Cuc Tri Nhieu Bien

8/6/2019 Cuc Tri Nhieu Bien

http://slidepdf.com/reader/full/cuc-tri-nhieu-bien 1/33





2. Cự c trị toàn cục (Giá tr ị lớ n nhất –Giá tr ị nhỏ nhất):

( )0 0 0, x y là điểm cự c tiể u toàn cục của f trên D nếu

( )0 0 0, x y là điểm thấ p nhất của f trên D, ngh ĩ a là :

( ) ( ) ( )0 0, , , , f x y f x y M x y D≥ ∀ ∈

( )0 0 0, x y là điểm cự c đại toàn cục của f trên D nếu

( )0 0 0, x y là điểm cao nhất của f trên D, ngh ĩ a là :

( ) ( ) ( )0 0, , , , f x y f x y M x y D≤ ∀ ∈

Ví dụ: Xét hàm số ( ) ( ), sin sin sin f x y x y x y= + − + .



2. Điều kiện cần: Nếu f có các đạo hàm riêng tại ( )0 0 0, x y và

f đạt cực tr ị địa phươ ng tại ( )0 0 0, x y thì

( ) ( )

( ) ( )

0 0 0

0 0 0

, 0

(*), 0

f f M x y

x x

f f M x y

y y

∂ ∂⎧= =⎪ ∂ ∂⎪

⎨∂ ∂⎪ = =∂ ∂⎪⎩

Các điểm ( )0 0 0, x y thỏa hệ phươ ng trình (*) đượ c gọi là điểmdừng của f.

Ví dụ:

³ 3 ² -15 -12 f x xy x y= +

2 41 f x y= + + ; ( )2 21 2 x y− −

3 2 2

2 2 3 1 f x xy y xz z y= + + − + + −



3. Điều kiện đủ :

1. Dạng toàn phươ ng:

Biểu thức 2 2

1 2yxax b xy b cy+ + + đượ c gọi là một dạng toàn

phươ ng của x,y .

Biểu thức2 2 2

1 2 1 2 1 2yxax b xy b c xz c zx d yz d zy ey fz + + + + + + + +

đượ c gọi là một dạng toàn phươ ng của x,y,z

Định ngh ĩ a tổng quát cho n biến: Một dạng toàn phươ ng n

biến là biểu thức có dạng ij

, 1

n

i j

i j

a h h=

= ∑





Dạng toàn phươ ng ij, 1

n

i ji j a h h=

=

∑ đượ c gọi là xác định âm nếu

( )ij i

, 11 0, 10 ,, ,

n

i j j

i j

k

k A a h h h k nh H == < − > ∀ =∀ ⇔∑

Dạng toàn phươ ng xác định âm hay xác định dươ ng đượ c gọilà xác định dấu.

Nếu f có các đạo hàm riêng cấ p 2 liên tục trong lân cận của0 thì vi phân cấ p 2 của f là một dạng toàn phươ ng theo

1,... ndx dx .



2. Định lý : Nếu f có các đạo hàm riêng cấ p 2 liên tục trong một

lân cận của 0khi đó

Nếu ( )2

2

0

, 1

n

i j

i j i i

f d f M dx dx

x x=

∂=

∂ ∂∑ là dạng toàn phươ ng xác định

dươ ng thì ( )0 0 0, x y là điểm cực tiểu địa phươ ng của f. Điều

này tươ ng đươ ng vớ i :

1

2

0

0

0n

H

H

H

>⎧⎪ >⎪⎨⎪

⎪ >⎩

Tất cả Hk đều dươ ng >>>>cực tiểu địa phươ ng



Nếu ( )

22

0, 1

n

i ji j i i

f

d f M dx dx x x=

∂=

∂ ∂∑ là dạng toàn phươ ng xác định

âm thì 0 là điểm cực đại địa phươ ng của f.

Điều này tươ ng đươ ng vớ i

( )

1

2

0

0 1 0

k

k

H

H H

<⎧⎪

> ⇔ − >⎨⎪⎩

Trườ ng hợ p hàm 2 biến:?????

Trườ ng hợ p hàm 3 biến: ?????



4. Các ví dụ:

1. ³ 3 ² -15 -12 f x xy x y= +

Đạo hàm riêng : 3x²+3y²-15, 6xy-12

Điểm dừ ng : {[x=-1,y=-2],[x=1,y=2],[x=-2,y=-1],[x=2,y=1]}

Ma tr ận Hess 6 66 6 x y H

x

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Tại (2,1)?

Tại (-2,-1)?……..

Giá tr ị hàm số là {-28,-26,26,28}





2. 2 41 f x y= + +

Điểm dừng M0(0,0) . Ma tr ận Hesse:2 0

0 12y²

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Tại M0 thì 2 ??0 ?? H = ⇒

M(0,0)

Cực tiểu toàn cục



3. 3 2 22 2 3 1 f x xy y xz z y= + + − + + − ,

Điểm dừng: ( )1 1, 2,1/ 2M − , 2

1 5 1, ,

2 4 4M

− −⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

Ma tr ận Hess :

6x 1 -2

1 2 0

-2 0 4

H

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠



4. ( )2 21 2 x y− − Điểm dừng {[x=1,y=0]}, ma tr ận Hess

21

2 0, 2 0;

0 48 0 H H H

⎛ ⎞= = >⎜ ⎟ = −

−<

⎝ ?????

Tính vi phân cấ p 2:

2 2 2

(1,0) 2 4d f dx dy= − 2

2

0

03

dx dy

dx dy d

d f

f

⎡ = ⇒⎢

= >⇒⎣

<(điểm yên ngựa)





II. Cự c trị có điều kiện:

1. Mở đầu: Một công ty có nguồn vốn đầu tư là 100 triệu và

phải tham gia 3 dự án vớ i phân bổ đầu tư lần lượ t là 1 2 3, , K K K . D ĩ

nhiên 1 2 3 100 K K K + + = .

Tìm tỷ lệ phân bổ vốn đầu tư để lợ i nhuận ( )1 2 3, , K K K π thu đượ clà cao nhất?



Định ngh ĩ a: Cực tr ị của hàm ( )1 2, ,.., n x x x vớ i ràng buộc

( )1 2, ,... n x x x bϕ =

đượ c gọi là cực tr ị có điều kiện ( )1 2, ,... n x x x bϕ = của f.



2. Phươ ng pháp: Xét hàm Lagrange

( ) ( ) ( )1 2 1 1, , ,.. ,.., ,...n n n L x x x f x x b x xλ λ ϕ = + −⎡ ⎤⎣ ⎦

Ta có:

λ đượ c gọi là nhân tử Lagrange.

Nếu ( )0 0

0 10 , ,.., n x xλ là cực đại (cực tiểu ) của L thì

( )* 0 01,..,o n x x là cực đại (cực tiểu ) của f vớ i điều kiện

( )1 2, ,... n x x x bϕ =





1 1 1 1

1

1 0

n

n

n

n n n

x x x x

x x x x x

x x

L L

H L L

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

−

−

− −

⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Tính các nhân tử Hesse biên.

1 1

1

1

11

0

k

k k

k

k k

x

x

x x x x

k

x x

x x

x x

L L

H L L

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

−

−

− −

=





Các ví dụ:

VD1: Tìm cực tr ị có điều kiện của ( ), 6 4 3 f x y x y= − − vớ iđiều kiện 2 2 1 x y+ =

Hàm Lagrange: ( ) ( )2 2, , 6 4 3 1 L x y x y x yλ λ = − − + − −

Điểm dừng: {[x=-(4/5),y=-(3/5),λ =(5/2)], [x=(4/5),y=(3/5),λ =-

(5/2)]}



Ma tr ận Hesse biên :

2 0 2

0 2 2

2 2 0

x

H y

x y

λ

λ − −⎛ ⎞

⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Tính ( )2 2

2 8 H x yλ = +

Tại [x=-(4/5),y=-(3/5),λ =(5/2)]…..????

Tại [x=(4/5),y=(3/5),λ =-(5/2)]…..???



VD2: Tìm cực tr ị có điều kiện của ( ), , f x y z x y z = + + vớ i điều

kiện 1 1 1 1 x y z

+ + =

Hàm Lagrange: ( )1 1 1

, , 1 L x y z x y z x y z λ

⎛ ⎞

= + + + − − −⎜ ⎟⎝ ⎠

Điểm dừng

[x=-1,y=1,z=1,λ =-1], [x=1,y=-1,z=1,λ =-1],[x=1,y=1,z=-1,λ =-1], [x=3,y=3,z=3,λ =-9]

Ma tr ận Hesse:



VD3: Tìm cực tr ị có điều kiện của ( ), 400 0.01 f x y x y= + vớ iđiều kiện 1/ 2 1/ 2 10 x y =



III. Cự c trị toàn cục:

1. Hàm lồi, lõm toàn cục: Cho : n f D ⊂ → là hàm số xác

định trên D là một tậ p lồi. Ta nói

f là hàm lồi ngặt toàn cục trên D nếu

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 , , , 0;1 f M N f M f N M N Dλ λ λ λ λ + − < + − ∀ ∈ ∀ ∈

f là hàm lõm ngặt toàn cục trên D nếu

( )( ) ( ) ( ) ( ) )1 1 , , , 0;1 f M N f M f N M N Dλ λ λ λ λ + − > + − ∀ ∈ ∀ ∈





Định lý:

Nếu ( )2 0,d f M M D> ∀ ∈ thì f lồi ngặt toàn cục trên D.

Nếu ( )2 0,d f M M D< ∀ ∈ thì f lõm ngặt toàn cục trên D.

Trườ ng hợ p hàm 1 biến:

a. ( )// 0, f x x D> ∈ ⇒ f lồi ngặt toàn cục

b.. ( )// 0, f x x D< ∈ ⇒ f lõm ngặt toàn cục





2. Điều kiện đạt cự c trị toàn cục:

Nếu 0 là điểm dừng của f (ngh ĩ a là ( )0 0df M = ) . Khi đó:

Nếu f lồi ngặt toàn cục trên D thì f đạt cực tiểu toàn cục trên D

tại 0

Nếu f lõm ngặt toàn cục trên D thì f đạt cực đại toàn cục trên

D tại 0



3. Tóm tắt:

Hàm một biến Hàm nhiều biến

Đk cấ p 1: ( )/

0 0 f x = ( )0 00 ( ) 0, 1,..,i xdf M f M i n= ⇔ = =

Điều kiện cấ p 2:

Xét đạo hàm cấ p hai:

( )// 0, f x x D> ∈f đạt cực tiểu toàn

cục tại 0 x

( )// 0, f x x D< ∈

f đạt cực đại toàn

cục tại 0 x

Điểu kiện cấ p 2: Xét ma tr ận Hesse tổngquát (tại điểm M bất k ỳ trong D)

0, 1,...,k k n> ∀ = ⇒f đạt cực tiểutoàn cục tại 0

( 1) 0, 1,...,k

k k n− > ∀ = ⇒f đạt cực

đại toàn cục tại 0



Trườ ng hợ p cự c trị

có điều kiện: Xét hàm Lagrange

Tìm điểm

dừng( )0 0

0 10 , ,.., n x xλ

Xét ma tr ận Hesse

biên tại điểm( )1, ,.., n x xλ bất

k ỳ

0, 2,...,k k n< ∀ = ⇒ ( )* 0 0

1,..,o n x x

là cực tr ị toàn cục của f vớ i đk

( )1 2, ,... n x x x bϕ =

( )1 0, 2,...,

k

k k n− > ∀ = ⇒

( )* 0 0

1,..,o n x x là cực tr ị toàn cục của f

vớ i đk ( )1 2, ,... n x x x bϕ =

VD: VD



( )

( ) ( )

2 4 3;

4

f x x x

f x x x

= + −

= −

( )

( )

2 2

1/3 1/3

, 7 5 3;

, 3 0.002

f x y x y xy x y

f x y x y x y

= − − − + + −

= − −

IV. Một số ứ ng dụng trong kinh tế (xem sách)

Documents

Cuc Tri Nhieu Bien