Cuaderno de Trabajo Cálculo Integral SD3

UNIVERSIDAD AUTONOMA

DEL CARMEN

ESCUELA PREPARATORIA CAMPUS II

CUADERNO DE CALCULO INTEGRAL


97

1. Construye e interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de procedimientos aritmticos, algebraicos, geomtricos y variacionales, para la comprensin y anlisis de situaciones reales, hipotticas o formales. 2. Formula y resuelve problemas matemticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos, grficos, analticos

o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemtico y el uso de las tecnologas de la

informacin y la comunicacin.

COMPETENCIAS DISCIPLINARES


98

Ttulo: INTEGRALES TRIGONOMETRICAS INVERSAS

Objetivo: Aplicar las frmulas de integracin inversa en la solucin de ejercicios.

Lectura

6.1 FORMULAS DE INTEGRACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

INVERSAS

Ca

uarc

aauu

du

Ca

u

aua

du

Ca

uarcsen

ua

du

sec1

arctan1

22

22

22

Cau

auL

aau

du

21

22

Cua

uaL

aua

du

21

22

2 2

2 2

duL u u a C

u a

6.2ALGUNOS PROCEDIMIENTOS DE INTEGRACION DE LAS FUNCIONES

TRIGONOMETRICAS INVERSAS

ejemplo:

1. 29

dx

x

para aplicar la frmula Ca

uarcsen

ua

du

22 es necesario identificar los valores de

a2, a, u

2, u y calcular u(x) y du(x).

3

92

a

a

dxxdu

xxu

xu

xu

)(

)(

22

El integrando est completo pues incluye la funcin multiplicada por su diferencial,

en consecuencia podemos aplicar la frmula de integracin citada.


99

2229 ua

du

x

du

integrando

Cx

arcsen 3

2. 243 xdx

para aplicar la formula Ca

u

aua

du

arctan

122

es necesario identificar los valores de a2,

a, u2, u y calcular u(x) y du(x).

3

32

a

a

dxxdu

xxu

xu

xu

2)(

2)(

2

4 22

Para completar la diferencial se tiene que multiplicar y dividir por 2.

243

2

2

1

x

dx

sustituyendo en el integrando

2221

ua

du

integrando

a

u

aarctan

1

2

1

sustituyendo el valor de a y de u

Cx

3

2arctan

32

1

6.3 EL INTEGRANDO SE EXPRESA COMO LA SUMA DE DOS COCIENTES ejemplo:

dx

x

x

29

4

comun denominador

dxx

dxx

x

22 9

4

9


100

dxxxdu

xxu

xu

2)(

9)(

9

2

2

3

92

a

a

dxxdu

xxu

xu

xu

)(

)(

22

multiplicando y dividiendo por -2 la primera integral

22

1

2

94)2(9

2

1

x

dxdxxx

integrando

Cx

arcsenu

34

2

12

1 21

sustituyendo el valor de u

Cx

arcsenx 3

49 2

6.4 EL INTEGRANDO ES UNA FRACCION DONDE EL NUMERADOR ES dx Y

EL DENOMINADOR ES DE LA FORMA ax + bx + c

Algunos de estos casos pueden integrarse completando el cuadrado ax2

+ bx. La

integral resultante puede ser de cualquiera de las formas siguientes:

22 au

du

22 uadu

22 audu

2udu

para completar el cuadrado se puede utilizar la siguiente expresin

cbb

bxxcbxx

22

22

22

ejemplo:

dxxx

dx

84

62

al completar el cuadrado del denominador, se tiene

844484 22 xxxx 42 2 x


101

426

2x

dx

dxxdu

xxu

xu

xu

)(

2)(

2

222

4

2

a

a


226

au

dx

integrando

Ca

u

a

arctan

16

sustituyendo los valores a y u

Cx

2

2arctan

2

6

Cx

2

2arctan3

6.5 COMPLETAR EL CUADRADO CUANDO EL COEFICIENTE DE X2

ES

NEGATIVO Ejemplo:

23 xxdx

si se completa el cuadrado del denominador se tiene

xxxx 33 22

22

22

2

2

3

2

3

2

3

2

33

x

xx

multiplicando por el signo menos 22

2

3

2

3

x


102

dxxdu

xxu

xu

xu

)(

2

3)(

2

3

2

32

2

2

3

2

32

2

a

a


22

22

2

3

2

3

ua

du

x

dx

integrando

Ca

uarcsen

sustituyendo los valores de a y u

C

x

arcsen

2

32

3

C

x

arcsen

2

32

32

C

xarcsen

)3(2

322

C

xarcsen

3

32

6.6 COMPLETAR EL CUADRADO CUANDO EL COEFICIENTE DE X2 NO ES

LA UNIDAD Ejemplo:

982 2 xxdx

Se factoriza la expresin xx 822 antes de completar el cuadrado.

94442

942982

2

22

xx

xxxx


103

el factor 2 afecta toda le expresin que esta en el parntesis

942442 2 xx 122 2 x


1222

x

dx

dxxdu

xxu

xu

xu

2

22)(

22

2222

multiplicando y dividiendo en el integrando por 2

122

2

2

12

x

dx

sutituyendo

222

1

au

du

integrando

Cua

arctan

1

2

1

sustituyendo el valor de u y a

Cx 22arctan2

1

1.

dxxdu

xxu

xu

xu

)(

)(

22

3

92

a

a

sustituyendo

92x

dx


104

Cau

auL

a

egrado

au

du

2

1

int

22

sustituyendo el valor de a y u Cx

xL

3

3

6

1


105

Saberes a reforzar: Integrales trigonomtricas inversas

Estrategias metodolgicas: Resolucin de ejercicios

Ejercicio de autoaprendizaje No 9

Calcula las siguientes integrales.

1. 169 2xdx

2. 216 y

dy

3.

4. y

dyysen

2cos5 25

54y

dyy


106

5. )(Ln1 2 xxdx

6. ydyyy

2sec16

tansec

7. 2082 yydy

8. 271 xdx


107

9. 762 yy

dy

10. 2582 yydy

11. 1022 xxdx

12. 584 2 xxdx


108

13. dxe

ex

x

21

14. 748

2 yy

dy

15. 264 xx

dx

16.

49

4

x

xdx


109

17. xaxdx

22sen

cos

18. ydyyy

2sec45

tansec


110

Ttulo: INTEGRAL DEFINIDA

Objetivo: Aplicar la integral definida para conocer los valores de las reas bajo una curva. LECTURA 10.1 La integra definida como limite de sumas de Reimann

Si f una funcin definida en un intervalo cerrado ba, y si el limite de la suma d Reimann existe, entonces se dice que f es integrable en ese intervalo, se expresa.

b

a

n

ix

dxxfxWf 11

10

lim

El proceso de obtener el numero representado por el limite sealado se le llama calcular la integral.

Si una funcin f es continua en un intervalo cerrado ba, entonces siempre f es integrable en ba, . Al usar el intervalo ba, condicionamos que a < b. Si a > b entonces se expresa como:

b

a

b

adxxfdxxf

10.2 Teorema fundamental del calculo.

Si una funcin es continua en un intervalo cerrado ba, entonces siempre f es integrable en ba, .

aFbFdxxfb

a

Donde F es cualquier funcin tal que F(x) = f(x) para toda x en ba, 10.3 Procedimiento para calcular una integral definida.

El procedimiento para calcular una integral definida se resume en lo siguiente:

Integrar la expresin diferencial dada.

Sustituir en el resultado obtenido inicialmente con el valor del extremo superior y restar despus de sustituir con el valor del extremo inferior.

No es necesario utilizar la constante de integracin.


111

Problemas resueltos:

dxx4

12

15

44

2

12

4

1

2

4

1

x

dxx

dxx20 cos

20

senx

02

sensen

1

01

dxx0

2

3 2

0

2

3 2

5

3

xx

3

23 2 225

300

5

3

3 45

6

10.4 Propiedades de la integral definida.

Si f es integrable en ba, y k s un numero real cualquiera, entonces kf es integrable en ba,

b

a

b

adxxfkdxxkf

Si f y g son integrables entonces:

b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf

Problemas resueltos:


112

3

0

2 143 dxxx

3

0

3

0

3

0

2 43 dxdxxdxx

303

0

23

0

3 2 xxx

03018027 12

2

0

32 1 dxxx

duu3

0

3

2

1

2

0

4

8

u

2

0

42

8

1

x

8

10

8

1444

78

dxxxx 3

0

22316 =

3

0

2duu

3

0

3

3

u

3

0

3

27

9

2

0 2 22

1

xx

dxx

dxxx

2

0

2

12 112

2

1

2

1


113

duu

2

0

2

1

4

1

214

1 21

u

2

0

2

1

2

u

2

0

2

12

2

2

xx

0

00

2

44 21

2

1

2

8


114

Saberes a reforzar: Integral definida


EJERCICIO DE AUTOAPRENDIZAJE No 10

Calcular las integrales siguientes:

1. 3

3xdx

2. 1

4xdx

3. dxxx 2

1

3

4. dxxx

4

033

5. e

x

dx

1

6. dxx

3

04


115

7. dxx0

2

3 2

8. 2

6

cos

xdx

9. dxx 0

1

232

10.

3

1 2

23 542dx

x

xx

11. xdx 302sec

12.

3

1

2 123 dxxx


116

13. 9

13 dxx

14. dxx 80

2 2sec

15. dyy 1

1

2 2

16. dyy

1

0

212

17.

2

1 21

3dy

y

18.

dxx

x

1

0

2


117

Ttulo: INTEGRACION POR PARTES

Objetivo: conocer y aplicar la integracin por partes como un mtodo alterno de solucin

en integrales.

LECTURA

7.1 FORMULA DE INTEGRACION POR PARTES La integracin por partes tiene por objeto calcular la funcin primitiva del producto de una

funcin por la diferencial d otra funcin de la misma variable. Se basa en la formula de la

derivada de un producto de dos funciones:

vduudvuvd integrando ambos miembros

vduudvuv despejando se obtiene la formula de integracin por partes

vduuvudv Para aplicar esta frmula en un caso dado, debe descomponerse la diferencial dada

en dos factores u y dv. Al momento de elegir estos factores se debe tomar en cuenta los

siguientes puntos:

a) dx es siempre una parte de dv b) debe ser posible integrar dv c) cuando la expresin para integrar es el producto de dos funciones, es mejor elegir la

de apariencia ms complicada.

Se usa para integrar gran nmero de integrales no inmediatas que se plantean como

producto de funciones algebraicas, logartmicas y trigonomtricas inversas tales como:

dxxxcos dxxln dxxx 3 dxxsen2

dxxarc tan

7.2 PROCEDIMINTO DE INTEGRACION POR PARTES

Problemas Resueltos

1. dxxxcos se descompone el integrando en dos factores u y v

de la expresion dl integrando que sea igual a u, se calcula su diferencial

dxdu

xu

la funcin en apariencia mas complicada y contiene a dx se iguala a dv

dxxdv cos para obtener el valor de v se integra la expresion que se igualo a dv

dxdu

xu

NOTA: La expresion del integrando que se igualo a dv debe ser facilmente integrable


118

Los valores obtenidos de u, du y de v, se sustituyen en la frmula para proceder a integrar

dxsenxxsenxdxxx

vduuvudv

cos

integrando

Cxxsenx

Cxxsenx

cos

cos

NOTA: La eleccin de cual expresin es u y cual dv del integrando es arbitraria y es

acertada cuando la integral del segundo miembro resulta mas sencilla qu la funcin inicial.

2. dxxsenx

dxdu

xu

x

dxsenxv

dxsenxdv

cos

sustituyendo en la formula

dxxxx

dxxxxdxxsenx

vduuvudv

coscos

coscos

integrando

Csenxxx cos

3. dxxx cos2

xdxdu

xu

2

2

senx

dxxv

dxxdv

coscos


dxsenxxsenxx

dxxsenxsenxxdxxx

vduuvudv

2

2cos

2

22

NOTA: en algunos casos es necesario aplicarle a una misma funcin varias veces este

metodo.

Si tomamos la segunda integral dxsenxx2


119

dxdu

xu

2

2

x

dxsenxv

dxsenxdv

cos


dxxxx 2coscos2 ahora sustituimos en la ecuacin original

dxxxxsenxxdxxx cos2cos2cos22

integrando

Csenxxxsenxx 2cos22

dxxex2.4

dxdu

xu

x

x

x

e

dxev

dxedv

2

2

2

2

1

2

1


dxexe

dxexe

xx

xx

22

1

2

1

2

1

2

1

2

1

22

22

integrando

Cexe xx 22

4

1

2

1

5. dxxx2sec

dxdu

xu

x

dxxv

dxxdv

tan

sec

sec

2

2


dxxxx tantan integrando

CxLxx sectan


120

6. dxxln

dxx

du

xu

1

ln

xv

dxv

dxdv


Cxxx

dxx

xxx

ln

1ln

7. dxxarctan

21

arctan

x

dxdu

xu

xv

dxv

dxdv


dx

x

xxx

21arctan

dxxdu

xxu

xu

2)(

1)(

1

2

2

integrando

CxLxx 212

1arctan

8. dxxx 3

dxdu

xu

23

3

1

3

1

33

2

3

3

xv

dxxv

dxxdv


dxxxx

2

3

2

3

33

23

3

2

integrando

Cx

xx

2

5

3

3

23

3

2 25

2

3


121

Cxxx

25

2

3

315

43

3

2

9. dxxx ln2

dxx

du

xu

1

ln

3

2

2

3

1xv

dxxv

dxxdv

susituyendo en la formula

dxxxx23

3

1ln

3

1

integrando

Cx

xx 9

ln3

1 33

10. dxx3arctan

291

3

3arctan

x

dxdu

xu

xv

dxv

dxdv


dx

x

xxx

29133arctan

dxxxdu

xxu

xu

2

2

2

18)(

91)(

91

integrando

CxLxx 2916

13arctan

11. dxxex cos

dxedu

eu

x

x

senxv

xdxv

xdxdv

coscos


dxsenxesenxexx

realizamos una segunda integracin por partes


122

dxedu

eu

x

x

xv

dxsenxv

dxsenxdv

cos

sustituyendo en la formula tenemos

dxxexesenxedxxexxxx coscoscos

sumamos dxxex

cos en ambos miembros de la ecuacin

xesenxexdxe xxx coscos2

xsenxexdxe xx coscos2

Cxsenxe

xdxex

x

2cos

cos

12. dxexx237

como xxx 23 dxxexdxex xx22 23 77

dxxdu

xu

2

2

2

2

2

2

2

1

22

1

x

x

x

x

ev

dxxev

dxxev

dxxedv


dxexex xx 22

22

17

2

7 2

dxeex xx22

2

7

2

7 2

13. dxesenxdx

e

senx xx

xdxdu

senxu

cos

x

x

x

ev

dxev

dxedv

1


xdxesenxe xx cos

realizamos una segunda integracin por partes


123

dxxsendu

xu

cos

x

x

x

ev

dxev

dxedv

1

dxxseneedxxe xxx cos

sustituyendo n la formula

dxexsenxesenxe xxx cos

dxexsenxesenxedxexsen xxxx cos

sumamos dxexsen x

en ambos miembros de la ecuacin

xesenxedxexsen xxx cos2

2

cos xxsenedxexsen

xx

x

x

e

xxsendxexsen

2

cos

14. dxexax2

dxxdu

xu

2

2

a

ev

dxev

dxedv

ax

ax

ax


dxxa

e

a

ex

axax

22

dxxeaa

ex ax

ax

22

la integral del segundo miembro puede hallarse integrando nuevamente por partes

Ca

xa

e

a

ex axax

122

2

15. dzz3sec

dzzzdu

zu

tansec

sec

zv

dzzv

dzzdv

tan

sec

sec

2

2


dzzzzz2tansectansec

en la nueva integral tenemos 1sectan22 zz

sustituyendo y afectando los productos obtenemos


124

dzzzzz 1secsectansec2

dzzdzzzzdzz secsectansecsec33

transponemos al primer miembro la integral dzz3sec y efectuamos la integracin faltante

y despejamos

Czzzz tansecln2

1tansec

2

1


125

SABERES A REFORZAR: Integracin por partes

ESTRATEGIAS METODOLOGICAS: Resolucin de ejercicios

EJERCICIOS DE AUTOAPRENDIZAJE No 11


1. dxx

x2

cos

2. dxx

xsen2

3. dxnxxcos

4. duuu2sec


126

5. dynyseny2

6. duuu 3sec2

7. xdxxn ln

8. dxxax


127

9. dxxarc tan

10. dxxsenarc

11. dxxarc 2cos

12. dyyarc sec


128

13. dxxarc tan

14. dtt

arc2

csc

15. dxxarcx tan

16. dxexx2


129

17. dxxsenarcx2

18. de cos

19.

1

1ln

x

dxx

20.

dxx

xe x

21


130

Ttulo: INTEGRAL POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA

Objetivo: Resolver integrales usando los mtodos de integracin.

Lecturas:

Si un integrando contiene expresiones del tipo 222222 ,, axxaxa donde a > 0 y

otras como nn axax 2222 , semejante a las citadas, inicialmente deben tratarse de resolver por sustitucin algebraica, si este procedimiento no es posible aplicarlo, se puede

realizar la integracin transformando la integral en una integral trigonometrica, aplicando

las sustituciones siguientes:

cos22 axa senax

sec22 axa tanax

tan22 aax secax

8.1 Desarrollo de la expresin cos22 axa se sustituye x con a sen para obtener al expresin trigonomtrica a cos de la expresin

algebraica 22 xa

Por el teorema Pitgoras:

22 xab

22

222

222

xab

xab

bxa

funcin trigonomtrica que relaciona x y a

x

a

x

a


131

senax

a

xsen

se elevan al cuadrado ambos terminos

222 senax sustituyendo en el valor de x

2

222 senaab factorizando a

2

2

22

1

1

senab

senab

como 22 1cos sen

cos

cos 2

ab

ab

por lo tanto

cos22 axa

8.2 Desarrollo de la expresin sec22 axa Se sustituye x con a tan para obtener al expresin trigonomtrica a sec de la expresin

algebraica 22 xa


22

222

xab

xab


x

b

x

a

a


132

tan

tan

ax

a

x


222 tanax sustituyendo en el valor de x

2

222 tanaab factorizando a

2

2

22

tan1

tan1

ab

ab

como 22 tan1sec

sec

sec2

ab

ab

por lo tanto

sec22 axa

8.3 Desarrollo de la expresin tan22 aax Se sustituye x con a sec para obtener al expresin trigonomtrica a tan de la expresin

algebraica 22 ax


22

222

axb

bax


b

x

x

a

a


133

sec

sec

ax

a

x


222 secax sustituyendo en el valor de x

2

aab 22 sec factorizando a

2

2

22

tan1

1sec

ab

ab

como 1sectan22

tan

tan 2

ab

ab

por lo tanto

tan22 aax 8.4 Procedimiento para resolver una integral por sustitucin trigonomtrica.

Se deben calcular los valores de a, x, x2, dx. Y realizar las sustituciones correspondientes.

En el desarrollo de las operaciones se pueden aplicar, segn proceda, alguna de las identidades trigonomtricas.

8.5 En el integrando incluye una expresin de la forma 22 xa

Ejemplo:

1.

32

2

32 99 x

dx

x

dx

a2

= 9 a = 3

x2 = a

2 sen

2 x = a sen dx = a cos d

sustituyendo en

322322232 1

coscos

9

sena

da

senaa

da

x

dx

como 22 1cos sen


134

3366322 cos

cos

cos

cos

cos

cos

a

da

a

da

a

da

simplificando la ultima expresin

22 cosa

d

como

cos

1sec elevando al cuadrado

2

2

cos

1sec

sustituyendo

da

2

2sec

1

integrando

Ca

tan1

2

Ahora necesitamos calcular el valor algebraico de tan1

2a en funcin de la variable x

original. Como x = a sen entonces h

co

a

xsen

22 xab

si la podemos sustituir

2222

1tan

1

xa

x

aa

colocando los valores correspondientes

Cx

x

299

1

2.

322

2

322 ua

du

ua

du

a2

= a2 a = a

u2 = a

2 sen

2 u = a sen du = a cos d

ca

cotan

x

a


135

sustituyendo en

3223222322 1

coscos

sena

da

senaa

da

ua

du

como 22 1cos sen

3366322 cos

cos

cos

cos

cos

cos

a

da

a

da

a

da


22 cosa

d

como

cos

1sec elevando al cuadrado

2

2

cos

1sec

sustituyendo

da

2

2sec

1

integrando

Ca

tan1

2

Ahora necesitamos calcular el valor algebraico de tan1

2a en funcin de la variable u

original. Como u = a sen entonces h

co

a

xsen

22 uab

si la podemos sustituir

2222

1tan

1

ua

u

aa

8.6 En el integrando incluye una expresin de la forma 22 xa

Ejemplo:

ca

cotan

u

a


136

1. dxxx 42

a2

= 4 a = 2

x2 = a

2tan

2 x = a tan dx = a sec

2d

sustituyendo en

daaadaaaadxxx22222222 sec1tantansectantan4

como 1tansec22

daaadaaa2222 secsectansecsectan


da23 secsectan

ddu

u

u

tansec

sec

sec

entonces

duua23

integrando Cau

a 3

sec

3

33

33

ahora calcularemos el valor algebraico de 33 seca en la funcin de la variable x original.

Como x = a tan entonces ca

co

a

xtan

si la a

bsec podemos sustituir

x

a


137

3

2

323

323

33 4

3

4

3sec

3 a

xa

a

xaa

colocando los valores correspondientes y simplificando

Cx 32 43

1

2. 94 2xx

dx

haciendo u = 2x y a = 3, resulta 222 94 aux . Por tanto si hacemos 2x = u,

entonces x = u, dx = du. Sustituyendo

22222

21

21

94 auu

du

auu

du

xx

dx

a2

=4 a = 2

u2 = a

2tan

2 u = a tan du = a sec

2 d

sectan

sec

sectan

sec

1tantan

sec

tantan

sec 2

22

2

22

2

222

2

aa

da

aa

da

aa

da

aaa

da


d

asen

d

a

d

acsc

11

tan

sec1

integrando Cctga

cscln1

ahora calcularemos el valor algebraico de Cctga

cscln1

en la funcin de la variable

x original. Como x = a tan entonces ca

co

a

utan

u

a


138

si la u

bcsc y

u

actg podemos sustituir

cu

a

u

ua

a

22ln

1


x

x

xx

x

2

349ln

3

1

2

3

2

49ln

3

1 22

8.7 En el integrando incluye una expresin de la forma 22 ax

Ejemplo:

1.

dxx

x

92

2

a2

= 9 a = 3

x2 = a

2sec

2 x = a sec dx = a tan secd

sustituyendo en

da

aa

dadx

x

xsectan

sec

sec

9 222

22

2

2

da

a

dasectan

1sec

sec

22

22

como 1setan22 c

da

a

dada

a

dasectan

tan

secsectan

tan

sec 22

22

22


da32 sec

integrando Ca

tansecln

2

1

2

tansec2


139

ahora calcularemos el valor algebraico de Ca

tansecln

2

1

2

tansec2 en la

funcin de la variable x original. Como x = a sec entonces ca

hp

a

xsec

si la a

xsec

a

btan podemos sustituir

Ca

ax

a

xa

ax

a

x

a

22

22

2 ln2

1

2


Cxxaxx

a

axxaaxx

3

9ln

2

9

2ln

22

22222222

2.

dxx

x

62

2

a2

= 6 a = 3

x2 = a

2sec

2 x = a sec dx = a tan secd

sustituyendo en

da

aa

dadx

ax

xsectan

sec

sec

222

22

22

2

x

a


140

da

a

dasectan

1sec

sec

22

22

como 1setan22 c

da

a

dada

a

dasectan

tan

secsectan

tan

sec 22

22

22


da32 sec

integrando Ca

tansecln

2

1

2

tansec2

ahora calcularemos el valor algebraico de Ca

tansecln

2

1

2

tansec2 en la

funcin de la variable x original. Como x = a sec entonces ca

hp

a

xsec

si la a

xsec

a

btan podemos sustituir

Ca

ax

a

xa

ax

a

x

a

22

22

2 ln2

1

2


Cxxxx

a

axxaaxx

3

6ln3

2

6ln

22

2222222

x

a


141

Saberes a reforzar: Integracin por sustitucin trigonomtrica


Ejercicios de Autoaprendizaje: No 12


1.

( )

2.

3.

( )

4.


142

5.

( )

6.

( )

7.

8.


143

9.

10.

11.

12.

EVALUACION FORMATIVA APLICACIN DE DIFERENCIALES E INTEGRALES

Nombre: _________________________________ Fecha: _________________________

1.- Resuelve la siguiente integral

dyy 1

0

212

2.- Resuelve usando el mtodo de fracciones parciales

923 xx

dx

3.- Resuelve usando el mtodo de sustitucin trigonomtrica

923 xx

dx


145

GUIA DE OBSERVACION DIFERENICALES E INTEGRAL INDEFINIDA

Nombre: ___________________________ Fecha: ________________________

Entrega a tu profesor la evaluacin formativa junto la presente gua de observacin.

Indicador Ejecucin Ponderacin Total Observaciones

1.5

1

El procedimiento seguido es el de

la integracin por partes.

1.5

La integral obtenida es correcta. 1


las fracciones parciales.

1.5

La integral obtenida es la correcta. 1


la sustitucin trigonomtrica.

1.5

La integral obtenida es la correcta. 1

Calificacin final

Escala

Cumpli 1

No cumpli 0

Recomendaciones generales:

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________


146

GUIA DE OBSERVACION DIFERENCIALES

Nombre: ___________________________ Fecha: ________________________

Entrega a tu profesor la evaluacin formativa junto la presente gua de observacin.

Indicador Escala

Ponderacin

Observaciones

R1 El procedimiento seguido es

correspondiente a la integral

definida.

R1 Sustituye de forma correcta a y b

R1 El valor de la integral definida es

correcto.

R2

Realizo correctamente la eleccin

de u y du

R2

Realiza correctamente el proceso

de sustitucin en la frmula de

integral por partes.

R2

Obtiene el resultado correcto de la

integral

R3

Realizo correctamente la eleccin

del radical al cambio de variable

de la funcin.

R3

Encuentra correctamente la

funcin trigonomtrica que se

debe usar mediante la ayuda del

tringulo rectngulo.

R3

Regresa correctamente la integral

a su variable original

Calificacin final

Escala

Cumpli 1

No cumpli 0

Recomendaciones generales:

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________


147

AUTOEVALUACION

En los siguientes ejercicios, determina la diferencial de la funcin que se indica:

1.

a)

b)

c)

d)

2.

a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( )

3. senxdxx2

a) Cxxsenxxx cos22cos2

b) Cxxsenxxx cos22cos2

c) Cxxsenxxx cos22cos2

d) Cxxsenxxx cos22cos2

4. xdxlnx 32

a) c

xx

x

93ln

3

33

b) cx

xx

3

3ln9

33

c) cx

xx

9

3ln3

33

d) c

xx

x

9ln

3

33

5.

dxx

x 29

a) cxx

x

22

993

ln

b) cxx

x

22

9393

ln

c) cxx

x

22

993

ln3

d) cxx

x

22

993

ln3

6. 24 yy

dy

a) cy

y

24ln

2

12

b) cy

y

24ln2

2

7. cy

2

24ln

2

12

cy

y

24ln

2

12


148

ESCALA DE MEDICION DEL APRENDIZAJE

Si todas tus respuestas fueron correctas: excelente, por lo que te invitamos a continuar con esa dedicacin.

Si tienes de 6 a 8 aciertos, tu aprendizaje es bueno, pero es necesario que nuevamente repases los temas.

Si contestaste correctamente 5 menos reactivos, tu aprendizaje es insuficiente, por lo que te recomendamos solicitar asesora a tu profesor.

RETROALIMENTACION

Como complemento a la autoevaluacin realizada te encuentras en punto donde es

importante analizar cules son tus dudas. Llena el siguiente cuadro que te servir como gua

al momento de exponer tus ideas al profesor.

Tema Qu aprend? Qu me falta?

Documents

Cuaderno de Trabajo Cálculo Integral SD3