CURIOZITATI ARITMETICE

Ştefan Smărăndoiu Curiozităţi aritmetice

17

„Nu cunosc nimic mai frumos în Aritmetică decât aceste

numere pe care unii le numesc planetarios, iar alţii magicos!” (Fermat)

CURIOZITĂŢI ARITMETICE

Desigur, curiozitatea vă va fi satisfăcută, doar dacă rezolvaţi ceea ce urmează!

1. Calculaţi: 7 + 7 – 7 – 7 = (7 � 7 – 7 ) : 7 = 7 : 7 + 7 – 7 = (7 – 7): 7 + 7 = 7 : 7 + 7 : 7 = (7 � 7 + 7) : 7 = (7 + 7 +7) :7 = (7 +7 ) :7 + 7 = 77 : 7 – 7 = ( 77–7 ) : 7 =

7–(7 + 7) : 7 = 2. În următoarele exerciţii, cifrele de la 1 la 9 apar o singură dată! Calculaţi: a) 1+2+ 3 + 4 +5 +6 +7 + 8 � 9 = f) 91 + 5823 : 647 = b) 1+2 � 3 + 4 � 5 –6 +7 + 8 � 9 = g) 94 + 1578 : 263 = c) 1+2 � 3 + 4 + 5 +67+ 8 + 9 = h)96 + 1428 : 357 = d) 1� 2 +34 +56 + 7 – 8 + 9 = i) 123 + 4 – 5 + 67 – 89 = e) 12 + 3 – 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = j)12 –3–4 +5 –6 +7 +89 =

Sunt 10 exerciţii, al căror rezultat e 10 mărit de zece ori !

3. Efectuaţi 123456789 + 123456798 şi observaţi de câte ori s-a folosit fiecare cifră, atât la termenii adunării, cât şi la sumă. 4. Vom construi împreună piramide numerice:


18

a) 1 � 1 = 11 � 11 =

111 � 111 = 1111 � 1111 =

11111 � 11111 = ………………………….

b) 1 � 9 + 2 = 21 � 9 + 33 =

321 � 9 + 444 = 4321 � 9 + 5555 =

54321 � 9 + 66666 = ………………………….

c) 9 � 9 + 7 =

98 � 9 + 6 = 987 � 9 + 5 =

9876 � 9 + 4 = 98765 � 9 + 3 =

………………………

d) 1 � 8 + 1 = 12 � 8 + 2 =

123 � 8 + 3 = 1234 � 8 + 4 = 12345 � 8 + 3 =

………………………

e) 56 � 56 – 45 � 45 = 556 � 556 – 445 � 445 =

5556 � 5556 – 4445 � 4445 = 55556 � 55556 – 44445 � 44445 =

555556 � 555556 – 444445 � 444445 = ……………………………………….

f) (11 – 2) : 9 = (111 – 3) : 9 = (1111 – 4) : 9 =

(11111 – 5) : 9 = (111111 – 6) : 9 = …………………….

g) 1 + 1 � 9 + 9 =

12 + 12 � 9 + 9 = 123 + 123 � 9 + 9 =

1234 + 1234 � 9 + 9 = 12345 + 12345 � 9 + 9 =

………………………….

h) 12345679 � 9 = 12345679 � 18 = 12345679 � 27 = 12345679 � 36 = 12345679 � 45 = ………………………

Bineînţeles că oricare dintre piramide poate fi „înălţată”! Încercaţi să vă înălţaţi „ piramida cunoştinţelor”! 5. Cine este mai mare: a) 51 + 12 + 66 sau 35 + 74 + 20 ?


19

b) 51 � 51 + 12 � 12 + 66 � 66 sau 35 �35 +74 � 74 +20 �20 ? 6. Înmulţiţi succesiv numărul 142857 cu 1, 2, 3, 4, 5 şi respectiv 6. Observaţi ceva curios la produsele obţinute ?

Dar dacă-l înmulţiţi cu 7 ? 7. Aflaţi produsul dintre 2178 şi 4. Produsul e curios ? Oare, dacă între 21 şi 78 intercalăm un 9 şi efectuăm înmulţirea cu 21987 � 4, produsul obţinut are vreo legătură cu cel iniţial şi cu intercalarea făcută ? 8. Ca notă, 4 nu-i agreat! Dar în înmulţirea 230769 � 4 produsul ne oferă o curiozitate plăcută! 9. Efectuând 41096�83 veţi avea o surpriză şi mai mare! 10. Calculaţi 221 � 312. Oare, dacă înmulţim 122 cu 213, adică răsturnatul primului factor cu răsturnatul celui de-al doilea factor, vom obţine răsturnatul produsului anterior ? 11. Cine este mai mare: 10 � 10 + 11 � 11 + 12 � 12 sau 13 � 13 + 14 � 14 ? 12. Împărţirea 7632 : 48 oferă vreo curiozitate ? 13. Dar înmulţirea 8 � 86 ? 14. Măriţi succesiv cifrele 1, 5, 8, 7 şi respectiv 3 de 7 ori. Înmulţiţi apoi, separat, fiecare număr obţinut, cu 15873 ! Ţi-a plăcut ?

15. Construiţi încă două piramide: a) 34 � 34 – 1 = b) 67 � 67 – 1 = 334 � 334 – 1 = 667 � 667 – 1 = 3334 � 3334 – 1 = 6667 � 6667 – 1 = 33334 � 33334 – 1 = 66667 � 66667 – 1 = ……………………………. …………………………… 16. Într-o clasă de la Şcoala ‚, Take Ionescu’’ din Râmnicu Vâlcea, în anul 1985, erau c elevi. Stabiliţi câţi elevi erau în acea clasă, descifrând egalităţile: 1 = 1 ; a = 1 � 2 + 1; b = (1 + a) � 2 + 1 ; c = (1 + a + b) � 2 + 1 .


20

17. Numărul 743816529 e format prin alăturarea tuturor cifrelor nenule, luate o singură dată. Vreţi o nouă surpriză ? Efectuaţi 743816529 : 27273 ! 18. Calculaţi: a) 5 � 5 = b) 25 � 25 = c) 175 � 175 = d) 575 � 575 = e) 1825 � 1825 = şi priviţi cu atenţie rezultatele obţinute. 19. a) Efectuaţi produsul dintre 12 şi 84. b) Efectuaţi produsul răsturnatelor factorilor. 20. Calculaţi suma şi respectiv produsul din:

a) 9 + 9 = a) 9 � 9 = b) 24 + 3 = b) 24 � 3 = c) 47 + 2 = c) 47 � 2 = d) 497 + 2 = d) 497 � 2 =

21. Calculaţi:

a) 1 � 1 � 1 + 5 � 5 � 5 + 3 � 3 � 3 = b) 4 � 4 � 4 + 0 � 0 � 0 + 7 � 7 � 7 = c) 3 � 3 � 3 + 7 � 7 � 7 + 1 � 1 � 1 = d) 1 � 1 � 1 � 1 + 6 � 6 � 6 � 6 + 3 � 3 � 3 � 3 + 4 � 4 � 4 � 4 = 22. Studiaţi cu atenţie cifrele din componenţa celor doi factori şi respectiv cifrele produsului: a) 51 249 � 3 = b) 16 583 742 � 9 = 23. Ca să-l „băgăm în seamă” şi pe zero, comparaţi: a) 21 � 807 şi 5649 � 3 = b) 27 � 609 şi 5481 � 3 = 24. ”Materie primă” pentru o nouă piramidă : 1�9+2= ; 12�9+3= ; 123�9+4= ;1234�9+5= …..

25. Ştiaţi că, în antichitate, iniţial, oamenii cunoşteau doar înmulţirea şi împărţirea cu 2, dar folosind şi adunarea şi, bineînţeles, inteligenţa, puteau efectua orice înmulţire ? Iată cum procedau, luând două exemple: 35 � 24 şi respectiv 54 � 25.


21

35 24 54 25 17 48 27 50 8 96 13 100 4 192 6 200 2 384 3 400 1 768 1 800 Şi-acum să explicăm algoritmul: Pasul I: Scriem cei doi factori în capul a două coloane. Pasul al II-lea: Prima coloană e formată din primul factor; dedesubt scriem jumătatea lui, număr natural (partea întreagă a câtului, restul 1 neglijându-se), apoi jumătatea numărului de deasupra, până se obţine câtul 1. Pasul al III-lea: A doua coloană este formată din al doilea factor, sub care se află numerele rezultate prin înmulţirea succesivă cu 2 a numărului situat deasupra. Pasul al IV-lea: Pentru a afla rezultatul înmulţirii, din coloana a doua se adună doar numerele ce corespund numerelor impare din prima coloană. Obţinem 35 � 24 = 24 + 48 + 768 = 840 şi respectiv, 54 � 25 = 50 + 100 + 400 + 800 = 1350.

Cum înmulţeau egiptenii? Scribul egiptean proceda diferit şi folosea doar adunarea şi înmulţirea cu 2. Exemplu : Prezentăm înmulţirea: 14 �� 6 Pasul I: În coloana din stânga scria 1 şi apoi îl dubla, scriind rezultatul dedesubt. Pasul al II-lea: În coloana din dreapta scria unul din factori, pe care, de asemenea, îl dubla

1 6 2 12


22

Pasul al III-lea: Dubla succesiv rezultatele obţinute, până în momentul în care observa că celălalt factor, putea fi obţinut ca sumă a unor puteri ale lui 2 pe care le-a scris deja ( în cazul nostru, la prima coloană, 2 + 4 + 8 = 14, adică o sumă egală cu primul factor 14).

1 6 2 12 4 24 8 48

Pasul al IV-lea: Scribul egiptean înceta dublările şi aduna din coloana din dreapta acele numere corespunzătoare liniilor termenilor 2, 4 şi 8 din care s-a obţinut primul factor, 14: 12 + 24 + 48 = 84, adică 14 � 6. Exemplul al II-lea: Prezentăm înmulţirea: 19 � 80 1 80 2 160 4 320 16 1280 Am sistat dublările, pentru că din prima coloană 1 + 2 + 16 =19

Adunând din coloana a II-a numerele de pe liniile corespunzătoare numerelor 1, 2 şi respectiv 16, obţinem

80 + 160 + 1280 = 1520, adică 19 � 80. Observaţii:

a) Chiar dacă ni se pare complicat, piramidele egiptene stau mărturie a preciziei lor în calcule! b) 1= 02 ; 2 = 12 ; 4 = 22 ; 8 = 32 ; 16 = 42 , 14 =2+4+8 = 12 + 22 + 32 , iar 19=1+2+16= 02 + 12 + 42 .


23

Cum înmulţeau chinezii?

I. Înmulţire fără trecere peste ordin Exemplu: 1321⋅ =273 Pasul 1. Trasau două linii orizontale pentru cifra zecilor şi o linie pentru cifra unităţilor :

Pasul 2. Trasau o linie verticală pentru cifra zecilor şi trei linii pentru cifra unităţilor :

Pasul 3. La intersecţia liniilor ce marchează unităţile celor

doi factori s-au format trei noduri.

Ele ne indică cifra unităţilor produsului.

2

1

2

1

1 3

3


24

Pasul 4. La intersecţia liniilor ce marchează unităţile unui factor şi zecile celuilalt s-au format 6 + 1 = 7 (noduri). Ele ne indică cifra zecilor produsului. Pasul 5. La intersecţia liniilor ce marchează zecile celor doi factori s-au format două noduri. Ele ne indică cifra sutelor produsului. Deci 2731321 =⋅

3 7

2


25

II. Înmulţire cu trecere peste ordin Exemplu: 4082417 =⋅ Pasul 1. Trasau o linie orizontală pentru cifra zecilor şi 7

linii pentru cifra unităţilor :

Pasul 2. Trasau 2 linii verticale pentru cifra zecilor şi 4 linii pentru cifra unităţilor :

Pasul 3. La intersecţia liniilor ce marchează unităţile celor doi factori s-au format 28 de noduri.

1

7

1

7

2 4


26

8 ne indică cifra unităţilor produsului, iar 2 este cifra de transport ( cifra pe care obişnuim să spunem că o ţinem minte).

Pasul 4. La intersecţia liniilor ce marchează unităţile

unui factor şi zecile celuilalt s-au format 14 +4 = 18 (noduri) şi ţinem cont că avem pe 2 ca cifră de transport. 18 + 2 = 20

Zero ne indică cifra zecilor produsului, iar 2 este cifra de transport.

2 8


27

Pasul 5. La intersecţia liniilor ce marchează zecile celor doi factori s-au format două noduri, dar ţinem cont şi de cifra de transport. 2 + 2 = 4 4 ne indică cifra sutelor produsului. Deci 4082417 =⋅

26. PROBLEMA DIN SIRACUZA Există câteva probleme care au fost enunţate cu foarte

mult timp în urmă, dar pe care matematicienii n-au reuşit încă să le rezolve.

Una din aceste probleme celebre este şi cea pe care o prezentăm în continuare şi care a rămas în istoria matematicii sub numele de „Problema din Siracuza”.Pentru o mai bună înţelegere o prezentăm cu enunţul modificat: Pasul iniţial: Alege un număr natural nenul. Pasul I: a) Dacă numărul ales este par, împărţiţi-l la 2!

b) Dacă numărul ales este impar, înmulţiţi-l cu 3, iar produsul obţinut măriţi-l cu 1.

Pasul al II-lea: a) Dacă rezultatul obţinut la pasul I este par, aplicaţi încă o dată pasul I a);

b) Dacă rezultatul obţinut la pasul I este impar, mai mare ca 1, aplicaţi încă o dată pasul I b);


28

c) Dacă rezultatul obţinut este 1, aplicaţi pasul ce urmează:

Pasul final : Dacă aţi obţinut rezultatul 1, opriţi-vă! Comentarii:

i) De ce credeţi că se opreşte calculul după ce aţi obţinut rezultatul 1? ii) De ce obţinem totdeauna rezultatul 1, indiferent ce număr ne-am alege iniţial?

iii) Aceleaşi întrebări şi le-au pus şi matematicienii de-a lungul timpului ! Ei şi-au mai pus însă, încă o întrebare:

„Oare rezultatul este valabil pentru orice număr natural?” Până azi nimeni nu a reuşit să dea răspuns la

această întrebare. Ai ocazia să devii celebru!Până atunci însă, trebuie să-ţi formezi o „cultură matematică” !

Un prim pas îl faci dacă te vei strădui să înţelegi metodele şi procedeele prezentate în această lucrare. Îţi doresc mult succes!

REZOLVĂRI. INDICAŢII. RĂSPUNSURI

2. La toate obţinem 100. Pentru cei mai mari oferim alte două

variante: 189

7563

24 + şi respectiv 189

5263

47 +

3. 246913587. Fiecare cifră s-a folosit o singură dată. 5. Sunt egale! 6. Toate produsele sunt formate din aceleaşi cifre, în aceeaşi ordine circulară, dar începând cu altă cifră. De aceea, numărul 142857 se numeşte număr circular. Rezultatul la înmulţirea cu 7 este altul, dar veţi înţe-lege, mai târziu, că se datorează faptului că 142857 este perioada fracţiei 1/7.

7 5

8

2 4

1


29

7. Produsul 8712 este răsturnatul primului factor! Al doilea produs 87912 este răsturnatul lui 21978 (Aceleaşi cifre în ordine inversă). 8. Ultima cifră a numărului 230769 „trece prima” şi obţinem 923076. 9. Dacă primului factor îi punem în faţă 3 şi la sfârşit 8, obţinem produsul 3410968; 10. 25986 este răsturnatul lui 68952! 11. Sunt egale cu 365. 12. Deîmpărţitul, împărţitorul şi câtul au împreună nouă cifre şi fiecare din cele 9 cifre nenule apare o singură dată! 13. 8 � 86 = 688 . Exact cele 3 cifre în altă ordine! 14. 1 � 7 = 7, iar 15873 � 7 = 111111; 5 � 7 = 35, iar 15873 � 35 = 555555 ;8 � 7 = 56, iar 15873 � 56 = 888888 ; etc.16. 27 de elevi. 17. Câtul este tot 27273. 18. 25; 625; 30625; 330625; 3330625 19. 12 � 84 = 1008 şi 21 � 48 = 1008. 20. Fiecare produs este răsturnatul sumei corespunzătoare. 23. Produsele sunt egale, iar în componenţa celor 2 factori avem toate cele 10 cifre! 1 �� 9 + 2 = 11 12 �� 9 + 3 = 111 123 �� 9 + 4 = 1111 1234 �� 9 + 5 = 11111 12345 �� 9 + 6 = 111111 123456 �� 9 + 7 = 1111111 1234567 �� 9 + 8 = 11111111 12345678 �� 9 + 9 = 111111111 123456789 �� 9 +10= 1111111111


30

METODA MERSULUI INVERS „ Ariadna, fiica regelui Minos, s-a îndrǎgostit de Tezeu şi, sfătuitǎ de arhitect, i-a dat un ghem de aţǎ. La intrarea în labirint viteazul a legat ghemul cu un capăt de-un stâlp al porţii. A început sǎ desfăşoare ghemul cel gros pe unde mergea, ca la întoarcere, sǎ nu se rătăcească pe coridoarele încâlcite ale labirintului şi, urmǎrind înapoi firul, sǎ gǎseascǎ drumul spre ieşire.”

(dupǎ Al. Mitru – „Legendele Olimpului”) Aşa cum îi spune numele, ilustratǎ sugestiv şi de „firul Ariadnei”, aceastǎ metodǎ constǎ în descompunerea „labirintului” în exerciţii sau probleme mai simple şi rezolvarea lor în ordinea inversǎ în care apar. De asemenea, este interesant de observat şi important de reţinut cǎ şi operaţiile ce se efectueazǎ sunt inverse celor ce apar în exerciţiu sau în textul problemei.

EXERCIŢII CU O NECUNOSCUTĂ Exerciţii comentate:

1. Aflaţi pe x din: 1010:10}1010:)]10(1010{[:1010 =−−−⋅++ x

(Ştefan Smărăndoiu,O.M., Etapa locală, Rm.Vâlcea, 1986) Rezolvare: Mai întâi considerǎm cǎ am avea de rezolvat un

exerciţiu în care trebuie sǎ respectǎm ordinea operaţiilor. Singura care se poate efectua este 10 : 10 = 1. Obţinem :

101}1010:)]10(1010{[:1010 =−−−⋅++ x Dacǎ x ar fi un numǎr cunoscut, atunci operaţiile ar trebui efectuate în ordinea indicată de cifrele din cerculeţe. Evident cǎ 10:10 a figurat doar pentru a avea numai numǎrul 10 în exerciţiu. Succesiv, vom pune în evidenţǎ ultima operaţie:

1 2 3 4 5 6 7 8


31

101}1010:)]10(1010{[:1010 =−−−⋅++ x

Notǎm ax =−−⋅++ }1010:)]10(1010{[:1010 Exerciţiul devine : 11101101 =+=⇒=− aa Urmând „ firul Ariadnei ”, trecem la operaţia a şaptea:

11}1010:)]10(1010{[:1010 =−−⋅++ x Notǎm bx =−−⋅+ }1010:)]10(1010{[:10 Exerciţiul devine 110111110 =−=⇒=+ bb Punem în evidenţǎ a şasea operaţie şi continuǎm algoritmul:

1}1010:)]10(1010{[:10 =−−⋅+ x ;

101:10 =⇒= cc

101010:)]10(1010[ =−−⋅+ x

2010101010 =+=⇒=− dd

2010:)]10(1010[ =−⋅+ x

20010202010: =⋅=⇒= ee

200)10(1010 =−⋅+ x

1901020020010 =−=⇒=+ ff

2919101910

1910:19019010

=+=⇒=−

==⇒=⋅

xx

gg

8

7

6

c

5

d

4

e

3

f

1

2

g 190)10(10 =−⋅ x


32

Probă: Pentru x = 29, verificǎm dacǎ rezultatul obţinut este 10.

2. · 2 +10 : 5

2010 - x = ? (Ştefan Smărăndoiu, Concursul Interjudeţean „La Şcoala cu Ceas”, Proba ,,La Ceas” , Rm.Vâlcea, 2000)

Rezolvare: Desenul ne sugerează următorul exerciţiu: ( x · 2 + 10 ) : 5 = 10 . Aplicând metoda mersului

invers, obţinem succesiv: x · 2 + 10 =50 ⇒ x · 2 =40 ⇒ x =20

EXERCIŢII PROPUSE

1. Determinaţi valoarea lui a din egalitatea : 3 + {4 +2 · [2+(6+a):3]-17} = 24

(O.M., Etapa locală, 25.02.1990, Băileşti, Dolj) 2. Să se calculeze numărul necunoscut din egalitatea :

( )[ ]{ } 108010:205367:2400150:104031440 3 =+⋅+−+ x (O.M., Etapa judeţeană , 1990, Olt)

3. Aflaţi x din egalitatea : ( )[ ] 1:22:34:56 =−−− x

(O.M., Etapa judeţeană, 1990, Prahova) 4. Aflaţi valoarea numerică a lui „x” din :

( )[ ]{ } 10024:242410361010 =+⋅+⋅−⋅ x (O.M., Etapa judeţeană, 1991, Vâlcea şi concurs, Iaşi, 2001)

5. Determinaţi numărul a ştiind că : ( ) 4113:71:012: =⋅+−⋅+⋅−⋅+ aaaaaaa

(O.M., Etapa locală, Prahova, 1991 şi Concursul Interjudeţean „Preda Filofteia”, Drăgăşani, 2001)

101110110:10101)1020(:10101)1010:200(:1010

1]1010:)19010[(:10101]1010:)191010[(:1010

10:10}1010:)]1029(1010{[:1010

=−+=−+=

=−−+=−−+==−−++=

=−−⋅++=

=−−−⋅++

x 10


33

6. Rezolvaţi ecuaţia : ( )[ ]{ } 15765:4321 =⋅−++⋅+ x

(O.M., Etapa judeţeană, Vâlcea, 1992) 7. Să se afle x din relaţia :

( ) 35020025:2504 =+−x (O.M., Etapa locală, Mehedinţi, 1993)

8. Să se afle a din egalitatea : ( )[ ]{ } 43728:1817:224520 ⋅−=+⋅+⋅+ a .

(O.M., Etapa locală, Bacău, 1994) 9. Aflaţi pe x şi apoi efectuaţi proba :

( )[ ] 27999992727279279 =++⋅−⋅+⋅+ x (Ştefan Smărăndoiu, O.M., Etapa locală, Vâlcea, 1994)

10. Aflaţi x din egalitatea : ( )[ ]{ } 199519941994:19931993:19921992:2 =++++x

(Test – Colegiul „Carol I”, Craiova,1995) 11. Aflaţi pe x din egalitatea : ( )[ ]{ } 1995196643854 =+−⋅+⋅+⋅+ x

(O.M., Etapa locală, Sibiu, 1995) 12. Determinaţi numărul natural x, ştiind că : ( ) 141:13:71:0: =⋅+−⋅++ xxxxxx

(Test – Colegiul „Carol I”, Craiova,1996) 13. Calculaţi în două moduri produsul ( )baa +⋅ unde

„a” şi „b” au valorile determinate de egalităţile următoare : ( )[ ] 1:22:34:56 =−−− a ; ( )[ ] 6345:90151785 =+⋅+⋅b

(O.M., Etapa locală, Câmpina-Prahova, 1997) 14. Aflaţi valoarea lui x din :

( )[ ]{ }x⋅+⋅−⋅−⋅= 157048848387825150 (O.M., Etapa locală, Bacău, 1997)

15. Să se afle x din relaţia : ( ) 3184572530:1078 =−⋅+⋅ x

(O.M., Etapa judeţeană, Vâlcea, 1997) 16. Aflaţi valoarea lui „n” din :

( )[ ]{ } 876:54231 =⋅⋅−+−+ n (O.M., Etapa judeţeană, Breaza-Prahova, 1997)


34

17. Aflaţi pe x din : ( ) 555:555 =⋅+− x (Concursul Interjudeţean „La Şcoala cu Ceas”,, Rm.Vâlcea 1998)

18. Aflaţi pe a din egalitatea : ( )[ ]{ } 1055:555:55 =−−⋅++ a

(Concursul Interjudeţean „La Şcoala cu Ceas”,, Rm.Vâlcea 1999) 19. Să se determine a din egalitatea :

( )[ ]{ } 61)2(:735:20 =++⋅++ aa (O.M., Etapa judeţeană, Galaţi, 2000)

20. Aflaţi-l pe x din egalitatea : ( )[ ] 936534:490072215:1505 =−−⋅+x

(Test de verificare, C.N. „Unirea”, Focşani,2000) 21. Determinaţi x din egalitatea :

( )[ ]{ } 28:7:654321 =−⋅+⋅++ x (Concursul „Gheorghe Ţiţeica”, Etapa judeţeană, Dolj, 2000)

22. Aflaţi x şi y, x≠ y, ştiind că : ( )[ ]{ } 1138:523:2:4:16183517 =⋅−⋅+⋅−−− yx

(Test pentru înscriere în clasa aV-a, Liceul Naţional Iaşi, 2000) 23. Să se afle numărul natural a dacă :

( )[ ]{ } 150001000500100307654 =−+++⋅⋅⋅⋅ a (Test pentru înscriere în clasa a V-a, Mangalia,2000)

24. Aflaţi valoarea lui a din : ( )[ ] 1332222105112:3413 =⋅+⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅− a

(Concursul „Gheorghe Ţiţeica”, Etapa judeţeană, Mehedinţi , 2000) 25. Aflaţi x din :

( )[ ]{ } 111010:101010:1010 =−−⋅++ x (Ştefan Smărăndoiu, Test de verificare a cunoştinţelor pentru înscriere în

clasa a V-a de performanţă, Şc. „Take Ionescu”, Rm.Vâlcea, 2000) 26. Determinaţi valoarea lui a din egalitatea :

( ) ( )091:100110011001 ⋅−=−− aa (O.M., Etapa zonală, Dâmboviţa, 2000) 27. Aflaţi x din egalitatea (x+x) : (2x-x)+(6-x) : 2=4

28. Determinaţi valoarea lui x din : ( )[ ]{ } 119971998:19992000:2001200220032004 =⋅−−−⋅− x

(Concursul Interjudeţean”Ion Ciolac”, C.N. „Carol I”, Craiova, 2001)


35

29. Să se afle x din egalitatea : ( )[ ] 123:20012001:200120012001 =+−−− x (Concursul Interjudeţean „Sanda Nicoliţă, , Drăgăşani, 10.11. 2001)

30. Află valoarea lui a din egalitatea : ( )[ ] 20013435:250 =⋅+⋅+a

(Gheorghe Crăciun, Test, Plopeni, 2001) 31. Aflaţi valoarea lui „a” din egalitatea :

( )[ ]{ } 35677:7777777:77 =⋅−⋅−⋅+⋅+− a (Cristiana Constantin, Concursul Interjudeţean, „Pitagora”,

Rm.Vâlcea, 2001) 32. Valoarea lui x din egalitatea : ( )[ ] 9991123 =−−⋅⋅ x

este : A. 167 ; B. 333 ; C. 168 ; D. 165 ; E. 166. (Concursul Interjudeţean „Micul Arhimede”,Craiova,2002)

33. Aflaţi valoarea numerică a lui „x” din egalitatea : ( )[ ] 14166186883:789 =⋅−⋅+x

(Camelia Puican, „Matematicieni isteţi”, Vaideeni, 11 mai 2002) 34. Să se determine x din : ( )( )( )( )( ) 2002215100217753:48 =⋅+⋅−⋅+⋅⋅+x (Concursul Interjudeţean „Sanda Nicoliţă, Drăgăşani, 9 noiembrie 2002)

35. Aflaţi valoarea lui a din egalitatea : ( )[ ]{ } 243723:625 =+⋅−+⋅− a

(Concurs „Traian Lalescu”, Iaşi, 11 mai 2002) 36. Aflaţi x din : ( )[ ]{ } 5957:3:8:271205240600 =−+⋅−− x (Concursul Interjudeţean „Henni Ignatie”, Mangalia, 25.05.2003)

37. Există un număr natural x astfel încât : ( )[ ] 125743:459517201025 =⋅+−− x ? (Concursul Interjudeţean „Discipolii lui Lazăr”, Ploieşti, 2003)

38. Determinaţi pe m ştiind că : ( )[ ] 13513:411:1625 =−−⋅m

(O.M., Etapa locală, Maramureş, 2000) 39. Aflaţi valoarea lui x din egalitatea :

( )[ ]{ } 724444:842124:4:8484:84844:928484 =⋅+++−+− x (Concursul Interjudeţean „Viitori matematicieni”, Roman, 31 mai 2003)


36

PROBLEME CE POT FI PUSE SUB FORMĂ DE EXERCIŢIU CU O SINGURĂ NECUNOSCUTĂ

Probleme comentate

1. Înmulţim un numǎr necunoscut cu 9 şi adunǎm

produsul obţinut cu 9. Dacǎ vom împǎrţi suma la 9, vom obţine câtul 12345679. Aflaţi numǎrul necunoscut. Observaţie: Avem o dificultate în plus: aceea de-a pune problema sub formǎ de exerciţiu.

Atenţie cum plasăm parantezele ! Rezolvare: Notând numǎrul necunoscut cu x putem scrie:

123456799:)99( =+⋅x Numerotǎm în cerculeţe ordinea operaţiilor: 123456799:)99( =+⋅x Aplicǎm algoritmul de rezolvare prezentat anterior: 123456799:)99( =+⋅x

111111111912345679123456799: =⋅=⇒= aa 11111111199 =+⋅x

11111110291111111111111111119 =−=⇒=+ bb

123456789:1111111021111111029 ==⇒=⋅ xx Efectuaţi proba!

2.„Un ţăran întâlni în pădure un bătrân necunoscut care-i spune: - Eu ştiu în pǎdurea asta o buturugǎ vrǎjitǎ. Pui sub ea o pungǎ cu bani, numeri pâna la 100, şi gata: în pungǎ sunt de douǎ ori mai mulţi bani ca la început.

1 2 3

1

3

a

2

b


37

- Curat buturugǎ vrǎjitǎ ! Tare aş încerca şi eu, spuse ţǎranul pe gânduri. - Se poate, de ce nu. Numai cǎ trebuie sǎ plǎteşti. - Cui să-i plǎtesc? Şi cât? - Pǎi, să-i plǎteşti aceluia care îţi aratǎ drumul, adicǎ mie ! Începurǎ sǎ se tocmeascǎ asupra plǎţii. Bǎtrânul, aflând cǎ, ţǎranul are puţini bani în pungǎ, se învoi sǎ primeascǎ de fiecare datǎ câte 120 lei. Bǎtrânul îl duse pe ţǎran în adâncul pǎdurii, rǎtǎci mult timp cu el şi, în sfârşit, dǎdu de o buturugǎ bǎtrânǎ acoperitǎ cu muşchi ascunsǎ într-un tufiş. Luând punga cu bani din mâna ţǎranului o ascunse între rǎdǎcini. Numǎrarǎ pânǎ la 100. Bǎtrânul începu sǎ scotoceascǎ sub buturugǎ şi scoase de acolo punga pe care o dǎdu ţǎranului. Se uitǎ ţǎranul în pungǎ şi se sǎvârşi minunea: suma de bani din pungǎ era dublǎ. Scoase din pungǎ 120 lei, îi dǎdu bǎtrânului şi-l rugǎ sǎ mai bage încǎ o datǎ punga sub buturugǎ. Numǎrarǎ din nou pânǎ la 100, bǎtrânul se apucǎ iar sǎ scotoceascǎ sub buturugǎ şi suma de bani din pungǎ se dublǎ. Bǎtrânul primi pentru a doua oarǎ 120 lei din punga ţǎranului. Ascunserǎ pentru a treia oarǎ punga sub buturugǎ şi banii se dublarǎ şi de astǎ datǎ, dar când ţǎranul plǎti bǎtrânului rǎsplata cuvenitǎ, în pungǎ nu mai rǎmǎsese nici un ban. Secretul înmulţirii misterioase a banilor vǎ este desigur clar: nu degeaba bǎtrânul scotocea atât de mult sub buturugǎ, dar aţi putea sǎ aflaţi câţi bani avea ţǎranul înainte de a începe nefericita experienţǎ cu buturuga?”

(I.I.Perelman –„ Matematica Vie”) Rezolvare: Notǎm cu s suma de bani pe care o avusese ţǎranul şi

punem problema sub formǎ de exerciţiu: 01202]1202)1202[( =−⋅−⋅−⋅s

De data aceasta, ordinea operaţiilor, în ipoteza că ar fi exerciţiu, este evidentă . De aceea, vă lăsăm plăcerea de-al afla singuri pe s ! Verificaţi răspunsul găsit !


38

PROBLEME PROPUSE

37. Un număr necunoscut se adună cu triplul său. Suma se dublează şi se obţine 560. Aflaţi numărul necunoscut.

(Concursul Interjudeţean „Jose Marti”, Bucureşti, 24 noiembrie 2001) 38. Un numǎr se mǎreşte cu 4, iar rezultatul se mǎreşte de 4 ori. Noul rezultat micşorat cu 4 se împarte la 4 şi se obţine 4. Sǎ se afle numǎrul.

(Tamara Smǎrǎndoiu – „ Şcoala Vâlceanǎ”) 39. Dacă înmulţiţi cu 5 numărul la care m-am gândit şi la rezultat adăugaţi 1, apoi măriţi suma obţinută de 6 ori şi la rezultat adăugaţi 2, apoi înmulţiţi noua sumă cu 7 şi măriţi produsul obţinut cu 4, găsiţi un număr de 16 ori mai mare decât numărul 135. Aflaţi numărul la care m-am gândit.

(Concursul Interjudeţean”R.M.I”., Constanţa, 11 mai 2002) 40. Doi copii vorbesc între ei : -Când e data ta de naştere? -Îţi spun : iau ziua din luna datei de naştere şi adaug 2, apoi numărul obţinut îl înmulţesc cu 2 şi adaug 4. Rezultatul obţinut îl înmulţesc cu 5 şi adaug luna naşterii. Am obţinut 342. Poţi să-mi spui care este data mea de naştere?

(Concurs, Bulgaria, Pazardgic, 1996) 41. Mă gândesc la un număr, îl măresc cu 1/5 din 205. rezultatul obţinut îl scad din 2000. Micşorez rezultatul obţinut cu 42. Noul rezultat îl micşorez de 100 de ori şi obţin în final 19. La ce număr m-am gândit ?

(O.M., Etapa judeţeană, Bacău, 1997) 42. La sfârşitul fiecǎrei sǎptǎmâni ies în mijlocul naturii lângǎ un lac cu nuferi. În a doua saptǎmânǎ erau de douǎ ori mai mulţi nuferi şi încǎ 2. În a treia sǎptǎmânǎ am numǎrat de trei ori mai mulţi nuferi, minus 3, faţǎ de sǎptǎmâna precedentǎ. Dacǎ-n a treia sǎptǎmânǎ am numǎrat 57 de nuferi, câţi nuferi au fost la sfârşitul primei sǎptǎmâni?

( Beatrice Ciolan, Slatina )


39

43. Mai mulţi prieteni voiau sǎ facǎ o excursie. Unul însǎ nu voia sǎ dea partea lui de bani pentru cheltuiala comunǎ. Atunci Moş Glumici îi fǎcu urmǎtoarea propunere:

„- Eu îţi dublez suma pe care o ai. Dumneata dai partea dumitale de 8 poli şi ce-ţi rǎmâne, eu îţi dublez iar, cu condiţia ca dumneata sǎ dai iar 8 poli”.

Amicul s-a lǎsat convins, socotind cǎ nu dǎ nimic din banii lui, dar vǎzu curând cǎ nu mai are nici un pol. Câţi bani avea amicul?

(Walter Sperling – „ 1000 probleme distractive”)

PROBLEME ÎN CARE INTERVIN FRACŢII DIN REST

Problemele de acest tip se aseamǎnǎ cu cele prezentate la metoda graficǎ : ”Probleme în care intervin fracţii din întreg”, dar se şi deosebesc, deoarece prima fracţie se referă la întreg, următoarea la primul rest, ş.a.m.d., fiind necesarǎ aplicarea procedeului pe care-l vom prezenta mai jos.

În rezolvarea problemelor de acest tip distingem următorii paşi metodici : Pasul I: Se notează întregul şi resturile succesive

nrrrr ...,,, 321 sugerate de conţinutul problemei. E indicat să notăm întregul cu iniţiala cuvântului ce-l

reprezintă în problemă. Pasul al II-lea: Se descompune problema dată în mai multe probleme simple npppp ,...,,, 321 , ordinea fiind dată de conţinutul problemei pe care o rezolvăm.

Fiecare problemă simplă cuprinde o informaţie din enunţ, urmată de concluzia noastră referitoare la restul corespunzător.

Ultima problemă np e rezolvată, pentru că răspunsul acesteia apare în enunţ.


40

Pasul al III-lea: Din datele pe care le avem despre nr , una obţinută prin deducţie logică, iar una din enunţul problemei, prin egalare, vom obţine un exerciţiu cu necunoscuta nr ,care se află folosind metoda grafică. Se poate aplica şi metoda mersului invers prezentată la primul paragraf, iar mai târziu se poate rezolva ecuaţia obţinută.

Se rezolvă succesiv problemele 1231 ,,,..., ppppn− , de unde şi denumirea de „metoda mersului invers”. Pasul al IV-lea: După aflarea întregului se soluţionează şi eventualele alte cerinţe ale problemei.

Probleme comentate

1. O familie şi-a planificat venitul pe o lună astfel:

jumătate din sumă pentru îmbrăcăminte, un sfert din rest pentru hrană, o jumătate din noul rest pentru nevoi culturale şi restul de 1500 lei pentru cheltuieli neprevăzute. Ce venit lunar are familia şi cât şi-a planificat să cheltuiască pentru ce şi-a propus ?

(Test pentru înscriere în clasa a V-a, C.N. „Carol I”, Craiova, 1995; Concursul Interjudeţean „Preda Filofteia”, Drăgăşani, 1999)

Rezolvare : Pasul I: Fie v venitul lunar al familiei şi 321 ,, rrr resturile obţinute după ce se cheltuieşte o anumită sumă pe îmbrăcă-minte, hrană, nevoi culturale şi respectiv cheltuieli neprevăzute. Pasul al II-lea: Pentru a nu ne rǎtǎci pe „coridoarele” problemei şi pentru a gǎsi uşor „ieşirea” spre rezultat, „desfǎşurǎm” firul problemei :

1p a cheltuit 1/2 din v pt. îmbrăcăminte ⇒ 2/11 =r din v;

2p a cheltuit 1/4 din 1r pt. hrană ⇒ 4/32 =r din 1r ;

3p a cheltuit 1/2 din 2r pt. nevoi culturale ⇒ 2/13 =r din 2r ;


41

4p 3r =1500 lei , pentru cheltuieli neprevăzute. Pasul al III-lea: Am descompus-o în probleme mai simple pe care le rezolvăm în ordine inversă celei în care au apărut în text.

Ţinând cont că din 3p ⇒ 2/13 =r din 2r , iar din 4p ,

3r =1500 lei , obţinem : 1/2 din 2r = 1500 lei. 1500 lei 2r ⇒ 2r = 1500 lei · 2 = 3000 lei;

Rezolvăm problema 2p : În conformitate cu pasul al II-lea, 4/32 =r din 1r ⇒ Din rezolvarea problemei 3p avem , 2r =3000lei r1 3000 lei : 3 = 1000 lei ; 1r = 1000 lei · 4 = 4000 lei Rezolvăm problema 1p :

Conform pasului al II-lea, 21

1 =r din v

Din rezolvarea problemei 2p , avem: 1r = 4000 lei ⇒

⇒ 21

din v = 4000 lei ; v

v = 4000 lei · 2 = 8000 lei. Pasul al IV-lea: Conform notaţiei de la pasul I, venitul lunar al familiei este de 8000 lei.

Familia şi-a planificat să cheltuiască pentru : Ø îmbrăcăminte : 1/2 din v = 1/2 din 8000 lei =4000 lei; Ø hrană :1/4 din 1r = 1/4 din 4000 lei = 1000 lei ; Ø nevoi culturale :1/2 din 2r =1/2 din 3000 lei = 1500 lei.

⇒ 3/4 din 1r = 3000 lei

4000 lei


42

Observaţie:Atunci când calcul`m un anumit rest, \inem cont de faptul c` orice întreg x poate fi scris: ...4/43/32/21 =⋅=⋅==⋅= xxxxx

De exemplu, la problema anterioară, la 2p , datorită faptului că 11 4/4 rr = , după ce a cheltuit 1/4 din 1r , familiei i-a rămas 4/32 =r din 1r .

Sunt şi probleme, la care apar alte condiţii, pe lângă fracţia din întreg sau din rest.

2. Un bǎtrân ţǎran şi-a chemat într-o zi cei patru copii

şi le-a spus: „- Nu mai am mult de trǎit. Singura mea avere, pe care

v-o las sunt oile. Când voi închide ochii, sǎ le împǎrţiţi dupǎ cum vǎ spun eu. Tu, fiul meu mai mare, cǎ ai nevastǎ şi copii, sǎ iei jumătate din oi şi încǎ una. Al doilea fecior care e însurat, dar încă n-are copii, sǎ iei jumătate din ce rămâne şi încǎ una. Al treilea, care se va însura la anul, sǎ capete jumătate din oile rǎmase şi încǎ una, iar mezinul – cǎ e copil – restul de oi.”

N-a trecut mult şi cei patru fraţi au rămas fǎră tatǎl lor. Ei au împǎrţit oile aşa cum a poruncit tatăl lor. Mezinului i-a revenit o singurǎ oaie. Arǎtaţi câte oi au fost cu totul şi câte a luat fiecare dintre ceilalţi trei fraţi.

(Dan Lǎzǎrescu – „Paleoaritmeticǎ şi alte probleme de logicǎ”)

Rezolvare : Pasul I: Fie a averea pe care o las` mo]tenire ]i 1r , 2r , 3r resturile ob\inute dup` ce fiecare fiu î]i prime]te oile. Observa\ie: nu am notat averea cu „o” (oi) pentru a nu se confunda cu zero! Pasul al II-lea: O descompunem în probleme simple :

1p primul ia 1/2 din a + 1 ⇒ 2/11 =r din a – 1;

2p al doilea ia 1/2 din 1r +1 ⇒ 2/12 =r din 1r – 1;


43

3p al treilea ia 1/2 din 2r +1 ⇒ 2/13 =r din 2r – 1;

4p mezinul ia 3r = 1 oaie ( problemă rezolvată ! ). Pasul al III-lea: Rezolvăm 3p : 2r

1/2 din 2r – 1 Deci p = 2 ⇒ 2r = 2p = 4 sau 1/2 din 2r – 1 = 1 ⇒ 1/2 din 2r = 2 ⇒ 2r = 4; descăzutul Rezolvăm 2p : 2/12 =r din 1r – 1 ⇒ 1/2din 1r – 1 = 4⇒ Din demonstraţie 2r = 4 1/2din 1r = 5; 1r ⇒ 1r = 5 · 2 = 10; 5 Rezolvăm 1p :

2/11 =r din a – 1 Din demonstraţie 1r = 10 ⇒1/2 din a –1=10 ⇒1/2 din a =11; a ⇒ a = 11 · 2 = 22; 11

Pasul al IV-lea: Conform notaţiei de la pasul I, tatăl le-a lăsat moştenire 22 de oi :

Ø primul fiu ia 1/2 din 22 oi + 1 oaie = 12 oi ; Ø al doilea fiu ia 1/2 din 10 oi + 1 oaie = 6 oi ; Ø al treilea fiu ia 1/2 din 4 oi + 1 oaie = 3 oi.

p


44

PROBLEME PROPUSE

47. Nişte maimuţe se distrează : 2/7 din ele se caţără prin copaci, 3/5din rest fac tumbe şi mai sunt 4 care aplaudă. Câte maimuţe erau ? 48. Mama a plecat la cumpărături având o anumită sumă de bani. Ea a cumpărat cu jumătate din sumă o bluză, iar cu un sfert din suma rămasă o pereche de papuci. Aflaţi suma cu care a plecat mama la cumpărături, ştiind că i-au mai rămas 675 lei.

(O.M., Etapa judeţeană, Vâlcea) 49. Ca să ajungă de la Păuşa la Poiana Stănişoarei un drumeţ a parcurs în prima orǎ 4/7 din distanţǎ. Dupǎ ce a mai parcurs 2/3 din rest mai avea 1 km pânǎ la destinaţie. Care este distanţa de la Pǎuşa la Poiana Stǎnişoarei? 50. Cu trei sferturi din banii pe care îi are, un elev cumpără un stilou. Cu a cincea parte din banii rămaşi cumpără două cărţi a câte 4 lei fiecare. Cât costă stiloul ?

(O.M., Etapa locală, Câmpina, 1990) 51. Surprinşi de o ploaie torenţialǎ, doi excursionişti au înnoptat la o pensiune, la Voineasa. Gospodina a pus la prǎjit pǎstrǎvi pe care i-a pus pe o tavǎ şi a dus-o în camera celor doi oaspeţi. Aceştia însǎ, obosiţi şi plouaţi, au adormit, între timp. Femeia nu i-a mai trezit şi lǎsând tava pe masǎ s-a retras. Peste noapte, unul din ei s-a trezit, a mâncat jumătate din numărul pǎstrǎvilor şi s-a culcat. Peste un timp s-a trezit si celǎlalt şi crezând cǎ el e primul, a mâncat jumǎtate din numǎrul pǎstrǎvilor din tavǎ şi s-a culcat. Au mai rǎmas 4 pǎstravi . Câţi peşti a prǎjit gospodina? 52. Într-un magazin au fost aduse pentru vânzare tricouri. Ştiind că în fiecare zi se vând o treime din tricourile existente la sfârşitul zilei precedente şi că , după 4 zile, au rămas 64 de tricouri, aflaţi câte tricouri au fost aduse ?

(Concursul Interjudeţean „Viitorii matematicieni”, Roman, 31.05.2003) 53. Dacǎ dau drumul la o minge sǎ cadǎ, (fǎrǎ sǎ o arunc) ea sare la o înǎlţime de douǎ ori mai micǎ decât înǎlţimea de la


45

care i-am dat drumul. Dau drumul la o minge şi o las sǎ sarǎ în sus de 3 ori. A treia oarǎ s-a ridicat la 1 m. De la ce distanţǎ i-am dat drumul?

(Eugen Rusu –„ Aritmeticǎ”) 54. Participanţii la o excursie au mers în prima zi 3/11 din drum, a doua zi 7/20 din drumul rămas, a treia zi 15/26 din drumul rămas după cea de-a doua zi şi în a patra zi, ceilalţi 220 km. Câţi km are drumul ?

(Concurs – Şumen, Bulgaria, 1989) 55. Cu ocazia zilei de „8 Martie” Adrian avea sǎ ofere 2/5 din numărul garoafelor mamei şi bunicii, 3/4 din rest doamnei învăţătoare, iar restul surioarei lui. Câte garoafe a cumpărat, ştiind cǎ numărul lor e cel mai mic posibil în condiţiile arătate? 56. Dintr-un bidon cu lapte s-au consumat în prima zi 2/3 din cantitate şi încă 2 litri. A doua zi s-au folosit un sfert din cantitatea rămasă şi încă un litru. Ce cantitate de lapte se afla la început în bidon, dacă a treia zi au mai rămas în bidon 14 litri de lapte ?

(Concurs, Aiud, 1999) 57. Un cioban se duce la târg cu mai multe oi pentru a le vinde. El vinde succesiv : a treia parte din oi, jumătate din ce i-a rămas, o oaie, a treia parte din ce i-a rămas, cinci oi şi se întoarce acasă cu nouă oi. Cu câte oi venise în târg ? 58. În vacanţa de vară o grupă de elevi a organizat o excursie de trei zile cu biciclete. În prima zi ei au mers 1/3 din distanţa totală, fără 2 km. A doua zi au mers jumătate din distanţa rămasă, fără 3 km, iar în a treia zi 8/9 din distanţa rămasă după a doua zi şi încă 6 km. Câţi km au mers elevii în cele 3 zile ?

(Concurs, Varna – Bulgaria, 1987) 59. Cu ocazia zilei de naştere Simona a primit o pungǎ cu bomboane. Dupǎ ce a mâncat una, a dat jumǎtate din ce i-a rǎmas lui Adrian. Acesta a mâncat una şi i-a dat Alexandrei 1/3 din ceea ce îi rǎmǎsese. Ştiind cǎ lui Adrian i-au mai rămas 12 bomboane, aflaţi câte bomboane erau iniţial în pungǎ!


46

60. Un ţăran a vândut mere la patru clienţi : primului 1/3 din cantitatea totală de mere şi încă 32 de mere, celui de-al doilea1/3 din ce i-a rămas şi încă 32 de mere, celui de-al treilea 1/3 din ce i-a rămas după al doilea şi încă 32 de mere, iar celui de-al patrulea 1/3 din ce i-a rămas după al treilea şi ultimele 32 de mere. Câte mere a cumpărat fiecare client ?

(O.M., Etapa locală, Vâlcea, 2001) 61. În gospodăria părinţilor mei jumătate din numărul păsărilor şi încă o jumǎtate de pasǎre sunt gǎini, jumătate din rest şi încă o jumătate de pasǎre sunt gâşte, jumătate din rest şi încă o jumătate de pasǎre sunt raţe şi-n afarǎ de acestea mai sunt un cocoş şi douǎ curci. Câte pǎsǎri erau de fiecare fel ? 62. Un negustor a trecut prin trei oraşe : în primul oraş i-au luat drept vamă jumătate plus o treime din dahecanii pe care-i avea; în al doilea, jumătate plus o treime din ce i-au mai rămas, iar în al treilea oraş, i-au luat din nou jumătate plus o treime din ceea ce mai avea. Când a ajuns acasă, îi mai rămăseseră 11 dahecani. Câţi dahecani a avut la început negustorul ?

(Anania Şiratki – „Întrebări şi rezolvări”, secolul VII) 63. Membrii cercului „Micii Speologi” au descoperit un perete de stâncǎ pe care cu greu au descifrat:

„Vrei sǎ descoperi intrarea în Peştera Nemaivǎzutǎ ? Ai aici cinci porunci:

1) Vezi la dreapta vreo 5 m spre Nord-Vest, apoi unu unu şi cu altul şi cu trei, legat de patru, dar Nord-Est.; 2) De-acolo continuǎ de douǎ ori tot aşa, dar numai pe jumǎtate; 3) De aici încǎ x ? metri de trei ori, o datǎ spre Nord, apoi spre Est şi continuǎ spre Nord-Est, dar cu 6 m mai mult; 4) Acum stai, te odihneşti şi cu cap sǎ socoteşti: ai parcurs 2/3 din distanţǎ, dar mai ai 2/3 din rest spre est, iar apoi 8 m în stânga ta e bolovanul cu pricina. 5) Citeşte câte sunt şi le socoteşti numai pe-a treia şi pe-a patra.”


47

Dupǎ cum vedeţi, n-au descifrat complet porunca a treia, dar un bun matematician poate afla distanţa de la peretele de stâncǎ la bolovanul ce astupǎ intrarea în peşterǎ. Încercaţi sǎ reconstituiţi traseul şi să aflaţi pe x !

PROBLEME ÎN CARE APAR CEL PUŢIN DOUĂ NECUNOSCUTE

După ce citeşti pentru prima oară o astfel de problemă

gândeşti că este foarte grea, dar, dacă deja ţi-ai însuşit „cheia” „labirinturilor” anterioare, atunci eşti pe drumul cel bun !

Probleme comentate

1. Avem două vase A şi B pline cu apă . Turnăm a treia parte din A în B. Apoi turnăm a treia parte din B în A. După aceste operaţii constatăm că în fiecare vas se află 36 litri de apă. Câţi litri de apă erau iniţial în fiecare vas ?

Rezolvare: Metoda I Mai întâi vom aplica metoda grafică:

Iniţial: reprezentăm cantitatea de apă din vasul A cu trei părţi (ca să putem reprezenta 1/3 din A, iar o parte cu 3a, pentru ca, ulterior, să mai putem calcula încă o dată o treime!): (1) şi analog cantitatea din B: (2) p1: Turnăm a treia parte din A în B: în A a rămas o cantitate reprezentată cu: (3)

3a 3a 3a

1/3 din A

3a 3a

3b 3b 3b


48

şi reprezentăm cantitatea de apă obţinută în B cu trei părţi: (4) p2: Turnăm a treia parte din B în A: În B a rămas o cantitate reprezentată cu: (5) iar în A cantitatea de apă obţinută e reprezentată cu : (6) p3: Am obţinut în A 36 l de apă (7) şi în B, tot 36 l de apă. (8) (problemă rezolvată)

Aplicăm metoda mersului invers: Din relaţiile (5) şi (8), deducem că 3 b + a = 18 l. (9) Din relaţiile (6), (7) şi (9), deducem că 6 a = 36 l – 18 l ⇒ ⇒ 6 a = 18 l ⇒ a = 3 l (10) Din relaţiile (1) şi (10), deducem că 9 a = 27 l , ceea ce înseamnă că, iniţial, în A, erau 27 l de apă. Din relaţiile (9) şi (10) ⇒ 3 b = 15 l ⇒9 b = 45 l, ceea ce înseamnă că, iniţial, în B, erau 45 l de apă. Metoda a II-a Pasul I: Deoarece trebuie să împărţim apa din vasul A în trei părţi egale, notăm cantitatea de apă din A cu 3a .

Fie b cantitatea de apă din B. Pasul al II-lea:

1p Turnăm a treia parte din A în B. În a rămân 2a litri de apă, iar în B vor fi a + b litri de apă;

2p Notăm a + b = 3x (Ca să putem turna a 3-a parte). Turnăm din B în A. În B rămân 2x litri de apă, iar în A vor fi 2a + x litri de apă.

3b + a 3b + a

3a 3a 3b + a

3b+ a

1/3 din (9b + 3a)

3b+ a 3b+ a


49

3p Şi în A şi în B se află 36 de litri de apă ( 3p e problemă rezolvată). Observaţie : Pasul al II-lea poate fi prezentat într-un tabel care are darul de a fi la fel de complet, dar, probabil, e mai sugestiv, e mai u]or de în\eles ]i sigur mai concis :

Pasul al III-lea: Aplicând metoda mersului invers, din 2p ]i 3p deducem : 2x = 36 (1) ]i 2a + x = 36 (2) . Din relaţia (1) ⇒ x =18. Înlocuind în relaţia (2) ⇒ ⇒ 2a +18 =36 ⇒ 2a = 18 ⇒ a = 9 ⇒ 3a = 27. Înlocuind în relaţia dată de 1p :

b + a = 3x obţinem b + 9 = 3 · 18 ⇒ b = 45. Pasul al IV-lea: Conform nota\iilor f`cute la pasul I, ini\ial, în A se aflau 27 litri de ap`, iar în B 45 litri de ap`.

2. Avem trei vase cu apă. Jumătate din apa aflată în primul vas o distribuim în mod egal în celelalte două vase. Apoi, jumătate din apa ce se află acum în al doilea vas o vărsăm, în mod egal, în primul şi respectiv al treilea vas. În sfârşit, turnăm jumătate din apa ce se află în al treilea vas, în mod egal, în primul şi respectiv al doilea vas.

După aceste operaţii constatăm că în primul vas se află 60 litri de apă, în al doilea 36 litri de apă, iar în al treilea 40 litri de apă. Ce cantitate de apă era, iniţial, în fiecare vas, ştiind că orice operaţie este posibilă ?

A B iniţial 3a b

1p 2a b + a = 3x

2p 2a + x 2x

3p 36 36


50

(Ştefan Smărăndoiu, Concursul Naţional „La Şcoala Cu Ceas”, Rm.Vâlcea, 2009)

Rezolvare : Fie A, B şi C cele trei vase.

1p Turnăm jumătate din A, în mod egal, în B şi C. (1)

2p Turnăm jumătate din B, în mod egal, în A şi C. (2)

3p Turnăm jumătate din C, în mod egal, în A şi B. (3)

4p Astfel în A , B şi C se află 60 l, 36 l şi respectiv 40 l de apă. (4) Aplicăm metoda mersului invers: Varianta I: Aflăm ce cantitate de apă era în fiecare vas înainte de a efectua operaţiile din p3 .

Din relaţiile (3) şi (4), deducem că din C s-a turnat jumătate din apă, în mod egal în A şi B şi au rămas 40 l de apă ⇒ în C erau 80 l de apă, iar în A şi B s-au turnat câte 20 l de apă din C. (5)

Din relaţiile (3) şi (4), deducem că că în A erau 40 l, iar în B erau 16 l de apă. (6) Aflăm ce cantitate de apă era în fiecare vas înainte de a efectua operaţiile din p2 .

Din relaţiile (2) şi (6), deducem că din B s-a turnat jumătate din apă, în mod egal în A şi C şi au rămas 16 l de apă ⇒ în B erau 32 l de apă, iar în A şi C s-au turnat câte 8 l de apă din B. (7)

Din relaţiile (5), (6) şi (7), deducem că că în A erau 32 l, iar în C erau 72 l de apă. (8) Aflăm ce cantitate de apă era în fiecare vas înainte de a efectua operaţiile din p1 .

Din relaţiile (1) şi (8), deducem că din A s-a turnat jumătate din apă, în mod egal în B şi C şi au rămas 32l de apă ⇒ în A erau 64l de apă, iar în B şi C s-au turnat câte 16l de apă din A. (9)


51

Din relaţiile (7), (8) şi (9), deducem că că în B erau 16l, iar în C erau 56l de apă. Varianta a II-a:

Se pot da şi alte rezolvări, apelând, parţial, la ajutorul algebrei. Pasul I: Fie A, B şi C cele trei vase.

Fie 4a, b şi c cantitatea de apă ce se află în primul , al doilea şi respectiv al treilea vas. Pasul al II-lea: i) Turn`m jum`tate din A, în mod egal în B ]i C. În A r`mân 2a litri de ap`, iar în B ]i C sunt acum b + a ]i respectiv c + a litri de ap`. Not`m b + a = 4x. ii) Turnăm jumătate din B, în mod egal, în A şi C. În B rămân 2x litri de apă, iar în A şi C sunt acum 2a + x şi respectiv c + a + x litri de apă. Notăm c + a + x = 4y. iii) Turnăm jumătate din C, în mod egal, în A şi B. În C rămân 2y litri de apă, iar în A şi B sunt acum 2a + x + y şi respectiv 2x + y litri de apă. iv) În A , B şi C se află 60 l, 36 l şi respectiv 40 l de apă ( problemă rezolvată din enunţ .)

În acest caz, prezentarea celui de-al doilea pas, în tabel, e şi mai utilă:

A B C iniţial 4a b c

1p 2a b + a = 4x c + a

2p 2a + x 2x c+ a + x = 4y

3p 3p 2a + x+ y 2x + y 2y

4p 4p 60 litri 36 litri 40 litri

A B C final 60 l 36 l 40 l înainte de a turna din C 40 l 16 l 80 l înainte de a turna din B 32 l 32 l 72 l înainte de a turna din A ( iniţial ) 64 l 16 l 56 l


52

Pasul al III-lea: Ca s` ie]im din „labirint” urm`rim „firul Ariadnei”. Ø Din 3p şi 4p deducem egalităţile : 2y = 40 ; 2x + y = 36 şi 2a + x + y = 60.

Rezolvând succesiv, obţinem : y = 20; 2x + 20 = 36 ⇒ 2x = 16 ⇒ x = 8 ; 2a + 8 + 20 = 60 ⇒ 2a = 32 ⇒ a = 16 ⇒ 4a = 64. Ø Înlocuind pe a, x şi y cu valorile găsite în c+a +x = 4y, obţinem c + 16 + 8 = 4 · 20 ⇒ c + 24 = 80 ⇒ c = 56. Ø Înlocuind în relaţia b + a = 4x , obţinem b + 16 = 4 · 8 ⇒ b + 16 = 32 ⇒ b = 16. Pasul al IV-lea: Conform nota\iilor f`cute la pasul I, în A, B ]i C se aflau ini\ial 64 l, 16 l ]i respectiv 56 l de ap`.

PROBLEME PROPUSE

64. 48 de mere se împart în două grămezi. Se iau din prima câte sunt în a doua şi se adaugă la a doua. Se iau din a doua câte au rămas în prima şi se adaugă la prima. Se iau din prima câte au rămas în a doua şi se adaugă la a doua. În urma acestor operaţii, grămezile au acelaşi număr de mere. Câte mere au fost la început în fiecare grămadă ? (O.M. , Etapa judeţeană, Vâlcea, 1992) 65. Avem două vase V1 şi V2. Turnăm din V1 în V2 atât cât conţine V2, apoi turnăm din V2 în V1 atât cât a rămas în V1 ş.a.m.d. După 5 astfel de operaţii în cele două vase rămân câte 64 l de apă. Cât era la început în fiecare vas ? (Artur Bălăucă, Botoşani) 66. În trei lăzi sunt 48 de mere. Mutăm din prima ladă în a doua ladă atâtea mere câte erau în a doua şi apoi, din a doua mutăm în a treia ladă câte erau în a treia. În sfârşit, din lada a treia mutăm în prima ladă atâtea mere câte au mai rămas în ea. Astfel, în cele trei lăzi sunt acum acelaşi număr de mere.

Câte mere erau la început în fiecare ladă? (O.M. , Etapa judeţeană, Dolj, 1998)


53

67. Trei persoane A, B, C joacă un joc de noroc. Jucătorul care pierde jocul plăteşte celorlalţi doi o anumită sumă de bani. Prima dată a pierdut A, iar jucătorii B şi C şi-au dublat sumele iniţiale. Apoi a pierdut B, iar A şi C şi-au dublat sumele de la sfârşitul primului joc. A treia oară a pierdut C, iar A şi B şi-au dublat sumele de până atunci. La sfârşitul jocului s-a constatat că fiecare jucător are 24 de dinari. Ce sumă a avut fiecare jucător la începutul jocului ?

68. Trei persoane joacă împreună : în prima partidă, primul pierde la fiecare din ceilalţi dublul sumei pe care o are fiecare din aceştia. În partida următoare, jucătorul al doilea pierde la fiecare din ceilalţi dublul sumei pe care aceştia o aveau în acel moment. În fine, în a treia partidă, primul şi al doilea jucător câştigă fiecare de la cel de-al treilea exact suma pe care o aveau înainte. După aceea ei se despart şi constată că au toţi aceeaşi sumă şi anume 54 de napoleoni. Să se determine câţi bani a avut fiecare înainte de a începe jocul ?

(după Euler)

RACUL „MAGIC 18” !

a = ?

a


54

a=?

(Iulia Smărăndoiu, studentă, Bucureşti) REZOLVĂRI. INDICAŢII. RĂSPUNSURI

1. a = 39 . 2. Respectând ordinea operaţiilor, se efectuează calculele din paranteze şi acoladă şi obţinem 31600 : x +1000 = 1080; Apoi x = 395 . 3. x = 2 . 4.Efectuând operaţiile obţinem 10 · (x-2860) = 100. Apoi x = 2960. 5. Obţinem succesiv ( ) 4113:7021 =+−+−+ aaaa ⇒ (7a +1) : 13 =41. Aplicând metoda mersului invers ⇒ a = 76. 6. x = 1. 7. x = 1000. 8. Efectuând calculele din membrul drept obţinem ( )[ ]{ } 608:2051817:242 =+⋅++a . Apoi a = 617 ; 9. a) x = 2.

10. x = 1990. 11. x = 20; 12. Efectuând calculele posibile avem : ( ) 141:13:701 =+−++ xxx ⇒ ( ) 141:13:71 =+ x . Aplicând metoda mersului invers ⇒ ( ) 4113:17 =+x ; vezi problema 5; 13. a =2 (vezi problema 3) ; b =1; a·(a+b)= 2·3= = 6 (ordinea operaţiilor) sau a(a + b) = a·a + a·b= 2·2 + 2·1= 6 (distributivitatea înmulţirii faţă de adunare); 14. x = 2; 15. x = 150; 16. n = 6; 17. x = 25; 18. a = 10; 19. Efectuând 5 + 3·7 obţinem ( )[ ] 61)2(:26:20 =+++ aa . Aplicând mersul invers obţinem 4)2(:)26( =++ aa ⇒ ⇒ 26)2(4 +=+⋅ aa . Aplicând metoda grafică, reprezentăm cu o parte a + 2 şi ţinem cont că 24)2(26 ++=+ aa . 4 ( a + 2) O parte este 24 : 3 = 8 ⇒ a + 2 = 8 ⇒ a = 6. 20. Se poate efectua 1505 : 215 = 7 ; x = 116. 21. x = 4. 22. x + y = 2. Nu putem afla pe x şi respectiv y. Dacă ştiam că x şi y ∈ N, atunci aveam 2 soluţii : x = 0 şi y = 2, respectiv x = 2 şi y = 0 ( avem

a + 2

a + 2 24


55

x ≠ y). 23. a = 10. 24. Exerciţiul se aduce la o formă mai simplă : ( )[ ] .136420522:1213 =+−⋅−− a Aplicând mersul invers, obţinem a = 4. 25. x = 29. 26. În membrul drept 1001 : (91 – a · 0) = 1001 : 91 = 11. Din 1001 – (1001 – a) = 11 ⇒ a = 11; 27. x = 2.28. x=1; 29. În paranteza rotundă obţinem 1914 + x. În final x = 87; 30. a = 171. 31. Efectuând calculele posibile obţinem : ( )[ ] 35677:49496 =⋅−−+ a ; a = 7. Observaţie : acoladele din enunţ sunt inutile. 32. x = 168; 33. x = 0. 34. x = 12. 35. a = 3. 36. x = 17. 37. În final obţinem 4595 : x = 1121. Există, dar nu e număr natural. Observaţie : paranteza rotundă din enunţul exerciţiului nu e necesară ! 38. m = 154; 39. x = 2125. Aceeaşi observaţie ca la ex. 36! 40. ( x + 3x) · 2 = 560 . Se poate rezolva şi direct! x = 70. 41. ( )[ ] 44:4-44 =⋅+x ; x = 1. 42. ( )[ ] 16135472615 ⋅=+⋅+⋅+x ; x = 10. 43. Fie z şi l ziua şi respectiv „luna naşterii”. ( )[ ] 3425422 =+⋅+⋅+ lz . Notăm ]42)2[( +⋅+z = t .

Fie U(t) utima cifră a numărului t. Evident că U(5t) ∈{ 0; 5 }. Cazul I : U (5t) = 0 ⇒ U(l) = 2. Deci l = 2 sau l = 12. Dacă l = 2 ⇒ 5t = 340 ⇒ t = 68 ⇒ (z+2) · 2 + 4 = 68 ⇒ ⇒ (z + 2) · 2 = 64 ⇒ z + 2 =32 ⇒ z = 30. Deoarece l =2, adică februarie, nu putem avea z = 30.Dacă l = 12 ⇒ 5t = 330 ⇒ t = 66 ⇒ z = 29 ; S-a născut pe 29 decembrie. Cazul al II-lea :U (5t) = 5 ⇒ U (l) = 7 ⇒ l = 7 , adică iulie ; 5t = 335 ⇒ t = 67⇒ z ∉N, imposibil.Deci copilul s-a născut pe 29 decembrie. 44. 1/5 din 205 = 41;

( )[ ] 19100:42412000 =−+− x ; x = 17; 45. (2n + 2) ·3–3=57 ; n = 9; 46. (2s – 8) · 2 – 8 = 0 ; s = 6 poli ; 47. 14 maimuţe. 48. 1800 lei; 49. 7 km; 50. 120 lei; 51. 16 păstrăvi; 52. 324 de tricouri; 53. 8 m ; 54. 1100 km. 55. 20 de garoafe.56. 66 litri de lapte. 57. 66 de oi. 58. Fie d distanţă totală .

1p : au mers 1/3 din d – 2 km ⇒ 1r = 2/3 din d + 2 km ;


56

2p : au mers 1/2 din 1r - 3 km ⇒ 2r = ½ din 1r + 3 km;

3p : au mers 8/9 din 2r + 6 km ⇒ 3r = 1/9 din 2r - 6 km ;

4p : problemă rezolvată : 3r = 0 km. Deci 1/9 din 2r = 6 km, etc. d =150 km. 59. Fie b numărul bomboanelor din pungă.

1p : Simona mănâncă o bomboană ⇒ rămân b – 1 = 2x Îi dă lui Adi x şi rămâne şi ea cu x.

2p : Adi mănâncă o bomboană ⇒ rămân x – 1 = 3y Îi dă Alexandrei y bomboane ⇒ rămâne cu 2y bomboane

3p : Adi rămâne cu 12 bomboane. Succesiv, în ordine inversă, y = 6 ; x = 19 ; b = 39. 60. 390 de mere. 61. La prima vedere e imposibilă. Dar, ...fie x numărul păsărilor.

1p : 1/2 din x + 1/2 ; sunt găini ⇒ 1r = 1/2 din x -1/2 ;

2p : 1/2 din 1r + 1/2 ; sunt gâşte ⇒ 2r = 1/2 din 1r -1/2;

3p : 1/2 din 2r + 1/2; sunt raţe ⇒ 3r = 1/2 din 2r -1/2;

4p : Din enunţ 3r = 3 ( un cocoş şi două curci). În final : 16 găini, 8 gâşte, 4 raţe şi bineînţeles un cocoş şi două curci. 62. Fie 6 s suma iniţială a negustorului.

1p : vamă 3s + 2s ⇒ 1r = s = 6y ;

2p : vamă 3y + 2y ⇒ 2r = y = 6z ;

3p : vamă 3z + 2z ⇒ 3r = z ;

4p : i-au rămas 11 dahecani. Succesiv : z = 11, y = 66, s = 396 , 6s = 2376. Conform notaţiei, a avut 2376 dahecani. 63. A cincea poruncă spune să iei în calcul doar poruncile a treia şi a patra. x metri spre N x metri spre E = 2/3 din distanţă ⇒ 1r =1/3 din distanţă x+6 metri spre N-E 2/3 din 1r spre est ⇒ 2r =1/3 din 1r ; r2 = 8 m ; Succesiv:


57

1r =24 m , d =72 m ; 2/3 din d = 48 m ; x =14m. 64. Iniţial erau în total 48 de mere. În final , în fiecare vor fi 24 de mere.

Grămada 1 Grămada 2 iniţial a b

1p a – b = x 2b

2p 2x 2b – x = y

3p 2x – y 2y

4p 24 mere 24 mere Succesiv : y = 12 ; 2x – 12 = 24 ⇒ x = 18 ; 2b – 18 = 12 ⇒ b = 15 , a = 33. Deci erau 33 mere şi respectiv 15 mere. 65.

Erau 84 l şi respectiv 44 l de apă. 66.

Iniţial erau 22 , 14 şi respectiv 12 mere.

1V 2V iniţial x y

1p x –y = z 2y

2p 2z 2y – z = t

3p 2z – t = u 2t

4p 2u 2t – u

5p 64 64

A B C iniţial a b c

1p a – b = x 2b

2p 2b - c 2c

3p 2x 2c – x

4p 16 16 16


58

67.

Iniţial erau 39, 21 şi respectiv 12 dinari. 68.

A B C

iniţial a b c

1p a–2b –2c = x 3b 3c

2p 3x 3b–2x –6c = y 9c

3p 6x 2y 9c - 3x – y

4p 54 54 54

Succesiv : x = 9 ;y = 27 ; c = 12 ; b = 39 ; a = 111. Iniţial aveau 111; 39 şi respectiv 12 napoleoni.

A B C

iniţial a b c

1p a–b –c = x 2b 2c

2p 2x 2b–x–2c =y 4c

3p 4x 2y 4c - 2x – y

4p 24 24 24


59

RACUL „MAGIC 18” ! a = 3 ;

3

Documents

CURIOZITATI ARITMETICE