CUADERNO DE TRABAJO 2cuc.ac.cr/carreras/electronica/recursos/mateI_02.pdfCUADERNO DE TRABAJO 2 Elaborado por: Msc. Adriana Rivera Meneses ... aquellos conceptos que en clase se estudian

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CUC Electrónica Matemática Elemental Msc. Adriana Rivera Meneses

COLEGIO UNIVERSITARIO DE CARTAGO

ELECTRÓNICA

MATEMÁTICA ELEMENTAL

EL-103

CUADERNO DE TRABAJO 2

Elaborado por: Msc. Adriana Rivera Meneses

II Cuatrimestre 2014

2


ESTIMADO ESTUDIANTE:

Continuamos con el objetivo de facilitar su comprensión sobre los temas del curso.

Esperamos el primer cuaderno haya ayudado a su comprensión, este a diferencia

del ya estudiado le ofrece el tema de las funciones algebraicas, por lo cual usted

encontrará gran cantidad de ilustraciones.

Lo invitamos a que de lectura y análisis a este material, para que abarque

aquellos conceptos que en clase se estudian pero que requieren de una mayor

asimilación de su parte.

¡Que siga disfrutando el curso de Matemática Elemental!

3


FUNCIONES.

1. CONCEPTOS BÁSICOS.

1.1. Relación binaria:

Es una asociación entre los elementos de un conjunto A al cual llamaremos

conjunto de salida con los elementos de un conjunto B al cual llamaremos conjunto

de llegada.

Note que: en una relación binaria NO ES OBLIGATORIO

a. que todos los elementos del conjunto de salida se asocien con los elementos

del conjunto de llegada.

b. puede suceder que un elemento del conjunto de salida se asocie con más

de un elemento del conjunto de llegada.

Ejemplo 1.

a. Si se considera los estudiantes de una clase y se les asigna su edad es

probable que varios jóvenes tengan los mismos años, y esto sería una

correspondencia o relación binaria.

b. Piense en el caso anterior pero al contrario es decir en el conjunto de salida

están los años y se les asignarán los estudiantes con tal edad, también

continúa siendo una relación mas no una función.

1.2. Función:

Sean D y C dos conjuntos no vacíos. Una función de D en C es una regla que asigna

a todo elemento 𝑥 𝜖 𝐷, una única 𝑦 𝜖 𝐶.

Es decir una función es una relación binaria en la cual:

a. Cada elemento del conjunto de salida está relacionado con un elemento

del conjunto de llegada.

b. Cada elemento del conjunto de salida está relacionado con un único

elemento del conjunto de llegada.

4


Algunos puntos importantes:

Sea 𝑓: 𝐷 → 𝐶 una función entonces:

1. Si f asigna “y” a una 𝑥 ∈ 𝐷 particular, decimos que y es el valor de función en

x; y se denota 𝑓(𝑥) = 𝑦

2. El conjunto D se denomina dominio de la función 𝑓; y se deota 𝐷𝑓.

3. El conjunto C se denomina codominio de la función 𝑓; y se deota 𝐶𝑓.

4. La correspondencia entre 𝐷𝑓 y 𝐶𝑓, bajo la función 𝑓 se denota con 𝑓: 𝐷𝑓 → 𝐶𝑓.

5. La dependencia entre 𝑥 y 𝑦, bajo la función 𝑓 se denota con 𝑦 − 𝑓(𝑥).

6. EL conjunto de los valores 𝑦 ∈ 𝐶, tales que 𝑓(𝑥) = 𝑦; con 𝑥 ∈ 𝐷 se denomina

rango o ámbito de la función y se denota con 𝐴𝑓 o 𝑅𝑓.

7. Si tenemos que 𝑓 = 𝑦; entonces 𝑥 se denomina la variable independiente o

preimagen; y a 𝑦 se le conoce como la variable dependiente o imagen.

8. A la regla que asigna a cada elemento 𝑥 ∈ 𝐷; una única 𝑦 ∈ 𝐶 se le

denomina el criterio de la función.

1.3. Formas de representación de una función:

1.3.1. Diagrama sagital:

En el diagrama sagital se representan los conjuntos entre círculos u óvalos. El primer

conjunto es el de izquierda y el segundo el de la derecha y las relaciones se

representan con flechas.

Ejemplo 2.

5


Observe que a cada estudiante se le asigna su edad y existe facilidad para

distinguir cual es la edad de cada uno. Además hay dos estudiantes con la misma

edad como Pedro y Lorena, mientras que en el conjunto de llegada el codominio

no 19 años no se relaciona con ningún estudiante.

1.3.2. Tabla de valores.

En este caso los elementos del dominio son los valores de la primera fila o columna

y los elementos del codominio se representan en la segunda fila o columna.

Ejemplo 3.

Considere la función dada por 𝑓: {−3, −2, −1,0,1,2,3} → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑥2; su tabla

de valores se puede representar de cualquiera de las siguientes formas.

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y 9 4 1 0 1 4 9

x y

-3 9

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

Es importante, ver en esta función como el codominio está representado por ℝ,

pero el rango de la función es {0,1,4,9}. Además, observe por ejemplo como la

imagen de los valores -3 y 3 es el mismo.

1.3.3. Gráfico de una función:

Se define como el conjunto de pares ordenados de la función. Un par ordenado es

la representación de la preimagen y su imagen, esto es (𝑥, 𝑦) o bien (𝑥, 𝑓(𝑥)). Se

denota por 𝐷𝑓 = {(𝑥, 𝑦): 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 , 𝑦 ∈ 𝐴𝑓}

6


Ejemplo 4.

El gráfico {(2,3), (2,4), (2,5), (2,6)} NO corresponde al gráfico de una función pues se

INCUMPLE que una preimagen solo debe tener una imagen asociada

El gráfico {(1,0), (2,1), (3,2), (4,3)} SÍ corresponde al de una función pues cada

preimagen solo tiene una imagen asociada y por ende 4,3,2,1fD y 3,2,1,0fA

1.3.4. Gráfica de una función:

Es la representación del gráfico de la función en el plano cartesiano (dos rectas

perpendiculares en las cuales se representan los números reales, la intersección de

estas recibe el nombre de origen y representa el par ordenado (0,0). Dichas rectas

reciben el nombre de ejes y la recta horizontal representa el eje x o de las

preimágenes, la recta vertical representa el eje y o de las imágenes. Dichas rectas

determinan cuatro cuadrantes, que se nombran en sentido contrario de las

manecillas del reloj)

Cada par ordenado se representará con un punto, luego la gráfica puede ser

puntos, segmentos de líneas rectas u oblicuas, rectas, etc, dependiendo del

dominio definido en la función.

7


Ejemplo 5.

𝒈: ℝ → ℝ

Considere la función g, note que el dominio

de la función es ℝ, lo que en su trazo se

unen los puntos con un línea consecutiva.

Note en que en la función h el

dominio corresponde a

{−𝟐, −𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐} razón por la que

en su grafica aparecen

únicamente los pares ordenados

correspondientes a la definición

de la gráfica.

ℎ: {−2, −1,0,1,2} → ℝ

1.4. Función real de variable real.

Sea la función 𝑓 tal que 𝑓: 𝐷𝑓 → 𝐶𝑓 se dice que 𝑓 es una función real de variable

real si, y sólo si, su dominio y codominio son subconjuntos de ℝ.

Ejemplo 6.

Considere la relación 𝑓: ℝ → ℝ definida 𝑓(𝑥) = 1

𝑥 ¿es una función?

8


Ejemplo 7.

¿Corresponde la siguiente gráfica a una función?

1.5. Cálculo de imágenes dado el criterio de la función

Para calcular imágenes, ( y ) se sustituye el valor dado, que es el valor de la

preimagen x en el criterio de la función.

Ejemplo 8

Si 42 3 xxxf , determine la imagen de 4

Ejemplo 9

Calcule 𝑓(−3) + 𝑓(0) − 𝑓(2) si 𝑓: ℤ → ℤ, 𝑓(𝑥) = {−3𝑥 + 7 𝑠𝑖 𝑥 < 0

6 𝑠𝑖 𝑥 = 0−𝑥3 + 2 𝑠𝑖 𝑥 > 0

9


Ejemplo 10.

Para la función 𝑓(𝑥) = √3𝑥 + 1, se tiene que 𝑓(𝑘 − 3) = 2. Halle el valor de k.

1.6. Cálculo de preimágenes dado el criterio de la función

Para calcular preimágenes, es decir, las “ x ” se iguala el valor dado el cual debe

ser el de la imagen al criterio de la función y se despeja la variable x

Ejemplo 11.

Si 5,: 2 xxxfIRIRf determine la preimagen de 1

CUIDADO la redacción de las preguntas puede variar el procedimiento, por tanto

usted debe analizar cada caso, pues las “recetas” no funcionan.

Ejemplo 12.

En la función ℎ: ℝ → ℝ; ℎ =𝑥2+3

4 ; 5 es imagen de

10


Ejemplo 13.

En la función 𝑔: ℝ → ℝ; 𝑔 = 5 ∙ 25𝑥 ; −1

2 es preimagen de

Ejemplo 14

Determine el ámbito de la función 3,1,4,8: xxfIRf

Ejemplo 15

Determine el dominio de la función 2

52 xxf

si su ámbito es 6,2

11


Ejercicios 1.

a. Determinar cuáles de las siguientes relaciones son una función. Justifique las

que no lo sean.

1.

2.

3.

4.

5. {(2,0), (0,3), (0,0)}

6. {(1,6), (2,3), (3, −20)}

7. {(𝑎, 𝑐), (𝑏, 𝑑), (𝑐, 𝑎), (𝑑, 𝑏)}

8. {(2,5), (1, 𝑓(2)), (5,1), (𝑓(5), 1)}

9. {(𝑓(3), 4), (4,3), (3, 𝑓(5)), (5, 𝑓(4))}

10. 𝑓: 𝐴 → 𝐵, 𝐴 = {−2, −1,0,1,2,3}; 𝐵 = ℝ; 𝑓(𝑥) = √𝑥

11. 𝑓: 𝐴 → 𝐵, 𝐴 = ℝ; 𝐵 = ℝ; 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1

12. 𝑓: 𝐴 → 𝐵, 𝐴 = ℕ; 𝐵 = ℚ; 𝑓(𝑥) =1

𝑥−2

13. 𝑓: 𝐴 → 𝐵, 𝐴 = ℕ; 𝐵 = ℕ; 𝑓(𝑥) = 3𝑥

x -2 -1 0 1 2 3 4

y 4 6 -5 4 2 -1 -5

x 1 2 3 4

y 1 4 9 16

x -3 -2 -1 0 0 1 5

y 9 4 1 1 0 -1 1

x -2 -1 0 1 2 3 4

y 9 9 9 9 9 9 9

12


14.

15.

b. Suponga la función ℎ: 𝐷 → ℝ , si el gráfico de h es

{(−3,7), (−1,4), (0, −3), (1,5), (2, −5)} determine.

1. 𝐷ℎ

2. 𝐶ℎ =

3. 𝐴ℎ =

4. La imagen de 2 es

5. Una preimagen de -3 es

13


c. Suponga la función 𝑓: 𝐷 → ℤ y considerando la siguiente tabla de valores

determine.

x -3 -1 0 1 2

h(x) 7 4 9 5 -5

1. 𝐷ℎ

2. 𝐶ℎ =

3. 𝐴ℎ =

4. La imagen de 2 es

5. Una preimagen de -3 es

d. Determine el ámbito de la función indicada.

1. 𝑓(𝑥) =5𝑥−1

2𝑥+1; 𝑓: {−1,0,1,3} → ℚ

2. 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 13

; 𝑓: ℤ → ℝ

3. 𝑘(𝑥) = −1

2𝑥; 𝑓: {

−3

2, −1,

1

4, 2} → ℝ

e. Si 𝑓(𝑥) = 𝑥−1

𝑥, determine 𝑓(2),

𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)

ℎ

f. Si 𝑓(𝑥) = {𝑥2 + 2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3−𝑥3 𝑠𝑖 𝑥 < 3

determine 𝑓(√2), 𝑓(3), 𝑓(−2)

g. ¿Para qué valores de x es 𝑓(𝑥) = { 𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0𝑥3 𝑠𝑖 𝑥 < 0

es igual a 8? ¿Igual que 4?

14


Respuestas.

a.

1. si 2. si 3. no 4. si 5. no

6. si 7. si 8. no 9. no 10. no

11. si 12. no 13. si 14. si 15. no

b. 1. {−3, −1,0,1,2} 2. ℝ 3. {−5, −3,4,5,7} 4. -5 5. 0

c. 1. {−3, −1,0,1,2} 2. ℤ 3. {−5,4,5,7,9} 4. -5 5. No hay

d. 1. {−1,2,4

3, 6} 2. {√𝑎

3/𝑎 ∈ ℤ} 3. {−

2

3, −

1

4,

1

3,

1

2}

e. ℎ2

𝑎(𝑎+ℎ)

f. 𝑓(√2) = 2√2, 𝑓(3) = 15, 𝑓(−2) = 8

g. Igual que 8, 𝑥 = 2√2, igual que 4, 𝑥 = 2

2. ANÁLISIS A PARTIR DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.

Datos:

Para determinar el dominio de la función dada su gráfica siempre se leerá el

eje x de izquierda a derecha

Para determinar el ámbito de la función dada su gráfica siempre se leerá el

eje y de abajo hacia arriba

Las preimágenes se obtendrán observando en el eje x y las imágenes

observando en el eje y . Por lo general aparece en la gráfica líneas

punteadas que indican la asociación entre las variables.

Los puntos de intersección corresponden a pares ordenados, cuando

hablamos de la ∩𝑥= (𝑥, 0) y para ∩𝑦= (0, 𝑦).

Par determinar intervalos de monotonía se observaran de izquierda a

derecha y por lo tanto se contesta el subconjunto del dominio que

corresponda.

15


Ejemplo 16

1. Dominio de f : ______________

2. Ámbito de f : ______________

3. Imagen de -3: ______________

4. Preimagen de ______________

5. )1(f : ______________

6. Imagen de 2

1: ______________

7. Intervalo de “x” donde 0)( xf : ______________

8. 4f : ______________

9. ∩𝑥: ______________

10. ∩𝑦: ______________

11. Intervalo de “x” donde 0)( xf : ______________

x

3

5

2

-3

-2

-3

-2

4

-4

f

-1

y

16


Ejercicios 2.

De acuerdo a los datos de la gráfica indique en cada caso lo que se le solicita.

1.

a) Dominio D: ____________

b) Codominio: ____________

c) f(0): ____________

d) f(2): ____________

e) ∩𝒚 : ____________

f) Preimagen de 0: ________

g) Intervalo en el que f es

creciente: ____________

2.

a) Dominio D: ____________

b) h(D): ____________

c) h(-1): ____________

d) h(-3): ____________

e) ∩𝑦 : ____________

f) x tal que h(x)=3: ________

g) Preimagen de 2: ________

h) Intervalo en el que f es

decreciente: ___________

17


3.

a) Dominio D: ____________

b) Codominio: ____________

c) Ámbito: ____________

d) f(-1): ____________

e) f(-5): ____________

f) Preimagen (es) de -2:____

g) ∩𝑦 : ____________

h) ∩𝑥 : ____________

i) x tal que f(x)=0: ________

j) Conjunto tal que f(x)<0:

________

k. Intervalo en el que f es

constante: ___________

4.

a) Dominio D: ____________

b) f(D): ____________

c) f(-4): ____________

d) f(1): ____________

e) Imagen de -2: __________

f) Preimagen(es) de 0:_____

g) x tal que f(x)=4: ________

h) Valores tales que

f(x)>0:___________

i) Intervalo en el que f es

creciente: ___________

18


Respuestas:

1.

a) Dominio D: ]−∞, −2[ ∪ ]−1, +∞[

b) Codominio: [−2, +∞[

c) f(0): 0

d) f(2): -3

e) ∩𝑦 :(0,0)

f) Preimagen de 0: 0

g) Intervalo en el que f es creciente:

]−1,1[

2.

a) Dominio D: ]−∞, 1[ ∪ ]2, +∞[ − {−2}

b) h(D): ]−∞, 3]

c) h(-1): 2

d) h(-3): 0

e) ∩𝑦 : (0,-2)

f) x tal que h(x)=3: 2

g) Preimagen de 2: 2.5

h) Intervalo en el que f es decreciente: ]2, +∞[

3.

a) Dominio D: ℝ − {4}

b) Codominio: ]−10, +∞[

c) Ámbito: [−3, +∞[

d) f(-1): 2

e) f(-5): 0

f) Preimagen (es) de -2: -2 y -4

g) ∩𝑦 : (0,2)

h) ∩𝑥 : (-5,0)

i) x tal que f(x)=0: -5

j) Conjunto tal que f(x)<0: ]−5, −2[

k. Intervalo en el que f es constante: ]−2,0[

4.

a) Dominio D: ℝ

b) f(D): ]−∞, 1] ∪ [3, +∞[ ∪ {2}

c) f(-4): 2

d) f(1): 1

e) Imagen de -2: 3

f) Preimagen(es) de 0: 1.5

g) x tal que f(x)=4: 0

h) Valores tales que f(x)>0: ]1.5,1] ∪

[3, +∞[ ∪ {2}

i) Intervalo en el que f es creciente: ]−2,1[

19


3. DOMINIO MÁXIMO DE FUNCIONES 3.1. Función polinomial: su dominio es IR .

Ejemplo 16.

Determinar el dominio máximo de la función 𝑓: 𝐷 → ℝ; tal que 𝑓(𝑥) = 𝑥3−3𝑥+5

2

3.2. Función racional: su dominio es adordenodelnesrestriccioIR min

Ejemplo 17.

Determinar el dominio máximo de la función 𝑓: 𝐷 → ℝ; tal que 𝑓(𝑥) = 𝑥−2

𝑥2+2𝑥−3

3.3. Función radical de índice par: su dominio está dado por 0subradical . El

dominio es un intervalo real.

Ejemplo 18.

Determinar el dominio máximo de la función 𝑔: 𝐷 → ℝ; tal que 𝑔(𝑥) = √3𝑥 − 44

.

20


3.4. Función radical de índice impar: su dominio es IR .

Ejemplo 19.

Determinar el dominio máximo de la función ℎ: 𝐷 → ℝ; tal que ℎ(𝑥) = √7𝑥−1

6

5

3.5. Función racional con denominador radical de índice par: el dominio está dado por 0subradical . también es un intervalo real.

Ejemplo 20.

Determinar el dominio máximo de la función 𝑔: 𝐷 → ℝ; tal que 𝑔(𝑥) = 𝑥2

√𝑥−2

3.6. Función racional con denominador radical de índice impar: el dominio

es subradicaldelnesrestriccioIR

Ejemplo 21.

Determinar el dominio máximo de la función 𝑓: 𝐷 → ℝ; tal que 𝑓(𝑥) = 3𝑥−2

√3−𝑥7

21


3.7. Función racional con numerador radical de índice par: para obtener el

dominio primero se resuelve 0subradical luego se obtienen las

restricciones del denominador y si estas están incluidas en el intervalo se

deben quitar.

Ejemplo 22.

Determinar el dominio máximo de la función 𝑔: ℝ → ℝ; tal que 𝑔(𝑥) = √−5𝑥−64

𝑥−1

Ejercicios 3.

a) Determine el dominio máximo de las siguientes funciones.

1. 𝑓(𝑥) = 7 +1

√𝑥4

2. 𝑓(𝑥) =𝑥−3

2𝑥2−3𝑥−2

3. 𝑓(𝑥) = √7𝑥 − 21

4. 𝑓(𝑥) = √2 − 𝑥8

−1

𝑥

5. 𝑓(𝑥) = √𝑥 +𝑥−1

2𝑥2−4𝑥

6. 𝑓(𝑥) = √𝑥+𝑒

𝑥+2

7. 𝑓(𝑥) =√−𝑥+26

−2

𝑥+1

8. 𝑓(𝑥) =3 √3𝑥−2

4

𝑥−5+ 𝑥

9. 𝑓(𝑥) =2𝑥+1

√14−2𝑥+

𝑥−3

𝑥+5

10. 𝑓(𝑥) = √𝑥+1

𝑥+2

8+

𝑥−3

𝑥+5

22


Respuestas:

1. ]0, +∞[ 2. ℝ − {−1

2, 2}

3. [3, +∞[ 4. ]−∞, 2] − {0}

5. ]0, +∞[ − {2} 6. ]−2, +∞[

7. ]−∞, 2] − {−1} 8. [2

3, +∞[ − {5}

9. ]−∞, 7[ − {−5} 10. ]−2, +∞[

4. CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES DE ACUERDO A SU

CODOMINIO

4.1. Función inyectiva.

Una función es inyectiva si para cualesquiera dos preimágenes diferentes sus

respectivas imágenes son diferentes, es decir, una imagen solo puede estar

asociada con una única preimagen. Comúnmente se dice que la relación es uno

a uno.

PISTA: si tenemos la gráfica de la función para determinar si esta es inyectiva se

trazan líneas paralelas al eje x y si éstas intersecan a la gráfica en un solo punto

entonces la función es inyectiva.

4.2. Función sobreyectiva.

Una función es sobreyectiva si su codominio es igual a su ámbito, es decir si todas

las imágenes tienen preimagen asociada, puede darse que dos preimágenes

tengan la misma imagen, lo importante es que todas las imágenes se “utilicen”

4.3. Función biyectiva.

Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva, esto nos dice que se tiene

una relación 11 donde no sobran elementos del codominio.

23


Ejemplo 23.

Esta función es inyectiva pues trazando las líneas paralelas al eje x estas intersecan

la gráfica en un solo punto.

Ejemplo 24.

La función xxfIRf ,,0: es inyectiva pues todas las preimágenes dos a

dos tienen diferente imagen pero no es sobreyectiva pues el codominio es IR pero

se verifica que el ámbito de esta función es ,0 luego fAC

Ejemplo 25.

La función 12,: xxgIRIRg tiene como gráfica, por lo tanto es biyectiva.

24


Ejercicios 4.

a) Indique su los siguientes gráficos corresponden a funciones inyectivas,

sobreyectivas, biyectivas o ninguna de ellas.

1. 𝑓: {−1,1,2,3} → ℝ, 𝐺𝑓 = {(−1,5), (1,5), (2,5), (3,5)}

2. 𝑓: {−1,1,2,3} → {5}, 𝐺𝑓 = {(−1,5), (1,5), (2,5), (3,5)}

3. 𝑓: {−1,1,2,3} → ℕ, 𝐺𝑓 = {(−1,1), (1,2), (2,3), (3,4)}

4. 𝑓: {−1,1,2,3} → [1,4], 𝐺𝑓 = {(−1,1), (1,2), (2,3), (3,4)}

5. 𝑓: {−1,1,2,3} → {1,2,3,4}, 𝐺𝑓 = {(−1,1), (1,2), (2,3), (3,4)}

6. 𝑓: {−1,1,2,3} → {1,2,3,4,5}, 𝐺𝑓 = {(−1,1), (1,2), (2,3), (3,4)}

b) Indique si cada uno de los siguientes enunciados es falso o verdadero.

Enunciado. F o V

1. Si el dominio de una función f es {1,2,3,4,5,6} entonces su gráfico

debe tener exactamente seis pares ordenados.

2. Si el dominio de una función es {1,2,3,4,5,6} entonces su ámbito

debe tener exactamente seis elementos.

3. Si el dominio de una función inyectiva es {1,2,3,4,5,6} entonces su

ámbito debe tener exactamente seis elementos.

4. Si el dominio de una función sobreyectiva es {1,2,3,4,5,6} entonces su ámbito debe tener como máximo seis elementos.

5. Si una función es constante entonces no puede ser inyectiva.

6. Si la gráfica de una función es una recta inclinada entonces es

biyectiva.

7. Si la gráfica de una función es una parábola y está definida de

ℝ en ℝentonces puede ser sobreyectiva pero no inyectiva.

8. Para poder establecer una función biyectiva entre dos conjuntos

es necesario que ambos tengan igual cantidad de elementos.

9. Si A es un conjunto con 8 elementos y B es un conjunto de 10

elementos No es posible establecer una función inyectiva de A

en B.

10. Si la función f de A en B no es inyectiva puedo establecer una

función inyectiva g de B en A.

25


Respuestas.

a.

1. Ninguna. 2. Sobreyectiva. 3. Inyectiva.

4. Inyectiva. 5. Biyectiva. 6. Inyectiva.

b.

1. V 2. F 3. V 4. F 5. V 6. V 7. V 8. V 9. F 10. V

5. FUNCIÓN INVERSA

5.1. Definición función inversa.

Dada una función yxfBAf ,: , se dirá que existe la función inversa de f

denotada por 1f si y solo si f es una función biyectiva, es decir, si es inyectiva y

sobreyectiva.

Se denota la función inversa como sigue

xyfABf

yxfBAf

11 ,:

,:

PISTA: Dada una función f biyectiva, su gráfico yxfyxG f :, , en la función

inversa 1f se tendrá que su gráfico es el conjunto yfxxyG

f

1:,1

5.2. Pasos para determinar el criterio de la función inversa

1. Asegurarse que la función yxfBAf ,: es biyectiva.

2. Sustituir xf por y .

3. Despejar la variable x .

4. Formalmente la notación xyf 1 es correcta pero por convención se

realizan los siguientes cambios: x cambia por xf 1 y la variable y se

cambia por la variable x

26


Ejemplo 26.

Determinar el criterio de la función inversa de la función dada por

1

32,:

xxfIRIRf

Ejemplo 27.

Determinar el criterio de la función inversa de la función dada por

2

3,,3,0:2x

xgg

5.3. Gráfica de una función y su inversa

Para identificar si dadas dos gráficas corresponden a la de la función y su inversa,

se procede trazando la función identidad xxf que pasa por el origen y es

estrictamente creciente, por el I y III cuadrante, esta función actúa como un espejo.

Si las gráficas se presentan en esta situación entonces corresponden a la gráfica

de una función y su inversa. También resulta útil que si 1,, ff GxyGyx

27


Ejemplo 28.

La siguiente gráfica muestra la función y su inversa.

Ejercicios 5.

a. Determine el criterio, dominio y ámbito de la función 𝑓−1 en cada caso:

1. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 7 , 𝑓: ℝ → ℝ

2. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 , 𝑓: [1, +∞[ → [0, +∞[

3. 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 2 , 𝑓: [−2, +∞[ → [0, +∞[

4. 𝑓(𝑥) = 3(𝑥 − 5) + 1 , 𝑓: ℝ → ℝ

5. 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 , 𝑓: [3, +∞[ → [0, +∞[

6. 𝑓(𝑥) =𝑥−2

𝑥+4 , 𝑓: ℝ − {−4} → ℝ − {1}

7. 𝑓(𝑥) = √5 − 2𝑥3

, 𝑓: ℝ → ℝ

8. 𝑓(𝑥) = 2 −𝑥+5

7 , 𝑓: ℝ → ℝ

9. 𝑓(𝑥) =𝑥−3

𝑥 , 𝑓: ℝ − {0} → ℝ − {1}

10. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 5 + 7𝑥 , 𝑓: ℝ → ℝ

28


Respuestas.

1. 𝑓−1(𝑥) =𝑥+7

3

𝑓−1: ℝ → ℝ

2. 𝑓−1(𝑥) = √𝑥 + 1

𝑓−1: [0, +∞[ → [1, +∞[

3. 𝑓−1(𝑥) = 𝑥2 − 2

𝑓−1: [0, +∞[ → [−2, +∞[

4. 𝑓−1(𝑥) =𝑥−1

3+5

𝑓−1: ℝ → ℝ

5. 𝑓−1(𝑥) = √𝑥 + 3

𝑓−1: [0, +∞[ → [3, +∞[

6. 𝑓−1(𝑥) =4𝑥+2

𝑥−1

𝑓−1: ℝ − {1} → ℝ − {−4}

7. 𝑓−1(𝑥) =−𝑥3+5

2

𝑓−1: ℝ → ℝ

8. 𝑓−1(𝑥) = −7𝑥 + 9

𝑓−1: ℝ → ℝ

9. 𝑓−1(𝑥) =−3

𝑥−1

𝑓−1: ℝ − {1} → ℝ − {0}

10. 𝑓−1(𝑥) =𝑥+5

10

𝑓−1 ∶ ℝ → ℝ

6. FUNCIÓN LINEAL 6.1. Definición.

Una función lineal es de la forma

𝒇: ℝ → ℝ, 𝒇(𝒙) = 𝒎𝒙 + 𝒃, 𝒎 ∈ ℝ, 𝒃 ∈ ℝ

Donde:

𝑚: pendiente de la recta.

𝑏: intersección de la recta con el eje y, es decir, ∩𝑦: (0, 𝑏)

6.2. Pendiente y gráfica de una recta.

La pendiente está dada por el valor de m en el criterio e indica cuan inclinada es

la recta.

Dados dos pares ordenados (𝑥1, 𝑦1), (𝑥2, 𝑦2) ∈ 𝐺𝑓 entonces el valor de la pendiente

se obtiene por

𝑚 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1 o bien 𝑚 =

𝑦1−𝑦2

𝑥1−𝑥2

29


Ahora el valor de la pendiente determina la monotonía de la recta:

Si 𝑚 < 0, entonces 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏 es decreciente.

Si 𝑚 = 0, entonces 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏 es constante.

Si 𝑚 > 0, entonces 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏 es creciente.

Ejemplo 29.

Observe las siguientes gráficas.

Note que la función es

creciente por lo tanto 𝒎 > 𝟎


creciente por lo tanto 𝒎 < 𝟎


creciente por lo tanto 𝑚 = 0

30


6.3. Intersecciones con los ejes.

Como ya se menciono 𝑏 es la intersección de la recta con el eje y, es decir,

∩𝒚: (𝟎, 𝒃)

Ahora para determinar la intersección con el eje x, basta sustituir 𝑥 = 0 para

determinar que la intersección con el eje x es ∩𝒙: (−𝒃

𝒎, 𝟎)

Ejemplo 30.

Determine las intersecciones con los ejes de la función lineal

𝑓(𝑥) =5 − 3𝑥

2

6.4. Criterio de la función lineal.

Se pueden dar tres casos diferentes para determinar el criterio de la función lineal,

(dados dos pares ordenados, dada la pendiente y un par ordenado, dada la

gráfica de la función) a continuación se ejemplifica cada uno de ellos.

a) Dados dos pares ordenados

Ejemplo 31.

Considerar los pares ordenados (−3,6) 𝑦 (4,0) que pertenecen al gráfico de una

función lineal. Determinar el criterio de dicha función.

31


b) Dada la pendiente y un par ordenado

Ejemplo 32.

Determinar el criterio de una función lineal cuya pendiente es 2

3 y contiene al punto

(−3,1).

c) Dada la gráfica

Ejemplo 33.

Considere la gráfica de una función lineal f y determine su criterio.

32


6.5. Rectas paralelas y perpendiculares.

6.5.1. Rectas paralelas.

Se dirá que dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales, es decir:

𝒍𝟏 ∥ 𝒍𝟐 ⟺ 𝒎𝟏 = 𝒎𝟐

6.5.2. Rectas perpendiculares:

Se dirá que dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1.

𝒍𝟏 ⊥ 𝒍𝟐 ⟺ 𝒎𝟏 ∙ 𝒎𝟐 = −𝟏 ⟺ 𝒎𝟏 =−𝟏

𝒎𝟐

Dicho de otra forma

𝑙1 ⊥ 𝑙2 ⟺ 𝑚1 =𝑎

𝑏 ⋀ 𝑚2 =

−𝑏

𝑎

Ejemplos 34

Determine la ecuación de la recta a la que pertenece el punto (−1,2) y es paralela

a la recta determinada por 2𝑥 − 𝑦 + 2 = 0

33


Ejemplo 35.

De acuerdo con la gráfica, si 21 ll , entonces, ¿Cuál es el criterio de la recta 2l ?

Ejemplo 36

Si las rectas 1l , 2l están dadas por las ecuaciones 2

1 kxy y xy 53

respectivamente y se cumple que 21 ll , entonces determine el valor de k

1l

2l

34


Ejemplo 37

Sean 1l , 2l dos rectas tales que 21 ll . Si dichas rectas se intersecan en 2,1 y una

ecuación que define a 1l es xy 2 , entonces una ecuación que define a 2l es

Ejercicios 6.

a) Para cada una de las funciones determine el valor de la pendiente, la

monotonía de la recta y la intersección con los ejes. (suponga las funciones

definidas de ℝ en ℝ )

1. −2𝑦 =𝑥

2+ 4

2. 𝑦−1

5= 𝑥

3. 𝑥

3=

𝑦+1

2

b) Dadas las condiciones que se le ofrecen en cada caso determine el criterio

de la función lineal que las cumple. (suponga las funciones definidas de ℝ

en ℝ )

1. (−5,0) 𝑦 (−1,3)

2. (5

2, 1) 𝑦 (

3

2,

−1

3)

3. 𝑚 = −1, (−7,4)

4. 𝑚 = −3, 𝑓(0) = −6

5. 𝑓(−2) = 2, 𝑓(3) = 1

35


6.

7.

c) Halle la ecuación de la recta que cumple las condiciones dadas.

1. Pasa por el punto (−1,2) y es paralalela a la recta 𝐿: 𝑦 = 2𝑥 + 3.

2. Interseca al eje “y” en 7 y es perpendicular a 𝐿: 𝑦 =2𝑥+2

3

3. Pasa por el punto (0, −2) y es paralela a la recta que contiene los puntos

(1,1)𝑦 (3, −2).

4. Pasa por el punto (3,5) y es perpendicular a la recta que contiene a (1,6) e

interseca al eje “x” en 3.

36


5. Determine el criterio de 𝑙2 sabiendo que 𝑙1 ∥ 𝑙2 y con los datos de la gráfica

6. Determine el criterio de 𝑙1 sabiendo que 𝑙1 ⊥ 𝑙2 y con los datos de la gráfica

Respuestas.

a.

Pendiente. Monotonía. Intersección x Intersección y

1 −1

4

Decreciente. (8,0) (0,-2)

2 5 Creciente. (

−1

5, 0)

(0,1)

3 2

3

Creciente. (

3

2, 0)

(0,-1)

1l2l

1

2l1l

37


b.

1. 𝑦 =3𝑥+5

4 2. 𝑦 =

4𝑥−7

3 3. 𝑦 = 𝑥 − 3 4. 𝑦 = −3𝑥 − 6

5. 𝑦 =−𝑥+8

5 6. 𝑦 =

−4𝑥

3+ 1 7. 𝑦 =

𝑥

3− 1

c.

1. 𝑦 = 2𝑥 + 4 2. 𝑦 =−3𝑥

2+ 7 3. 𝑦 =

−3𝑥

2− 2

4. 𝑦 =𝑥

3+ 6 5. 𝑦 =

−3𝑥+3

2 6. 𝑦 = 2𝑥 − 4

38


7. FUNCIÓN CUADRÁTICA 7.1. Definición.

Sea 𝑓una función definida por

𝒇: ℝ → ℝ, 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄, 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℝ, 𝒂 ≠ 𝟎

7.2. Concavidad y gráfica de la función cuadrática.

La gráfica de la función cuadrática recibe el nombre de parábola y es de la forma

Se dice que es cóncava hacia abajo.

Esto se debe a que

𝒂 < 𝟎

*La posición en plano cartesiano varia,

la imagen es únicamente con fines

ilustrativos.

Se dice que es cóncava hacia arriba.

Esto se debe a que

𝒂 > 𝟎

*La posición en plano cartesiano varia,

la imagen es únicamente con fines

ilustrativos.

39


7.3. Intersecciones con los ejes

7.3.1. Eje x.

Recordemos que toda intersección con el eje x es de la forma (𝑥, 0) y se obtienen

de sustituir 𝑦 = 0, es decir las intersecciones se determinaran resolviendo la

ecuación 02 cbxax y dependen del discriminante.

∆> 𝟎, hay dos intersecciones diferentes dadas por (𝒙𝟏, 𝟎), (𝒙𝟐, 𝟎)

∆= 𝟎, hay una intersección dada por (𝒙𝟏, 𝟎)

∆< 𝟎, no hay dos intersecciones con el eje x.

7.3.2. Eje y.

Toda intersección con el eje y es de la forma y,0 es decir 0x y si se sustituye

esto en el criterio se obtiene cy , por lo tanto la intersección de toda función

cuadrática con dicho eje es c,0

7.4. Elementos de una parábola.

7.4.1. Vértice de la parábola

Se llama vértice al punto “más alto” o “más bajo” de la parábola. También se le

llama punto máximo o mínimo dependiendo del caso.

Dado que el vértice es un punto (𝑥, 𝑦) de la parábola, entonces satisface la

ecuación de la parábola y cada coordenada está dada por la fórmula

𝑥 =−𝑏

2𝑎 𝑦 =

−∆

4𝑎= 𝑓 (

−𝑏

2𝑎)

Luego

𝑉 = (−𝑏

2𝑎,−∆

4𝑎 )

40


7.4.2. Eje de simetría

Es la recta vertical que divide a la parábola en dos partes simétricas, la ecuación

de ésta se da por la coordenada x del vértice, así se tiene a

bx

2

Ejemplo 38.

Si 𝒂 > 𝟎 el vértice también se llama

punto máximo, (−𝟐, −𝟏)

Note que la recta 𝒙 = −𝟐 es el eje

de simetría.

f es decreciente en

a

b

2,

f es creciente en

,

2a

b

Ámbito: [−∆

𝟒𝒂, +∞[

Si 0a el vértice también se llama

punto máximo, (−1,4)

Note que la recta 𝑥 = −1 es el eje

de simetría.

f es creciente en

a

b

2,

f es decreciente en

,

2a

b

Ámbito: ]−∞,−∆

4𝑎]

7.5. Clasificación según el codominio

La función cuadrática 0,,,;,: 2 aIRcbacbxaxxfIRIRf definida de

esta forma NO ES INYECTIVA NI SOBREYECTIVA.

a

b

2

a4

máximoPunto

a

b

2

a4

mínimoPunto

41


Pero se puede redefinir la función cuadrática para que sea inyectiva y

sobreyectiva, por ende biyectiva, y así tener función inversa. Para ellos se debe

tomar una de las partes en que el eje de simetría divide a la parábola.

Ejemplo 39

Observe la siguiente gráfica y la redefinición con el fin de quesea biyectiva.

cbxaxxfaa

bf

2,,

42,:

Ejercicios 7.

a) Para cada una de las siguientes funciones determine, su concavidad,

intersecciones con los ejes, vértice, eje de simetría, ámbito y regímenes de

variación. (suponga las funciones definidas de ℝ en ℝ )

1. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 − 1

2. 𝑓(𝑥) =2𝑥2+1

3+ 2𝑥

3. 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)(2𝑥 + 3)

4. 𝑓(𝑥) = 4𝑥(6 − 5𝑥)

5. 𝑓(𝑥) =−𝑥2+6

2

b) Halle el ámbito para cada una de las siguientes funciones cuadráticas.

1. 𝑓: ]−∞, −1] → ℝ. 𝑓(𝑥) = 5𝑥2 − 3

2. 𝑔: ]1, +∞[ → ℝ. 𝑔(𝑥) = −2𝑥2 + 4𝑥 + 1

3. ℎ: ]−3,3[ → ℝ. ℎ(𝑥) = −𝑥2 + 9

4. 𝑡: ]3,5] → ℝ. 𝑡(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 + 5

a

b

2

a4

42


Respuestas.

a.

1 2 3 4 5

Concavidad.

∩𝑥

∩𝑦

Vértice

Simetría

Ámbito

Crece

Decrece

b.

1. [2, +∞[ 2. ]−∞, 3[ 3. ]0,9] 4. ]−26,50]

8. FUNCIÓN EXPONENCIAL

8.1. Definición.

Sea 𝑓: ℝ → ℝ+, se dice que 𝑓 es una función exponencial, si su criterio se puede

reducir a la forma

𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙

donde a es una constante tal que 𝑎 > 0 𝑦 𝑎 ≠ 1

43


8.2. Propiedades de la función exponencial.

1. El dominio de la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 es ℝ.

2. El ámbito de la función exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 es ℝ+.

3. La función exponencial es biyectiva.

4. Si 𝑎 > 1, la función exponencial definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 es creciente.

5. Si 0 < 𝑎 < 1, la función exponencial definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 es decreciente.

8.3. Gráfica de la función exponencial.

La gráfica de la función exponencial es una curva y se tendrán dos casos que

dependen de la base a

𝒂 > 𝟏

Asíntota al eje x negativo.

∩𝒚= (𝟎, 𝟏)

La función es estrictamente

creciente en todo IR

𝑎 > 1

Asíntota al eje x negativo.

∩𝑦= (0,1)

La función es estrictamente

decreciente en todo IR

44


8.4. Clasificación de acuerdo al codominio

La función exponencial es inyectiva

Si trazamos las rectas paralelas al eje x éstas solo intersecarán a la gráfica en un

solo punto, lo que nos dice que una imagen solo tiene una preimagen.

La función exponencial es sobreyectiva

Anteriormente notamos que ff CIRA por lo tanto la función es sobreyectiva

La función exponencial es biyectiva

Dado que la función es inyectiva y sobreyectiva, por lo tanto es biyectiva, y esto

implica que existe su función inversa. Esta se denota por

xxf alog1

La función logaritmo en base a de x pero estudiaremos esta función más adelante.

8.5. Algunos ejemplos de datos importantes de funciones exponenciales.

Ejemplo 39 Determine la intersección con el eje y de la gráfica de la función exponencial

xxf 23

45


Ejemplo 40

Halle el ámbito de la función exponencial 𝑐(𝑥) = −4−𝑥, 𝑐: [−3,0[ → ℝ

Ejemplo 41

Calcule 𝑣(−1) 𝑦 𝑣(0) para la función 𝑣(𝑥) = 0,13𝑥+2

Ejemplo 42

Halle el dominio de la función exponencial 𝑓(𝑥) = −6 (1

3)

𝑥+1, 𝑓(𝐴) = [−2,

−2

27[

Ejercicios 8.

a) Determine el ámbito de cada una de las siguientes la funciones

exponenciales

1. 𝑚(𝑥) = 2 ∙ 9−𝑥

4 , 𝑚: {−6,2} → ℝ

2. 𝑛(𝑥) = 7𝑥 , 𝑛: ]−1

2, 3[ → ℝ

46


b) Halle el dominio para cada una de las siguientes funciones exponenciales.

1. g(𝑥) =1

2(√2)

4𝑥, 𝑔(𝐴) = [0,2[

2. g(𝑥) = −(0,1)𝑥, 𝑔(𝐴) = [−10,0.1[

Respuestas.

a.

1. {2

3, 54} 2. ]

√7

7, 343[

b.

1. ]−∞, 1[ 2. [−1,1[

9. FUNCIÓN LOGARÍTMICA

9.1. Definición.

Debido a que la función exponencial es biyectiva existe su inversa. Dicha función

recibe el nombre de función logarítmica de base a y se denota

𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙

Es decir; sea 𝑓: ℝ+ → ℝ es una función logarítmica, si su criterio se puede reducir a la

forma 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥, donde a es una constante tal que 𝑎 > 0 𝑦 𝑎 ≠ 1.

Como la función exponencial y la función logarítmica son mutuamente inversas, se

tiene la siguiente equivalencia

𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒚 = 𝒙 ⟺ 𝒂𝒙 = 𝒚

47


9.2. Gráfica de la función logarítmica.

Se tendrán dos casos dependiendo de la base a y también se comparará la

gráfica de la función exponencial y la gráfica de la función logarítmica vistas como

inversas.

𝒂 > 𝟏

Asíntota al eje y negativo.

∩𝒙= (𝟏, 𝟎)

La función es creciente en

todo ℝ+

𝑎 < 1

Asíntota al eje y positivo.

∩𝑥= (1,0)

La función es decreciente en

todo ℝ+

48


9.3. Logaritmo decimal y logaritmo natural.

Aunque las bases para logaritmos son útiles, los más usados son los de base 10 y

los de base e. En estos casos se emplea la notación.

𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠 𝒙

𝐥𝐨𝐠𝒆 𝒙 = 𝐥𝐧 𝒙

Al logaritmo en base 10 se le llama logaritmo decimal y en base e se les llama

logarítmicos.

9.4. Propiedades de logaritmos

a) log𝑎 1 = 0

b) log𝑎 𝑎 = 1

c) 𝑎log𝑎 𝑥 = 𝑥

d) log𝑎 𝑎𝑥 = 𝑥

e) log𝑎(𝑥𝑦) = log𝑎 𝑥 + log𝑎 𝑦 , 𝑐𝑜𝑛 𝑥, 𝑦 > 0

f) log𝑎 (𝑥

𝑦) = log𝑎 𝑥 − log𝑎 𝑦 , 𝑐𝑜𝑛 𝑥, 𝑦 > 0

g) log𝑎 (1

𝑥) = −log𝑎 𝑥

h) log𝑎 𝑥𝑦 = 𝑦 log𝑎 𝑥

i) log𝑏 𝑎 =log𝑐 𝑎

log𝑐 𝑑, 𝑐𝑜𝑛 𝑐 > 0, 𝑐 ≠ 1

Ejemplo 43

Exprese como un solo logaritmo 1ln1ln1ln 2 xxx

49


Ejemplo 44.

Exprese como un solo logaritmo yxyx log2log 22

Ejemplo 45.

Exprese como un solo logaritmo cba logloglog2

1

Ejercicios 9.

a. Calcule las imágenes indicadas para cada función.

1. 𝑔(𝑥) = log(𝑥 + 2), 𝑔(9998)

2. 𝑢(𝑥) =−𝑙𝑛𝑥3

4, 𝑢(𝑒−2)

b. Calcule la preimagen indicada en cada función.

1. 𝑢(𝑥) = log3(𝑥 + 3), 𝑢(𝑥) = 0

2. 𝑣(𝑥) = log(5𝑥), 𝑣(𝑥) = 2

50


c. Halle el dominio máximo de las siguientes funciones.

1. 𝑓(𝑥) =log √2𝑥−3

7

2. 𝑓(𝑥) = −3 log4(5 − 𝑥)2

3. 𝑓(𝑥) = 1 + log0.91

𝑥+3

d. Halle el ámbito de las siguientes funciones logarítmicas.

1. 𝑟(𝑥) = log0.25 𝑥 , 𝑟: ]1, +∞[ → ℝ

2. 𝑡(𝑥) = log5(𝑥 + 1) , 𝑟: ]4, +∞[ → ℝ

e. Simplifique las siguientes expresiones logarítmicas.

1. 𝑙𝑛4−2ln (2𝑥)

ln(3𝑥6)−𝑙𝑛3

2. log4(𝑥2 − 36) − 2 log 4(𝑥 − 6)

f. Verifique las siguientes identidades.

1. 1 = log𝑏𝑥2+2𝑥−3

𝑥+3+ log𝑏

𝑏

𝑥−1

2. 3 =log5(𝑥+1)+log5(𝑥+1)

log5 √(𝑥+1)23

Respuestas.

a.1. 𝑔(9998) = 4 a.2. 𝑢(𝑒−2) =3

2

b.1. 𝑥 = −2 b.2. 𝑥 = 20

c.1. ]3

2, +∞[ c.2. ℝ − {5} c.3. ]−3, +∞[

d.1. ℝ− d.2. ]1, +∞[

e.1. −1

3 e.2. log4

𝑥+6

𝑥−6

51


10. ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.

Una ecuación exponencial es aquella donde la variable es parte del exponente,

y ecuación logarítmica a aquella en la cual la variable es parte del argumento

de una expresión logarítmica.

Las siguientes propiedades facilitan la resolución de ecuaciones exponenciales

y logarítmicas.

a) 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑎𝑔(𝑥) ⟺ 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)

b) log𝑎 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑔(𝑥) ⟺ 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)

c) log𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑘 ⟺ 𝑎𝑘 = 𝑓(𝑥)

Ejemplo 46.

Determinar el conjunto solución de la ecuación 15 13 x

Ejemplo 47

Determinar el conjunto solución de la ecuación 279

35

25

x

52


Ejemplo 48

Resolver la ecuación 2log6log2 x

Ejemplo 49

Determinar el conjunto solución de la ecuación 2log1loglog bbb xx

Ejemplo 50

Resolver la ecuación 21log2log 22 xx

53


Ejemplo 51

Determinar la solución de 62 3 x

Ejemplo 52

Determinar el conjunto solución de la ecuación 241 72 xx

Ejemplo 53

Determinar el conjunto solución de la ecuación 52𝑥−1 + 52𝑥 − 3 = 0

54


Ejemplo 54

Determinar el conjunto solución de la ecuación 5 ∙ (1

5)

2𝑥= 11 ∙ (

1

5)

𝑥− 2

Ejercicios 10.

a) Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones exponenciales.

1. (1

27)

2𝑥−3= 81

2. 32−𝑥 = √27𝑥+1

9

3

3. 23(𝑥+2) ∙ 8 = 2𝑥+1 ∙ √163

4. 5 = √7𝑥−13

5. 72𝑥−1 = 3𝑥+2

6. 4𝑥 = 1 − 4𝑥

7. 3 ∙ 3𝑥 − 6 = 3𝑥

8. 3𝑥+2 = 3𝑥+1 +2

3

9. 2 ∙ 3−𝑥 + 3−𝑥 = 243

10. 4 √16𝑥

= 5 √16𝑥

− 2𝑥

55


b) Realice un cambio de variable adecuado y halle el conjunto solución de las

siguientes ecuaciones.

1) 52𝑥 − 6 ∙ 5𝑥 + 5 = 0

2) 22𝑥 − 7 ∙ 2𝑥 − 8 = 0

3) 22𝑥+1 + 5 ∙ 2𝑥 + 2 = 0

4) 3

2∙ 42𝑥 −

1

2= 4𝑥

5) 3𝑥

2 −3𝑥

6=

3

2

c) Halle el conjunto solución de las siguientes ecuaciones logarítmicas.

1) ln(𝑥2 − 8) = 0

2) log(𝑥2 − 3) ∙ log (1

𝑥−1) = 0

3) log3 (𝑥 −2

5) = 2 log3 𝑥

4) log2(log16 𝑥) = −1

5) log0.5(log9 √𝑥) = 2

6) 𝑙𝑛2 = log1

3

(𝑥 + 1)

7) log3(2𝑥 + 1) − log5 3 = 0

8) log1

3

𝑥 + 2 = log1

3

(2𝑥 + 3)

9) log9(6𝑥 − 2) = log94 + log9(𝑥 + 2)

10) log8(𝑥 + 2) = log83𝑥+2

𝑥−1− log82

56


Respuestas.

a.

1) {5

6} 2) {

5

6} 3) {

−10

3} 4) {

3𝑙𝑜𝑔5

𝑙𝑜𝑔7+ 1} 5) {

2𝑙𝑜𝑔3+𝑙𝑜𝑔7

2𝑙𝑜7−𝑙𝑜𝑔3}

6) {−1

2} 7) {1} 8) {−2} 9) {−4} 10) {−2,2}

b.

1) {0,1} 2) {3} 3) { } 4) {0} 5) {2}

c.

1) {−3,3} 2) {2} 3) { } 4) {4} 5) {3}

6) {(1

3)

𝑙𝑛2− 1} 7) {

3log5 3+1

2} 8) { } 9) {5} 10) {2,

−3

2}

57


11. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.

11.1. Función Seno.

Dominio: ℝ

Ámbito: [−𝟏, 𝟏]

Es periódica de período 𝟐𝝅

Corta al eje de las ABSCISAS en todos lo múltiplos de 𝝅, es decir corta al

ejej x en todos los puntos de la forma (𝒏𝝅, 𝟎) ∀𝒏 𝝐 ℤ

Corta al eje de las ORDENADAS en el punto (𝟎, 𝟎)

58


11.2. Función Coseno.

Dominio: ℝ

Ámbito: [−𝟏, 𝟏]

Es periódica de período 𝟐𝝅

Corta al eje de las ABSCISAS en todos lo múltiplos impares de 𝝅

𝟐, es decir

corta al eje x en todos los puntos de la forma (𝟐𝒏 + 𝟏)𝝅

𝟐 ∀𝒏 𝝐 ℤ

Corta al eje de las ORDENADAS en el punto (𝟎, 𝟏)

59


11.3. Función Tangente.

Dominio: ℝ − {(𝟐𝒏 + 𝟏)𝝅

𝟐, ∀𝒏 𝝐 ℤ}

Ámbito: ℝ

Es periódica de período 𝝅

Corta al eje de las ABSCISAS en todos lo múltiplos de 𝝅, es decir corta al

eje x en todos los puntos de la forma (𝒏𝝅, 𝟎), ∀𝒏 𝝐 ℤ

Corta al eje de las ORDENADAS en el punto (𝟎, 𝟎)

60


11.4. Algunas identidades trigonométricas importantes.

1) 𝑡𝑎𝑛𝑥 =𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥

2) 𝑐𝑠𝑐𝑥 =1

𝑠𝑒𝑛𝑥

3) 𝑠𝑒𝑐𝑥 =1

𝑐𝑜𝑠𝑥

4) 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1

5) 𝑡𝑎𝑛2𝑥 + 1 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥

6) 𝑐𝑜𝑡2𝑥 + 1 = 𝑐𝑠𝑐2𝑥

Ejemplo 55.

Muestre cada una de las siguientes identidades trigonométricas.

1) 𝑐𝑜𝑠2𝑎(𝑠𝑒𝑐2𝑎 − 1) = 𝑠𝑒𝑛2𝑎

2) (𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥)2 =1+𝑠𝑒𝑛𝑥

1−𝑠𝑒𝑛𝑥

61


11.5. Ecuaciones trigonométricas.

Pasos:

1. Se simplifica la expresión de manera que se logre despejar las partes

trigonométricas.

2. Se encuentra el ángulo de referencia comparando con la tabla de

signos de las razones trigonométricas por cuadrante.

3. Se determinan los ángulos solución

Ejemplo 56.

Determine el conjunto solución de cada una de las siguientes ecuaciones en el

intervalo ]0, 2𝜋].

1) 2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 = 0

2) √3𝑡𝑎𝑛𝑥 − 1 = 0

3) (2𝑐𝑜𝑠𝑥 − √3)(𝑠𝑒𝑛𝑥 + 1) = 0

62


4) 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1

5) 2𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 3𝑠𝑒𝑛𝑥 − 2 = 0

6) 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 = 0

63


Ejercicios 11.

a. Pruebe cada una de las siguientes identidades trigonométricas.

1) 𝑠𝑒𝑐𝑦 − 𝑐𝑜𝑠𝑦 = 𝑡𝑎𝑛𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑦

2) 1 − 2𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 1

3) csc 𝑎

sec 𝑎= cot 𝑎

4) 𝑠𝑒𝑛𝑥

1−𝑐𝑜𝑠𝑥= 𝑐𝑠𝑐𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥

5) (1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥)(1 + 𝑡𝑎𝑛2𝑥) = 1

b. Resuelva en forma completa y correcta cada una de las siguientes

ecuaciones en el intervalo ]0, 2𝜋].

1) 4𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 3 = 0

2) 2𝑠𝑒𝑛2𝑥 = −𝑠𝑒𝑛𝑥

3) 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1

4) 𝑡𝑎𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑡𝑥= 1

5) 2𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 =7

4

6) 2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1 = 0

7) 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0

8) ( 𝑡𝑎𝑛𝑥 − 1)(4𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 3) = 0

9) 3𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥

10) 2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑠𝑐𝑥 = 1

11) 2𝑠𝑒𝑐𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥

12) 𝑠𝑒𝑐2𝑥 − 4 = 0

13) √3 + 2𝑠𝑒𝑛𝑥 = 0

14) 𝑐𝑜𝑡2𝑥 − 3 = 0

15) (2𝑠𝑒𝑛𝑥 + 1)(2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 3) = 0

16) 2 − 8𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 0

17) 2𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥

18) 𝑡𝑎𝑛2𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥

19) 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0

20) 𝑠𝑒𝑛2x + 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 6 = 0

21) 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 = 0

22) 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0

23) 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 = 0

24) 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 − √3𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0

25) 𝑡𝑎𝑛2𝑥 + √3𝑡𝑎𝑛𝑥 = 0

26) 4𝑐𝑜𝑠3𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0

27) 2𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 3𝑠𝑒𝑛𝑥 − 2 = 0

28) 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 3𝑠𝑒𝑛𝑥 = 0

29) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 =1

2

30) 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥 = 2

64


Repuestas:

1. ∅ 2. {0, 𝜋,−𝜋

6,

7𝜋

6} 3. {

𝜋

2} 4. {

𝜋

4,

3𝜋

4,

5𝜋

4,

7𝜋

4} 5. {

𝜋

6,

5𝜋

6}

6. {𝜋

6,

5𝜋

6} 7. {

𝜋

2, 𝜋,

3𝜋

2, 2𝜋} 8. {

𝜋

3,

2𝜋

3,

4𝜋

3,

5𝜋

3} 9. {

𝜋

3,

2𝜋

3,

4𝜋

3,

5𝜋

3} 10. {

𝜋

2,

7𝜋

6,

11𝜋

6}

11. {𝜋

6,

5𝜋

6} 12. {

𝜋

3,

2𝜋

3,

4𝜋

3,

5𝜋

3} 13. {

4𝜋

3,

5𝜋

3} 14. {

𝜋

6,

5𝜋

6,

4𝜋

3,

5𝜋

3} 15. {

4𝜋

3,

5𝜋

3}

16. {𝜋

3,

2𝜋

3,

4𝜋

3,

5𝜋

3} 17. {

𝜋

6,

5𝜋

6,

3𝜋

2} 18. {

𝜋

4,

3𝜋

4,

5𝜋

4,

11𝜋

12, 𝜋, 2𝜋} 19. {

𝜋

2,

2𝜋

3,

4𝜋

3,

3𝜋

2} 20. { }

21. {𝜋

3,

11𝜋

6, 2𝜋} 22. {

𝜋

4,

5𝜋

4, 2𝜋} 23. {

3𝜋

4,

7𝜋

4} 24. {

𝜋

6,

𝜋

2,

3𝜋

2,

5𝜋

3} 25. {

2𝜋

3, 𝜋,

11𝜋

6, 2𝜋}

26. {𝜋

2,

2𝜋

3,

4𝜋

3,

3𝜋

2,

𝜋

3,

11𝜋

6} 27. {

4𝜋

3,

5𝜋

3} 28. {

4𝜋

3,

5𝜋

3} 29. {

𝜋

6,

5𝜋

6,

7𝜋

6,

11𝜋

6} 30. { }

65


Bibliografía.

Camacho, A., (2008). Manual de Ejercicios Matemáticos 10º año. San José, Costa

Rica, Editorial Káñir.

Murrillo, M., Soto, A., Araya, J., (2009). Matemática Básica con Aplicaciones. San

José, Costa Rica, EUNED.

Porras, V., Porras, J., Villegas, E., (2014). Matemáticas 10. San José, Costa Rica,

Editorial Publicaciones Porras.

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CUADERNO DE TRABAJO 2cuc.ac.cr/carreras/electronica/recursos/mateI_02.pdfCUADERNO DE TRABAJO 2 Elaborado por: Msc. Adriana Rivera Meneses ... aquellos conceptos que en clase se estudian