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Cuaderno de Calculo Integral Intersemestral I - Junio2015CAMPUS II UNACAR
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P g i n a 0 | 64
UNIVERSIDAD AUTONOMA
DEL CARMEN
ESCUELA PREPARATORIA
DIURNA CAMPUS II
Junio 2015
AUTORES
ING. TRINIDAD DEL CARMEN RODRIGUEZ CAMARA
LCC. AZUCENA AMERICA ALVAREZ MONTEJO
ACADEMIA DE MATEMATICAS
Nombre:
_____________________________________
Sexto semestre Grupo: __________
P g i n a 1 | 64
1 CONTENIDO
2 Anti derivadas, Integracin indefinida ........................................................................................ 4
3 Integral indefinida ....................................................................................................................... 4
4 Conceptos Bsicos de Integracin ............................................................................................... 6
La integral del producto de una constante por una funcin es igual a la constante por la integral
de la funcin. ................................................................................................................................... 6
La integral de una funcin u de una variable x elevada a un exponente es igual a la funcin elevada
al exponente original ms uno, todo dividido entre el exponente original ms uno ..................... 7
En algunos casos la integracin se facilita si se efectan previamente las operaciones indicadas
(productos o cocientes de polinomios) ........................................................................................... 8
Otras integrales se pueden resolver al sumar y restar al integrando una misma cantidad. ........ 10
5 INTEGRACION DE FUNCIONES COMPUESTAS ........................................................................... 12
6 EJERCICIOS No 1 ........................................................................................................................ 17
7 Integrales de la forma Ca
adva
uu ln
Cedveuu .............................................. 21
8 Ejercicio No 2 ............................................................................................................................. 26
9 Frmulas de integracin de las funciones trigonomtricas directas ........................................ 29
Algunos procedimientos de integracin de las funciones trigonomtricas directas .................... 29
El integrando es el producto de la potencia de una funcin trigonomtrica por su diferencial. . 29
Sustituyendo el integrando por una identidad pitagrica ............................................................ 30
El integrando se sustituye por una identidad trigonomtrica recproca ...................................... 30
Multiplicando el integrando por su conjugado ............................................................................. 33
Multiplicando y dividiendo el integrando por una misma cantidad. ............................................ 34
Parte del integrando se descompone en sus factores .................................................................. 35
En el integrando se desarrollan algunas operaciones algebraicas ................................................ 35
10 FORMULAS DE INTEGRACION LOGARITMICAS...................................................................... 36
P g i n a 2 | 64
11 Ejercicio No 3 ......................................................................................................................... 47
12 FORMULAS DE INTEGRACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS .................... 50
Algunos procedimientos de integracin de las funciones trigonomtricas inversas.................... 50
El integrando se expresa como la suma de dos cocientes ............................................................ 52
El integrando es una fraccin donde el numerador es dx y el denominador es de la forma ....... 52
ax + bx + c ...................................................................................................................................... 52
Completar el cuadrado cuando el coeficiente de x2 es negativo .................................................. 54
Completar el cuadrado cuando el coeficiente de x2 no es la unidad ............................................ 56
13 Ejercicio No 4 ......................................................................................................................... 58
14 Integral definida .................................................................................................................... 62
15 Ejercicio No 5 ......................................................................................................................... 64
P g i n a 3 | 64
Generalidades
o Anti derivada
o Integral Indefinida
o Frmulas de derivacin
o Frmulas de Integracin
o Conceptos Bsicos de la Integracin
ANTI DERIVADAS
Integracin Indefinida
P g i n a 4 | 64
2 ANTI DERIVADAS, INTEGRACIN INDEFINIDA
Objetivo: Aplicar las tcnicas de la integral indefinida
Lectura 1. Antiderivada
Definicin:
A una funcin F se le llama antiderivada de una funcin f, en el intervalo I,si F(x)=f(x) para
todo valor de x en el intervalo.
Por comodidad este concepto se expresa con la fase F(x) es una antiderivada de f(x). Las
expresiones integral indefinida y funcin primitiva son sinnimos de la palabra antiderivada.
Ejemplos
1. 3x2 dx es la diferencial de x3
x3 es la antidiferencial de 3x2 dx
2. sen x dx es la diferencial de cosh
cos x es la antidiferencial de sen x dx
3 INTEGRAL INDEFINIDA
A la operacin de calcular la antiderivada (primitiva) de una funcin se le llama integracin y se
denota por el smbolo que es la inicial de la palabra suma.
Si F(x) es una funcin primitiva de f(x) se expresa:
CxFdxxfy )()( si y solo si F(x) + C = f(x)
P g i n a 5 | 64
La expresin dxxf )( es la antiderivada de F(x).
Tabla 1 Simbologa bsica
Es el signo de integracin, se lee integral de
f(x) Integrando
dx Diferencial de la variable
x Variable de integracin
F(x) Funcin primitiva
C Constante de integracin
Si en la expresin CxFdxxfy )()(
Y como en la definicin de la antiderivada sealamos que F(x)=f(x), sustituimos en la
expresin anterior
CxFdxxF )()(
queda
CxFdx
ddxxf
dx
d )()(
)()( xFxf
como la derivacin y la integracin son operaciones inversas, ello nos permite obtener las frmulas
de integracin directamente de las frmulas de derivacin.
P g i n a 6 | 64
4 CONCEPTOS BSICOS DE INTEGRACIN
La integral de la suma de un nmero finito de funciones es igual a la suma algebraica de las integrales
de las funciones.
dxxhdxxgdxxfdxxhxgxf )()()()()()(
Ejemplos:
1. dxdxxdxxdxxx 27527522
cxxx 22
7
3
5 23
2.
x
dxdx
x
xdx
x
xxd
x
xx43
43 2224
xdx
xdxdxx 433
cxLxx ||42
3
4
1 24
A cada integral habra que sumarle una constante C, pero solamente se escribe la del final porque
la suma de varias constantes es otra constante
LA INTEGRAL DEL PRODUCTO DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIN ES IGUAL A LA CONSTANTE
POR LA INTEGRAL DE LA FUNCIN.
)()( xfkxkf
Ejemplos:
1. dxxdxx44 88
P g i n a 7 | 64
cx 5
5
8
2. dxxdxx33
5
2
5
2
cx
45
2 4
= cx 4
10
1
LA INTEGRAL DE UNA FUNCIN U DE UNA VARIABLE X ELEVADA A UN EXPONENTE ES IGUAL A LA
FUNCIN ELEVADA AL EXPONENTE ORIGINAL MS UNO, TODO DIVIDIDO ENTRE EL EXPONENTE
ORIGINAL MS UNO
1
)()(
1
nxu
xduxu
n
n
con n -1
ya sealamos que u es una funcin de x, por ello esta notacin puede abreviarse de la forma
siguiente:
11
1
nconnu
duun
n
si n = -1 du
uduu
11
udu
cu ||ln
Se expresa: la integral de la diferencial de una funcin dividida entre la funcin es igual al logaritmo
natural de la funcin.
Ejemplos:
P g i n a 8 | 64
1. cx
dxx 3
32
2. cxxdx
||ln
Dentro del signo de integracin se pueden conmutar los factores del integrando.
dxxxdxxx3232 11
Por ningn motivo se puede sacar la variable de integracin del signo de integracin
xdxxdxx2
este desarrollo no es correcto
EN ALGUNOS CASOS LA INTEGRACIN SE FACILITA SI SE EFECTAN PREVIAMENTE LAS
OPERACIONES INDICADAS (PRODUCTOS O COCIENTES DE POLINOMIOS)
Ejemplos:
1. dxxxxdxxx )362(3122
dxxx 3522
dxxdxdxx 3522
Cxxx 32
5
3
2 23
2.
dxx
x
2
13
422 xx
P g i n a 9 | 64
123 xx
23 2xx
122 x
xx 422
14 x
84 x
7
dx
xxxdx
x
x
2
742
2
1 23
27422
x
dxdxdxdxx
Cxxx
x 2ln742
2
3
1 23
3. dx
x
x
1
3
dividiendo el numerador por el denominador resulta: 1
11
1
23
xxx
x
x
sustituyendo en el integrando
dxx
dxxdxdxxdxx
x
1
1
1
23
Cxxxx
1ln23
23
P g i n a 10 | 64
OTRAS INTEGRALES SE PUEDEN RESOLVER AL SUMAR Y RESTAR AL INTEGRANDO UNA MISMA
CANTIDAD.
Ejemplos:
1.
2
5x
xdx
Para su solucin se procede en la forma siguiente: del denominador, en la expresin (x+5)2
tomamos el 5, mismo que se suma y se resta al numerador; la integral obtenida se descompone en
dos integrales.
dxx
x
x
xdx22
5
55
5
225
5
5
)5(
x
dx
x
x
2
55
5 x
dx
x
dx
u (x)= x + 5
du (x)= dx
duux 255ln
Cu
x
1
55ln
12
2.
Cx
xx
xdu
5
55ln
42
P g i n a 11 | 64
o Sustitucin por cambio de variable
o Deduccin de frmulas para derivar integrales
o Ejercicios
INTEGRACION DE UNA FUNCION COMPUESTA
P g i n a 12 | 64
5 INTEGRACION DE FUNCIONES COMPUESTAS
Objetivo: Aplicar las formulas inmediatas de integracin a travs del cambio de variable.
Lectura
5.1 SUSTITUCION POR CAMBIO DE VARIABLE
Existen varias tcnicas para aplicar una sustitucin pero el propsito de todas es identificar en el
integrando una funcin que este multiplicada por la diferencial de esa funcin, y as, poder aplicar
una frmula de integracin.
En el mtodo de sustitucin, llamado tambin cambio de variable, se escoge una literal. En nuestro
caso se eligi la u, que se iguala a la funcin que incluye el integrando, por ello es necesario sealar
que est en funcin de la variable de dicha funcin
Ejemplos:
Integrar (solo identificar la funcin y su diferencial)
1. )()(
77xduxu
dxxsen
Sealamos u = 7x
u(x)= 7x
du(x)= 7dx
7x es la funcin
7dx su diferencial
2. )()(
5cos
yduyu
dyy
Sealamos
u = 5y
P g i n a 13 | 64
u(y)= 5y
du(y) = 5 dy
5y es la funcin
dy la diferencial incompleta
Observa que la variable de la funcin es y, as como que la diferencial en el integrando esta
incompleta.
En el primer ejemplo hemos escogido la literal u. A continuacin sealamos u (x) indicando con ello
que u esta en funcin de x, en seguida con du(x) calculamos su diferencial.
3. )()(
77xduxu
dxxsen
u = 7x
du(x)= 7dx
este es uno de los procedimientos ms empleados por costumbre y comodidad.
4. dxxx 2322
Hay dos maneras de resolver este ejemplo, la primera aplicando la sustitucin por cambio de
variable.
5. )()(
22 23xduxu
dxxx
xdxxdu
xxu
xu
2)(
3)(
3
2
2
P g i n a 14 | 64
el integrando est completo pues incluye la funcin multiplicada por su diferencial, en consecuencia
se puede aplicar la frmula de integracin de la potencia de una funcin.
6. duudxxxxduxu
2
)()(
22 23
integrando
Cu
3
3
sustituyendo el valor de u
C
x
3
332
otra solucin se encuentra desarrollando la operacin en el integrando
7. dxxx 2322
el integrando es un polinomio, por ello, podemos desarrollar su producto e integrar termino a
termino.
dxxxxdxx 29632422
dxxxx 1812235
dxxdxxdxx 1812235
Cxxx 246
2
18
4
12
6
2
Cxxx 246 933
1
Los dos resultados estn bien ya que si desarrollamos el primero de ellos se tiene:
P g i n a 15 | 64
C
xxxC
x
3
27279
3
3 24632
Cxxx 9933
1 246
La constante en el primer desarrollo es 9 + C, la del segundo es C, que son equivalentes.
8. xdxxba 21
222
dxxbxdu
xbaxu
xbau
2
222
222
2)(
)(
el integrando no est completo, se puede introducir el factor 2b2 despus del signo integral,
delante de x dx y su reciproco delante del signo integral.
Cub
u
bC
u
bduu
bxdxbxba
b
31
2
32
1
12
12
1
2
12
2
1 23
2
2
3
2
12
1
2
2
1
2
22
1222
2
Sustituyendo el valor de u
C
b
xba
2
2
3222
3
9. 2223
xcb
axdx
dxxcxdu
xcbxu
xcbu
2
222
222
2)(
)(
el integrando no esta completo, se puede introducir el factor 2c2 despus del signo integral,
delante de x dx y su reciproco delante del signo integral.
P g i n a 16 | 64
Cuc
a
u
du
c
a
xcb
xdxc
c
a
ln2
3
2
32
2
322222
2
2
sustituyendo el valor de u
Cxcbc
a 222
2ln
2
3
P g i n a 17 | 64
6 EJERCICIOS NO 1
Calcular las integrales siguientes, anexar procedimiento completo:
P g i n a 18 | 64
P g i n a 19 | 64
P g i n a 20 | 64
P g i n a 21 | 64
7 INTEGRALES DE LA FORMA Ca
adva
uu ln
Cedve uu
Ejemplos:
1. dxbax2
dxxdu
xxu
xu
2)(
2)(
2
el integrando no esta completo, se puede introducir el factor 2 despus del signo integral, delante
de x dx y su reciproco delante del signo integral.
Ca
abdua
bdxa
b uux ln222
2
2
sustituyendo el valor de u
Ca
ba x
ln2
2
2. dxx210
dxxdu
xxu
xu
2)(
2)(
2
el integrando no est completo, se puede introducir el factor 2 despus del signo integral, delante
de x dx y su reciproco delante del signo integral.
Cduadxu
ux 10ln10
2
1
2
1210
2
1 2
sustituyendo el valor de u
Cx
10ln2
102
P g i n a 22 | 64
3. dxex36
dxxdu
xxu
xu
3)(
3)(
3
el integrando no esta completo, se puede introducir el factor 3 despus del signo integral, delante
de x dx y su reciproco delante del signo integral.
Ceduedxe uux 236
33
6 3
sustituyendo el valor de u
Ce x 32
4. dxxesenx cos
dxxxdu
senxxu
senxu
cos)(
)(
sustituyendo
Ce
egrando
due
u
u
int
sustituyendo el valor de u
Cesenx
5. dxedxxdxexxx 22 77
P g i n a 23 | 64
dxxdu
xxu
xu
2)(
2)(
2
multiplicando y dividiendo la segunda integral por 2
sustituyendo el valor de u
6. dxex 23 4
Primero desarrollamos el binomio
dxdxedxe
dxee
xx
xx
168
168
36
36
dxxdu
xxu
xu
6)(
6)(
6
dxxdu
xxu
xu
3)(
3)(
3
Multiplicando y dividiendo por 6 y por 3 la primera y la segunda de las integrales respectivamente
Cxee
egrando
dxduedue
dosustituyen
dxdxedxe
uu
uu
xx
163
8
6
1
int
163
8
6
1
1633
86
6
1 36
Cex
egrando
duedxx
u
u
2
1
2
7
int
22
17
2
Cex x 22
2
1
2
7
P g i n a 24 | 64
sustituyendo los valores de u
Cxee xx 163
8
6
1 36
7. dxe
e
dx xx
4
49
9
dxxdu
xxu
xu
4)(
4)(
4
multiplicando y dividiendo por -4
Ce
egrando
due
dosustituyen
dxe
u
u
x
4
9
int
4
9
44
9 4
sustituyendo el valor de u
Ce
Ce
x
x
4
4
4
9
4
9
8. dxxexsen 6cos6
xdxxdu
xsenxu
xsenu
6cos6)(
6)(
6
multiplicando y dividiendo por 6
P g i n a 25 | 64
due
egrando
due
dosustituyen
dxxe
u
u
xsen
6
1
int
6
1
6cos66
1 6
sustituyendo el valor de u
Ce xsen 6
6
1
P g i n a 26 | 64
8 EJERCICIO NO 2
Calcular las integrales siguientes, anexando procedimiento:
P g i n a 27 | 64
P g i n a 28 | 64
o Frmulas de Integracin de las Funciones Trigonomtricas
o Algunos procedimientos de Integracin
o Ejercicios
Funciones
Trigonomtricas
Directas
P g i n a 29 | 64
9 FRMULAS DE INTEGRACIN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS
DIRECTAS
1. cvdvsenv cos
2. csenvdvvcos
3. cvtgdvv2sec
4. cvctgdvv2csc
5. cvdvvtgv secsec
6. cvdvvctgv csccsc
ALGUNOS PROCEDIMIENTOS DE INTEGRACIN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS DIRECTAS
EL INTEGRANDO ES EL PRODUCTO DE LA POTENCIA DE UNA FUNCIN TRIGONOMTRICA POR SU
DIFERENCIAL.
Ejemplo:
dxxxsen cos3 2
si la funcin es
dxxxdu
senxxu
senxu
cos)(
)(
sustituyendo u(x) y du(x) en el integrando, se tiene:
= duu23
integrando
Cu
3
33
P g i n a 30 | 64
sustituyendo el valor de u
Cxsen 3
SUSTITUYENDO EL INTEGRANDO POR UNA IDENTIDAD PITAGRICA
Ejemplo:
22 tan1sec
como 1sectan22 xx
sustituyendo en el integrando
dxx 17sec2
completamos el diferencial multiplicando y dividiendo por 7
Cxx
egrando
dxdxx
dxx
7tan7
1
int
77
1)7(7sec
7
1
17sec7
1
2
2
EL INTEGRANDO SE SUSTITUYE POR UNA IDENTIDAD TRIGONOMTRICA RECPROCA
Ejemplo:
xsen
dx2
3
como xsen
x1
csc
al elevar al cuadrado ambos miembros
xsenx
2
2 1csc
y sustituyendo en el integrando
P g i n a 31 | 64
dxx2csc3
integrando
Cx cot3
Ejemplo:
2tancos 2 xx
dx
como x
xcos
1sec
al elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuacin
xx
2
2
cos
1sec
se sustituye en el integrando
dxxx
x
dxx
22
1
2
sec2tan
2tan
sec
si la funcin es
dxxxdu
xxu
xu
2sec)(
2tan)(
2tan
se sustituye en el integrando
P g i n a 32 | 64
2
1
2
1
2
1
2
2
1
int
u
u
egrando
duu
con el valor de u queda
Cx
Cx
2tan2
2tan2 21
Ejemplo:
dxxsenxdx
x
xsen33cos1
3cos1
3 33
si la funcin es
dxxsenxdu
xxu
xu
)3(3)(
3cos1)(
3cos1
completamos la diferencial, multiplicamos y dividimos por 3
dxxsenx )3(33cos13
1 3
Sustituyendo en el integrando
duu 3
3
1
integrando
Cu
)2(3
2
P g i n a 33 | 64
sustituyendo el valor de u
Cx
2)3cos1(6
1
MULTIPLICANDO EL INTEGRANDO POR SU CONJUGADO
Ejemplo:
dx
x
x
coxx
dx
cos22
cos22
22
1
cos22
El producto de un binomio conjugado es igual a la diferencia de sus cuadrados
dxx
x
dofactorizan
dxx
x
2
2
cos1
cos1
2
1
cos44
cos22
como sen2x = 1-cos2x
sustituyendo
senxx
senx
xx
xsenxsenxsen
xsenxcomo
dxxsen
xdx
xsen
dxxsen
x
1csc;
coscot
1sec
cos
2
11
2
1
cos1
2
1
2
22
2
al sustituir en los integrandos
dxxxdxx csccot21
csc2
1 2
integrando
P g i n a 34 | 64
Cxx csc2
1cot
2
1
MULTIPLICANDO Y DIVIDIENDO EL INTEGRANDO POR UNA MISMA CANTIDAD.
Ejemplo:
dxxx 2sec2tan
multiplicando y dividiendo el integrando por x2sec
dxxxx
dxx
xx
dxx
xxx
2sec2tan2sec
2sec
2sec2tan
2sec
2sec2sec2tan
2
1
si la funcin es
dxxxxdu
xxu
xu
)2(2sec2tan)(
2sec)(
2sec
sustituyendo el integrando: multiplicando y dividiendo por 2 para completar la diferencial
Cu
Cu
duu
2
1
2
1
2
1
2
12
1
2
1
sustituyendo el valor de u
Cx 2sec
P g i n a 35 | 64
PARTE DEL INTEGRANDO SE DESCOMPONE EN SUS FACTORES
Ejemplo:
dxxx
senx
dxxx
senx
dxx
senx
cos
1
cos
coscos
cos 2
como x
xx
senxx
cos
1sec;
costan
= dxxxsectan
integrando
Cx sec
EN EL INTEGRANDO SE DESARROLLAN ALGUNAS OPERACIONES ALGEBRAICAS
Ejemplo:
2
tansec xx
al desarrollar el binomio cuadrado perfecto
dxxdxxxdxx
dxxxxx
22
22
tantansec2sec
tantansec2sec
como 1sectan22 x
sustituyendo e integrando
Cxxx
egrando
dxdxxxx
dxxxx
sec2tan2
int
secsec2tan
1secsec2tan
2
2
P g i n a 36 | 64
10 FORMULAS DE INTEGRACION LOGARITMICAS
1. CuL
u
du
2. CuLduu sectan
3. CusenLduu cot
4. CuuLduu tansecsec
5. CuuLduu cotcsccsc
6.
Cau
auL
aau
du
21
22
7.
Cua
uaL
aua
du
21
22
8.
CauuLau
du
22
22
Ejemplo:
1. xdx
x
dx
5
1
5
dxxdu
xxu
xu
)(
)(
sustituyendo
CuL
egrando
u
du
5
1
int
5
1
Sustituyendo el valor de u
P g i n a 37 | 64
CxL 5
1
2.
x
dx
x
dx
325
32
5
3)(
32)(
32
xdu
xxu
xu
multiplicando y dividiendo por 3
CuL
egrando
u
du
dosustituyen
x
dx
3
5
int
3
5
32
3
3
5
sustituyendo el valor de u
CxL 323
5
3.
6
122 xx
dxx
dxxxdu
xxxu
xxu
)12()(
6)(
6
2
2
sustituyendo
P g i n a 38 | 64
CuL
egrando
u
du
int
Sustituyendo el valor de u
CxxL 62
4. dxxx
x
2
11
2
3
Dividiendo Sustituyendo
1
32 xx
2 x
CuLx
egrando
u
dudx
dosustituyen
dxx
dx
int
2
1
sustituyendo el valor de u
CxLx 2
5.
dxxsen
x
2
2cos
dxxxduxsenxu
xsenu
2cos)(
2)(
2
1
dxxdu
xxu
xu
)(
2)(
2
P g i n a 39 | 64
sustituyendo
CuL
egrando
u
du
int
sustituyendo el valor de u
CxsenL 2
6. dxxxln
dxx
xdu
xxu
xu
1)(
ln)(
ln
sustituyendo
Cu
grando
udu
2
int
2
sustituyendo el valor de u
Cx
2
ln 2
7.
dxx
x
2
2
desarrollando el binomio
P g i n a 40 | 64
xdxdxx
dx
dxxx
44
44
dxxdu
xxu
xu
)(
)(
sustituyendo en la primera integral
Cx
xuL
egrando
dxxdxu
du
244
int
44
2
sustituyendo el valor de u
Cx
xxL 2
442
8.
3tan6cos 2 xx
dx
como x
xcos
1sec elevamos al cuadrado ambos miembros de la ecuacin
xx
2
2
cos
1sec
sustituyendo
3tan6
sec2
x
dxx
dxxxdu
xxu
xu
2sec6)(
3tan6)(
3tan6
multiplicamos y dividimos por 6
3tan6
sec6
6
1 2
x
xdx
sustituyendo
P g i n a 41 | 64
CuL
egrando
u
du
6
1
int
6
1
sustituyendo el valor de u
CxL 3tan66
1
9. 92x
dx
dxxdu
xxu
xu
xu
)(
)(
22
3
92
a
a
sustituyendo
Cau
auL
a
egrado
au
du
2
1
int
22
sustituyendo el valor de a y u
Cx
xL
3
3
6
1
10.
xe
dxxex
x
tan
sec2
dxxexduxexu
xeu
x
x
x
2sec)(
tan)(
tan
sustituyendo
P g i n a 42 | 64
CuL
egrando
u
du
int
sustituyendo el valor de u
CxeL x tan
11.
dxee
eexx
xx
dxeexdueexu
eeu
xx
xx
xx
)(
)(
sustituyendo
CuL
egrando
u
du
int
sustituyendo el valor de u
CeeL xx
12. dxx x232
xdxxdu
xxu
xu
6)(
3)(
3
2
2
2a
multiplicamos y dividimos por -6
dxxx 626
1 23
sustituyendo
P g i n a 43 | 64
CaLa
egrando
dua
u
u
1
6
1
int
6
1
sustituyendo el valor de a y u
CL
x
2322
1
6
1
13.
dxxxsenx
cos
cos
comun denominador
dxdxx
dxx
xdx
x
senx
tan
cos
cos
cos
integrando
CxxL sec
14. dxx2tan dxxdu
xxu
xu
2)(
2)(
2
multiplicando y dividiendo por 2
dxx 22tan21
sustituyendo
P g i n a 44 | 64
CuL
egrando
duu
sec2
1
int
tan2
1
sustituyendo el valor de u
CxL 2sec2
1
15. dxx
xsec
dxx
dxxxdu
xxu
xu
2
1
2
1)(
)(
2
1
2
1
2
1
multiplicando y dividiendo por -2
dxxx
sec2
12
sustituyendo
duusec2
integrando
CuuL tansec2
sustituyendo el valor de u
CxxL tansec2
16. dxx2
tan1
desarrollando el binomio
dxxx2tantan21
P g i n a 45 | 64
como 1sectan22 xx
sustituimos en el integrando
dxxxdx
dxxx
dxxx
2
2
2
sectan2
sectan2
1sectan21
integrando
CxscxL tan2
17.
dxx
x
2
352
3
efectuando una divisin
dx
x
xxdx
x
x
2
3105
2
3522
3
23
2105
22 x
dxdx
x
xdxx
tomamos la segunda integral
dxx
x
2
102
xdxxdu
xxu
xu
2)(
2)(
2
2
2
2
22
a
a
2
25
2x
dxx
sustituyendo
CuL
egrando
u
du
5
int
5
P g i n a 46 | 64
sustituyendo el valor de u
CxL 25 2
tomamos la tercera integral
dxx 2
32
xdxxdu
xu
xu
2)(
22
2
22
a
a
sustituyendo
Ca
u
a
egrando
au
du
arctan1
3
int
322
sustituyendo los valores de a y u
Cx
2
arctan2
3
si calculamos la primera integral y sustituimos cada uno de los resultados de las integrales segunda
y tercera nos queda
Cx
xLx
2
arctan2
325
2
5 22
P g i n a 47 | 64
11 EJERCICIO NO 3
Calcula las siguientes integrales, anexa procedimiento.
P g i n a 48 | 64
P g i n a 49 | 64
o Frmulas de Integracin
o Algunos Procedimientos de integracin
o El integrando se expresa como la suma de dos cocientes
o El integrando es una fraccin donde el numerador dx
o Ejercicios o Integral definida
Funciones Trigonomtricas
Inversas
P g i n a 50 | 64
12 FORMULAS DE INTEGRACION DE FUNCIONES
TRIGONOMETRICAS INVERSAS
Ca
uarc
aauu
du
Ca
u
aua
du
Ca
uarcsen
ua
du
sec1
arctan1
22
22
22
ALGUNOS PROCEDIMIENTOS DE INTEGRACIN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS INVERSAS
Ejemplo:
1. 29 xdx
para aplicar la frmula Ca
uarcsen
ua
du
22 es necesario identificar los valores de a
2, a, u2,
u y calcular u(x) y du(x).
3
92
a
a
dxxdu
xxu
xu
xu
)(
)(
22
El integrando est completo pues incluye la funcin multiplicada por su diferencial, en
consecuencia podemos aplicar la frmula de integracin citada.
2229 ua
du
x
du
integrando
P g i n a 51 | 64
Cx
arcsen 3
2. 243 xdx
para aplicar la frmula Ca
u
aua
du
arctan
122
es necesario identificar los valores de a2, a, u2,
u y calcular u(x) y du(x).
3
32
a
a
dxxdu
xxu
xu
xu
2)(
2)(
2
4 22
Para completar la diferencial se tiene que multiplicar y dividir por 2.
243
2
2
1
x
dx
sustituyendo en el integrando
2221
ua
du
integrando
a
u
aarctan
1
2
1
sustituyendo el valor de a y de u
Cx
3
2arctan
32
1
P g i n a 52 | 64
EL INTEGRANDO SE EXPRESA COMO LA SUMA DE DOS COCIENTES
Ejemplo:
dx
x
x
29
4
comn denominador
dxx
dxx
x
22 9
4
9
dxxxdu
xxu
xu
2)(
9)(
9
2
2
3
92
a
a
dxxdu
xxu
xu
xu
)(
)(
22
multiplicando y dividiendo por -2 la primera integral
22
1
2
94)2(9
2
1
x
dxdxxx
integrando
Cx
arcsenu
34
2
12
1 21
sustituyendo el valor de u
Cx
arcsenx 3
49 2
EL INTEGRANDO ES UNA FRACCIN DONDE EL NUMERADOR ES DX Y EL DENOMINADOR ES DE LA
FORMA
AX + BX + C
Algunos de estos casos pueden integrarse completando el cuadrado ax2 + bx. La integral
resultante puede ser de cualquiera de las formas siguientes:
P g i n a 53 | 64
22 au
du
22 uadu
22 audu
2udu
para completar el cuadrado se puede utilizar la siguiente expresin
cbb
bxxcbxx
22
22
22
Ejemplo:
dxxx
dx
84
62
al completar el cuadrado del denominador, se tiene
844484 22 xxxx
42 2 x
42
62
x
dx
dxxdu
xxu
xu
xu
)(
2)(
2
222
4
2
a
a
sustituyendo en el integrando
226
au
dx
P g i n a 54 | 64
integrando
Ca
u
a
arctan
16
sustituyendo los valores a y u
Cx
2
2arctan
2
6
Cx
2
2arctan3
COMPLETAR EL CUADRADO CUANDO EL COEFICIENTE DE X2 ES NEGATIVO
Ejemplo:
23 xxdx
si se completa el cuadrado del denominador se tiene
xxxx 33 22
22
22
2
2
3
2
3
2
3
2
33
x
xx
multiplicando por el signo menos
22
2
3
2
3
x
P g i n a 55 | 64
dxxdu
xxu
xu
xu
)(
2
3)(
2
3
2
32
2
2
3
2
32
2
a
a
sustituyendo en el integrando
22
22
2
3
2
3
ua
du
x
dx
integrando
Ca
uarcsen
sustituyendo los valores de a y u
C
x
arcsen
2
32
3
C
x
arcsen
2
32
32
C
xarcsen
)3(2
322
C
xarcsen
3
32
P g i n a 56 | 64
COMPLETAR EL CUADRADO CUANDO EL COEFICIENTE DE X2 NO ES LA UNIDAD
Ejemplo:
982 2 xxdx
Se factoriza la expresin xx 822 antes de completar el cuadrado.
94442
942982
2
22
xx
xxxx
el factor 2 afecta toda le expresin que esta en el parntesis
942442 2 xx
122 2 x
sustituyendo en el integrando
1222
x
dx
dxxdu
xxu
xu
xu
2
22)(
22
2222
multiplicando y dividiendo en el integrando por 2
122
2
2
12
x
dx
sutituyendo
222
1
au
du
integrando
P g i n a 57 | 64
Cua
arctan
1
2
1
sustituyendo el valor de u y a
Cx 22arctan2
1
P g i n a 58 | 64
13 EJERCICIO NO 4
Calcula las siguientes integrales, anexa procedimiento.
P g i n a 59 | 64
P g i n a 60 | 64
P g i n a 61 | 64
P g i n a 62 | 64
14 INTEGRAL DEFINIDA
El procedimiento para calcular una integral definida se resume en lo siguiente:
1. Integrar la expresin diferencial dada.
2. Sustituir en el resultado obtenido inicialmente con el valor del extremo superior y restar
despus de sustituir con el valor del extremo inferior.
3. No es necesario utilizar la constante de integracin.
La notacin de la integral definida y las partes que la componen, son: ()
Toda la expresin se lee: Integral de f(x) desde a hasta b. Donde a y b son los lmites de
integracin, donde a es el lmite inferior y b es el lmite superior.
Teorema Fundamental del Clculo Integral
Si una funcin f(x) es continua sobre el intervalo cerrado [a,b] y F(x) es una integral indefinida de
f(x) sobre el intervalo [a,b], entonces:
()
= ()]
= () ()
Esto es, si se desea obtener la integral en un intervalo cerrado, se requiere restar la integral
indefinida evaluada en el lmite superior del intervalo menos la evaluada en el lmite inferior del
intervalo. Con este procedimiento se estara obteniendo el rea bajo la curva de una forma exacta.
A continuacin se mostrarn algunos ejemplos.
Ejemplo1:
P g i n a 63 | 64
Ejemplo 2:
P g i n a 64 | 64
15 EJERCICIO NO 5
Calcula las siguientes integrales definidas, anexa procedimiento.