s ♠é❧❛♥❣❡s ❡t ❞♦♥❝ N+i = P ✳ ❉❡ ♣❧✉s✱ ❝♦♠♠❡ ❧❛ ❞✐èt❡ ♣♦r❝✐♥❡ ♥❡ ❝♦♥t✐❡♥t

q✉❡ ❞❡✉① ♠é❧❛♥❣❡s✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s P = {1, 2} ❡t ❧❡ ♣r✐① ❞❡s ✐♥❣ré❞✐❡♥ts ❡st ❧❡ ♠ê♠❡ ♣♦✉r p = 1

❡t p = 2✱ ❡t ci1 = ci2 = ci✳

✸✾

▲❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ♦❜❥❡❝t✐❢ ❞❡ ✭Pq−pooling✮ ♣❡✉t ❛❧♦rs s❡ réé❝r✐r❡

∑

i∈I

∑

j∈J

ci(

yi1f1j + yi2f2j)

.

▲❛ ❝♦♥tr❛✐♥t❡∑

p∈P∩N−o

∑

i∈N−p

qki yipfpo 6

∑

p∈N−o

qkofpo, ∀o ∈ O, ∀k ∈ K,

❡st q✉❛♥t à ❡❧❧❡ ❞♦♥♥é ♣❛r

∑

i∈I

qki(

yi1f1o + yi2f2o)

6 qko (f1o + f2o) , ∀o ∈ O, ∀k ∈ K.

❉❛♥s ❧❡ ❝❛s ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ♣♦r❝✐♥❡✱ ❧❛ ❜♦r♥❡ s✉r ❧❛ q✉❛❧✐té k ♥✬❡st ♣❛s ❢♦r♠✉❧é❡ ❡♥ ❜♦r♥❡

✉♥✐t❛✐r❡ qko ✱ ♠❛✐s ❡st ✉♥❡ ❜♦r♥❡ s✉r ❧❛ q✉❛♥t✐té t♦t❛❧❡✱ q✉❡ ♥♦✉s ♥♦t♦♥s dko ✱ ♣♦✉r t♦✉t k ∈ K

❡t ♣♦✉r t♦✉t o ∈ O✳ ▲❛ ❝♦♥tr❛✐♥t❡ ♣❡✉t ❛✐♥s✐ êtr❡ réé❝r✐t❡ s♦✉s ❧❛ ❢♦r♠❡

∑

i∈I

qki(

yi1f1o + yi2f2o)

6 dko , ∀o ∈ O, ∀k ∈ K.

❆✐♥s✐✱ ❡♥ r❡❣r♦✉♣❛♥t ❧❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❧✐♥é❛✐r❡s s♦✉s ✉♥❡ ✉♥✐q✉❡ ♠❛tr✐❝❡ A✱ ❡t ❡♥ ✉t✐❧✐s❛♥t

❧❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❡t ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ♦❜❥❡❝t✐❢ q✉❡ ♥♦✉s ✈❡♥♦♥s ❞❡ ❞é❝r✐r❡✱ ♥♦✉s ♣♦✉✈♦♥s réé❝r✐r❡

✭Pq−pooling✮ s♦✉s ❧❛ ❢♦r♠❡

minf,y

∑

i∈I

∑

j∈J

ci (yi1f1j + yi2f2j)

s✳à∑

i∈I

qki (yi1f1o + yi2f2o) 6 dko , ∀o ∈ O, ∀k ∈ K,

A

(

fy

)

6 b

fjo > 0, ∀o ∈ O, ∀j ∈ N−o ,

0 6 yip 6 1, ∀p ∈ P, ∀i ∈ N−p .

✭Pq−pooling−pig✮

❙♦✉s ❝❡tt❡ ❢♦r♠❡✱ ♥♦✉s r❡❝♦♥♥❛✐ss♦♥s ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ❞✐èt❡ ✭✷✳✶✮✳

✷✳✶✳✺ ❈♦♠♣❧❡①✐té ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡

❆♣rès ❛✈♦✐r ✐♥tr♦❞✉✐t ❧❛ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ s♦✉s ❢♦r♠❡ ❞✬✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ♣♦♦❧✐♥❣ ♣♦✉r é♥♦♥❝❡r ✉♥

rés✉❧t❛t s✉r ❧❛ ❝♦♠♣❧❡①✐té✳ ◆♦✉s ❛✈♦♥s ❧❡ t❤é♦rè♠❡ s✉✐✈❛♥t ✿

✹✵

❚❤é♦rè♠❡ ✹ ▲❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ♣♦♦❧✐♥❣ r❡♣rés❡♥t❛♥t ❧❛ ❞✐èt❡ ♣♦r❝✐♥❡ ✭Pq−pooling−pig✮ ❡st ✉♥

♣r♦❜❧è♠❡ ❢♦rt❡♠❡♥t ◆P✲❞✐✣❝✐❧❡✳

Pr❡✉✈❡✳ ▲❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ✭Pq−pooling−pig✮ ❡st ✉♥ ❝❛s ♣❛rt✐❝✉❧✐❡r ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ✭Pq−pooling✮ q✉✐ ❧✉✐

♠ê♠❡ ❡st ✉♥❡ réé❝r✐t✉r❡ ❞❡ (Pp−pooling) s✉✐t à ✉♥ ❝❤❛♥❣❡♠❡♥t ❞❡ ✈❛r✐❛❜❧❡✳ ◆♦✉s ❛❧❧♦♥s ❞♦♥❝

♠♦♥tr❡r q✉❡ (Pp−pooling) ❡st ✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡ ❢♦rt❡♠❡♥t ◆P✲❞✐✣❝✐❧❡ ❝❡ q✉✐ ♥♦✉s ♣❡r♠❡ttr❛ ❞✬❡♥

❞é❞✉✐r❡ q✉❡ ✭Pq−pooling−pig✮ ❡st ❧✉✐✲♠ê♠❡ ❢♦rt❡♠❡♥t ◆P✲❞✐✣❝✐❧❡✳

P♦✉r ❞é♠♦♥tr❡r q✉❡ (Pp−pooling) ❡st ❢♦rt❡♠❡♥t ◆P✲❞✐✣❝✐❧❡✱ ♥♦✉s ❛❧❧♦♥s ♠♦♥tr❡r q✉❡ t♦✉t❡

s♦❧✉t✐♦♥ ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ♣♦♦❧✐♥❣ ❡st ❡♥ ❢❛✐t ✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ r❡❝❤❡r❝❤❡ ❞✬✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡

s♦♠♠❡ts ✐♥❞é♣❡♥❞❛♥ts ❞❡ t❛✐❧❧❡ ♠❛①✐♠✉♠ q✉✐ ❡st ❝♦♥♥✉ ♣♦✉r êtr❡ ✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡ ❢♦rt❡♠❡♥t

◆P✲❞✐✣❝✐❧❡ ❬✹✹❪✳

❈♦♥s✐❞ér♦♥s ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ♣♦♦❧✐♥❣ ♠♦❞é❧✐sé ♣❛r (Pp−pooling)✳

❖♥ r❡♠❛rq✉❡ ✐❝✐ q✉✬✐❧ ♥✬❡st ♣❛s ❞✐r❡❝t❡♠❡♥t ♠❡♥t✐♦♥♥é ❞❡ ❜♦r♥❡ ✐♥❢ér✐❡✉r❡ s✉r ❧❡s ❛ttr✐❜✉ts

❞❡ q✉❛❧✐té✱ ♠❛✐s ❡♥ ✐♥tr♦❞✉✐s❛♥t ❞❡ ♥♦✉✈❡❛✉① ❛ttr✐❜✉ts k′ ♣♦✉r t♦✉t k ∈ K ❡t ❡♥ ♣♦s❛♥t

qk′

i = −qki ♦♥ r❡tr♦✉✈❡ ❞❡s ❜♦r♥❡s ✐♥❢ér✐❡✉r❡s✳

❙♦✐t G = (V,E) ✉♥ ❣r❛♣❤❡ ❛✈❡❝ V ❧❡s s♦♠♠❡ts ❡t E ❧❡s ❛r❝s✳

❉é✜♥✐ss♦♥s ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ♣♦♦❧✐♥❣ PG ❛✈❡❝ ✉♥ ❣r❛♣❤❡✳ ❖♥ ❛ ❛❧♦rs n = |V | ✐♥♣✉ts ❡t ♦✉t♣✉ts✱✶ ♣♦♦❧ ❡t 2n ❛ttr✐❜✉ts ❞❡ q✉❛❧✐té✳ ❖♥ ♣❡✉t ❛❧♦rs é❝r✐r❡ ❧❡ I = {iv : v ∈ V }✱ O = {Ov : v ∈ V }✱K = {k+v : v ∈ V } ∪ {k+v : v ∈ V } ❡t P = {p}✳ ▲✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s ❛r❝s ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ♣♦♦❧✐♥❣

❡st ❞♦♥♥é ♣❛r A = (I × P ) ∪ (P ×O)✳ ▲❡s ♣❛r❛♠ètr❡s ❞❡ q✉❛❧✐té ❛✉ ♥÷✉❞ iv ❡st ❞é✜♥✐ ♣❛r

qk+u

iv=

{

1, u = v0, u 6= v

❡t qk−u

iv=

{

−1, u = v0, u 6= v

❡t ❧❡s ❜♦r♥❡s ❛✉ ♥÷✉❞ ov ❡st ❞é✜♥✐ ♣❛r

qk+u

iv=

{

0, {u, v} ∈ E1, {u, v} 6∈ E

❡t qk−u

iv=

{

−1n, {u, v} ∈ E

0, {u, v} 6∈ E

❊♥✜♥✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ❧❛ ❝❛♣❛❝✐té ❞✉ ♣♦♦❧ p ❡st bp = n ❡t ♣♦✉r t♦✉t i ∈ I ❡t o ∈ O✱ ♦♥ ❛

bi = bo = 1, cip = 0 ❡t cpo = −1✳ ❖♥ ❡♥ ❞é❞✉✐t q✉❡ t♦✉t ✢♦t ♥♦♥ ♥✉❧ ❡st ❜♦r♥é ♣❛r n✳

✹✶

■❧ ❡①✐st❡ ✉♥ ✢♦t ♥♦♥ ♥✉❧ ré❛❧✐s❛❜❧❡ ♣♦✉r PG✳ ◆♦t♦♥s f ❝❡ ✈❡❝t❡✉r ❡t w ❧❛ ♠❛tr✐❝❡ ❞❡ q✉❛❧✐té

❛ss♦❝✐é❡✳ ❙✉♣♣♦s♦♥s q✉❡ fpou > 0 ❡t fpov > 0 ♣♦✉r u, v ∈ V ✳ P✉✐sq✉❡ ❝❤❛q✉❡ output ❛ p ♣♦✉r

✉♥✐q✉❡ ✈♦✐s✐♥✱ ♦♥ ❛ q✉❡ wkou

= wkov

= wkp ♣♦✉r t♦✉t k ∈ K✳ ➚ ❝❛✉s❡ ❞❡ wk−u

ou6 qk

−u

ou6 0✱ ♦♥ ❛

q✉❡ wk−up < 0 ❡t ❞♦♥❝ q✉❡ foup > 0 ❝❛r

wk−up =

∑

o∈O

qk−u

o fop∑

o∈O

fop=

−foup∑

o∈O

fop.

❉❡ ♠❛♥✐èr❡ s✐♠✐❧❛✐r❡✱ ♦♥ ❛ q✉❡ fpov > 0 ✐♠♣❧✐q✉❡ fovp > 0 ❝❛r

wk+vp =

∑

o∈O

qk+v

o fop∑

o∈O

fop=

fovp∑

o∈O

fop> 0.

P✉✐sq✉❡ 0 < wk+vp = wk+v

ou6 qk

+v

ov✱ ♦♥ ❛ ♣❛r ❞é✜♥✐t✐♦♥ ❞❡ qk

+v

ovq✉❡ {u, v} 6∈ E✳ ❆✐♥s✐✱ {v ∈ V :

fpov > 0} ❡st ✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡ s♦♠♠❡ts ✐♥❞é♣❡♥❞❛♥ts✳ ❉❡ ♣❧✉s✱ ❝♦♠♠❡ ♦♥ ❛ fpo 6 1 ♣♦✉r

t♦✉t o ∈ O✱ ♦♥ ❛ é❣❛❧❡♠❡♥t q✉❡

∑

(i,j)∈A

cijfij = −∑

o∈O

fpo 6 −|{v ∈ V : fpov > 0}|.

■♥✈❡rs❡♠❡♥t✱ s✉♣♣♦s♦♥s q✉❡ V ′ ⊆ V ❡st ✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡ s♦♠♠❡ts ✐♥❞é♣❡♥❞❛♥ts ❞❡ G✳ ❊♥

♣♦s❛♥t

fivp = fpov =

{

1, v ∈ V ′

0, v 6∈ V ′,

♦♥ ❛✱ ♣♦✉r t♦✉t v ∈ V ′✱ q✉❡

wok+u

v

=

{ 1|V ′|

, u ∈ V ′

0, u 6∈ V ′ ❡t wok−u

v

=

{ −1|V ′|

, u ∈ V ′

0, u 6∈ V ′

❆✐♥s✐✱ wkov

6 qkov ♣♦✉r t♦✉t k ∈ K ❡t f ❡st ré❛❧✐s❛❜❧❡ ♣♦✉r PG ❛✈❡❝ ✉♥❡ ✈❛❧❡✉r ♦❜❥❡❝t✐❢∑

(i,j)∈A

cijfij = −|V ′|✳ ■❧ s✉✐t q✉❡ t♦✉t❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦♣t✐♠❛❧❡ ❞❡ PG ❡st ✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ r❡❝❤❡r❝❤❡

❞✬✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡ s♦♠♠❡ts ✐♥❞é♣❡♥❞❛♥ts ❞❡ t❛✐❧❧❡ ♠❛①✐♠✉♠ ✭♦✉♠❛①✐♠✉♠ ✐♥❞❡♣❡♥❞❛♥t ✈❡rt❡①

s❡t ✭▼■❱❙✮ ❡♥ ❛♥❣❧❛✐s✮✳ ❆✐♥s✐✱ ✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥❡ ré❞✉❝t✐♦♥ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧❡ ❞✉ ▼■❱❙ ✈❡rs ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡

❞❡ ♣♦♦❧✐♥❣ ❛✈❡❝ t♦✉s ❧❡s ♣❛r❛♠ètr❡s ❜♦r♥és ♣❛r ❧❡ ♥♦♠❜r❡ ❞❡ ♥÷✉❞s ❞✉ ❣r❛♣❤❡ ❡t ✐❧ ❡st ❝♦♥♥✉

q✉❡ ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ▼■❱❙ ❡st ❢♦rt❡♠❡♥t ◆P✲❞✐✣❝✐❧❡ ❬✹✹❪✳

✹✷

❖♥ ❛ ❛✐♥s✐ q✉❡ ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ♣♦♦❧✐♥❣ à ✉♥ ♣♦♦❧ ❡st ❢♦rt❡♠❡♥t ◆P✲❞✐✣❝✐❧❡✱ ❡t ❞♦♥❝ q✉❡ ❧❡

♣r♦❜❧è♠❡ à ♣❧✉s✐❡✉rs ♣♦♦❧s ❡st ❢♦rt❡♠❡♥t ◆P✲❞✐✣❝✐❧❡✳

✷✳✷ ❆♥❛❧②s❡ ❞❡s s♦❧✉t✐♦♥s ♦❜t❡♥✉❡s

▲❡ ♠♦❞è❧❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡ ✭✷✳✶✮ q✉❡ ♥♦✉s ét✉❞✐♦♥s ❛ été ✐♠♣❧é♠❡♥té ❡♥ ❆▼P▲ ❬✹✶❪✳ ❯♥❡ s♦❧✉t✐♦♥

❧♦❝❛❧❡ ♦♣t✐♠❛❧❡ ♣♦✉r ❝❤❛❝✉♥❡ ❞❡s ✐♥st❛♥❝❡s t②♣✐q✉❡s ♣❡✉t êtr❡ ❝❛❧❝✉❧é❡ ♣❛r ♥✬✐♠♣♦rt❡ q✉❡❧

s♦❧✈❡✉r ♥♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡✳ ❊♥ ✉t✐❧✐s❛♥t ❧❡ s♦❧✈❡✉r ■♣♦♣t✱ ♥♦✉s ♦❜t❡♥♦♥s ✉♥❡ ❜♦r♥❡ s✉♣ér✐❡✉r❡ ❞✬✉♥❡

✈❛❧❡✉r ❞❡ ✾✻✳✷✸ ♣♦✉r ❧✬✐♥st❛♥❝❡ ✶ ❡t ✻✽✳✾✾ ♣♦✉r ❧✬✐♥st❛♥❝❡ ✷✳

✷✳✷✳✶ ❈♦♥❥❡❝t✉r❡

❆✜♥ ❞❡ ❞ét❡r♠✐♥❡r ❞✬é✈❡♥t✉❡❧s ❛✉tr❡s ♠✐♥✐♠❛ à ❝❡ ♣r♦❜❧è♠❡✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s rés♦❧✉ ✭✷✳✶✮ ❛✈❡❝ ❧❡

s♦❧✈❡✉r ■♣♦♣t ❡t ✷✵ ✵✵✵ ♣♦✐♥ts ❞❡ ❞é♣❛rt ❛❧é❛t♦✐r❡s✳ ▲❡s ♣♦✐♥ts ✐♥✐t✐❛✉① (x1, x2, y1, y2) ♦♥t été

❣é♥érés ❛❧é❛t♦✐r❡♠❡♥t s❡❧♦♥ ❧❛ ❧♦✐ ✉♥✐❢♦r♠❡ t❡❧s q✉❡

0 6 x1 6 ux1,

0 6 x2 6 ux2,

0 6 y1 6 uy1 ,

0 6 y2 6 uy2 .

P♦✉r ❝❤❛q✉❡ ✐♥st❛♥❝❡✱ ❧❛ s♦❧✉t✐♦♥ ❝❛❧❝✉❧é❡ ♣❛r ❧❡ s♦❧✈❡✉r ❛✈❡❝ ❝❤❛q✉❡ ♣♦✐♥t ✐♥✐t✐❛❧ ❡st ✐❞❡♥t✐q✉❡

à ❝❡❧❧❡ q✉❡ ♥♦✉s ❝♦♥♥❛✐ss✐♦♥s ❡t ❛ ❞♦♥❝ ✉♥❡ ✈❛❧❡✉r ♦♣t✐♠❛❧❡ ❞❡ ✾✻✳✷✸ ♣♦✉r ❧✬✐♥st❛♥❝❡ ✶ ❡t

✻✽✳✾✾ ♣♦✉r ❧✬✐♥st❛♥❝❡ ✷✳

❈❡tt❡ ❡①♣ér✐♠❡♥t❛t✐♦♥ s✉❣❣èr❡ q✉✬✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥ ✉♥✐q✉❡ ♠✐♥✐♠✉♠ à ❝❡ ♣r♦❜❧è♠❡✱ q✉✐ ❡st ❝❡❧✉✐

❝❛❧❝✉❧é ♣❛r ■♣♦♣t✳ ❆✐♥s✐✱ ♥♦✉s é♥♦♥ç♦♥s ❧❛ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ s✉✐✈❛♥t❡ ✿

❈♦♥❥❡❝t✉r❡ ✷✳✶ ❚♦✉t ♠✐♥✐♠✉♠ ❧♦❝❛❧ ❡st ✉♥ ♠✐♥✐♠✉♠ ❣❧♦❜❛❧ ♣♦✉r ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡ ❞❡

❞✐èt❡ ♣♦r❝✐♥❡ ❛♣♣❧✐q✉é ❛✉① ✐♥st❛♥❝❡s ❝♦♥s✐❞éré❡s✱ ❞é✜♥✐❡ ❡♥ s❡❝t✐♦♥ ✷✳✶✳✷✳

✹✸

✷✳✷✳✷ Pr♦❜❧è♠❡s ❣é♦♠étr✐q✉❡s

P♦✉r ❝❡rt❛✐♥s ♣r♦❜❧è♠❡s ♥♦♥ ❝♦♥✈❡①❡s✱ ✐❧ ❡st ♣♦ss✐❜❧❡ ❞❡ ❞ét❡r♠✐♥❡r ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❣❧♦❜❛❧❡✳ ❈✬❡st

❧❡ ❝❛s ❞❡ ❝❡rt❛✐♥s ♣r♦❜❧è♠❡s ❣é♦♠étr✐q✉❡s ❬✷✸✱ ✷✹❪✳ ❉❛♥s ❧❡✉r ❢♦r♠❡ ✐♥✐t✐❛❧❡✱ ❝❡s ♣r♦❜❧è♠❡s

s♦♥t ♥♦♥ ❝♦♥✈❡①❡s ❡t ♥♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡s✳ ◆♦✉s ✈❡rr♦♥s à ❧❛ ✜♥ ❞❡ ❝❡tt❡ s❡❝t✐♦♥ q✉✬✐❧s s♦♥t très

♣r♦❝❤❡s ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ✭✷✳✶✮ ❛✉q✉❡❧ ♥♦✉s ♥♦✉s ✐♥tér❡ss♦♥s✳

❉é✜♥✐t✐♦♥ ✷✳✷ ❯♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ f t❡❧❧❡ q✉❡

f(x) = cxa11 xa22 · · · xann , ✭✷✳✶✷✮

♦ù c > 0 ❡t ai ∈ R✱ ❡st ❛♣♣❡❧é❡ ♠♦♥ô♠❡✳

❉é✜♥✐t✐♦♥ ✷✳✸ ❯♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ f ✱ s♦♠♠❡ ❞❡ ♠♦♥ô♠❡s✱ t❡❧❧❡ q✉❡

f(x) =K∑

k=1

ckxa1k1 xa2k2 · · · xank

n , ✭✷✳✶✸✮

♦ù ck > 0 ❡t aik ∈ R✱ ❡st ❛♣♣❡❧é❡ ♣♦s②♥ô♠❡✳

❯♥ ♣r♦❜❧è♠❡ ❣é♦♠étr✐q✉❡ ❡st ❞é✜♥✐ ♣❛r

minx

f0(x)

s✳à fi(x) 6 1, i = 1, ...,m,hi(x) = 1, i = 1, ..., p,

✭✷✳✶✹✮

♦ù f0, ..., fm s♦♥t ❞❡s ♣♦s②♥ô♠❡s ❡t h1, ..., hp s♦♥t ❞❡s ♠♦♥ô♠❡s✳

P❛r ✉♥ ❝❤❛♥❣❡♠❡♥t ❞❡ ✈❛r✐❛❜❧❡✱ ❝❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ♣❡✉t êtr❡ tr❛♥s❢♦r♠é ❡♥ ✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡ ♥♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡

❝♦♥✈❡①❡✳ ❙♦✐t yi = log xi✳ ❆✐♥s✐✱ ♦♥ ❛ xi = eyi ✳

❙✐ h ❡st ✉♥ ♠♦♥ô♠❡✱ ❞♦♥♥é ♣❛r ❧❛ ❞é✜♥✐t✐♦♥ ✷✳✷✱ t❡❧ q✉❡

h(x) = cxa11 xa22 · · · xann ,

✹✹

❛❧♦rs✱ h ❡①♣r✐♠é ❡♥ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞❡ ❧❛ ♥♦✉✈❡❧❧❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ y ❡st ❞♦♥♥é ♣❛r

h(x) = f(ey1 , ..., eyn),

= ceya11 · · · eyann ,

= ea1y1+·+anyn+log c,

= eaty+d,

♦ù a = (a1, · · · , an) ❡t d = log c✳ ❖♥ r❡♠❛rq✉❡ q✉❡ ❝❡tt❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❡st ❛❧♦rs ❧✬❡①♣♦♥❡♥t✐❡❧❧❡

❞✬✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❛✣♥❡✳

❙✐ f ❡st ✉♥ ♣♦s②♥ô♠❡✱ ❞♦♥♥é ♣❛r ❧❛ ❞é✜♥✐t✐♦♥ ✷✳✸✱ t❡❧ q✉❡

f(x) =K∑

k=1

ckxa1k1 xa2k2 · · · xank

n ,

❛❧♦rs

f(x) = f(ey) =K∑

k=1

eatky+bk ,

♦ù ak = (a1k, · · · , ank) ❡t bk = log ck✳ ❖♥ r❡♠❛rq✉❡ q✉❡ ❝❡tt❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❡st ❛❧♦rs ❧❛ s♦♠♠❡

❞✬❡①♣♦♥❡♥t✐❡❧❧❡ ❞✬✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❛✣♥❡✳

▲❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ✭✷✳✶✹✮ s✬❡①♣r✐♠❡✱ ❡♥ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞❡ ❧❛ ♥♦✉✈❡❧❧❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ y✱ ❞❡ ❧❛ ♠❛♥✐èr❡ s✉✐✈❛♥t❡

miny

K0∑

k=1

eat0k

y+b0k

s✳àKi∑

k=1

eatiky+bik 6 1, i = 1, ...,m,

eatiy+di = 1, i = 1, ..., p.

✭✷✳✶✺✮

❖♥ tr❛♥s❢♦r♠❡ ♠❛✐♥t❡♥❛♥t ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ♦❜❥❡❝t✐❢ ❡t ❧❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❞❡ ❝❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❡♥ ♣r❡♥❛♥t

❧❡ ❧♦❣❛r✐t❤♠❡✳ ❖♥ ❛ ❛❧♦rs ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡

miny

f0(y) = log

(

K0∑

k=1

eat0k

y+b0k

)

s✳à fi(y) = log

(

Ki∑

k=1

eatiky+bik

)

6 0, i = 1, ...,m,

hi(y) = atiy + di = 0, i = 1, ..., p.

✭✷✳✶✻✮

✹✺

❖♥ r❡♠❛rq✉❡ ❛❧♦rs q✉❡ ❧❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s hi✱ ♣♦✉r i ∈ {1, ..., p}✱ s♦♥t ❞❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s ❧✐♥é❛✐r❡s✱

❞♦♥❝ ❝♦♥✈❡①❡s✱ ❡t q✉❡ ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ♦❜❥❡❝t✐❢ ❡t ❧❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s fi✱ ♣♦✉r i ∈ {0, ..., n}✱ s♦♥t ❞❡s❢♦♥❝t✐♦♥s ❧♦❣✲s✉♠✲❡①♣✱ q✉✐ s♦♥t ❝♦♥✈❡①❡s✱ s♦✉✈❡♥t ❝♦♠♣❛ré❡ à ❞❡s s♦❢t♠❛①✳

▲❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ✭✷✳✶✻✮ ❛✐♥s✐ ♦❜t❡♥✉ ❡st ✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞✬♦♣t✐♠✐s❛t✐♦♥ ❝♦♥✈❡①❡✳ ❉❛♥s ❝❡ ❝❛s✱ t♦✉s

❧❡s ♠✐♥✐♠❛ ❧♦❝❛✉① s♦♥t ❞❡s ♠✐♥✐♠❛ ❣❧♦❜❛✉①✳ ❖♥ ♣❡✉t ❞♦♥❝ ❢❛❝✐❧❡♠❡♥t r❡tr♦✉✈❡r ❧❛ s♦❧✉t✐♦♥

❣❧♦❜❛❧❡ ❞❡ ✭✷✳✶✹✮ ❡♥ ❛♣♣❧✐q✉❛♥t ❧❡ ❝❤❛♥❣❡♠❡♥t ❞❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ ❛♣♣r♦♣r✐é✳

▲❛ ❢♦r♠❡ ❞❡ ❝❡s ♣r♦❜❧è♠❡s ❡st ♣r♦❝❤❡ ❞❡ ✭✷✳✶✮✳ ❊♥ ❡✛❡t✱ t♦✉t❡s ❧❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s ❞❡ ♥♦tr❡ ♣r♦❜❧è♠❡✱

❧✐♥é❛✐r❡s ♦✉ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡s✱ ♦♥t ❞❡s ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♣♦s✐t✐❢s ❡t s♦♥t ❞♦♥❝ ❞❡s ♣♦s②♥ô♠❡s✳ ❆✐♥s✐✱ ♥♦✉s

♣♦✉✈♦♥s réé❝r✐r❡ ✭✷✳✶✮ s♦✉s ❧❛ ❢♦r♠❡

minx

f0(x)

s✳à b 6 fi(x) 6 1, i = 1, ...,m,hi(x) = 1, i = 1, ..., p.

✭✷✳✶✼✮

♦ù ❧❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s fi✱ ♣♦✉r t♦✉t i ∈ {1, ...,m}✱ ❡t hj✱ ♣♦✉r t♦✉t j ∈ {1, ..., p}✱ s♦♥t ❞❡s ♣♦s②✲

♥ô♠❡s✳

■❧ ② ❛ ❜❡❛✉❝♦✉♣ ❞❡ s✐♠✐❧✐t✉❞❡s ❡♥tr❡ ✭✷✳✶✼✮ ❡t ✭✷✳✶✹✮✱ ♠❛✐s ❞❡✉① ❞✐✛ér❡♥❝❡s ❛♣♣❛r❛✐ss❡♥t✳

❉❛♥s ✭✷✳✶✼✮✱ ❞❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❞✬✐♥é❣❛❧✐té ❞❡ t②♣❡ ✧s✉♣ér✐❡✉r ♦✉ é❣❛❧✧ ❡t ❞❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❞✬é❣❛✲

❧✐té ❞é✜♥✐❡ ♣❛r ❞❡s ♣♦s②♥ô♠❡s ❡t ❛ ❝♦❡✜❝✐❡♥ts ♣♦s✐t✐❢s s♦♥t ♣rés❡♥t❡s✱ ❝❡ q✉✐ ♥♦✉s ❡♠♣ê❝❤❡

❞✬❛♣♣❧✐q✉❡r ❝❡tt❡ ♠ét❤♦❞❡✳ ❙✐ ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ♥❡ ❝♦♥t❡♥❛✐t q✉❡ ❞❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❞❡ t②♣❡ ✧✐♥❢ér✐❡✉r

♦✉ é❣❛❧✧✱ ❛❧♦rs✱ ♥♦✉s ♣♦✉rr✐♦♥s ❢❛❝✐❧❡♠❡♥t ❛♣♣❧✐q✉❡r ❝❡tt❡ ❛♣♣r♦❝❤❡✱ ❡t ♥♦tr❡ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ s❡r❛✐t

✈ér✐✜é❡✳

✷✳✷✳✸ ❆♥❛❧②s❡ ❞✬✉♥ ❡①❡♠♣❧❡ ❞❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ré❞✉✐t❡

❉❛♥s ❝❡tt❡ s❡❝t✐♦♥✱ ♥♦✉s ♣r♦✉✈♦♥s ❧❛ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ ✷✳✶ s✉r ✉♥ ❡①❡♠♣❧❡ ❞❡ très ♣❡t✐t❡ ❞✐♠❡♥✲

s✐♦♥ ❛②❛♥t ❧❡s ♠ê♠❡s ❝❛r❛❝tér✐st✐q✉❡s q✉❡ ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ❞✐èt❡ ♣♦r❝✐♥❡✱ à s❛✈♦✐r ✉♥ ♦❜❥❡❝t✐❢

❜✐❧✐♥é❛✐r❡ ❡t ❞❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❜✐❧✐♥é❛✐r❡s✳ ▼❛❧❣ré s❛ ♣❡t✐t❡ t❛✐❧❧❡✱ ✐❧ ❝♦♠♣♦rt❡ ❧✬❡ss❡♥t✐❡❧ ❞❡s

❞✐✣❝✉❧tés✳

✹✻

❈♦♥s✐❞ér♦♥s ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ s✉✐✈❛♥t ✿

maxx,y

xy

s✳à 0 6 x 6 1,0 6 y 6 1,x+ by + cxy 6 d,

✭✷✳✶✽✮

❛✈❡❝ b > 0 ❡t c, d > 0 ❖♥ s✉♣♣♦s❡r❛ ❞❡ ♣❧✉s q✉❡ 1 + b+ c > d✳ ❆✐♥s✐✱ ❧❡ ♣♦✐♥t ✭✶✱✶✮ ♥✬❡st ♣❛s

ré❛❧✐s❛❜❧❡ ♣♦✉r ❝❡ ♣r♦❜❧è♠❡✳

❚❤é♦rè♠❡ ✺ ❚♦✉t❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❧♦❝❛❧❡ ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ✭✷✳✶✽✮ ❡st ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❣❧♦❜❛❧❡✳

Pr❡✉✈❡✳ ◆♦t♦♥s ❞❛♥s ✉♥ ♣r❡♠✐❡r t❡♠♣s q✉❡ ❧❡s ♣♦✐♥ts (0, 0), (0, y) ❡t (x, 0) ♥❡ s♦♥t ♣❛s ❞❡s

♠❛①✐♠❛ ❧♦❝❛✉①✱ ❝❛r ❧❛ ✈❛❧❡✉r ♦❜❥❡❝t✐❢ ❡st ❛❧♦rs ♥✉❧❧❡ ❡t s✐ x = y = ε s✉✣s❛♠♠❡♥t ♣❡t✐t✱ ❛❧♦rs

xy = ε2 > 0 ❡t (x, y) ❡st ré❛❧✐s❛❜❧❡✳ ▲❡s ✈❛r✐❛❜❧❡s x ❡t y ♥❡ ♣❡✉✈❡♥t ❛✐♥s✐ ♣❛s êtr❡ ♥✉❧❧❡s ❡t

♦♥ ❛ ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ s✉✐✈❛♥t ✿

max xys✳à 0 < x 6 1,

0 < y 6 1,x+ by + cxy 6 d.

✭✷✳✶✾✮

▲❡ ❧❛❣r❛♥❣✐❡♥ ❛ss♦❝✐é ❡st

L(x, y, µ, η, λ) = −xy + µ(x− 1) + η(y − 1) + λ(x+ by + cxy − d).

▲❡s ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❞✬♦♣t✐♠❛❧✐tés ❞❡ ♣r❡♠✐❡r ♦r❞r❡ s♦♥t ❞♦♥♥é❡s ♣❛r ❧❡s éq✉❛t✐♦♥s s✉✐✈❛♥t❡s ✿

∇L(x, y, µ, η, λ) =

(

−y + µ+ λ+ λcy−x+ η + λb+ λcx

)

= 0, ✭✷✳✷✵✮

µ, η, λ > 0, ✭✷✳✷✶✮

µ(x− 1) = 0, ✭✷✳✷✷✮

η(y − 1) = 0, ✭✷✳✷✸✮

λ(x+ by + cxy − d) = 0. ✭✷✳✷✹✮

◆♦✉s ❛❧❧♦♥s ❞✐✛ér❡♥❝✐❡r ❧❡s ❝❛s ♣♦✉r ✐❞❡♥t✐✜❡r t♦✉t❡s ❧❡s s♦❧✉t✐♦♥s ré❛❧✐s❛❜❧❡s ❞❡ ✭✷✳✷✵✮✲✭✷✳✷✹✮✳

✹✼

• ❈❛s ✶ ✿ λ = 0 ✭✐♠♣♦ss✐❜❧❡✮

✭✷✳✷✵✮ ⇐⇒(

−y + µ−x+ η

)

= 0 ⇐⇒{

y = µx = η

.

✖ ❈❛s ✶✳✶ ✿ µ = 0 ✭éq✉✐✈❛❧❡♥t ♣❛r s②♠étr✐❡ ❛✉ ❝❛s η = 0✮

❖♥ ❛ ❛❧♦rs y = 0✳ P❛r ✭✷✳✷✸✮✱ ♦♥ ❛ η = 0 ❡t ❞♦♥❝ x = 0✳

❖r✱ ♦♥ ❛ ♠♦♥tré q✉❡ ❧❡ ♣♦✐♥t ✭✵✱✵✮ ♥✬❡st ♣❛s ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦♣t✐♠❛❧❡ ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡✳

✖ ❈❛s ✶✳✷ ✿ µ 6= 0 ✭éq✉✐✈❛❧❡♥t ♣❛r s②♠étr✐❡ ❛✉ ❝❛s η 6= 0✮

❖♥ ❛ ❛❧♦rs ♣❛r ✭✷✳✷✷✮ x = 1✳ P❛r ❝♦♥séq✉❡♥t η = 1 ❡t ♣❛r ✭✷✳✷✸✮ y = 1✳

❖r✱ ♦♥ ❛ s✉♣♣♦sé a+ b+ c > d✱ ❞♦♥❝ ❧❡ ♣♦✐♥t ✭✶✱✶✮ ♥✬❡st ♣❛s ré❛❧✐s❛❜❧❡✳

• ❈❛s ✷ ✿ λ 6= 0

✭✷✳✷✵✮ ⇐⇒{

y = −µ−λ

cλ−1

x = −η−λb

cλ−1

.

❈♦♠♠❡ y > 0 ❡t µ, λ > 0✱ ♦♥ ❛ cλ− 1 6 0 ⇐⇒ c 6 1λ.

✖ ❈❛s ✷✳✶ ✿ µ 6= 0

❊♥ ✉t✐❧✐s❛♥t ✭✷✳✷✷✮✱ ♦♥ ♦❜t✐❡♥t x = 1✱ ❞✬♦ù ♦♥ ❞é❞✉✐t

1 = x =−η − λ

cλ− 1⇐⇒ η = 1− cλ− λb.

✖ ❈❛s ✷✳✶✳✶ ✿ η 6= 0

P❛r ✭✷✳✷✸✮✱ ♦♥ ❛ y = 1✳ ❖r ❧❡ ♣♦✐♥t ✭✶✱✶✮ ♥✬❡st ♣❛s ré❛❧✐s❛❜❧❡✳

✖ ❈❛s ✷✳✶✳✷ ✿ η = 0

❖♥ ❛ ❛❧♦rs λ = 1b+c

❡t ♣❛r ✭✷✳✷✹✮✱

1 + by + cy − d = 0,

⇐⇒y(b+ c) = d− 1,

⇐⇒y =d− 1

b+ c.

✹✽

❈❡❧❛ ❡st ❝♦❤ér❡♥t ❛✈❡❝ ❧❡ ❢❛✐t q✉❡ 1 + b+ c > 1✳

✖ ❈❛s ✷✳✷ ✿ µ = 0

❉❛♥s ❝❡ ❝❛s✱ ♦♥ ❛ y = −λcλ−1

= 1c

(

−1 + 11−λc

)

✳

✖ ❈❛s ✷✳✷✳✶ ✿ λ = 1− λc

❆❧♦rs y = 1 ❡t ♣❛r ✭✷✳✷✹✮✱ ♦♥ ❛ x+ b+ cx = d⇐⇒ x = d−bc+1

✳

✖ ❈❛s ✷✳✷✳✷ ✿ λ 6= 1− λc✳

❖♥ ❛ ❛❧♦rs y 6= 1 ❞♦♥❝ ♣❛r ✭✷✳✷✸✮✱ ♦♥ ❛ η = 0✳

❖♥ ❡♥ ❞é❞✉✐t x = −λbcλ−1

= by✳

P❛r ✭✷✳✷✹✮✱ ♦♥ ❛ 2by+ bcy2 − d = 0 ⇐⇒ cy2 + 2y− db= 0✱ ❞♦♥t ❧❡ ❞ét❡r♠✐♥❛♥t

s✬é❝r✐t ∆ = 4 + 4(

cdb

)

= 4(

1 + cdb

)

✳

P❛r ❝♦♥séq✉❡♥t✱ ❧❡s s♦❧✉t✐♦♥s ❞❡ ❝❡ ❝❛s s♦♥t ✿

✖ y1 =−2−2

√1+ cd

b

2c< 0✱ q✉✐ ♥✬❡st ♣❛s ré❛❧✐s❛❜❧❡✱

✖ y2 =−2+2

√1+ cd

b

2c= 1

c

(

−1 +√

b+cdb

)

✳

❉❛♥s ❝❡ ❝❛s✱ ♦♥ ❛ 11+λc

=√

b+cdb

✱ ❞✬♦ù λ =1−

√

bb+cd

c✳

❊♥ ❝♦♥❝❧✉s✐♦♥✱ ❧❡s s♦❧✉t✐♦♥s ♣♦ss✐❜❧❡s ♣♦✉r ❝❡ ♣r♦❜❧è♠❡ s♦♥t

•(

1, d−1b+c

)

✳ ❖r✱ ♦♥ ❛

y 6 1 ⇐⇒ d− 1

b+ c6 1,

⇐⇒ d− 1 6 b+ c,

⇐⇒ d 6 1 + b+ c,

❞✬♦ù ❧❛ ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✳

•(

d−b1+c

, 1)

✳ ❉❡ ♠ê♠❡ q✉❡ ♣ré❝é❞❡♠♠❡♥t✱ ♦♥ ❛

x 6 1 ⇐⇒ d− b

1 + c6 1,

⇐⇒ d− b 6 1 + c,

⇐⇒ d 6 1 + b+ c,

✹✾

❡t ❧❛ ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✳

•(

bλ∗

1−cλ∗ ,λ∗

1−cλ∗

)

❛✈❡❝ λ∗ =1−

√

bb+cd

c❡t µ∗ = η∗ = 0 ❡st ✜♥❛❧❡♠❡♥t ❧❛ s❡✉❧❡ s♦❧✉t✐♦♥ à ❝❡

♣r♦❜❧è♠❡✳

❖♥ ❛ ❞♦♥❝ q✉❡ (x∗, y∗) =(

bλ∗

1−cλ∗ ,λ∗

1−cλ∗

)

❛✈❡❝ λ∗ =1−

√

bb+cd

c❡st ❧❡ s❡✉❧ ♣♦✐♥t st❛t✐♦♥♥❛✐r❡ ❞❡

❝❡ ♣r♦❜❧è♠❡✳

❱ér✐✜♦♥s ❣râ❝❡ ❛✉① ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❞❡ s❡❝♦♥❞ ♦r❞r❡ q✉❡ ❝❡ ♣♦✐♥t ❡st ❡✛❡❝t✐✈❡♠❡♥t ✉♥ ♠❛①✐♠✉♠✳

◆♦t♦♥s g1(x, y) = x − 1, g2(x, y) = y − 1 ❡t g3(x, y) = x + by + cxy − d ❧❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❞✉

♣r♦❜❧è♠❡ ✭✷✳✶✽✮ ❡t Λ∗ = (µ∗, η∗, λ∗) ❧❡s ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t❡✉rs ❛ss♦❝✐és✳ ❙♦✐t I∗ = {i : gi(x∗, y∗) =0}, I = {i ∈ I∗ : Λ∗

i > 0} ❡t I∗0 = I∗\I✳ ❉❛♥s ♥♦tr❡ ❝❛s✱ ❡♥ (x∗, y∗)✱ ♦♥ ❛ I∗ = {3}, I = {3}❡t I∗0 = ∅✳ ❘❛♣♣❡❧♦♥s é❣❛❧❡♠❡♥t q✉❡ x∗ = by∗✳ ▲❡s ❝♦♥❞✐t✐♦♥s s✉✣s❛♥t❡s ❞✬♦♣t✐♠❛❧✐té ❞❡

s❡❝♦♥❞ ♦r❞r❡ s♦♥t✱ ♣♦✉r t♦✉t u = (u1, u2) 6= 0

∇gIu = 0, ✭✷✳✷✺✮

∇gI∗0u 6 0, ✭✷✳✷✻✮

ut∇2L(x∗, y∗,Λ∗)u > 0. ✭✷✳✷✼✮

▲✬éq✉❛t✐♦♥ ✭✷✳✷✺✮ ♥♦✉s ❞♦♥♥❡

∇gIu = (1 + cy∗)u1 + (b+ cx∗)u2,

= (1 + cy∗)u1 + (b+ cby∗)u2,

= (1 + cy∗)(u1 + bu2).

❈♦♠♠❡ (1 + cy∗) > 0✱ ♦♥ ❛ q✉❡

(u1 + bu2) = 0 ⇐⇒ u1 = −bu2. ✭✷✳✷✽✮

❉❡ ♣❧✉s✱ u 6= 0✱ ❞♦♥❝ ♦♥ ❛ q✉❡ u1 6= 0 ❡t u2 6= 0✳

✺✵

▲✬éq✉❛t✐♦♥ ✭✷✳✷✼✮ ♥♦✉s ❞♦♥♥❡

ut∇2L(x∗, y∗,Λ∗)u = ut

(

0 −1 + λ∗c−1 + λ∗c 0

)

u,

= 2u1u2(−1 + λ∗c),

= −2u1u2

√

b

b+ cd,

> 0.

❈♦♠♠❡√

bb+cd

> 0✱ ♦♥ ❞♦✐t ❢♦r❝é♠❡♥t ❛✈♦✐r u1u2 < 0✳ ❈❡ q✉✐ ❡st ❧❡ ❝❛s ❞✬❛♣rès ✭✷✳✷✽✮✳

❉♦♥❝ (x∗, y∗) =(

bλ∗

1−cλ∗ ,λ∗

1−cλ∗

)

❛✈❡❝ λ∗ =1−

√

bb+cd

c❡st ✉♥ ♠❛①✐♠✉♠✳

❖♥ ♣❡✉t é❣❛❧❡♠❡♥t r❡♠❛rq✉❡r q✉❡ ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ f(x, y) = xy ❡st ❝♦♥t✐♥✉❡ s✉r ❧❡ ❞♦♠❛✐♥❡

D = {(x, y) : 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1, x + by + cxy 6 b} ❡t q✉❡ ❝❡t ❡♥s❡♠❜❧❡ ❡st ✉♥ ❝♦♠♣❛❝t✳

❆✐♥s✐✱ f ❛tt❡✐♥t s♦♥ ♠❛①✐♠✉♠ ❡t s♦♥ ♠✐♥✐♠✉♠ s✉r ❝❡t ❡♥s❡♠❜❧❡✳ ▲❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ❞❡ f ❡st ✵✱

q✉✐ ❡st ❛tt❡✐♥t ❡♥ (0, 0) ❡t ❡♥ t♦✉t ♣♦✐♥t ❞❡ ❧❛ ❢♦r♠❡ (x, 0) ❡t (0, y)✳

❈❡❧❛ ♥♦✉s ❛♠è♥❡ à é♥♦♥❝❡r ❧❡ ❝♦r♦❧❧❛✐r❡ s✉✐✈❛♥t ✿

❈♦r♦❧❧❛✐r❡ ✶ ▲❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ f(x, y) = xy ❞é✜♥✐❡ s✉r ❧❡ ❞♦♠❛✐♥❡ D = {(x, y) : 0 6 x 6 1, 0 6

y 6 1, x+by+cxy 6 b} ♣♦ssè❞❡ ✉♥ ♣♦✐♥t st❛t✐♦♥♥❛✐r❡ (x, y) =(

bλ1−cλ

, λ1−cλ

)

❛✈❡❝ λ =1−

√

bb+cd

c

q✉✐ ❡st ✉♥ ♠❛①✐♠✉♠ ❡t ✉♥❡ ✐♥✜♥✐té ❞❡ ♠✐♥✐♠❛ ❛tt❡✐♥ts ❛✉① ♣♦✐♥ts ❞❡ ❧❛ ❢♦r♠❡ (x, 0) ♦✉ (0, y)✳

✷✳✷✳✹ ▲❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ré❛❧✐s❛❜✐❧✐té

❘❡✈❡♥♦♥s ♠❛✐♥t❡♥❛♥t ❛✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡ ❛♣♣❧✐q✉é à ❧✬✐♥❞✉str✐❡ ♣♦r❝✐♥❡ ✭✷✳✶✮✳

❯♥❡ ♠❛♥✐èr❡ ❞❡ ❞ét❡r♠✐♥❡r ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❞♦♥t ❧❡ ❝♦ût ♦♣t✐♠❛❧ ❡st str✐❝t❡♠❡♥t ✐♥❢ér✐❡✉r à ❝❡❧✉✐

❞❡ ❧❛ s♦❧✉t✐♦♥ ❧♦❝❛❧❡ ❝♦♥♥✉❡ ❝♦♥s✐st❡ à ✉t✐❧✐s❡r ❧❡s ♣r♦❜❧è♠❡s ❞❡ ré❛❧✐s❛❜✐❧✐té✳

▲❡ ❜✉t ❞❡ ❝❡ ❣❡♥r❡ ❞❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❡st ❞❡ ❞ét❡r♠✐♥❡r ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❞❛♥s ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ré❛❧✐s❛❜❧❡

✺✶

s❛♥s t❡♥✐r ❝♦♠♣t❡ ❞❡ ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ♦❜❥❡❝t✐❢✳ P❛r ❡①❡♠♣❧❡✱ ❝♦♥s✐❞ér♦♥s ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡

{

minx

f(x)

s✳à x ∈ S.✭✷✳✷✾✮

❙♦✐t x∗ ✉♥ ♦♣t✐♠✉♠ ❧♦❝❛❧ ❞❡ ❝❡ ♣r♦❜❧è♠❡✳ ❊♥ rés♦❧✈❛♥t ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡

minx

0

s✳à x ∈ S,f(x) 6 f(x∗)− ξ.

✭✷✳✸✵✮

♦ù ξ > 0✱ ♦♥ ❝❤❡r❝❤❡ ✉♥ ♣♦✐♥t ré❛❧✐s❛❜❧❡ ❞❡ ❙ t❡❧ q✉❡ ❧❛ ✈❛❧❡✉r ❞❡ f ❡♥ ❝❡ ♣♦✐♥t s♦✐t str✐❝t❡♠❡♥t

✐♥❢ér✐❡✉r❡ à f(x∗)✳ ❙✬✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥❡ t❡❧❧❡ s♦❧✉t✐♦♥✱ ❛❧♦rs ❧❡ ♣♦✐♥t x∗ ♥✬❡st q✉✬✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❧♦❝❛❧❡✳

❊♥ ❛♣♣❧✐q✉❛♥t ❝❡tt❡ ♠ét❤♦❞❡ à ♥♦tr❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❛✈❡❝ ξ = 0.01 s✉r ❧❡s ✐♥st❛♥❝❡s ✶ ❡t ✷✱ ❧❡ s♦❧✈❡✉r

■♣♦♣t ❛tt❡✐♥t s♦♥ ♥♦♠❜r❡ ♠❛①✐♠✉♠ ❞✬✐tér❛t✐♦♥s s❛♥s ❛✈♦✐r ❞ét❡r♠✐♥é ❞❡ ♣♦✐♥t ré❛❧✐s❛❜❧❡✳ ❈❡

rés✉❧t❛t s♦✉t✐❡♥t ♥♦tr❡ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡✱ ♠❛✐s ♥❡ s✐❣♥✐✜❡ ❝❡♣❡♥❞❛♥t ♣❛s q✉❡ ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ♥✬❛ ♣❛s

❞❡ s♦❧✉t✐♦♥ ré❛❧✐s❛❜❧❡✳ ❊♥ ❡✛❡t✱ ❧❡ s♦❧✈❡✉r ét❛♥t ✉♥ s♦❧✈❡✉r ♥♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡✱ ✐❧ ♥❡ ❣❛r❛♥t✐t ♣❛s ❧❛

rés♦❧✉t✐♦♥ ❣❧♦❜❛❧❡ ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡✳ ■❧ ❢❛✉❞r❛✐t ♣♦✉r ❝❡❧❛ ✉t✐❧✐s❡r ❞❡s s♦❧✈❡✉rs ❣❧♦❜❛✉①✳

✷✳✷✳✺ ❘és♦❧✉t✐♦♥ ❛✈❡❝ ❞❡s s♦❧✈❡✉rs ❣❧♦❜❛✉①

❯♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❣❧♦❜❛❧❡ à ✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡ ♥♦♥ ❝♦♥✈❡①❡ ♣❡✉t êtr❡ ❞ét❡r♠✐♥é❡ ♣❛r ❞❡s s♦❧✈❡✉rs

❣❧♦❜❛✉① t❡❧s q✉❡ ❈♦✉❡♥♥❡ ♦✉ ❇❆❘❖◆✳ ❈♦♠♠❡ ♥♦✉s ❧❡ ♣ré❝✐s✐♦♥s ♣ré❝é❞❡♠♠❡♥t✱ ❞❡s s♦❧✈❡✉rs

♥♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡s t❡❧s q✉❡ ■♣♦♣t ♦✉ ❑♥✐tr♦ ♥❡ ❣❛r❛♥t✐ss❡♥t q✉❡ ❞❡s s♦❧✉t✐♦♥s ❧♦❝❛❧❡s✳

❈♦♠♠❡ ♥♦✉s ♣♦✉✈♦♥s ❧❡ ❝♦♥st❛t❡r ❛✈❡❝ ❧❡ t❛❜❧❡❛✉ ✷✳✶✱ ♥✐ ❈♦✉❡♥♥❡✱ ♥✐ ❇❆❘❖◆ ♥✬❡st ❝❛♣❛❜❧❡

❞❡ ❞ét❡r♠✐♥❡r ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❣❧♦❜❛❧❡ ♦♣t✐♠❛❧❡ ❛✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ✭✷✳✶✮ ❧♦rsq✉❡ |J | = 111✱ ❡t ❛tt❡✐♥t

❧❛ ❧✐♠✐t❡ ❞❡ t❡♠♣s ❞❡ ❝❛❧❝✉❧ ✜①é❡ à ✽ ❤❡✉r❡s✳

❊♥ ré❞✉✐s❛♥t ❝♦♥s✐❞ér❛❜❧❡♠❡♥t ❧❛ t❛✐❧❧❡ ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ✭|J | = 2, 3 ♦✉ ✹✮✱ ♣❧✉tôt q✉❡ ❞✬✉t✐❧✐s❡r

❧✬✐♥st❛♥❝❡ ❝♦♠♣❧èt❡✱ ❈♦✉❡♥♥❡ ♥✬❡st t♦✉❥♦✉rs ♣❛s ❝❛♣❛❜❧❡ ❞❡ rés♦✉❞r❡ ❝❡s ♣r♦❜❧è♠❡s ❣❧♦❜❛✲

❧❡♠❡♥t✱ ❛❧♦rs q✉❡ ❇❆❘❖◆ ❝❛❧❝✉❧❡ ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❣❧♦❜❛❧❡ ♦♣t✐♠❛❧❡ ♣♦✉r |J | = 2 ❡t |J | = 3✳

❆✉❝✉♥ ❞❡ ❝❡s s♦❧✈❡✉rs ♥✬❡st ❝❛♣❛❜❧❡ ❞❡ ❣ér❡r ✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ t❛✐❧❧❡ ♣❧✉s ❣r❛♥❞❡✳

✺✷

|I| |J | ❙♦❧✈❡✉rs❈♦✉❡♥♥❡ ❇❆❘❖◆ ■♣♦♣t

■♥st❛♥

❝❡✶ ✶✻ ✷ ◆✴❆ ✶✳✵✷ ✶✳✵✷

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■♥st❛♥

❝❡✷ ✶✽ ✷ ◆✴❆ ✵✳✽✵ ✵✳✽✵

✶✽ ✸ ◆✴❆ ✶✳✷✶ ✶✳✷✶✶✽ ✹ ◆✴❆ ◆✴❆ ✶✳✻✷✶✽ ✶✶✶ ◆✴❆ ◆✴❆ ✻✽✳✾✾

◆✴❆ ✿ ♥♦♥ ❞✐s♣♦♥✐❜❧❡

❚❛❜❧❡❛✉ ✷✳✶ ✕ ❈♦♠♣❛r❛✐s♦♥ ❞❡ ❧❛ ✈❛❧❡✉r ♦♣t✐♠❛❧❡ ❞❡ s♦❧✈❡✉rs ❣❧♦❜❛✉① ✭❈♦✉❡♥♥❡✱ ❇❆❘❖◆✮❛✈❡❝ ✉♥ s♦❧✈❡✉r ♥♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡ ✭■♣♦♣t✮✳

❖♥ ♣❡✉t r❡♠❛rq✉❡r q✉❡ ❧❛ ✈❛❧❡✉r ❞❡ ❧❛ s♦❧✉t✐♦♥ ❣❧♦❜❛❧❡ ♦♣t✐♠❛❧❡ ❞ét❡r♠✐♥é❡ ♣❛r ❇❆❘❖◆

♣♦✉r |J | = 2 ❡t |J | = 3 s♦♥t é❣❛❧❡s✱ ♣♦✉r ❧❡s ❞❡✉① ✐♥st❛♥❝❡s q✉❡ ♥♦✉s ét✉❞✐♦♥s✱ ❛✉① ✈❛❧❡✉rs

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p✲❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ❡t ❧❛ q✲❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ r❡t♦✉r♥❡♥t ❡①❛❝t❡♠❡♥t ❧❛ ♠ê♠❡ s♦❧✉t✐♦♥✱ ✐❞❡♥t✐q✉❡ à ❝❡❧❧❡

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❝♦♥s✐❞ér♦♥s✳ ❈❡s ✈❛❧❡✉rs ♦♣t✐♠❛❧❡s s♦♥t ❞❡ ✾✻✳✷✸ ♣♦✉r ❧✬✐♥st❛♥❝❡ ✶ ❡t ❞❡ ✻✽✳✾✾ ♣♦✉r ❧✬✐♥st❛♥❝❡

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❊♥❝♦r❡ ✉♥❡ ❢♦✐s✱ ❝❡s rés✉❧t❛ts s♦✉t✐❡♥♥❡♥t ♥♦tr❡ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡✳

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

▲❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡ ❛♣♣❧✐q✉é ❛✉① ❞♦♥♥é❡s ❞❡ ❧✬✐♥❞✉str✐❡ ♣♦r❝✐♥❡ ❡st ✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡ ❢♦rt❡♠❡♥t

◆P✲❞✐✣❝✐❧❡✳ ◆♦✉s ♣♦✉✈♦♥s ❧❡ ♣r♦✉✈❡r ❡♥ ✉t✐❧✐s❛♥t ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ♣♦♦❧✐♥❣✳

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❯♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ ❝❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ♣❡✉t êtr❡ ❝❛❧❝✉❧é❡ ❣râ❝❡ à ❞❡s s♦❧✈❡✉rs ♥♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡s✳ P♦✉r ❧❡s

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❝♦♥❥❡❝t✉r❡✳

▲❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ré❛❧✐s❛❜✐❧✐té ❛ss♦❝✐é ❡t q✉✐ ❝❤❡r❝❤❡ ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ré❛❧✐s❛❜❧❡ ❛②❛♥t ✉♥ ❝♦ût ♣❧✉s

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s♦❧✈❡✉rs ❣❧♦❜❛✉① ♥❡ s♦♥t ♣❛s ❝❛♣❛❜❧❡s ❞❡ ❝❛❧❝✉❧❡r ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♣♦✉r ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ♣❧❡✐♥❡

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❞❡ ✈❛❧❡✉r ♦♣t✐♠❛❧❡ é❣❛❧❡ à ❧❛ s♦❧✉t✐♦♥ ❧♦❝❛❧❡✳

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❈❍❆P■❚❘❊ ✸

❆♥❛❧②s❡ ♣❛r r❡❧❛①❛t✐♦♥

▲❡s ♠ét❤♦❞❡s ✉s✉❡❧❧❡s ❞❡ r❡❝❤❡r❝❤❡ ❞✬♦♣t✐♠✉♠ ❣❧♦❜❛❧ ♣rés❡♥té❡s ❞❛♥s ❧❡ ❝❤❛♣✐tr❡ ✷ ♥❡ ❢♦♥❝✲

t✐♦♥♥❡♥t ♣❛s s✉r ♥♦tr❡ ♣r♦❜❧è♠❡ à ❝❛✉s❡ ❞❡ s❛ ❞✐♠❡♥s✐♦♥✳ ◆♦✉s ❞❡✈♦♥s ❞♦♥❝ ✉t✐❧✐s❡r ❞✬❛✉tr❡s

❛♣♣r♦❝❤❡s✳ ❉❛♥s ❝❡ ❝❤❛♣✐tr❡✱ ♥♦✉s ❛❧❧♦♥s ♥♦✉s ❝♦♥❝❡♥tr❡r s✉r ❞❡s t❡❝❤♥✐q✉❡s ❞❡ r❡❧❛①❛t✐♦♥✳

❈❡s ❛♣♣r♦❝❤❡s ♥♦✉s ♣❡r♠❡tt❡♥t ❞✬♦❜t❡♥✐r ✉♥❡ ❜♦r♥❡ ✐♥❢ér✐❡✉r❡ à ❧❛ ✈❛❧❡✉r ❣❧♦❜❛❧❡ ♦♣t✐♠❛❧❡✳

❉❛♥s t♦✉t❡s ❧❡s ❡①♣ér✐❡♥❝❡s ♥✉♠ér✐q✉❡s q✉❡ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ré❛❧✐sé❡s✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ✉t✐❧✐sé ❧❡ s♦❧✈❡✉r

■♣♦♣t✳

✸✳✶ ❆♣♣r♦❝❤❡ ♣❛r ♣é♥❛❧✐s❛t✐♦♥

▲❛ ♣r❡♠✐èr❡ ❛♣♣r♦❝❤❡ q✉❡ ♥♦✉s ♣rés❡♥t♦♥s ❝♦♥s✐st❡ à ♣é♥❛❧✐s❡r ❧❡s t❡r♠❡s ❜✐❧✐♥é❛✐r❡s ❞❡s

❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❞❛♥s ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ♦❜❥❡❝t✐❢ ❝❛r ❧✬❡ss❡♥t✐❡❧ ❞❡s ♠ét❤♦❞❡s ❡①✐st❛♥t❡s ♥❡ ♣rés❡♥t❡ ♣❛s

❞❡ ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❜✐❧✐♥é❛✐r❡s✳

❈♦♥s✐❞ér♦♥s ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡ ❣é♥ér❛❧ s✉✐✈❛♥t ✿

{

minx,y

f(x, y)

s✳à g(x, y) 6 0,✭✸✳✶✮

♦ù f ❡t g s♦♥t ❞❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s ❜✐❧✐♥é❛✐r❡s✳

✺✻

ξ f(x∗) + ξ‖z∗ − x∗‖2 f(x∗) ‖x∗ − x∗ipopt‖2 d(x∗, S)

■♥st❛♥

❝❡✶

✵✱✶ ✷✳✶✾ ✻✳✾✵❡✲✵✺ ✻✶✷✳✾✶ ✽✷✽✷✳✽✹✶ ✷✶✳✾✸ ✹✳✺✺❡✲✵✼ ✻✶✷✳✶✶ ✽✷✽✷✳✽✹✶✵ ✼✽✳✻✹ ✻✻✳✵✷ ✸✽✳✶✶ ✶✽✹✽✳✾✸✶✵✵ ✾✵✳✹✽ ✽✽✳✻✽ ✹✳✸✵ ✷✸✵✳✹✷✶ ✵✵✵ ✾✸✳✽✻ ✾✷✳✾✵ ✹✳✷✻ ✻✾✳✶✾✶✵ ✵✵✵ ✾✺✳✷✸ ✾✹✳✾✷ ✵✳✷✾ ✶✺✳✺✷✶✵✵ ✵✵✵ ✾✺✳✽✾ ✾✺✳✺✽ ✵✳✺✾ ✸✳✽✹✶ ✵✵✵ ✵✵✵ ✾✻✳✶✾ ✾✻✳✶✺ ✵✳✵✹ ✵✳✹✽✶✵ ✵✵✵ ✵✵✵ ✾✻✳✷✸ ✾✻✳✷✷ ✵✳✵✵✹ ✵✳✵✾✶✵✵ ✵✵✵ ✵✵✵ ◆✴❆ ◆✴❆ ◆✴❆ ◆✴❆

■♥st❛♥

❝❡✷

✵✱✶ ✶✳✾✵ ✶✳✹✵❡✲✵✺ ✼✻✾✳✷✶ ✽✷✽✷✳✽✹✶ ✶✾✳✵✵ ✶✳✵✶❡✲✵✻ ✼✻✼✳✷✻ ✽✷✽✷✳✽✹✶✵ ✺✼✳✹✼ ✺✵✳✹✸ ✶✵✷✳✺✷ ✶✸✽✸✳✵✷✶✵✵ ✻✹✳✻✸ ✻✸✳✶✺ ✺✳✼✽ ✷✹✺✳✺✵✶ ✵✵✵ ✻✼✳✻✽ ✻✻✳✾✶ ✵✳✸✺ ✼✺✳✽✺✶✵ ✵✵✵ ✻✽✳✻✽ ✻✽✳✹✾ ✵✳✵✻ ✽✳✽✽✶✵✵ ✵✵✵ ✻✽✳✾✶ ✻✽✳✽✻ ✵✳✵✵✽ ✶✳✷✾✶ ✵✵✵ ✵✵✵ ✻✽✳✾✽ ✻✽✳✾✼ ✵✳✵✷ ✵✳✷✺✶✵ ✵✵✵ ✵✵✵ ✻✽✳✾✾ ✻✽✳✾✽ ✽✳✷✵❡✲✵✺ ✵✳✵✺✶✵✵ ✵✵✵ ✵✵✵ ◆✴❆ ◆✴❆ ◆✴❆ ◆✴❆

❚❛❜❧❡❛✉ ✸✳✶ ✕ ❱❛❧❡✉rs ♦♣t✐♠❛❧❡s ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ♣é♥❛❧✐sé ❡t ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ✐♥✐t✐❛❧✱ ❞✐st❛♥❝❡ à❧❛ s♦❧✉t✐♦♥ ❧♦❝❛❧❡ x∗ipopt ❡t ❞✐st❛♥❝❡ à ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ré❛❧✐s❛❜❧❡ ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ✐♥✐t✐❛❧ ✭d(x∗, S) =‖max(0, g(x, y, z)‖✮✳

◆♦✉s ✐♥tr♦❞✉✐s♦♥s ❛❧♦rs ✉♥❡ ♥♦✉✈❡❧❧❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ z ❡t ♥♦✉s r❡♠♣❧❛ç♦♥s t♦✉s ❧❡s t❡r♠❡s ❜✐❧✐♥é❛✐r❡s

❞❡ ❧❛ ❢♦r♠❡ xy ♣❛r z✳ ◆♦✉s ♣é♥❛❧✐s♦♥s ❡♥s✉✐t❡ ❧❛ ❞✐st❛♥❝❡ ❡♥tr❡ z ❡t xy ❞❛♥s ❧✬♦❜❥❡❝t✐❢✳ ◆♦✉s

❝♦♥s✐❞ér♦♥s ❞♦♥❝ ♠❛✐♥t❡♥❛♥t ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ s✉✐✈❛♥t

{

minx,y,z

f(x, y) +∑

i∈I

∑

j∈J

ξ‖zij − xiyj‖2

s✳à g(x, y, z) 6 0.✭✸✳✷✮

♦ù g ❡st ✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡✳

P❧✉s ξ ❡st ❣r❛♥❞✱ ♣❧✉s ❧❛ s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ ✭✸✳✷✮ s❡r❛ ♣r♦❝❤❡ ❞❡ ❧❛ s♦❧✉t✐♦♥ ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ♦r✐❣✐♥❛❧

✭✸✳✶✮✳

◆♦✉s ❛♣♣❧✐q✉♦♥s ❞♦♥❝ ❝❡tt❡ ❛♣♣r♦❝❤❡ ❛✉① ❞❡✉① ✐♥st❛♥❝❡s ❞❡ ♥♦tr❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥

♣♦r❝✐♥❡✳ ▲❡ t❛❜❧❡❛✉ ✸✳✶ r❡❣r♦✉♣❡ ❧❡s rés✉❧t❛ts✳ ▲❛ tr♦✐s✐è♠❡ ❝♦❧♦♥♥❡ ❞❡ ❝❡ t❛❜❧❡❛✉ ♣rés❡♥t❡

✺✼

❧❡ ❝♦ût ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ s❛♥s ❧❛ ♣é♥❛❧✐s❛t✐♦♥✳ ❖♥ ♣❡✉t ❝♦♥st❛t❡r q✉❡ ❝❡tt❡ ✈❛❧❡✉r ❛✉❣♠❡♥t❡

❥✉sq✉✬à ❛tt❡✐♥❞r❡ ✉♥❡ ✈❛❧❡✉r ♣r♦❝❤❡ ❞❡ ❝❡❧❧❡s ♦❜t❡♥✉❡s ❛✉① ♠✐♥✐♠❛ ❧♦❝❛✉① ✭✾✻✳✷✸ ♣♦✉r ❧✬✐♥s✲

t❛♥❝❡ ✶ ❡t ✻✽✳✾✾ ♣♦✉r ❧✬✐♥st❛♥❝❡ ✷✮✳ ▲♦rsq✉❡ ξ ❡st ❣r❛♥❞✱ ♣❛r ❡①❡♠♣❧❡ 108✱ ❧❡ s♦❧✈❡✉r ❛tt❡✐♥t ❧❡

♠❛①✐♠✉♠ ❞✬✐tér❛t✐♦♥s ❛✉t♦r✐sé✱ ✜①é à ✺✵✵✵ ❡t ❧❡ ♣♦✐♥t ♦❜t❡♥✉ à ❧❛ ❞❡r♥✐èr❡ ✐tér❛t✐♦♥ r❡t♦✉r♥❡

✉♥❡ ✈❛❧❡✉r ❧❛r❣❡♠❡♥t s✉♣ér✐❡✉r❡ à ❝❡❧❧❡ ❡♥ xipopt✳ P♦✉r ❧❡s ❛✉tr❡s ✈❛❧❡✉rs ❞❡ ξ✱ ♦♥ ♣❡✉t ✈♦✐r q✉❡

❧❛ s♦❧✉t✐♦♥ ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ♣é♥❛❧✐sé ❡st très ♣r♦❝❤❡ ❞❡ ❧❛ s♦❧✉t✐♦♥ ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ✐♥✐t✐❛❧ ✭❝♦❧♦♥♥❡

✹✮✱ ❛✈❡❝ ✉♥❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❞❡ 4× 10−3 ❡t 8.2× 10−5 ♣♦✉r ❧❡s ✐♥st❛♥❝❡s ✶ ❡t ✷ r❡s♣❡❝t✐✈❡♠❡♥t✱ ❡♥

✉t✐❧✐s❛♥t ξ = 107✱ ♠❛✐s r❡st❡ ♥♦♥ ré❛❧✐s❛❜❧❡ ♣♦✉r ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ✐♥✐t✐❛❧✳ ❊♥ ❡✛❡t✱ ❧❛ ❞✐st❛♥❝❡ à

❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ré❛❧✐s❛❜❧❡ ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ✐♥✐t✐❛❧ ✭❝♦❧♦♥♥❡ ✺✮ r❡st❡ ♥♦♥ ♥✉❧❧❡✳

◆♦✉s ♣♦✉✈♦♥s r❡♠❛rq✉❡r q✉❡ ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ✭✸✳✷✮ ❡st ✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡ à ♦❜❥❡❝t✐❢ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡ ❡t à

❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❧✐♥é❛✐r❡s✱ s❡♠❜❧❛❜❧❡ à ✭✷✳✷✮✳ ▲❡s ❛❧❣♦r✐t❤♠❡s ❞é✈❡❧♦♣♣és ♣♦✉r rés♦✉❞r❡ ❝❡s ♣r♦✲

❜❧è♠❡s s♦♥t✱ ♣♦✉r ❧❛ ♣❧✉♣❛rt✱ ❞❡s ❛❧❣♦r✐t❤♠❡s ❞❡ ❇r❛♥❝❤ ❛♥❞ ❇♦✉♥❞ ❡t ♥❡ s♦♥t ❡✣❝❛❝❡s q✉❡

s✉r ❞❡s ♣r♦❜❧è♠❡s ❞❡ ♣❡t✐t❡ t❛✐❧❧❡✱ ❣é♥ér❛❧❡♠❡♥t ✉♥❡ ❞✐③❛✐♥❡ ❞❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❡t ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❛✉

♠❛①✐♠✉♠✳ ◆♦tr❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❛②❛♥t ♣❧✉s ❞❡ ✷✺✵ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❡t ✷✼✵✵ ❝♦♥tr❛✐♥t❡s✱ ♥♦✉s ♥❡ ♣♦✉✈♦♥s

♣❛s ❛♣♣❧✐q✉❡r ❝❡s ♠ét❤♦❞❡s ♣♦✉r rés♦✉❞r❡ ❝❡ ♣r♦❜❧è♠❡✳

❈❡s rés✉❧t❛ts s♦✉t✐❡♥♥❡♥t é❣❛❧❡♠❡♥t ♥♦tr❡ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡✳

✸✳✷ ❆♣♣r♦❝❤❡ ♣❛r ❞✐s❝rét✐s❛t✐♦♥

❉❛♥s ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡ ✐♥✐t✐❛❧ ✭✷✳✶✮✱ t♦✉t❡s ❧❡s ✈❛r✐❛❜❧❡s ét❛✐❡♥t ❝♦♥s✐❞éré❡s ❝♦♠♠❡ ❝♦♥t✐✲

♥✉❡s✳ ◆♦✉s ❛❧❧♦♥s ✈♦✐r ❞❛♥s ❝❡tt❡ s❡❝t✐♦♥ q✉✬❡♥ ❞✐s❝rét✐s❛♥t ✉♥❡ ❞❡s ✈❛r✐❛❜❧❡s ❛♣♣❛r❛✐ss❛♥t

❞❛♥s ❧❡s t❡r♠❡s ❜✐❧✐♥é❛✐r❡s✱ ♥♦✉s ♦❜t❡♥♦♥s ✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡ ❧✐♥é❛✐r❡ ♠✐①t❡ ❡♥ ♥♦♠❜r❡s ❡♥t✐❡rs✳

❈❡tt❡ s❡❝t✐♦♥ ❛ été ✐♥s♣✐ré❡ ♣❛r ❬✽✸❪✳

✸✳✷✳✶ ❱❡rs ✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡ ❧✐♥é❛✐r❡ ♠✐①t❡ ❡♥ ♥♦♠❜r❡s ❡♥t✐❡rs

❙♦✐❡♥t 0 6 xi 6 uxi❡t 0 6 yj 6 uyj ❞❡✉① ✈❛r✐❛❜❧❡s ✐♠♣❧✐q✉é❡s ❞❛♥s ✉♥ t❡r♠❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡ xiyj✳

✺✽

❖♥ ❞✐s❝rét✐s❡ ❛❧♦rs ❡♥ ❜❛s❡ ✷ ✉♥❡ ❞❡ ❝❡s ❞❡✉① ✈❛r✐❛❜❧❡s✱ ♣❛r ❡①❡♠♣❧❡ yi✱ ❞❡ ❧❛ ♠❛♥✐èr❡ s✉✐✈❛♥t❡

yi = uyi

K∑

k=0

2−kαjk, ✭✸✳✸✮

♦ù αjk ∈ {0, 1} ❡st ✉♥❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ ❜✐♥❛✐r❡ ❡t K ❡st ❧❡ t❛✉① ❞✬é❝❤❛♥t✐❧❧♦♥♥❛❣❡✳ ❊♥ ✉t✐❧✐s❛♥t ✭✸✳✸✮✱

❧❡s t❡r♠❡s ❜✐❧✐♥é❛✐r❡s s✬é❝r✐✈❡♥t

xiyj = xiuyj

(

K∑

k=0

2−kαjk

)

= uyj

K∑

k=0

2−kαjkxi. ✭✸✳✹✮

❖♥ ♣❡✉t ✈♦✐r ❞❡ ✭✸✳✹✮ q✉❡✱ ♣♦✉r ❧❡ ♠♦♠❡♥t✱ ❝❡ t❡r♠❡ ❡st t♦✉❥♦✉rs ❜✐❧✐♥é❛✐r❡✳ ❈❡♣❡♥❞❛♥t✱ ❡♥

✐♥tr♦❞✉✐s❛♥t ✉♥❡ ♥♦✉✈❡❧❧❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ xijk t❡❧❧❡ q✉❡

xijk =

{

0 s✐ αjk = 0,xi s✐ αjk = 1.

✭✸✳✺✮

❯♥ t❡r♠❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡ s✬é❝r✐t ♠❛✐♥t❡♥❛♥t

xiyj = uyj

K∑

k=0

2−kxijk, ✭✸✳✻✮

q✉✐ ❡st ❧✐♥é❛✐r❡ ❡♥ xijk✳

❯♥❡ t❡❧❧❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ ❡st ❞é✜♥✐❡ ❣râ❝❡ à q✉❛tr❡ éq✉❛t✐♦♥s ✿

xijk > 0, ✭✸✳✼✮

xijk − xi 6 0, ✭✸✳✽✮

−xijk + xi − uxi(1− αjk) 6 0, ✭✸✳✾✮

xijk − uxiαjk 6 0. ✭✸✳✶✵✮

❊♥ r❡♠♣❧❛ç❛♥t ❝❤❛q✉❡ t❡r♠❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡ ❞❡ ✭✷✳✶✮ ♣❛r ✉♥❡ ♥♦✉✈❡❧❧❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ ❞é✜♥✐❡ ♣❛r ❧❡s

éq✉❛t✐♦♥s ✭✸✳✼✮ ✲ ✭✸✳✶✵✮✱ ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡✈✐❡♥t ❛❧♦rs ✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡ ❧✐♥é❛✐r❡ ♠✐①t❡ ❡♥ ♥♦♠❜r❡s

❡♥t✐❡rs ✭▼■▲P✮✳

✺✾

❈❡tt❡ ❛♣♣r♦❝❤❡ ❛♣♣❧✐q✉é❡ ❛✉ ♠♦❞è❧❡ ✭✷✳✶✮ ❞♦♥♥❡ ❧❡ ♠♦❞è❧❡ s✉✐✈❛♥t ✿

minx1,x2,y1,y2,x1,x2,α,β

∑

i∈I

∑

j∈J

∑

k∈K q0i 2

−k(

uy1x1ijk + uy2x

2ijk

)

s✳à dpj 6∑

i∈I

∑

k∈K

2−kqpi(

uy1x1ijk + uy2x

2ijk

)

6 dp

j , ∀p ∈ P, ∀j ∈ J,

b 6 A

x1x2y1y2

6 b,

0 6

x1x2y1y2

6

ux1

ux2

uy1uy2

,

x1ijk > 0, ∀i ∈ I, ∀j ∈ J, ∀k ∈ K,x1ijk − x1i 6 0, ∀i ∈ I, ∀j ∈ J, ∀k ∈ K,−x1ijk + x1i − ux1

(1− αjk) 6 0, ∀i ∈ I, ∀j ∈ J, ∀k ∈ K,x1ijk − ux1

αjk 6 0, ∀i ∈ I, ∀j ∈ J, ∀k ∈ K,

x2ijk > 0, ∀i ∈ I, ∀j ∈ J, ∀k ∈ K,x2ijk − x2i 6 0, ∀i ∈ I, ∀j ∈ J, ∀k ∈ K,−x2ijk + x2i − ux2

(1− βjk) 6 0, ∀i ∈ I, ∀j ∈ J, ∀k ∈ K,x2ijk − ux2

αjk 6 0, ∀i ∈ I, ∀j ∈ J, ∀k ∈ K,

αjk, βjk ∈ {0, 1}, ∀j ∈ J, ∀k ∈ K.✭✸✳✶✶✮

❈❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ♣❡✉t êtr❡ rés♦❧✉ ❣❧♦❜❛❧❡♠❡♥t ♣❛r ❞❡s s♦❧✈❡✉rs ❧✐♥é❛✐r❡s ♠✐①t❡s ❡♥ ♥♦♠❜r❡s

❡♥t✐❡rs✳ ▲❛ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❜t❡♥✉❡ s❡r❛ ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❛♣♣r♦❝❤é❡ ❞❡ ❧❛ s♦❧✉t✐♦♥ ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ❝♦♥t✐♥✉

✭✷✳✶✮✳

◆♦✉s ❛✈♦♥s ré❛❧✐sé ❝❡tt❡ ✐♠♣❧é♠❡♥t❛t✐♦♥ ❡♥ ❆▼P▲ ❡t ♥♦✉s ❛✈♦♥s ✉t✐❧✐sé ❧❡ s♦❧✈❡✉r ❈P▲❊❳

✶✷✳✻ ♣♦✉r ❧❡ rés♦✉❞r❡✳

❆✜♥ ❞❡ t❡st❡r ❝❡tt❡ ♠ét❤♦❞❡✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ❝♦♠♠❡♥❝é ♣❛r rés♦✉❞r❡ ❞❡s ♣r♦❜❧è♠❡s ❞❡ ♣❡t✐t❡

❞✐♠❡♥s✐♦♥ ❡♥ ♣r❡♥❛♥t |J | = 2 ❡t |K| = 4✱ t❛♥❞✐s q✉❡ |I| ❡t |P | r❡st❡♥t ✐♥❝❤❛♥❣és✳ ◆♦✉s ❛✈♦♥s❡♥s✉✐t❡ ❛✉❣♠❡♥té ♣r♦❣r❡ss✐✈❡♠❡♥t ❧❛ ✈❛❧❡✉r ❞❡ |J |✳ ▲❡ t❛❜❧❡❛✉ ✸✳✷ r❡❣r♦✉♣❡ ❧❡s rés✉❧t❛ts ♣♦✉r

❞❡s ✈❛❧❡✉rs ❞❡ |J | ❛❧❧❛♥t ❞❡ ✷ à ✼ ♣♦✉r ❝❤❛❝✉♥❡ ❞❡s ✐♥st❛♥❝❡s t②♣✐q✉❡s✳

❖♥ ♣❡✉t r❡♠❛rq✉❡r q✉❡ ❧❡s ✈❛❧❡✉rs ♦♣t✐♠❛❧❡s ❞❡ ✭✷✳✶✮ ❡t ✭✸✳✶✶✮ s♦♥t ✐❞❡♥t✐q✉❡s q✉❡❧q✉❡ s♦✐t ❧❛

✻✵

|J | ♣r♦❜❧è♠❡ ✭✷✳✶✮ ♣r♦❜❧è♠❡ ✭✸✳✶✶✮♦❜❥✳ ✈❛❧✉❡ ❈P❯ t✐♠❡ ♦❜❥✳ ✈❛❧✉❡ ❈P❯ t✐♠❡

■♥st❛♥

❝❡✶

✷ ✶✳✵✷ ✵✳✶✻✷✾✸✶ ✶✳✵✷ ✺✳✻✸✶✻✹✸ ✶✳✺✹ ✵✳✶✷✷✶✺✸ ✶✳✺✹ ✼✾✳✸✷✻✺✹ ✷✳✵✼ ✵✳✹✸✼✹✾✸ ✷✳✵✼ ✼✶✹✳✽✹✸✺ ✷✳✻✶ ✵✳✶✽✵✼✸✶ ✷✳✻✶ ✸✱✽✸✷✳✼✻✻ ✸✳✶✻ ✵✳✸✸✾✸✻✾ ✸✳✶✻ ✸✵✱✾✽✽✳✼✼ ✸✳✼✶ ✵✳✹✼✽✷✻✻ ✸✳✼✶ ✹✸✸✱✶✻✽

■♥st❛♥

❝❡✷

✷ ✵✳✽✵ ✵✳✶✽✵✼✶✾ ✵✳✽✵ ✹✳✵✻✽✾✽✸ ✶✳✷✶ ✵✳✸✸✵✾✽✸ ✶✳✷✶ ✺✷✳✾✻✻✹ ✶✳✻✷ ✵✳✶✼✶✶✻✹ ✶✳✻✷ ✷✽✻✳✵✸✶✺ ✷✳✵✹ ✵✳✹✸✸✸✾✾ ✷✳✵✹ ✷✱✵✼✾✳✸✸✻ ✷✳✹✼ ✵✳✸✽✾✼✽✼ ✷✳✹✼ ✶✶✱✷✶✵✳✺✼ ✷✳✾✵ ✵✳✼✵✻✵✻✼ ✷✳✾✵ ✷✼✽✱✵✷✶

❚❛❜❧❡❛✉ ✸✳✷ ✕ ❱❛❧❡✉r ♦♣t✐♠❛❧❡ ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡ s♦❧✈❡✉r ■♣♦♣t✮ ❡t ❞✉ ♠♦❞è❧❡ ❞✐s❝rét✐sé✭s♦❧✈❡✉r ❈P▲❊❳✮ ❛✐♥s✐ q✉❡ ❧❡ t❡♠♣s ❈P❯ ✭❡♥ s❡❝♦♥❞❡✮✳

t❛✐❧❧❡ ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡✳ ❈❡♣❡♥❞❛♥t✱ s✐ ♦♥ r❡❣❛r❞❡ ❧❡ t❡♠♣s ❞❡ rés♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ ❈P▲❊❳ ♣♦✉r rés♦✉❞r❡

✭✸✳✶✶✮✱ ♦♥ r❡♠❛rq✉❡ s❛ ❝r♦✐ss❛♥❝❡ ❡①♣♦♥❡♥t✐❡❧❧❡✳ ❈❡ t❡♠♣s ❡st ❞é❝✉♣❧é à ❝❤❛q✉❡ ❢♦✐s q✉❡ |J |❡st ❛✉❣♠❡♥té ❞❡ ✶✳

❉❛♥s ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ✐♥✐t✐❛❧✱ |J | = 111✳ ❆✐♥s✐✱ ✐❧ ❢❛✉❞r❛✐t ❡♥✈✐r♦♥ 10100 ❛♥s ♣♦✉r rés♦✉❞r❡ ❧❡

♣r♦❜❧è♠❡ ❞✐s❝rét✐sé ❡♥ ❡♥t✐❡r✳ ❯t✐❧✐s❡r ❧✬❛♣♣r♦❝❤❡ ❞✐s❝rèt❡ s❡♠❜❧❛✐t ✉♥❡ ❜♦♥♥❡ ✐❞é❡ ❞❡ ♣r✐♠❡

❛❜♦r❞✱ ♠❛✐s ❧❛ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ❞❡ ♥♦tr❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❡t ❧❡s ❛❧❣♦r✐t❤♠❡s ❞❡ ❇r❛♥❝❤ ❛♥❞ ❇♦✉♥❞ ✉t✐❧✐sés

♣♦✉r rés♦✉❞r❡ ❧❡s ▼■▲Ps ♥❡ s♦♥t ♣❛s ❛❞❛♣tés à ♥♦tr❡ ❝❛s✳

▲❡s ❛❧❣♦r✐t❤♠❡s ❞❡ ❇r❛♥❝❤ ❛♥❞ ❇♦✉♥❞ ❝❛❧❝✉❧❡♥t s✉❝❝❡ss✐✈❡♠❡♥t ❞❡s ❜♦r♥❡s ✐♥❢ér✐❡✉r❡s ❡t

s✉♣ér✐❡✉r❡s à ❧❛ s♦❧✉t✐♦♥ ❣❧♦❜❛❧❡ ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡✳ ❆♣rès ✸✵ ♠✐♥✉t❡s ❞❡ ❝❛❧❝✉❧ s✉r ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡

❡♥t✐❡r ✭✐♥st❛♥❝❡s ✶ ❡t ✷✮✱ ❧❛ ❜♦r♥❡ ✐♥❢ér✐❡✉r❡ ❞ét❡r♠✐♥é❡ ♣❛r ❈P▲❊❳ ét❛✐t t♦✉❥♦✉rs ✐♥❢ér✐❡✉r❡

à ❝❡❧❧❡ q✉❡ ♥♦✉s ❝♦♥♥❛✐ss✐♦♥s ❞é❥à ❡t ♥❡ ❧✬❛♠é❧✐♦r❡ ❞♦♥❝ ♣❛s✳

▲❡ ♠ê♠❡ ❝♦♠♣♦rt❡♠❡♥t ❡st à ♥♦t❡r ❧♦rsq✉❡ ❧❡s ✈❛r✐❛❜❧❡s x1 ❡t x2 s♦♥t ❞✐s❝rét✐sé❡s à ❧❛ ♣❧❛❝❡

❞❡ y1 ❡t y2✱ ♠❛✐s ♥♦✉s ♥❡ ♣rés❡♥t♦♥s ♣❛s ❧❡s rés✉❧t❛ts ✐❝✐✳

❈❡tt❡ ❛♣♣r♦❝❤❡ ♥♦✉s ♠♦♥tr❡ q✉❡✱ ♣♦✉r ❞❡s ♣r♦❜❧è♠❡s ❞❡ t❛✐❧❧❡ ré❞✉✐t❡✱ ❧❛ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ ❡st

✈ér✐✜é❡✳ ❊❧❧❡ ❧❛ s♦✉t✐❡♥t ❞♦♥❝ ♣♦✉r ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❡♥t✐❡r✳

✻✶

✸✳✷✳✷ ❘❡❧❛①❛t✐♦♥ ❝♦♥t✐♥✉❡ ❞✉ ▼■▲P

▲❛ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❝♦♥t✐♥✉❡ ❞✬✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞✐s❝r❡t ❢♦✉r♥✐t ✉♥❡ ❜♦r♥❡ ✐♥❢ér✐❡✉r❡ à ❧❛ s♦❧✉t✐♦♥ ❞✐s✲

❝rèt❡✳ ❊♥ ❛♣♣❧✐q✉❛♥t ❝❡tt❡ r❡❧❛①❛t✐♦♥ à ✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡ ❧✐♥é❛✐r❡ ♠✐①t❡ ❡♥ ♥♦♠❜r❡s ❡♥t✐❡rs✱ ♥♦✉s

♦❜t❡♥♦♥s ✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡ ❧✐♥é❛✐r❡ ❛✈❡❝ ❞❡s ✈❛r✐❛❜❧❡s ❝♦♥t✐♥✉❡s✱ ❢❛❝✐❧❡♠❡♥t rés♦❧✉❜❧❡ ❡t ♥♦✉s

s♦♠♠❡s ❛ss✉rés ❞✬♦❜t❡♥✐r ✉♥ ♠✐♥✐♠✉♠ ❣❧♦❜❛❧ ❞❡ ❝❡ ♣r♦❜❧è♠❡✳ ◆♦✉s ré❛❧✐s♦♥s ❝❡tt❡ r❡❧❛①❛✲

t✐♦♥ s✉r ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ✭✸✳✶✶✮✳

❆♣rès rés♦❧✉t✐♦♥✱ ❧❛ s♦❧✉t✐♦♥ ♦♣t✐♠❛❧❡ ❞❡ ❝❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❡st ❞❡ ✾✹✳✶✽ ♣♦✉r ❧✬✐♥st❛♥❝❡ ✶ ❡t ❞❡ ✻✻✳✶✻

♣♦✉r ❧✬✐♥st❛♥❝❡ ✷✳ ❈❡s ✈❛❧❡✉rs s♦♥t ✐♥❢ér✐❡✉r❡s ❛✉① ❜♦r♥❡s ✐♥❢ér✐❡✉r❡s q✉❡ ♥♦✉s ❝♦♥♥❛✐ss✐♦♥s

❞é❥à ❡t q✉✐ ét❛✐❡♥t ❞❡ ✾✹✳✽✹ ❡t ✻✼✳✷✸ r❡s♣❡❝t✐✈❡♠❡♥t✳

✸✳✸ ❘❡❧❛①❛t✐♦♥ ❧❛❣r❛♥❣✐❡♥♥❡

▲❛ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❧❛❣r❛♥❣✐❡♥♥❡ ❞✬✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡ ♣❡r♠❡t é❣❛❧❡♠❡♥t ❞✬♦❜t❡♥✐r ✉♥❡ ❜♦r♥❡ ✐♥❢ér✐❡✉r❡

❛✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ✐♥✐t✐❛❧✳

❉❡ ♠❛♥✐èr❡ ❣é♥ér❛❧❡✱ s♦✐t

minx

f(x)

s✳à g(x) 6 0,x ∈ S,

✭✸✳✶✷✮

✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞✬♦♣t✐♠✐s❛t✐♦♥✳ ▲❡ ❧❛❣r❛♥❣✐❡♥ ❞❡ ❝❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❡st ❞é✜♥✐ ♣❛r

L(x, λ) = f(x) + λtg(x). ✭✸✳✶✸✮

❆✐♥s✐✱ ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞✉❛❧❡ ❞❡ ✭✸✳✶✷✮ ❡st ❞♦♥♥é❡ ♣❛r

h(λ) = infx∈S

L(x, λ). ✭✸✳✶✹✮

◆♦✉s ♥♦✉s ✐♥tér❡ss♦♥s ❞❛♥s ❝❡tt❡ s❡❝t✐♦♥ ❛✉ s❛✉t ❞❡ ❞✉❛❧✐té✱ ❝✬❡st✲à✲❞✐r❡ ❧❛ ❞✐✛ér❡♥❝❡ ❡♥tr❡

❧❛ ✈❛❧❡✉r ♦♣t✐♠❛❧❡ ❞✉❛❧❡ ❡t ❧❛ ✈❛❧❡✉r ♦♣t✐♠❛❧❡ ♣r✐♠❛❧❡✳ ❙✐ ❝❡ s❛✉t ❡st ♥✉❧✱ ❝❡❧❛ s✐❣♥✐✜❡ q✉❡

❧❛ s♦❧✉t✐♦♥ ♣r✐♠❛❧❡ ❡st ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❣❧♦❜❛❧❡✳ ❙✐♥♦♥✱ ♦♥ ét✉❞✐❡r❛ ❧❛ ✈❛❧❡✉r ❞✉❛❧❡✳ ❙✐ ❡❧❧❡ ❡st

✻✷

s✉♣ér✐❡✉r❡ à ❧❛ ❜♦r♥❡ ✐♥❢ér✐❡✉r❡ q✉❡ ♥♦✉s ❝♦♥♥❛✐ss♦♥s ❞é❥à✱ ❡t ❞♦♥❝ ❧✬❛♠é❧✐♦r❡✱ ❝❡❧❛ ♥♦✉s

❞♦♥♥❡r❛ ❞❡s ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥s s✉r ❧❛ s♦❧✉t✐♦♥ ❣❧♦❜❛❧❡ ♦♣t✐♠❛❧❡ ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ✐♥✐t✐❛❧✳

P♦✉r r❛♣♣❡❧✱ ❧❡s ❜♦r♥❡s ✐♥❢ér✐❡✉r❡s ❞❡ ♥♦s ✐♥st❛♥❝❡s s♦♥t ❞♦♥♥é❡s ♣❛r ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ✭✶✳✶✹✮✳

✸✳✸✳✶ ❆❧❣♦r✐t❤♠❡ ❞✉ s♦✉s✲❣r❛❞✐❡♥t

❙♦✐t λ∗ ❡t x∗ ❧❡s ♦♣t✐♠✉♠ ❞✉❛❧ ❡t ♣r✐♠❛❧✱ ♥♦✉s s❛✈♦♥s q✉❡ h(λ∗) = maxλ

h(λ) 6 f(x∗)✱ ♠❛✐s

❝❡tt❡ ✈❛❧❡✉r ♣❡✉t êtr❡ ❞✐✣❝✐❧❡ à ❝❛❧❝✉❧❡r✳ ◆♦✉s ✉t✐❧✐s♦♥s ❞♦♥❝ ✉♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠❡ ❞❡ s♦✉s✲❣r❛❞✐❡♥t

♣♦✉r ❝❛❧❝✉❧❡r ✉♥❡ ✈❛❧❡✉r ❛♣♣r♦❝❤é❡ ❞❡ L(λ∗)✳ ▲✬❛❧❣♦r✐t❤♠❡ ❡st ❞é❝r✐t ❝✐✲❞❡ss♦✉s✳

❆❧❣♦r✐t❤♠❡ ✶✿ ❆❧❣♦r✐t❤♠❡ ❞✉ s♦✉s✲❣r❛❞✐❡♥t

❙♦✐t λ0, N > 0❀❢♦r ❦ ❂ ✵ ✿◆ ❞♦

❈❛❧❝✉❧❡r x∗k ∈ argminx

L(x, λk)❀

❙♦✐t g(x∗k) ✉♥ s♦✉s✲❣r❛❞✐❡♥t ❞❡ L(x∗k, λk)❀➱✈❛❧✉❡r ❧❡ ♣❛s αk❀λk+1 = λk + αkg(x

∗k)❀

P❧✉s✐❡✉rs str❛té❣✐❡s ♣❡✉✈❡♥t êtr❡ ❝♦♥s✐❞éré❡s ♣♦✉r ♠❡ttr❡ à ❥♦✉r ❧❡ ♣❛s αk✳ ◆♦✉s ❡♥ ❛✈♦♥s

✉t✐❧✐sé tr♦✐s ❞✐✛ér❡♥t❡s ✿

✖ ✉♥ ♣❛s ✜①❡✱ ❞❛♥s ♥♦tr❡ ❝❛s✱ αk = 1✱

✖ ♣❛s ❞é❝r♦✐ss❛♥t ♥♦♥ s♦♠♠❛❜❧❡✱ q✉✐ s❛t✐s❢❛✐t αk > 0, limk→∞

αk = 0 ❡t∞∑

k=1

αk = ∞✱ ❞❛♥s

♥♦tr❡ ❝❛s αk = 1/k✱

✖ ✉♥ ♣❛s ❞②♥❛♠✐q✉❡✱ ❞♦♥♥é❡ ♣❛r αk =L(xk,λ)−L

❡✈❛❧

k

‖g(x∗

k)‖

✱ ♦ù L❡✈❛❧

k ❡st ✉♥ ❡st✐♠é ❞❡ ❧❛ ✈❛❧❡✉r

♦♣t✐♠❛❧❡ L(λ∗)✳ ◆♦✉s ❛✈♦♥s é❣❛❧❡♠❡♥t ❝❛❧❝✉❧é L❧❡✈

k ❞❡ ❞❡✉① ♠❛♥✐èr❡s ❞✐✛ér❡♥t❡s✱ s♦✐t

Levalk = max

06i6kL(x∗i , λi)✱ δ > 0✱ s♦✐t L

evalk = f(x∗)✱ q✉❛♥❞ ❧❛ s♦❧✉t✐♦♥ ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡

♣r✐♠❛❧ ❡st ❝♦♥♥✉❡✳

✻✸

✸✳✸✳✷ ❘❡❧❛①❛t✐♦♥ ❧❛❣r❛♥❣✐❡♥♥❡ ❞✉ ▼■▲P

◆♦✉s ❝♦♥s✐❞ér♦♥s ✐❝✐ ❧❛ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❧❛❣r❛♥❣✐❡♥♥❡ ❞✉ ▼■▲P ❞❛♥s ❧❛q✉❡❧❧❡ t♦✉t❡s ❧❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s

❞✐✣❝✐❧❡s ♦♥t été r❡❧❛①é❡s✳ ◆♦✉s ré❛❧✐s♦♥s t♦✉t❡s ❧❡s str❛té❣✐❡s ♣rés❡♥té❡s ♣ré❝é❞❡♠♠❡♥t ❛✈❡❝

❧❡s ♣❛r❛♠ètr❡s λ0 = 0, N = 150 ❡t δ = 1 s✐ ♥é❝❡ss❛✐r❡s✳ ▲❛ ✈❛❧❡✉r ♠❛①✐♠❛❧❡ ❞❡ ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥

❞✉❛❧❡ q✉❡ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ♦❜t❡♥✉❡ ❡st ❞❡ ✼✵✳✽✼ ♣♦✉r ❧✬✐♥st❛♥❝❡ ✶ ❡t ✹✽✳✾✻ ♣♦✉r ❧✬✐♥st❛♥❝❡ ✷✱ s♦✐t

❞❡s ✈❛❧❡✉rs très ✐♥❢ér✐❡✉r❡s ❛✉① ❜♦r♥❡s ✐♥❢ér✐❡✉r❡s q✉❡ ♥♦✉s ❝♦♥♥❛✐ss♦♥s✳

❯♥❡ ❞✐s❝rét✐s❛t✐♦♥ ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ✭✶✳✶✹✮ ♣❡✉t êtr❡ ré❛❧✐sé❡✱ ❜❛sé❡ s✉r ❧✬❛♣♣r♦❝❤❡ ♣rés❡♥té❡

❞❛♥s ❧❛ s❡❝t✐♦♥ ✸✳✷✳ ❙❛ ✈❛❧❡✉r ♦♣t✐♠❛❧❡ ♣❡✉t êtr❡ ♦❜t❡♥✉❡ ❢❛❝✐❧❡♠❡♥t ❝❛r✱ ❝♦♥tr❛✐r❡♠❡♥t ❛✉

♣r♦❜❧è♠❡ ✭✸✳✶✶✮✱ ❝❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❡st sé♣❛r❛❜❧❡ ❡♥ |J | ♣❡t✐ts ♣r♦❜❧è♠❡s✳ ▲❡s ✈❛❧❡✉rs ♦♣t✐♠❛❧❡s

❞❡ ❝❡ ♣r♦❜❧è♠❡ s♦♥t ❞❡ ✾✺✳✶✹ ♣♦✉r ❧✬✐♥st❛♥❝❡ ✶ ❡t ❞❡ ✻✼✳✼✶ ♣♦✉r ❧✬✐♥st❛♥❝❡ ✷✳ ❊❧❧❡s ♣❡✉✈❡♥t

êtr❡ ❝♦♥s✐❞éré❡s ❝♦♠♠❡ ❞❡s ❜♦r♥❡s ✐♥❢ér✐❡✉r❡s ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ✭✸✳✶✶✮✳ ◗✉❡❧❧❡ q✉❡ s♦✐t ❧✬✐♥st❛♥❝❡

❝♦♥s✐❞éré❡✱ ❧✬❛❧❣♦r✐t❤♠❡ ❞❡ s♦✉s✲❣r❛❞✐❡♥t ❛♣♣❧✐q✉é ❛✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞✐s❝r❡t ♥❡ ❢♦✉r♥✐t ♣❛s ❞❡

♠❡✐❧❧❡✉rs rés✉❧t❛ts✳

✸✳✸✳✸ ❘❡❧❛①❛t✐♦♥ ❧❛❣r❛♥❣✐❡♥♥❡ ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡

◆♦✉s ❛♣♣❧✐q✉♦♥s é❣❛❧❡♠❡♥t ❧✬❛♣♣r♦❝❤❡ ❞❡ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❧❛❣r❛♥❣✐❡♥♥❡ ❛✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ❝♦♥t✐♥✉✳ ◆♦✉s

r❡❧❛①♦♥s t♦✉t❡s ❧❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❜✐❧✐♥é❛✐r❡s✳

❉❛♥s ✉♥ ♣r❡♠✐❡r t❡♠♣s✱ ♥♦✉s rés♦❧✈♦♥s ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ♣r✐♠❛❧ ❡♥ ✉t✐❧✐s❛♥t ❧❡ s♦❧✈❡✉r ■♣♦♣t ❡t

♥♦✉s ♦❜t❡♥♦♥s ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❧♦❝❛❧❡ x∗0✳ ❙♦✐❡♥t λ∗0 ❧❡s ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t❡✉rs ❞❡ ▲❛❣r❛♥❣❡ ❛ss♦❝✐és à

x∗0✳

❈♦♠♣❛r♦♥s f(x∗0) ❡t h(λ∗0)✳ P♦✉r ❧✬✐♥st❛♥❝❡ ✶✱ ♥♦✉s ♦❜t❡♥♦♥s ❧❡s ✈❛❧❡✉rsf(x∗0) = 96.23 ❡t

h(λ∗0) = 54.26 r❡s♣❡❝t✐✈❡♠❡♥t✳ ▲❡ s❛✉t ❞❡ ❞✉❛❧✐té ❡st ❛❧♦rs ❞❡ ✹✶✳✾✼✳ ◆♦✉s ❝♦♥st❛t♦♥s ❧❡

♠ê♠❡ ❝♦♠♣♦rt❡♠❡♥t ♣♦✉r ❧✬✐♥st❛♥❝❡ ✷ ❛✈❡❝ f(x∗0) = 68.99 ❡t h(λ∗0) = 24.66✳ ▲❡ s❛✉t ❞❡

❞✉❛❧✐té ♣♦✉r ❝❡tt❡ ✐♥st❛♥❝❡ ❡st ❞❡ ✹✹✳✸✸✳

▲❡ ❜✉t ❞❡ ❧✬❛❧❣♦r✐t❤♠❡ ❞❡ s♦✉s✲❣r❛❞✐❡♥t ❡st ❞❡ ré❞✉✐r❡ ❝❡ s❛✉t ❞❡ ❞✉❛❧✐té✳ ◆♦✉s ❧✬❛♣♣❧✐q✉♦♥s

❛✈❡❝ λ0 = λ∗0, N = 50000 ❡t δ = max(1/k, 10−4) s✐ ♥é❝❡ss❛✐r❡✳ ▲❛ ♠❡✐❧❧❡✉r❡ ✈❛❧❡✉r ❞❡ ❢♦♥❝t✐♦♥

✻✹

❜♦r♥❡ ✐♥❢✳f(x∗0) max

06k6NL(x∗k, λk)

♦❢ f

■♥st❛♥

❝❡✶

▼■▲P ✾✺✳✶✽ ◆✴❆ ✼✵✳✽✼

❈♦♥t✐♥✉ ✾✹✳✽✹ ✾✻✳✷✸ ✼✽✳✹✸

■♥st❛♥

❝❡✷

▼■▲P ✻✼✳✼✶ ◆✴❆ ✹✽✳✾✻

❈♦♥t✐♥✉ ✻✼✳✷✸ ✻✽✳✾✾ ✹✻✳✻✹

❚❛❜❧❡❛✉ ✸✳✸ ✕ ❘és✉♠é ❞❡s ❞✐✛ér❡♥ts rés✉❧t❛ts ❞❡ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❧❛❣r❛♥❣✐❡♥♥❡✳

❞✉❛❧❡ q✉❡ ♥♦✉s ♦❜t❡♥♦♥s✱ t♦✉t❡s str❛té❣✐❡s ❝♦♥❢♦♥❞✉❡s✱ ❡st ❞❡ ✼✽✳✹✸ ♣♦✉r ❧✬✐♥st❛♥❝❡ ✶✱ s♦✐t

✉♥ s❛✉t ❞❡ ❞✉❛❧✐té ❞❡ ✶✼✳✽✱ ❡t ❞❡ ✹✻✳✻✹ ♣♦✉r ❧✬✐♥st❛♥❝❡ ✷✱ s♦✐t ✉♥ s❛✉t ❞❡ ❞✉❛❧✐té ❞❡ ✷✷✳✸✺✳

❉❛♥s ❧❡s ❞❡✉① ❝❛s✱ ❝❡s ✈❛❧❡✉rs s♦♥t ✐♥❢ér✐❡✉r❡s à ❧❛ ✈❛❧❡✉r ♦♣t✐♠❛❧❡ ❞❡ ✭✶✳✶✹✮ q✉✐ ❡st ❧❛ ❜♦r♥❡

✐♥❢ér✐❡✉r❡ q✉❡ ♥♦✉s ❝♦♥♥❛✐ss♦♥s✳

❆✜♥ ❞❡ s✐♠♣❧✐✜❡r ❧❛ ❧❡❝t✉r❡✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s r❡❣r♦✉♣é ❞❛♥s ❧❡ t❛❜❧❡❛✉ ✸✳✸ ❧❡s ❞✐✛ér❡♥t❡s ❜♦r♥❡s

✐♥❢ér✐❡✉r❡s ❡t s✉♣ér✐❡✉r❡s q✉❡ ♥♦✉s ❝♦♥♥❛✐ss♦♥s ❡t ❧❡s ♠❡✐❧❧❡✉r❡s ✈❛❧❡✉rs ❞❡ ❧❛ r❡❧❛①❛t✐♦♥✱ ♣♦✉r

❧❡s ♣r♦❜❧è♠❡s ▼■▲P ♦✉ ❝♦♥t✐♥✉ ❡t ♣♦✉r ❝❤❛❝✉♥❡ ❞❡s ✐♥st❛♥❝❡s✳

✸✳✹ ❘❡❧❛①❛t✐♦♥s ❝♦♥✈❡①❡s

❈❡tt❡ s❡❝t✐♦♥ s❡r❛ ❝♦♥s❛❝ré❡ à ❧❛ ♣rés❡♥t❛t✐♦♥ ❞❡ tr♦✐s r❡❧❛①❛t✐♦♥s ❝♦♥✈❡①❡s q✉❡ ♥♦✉s ❛✈♦♥s

✉t✐❧✐sé❡s ♣♦✉r ♦❜t❡♥✐r ✉♥❡ ❜♦r♥❡ ✐♥❢ér✐❡✉r❡ à ❧❛ s♦❧✉t✐♦♥ ♦♣t✐♠❛❧❡ ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡

✭✷✳✶✮✳ ◆♦✉s ♣rés❡♥t♦♥s ❧❛ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❞❡ ▼❝❈♦r♠✐❝❦✱ ❧❛ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❞❡ ❚❛✇❛r♠❛❧❛♥✐ ❡t ❛❧✳ ❡t

❧❛ r❡❧❛①❛t✐♦♥ s❡♠✐✲❞é✜♥✐❡ ♣♦s✐t✐✈❡✳

✻✺

❋✐❣✉r❡ ✸✳✶ ✕ ❘❡♣rés❡♥t❛t✐♦♥ ❣r❛♣❤✐q✉❡ ❞❡ ❧✬❡♥✈❡❧♦♣♣❡ ❞❡ ▼❝❈♦r♠✐❝❦ ♣♦✉r ✉♥ t❡r♠❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡✳

✸✳✹✳✶ ❘❡❧❛①❛t✐♦♥ ❝♦♥✈❡①❡ ❞❡ ▼❝❈♦r♠✐❝❦

▲❛ ♣r❡♠✐èr❡ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❝♦♥✈❡①❡ q✉❡ ♥♦✉s ✐♥tr♦❞✉✐s♦♥s ❡st é❣❛❧❡♠❡♥t ❧❛ ♣❧✉s ❝♦♥♥✉❡ ❡t ❡st

❧❛r❣❡♠❡♥t ✉t✐❧✐sé❡ ❡♥ ♦♣t✐♠✐s❛t✐♦♥✳ ▼❝❈♦r♠✐❝❦ ❬✻✼❪ ❧✬❛ ✐♥tr♦❞✉✐t❡ ❡♥ ✶✾✼✻✳ ❊❧❧❡ ❢♦✉r♥✐t ✉♥❡

r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡ ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ✐♥✐t✐❛❧ ❡♥ ✉t✐❧✐s❛♥t ✉♥✐q✉❡♠❡♥t ❧❡s ✈❛r✐❛❜❧❡s ❜♦r♥é❡s✳ ❊❧❧❡

❢♦✉r♥✐t ❞❡✉① s♦✉s✲❡st✐♠❛t❡✉rs ❡t ❞❡✉① s✉r✲❡st✐♠❛t❡✉rs ❞❡ ❝❤❛q✉❡ t❡r♠❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡ ✭❋✐❣✉r❡

✸✳✶✮✳

▲❡ ♣r✐♥❝✐♣❡ ❡st ❧❡ s✉✐✈❛♥t✳ ❙♦✐t xi ❡t yj ❞❡✉① ✈❛r✐❛❜❧❡s ❛♣♣❛r❛✐ss❛♥t ❞❛♥s ✉♥ t❡r♠❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡

❡t t❡❧❧❡ q✉❡

lxi6 xi 6 uxi

, ✭✸✳✶✺✮

lyj 6 yj 6 uyj . ✭✸✳✶✻✮

❉❡s ✐♥é❣❛❧✐tés ♣ré❝é❞❡♥t❡s✱ ♥♦✉s ♣♦✉✈♦♥s ❞é❞✉✐r❡ ❧❡s q✉❛tr❡ éq✉❛t✐♦♥s s✉✐✈❛♥t❡s ❞é✜♥✐ss❛♥t

✻✻

❧❡s ❞❡✉① s♦✉s✲❡st✐♠❛t❡✉rs ❡t ❧❡s ❞❡✉① s✉r✲❡st✐♠❛t❡✉rs ✿

(xi − lxi)(yj − lyj) > 0,

(xi − lxi)(uyj − yj) > 0,

(uxi− xi)(yj − lyj) > 0,

(uxi− xi)(uyj − yj) > 0,

✭✸✳✶✼✮

⇐⇒

xiyj − xilyj − yjlxi+ lxi

lyj > 0,xiuyj − xiyj − lxi

uyj + yjlxi> 0,

yjuxi− uxi

lyj − xiyj + xilyj > 0,uxiuyj − yjuxi

− xiuyj + xiyj > 0.

✭✸✳✶✽✮

■♥tr♦❞✉✐s♦♥s ♠❛✐♥t❡♥❛♥t ✉♥❡ ♥♦✉✈❡❧❧❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ zij t❡❧❧❡ q✉❡ zij = xiyj✳ ❖♥ r❡♠♣❧❛❝❡ ❡♥s✉✐t❡

❞❛♥s ❧❡ s②stè♠❡ ✭✸✳✶✽✮ ❝❤❛q✉❡ t❡r♠❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡ ♣❛r zij✱ ❝❡ q✉✐ ♥♦✉s ❞♦♥♥❡

zij − xilyj − yjlxi+ lxi

lyj > 0,xiuyj − zij − lxi

uyj + yjlxi> 0,

yjuxi− uxi

lyj − zij + xilyj > 0,uxiuyj − yjuxi

− xiuyj + zij > 0.

✭✸✳✶✾✮

▲❡ s②stè♠❡ ✭✸✳✶✾✮ ❡st ❛❧♦rs ❧✐♥é❛✐r❡ ❡♥ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞❡s ✈❛r✐❛❜❧❡s xi, yj ❡t zij✳

❆✐♥s✐✱ ✉♥❡ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡ ❡t ❝♦♥✈❡①❡ ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ✭✷✳✶✮ ♣❡✉t êtr❡ ❢♦✉r♥✐❡ ❡♥ r❡♠♣❧❛ç❛♥t

❝❤❛q✉❡ t❡r♠❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡ xiyj ♣❛r ✉♥❡ ♥♦✉✈❡❧❧❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ zij ❡t ❡♥ ❛❥♦✉t❛♥t ❛✉① ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❧❡s

q✉❛tr❡ éq✉❛t✐♦♥s ❞✉ s②stè♠❡ ✭✸✳✶✾✮ ♣♦✉r ❝❤❛q✉❡ ♥♦✉✈❡❧❧❡ ✈❛r✐❛❜❧❡✳

❉❛♥s ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ✭✷✳✶✮✱ ❧❡s t❡r♠❡s ❜✐❧✐♥é❛✐r❡s ❛♣♣❛r❛✐ss❡♥t s♦✉s ❧❛ ❢♦r♠❡ xtiytj, i ∈ I, j ∈ J ❡t

t ∈ {1, 2}✳ ▲❡s ✈❛r✐❛❜❧❡s x1 ❡t x2 ♥❡ s♦♥t ❥❛♠❛✐s s✐♠✉❧t❛♥é♠❡♥t ❞❛♥s ❧❡ ♠ê♠❡ t❡r♠❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡✱

t♦✉t ❝♦♠♠❡ y2 ❡t y2✱ x1 ❡t y2✱ ❡t x2 ❡t y1✳

P♦s♦♥s x1ij = x1iy1j ❡t x2ij = x2iy2j✳ ❊♥ ❛♣♣❧✐q✉❛♥t ❧❛ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❞❡ ▼❝❈♦r♠✐❝❦ ❛✉ ♣r♦❜❧è♠❡

✭✷✳✶✮✱ ♥♦✉s ♦❜t❡♥♦♥s ❧❡ ♠♦❞è❧❡ s✉✐✈❛♥t

✻✼

(PMC)

minx,y

∑

i∈I

∑

j∈J

q0i (x1ij + x2ij)

s✳à dpj 6∑

i∈I

qpi (x1ij + x2ij) 6 dp

j , ∀p ∈ P, ∀j ∈ J,

∑

i∈I

x1ij = y1j, ∀j ∈ J,

∑

i∈I

x2ij = y2j, ∀j ∈ J,

∑

i∈I

x1ij + x2ij 6 Xmaxj , ∀j ∈ J

0 6 x1 6 ux,

0 6 x2 6 ux,

0 6 y1 6 uy,

0 6 y2 6 uy,

x1ij > 0, ∀i ∈ I, ∀j ∈ J,

uyjx1i − x1ij > 0, ∀i ∈ I, ∀j ∈ J,

uxiy1j − x1ij > 0, ∀i ∈ I, ∀j ∈ J,

uxiuyj − uxi

y1j − uyjx1i + x1ij > 0, ∀i ∈ I, ∀j ∈ J,

x2ij > 0, ∀i ∈ I, ∀j ∈ J,

uyjx2i − x2ij > 0, ∀i ∈ I, ∀j ∈ J,

uxiy2j − x2ij > 0, ∀i ∈ I, ∀j ∈ J,

uxiuyj − uxi

y2j − uyjx2i + x2ij > 0, ∀i ∈ I, ∀j ∈ J.

✭✸✳✷✵✮

✭✸✳✷✶✮

✭✸✳✷✷✮

✭✸✳✷✸✮

✭✸✳✷✹✮

✭✸✳✷✺✮

✭✸✳✷✻✮

✭✸✳✷✼✮

✭✸✳✷✽✮

✭✸✳✷✾✮

✭✸✳✸✵✮

✭✸✳✸✶✮

✭✸✳✸✷✮

✭✸✳✸✸✮

✭✸✳✸✹✮

✭✸✳✸✺✮

✭✸✳✸✻✮

◆♦✉s r❡♠❛rq✉♦♥s ❛❧♦rs q✉❡ ❝❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❡st ❧✐♥é❛✐r❡ ❡t ♣❡✉t ❛✐♥s✐ êtr❡ ❢❛❝✐❧❡♠❡♥t rés♦❧✉ ♣❛r

♥✬✐♠♣♦rt❡ q✉❡❧ s♦❧✈❡✉r ❧✐♥é❛✐r❡✳ ◆♦✉s ✉t✐❧✐s♦♥s ❈P▲❊❳ ❡t ❧❛ ♠♦❞é❧✐s❛t✐♦♥ ❛ été ré❛❧✐sé❡ ❡♥

❆▼P▲✳

▲❛ ✈❛❧❡✉r ♦♣t✐♠❛❧❡ ❞❡ ❝❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❡st ✐♥❢ér✐❡✉r❡ à ❧❛ ❜♦r♥❡ ✐♥❢ér✐❡✉r❡ ❞é❥à ❝♦♥♥✉❡✱ ♣♦✉r

❝❤❛❝✉♥❡ ❞❡s ✐♥st❛♥❝❡s q✉❡ ♥♦✉s ❝♦♥s✐❞ér♦♥s✳ ❈❡♣❡♥❞❛♥t✱ ♥♦✉s ♣♦✉✈♦♥s ❛♠é❧✐♦r❡r ❝❡ ♠♦❞è❧❡

❡♥ ❛❥♦✉t❛♥t ❞❡s ✐♥é❣❛❧✐tés ✈❛❧✐❞❡s✳

✻✽

▲❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s

y1j + y2j 6 wj, ∀j ∈ J, ✭✸✳✸✼✮∑

i∈I

x1i = 1, ✭✸✳✸✽✮

∑

i∈I

x2i = 1, ✭✸✳✸✾✮

❛♣♣❛r❛✐ss❡♥t ❞❛♥s ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ✐♥✐t✐❛❧ ✭✷✳✶✮ ❡♥ t❛♥t q✉❡ ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❧✐♥é❛✐r❡s✳ ❊♥ ♠✉❧t✐♣❧✐❛♥t

✭✸✳✸✽✮ ♣❛r y1j ❡t ✭✸✳✸✾✮ ♣❛r y2j✱ ♥♦✉s ♦❜t❡♥♦♥s ❧❡s éq✉❛t✐♦♥s s✉✐✈❛♥t❡s

∑

i∈I

x1iy1j = y1j, ✭✸✳✹✵✮

∑

i∈I

x2iy2j = y2j. ✭✸✳✹✶✮

❖♥ ✉t✐❧✐s❡ ❛❧♦rs ❧❛ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ x1ij = x1iy1j ❡t x2ij = x2iy2j ❡t ♦♥ ♦❜t✐❡♥t

∑

i∈I

x1ij = y1j, ✭✸✳✹✷✮

∑

i∈I

x2ij = y2j. ✭✸✳✹✸✮

❆✐♥s✐✱ ❡♥ ✉t✐❧✐s❛♥t ✭✸✳✹✷✮ ❡t ✭✸✳✹✸✮ ♣♦✉r r❡♠♣❧❛❝❡r ❧❡s ✈❛r✐❛❜❧❡s y1j ❡t y2j ❞❡ ✭✸✳✸✼✮✱ ♦♥ ❛ ✿

y1j + y2j =∑

i∈I

x1ij + x2ij 6 wj. ✭✸✳✹✹✮

▲❡s éq✉❛t✐♦♥s ✭✸✳✹✷✮✱ ✭✸✳✹✸✮ ❡t ✭✸✳✹✹✮ ♥❡ s♦♥t q✉❡ ❞❡s ✐♥é❣❛❧✐tés ✈❛❧✐❞❡s ❡t ♥❡ ♠♦❞✐✜❡♥t ❡♥

r✐❡♥ ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ré❛❧✐s❛❜❧❡ ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ✐♥✐t✐❛❧✳

❈✬❡st ❡✛❡❝t✐✈❡♠❡♥t ❧❡ ❝❛s ❡t ♥♦✉s ♦❜t❡♥♦♥s ❞❡s ✈❛❧❡✉rs ♦♣t✐♠❛❧❡s ❞❡ ✾✹✳✽✹ ♣♦✉r ❧✬✐♥st❛♥❝❡ ✶ ❡t

✻✼✳✷✸ ♣♦✉r ❧✬✐♥st❛♥❝❡ ✷✳ ❘❡♠❛rq✉♦♥s ❛❧♦rs q✉❡ ❝❡s ✈❛❧❡✉rs s♦♥t é❣❛❧❡s ❛✉① ✈❛❧❡✉rs ♦♣t✐♠❛❧❡s

❞✉ ♠♦❞è❧❡ ✐❞é❛❧ ✭✶✳✶✹✮ ❛♣♣❧✐q✉é à ❝❤❛q✉❡ ✐♥st❛♥❝❡✳

❈❡❧❛ t❡♥❞ à ❝♦♥✜r♠❡r ♥♦tr❡ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡✳

❉❛♥s ❧❡ ❝❛s ❞❡ ❧❛ ❞✐èt❡ ♣♦r❝✐♥❡✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ❧❛ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✐té q✉❡ Wmax = uy✳ ◆♦✉s ❛ ♣♦✉✈♦♥s

é♥♦♥❝❡r ❧❡ t❤é♦rè♠❡ s✉✐✈❛♥t ✿

✻✾

❚❤é♦rè♠❡ ✸✳✶ ❙♦✐t x∗ = (x∗ij) ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦♣t✐♠❛❧❡ ❞❡ (Pideal)✳ ❙♦✐t (x1ij, x2ij) > 0 ✉♥❡

❞é❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❞❡ x∗ij t❡❧❧❡ q✉❡ x1ij 6 uxi

∑

i∈I

x1ij ❡t x2ij 6 uxi

∑

i∈I

x2ij✳ ❙✐✱ ♣♦✉r t♦✉t i ∈ I✱ ✐❧

❡①✐st❡ x1i ❡t x2i t❡❧s q✉❡

maxj∈J

x1ijuyj

6 x1i 6 minj∈J

uxiuyj − uxi

(

∑

i∈I

x1ij

)

+ x1ij

uyj, ✭✸✳✹✺✮

maxj∈J

x2ijuyj

6 x2i 6 minj∈J

uxiuyj − uxi

(

∑

i∈I

x2ij

)

+ x2ij

uyj, ✭✸✳✹✻✮

❛❧♦rs (x1ij, x2ij, x1, x2, y1, y2)✱ ❛✈❡❝ y1j =∑

i∈I

x1ij ❡t y2j =∑

i∈I

x2ij✱ ❡st ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ (PMC)

❡t ♦♥ ❛ q✉❡ v∗ideal = v∗MC ❛✈❡❝ v∗ideal ❡t v∗MC ❧❡s ✈❛❧❡✉rs ♦♣t✐♠❛❧❡s ❞❡ (Pideal) ❡t (PMC) r❡s♣❡❝✲

t✐✈❡♠❡♥t✳

Pr❡✉✈❡✳ ◆♦✉s ❛❧❧♦♥s ❞❛♥s ✉♥ ♣r❡♠✐❡r t❡♠♣s ♠♦♥tr❡r q✉✬✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ (Pideal) ✈ér✐✜❛♥t ❧❡s

❤②♣♦t❤ès❡s ❞✉ t❤é♦rè♠❡ ❡st ✉♥ ♣♦✐♥t ré❛❧✐s❛❜❧❡ ❞❡ (PMC)✳ ◆♦✉s ♠♦♥tr❡r♦♥s ❡♥s✉✐t❡ q✉❡ ❞❡

t♦✉t❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ (PMC) ♥♦✉s ♣♦✉✈♦♥s ❡①tr❛✐r❡ ✉♥ ♣♦✐♥t ré❛❧✐s❛❜❧❡ ❞❡ (Pideal)✳

❘❛♣♣❡❧♦♥s q✉❡ ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ✐❞é❛❧ s✬❡①♣r✐♠❡ ❞❡ ♠❛♥✐èr❡ ❞é✈❡❧♦♣♣é❡ ♣❛r ❧❡ ♠♦❞è❧❡ s✉✐✈❛♥t ✿

(Pideal)

minz

∑

i∈I

∑

j∈J

q0i zij

s✳à dpj 6∑

i∈I

qpi zij 6 dp

j , ∀j ∈ J, ∀p ∈ P,

∑

i∈I

zij 6 uyj , ∀j ∈ J,

0 6 zij 6 uxi

∑

i∈I

zij, ∀j ∈ J.

✭✸✳✹✼✮

✭✸✳✹✽✮

✭✸✳✹✾✮

✭✸✳✺✵✮

❙♦✐t x∗ =(

x∗ij)

i∈I,j∈J✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ (Pideal)✳ P♦s♦♥s

x∗ij = x1ij + x2ij. ✭✸✳✺✶✮

❱ér✐✜♦♥s q✉❡ ❧❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❞❡ (PMC) s♦♥t s❛t✐s❢❛✐t❡s✳

✖ ♦♥ ❛ ❞✐r❡❝t❡♠❡♥t ✭✸✳✷✶✮ ♣❛r ✭✸✳✹✽✮

✼✵

✖ ♦♥ ❛ ♣❛r ✭✸✳✹✾✮

∑

i∈I

x∗ij 6 uyj ,

∑

i∈I

x1ij + x2ij 6 uyj ,

❞♦♥❝ ✭✸✳✷✹✮ ❡st s❛t✐s❢❛✐t❡✳

✖ ✭✸✳✷✾✮ ❡t ✭✸✳✸✸✮ s♦♥t ✈ér✐✜é❡s ♣❛r ❞é✜♥✐t✐♦♥✳

P♦s♦♥s y1j =∑

i∈I

x1ij ❡t y2j =∑

i∈I

x2ij✳

✖ ✭✸✳✷✷✮ ❡t ✭✸✳✷✸✮ s♦♥t ✈ér✐✜é❡s ♣❛r ❞é✜♥✐t✐♦♥

✖ ❧❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ✭✸✳✷✼✮ ❡t ✭✸✳✷✽✮ s♦♥t ✈ér✐✜é❡s✳ ❊♥ ❡✛❡t✱ ♦♥ s❛✐t q✉❡ ✭✸✳✷✹✮ ❡st s❛t✐s❢❛✐t

❞✬♦ù

∑

i∈I

x1ij + x2ij 6 uyj ⇐⇒ y1j + y2j 6 uyj .

❉❡ ♣❧✉s ♣❛r ❞é✜♥✐t✐♦♥✱ ♦♥ ❛ q✉❡ x1ij > 0 ❡t x2ij > 0 ❞✬♦ù y1j =∑

i∈I

x1ij > 0 ❡t

y2j =∑

i∈I

x2ij > 0✳

✖ ♣❛r ❞é✜♥✐t✐♦♥ ❞❡ x1ij ❡t x2ij ♦♥ ❛ ❞✐r❡❝t❡♠❡♥t q✉❡ ❧❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ✭✸✳✸✵✮ ❡t ✭✸✳✸✹✮ q✉✐

s♦♥t ✈ér✐✜é❡s✳

❙✉♣♣♦s♦♥s ❞♦♥❝ ♠❛✐♥t❡♥❛♥t q✉✬✐❧ ❡①✐st❡ x1i ❡t x2i t❡❧s q✉❡

maxj∈J

x1ijuyj

6 x1i 6 minj∈J

uxiuyj − uxi

(

∑

i∈I

x1ij

)

+ x1ij

uyj, ✭✸✳✺✷✮

maxj∈J

x2ijuyj

6 x2i 6 minj∈J

uxiuyj − uxi

(

∑

i∈I

x2ij

)

+ x2ij

uyj. ✭✸✳✺✸✮

❖♥ ❛ ❛❧♦rs

✼✶

✖ ✭✸✳✸✷✮ ❡t ✭✸✳✸✻✮ s♦♥t ✈ér✐✜é❡s ❝❛r

x1i 6 minj∈J

uxiuyj − uxi

(

∑

i∈I

x1ij

)

+ x1ij

uyj

⇐⇒ x1i 6

uxiuyj − uxi

(

∑

i∈I

x1ij

)

+ x1ij

uyj,

⇐⇒ x1iuyj 6 uxiuyj − uxi

(

∑

i∈I

x1ij

)

+ x1ij,

⇐⇒ ✭✸✳✸✷✮,

❡t

x2i 6 minj∈J

uxiuyj − uxi

(

∑

i∈I

x2ij

)

+ x2ij

uyj

⇐⇒ x2i 6

uxiuyj − uxi

(

∑

i∈I

x2ij

)

+ x2ij

uyj,

⇐⇒ x2iuyj 6 uxiuyj − uxi

(

∑

i∈I

x2ij

)

+ x2ij,

⇐⇒ ✭✸✳✸✻✮.

✖ ✭✸✳✷✻✮ ❡t ✭✸✳✷✼✮ s♦♥t s❛t✐s❢❛✐t❡s✳ ❖♥ ❛

x1i > maxj∈J

x1ijuyj

> 0

❡t

x2i > maxj∈J

x2ijuyj

> 0

✼✷

❝❛r x1ij, x2ij, uyj > 0✳ ❖♥ ❛ ❞❡ ♣❧✉s

x1i 6 minj∈J

uxiuyj − uxi

(

∑

i∈I

x1ij

)

+ x1ij

uyj,

6

uxiuyj − uxi

(

∑

i∈I

x1ij

)

+ x1ij

uyj,

6 uxi+

−uxi

(

∑

i∈I

x1ij

)

+ x1ij

uyj,

❡t

x2i 6 minj∈J

uxiuyj − uxi

(

∑

i∈I

x2ij

)

+ x2ij

uyj,

6

uxiuyj − uxi

(

∑

i∈I

x2ij

)

+ x2ij

uyj,

6 uxi+

−uxi

(

∑

i∈I

x2ij

)

+ x2ij

uyj.

❖r✱ ♣❛r ❞é✜♥✐t✐♦♥✱ ♦♥ ❛ −uxi

(

∑

i∈I

x1ij

)

+x1ij 6 0✱ −uxi

(

∑

i∈I

x2ij

)

+x2ij 6 0 ❡t uyj > 0

❞✬♦ù x1i 6 uxi❡t x2i 6 uxi

✳

✖ ✭✸✳✸✵✮ ❡t ✭✸✳✸✹✮ s♦♥t é❣❛❧❡♠❡♥t s❛t✐s❢❛✐t❡s ❝❛r

maxj∈J

x1ijuyj

6 x1i,

⇐⇒x1ijuyj

6 x1i,

⇐⇒✭✸✳✸✵✮,

❡t

maxj∈J

x2ijuyj

6 x2i,

⇐⇒x2ijuyj

6 x2i,

⇐⇒✭✸✳✸✹✮.

✼✸

❆✐♥s✐✱ ❧❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ✭✸✳✷✶✮✕✭✸✳✸✻✮ s♦♥t s❛t✐s❢❛✐t❡s✳ ❖♥ ❛ ❞♦♥❝ q✉❡ (x1ij, x2ij, x1, x2, y1, y2) ❡st

✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ré❛❧✐s❛❜❧❡ ❞❡ (PMC)✳

❉❡ ♣❧✉s✱ ♦♥ ❛ ❢❛❝✐❧❡♠❡♥t q✉❡ t♦✉t❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ (PMC) ❡st ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ré❛❧✐s❛❜❧❡ ❞❡ (Pideal)✳

❊♥ ❡✛❡t✱ s♦✐t (x∗1ij, x∗2ij, x

∗1, x

∗2, y

∗1, y

∗2) ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ (PMC)✳ P♦s♦♥s Xij = x∗1ij + x∗2ij✳ ❖♥ ❛

❛❧♦rs

✖ ✭✸✳✹✽✮ ❡st s❛t✐s❢❛✐t❡ ❝❛r

✭✸✳✷✶✮ ⇐⇒ dpj 6∑

i∈I

qpi(

x∗1ij + x∗2ij)

6 dp

j ,

⇒ dpj 6∑

i∈I

qpi (Xij) 6 dp

j ,

⇒ ✭✸✳✹✽✮.

✖ ✭✸✳✹✾✮ ❡st s❛t✐s❢❛✐t❡ ❝❛r

✭✸✳✷✹✮ ⇐⇒∑

i∈I

x∗1ij + x∗2ij 6 uyj ,

⇒∑

i∈I

Xij 6 uyj ,

⇒ ✭✸✳✹✾✮.

✖ ✭✸✳✺✵✮ ❡st s❛t✐s❢❛✐t❡ ❝❛r x∗1ij > 0 ❡t x∗2ij > 0 ❞✬♦ù Xij = x∗1ij + x∗2ij > 0✳ ❉❡ ♣❧✉s✱ ♣❛r

✭✸✳✹✾✮✱ ♦♥ ❛ q✉❡∑

i∈I

Xij 6 uyj ❞♦♥❝ Xij 6 uyj ♣♦✉r t♦✉t i ∈ I ❡t ♣♦✉r t♦✉t j ∈ J ✳

❖♥ ❛ ❛✐♥s✐ q✉❡ t♦✉t❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ (PMC) ❡st ✉♥ ♣♦✐♥t ré❛❧✐s❛❜❧❡ ❞❡ (Pideal)✳

❉❛♥s ❝❡ t❤é♦rè♠❡✱ ❧❛ ❞é❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ x∗ij = x1ij + x2ij ♣❡r♠❡t ❡♥ ré❛❧✐té ❞❡ s❡ r❛♠❡♥❡r à ✉♥

❝❛s à ❞❡✉① ♠é❧❛♥❣❡s✳ ▲❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s xtij 6 uxi

∑

i∈I

xtij ♣♦✉r t♦✉t t ∈ {1, 2} ♣❡r♠❡tt❡♥t ❞❡

s✬❛ss✉r❡r q✉❡ ❧❛ ♣r♦♣♦rt✐♦♥ ♠❛①✐♠❛❧❡ ❞❡ ❝❤❛q✉❡ ✐♥❣ré❞✐❡♥t ❞✉ ♠é❧❛♥❣❡ ❡st r❡s♣❡❝té❡✳

❚♦✉t❡s ❧❡s ❤②♣♦t❤ès❡s ❞✉ t❤é♦rè♠❡ ✸✳✶ s♦♥t s❛t✐s❢❛✐t❡s ♣♦✉r ♥♦s ❞❡✉① ✐♥st❛♥❝❡s✳

✼✹

✸✳✹✳✷ ❘❡❧❛①❛t✐♦♥ ❝♦♥✈❡①❡ ❞❡ ❚❛✇❛r♠❛❧❛♥✐ ❡t ❛❧✳

P❧✉s ré❝❡♠♠❡♥t✱ ❚❛✇❛r♠❛❧❛♥✐ ❡t ❛❧✳ ❬✾✻❪ é♥♦♥❝èr❡♥t ✉♥ ♥♦✉✈❡❛✉ rés✉❧t❛t à ♣r♦♣♦s ❞❡ ❧✬❡♥✈❡✲

❧♦♣♣❡ ❝♦♥✈❡①❡ ❞✬✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡✳

❚❤é♦rè♠❡ ✻ ❙♦✐t B =

{

(x, y) ∈ Rn+ × R

n+|

n∑

i=1

(aixiyi + bixi + ciyi) > r

}

✱ ♦ù✱ ♣♦✉r ❝❤❛q✉❡

i ∈ {1, ..., n}✱ ai, bi ❡t ci s♦♥t ♥♦♥ ♥é❣❛t✐❢s ❡t r ❡st ♣♦s✐t✐❢✳ ❙♦✐t

ηi(xi, yi) =1

2

(

bixi + ciyi +√

(bixi + ciyi)2 + 4airxiyi

)

.

❆❧♦rs✱ ❧✬❡♥✈❡❧♦♣♣❡ ❝♦♥✈❡①❡ ❞❡ B ❡st ❞♦♥♥é❡ ♣❛r

conv(B) =

{

(x, y) ∈ Rn+ × R

n+|

n∑

i=1

ηi(xi, yi) > r

}

.

P♦✉r ❧❛ ♣r❡✉✈❡ ❞❡ ❝❡ t❤é♦rè♠❡✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ❜❡s♦✐♥s ❞❡ ❞✐✛ér❡♥t❡s ❞é✜♥✐t✐♦♥s ❡t ♣r♦♣r✐étés✳

◆♦✉s ❧❡s ✐♥tr♦❞✉✐s♦♥s ✐❝✐ ❛✜♥ ❞❡ r❡♥❞r❡ ❧❛ ♣r❡✉✈❡ ♣❧✉s ❧✐s✐❜❧❡✳

❉é✜♥✐t✐♦♥ ✸✳✷ ❙♦✐t Si ⊆ S✱ ♣♦✉r i ∈ N = {1, ..., n}✳ ❖♥ ❞✐t q✉❡ S ❛ ✉♥❡ ♣r♦♣r✐été

❞✬❡①t❡♥s✐♦♥ ❝♦♥✈❡①❡ ♣♦✉r ❧❡s ❡♥s❡♠❜❧❡s ❞✐s❥♦✐♥ts Si s✐ ♣♦✉r t♦✉t z = (z1, ..., zi, ..., zn) ∈ Si

❛❧♦rs zj = 0 ♣♦✉r t♦✉t j 6= i ❡t s✐ ❝❤❛q✉❡ ♣♦✐♥t z ∈ S ♣❡✉t s✬❡①♣r✐♠❡r ❝♦♠♠❡ ✉♥❡ ❝♦♠❜✐♥❛✐s♦♥

❝♦♥✈❡①❡ ❞❡ ♣♦✐♥ts ξi ∈ ❝❧ ❝♦♥✈✭Si✮ ❡t ❞✬✉♥❡ ❝♦♠❜✐♥❛✐s♦♥ ❞❡ r❛②♦♥ ψi ∈ C∞(❝❧ ❝♦♥✈✭Si))✱ ♦ù

C∞(S) ❡st ❧❡ ❝ô♥❡ ❞❡ ré❝❡ss✐♦♥ ❞❡ S✳ ❊♥ ❞✬❛✉tr❡s t❡r♠❡s✱ ∀i ∈ I ⊆ N ✱ ✐❧ ❡①✐st❡ λi > 0 ❡t

µi > 0 q✉✐ s❛t✐s❢♦♥t∑

i∈I

λi = 1 ❡t t❡❧s q✉❡

z =∑

i∈I

λiξi +∑

i∈I

µiψi. ✭✸✳✺✹✮

❉é✜♥✐t✐♦♥ ✸✳✸ ◆♦✉s ❞é♥♦t♦♥s ♣❛r L (i, zi, ui) ❧❡ ✈❡❝t❡✉r (0, ..., 0, zi, 0, ..., 0; 0, ..., 0, ui, 0, ..., 0)

❡t L (i, (zi, ui)) ❧❡ ✈❡❝t❡✉r (0, 0..., 0, 0, zi, ui, 0, 0, ..., 0, 0)✳

❉é✜♥✐t✐♦♥ ✸✳✹ ❯♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ f : Rn 7→ [−∞,∞] ❡st ❞✐t❡ ♣♦s✐t✐✈❡♠❡♥t ❤♦♠♦❣è♥❡ s✐ ♣♦✉r

t♦✉t z ∈ Rn ❡t ♣♦✉r t♦✉t λ > 0✱ f(λz) = λf(z)✳

✼✺

◆♦✉s ❛✈♦♥s é❣❛❧❡♠❡♥t ❧❛ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥ s✉✐✈❛♥t❡ ❞♦♥t ❧❛ ♣r❡✉✈❡ s❡ tr♦✉✈❡ ❞❛♥s ❬✾✻✱ ❝♦r♦❧❧❛✐r❡

✷❪ ✿

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✶ ❙♦✐t g(z1, ..., zn) : R∑n

i=1di 7→ R, ♦ù zi ∈ R

di ❡t ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡

G ={

z ∈ R

∑ni=1

di∣

∣ g(z1, ..., zn) > r}

✱ ❛✈❡❝ r > 0✳ ❙♦✐t Gi = G ∩{

L(i, zi)∣

∣zi ∈ Rdi}

❡t

gi(zi) = g(L(i, zi))✳ ❙✐

✭❆✶✮ g(z) 6∑n

i=1 gi(zi)✱

✭❆✷✮ ∀i, gi(0) = 0 ❛♥❞ ∀λ ∈ (0, 1], λg( ziλ> gi(zi)✱

✭❆✸✮ ∀i, gi(zi) 6 0 ✐♠♣❧✐q✉❡ q✉❡ L(i, zi) ∈ C∞(❝❧ ❝♦♥✈ Gi✮✱

s♦♥t s❛t✐s❢❛✐t❡s ❛❧♦rs ✭✸✳✺✹✮ ❡st s❛t✐s❢❛✐t❡ ♣♦✉r ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ●✳

❙♦✐t edi ∈ R

∑nj=1

dj t❡❧ q✉❡ ❧❛ ❝♦♠♣♦s❛♥t❡ ❞✬✐♥❞✐❝❡ d+∑

j<i dj ❡st ✉♥ ❡t ❧❡ r❡st❡ ③ér♦✳ ❙✉♣♣♦s♦♥s

q✉❡ ♣♦✉r t♦✉t ✐ ❝♦♥✈✭Gi✮ ❡st ❢❡r♠é✳ ❙✉♣♣♦s♦♥s é❣❛❧❡♠❡♥t q✉✬✐❧ ❡①✐st❡ γ t❡❧ q✉❡ ♣♦✉r t♦✉t

γ′ > γ, i ∈ N, d ∈ {1, ..., di} ❡t z > 0✱ ♦♥ ❛ q✉❡ g(z+ γ′edi ) > g(z)✳ ❆❧♦rs ❝♦♥✈✭●✮ ❡st ❢❡r♠é✳

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✷ ❙♦✐t Q = {(x, y) ∈ R2+|axy+bx+c > r} ♦ù a, b ❡t c s♦♥t ♥♦♥ ♥é❣❛t✐❢s ❡t r ❡st

♣♦s✐t✐❢✳ ❆❧♦rs Q ❛❞♠❡t ✉♥❡ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ❝♦♥✈❡①❡ ✭❡♥s❡♠❜❧❡ s✉♣ér✐❡✉r ❞✬✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❝♦♥❝❛✈❡✮

q✉✐ ✉t✐❧✐s❡ ❞❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s ❤♦♠♦❣è♥❡s ♣♦s✐t✐✈❡s✳ ❊♥ ♣❛rt✐❝✉❧✐❡r Q = {(x, y) ∈ R2+|η(x, y) > r}

❛✈❡❝ η(x, y) = 12

(

bx+ cy +√

(bx+ cy)2 + 4arxy)

✳

Pr❡✉✈❡✳ ◆♦✉s ♣♦✉✈♦♥s s✉♣♣♦s❡r s❛♥s ♣❡rt❡ ❞❡ ❣é♥ér❛❧✐té q✉❡ c > b ❡t ❛✐♥s✐ s✉♣♣♦s❡r

q✉❡ a ♦✉ c ❡st ♥♦♥ ♥✉❧✳ ❆✐♥s✐✱ ♣♦✉r t♦✉t (x, y) ∈ Q✱ ♦♥ ❛ q✉❡ ax + c > 0✳ ❆✐♥s✐✱ Q ={

(x, y) ∈ R2+|y = r−bx

ax+c

}

✳ ❱ér✐✜♦♥s q✉❡ f(x) = r−bxax+c

❡st ❝♦♥✈❡①❡✳ ❖♥ ❛ ❡♥ ❡✛❡t q✉❡ f ′(x) =

ar+bc(ax+c)2

❡t ❞♦♥❝ f ′′(x) = 2a(ar+bc

(ax+c)3❡t f ′′(x) > 0 ♣♦✉r t♦✉t x > 0✳ Q s✬❡①♣r✐♠❡ ❛❧♦rs ❝♦♠♠❡

❧✬✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ❞❡ ❧✬é♣✐❣r❛♣❤❡ ❞✬✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❝♦♥✈❡①❡ ❛✈❡❝ ❧✬♦rt❤❛♥t ♣♦s✐t✐❢✳ ■❧ ❡st ❞♦♥❝ ❝♦♥✈❡①❡✳

▲✬✐♥é❣❛❧✐té ❞é✜♥✐ss❛♥t Q ♥✬❡st ♣❛s ♣♦s✐t✐✈❡♠❡♥t ❤♦♠♦❣è♥❡✳ ❉❛♥s ✉♥ ♣r❡♠✐❡r t❡♠♣s✱ ♥♦✉s

❤♦♠♦❣é♥é✐s♦♥s ❝❡tt❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❣râ❝❡ à ❧✬❛❥♦✉t ❞✬✉♥❡ ♥♦✉✈❡❧❧❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ h > 0✳ ◆♦✉s ♦❜t❡♥♦♥s

❛✐♥s✐ axy

h+ bx+ cy > rh✱ ♦✉ ❡♥❝♦r❡✱ ♣✉✐sq✉❡ h > 0✱

axy + bxh+ cyh > rh2. ✭✸✳✺✺✮

✼✻

◆♦t♦♥s Q′ = {(x, y, 1)|(x, y) ∈ Q}✳ ▲✬éq✉❛t✐♦♥ ✭✸✳✺✺✮ ❞é✜♥✐t ❧❡ ♣❧✉s ♣❡t✐t ❝ô♥❡ ❝♦♥✈❡①❡ ❝♦♥t❡✲

♥❛♥t Q′ s✐ h > 0✳ ❉❡ ♣❧✉s✱ s✐ (x, y, h) s❛t✐s❢❛✐t ✭✸✳✺✺✮ ♣♦✉r ✉♥ h > 0✱ ❛❧♦rs✱ ♣♦✉r t♦✉t h′ ∈ [0, h]✱

(x, y, h′) ❧❛ s❛t✐s❢❛✐t é❣❛❧❡♠❡♥t✳ ❆✐♥s✐✱Q ❡st ❧❛ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ❞❡ {(x, y, h)|axy + bxh+ cyh > rh2, h > 1}s✉r ❧✬❡s♣❛❝❡ ❞❡s ✈❛r✐❛❜❧❡s (x, y)✳ P♦✉r q✉❡ h s❛t✐s❢❛ss❡ ✭✸✳✺✺✮✱ ♦♥ ❞♦✐t ❛✈♦✐r

bx+ cy −√

(bx+ cy)2 + 4arxy

2r6 h 6

bx+ cy +√

(bx+ cy)2 + 4arxy

2r. ✭✸✳✺✻✮

❊♥ ❡✛❡t✱

✭✸✳✺✺✮ ⇐⇒ 4raxy + 4r(bx+ cy) > 4r2h2,

⇐⇒ 4raxy + 4r(bx+ cy) + (bx+ cy)2 > 4r2h2 + (bx+ cy)2,

⇐⇒ 4raxy + (bx+ cy)2 > 4r2h2 + (bx+ cy)2 − 4r(bx+ cy),

⇐⇒ 4raxy + (bx+ cy)2 > (2rh− (bx+ cy))2 ,

⇐⇒ −√

4raxy + (bx+ cy)2 6 2rh− (bx+ cy) 6√

4raxy + (bx+ cy)2,

⇐⇒ ✭✸✳✺✻✮.

❈❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s s♦♥t ♣♦s✐t✐✈❡♠❡♥t ❤♦♠♦❣è♥❡s✳ ❈♦♠♠❡ f(x, y, h) =bx+cy−

√(bx+cy)2+4arxy

2r♥✬❡st

♣❛s ♣♦s✐t✐✈❡✱ ♦♥ ❛

Q =

{

(x, y) ∈ R2 + |η(x, y) = 1

2

(

bx+ cy +√

(bx+ cy)2 + 4arxy)

> r

}

.

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✸ ❙✐ ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ s✉♣ér✐❡✉r ❞✬✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ♣♦s✐t✐✈❡♠❡♥t ❤♦♠♦❣è♥❡ ❡st ❝♦♥✈❡①❡✱

❛❧♦rs ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❡st ❝♦♥❝❛✈❡ t❛♥t q✉✬❡❧❧❡ ❡st ♣♦s✐t✐✈❡✳ P❧✉s ♣ré❝✐sé♠❡♥t✱ s✐W = {(z, u)|t(z, u) >1} ❡st ❝♦♥✈❡①❡ ❡t t(z, u) ❡st ♣♦s✐t✐✈❡♠❡♥t ❤♦♠♦❣è♥❡✱ ❛❧♦rs D = {(z, u)|t(z, u) > 0} ❡st ❝♦♥✈❡①❡

❡t t(z, u) ❡st ❝♦♥❝❛✈❡ s✉r D✳

Pr❡✉✈❡✳ ❙✐ W ❡st ❝♦♥✈❡①❡✱ ❛❧♦rs WK = {(λ, x)|λ > 0, x = λ(z, u), t(z, u) > 1} ❡st ❧❡ ♣❧✉s

♣❡t✐t ❝ô♥❡ ❝♦♥✈❡①❡ ❝♦♥t❡♥❛♥t {(1, x)|x ∈ W}✳ ❈♦♠♠❡ t ❡st ♣♦s✐t✐✈❡♠❡♥t ❤♦♠♦❣è♥❡✱ ♦♥ ❛

q✉❡ WK = {(λ, x)|λ > 0, t(x) > λ}✳ D ❡st ❧❛ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ❞❡ WK s✉r ❧✬❡s♣❛❝❡ ❞❡s x ❡t ❡st ❞♦♥❝

✼✼

❝♦♥✈❡①❡✳ ❉❡ ♣❧✉s✱ ❧✬❤②♣♦❣r❛♣❤❡ ❞❡ t s✉r D ❡st {(r, x)|r 6 t(x), x ∈ D} = {(r, x)|r 6 λ 6

t(x), λ > 0}✱ q✉✐ ❡st ❝♦♥✈❡①❡ s✐ WK ❡st ❝♦♥✈❡①❡✱ ❞♦♥❝ t ❡st ✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❝♦♥❝❛✈❡✳

❉é✜♥✐t✐♦♥ ✸✳✺ ◆♦✉s ❞é♥♦t♦♥s ♣❛r J,K ❡t L ❧❡s ❡♥s❡♠❜❧❡s ❞✬✐♥é❣❛❧✐tés ❛✈❡❝ ✶✱✵ ❡t ✲✶ ❝♦♠♠❡

♠❡♠❜r❡ ❞❡ ❞r♦✐t❡ r❡s♣❡❝t✐✈❡♠❡♥t✳

▲❡ t❤é♦rè♠❡ s✉✐✈❛♥t ❛✐♥s✐ q✉❡ s❛ ♣r❡✉✈❡ s❡ tr♦✉✈❡♥t ❞❛♥s ❬✾✻✱ ❚❤é♦rè♠❡ ✶❪ ✳

❚❤é♦rè♠❡ ✼ ❙♦✐❡♥t✱ ♣♦✉r t♦✉t i ∈ N = {1, ..., n}✱ Si ⊆ S ⊆ R

∑ni=1

di✱

C(tJ , vK , wL) ={

(z, u)∣

∣tj(z, u) > 0, ∀j ∈ J, vk(z, u) > 0, ∀k ∈ J, wl(z, u) > 0, ∀l ∈ L}

,

A ={

(z, u)∣

∣tj(z, u) > 1, ∀j ∈ J, vk(z, u) > −1, ∀k ∈ J, wl(z, u) > 0, ∀l ∈ L}

,

❡t ♣♦✉r t♦✉t z ∈ S✱ z = (z1, ..., zi, ..., zn) ♦✉ zi ∈ R

∑ni=1

di✳ ❙✉♣♣♦s♦♥s q✉❡

✭❇✶✮ s✐ (z1, ..., zi, ..., zn) ∈ Si ❛❧♦rs zj = 0 ♣♦✉r t♦✉t j 6= i✱

✭❇✷✮ conv(S) = conv(∪ni=1Si)✱

✭❇✸✮ ■❧ ❡①✐st❡✱ ♣♦✉r i ∈ N ✱ ❞❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s ♣♦s✐t✐✈❡♠❡♥t ❤♦♠♦❣è♥❡s tjii , vkii ❡t wli

i ♣♦✉r

ji ∈ Ji, ki ∈ Ki ❡t li ∈ Li t❡❧❧❡s q✉❡ conv(Si) ⊆ projz(Ai) ⊆ cl(conv(Si)) ♦ù

Ai ={

L(i, (zi, ui))∣

∣(zi, ui) ∈ A(tjii , vkii , w

lii )}

,

✭❇✹✮ projzCj ♦ù Ci ={

L(i, (zi, ui))∣

∣(zi, ui) ∈ C(tJii , vkii, wli

i )}

❡st ✉♥ s♦✉s✲❡♥s❡♠❜❧❡ ❞✉

❝ô♥❡ ❞❡ ré❝❡ss✐♦♥ ❞❡ ❝❧ ❝♦♥✈ (⋃n

i=1 Si)✳

❆❧♦rs conv(S) ⊆ projzX ⊆ ❝❧ ❝♦♥✈ S ❛✈❡❝

X =

(z, u)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∑

i ∈ Ntjii (zi, ui) > 1 ∀(ji)i∈I ∈∏

i∈N

Ji∑

i ∈ Ivkii (zi, ui) > −1 ∀I ⊆ N, ∀(ki)i∈I ∈∏

i∈I

Ki

tjii (zi, ui) + vkii (zi, ui) > 0 ∀i ∈ N, ∀ji ∈ Ji, ∀ki ∈ Ki

tjii (zi, ui) > 0 ∀i ∈ N, ∀ji ∈ Jiwli

i (zi, ui) > 0 ∀i ∈ N, ∀li ∈ Li

✭✸✳✺✼✮

✼✽

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✹ ✭❬✾✻❪✱Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✶ ✮ ❙♦✐❡♥t tj : R

∑ni=1

di × R

∑ni=1

d′i 7→ R ♣♦✉r j ∈ J ✱

vk : R∑n

i=1di × R

∑ni=1

d′i 7→ R ♣♦✉r k ∈ K ❡t wl : R∑n

i=1di × R

∑ni=1

d′i 7→ R ♣♦✉r l ∈ L✳ ❙♦✐❡♥t✱

♣♦✉r t♦✉t i ∈ N = {1, ..., n}✱ Si ⊆ S ⊆ R

∑ni=1

di ❡t

C(tJ , vK , wL) ={

(z, u)|tj(z, u) > 0, ∀j ∈ J, vk(z, u) > 0, ∀k ∈ J, wl(z, u) > 0, ∀l ∈ L}

.

❙✐ ♣♦✉r t♦✉t i✱ ji ∈ Ji, ki ∈ Ki ❡t li ∈ Li✱ ❧❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s tjii , vkii ❡t wli

i s♦♥t ❝♦♥❝❛✈❡s ❡t ♣♦s✐t✐✈❡✲

♠❡♥t ❤♦♠♦❣è♥❡s ❡t q✉❡ ❧❡s ❡♥s❡♠❜❧❡s Si s♦♥t ♥♦♥ ✈✐❞❡✱ ❛❧♦rs ♣r♦❥zCi ⊆ C∞ (❝❧ ❝♦♥✈ (⋃n

i=1 Si))

❛✈❡❝ Ci ={

L(i, (zi, ui))∣

∣(zi, ui) ∈ C(tJii , vkii, wli

i )}

.

Pr❡✉✈❡ ❞✉ t❤é♦rè♠❡ ✻✳ ❙✉♣♣♦s♦♥s✱ s❛♥s ♣❡rt❡ ❞❡ ❣é♥ér❛❧✐té q✉❡ ♣♦✉r ❝❤❛q✉❡ i✱ ❛✉ ♠♦✐♥s

✉♥ ❞❡s ai, bi ♦✉ ci ❡st ♥♦♥ ♥✉❧✳ ❙♦✐t zi = (xi, yi) ❡t gi(zi) = aixiyi + bixi + cizi✳ ❖♥ ❛ ❛❧♦rs q✉❡

B =

{

(x, y) ∈ Rn+ × R

n+

∣

∣

∣

∣

g(x, y) =n∑

i=1

gi(xi, yi) > r

}

✳ ❖♥ ❛ ❝❧❛✐r❡♠❡♥t q✉❡ gi(0) = 0 ❡t q✉❡

g(z) =n∑

i=1

gi(zi)✱ ❞♦♥❝ ❧✬❤②♣♦t❤ès❡ (A1) ❡st s❛t✐s❢❛✐t❡✳

❉❡ ♣❧✉s✱ ♣♦✉r t♦✉t 0 < λ 6 1✱ ♦♥ ❛

λgi(ziλ) = λ

(

aixiλ

yiλ+ bi

xiλ

+ ciyiλ

)

,

=aixiyiλ

+ bixi + ciyi,

> gi(zi).

▲✬❤②♣♦t❤ès❡ (A2) ❡st s❛t✐s❢❛✐t❡✳

❙♦✐t Bi ={

L(i, xi, yi) ∈ R2n+ |gi(xi, yi) > 0

}

✳ ◆♦t♦♥s q✉❡ s✐ (x′i, y′i) > 0✱ ❛❧♦rs ♦♥ ❛ gi(xi +

x′i, yi + y′i) > gi(xi, yi)✳ ❆✐♥s✐✱ s✐ z′i = (x′i, y′i) > 0 ❛❧♦rs (0, z′i, 0) ∈ C∞(❝❧ ❝♦♥✈ Bi) ❡t ♦♥ ❛ q✉❡

❧✬❤②♣♦t❤ès❡ (A3) ❡st s❛t✐s❢❛✐t❡✳

❆✐♥s✐✱ ♦♥ ❛✱ ♣❛r ❧❛ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥ ✶ q✉❡ B ❧❛ ♣r♦♣r✐été ❞✬❡①t❡♥s✐♦♥ ❝♦♥✈❡①❡ ❡st s❛t✐s❢❛✐t❡✳ ❉❡

♣❧✉s✱ ❝♦♠♠❡ g ❡st ♥♦♥ ❞é❝r♦✐ss❛♥t❡ ❡t q✉❡ ❝❧✭Bi✮ ❂ Bi✱ ♦♥ ❛ ♣❛r ❧❛ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥ ✶ q✉❡ ❝♦♥✈✭B✮

❡st ❢❡r♠é✳

P❛r ❧❛ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥ ✷✱ ♦♥ ❛ q✉❡ Bi ❡st ❞é✜♥✐ ♣❛r ηi(xi, yi) > r✳ ◆♦t♦♥s ❞❡ ♣❧✉s q✉❡ ηi(xi, yi)

❡st ✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ♣♦s✐t✐✈❡♠❡♥t ❤♦♠♦❣è♥❡ ❞♦♥❝ ❧✬❤②♣♦t❤ès❡ (B3) ❡st s❛t✐s❢❛✐t❡✳

✼✾

❘❡♠❛rq✉♦♥s q✉❡ ηi ❡st ❝♦♥❝❛✈❡ ♣❛r ❧❛ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥ ✸✳ P✉✐sq✉❡ ♣♦✉r zi s✉✣s❛♠♠❡♥t ❣r❛♥❞ ♦♥

❛ g(z) > r✱ ♦♥ ❛ Bi 6= ∅ ❡t ♣❛r ❧❛ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥ ✹✱ ❧✬❤②♣♦t❤ès❡ (A4) ❡st s❛t✐s❢❛✐t❡✳

❋✐♥❛❧❡♠❡♥t✱ ♣❛r ❧❡ t❤é♦rè♠❡ ✼ ❡t ✉♥❡ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ ♣rés❡♥té❡ ❞❛♥s ❬✾✻❪ ✭s✐t✉é❡ ❛♣rès ❧❛ ❞é✜♥✐t✐♦♥

✷✮✱ ♦♥ ❛ q✉❡ X ❞é✜♥✐ ♣❛r ✭✸✳✺✼✮ ❡st é❣❛❧❡ à ❝❧ ❝♦♥✈✭B✮✳ ◆♦✉s ❛✈♦♥s ♠♦♥tré ♣❧✉s tôt ❞❛♥s

❝❡tt❡ ♣r❡✉✈❡ q✉❡ ❝♦♥✈✭B✮ ❡st ❢❡r♠é✱ ❞♦♥❝

❝❧ ❝♦♥✈(B) = ❝♦♥✈(B) = X =

{

(x, y) ∈ Rn+ × R

n+|

n∑

i=1

ηi(xi, yi) > r

}

.

❈♦♥tr❛✐r❡♠❡♥t à ❧❛ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❞❡ ▼❝❈♦r♠✐❝❦ q✉❡ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ♣rés❡♥té❡ ❞❛♥s ❧❛ s❡❝t✐♦♥ ✸✳✹✳✶✱

❝❡tt❡ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❡st ✉♥❡ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❝♦♥✈❡①❡ ♥♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡ ❡t r❡♣rés❡♥t❡ ❧✬❡♥✈❡❧♦♣♣❡ ❝♦♥✈❡①❡

❞✬✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡ ❞é✜♥✐ ♣❛r B✳ ◆♦✉s ❛❧❧♦♥s ♠❛✐♥t❡♥❛♥t ❛♣♣❧✐q✉❡r ❝❡tt❡ ❛♣♣r♦❝❤❡ ❛✉

♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ❞✐èt❡ ♣♦r❝✐♥❡✳

❈❡tt❡ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ♥❡ ♣❡✉t s✬❛♣♣❧✐q✉❡r q✉❡ s✉r ❧❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❞✉ t②♣❡ ✧s✉♣ér✐❡✉r ♦✉ é❣❛❧✧ ❝❛r

t♦✉s ♥♦s ❝♦❡✣❝✐❡♥ts s♦♥t ♣♦s✐t✐❢s✳ ▲❛ r❡❧❛①❛t✐♦♥ q✉❡ ♥♦✉s ♦❜t❡♥♦♥s ❛❧♦rs ♥✬❡st ♣❛s ❝♦♥✈❡①❡

♣✉✐sq✉❡ ❝❡rt❛✐♥❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ✭❧❡s ✧✐♥❢ér✐❡✉r ♦✉ é❣❛❧✧✮ ♥❡ s♦♥t ♣❛s ✐♥❝❧✉s❡s ❞❛♥s ❧❛ r❡❧❛①❛t✐♦♥

❡t s♦♥t ❞♦♥❝ t♦✉❥♦✉rs ❜✐❧✐♥é❛✐r❡s✳

❈❡♣❡♥❞❛♥t✱ ❡♥ rés♦❧✈❛♥t ❝❡tt❡ r❡❧❛①❛t✐♦♥✱ ♥♦✉s ♦❜t❡♥♦♥s t♦✉t ❞❡ ♠ê♠❡ ✉♥❡ ❜♦r♥❡ ✐♥❢ér✐❡✉r❡

à ❧❛ ✈❛❧❡✉r ♦♣t✐♠❛❧❡ ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡ ✐♥✐t✐❛❧ ✭✷✳✶✮✳ ◆♦✉s ♦❜t❡♥♦♥s ❧❡s ✈❛❧❡✉rs ✽✾✳✺✹

♣♦✉r ❧✬✐♥st❛♥❝❡ ✶ ❡t ✻✷✳✵✽ ♣♦✉r ❧✬✐♥st❛♥❝❡ ✷✱ ❝❡ q✉✐ ❡st ❧❛r❣❡♠❡♥t ♣❧✉s ❢❛✐❜❧❡ q✉❡ ❧❡s ❜♦r♥❡s

✐♥❢ér✐❡✉r❡s ❝♦♥♥✉❡s ✭✾✹✳✽✹ ❡t ✻✼✳✷✸ r❡s♣❡❝t✐✈❡♠❡♥t✮✳

❈❡tt❡ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ét❛♥t s✉♣♣♦sé❡ ❞♦♥♥❡r ❧✬❡♥✈❡❧♦♣♣❡ ❝♦♥✈❡①❡ ❞✬✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡✱ ❝✬❡st✲à✲❞✐r❡ ❧❡

♣❧✉s ♣❡t✐t ❝♦♥✈❡①❡ ❝♦♥t❡♥❛♥t ♥♦tr❡ ❡♥s❡♠❜❧❡✱ ♥♦✉s ♣❡♥s✐♦♥s ♦❜t❡♥✐r ❞❡ très ❜♦♥s rés✉❧t❛ts✳

❖r✱ ♦♥ ❝♦♥st❛t❡ q✉❡ ❧❛ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❞❡ ▼❝❈♦r♠✐❝❦ ❡st ♠❡✐❧❧❡✉r❡✳ ❈❡❧❛ ❡st ❡♥ ❢❛✐t ❞û ❛✉① ❜♦r♥❡s

s✉r ❧❡s ✈❛r✐❛❜❧❡s✳

▲❛ ♣r♦❝❤❛✐♥❡ s❡❝t✐♦♥ ❡st ❝♦♥s❛❝ré❡ à ♠♦♥tr❡r ❝♦♠♠❡♥t ❧❡s ❜♦r♥❡s ❛❣✐ss❡♥t s✉r ❝❡s ❞❡✉①

r❡❧❛①❛t✐♦♥s✳

✽✵

✸✳✹✳✸ ■❧❧✉str❛t✐♦♥s ❞❡s r❡❧❛①❛t✐♦♥s ❞❡ ▼❝❈♦r♠✐❝❦ ❡t ❚❛✇❛r♠❛❧❛♥✐

❋✐❣✉r❡ ✸✳✷ ✕ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ❞❡ ❧❛ s✉r❢❛❝❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡ B = {(x, y, z) ∈ [0, 5]3|xy + z > 4}✳

❈♦♥s✐❞ér♦♥s ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ B = {(x, y, z) ∈ [0, 5]3|xy + z > 4} ❈❡t ❡♥s❡♠❜❧❡ ❡st r❡♣rés❡♥té ♣❛r

t♦✉s ❧❡s ♣♦✐♥ts ❛♣♣❛rt❡♥❛♥t à [1, 5]3 ❡t s✐t✉és ❛✉✲❞❡ss✉s ❞❡ ❧❛ s✉r❢❛❝❡ ✈❡rt❡ ✐❧❧✉stré❡ ♣❛r ❧❛

✜❣✉r❡ ✸✳✷✳

▲❛ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❞❡ ▼❝❈♦r♠✐❝❦ ❞é❝r✐t❡ ❞❛♥s ❧❛ s❡❝t✐♦♥ ✸✳✹✳✶✱ ❡st ❞♦♥♥é❡ ♣❛r ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡

BM =

{

(x, y, z) ∈ [1, 5]3∣

∣

∣

∣

z > 4− 5xz > 4− 5y

}

.

❈❡t ❡♥s❡♠❜❧❡ ♣❡✉t êtr❡ ✈✐s✉❛❧✐sé ❡♥ r♦✉❣❡ s✉r ❧❛ ✜❣✉r❡ ✸✳✸✳

❖♥ ♣❡✉t ♠❛✐♥t❡♥❛♥t ♦❜s❡r✈❡r ❧✬❛❧❧✉r❡ ❞❡ ❧✬❡♥✈❡❧♦♣♣❡ ❝♦♥✈❡①❡ ❞é❝r✐t❡ ❞❛♥s ❧❛ s❡❝t✐♦♥ ✸✳✹✳✷✳

❈❡❧❧❡✲❝✐ ❡st ❞♦♥♥é❡ ♣❛r BT ={

(x, y, z) ∈ R3+|2

√xy + z > 4

}

❡t ❡st r❡♣rés❡♥té❡ ❡♥ ❜❧❡✉ s✉r

❧❛ ✜❣✉r❡ ✸✳✹✳

❊♥✜♥✱ ❧❛ ✜❣✉r❡ ✸✳✺ s✉♣❡r♣♦s❡ ❧❛ s✉r❢❛❝❡ ✐♥✐t✐❛❧❡ ❛✐♥s✐ q✉❡ ❧❡s ❞❡✉① r❡❧❛①❛t✐♦♥s✳ ❖♥ ♣❡✉t

❝♦♥st❛t❡r q✉❡ ❧❡s ❞❡✉① r❡❧❛①❛t✐♦♥s s✬✐♥t❡rs❡❝t❡♥t ❧✬✉♥❡ ❡t ❧✬❛✉tr❡✳ ❆✐♥s✐✱ ✐❧ ♣❡✉t ❛rr✐✈❡r q✉❡ ❧❛

r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❞❡ ▼❝❈♦r♠✐❝❦ ❢♦✉r♥✐ss❡ ✉♥❡ ♠❡✐❧❧❡✉r❡ s♦❧✉t✐♦♥ q✉❡ ❧❛ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❞❡ ❚❛✇❛r♠❛❧❛♥✐

❡t ❛❧✳

✽✶

❋✐❣✉r❡ ✸✳✸ ✕ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ❞❡ ❧❛ s✉r❢❛❝❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡ B ❡t ❞❡ s❛ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❞❡ ▼❝❈♦r♠✐❝❦ BM ✳

P❧✉s ✐♥tér❡ss❛♥t ❡♥❝♦r❡✱ s♦✉s ❝❡rt❛✐♥❡s ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❛♣♣r♦♣r✐é❡s✱ ❧❛ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❞❡ ▼❝❈♦r♠✐❝❦

♣❡✉t êtr❡ ❝♦♠♣❧èt❡♠❡♥t ✐♥❝❧✉s❡ ❞❛♥s ❧❛ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❞❡ ❚❛✇❛r♠❛❧❛♥✐ ❡t ❛❧✳ P❛r ❡①❡♠♣❧❡✱ s✐ ♦♥

❝♦♥s✐❞èr❡✱ ❞❡ ♠❛♥✐èr❡ ❣é♥ér❛❧❡✱ ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡

B = {(x, y, z) ∈ [0, ux]× [0, uy]× [0, uz]|xy + z > r} ,

❛❧♦rs ❧✬❡♥✈❡❧♦♣♣❡ ❝♦♥✈❡①❡ t❡❧❧❡ q✉❡ ❞é❝r✐t❡ ❞❛♥s ❧❛ s❡❝t✐♦♥ ✸✳✹✳✷ ❡st ❞♦♥♥é❡ ♣❛r

B = {(x, y, z) ∈ [0, ux]× [0, uy]× [0, uz]|√rxy + z > r} .

▲❛ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❞❡ ▼❝❈♦r♠✐❝❦ ♥♦✉s ❞♦♥♥❡ ❧❡s q✉❛tr❡ éq✉❛t✐♦♥s s✉✐✈❛♥t❡s ✿

xy > 0, ✭✸✳✺✽✮

x(uy − y) > 0, ✭✸✳✺✾✮

(ux − x)y > 0, ✭✸✳✻✵✮

(ux − x)(uy − y) > 0. ✭✸✳✻✶✮

P❛r ✭✸✳✺✾✮ ❡t ✭✸✳✻✵✮✱ ♦♥ ♣❡✉t ❞é❞✉✐r❡ q✉❡

r − z > uyx, ✭✸✳✻✷✮

r − z > uxy. ✭✸✳✻✸✮

✽✷

❋✐❣✉r❡ ✸✳✹ ✕ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ❞❡ ❧❛ s✉r❢❛❝❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡ B ❡t ❞❡ s♦♥ ❡♥✈❡❧♦♣♣❡ ❝♦♥✈❡①❡ BT ✳

❖♥ ❛ ❞❡ ♣❧✉s q✉❡ r−z 6 √rxy✳ ❆✐♥s✐✱ ❧❛ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❞❡ ▼❝❈♦r♠✐❝❦ ❡st ✐♥❝❧✉s❡ ❞❛♥s ❧✬❡♥✈❡❧♦♣♣❡

❝♦♥✈❡①❡ ❞é✜♥✐❡ ♣❛r ❚❛✇❛r♠❛❧❛♥✐ s✐ ❡t s❡✉❧❡♠❡♥t s✐

{

uyx 6√rxy

uxy 6√rxy

⇐⇒{

uyx 6√rxy

uxuyxy 6 rxy⇐⇒

{

uyx 6√rxy

uxuy 6 r.

❆✐♥s✐✱ s✐ r > uxuy✱ ❧❛ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❞❡ ▼❝❈♦r♠✐❝❦ s❡r❛ t♦t❛❧❡♠❡♥t ✐♥❝❧✉s❡ ❞❛♥s ❧✬❡♥✈❡❧♦♣♣❡

❝♦♥✈❡①❡ ❞é✜♥✐❡ ♣❛r ❚❛✇❛r♠❛❧❛♥✐ ❡t ❛❧✳ ❈❡ ❝♦♠♣♦rt❡♠❡♥t ♣❡✉t êtr❡ ♦❜s❡r✈é s✉r ❧❛ ✜❣✉r❡ ✸✳✻

♦ù ♥♦✉s ❛✈♦♥s ❝♦♥s✐❞éré ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡ ❞é♣❛rt

B ={

(x, y, z) ∈ [0, 5]3|xy + z > 25}

.

✸✳✹✳✹ ❯♥❡ r❡❧❛①❛t✐♦♥ s❡♠✐✲❞é✜♥✐❡ ♣♦s✐t✐✈❡

▲❛ ❞❡r♥✐èr❡ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❝♦♥✈❡①❡ q✉❡ ♥♦✉s ♣rés❡♥t♦♥s ❡st ❧❛ r❡❧❛①❛t✐♦♥ s❡♠✐✲❞é✜♥✐❡ ♣♦s✐t✐✈❡✳

▲✬✐❞é❡ ❣é♥ér❛❧❡ ❞❡ ❝❡tt❡ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❡st ♣rés❡♥té❡ ❞❛♥s ❬✶✸❪✳ ❚♦✉t ♣r♦❜❧è♠❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡ ♣❡✉t

êtr❡ ✈✉ ❝♦♠♠❡ ✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡ q✉❛❞r❛t✐q✉❡ ♣❛rt✐❝✉❧✐❡r✳ ❊♥ ❡✛❡t✱ ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ✭✷✳✶✮ ♣❡✉t s✬é❝r✐r❡

✽✸

❋✐❣✉r❡ ✸✳✺ ✕ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ❞❡ ❧❛ s✉r❢❛❝❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡ B ❡t ❧❡s r❡❧❛①❛t✐♦♥s ❞❡ ❚❛✇❛r♠❛❧❛♥✐ ❡t ❛❧✳BT ❡t ▼❝❈♦r♠✐❝❦ BM ✳

s♦✉s ❧❛ ❢♦r♠❡

minx,y

xtQ0y

s✳à xtQpy > dp, ∀p ∈ J1, nK,

A

(

xy

)

> b,

0 6

(

xy

)

6 m.

✭✸✳✻✹✮

▲❡ ❜✉t ❞❡ ❧❛ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❙❉P ❡st ❞✬é❝r✐r❡ ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ s♦✉s ❧❛ ❢♦r♠❡

minx,y,Z

f(x, y, Z)

s✳à b 6 g(x, y, Z) 6 B,Z � 0,

✭✸✳✻✺✮

♦ù f ❡t g s♦♥t ❞❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s ❧✐♥é❛✐r❡s ❡t Z � 0 s✐❣♥✐✜❡ ✧Z s❡♠✐✲❞é✜♥✐❡ ♣♦s✐t✐✈❡✧✳

❉❛♥s ✉♥ ♣r❡♠✐❡r t❡♠♣s✱ ❞é✜♥✐ss♦♥s ❧❡ ♣r♦❞✉✐t s❝❛❧❛✐r❡ ❡♥tr❡ ❞❡✉① ♠❛tr✐❝❡s A ❡t B t❡❧ q✉❡

A •B = tr(AB). ✭✸✳✻✻✮

❚♦✉t t❡r♠❡ q✉❛❞r❛t✐q✉❡ ztQz ♣❡✉t êtr❡ é❝r✐t ❝♦♠♠❡ ❧❡ ♣r♦❞✉✐t s❝❛❧❛✐r❡ ❞❡ ❞❡✉① ♠❛tr✐❝❡s✳

✽✹

❋✐❣✉r❡ ✸✳✻ ✕ ❊①❡♠♣❧❡ t❡❧ q✉❡ ❧❛ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❞❡ ▼❝❈♦r♠✐❝❦ ❡st ✐♥❝❧✉s❡ ❞❛♥s ❧❛ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❞❡❚❛✇❛r♠❛❧❛♥✐✳

❙♦✐t Z = zzt✳ ❖♥ ❛ ❛❧♦rs

ztQz =∑

i,j

Qijzizj =∑

i,j

QijZij = tr(QZ) = Q • Z.

❊♥ ✉t✐❧✐s❛♥t ❧❡ ❝❤❛♥❣❡♠❡♥t ❞❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ z =

(

xy

)

❡t ❡♥ ❛❥✉st❛♥t ❧❡s ♠❛tr✐❝❡s Q0 ❡t Qp ❧❡

♣r♦❜❧è♠❡ ✭✷✳✶✮ s✬é❝r✐t

minz,Z

Q0 • Zs✳à Qp • Z > dp, ∀p ∈ J1, nK,

Az > b,0 6 z 6 u,Z = zzt.

✭✸✳✻✼✮

◆♦✉s r❡❧❛①♦♥s ❡♥s✉✐t❡ ❧❛ ❝♦♥tr❛✐♥t❡ Z = zzt ♣❛r

Z � zzt ⇐⇒ Z − zzt � 0 ⇐⇒(

Z zzt 1

)

� 0.

✽✺

❆✐♥s✐✱ ❧❛ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❙❉P ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ✭✷✳✶✮ s✬é❝r✐t

minz,Z

Q0 • Zs✳à Qp • Z > dp, ∀p ∈ J1, nK,

Az > b,0 6 z 6 u,(

Z zzt 1

)

� 0.

✭✸✳✻✽✮

●râ❝❡ à ❧❛ ❢♦r♠❡ ❞❡ ♥♦s ✐♥st❛♥❝❡s t②♣✐q✉❡s✱ ❝❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ♣❡✉t êtr❡ sé♣❛ré ♣❛r ❜❧♦❝s✳ ❊♥ ❡✛❡t✱

❧❡s ✈❛r✐❛❜❧❡s x1 ❡t y1 ♥✬❛♣♣❛r❛✐ss❡♥t ❥❛♠❛✐s ♠✉❧t✐♣❧✐é❡s ♣❛r x2 ♦✉ y2✳ ❆✐♥s✐✱ s✐ ♦♥ ❝♦♥s✐❞èr❡

❧❡s ✈❛r✐❛❜❧❡s z1 =

(

x1y1

)

❡t z2 =

(

x2y2

)

✱ ♦♥ réé❝r✐t ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡

minz,Z

Q0 • Z1 +Q0 • Z2

s✳à Qp • Z1 +Qp • Z2 > dp, ∀p ∈ P ,

A

(

z1z2

)

> b,

0 6

(

z1z2

)

6

(

u1u2

)

,(

Z1 z1zt1 1

)

� 0,(

Z2 z2zt2 1

)

� 0,

✭✸✳✻✾✮

♦ù u1 = (ux1, uy1) ❡t u2 = (ux2

, uy2)✳ ❖♥ ❛ ❞❡ ♣❧✉s q✉❡

Q0 • Z =∑

i∈I

∑

j∈J

ciZi,|I|+j =∑

i∈I

∑

j∈J

cixiyj,

❡t

Q0 • Z =∑

i∈I

qpiZi,|I|+j =∑

i∈I

qpi xiyj.

▲❛ ♠❛tr✐❝❡ A ❡st t❡❧❧❡ q✉❡

a1z =∑

i∈I

z1i = 1, ✭✸✳✼✵✮

a2z =∑

i∈I

z2i = 1, ✭✸✳✼✶✮

aj3z = z1,|I|+j + z2,|I|+j 6 Wmaxj . ✭✸✳✼✷✮

✽✻

▲❡s ❞✐♠❡♥s✐♦♥s ❞❡s ♠❛tr✐❝❡s ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ✭✸✳✻✾✮ s♦♥t ♣❧✉s ♣❡t✐t❡s q✉❡ ♣♦✉r ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ✭✸✳✻✽✮✳

❈❡tt❡ ❛st✉❝❡ ❛❝❝é❧ér❡r❛ ❧❡ t❡♠♣s ❞❡ ❝❛❧❝✉❧ ❞❡ ❧❛ rés♦❧✉t✐♦♥ ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡✳

◆♦✉s ♣♦✉✈♦♥s é❣❛❧❡♠❡♥t ❛❥♦✉t❡r ❞❡s ✐♥é❣❛❧✐tés ✈❛❧✐❞❡s à ❝❡ ♣r♦❜❧è♠❡✳ P❛r ❡①❡♠♣❧❡✱ ❧❡s ✈❛✲

r✐❛❜❧❡s Z1 ❡t Z2 r❡♣rés❡♥t❡ ❧❡s t❡r♠❡s ❜✐❧✐♥é❛✐r❡s ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ✭✷✳✶✮ ❡t ♥♦✉s ♣♦✉✈♦♥s ❛✐♥s✐

❛❥♦✉t❡r ❧❡s ❜♦r♥❡s ✵ ❡t uut à ❝❡s ✈❛r✐❛❜❧❡s✳ ▲❡s t❡r♠❡s xiyj ❛♣♣❛r❛✐ss❡♥t ❞❛♥s ❧❡s ♥♦✉✈❡❧❧❡s

✈❛r✐❛❜❧❡s Z1 ❡t Z2 ❡t ♦♥ ❛ Zt,i,|I|+j = Zt,|I|+j,i = xtiytj✱ ♣♦✉r t♦✉t t ∈ {1, 2}✳ ❈♦♠♠❡ ♣♦✉r

▼❝❈♦r♠✐❝❦✱ à ♣❛rt✐r ❞❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s

xi 6 uxi, ✭✸✳✼✸✮

∑

i∈I

xti = 1, ∀t ∈ {1, 2}, ✭✸✳✼✹✮

y1j + y2j 6 Wmaxj . ✭✸✳✼✺✮

❊♥ ♣♦s❛♥t Bj ❧❛ ♠❛tr✐❝❡ t❡❧❧❡ q✉❡ Bj •Zt =∑

i∈I

Zt,i,|I|+j✱ ♣♦✉r t♦✉t j ∈ J, t ∈ {1, 2}✱ ♦♥ ❞é❞✉✐t

❞❡s éq✉❛t✐♦♥s ✭✸✳✼✸✮✕✭✸✳✼✺✮ ❧❡s éq✉❛t✐♦♥s

1

2

(

Zt,i,|I|+j + Zt,i,|I|+j

)

6 uxBj • Zt, ∀t ∈ {1, 2}, ∀j ∈ J,

Bj • Z1 +Bj • Z2 6 Wmaxj , ∀j ∈ J.

❆✐♥s✐✱ ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❙❉P ✐♥❝❧✉❛♥t ❧❡s ✐♥é❣❛❧✐tés ✈❛❧✐❞❡s ❡st ❛❧♦rs

✽✼

(PSDP )

minz,Z

Q0 • Z1 +Q0 • Z2

s✳à Qp • Z1 +Qp • Z2 > dp, ∀p ∈ P,

A

(

z1z2

)

> b,

0 6

(

z1z2

)

6

(

u1u2

)

,

(

Z1 z1zt1 1

)

� 0,

(

Z2 z2zt2 1

)

� 0.

0 6 Z1 6 u1ut1

0 6 Z2 6 u2ut2

1

2

(

Zt,i,|I|+j + Zt,i,|I|+j

)

6 uxBj • Zt, ∀t ∈ {1, 2}, ∀j ∈ J,

Bj • Z1 +Bj • Z2 6 Wmaxj , ∀j ∈ J.

✭✸✳✼✻✮

✭✸✳✼✼✮

✭✸✳✼✽✮

✭✸✳✼✾✮

✭✸✳✽✵✮

✭✸✳✽✶✮

✭✸✳✽✷✮

✭✸✳✽✸✮

✭✸✳✽✹✮

✭✸✳✽✺✮

▲❛ ♠♦❞é❧✐s❛t✐♦♥ ❞❡ ❝❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❛ été ré❛❧✐sé❡ s✉r ▼❛t❧❛❜ ❘✷✵✶✺❜ ❡t ♥♦✉s ❛✈♦♥s ✉t✐❧✐sé ❈❱❳

❬✹✼✱ ✹✻❪ ❡t ♣❧✉s ♣❛rt✐❝✉❧✐èr❡♠❡♥t ❙❉P❚✸ ♣♦✉r rés♦✉❞r❡ ❝❡s ♣r♦❜❧è♠❡s✳ ◆♦✉s ❛✈♦♥s ♦❜t❡♥✉

❧❡s ✈❛❧❡✉rs ♦♣t✐♠❛❧❡s ✾✹✳✽✹ ♣♦✉r ❧✬✐♥st❛♥❝❡ ✶ ❡t ✻✼✳✷✸ ♣♦✉r ❧✬✐♥st❛♥❝❡ ✷✱ s♦✐t ❡①❛❝t❡♠❡♥t ❧❡s

✈❛❧❡✉rs ♦♣t✐♠❛❧❡s ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ✭✶✳✶✹✮✳

❈❡tt❡ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❝♦♥t✐♥✉❡ ❞❡ ❝♦♥❢♦rt❡r ❧✬✐❞é❡ ❞❡ ♥♦tr❡ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡✳

❉❛♥s ❧❡ ❝❛s ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ❞✐èt❡ ♣♦r❝✐♥❡✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s Wmax = uy✳ P♦✉r ❝❡ ♣r♦❜❧è♠❡✱ ♥♦✉s

♣♦✉✈♦♥s é♥♦♥❝❡r ❧❡ t❤é♦rè♠❡ s✉✐✈❛♥t ✿

❚❤é♦rè♠❡ ✽ ❙♦✐t x∗ = (x∗ij) ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦♣t✐♠❛❧❡ ❞❡ (Pideal)✳ ❙♦✐❡♥t (x1ij, x2ij) > 0 ✉♥❡

❞é❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❞❡ x∗ij t❡❧❧❡ q✉❡ x1ij 6 uxi∑

i∈I

x1ij ❡t x2ij 6 uxi∑

i∈I

x2ij✳ ❙♦✐❡♥t Z1, Z2 ∈ R|I|×|J |+

t❡❧s q✉❡ Z1 =

(

V11 x1ijxt1ij V12

)

❡t Z2 =

(

V21 x2ijxt2ij V22

)

❛✈❡❝ V11, V21 6 utxux ❡t V12, V22 6 utyuy✳ ❙✬✐❧

❡①✐st❡ z1, z2 ∈ R|I|+|J | t❡❧s q✉❡ 0 6 z1, z2 6 u✱

(

Z1 z1zt1 1

)

� 0✱

(

Z2 z2zt2 1

)

� 0✱∑

i∈I

z1i = 1✱∑

i∈I

z2i = 1 ❡t z1j+z2j 6 Wmax ♣♦✉r t♦✉t j ∈ J ✱ ❛❧♦rs (Z1, Z2, z1, z2) ❡st ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ PSDP

❡t ♦♥ ❛ q✉❡ v∗ideal = v∗SDP ✱ ❛✈❡❝ v∗ideal ❡t v

∗SDP ❧❡s ✈❛❧❡✉rs ♦♣t✐♠❛❧❡s ❞❡ (Pideal) ❡t (PSPD)✳

✽✽

Pr❡✉✈❡✳ ❙♦✐t x∗ = (x∗ij)i∈I,j∈J ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ (Pideal)✳ P♦s♦♥s x∗ = x∗1ij + x∗2ij ❡t

Z1 =

(

V1 x∗1ijx∗t1ij V t

1

)

, Z2 =

(

V2 x∗2ijx∗t2ij V t

2

)

.

❱ér✐✜♦♥s q✉❡ t♦✉t❡s ❧❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❞❡ (PSPD) s♦♥t s❛t✐s❢❛✐t❡s✳

✖ ♦♥ ❛✱ ∀j ∈ J, ∀p ∈ P

✭✸✳✹✽✮ ⇐⇒ dpj 6∑

i∈I

∑

j∈J

qpi x∗ij 6 d

p

j ,

⇐⇒ dpj 6∑

i∈I

∑

j∈J

qpi (x∗1ij + x∗2ij) 6 d

p

j ,

⇐⇒ dpj 6∑

i∈I

∑

j∈J

qpi x∗1ij +

∑

i∈I

∑

j∈J

qpi x∗2ij 6 d

p

j ,

⇐⇒ dpj 6 Qp • Z1 +Qp • Z2 6 dp

j ,

⇐⇒ ✭✸✳✼✼✮.

✖ ❖♥ ❛ ❜✐❡♥ 0 6 Z1, Z2 6 utu✳ ❊♥ ❡✛❡t✱ ♣❛r ❞é✜♥✐t✐♦♥ ♦♥ ❛ q✉❡ 0 6 V11, V21 6 utxux ❡t

0 6 V21, V22 6 utyuy✳ ❉❡ ♣❧✉s✱ ♣❛r ✭✸✳✹✾✮ ❡t ✭✸✳✺✵✮✱ ♦♥ ❛ q✉❡ x∗ 6 uxuty✱ ❞✬♦ù ✭✸✳✽✷✮ ❡t

✭✸✳✽✸✮✳

✖ ✭✸✳✽✹✮ ❡st s❛t✐s❢❛✐t❡✳ ❊♥ ❡✛❡t✱ ∀i ∈ I, ∀j ∈ J ✱ ♦♥ ❛

1

2(Z2ij + Z2ji) = x∗1ij,

6 ux∑

i∈I

x∗1ij,

6 uxB • Z1,

❡t

1

2(Z2ij + Z2ji) = x∗2ij,

6 ux∑

i∈I

x∗2ij,

6 uxB • Z2.

✽✾

✖ ✭✸✳✽✺✮ ❡st s❛t✐s❢❛✐t❡ ❝❛r

B • Z1 +B • Z2 =∑

i∈I

x∗1ij +∑

i∈I

x∗2ij,

=∑

i∈I

x∗1ij + x∗2ij,

=∑

i∈I

x∗ij,

6 uy.

❙✉♣♣♦s♦♥s ♠❛✐♥t❡♥❛♥t q✉✬✐❧ ❡①✐st❡ z1, z2R|I|+|J | t❡❧s q✉❡ 0 6 z1, z2 6 u✱

(

Z1 z1zt1 1

)

� 0✱(

Z2 z2zt2 1

)

� 0✱∑

i∈I

z1i = 1 ❡t∑

i∈I

z2i = 1✳

✖ P❛r ❞é✜♥✐t✐♦♥ ❞❡ z1 ❡t z2✱ ❧❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ✭✸✳✼✽✮✕✭✸✳✽✶✮ s♦♥t s❛t✐s❢❛✐t❡s✳

❖♥ ❛ ❞♦♥❝ q✉❡ (Z1, Z2, z1, z2) ❡st ❛❧♦rs ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ré❛❧✐s❛❜❧❡ ❞❡ (PSDP )✳

◆♦t♦♥s ❞❡ ♣❧✉s q✉❡ ❞❡ t♦✉t❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ (PSPD) ♦♥ ♣❡✉t ❞ét❡r♠✐♥❡r ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ (Pideal)

❡t ♦♥ ❛ ❞♦♥❝ q✉❡ x∗ideal = v∗SDP ✳

❊♥ ❡✛❡t✱ s♦✐t (Z∗1 , Z

∗2 , z

∗1 , z

∗2) ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ (PSPD)✳ P♦s♦♥s✱ ♣♦✉r t♦✉t x = (xij)i∈I,j∈J t❡❧

q✉❡

xij =1

2

(

Z∗1,i,|I|+j + Z∗

1,|I|+j,i

)

+1

2

(

Z∗2,i,|I|+j + Z∗

2,|I|+j,i

)

.

❖♥ ❛ ❛❧♦rs

✖ ✭✸✳✹✽✮ ❡st s❛t✐s❢❛✐t❡ ❝❛r ♣♦✉r t♦✉t j ∈ j✱ ♦♥ ❛

✭✸✳✼✼✮ ⇐⇒ dp 6 Qp • Z∗1 +Qp • Z∗

2 6 dp,

⇐⇒ dp 6∑

i∈I

1

2qpi(

Z∗1,i,|I|+j + Z∗

1,|I|+j,i

)

+ qpi(

Z∗2,i,|I|+j + Z∗

2,|I|+j,i

)

6 dp,

⇒ dp 6∑

i∈I

qpi xij 6 dp,

⇒ ✭✸✳✹✽✮.

✾✵

✖ ✭✸✳✹✾✮ ❡st s❛t✐s❢❛✐t❡ ❝❛r ♣♦✉r t♦✉t j ∈ J ✱ ♦♥ ❛

✭✸✳✽✺✮ ⇐⇒ Bj • Z1 +Bj • Z2 6 uy,

⇐⇒∑

i∈I

1

2

(

Z∗1,i,|I|+j + Z∗

1,|I|+j,i

)

+∑

i∈I

1

2

(

Z∗2,i,|I|+j + Z∗

2,|I|+j,i

)

6 uy,

=⇒∑

i∈I

xij 6 uy,

=⇒ ✭✸✳✹✾✮.

✖ ✭✸✳✺✵✮ ❡st s❛t✐s❢❛✐r❡ ❝❛r✱ ♣♦✉r t♦✉t j ∈ J ✱ ♦♥ ❛

✭✸✳✽✹✮ =⇒ 1

2

(

Z1,·,|I|+j + Z1,|I|+j,·

)

+1

2

(

Z2,·,|I|+j + Z2,|I|+j,·

)

6 uxB • Z1 + uxB • Z2,

=⇒ xij 6 ux∑

i∈I

1

2

(

Z1,i,|I|+j + Z1,|I|+,ij

)

+ ux1

2

(

Z2,i,|I|+j + Z2,|I|+j,i

)

,

=⇒ xij 6 ux∑

i∈I

xij,

=⇒ ✭✸✳✺✵✮.

❉♦♥❝ x ❡st ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ (Pideal)✳

❘❡♠❛rq✉❡ ✸✳✻ ▲❡s ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❞✉ t❤é♦rè♠❡ ✽ ♥❡ s♦♥t ♣❛s r❡str✐❝t✐✈❡s✱ ❝❛r ♥♦✉s ❛✈♦♥s ❜❡❛✉✲

❝♦✉♣ ❞❡ ❧✐❜❡rté s✉r ❧❡s ♠❛tr✐❝❡s V11, V12, V21 ❡t V22✳

❉❛♥s ❝❡ t❤é♦rè♠❡✱ ❧❛ ❞é❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ x∗ij = x1ij + x2ij ♣❡r♠❡t ❡♥ ❢❛✐t ❞❡ s❡ r❛♠❡♥❡r à ❧✬✉t✐❧✐✲

s❛t✐♦♥ ❞❡ ❞❡✉① ♠é❧❛♥❣❡s✳ ▲✬❤②♣♦t❤ès❡ xtij 6 uxi

∑

i∈I

xtij✱ ♣♦✉r t ∈ {1, 2}✱ ♣❡r♠❡t ❞❡ s✬❛ss✉r❡r

q✉❡ ❧❛ ♣r♦♣♦rt✐♦♥ ♠❛①✐♠❛❧❡ ❞❡ ❝❤❛q✉❡ ✐♥❣ré❞✐❡♥t ❡st r❡s♣❡❝té❡ ❞❛♥s ❧❛ ❞é❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✳ ❉❡

♣❧✉s✱ z1 ❡t z2 ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥t à ❧❛ ❝♦♥❝❛té♥❛t✐♦♥ ❞❡ ❧❛ ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❞✉ ♠é❧❛♥❣❡ ❡t ❞❡ ❧❛ q✉❛♥t✐té

❞✬♦ù ❧❡s ❤②♣♦t❤ès❡s q✉❡ ♥♦✉s ❢❛✐s♦♥s✳

❚♦✉t❡s ❧❡s ❤②♣♦t❤ès❡s ❞✉ t❤é♦rè♠❡ ✽ s♦♥t s❛t✐s❢❛✐t❡s ♣♦✉r ♥♦s ❞❡✉① ✐♥st❛♥❝❡s✳

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

▲❡s ❛✉tr❡s ❛♣♣r♦❝❤❡s ♣rés❡♥té❡s ❞❛♥s ❝❡ ❝❤❛♣✐tr❡ s♦♥t ❞❡s ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s ♦✉ r❡❧❛①❛t✐♦♥s✳

◆♦✉s s♦♠♠❡s ❝❛♣❛❜❧❡s ❞✬♦❜t❡♥✐r ✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡ ❧✐♥é❛✐r❡ ♠✐①t❡ ❡♥ ♥♦♠❜r❡s ❡♥t✐❡rs ❡♥ ❞✐s❝rét✐✲

✾✶

s❛♥t ✉♥❡ ❞❡s ✈❛r✐❛❜❧❡s✳ ❈❡❧❛ ♣❡r♠❡t ❞✬♦❜t❡♥✐r ✉♥❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❞❡ ❧❛ s♦❧✉t✐♦♥ ❣❧♦❜❛❧❡ ❞✉

♣r♦❜❧è♠❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡✳ ▲❡s ♠ét❤♦❞❡s ❞❡ ❇r❛♥❝❤ ❛♥❞ ❇♦✉♥❞ ♣❡r♠❡tt❛♥t ❞❡ rés♦✉❞r❡ ❝❡ ❣❡♥r❡ ❞❡

♣r♦❜❧è♠❡ ♥❡ s♦♥t ♣❛s ❡✣❝❛❝❡s s✉r ❞❡ ❣r❛♥❞s ♣r♦❜❧è♠❡s✳ P❛r ❡①❡♠♣❧❡✱ rés♦✉❞r❡ ✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡

❞❡ ✸✷ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❝♦♥t✐♥✉❡s ❡t ✶✹ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❡♥t✐èr❡s ✭❛✉ ❧✐❡✉ ❞❡ ✷✷✷✮ ♣r❡♥❞ ❡♥✈✐r♦♥ 106 s❡❝♦♥❞❡s✳

❈❡♣❡♥❞❛♥t✱ ❧❛ s♦❧✉t✐♦♥ ❝❛❧❝✉❧é❡ ♣♦✉r ❞❡ ♣❡t✐t❡s ✐♥st❛♥❝❡s ❛ ❧❛ ♠ê♠❡ ✈❛❧❡✉r q✉❡ ❧❛ s♦❧✉t✐♦♥

❧♦❝❛❧❡✱ ❡t ❝❡❧❛ s♦✉t✐❡♥t ♥♦tr❡ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡✳ ▲❛ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ❝♦♥t✐♥✉❡ ❞✉ ▼■▲P ♥❡ ❢♦✉r♥✐t ♣❛s

❞❡ s♦❧✉t✐♦♥s ❛♠é❧✐♦r❛♥t ❧❛ ❜♦r♥❡ ✐♥❢ér✐❡✉r❡ ❞é❥à ❝♦♥♥✉❡✱ t♦✉t ❝♦♠♠❡ ❧❡s r❡❧❛①❛t✐♦♥s ❧❛❣r❛♥✲

❣✐❡♥♥❡s ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞✐s❝rét✐sé ❡t ❝♦♥t✐♥✉✳ ❊♥✜♥✱ ♥♦✉s ♣rés❡♥t♦♥s tr♦✐s r❡❧❛①❛t✐♦♥s ❝♦♥✈❡①❡s✳

❈❡s ❛♣♣r♦❝❤❡s ❢♦✉r♥✐ss❡♥t ❞❡s ❜♦r♥❡s ✐♥❢ér✐❡✉r❡s✱ s❛♥s ♣♦✉r ❛✉t❛♥t ❧✬❛♠é❧✐♦r❡r✳ ❈❡♣❡♥❞❛♥t✱

♥♦✉s ♣r♦✉✈♦♥s q✉❡ ❝❡rt❛✐♥❡s r❡❧❛①❛t✐♦♥s s♦♥t éq✉✐✈❛❧❡♥t❡s ❛✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ✐❞é❛❧✳

❚♦✉t❡s ❝❡s ♠ét❤♦❞❡s s♦✉t✐❡♥♥❡♥t ♥♦tr❡ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ ✿ ✧❚♦✉t❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❧♦❝❛❧❡ ❡st ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥

❣❧♦❜❛❧❡ ♣♦✉r ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡ ❛♣♣❧✐q✉é à ❧❛ ❞✐èt❡ ♣♦r❝✐♥❡ ♣♦✉r ❧❡s ✐♥st❛♥❝❡s ❞❡ ♣r✐① q✉❡

♥♦✉s ❝♦♥s✐❞ér♦♥s✧✳

▲✬❛rt✐❝❧❡ s♦✉♠✐s à ✧❏♦✉r♥❛❧ ❖❢ ●❧♦❜❛❧ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥✧ ♣rés❡♥t❛♥t ❝❡s tr❛✈❛✉① ♣❡✉t êtr❡ tr♦✉✈é

❡♥ ❛♥♥❡①❡ ●✳

✾✷

❈❍❆P■❚❘❊ ✹

❊①t❡♥s✐♦♥ ❞❡s ♠♦❞è❧❡s ❜✐❧✐♥é❛✐r❡s

❈❡ ❝❤❛♣✐tr❡ ❡st ❝♦♥s❛❝ré à ❞❡s ❡①t❡♥s✐♦♥ ❞❡s ♠♦❞è❧❡s ❜✐❧✐♥é❛✐r❡s ▼❈✲✶▼❋✲❊▲ ❡t ▼❈✲✸❍❋✲

❊▲✳ ◆♦✉s ♣rés❡♥t❡r♦♥s ❞❡✉① ❛♣♣r♦❝❤❡s ❞✐✛ér❡♥t❡s✳ ▲❛ ♣♦❧❧✉t✐♦♥ ❞❛♥s ❧✬✐♥❞✉str✐❡ ♣♦r❝✐♥❡ ❡st

✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡ ♠❛❥❡✉r ❝♦♥♥✉ ❡t ♥♦✉s ❞❡✈♦♥s ❢❛✐r❡ ♥♦tr❡ ♣♦ss✐❜❧❡ ❛✜♥ ❞❡ ❧❛ ré❞✉✐r❡✳ ❉❛♥s ❧❛ s❡❝✲

t✐♦♥ ✹✳✶✱ ♥♦✉s ✐♥té❣r❡r♦♥s ❧❡s r❡❥❡ts ❡♥✈✐r♦♥♥❡♠❡♥t❛✉① ❛✉① ♠♦❞è❧❡s ❛✜♥ ❞❡ ❧❡s ré❞✉✐r❡✳ ❈❡tt❡

❛♣♣r♦❝❤❡ ❛ ♣♦✉r ❜✉t ❞❡ ♣r♦♣♦s❡r ❛✉① ✉t✐❧✐s❛t❡✉rs ✉♥ s♣❡❝tr❡ ❞❡s s♦❧✉t✐♦♥s ♣♦✉r ❞✐✛ér❡♥t❡s

✈❛❧❡✉rs ❞❡ r❡❥❡ts ❞❡ ♣❤♦s♣❤♦r❡ ❡t ❞✬❛③♦t❡✱ ❡t ❞✉ ❝♦ût ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥✳ ▲❛ s❡❝t✐♦♥ ✹✳✷ s❡r❛

❝♦♥s❛❝ré❡ à ❧✬♦♣t✐♠✐s❛t✐♦♥ r♦❜✉st❡✳ ▲❡s ✐♥❣ré❞✐❡♥ts ét❛♥t s♦✉♠✐s à ❞❡s ✈❛r✐❛t✐♦♥s ❜♦✉rs✐èr❡s✱

❧❡✉rs ♣r✐① s♦♥t ✐♥❝❡rt❛✐♥s✳ ◆♦✉s ✉t✐❧✐s❡r♦♥s ✉♥❡ ❛♥❛❧②s❡ ❡♥ ♣✐r❡ ❝❛s ♣♦✉r ♠♦♥tr❡r q✉❡ ❝♦♥s✐✲

❞ér❡r ❧❡ ♣r✐① ♠♦②❡♥ ❞❡s ✐♥❣ré❞✐❡♥ts ❡st ✉♥ ❜♦♥ ❝♦♠♣r♦♠✐s✳ ▲✬♦♣t✐♠✐s❛t✐♦♥ ❜✐✲♥✐✈❡❛✉① ♥♦✉s

♣❡r♠❡ttr❛ ❞❡ ❞ét❡r♠✐♥❡r ❧❡ ♣✐r❡ s❝é♥❛r✐♦ ❞❡ ♣r✐①✱ ❝✬❡st✲à✲❞✐r❡ q✉❛♥❞ ❧❡ ❣❛✐♥ ♣❛r r❛♣♣♦rt à

✉♥❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ▼❈✲✸P❋✲❊❋ ❡st ❧❡ ♣❧✉s ❢❛✐❜❧❡✱ ❡t ❧❡ ♠❡✐❧❧❡✉r s❝é♥❛r✐♦ ❞❡ ♣r✐①✱ ❝✬❡st✲à✲❞✐r❡

q✉❛♥❞ ❧❡ ❣❛✐♥ ♣❛r r❛♣♣♦rt à ✉♥❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ▼❈✲✸P❋✲❊❋ ❡st ❧❡ ♣❧✉s ❣r❛♥❞✳

✹✳✶ ❆♣♣r♦❝❤❡ ✐♥té❣r❛♥t ❧❡s r❡❥❡ts ❡♥✈✐r♦♥♥❡♠❡♥t❛✉①

▲❡s ét✉❞❡s q✉❡ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ♣rés❡♥té❡s ♣ré❝é❞❡♠♠❡♥t ♣♦rt❛✐❡♥t ✉♥✐q✉❡♠❡♥t s✉r ❧❛ ♠✐♥✐♠✐✲

s❛t✐♦♥ ❞✉ ❝♦ût ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥✳ ❖r✱ ❧❡s é❧❡✈❡✉rs s♦✉❤❛✐t❛♥t ❢❛✐r❡ ❞❛✈❛♥t❛❣❡ ❞✬é❝♦♥♦♠✐❡

✾✸

♣❡✉✈❡♥t ❛❣✐r s✉r ✉♥ ❛✉tr❡ ❧❡✈✐❡r✳ ❊♥ ❡✛❡t✱ ❧✬✐♥❞✉str✐❡ ♣♦r❝✐♥❡ ❡st ❢réq✉❡♠♠❡♥t ❝✐té❡ ❝♦♠♠❡

ét❛♥t ✉♥❡ ❛❝t✐✈✐té très ♣♦❧❧✉❛♥t❡ ♣❛r ❧✬❛♣♣♦rt ♠❛ss✐❢ ❞❡ ♣❤♦s♣❤❛t❡s ❡t ❞❡ ♥✐tr❛t❡s ❧♦rs ❞❡

❧✬é♣❛♥❞❛❣❡ ❞✉ ❧✐s✐❡r✳ ❈❡rt❛✐♥❡s ré❣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥s ♦❜❧✐❣❡♥t ❧❡s é❧❡✈❡✉rs à é♣❛♥❞r❡ à ❞❡s ❡♥❞r♦✐ts

♦ù ❧❛ t❡rr❡ ❛ ✉♥ t❛✉① ❞❡ ♣❤♦s♣❤❛t❡s ❡t ❞❡ ♥✐tr❛t❡s s✉✣s❛♠♠❡♥t ❢❛✐❜❧❡ ♣♦✉r ♣♦✉✈♦✐r ❛❜s♦r❜❡r

❝❡✉① ❝♦♥t❡♥✉s ❞❛♥s ❧❡ ❧✐s✐❡r✳ ❆✐♥s✐✱ ✐❧s s♦♥t ♣❛r❢♦✐s ❝♦♥tr❛✐♥ts ❞❡ ♣❛r❝♦✉r✐r ♣❧✉s✐❡✉rs ❝❡♥t❛✐♥❡s

❞❡ ❦✐❧♦♠ètr❡s ♣♦✉r é✈❛❝✉❡r ❧❡✉r ❧✐s✐❡r✳ ❆❣✐r s✉r ❧❡s q✉❛♥t✐tés ❞❡ ♣❤♦s♣❤♦r❡ ✭P✮ ❡t ❞✬❛③♦t❡ ✭◆✮

❡①❝rété❡s ♣❛r ❧❡s ❛♥✐♠❛✉① ♣❡✉t ♣❡r♠❡ttr❡ ❛✉① é❧❡✈❡✉rs ❞❡ s❡ r❛♣♣r♦❝❤❡r ❞❡ ❧❡✉r ❡①♣❧♦✐t❛t✐♦♥

♣♦✉r ❧✬é♣❛♥❞❛❣❡✳ ❯♥❡ ❣❡st✐♦♥ ♦♣t✐♠❛❧❡ ❞❡ ❧❛ ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❞❡s ❛❧✐♠❡♥ts ❛✐♥s✐ q✉❡ ❧❡ ♣r♦❣r❛♠♠❡

❛❧✐♠❡♥t❛✐r❡ ❛✉r❛ ✉♥ ✐♠♣❛❝t ♠❛❥❡✉r s✉r ❝❡ ❝♦ût ❬✻✽❪ ♠❛✐s é❣❛❧❡♠❡♥t s✉r ❧❡s r❡❥❡ts✱ ♥♦t❛♠♠❡♥t

❞❡ ♣❤♦s♣❤♦r❡ ❡t ❞✬❛③♦t❡✱ ❡t ❡st ❧✐é❡ à ❧❛ str❛té❣✐❡ ❛❧✐♠❡♥t❛✐r❡ ❬✷✻✱ ✸✸✱ ✽✶❪✳

❉❡s ét✉❞❡s ❬✸✷✱ ✸✸❪ ❞✬é✈❛❧✉❛t✐♦♥ ❞❡ ❧✬✐♠♣❛❝t é❝♦♥♦♠✐q✉❡ ❞❡ ❧❛ ré❞✉❝t✐♦♥ ❞❡ P ❡t ❞❡ ◆ ❡①❝rétés

♦♥t ❞é❥à été ré❛❧✐sé❡s s✉r ✉♥❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❞❡ t②♣❡ tr❛❞✐t✐♦♥♥❡❧❧❡ à ❞❡✉① ♣❤❛s❡s ✭❚❈✲✷P❋✲❊❋✮✳

✹✳✶✳✶ ▲✬❛♣♣r♦❝❤❡ ♠✉❧t✐❝r✐tèr❡

❯♥❡ ❞❡s ❛♣♣r♦❝❤❡s ♣❡r♠❡tt❛♥t ❞❡ ♣r❡♥❞r❡ ❡♥ ❝♦♠♣t❡ ❧❡s r❡❥❡ts ❞❡ P ❡t ❞❡ ◆ ❧♦rs ❞❡ ❧✬♦♣✲

t✐♠✐s❛t✐♦♥ ❡st ❧❛ ♠♦❞é❧✐s❛t✐♦♥ ♠✉❧t✐❝r✐tèr❡✳ ❈❡ t②♣❡ ❞❡ ♠♦❞é❧✐s❛t✐♦♥ ❛ été ♣rés❡♥té ❡♥tr❡

❛✉tr❡s ♣❛r ❙t❡✉❡r ❡♥ ✶✾✽✻ ❬✾✹❪ ❡t ❛ ❧❛ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✐té ❞✬❛✈♦✐r ♣❧✉s✐❡✉rs ♦❜❥❡❝t✐❢s à ♦♣t✐♠✐s❡r ❡♥

♠ê♠❡ t❡♠♣s ❡t s♦✉s ❧❡s ♠ê♠❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s✳ ▲❡s ♣r♦❜❧è♠❡s ♠❛t❤é♠❛t✐q✉❡s ❝♦rr❡s♣♦♥❞❛♥ts

s♦♥t ♠♦❞é❧✐sés ❞❡ ❧❛ ♠❛♥✐èr❡ s✉✐✈❛♥t❡ ✿

minx

f1(x),

✳✳✳✳✳✳

minx

fn(x),

s✳à x ∈ S.

✭✹✳✶✮

❉❛♥s ❝❡tt❡ ♥♦t❛t✐♦♥✱ ❛✉❝✉♥❡ ❞❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s ♦❜❥❡❝t✐❢ ♥✬❡st ♣r✐✈✐❧é❣✐é❡ ♣❛r r❛♣♣♦rt à ✉♥❡ ❛✉tr❡✱

✐❧ ♥✬② ❛ ♣❛s ❞❡ ❤✐ér❛r❝❤✐❡✳

❉❛♥s ❧❡ ❝❛s ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ♣♦r❝✐♥❡✱ ♥♦✉s ✈♦✉❧♦♥s ❞ét❡r♠✐♥❡r ✉♥❡ ❞✐èt❡ s❛t✐s❢❛✐s❛♥t ❧❡s

❜❡s♦✐♥s ❞❡s ❛♥✐♠❛✉① q✉✐ ♠✐♥✐♠✐s❡ à ❧❛ ❢♦✐s ❧❡ ❝♦ût ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥

(

∑

j∈J

qj (ctx·j)

)

✱ ❧❡s

✾✹

r❡❥❡ts ❞❡ ♣❤♦s♣❤♦r❡

(

∑

j∈J

qj (mP ·x·j)−RPj

)

✱ ❡t ❧❡s r❡❥❡ts ❞✬❛③♦t❡

(

∑

j∈J

qj (mN ·x·j)−RNj

)

✱

RP ❡t RN ét❛♥t ❧❛ q✉❛♥t✐té ❞❡ P ❡t ❞❡ ◆ r❡t❡♥✉ ♣❛r ❧✬❛♥✐♠❛❧✳ ❆✐♥s✐ ❧❡ ♠♦❞è❧❡ ét✉❞✐é ❞❛♥s ❝❡

❝❛s ❡st ❧❡ s✉✐✈❛♥t ✿minX,Q

∑

j∈J

qj (ctx·j) ,

minX,Q

∑

j∈J

qj (mP ·x·j)−RPj,

minX,Q

∑

j∈J

qj (mN ·x·j)−RNj,

s✳à x·j ∈ Sj ∀j ∈ J.

✭✹✳✷✮

❈❡ ❣❡♥r❡ ❞❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ♥❡ ♣♦ssè❞❡ ❣é♥ér❛❧❡♠❡♥t ♣❛s ❞❡ s♦❧✉t✐♦♥ q✉✐ ♠✐♥✐♠✐s❡ ❝❤❛❝✉♥❡ ❞❡s

❢♦♥❝t✐♦♥s ♦❜❥❡❝t✐❢s s✐♠✉❧t❛♥é♠❡♥t✱ ❝✬❡st✲à✲❞✐r❡ q✉✬✐❧ ♥✬❡①✐st❡ ❛✉❝✉♥ ♣♦✐♥t x∗ t❡❧ q✉❡ x∗ ∈argmin{fi(x)|x ∈ S}✱ ♣♦✉r t♦✉t i ∈ {1, ..., n}✳ ❯♥ ❛✉tr❡ t②♣❡ ❞✬♦♣t✐♠✉♠ ❛♣♣❛r❛ît ❛❧♦rs ✿ ❧❡s

s♦❧✉t✐♦♥s P❛r❡t♦✲♦♣t✐♠❛❧❡s✳

❉é✜♥✐t✐♦♥ ✹✳✶ ❯♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❡st ❞✐t❡ P❛r❡t♦✲♦♣t✐♠❛❧❡ ✐❧ ♥✬❡①✐st❡ ♣❛s ❞❡ ♣♦✐♥t t❡❧ q✉✬♦♥

♣❡✉t ❛♠é❧✐♦r❡r t♦✉t❡s ❧❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s ♦❜❥❡❝t✐❢✳

❉❛♥s ❧❡s ♣r♦❜❧è♠❡s ♠✉❧t✐❝r✐tèr❡✱ ✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥ ❝❡rt❛✐♥ ♥♦♠❜r❡✱ ♣♦ss✐❜❧❡♠❡♥t ✐♥✜♥✐✱ ❞❡ s♦❧✉t✐♦♥s

P❛r❡t♦✲♦♣t✐♠❛❧❡s✳

❈❡s ♠ét❤♦❞❡s s♦♥t ❡✣❝❛❝❡s s✉r ❞❡s ♣r♦❜❧è♠❡s ❞❡ t❛✐❧❧❡ r❡str❡✐♥t❡✳ ◆♦tr❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❝♦♠♣♦rt❛♥t

♣❧✉s ❞❡ ✷✺✵ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❡t ✷✼✵✵ ❝♦♥tr❛✐♥t❡s✱ ❝❡s ♠ét❤♦❞❡s ♥❡ s♦♥t ♣❛s ❛♣♣r♦♣r✐é❡s ♣♦✉r ② êtr❡

❛♣♣❧✐q✉é❡s✳

❉❡ ♣❧✉s✱ ♥♦✉s ♥❡ ❝❤❡r❝❤♦♥s ♣❛s à ♦❜t❡♥✐r ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❣❧♦❜❛❧❡ ♦♣t✐♠❛❧❡ ❞❡ ❝❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ♠❛✐s

♣❧✉tôt ❞✬♦❜s❡r✈❡r ❧✬✐♥✢✉❡♥❝❡ ❞❡s r❡❥❡ts ❞❡ ♣❤♦s♣❤♦r❡ ❡t ❞✬❛③♦t❡ s✉r ❧❡ ❝♦ût ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥✳

▲❡ ❜✉t ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ❞❡ ❝❡tt❡ ét✉❞❡ ❝♦♥s✐st❡ à ♣r♦♣♦s❡r ❛✉① ✉t✐❧✐s❛t❡✉rs ♣❧✉s✐❡✉rs s♦❧✉t✐♦♥s q✉✐

s❡❧♦♥ ❧❛ str❛té❣✐❡ ❝❤♦✐s✐❡ ré❞✉✐r❛ ♣❧✉s ♦✉ ♠♦✐♥s ❧❡s r❡❥❡ts ❡♥✈✐r♦♥♥❡♠❡♥t❛✉① ❡t ❧❡ ❝♦ût ❞❡

❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥✳ ❆✜♥ ❞❡ ❢❛❝✐❧✐t❡r ❧❡ ❝❤♦✐① ❞❡s ✉t✐❧✐s❛t❡✉rs✱ ♥♦✉s s♦✉❤❛✐t♦♥s q✉❡ ❧❛ ✈✐s✉❛❧✐s❛✲

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j∈J

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j∈J

qj (mP ·x·j)−RP 6 εP ,∑

j∈J

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✭✹✳✸✮

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✾✻

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minX,Q

∑

j∈J

ct (qj1x·1 + qj2x·2)

s✳à (qj1x·1 + qj2x·2) ∈ Sj, ∀j ∈ J.✭✹✳✹✮

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minX,Q

∑

j∈J

ct (qj1x·1 + qj2x·2)

s✳à (qj1x·1 + qj2x·2) ∈ Sj, ∀j ∈ J,∑

j∈J

mP (qj1x·1 + qj2x·2)−RPj 6 εP ,∑

j∈J

mN (qj1x·1 + qj2x·2)−RNj 6 εN .

✭✹✳✺✮

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✈♦♥s ❧❡s ❞✐✛ér❡♥t❡s ♣r♦♣r✐étés ✭q✉❛❧✐tés ❡t ✐♥❝♦♥✈é♥✐❡♥ts✮ ♣♦✉r ❝❡ t②♣❡ ❞❡ ♣r♦❜❧è♠❡✳

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❈♦♠♠❡ ♥♦✉s ❧❡ ♠❡♥t✐♦♥♥✐♦♥s ❞❛♥s ❧❛ s❡❝t✐♦♥ ✶✳✶✱ ♥♦✉s ❛♣♣❧✐q✉♦♥s ❝❡ ♠♦❞è❧❡ s✉r ✉♥ ❛♥✐♠❛❧

♠♦②❡♥✱ r❡♣rés❡♥t❛t✐❢ ❞✬✉♥❡ ♣♦♣✉❧❛t✐♦♥✱ ✉t✐❧✐s❛♥t ❧❡s ❧✐st❡s ❞✬❛❧✐♠❡♥ts ❡t ❧❡s s❝❤é♠❛s ❞❡ ♣r✐①

❞❡ ✷✵✶✶ ❡t ❞❡ ✷✵✶✻✳

◆♦✉s ❛♣♣❧✐q✉♦♥s ❧❡s ♠♦❞è❧❡s ❞é❝r✐ts ♣ré❝é❞❡♠♠❡♥t ♣♦✉r ❞❡s ✈❛❧❡✉rs ❞❡ εP ❡t εN ✈❛r✐❛♥t

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▲❡s ✜❣✉r❡s ✹✳✶ ❡t ✹✳✷ r❡❣r♦✉♣❡♥t ❧❡s rés✉❧t❛ts ♥✉♠ér✐q✉❡s ❞❡ ❝❡s ♠♦❞è❧❡s✳ ❊❧❧❡s ♣❡r♠❡tt❡♥t

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❈❤❛q✉❡ ♣♦✐♥t ❞❡s ❣r❛♣❤✐q✉❡s r❡♣rés❡♥t❡ ✉♥ ❞❡ ❝❡s tr✐♣❧❡ts✳ ▲❛ ❝♦✉r❜❡ r♦✉❣❡ ♥♦té❡ ▼❈✲✸P❋✲

❊❋ r❡♣rés❡♥t❡ ❧❛ ❧✐❣♥❡ ❞❡ ♥✐✈❡❛✉ ❛ss♦❝✐é❡ à ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ tr❛❞✐t✐♦♥♥❡❧❧❡ ❡t ❧❡s ♣♦✐♥ts ❆ ❡t

❈ r❡♣rés❡♥t❡♥t ❧❡s s♦❧✉t✐♦♥s ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ▼❈✲✶▼❋✲❊▲ ❛♣♣❧✐q✉é❡s ❛✉① ❞♦♥♥é❡s ❞❡ ✷✵✶✶ ❡t

✾✽

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❞és✐ré✱ ❡♥ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ♣r♦♣r❡s ♦✉ ❞❡ ré❣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥s ♥♦♥ ♣r✐s❡s ❡♥ ❝♦♠♣t❡ ❞❛♥s

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❡①❡♠♣❧❡✱ ❧❡s ♣♦✐♥ts ❇ ❡t ❉ r❡♣rés❡♥t❡♥t ❞❡s s♦❧✉t✐♦♥s ré❞✉✐s❛♥t ❧❡ ❝♦ût ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❞❡

✶✳✽✸✪ ❡t ✷✳✺✪ r❡s♣❡❝t✐✈❡♠❡♥t ♣❛r r❛♣♣♦rt à ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ tr❛❞✐t✐♦♥♥❡❧❧❡✱ t♦✉t ❡♥ ré❞✉✐s❛♥t

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minX,Q

∑

j∈J

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qjax·a ∈ Sj, ∀j ∈ J,

qj1 = 0, ∀j 6∈ J1,qjk = 0, ∀j 6∈ Jk−1 ∪ Jk, ∀k ∈ {2, ..., p},qj,p+1 = 0, ∀j 6∈ Jp.

✭✹✳✻✮

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❆✐♥s✐✱ ❧❡ ♠♦❞è❧❡ ❞✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❤②❜r✐❞❡ t❡♥❛♥t ❝♦♠♣t❡ ❞❡s r❡❥❡ts ❡♥✈✐r♦♥♥❡♠❡♥t❛✉① ❡st

minX,Q

∑

j∈J

∑

a∈A

qjactx·a

s✳à✳∑

a∈A

qjax·a ∈ Sj ∀j ∈ J,

qj1 = 0, ∀j 6∈ J1,qjk = 0, ∀j 6∈ Jk−1 ∪ Jk, ∀k ∈ {2, ..., p},qj,p+1 = 0, ∀j 6∈ Jp,∑

j∈J

∑

a∈A

qjamtPx·a −RPj 6 εP ,

∑

j∈J

∑

a∈A

qjamtNx·a −RNj 6 εN ,

✭✹✳✼✮

♦ù εP ❡t εN r❡♣rés❡♥t❡♥t ❧❡s r❡❥❡ts ♠❛①✐♠✉♠s ❞❡ ♣❤♦s♣❤♦r❡ ❡t ❞✬❛③♦t❡ q✉❡ ♥♦✉s ❝♦♥s✐❞ér♦♥s✳

✶✵✵

❋✐❣✉r❡ ✹✳✸ ✕ ❊♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s s♦❧✉t✐♦♥s ❞✉ ♠♦❞è❧❡ ❚❈✲✸❍❋✲❊▲ ❛♣♣❧✐q✉é ❛✉① ❞♦♥♥é❡s ❞❡ ✷✵✶✶✳

◆♦✉s ❛♣♣❧✐q✉♦♥s ❧❡s ♠♦❞è❧❡s ❞é❝r✐ts ♣ré❝é❞❡♠♠❡♥t ♣♦✉r ❞❡s ✈❛❧❡✉rs ❞❡ εP = pPP3PF ❡t

εN = pNN3PF ✈❛r✐❛♥t ❡♥tr❡ ✼✺✪ ❡t ✶✵✵✪ ❧❡s q✉❛♥t✐tés ❞❡ ré❢ér❡♥❝❡ ❞❡ ♣❤♦s♣❤♦r❡ ❡t ❡♥tr❡

✼✵✪ ❡t ✶✵✵✪ ❧❡s q✉❛♥t✐tés ❞❡ ré❢ér❡♥❝❡ ❞✬❛③♦t❡ ❛✉① ❞♦♥♥é❡s ❞❡ ✷✵✶✶✱ ❝✬❡st✲à✲❞✐r❡ pP ✈❛r✐❛♥t

❞❡ ✵ à ✵✳✷✺ ❡t pN ✈❛r✐❛♥t ❞❡ ✵ à ✵✳✸✳ ◆♦✉s ♦❜t❡♥♦♥s ❛❧♦rs ❧❡ ❝♦ût ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❡♥ ❢♦♥❝t✐♦♥

❞✉ ♣♦✉r❝❡♥t❛❣❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ❞❡ ré❞✉❝t✐♦♥ ❞❡ P ❡t ❞❡ ◆ ✭✜❣✉r❡s ✹✳✸ ❡t ✹✳✹✮✳

❆✈❡❝ ❧❡s ❞♦♥♥é❡s ❞❡ ✷✵✶✻✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ❝♦♥s✐❞éré ❧❡s ✈❛❧❡✉rs ❞❡ εP ❡t εN ✈❛r✐❛♥t ❡♥tr❡ ✶✵✵✪ ❡t

✻✺✪ ❧❡s r❡❥❡ts ❞❡ ♣❤♦s♣❤♦r❡ ❡t ❞✬❛③♦t❡ ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ tr❛❞✐t✐♦♥♥❡❧❧❡✳ ▲❡s rés✉❧t❛ts ♣❡✉✈❡♥t

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s✳à x ∈ X.

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✈❡❝t❡✉rs ❝♦ûts✱ ♥♦tés c1, ..., cn✱ ❡t fc1 , ..., fcn ❧❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s ❝♦ût ❛ss♦❝✐é❡s✳ ◆♦✉s rés♦❧✈♦♥s ❛❧♦rs

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s✳à x ∈ X,fc1(x) 6 v,✳✳✳fcn(x) 6 v.

▲❡s rés✉❧t❛ts ❞❡ ❝❡s s✐♠✉❧❛t✐♦♥s s♦♥t r❡❣r♦✉♣és ❞❛♥s ❧❡ t❛❜❧❡❛✉ ✹✳✸✳ ❖♥ ② r❡tr♦✉✈❡✱ ♣♦✉r

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♥♦✈❡♠❜r❡ ✽✷✳✽✻ ✾✵✳✷✶ ✽✹✳✽✷❉é❝❡♠❜r❡ ✽✷✳✻✼ ✽✾✳✽✽ ✽✹✳✻✾❏❛♥✈✐❡r ✾✶✳✹✽ ✾✷✳✺✸ ✾✸✳✵✶❋é✈r✐❡r ✾✻✳✶✶ ✾✻✳✺✶ ✾✼✳✻✶▼❛rs ✾✼✳✺✼ ✶✵✸✳✹✾ ✾✾✳✷✽❆✈r✐❧ ✶✵✵✳✸✽ ✶✵✻✳✼✽ ✶✵✷✳✶✶▼❛✐ ✶✵✵✳✵✹ ✶✵✺✳✶✾ ✶✵✶✳✺✻❏✉✐♥ ✾✾✳✵✺ ✶✵✻✳✶✵ ✶✵✵✳✻✼❏✉✐❧❧❡t ✾✽✳✶✽ ✶✵✺✳✾✺ ✾✾✳✽✻❆♦ût ✾✾✳✽✽ ✶✵✽✳✶✷ ✶✵✶✳✹✷❙❡♣t❡♠❜r❡ ✶✵✵✳✽✷ ✶✵✾✳✾✶ ✶✵✷✳✹✾❖❝t♦❜r❡ ✶✵✵✳✽✷ ✶✵✽✳✻✾ ✶✵✷✳✹✻▼♦②❡♥♥❡ ✾✺✳✽✷ ✶✵✶✳✾✺ ✾✼✳✺✵

❚❛❜❧❡❛✉ ✹✳✸ ✕ ❈♦ût ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❡♥ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞✉ ❝♦♥t❡①t❡ ❞❡ ♣r✐① ❡♥ ❝♦♥s✐❞ér❛♥t ❧❛s♦❧✉t✐♦♥ r♦❜✉st❡✳

✹✳✷✳✷ ❖♣t✐♠✐s❛t✐♦♥ ❜✐♥✐✈❡❛✉

❉❛♥s ❝❡tt❡ s❡❝♦♥❞❡ s❡❝t✐♦♥✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ❝❤❡r❝❤é à ❝♦♥♥❛îtr❡ ❧❡ ❝♦♥t❡①t❡ ❞❡ ♣r✐① ❧❡ ♣❧✉s ❢❛✈♦✲

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❊❋ ❡t ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ♣❛r ♠é❧❛♥❣❡s ▼❈✲✶▼❋✲❊▲✱ t❛♥❞✐s q✉❡ ❧❛ s✐t✉❛t✐♦♥ ❧❛ ♣❧✉s ❞é❢❛✈♦r❛❜❧❡

s❡r❛✱ ❛✉ ❝♦♥tr❛✐r❡✱ ❝❡❧❧❡ q✉✐ ❧❡ ♠✐♥✐♠✐s❡✳ ◆♦✉s ❛❧❧♦♥s ✉t✐❧✐s❡r ♣♦✉r ❝❡❧❛ ❧❛ ♣r♦❣r❛♠♠❛t✐♦♥

❜✐♥✐✈❡❛✉✳

▲❛ ♣r♦❣r❛♠♠❛t✐♦♥ ❜✐♥✐✈❡❛✉ ❛ été ✐♥tr♦❞✉✐t❡ ♣♦✉r ❧❛ ♣r❡♠✐èr❡ ❢♦✐s ❞❛♥s ❧❡ ❞♦♠❛✐♥❡ ❞❡ ❧❛

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▼❛✐s ❧❡ ♣r❡♠✐❡r ❛rt✐❝❧❡ tr❛✐t❛♥t ✈r❛✐♠❡♥t ❞❡s ♣r♦♣r✐étés ❞❡s ♣r♦❜❧è♠❡s ❜✐♥✐✈❡❛✉① ❞❛t❡ ❞❡ ✶✾✼✸

❬✷✺❪✳ ■❧ ❡st ❛✉❥♦✉r❞✬❤✉✐ très ré♣❛♥❞✉ ♣♦✉r ❞✐✛ér❡♥ts t②♣❡s ❞❡ ♣r♦❜❧è♠❡s ❛②❛♥t ❞❡s ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s

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♣r♦❜❧è♠❡ ❛ ❧❛ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✐té ❞✬❛✈♦✐r ❞❡✉① ♣r♦❜❧è♠❡s ✐♠❜r✐q✉és ❧✬✉♥ ❞❛♥s ❧✬❛✉tr❡ ❡t ❡st ♠♦❞é❧✐sé

✶✵✽

❞❡ ♠❛♥✐èr❡ ❣é♥ér❛❧❡ ♣❛r

minx∈X,y∈Y

F (x, y)

s✳à G(x, y) 6 0,y ∈ argmin

z∈Y{f(x, z)|g(x, z) 6 0} .

▲❡ ♣r♦❜❧è♠❡ minF (x, y) ❡st ❛♣♣❡❧é ♣r♦❜❧è♠❡ s✉♣ér✐❡✉r ❡t min f(x, y) ♣r♦❜❧è♠❡ ✐♥❢ér✐❡✉r✳

❈❤❛❝✉♥ ❞❡s ♣r♦❜❧è♠❡s✱ s✉♣ér✐❡✉r ♦✉ ✐♥❢ér✐❡✉r✱ ♣❡✉t é❣❛❧❡♠❡♥t êtr❡ ❝♦♥s✐❞éré ❝♦♠♠❡ ✉♥

♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ♠❛①✐♠✐s❛t✐♦♥✳

❉❛♥s ❧❡ ❝❛s ❞❡ ♥♦tr❡ ét✉❞❡✱ ♥♦✉s ❛❧❧♦♥s ❝♦♥s✐❞ér❡r ❞❡✉① ♣r♦❜❧è♠❡s ❞✐✛ér❡♥ts✳ ◆♦t♦♥s f c3PF

❡t f cDMF ❧❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s r❡♣rés❡♥t❛♥t ❧❡ ❝♦ût ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ▼❈✲✸P❋✲❊❋ ❡t ▼❈✲✶▼❋✲

❊▲❛ss♦❝✐é❡s ❛✉① ♣r✐① c✳ ◆♦✉s ❝❤❡r❝❤♦♥s à ♠❛①✐♠✐s❡r✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡♠❡♥t ♠✐♥✐♠✐s❡r✱ ❧✬é❝❛rt ❡♥tr❡

❝❡s ❞❡✉① ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥s ❡♥ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞✉ ♣r✐① ❞❡s ✐♥❣ré❞✐❡♥ts q✉✐ ♣♦✉rr♦♥t ✈❛r✐❡r ❡♥tr❡ ❞❡✉①

❜♦r♥❡s✳ ▲❡ ♣r♦❜❧è♠❡ q✉❡ ♥♦✉s ❝♦♥s✐❞ér♦♥s ♣❡✉t ❞♦♥❝ êtr❡ é❝r✐t

maxc,x1,x2,y1,y2,X

f c3PF (X

∗)− f cDMF (x

∗1, x

∗2, y

∗1, y

∗2)

s✳à X∗ ∈ argminX

{f c3PF (X)|X ∈ S},

(x∗1, x∗2, y

∗1, y

∗2) ∈ arg min

x1,x2,y1,y2{f c

DMF (x1, x2, y1, y2)|(x1, x2, y1, y2) ∈ S},lc 6 c 6 uc,

r❡s♣❡❝t✐✈❡♠❡♥t

minc,x1,x2,y1,y2,X

f c3PF (X

∗)− f cDMF (x

∗1, x

∗2, y

∗1, y

∗2)

s✳à X∗ ∈ argminX

{f c3PF (X)|X ∈ S},

(x∗1, x∗2, y

∗1, y

∗2) ∈ arg min

x1,x2,y1,y2{f c

DMF (x1, x2, y1, y2)|(x1, x2, y1, y2) ∈ S},lc 6 c 6 uc.

.

▲❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ♥✐✈❡❛✉ s✉♣ér✐❡✉r ❛ été ✐♠♣❧é♠❡♥té ❡♥ ▼❛t❧❛❜ ❡t rés♦❧✉ ❣râ❝❡ à ✉♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠❡

❞❡ ✧▼❡s❤ ❆❞❛♣t✐✈❡ ❉✐r❡❝t ❙❡❛r❝❤✧ ✭▼❆❉❙✮ ❬✶✱ ✻✸❪✳ ▲❡s ♣r♦❜❧è♠❡s ❞❡ ♥✐✈❡❛✉① ✐♥❢ér✐❡✉rs✱

❛♣♣❡❧és à ❝❤❛q✉❡ ✐tér❛t✐♦♥ ❞❡ ❧✬❛❧❣♦r✐t❤♠❡ ▼❆❉❙✱ ♦♥t été ✐♠♣❧é♠❡♥tés ❡♥ ❆▼P▲✳

◆♦✉s ❛✈♦♥s ❛♣♣❧✐q✉é ❝❡tt❡ ❛♣♣r♦❝❤❡ s✉r ♥♦s ❞♦♥♥é❡s✳ ◆♦✉s ❞✐s♣♦s✐♦♥s ❞❡ ✶✷ ❡♥s❡♠❜❧❡s ❞❡

♣r✐①✳ ▲❡s ✈❛r✐❛t✐♦♥s ét❛♥t r❡str❡✐♥t❡s✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ❝♦♥s✐❞éré ❧❡s ❜♦r♥❡s

lc = 0.8×min {c·t, t = {1, ..., 12}} ,

✶✵✾

❈♦ûts ❉✐✛✳ ✸P❋✲❉▼❋ ❉✐✛✳ ❉▼❋✲■❋✸P❋ ❉▼❋ ■❋ ✭✩✮ ✭✪✮ ✭✩✮ ✭✪✮

♠✐♥✸P❋✲❉▼❋ ✼✼✳✶✺✹✸ ✼✻✳✺✶✻✸ ✼✻✳✶✹✹✹ ✵✳✻✸✼✾ ✲✵✳✽✸ ✵✳✸✼✶✾ ✲✵✳✹✽❉▼❋✲■❋ ✽✻✳✻✺✶✺ ✽✺✳✵✺✺✷ ✽✺✳✵✸✻✷ ✶✳✺✾✻✸ ✲✶✳✽✹ ✵✳✵✶✾✷ ✲✵✳✵✷

♠❛①✸P❋✲❉▼❋ ✾✽✳✻✼✸✽ ✼✻✳✵✷✸✹ ✼✸✳✷✵✻✾ ✷✷✳✻✺✵✹ ✲✷✷✳✾✺ ✷✳✽✶✻✺ ✲✷✳✽✺❉▼❋✲■❋ ✾✼✳✺✸✸✵ ✼✽✳✽✸✻✷ ✼✺✳✼✷✵✺ ✶✽✳✻✾✻✽ ✲✶✾✳✶✼ ✸✳✶✶✺✻ ✲✸✳✶✾

❚❛❜❧❡❛✉ ✹✳✹ ✕ ❘és✉❧t❛ts ❞❡s ♣r♦❜❧è♠❡s ❜✐♥✐✈❡❛✉① ❞ét❡r♠✐♥❛♥t ❧❡ ❝♦♥t❡①t❡ ❞❡ ♣r✐① ❧❡ ♣❧✉s ❡t❧❡ ♠♦✐♥s ❢❛✈♦r❛❜❧❡ à ❧❛ ♠✐s❡ ❡♥ ♣❧❛❝❡ ❞✬✉♥❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ▼❈✲✶▼❋✲❊▲✳

uc = 1.2×max {c·t, t = {1, ..., 12}}

♣♦✉r ❧❛ ✈❛r✐❛❜❧❡ c✳ ◆♦✉s ❛✈♦♥s é❣❛❧❡♠❡♥t ❛♣♣❧✐q✉é ❝❡tt❡ ❛♣♣r♦❝❤❡ ❛✜♥ ❞❡ ❞ét❡r♠✐♥❡r ❧✬é❝❛rt

♠❛①✐♠❛❧ ✭r❡s♣❡❝t✐✈❡♠❡♥t ♠✐♥✐♠❛❧✮ ❡♥tr❡ ✉♥❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ▼❈✲✶▼❋✲❊▲ ❡t ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥

✐❞é❛❧❡ ▼❈✲■❋✲❊▲✳

▲❡ t❛❜❧❡❛✉ ✹✳✹ r❡❣r♦✉♣❡ ❧❡s rés✉❧t❛ts✳ ▲❛ ♣r❡♠✐èr❡ ❝♦♥st❛t❛t✐♦♥ q✉❡ ♥♦✉s ♣♦✉✈♦♥s ❢❛✐r❡ ❡st q✉❡

❧❛ ♣❧✉s ♣❡t✐t❡ é❝♦♥♦♠✐❡ ré❛❧✐sé❡ ❧♦rs ❞❡ ❧❛ ♠✐s❡ ❡♥ ♣❧❛❝❡ ❞✬✉♥❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ▼❈✲✶▼❋✲❊▲ ❡st

q✉❛♥❞ ♠ê♠❡ ❞❡ ✵✳✽✸✪ ✳ ❉❛♥s ❧❛ ♠❡✐❧❧❡✉r❡ s✐t✉❛t✐♦♥✱ ♥♦✉s ♣♦✉✈♦♥s ❛❧❧❡r ❥✉sq✉✬à ré❛❧✐s❡r ✉♥❡

é❝♦♥♦♠✐❡ ❞❡ ♣rès ❞❡ ✷✸✪✳ ❉❡✉①✐è♠❡♠❡♥t✱ ♦♥ ♣❡✉t r❡♠❛rq✉❡r q✉❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ▼❈✲✶▼❋✲

❊▲ ❛ ✉♥ é❝❛rt ♠❛①✐♠✉♠ ❞❡ ✸✳✷✪ ♣❛r r❛♣♣♦rt ❛✉ ♠♦❞è❧❡ ❞✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ▼❈✲■❋✲❊▲✱ ♠❛✐s

♣❡✉t✱ ❞❛♥s ❧❡ ♠❡✐❧❧❡✉r ❞❡s ❝❛s êtr❡ q✉❛s✐♠❡♥t éq✉✐✈❛❧❡♥t✱ ❛✈❡❝ ✉♥ é❝❛rt ❞❡ s❡✉❧❡♠❡♥t ✵✳✵✷✪✳

P♦✉r ❝♦♥❝❧✉r❡✱ ❝❡tt❡ ❛♣♣r♦❝❤❡ ♥♦✉s ❛ ♣❡r♠✐s ❞❡ ♥♦t❡r q✉❡ ❧❛ ♠✐s❡ ❡♥ ♣❧❛❝❡ ❞✬✉♥❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥

♣❛r ♠é❧❛♥❣❡s ♣❡r♠❡t ❞❡ ré❛❧✐s❡r ❥✉sq✉✬à ✷✸✪ ❞✬é❝♦♥♦♠✐❡ s✉r ❧❡ ❝♦ût ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❞❛♥s

❧❡ ♠❡✐❧❧❡✉r ❞❡s ❝❛s✱ ♠❛✐s é❣❛❧❡♠❡♥t q✉❡ ❧❡ ❝♦ût ❞✬✉♥❡ t❡❧❧❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❡st t♦✉❥♦✉rs ♣r♦❝❤❡

❞❡ ❝❡❧✉✐ ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ✐❞é❛❧❡✱ à ♠❛①✐♠✉♠ ✸✳✶✾✪✳

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

▲❛ ♣r✐s❡ ❡♥ ❝♦♠♣t❡ ❞❡s r❡❥❡ts ❡♥✈✐r♦♥♥❡♠❡♥t❛✉① ❞❛♥s ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ♣♦r❝✐♥❡ ❡st ❧✐é❡ à ❧❛

str❛té❣✐❡ ❛❧✐♠❡♥t❛✐r❡ ✉t✐❧✐sé❡✳ ▲✬❛♣♣r♦❝❤❡ ε✲❝♦♥tr❛✐♥t❡s q✉❡ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ♣rés❡♥té ❞❛♥s ❝❡tt❡

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♣♦✉✈♦♥s ❡♥ ❡①tr❛✐r❡ ✉♥ ❣r❛♣❤✐q✉❡ ❡♥ tr♦✐s ❞✐♠❡♥s✐♦♥s q✉✐ ♣❡r♠❡t ✉♥❡ ✈✐s✉❛❧✐s❛t✐♦♥ s✐♠♣❧❡ ❡t

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❧❡s q✉❛♥t✐tés ❞❡ ❝❤❛❝✉♥ ❞❡s ♣ré♠é❧❛♥❣❡s s❡r♦♥t ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧✐sé❡s✳

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③♦♥❡ ❞✬❡①♣é❞✐t✐♦♥ ❡♥ ❛tt❡♥❞❛♥t s♦♥ ❞é♣❛rt ♣♦✉r ❧✬❛❜❛tt♦✐r✳ ❙✬✐❧ ♥✬❛ ♣❛s ♠❛♥❣é s❛ r❛t✐♦♥

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s✐♥♦♥✱ ✐❧ ❡st r❡♥✈♦②é ❞❛♥s ❧❛ ③♦♥❡ ❞❡ ❝♦✉❝❤❛❣❡ ✭✜❣✉r❡ ✺✳✶✮✳ ❆✐♥s✐✱ ♥♦✉s s♦♠♠❡s ❝❛♣❛❜❧❡s ❞❡

❞ét❡r♠✐♥❡r q✉❡❧ ❛♥✐♠❛❧ ❡♥tr❡ ❞❛♥s q✉❡❧❧❡ ♠❛♥❣❡♦✐r❡ ❡t ❞❡ ❧✉✐ ❞♦♥♥❡r ✉♥❡ q✉❛♥t✐té ❛♣♣r♦♣r✐é❡

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✺✳✷ ▼♦❞é❧✐s❛t✐♦♥ ❞❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❞✬✉♥ tr♦✉♣❡❛✉

❉✬✉♥ ♣♦✐♥t ❞❡ ✈✉❡ ♠♦❞é❧✐s❛t✐♦♥✱ ❝❡tt❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ s❡ tr❛❞✉✐t ♣❛r ❧✬❛✉❣♠❡♥t❛t✐♦♥ ❞✉ ♥♦♠❜r❡

❞❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❡t ❞❡ ❝♦♥tr❛✐♥t❡s✳ ❊♥ ❡✛❡t✱ ♣r❡♥♦♥s ❡♥ ❡①❡♠♣❧❡ ❧✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ▼❈✲✶▼❋✲❊▲✱

s❡✉❧❡♠❡♥t ❞❡✉① ♣ré♠é❧❛♥❣❡s s♦♥t ✉t✐❧✐sés ♣♦✉r t♦✉s ❧❡s ❛♥✐♠❛✉① ❡t t♦✉t❡ ❧❛ ❞✉ré❡ ❞❡ ❧❛ ❝r♦✐s✲

s❛♥❝❡✱ ♠❛✐s ❧❡s q✉❛♥t✐tés ❞❡ ❝❤❛❝✉♥ ❞❡s ❛❧✐♠❡♥ts ❞♦♥♥é❡s q✉♦t✐❞✐❡♥♥❡♠❡♥t s♦♥t s♣é❝✐✜q✉❡s à

✶✶✸

❝❤❛q✉❡ ❛♥✐♠❛❧✳ ❆✐♥s✐✱ ❧❡ ♠♦❞è❧❡ ♣♦ssè❞❡ 2|I| ✈❛r✐❛❜❧❡s✱ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❛♥t ❛✉① ❞❡✉① ♣ré♠é❧❛♥❣❡s

✉t✐❧✐sés✱ ❝♦♠♣❧étés ♣❛r 2|J | ✈❛r✐❛❜❧❡s ♣♦✉r ❝❤❛❝✉♥ ❞❡s ❛♥✐♠❛✉① ❞✉ tr♦✉♣❡❛✉✱ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❛♥t

❛✉① q✉❛♥t✐tés ❥♦✉r♥❛❧✐èr❡s ❞✬❛❧✐♠❡♥ts✳ ❙✐ ❧✬♦♥ ♥♦t❡ K = {1, ..., k} ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s ❝♦❝❤♦♥s ❞✉

tr♦✉♣❡❛✉✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ✉♥ t♦t❛❧ ❞❡ 2(|I|+ |K||J |) ✈❛r✐❛❜❧❡s✳ ▲❛ ✈❛r✐❛❜❧❡ Q é✈♦❧✉❡ ❧é❣èr❡♠❡♥t

❡t ❞❡✈✐❡♥t ✉♥❡ ♠❛tr✐❝❡ à tr♦✐s ❞✐♠❡♥s✐♦♥s q✉✐ ♣❡✉t êtr❡ r❡♣rés❡♥té❡ ♣❛r Q = (qkja)k∈K,j∈J,a∈A✳

▲❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❝♦rr❡s♣♦♥❞❛♥t ❛✉① ❜❡s♦✐♥s s♦♥t ❛✉ ♥♦♠❜r❡ ❞❡ |N ||J |+2 ♣♦✉r ❝❤❛q✉❡ ❛♥✐♠❛❧✱

s♦✐t ✉♥ t♦t❛❧ ❞❡ |K| (|N ||J |+ 2)✱ ❛✉①q✉❡❧❧❡s ♥♦✉s ❛❥♦✉t♦♥s ✷ ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❞❡ ♣r♦♣♦rt✐♦♥ s✉r

❧❡s ♠é❧❛♥❣❡s ❛✐♥s✐ q✉❡ ❧❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❞❡ ❜♦r♥❡s✳ ▲❡ ♠♦❞è❧❡ r❡♣rés❡♥t❛♥t ❝❡tt❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥

s✬é❝r✐t ✿

minX,Q

∑

k∈K

(

∑

j∈J

qkj1 (ctx·1) + qkj2 (c

tx·2)

)

s✳à bnj 6 mn· (qkj1x·1 + qkj2x·2) 6 bnj, ∀n ∈ N, ∀k ∈ K, ∀j ∈ J,mE (qkj1x·1 + qkj2x·2) = ej, ∀k ∈ K, ∀j ∈ J,∑

a∈A

qkja 6 Wmaxj , ∀k ∈ K,

qkja > 0, ∀k ∈ K, ∀j ∈ J, ∀a ∈ A,0 6 xia 6 xmax

i , ∀a ∈ A, ∀i ∈ I,∑

i∈I

xia = 1, ∀a ∈ A,

✭✺✳✶✮

♦✉ ❞❡ ♠❛♥✐èr❡ s✐♠♣❧✐✜é❡ ✿

minX,Q

∑

k∈K

(

∑

j∈J

qkj1 (ctx·1) + qkj2 (c

tx·2)

)

s✳à (qkj1x·1 + qkj2x·2) ∈ Skj, ∀k ∈ K, ∀j ∈ J,

✭✺✳✷✮

♦ù Skj ❡st ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ré❛❧✐s❛❜❧❡ ♣♦✉r ❧✬❛♥✐♠❛❧ k✳ ❉❡ ♠ê♠❡ q✉❡ ♣♦✉r ❧❡s ♠♦❞è❧❡s ♣rés❡♥tés

♣ré❝é❞❡♠♠❡♥t ❞❛♥s ❝❡ ❝❤❛♣✐tr❡ ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ✭✺✳✶✮ ❡st ✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡ très ❞✐✣❝✐❧❡ ❞✬♦♣t✐♠✐s❛✲

t✐♦♥ ❜✐❧✐♥é❛✐r❡ s♦✉s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❜✐❧✐♥é❛✐r❡s✳ ▲❡ ❝❤❛♣✐tr❡ ✷ ♣rés❡♥t❡ ❧❡s ♣r♦♣r✐étés ✭q✉❛❧✐tés ❡t

✐♥❝♦♥✈é♥✐❡♥ts✮ ❞❡ ❝❡ t②♣❡ ❞❡ ♣r♦❜❧è♠❡✳

✺✳✸ ❉♦♥♥é❡s ✉t✐❧✐sé❡s

◆♦✉s ❛✈♦♥s ❣é♥éré ❧❡s ❞♦♥♥é❡s ❞✉ tr♦✉♣❡❛✉ à ♣❛rt✐r ❞❡ ❞♦♥♥é❡s ré❡❧❧❡s ❡♥r❡❣✐stré❡s ♣❛r ❆❣r✐✲

❝✉❧t✉r❡ ❈❛♥❛❞❛✳ ◆♦✉s ❞✐s♣♦s✐♦♥s✱ ♣♦✉r ✶✹ ❛♥✐♠❛✉①✱ ❞❡ ❧❛ q✉❛♥t✐té ✐♥❣éré❡ q✉♦t✐❞✐❡♥♥❡♠❡♥t

✶✶✹

❋✐❣✉r❡ ✺✳✷ ✕ ◗✉❛♥t✐té ❞✬❛❧✐♠❡♥t ✐♥❣éré q✉♦t✐✲❞✐❡♥♥❡♠❡♥t ♣❛r ❧❡ ♣♦r❝ ♥◦✻ ✭❞♦♥♥é❡s ❜r✉t❡s✮✳

❋✐❣✉r❡ ✺✳✸ ✕ P♦✐❞s ✈✐❢ ❤❡❜❞♦♠❛❞❛✐r❡ ❞✉ ♣♦r❝♥◦✻ ✭❞♦♥♥é❡s ❜r✉t❡s✮✳

❋✐❣✉r❡ ✺✳✹ ✕ ◗✉❛♥t✐té ❞✬❛❧✐♠❡♥t ✐♥❣éré q✉♦t✐✲❞✐❡♥♥❡♠❡♥t ♣❛r ❧❡ ♣♦r❝ ♥◦✻ ✭❞♦♥♥é❡s ❧✐ssé❡s✮✳

❋✐❣✉r❡ ✺✳✺ ✕ ◗✉❛♥t✐té ❞❡ ♣r♦té✐♥❡ ❞❛♥s ❧❡❝♦r♣s ❞✉ ♣♦r❝ ♥◦✻ ✭❞♦♥♥é❡s ❜r✉t❡s✮✳

✭❡①❡♠♣❧❡ ♣♦✉r ❧❡ ♣♦r❝ ♥◦✻ s✉r ❧❛ ✜❣✉r❡ ✺✳✷✮✱ ❞✉ ♣♦✐❞s ✈✐❢ à ❝❤❛q✉❡ s❡♠❛✐♥❡ ✭❡①❡♠♣❧❡ ♣♦✉r ❧❡

♣♦r❝ ♥◦✻ s✉r ❧❛ ✜❣✉r❡ ✺✳✸✮ ❡t ❞❡ ❧❛ q✉❛♥t✐té ❞❡ ♣r♦té✐♥❡ à ❝❤❛q✉❡ ❞é❜✉t ❞❡ ♠♦✐s ✭❡①❡♠♣❧❡ ♣♦✉r

❧❡ ♣♦r❝ ♥◦✻ s✉r ❧❛ ✜❣✉r❡ ✺✳✺✮✳ ❆ ♣❛rt✐r ❞❡s ✈❛❧❡✉rs ❝♦♥♥✉❡s✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ✉t✐❧✐sé ✉♥❡ ✐♥t❡r♣♦❧❛✲

t✐♦♥ ❛✜♥ ❞✬❡st✐♠❡r ❞❡s ❞♦♥♥é❡s q✉♦t✐❞✐❡♥♥❡s ♣♦✉r ❝❤❛❝✉♥❡ ❞❡s ❝❛té❣♦r✐❡s ❡t ❞❡ ♠❛♥✐èr❡ à ❝❡

q✉✬❡❧❧❡s s♦✐❡♥t ❧✐ss❡s ✭❡①❡♠♣❧❡ ❞❡ ❧❛ q✉❛♥t✐té ❞✬❛❧✐♠❡♥ts ✐♥❣éré❡ ♣♦✉r ❧❡ ♣♦r❝ ♥◦✻ s✉r ❧❛ ✜❣✉r❡

✺✳✹✮✳ ▲❛ q✉❛♥t✐té ✐♥❣éré❡ ♣❡r♠❡t ❞❡ ❞ét❡r♠✐♥❡r ❧❡ ❜❡s♦✐♥ ❡♥ é♥❡r❣✐❡✱ ❧❡ ♣♦✐❞s ✈✐❢ ♣❡r♠❡t ❞❡

❞ét❡r♠✐♥❡r ❧❛ ❝❛♣❛❝✐té ❞✬✐♥❣❡st✐♦♥✱ à s❛✈♦✐r ❧❛ q✉❛♥t✐té ♠❛①✐♠❛❧❡ ❞✬❛❧✐♠❡♥ts ✐♥❣érés ❝❤❛q✉❡

❥♦✉r✱ ❡t ❧❛ ♣r♦té✐♥❡ ♣❡r♠❡t ❞❡ ❞ét❡r♠✐♥❡r ❧❡s ❜❡s♦✐♥s ❞❡ t♦✉s ❧❡s ♥✉tr✐♠❡♥ts✳

✶✶✺

❋✐❣✉r❡ ✺✳✻ ✕ ✶❡r ❣r♦✉♣❡ ❞✬❛♥✐♠❛✉① ❞♦♥t ❧❛❝r♦✐ss❛♥❝❡ ❡st s❡♠❜❧❛❜❧❡✳

❋✐❣✉r❡ ✺✳✼ ✕ ✷♥❞ ❣r♦✉♣❡ ❞✬❛♥✐♠❛✉① ❞♦♥t ❧❛❝r♦✐ss❛♥❝❡ ❡st s❡♠❜❧❛❜❧❡✳

❋✐❣✉r❡ ✺✳✽ ✕ ✸❡ ❣r♦✉♣❡ ❞✬❛♥✐♠❛✉① ❞♦♥t ❧❛❝r♦✐ss❛♥❝❡ ❡st s❡♠❜❧❛❜❧❡✳

❋✐❣✉r❡ ✺✳✾ ✕ ✹❡ ❡t ✺❡ ❣r♦✉♣❡ ❞✬❛♥✐♠❛✉①✳

➚ ♣❛rt✐r ❞❡s ❞♦♥♥é❡s ❞❡ ❝❡s ✶✹ ❛♥✐♠❛✉①✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ❢❛✐t r❡ss♦rt✐r ❝✐♥q ❣r♦✉♣❡s ❞✬❛♥✐♠❛✉①

❞♦♥t ❧❛ ❝r♦✐ss❛♥❝❡✱ ♦✉ ♣❧✉s ♣ré❝✐sé♠❡♥t ❧❡ ❜❡s♦✐♥ ❡♥ é♥❡r❣✐❡✱ s♦♥t s❡♠❜❧❛❜❧❡s✳ ▲❡s ❝✐♥q ❣r♦✉♣❡s

s♦♥t r❡♣rés❡♥tés ❞❛♥s ❧❡s ✜❣✉r❡s ✺✳✻ à ✺✳✾✳

◆♦✉s ❝❤♦✐s✐ss♦♥s ❡♥s✉✐t❡ ✉♥ ❛♥✐♠❛❧ té♠♦✐♥ ♣♦✉r ❝❤❛q✉❡ ❣r♦✉♣❡ ❡t ♥♦✉s ❝ré♦♥s ❞❡s ✈❛r✐❛t✐♦♥s

❞❡s ❜❡s♦✐♥s ❞❡ ❝❡s ❝✐♥q ❛♥✐♠❛✉① ✐♥✐t✐❛✉① ❛✜♥ ❞✬♦❜t❡♥✐r ❞❡ ♣❧✉s ❣r❛♥❞s tr♦✉♣❡❛✉①✳ P♦✉r ❝ré❡r

❝❡s ✈❛r✐❛t✐♦♥s✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ♣r♦❝é❞é✱ ♣♦✉r ❝❤❛q✉❡ ❣r♦✉♣❡✱ ❞❡ ❧❛ ♠❛♥✐èr❡ s✉✐✈❛♥t❡ ✿

• s♦✐t p ∈ [0.9, 1.1]✱ ✉♥ ♣♦✉r❝❡♥t❛❣❡ ❞❡ ❧✬❛♥✐♠❛❧ té♠♦✐♥✱

• s♦✐t vn ∈ [−0.01, 0.01], ∀n ∈ N ✱

✶✶✻

• ∀n ∈ N, ∀j ∈ J, bnj = (p+ vn)btemoin

nj ❡t bnj = (p+ vn)btemoin

nj ✳

◆♦✉s ré♣ét♦♥s ❡♥s✉✐t❡ ❝❡ ♣r♦❝é❞é ❛✉t❛♥t ❞❡ ❢♦✐s q✉❡ ♥♦✉s s♦✉❤❛✐t♦♥s ❞✬❛♥✐♠❛✉① ❞✉ ♠ê♠❡

❣r♦✉♣❡✳

❈❡tt❡ ♠ét❤♦❞❡ ♣❡r♠❡t ❞✬♦❜t❡♥✐r ✉♥❡ ✈❛r✐❛t✐♦♥ ❣é♥ér❛❧❡ ❞❡ ❝♦♠♣♦rt❡♠❡♥t ♣❛r r❛♣♣♦rt à ❧✬❛♥✐✲

♠❛❧ té♠♦✐♥ ✭♣♦✉r❝❡♥t❛❣❡ p✮✱ t♦✉t ❡♥ ❛②❛♥t ❞❡ ❧é❣èr❡s ♠♦❞✐✜❝❛t✐♦♥s ❞❡s ❜❡s♦✐♥s ✭♣♦✉r❝❡♥t❛❣❡

vn✮✱ ♣❡r♠❡tt❛♥t ❛✐♥s✐ q✉❡ ❧✬❛♥✐♠❛❧ ❝réé ♥❡ s♦✐t ♣❛s ✉♥❡ s✐♠♣❧❡ tr❛♥s❧❛t✐♦♥ ❞❡ p% ❞❡ ❧✬❛♥✐♠❛❧

té♠♦✐♥✳ ❆✐♥s✐✱ ❧❡s ❛♥✐♠❛✉① ❝réés ❛✈❡❝ ❝❡tt❡ ♠ét❤♦❞❡ ♦♥t ✉♥ ❝♦♠♣♦rt❡♠❡♥t ❣é♥ér❛❧ s❡♠❜❧❛❜❧❡

t♦✉t ❡♥ ét❛♥t t♦✉s ❞✐✛ér❡♥ts✳

✺✳✹ ❘és✉❧t❛ts ♥✉♠ér✐q✉❡s

❉❛♥s ✉♥ ♣r❡♠✐❡r t❡♠♣s✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ❛♣♣❧✐q✉é ❧❡s ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥s ▼❈✲✸P❋✲❊❋✱ ▼❈✲✶▼❋✲❊▲ ❡t

▼❈✲■❋✲❊▲ s✉r ❞✐✛ér❡♥t❡s t❛✐❧❧❡s ❞❡ tr♦✉♣❡❛✉① ✭✺ à ✺✺ ❛♥✐♠❛✉① ♣❛r ♣❛s ❞❡ ✺✮✳ ❊♥ rés♦❧✈❛♥t

❝❡s ♣r♦❜❧è♠❡s à ❧✬❛✐❞❡ s✉ s♦❧✈❡✉r ♥♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡ ■♣♦♣t✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ♣✉ ❝♦♥st❛t❡r ❧❛ ❝♦♥t✐♥✉✐té

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❝♦♥s✐❞ér❛♥t ❧❡s ❞♦♥♥é❡s ❞❡ ✷✵✶✻✳ ▲✬❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ♣❛r ♠é❧❛♥❣❡s ▼❈✲✶▼❋✲❊▲ ❡st ❡♥ ♠♦②❡♥♥❡

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▲✬ét✉❞❡ s✉r ❧✬✐♠♣❛❝t ❡♥✈✐r♦♥♥❡♠❡♥t❛❧ ❞✬✉♥❡ t❡❧❧❡ ❛❧✐♠❡♥t❛t✐♦♥ ❛♣♣❧✐q✉é❡ ❛✉ tr♦✉♣❡❛✉ ❡st

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P❤♦s♣❤♦r❡

✐♥❣éré

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Optimisation des coûts d’alimentation et des rejets

chez le porc charcutier

Émilie JOANNOPOULOS (1,2), François DUBEAU (1), Jean-Pierre DUSSAULT (3), Mounir HADDOU (2), Candido POMAR(4)

(1) Université de Sherbrooke, Département de mathématiques, Sherbrooke (QC) J1K 2R1, Canada

(2) INSA Rennes, 20 Avenue des Buttes de Coësmes, CS 70839, 35708 Rennes cedex 7, France

(3) U ive sité de She b ooke, Dépa te e t d’i fo ati ue, She b ooke QC J K R , Ca ada

(4) Agriculture et Agroalimentaire Canada, 2000 rue collège, Sherbrooke (QC) J1M 0C8, Canada

emilie.joannopoulos@usherbrooke.ca

Optimization of feeding costs and excretions during growing-finishing pig operations

The aim of this study is to find a formulation method to reduce both the total feed cost and the nitrogen (N) and phosphorus (P) excretions. We will compare two new formulation methods, applied to a precision-feeding system using two feeds, with the traditional three phase (25-50, 50-90, 90-130 kg of body weight) feeding system using complete feeds. In the latter one, simulated pigs are fed using complete feeds formulated at fixed energy density (10.36 MJ EN / kg), while in the two former ones, they are fed according to a precision-feeding system (daily phases) using two feeds without predetermined energy density, which, when mixed into several proportions, satisfy the requirements for each day. Without trying to reduce N and P excretions, the precision-feeding system reduced the feed cost by 4.1%, while the amount of N and P excretions were reduced by 14.8% and 3.3% respectively. When the excretions are forced below some levels, many possibilities are available to reduce the P and N excreted without increasing the feed cost. One of them can reduce N by 22.4% and P by 11.1%. Other alternatives could be good trade-offs between low excretion level and low cost.

INTRODUCTION

Le oût de l’ali e tatio ep se te plus de % du oût total de production du porc charcutier et une gestion optimale de la composition des aliments en accord avec le programme alimentaire aura un impact majeur sur la rentabilité des exploitations (Morel et al., 2012). Les conséquences environnementales de la production porcine sont également très importantes, il est donc essentiel de les diminuer. L’effet de différentes stratégies alimentaires sur le coût des aliments et leur impact environnemental a été étudié récemment (Brossard et al., 2010 ; Dubeau et al., 2011 ; Pomar et al., 2014). Le but de ce travail est de proposer une nouvelle méthode de formulation des aliments destinés aux porcs charcutiers permettant de

dui e à la fois les oûts d’ali e tatio et les ejets de phosphore (P) et d’azote (N).

1. MATÉRIEL ET MÉTHODES

La simulation faite dans cette étude a été réalisée pour un animal moyen. Au lieu de minimiser uniquement le coût u itai e de l’ali e t $/kg , ous avons cherché à minimiser le coût total de l’alimentation ($/porc) tout en réduisant les rejets de P et N. Nous avons comparé le coût de l’ali e tatio et les rejets de N et de P pour toute la période de croissance d’u po nourri selon une alimentation à phases quotidiennes utilisant deux prémélanges uniques, déterminés lo s de l’opti isatio , en début de croissance, et pouvant avoir chacun une concentration énergétique différente (nouvelle méthode, NM),

à une alimentation conventionnelle à trois phases (25-50, 50-90 et 90-130 kg de poids vif) utilisant trois aliments complets (un aliment par phase) dont la densité énergétique a été fixée à 10, MJ d’ e gie ette thode de f e e, MR). On suppose dans tous les cas que les porcs consomment suffisamment pour satisfaire leur besoin en énergie nette et que la capacité d’i gestio aug e te a e l’âge Black et al., 1986). Pour une alimentation suivant la méthode de référence MR, les aliments ont été déterminés de manière à ce que ha u d’eu satisfasse les besoins en nutriment (NRC, 1998) de

la phase à laquelle il est associé. Pour une alimentation suivant la nouvelle méthode NM, les deux prémélanges ont été déterminés de façon à ce que leur combinaison quotidienne satisfasse ou dépasse les besoins journaliers. Ces deux prémélanges pris séparément ne satisfont pas nécessairement les besoins des animaux à des poids particuliers, mais leur mélange à des proportions spécifiques le permet tout au long de la période de croissance. De plus, cette combinaison est obtenue en minimisant le coût de l’ali e tation ($/porc). Seule e t le atio e t e u ut i e t e . l si e et l’ e gie peut être contrôlé avec deux prémélanges. Le ratio entre les autres nutriments et la lysine peut cependant varier de façon proportionnelle au cours de la croissance.

Tous les aliments utilisés dans cette étude ont été obtenus à pa ti de la liste d’i g die ts disponibles et de leur prix moyen pour l’e se le de la période allant de novembre 2010 à octobre 2011 (Aliments Bretons Inc, QC, Canada). Les coûts fixes tels que elui de la fa i atio de l’ali e t, de l’e t eposage, du t a spo t

et de la distribution ne sont pas considérés dans cette étude.

2016. Journées Recherche Porcine, 48, 149-150.

149

Les performances d’un porc type sont considérées ici et il a été si ul à l’aide d’u od le ath ati ue d te i iste NRC, 1998). La méthode de formulation utilisée dans cette étude permet de déterminer simultanément la composition des deux prémélanges et les proportions quotidiennes de manière à minimiser le coût total de l’ali e tatio (Joannopoulos et al., 2015), tout en rajoutant des contraintes sur les rejets de P et de N. Des modèles linéaires monocritères ont été utilisés pour les aliments MR. Deux types de modélisation ont été utilisés pour la nouvelle méthode NM. La première consiste à minimiser seulement le oût de l’ali e tatio avec un modèle bilinéaire monocritère (NM-MC). La seconde consiste à rajouter les contraintes sur les rejets de P et de N utilisant un modèle bilinéaire tricritère (NM-TC). Toutes ces modélisations ont été réalisées en langage AMPL (Fourer et al., 2002) et l’opti isatio a té faite à partir de serveur NEOS (Czyzyk et al., 1998 ; Dolan, 2001).

2. RESULTATS ET DISCUSSION

Tableau 1 – Coût de l’ali e tatio et ejets de phospho e et d’azote selo les diff e tes méthodes de formulation

(entre parenthèses, écart en pourcentage avec la méthode de référence)

Méthode1 Coût de

l’ali e tatio $/porc

P excrété

kg/porc

N excrété

kg/porc

MR 100,33 1,203 4,062

NM-MC 96,232

(-4,1%)

1,163

(-3,3%)

3,463

(-14,8%)

NM-TC 100,31

(-0,02%)

1,070

(-11,1%)

3,151

(-22,4%)

1MR : méthode de référence ; NM-MC : nouvelle méthode avec modèle

bilinéaire monocritère ; NM_TC : nouvelle méthode avec modèle bilinéaire

tricritère.

L’ali e tatio avec un aliment complet pour chacune des trois phases (méthode MR) est utilisée comme référence dans cette

tude Ta leau . Lo s u’o utilise u e ali e tatio à phases quotidiennes avec prémélanges non nécessairement complets et sans contraintes environnementales (méthode NM-MC), le coût de l’ali e tation est réduit de 4,1% ; les rejets de P et de N sont réduits de respectivement 3,3 et 14,8%.

Les simulations suivantes ont consisté à forcer les rejets à être réduits de 3% à 23% pour le P, et de 15% à 30% pour le N, par pas de 1%, tout en utilisant une alimentation journalière avec des prémélanges à concentration énergétique libre (Figure 1 ; méthode NM-TC). La courbe A présentée sur la surface de la figure 1 correspond aux paires de réductions des rejets de P et de N a e u oût de l’ali e tatio gal à elui de MR. Toutes les pai es situ es sous ette ou e et jus u’à un rejet de P = 0% et un rejet de N = 0%, sont des situations permettant de réduire à la fois les ejets et le oût de l’ali e tatio . La méthode proposée permet de quantifier le coût des réductions des rejets e N et P, e fo tio de l’i te sit de ette du tio .

Figure 1 – É olutio du oût de l’ali e tatio NM-TC (nouvelle méthode, modèle bilinéaire tricritère) par rapport

à MR (méthode de référence) en fonction des rejets de phosphore et d’azote

Le scénario NM-TC permet des diminutions de 11% de l’e tio de P et de 22% de l’e tio N tout en maintenant un oût de l’ali e tatio semblable à celui de la méthode traditionnelle (MR).

CONCLUSION

Une alimentation en phases quotidiennes utilisant deux prémélanges à concentration énergétique libre permet de

dui e o sid a le e t le oût total de l’ali e tatio . De plus, ces aliments permettent de réduire légèrement les rejets de P et, de manière plus importante, ceux de N. Toujours en utilisant une alimentation à phases quotidiennes, il est possible de réduire davantage les rejets, mais le gain monétaire est alors moins important.

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES

Black J.L., Campbell R.G., Williams I.H., James K.J., Davies G.T., 1986. Simulation of energy and amino acid utilisation in the pig. Res. Dev. Agric., , ‐

Brossard L., Quiniou N., Dourmad J.Y., Salaün Y., Van Milgen J., 2010. Définir des stratégies alimentaires alliant performance économique et i pa t e i o e e tal g â e à la od lisatio du g oupe de po s e oissa e. Jou es Re h. Po i e, , ‐ 2.

Czyzyk J., Mesnier M.P., More J.J., 1998. NEOS se e . IEEE Co put. S i. E g., , ‐ . Dola E., . The Neos se e . ad i ist ati e guide. Te h i al Me o a du ANL/MCS‐TM‐ . Eds, Mathe ati s a d Co pute

Science Division, Argonne National Laboratory.

Du eau F., Julie P.‐O., Po a C., . Formulating diets for growing pigs: economic and environmental considerations. Ann. Oper. Res., 190, ‐ .

Fourer R., Gay D.M., Kernighan B.W., 2002. AMPL: A Modeling Language for Mathematical Programming. Col Publishing Company.

Joannopoulos É., Dubeau F., Dussault J.-P., Pomar C., 2015. Diet problems. In : Plà-Aragonés L. M. (Ed), Handbook of Operations Research in Agriculture and the Agri-Food Industry, 397-417. Springer-Verlag, New York.

Morel P.C.H., Sirisatien D., Wood G.R., 2012. Effect of pig type, costs and prices, and dietary restraints on dietary nutrient specification for a i u p ofita ilit i g o e ‐fi ishe pig he ds: A theo eti al app oa h. Li est. S i., , ‐ .

NRC, 1998. Nutrient Requirements of Swine. 10th ed., National Academy Press, Washington, DC, 189p.

Pomar C., Pomar J., Dubeau F., Joannopoulos É., Dussault J.-P., 2014. The impact of daily multiphase feeding on animal performance, body composition, nitrogen and phosphorus excretions, and feed costs in growing–finishing pigs. Anim. Sci., 8, 704-713.

2016. Journées Recherche Porcine, 48.

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Nouvelle méthode d’alimentation hybride : un mixte de

l’alimentation traditionnelle par phases et par mélange

Emilie JOANNOPOULOS (1,2), François DUBEAU (1), Mounir HADDOU (2), Jean-Pierre DUSSAULT (1), Candido POMAR (3)

(1) Université de Sherbrooke, 2500 ouleva d de l’u ive sité, She ooke QC J K R , Ca ada

(2) Insa de Rennes, 20 avenue des Buttes de Coësmes, CS 70839, 35708 Rennes Cedex 7, France

(3) Agriculture et Agroalimentaire Canada, 2000 rue collège, Sherbrooke (QC) J1M 0C8, Canada

Emilie.joannopoulos@usherbrooke.ca ; Candido.pomar@agr.gc.ca

Nouvelle méthode d’alimentation hybride : un mixte de l’ali e tatio traditio elle et par mélange

L’ali e tatio ep se te u e pa t i po ta te du oût de p odu tio e e g aisse e t po i et, da s le ontexte économique a tuel, il est i po ta t de pa ve i à le dui e. Nous p oposo s i i u e thode d’ali e tatio se asa t à la fois su u e alimentation traditionnelle par phases et sur une alimentation avec prémélanges (utilisant deux prémélanges et à une phase). Le principe est le suivant : pour chaque phase, nous utilisons une alimentation à deux prémélanges (optimisés en même temps que le coût total et non nécessairement complets) qui sont combinés afin de satisfaire les besoins des animaux quotidiennement. Par exemple, pour trois phases, nous utilisons quatre prémélanges (A, B, C et D) : A et B sont utilisés dans la première phase, B et C sont utilisés dans la seconde phase et finalement C et D sont utilisés dans la dernière phase. Par rapport à la méthode conventionnelle, une telle approche permet de réduire le coût total de 5,2% tout en diminuant les rejets d’azote et de phospho e, respectivement, de 17,8% et 2,2%. En ajoutant comme critère la minimisation des rejets, nous pouvons proposer une méthode d’ali e tatio ayant un coût équivalent à la méthode traditionnelle à trois phases et qui réduit les ejets d’azote de % et de phospho e de %. De e, à oût uivale t à u e thode d’ali e tatio de p ision (utilisant deux prémélanges et une phase), ous pouvo s dui e les ejets d’azote de 17% et ceux de phosphore de 8%.

New hybrid feeding system: a mix between traditional feeding system and feeding system using feeds

Feed represents an important part of the production cost in the growing-finishing pig industry and, in the current economic context, it is important to reduce it. In this paper, we propose a new feeding system based on a traditional feeding system with phases and a feeding system using feeds (with one phase and two feeds). The concept is the following: for each phase, one is a feeding system using two feeds (optimized at the same time as the total cost minimization and not necessarily complete) which will be blended together to satisfy the daily animal requirements. For example, for three phases, one will use four feeds (A, B, C, and D): A and B will be used in the first phase, B and C in the second phase and finally C and D in the last phase. Compared to the traditional feeding system, this leads to a feed cost reduction of 5.2% while nitrogen and phosphorus excretion decreases by 17.8% and 2.2%, respectively. If minimization of excretions is added to feed cost as a criterion, one can propose a feeding system which is cost equivalent to the traditional feeding system with three phases and reducing phosphorus and nitrogen excretion, for example by 16% and 18%, respectively. Moreover, one can propose feeding systems which are cost equivalent to a precision feeding system (using two feeds and one phase), and which reduce phosphorus and nitrogen excretions by 8% and 17%, respectively.

2017. Journées Recherche Porcine, 49, 93-98.

93

INTRODUCTION

L’ali e tatio ep se te presque les trois quarts du coût de production dans un élevage de porcs en croissance-finition et, dans le contexte économique actuel difficile, il est primordial de réduire les oûts d’ levage autant que possible. De plus, l’ levage po i est fréquemment cité comme étant source de pollution pa l’appo t assif de phosphates et de nitrates lors de l’ pa dage de lisie . Il est donc également très important de réduire ces rejets.

Plusieurs études ont déjà été réalisées (Brossard et al., 2010 ; Dubeau et al., 2011 ; Pomar et al., 2014 ; Joannopoulos et al., 2015 afi d’ value l’i pa t o o i ue et e vi o e e tal de différentes st at gies d’ali e tatio . Le porc charcutier est généralement nourri selon des plans d’ali e tatio par phases a a t is es pa l’utilisation d’un aliment complet unique à densité énergétique fixée (par exemple 10,36 MJ d'énergie nette/kg). Depuis quelques années de nouvelles thodes d’ali e tatio basées su l’utilisatio de deux aliments combinés, en différentes proportions quotidiennement, ont fait leur apparition dans des études théoriques (Joannopoulos, 2012).

Dans cet article, nous proposons une nouvelle méthode d’ali e tatio que nous appelons hybride et qui combine l’ali e tatio pa phases et pa la ge. Une étude

o o it e MC , ’est-à-dire ne minimisant que le coût de l’ali e tation, et une étude tricritère (TC), qui permet de réduire simultanément le oût d’ali e tatio et les ejets de phospho e P et d’azote N , ont été réalisées.

1. MATERIEL ET METHODES

Afin de faciliter la lecture, les formules mathématiques décrivant les différentes méthodes de formulation sont détaillées dans la section 4, située en annexe, de cet article. Nous y faisons référence lors de la description des différents s st es d’ali e tatio tudi s.

1.1. Données utilisées

Dans cet article, nous considérons un porc moyen, représentatif d’u e populatio , élevé de 20 kg à 130 kg de poids vif, avec un gain moyen quotidien de 1 kg/jour. Il consomme 2864 MJ d’ e gie ette pour toute la période de croissance, soit une consommation moyenne quotidienne de 25,80 MJ/jour. De futurs travaux seront consacrés à l’ tude d’u t oupeau. Les esoi s de l’a i al incluent les besoins énergétiques et en nutriments (lysine, arginine, calcium, phosphore, etc.). La modélisation mathématique de ces contraintes peut être retrouvée à la section 4.2. Nous supposo s ue l’a i al o so e u ali e t jus u’à satisfai e so esoi e e gie,

mais que cette consommation peut être limitée par sa capacité d’i gestio (Black et al., 1986).

Les ingrédients utilisés dans cette étude étaient disponibles de novembre 2010 à octobre 2011 et nous utilisons le prix moyen (en $CAD) de chaque ingrédient sur cette période (Aliments Bretons inc., QC, Canada). Les aliments doivent satisfaire certaines caractéristiques (par exemple, ne pas contenir plus de 60% de maïs). La formule correspondant à cette contrainte est décrite dans la section 4.2 de cet article.

Les coûts auxiliaires, tels les coûts de fabrication, de transport, de stockage et de distribution ne sont pas considérés dans cette étude. En effet, ces frais variant, entre autres, en fonction de la

taille et de l’o ga isatio du fa i a t d’ali e ts, de la taille de l’e ploitatio , et de la distance que les aliments doivent parcourir, ils sont peu influencés par les programmes alimentaires proposés dans cette étude.

1.2. Systèmes d’ali e tatio

Le pla d’ali e tatio utilis comme méthode de référence (MR) consiste à nourrir les porcs en trois phases (20-50 kg, 50-90 kg et 90-130 kg de poids vif). Lo s de ha ue phase, l’a i al est nourri en utilisant un unique aliment complet dont la concentration énergétique est fixée à 10,36 MJ d’ e gie nette/kg. A a t suppos ue les a i au se ou isse t jus u’à satisfaire leur besoin en énergie, nous pouvons calculer la

ua tit d’ali e ts ingérée quotidiennement. Ainsi, les seules variables à déterminer sont les proportions de chaque ingrédient qui compose l’ali e t. Cha ue ali e t doit satisfai e les besoins pour chaque jour de la phase à laquelle il est associé. Da s ette thode, ’est le oût u itai e ui est i i is ($CAD/kg). Le problème résolu est linéaire et son modèle (MR) est décrit dans la section 4.3.1.

La nouvelle méthode que nous proposons ici est un système d’ali e tatio h ide se basant à la fois sur une alimentation par phases et par la combinaison de deux prémélanges qui sont des aliments non nécessairement complets. Le principe est le suivant :

la période de croissance des animaux est décomposée en p phases,

p+1 prémélanges sont utilisés,

lors de chaque phase, seulement deux prémélanges sont utilisés,

ces deux prémélanges sont combinés en différentes proportions quotidiennement afin de satisfaire les besoins des animaux à chaque jour de la phase,

deux phases consécutives ’ont u’un seul prémélange en commun.

Ainsi, pour p = 3, nous utilisons quatre prémélanges de la manière suivante :

les mélanges 1 et 2 sont utilisés lors de la première phase,

les mélanges 2 et 3 sont utilisés lors de la seconde phase,

les mélanges 3 et 4 sont utilisés lors de la troisième phase.

Cette méthode est notée MHp, p correspondant au nombre de phases considérées, et utilise p+1 prémélanges. Par exemple, u e ali e tatio e t ois phases où l’o utilise a uat e prémélanges, est notée MH3. Nous avons étudié deux variantes de ce modèle. Dans le cas de l’opti isatio o o it e, ’est-à-di e lo s u’o i i ise u i ue e t le oût d’ali e tatio , le modèle est noté MHp-MC, et dans le cas de l’opti isatio t i it e, ’est-à-dire lorsque les rejets sont minimisés en plus du coût, le modèle est noté MHp-TC. Nous avons choisi cette méthode car elle est facile à mettre en place en pratique dans les élevages du fait u’il ’ a ja ais plus de deu p la ges utilisés simultanément. Dans ces simulations, nous avons optimisé le coût total d’alimentation ($CAD/porc) pour toute la période de croissance. Les prémélanges que nous proposons d’utilise da s ette méthode sont déterminés lors de la résolution du problème minimisant le coût total de l’ali e tatio . Ainsi, chaque prémélange pris indépendamment

’est pas nécessairement complet pour une certaine journée,

2017. Journées Recherche Porcine, 49.

94

mais une fois combinés en différentes proportions quotidiennement, l’ali e t issu de ette o i aiso l’est, satisfaisant ainsi les besoins des animaux au long de leur croissance. De plus, contrairement à la méthode MR, la densité énergétique de chaque prémélange ’est pas fi e à l’ava e et les prémélanges ’o t do pas fo e t tous la même densité énergétique. Ceci implique que la quantité ingérée est inconnue lors de la détermination des aliments et le modèle représentant cette alimentation est un problème bilinéaire. Le modèle (MH3-MC), décrit dans la section 4.3.2, est un exemple pour p = 3 de la version monocritère. Pour obtenir le

od le de l’ali e tatio tricritère MH3-TC, il suffit d’ajoute au modèle MH3-MC les contraintes (TC), décrites dans la section 4.3.3. Dans le cas du modèle tricritère, nous avons procédé avec un balayage des valeurs admissibles de P et de N rejetés, par décréments de 1%, en partant des rejets du modèle MR.

Enfin, la thode d’ali e tatio opti ale MO o siste à nourrir les animaux en utilisant un aliment complet à coût minimal chaque jour. La densité énergétique de ces aliments

’est pas fi e et peut va ie d’u jou à l’aut e. Le problème correspondant à cette alimentation peut être résolu grâce à un problème linéaire par jour, dont le modèle est présenté en section 4.3.4. Cette alimentation ’est pas alisa le da s la pratique à cause du grand nombre d’ali e ts à utiliser (un aliment par jour). Cependant, le coût de cette alimentation est un optimum que nous cherchons à atteindre.

1.3. Logiciels

Tous les modèles présentés dans cet article ont été modélisés en langage AMPL (Fourer et al., 2002). Pour les résoudre, nous avo s utilis le solveu d’opti isatio Ipopt Wät he et Biegle , 2005) qui utilise un algorithme de points intérieurs.

2. RESULTATS ET DISCUSSION

En utilisant les données que nous avons décrites à la section 1.1, une alimentation de type MR a un coût de 100,33 $CAD (Tableau 1). L’ali e tatio pa la ge telle u’elle est connue a tuelle e t, ’est-à-dire à phase quotidienne et utilisant deux prémélanges combinés en différentes proportions, correspond au modèle MH1-MC et a un coût de 96,23 $CAD, soit une diminution de 4,1%, et une réduction des rejets de P et de N respectivement de 3,3% et 14,8%. La méthode MO permet de nourrir un porc pour 94,84 $CAD et est u id al ue ous essa o s d’attei d e.

2.1. Optimisation monocritère

Augmenter le nombre de phases en ne cherchant à minimiser que le coût d’ali e tatio pe et de dui e dava tage e oût qui diminue de 5,0%, 5,19% et 5,21%, respectivement pour des alimentations de type monocritère MH2, MH3 et MH4, par appo t à l’ali e tatio de t pe MR. Les rejets de P sont réduits

entre 1,0 et 3,3%, pendant que ceux de N sont réduits entre 14,8 et 18,2% (Tableau 1).

A la vue de ces résultats, il ’est pas essai e d’aug e te considérablement le nombre de phases. En effet, on peut constater que le coût de l’ali e tatio diminue très

apide e t lo s u’u e ali e tatio pa la ge est ise e place (-4,1% avec une alimentation MH1), puis le coût est réduit encore de 1% avec deux phases et trois prémélanges (MH2) puis 0,2% supplémentaire pour le passage à trois phases et quatre prémélanges (MH3). En revanche, passer de trois à quatre phases (MH4) ne permet u’une économie de 0,02%. Sachant

ue ous e pou o s pas di i ue le oût de l’ali e tatio de plus de 5,47% au total, ce qui correspond à une alimentation où l’o utilise u la ge o plet diff e t ha ue jou , soit seulement 0,27% supplémentaire, nous ne sommes pas allés plus loin dans les calculs.

Tableau 1 – Coût ($CAD/porc) et rejets (kg/porc) des diff e tes thodes d’ali e tatio ave u e opti isatio

monocritère

Méthode1 Coût P excrété N excrété

MR 100,33 1,203 4,062 MH1-MC 96,23 (-4,0%) 1,163 (-3,3%) 3,463 (-14,8%) MH2-MC 95,29 (-5,0%) 1,191 (-1,0%) 3,347 (-17,6%) MH3-MC 95,12 (-5,19%) 1,177 (-2,2%) 3,339 (-17,8%) MH4-MC 95,10 (-5,21%) 1,170 (-2,7%) 3,324 (-18,2%) MO 94,84 (-5,5%) 1,172 (-2,7%) 3,293 (-18,9%)

1 MR : méthode de référence ; MHp-MC : méthode hybride à p phases ; MO :

méthode optimale.

2.2. Optimisation tricritère

Nous nous sommes concentrés sur une alimentation de type MH lo s de la solutio du od le t i it e, ’est-à-dire lo s u’o he he à d te i e u e ali e tatio i i isa t le coût et les rejets de P et de N.

Il est connu que, lo s u’on essaye de réduire les rejets de P et de N, le oût de l’ali e tatio aug e te. Cepe da t, ous ve o s d’ o e u e ouvelle thode d’ali e tatio permettant de réduire considérablement le coût de l’alimentation lorsque les rejets ne sont pas pris en compte. Nous avons donc étudié l’i pa t o o i ue de ette thode d’ali e tatio lo s ue ous minimisons également les rejets de P et de N.

Pour cela, nous avons forcé les rejets de P à être inférieurs de 0% à 25%, et ceux de N à être inférieurs de 0% à 30%, aux rejets d’u e ali e tatio de t pe MR, pa pas de %. Les résultats de cette simulation montrent que les rejets de N et de P peuvent être considérablement réduits, par rapport à une alimentation de type MR, sans augmentation du coût de l’ali e tatio . La courbe A (Figure 1) décrit la ligne de niveau d’u oût uivale t à la thode MR su la su fa e représentant le coût de l’ali e tatio MH -TC. Tous les couples de valeurs de rejet P et de rejet N (RP,RN) situés sous cette courbe (par exemple, point D) ont été obtenus avec quatre prémélanges do t le oût d’ali e tatio est inférieur à celui obtenu avec la méthode MR. Le point C (Figure 1 et Tableau 2) correspond à une alimentation de type MH3-TC permettant de nourrir les animaux à un coût de 100,33 $CAD tout en ayant des rejets de P et de N, respectivement, de 0,986 kg et 3,412 kg, soit une réduction de 18% et 16%. Le point D, quant à lui, correspond à une alimentation de type MH3-TC permettant de nourrir chaque animal à un coût de 98,22 $CAD, soit une réduction de 2,10%, et des rejets de P et de N de 1,034 kg et 3,493 kg, soit une réduction de 14% chacun.

2017. Journées Recherche Porcine, 49.

95

Figure 1 – Coût de l’ali e tatio $CAD/po MH -TC en fonction de la réduction des rejets (%) de P et de N par rapport aux excrétions de la méthode de référence

Tableau 2 – Exemples de combinaison (coût, rejets P, rejets N) des diff e tes thodes d’ali e tatio o te us

ave la thode d’opti isatio t i it e

Point1 Méthode2 Coût3,

$CAD/porc

P excrété3,

kg/porc

N excrété3,

kg/porc

n/a MR 100,33 1,203 4,062

n/a MH1-MC 96,23

(-4,1%) 1,163

(-3,3%) 3,463

(-14,8%)

C MH3-TC 100,33 (-0%)

0,986 (-18%)

3,412 (-16%)

D MH3-TC 98,22

(-2,10%) 1,034 (-14%)

3,493 (-14%)

E MH3-TC 96,21

(-4,10%) 1,107 (-8%)

3,371 (-17%)

F MH3-TC 95,66

(-4,65%) 1,107 (-8%)

3,656 (-10%)

n/a MO 94,84

(-5,47%) 1,172

(-2,7%) 3,293

(-18,9%) 1Points correspondant sur la Figure 1. n/a : ne correspond à aucun point. 2MR : méthode de référence ; MHp-MC : méthode hybride monocritère à p

phases ; MHp-TC : méthode hybride tricritère à p phases ; MO méthode

optimale. 3Entre parenthèses, réductions par rapport à la méthode MR en %.

La courbe B représente la ligne de niveau du coût d’u e alimentation de type MH1-MC, ui o espo d à l’ali e tatio par mélanges telle u’elle est o ue aujou d’hui. On peut y faire la même interprétation que pour la courbe A. Ainsi, le point E correspond à une alimentation de type MH3-TC ayant un coût de 96,21 $CAD, équivalent à celui de la méthode MH1-MC, et des rejets de P et de N de, respectivement, 1,107 kg et

3,371 kg, soit une réduction de 8% et 17% par rapport à la méthode MR. Le point F correspond à une alimentation de type MH3-TC ayant un coût de 95,66 $CAD, soit une réduction de 4,65%, et des rejets de P et de N de, respectivement, 1,107 kg et 3,656 kg, soit une réduction de 8% et 10% par rapport à la méthode MR.

Ces points ne sont que des exemples et on peut bien entendu e hoisi d’aut es en fonction du besoin de chacun. En effet, si un producteur préfère réduire grandement les rejets de N et très peu ceux de P, il est possible de trouver une solution le permettant. Il est toutefois possible de trouver un compromis entre réduction du oût d’ali e tatio et di i utio des ejets afin de réduire le oût de p odu tio d’u levage de porc, tout e p se va t l’e vi o e e t.

CONCLUSION

L’utilisatio de p la ges (c'est-à-dire d’ali e ts o nécessairement complets) combinés quotidiennement en différentes proportions permet de réduire les coûts d’ali e tatio . Cepe da t, il est possi le de dui e dava tage ce coût en utilisant la méthode hybride développée qui combine l’ali e tatio pa la ges et pa phases. Cette réduction pourrait être de 5,2% avec une alimentation hybride à trois phases et quatre prémélanges. Cette alimentation permet également de réduire légèrement les rejets de P (2,2%) et de manière plus importante ceux de N (17,8%). Il est possible de réduire davantage les rejets de N et de P en utilisant un modèle d’opti isatio tricritère ainsi que de trouver un compromis entre la réduction des rejets et le coût de l’ali e tatio .

2017. Journées Recherche Porcine, 49.

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REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES

Black J.L., Campbell R.G., Williams I.H., James K.J., Davies G.T., 1986. Simulation of energy and amino acid utilisation in the pig. Res. Dev. Agric., , ‐ .

Brossard L., Quiniou N., Dourmad J.-Y., Salaün Y., Van Milgen J., 2010. Définir des stratégies alimentaires alliant performance économique et i pa t e vi o e e tal g â e à la od lisatio du g oupe de po s e oissa e. Jou es Re h. Po i e, , ‐ .

Du eau F., Julie P.‐O., Pomar C., 2011. Formulating diets for growing pigs: economic and environmental considerations. Ann. Oper. Res., 190, ‐ .

Fourer R., Gay D.M., Kernighan B.W., 2002. AMPL: A modeling language for mathematical programming. Col Publishing Company 571 p.

Joannopoulos E., 2012. Nouvelles appro hes de od lisatio et d’opti isatio de di te a i ale. Mémoire de maîtrise, Université de Sherbrooke, Sherbrooke, Canada, 88 p.

Joannopoulos E., Dubeau F., Dussault J.-P., Pomar C., 2015. Diet problems. In: Plà-Aragonés L.M. (Ed), Handbook of operations research in agriculture and the agri-food industry, 397-417. Springer-Verlag, New York.

Pomar C., Pomar J., Dubeau F., Joannopoulos É., Dussault J.-P., 2014. The impact of daily multiphase feeding on animal performance, body composition, nitrogen and phosphorus excretions, and feed costs in growing–finishing pigs. Anim. Sci., 8:5, 704-713.

Wätcher A., Biegler L.T., 2005. On the implementation of an interior-point filter line-search algorithm for large-scale nonlinear programming. Math. Prog., 106, 25-57.

ANNEXE - MODELISATION MATHEMATIQUE

Notations

Les notations utilisées sont les suivantes :

p : le nombre de phases,

I : l’e se le des i g die ts, J : l’e se le des jou s de la p iode de oissa e,

séparé en p sous-ensembles Jj représentant l’e se le des jou s de la phase j,

N : l’e se le des ut i e ts e : énergie, lysine, th o i e, al iu … ui so t o sid s,

A : l’e se le des p la ges,

M : la at i e d’appo t e ut i e t de ha ue ingrédient, où m.n est le vecteur de l’appo t e nutriment n de chaque ingrédient,

bn : le vecteur de besoin du porc en nutriment n,

Bn : le vecteur de l’appo t a i al auto is e nutriment n,

Wmax : le vecteur représentant la apa it d’i gestio du porc,

xmax : le vecteur du taux a i al d’i o po atio des ingrédients dans les prémélanges,

c : le vecteur prix des ingrédients,

X : la matrice des aliments, où la colonne �∙a, ∈ , représente la composition du prémélange,

Q : la matrice des quantités, où la colonne �∙�, ∈ ,

contient les quantités � � de prémélange a donné

chaque jour j de l’ tude.

Ave es otatio s, l’ali e t ui est do à l’a i al le jou j, uel ue soit le s st e d’alimentation considéré, est

ep se t pa l’e p essio ∑ � ��∙��∈� .

Usuellement, les vecteurs sont donnés en colonnes. Ainsi, si � est un vecteur, la notation « � transposé » sera notée ��.

Modélisation des contraintes

Pou ue l’a i al ait u e croissance normale, nous devons satisfaire ses besoins à chaque jour j. Ainsi, nous avons trois types de contraintes :

la o t ai te su l’ e gie, od lis e pa l’ uatio ∙�� (∑ � ��∙��∈� ) = � ,

les contraintes sur les nutriments, modélisées par

l’ uatio ∙� (∑ � ��∙��∈� ) , pour tout ∈ \{�}, la o t ai te su la apa it d’i gestio , od lis e pa

l’ uatio ∑ � ��∈� � ��, pour tout � ∈ �. De plus, les prémélanges et quantités doivent satisfaire à certaines caractéristiques que nous pouvons modéliser grâce à trois types de contraintes :

les quantités non-négatives sont modélisées par l’ uatio �∙� , pour tout ∈ ,

la contrainte de proportion sur les ingrédients est od lis e pa l’ uatio ∑ � �∈ = , pour tout ∈ ,

les o t ai tes d’i o po atio de ha ue i g die t so t od lis es pa l’ uatio �∙� � �� pour tout ∈ .

Par simplicité, nous appellerons � l’e se le eg oupa t toutes les contraintes du jour �. Ainsi, � ��∙� ∈ � signifie que

prémélange représenté par � ��∙� est réalisable (satisfait les

contraintes) pour le jour j.

Modélisatio des éthodes d’ali e tatio

L’ali e tatio MR

Une alimentation MR est modélisée

MR{ min� ∑ � � �∙ + � �∙ + � �∙∈ ,sujet à � �∙ ∈ � ∀� ∈ � ,� �∙ ∈ � ∀� ∈ � ,� �∙ ∈ � ∀� ∈ � .

Ce type de modèle est un modèle linéaire (fonction objectif linéaire et contraintes linéaires) et lors de sa résolution, nous so es assu s d’o te i u i i u glo al.

L’ali e tatio MHp-MC

Une alimentation MH3-MC se modélise :

MH3 − MC { min�, ∑ � � �∙ + � �∙ + � �∙ + � �∙∈ ,sujet à � �∙ + � �∙ ∈ � ∀� ∈ � ,� �∙ + � �∙ ∈ � ∀� ∈ � ,� �∙ + � �∙ ∈ � ∀� ∈ � ,� = ∀� ∈ � ∪ � ,� = ∀� ∈ � ,� = ∀� ∈ � ,� = ∀� ∈ � ∪ � .

2017. Journées Recherche Porcine, 49.

97

On remarque ici que les variables de notre modèle sont �∙� et �∙� , pour tout ∈ et que des termes bilinéaires (� ��∙�, ∈ , � ∈ � sont présents dans la fonction objectif et dans certaines contraintes. Ce type de modèle est un modèle bilinéaire et non-convexe. Il est difficile à résoudre, et possède potentiellement plusieurs minima locaux.

L’ali e tatio MHp-TC

Pour obtenir une alimentation MHp-TC, nous avons utilisé la thode ε-contrainte. Cette méthode permet de transformer

un objectif en une contrainte majorée par une valeur maximale autorisée. Pour le modèle minimisant les rejets de P, les rejets de N et le oût de l’ali e tatio , ous avo s t a sfo les objectifs modélisant les rejets en contraintes. Ainsi, pour o te i la od lisatio d’u e ali e tatio MH -TC, il suffit de rajouter au modèle précédent les deux contraintes

TC { ∑ (� �∙ + � �∙ + � �∙ + � �∙ )∈ − � � ,∑ � � �∙ + � �∙ + � �∙ + � �∙∈ − ��,

où � et , sont respectivement les quantités de P et de N retenues par le porc. Les variables � et �� sont respectivement les quantités maximales de rejet de P et de N admissibles que nous avons fait varier, à la baisse et par pas de 1%, à partir des quantités de P et de N rejetés estimées par la MR.

La méthode MO

Les aliments de la méthode MO peuvent être déterminés en utilisant un modèle linéaire par jour. La modélisation diffère légèrement des modèles précédents puisque les aliments ne sont plus modélisés en proportions mais en quantités et que nous ne considérons alors plus que la variable X. Le modèle pour un jour j de cette alimentation est donnée par

(MOj){ min�∙� ��∙sujet à. �� �∙ = � ,� �∙ , ∀ ∈ \{�},∑� � ��∈ ,

�∙ � �� ∑� .

2017. Journées Recherche Porcine, 49.

98

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2

Tech PORC Juillet - Août 2016 - n° 30

© C

RA

B

Alimentation

L’élevage porcin est une activité écono-

mique importante en France, comme au

Canada� Dans le contexte actuel de concur-

rence internationale, il est primordial de

parvenir à réduire le coût de l’alimentation,

qui représente plus de 70  % du coût de

production� D’autre part, cette activité est

souvent citée comme étant écologique-

ment problématique par l’apport massif

de phosphates et de nitrates lors de l’épan-

dage de lisier� En distribuant en engraisse-

ment un mélange de deux aliments, et en

ajustant cette distribution à la croissance, il

est possible de réduire les coûts et les rejets�

Ces résultats sont issus d’une modélisation

comparant un multiphase quotidien au

rationnement traditionnel�

L’objectif de cette étude est d’établir une

méthode qui vise à minimiser non seule-

ment les coûts mais également les rejets�

Elle a été réalisée sur un porc moyen

simulé� Les ingrédients sont ceux utili-

sés par le Canada et leur prix, exprimé

en dollars canadiens, est la moyenne des

prix enregistrés par Aliments Breton de

novembre 2011 à octobre 2012� Les ali-

ments, déterminés grâce à des méthodes

mathématiques, sont utilisés dans le cadre

d’une alimentation de précision� Le but

est de déterminer deux prémélanges qui,

combinés en des proportions diférentes

chaque jour, permettent de couvrir les

besoins des porcs tout au long de leur

croissance� Le fait d’associer ces deux pré-

mélanges pour un multi-phase quotidien

permet de limiter les excès de certains

nutriments�

Diminution du coût jusqu’à 4,1 %

La formulation traditionnelle consiste à

nourrir les animaux en trois phases en uti-

lisant un aliment complet pour chacune

d’elles� Ces aliments sont, en général,

formulés à 10,36  MJ/kg d’énergie nette�

La première étude qui a été conduite

consiste à ne minimiser que le coût de

l’alimentation� La formulation utilisée

ici consiste donc à déterminer les deux

prémélanges qui minimiseront le coût

de l’alimentation sur toute la période de

croissance� Ces prémélanges présentent

deux particularités� La première est que

leur densité énergétique peut être difé-

rente (par exemple un à 10,36  MJ/kg et

l’autre à 9,2 MJ/kg)� La seconde est qu’ils

ne sont pas nécessairement complets

pour un certain jour� Combinés ensemble

en diférentes proportions, ils satisfont

Une nouvelle méthode de formulation pour réduire coûts et rejets

De nouvelles méthodes de formulation d’aliments, combinées à l’utilisation de l’alimen-

tation de précision, permettent de combler les besoins des porcs à l’engraissement sans

trop d’excès� Ainsi, le coût de l’alimentation peut être réduit, tout comme les rejets de

phosphore et d’azote�

Méthode de référence

• Alimentation en trois phases• 1 aliment complet par phase • Energie ixe à 10,36 MJ/kg• Minimisation du coût unitaire ($/kg)

3

Tech PORC Juillet - Août 2016 - n° 30

Alimentation

cependant les besoins des animaux pour

tous les jours de l’engraissement�

Grâce à cette formulation, le coût de

l’alimentation peut être réduit de 4,1 %�

De plus, cette méthode d’alimentation

permet de réduire les rejets de phos-

phore de 3,3 % et ceux d’azote de 14,8 %�

La comparaison du coût journalier des

deux méthodes d’alimentation (Figure 1)

montre que, tout le long de la croissance,

le coût quotidien de l’alimentation en

combinant deux aliments est plus faible�

Cette diférence est d’autant plus mar-

quée en in de phase. En efet, avec cette alimentation, le premier prémélange a

un coût unitaire comparable à celui de

la première phase d’une alimentation

«classique» (0,39  $/kg contre 0,40  $/kg), tandis que le second a un coût plus faible

que les trois mélanges complets propo-

sés dans MR (0,32 $/kg contre 0,39-0,36-0,34 $/kg). Dans la méthode minimisant le coût, l’ajout du second prémélange se

fait progressivement tous les jours, de

manière à mieux s’approcher des besoins

des animaux� Il contribue ainsi à la réduc-

tion du coût total de l’alimentation�

Un compromis pour réduire le coût de l’alimentation et les rejets

La seconde étude réalisée consiste à mini-

miser à la fois le coût total de l’alimenta-

tion et les rejets de phosphore et d’azote�

La méthode précédente a été appliquée,

tout en ajoutant des contraintes sur les

rejets ain de les réduire.La Figure 2 montre ces résultats� Le pour-

centage de réduction/augmentation

du coût (en comparaison avec celui du

rationnement classique) y est exprimé

en fonction du pourcentage de réduc-

tion des rejets de phosphore et d’azote�

A partir d’un certain seuil, le coût total

de l’alimentation augmente (zones oran-

gées)� Toutefois, il existe beaucoup de

possibilités qui réduisent le coût de l’ali-

mentation� En efet, tous les couples (P, N)

se situant dans la zone bleue de la Figure

2 sont des systèmes d’alimentation ayant

un coût plus faible ou égal à la méthode

de référence� Par exemple, le système

réduisant les rejets de phosphore de

11,1  % et ceux d’azote de 22,4  % a un

coût équivalent (-0,02  %) à la méthode

classique� Ce point se situe sur la frontière

entre la zone bleue et la zone orangée

(point A)� C’est une stratégie qui permet

de réduire considérablement les rejets

sans augmenter le coût de l’alimentation�

D’autres stratégies, qui sont des compro-

mis entre réduction du coût et des rejets,

peuvent être plus avantageuses� Par

exemple, il existe une méthode permet-

tant de réduire les rejets de phosphore

de 8,2 % et ceux d’azote de 19 %, tout en

diminuant le coût de l’alimentation de

2 % (point B)�

Et après : prise en considération d’un troupeau

Cette étude, menée sur un porc moyen

simulé, donne de bons espoirs quant à

la mise en pratique de cette nouvelle

méthode de formulation� Cependant,

ain de mieux représenter la réalité, la prochaine étape consiste à considérer un

troupeau et minimiser le coût et les rejets

pour l’alimentation du troupeau entier

plutôt que pour un animal moyen� Les

questions à poser sont : faut-il que tous

les animaux aient leurs besoins satis-

faits ? Est-il plus avantageux de ne couvrir

les besoins que de 80 ou 90  % des ani-

maux en prenant en compte la perte due

au retard de croissance ?

Cette étude a été réalisée avec le soutien

inancier de Swine Innovation Porc

Emilie JOANNOPOULOS, François DUBEAU,

Jean-Pierre DUSSAULT, Mounir HADDOU, Candido POMAR

Insa Rennes - Université de Sherbrooke - Agriculture et Agroalimentaire Canada

emilie.joannopoulos@usherbrooke.ca

Minimisation du coût

• Alimentation multi-phase quotidienne

• 2 prémélanges non nécessairement complets

• Energie variable• Minimisation du coût total de

l’alimentation ($/porc)

Minimisation

du coût et des rejets

• Alimentation multi-phase quotidienne

• 2 prémélanges non nécessairement complets

• Energie variable

• Minimisation du coût total de l’alimentation ($/porc)

• Minimisation des rejets de phosphore et d’azote

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1,1

1,2

1 11

21 31

41 51

61 71

81 91

101 111

Coût de l'alimentation ($)

Jour

3 phases (MR) phases quotidiennes (MC)

-15

-20

-25

-30

-5

0

5

10

15

-3 -8

-13 -18

-23

Réduction

des rejets de N (%)

Co

mp

ara

iso

n d

u c

oû

t (%

)

10-15

5-10

0-5

-5-0

Réduction des rejets de P (%)

+ B

+ A

Figure 1 : Coût journalier de

l’alimentation

Figure 2 : Comparaison du coût d’alimentation

en fonction des rejets de P et de N

La méthode de formulation testée dans

cette étude, et qui conduit à une alimenta-

tion à phase quotidienne, diminue le coût

de l’alimentation pour toute la durée de la

croissance.

La forte diminution des rejets de phosphore et d’azote engendre une augmentation du coût

de l’alimentation. Cependant, en utilisant la nouvelle formulation, il est possible de trouver un

compromis entre réduction des rejets et diminution du coût (zone en bleu).

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New free energy density feeding systems: feed cost and phosphorus and nitrogen excretions study

E. Joannopoulosa,b, F. Dubeaua, J.-P. Dussaulta, M. Haddoub, C. Pomarc

a University of Sherbrooke, 2000 boulevard de l’Université, Sherbrooke, QC, J1K 2R1 Canada

b Insa de Rennes, 20 avenue des buttes de Coësmes, 35708 Rennes, France

c Agriculture and Agri-Food Canada, 2000 College Street, Sherbrooke, QC, J1M 1Z3 Canada

Corresponding author: Candido Pomar, candido.pomar@agr.gc.ca

1. Materials and methods 1.1. Nutritional problem

The feed formulation problem in animal production consists in determining one or several mixes of ingredients that satisfy specific nutrient requirements of the animal in accordance with the production objectives (Patience et al., 1995). It is assumed in this problem that the amount of nutrients that each ingredient will supply to the animal's metabolism and total amount of these nutrients required by the animal to reach the desired production level are known. The feed (i.e., the mix of ingredients) determined in the formulation has to supply or oversupply the estimated animal nutrient requirements. The most commonly feed formulation approach used is the linear programming (Patience et al., 1995; Pomar et al., 2007). This method involves determining the best solution of a linear objective function (such as the lowest cost or maximum profit) which has to satisfy some constraints represented by linear functions. From a nutritional standpoint, all formulation methods assume that there is no ideal feed relative to the ingredients used and therefore, ingredients are selected on the basis of their availability, composition and cost (Patience et al., 1995; NRC, 2012). Furthermore, two feeds are considered equivalent if they satisfy all the imposed constraints. Linear programs can mathematically be express as min ≥ . The main characteristics of this model are the consequences of the linear nature of the objective function and constraints, requiring verification of the following assumptions (Wilton et al., 1974):

• Additivity - the value of the objective function is the sum of the contributions of each ingredient and, similarly, the nutritional contribution of a blend of ingredients is the sum of the nutrient contribution of each ingredient;

• Proportionality - the change in the contribution of an ingredient in a blend changes the nutritional value and cost of the blend in proportion to the change; and

• Divisibility - the incorporation of an ingredient in a mixture is divisible indefinitely.

In addition to these assumptions, linear programming requires certainty that implies that the coefficients are known and constant.

In this study, we introduce a new kind of feed formulation which is modelled by a bilinear program. A function is said bilinear when it has two variables and they are linear with respect to each of its variables (e.g., ( , ) = ). A bilinear problem consists in determining the best solution of a bilinear objective function which has to satisfy specific constraints represented by bilinear and linear functions. It is mathematically expressed as

⎩⎨⎧min, ( , )( , ) ≥≥ .

In the case of the pig diet formulation, the objective function to minimize is the feed cost and the constraints are, among others, the nutrient requirements of the animal. The characteristics of this new feed formulation model are the same as for the linear model.

A feed is said complete if, taken alone, it satisfies all the formulation constraints, that is, it contains all the nutrients that the animal will need to reach the desired level of production. Complete feeds are widely used in the industry. In this study, we introduce the notion of incomplete feeds. A feed is said incomplete if it does not satisfy all the constraints, that is, it has to be provided with other feeds or ingredients to satisfy all the animal nutrient requirements. We will see in the next section that it is possible to formulate incomplete feeds that contain complementary amounts of nutrients in such a way that when blended, the mixed feed becomes a complete feed.

1.2. Optimization methods

Pigs are raised in groups and the growth period is divided in phases within which all the pigs receive the same complete feed. The 3 phase feeding system (3PhF) is common in many commercial facilities. Producers increase the number of feeding phases to better adapt of protein and other nutrients supplies to the animals’ requirements and at the same time, to reduce nutrient excretion, meanly nitrogen (N) and phosphorus (P). Four (4PhF) and more feeding phases (pPhF, where p is the number of feeding phases) are used large production facilities. In the daily phase feeding systems (DPhF) the number of feeding phases and therefore the feeds, equals the number of days in the growing period. The utilization of blend feeding and the automatic distribution of two feeds that, when combined in variable ratios, can meet the requirements of pigs throughout their growing period (Feddes et al., 2000) makes possible the use large number of feeding phases of the DPhF in commercial facilities. Nonetheless, it is theoretically possible to formulate every day a complete feed that matches the evolving requirements of the animals. Although this DPhF is impractical, it is proposed in this study to compare with conventional phase-feeding systems. This method is identified in this study as the theoretical optimal phase-feeding system (TOPF).

Currently, the composition of each of the feeds used in phase feeding systems is determined in order to minimize feed costs ($\kg) and have a fixed, or narrow interval of energy density (FE), typically around 10.36 MJ/kg of net energy (Jean dit Bailleul et al., 2001; Beaudoin et al., 2002). Growing pigs are allowed in most countries to consume feed ad libitum from weaning until they reach market weight. The factors governing voluntary intake in growing animals are numerous and complex and correspond to long-, medium- and short-term control systems (Revell and Williams, 1993). However, it is generally accepted that pigs consume feed to meet their energy requirements (Emmans, 1981; Black et al., 1986). Then, in that case, the amount of feed intake is known before the optimization and

the decision variable is then only the composition of the feed. Assuming that pigs consume feed to meet their energy requirements, they consume a greater amount of low-concentrate feeds while limiting their consumption of energy-rich feeds (Pekas, 1983). However, this ability to adjust feed intake can be subject to the limitation of intake capacity (Black et al., 1986), although this limitation decreases as the pigs get older and heavier (Pomar and Matte, 1995; Whittemore et al., 2003). Therefore, if pigs are able to adjust feed intake to its energy requirements, and it would be possible to improve the proposed models by formulating the feeds with optimal energy density (VE). The three phases feeding system using VE (3PhF-VE) is based on the same principle as 3PhF-FE except that the net energy (NE) density of each one of the three feeds can differ. In that case, the mathematical model corresponding is still linear. In that case too, the mathematical problems can be split into one linear problem for each phase. This method can be applied in general for any pPhF system.

The feed formulation methods generally used by the industry try to minimize the cost of the feed mix (i.e., $/kg of feed; generally called least-cost feed formulation method). Two new feed formulation methods (daily phase and hybrid feeding systems) were developed to minimize the cost of the energy in the feed ($/MJ of NE) . In these two methods, the incomplete feed and VE approaches were introduced. The energy density is unknown before the optimization and it can vary from one feed to another. The DPhF uses two feeds, which can be incomplete, that are blended differently each day to satisfy the daily requirements of the animal. In this method, the composition of the two feeds = ( ∙ ∙ ) as well as the blended quantities = ∈ , ∈{ , } have to be determined.

Unlike the 3PhF method, the mathematical model representing the DPhF-VE method cannot be split in phases and must be handled fully at once for the entire growth period. The formulation problem is bilinear given that the terms ∙ appear in the objective function and in some constraints. The details of the model can be found in Appendix A (A.3.3).

The new hybrid feeding system (pHyF) that we present in this paper is a combination of the 3PhF and DPhF methods. In this feeding system, the growing period is split in p phases and within each phase a DPhF system is used. The particularity of this method is that two consecutive phases have one common feed and thus, only p+1 feeds are used overall the growing period, but only two feeds at the same time. This method is convenient because only two feeds have to be stored in the farm simultaneously, and only one feed is changed at each phase change. For example, for p=3 (3HyF) feeds 1 and 2 will be used in the first phase, feeds 2 and 3 will be used during the second phase and feeds 3 and 4 during the last phase. In particular, 1HyF method (p=1) corresponds exactly to the DPhF system. In pHyF, the set of feeds = {1,… , + 1} and the corresponding model is also bilinear.

pHyF methods, for p=1, 2, 3, 4, 5 and 7, were evaluated in two different situations in this study. In the first situation, only the feed cost (i.e., $/pig) is minimized. This casoe is called the mono criterion (MC) version and is noted MC-pHyF depending on the feeding system considered. In the second situation feed cost ($/pig) and P and N excretion (kg/pig) are simultaneously optimized. It is called a tri-criteria method (TC) and is noted TC-pHyF depending on the feeding system to consider. The “ε-constraints” method was used to solve all the TC models. Initially, a TC problem has three objective functions. The “ε-constraints” method transforms the three objectives problem into one having one objective function and two additional constraints upper bounded by a given parameter. The problem is then solved for several sets of parameters. to solve a such problem, we only have to had the constraints

( )⎩⎪⎨⎪⎧ ∙ ∙∈ − ≤∈

∙ ∙∈ − ≤∈

to the MC models, where and are respectively the amounts (kg) of P and N retained in the animal’s body, and are the stated upper bounds for P and N excretion (kg). The and upper bounds were taken as a percentage of P and N excreted in 3PhF-FE. Thus, P and N excreted by the new methods are necessarily lower than the 3PhF-FE excretion. The reduction of P and N excretion was studied respectively in the range from 0% to 25% and from 0% to 30% by 1% steps.

1.3. Data used

A feed manufacturer (Nicolas Lafond, Avimix Nutrition inc, Lévis, QC, Canada) provided the list of ingredients and their prices recorded at the beginning of each month from January 2016 to December 2016 (Table 1). In this study, we consider the average of the recorded prices. The list and the prices can be found in table 1, as well as the upper bound on the proportion in the feeds. In all the cases studied, a premix containing vitamins and trace minerals was included at 5 kg/t. Net energy, standardized ileal amino acids and phosphorus, and total calcium composition ware taken from (NRC, 2012), the pool of nonessential amino acids was obtained by subtracting the sum of essential amino acids from the total nitrogen content.

All the simulations are based on an average pig, representative of the herd. It is bred from 20 kg to 130 kg of body weight, with an average daily gain of 1 kg/day. This pig consumes 2864 MJ of net energy during the entire growing period, namely 25.8 MJ/day. We assumed that pigs eat to satisfy its energy requirements and that the applied dietary treatments do not affect energy intake or growth. Total P and N excreted during the growing period was calculated by subtracting to the total P and N intake the amount of these elements retained in the animal body.

Table. 1. Average cost ($/t) and maximal incorporation rate (%) of feed ingredients. Ingredient Average price ($/t) (%) Animal fat 1236 0.05 Barley 288 0.6 Calcium carbonate 80 1 Canola meal 317 0.05 Corn DDGS 265 0.15 Dicalcium phosphate 906 1 DL-Methionine 5 750 1 Durum wheat 321 0.4 L-Lysine HCl 2 808 1 L-Threonine 3 750 1 L-Tryptophan 57 000 1 Maize 320 0.6 Meat meal 532 0.03 Premix 5 269 0.005 Sodium chloride 198 1 Soft wheat 225 0.4 Soybean meal 455 1 Wheat shorts 242 0.25

1.4. Software

The models were implemented in AMPL (Fourer et al., 2002) and we solved the problems by using the optimization solver Ipopt (Wätcher and Biegler, 2005) which uses an interior point algorithm.

2. Results 2.1. Impacts of the variable energy density in conventional phase-feeding systems

When pigs are fed with the proposed VE optimal density mono criterion formulation method, the feeding costs of pPhF, for p=3, 5 and 7, and TOPF systems, are reduced in relation to the conventional fixed energy density method by 3.9, 4.9, 4.1 and 4.2 %, respectively (table 2). However, the amount of P excreted is increased by 6.5, 7.9, 8.6 and 10.1% and the amount of the excreted N by 6.0, 9.2, 9.8 and 13.1%, respectively.

Table. 2. Simulated feeding cost, and P and N excreted by pigs fed with conventional fixed (FE) or optimal (VE) energy density feeds and raised in traditional 3, 5 or 7 phase-feeding systems.

FE VE

Feeding cost ($\pig)

P excreted (kg)

N excreted (kg)

Feeding cost ($\pig)

P excreted (kg)

N excreted (kg)

3PhF 73.94 1.298 4.112 71.03 1.382 4.358 5PhF 72.20 1.237 3.780 69.03 1.335 4.126 7PhF 71.55 1.208 3.668 68.49 1.312 4.029 TOF 70.18 1.157 3.414 67.23 1.274 3.862

2.2. The hybrid feeding system

pHyF methods have a huge impact on the feeding cost when optimized in the MC version (Figure 1). When pigs are fed using two feeds that are blended differently each day, that is using a DPhF-VE method (equivalent to 1HyF-VE), 6.69% of the feeding cost are saved. A slight increase of 0.31% of P excreted is produced but N excreted is reduced by 6.25%. When the number of phases is increased (p=2,3,4,5 or 7), the improvement of the feed cost is up to 8.88%, which is only at 0.19% of the unreachable bound of the TOPF model. At the same time, the P excreted decrease up to 1.69% and N excretion are reduced up to 6.54%, with a minimum reduction of 5.25%.

Fig. 1. Comparison of cost P and N excretion of 2PhF-FE, 1HyF-VE, 2HyF-VE, 3HyF-VE, and 4HyF-VE in the MC version.

2.3. The tricriteria optimization method

Reducing P and/or N excreted implies a feed cost increasing. However, we present some new methods that reduce feeding cost and then we could reduce P and N excretion without increasing the cost, compared to 3PhF-FE system.

2.3.1. Tricriteria of the DPhF-VE method

Figure 2 shows results of the simulations of the TC-DPhF-VE method. We note expected behavior, that is the increase of the cost when P and N are reduced. However, P and N can be significantly reduced. Line A on Figure 2 represents the contour line for the MC-3PhF-FE method. All the couples of P excreted and N excreted (Pex, Nex) located under this line correspond to a DPhF-VE system in which the feed cost is less than the MC-3PhF-FE one and P and N excreted are reduced by Pex % and Nex % at least respectively. For example, point B (23, 23) correspond to a DPhF-VE system in which pigs are fed for 72.12 $CAD, that is -2.5 % compared to the 3PhF-FE system, and P and N excreted are reduced by 23% each.

Fig. 2. Feed cost of a DPhF-TC system ($/pig) as a function of the reduction of P and N excreted (in %, compared to 3PhF system).

2.3.2. Tricriteria of the MH3-VE method

The same study was realized for 3HyF-TC system. Lines C and D on figure 3 represent the contour lines for the MC-3PhF-FE and MC-DPhF-VE feed costs respectively. As for the TC-DPhF-VE system, all the points located under these lines correspond to scenarios that reduce feed cost and P and N excretions compared to the feeding system associated to the contour line. Several points can be taken as examples. Points E and G have a feed cost equivalent to MC-3PhF-FE and MC-DPhF-VE systems respectively, namely 73.94 $CAD and 68.98 $CAD respectively. They also allow a reduction of P excreted of 23% and 15% respectively and reduce N excreted by 33% and 17% respectively. Point F (25,24) implies a feed cost of 71.80 $CAD which is less than MC-3PhF-FE by 2.89% and H (9,15) reduces it by 7.51%.

Of course, theses points are only examples and others can be taken according to the needs. Indeed, a pig producer maybe wants to reduce more P excreted than N and it is possible to find a scenario doing it, as well as one decreasing more N than P. At last, all compromises between feed cost, P excreted and N excreted can be determined.

Fig. 3. Feed cost of a 3HyF-TC system ($/pig) as a function of the reduction of P and N excreted (in %, compared to 3PhF system).

Cited literature

Beaudoin, I., Dubeau, F., Pomar, C., 2002. Multi-objective optimization models for swine production system (A special volume published by the East-West Journal of Mathematics). Computational Mathematics and Modeling. CMM, Bangkok, Thailand, pp. 197-206. Black, J.L., Campbell, R.G., Williams, I.H., James, K.J., Davies, G.T., 1986. Simulation of energy and amino acid utilisation in the pig. Res. Dev. Agric. 3, 121-145. Emmans, G.C., 1981. A model of the growth and feed intake of ad libitum fed animals, particularely poultry. In: Hillyer, G.M., Whittemore, C.T., Gunn, R.G. (Eds.), Computers in Animal Production. The British Society of Animal Production-Occasional publication No 5. Thames Ditton, Surrey, England, pp. 103-110. Feddes, J.J.R., Ouellette, C.A., Leonard, J.J., 2000. A system for providing protein for pigs in intermediately sized grower/finisher barns. Canadian Agricultural Engineering 42, 209-213. Fourer, R., Gay, D.M., Kernighan, B.W., 2002. AMPL: a modeling language for mathematical programming. Thomson/Brooks/Cole. Jean dit Bailleul, P., Rivest, J., Dubeau, F., Pomar, C., 2001. Reducing nitrogen excretion in pigs by modifying the traditional least-cost formulation algorithm. Livest. Prod. Sci. 72, 199-211. NRC, 2012. Nutrient Requirements of Swine. National Academy Press, Washington, DC. Patience, J.F., Thacker, P.A., de Lange, C.F.M., 1995. Swine Nutrition Guide. University of Saskatchewan. Prairie Swine Center, Saskatoon, Saskatchewan Canada. Pekas, J.C., 1983. Effect of gastric-feeding on feed consumption, growth, organ size, and body composition of swine. Appetite 4, 23-30. Pomar, C., Dubeau, F., Létourneau Montminy, M.P., Boucher, C., Julien, P.-O., 2007. Reducing phosphorus concentration in pig diets by adding an environmental objective to the traditional feed formulation algorithm. Livest. Sci. 111, 16-27. Pomar, C., Matte, J.J., 1995. Effet de l’incorporation d’écailles d’avoine dans l’aliment servi à volonté sur le rationnement en nutriments, la prise alimentaire et les performances de croissance du porc en finition. Journ. Rech. Porcine 27, 231-236.

Revell, D.K., Williams, I.H., 1993. A review physiological control and manipulation of voluntary food intake. In: Batterham, E.S. (Ed.), Manipulating Pig Production IV. Australasian Pig Science Association, pp. 55-80. Wächter, A., Biegler, L. T., 2006. On the Implementation of a Primal-Dual Interior Point Filter Line Search Algorithm for Large-Scale Nonlinear Programming, Math. Prog. 106(1), 25-57. Whittemore, E.C., Emmans, G.C., Kyriazakis, I., 2003. The relationship between live weight and the intake of bulky foods. Anim. Sci. 76, 89-100. Wilton, J.W., Morris, C.A., Jenson, E.A., Leigh, A.O., Pfeiffer, W.C., 1974. A linear programming model for beef cattle production. Can. J. Anim. Sci. 54, 693-707.

A. Appendix A – Mathematical modeling A.1. Notations

Let:

be the number of feeding phases,

be the set of ingredients,

be the set of days of the growth period, split into subset , ∈ {1,… , }, ∗ be the set of nutrients (e.g. net energy, lysine, calcium, …),

be the set of the feeds (e.g. = {1,2,3} when three different feeds are used), = ( ) ∈ , ∈ ∗ be the matrix of the nutritional composition of the ingredients, where the column ∙ is a vector representing the amount of nutrient in each ingredient, = ∈ ∗, ∈ be the daily pig requirement in nutrient , = ∈ ∗, ∈ be the daily maximum amount of nutrient , = ∈ be the vector representing the intake capacity, the maximal amount of feed

intake, = ( ) ∈ be the prices of ingredients, = ( ) ∈ be the maximal proportion each ingredient in the feeds, = ( ) ∈ , ∈ be the feed matrix, where the column ∙ represents the composition (in proportion) of feed , = ∈ , ∈ be the feed intake matrix, where the column ∙ represents the daily amount of feed

intake of feed for the growth period.

In the following, vectors are usually column. Thus, if is a vector, is “ transpose”.

A.2. Objective function and constraints modeling

Using the notations in A.1, the diet of day is given by

∙∈ .

Thus, he objective function representing the diet cost is given by

∙∈∈ . The pig will reach the desired production level if the diet satisfies two types of constraints: the constraint on the nutrient requirements, given, for all ∈ ∗ and ∈ , by the bounded constraint

≤ ∙ ∙∈ ≤ , and the feed intake constraint is given by

∈ ≤ . For simplicity, the set of constraints of day will be noted .Thus, ∙ ∈ means that the diet ∙ satisfies the constraints of day .

Three other constraints will appear in mathematical models. The amount of feed intake has to satisfy the non-negativity constraints, given by

∙ ≥ 0∀ ∈ . Moreover, the feeds have to satisfy the proportion and the maximal proportion constraints in addition to the non-negativity constraint, which are given by 0 ≤ ∙ ≤ ∀ ∈ ,

∈ = 1∀ ∈ . A.3. Feeding system modeling

A.3.1. 3PhF-FE

In the 3PF-FE feeding system, the given amount of each ingredient is known since the energy density is fixed. Then, the decision variables are only = ( ∙ ∙ ∙ ), the composition of the three feeds. The linear model associated with this feeding system is given by

(3 ℎ − )⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧min ∙ + ∙ + ∙∈subjectto ∙ ∈ ∀ ∈∙ ∈ ∀ ∈∙ ∈ ∀ ∈0 ≤ ∙ ≤ ∀ ∈

∈ = 1 ∀ ∈

In a mathematical standpoint, this model can be split in one optimization problem for each phase

(3 ℎ − ) ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧min∙ ∙∈subjectto ∙ ∈ ∀ ∈0 ≤ ∙ ≤

∈ = 1

For each subproblem, the feed ∙ must be complete for the entire phase and thus satisfy the requirements of each day of the phase, i.e. the highest lower bound and the lowest upper bound of the phase of all constraints.

Let

=⎩⎨⎧ ∙ = ∙ max∈ ≤ ∙ ∑ ∙∈ ≤ min∈ ∀ ∈ ∗∑ ∈ ≤ min∈∙ ≥ 0 ⎭⎬

⎫(1) The problem ( − )

( − ) ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧min∙ ∙∈subjectto ∙ ∈0 ≤ ∙ ≤

∈ = 1

makes it possible to determine the diet composition of the feed for each phase.

A.3.2. 3PhF-VE

As for 3PhF-FE, the model associated with 3PhF-VE feeding system is linear. It might not be obvious so we will detail the steps.

Since the energy density of the feeds is unknown, the amount of feed intake is not known either, as well as the feed compositions ( ∙ ). The model is then

(3 ℎ − )⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧min, ∙ + ∙ + ∙∈subjectto ∙ ∈ ∀ ∈∙ ∈ ∀ ∈∙ ∈ ∀ ∈0 ≤ ∙ ≤ ∀ ∈

∈ = 1 ∀ ∈ ∙ ≥ 0∀ ∈

As for (3PhF-FE), the problem is separable in one subproblem for each phase and we have the following model:

(3 ℎ − ) ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ min∙ , ∙ ∙∈subjectto ∙ ∈ ∀ ∈0 ≤ ∙ ≤

∈ = 1

In that form, the problem is bilinear and not linear. The most restrictive constraints given by (1) make it possible to determine the diet ∙ of the phase that meet these requirements. Let it be named ( − ) . If ∙ = ∙ , then ∑ ∈ = and he model ( − ) can be written as a linear one by replacing bilinear terms ∙ by ∙ :

( − ) ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧min∙ ∙∈subjectto ∙ ∈0 ≤ ∙ ≤ ∈

Once the feed ( ∙ ) is determined, we fix it in the (3 − ) and the problem becomes linear.

A.3.3. DPhF

The DPF system minimizes the total feed cost ($/pig). It uses VE and only two feeds that will be combined differently each day to meet the daily requirements. Thus, the variables are and . In that case, = {1,2} and the minimization problem is written:

( ℎ )⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧min, ∙ + ∙∈subjectto ∙ + ∙ ∈ ∀ ∈0 ≤ ∙ ≤ ∀ ∈ {1,2}≥ 0 ∀ ∈ {1,2}, ∀ ∈

∈ = 1 ∀ ∈ {1,2}

Unlike 3PF systems, this one is not separable and then cannot be split. It has to be handled fully at once. This problem is bilinear due to the terms ∙ appearing in the objective function and some constraints.

A.3.4. pHyF

The pHyF system also minimizes the total feed cost ($/pig) and it uses VE. The growth period is split into p phases and a DPhF method is used in each phase. The particularity is that two consecutive phases have one feed in common and thus + 1 feeds are used. In that case, = {1,2,… , + 1}, = ∪∪⋯∪ and it also has to be handled fully at once. It is a bilinear problem and it is written:

( )⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧min, ∙∈∈subjectto ∙ + ( ) ∙( ) ∈ ∀ ∈ , ∀ ∈ {1,… , }0 ≤ ∙ ≤ ∀ ∈ {1,… , + 1}≥ 0 ∀ ∈ {1,… , + 1}, ∀ ∈

∈ = 1 ∀ ∈ {1,… , + 1}= 0 ∀ ∉= 0 ∀ ∉ ∪ ,∀ ∈ {2,… , }( ) = 0 ∀ ∉

A.3.5. TOPF

The TOPF system consists in finding the optimal feed at each day of the growth. It uses VE and the model can be written

( )⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧min, ∙∈subjectto ∙ ∈ ∀ ∈0 ≤ ∙ ≤ ∀ ∈

∈ = 1 ∀ ∈ ∙ ≥ 0∀ ∈

We see that this problem is separable and can be split into one problem for each day. Using the same trick as for 3PF-VE, let ∙ = ∙ . Then ∑ y∈ = and the problem for day , ( ) , can be written as the following linear model

( ) ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧min∙ y∙∈subjectto y∙ ∈0 ≤ y∙ ≤ y∈

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Noname manuscript No.(will be inserted by the editor)

A bilinear model with applications in the feed industry and its

global solution analysis

Emilie Joannopoulos · Francois Dubeau ·Jean-Pierre Dussault · Mounir Haddou · Candido

Pomar

Received: date / Accepted: date

Abstract We present a bilinear model which uses both bilinear objective and constraints. Its

usage is motivated within a feed industry application. Our model is a large scale problem for

global solvers and they cannot solve it. Standard nonlinear solvers get a local minimizer, and

we conjecture that this local optimal solution is also a global minimizer. Among arguments

to support our conjecture is the fact that, for smaller instances solved by a global solver,

both local and global solvers compute the same solution. An absolute lower bound of this

problem is known and it is proven to be equivalent to both the McCormick and the SDP

relaxation.

1 Introduction

Finding the global solution to nonlinear non convex problems has been an active research

interest for several years. Few global solvers exist, such as BARON [22,19] or Couenne

[5] and they use branch-and-bound algorithms. The branch-and-bound method consists in

finding lower and upper bounds of the non convex problem and refining them successively.

Such algorithms are useful for relatively small scale problems but if the problem is too large

it cannot be solved using such an approach. Thus, some other methods have to be found for

large-scale problems. This is our case when we consider the diet problem for our application

in the pig industry. We consider two typical instances. A first one having 254 variables and

2700 constraints and a second one having 258 variables and 2704 constraints. We would

like to determine their global minimal solution. Indeed, this study has first and foremost

a practical aim. The goal is to set up a new least cost feeding system in farms in order

E. Joannopoulos · M. HaddouIRMAR-INSA, 20 avenue des buttes de Coesmes, 35708 Rennes, FranceE-mail: emilie.joannopoulos@usherbrooke.ca

E. Joannopoulos · F. DubeauDepartment of mathematics, Sherbrooke University, Sherbrooke, QC, Canada

J.-P. DussaultDepartment of computer sciences, Sherbrooke University, Sherbrooke, QC, Canada

C. PomarAgriculture and Agri-food Canada, Sherbrooke, QC, Canada

2 Emilie Joannopoulos et al.

to decrease the feed cost that represents more than 70% of the production cost. The two

instances correspond to two feeding scenarios in time, one in 2011 and the other in 2016.

Using some nonlinear solvers, we are able to compute local solutions to our problem. We

conjecture that the local solution obtained is indeed a global optimum.

This paper is split in three parts. The first one states the problem that we are interested

in, the diet problem and presents the ”ideal model” which is known giving a lower bound.

In the second one, we will describe some useful methods to determine upper and lower

bounds to a nonlinear nonconvex problem. First, we will present some approaches that can

solve, and possibly determine many local optimal solutions and then study the behavior

of global solvers. We will conclude this section by the pooling formulation of the bilinear

problem and its complexity. The third section presents several approaches that support our

conjecture. An approximation of the bilinear problem is described in section 3.1. By dis-

cretizing one variable that appears in the bilinear terms, the problem can be transformed

into a mixed integer linear problem. This method could give a good approximation of the

optimal solution. Section 3.2 is devoted to the Lagrangian relaxation of the discrete and

continuous problems. We use a subgradient method to reduce the duality gap and possibly

improve the lower bound. Finally, three relaxation methods are presented in section 3.3.

The best known is probably the linear relaxation introduced by McCormick in 1976 [17].

It relaxes a nonlinear nonconvex problem into a linear convex problem. This method leads

to a lower bound and we prove that the model equivalent to the ideal model, as well as

it is the case for the semidefinite programming relaxation we present. The last relaxation

was introduced by Tawarmalani et al. in 2010 [21] and gives the convex hull of sets like

B = {(x,y) ∈ Rn+|∑n

i=1 axiyi + bixi + ciyi > r}. We will try to reduce the gap between the

lower and upper bounds thanks to all these approaches and we will see that some methods

seem to be theoretically efficient but did not provide interesting bounds in the specific case

of the diet in the pig industry.

1.1 History

The diet problem was first introduced by American economist Stigler in 1945 [20]. Initially,

it was the following linear problem

minx

ctx,

s.t. Ax > b,x > 0.

(PL)

Originally, this problem was solved by using heuristics. Then, in 1947, Dantzig developed

the simplex algorithm [7,8] and undertook to test his algorithm on Stigler’s diet problem

and finally made it possible to solve this problem without using heuristics.

Until today, some studies have been performed on the diet problem in general ([15,

16,10] for example), but the linear problem is the most common model used. Moreover, a

significant progress has been made in the diet modeling with the inclusion of upper bounds

on variables and constraints.

The diet problem has been the subject of a lot of research studies, especially the pig

industry in which feed represents 70 % of the production cost and in an economic context of

international competition, it is important to reduce it. Thus, studies [2,4] have been made in

order to reduce the feed cost. Those models are currently used in the industry and are solved

by linear programming.

A bilinear model with applications in the feed industry and its global solution analysis 3

More recently, Joannopoulos et al. [14] presented a new way of modeling the feeding

system. This method is based on two feeds which are blended in different proportions each

day. The model representing this feeding system is bilinear. More precisely, it has a bilinear

objective function, and bilinear and linear constraints. Using the following notations:

– I the set of ingredients,

– J the set of days of the growing period,

– P the set of nutrients,

– x1 and x2 the feeds composition,

– y1 and y2 the daily intake quantity of feed x1 and x2 respectively,

– q0 the ingredients costs,

– qp the nutrient p supply by ingredients,

– dp and dp

the lower and upper bound of nutrient p intake,

– A a matrix representing the linear constraints (proportion constraint on feed composition

and daily intake capacity),

– b and b the lower and upper bounds of linear constraints,

– ux1,ux2

,uy1,uy2

the upper bounds on x1,x2,y1 and y2,

the diet problem can be summarized by the following model :

minx1,x2,y1,y2

∑i∈I

∑j∈J

q0i (x1iy1 j + x2iy2 j) ,

s.t. dpj 6 ∑

i∈I

qpi (x1iy1 j + x2iy2 j)6 d

p

j ∀p ∈ P,∀ j ∈ J,

b 6 A

x1

x2

y1

y2

6 b,

0 6

x1

x2

y1

y2

6

ux1

ux2

uy1

uy2

.

(PPig)

In this model, each constraint is lower and upper bounded and is at least non-negative. Upper

and lower bounds are equal in case of an equality constraint. This model has 2(|I|+ |J|)variables, |P|× |J| bilinear constraints, the number of linear constraints corresponds to the

number of rows of A and a maximum of 2(|I|+ |J|) bound constraints.

A particularity of the problem is that we already know a lower bound of the optimal

value which is given by the solution of the ideal model described in section 1.3.

It could be generalized by the inclusion of linear terms in the objective function and

bilinear constraints but we will not consider this case in this study.

1.2 Typical instances

Throughout this article, a typical instance of our problem will be the diet problem for one

average pig. We consider two scenarios. The first one with data from 2011, and the other

with data from 2016.

The first instance considers a growing period of the pig of 111 days and that 16 in-

gredients are used. Thus, |I| = 16 and |J| = 111 for this typical instance. Two feeds are

used and for each one, a vector of the quantity of the feed intake is associated which

implies that the problem has 2(|I|+ |J|) = 254 variables. For this problem, |P| = 21 and

4 Emilie Joannopoulos et al.

A ∈ R(4+|J|)×254. Thus, it has |P| × |J| = 2331 bilinear constraints (including 111 equality

constraints), (4+ |J|) = 115 linear constraints and 2(|I|+ |J|) = 254 bound constraints. It

has a total of 2700 constraints.

In the second scenario, only the list of ingredients and their price change: 18 ingredients

are used and then |I|= 18. There are therefore 258 variables, 2331 bilinear constraints, 115

linear constraints and 258 bounds variable, that is, a total of 2704 constraints.

In both scenarios, the constraints associated with the daily energy requirement are 111

bilinear equality constraints. The feeds are modeled in proportions. Thus, two more linear

equality constraints are given by the sum of the ingredients of each feed which is equal to

1. Moreover, the proportion of one ingredient is fixed to be 0.5% in each feed which leads

to a total of 226 equality constraints. Linear inequality constraints are most of the inequality

constraints are given by the nutrient requirements and intake capacity which is given by

y1 + y2 is upper bounded, while the others are bound constraints on the variables.

When the diet of a herd is modeled, the size of the problem quickly increases. We model

the diet in a way that only two feeds are used for all pigs but each one has specific quantities

and the diet has to satisfy the daily requirements of all pigs. This implies that for each pig

added in the herd, 2|J|= 222 variables and (|P|+3)×|J|= 2664 constraints are added.

We will see in section 2.3 that we encounter some difficulties when we consider the diet

problem for only one pig and the same kinds of difficulties have to be handled for a herd.

Thus, for the sake of simplicity, the typical instances of our problem will consider only one

average pig.

1.3 The ideal model: lower bound

The ideal problem consists in using the optimal cost feed at each day. This model is a relax-

ation of the problem (PPig). Instead of using only two feeds, we use |J| feeds, i.e. variables

of the model are x·1, ...x·|J| in addition to the daily feed intake, i.e. y1, ...,y|J|. Then the model

is derived from (PPig) and is written as

minX ,Y

∑i∈I

∑j∈J

q0i xi jy j,

s.t. dpj 6 ∑

i∈I

qpi xi jy j 6 d

p

j ∀p ∈ P,∀ j ∈ J,

b 6 A

x·1...

x·|J|y1

...

y|J|

6 b,

0 6

(

x· jy j

)

6

(

ux· juy j

)

∀ j ∈ J.

(PPigId)

The shape of the matrix A makes this problem separable in one subproblem for each j ∈ J

for our typical instances. By introducing a new variable zi j = xi jy j, and adjusting the linear

A bilinear model with applications in the feed industry and its global solution analysis 5

INPUTS POOL OUTPUTS

i1

i2

i3

i4

p1

p2

j1

j2

j3

j4

wi1 p1

wi1 p2

wi3 p1

wi3 p2

wi4 p2

yp1 j1

yp1 j2

yp2 j2

yp2 j3

yp2 j4

zi4 j4

Fig. 1 Illustration of the pooling problem

constraints, each subproblem can be modeled as a linear problem as follows :

minz

∑i∈I

q0i zi j,

s.t. dpj 6 ∑

i∈I

qpi zi j 6 d

p

j ∀p ∈ P,

b 6 Bz· j 6 b,0 6 zi j 6 uz j

∀i ∈ I.

(PSPigId j)

Its global solution can be obtained easily by a linear solver and its optimal value is 94.84$

for instance 1 and 67.23$ for instance 2.

Nevertheless, the associated feeding system is impracticable for growers due to the high

number of feeds to store (1 per day), but the solution will be kept in mind as a lower bound

of the problem (PPig).

1.4 Pooling problem

The diet problem as we described it above can be associated with a particular pooling prob-

lem. Here, we will describe two ways to model a pooling problem, the p-formulation and

the q-formulation.

The standard pooling problem was introduced by Haverly [13] in 1978. The concept of

the pooling problem is the following. Inputs are sent into pool tanks to be blended together.

Then mixtures from the pools are sent to outputs to get the final products. Moreover, inputs

can be directly added to the final products. The pooling problem may be illustrated by a

graph (Figure 1). In the p-formulation of a pooling problem, the variables, associated with

the flow (wip), are modeled in quantity flowing on each edge. The particularity of this formu-

lation is that we have to add a flow conservation constraint in addition to all the specification

requirements. This constraint can be formulated as

∑i∈I

wip = ∑j∈O

yp j ∀p ∈ P.

6 Emilie Joannopoulos et al.

This is how Haverly introduced the pooling problem.

Then, Ben-Tal et al. [6] proposed to model the flow between inputs and pools using pro-

portions. This is the q-formulation. In this formulation we also have to include a constraint

defining the proportion entering in tanks

∑i∈I

wip = 1 ∀p ∈ P.

In the case of the pig’s diet problem, inputs cannot be directly added to outputs. For

example, the edge zi4 j4 form input i4 to output j4 on figure 1 will not be allowed. From now

on, we will not consider such edges.

1.5 Complexity of the problem

We can also discuss about the complexity of the pooling problem and especially of the one

modeling our instances.

Proposition 1 The pooling problem representing the pig’s diet problem is strongly NP-hard.

Proof The pooling problem was proven to be strongly NP-hard if δ−(p) and δ+(p), the

input and output degrees of pool p respectively, are at least 2 then the problem is NP-hard

for all pools (see Proposition 1 in [1]).

In our instances, |INPUT S|= |I|> 16 and |OUT PUT S|= |J|= 111. Some constraints

on the feed composition impose that we will have at least two inputs to the pool, i.e. at least

two ingredients in the feed. About output degrees, if both pools have only one outgoing

edge, then 99 outputs will not have any entries, which does not satisfy the constraints. Thus,

at least one pool has two or more outgoing edges and then the pig’s diet problem is strongly

NP-hard.

2 Is the local optimal solution a global one ?

In order to solve the bilinear problem, the (PPig) model was implemented using AMPL [9].

A local optimal solution of the typical instances can be computed by any nonlinear solver.

We solved the problem by using the Ipopt solver and obtained an optimal value of 96.23 for

instance 1 and 68.99 for instance 2.

2.1 Conjecture

In order to find another minimum to this problem, we ran the nonlinear solver with 20,000

different starting points. The starting points were taken randomly in the set [0,u] and the

problem was then solved by using Ipopt.

In each instance, the optimal solutions returned by the solver for each initial point are

identical and have an optimal value of 96.23 for instance 1 and 68.99 for instance 2.

This experiment tends to prove that there is no better solution than the one computed by

Ipopt. Hence, we state the following conjecture.

Conjecture The optimal solution of the model (PPig) as computed by any non linear solver

is a global optimal solution.

A bilinear model with applications in the feed industry and its global solution analysis 7

|I| |J| SolversCouenne BARON Ipopt

Inst

ance

1 16 2 N/A 1.02 1.0216 3 N/A 1.54 1.5416 4 N/A N/A 2.0716 111 N/A N/A 96.23

Inst

ance

2 18 2 N/A 0.80 0.8018 3 N/A 1.21 1.2118 4 N/A N/A 1.6218 111 N/A N/A 68.99

N/A : not available

Table 1 Comparison of nonlinear solvers (Couenne, BARON and Ipopt) optimal value.

2.2 Finding a lower solution thanks to a feasibility problem

One way to find a solution that has a strictly less value than the one computed by Ipopt is

to deal with feasibility problems. The aim of the feasibility problem is to find a feasible

point without regard to the objective function. For example, if we consider the optimization

problem{

minx

f (x),

s.t. x ∈ S,

which has a local optimal solution x∗, then we can solve the problem

minx

0,

s.t. x ∈ S,f (x)6 f (x∗)−ξ ,

where ξ > 0, to find a feasible point which has an optimal value strictly lower than the f (x∗).We solved this problem for our typical instance with ξ = 0.01 and the solver was not

able to compute a solution in either one of the instances. This experiment therefore supports

the conjecture.

2.3 Performance of global solvers

The global solution of a non linear non convex optimization problem can be computed by

global solvers like Couenne and BARON. The nonlinear solver Ipopt returns a solution

guaranteed only as a local optimum. As we can see in table 1, neither Couenne nor BARON

can compute an optimal solution for the full (PPig) problem, i.e. when |J| = 111, and reached

the time limit set to 8 hours. Considering a smaller problem (|J| = 2 to 4) rather than our

typical instance, Couenne is not able to compute the global solution and also reaches the

time limit, while BARON, for its part, returns a solution for |J| = 2 and |J| = 3 but cannot

handle the problem for a higher value of |J|, for both instances that we consider.

On the other hand, Ipopt returns a solution for each instance, but it only guarantees that

it is a local optimum. However, notice that the optimal solution obtained for |J| ∈ {2,3} by

Ipopt has the same optimal value than the one of the global optimal solution returned by

BARON. Thus, it supports the conjecture.

8 Emilie Joannopoulos et al.

2.4 Solutions of the pooling problem

We present in section 1.4 two different formulations of the pooling problem. Both formu-

lations are equivalent but the way to model the problem is different. We can wonder if the

nonlinear algorithms handle both models in the same way.

These two formulations of the pooling problem were implemented in AMPL. Both p-

formulation and q-formulation return exactly the same solution when they are solved by

the nonlinear solver Ipopt for both typical instances, that is an optimal value of 96.84 for

instance 1 and 68.9 for instance 2.

2.5 Penalization of bilinear terms

Bilinear terms can also be penalized in the objective function. Consider the following bilin-

ear problem{

minx,y

f (x,y)

s.t. g(x,y)6 0

where f and g are bilinear functions. Introduce new terms z. Replace bilinear terms xy in

the constraints by z and penalize the distance from z to xy in the objective function. We now

consider the problem{

minx,y

f (x,y)+ξ‖z− xy‖2

s.t. g(x,y,z)6 0

where g is a linear function.

The more ξ is high, the more the solution is close to the original problem (PPig) solution

and we see it on table 2. Indeed, the third column of the table show the cost of the original

objective function ( f (x)) when the penalized problem is solved. It grows up to a value close

to the solution computed by local solvers (96.23 for instance 1 and 68.99 for instance 2). If

ξ is to high, e.g. 108, the maximum number of iterations is reached and the computed points

lead to an objective value higher than x∗ipopt . However, we see that, when an optimal solution

of the penalized problem is computed, it is closer and closer to x∗ipopt (column 4 of the table)

but still is not feasible for the original problem (column 5). These results again support the

conjecture.

3 Relaxations of bilinear terms

3.1 Approximation of the global optimal solution using discretization of some variables

3.1.1 Toward a mixed integer linear program

The initial bilinear problem is designed in continuous variables. We will see that discretizing

one of the variables involved in the bilinear terms yields a mixed integer linear problem.

This section is inspired by [18]. Let 0 6 xi 6 uxiand 0 6 y j 6 uy j

be the variables and

consider one bilinear term xiy j. One variable is discretized in base 2, for example y j, as

follows

y j = uy j

K

∑k=0

2−kα jk

A bilinear model with applications in the feed industry and its global solution analysis 9

ξ f (x∗)+ξ‖x∗− x∗‖ f (x∗) ‖x∗− x∗ipopt‖2 d(x∗,X)

Inst

ance

10,1 2.19 6.90e-05 612.91 8282.841 21.93 4.55e-07 612.11 8282.84

10 78.64 66.02 38.11 1848.93100 90.48 88.68 4.30 230.42

1 000 93.86 92.90 4.26 69.1910 000 95.23 94.92 0.29 15.52100 000 95.89 95.58 0.59 3.84

1 000 000 96.19 96.15 0.04 0.4810 000 000 96.23 96.22 0.004 0.09100 000 000 N/A N/A N/A N/A

Inst

ance

2

0,1 1.90 1.40e-05 769.21 8282.841 19.00 1.01e-06 767.26 8282.84

10 57.47 50.43 102.52 1383.02100 64.63 63.15 5.78 245.50

1 000 67.68 66.91 0.35 75.8510 000 68.68 68.49 0.06 8.88100 000 68.91 68.86 0.008 1.29

1 000 000 68.98 68.97 0.02 0.2510 000 000 68.99 68.98 8.20e-05 0.05100 000 000 N/A N/A N/A N/A

Table 2 Optimal costs of the penalized and the feed cost functions, distance to local solution of the initialproblem (x∗ipopt ) and distance to the feasible set.

where α jk ∈ {0,1} is a binary variable and K is the sampling rate of the discretization. Now,

the bilinear term is given by

xiy j = xiuy j

(

K

∑k=0

2−kα jk

)

= uy j

K

∑k=0

2−kα jkxi.

We can see here that even by discretizing one variable the term is still bilinear. However,

this could be modified by introducing a new variable xi jk such that

xi jk =

{

0 if α jk = 0,xi if α jk = 1.

This variable is set thanks to the four following inequalities

xi jk > 0,xi jk − xi 6 0,−xi jk + xi −uxi

(1−α jk)6 0,xi jk −uxi

α jk 6 0.

(1)

Thus, we get

xiy j = uy j

K

∑k=0

2−kxi jk

which is a linear term in xi jk. Therefore, by replacing each bilinear term by a variable like

xi jk and adding the four equations (1) as constraints for each one, the problem becomes

linear.

10 Emilie Joannopoulos et al.

First we decided to discretize y1 and y2. Applying this discretization to (PPig), we obtain

the following linear model :

minx1,x2,y1,y2,x1,x2,α,β

∑i∈I

∑j∈J

∑k∈K q0i 2−k

(

uy1x1

i jk +uy2x2

i jk

)

,

s.t. dpj 6 ∑

i∈I∑

k∈K

2−kqpi

(

uy1x1

i jk +uy2x2

i jk

)

6 dp

j ∀p ∈ P,∀ j ∈ J,

b 6 A

x1

x2

y1

y2

6 b,

0 6

x1

x2

y1

y2

6

ux1

ux2

uy1

uy2

,

x1i jk > 0 ∀i ∈ I,∀ j ∈ J,∀k ∈ K,

x1i jk − x1i 6 0 ∀i ∈ I,∀ j ∈ J,∀k ∈ K,

−x1i jk + x1i −ux1

(1−α jk)6 0 ∀i ∈ I,∀ j ∈ J,∀k ∈ K,

x1i jk −ux1

α jk 6 0 ∀i ∈ I,∀ j ∈ J,∀k ∈ K,

x2i jk > 0 ∀i ∈ I,∀ j ∈ J,∀k ∈ K,

x2i jk − x2i 6 0 ∀i ∈ I,∀ j ∈ J,∀k ∈ K,

−x2i jk + x2i −ux2

(1−β jk)6 0 ∀i ∈ I,∀ j ∈ J,∀k ∈ K,

x2i jk −ux2

α jk 6 0 ∀i ∈ I,∀ j ∈ J,∀k ∈ K,

α jk,β jk ∈ {0,1} ∀ j ∈ J,∀k ∈ K.(PpigDisc)

This problem could be solved by mixed integer linear solvers and return an approximation of

the solution of the initial problem (PPig) written in continuous variables. The implementation

was done in AMPL and we solved it using CPLEX 12.6 as a mixed integer linear solver.

In order to test this method, we started with a smaller instance of our problem, that is

|J| = 2 and |K| = 4 and |I| and |P| remain unchanged. Then |J| has been increased. Table

3 shows the results for |J| = 2 to |J| = 7 for both typical instances. We can notice that

the values of the optimal solutions are identical for (PPig) and (PpigDisc). However, if we

look at the CPU time taken by CPLEX to solve (PpigDisc) problems, we notice that it grows

exponentially. It increases tenfold for each time that |J| is incremented by one. In the typical

instance, |J| = 111. Thus, the needed time to solve the full discretized problem could be

10100 years. Using (PpigDisc) instead of (PPig) is a good idea to get an approximation of the

global solution but is not appropriate to our problem due to its size and the branch and bound

algorithm used to solve MILP. The lower bounds computed by CPLEX after 30 minutes are

still lower than the one of (PPigId) and thus does not improve it. Also, we observe a similar

behavior when the variables x1 and x2 are discretized instead of y1 and y2.

Even limited in size, this experiment supports our conjecture with global solutions of

the discretized problem close to the continuous variable problem.

A bilinear model with applications in the feed industry and its global solution analysis 11

|J| (PPig) (PpigDisc)obj. value CPU time obj. value CPU time

Inst

ance

12 1.02 0.162931 1.02 5.631643 1.54 0.122153 1.54 79.32654 2.07 0.437493 2.07 714.8435 2.61 0.180731 2.61 3,832.766 3.16 0.339369 3.16 30,988.77 3.71 0.478266 3.71 433,168

Inst

ance

2

2 0.80 0.180719 0.80 4.068983 1.21 0.330983 1.21 52.9664 1.62 0.171164 1.62 286.0315 2.04 0.433399 2.04 2,079.336 2.47 0.389787 2.47 11,210.57 2.90 0.706067 2.90 278,021

Table 3 Optimal cost of the discretized (CPLEX solver) and bilinear (Ipopt solver) model and CPU time (inseconds).

3.1.2 Continuous relaxation of the MILP

The continuous relaxation of a mixed integer linear program provides a lower bound which

can be easily computed thanks to any linear solver. We apply this approach on (PpigDisc) to

determine if this lower bound is greater than the one of (PPigId).

However, this method does not improve the bound since the continuous relaxations of

the MILP are 94.18 and 66.16 for instances 1 and 2 respectively, is lower than the values of

the ideal model (PPigId) (94.84 and 67.23).

3.2 Lagrangian relaxations

The Lagrangian relaxation provides a lower bound of the initial problem. In general terms,

let

minx,y

f (x)

s.t. g(x)6 d(

x)

∈ S

be an optimization program. The Lagrangian function is defined by

L (x,λ ) = f (x)+λ tg(x).

Thus,

h(λ ) = inf(x)∈S

L (x,λ )

is the dual function.

We are interested in looking to the duality gap between the dual and the primal optimal

solutions. If it vanishes that means that the primal optimal solution is a global one. If not,

the dual value may be greater than a lower bound already known and then improve it and

give more information about the global optimal solution. In our instances, the known lower

bound is the optimal value of (PPigId).

12 Emilie Joannopoulos et al.

3.2.1 Subgradient algorithm

We know that h(λ ∗) = maxλ

h(λ )6 f (x∗), but it may be hard to compute it. Thus, we use a

subgradient algorithm to compute an approximation of L (λ ∗). This algorithm is described

in algorithm 1.

Algorithm 1: The subgradient algorithm

1 Select λ0,N > 0;2 for k = 0:N do

3 Compute x∗k ∈ argminx

L (x,λk);

4 Let g(x∗k) be a subgradient of L (x∗k ,λk);5 Evaluate the stepsize αk;6 λk+1 = λk +αkg(x∗k);

Several strategies can be used to compute the stepsize αk. We tested three different ones:

– a fixed stepsize, in our case αk = 1;

– a diminishig non summable stepsize, which satisfies αk > 0, limk→∞

αk = 0 and∞

∑k=1

αk =∞

(in our case αk = 1/k);

– a dynamic stepsize, which is αk =L (xk)−L lev

k

‖g(x∗k)‖ , where f lev

k is an estimate of the optimal

value.

In the case of the dynamic stepsize, L levk where computed in two different ways, either

L evalk = max

06i6kL (x∗k ,λk), δ > 0, or L eval

k = f (x∗) when the optimal solution of the primal

problem is known.

3.2.2 Lagrangian relaxation of the MILP

In this section, we consider the Lagrangian relaxation of the MILP in which all the difficult

constraints were relaxed. We run all the strategies of this algorithm descried above with

parameters λ0 = 0,N = 150 and δ = 1 if necessary. The maximal value of the dual function

computed of all these approaches is 70.87 for instance 1 and 48.96 for instance 2.

A discretization of the ideal model (PPigId) could be done, based on the approach de-

scribed in section 3.1. Its optimal value can be easily computed since the problem is sepa-

rable day to day and is 95.18 for instance 1 and 67.71 for instance 2. They are considered

as lower bound of the global optimal solution of the discretized problems (PpigDisc). In both

instances, algorithm 1 applied to discrete problem computes a lower value.

In that case, the lower bound cannot be improved for this sampling rate of discretization.

3.2.3 Lagrangian relaxation of the bilinear problem

We also applied this approach on the continuous problem. We relaxed all the bilinear terms.

First we solve the primal problem using Ipopt and get a solution x∗0. Let λ ∗0 be the Lagrange

multipliers associated with x∗0. Then, we compare f (x∗0) to h(λ ∗0 ).

For instance 1, f (x∗0) = 96.23 and h(λ ∗0 ) = 54.26 and the duality gap is then 41.97. The

same behavior appears for instance 2, in which f (x∗0) = 68.99 and h(λ ∗0 ) = 24.66 and then

A bilinear model with applications in the feed industry and its global solution analysis 13

Lower boundf (x∗0)

max06k6N

L (x∗k ,λk)of f

Inst

ance

1

MILP 95.18 N/A 70.87

Continuous 94.84 96.23 78.43

Inst

ance

2

MILP 67.71 N/A 48.96

Continuous 67.23 68.99 46.64

Table 4 Summary of the Lagrangian relaxations results.

the duality gap is 44.33. The aim of this approach consists in reducing this gap. Thus, we

apply the subgradient method (algorithm 1) with λ0 = λ ∗0 , the Lagrange multiplier associated

to x∗0, the solution of the bilinear problem, N = 50000 and δ = max(1/k,10−4) if necessary.

The best value for the dual variable computed using algorithm 1 is 78.43 for instance 1

and 46.64 for instance 2. In both cases, this value is still less than the lower bound, that is

the optimal value of (PPigId) and then does not improve it.

For ease of reading, upper and lower bounds and best values of the relaxation have been

grouped in table 4.

3.3 Convex relaxations

This section will be devoted to the presentation of three convex relaxations used to obtain

lower bounds of the initial (PPig).

3.3.1 McCormick relaxation

The first relaxation that we will present is the well-known. McCormick [17] introduced

it in 1976. It provides a linear relaxation of the initial problem by using only the bounds

variables. The concept is the following. Suppose that we have two variables xi and y j that

appear in a bilinear term and such that

lxi6 xi 6 uxi

,

ly j6 y j 6 uy j

.

From these equations, we get

(xi − lxi)(y j − ly j

) > 0,

(xi − lxi)(uy j

− y j) > 0,

(uxi− xi)(y j − ly j

) > 0,

(uxi− xi)(uy j

− y j) > 0,

⇐⇒

xiy j − xily j− y jlxi

+ lxily j

> 0,

xiuy j− xiy j − lxi

uy j+ y jlxi

> 0,

y juxi−uxi

ly j− xiy j + xily j

> 0,

uxiuy j

− y juxi− xiuy j

+ xiy j > 0.

Let zi j = xiy j then we get the system

zi j − xily j− y jlxi

+ lxily j

> 0,

xiuy j− zi j − lxi

uy j+ y jlxi

> 0,

y juxi−uxi

ly j− zi j + xily j

> 0,

uxiuy j

− y juxi− xiuy j

+ zi j > 0.

14 Emilie Joannopoulos et al.

This system is linear in zi j,xi and y j. A linear relaxation of the bilinear initial problem is

given by replacing all the bilinear terms xiy j by zi j and adding in the model the system

described above. This relaxation is called the McCormick relaxation and is very commonly

used.

In the case of the diet problem in the pig industry, the bilinear terms look like xtiyt j for

i ∈ I, j ∈ J and t ∈ {1,2}. x1 and x2 never appear in the same bilinear term, as well as y1 and

y2, x1 and y2 or x2 and y1.

Let x1i j = x1iy1 j and x2i j = x2iy2 j. Application of the McCormick relaxation to (PPig),

yields the following problem :

minx,y

∑i∈I

∑j∈J

q0i (x1i j + x2i j) ,

s.t. dpj 6 ∑

i∈I

qpi (x1i j + x2i j)6 d

p

j ∀p ∈ P,∀ j ∈ J,

b 6 A

x1

x2

y1

y2

6 b,

0 6

x1

x2

y1

y2

6

ux1

ux2

uy1

uy2

,

x1i j > 0 ∀i ∈ I,∀ j ∈ J,uy1 j

x1i − x1i j > 0 ∀i ∈ I,∀ j ∈ J,

ux1iy1 j − x1i j > 0 ∀i ∈ I,∀ j ∈ J,

ux1iuy1 j

−ux1iy1 j −uy1 j

x1i + x1i j > 0 ∀i ∈ I,∀ j ∈ J,

x2i j > 0 ∀i ∈ I,∀ j ∈ J,uy2 j

x2i − x2i j > 0 ∀i ∈ I,∀ j ∈ J,

ux2iy2 j − x2i j > 0 ∀i ∈ I,∀ j ∈ J,

ux2iuy2 j

−ux2iy2 j −uy2 j

x2i + x2i j > 0 ∀i ∈ I,∀ j ∈ J,

(PPigMC)

This problem is linear and we implemented it in AMPL and used CPLEX to solve it. When

solved using CPLEX, we obtain the optimal cost which is less than the known lower bound

in both typical instances. However the model can be improved by adding valid inequalities.

Indeed, in (PPig), there appear the three following linear constraints

y1 j + y2 j 6 w j, (2)

∑i∈I

x1i = 1, (3)

∑i∈I

x2i = 1. (4)

By multiplying (3) by y1 j, as well as y2 j by (4), we get that

y1 j = ∑i∈I

x1iy1 j,

y2 j = ∑i∈I

x2iy2 j,

A bilinear model with applications in the feed industry and its global solution analysis 15

which leads to the modification of the constraint (2) by

y1 j + y2 j = ∑i∈I

x1iy1 j + x2iy2 j 6 w j ⇐⇒ ∑i∈I

x1i j + x2i j 6 w j.

Similarly, the constraints (3) and (4) can be modified in the two following

y1 j = ∑i∈I

x1i j,

y2 j = ∑i∈I

x2i j.

Doing these modifications adds some valid inequalities which we hope improve the relax-

ation. And hopefully, solving this problem leads to a slight improvement. The optimal cost

returned by solvers is 94.84 for instance 1 and 67.23 for instance 2, which are exactly the

lower bounds already known given by solving (PPigId).

A close inspection of this model revealed that the McCormick relaxation including valid

inequalities is, in fact, exactly the same linear problem that models the diet using the optimal

cost feed at each day, namely (PPigId), the model giving the lower bound. Indeed, let xi j =x1i j + x2i j which correspond to the quantity of ingredient i for the diet of the day j. Then

when it is replaced in the model (PPigMC) we notice that it is separable and each subproblem

corresponds exactly to (PSPigId j) problem for all j ∈ J.

The discussion allows us to state the following proposition.

Proposition 2 The McCormick relaxation model and the ideal model are equivalent.

This fact tends to confirm the conjecture that the minimum of our instances determined

by nonlinear solvers is a global one.

3.3.2 Tawarmalani et al. convex hull

More recently, Tawarmalani et al. [21] stated a new result about the convex hull of a bilinear

set.

Proposition 3 Consider B ={

(x,y) ∈ Rn+×R

n+|∑n

i=1(aixiyi +bixi + ciyi)> r}

, where, for

each i ∈ {1, ...,n}, ai,bi and ci are non-negative and r is positive.

Let ηi(xi,yi) =12

(

bixi + ciyi +√

(bixi + ciyi)2 +4airxiyi

)

. Then, the convex hull of B is

given by

conv(B) =

{

(x,y) ∈ Rn+×R

n+|

n

∑i=1

ηi(xi,yi)> r

}

.

Unlike the McCormick relaxation, this one is a nonlinear convex relaxation. It represents

the convex hull of the bilinear set B. We will now apply this approach to the pig’s diet

problem. Because all coefficients in the objective function and constraints are positive in

our instances, the relaxation can be applied only to the ”greater or equal” constraints. The

relaxation obtained is not convex since the problem still has some bilinear constraints of the

type ”less or equal” that are not included in the relaxation.

However, the new problem solved is a relaxation of the initial problem and its solution

is a lower bound of the typical instances. Solving this problem using Ipopt, the optimal cost

16 Emilie Joannopoulos et al.

computed is 89.54 for instance 1 and 62.08 which are far from their respective lower bounds

which are 94.84 and 67.23.

This relaxation is supposed to be the convex hull of the set while McCormick is only a

linear relaxation. The fact that the optimal solution of the Tawarmalani et al. relaxation is

smaller than the one of McCormick relaxation is due to the bounds on variables. The next

section is devoted to show how bounds on variables act on these two relaxations.

3.3.3 Illustration of McCormick and Tawarmalani relaxations

As an illustration of these two relaxations, consider the set

B ={

(x,y,z) ∈ [1,5]3|xy+ z > 4}

.

This set is represented by all the points belonging to [1,5]3 and above the surface on figure

2. Using equations determined in section 3.3.1, the feasible set given by the McCormick

Fig. 2 Representation of the bilinear set B ={

(x,y,z) ∈ [0,5]3|xy+ z > 4}

.Fig. 3 Representation of the bilinear set B and theMcCormick relaxation set BM .

Fig. 4 Representation of the bilinear set B and theconvex hull of Tawarmalani BT .

Fig. 5 Representation of the bilinear set B and bothMcCormick and Tawarmalani relaxations.

relaxation of B is

BM =

{

(x,y,z) ∈ [0,5]3 | z > 4−5x

z 6 4−5y

}

which is represented in figure 3 by all the points above the gray surface.

A bilinear model with applications in the feed industry and its global solution analysis 17

If we apply the proposition 3 to the set B, we get the following set

BT ={

(x,y,z) ∈ R3+ | 2

√xy+ z > 4

}

which is represented in figure 4 by all the points above the black surface. Finally, figure 5

includes both relaxations in addition to the initial bilinear surface.

We can see that both relaxations intersect each other. Thus, it may happen that the Mc-

Cormick relaxation is better than Tawarmalani’s et al. Even more interesting, under ap-

propriate conditions, the McCormick relaxation can be strictly included in the convex hull

describe by Tawarmalani et al. For example, if we consider the bilinear set

B ={

(x,y,z) ∈ [0,ux]× [0,uy]× [0,uz] | xy+bz > r}

then the convex hull is given by

B′ ={

(x,y,z) ∈ [0,ux]× [0,uy]× [0,uz] | √rxy+bz > r

}

.

The convex relaxation for this set is given by the four following equations

xy > 0, (5)

x(uy − y)> 0, (6)

(ux − x)y > 0, (7)

(ux − x)(uy − y)> 0. (8)

By (6) and (7) and the definition of B, we can deduce that

r−bz 6 uyx, (9)

r−bz 6 uxy. (10)

Moreover we get by definition of B′ that

r−bz 6√

rxy. (11)

Then McCormick relaxation is strictly included in B′ if and only if

{

uyx 6√

rxy

uxy 6√

rxy⇐⇒

{

uyx 6√

rxy

uxuyxy 6 rxy⇐⇒

{

uyx 6√

rxy

uxuy 6 r

Thus if r > uxuy then McCormick relaxation is always better than then convex hull of Tawar-

malani et al. Figure 6 illustrates this case for the numerical example. Our typical instances

present a similar situation that the one presented above. Its nonlinear convex relaxation does

not help to determine the global solution and it is preferable to use McCormick relaxation

when there are tight bounds on variables.

18 Emilie Joannopoulos et al.

Fig. 6 Illustration when conditions are met so that McCormick relaxation is strictly included in the convexhull describe by Tawarmalani in proposition 3

3.3.4 SDP relaxation

The last convex relaxation that we present in this paper uses the semidefinite programming

formulation. The idea to use it comes from the paper [3]. Every bilinear problem can be

written as a quadratic program. Indeed, (PPig) can be rewritten

minx,y

xtQ0y,

s.t. xtQpy > dp ∀p ∈ J1,nK,

A

(

x

y

)

> b,

0 6

(

x

y

)

6 m.

The aim of the SDP relaxation is to write the problem as

minx,y,Z

f (x,y,Z),

s.t. b 6 g(x,y,Z)6 B,Z � 0,

where f and g are linear functions. First, let the inner product of two matrices A and B be

defined as

A•B = tr(AB).

A quadratic term ztQz can then be written using the inner product of two matrices. Let

Z = zzt . Thus

ztQz = ∑i, j

Qi jziz j = ∑i, j

Qi jZi j = tr(QZ) = Q•Z.

By a small change of variables z =

(

x

y

)

and adjusting the data matrices, we are able to state

the bilinear problem as follows :

minz,Z

Q0 •Z,

s.t. Qp •Z > dp ∀p ∈ J1,nK,Az > b,0 6 z 6 u,Z = zzt .

A bilinear model with applications in the feed industry and its global solution analysis 19

It is then relaxed by replacing the constraint Z = zzt by

Z � zzt ⇐⇒ Z − zzt � 0 ⇐⇒(

Z z

zt 1

)

� 0.

Thus, the SDP relaxation of a bilinear problem can be written as

minz,Z

Q0 •Z,

s.t. Qp •Z > dp ∀p ∈ J1,nK,Az > b,0 6 z 6 u,(

Z z

zt 1

)

� 0.

(PSDP)

Due to the shape of our typical instances, we can separate the problem by blocks. Indeed,

variables x1 and y1 never appear multiplied by a variable form x2 and y2. Thus, if we consider

z1 =

(

x1

y1

)

and z2 =

(

x2

y2

)

, then the problem looks like

minz,Z

Q0 •Z1 +Q0 •Z2,

s.t. Qp •Z1 +Qp •Z2 > dp ∀p ∈ P ,

A

(

z1

z2

)

> b,

0 6

(

z1

z2

)

6

(

u1

u2

)

,(

Z1 z1

zt1 1

)

� 0,(

Z2 z2

zt2 1

)

� 0.

(PPigSDP)

The dimensions of matrices being smaller, this trick should accelerate the computation of

the solution of the SDP problem. To this problem we can add several valid inequalities. For

example, the new variable Z1 and Z2 represent the quadratic term and then can be bounded

below by 0 and above by uut .

The modeling was done in Matlab R2015b. Solving this problem using CVX [12,11]

and in particular the solver SDPT3 leads to an optimal cost of 94.84 for instance 1 and

67.23 for instance 2, namely exactly the lower bound already known.

After studying this model, we noticed that the SDP relaxation is the same problem that

gives the lower bound, namely the ideal problem (PPigId). For the same reasons that we

claimed in 3.3.1, it is easy to see that by replacing Z1 +Z2 by a new term in (PPigSDP) leads

to solve a problem that determines the optimal cost diet at each day. Moreover, no additional

valid inequalities can be added in order to improve it.

The discussion allows us to state the following proposition.

Proposition 4 The SDP relaxation model and the ideal model are equivalent.

One more time, the lower bound of the typical instance could not be improved and tends

to confirm our conjecture that the solution computed by a nonlinear solver is global.

20 Emilie Joannopoulos et al.

Conclusion

The bilinear problem applied to our typical instances in a strongly NP-hard problem. We

prove it by establishing the equivalence to the pooling formulation. A solution can be found

thanks to nonlinear solvers. For both instances, solving it with 20,000 random starting points

showed that in 100% of cases the same local optimal point is computed. This led us to state

the conjecture that this local solution is a global solution of the instances. The associated

feasibility problem, which computes a feasible solution which has a lower optimal value,

does not converge to any point which corroborates our conjecture. Moreover, global solvers

cannot handle the full-size problem but determine a global solution for smaller problems

which is equal to the local solution when we are looking for a solution with a smaller optimal

value.

Other approaches presented in this paper are relaxations or approximation that support

the conjecture.

We are able to get a mixed integer linear problem by discretizing some of the variables

involved in bilinear terms. This approach leads to a solution close the global minimum of

the bilinear problem. However, it is too slow to solve the entire problem due to the branch

and bound algorithm used. As an example, solve the problem with 32 continuous variables

and 14 integer variables (instead of 222) took around 106 seconds. However, the solution

computed by this approach shows that the solution declared as a local optimum is close

to the approximation of the global solution. It is a good method but not appropriate in our

case since the problem is too large. Nevertheless, it confirms our conjecture for a small in-

stance of our problem. Its continuous relaxation returns a value lower than the lower bound.

Lagrangian relaxations of the discretized and bilinear problems do not improve the lower

bounds for any of the instances. Finally, we presented three convex relaxations for bilinear

terms. These approaches provide lower bounds of the bilinear problem but do not improve

the one already known. However, some of them provide the same lower bound and the gap

between lower and upper bound is at most 2%. They are good bounds but none of the meth-

ods that we tried improved it due to peculiar shape of our diet problem. In the general case,

these methods can produce a good lower bound. The fact that for smaller problems the global

optimal solution is equal to the one returned by a local solver, added to that all approaches

presented in this paper do not improve the solution regardless the data used, tends to con-

firm our conjecture : ”the solution returned by nonlinear solvers as a local optimal solution

is indeed a global solution” for diet models.

References

1. Alfaki, M., Haugland, D.: Strong formulations for the pooling problem. Journal of Global Optimization56(3), 897–916 (2013). DOI 10.1007/s10898-012-9875-6

2. Jean dit Bailleul, P.: Modelisation et optimisation du revenu net de l’engraissement. Master’s thesis,Universite Laval (1998)

3. Bao, X., Sahinidis, N.V., Tawarmalani, M.: Semidefinite relaxations for quadratically constrainedquadratic programming: A review and comparisons. Mathematical Programming 129(1), 129–157(2011). DOI 10.1007/s10107-011-0462-2

4. Beaudoin, I.: Methodes d’optimisation du revenu net de l’engraissement porcin. Master’s thesis, Univer-site de Sherbrooke (2001)

5. Belotti, P.: Couenne: a user’s manual6. Ben-Tal, A., Eiger, G., Gershovitz, V.: Global minimization by reducing the duality gap. Mathematical

Programming 63(1), 193–212 (1994). DOI 10.1007/BF015820667. Dantzig, G.B.: Linear Programming and Extensions. Princeton landmarks in mathematics and physics.

Princeton University Press (1963)

A bilinear model with applications in the feed industry and its global solution analysis 21

8. Dantzig, G.B.: The diet problem. Interfaces 20, 43 – 47 (1990)9. Fourer, R., Gay, D., Kernighan, B.: AMPL: A Modeling Language for Mathematical Programming.

Scientific Press series. Thomson/Brooks/Cole (2003)10. Garille, S.G., Gass, S.I.: Stigler’s diet problem revisited. Operations Research 49(1), 1–13 (2001). DOI

10.1287/opre.49.1.1.1118711. Grant, M., Boyd, S.: Graph implementations for nonsmooth convex programs. In: V. Blondel, S. Boyd,

H. Kimura (eds.) Recent Advances in Learning and Control, Lecture Notes in Control and InformationSciences, pp. 95–110. Springer-Verlag Limited (2008)

12. Grant, M., Boyd, S.: CVX: Matlab software for disciplined convex programming, version 2.1 (2014)13. Haverly, C.A.: Studies of the behavior of recursion for the pooling problem. SIGMAP Bull. (25), 19–28

(1978). DOI 10.1145/1111237.111123814. Joannopoulos, E., Dubeau, F., Dussault, J.P., Pomar, C.: Diet problems. In: Handbook of Operations

Research in Agriculture and the Agri-Food Industry, pp. 397–417 (2015)15. Lancaster, L.M.: The evolution of the diet model in managing food systems. Interfaces 22, 59–68 (1992)16. Lancaster, L.M.: The history of the application of mathematical programming to menu planning. Euro-

pean Journal of Operational Research 57, 339–347 (1992)17. McCormick, G.P.: Computability of global solutions to factorable nonconvex programs: Part I -

Convex underestimating problems. Mathematical Programming 10(1), 147–175 (1976). DOI10.1007/BF01580665

18. Rodriguez, M.A., Vecchietti, A.: A comparative assessment of linearization methods for bilinear models.Computers and Chemical Engineering 48, 218–233 (2013). DOI 10.1016/j.compchemeng.2012.09.011

19. Sahinidis, N.V.: BARON 14.3.1: Global Optimization of Mixed-Integer Nonlinear Programs, User’s

Manual (2014)20. Stigler, G.J.: The cost of subsistence. Journal of Farm Economics 27(2), 303–314 (1945)21. Tawarmalani, M., Richard, J.P.P., Chung, K.: Strong valid inequalities for orthogonal disjunctions and

bilinear covering sets. Mathematical Programming 124(1-2), 481–512 (2010). DOI 10.1007/s10107-010-0374-6

22. Tawarmalani, M., Sahinidis, N.V.: A polyhedral branch-and-cut approach to global optimization. Math-ematical Programming 103, 225–249 (2005)

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❬✶✸❪ ❳✳ ❇❛♦✱ ◆✳ ❱✳ ❙❛❤✐♥✐❞✐s✱ ❛♥❞ ▼✳ ❚❛✇❛r♠❛❧❛♥✐✳ ❙❡♠✐❞❡✜♥✐t❡ r❡❧❛①❛t✐♦♥s ❢♦r q✉❛❞r❛t✐✲

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Résumé

Aujourd'hui, l'alimentation représente plus de 70% du coût de

production en engraissement porcin et dans le contexte

économique actuel, il est important de parvenir à réduire ce

coût.

L'alimentation utilisée actuellement utilise des phases et est

représentée par un modèle linéaire. L'alimentation par

mélanges introduite récemment est représentée par un modèle

bilinéaire.

Nous introduisons ici une nouvelle formulation qui est une

combinaison des alimentations traditionnelle par mélanges : la

méthode hybride. Nous montrons qu'elle permet de réduire le

coût de plus de 5%.

L’étude principale porte sur l'optimisation globale du problème bilinéaire, non convexe, modélisant l'alimentation par mélanges.

La bilinéarité apparaît dans la fonction objectif et dans les

contraintes. Ce problème peut posséder plusieurs minima, mais

nous souhaitons obtenir un minimum global. Il est équivalent à

un problème de pooling et nous montrons qu’il est fortement NP-difficile. Après de premiers résultats, nous énonçons la

conjecture que tout minimum local est global pour ce problème

bilinéaire appliqué à l'industrie porcine. Nous la prouvons sur un

exemple de dimension réduite. Notre problème ne pouvant pas

être résolu avec des solveurs globaux à cause de sa

dimension, nous utilisons des approches telle que la

pénalisation, la discrétisation, et techniques de relaxation

lagrangienne ou convexe. Toutes ces approches supportent

notre conjecture.

Nous faisons également une étude de la robustesse des

modèles à la variation des prix des ingrédients ainsi qu’une étude multicritere nous permettant d’obtenir des résultats numériques réduisant considérablement les rejets, autres

enjeux importants.

N° d’ordre : 18ISAR 10 / D18 - 10 Institut National des Sciences Appliquées de Rennes 20, Avenue des Buttes de Coësmes - CS 14315 - F-35043 Rennes Cedex Tél : 02 23 23 82 00 – Fax : 02 23 23 83 96

Abstract

Today, feed represents more than 70% of the production cost in

growing-finishing pig industry and in the current economic

context, it is important to reduce it.

The feeding system currently used uses phases and is

expressed as a linear model. The feeding system using feeds

introduced more recently is represented by a bilinear model.

We introduced here a new feeding system which is a

combination of feeding systems using phases and feeds: the

hybrid method. We show that it can reduce the feed cost by

more than 5%.

The main part of this manuscript is about global optimization of

the bilinear problem, and non convex, problem modeling

feeding system using feeds. The objective function and some

constraints are bilinear. This problem can have several local

minima but we would like to have a global one. It is equivalent

to a pooling problem and we prove that it is a strongly NP-hard

problem. After a study of first results, we enounce the

conjecture that any local minimum is a global minimum for that

problem applied in the pig industry. We prove it for a small size

example. Our problem cannot be solved by using global solver

due to its size, then we applied some relaxation methods such

as penalization of bilinear terms, their discretization and

Langrangian and convex relaxations. All these approaches

support our conjecture.

Then we study the robustness of the models on the ingredient

price variations and a multicriteria study reducing phosphorus

and nitrogen excretion.

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