Física General III Corriente, resistencia y fuerza electromotriz Optaciano Vásquez García

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CAPITULO VI

CORRIENTE, RESISTENCIA Y FUERZA ELECTROMOTRIZ

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6.1 INTRODUCCIÓN.

Al encender una lámpara, una radio, una computadora, etc. se establece una diferencia de potencial entre los

terminales de entrada de estos dispositivos, lo cual produce un flujo de carga eléctrica o corriente a través de los

circuitos eléctricos y electrónicos que componen estos equipos permitiendo de esta forma el funcionamiento

normal de de los mismos.

Fundamentalmente los circuitos eléctricos y electrónicos son un medio que permite el transporte de energía de

un lugar a otro. Al trasladarse los portadores de carga a través del circuito se transfiere energía potencial de la

fuente (batería o generador) hacia otros dispositivos en el que la energía o se almacena o se convierte en otra

forma de energía tal como ocurre en un bombillo de luz en donde la energía eléctrica se transforma en energía

luminosa, o en una plancha eléctrica en donde la energía se transforma en calor, o se transforma en sonido como

ocurre en la radio. Desde el punto de vista tecnológico los circuitos son partes importantes de una gran cantidad

de dispositivos ya que permiten transportar energía sin el movimiento de piezas móviles. Los circuitos eléctricos

se encuentran en el corazón de las linternas de mano, los reproductores de discos, los equipos de transmisión de

radio y televisión, en los sistemas de distribución domiciliaria e industrial de energía eléctrica.

En este capítulo nos dedicaremos a mostrar las propiedades, principios y leyes que gobiernan al flujo de carga o corriente eléctrica, su relación con la densidad de corriente estableciendo la ley de Ohm y su aplicación,

evaluando su aplicación a los diferentes tipos de conductores para finalmente estudiar el efecto de la

temperatura sobre los conductores. As mismo estudiaremos la forma como las baterías transfieren energía y

corriente a un circuito. Para este análisis utilizaremos la noción de corriente eléctrica, diferencia de potencial,

resistencia y fuerza electromotriz.

6.2 CORRIENTE ELECTRICA.

6.2.1 Flujo de carga en conductores

Si ocurre un flujo de carga en un material conductor, las condiciones dentro de la sustancia ya no son

de las de equilibrio electrostático. Es decir, en condiciones electrodinámicas el campo eléctrico en el interior del

conductor es diferente de cero, dicho campo es el que permite mantener el flujo de carga. Es sabido que en los

átomos de los materiales conductores existen los electrones de valencia, electrones que por estar muy separados

del núcleo tienen la libertar de moverse a través de la red cristalina. Su movimiento se debe a la interacción de

los electrones libres con los demás electrones de los átomos y con los iones formados producto de la separación

de los electrones de valencia. Cuando se aplica una diferencia de potencial ΔV, a un conductor se produce un

campo eléctrico , el cual produce una fuerza eléctrica sobre los electrones libres los mismos que comienzan a moverse a través del conductor dando lugar a un flujo de electricidad o corriente eléctrica.

Es importante precisar que como el número de electrones libres es equilibrado por igual número de cargas positivas en los iones metálicos del conductor, en general dicho conductor en conjunto es eléctricamente neutro

y no existe carga neta. Sin embargo, las cargas positivas en los iones metálicos están fijas en la estructura

cristalina, no pudiendo moverse como lo hacen los electrones. Entonces cuando se establece la diferencia de

potencial en el conductor, son los electrones libres los que constituyen el flujo de carga, mientras que los iones

positivos se mantienen fijos, no ejerciendo influencia, salvo la de mantener la neutralidad eléctrica global.

En general el flujo de carga a través de un material conductor no es constante en el tiempo; pero cuando lo es (en

dirección y sentido), decimos que se ha establecido una corriente contínua (CC) o también corriente directa (CD), en caso contrario se habla de una corriente alterna (CA).

6.2.2 Corriente eléctrica

Las corrientes eléctricas en general se deben al cambio de posición con respecto al tiempo de cualquier

tipo de carga eléctrica (movimiento de portadores de carga). En la actualidad se distinguen las siguientes formas

de corriente eléctrica.

6.2.2.1 Corriente de conducción.

Llamase corriente de conducción al movimiento de los electrones de valencia en un material metálico

(electrones libres) véase la figura 6.1a, o al movimiento de electrones de conducción y de huecos de

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conducción en un semiconductor (Figura 6.1b) o también al movimiento de los iones positivos o

negativos en una solución electrolítica (figura 6.1c9

(a) (b)

(c)

Figura 6.1. (a) Corriente de conducción producida por el movimiento de electrones libres, (b) Corriente de

conducción producida por el movimiento de electrones y de huecos en un semiconductor (c) Corriente de conducción en soluciones electrolíticas

6.2.2.2 Corriente de convección

Se denomina corriente de convección al movimiento de un cuerpo eléctricamente cargado, un

ejemplo lo constituye el movimiento alrededor de su órbita del cuerpo llamado tierra el cual se

encuentra cargada negativamente, otro ejemplo sería el movimiento alrededor de su eje de un anillo o

un disco previamente cargados.

6.2.2.3 Corriente de polarización.

Se denomina corriente de polarización al movimiento de los dipolos eléctricos en un material dieléctrico cuando sobre este se aplica un campo externo

6.2.2.4 Corriente de desplazamiento.

Este tipo de corriente es postulado en el estudio de campos electromagnéticos en el vacío.

6.2.2 Corriente eléctrica de conducción.

Debido a que la inmensa mayoría de aplicaciones tecnológicas implican el uso de corrientes de

conducción, en esta sección nos dedicaremos al estudio de la corriente eléctrica de conducción en materiales

conductores.

Bajo condiciones electrostáticas el campo eléctrico en el interior es cero, por tanto no existe corriente. No

obstante, esto no significa que todas las cargas dentro del conductor estén en reposo. En un metal cualquiera

como el cobre, la plata, el aluminio, algunos electrones como los de valencia tienen la libertad de moverse

dentro del material conductor. Estos electrones libres se mueven en forma aleatoria en todas las direcciones, en

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forma análoga como las moléculas de un gas pero con una rapidez mucho mayor. No obstante, los electrones

libres no escapan del material conductor porque son atraídos hacia los iones positivos del conductor.

Consideremos ahora lo que ocurre si se establece un campo eléctrico constante dentro del conductor. Los

electrones libres se encuentran ahora sometidos a una fuerza eléctrica constante . Si estos electrones estuvieran moviéndose en el vacío, la fuerza le produciría una aceleración uniforme en la dirección de dicha

fuerza de tal manera que después de cierto tiempo los electrones tendrían una gran rapidez. Sin embargo, el movimiento de estos electrones dentro del conductor no el libre sino que ellos interactúan con los demás

electronos y los iones fijos. En cada una de estas colisiones aparece un cambio en la orien tación del movimiento

de los electrones resultando un movimiento al azar. El efecto neto del campo aplicado es que además del

movimiento aleatorio de los electrones hay un movimiento muy lento a de deriva como grupo, en la dirección de

la fuerza tal como se muestra en la figura 6.2. Este desplazamiento se describe en términos de la velocidad de

deriva de los portadores de carga. Por lo tanto, existe una corriente neta dentro del conductor.

Figura 6.2. Trayectoria típica de un electrón dentro de un conductor al cual se le aplica un campo eléctrico.

Aunque el movimiento aleatorio de los electrones tiene una rapidez promedio muy grande, aproximadamente

106 m/s, la rapidez promedio de deriva es pequeña (10-4 m/s). En vista de que los electrones se desplazan tan

lentamente, podríamos preguntarnos por qué la luz aparece tan rápido cuando accionamos un interruptor. La

razón es que el campo eléctrico se establece en el conductor con una rapidez próxima a la de la luz, y los

electrones dentro del conductor comienzan a trasladarse prácticamente al mismo tiempo.

En los diferentes materiales portadores de corriente, las cargas de las partículas móviles pueden ser positivas o

negativas. Así por ejemplo en los metales los portadores de carga son los electrones (negativos), mientras que en

un gas ionizado (plasma) y en las soluciones iónicas los portadores de carga pueden ser positivos o negativos.

En el caso de los semiconductores los portadores de carga son los electrones y el movimiento de vacantes

(huecos) que no es más sino lugares donde faltan electrones y que actúan como cargas positivas. En la figura

6.3 se muestra segmentos de materiales en los cuales se observa el movimiento de diferentes portadores de

carga. En la figura 6.3a, los portadores son positivos, en este caso la fuerza eléctrica tiene la misma dirección

que el campo y la velocidad de deriva es de izquierda a derecha En la figura 6.3b, los portadores móviles son

negativos, en este caso la fuerza tiene sentido opuesto al campo eléctrico y la velocidad de deriva es de derecha a izquierda.

Figura 6.3. (a) Movimiento de portadores de carga positiva a través de un conductor, (b) movimiento de portadores de

carga negativa (electrones en un conductor.

Definimos la dirección de la corriente que en adelante se representa por I, como aquella en la que existe un flujo

de carga positiva. Es decir, consideramos a la corriente como un flujo de cargas positivas, incluso en aquellos

casos en que sabemos que los portadores son los electrones. Por tanto la corriente tendrá un sentido hacia la

derecha en ambos figuras 6.2a y 6.2b. Esta asunción se conoce como corriente convencional.

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Para determinar el valor de la corriente asumamos que un conjunto de portadores de carga positiva se mueven de

izquierda a derecha tal como se muestra en las figuras 6.4a y 6.4b en la misma dirección que la corriente.

Definimos la corriente eléctrica I como la cantidad de carga móvil total que pasa por una sección transversal

fija normal al conductor, por unidad de tiempo. De acuerdo con esta definición, si en un intervalo de tiempo Δt

por la sección transversal A atraviesa una cantidad de carga Δq, la corriente eléctrica será.

qI

t

(6.1)

Para las corrientes que varían con el tiempo la intensidad de la corriente en el instante t se define como el límite

de ⁄ , cuando el intervalo de tiempo Δt tiende a cero, esto es

0lim

t

q dqI

t dt

(6.2)

(a) (b)

Figura 6.4. Movimiento de portadores de carga positivos a través de la sección transversal de un conductor

Para el caso de corrientes continuas o directas, la ecuación (6,2) se escribe

qdq Idt q I dt I

t (6.3)

De estas ecuaciones podemos ver que la intensidad de corriente es una magnitud escalar que tiene como unidad

en el sistema internacional al Amperio definido com0 un Coulomb sobre un segundo, es decir

1 11 1

1 1

coulomb CAmperio A

segundo s

6.2.3 Densidad de corriente ( ).

En cada parte de la sección transversal de un material conductor puede atravesar diferente número de

cargas elementales en un mismo tiempo, por ello es necesario definir la densidad de corriente , la misma que

expresa la intensidad o concentración del flujo de carga en un punto de un medio conductor. La densidad de

corriente es una magnitud vectorial que tiene la misma dirección que el flujo de carga en un punto dado. Su magnitud se determina tomado el límite el flujo de carga o corriente, ΔI por unidad de área ΔA, orientada

perpendicularmente a la dirección del flujo de carga como se muestra en la figura 6.5, esto es

0limA

I dIj

A dA

(6.4)

Figura 6.5 Densidad de corriente para un flujo de carga no uniforme

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Para el caso de un conductor dentro del cual el flujo de cargas libres es la misma en todos los puntos como se

muestra en la figura 6.6, la densidad de corriente , es la misma en todo el conductor. La relación entre la

densidad de corriente y la intensidad de corriente se obtiene integrando la ecuación (6.4) sobre el área

transversal sombreada y considerando a constante. De tal manera que

dI jdA I jdA jA

Ij

A

(6.5)

Figura 6.6. Diagrama para mostrar la relación Corriente y densidad de corriente para flujos de carga

uniformes

Para determinar la densidad de corriente cuando esta varía de un punto a otro dentro de la sustancia conductora

como ocurre en un tubo de descarga gaseosa o un transistor de radio, consideremos un conductor de forma

irregular como se muestra en la figura 6.7, por el que circula una corriente total I de tal manera que la magnitud

y dirección del flujo de carga o corriente y por tanto la densidad de corriente cambian continuamente de un

punto a otro.

Figura 6.7. Diagrama que permite evaluar la relación general entre la intensidad de corriente y l densidad de

corriente en general

Para determinar una relación entre la corriente I y la densidad de corriente , tomemos un área cualquiera de

forma irregular A y dividámoslo en elementos de área dA, entonces el vector unitario normal perpendicular a

dA forma un ángulo θ con la densidad de corriente en dicho punto. Entonces la corriente eléctrica a troves del

área correspondiente será

cosdI jdA j dA (6.6)

Usando la definición de producto escalar la ecuación anterior se puede escribir.

.dI j ndA (6.7)

Integrando la ecuación (6.7), resulta

.A

I j ndA (6.8)

Esta es una relación entre la intensidad de corriente total y la densidad de corriente en el caso más general

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6.2.4 Densidad de corriente en función de la velocidad de deriva de los portadores de carga.

Para determinar una relación entre la densidad de corriente y la velocidad de deriva de los portadores

de carga , consideremos un tubo de corriente de área transversal dA y de longitud dx análogo al tubo de flujo

utilizado en mecánica de fluidos como se muestra en la figura 6.8a. Debido a que las líneas de corriente son paralelas a la superficie lateral del tubo de corriente, no existirá flujo de corriente a través de la superficie lateral

del tubo.

(a) (b)

Figura 6.8. (a) Tubo de corriente utilizado para evaluar la relación entre la densidad de corriente y la densidad de

portadores móviles, (b) tubo de corriente en un conductor recto.

En un intervalo de tiempo dt, toda carga dentro de la sustancia se moverá una distancia dx = vddt, donde vd es la

velocidad de deriva o arrastre de los portadores de carga móviles. En este intervalo de tiempo por el área dA

fluirá una carga total expresada por

( )q vol qdq dV dxdA (6.9)

Donde, ρq la densidad de carga volumétrica y dVvol el volumen del tubo de corriente. Remplazando el valor de

dx = vddt en la ecuación (6.9) se obtiene

( )q ddq v dA dt (6.10)

O sea la carga por unidad de tiempo viene expresada por la ecuación

q d

dqv dA

dt (6.11)

Pero dq/dt es la intensidad de corriente total en el tubo diferencial, entonces tenemos

q ddI v dA (6.12)

Por otro lado la corriente y la densidad de corriente se encuentran relacionadas por la ecuación ,

entonces la ecuación (6.12), se escribe

q dj v (6.13)

Debido a que la densidad de corriente y la velocidad de deriva tienen la misma dirección, la ecuación (6.13) se

puede escribir vectorialmente en la forma

q dj v (6.14)

La ecuación (6.14), expresa que la densidad de corriente es igual al producto de la densidad de carga

volumétrica por la velocidad de deriva de los portadores de carga .

Si existe n partículas cargadas móviles por unidad de volumen. La densidad de carga por unidad de volumen se

expresa en la forma

0q nq (6.15)

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Donde n es el número de partículas por unidad de volumen y q0 es la carga de cada una de ellas. Por lo tanto la

densidad de corriente puede escribirse en la forma

0 dj nq v (6.16)

Si los portadores de carga son los electrones como en el caso de las metales, su carga es , entonces la

densidad de corriente está dada por la ecuación

dj n e v (6.17)

Para el caso de soluciones electrolíticas en donde los portadores de carga son los iones positivos y negativos o

en el caso de los semiconductores en donde los portadores de carga son los electrones y las vacancias (huecos),

la densidad de corriente se determina sumando la densidad de corriente para cada tipo de portador de carga, es

decir

,i i d ij n q v (6.18)

6.3 LEY DE OHM MICROSCÓPICA: Conductividad eléctrica.

Debemos señalar primeramente que en los conductores los portadores de carga no se encuentran en completa

libertada para moverse, es decir su movimiento es aleatorio tal como se muestra en la figura 6.9a, esta

trayectoria que describe los portadores se debe a la interacción con los demás electrones y con los iones fijos de

la red cristalina véase figura 6.9b. Durante estas interacciones (colisiones) los electrones pierden gran cantidad

de energía cinética que la adquirió cuando se aplicó el campo eléctrico , campo que le produce una fuerza

eléctrica .

(a) (b)

Figura 6.9 (a) Trayectoria aleatoria del movimiento de un portador de carga dentro de un conductor, (b) la interacción

de electrones con los iones de la red da lugar a que los iones vibren alrededor de su posición de equilibrio y los electrones se muevan en trayectorias aleatorias según la orientación del campo eléctrico

La conversión de energía eléctrica en energía cinética de los electrones y la posterior conversión en energía

térmica (calentamiento del conductor) podrían representarse como pérdidas debidas a fuerzas de fricción sobre

las cargas móviles. Estas fuerzas de fricción pueden asemejarse a las que aparecen en el movimiento de un

sólido en el interior de un fluido, siendo dichas fuerzas proporcionales a la velocidad de deriva de los electrones

, entonces se tiene

'

r df bv (6.19)

Debido a que la fuerza eléctrica y la fuerza fraccional tienen signos opuestos, después de cierto tiempo esta se

equilibran dando lugar a un movimiento uniforme con una velocidad terminal o límite obtenida a partir de

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' 0e r dF f eE bv

d

ev E

b (6.20)

Donde b es una constante de proporcionalidad y depende del material del cual está hecho el conductor. Por otro

lado denominamos movilidad de los electrones ( ) al cociente e/b, es decir ⁄ , con lo cual escribimos la

ecuación (6.20) en la forma

d ev E (6.21)

Puesto la densidad de corriente es proporcional a la velocidad de deriva de los electrones, al remplazar la

ecuación (6,21) en (6.16), resulta

ej ne E (6.22)

La ecuación (6.22) indica que la densidad de corriente es proporcional al campo eléctrico siendo la constante de

proporcionalidad y se le denomina conductividad eléctrica (σ) y a su recíproco que se le llama resistividad

eléctrica del material. Es decir

1ene

(6.23)

Debe señalarse además que tanto la conductividad así como la resistividad son propiedades que dependen del

material conductor y no dependen del tamaño ni de la geometría del conductor.

Al remplazar la conductividad eléctrica en la ecuación (6,22), obtenemos

1j E E

(6.24)

Es a la ecuación (6.24) que se le conoce como ley de Ohm microscópica. Según esta ecuación la resistividad

eléctrica puede expresarse como

E

j (6.25)

De donde se obtiene que las unidades de la de la resistividad es (V.m/A). Esta ecuación además indica que

cuanto mayor es la resistividad más grande es el campo eléctrico necesario para generar una densidad de corriente. Como veremos más adelante el cociente (V/A) se llama ohm (Ω), por tanto las unidades de la

resistividad en el SI es el (Ω.m). La tabla 6.1 muestra algunos valores de resistividades de materiales. De ella se

observa que los metales y sus aleaciones presentan resistividades más pequeñas, por ello es que estos materiales

son mejores conductores de la electricidad. Por otro lado los aisladores tienen su resistividad mucho mayor que

los conductores, siendo el factor del orden de 1022. Debe señalarse además que el recíproco de la resistividad es

la conductividad cuyas unidades son (Ω.m)-1según esta cantidad, los elementos cuya conductividad es alta son

buenos conductores de la electricidad.

Debe señalarse además que los semiconductores tienen resistividades intermedias entre los metales y los

aislantes. Estos materiales tienen una gran importancia en el diseño de dispositivos electrónicos en virtud de la

manera en que la temperatura y el añadido de impurezas modifican sus propiedades eléctricas.

Un material que cumple con la ley de Ohm se denomina óhmico. En estos materiales, y a una temperatura dada,

la resistividad permanece constante, es decir, no depende del campo eléctrico. Sin embargo existen otros

materiales como los semiconductores cuyo comportamiento es no lineal denominados no óhmicos, en estos

materiales, la densidad de corriente depende del campo eléctrico.

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Tabla I. Resistividad, conductividad y coeficiente de temperatura de algunos materiales

MATERIAL RESISTIVIDAD

ρ (Ω.m)

CONDUCTIVIDAD

σ (Ω.m)-1

COEFICIENTE DE

TEMPERA.

α (°C)-1

Elementos

Plata

1,47.10-8

6,29.107

0,0038

Cobre 1,72.10-8 5,81.107 0,00393

Oro 2,44.10-8 4,09.107 0,004

Aluminio 2,75.10-8 3,55.107 0.0039

Tungsteno 3,25.10-8 1,80.107 0,0045

Hierro 10,00.10-8 1,00.107 0,0050

Plomo 22,00.10-8 6,29.107 0,0043

Mercurio 95,00.10-8 0,1.107 0,00088

Aleaciones

Manganina

44.10-8

0,23.107

1,00.10-5

Constantán 49.10-8 0,23.107 0,00001

Nicromo 100.10-8 0,1.107 0,0004

Carbono puro

(grafito)

3,5.10-5 2,9.104 -0,0005

Germanio puro 0,60 2,2 -0,048

Silicio puro 2300 1,6.10-3 -0,075

Aisladores

Vidrio

1010 – 1014

10-10 – 10-144

Azufre 1015 10-15

Cuarzo 75.1016 1,73.10-18

Mica 1011 - 1015 10-11 – 10-15

6.3.1 Resistividad y la temperatura.

La resistividad de un material conductor casi siempre aumenta con la temperatura como se muestra en

la figura 6.9a. Esto se debe a que cuando se eleva la temperatura de un conductor, los iones del conductor viran

con mayor amplitud aumentando de esta manera la probabilidad de que un electrón en movimiento colisione con

un ión. En consecuencia disminuye la velocidad de deriva del portador dentro del conductor, disminuyendo de

este modo la corriente. Si el rango de variación de temperaturas es hasta 100°C, la resistividad del material

puede escribirse en la forma.

0 0( ) [1 ( )]T T T (6.26)

Donde ρ0 es la resistividad a una temperatura de referencia T0 con frecuencia tomada a 0°C 0 a 20°C y ρ(T) es la

resistividad a cualquier temperatura T. El factor α se denomina coeficiente de temperatura de la resistividad su

valor para algunos materiales está dado en la Tabla I . De dicha tabla se observa que para el caso del grafito y los

semiconductores la resistividad disminuye al aumentar la temperatura por tanto el coeficiente de temperatura de

la resistividad de estos materiales es negativa. En el caso de los semiconductores esta propiedad nos permite

diseñar los termistores.

Figura 6.10 Variación de la resistividad con la temperatura: (a) Para un metal (la resistividad aumenta con el

incremento de temperatura, (b) En un semiconductor la resistividad disminuye al aumenta T

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281

6.3.2 Superconductividad.

Ciertos materiales tales como óxidos metálicos y algunas otras aleaciones presentan un fenómeno denominado superconductividad. Este fenómeno consiste en que al disminuir la temperatura de estos materiales,

al principio la resistividad disminuye uniformemente. Sin embargo cuando se alcanza cierta temperatura

denominada temperatura crítica TC aparece una transición de fase y la resistividad desciende abruptamente a

cero, como se muestra en la figura 6.11a. Es decir, si en estos materiales superconductores se establece una

corriente eléctrica ella se mantiene sin la necesidad de un campo eléctrico. Este fenómeno fue descubierto por

Heike Kamelingh Onnes en 1911 quien observo que cuando la temperatura del mercurio disminuyó a valores del

orden de lo 4,2K, su resistividad disminuía súbitamente a cero. Durante 70 años se ka alcanzado temperaturas

críticas del orden de los 20K. Este es un indicador que solo había superconductividad cuando estos materiales se

enfriaban en helio líquido (costoso) o hidrógeno líquido (explosivo). Posteriormente, Muller y Bednortz

descubrieron que el óxido de bario, lantano y cobre se convertían en superconductores a temperaturas de los

40K. Posteriormente en los años 1987 se obtuvo un óxido complejo de itrio, cobre y bario con

superconductividades a temperaturas de los 77K. En la actualidad se ha encontrado sustancias conductoras a temperaturas de los 160K, existiendo la posibilidad de encontrar superconductores a temperatura ambiente.

Si esta hipótesis se lograra cumplir aparecería una enorme modernización con implicancias tecnológicas muy

grandes. Una de las aplicaciones importantes es la fabricación de imanes superconductores, en los que los

campos magnéticos son diez veces mayores a los campos magnéticos producidos por los mejores electroimanes.

En la actualidad los imanes superconductores son usados para obtener imágenes por resonancia magnética en el

campo de la medicina. En la figura 6.11b se muestra una de las aplicaciones de la superconductividad.

(a) (b)

Figura 6.11. (a) Variación de la resistencia con la temperatura para el mercurio, se observa que para temperaturas

inferiores a TC = 4,2K, la resistencia cae súbitamente a cero; (b) Imán permanente pequeño levitando por encima de un disco superconductor deYBa2Cu3O7 a una temperatura de 77K

6.4 RESISTENCIA ELECTRICA

6.4.1 Ley de Ohm macroscópica.

Para obtener una forma más usual de la ley de Ohm para aplicaciones prácticas consideremos un

segmento recto de alambre de longitud L y sección transversal A, como se muestra en la figura 6.12, entre

cuyos extremos se ha aplicado una diferencia de potencial , la misma que produce un campo

eléctrico y una corriente I.

Figura 6.12. Conductor de longitud L y sección A uniforme al que se le aplica una diferencia de potencial ΔV, la

misma que produce un campo y como tal una corriente I

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282

Asumiendo que el campo en el interior es diferente de cero y a la vez uniforme, entonces la diferencia de potencial entre los extremos b y a será

.a

bV E ds EL (6.26)

Despejando el campo eléctrico se tiene

VE

L

(6.27)

Remplazando la ecuación (6.27) en la ecuación (6.24), la densidad de corriente puede escribirse en la forma

( )V

jL

(6.28)

Teniendo en cuenta que la densidad de corriente es la intensidad de corriente por unidad de área perpendicular,

esto es ⁄ , la ecuación (6.28) se transforma en

( )I V V

A L l

LV I

A (6.29)

Es a la cantidad ( ⁄ ), que se le conoce como Resistencia (R), del material, entonces

LR

A (6.30)

Al remplazar la ecuación (6.30) en (6.29), se obtiene

V RI (6.31)

La expresión dada por la ecuación (6.31), se le conoce como ley de Ohm macroscópica, pero es importante

comprender que el verdadero contenido de la ley de Ohm es la proporcionalidad directa (en el caso de ciertos

materiales) entre la diferencia con respecto a la intensidad de corriente I o de la densidad de corriente j con

respecto al campo eléctrico E. La ecuación (6.31) define la resistencia R de cualquier conductor, ya sea que

obedezca la ley de Ohm o no, pero cuando R es constante el correcto llamar ley de Ohm a esta relación

Aun cuando la ecuación (6.31) muestra una relación entre la resistencia, la diferencia de potencial y la

intensidad de corriente, debe precisarse que la resistencia R de cualquier material conductor es totalmente

independiente de la diferencia de potencial aplicada y de la intensidad de corriente, siendo más bien dependiente

de la geometría del conductor y de la naturaleza del material, así por ejemplo si el conductor es recto de longitud

l y sección transversal constante la resistencia R es proporcional a la longitud l e inversamente proporcional al

área de la sección transversal A, siendo la constante de proporcionalidad la resistividad ρ

En general, la resistencia R, de cualquier material de forma arbitraria se determina usando la relación

. .

. .A A

E ds E dsVR

I j ndA E ndA

(6.32)

De acuerdo con la ecuación (6.32), la unidad de la resistencia R en el sistema internacional de unidades es el

ohmio, representada por la letra omega del alfabeto griego (Ω). Entonces

11

1

V

A (6.33)

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283

Para el caso de los resistores que obedecen la ley de Ohm, su gráfica intensidad de corriente en función de la

diferencia de potencial es una línea recta como se muestra en la figura 6.13a. En el caso de dispositivos que no

cumplen con la ley de Ohm, la relación intensidad de corriente y diferencia de potencial puede no ser una

proporción directa, y puede ser diferente con respecto a los sentidos de la corriente. La figura 6.13b, muestra la

curva característica para un diodo de vacio utilizado para convertir corriente alterna de alto voltaje en corriente

contínua, Con potenciales positivos en el ánodo con respecto al cátodo, la corriente I es aproximadamente

proporcional a ( ) ; mientras que con potenciales negativos la corriente es extremadamente pequeña. El

comportamiento d los diodos semiconductores (figura 6.8c) es algo diferente.

(a) (b) (c)

Figura 6.13. Relación intensidad de corriente: (a) Resistencia óhmica, (b) Diodo de vacío y (c) Diodo semiconductor

6.4.2 Variación de la resistencia con la temperatura.

Se ha visto en la sección 2.7 que la resistividad de un conductor varía de manera lineal con la

temperatura de acuerdo con la ecuación

0 0( ) [1 ( )]T T T

Por otro lado debido a que la resistencia es proporcional a la resistividad, entonces, se puede escribir la

resistencia del conductor en función de la temperatura, esto es

0 0( ) [1 ( )]R T R T T 6.34)

6.4.3 Estudio de la resistencia eléctrica..

Un dispositivo utilizado en circuitos de modo que tenga un valor específico de resistencia entre sus extremos se llama resistor. Se pueden adquirir en el mercado resistores cuyos valores van desde 0,01Ω hasta

107Ω. Los resistores individuales utilizados en instalaciones electrónicas tienen la forma de cilindros pequeños

de algunos milímetros de diámetro y de longitud, con alambres que sobresalen de sus extremos, en los cuales se

ha plasmado bandas de colores tal como se muestra en la figura 6.14a y la figura 6.14b se muestra un conjunto

de resistores con bandas de diversos colores.

Figura 6.14. (a) Resistencia óhmica usada en circuitos, (b) Conjunto de resistencias de diversos valores

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284

Cada una de estas resistencias está marcado con un código estándar de tres o cuatro bandas de color cerca de

uno de los extremos como se muestra en la figura 6.15a, de acuerdo con el esquema que se muestra en la tabla

II. La primeras dos bandas (a partir del extremo más próximo) son dígitos, y la tercera es un multiplicador de

potencia de diez. Su representación en el lenguaje de circuitos es la mostrada en la figura 6.15b, para una

resistencia fija y la figura 6.15c para una resistencia variable. Otra característica importante de un resistor es la

energía eléctrica que puede disipar sin sufrir daño, esto es la potencia de trabajo.

(a) (b) (b)

Figura 6.15. (a) Resistencia mostrando las bandas de colores e indicando la forma como se determina su valor

mediante el código de colores, (b) representación de una resistencia fija y (c) representación de una

resistencia variable en un circuito.

Tabla II. Código de colores para resistencias

En la figura 6.16a, se muestra las componentes básicas de un resistor y en la figura 6.16b su instalación en

circuitos eléctricos y electrónicos

(a) (b)

Figura 6.16. (a) Componentes de una resistencia y (b) Instalación de resistencias en un circuito

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285

Debe indicarse además que los resistores mostrados en las graficas anteriores no son el único tipo de resistencia

que se usa en instalaciones eléctricas y electrónicas. En general también se usan resistencias variables o con los

potenciómetros, los mismos que se muestran en la figura 6.17,

Figura 6.17. Fotografía de varios potenciómetros (resistencias variables)

Una de las resistencia variables muy utilizado en el laboratorio es el Reóstato (Rh), el cual tiene un control

deslizante, y tres conectores (uno en la parte superior y dos en la parte inferior) como se muestra en la figura

6.18a, cuando el reóstato es conectado con la parte superior a un circuito y la parte inferior al otro extremo del

circuito, la resistencia se puede variar mediante el movimiento del control deslizante, controlando de este modo

el flujo de corriente a través del reóstato representada por la línea de color rojo en la fotografía. La figura 6.18b

muestra la representación en el lenguaje circuital del reóstato.

Figura 6.18. (a) Fotografía de un reóstato y (b) representación esquemática de un reóstato.

Por otro lado existen resistencias variables cuya resistencia varía con la variación de temperatura (termistores) representados en la figura 6.14b y aquellos que varían con la incidencia de la luz (celda fotoconductora)

representada en la figura 6.14b

Figura 6.19. (a) Fotografía de varios termistores y (b) Fotografía de una celda fotoconductora

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286

6.7 FUERZA ELECTROMOTRIZ Y CIRCUITOS.

Para que un conductor tenga una corriente constante, dicho conductor debe ser parte de un circuito. Esto es

necesario debido a que cuando se establece una diferencia de potencial , entre sus extremos, aparecerá un

campo eléctrico en el interior el mismo que producirá una fuerza eléctrica sobre los portadores de carga

originándose una corriente eléctrica (flujo de portadores de carga) con una densidad de corriente como se muestra en la figura 6.20a. Sin embargo, si el conductor no es parte de un circuito la diferencia de potencial

aplicada ocasionará que en un tiempo muy pequeño se acumule carga positiva en lado del conductor y en el otro

se acumule una carga negativa como se ve en la figura 6.20b, dichas carga dan origen a un campo propio de

sentido opuesto , el cual cancela al campo aplicado , llegando después de dicho tiempo el campo neto en el

interior igual a cero y como tal la corriente eléctrica también será nula, como se muestra en la figura 6.20 b

Figura 6.20. (a) El campo originado por la aplicación de una diferencia de potencial genera una corriente, (b) la

corriente provoca una acumulación de carga en los extremos apareciendo un campo inducido que

disminuye el campo original, (c) después de un tiempo muy corto el campo original es cancelado por el

campo inducido siendo el campo neto en el interior nulo.

Por lo tanto, para que una corriente (flujo de carga) se mantenga en el conductor, es necesario que el conductor

esté conectado a un circuito, más aun debe existir un agente externo el cual debe mantener la diferencia de

potencial necesaria para aumentar la energía potencial de las cargas. Este agente no es más sino una fuente de

fem (batería, generador, etc).

6.7.1 Fuerza electromotriz (fem).

Se ha dicho que para mantener una corriente eléctrica en un conductor, en alguna parte del circuito debe

haber un elemento activo de tal manera que empuje una carga positiva desde un punto de menor potencial a otro

de mayor potencial venciendo de esta forma el campo electrostático el que produce una fuerza eléctrica

. La fuente que hace este trabajo se denomina fuente generadora de fuerza electromotriz o simplemente

fuerza electromotriz ( ), la que ejerce una fuerza , sobre los portadores tal como se muestra en la figura 6.21a,

llevando los portadores del borne a hacia el borne b. Debemos precisar que el nombre de fuerza electromotriz no es una fuerza, sino más bien una cantidad de energía por unidad de tiempo, siendo sus unidades las mismas que

las de diferencia de potencial, esto es: el volt (V). Así por ejemplo, una batería utilizada para la linterna tiene

una fem de 1,5 V, es decir, la batería realiza un trabajo de 1J sobre cada coulomb de carga que pasa a través de

ella.

En general se llama fuente generadora de fem a cualquier dispositivo que transforma energía no eléctrica

(mecánica, química, solar, térmica, etc.) en energía potencial eléctrica y la transfiere al circuito al cual se

encuentra conectado el dispositivo. Las principales fuentes fem son: las baterías, los generadores eléctricos, las

caldas solares, las pilas termoeléctricas y las celdas de combustibles. Una fuente generadora de fem ideal

mantiene sus bornes a una diferencia de potencial constante es decir . Por esto es que se define a la fem como la magnitud de la diferencia de potencial. Sin embargo, en la naturaleza no existe fuente de fem ideal,

ya que todas tienen resistencia interna por tanto la fem se relaciona con la diferencia de potencial mediante la

ecuación . La figura 6.21a, corresponde a una fuente ideal de fem que mantiene una diferencia

de potencial entre sus bornes a y b, siendo el borne a el que se encuentra a mayor potencial que el borne b dicha

diferencia de potencial produce un campo electrostático el mismo que produce una fuera electrostática

sobre una carga positiva. Para mantener dicha diferencia de potencial la fuente de fem hace un trabajo

no electrostático produciendo una fuerza no electrostática sobre la carga +q obligándola a moverse del borne b hacia a. Este trabajo por ejemplo en una batería se debe a la energía química producida en el interior de la

batería producto de las reacciones químicas que en ella se producen.

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287

Figura 6.21 (a) diagrama esquemático de una fuente de fem; (b) diagrama de una fuente de fem instalada en un

circuito cerrado

Cuando se produce el traslado de una carga +q del borne b al borne a, la fuerza no electrostática realiza un

trabajo positivo ( ) sobre la carga, originando un desplazamiento en contra del campo electrostático

por lo tanto la energía potencial asociada a la carga aumenta en una cantidad ( ), por otro lado la fuerza

electrostática también ejerce un trabajo pero en este caso es negativo, de tal manera que el trabajo neto es nulo,

es decir no existe variación de energía cinética de la carga. Esto es como si se moviera un cuerpo a velocidad

constante. Pues bien, el aumento de energía potencial en la fuente ideal será igual al trabajo no electrostático, es

decir

b aq W q V

V

(6.35)

Con la fuente de fem formemos un circuito como se muestra en la figura 6.21b, la diferencia de potencial

establecerá un campo eléctrico en el interior del alambre esto produce un flujo de carga o corriente a través del

conductor de mayor a menor potencial. De acuerdo con la ley de Ohm dicha diferencia de potencial será

, con lo cual la ecuación 6,35 se escribe en la forma

V IR (6.36)

6.7.2 Resistencia interna de una fem.

En la naturaleza no se encuentra fuente ideal alguna, es decir todas tienen una resistencia interna,

entonces la fem ( ) no es igual a la diferencia de potencial . Esto se debe a que cuando se mueve un portador

de carga en el interior de la fuente de fem experimenta una oposición (resistencia). Es a esta resistencia que se le

denomina resistencia interna (r) y que si cumple con la ley de Ohm, entonces en ella habrá una caída de

potencial (– ), de tal forma que cuando exite flujo de corriente a través de la fuente, la diferencia de potencial

entre los bosrnes será

V rI (6.37)

Es decir, la diferencia de potencial entre los bornes a y b es inferior a la fuerza electromotriz debido al término

(– ), el aumento de energía potencial que se produce cuando se traslada la carga q de b hasta a es menor que el

trabajo realizado por la fuente de fem ya que parte de la energía se pierde en la resistencia interna en forma de

calor.

Si se tiene una batería de 9 V, tiene una fem de 9 V, pero la diferencia de potencial entre sus bornes será igual a 9

V si ninguna corriente circula a través de ella. Si la batería es parte de un circuito cerrado la diferencia de potencial será menor de 9 V. Es decir, en una fuente real la diferencia de potencial entre sus bornes será menor

cuando a través de ella fluya corriente (véase la figura 6.22a) y será igual a la fem si a través de ella no circula

corriente (figura 6.22b).

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288

Figura 6.22. (a) Cuando el interruptor está cerrado la diferencia de potencial entre los bornes de la fuente de fem es

menor que la fem; (b) cuando el interruptor se encuentra abierto la diferencia de potencial entre los

bornes es igual a la fem.

La corriente en el circuito externo conectado a los bornes de la fuente sigue cumpliendo con la ley de Ohm si el

elemento pasivo es óhmico ( ). Al combinar esta ecuación con la ecuación 6.37, se tiene

rI RI

Ir R

(6.38)

Es decir la corriente en el circuito es igual al cociente de la fem y la resistencia total del circuito (r + R).

El cambio neto de energía potencial de una carga q que recorre un circuito completo debe ser cero. Por tanto, el

cambio neto de diferencias de potencial alrededor del circuito debe ser nulo. Es decir, la suma algebraica de las

diferencias de potencial a través del circuito cerrado debe ser nula. Entonces se tiene

0

0

r RV V V

rI RI

(6.39)

Aquí se observa que una ganancia de potencial en la fuente de fem se compensa con las pérdidas de energía en

la resistencia interna r y en la resistencia externa R. En la figura 6.23 se observa la variación de potencial a medida que se recorre un circuito.

Figura 6.23. (a) Diagrama de un circuito en donde se muestra una fuente de fem y resistencia interna r conectada a

un resistor externo R; (b) representación gráfica de las variaciones de potencial a través del circuito

seguido en sentido anti horario.

6.8 ENERGÍA Y POTENCIA EN CIRCUITOS ELECTRICOS.

Cuando se aplica una diferencia de potencial ΔV, entre los extremos de un conductor, aparece un campo

eléctrico , en el interior del mismo, éste campo produce una fuerza eléctrica , la misma que acelera a los portadores de carga (electrones) en el metal en un tiempo muy pequeño, haciendo que el conjunto de

electrones incremente su energía cinética. Sin embargo, esta energía cinética rápidamente se convierte en

energía interna del conductor debido a las interacciones (choques) de los electrones con los iones de la

Física General III Corriente, resistencia y fuerza electromotriz Optaciano Vásquez García

289

estructura cristalina. El aumento de energía interna da lugar a un incremento de la temperatura del conductor (el

conductor se calienta). Este fenómeno se conoce como efecto Joule, el mismo que es aprovechado en el diseño

de un conjunto de dispositivos como por ejemplo: planchas eléctricas, hornillos eléctricos, etc.

Para determinar la energía transformada, consideremos una porción de alambre en forma de cilindro circular

recto de longitud y sección transversal A, como se muestra en la figura 6.24. En el tiempo , una carga entra por el punto a el cual se encuentra a un potencial Va y una cantidad de carga igual sale por el punto b el

cual se mantiene a un potencial Vb. Es decir, la carga al pasar de un punto de mayor potencial a a otro de

menor potencial b, experimenta una pérdida de energía potencial dada por

( ) ( )b aU q V V V q (6.40)

En donde, Va - Vb, es la disminución o caída de potencial a través del segmento de conductor. La energía

perdida será

( )eU V q (6.41)

Dividiendo la ecuación (6.41) entre el tiempo dt, se obtiene la pérdida de energía por unidad de tiempo, la

misma que se expresa como

eU qV

t t

(6.42)

Pero la carga por unidad de tiempo es la intensidad de corriente ⁄ , y la energía por unidad de tiempo es la potencial eléctrica disipada P en el segmento de conductor. Es decir,

( )P I V (6.43)

La unidad de la potencia disipada en el sistema internacional de unidades es el Watt (W), es decir

1 (1 / )(1 / ) (1 )(1 )

1 1 (1 )

Watt C s J s amperio voltio

W A V

Figura 6.24. Diagrama esquemático utilizado para determinar la energía perdida por unidad de tiempo en un

conductor.

6.8.1 Resistencia pura.

Si el elemento del circuito es un resistor la diferencia de potencial entre los extremos según la ley de

Ohm es ( ). Entonces, la potencia disipara en el conductor será

22 ( )

( )V

P I V I RR

(6.44)

Es decir, al fluir carga (corriente) a través del resistor, se disipa energía en este elemento razón de I2R. Por esta

razón cada uno de estos elementos vienen especificados con su potencial nominal, es decir debe conocerse la

máxima potencia que el dispositivo puede disipar sin sobrecalentarse y sufrir daños. Debe señalarse además

que ciertos dispositivos como los calentadores eléctricos, se diseñan para transferir calor a su entorno. Pero si se

excede su potencia nominal, esos dispositivos pueden fundirse e incluso estallar.

Física General III Corriente, resistencia y fuerza electromotriz Optaciano Vásquez García

290

6.8.2 Potencia de salida en una fuente generadora de fem.

La figura 6.25a, representa una fuente de fem ε con una resistencia interna r, conectada mediante

alambres conductores de resistencia despreciable a un circuito externo representado por el rectángulo inferior y

en la figura 6.25b se muestra el circuito correspondiente

Figura 6.25 (a) Circuito eléctrico en donde se realiza la conversión de energía no eléctrica en eléctrica, (b)

Circuito equivalente

La fuente de fem , podría ser la batería de un automóvil cuya resistencia interna es r no es visible a simple

vista, pero podría tener una representación esquemática tal como se muestra en la figura 6.26a, dicha batería se

encuentra instalada al faro de un automóvil como se ve en la figura 6.26b.

Figura 6.25 (a) Batería de un automóvil mostrando la resistencia interna, (b) Batería de un automóvil conectada a

un faro

El potencial del borne a es mayor que el de b, por tanto la corriente fluye convencionalmente desde el borne de mayor potencial entregándose energía al circuito externo (faro). La rapidez con la que se entrega energía al

circuito será

abP I V (6.45)

Para el caso de una fem ε y resistencia interna r, la diferencia de potencial entre los bornes a y b es

ab a bV V V rI

Remplazando esta ecuación en la ecuación (6.45) resulta

2( )P I rI I rI (6.46)

En esta ecuación, el término representa la rapidez de conversión de energía no eléctrica en energía eléctrica

en el interior de la fuente de fem y el término representa la proporción a la que se disipa energía eléctrica en

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291

la resistencia interna de la fuente de fem. La diferencia 2I rI es la potencia neta útil de la fuente, es decir, la

rapidez a la que la fuente de fem entrega energía eléctrica al resto de circuito.

6.8.3 Potencia de entrada en una fuente generadora de fem.

Si el rectángulo de la parte inferior del circuito mostrado en la figura 6.25a es una fuente cuya fuerza

electromotriz es mayor que la de la fuente de fem mostrada en la parte superior. En la figura 6.27 se muestra un

ejemplo práctico que no es más sino el proceso de carga de una batería de un automóvil (el elemento superior

del circuito) por el alternador del automóvil (el elemento inferior en el circuito). Aquí observamos que el sentido

de la corriente es opuesta al mostrado en la figura 6.26b; es decir, la fuente inferior está empujada en dirección

contraria a través de la fuente de fem superior. Debido a la inversión de esta corriente, la ecuación para la diferencia d potencial entre los bornes a y b sería

ab a bV V V rI

Y la potencia sería,

2( )P I rI I rI En lugar de que el agente que genera la fuerza no electrostática de la fuente de fem

superior realice trabajo sobre los portadores de carga, se está realizando trabajo sobre la fuente de fem. Es decir,

en la fuente de fem superior se está realizándose una conversión de energía eléctrica en energía no eléctrica

(cargándose la batería). El término es una vez más la disipación de energía en la fuente de fem y el término 2( )I rI es la potencia total de alimentación de la fuente superior. Esto es lo que sucede cuando se conecta

una batería recargable (acumulador) a un cargador. El cargador suministra energía eléctrica a la batería, una

parte de esta energía se transforma en energía química, para someterse más tarde a una reconversión y el reto se

disipa en la resistencia interna de la batería calentando ésta y provocando un flujo de calor hacia fuera de ella.

Figura 6.25 (a) Circuito eléctrico en donde se muestra la conexión de un alternador con una fem (mayor) con

una batería cuya fem es (inferior), este circuito es utilizado para cargar una batería

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292

PROBLEMAS RESUELTOS

1. A través de un conductor de cobre de 1,2 mm de diámetro fluye una corriente de 2 A. Determine: (a)

la densidad de corriente, (b) la velocidad de

desplazamiento de los electrones sabiendo que la

densidad electrónica es n = 2,3 .1029 electrones/m3.

Solución

(a) Cálculo de la densidad de corriente.

2

6 2

2

3 2

4

/ 4

4(2 )

[1,2.10

1,77.10

]

/j A m

I I Ij

A d d

Aj

m

(b) Cálculo de la velocidad de deriva. La densidad

de corriente y la velocidad de deriva está

relacionada por la ecuación

6 2 29 3 191,77.10 / 2,3.10 / (1,6.10 )

e d

d

j nq v

A m electrones m C v

40,48.10 /dv m s

2. La densidad del aluminio es de 2,7 g/cm3 y su masa

atómica es de 27 g/mol; cada átomo tiene tres

electrones de conducción. (a) Determine el número

de electrones por cm3. (b) Si en alambre de

aluminio de 1mm2 de área de sección transversal

fluye una corriente de 10 mA, obtenga la velocidad

de deriva de los electrones.

Solución

(a) Cálculo de la densidad electrónica

( )(#

(# / )densidad de Abogadro

n de electrones libres átomoMasa atómica

23 3

23(2,7 / )(6,02.10 / )(3 / )

27 /

1,866.10 /

g mol at mo

n ele

ln elec at

g mo

ctrones m

l

c

(b) Cálculo de la velocidad de deriva

3

29 3 19 6 2

10.10

1,866.10 / (1,6.10 )(1.10 )

e d d

e

d

I Ij nq v v

A nq A

Av

elect m C m

73,47.10 /dv m s

3. En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno se

postula que un electrón del más bajo estado de

energía se mueve en una órbita circular de radio

a0 = 5,29.10-11 m alrededor de un protón.

Determine la velocidad del electrón, (b) ¿cuál será la corriente efectiva asociada con el movimiento

del electrón moviéndose en su órbita?.

Solución

En la figura se muestra el movimiento del electrón

alrededor del núcleo.

El electrón se encuentra sometido a la fuerza

eléctrica por tanto, aplicando la segunda ley de

newton al movimiento de esta partícula se tiene

2

0

2 2

2

0 0

2 9 19

31 11

0

9.10 (1,6.10 )

9,11.10 (5,29.10 )

n n e e

e

e

vF ma F m

a

e vk m

a a

kev

m a

62,19.10 /v m s

Debido a que el electrón gira uniformemente, se

tiene

0

11 6

16

2

2 (5,29.10 ) (2,19.10 / )

1,52.10

eS a v t

m m s t

t s

La corriente total en este tiempo será

19

16

1,6.10

1,5 0

1,05

2.1

q CI

t s

I mA

4. La cantidad de carga q (en coulombs) que ha

pasado a través de una superficie de área igual a 1,5

cm2 varía en función del tiempo según la ecuación

Física General III Corriente, resistencia y fuerza electromotriz Optaciano Vásquez García

293

q = 4t3 + 5t + 6, estando t especifica en segundo.

(a) ¿Cuál es la corriente instantánea que pasa a

través de la superficie en t = 2s? (b) ¿Cuál es el

valor de la densidad de corriente?.

Solución

(a) Corriente instantánea en t = 2 s

3

2

2

2

( ) (4 5 6)

( ) 12 5

12(2) 5

dq dI t t t

dt dt

I t t

I

2 53I A

(b) La densidad de corriente será

4

2

2

53

1,5.1

,3 /

0

35

I A

j

jA m

A m

5. Sobre un anillo de radio R se ha distribuido

uniformemente una densidad de carga lineal λq. Si a

este anillo se hace rotar alrededor de su eje con una

rapidez angular ω. Determine la corriente de

convección en un punto del anillo.

Solución

En la figura se muestra el anillo

La carga total que pasa por la sección transversal

será

( ) (2 )

q

q C q

dq q

dl l

q l R

Al hacer girar al anillo en torno al eje z, la rotación

da lugar a la aparición de una corriente de

convección. Entonces la corriente que fluye a

través de la sección M es

(2 )

2 /

q

q

I R

RqI

t

6. Con una masa de 5 g de cobre se desea fabricar un

alambre el cual debe tener una resistencia R = 0,8

Ω y se debe utilizar todo el cobre disponible.

Asumiendo que no se pierde ninguna cantidad de

cobre y que las propiedades del material se

mantienen sin ser modificadas antes y después de

realizar la fabricación del alambre. Determine: 8ª)

la longitud del alambre fabricado y el diámetro de

este alambre.

Solución

(a) Cálculo de la longitud del alambre. De acuerdo

a la definición de densidad de masa se tiene

( )m m m

m

mm V A L

V

mA

L

De la definición de resistencia tenemos

2

/

m

m

LR

A

LLR

m L m

3 3 28

3

8,92.19 / ( )0,8 1,7.10 .

5.10

kg m Lm

kg

5,14L m

(b) Cálculo del diámetro del alambre

2( ) ( / 4)m

m m m

V L A L d

3

3 3

4 4(5.10 )

(5,14 )(8,92.19 / )m

m kgd

L m kg m

30,138.10d m

7. Un cubo sólido de plata cuya densidad es

10,5 g/cm3 tiene una masa de 90 g. (a) ¿Cuál será la resistencia eléctrica entre dos caras opuestas si

entre ellas se establece una diferencia de potencial

de 1.10-5 V?, (b) Si cada átomo de plata contribuye

con un electrón de conducción, determine la

velocidad de deriva de los electrones cuando se

Física General III Corriente, resistencia y fuerza electromotriz Optaciano Vásquez García

294

aplica la diferencia de potencial del inciso (a). Se

sabe que el número atómico de la plata es 47 y su

masa molar es de 107,87 g/mol.

Solución

En la figura se muestra el cubo sometido a la

diferencia de potencial

Se procede a determinar el avlor de la arista del

cubo L. De la definición de densidad de masa

tenemos.

3

333

2

90

10,

,

5 /

05

m

m

m m

V L

m g

L cm

Lg cm

(a) La resistencia entre las caras opuestas será

2

8

2

7

1,59.

777.10

10 .

2,05,10

L LR

A L L

mR

m

R

(b) Para determinar la velocidad de deriva de los

electrones primero se calcula la intensidad de

corriente que fluye por el material, para ello se

aplica la ley de Ohm

5 7

5,14

1.10 ( 777.10 )

12,9

L m

V IR

V I R

I A

La densidad electrónica está dada por

( )(#(# / )

densidad de Abogadron elect at

Masa atómica

3 23

28 3

(10,5 / )(6,02.10 / )(1 / )

107,87 /

5,86.10 /

g cm at moln elec at

g mol

n electrones m

De la definición de densidad de corriente se tiene

28 3 19 2 2

12,9

5,86.10 / (1,6.10 )(2,05

3 28 /

)

,d

e d d

e

d

I Ij nq v v

A nq A

Av

ele

v m s

ct m C m

8. Durante un viaje por el desierto de Sahara en un día

en que la temperatura era de 58°C un alumno

encontró que al aplicar a los extremos de un

alambre una diferencia de potencial ΔV a través de

dicho alambre fluía una intensidad de corriente de 1,00 A. Si posteriormente viaja a la Antártida y en

dicho lugar aplica la misma diferencia a los

extremos del alambre. ¿Cuál será la intensidad de

corriente registrada en un día en que la temperatura

es de -88°C?. Suponga que el alambre no ha sufrido

cambios en forma y dimensiones.

Solución

La resistencia mediada a la temperatura de 58°C es

0 0

0

[1 ( )]

[1 (58 20 )]

HR R T T

R R C C

0(1 38 )R R (1)

La resistencia medita a temperaturas bajas será

0 0

0

' [1 ( )]

' [1 ( 88 20 )]

FR R T T

R R C C

0' (1 108 )R R (2)

De la aplicación de la ley de OHM se tiene para

temperaturas altas

0[ (1 38 )]HV IR V I R (3)

Y para temperaturas bajas es

0' [ (1 108 )]FV IR V I R (4)

De las ecuaciones (3) y (4) se tiene

Física General III Corriente, resistencia y fuerza electromotriz Optaciano Vásquez García

295

0

0

3

3

[ (1 38 )]

[ (1 108 )]

[1 38(3,9.10 )]1

[1 108(3,9.10 )]

1,987

F H

F

F

RI I

R

I A

I A

9. A una esfera maciza de hierro de radio b, con una

cavidad de radio a, se le aplica una diferencia de

potencial ΔV entre el interior y el exterior de

manera que fluye una corriente radial uniforme

como se muestra en la figura. Si el material entre

las cáscaras es débilmente conductor con una

resistividad ρ. Encuentre: (a) La resistencia

eléctrica, (b) la potencia disipada.

Solución

(a) Para determinar la resistencia total primero se

divide a la esfera hueca en elementos

diferenciales en forma de cascarones de radio

interno r y espesor dr, como se muestra en la

figura.

La resistencia de este elemento diferencial es

2

2

4

4

1 1 ( )

4 4

b

a

drdR

r

drdR

r

b aR

a b ab

(b) La potencia disipada será

( )

4

4

( )

V VP

b aR

ab

ab VP

b a

10.

Física General III Corriente, resistencia y fuerza electromotriz Optaciano Vásquez García

296

PROBLEMAS PROPUESTOS.

11. Un conductor de sección transversal uniforme lleva una corriente de 5 A. ¿Cuántos electrones fluyen

por un punto dado en 1 min.

12. En un proceso de galvanostegia (o electro

chapeado) se han transmitido 40000C a una

corriente de 10 A. ¿Qué tiempo se necesita?.

13. La densidad del cobre es de 9 g/cm3 y tiene un

electrón de conducción por átomo. En un alambre

cuya sección transversal uniforme tiene 0,1 cm de

diámetro, se establece una corriente constante de

50 A. Determine: (a) la densidad de corriente y (b)

la velocidad media de los electrones.

14. La resistividad del cobre a 20°C es de 1,7 .10-8

Ω.m. ¿Cuál es a esta temperatura la resistencia de un alambre de cobre de 5 m de longitud si el radio

de su sección transversal circular es 0,1 cm?.

15. Un alambre de aluminio de longitud l y sección

transversal circular con un radio r tiene un

resistencia R. Determine el factor por el que queda

multiplicada la resistencia en cada uno de los

siguientes casos: (a) se duplica la longitud del

alambre, (b) Se triplica la longitud del alambre y se

disminuye el radio a r/3 y c) se duplica l y r.

16. La densidad de corriente en un alambre largo y

recto con sección transversal circular de radio R,

varía con la distancia desde el centro del alambre

de acuerdo con la relación , en donde λ es una constante positiva. Determine la intensidad de

corriente que fluye por el alambre.

17. El área transversal de un riel de acero es de 30 cm2.

Si la resistividad de este material es 6.10-7Ω.m.

determine la resistencia de un riel de 6 km de largo.

18. Las dimensiones de un bloque de hierro como un

sólido de sección rectangular son de 2 cm x 3 cm x

100 cm. Su resistividad a 20°C es igual a 1.10-7

Ω.m. Determine la resistencia entre las tres pares de

caras opuestas.

19. Una barra de cobre mide 0,1 m x 0,3 m por 5 m. Si

la resistividad del cobre es de 1,7.10-8 Ω.m.

Determine la resistencia del alambre si la corriente

fluye a lo largo de la longitud de la misma.

20. Una barra metálica con 12 m de longitud contiene

6.1025 electrones libres. Si en la barra fluye una corriente de 3 A evalué la velocidad de deriva de

los electrones.

21. La resistividad del aluminio es de 1,6.10-8 Ω.m a

20°C. Se quiere hacer una bobina con 25 km de

alambre de ese metal de 1 mm de diámetro.(a)

¿Cuál es su resistencia?. (b) si el alambre se estira

uniformemente hasta una longitud de 50 km. ¿Qué

valor tendrá la nueva resistencia?.

22. La atmósfera lleva cargas positivas hacia la

superficie terrestre y retira cargas negativas de ésta.

La corriente total es de 1800 A. Suponga que el flujo de carga es simétrico con respecto a la

superficie de la tierra, halle la magnitud de la

densidad de corriente en dicha superficie. El campo

eléctrico en la mencionada superficie es de 100

V/m, en dirección hacia aquella. Determine la

conductividad eléctrica del aire cerca de la

superficie de la tierra.

23. La banda de un generador van de Graff es de 75 cm

de ancho y se mueve a 30 m/s. Si transmite una

corriente de 2.10-4 A a la esfera colectora, obtenga

la densidad superficial de carga en la banda.

24. Una varilla de aluminio tiene una resistencia de

1,234 Ω a 20 °C. Determine la resistencia de la

varilla a 120 °C, tomando en cuenta los cambios tanto en la resistividad como en las dimensiones de

la varilla.

25. Se calienta una barra de cobre desde 20 °C hasta

200 °C y se estira uniformemente al doble de su

longitud inicial, no cambiando su volumen. Si

inicialmente su longitud era de 1 m y su resistencia

era 0,02 Ω. Determine: (a) el área transversal antes

de ser estirada y (b) la resistencia de la misma

después de su estiramiento y de la elevación de la

temperatura.

26. Una bobina circular de alambre de aluminio de

0,254 mm de diámetro tiene 400 vueltas y su

diámetro medio es de 17,78 mm. La resistividad del

alambre a 20 °C es 2,8.10-8 Ω.m. Si entre los extremos de la bobina se aplica una tensión de 12

V. Determine: (a) la corriente que fluye en el

alambre y (b) el calor desprendido durante un

intervalo de 5 min.

27. En una instalación hidroeléctrica, una turbina

suministra 1500 hp a un generador, el cual a su vez,

transforma 80% de la energía mecánica en

transmisión eléctrica. En estas condiciones, ¿Qué

corriente entrega el generador a una diferencia de

potencial terminal de 2 kV?.

28. Un calentador de inmersión de 350 W opera en una

línea de 120 V, y se utiliza para elevar la

temperatura de 250 cm3 de agua desde 27 °C hasta

el punto de ebullición. (a) determine la corriente que pasa a través del calentador, (b) ¿Con qué

rapidez se transmite energía al agua?. (c) ¿Cuánto

tiempo se requiere para que hierva esta cantidad de

Física General III Corriente, resistencia y fuerza electromotriz Optaciano Vásquez García

297

liquido? y (d) ¿Cuánto tiempo más se requiere para

convertir el agua completamente en vapor?.

29. Un tostador eléctrico opera en una línea de 110 V.

Si toma 6 A, halle la resistencia del elemento

calefactor y la energía consumida durante un lapso

de 30 s, durante el cual está en operación. A razón

de 3 S/. el kilowatt-hora, ¿Cuánto cuesta tostar una rebanada de pan?.

30. Una lámpara de 300 W opera en una línea de 220 V,

y se sumerge en 8 kg de agua a 27 °C. Determine:

(a) la corriente que fluye a través de la lámpara y

(b) la temperatura del agua después de 5 minutos.

31. Suponga que una oscilación de voltaje produce

durante un momento 140 V. ¿En qué porcentaje se

incrementa la salida de energía de una bombilla de

120 V, 100 W?. Suponga que su resistencia no

cambia.

32. En un tubo fluorescente de 3 cm de diámetro pasan

por un punto determinado y por cada segundo

2,0.1018 electrones y 0,5. 1018 iones positivos con

una carga (+e). Determine la corriente que circula

por el tubo fluorescente.

33. En un cierto haz de electrones existen 5.106 electrones por centímetro cúbico. Suponiendo que

la energía cinética de los electrones es 10 keV y el

haz es cilíndrico con un diámetro de 1 mm.

Determine: (a) la velocidad de deriva de los

electrones y (b) la intensidad de corriente del haz.

34. Un conductor de calibre 14 se suelda por un

extremo a otro de calibre 10. Por los conductores

fluye una corriente de 15 A, Si ambos conductores

son de cobre con un electrón libre por átomo.

Determine: (a) la velocidad de deriva de los

electrones y (b) la energía disipada en el alambre

compuesto.

35. La corriente que circula por un alambre varía con el

tiempo según la expresión , en donde I se expresa en amperios y t en segundos. (a)

¿cuántos coulombios se transportan por el alambre entre t = 0 y t = 15 s?. (b) ¿Qué corriente constante

transportaría la misma carga en igual intervalo de

tiempo?.

36. Por un alambre de cobre calibre 10 pueden circular

hasta 30 A. Determine: (a) la resistencia de 100 m

de alambre de cobre calibre 10, (b) el campo

eléctrico en el alambre cuando la corriente es de 30

A. (c) el tiempo que tarda un electrón en recorrer

100 m del alambre cuando la corriente es de 30 A.

37. Determine la resistencia entre los extremos del

semianillo de la figura. La resistividad del material

del cual está hecho el anillo es ρ.

38. La corriente que puede soportar con seguridad un

conductor cilíndrico de cobre de 1,29 mm de

diámetro es de 6 A. si se considera un hilo

conductor de 40 m de largo. Determine: (a) la

diferencia de potencial máxima que se puede aplicar entre sus extremos, (b) la densidad de

corriente y el campo eléctrico en el conductor

cuando éste transporta 6 A y (c) la potencia

disipada en el conductor en la situación citada.

Considere que la resistividad del cobre es 1,7.10-8

Ω.m.

39. Un hilo conductor de 6 Ω de resistencia se funde

para construir otro hilo conductor cuya longitud sea

el triple de la del hilo original. Determine la

resistencia del nuevo hilo suponiendo que en el proceso de fusión y solidificación permanecen

inalterados los valores de la resistividad y de la

densidad del material

40. Se ha observado que la intensidad de corriente que

circula por un alambre de cobre de 1 mm de

diámetro y 2,5 m de longitud cuando se le aplica

una diferencia de potencial de 0,1 V es de 2 A.

Sabiendo que la concentración de electrones en el

cobre es de 8,45.1028 electrones /m3. Determine: (a)

la velocidad de arrastre, (b) la movilidad de los

electrones y (c) la conductividad del cobre

41. Un hilo de 5 Ω de resistencia se conecta a una

batería de 2 V de fem y 1,0 Ω de resistencia

interna. transcurridos dos minutos de esta situación- ¿Qué cantidad de energía química se ha

transformado en energía eléctrica?. (b) ¿Qué

cantidad de energía ha aparecido en forma de calor

en el hilo conductor?.

Rta.

42. El radio de un alambre de longitud L crece

linealmente con su longitud según la expresión

[

] , en donde x es la distancia del

extremo menor de radio a. Determine la resistencia

del alambre en función de su resistividad ρ,

longitud L, radio a y radio b.

43. Se sumerge un tubo de plástico de 2,5 m de largo y

4 cm de diámetro en una solución de plata y se

deposita una capa uniforme de 0,1 mm de espesor

sobre la superficie externa del tubo. Si el tubo

Física General III Corriente, resistencia y fuerza electromotriz Optaciano Vásquez García

298

recubierto se conecta a los bornes de una fuente de

tensión de 120 V. Determine la corriente que fluye

a través del dispositivo.

44. El espacio comprendido entre dos cortezas

esféricas conductoras concéntricas se llena con un

material de resistividad 109 Ω.m. Si los radios de

las cortezas son 1,5 cm y 5 cm, respectivamente. Determine la resistencia entre ambos conductores.

45. El espacio comprendido entre dos cilindros

conductores coaxiales de longitud L y radios a y b

se llena completamente con un material de

resistividad ρ. (a) ¿Cuál es la resistencia entre los

dos cilindros coaxiales?. (b) Determine la

intensidad de corriente entre los dos cilindros si

, a = 1,5 cm, b = 2,5 cm, L = 50 cm y

se aplica una diferencia de potencial de 10 V entre

los dos cilindros.

46. Un tostador con un elemento de calefacción de

Nicromo ( ) posee una resistencia

de 80 Ω a 20 °C y una corriente inicial de 1,5 A. Cuando este elemento alcanza su temperatura final,

la corriente es de 1,3 A. Determine: (a) la

temperatura final del elemento calefactor. (b) la

energía que se disipa en el elemento calefactor (i)

inicialmente, (ii) finalmente

47. Una bobina de alambre de nicromo tiene 25 m de

largo. El alambre tiene un diámetro de 0,4 mm y se

encuentra a 20 °C. Si el alambre transporta una

corriente de 0,5 A, ¿Cuáles son: (a) la magnitud del

campo eléctrico en el alambre y (b) la potencia

entregada?. (c) ¿Qué pasaría si? Si la temperatura

se incrementara hasta 340 °C y el voltaje aplicado al alambre se mantiene constante. ¿Cuál es la

potencia entregada

48. Un calentador ambiental eléctrico posee un alambre

de nicromo con una resistencia de 8 Ω a 20 °C.

Aplicando una diferencia de potencial de 120 V, la

corriente eléctrica calienta el alambre de nicromo

hasta 1000 °C. Determine: (a) la corriente inicial

que fluye por el elemento calefactor frio, (b) la

resistencia del elemento de calefacción a 1000 °C y

(c) la potencia operativa de éste calefactor.

49. Un automóvil eléctrico ha sido diseñado para

funcionar a partir de un banco de baterías de 12 V

con un almacenamiento total de energía de 2.107 J.

(a) si el motor eléctrico consume 8 kW, ¿Cuál es la corriente que se le suministra al motor?, (b) Si el

motor consume 8 kW conforme el auto se mueve a

velocidad constante de 20 m/s. ¿Qué distancia

recorrerá el auto antes de quedarse sin energía?.

50. Un calentador ambiental de una vieja mansión se

alimenta con una corriente de 12,5 A. Un par de

cables de cobre de calibre 12 transportan la

corriente desde la caja de fusibles al enchufe de la

pared a lo largo de una distancia de 30 m. El voltaje

en la caja de fusibles es exactamente de 120 V. (a)

¿Cuál es el voltaje distribuido al calefactor

ambiental?. (b) si el fusible se funde al pasar una corriente de 20 A. ¿Cuántas bombillas de 60 W

pueden encenderse en esta línea cuando el

calefactor está funcionando?. Supóngase que los

cables desde la pared al calefactor ambiental y a las

tomas de luz son de resistencia depreciable).

51. Un conductor de cobre calibre 16 aislado con

caucho puede transportar con seguridad una

corriente máxima de 6 A. (a) ¿Cuál es el valor

máximo de la diferencia de potencial que puede

aplicarse en los extremos de 40 m de longitud de un

conductor de este tipo?. (b) Hallar el campo

eléctrico en el conductor cuando por él circulan

6 A. (c) Determine la potencia disipada en el alambre conductor en éste último caso.

52. El cable de conexión para el arranque de un

automóvil es de 3 m de longitud y está formado por

múltiples hebras de cobre que en conjunto tienen

un área transversal de 10 mm2. (a) ¿Cuál es la

resistencia de este cable?. (b) Cuando se utiliza se

el arranque, transporta una corriente de 90 A. ¿Cuál

es la caída de voltaje que tiene lugar a su través?.

(c) ¿Cuánta potencia se disipa en el cable?.

53. Se utiliza una espiral de alambre de Nicromo como

elemento calefactor en un evaporador de agua que

genera 8 g de vapor por segundo. El alambre posee

un diámetro de 1,8 mm y está conectado a una

fuente de alimentación de 120 V. Determine la longitud del alambre.

54. Los cables eléctricos de una casa deben ser

suficientemente gruesos de diámetro para que no se

calienten demasiado y provoquen un incendio.

Supongamos que un alambre determinado

transporta una corriente de 20 A, y se especifica

que el calentamiento por efecto Joule no debe

exceder los 2 W/m. ¿Qué diámetro debe tener un

alambre de cobre para que se convierta “seguro”

con esta corriente?.

55. Un rayo cae en un extremo de un pararrayos de

acero, y produce una oleada de corriente de 15 kA

que dura durante 65 μs. El pararrayos tiene 2 m de largo y 1,8 cm de diámetro, y su otro extremo está

conectado a tierra por medio de un alambre de

cobre de 35 m de longitud 8 mm de diámetro.

Determine: (a) la diferencia de potencial entre la

parte superior del pararrayos de acero y el extremo

inferior del alambre de cobre durante la oleada de

corriente, (b) la energía total depositada en el

Física General III Corriente, resistencia y fuerza electromotriz Optaciano Vásquez García

299

pararrayos y en el alambre por la oleada de

corriente.

56. Una empresa pública suministra energía al

domicilio de un consumidor a partir de las líneas de

energía propia (a 120 V) mediante dos alambres de

cobre, cada uno de los cuales tiene 50 m de

longitud y una resistencia de 0,108 Ω por tramo de 300 m. Determine el voltaje en el domicilio del

cliente para una corriente de carga de 110 A. Para

esta corriente, encuentre (b) la potencia que está

recibiendo el cliente y (c) la energía eléctrica

disipada en los alambres de cobre

57. Los grandes electroimanes convencionales utilizan

la refrigeración con agua para evitar el excesivo

calentamiento de los arrollamientos de las bobinas.

Uno de estos electroimanes utiliza una corriente de

100 A cuando se aplica un voltaje de 240 V a los

terminales de las bobinas de excitación. Para

refrigerar las bobinas, circula agua a una

temperatura inicial de 15°C a través de ellas. ¿Cuántos litros por segundo deben pasar a través de

las bobinas para que la temperatura de éstas no

exceda los 50 °C?.

58. Cuando se calienta un alambre recto, su resistencia

está expresada por ( ) donde α

es el coeficiente de resistividad por temperatura.

Demuestre que su resultado más preciso, ya que

incluye el hecho de que tanto la longitud como el

área cambian con la temperatura, es '

0 0 0

'

0

[1 ( )][1 ( )]

[1 2 ( )]

R T T T TR

T T

Donde α´ es el coeficiente de dilatación lineal

59. Un conductor eléctrico proyectado para transportar corrientes grandes tiene una sección circular de 2,5

mm de diámetro y mide 14 m de largo. La

resistencia entre sus extremos es de 0,104 Ω. (a)

¿Cuál es la resistividad del material?. (b) Si la

magnitud del campo eléctrico en el conductor es de

1,28 V/m, ¿Cuál es la corriente total?. (c) Si el

material tiene una densidad electrónica de 8,5

electrones /m3. ¿Cuál es la velocidad de arrastre en

las condiciones del inciso (b)?.

60. La diferencia de potencial entre los bornes de una

batería es de 8,4 V cuando existe una corriente de 1,5 A en la batería, del borne negativo al borne

positivo. Cuando la corriente es de 3,5 A en el

sentido inverso, la diferencia de potencial cambia a

9,4 V. Determine: (a) la resistencia interna de la

batería y (b) la fem de la batería.

61. Una persona con una resistencia corporal de 10 kΩ

entre sus manos sujeta accidentalmente los bornes

de una fuente de energía de 14 kV. (a) Si la

resistencia interna de la fuente es de 2 kΩ, ¿cuál es

la corriente a través de la persona?. (b) ¿Cuánta

energía eléctrica se disipa en su cuerpo?. (c) Si se

va a eliminar la peligrosidad de la fuente de energía

aumentando su resistencia interna, ¿cuál debe ser la

resistencia interna para que la corriente máxima en

la situación que se ha descrito sea de 1 mA o menos?.

62. Una batería de auto de 12,6 V con resistencia

interna insignificante está conectada a una

combinación en serie de un resistor de 3,2 Ω que

obedece a la ley de Ohm y un termistor que no

obedece a la ley de Ohm, sino que tiene una

relación entre el voltaje y corriente V = αI+βI2, con

α = 3,8 Ω y β = 1,3 Ω/A. Determine la resistencia

en el elemento de 3,2 Ω.

63. La tensión de bornes de una fuente en circuito

abierto es de 7,86 V, y su corriente de cortocircuito

es de 9,25 A. (a) ¿Cuál es la corriente cuando se

conecta a los bornes de la fuente una resistencia

óhmica de 2,4 Ω?. (b) ¿Cuál sería la corriente si en lugar de la resistencia óhmica de 2,4 Ω se instala

entre los bornes de la fuente el dispositivo no

óhmico del problema anterior?. (b) ¿Cuál es la

tensión de bornes de la fuente con la corriente

calculada en el inciso (b)?.

64. A una temperatura de 0°C la resistencia de un

conductor 1 es η veces menor que la de otro

conductor 2. Sus coeficientes de resistencia por

temperatura son iguales a α1 y α2. Determine el

coeficiente de resistencia por temperatura del

circuito compuesto por esos dos conductores, si

ellos se conectan: (a) en serie y (b) en paralelo

65. Dos conductores paralelos cuyos radios de su

sección transversal es r se encuentran en un medio débil conductor cuya resistividad es ρ. Si la

distancia entre los ejes de los conductores es l.

Determine la resistencia del medio por unidad de

longitud de los conductores si l >> a.

66. El huelgo entre las placas de un capacitor plano se

llena con un medio heterogéneo débil conductor,

cuya conductividad varía en dirección

perpendicular a las placas según una ley lineal

desde σ1 = 1,0 pS/m hasta σ2 = 2,0 pS/m. El área de

cada placa es A = 230 cm2, el ancho del huelgo es

d = 2 mm. Determine la corriente a través del

capacitor cuando la tensión entre placas es ΔV = 300 V.

67. La densidad del aluminio es de 2,7 g/cm3 y su peso

atómico es 27. Suponiendo que cada átomo tiene 3

electrones de conducción. Determine: (a) El

número de electrones por centímetro cúbico, (b) si

una corriente de 200 mA fluye por el alambre

Física General III Corriente, resistencia y fuerza electromotriz Optaciano Vásquez García

300

conductor de 1,5 mm2 de área transversal, calcular

la velocidad de desplazamiento vd.

68. Un anillo de radio R que tiene una carga por unidad

de longitud λq gira con una velocidad angular ω

constante alrededor de su eje. Determine la

corriente en un punto del anillo.

69. Suponga que la corriente que pasa por un conductor

se reduce de manera exponencial en función del

tiempo, de acuerdo con la ecuación I(t) = I0e-t/τ

siendo I0 la corriente inicial ( en t = 0), y τ es una

constante que tiene unidades de tiempo. Considere

un puno de observación fijo del conducto. (a)

¿Cuánta descarga pasa por este punto en el inérvalo

de tiempo entre t = 0 y t = τ? (b) ¿Cuánta carga

pasa por este punto en el intervalo de tiempo entre

t = 0 y t = 10τ? (c) ¿Qué pasaría si? ¿ Cuánta carga

pasaría por este punto en el intervalo de tiempo

entre t = 0 y

70. En el modelo de Bohr del átomo de hidrogeno, un

electrón del más bajo estado de energía sigue la

trayectoria a m del protón. (a)

Demuestre que la velocidad del electrón es igual a

m/s. (b) ¿Cuál es la corriente efectiva

asociada con este electrón en órbita?

71. Una corriente eléctrica está definida por la

expresión I(t) = 100 sen(120 t), donde I esta en

amperes y t en segundos. ¿Cuál es el valor de la

densidad de corriente de t = 0 hasta t = (1/240) s?

72. Una bombilla tiene una resistencia de 240 Ω

cuando está funcionando, sujeta a una diferencia de

potencial de 220 V. ¿Cuál es la corriente que pasa

por la bombilla?

73. Se mantiene una diferencia de potencial de 0.900 V

de un extremo a otro de un alambre de tungsteno de

2 m de longitud y área trasversal igual a 0.600 mm2,

¿Cuál es la corriente del alambre?.

74. Suponga que desea fabricar un alambre uniforme a

partir de 10 g de cobre. Si el alambre debe tener

una resistencia R = 0,5 Ω, y si debe utilizarse todo

el cobre disponible, ¿Cuál será (a) la longitud y (b)

el diámetro de este alambre.

75. Un cubo sólido de plata de densidad 10,5 g/cm3

tiene una masa de 200 g . (a) ¿Cuál es la resistencia

entre las caras opuestas del cubo, (b) suponga que

cada átomo de plata contribuye con 1 electrón de

conducción. Determine la velocidad promedio de

arrastre de los electrones cuando se le aplica una

deferencia de potencial de 1.10-5 V entre las caras

opuestas del cubo. El número atómico de la plata es

47 y su masa molar es de 107,87 g/mol

76. La varilla de la figura está fabricada con dos

materiales. La figura no está a escala cada

conductor tiene una sección transversal cuadrada de

3 mm de lado. El primer material tiene una

resistividad de 4.10-3 Ω.m y tiene 25 cm de largo,

en tanto que el segundo material tiene una

resistividad de 6.10-3 Ω.m y tiene 40 cm de largo.

(a) ¿Cuál es la resistencia de un extremo a otro de

la varilla. (b) Si entre los extremos del alambre

compuesto se establece una diferencia de potencial

de 110 V, ¿Cuál sería densidad de corriente en cada

uno de los alambres?. (c) Cual es la potencia

disipada en el alambre compuesto

77. Mientras tomaba fotografía en México en un día en

que la temperatura era 58°C Luis encontró que

cierto voltaje, al aplicarlo a un alambre de cobre,

produce una corriente de 1 A. A continuación viaja

a la antártica y aplica ese mismo voltaje sobre el

mismo alambre. ¿Qué corriente se registrará

entonces si la temperatura es de -88°C?. Suponga

que el alambre no h sufrido ningún cambio en su

forma y dimensiones.

78. Cierta bombilla tiene un filamento de tungsteno

con una resistencia de 19 Ω cuando está frio y de

140 Ω cuando está caliente. Suponga que la

resistividad del tungsteno varía linealmente con la

temperatura incluso en el amplio rango de

temperaturas que aquí se mencionan y determine la

temperatura del filamento caliente. Suponga que la

temperatura inicial es de 20°C.

79. ¿Cuál es la resistencia requerida de un calefactor

por inmersión que incremente la temperatura de 0,5

kg de agua de 15 °C a 75 °C en 30 minutos estando

operando a 220V?.

80. A una esfera maciza de hierro de radio b = 10 cm,

con una cavidad de radio a = 5 cm, se le aplica una

diferencia de potencial ΔV = 110 V entre el interior

y el exterior de manera que fluye una corriente

Física General III Corriente, resistencia y fuerza electromotriz Optaciano Vásquez García

301

radial uniforme como se muestra en la figura. Si el

material entre las cáscaras es débilmente conductor

con una resistividad ρ = 104 Ω.m. Encuentre: (a) La

resistencia eléctrica, (b) la potencia disipada.

81. Un capacitor de placas paralelas está constituido

por placas cuadradas de bordes de longitud L,

separadas por una distancia d, donde d << L. entre

las placas se mantiene una diferencia de potencial

ΔV. Un material de constante dieléctrica κ llena la

mitad del espacio entre las placas. Ahora la placa

dieléctrica se retira del capacitor, como se observa

en la figura. (a) Determine la capacitancia cuando

el borde izquierdo del material dieléctrico esté a

una distancia x del centro del capacitor. (b) si se va

retirando el dieléctrico a una rapidez constante v,

¿Cuál será la corriente en el circuito conforme se

retira el dieléctrico.

82. Halle la corriente total en un conductor circular de

2 mm de radio si la densidad de corriente varía con

r de acuerdo a (A/m).

83. Un material con una resistividad uniforme ρ se

modela en forma de una cuña como se muestra en

la figura. Determine la resistencia entre la cara A y

B de la cuña es.

84. El material dieléctrico que existe entre las placas de

un capacitor de placas paralelas tiene siempre

alguna conductividad σ diferente de cero. Si el área

de las placas es A, la distancia entre ellas es d y el

material dieléctrico tiene una constante κ. (a)

Demuestre que el producto de la resistencia R y la

capacitancia está dado por , (b)

Determine la resistencia entre las placas de un

capacitor de 14 nF con dieléctrico de cuarzo

fundido

85. Un material de resistividad ρ se modela como un

cono truncado de altura h como se muestra en la

figura. El extremo inferior tiene un radio b, en tanto

que el extremo superior tiene un radio a. Suponga

que la corriente está uniformemente distribuida en

cualquier sección transversal circular del tronco de

cono, de forma que la densidad de corriente no

dependerá de la posición radial. (La densidad de

corriente variará dependiendo de su posición a lo

largo del eje del cono). Determine la resistencia

entre ambas caras del cono trucado

86. El espacio entre las armaduras de un capacitor

plano se llena con vidrio, cura resistividad es ρ =

100 HΩ.m. la capacidad del capacitor es C = 4 nF.

Determine la corriente de escape a través del

capacitor cuando a éste se le aplica una diferencia

de potencial de ΔV = 2 kV.