PHÒNG GIÁO DỤC THÀNH PHỐ VINH--------------------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Đề tài:

DẠY HỌC SINH LỚP 9 GIẢI TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ

PHẦN I: MỞ ĐẦU

Trong chương trình THCS, toán học chiếm một vai trò rất quan trọng. Với đặc thù là môn khoa học tự nhiên, toán học không chỉ giúp học sinh phát triển tư duy, óc sáng tạo, khả năng tìm tòi và khám phá tri thức, vận dụng những hiểu biết của mình vào trong thực tế, cuộc sống mà toán học còn là công cụ giúp các em học tốt các môn học khác và góp phần giúp các em phát triển một cách toàn diện.

Từ vai trò quan trọng đó mà việc giúp các em học sinh yêu thích, say mê toán học giúp các em học sinh khá giỏi có điều kiện mở rộng, nâng cao kiến thức cũng như kèm cặp, phụ đạo cho học sinh yếu kém môn toán là một yêu cầu tất yếu đối với giáo viên dạy toán nói chung. Nhất là đất nước ta đang trong thời kỳ công nghiệp hóa, hiện đại hóa, rất cần những con người năng động, sáng tạo có hiểu biết sâu và rộng…

Chính vì vậy mà việc bồi dưỡng, nâng cao kiến thức cho học sinh trong giờ học và những giờ ngoại khóa là rất cần thiết và càng cần thiết hơn đối với học sinh lớp 9.

Là giáo viên dạy toán trong các trường THCS tôi nhận thấy phần đông các em yếu môn toán vì các lý do sau đây:

1. Không thuộc kiến thức và không nắm vững kiến thức.

2. Lý do quan trọng hơn là các em chưa biết cách làm toán mà ta gọi đó là phương pháp, nhất là các phương pháp đặc trưng cho từng dạng, cho từng loại toán. Muốn chứng minh một đẳng thức, một bất đẳng thức thì phải làm sao? Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức hàm sồ thì ta phải làm như thế nào?... các em không nắm chắc.

Trong chương trình toán THCS các bài toán tìm GTLN, GTNN chiếm một vị trí cực kỳ quan trọng. Ở bậc THCS chưa có lý thuyết đạo hàm nên phải bằng cách giải thông minh, tìm ra các biện pháp hữu hiệu và phù hợp với trình độ kiến thức toán học ở bậc học để giải quyết loại toán này. Các bài toán này rất phong phú nó đòi hỏi vận dụng nhiều kiến thức, vận dụng một cách hợp lý, khá độc đáo và nhiều cách giải. Vì vậy các bài toán tìm GTLN, GTNN gọi chung là các bài toán cực trị thường xuyên xuất hiện trong SGK, sách nâng cao của các khối lớp. Nó là các bài toán hay giúp học sinh phát triển trí thông minh, sáng tạo, khả năng tư duy toán cao.

Mặt khác, trong những năm gần đây, các kỳ thi học sinh giỏi bậc THCS và các kỳ thi tuyển sinh vào trường THPT đặc biệt là thi vào các trường THPT chuyên thường gặp những bài toán yêu cầu tìm GTNN, GTLN của một đại lượng nào đó. Các bài toán cực trị rất phong phú và đa

1

dạng mang nội dung vô cùng sâu sắc trong việc giáo dục tư tưởng, để dần dần hình thành cho học sinh thói quen đi tìm giải pháp tối ưu cho một công việc nào đó trong cuộc sống sau này.

Xuất phát từ đó mà tôi luôn cố gắng tìm tòi, tham khảo tài liệu với mục đích nâng cao chất lượng dạy toán cho học sinh. Trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu tôi rất chú trọng đến dạng toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức đại số. Mặc dù trong chương trình toán THCS không có bài dạy lý thuyết về phương pháp tìm GTLN, GTNN nhưng trong hệ thống bài tập lại có đề cập đến. Đặc biệt loại bài tập này có nhiều trong các sách bồi dưỡng nâng cao hay trong các đề thi học sinh giỏi; thi vào trường chuyên, lớp chọn… Do đó cần thiết phải dạy cho học sinh lớp 9 biết cách giải những bài toán cực trị trong những giờ ngoại khoá, bồi dưỡng… Trên tinh thần đó tôi nghiên cứu đề tài “Dạy học sinh lớp 9 giải toán cực tri đại số”.

2

PHẦN II: NỘI DUNG

A. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

1. Định nghĩa GTLN, GTNN của một biểu thức:

Định nghĩa 1: Cho biểu thức f(x,y...) xác định trên miền D. Ta nói M là GTLN của f(x,y...) trên D nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn:

+ Với mọi x,y... thuộc D thì f(x,y...) M (M là hằng số)

+ Tồn tại x0, y0... thuộc D mà f(x0, y0....) = M

Khi đó ta kí hiệu: M = Max f(x,y...) với x,y... thuộc D.

Định nghĩa 2: Cho biểu thức f(x,y...) xác định trên miền D. Ta nói m là GTNN của f(x,y...) trên D nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn:

+ Với mọi x,y.... thuộc D thì f(x,y...) m (m là hằng số)

+ Tồn tại x0, y0... thuộc D mà f(x0, y0....) = m

Khi đó ta kí hiệu: m = Min f(x,y...) với x,y... thuộc D.

2. Chú ý:

+ Nếu chỉ chứng minh được f(x, y...) M (hoặc f(x, y...) M), (M là hằng số) với mọi x, y... thuộc D thì chưa đủ để kết luận về GTLN hoặc GTNN của f(x, y...)

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = .31 22 xx

Giải: Ta có: (1)

(2)

Suy ra không thể kết luận được Min A = 0 vì không xảy ra đồng thời hai bất đẳng thức (1) và (2).

Ta phải giải như sau :

A = x2 - 2x + 1 + x2 – 6x +9 = 2.( x2- 4x +5 ) = 2. (x-2)2 +2 ≥ 2 x

Vậy Min A = 2 đạt được x – 2 = 0 x=2

+ Một biểu thức có thể có GTLN, GTNN hoặc chỉ có một trong hai giá trị trên.

Ví dụ: Xét biểu thức A = x2 ta thấy x2≥0 x và x2= 0 khi x = 0, vậy biểu thức có GTNN bằng 0 khi x = 0 .Biẻu thức này không có GTLN.

B. PHÂN DẠNG BÀI TẬP VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ

I- Đ ối với các đa thức nguyên

1. Phương pháp dựa vào lũy thừa bậc chẵn

3

- Nếu có thể hãy biến đổi biểu thức đã cho y=f(x) về dạng y = m +[g(x)]2n (nN*, m R). Khi đó y m Min y = m g(x) = 0.

- Nếu có thể hãy biến đổi biểu thức đã cho y=f(x) về dạng y= M - [h(x)]2n

(nN*, M R). Khi đó y M h(x) = 0

1.1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức chứa một biến.

Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức: A1 = 2x2 - 8x + 1

Ta có A1 = 2x2 - 8x + 1 = 2(x - 2)2 - 7

Vì (x - 2)2 0 x A1 -7 Min A1 = -7 x = 2

Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức:

A2 = -3x2 + 4x + 2 = -3[(x2 - 2x3

2+

9

4)- 9

10

] = -3(x- 3

2)2 + 3

10

= 3

10

- 3(x- 3

2

)2 A2 3

10

(Vì (x- 3

2)2 0 x) Max A2 =

3

10 khi x =

3

2

Ví dụ 3 : Tìm GTNN của biểu thức B = (x-1 )2+(x - 5)2

Giải: Ta có : B = (x2 – 2x + 1)2 + (x2 – 10x + 25) = 2x2 – 12x + 26

= 2(x -3)2+ 8 ≥ 8 x (Vì 2(x -3)2 ≥0 x

2(x -3)2+ 8 ≥ 8 x)

Min B = 8 x – 3 = 0 x= 3

Chú ý: Khi giải bài toán này học sinh có thể mắc sai lầm sau:

Ta có (x-1 )2≥0 x ; (x - 5)2≥0 x

Từ đó suy ra Min B = 0 là sai vì không sảy ra đồng thời hai bất đẳng thức trên.

Ví dụ 4 :Tìm GTNN của Đ = x - 2007x

Giải : ĐKXĐ : x≥2007

Đ=(x- 2007 )- 2007x + 2007= ( 2007x )2 - 2007x +4

1 +

4

8027

=( 2007x -2

1)2+

4

8027x

4

8027(Vì ( 2007x -

2

1)2 ≥0 xĐKXĐ)

=> Min Đ = 4

8027 khi 2007x -

2

1 = 0 hay x =

4

8029 ĐKXĐ

* Chú ý khi tìm giá trị nhỏ nhất ,giá trị lớn nhất của biểu thức có chứa căn thức ta phải chú ý tới miền xác định của biểu thức .

Ví dụ 5 : Tìm GTNN của biểu thức E = ( x+1 )( x+2 )( x+ 3 )(x+4 )

Giải: E = (x2 + 5x + 4) (x2 +5x + 6) = (x2 + 5x + 4)2 + 2(x2 + 5x + 4)+ 1 -14

= (x2 + 5x + 4 + 1)2 – 1 = (x2 + 5x + 5)2 - 1≥ -1 x

(Vì (x2 + 5x + 5 )2 ≥ 0 x)

Min E = - 1 x2 + 5x + 5 = 0 .2

551

x

Vậy Min E = -1 khi .2

551

x hoặc

1.2. Bài tập áp dụng

Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức:

a) A = 2x2 + 3x + 1 b) B = (x - 1 )(x -2 )(x-3)(x - 4 )

c) C = x4 + 2x 3 +3x2 + 1 d) D = 19934 xx

Bài 2: Tìm GTLN của biểu thức

a) E =- 5x2 - 4x + 1 b) F = - (2x- 1)2 - 1

c) G = - x4 + 6x 3 -10x2 +6x + 9

1.3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức chứa nhiều biến số:

Ví dụ 6: Tìm giá trị của m và p sao cho:

A=m2 - 4mp + 5p2 + 10m - 22p + 28 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.

Giải: A = (m2 -4mp + 4p2 ) + (p2 -2p + 1) + 27 + 10m - 20p

= (m-2p)2 + (p-1)2 + 27 + 10(m-2p)

Đặt X = m-2p. Ta có A=X2 + 10X + 27 + (p-1)2

= (X2 + 10X + 25) + (p-1)2 + 2 = (X+5)2 + (p-1)2 + 2

Ta thấy: (X + 5)2 0 với m, p; (p-1)2 0 p

Do đó: A đạt giá trị nhỏ nhất khi:X 5 0 X 5 m 2p 5 m 3

hayp 1 0 p 1 p 1 p 1

Vậy Min A=2 khi m=-3; p=1.

Ví dụ 7: Tìm các giá trị của x, y, z sao cho biểu thức sau đây đạt giá trị nhỏ nhất: P( ),, zyx = 19x2 + 54y2 + 16z2 - 16xz - 24yz + 36xy + 5

Giải: Khi gặp một biểu thức chứa nhiều biến số, ta cấn biến đổi biểu thức đã cho về tổng các biểu thức không âm.

Ta có:

P( ),, zyx = (9x2 + 36xy + 36y2)+(18y2 - 24yz+8z2)+(8x2 -16xz+8z2)+ 2x2 + 5

= 9(x+2y)2 + 2(3y - 2z)2 + 8(x-z)2 + 2x2 + 5.

Do: (x+2y)2 0 x, y.; (3y-2z)2 0 y,z; (x-z)2 0 x, z;x2 0 x, y.

5

Biểu thức P( ),, zyx đạt giá trị nhỏ nhất khi các hạng tử (x+2y)2, (3y-2z)2; (x-z)2, x2 đạt giá trị nhỏ nhất cùng một lúc hay nói cách khác chúng phải có giá trị đồng thời bằng 0, nghĩa là hệ phương trình sau đây có nghiệm.

x 2y 0x 0

3y 2z 0y 0

x z 0z 0

x 0

Vậy Min P( ),, zyx = 5 khi x = 0, y=0, z = 0.

- Tổng quát: Khi gặp P = A + B + C + ...+

Với A k12, B k2

2, C k32, ...... thì ta có thể kết luận P đạt giá trị nhỏ nhất

khi A, B, C ..... đạt giá trị nhỏ nhất cùng một lúc và khi đó

P(min) = k12+k2

2+k32+...

Để tìm ra các biến số tương ứng với P(min) ta giải hệ phương trình:21

22

23

A k

B k

C k

..........

Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A= 27x 5y 2z 3x xy yz xz 2000 t t 2005 .

Trong đó x;y;z;t là các số hữu tỉ

Giải: Ta có : A=2

1 37x 5y 2z 3x xy yz xz 2000 t 2004

2 4

Vì 0 Q và 2

1t 0

2

nên A3

20044

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

2

7x 5y 0 (1)

2z 3x 0 (2)

xy yz zx 2000 0 (3)

1t 0 (4)

2

Từ (1) ta có: y=7

x5

. Từ (2) ta có: 3

z x2

Thay vào (3) ta được:

2 2 2 27 21 3x x x 2000 5x 2000

5 10 2 <=> x2 =400 <=> x= 20

- Với x = 20 ta có y = 28; z = 30

6

- Với x = -20 ta có y = -28; z = -30

Ngoài ra, từ (4) ta có: t=1

2

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 20043

4, đạt được khi :

(x;y;z;t) = (20;28;30; 1

2) hoặc (x;y;z;t) = (-20;-28;-30;

1

2)

Ví dụ 9 : Tìm GTNN của biểu thức : F(x,y) = x2+2y2-2xy – 4y + 5

Giải: F(x,y) = x2+y2-2xy +y2 - 4y + 4 + 1

= (x- y)2 + (y - 2)2 + 1 ≥ 1 x,y

(Vì (x- y)2≥0 x ,y; (y - 2)2≥ 0 y ) (x- y)2 + (y - 2)2 + 1 ≥ 1 x,y

Min F(x,y) = 1

02

0

y

yx hay x= y = 2

Ví dụ 10 : Tìm GTNN của biểu thức :

G = x2 + 2y2 - 3z2 - 2xy + 2xz - 2x - 2y - 8 z + 2010

Giải: Ta có G = (x- y+ z - 1)2 + (y + z - 2)2 + (z - 1 )2 + 2004

Vì (x- y+ z - 1)2≥ 0 x,y,z ; (y + z - 2)2≥ 0 y,z ; (z -1 )2≥ 0 z

(x- y+ z - 1)2 + (x- y+ z - 1)2 + (z -1 )2 + 2004 ≥ 0 x,y,z

Min G = 2004

0 1- z

01 - z y -x

0 1 - z y -x

hay x=y=z =1

Vậy G = 2004 khi x= y = z = 1

1.4. Bài tập áp dụng

Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức :

a) H = x2 + 2y2 -2xy + 2x – 10 b) I = x2 +6y2 14z2 - 8yz + 6zx - 4xy

2. Phương pháp dùng kiến thức tam thức bậc hai

2.1. Đổi biến để đưa về tam thức bậc hai đối với biến mới.

Ví dụ 11: Tìm giá trị lớn nhất của A = x+ 2 x

Giải: Điều kiện x 2

Đặt 2 x = y 0. Ta có y2 = 2-x

A = 2-y2 + y = 2

1 9 9y

2 4 4

Max A = 9 1 1 7

y 2 x x4 2 4 4

2.2. Đổi biến để đưa về bất phương trình bậc hai đối với biến mới.

7

Ví dụ 12: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A=x2 + y2.

Biết rằng x2 (x2 + 2y2 -3) + (y2 -2)2 =1

Giải: Từ x2(x2 + 2y2 -3) + (y2 -2)2 =1 => (x2 + y2)2 - 4(x2 + y2) +3=-x2 0

Do đó: A2 - 4A + 30 <=> (A-1)(A-3) 0 <=> 1A3

Min A=1 <=> x=0 khi đó y=1

Max A=3 <=> x=0 khi đó y= 3

2.3. Đưa về phương trình bậc hai vận dụng hệ thức Vi-ét.

Ví dụ 13: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình: x2 -(2m -1)x+m –2=0

Tìm m để 22

21 xx có giá trị nhỏ nhất

Giải: Xét: = 4m2 - 4m + 1 - 4m + 8 = 4m2 - 8m + 9 = 4(m - 1)2 + 5 > 0

Nên phương trình đã cho có hai nghiệm với mọi m

Theo định lý Viét ta có: x1 + x2 = 2m - 1; x1.x2 = m - 2

22

21 xx = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = (2m - 1)2 - 2(m - 2)

= 4m2 - 6m + 5 = (2m - 2

3)2 +

4

11

4

11 m

(Vì (2m - 2

3)2≥0 m)

Vậy Min(x12 + x2

2) = 4

11 khi m =

4

3

Ví dụ14: Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình:

2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =x1x2 - 2x1 - 2x2Giải: Để phương trình đã cho có nghiệm thì:

' = (m + 1)2 - 2(m2 + 4m + 3) = - (m + 1)(m + 5) 0 - 5 m - 1(*)

Khi đó theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = - m - 1

x1 .x2 = 2

342 mm

Do đó: A = 2

782 mm

Ta có: m2 + 8m + 7 = (m+1)(m+7) với điều kiện (*) thì: (m+1)(m + 7) 0.

Suy ra: A = 2

782 mm =

2

)4(9 2 m

2

9

Dấu bằng xảy ra khi (m + 4)2 = 0 hay m = - 4

8

Vậy A đạt giá trị lớn nhất là: 2

9 khi m = - 4, (TMĐK (*))

Ví dụ 15: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của

A=(x4 + 1) (y4 + 1), biết x, y 0; x + y =

Giải: A = (x4 + 1)(y4 + 1) = x4 + y4 + y4x4 + 1;

mà x + y = x2 + y2 = 10 - 2xy

x4 + y4 + 2y2x2 = 100 - 40xy + 4x2y2 x4 + y4 = 100 - 40xy + 2x2y2

Đặt : xy = t thì x4 + y4 = 100 - 40t + 2t2

Do đó A = 100 - 40t + 2t2 + t4 + 1 = t4 + 2t2 – 40t + 101

a) Tìm giá trị nhỏ nhất:

A = t4 - 8t2 + 16 + 10t2 - 40t + 40 + 45

= (t2 - 4)2 + 10(t - 2)2 + 45 45

Min(A) = 45 t = 2, khi đó xy = 2; x + y =

nên x và y là nghiệm của phương trình X2 - X + 2 = 0.

Tức là x = 2

210 ; y = 2

210 hoặc x = 2

210 ; y = 2

210

b) Tìm giá trị lớn nhất:

Ta có: 0 xy 2

2

yx

=2

2

10

=

2

5 0 t

2

5(1)

Viết A dưới dạng: A = t(t3 + 2t - 40) + 101.

Do (1) nên t3 8

125 ; 2t 5

t3 + 2t - 40 8

125 + 5 - 40 < 0 còn t 0 nên A 101

Max(A)= 101 khi và chỉ khi t= 0 tức là x= 0; y = hoặc x = ; y = 0

*Bài tập:

Bài 1: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình: x2 + 2(m - 2)x -2m +7= 0

Tìm m để 22

21 xx có giá trị nhỏ nhất.

Bài 2: Cho phương trình: x2 - m + (m - 2)2 = 0

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = x1x2 + 2x1 + 2x2

Bài 3: Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số).

Tìm m sao cho 2 nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn 2110 xx2

22

1 xx đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó.

3. Phương pháp tìm cực trị dựa theo tính chất của giá trị tuyệt đối

9

3.1. Cơ sơ lí thuyết: BABA

BABA

Đẳng thức xảy ra khi A.B ≥ 0

Ví dụ 16 : Tìm GTNN của biểu thức A = 31 xx

Giải: Ta có 31 xx = xx 31 ≥ 231 xx Từ đó suy ra A≥ 2 x

Vậy Min A = 2 (x-1 )( 3 – x ) ≥ 0 hay 1 ≤ x ≤ 3

Ví dụ 17: Tìm GTNN của biểu thức: B =

Giải: Ta có B =

Từ đó suy ra Min B = 2đạt được khi x(2-x) ≥ 0 hay 0 ≤ x ≤ 2

Ví dụ 18 : Tìm GTNN của biểu thức:

C = )11(2)11(2 xxxx

Giải: ĐKXĐ : x≥ -1

Ta có : C = )11(2)11(2 xxxx

= 122122 xxxx

= 22 )11()11( xx

= 211111111 xxxx

Vậy Min C = 2 đạt được khi 01111 xx hay -1 ≤ x ≤ 0

Ví dụ 19 : Tìm GTLN của biểu thức D = 1815143 aaaa

Giải: ĐKXĐ: a ≥ 1

D = 161814141 aaaa

= 22 41)21( aa

= 241214121 aaaa

Vậy Max D = 2

04121

0

aa

ahay a ≥ 16

3.2. Các bài tập áp dụng

Tìm GTNN của các biểu thức :22 1664 xxxE

2222 1997399419963992 xxxxF

)11(2)11(2 3333 xxxxG

10

4

144 22 xxxxH

4. Một số phương pháp khác

4.1. Khi tìm GTLN, GTNN của một biểu thức ta có thể chia khoảng để tìm.

Ví dụ: Tìm GTLN của biểu thức B = x2 (3 - x) (x 0)

Ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Xét 0 x 3

Ta có: B = 4 )3.(2

.2

. xxx

Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: 13

322)3.(

2.

2

3

xxx

xxx

Do đó: B 4 (1)

Trường hợp 2: Xét x > 3 khi đó B < 0 (2)

So sánh (1) và (2) ta đi đến kết luận Max B = 4

0

32x

xx

x = 2

4.2. Khi tìm cực trị của biểu thức, nhiều khi ta thay điều kiện để biểu thức này đạt cực trị bởi điều kiện tương đương là biểu thức khác đạt cực trị.

Chẳng hạn: B

1 lớn nhất B nhỏ nhất với B > 0; C lớn nhất C2 lớn nhất với

C >0.

Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: C = 232

1

x

Điều kiện: 3x Khi đó C > 0

Xét B = 2321

xC

Ta có: 0 33 2 x 033 2 x 23232 2 x

03332 2 xxBMin khi đó Max C = 3232

1

Max B = 2 303 2 xx khi đó Min C = 2

1

4.3. Phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức A1 = 2

2 19892

x

xx (x0)

11

Ta có: A1 = 1 - )0(19892

2 x

xx

Khi đó A1 = 1 - 2t + 1989 t2 = 1989 (t2 - 2t .1989

1988)

1989

1

1989

12

( Đặt )0(1

ttx

)

Hay A1 = 1989 (t -1989

1988

1989

1988)

1989

1 2

Min A1 = 1989

1

1989

1988t x = 1989

Ví dụ 2 : Tìm GTLN của biểu thức: A2 = x + x2

Giải: Điều kiện x 2

Đặt y = x2 (y 0) 22 2 yyxxy

Khi đó A2 = 2 - y2 + y = - (y - 2

1)2 +

4

9

4

9

Max A2 = 4

7

4

12

2

1

4

9 xxy

4.4. Khi giải phương trình ta có thể sử dụng phương pháp tìm GTLN, GTNN

Ví dụ: Giải phương trình: 224 xxx - 6x + 11

Giải: Điều kiện: 2 x 4; Đặt A = 24 xx

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Côpx ki cho hai bộ: (1,1) và ( 2;4 xx )

Ta có: ( 24 xx )2 2.(4-x + x-2) = 4

A2 4 A 2 (Vì A 0) x: 2 x 4; Max A = 2 xx 42 x = 3

Đặt B = x2 - 6x + 11 = (x -3)2 + 2 2 x: 2 x 4 Min B = 2 x = 3

Do Max A = Min B (với 2 x 4)

Vậy phương trình đã cho

)1(42

)2(22)3(

2

2 2

xx

x

A

B

Hệ (1), (2) có nghiệm duy nhất x = 3

x = 3 cũng là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

II- Đối với các biểu thức phân

1. Đối với các biểu thức phân có TXĐ D R

Để tìm được cực trị của các biểu thức có tập xác định D R ta thường sử dụng các phương pháp đã nêu ở các biểu thức nguyên như áp dụng bất đẳng thức Cauchy, tính chất lũy thừa bậc chẵn...

12

Ví dụ 1 Tìm GTNN của hàm số; y = xx

1

1

2

Với 0 < x < 1

Giải: Ta có y = xx

1

1

2

=

x

xx

x

xx

1

1

222

y = 3+ x

x

x

x

1

1

2 ≥ 3 +

x

x

x

x

1.

1

22 với 0 < x < 1 y = 3 + 22

Suy ra Min y = 3 + 22 đạt được x

x

x

x

1

1

2 hay x =

3

3

Ví dụ 2 : Cho a>0 , b > 0 Tìm GTNN của biểu thức A = x

bxax ))(( với

x > 0

Giải: Ta có A = x

abxba

x

bxabaxx

2

A ≥ a + b + 2x

abx.

A ≥ a + b 2 ab Min A = a + b 2 ab đạt được x

abx

hay x= ab

Ví dụ 3 Tìm GTNN của biểu thức B = 2

12

x

x với x ≥ 0

Giải: B = 42

52

2

5)2(4)44( 2

x

xx

xxx B ≥ 2 42

5).2(

xx

B ≥ 2 5 - 4

Vậy Min B = 2 5 - 4 đạt được x= 5 - 2

Bài tập áp dụng

với x > 0 với x > 1

với 0 < x < 1 với x > 1

2. Đưa về phương trình bậc hai và sử dụng điều kiện 0

(Phương pháp miền giá trị hàm số)

Sử dụng phương pháp này có thể tìm một lúc được cả GTLN, GTNN của một biểu thức nếu biểu thức có cả hai giá trị này.

2.1. Lý thuyết áp dụng:

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức thông qua miền giá trị của nó.

2.2. Các ví dụ:

13

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của A=2

2

x x 1

x x 1

Giải: Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau đây có nghiệm

a = 2

2

x x 1

x x 1

(1)

Do x2 +x+1 = 2

1 3x 0 x

2 4

Nên (1) ax2 + ax + a = x2 – x + 1

(a-1)x2 + (a+1)x + a – 1 = 0 (2)

Trường hợp 1: Nếu a=1 thì (2) có nghiệm x=0

Trường hợp 2: Nếu a 1 để (2) có nghiệm, cần và đủ là 0

=> = (a+1)2 - 4(a-1)2 0

(a+1+2a-2)(a+1-2a+2) 0

(3a-1)(a-3)0

1

a 3 (a 1)3

Với a =1

3 hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là x=

(a 1) a 1

2(a 1) 2(1 a)

Với a = 1

3 thì x = 1; với a = 3 thì x = -1

Gộp cả hai trường hợp (1) và (2) ta có

Min A=1

3 khi và chỉ khi x=1

Max A=3 khi và chỉ khi x=-1

Ví dụ 2 Tìm GTNN và GTLN của biểu thức A = 1

12

2

x

xx

Giải: TXĐ :D = R

Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau đây có nghiệm

a = 1

12

2

x

xx có nghiệm

ax2 + a =x2 + x + 1 có nghiệm.

( a – 1 )x2 - x + a – 1 = 0 có nghiệm

= 1 – 4(a – 1 )2 ≥ 0 4(a – 1 )2 ≤ 1

a – 1 ≤ 2

1

2

1 ≤ a ≤

2

3

14

Vậy Max A = 2

3 ; Min A =

2

1

Ví dụ3: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức D = )1(1

)1(22

2

x

xx

Ta có x2 + 1 > 0 x R (1) luôn xảy ra.

Nghĩa là phương trình D (x2 + 1) = 2x2 +2x + 2

Hay: (D -2)x2 -2x + D - 2 = 0 (2) luôn có nghiệm.

+ Nếu D = 2 x = 0

+ Nếu D 2 thì (2) có nghiệm 0' 1 - (D - 2)2 0 (D2 - 2)2 311 D

Vậy: MinD = 1 x = -1 ; MaxD = 3 x = 1

2.3. Bài tập áp dụng

Tìm GTNN và GTLN của các biểu thức sau

a)1

12

2

x

xxA b)

14

12

2

xx

xxB c)

1

532

xx

xC

III. Phương pháp tìm cực trị dựa theo bất đẳng thức Cauchy:

1. Lí thuyết áp dụng

Bất đẳng thức cauchy:Cho n số không âm a1 , a2 ,a3 ,... an

nn

n aaan

aaaa....

...21

321

Đẳng thức xảy ra khi a1 = a2 = a3 = ... = an

Hệ quả: Cho ta hai mệnh đề cho ta giá trị lớn nhất của tích và giá trị nhỏ nhất của tổng sau đây:

+ Nếu a1 + a2 + a3 + ... + an là hằng số

(a1 .a2.a3...an)Max a1 = a2 = a3 = ... = an

+ Nếu a1 .a2.a3...an là hằng số

( a1 + a2 + a3 + ... + an )Min a1 = a2 = a3 = ... = an

2. Các ví dụ:

Ví dụ 1 :Tìm GTNN của biểu thức : A = 3

16

x

x với x ≥ 0

Giải :

A = 3

16

x

x =

3

3256)

3

253(6

3

25

3

9

3

259

x

x

xx

xx

x

x

x

A ≥ 4 .Vậy Min A = 4 đạt được 43

253

x

xx

Ví dụ 2: Cho x, y là các số thay đổi sao cho 0 ≤ x ≤3 ; 0 ≤ y ≤ 4 .

15

Tìm GTLN của biểu thức : B = (3-x)(4-y)(2x+3y)

Giải: Ta có B = (3-x)(4-y)(2x+3y)

= yxyxyxyx 32312.26.6

13243.3.2.

6

1

Với 0 ≤ x ≤3 ; 0 ≤ y ≤ 4 thì 6 – 2x ≥ 0 ; 12-3y ≥ 0 ;2x + 3y ≥ 0

áp dụng bất đẳng thức cau chy cho ba số không âm ta có :

(6 – 2x )(12-3y)(2x + 3y) ≤ 33

63

3y) (2x 3y)-12 (2x) - (6

B ≤ 366

1 B ≤ 36

Đẳng thức xảy ra khi 6 – 2x = 12-3y = 2x + 3y x = 0 và y = 2

Ví dụ 3: Cho a, b là hai số dương, các số dương x, y thay đổi sao cho

1y

b

x

a. Tìm GTNN của biểu thức C = x + y

Giải: Ta có 1y

b

x

a C =

y

b

x

ayx C= ( a+ b ) +

y

bx

x

ay

áp dụng bất đẳng thức cauchy với hai số dương y

bx

x

ay,

Ta có:

Vậy C ≥ a + b + 2 ab ba, , x,y > 0

Min C = a+b+2b

a

y

x

y

bx

x

ayab

Ví dụ 4: Cho a,b là hai số thỏa mãn 3a +5b =12 .

Tìm GTNN của biểu thức: D =ab

Giải: Vì a, b là hai số dương 3a, 5b là các số dương. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:

Ta có 12 = 3a + 5b ≥ 2 ba 5.3 6 ≥ ab15 36 ≥ 15D D ≤ 5

12

Vậy Max D = 5

12 3a = 5b = 6 a=2, b =

5

6

Ví dụ 5: Cho a ,b là hai số dương thỏa mãn ab = 216 .

Tìm GTNN của biểu thức : F = 6a +4b

Giải: vì a ,b là hai số dương 6a ≥0 , 4b ≥ 0

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: baba 4.6246 F ≥ 2 216.6.4 F ≥ 144

16

Vậy Min F = 144 đạt được khi 6a = 4b a=12 ,b =18

3. Khi tìm cực trị cần lưu ý một số trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Cauchy:

Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức E1 = (x2 - 3x + 1) (21 + 3x - x2)

Các biểu thức x2 - 3x + 1 và 21 + 3x - x2 có tổng không đổi (bằng 22) nên tích của chúng lớn nhất x2 - 3x + 1 = 21 + 3x - x2

x2 - 3x - 10 = 0 x = 5; x = -2

Khi đó E1 = 11.11 = 121

Vậy Max E1 = 121 khi x = 5 hoặc x = -2

Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức E2 = x

x

2

116 2 (x >0)

Ta có E2 = 8x + x2

1

Hai số 8x và x2

1 là hai số dương có tích không đổi (bằng 4) nên

tổng của chúng nhỏ nhất 16x2 = 1 x = 4

1 (vì x > 0)

Vậy Min E2 = 4

14

2

111

x

4. Bài tập áp dụng

Bài 1 .Tìm GTLN của biểu thức sau: H = x + 21 x

Bài 2 .Tìm GTNN của biểu thức sau: G =x

xx 442 với x >0;

K = 1

2

x

xvới x > 1

Bài 3: Cho hai số dương thỏa mãn x + y = xy.

Tìm GTNN của biểu thức sau L = x+y

III- Phương pháp tìm cực trị theo bất đẳng thức Bunhiacốpski

1. Lí thuyết áp dụng

* Bất đẳng thức Bunhiacốpski:

Cho n cặp số bất kỳ a1 , a2 ,a3 ,... an và b1 , b2 ,b3 ,...,bn ta có bất đẳng thức

223

22

21

223

22

21

2n332211 .......a...aaa nnn bbbbaaaabbbb

Dấu đẳng thức xảy ra n

n

b

a

b

a

b

a

b

a ....

3

3

2

2

1

1

2. Các ví dụ

17

Ví dụ 1: cho x.y thỏa mãn x2+ y2 = 25.Tìm GTLN, GTNN của biểu thức M = x + 2y.

Giải: Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki ta có (x + 2y)2 ≤ (x2 + y2 )( 12 + 12 ) = 50

x +2y ≤ 50 Hay - 50 ≤ M ≤ 50 .Vậy Max M = 50 khi

4

25

2

25

y

x

Min M = - 50 Khi

4

25

2

25

y

x

Ví dụ 2 : Cho x , y là hai số thực thỏa mãn x2 + y2 = 1 .

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức N = 11 xyyx

Giải: Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki ta có

N2 = ( 11 xyyx )2 ≤ (x2 + y2)(x + y+2) N2 ≤ x + y+2

Mặt khác (x+y )2 ≤ 2 (x2 + y2) =2 2 - 2 ≤ x+y ≤ 2+ 2 N2 ≤ 2+ 2

- 22 ≤ N ≤ 22

Vậy Max N = 22 đạt được x =y = 2

2

Min N = - 22 đạt được x =y = 2

2

Ví dụ 3: Cho x , y , z là các số thỏa mãn xy + yz +xz = 4

Tìm GTNN của biểu thức P = x4 + y4 +z4

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có

(xy +yz +xz)2 ≤ (x2 + y2 +z2)( x2 + y2 +z2) 16 ≤ (x2 + y2 +z2)2 (1)

Mặt khác áp dụng lần hai bất đẳng thức Bunhiacốpki ta có

(x2 + y2 +z2)2 ≤ (12 +12 + 12 ) (x4 + y4 +z4) (2)

Từ (1) và (2) ta có: 3(x4 + y4 +z4) ≥ 16 x4 + y4 +z4 ≥ 3

16

Vậy Min P = 3

16 khi x = y = z =

3

32

Ví dụ 4 : Cho hai số dương a , b hai số dương x, y thay đổi sao cho

1y

b

x

a. Tìm x, y để x + y đạt GTNN .

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có :

18

(x + y)= 22 yx (y

b

x

a ) = 22 yx

22

y

b

x

a≥

2

..

y

by

x

ax

x + y ≥ 2ba

Đẳng thức xảy ra babybaax

baba

yx

b

y

a

x

.;.

Ví dụ 5 : Cho x,y,z,t ≥0 thỏa mãn

2

1

4

1

4

1

4

1

4

1.

ttzzyyxx

Tìm GTLN của S = x + y + z + t

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có :

(x + y + z + t)2 ≤ ( 12+12+ 12+ 12 ) ( x2 + y2 + z2 + t2 )

4

1.(x + y + z + t)2 ≤ x2 + y2 + z2 + t2 (1)

Từ giả thuyết suy ra x2 + y2 + z2 + t2 - 4

1.(x + y + z + t) ≤

2

1

S2 - S – 2 =0 -1 ≤ S ≤ 2

Vậy Max S = 2 đạt được x = y = z = t = 2

1

3. Bài tập áp dụng :

Bài 1: Cho hai số dương thỏa mãn x + 2y =3 .Tìm GTNN của R = x2 + 2y2

Bài 2: Tìm GTLN của biểu thức Q = 2x + 4y + 5 z cho biết x,y,z là các biến số thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 169

Bài 3: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức

W = 11 yx biết x,y ≥ 1 và x + y = 2

Bài 4: Cho a, b là hai số thỏa mãn a≥ 3 , a + b ≥ 5.Tìm GTNN của biểu thức Q = a2 + b2

19

PHẦN III: KẾT LUẬN

Trên đây là một số phương pháp cơ bản mà trong quá trình giảng dạy thực tế hay được sử dụng để giải các bài toán cực trị đại số. Với phương pháp hướng dẫn học sinh từ các bài tập cụ thể khái quát thành dạng tổng quát, từ đó học sinh vận dụng để giải các bài tập.

Qua quá trình hướng dẫn một cách cụ thể như vậy, học sinh đã biết vận dụng một cách linh hoạt các phương pháp giải bài toán vào giải các bài tập cụ thể từ đơn giản đến phức tạp. Đối với học sinh giỏi các em đã biết sử dụng kết hợp các phương pháp để giải được các bài toán cực trị đại số ở dạng khó hơn. Qua đó giúp học sinh hứng thú khi gặp loại bài toán này nói riêng và học môn toán nói chung.

Việc tìm hiểu nghiên cứu các bài toán cực trị giúp tôi nắm vững hơn cơ sở lý luận của việc giải toán, năm vững các dạng bài tập thông dụng với phương pháp giải phù hợp biết những sai lầm mà học sinh có thể mắc phải... điều này rất cần thiết cho bản thân tôi trong quá trình giảng dạy.

Khi hướng dẫn học sinh giải bài toán tìm GTLN, GTNN của một biểu thức đại số kết quả thu được như sau:

- Mặc dù dạng toán tìm GTLN, GTNN là một trong những dạng toán tương đối khó, tuy nhiên đa số học sinh đã nắm được các phương pháp tìm GTLN, GTNN.

- Khi làm bài tập về tìm GTLN, GTNN học sinh đã có ý thức quan sát các biểu thức đại số để vận dụng các trường hợp đặc biệt. Đồng thời học sinh cũng đã biết vận dụng cách tìm GTLN, GTNN một cách linh hoạt để giải phương trình.

20

- Ý thức tự giác và hứng thú học tập của các em đối với môn toán ngày một nâng cao. Đa số các em có nhu cầu mở rộng, đào sâu, nâng cao kiến thức.

- Số học sinh khá, giỏi ngày càng tăng lên thể hiện qua các năm học.

- Từ bài toán tìm GTLN, GTNN, học sinh đã biết tìm tòi, tham khảo tài liệu để giải các dạng toán khác. Đồng thời kỹ năng trình bày lời giải của các em ngày càng tốt hơn.

- Học sinh đã ý thức được việc học của mình và có nhu cầu nâng cao, mở rộng kiến thức. Học sinh khá, giỏi có điều kiện phát huy năng lực vốn có của mình.

- Tạo cho các em học sinh có nền tảng vững chắc để tiếp tục học các lớp trên.

- Ý thức, đạo đức, tinh thần trách nhiệm, tính cẩn thận, chính xác của các em được củng cố và phát huy.

- Rất mong được sự quan tâm đóng góp ý kiến của đồng nghiệp để việc hướng dẫn học sinh các phương pháp tìm GTLN, GTNN có hiệu quả hơn.

Xin chân thành cảm ơn!

21