Cap6 corriente y resistencia fuerza electromotriz y circuitos

Cuaderno de Actividades: Física II

6) CORRIENTE Y6) CORRIENTE Y RESISTENCIA, FUERZARESISTENCIA, FUERZA

ELECTROMOTRIZ Y ELECTROMOTRIZ Y CIRCUITOSCIRCUITOS

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 98


6.1) Intensidad de corriente eléctrica, I6.1) Intensidad de corriente eléctrica, I

I:

intensidad de corriente• Es la cantidad de carga por A en la unidad de tiempo

i) Intensidad media, Ii) Intensidad media, Imm

m

QI

t

∆=∆

ii) Intensidad instantánea, I=i(t)ii) Intensidad instantánea, I=i(t)

0( ) lim t mi t I∆ →=

( )dq

i tdt

= ; q=q(t)

u=[i]=C/s=ampere=A

*Vector densidad de corriente eléctrica, J*Vector densidad de corriente eléctrica, J

I → J, generaliza a las cargas.

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

v

F

q

E

q v

I

v

I

JJ

a

q

I

JJ

a

q

v

99


.A

I J da= ∫ / ___

J Nqv=

__

2

Au J

m =

. . . .J J

J N q v N q v+ + + − − −

+ −

≡ +ur

14243 14243

__

1

n

ii

J J=

→ = ∑

La I se interpreta como el φ de Jr

a través de la superficie analizada. El Jr

contiene la información de los diversos portadores de carga en el sistema.


J+ J-

V+ V-

E

q+ q-

100


6.2) Procesos de conducción 6.2) Procesos de conducción (Ley de Ohm)(Ley de Ohm)

i) Macroscópico

1I V

R = ∆

; R: resistencia del cuerpo

Definición

VR

I

∆= →

__ _

__ __

.

.A

E d rR

J d a

−= ∫

∫

Medios óhmicos: l, i ,h

__ __

J Eσ= σ: conductividad eléctrica

__ __

.

.A

E d aR

E daσ

−= ∫

∫

( )I VR V

I

∆= = ∆%

%

R=R( geometría, medio ,T )


I

T, Geo V∆ V∆

101

I

E 1

2

V

V

V

∆∆∆M

1

2

I

I

I

M


Ejemplo:

V

RI

∆=

∫−=−=∆1

2

____

21 . adEVVV E cte=r

1 2

JV V V El l

σ∆ = − = = ;

IJ

A=

Il

Aσ=

1 1( )

Il lR

A I Aσ σ= =

1: resistividadρ

σ=

lR

Aρ=

ii) MicroscópicaMicroscópica

Modelo de Drude-Lorentz: gas de electrones.

q = e

f: caracteriza la oposición del medio

__ __ __

R eF F f ma= + =

Equilibrio:

__ __ __

ef F q E= =__ __

f b v=m

bτ

=


rσ

v

Fq

E

I

V∆

Fef

v

E

102


1[ ]b MT −=

masa de q

oposición q, nucleos, imp

:

u a: s rez

m

τ

__ __ __

.....(1)d

mf v q E

τ= =

____ __ __

......(2)d dJ

J Nq v vNq

= → = __ __

.....(3)J Eσ=

De (1) y (2) y (3):

→

____m J

q ENqτ

= → 2__ __Ne

J Em

τ =

→

2Ne

m

τσ =

6.3) Combinación de R6.3) Combinación de R

i) En seriei) En serie


R l,A

R <>

V∆

I I I

R R R

I

Req

V∆

I

103

<>

V∆

I


j)j) Conservación de q Conservación de q →→ I. I.

)1.....(321 IIII ===

jj)jj) Conservación de E Conservación de E V→ ∆

1 2 .3.........(2)V V V V∆ = ∆ + ∆ + ∆

De (1) y (2) másDe (1) y (2) más V RI∆ =

1 2 3eqR R R R= + + , para nara n RsRs 1

n

eq ii

R R=

= ∑

ii) En paraleloii) En paralelo

1 2 3, ,eq eqR R R R R=

CaracterísticasCaracterísticas

j) 1 2 3..........(3)I I I I= + +

jj) Conservación de V∆

1 2 3...(4)V V V V∆ = ∆ = ∆ = ∆

De (3) y (4) más V RI∆ =


I1 R1

Req I2 R2 I

< > I

I3 R3

V∆

104


1 2 3

1 1 1 1

eqR R R R= + +

1

1 1n

ieq iR R=

→ = ∑

6.4) Sistemas eléctricos6.4) Sistemas eléctricos

Se estudiarán sistemas eléctricos (circuitos eléctricos) compuestos por fuentes de energía (fem: fuerza electromotriz), R, C y L (inductores, basados en interacciones magnéticas).El principal problema de estos sistemas es resolver las intensidades sobre cada uno de los elementos. Ejemplos,

S –P : Leyes de conservación

Leyes de conservación → Leyes de Kirchhoff

Leyes de conservación → Leyes de Kirchhoff

i) Elementos de los circuitos eléctricos


R

R R

R3

RR

ε

R

R

R

R R

R

ε1

ε2

ε3

L

R

105


j) Fuentes de energía (fem) ε

Son las fuentes de energía que convierten cualquier energía no-electrostática en energía eléctrica EE.

* Química

* Solar

* EM

* Térmica

EE

RepresentaciónRepresentación::

_FW

V V Vq

ε+ −∆ = − = =

ε Ideales

ab a bV V V ε∆ ≡ − ≡

r: Resistencia interna 0=r

ε Reales

ab a bV V V ε∆ ≡ − <

0r ≠

jj) Disipadores de energía: , :Elect MagnE E Radiación Luz termica Q→


q

F

+

-

106

E

C


2P RI= ( )V I= ∆

jjj) Almacenadores de Energía

.Elect Magn Electrica MagnE E E ó E→

2cE Eα

2

LE Bα

ii) Resolución de un circuito eléctrico

j) Reducción Serie – Paralelojj) Leyes de Kirchhoffjjj) THEVENIN


I

Radiación

( )umλ

W

400 700

L

107


NORTONSUPERPOSICION…

jj) Leyes de Kirchhoff

1 :era Ley Conservación de las sI

,nudo nodo b e∀ →

1 2 3I I I= +

2 :era Ley Conservación de la E

( )EEV W∆ ⇔

,malla abefa bcdeb∀

0ab bc ef faV V V V∆ + ∆ + ∆ + ∆ ≡

Convención:

ab b aV V V ε∆ = − =


I3

I2

I1

a b c

def

Circulación

ε ε

a b ba- εε

108


abV∆

abV∆

S3P20) Calcule la resistencia de un conductor en forma de un tronco de cono de bases circulares de radios a y b, longitud L y resistividad ρ.

Solución:

Tronco de cono = suma planchas circulares


a b baI I

R RRI− RI

Q

bQC C

b aa

Q

C

Q

C−

y

xL

a b

x

y

109

a b

L


2

2

20

( )

( )

( )

:

( )

L

dxdR y y x

y

b ay a x

L

dxdR

b aa x

L

dxR

b aa x

L

LR

ab

ρπ

ρ

π

π

π

ρ

ρ

= → =

−= +

⇒ =− +

→ =− +

→ =

∫

∫

S3P15) Un tubo cilíndrico de longitud L tiene un radio interior a y uno exterior b, el material tiene resistividad ρ. La corriente fluye radialmente de la superficie interior a la exterior.a) Halle la resistencia.b) ¿Cuál es la resistencia de un filamento de carbón cuyas dimensiones son

a = 0,4 cm, b = 3 cm y L = 30 cm?

Solución:

ir a= er b=


a b


VR

I

∆= ( )I VR V

I

∆→ = = ∆%

%

1

2

__ _

1 2 .r

rV V V E d r∆ = − = −∫

__

?E =

__ _

.A

I J d a= ∫

__ __

| | (2 )A A

I J da J da J rLπ= = =∫ ∫

__

ˆ2 2 r

I IJ E E e

rL rL

ρσπ π

⇒ = = → =

2

b

a

IV dr

Lr

ρπ

⇒ ∆ = − ∫

/2 2

a

b

I dr IV n b a

L r L

ρ ρπ π

∆ = − = ∫ l

( / )2

R n b aL

ρπ

⇒ = l

S3P12)(CE) En el circuito eléctrico representado en la figura, se conoce ε = 4 V, r = 1 Ω y R = 2 Ω. Halle la indicación del amperímetro.


L

dauur

l,i,h

ρ

r

I

A

J1

2

Jr

111


Solución:

→ I = 4/(5.8) → IA=(2/5)I

S3P13)(CE) Encuentre las fems ε1y ε2 del circuito de la figura y la diferencia de potencial del punto b con respecto al punto a.


r

ca

b

I

ε

(12/5)R

ir

(12/5)R+r

iε

112

R a c R

R ε R R r A

R b

1.00 Ω 20.0 V 6.00 Ω

1.00 A 4.00 Ω 1.00 Ω ε

1

+ a b 1.00 Ω ε

2

2.00 A 2.00 Ω


Solución:

a) 1ra de Kirchhoff : 1abI = 2da. de kirchhoff :

abcda: 111*5- -1*7 20 0 18ε ε+ = → = efbae: 1 22 3 2 5 1 0 7εε ε− − × − × + = → =

b) 13ab b aV V V∆ = − = −

6.5) Circuitos RC6.5) Circuitos RC


a

d

e f

c

b

1

11

2

1

1

14

1 2

6

ε2

ε1

20

ε

R

ci

q

113

:∫


• 2da de Kirchhoff

0

0........(1)

qRi

Cdq q

Rdt C

ε

ε

− − =

− − =

Sea:

)2........(Cq

u −= ε

)3.....(1

dtdq

Cdtdu −=→

(2) Y (3) en (1)

0

0

1

1

duu R C

dt

duu RC

dt

du u dtRC

dudt

u RC

− − =

+ =

= −

→ = −

1

1( )

0.

(0) 0

( )

dudt

u RC

n u t çRC

tc i

q

ç n ε

= −

= +

= =

→ =

∫ ∫l

l



1

( )

)

(1

(

)

(

1

)

tRC

t

RC

t

RC

q t e

i t eR

uln t

RC

qu e

C

ε

ε

ε

ε

ε

−

−

−= −

=

= −

→ = − =

→

→

GráficasGráficas

( ) (1 )t

RCq t eε−

= −


ε

C

q

t

115


( )t

RCi t eR

ε −=

6.6) Energía en circuitos eléctricos6.6) Energía en circuitos eléctricos

ConceptoConcepto previoprevio

*Potencia eléctrica, P*Potencia eléctrica, P

( )

( )

dWP W q V

dtP V I

= ← = ∆

→ = ∆

Si el dispositivo eléctrico es óhmico → 2P RI=


i

t0

ε/R

V∆

I

DispositivoEléctrico

116


Veamos el circuito RC:Veamos el circuito RC:

Durante el funcionamiento del sistema se produce emisión de energía por R y almacenamiento en C. Esto es, parte de la energía de la ε se almacena como campo E en el C.

21

2condE Cε=

RE =

2

0 0 0

2

0

22

0

R

t

RC

t

RCR

E dE Pdt Ri dt

R e dtR

E e dtR

ε

ε

∞ ∞ ∞

∞−

∞−

= = =

=

=

∫ ∫ ∫

∫

∫

2 2

2 2 2

2

2

2

2 2

1 1

2 2

R

C

R

R

RC CE

R

E C C

CE

E

C

Cε

ε

ε

ε ε

ε ε ε

ε

= =

→

⇒ =

→ =

+ =

=


ε

R

ci

q

Radia

117

RC: cte de t que caracteriza al circuito RC y determina el ‘t’ de carga descarga del C, tc

tc : 6 – 7(RC) 6 – 7RC ∞

_


Aplicaciones:

S3P20) En el circuito de la figura, a) ¿Cuál es la intensidad inicial de

la corriente suministrada por la batería inmediatamente después de cerrar el interruptor S?

b) ¿Y al cabo de un largo tiempo de cierre de S?

c) Si el interruptor ha estado cerrado durante un largo tiempo y luego se abre, determine Ia variación de la intensidad de corriente a través de la resistencia de 600 kΩ en función del tiempo.

SOLUCION:

Asumiendo corrientes en las mallas según la figura,

Aplicando la 2da de Kirchhoff a la de la izquierda, en sentido horario,

( )31 1 250 1,2 600 10 0I I I− − × − =

Ahora a la de la derecha,

( )3 21 2 6

600 10 02,5 10

qI I −+ × − − ≡

×

Generalizando estas ecuaciones para poder analizar y comparar,

( )1 1 2 0rI R I Iε − − − ≡ …….. (1)

( ) 21 2 0

qR I I

C− − ≡ …….. (2)

De (1): ( )2

1

RII

r R

ε + ≡+ …….. (3)


s 1,2 Ω

50V 600 kΩ 2,5 µF

s 1,2 Ω

q2

50V I1 600 kΩ I2 2,5 µF

118


(3) en (2): ( )2 2

2 0RI q

R Ir R C

ε + − − ≡ +

( )

2 2 0rI q

Rr R C

ε −− ≡

+ , entonces, despejando I2,

( )( )

2 22 2

2

r Rdq dqI q dt

r Rdt r rRCq

r rRC

εε

+≡ ≡ − → ≡

+−

( ) ( )2,

r R r Rdudt u q

rRC u r rRC

ε+ +− ≡ ≡ −

( ) ( )2 2: ln ; 0, 0 ln

r R r Rt q C t q C

rRC r rRC r

ε ε+ + − ≡ − + ≡ ≡ → ≡ −

∫ % %

( ) ( )2ln 1

r R r Rt q

rRC RCε+ +

→ − ≡ −

( ) ( )

21r R

trRC

r Rq e

RCε

− ++→ − ≡ → ( )

( )

2 ( ) 1r R

trRC

RCq t e

r R

ε − + ≡ − +

2 2

d RCI q

dt

ε→ ≡ ≡( )r R+

( )r R+×

r RC

( )r Rt

rRCe− +

→ ( )( )

2

r Rt

rRCI t er

ε − +

≡

→ ( ) ( )( )

1 1r R

trRC

RI t e

r R r

ε − + ≡ + +

Ahora, calculando,

a) ( )1

50 50 500 1250 41,6

1,2 12 3I

r≡ ≡ ≡ ≡ →: ( )1 0 41,6I :

b) ( ) 51

50 508,3 10

600001,2I t

r R−→ ∞ ≡ ≡ × →

+: ( ) 5

1 8,3 10I t −→ ∞ ×:



c) ( ) ( )2

RCq t

r R

ε→ ∞ ≡+

( ) ( )2't

RCRC

q t er R

ε −≡

+

→ ( ) ( )2't

RCI t er R

ε −≡ −

+ ( )' 1,52

50

600001,2

t

I t e−

→ ≡ −

( )' 5 1,52 8,3 10

t

I t e−

−→ − ×:

S3P19) Dos capacitores enserie se cargan con una batería de 12,0 V con una resistencia interna de 1,00 Ω. Hay una resistencia de 5,00 Ω en serie entre los capacitores,

a) ¿Cuál es la constante de tiempo del circuito, que se está cargando?

b) Después de que se cierra el circuito, para el tiempo calculado en (a) ¿cuál es el voltaje en el capacitor de 3,00 µF?

SOLUCION:

Asumiendo corriente en la malla y considerando que C1 y C2 están en serie,

1 2

0q q

Ri ric c

ε+ − − − − ≡

( )1 2

1 10R r i q

c cε

− + − + ≡

1 2e

1 2

R 0 / e ee

C Cqi R R r C

C C Cε − − ≡ ≡ + ∧ ≡

+

( ) ( ) ( )/ /1 e et R C t RCe

e

q t C e i t eR

εε − −≡ − → ≡

a) 18

6 129e eR C sτ µ ≡ ≡ × ≡ →

12 sι µ≡


S a + ε = 12.0 V 3.00 µF

R r = 1.00 Ω

6.00 µF b

S a + ε = 12.0 V 3.00 µF C1 q

I R r = 1.00 Ω

C2 6.00 µF q b

120


b) ( )/

11 1

1 e et R CeC eq

VC C

ε −−∆ ≡ ≡ → ( )/ Re2

11 2

1 t CeCV e

C Cε −∆ ≡ −

+

( ) ( )11

612 1

9V t e−∆ ≈ ≡≡ × − → 1

18 1V

e ∆ ≡ −

S3P17) Una plancha de metal de conductividad σ se dobla hasta formar un cuarto de anillo de radio interno a, radio externo b y espesor t.

a) Pruebe que la resistencia del sector entre las superficies horizontales es:

( )22

4

ab

tR

−=

πσb) Determine la resistencia entre las

superficies verticales curvadas.c) Determine la resistencia entre las superficies verticales rectas.

SOLUCION:

a) ( ) ( )2 22 2

114

4l tR

A b

tR

ba aσ σπρ

π≡ ≡ × →

−≡

−

b)

( )1

, .a

b

J EV J IR V E dr dr dr

I IA r JA

σσ σ

← ≡∆ ≡ ∆ ≡ − ≡ − ≡ − ← ≡ ∫ ∫ ∫r r

( ) 2

4 2

r tA r tr

π π≡ ≡

2 2/

a

b

I dr I bV n

t r t aσπ π σ → ∆ ≡ − ≡ ∫

2 bR ln

t aπ σ≡→

c) 2r

ldR

A tdr

π

ρσ

≡ ≡


b

a σ

90° t

a r b

A

0 a r b

121


1 1 2 2 2 1b b b

a a a

tdr t dr t bR ln

dR r r a R

σ σ σπ π π

− ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ∫ ∫ ∫

2R

btln

a

π

σ≡

→


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