Progresii Aritmetice Si Geometrice

Prof. Daniel Prutescu [PROGRESII ARITMETICE SI PROGRESII GEOMETRICE]

PROGRESII ARITMETICE

Definitie : Sirul 1n n

a

pentru care fiecare termen al sau, incepand cu al 2-lea, se obtine din

precedentul prin adugarea aceluiasi numar r se numeste progresie aritmetica.

Faptul ca un sir 1n n

a

este o progresie aritmetica se noteaza astfel : 1 2 3 , , ,..., ,...na a a a

Numarul r se numeste ratie.

(relatie de recurenta)

Sirul *n na

este progresie aritmetica de ratie r , daca 2n avem

1n na a r

(diferenta dintre oricare 2 termeni consecutivi este constanta)

(monotonia)

Sirul *n na

este :

strict crescator, daca 0r

strict descrescator, daca 0r (formula termenului general)

1 1na a n r , 1n

Sirul *n na

este orice termen, incepand cu al doilea, este medie aritmetica a termenilor vecini

lui.

1 1

2

n n

n

a aa

, 2n .

sau 2

n k n k

n

a aa

, 2,1n k n

Daca 1 2 3 1, , ,..., ,n na a a a a

sunt in atunci

1 2 1 1... , 1,n n k n ka a a a a a k n (suma oricaror 2 nr. egal departate de extremele

1k n ka a este egala cu suma extremelor 1 na a )

(suma primilor termeni)

1

1 2 3 1...2

n

n n n

a aS a a a a a n

Sau 12 1

2n

a n rS n

, 1n

(diferenta a 2 termeni oarecare)

k pa a k p r , , 1k p

(termenul general na )

1n n na S S , 2n

OBSERVATII:

o Daca , , 2

a ca b c b

o , , , 2

a ca b c d b

si

2

b dc

, cu conditia ca a d b c

o Trei termeni numere consecutive ai unei progresii aritmetice se pot scrie , , a r a a r

o Patru termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice se pot scrie 2 ; ; ; a r a r a a r

PROGRESII GEOMETRICE

Definitie : Sirul 1n n

b

cu 1 0b pentru care fiecare termen al sau, incepand cu al 2-lea, se obtine

din precedentul prin inmultirea cu acelasi nr. 0q se numeste progresie geometrica.

Faptul ca un sir 1n n

b

este o progresie geometrica se noteaza astfel : ..1 2 3.., , ,..., ,...nb b b b

Numarul q se numeste ratie.

(relatie de recurenta)

Sirul *n nb

este progresie geometrica de ratie q , daca 2n avem

1n nb b q

(raportul dintre oricare 2 termeni consecutivi este constant)

(monotonia)

Sirul *n nb

este :

strict crescator, daca 1 0 si 1b q

sau daca 1 0 si 0;1b q

strict descrescator, daca 1 0 si 0;1b q

sau daca 1 0 si 1b q

- in plus, spunem ca sirul este nemonoton daca 1 0 si 0b q

(formula termenului general) 1

1

n

nb b q , 1n

Sirul *n nb

cu termini nenuli este ..

.. orice termen, incepand cu al doilea, este medie geometrica a

termenilor vecini lui. 2

1 1n n nb b b , 2n .

sau 2

n n k n kb b b , 2,1n k n

Daca 1 2 3 1, , ,..., ,n nb b b b b

sunt in ..

..atunci

1 2 1 1... , 1,n n k n kb b b b b b k n (produsul oricaror 2 nr. egal departate de extremele

1k n kb b este egala cuprodusul extremelor 1 nb b )

(suma primilor termeni)

1 2 3 1 1

1...

1

n

n n n

qS b b b b b b

q

(raportul a 2 termeni oarecare)

k pk

p

bq

b

, 1n

OBSERVATII:

o Daca 2..

.. , , a b c b a c

o 2..

.. , , , a b c d b a c si

2c b d , cu conditia ca a d b c

o Trei termeni consecutivi ai unei progresii geometrice se pot scrie ..

.. , ,

bb b q

q


o Patru termeni consecutivi ai unei progresii geometrice se pot scrie 2..

.. ; ; ;

bb b q b q

q

FISE DE LUCRU (progresii aritmetice)

NR. 1

1) Să se determine încă 2 termeni şi formula termenului general, pentru următorul şir definit

descriptiv astfel: 2,22,222,2222,....

2) Fie şirul 1n n

a

cu termenul general 2 2

( 1)n

n na

n n

a) Să se calculeze termenii de rang 1, 2n .

b) Să se precizeze monotonia şirului 1n n

a

.

3) Se dă progresia aritmetică 1n n

a

, cu 1 3a şi 2r .

a) Să se scrie termenii 2 10,a a .

b) Să se calculeze 100S .

4) Progresia aritmetică 1n n

a

de raţie r este definită de anumite elemente date. Determinaţi,

in fiecare din cazurile date, elementele cerute:

a) 3 8a şi

10 22a . Calculaţi 1,a r ,

10S .

b) 2 6 4

8 7 4

7

2

a a a

a a a

. Calculaţi

1,a r ,10S .

5) Să se rezolve ecuaţiile:

a) 1 7 13 ... 280x

b) 16 3 ;2 10; 4x x x

6) Cunoscând suma primilor n termeni ai unui şir 1n n

a

, 24 3nS n n

a) Să se determine formula termenului general na .

b) Să se arate ca şirul 1n n

a

este o progresie aritmetică.

7) Să se calculeze 1

3 1n

k

S k

NR. 2


descriptiv astfel: 1,2,4,8,16,....

2) Fie şirul 0n n

a

cu termenul general 22

( 1)n

na

n



a

.


a

, cu 1 2a şi 3r .




a



a) 27 81a şi


10S .

b) 1 7

10 3

42

21

a a

a a

. Calculaţi

1,a r ,10S .


a) 2 5 8 ... 155x

b) 1; 5;2 8x x x


a

, 2 6

6n

n nS



a



2 3n

k

S k

NR. 3


descriptiv astfel: 1,4,9,16,....

2) Fie şirul 0n n

a

cu termenul general 2 1na n



a

.


a

, cu 1 5a şi

1

2r .




a




a) 10 25a şi


10S .

b) 2 7

3 5

2 7 150

3 5 94

a a

a a

. Calculaţi

1,a r ,10S .


a) 1 4 7 ... 28 155x x x x

b) 2 1;3 2;4 3x x x


a

, 23 8nS n n



a



4 1n

k

S k

NR. 4


descriptiv astfel: 1, 2, 3, 4,....

2) Fie şirul 0n n

a

cu termenul general 6

5 1n

na

n



a

.


a

, cu 1

1

3a şi 3r .




a



a) 7 81a şi


10S .

b) 5 2 10

3 5

2 3 42

112

a a a

a a

. Calculaţi

1,a r ,10S .


a) 2 1 2 5 2 9 ... 2 37 210x x x x

b) 11 4;7 3;2 1x x x


a

, 2 2nS n n



a



2n

k

S k

FISE DE LUCRU (progresii geometrice)

NR. 1

1. Se considera sirul cu termenul general 1n n

b

, cu 14n

nb . Stabiliti daca

acest sir este o progresie geometrica. 2. Să se determine încă 2 termeni şi formula termenului general, pentru

următoarea progresie geometrică definită descriptiv astfel:

2,10,50,250,....Precizaţi raţia şi termenul de rang 3 .

3. Se dă progresia geometrică 1n n

b

, cu 1 3b şi 2q .

a) Să se scrie termenii 2 10,b b .


4. Progresia geometrică 1n n

b

de raţie q este definită de urmatoarele elemente

3 8b şi 7 32b . Calculaţi

1,b q .

5. Arătaţi că dacă numerele , ,a b c sunt în progresie geomerică atunci şi numerele 2 2

, ,a c

bc a

se află, de asemenea în progresie geometrică.

6. Să se calculeze: a) 4

1

1

3

k

k

S

b) 31 2

3 4 5 2

... n

n

b bb bT

b b b b

, ştiind că şirul 1n n

b

este o progresie

geometrică. 7. Calculati suma compusa: 1 3 5 2 1

2 4 6 ... 2n

nS a a a na

a a a a

NR. 2

1. Se considera sirul cu termenul general

1n nb

, cu

1 1b si 1

8

5

nn

bb

.

Calculati 2 3,b b si aratati ca acest sir nu este o progresie geometrica.

2. Să se determine încă 2 termeni şi formula termenului general, pentru următoarea

progresie geometrică definită descriptiv astfel: 22, ,32,128,....b Precizaţi raţia şi

termenul de rang 3 .



b

, cu 1 2b şi 3q .




b


2 4

1 3

60

20

b b

b b

. Calculaţi q .

5. Să se afle x pentru care următorii termeni se află în progresie geometrică:

..1;2 3; 2x x

6. Să se calculeze: a)

2 3 4

1 1 1 11

3 3 3 3S

b) 2 3 3 4 11 2

2 3 3 4 4 5 1 2

... n n

n n

b b b b b bb bT

b b b b b b b b

, ştiind că şirul

1n nb

este o progresie geometrică. 7. Calculati suma compusa: 2 2 11 2 ... 2 n n

nS n n x n x x x

NR. 3

1. Se considera sirul cu termenul general

1n nb

, cu

1 2b si 1

8

5

nn

bb

.

Calculati 2 3,b b si aratati ca acest sir poate fi o progresie geometrica.Precizati ratia

2. Să se determine încă 2 termeni şi formula termenului general, pentru următoarea

progresie geometrică definită descriptiv astfel: 1,6,12,24,....b Precizaţi raţia şi

termenul de rang 3 .


b

, cu 1 2b şi 3q .




b


1 2

2 3

8

12

b b

b b

. Calculaţi q .

5. Să se afle x pentru care următorii termeni se află în progresie geometrică:

.. 53; 1;

3x x

6. Să se calculeze:

a) 2 3 4 5

1 1 1 1 1

3 3 3 3 3S

b)

2 2 2

1 2

1 1 1...

n

Tb b b


b

este o prog. geometrică.

7. Sa se rezolve ecuatia :

5 13 21 ... 588x

NR. 4

1. Se da sirul cu termenul general

1n nb

,

22

3

n

nb . Determinati 1b si ratia,

stiind ca este o progresie geometrica. 2.

Fie progresia geometrică dată de 1

1

2b si 2q . Precizaţi termenii de rang

3 si 3n


b

, cu 1 2b şi 3q .




b


4 192b şi 1 3b . Calculaţi q .

5. Să se afle , ,a b c in progresie geometrica pentru care avem 7a b c si 2 2 2 21a b c


2 3 4 5

1 1 1 1 11

2 2 2 2 2S

b) 1 2 2 3 3 4 1... n nT bb b b b b b b , ştiind că şirul

1n nb

este o

progresie geometrică. 7.

Calculati suma :

1 21 1 1

1 1 ... 1

n

nSa a a

NR.5

1. Se da sirul cu termenul general

1n nb

,

3

2n n

b . Determinati 1b si ratia, stiind

ca este o progresie geometrica. 2.

Fie progresia geometrică dată de 1

1

2b si 2q . Precizaţi termenii de rang

2 si 2 1n

3. 1) Se dă progresia geometrică 1n n

b

, cu 1 2b şi 2q .





b


6

8 2b şi 2 1b . Calculaţi q .

5. Să se afle , ,a b c in progresie geometrica pentru care avem 26a b c si

1, 6, 3a b c


10

5

2

k

k

S

b) 2 3 3 4 11 2

2 3 3 4 4 5 1

... n n

n n

b b b b b bb bT

b b b b b b b b

, ştiind că şirul

1n nb

este o progresie geometrică. 7. Sa se rezolve ecuatia : 1 4 7 ... 117x

NR. 6

1. Sa se arate ca urmatoarele numere nu pot fi termenii ai unei progresi geometrice

8, 6,2

2. Fie progresia geometrică dată de 1 2b si 2q . Precizaţi termenul de rang 2 si

calculati 1 2 3 6...P b b b b


b

, cu 5 24b şi

6 96b .

a) Să se scrie 4,q b .



b


6 4

5 4

32

16

b b

b b

. Calculaţi

1,b q .

5. Arătaţi că dacă numerele , ,a b c sunt în progresie geometrică atunci şi numerele

,1,a c

b b se află, de asemenea în progresie geometrică.


0

2

3

k

k

S

b) 31 2

2 4 6 2

... n

n

b bb bT

b b b b , ştiind că şirul

1n nb

este o progresie

geometrică. 7. Sa se calculeze :

2 11 2 2 3 2 ... 1 2

n nA n

NR. 7

1. Sa se arate ca urmatoarele numere pot fi termenii ai unei progresi geometrice

53, 5,

3

2. Fie progresia geometrică dată de 1 5b si 2q . Precizaţi termenul de rang 2 si

calculati 1 2 5...P b b b


b

, cu ratia pozitiva si 3 24b şi

5 96b .

a) Să se scrie 4,q b .



b


5 1

4 2

160

48

b b

b b

. Calculaţi

1,b q .

5. Arătaţi că dacă numerele ,1,

a c

b bsunt în progresie geometrică atunci şi numerele

, ,a b c se află, de asemenea în progresie geometrică.


0

3

2

k

k

S

b) 31 2

2 4 6 2

... 1n n

n

b bb bT

b b b b , ştiind că şirul

1n nb

este o

progresie geometrică. 7. Sa se calculeze :

2 11 2 3 3 3 ... 3nA n NR. 8

1. Se considera sirul cu termenul general 1n n

b

, cu 4 1n

nb . Stabiliti daca

acest sir este o progresie geometrica. 2. Să se determine încă 2 termeni şi formula termenului general, pentru următoarea

progresie geometrică definită descriptiv astfel: 1,3,9,27,....Precizaţi raţia şi

termenul de rang 2 . 3. Se dă progresia geometrică

1n nb

, cu

1 3b şi 2q .




b


1 2b şi 2 8b . Calculaţi 3,q b .

5. Arătaţi că dacă numerele , ,a b c sunt în progresie geometrică atunci şi numerele

, ,ab ac bc se află, de asemenea în progresie geometrică.

6. Să se calculeze:


a) 6

2

1

2

k

k

S

b) 31 2

2 3 4 1

... n

n

b bb bT

b b b b


b

este o progresie

geometrică. 7. Calculati suma compusa:

1 1 1 1

3 5 ... 2 13 6 12 3 2

n nS a a a n a

ADMITERE ASE - PROBLEME GRILA

1. Fie sirul 1n n

x

care formeaza o progresie aritmetica cu 1 3x si ratia in * . Daca

1 1

1, , 2

n

n

k k k

a n nx x

si daca 1

lim5

nn

a

, atunci 62x este:

A. 64 B. 125 C. 186 D. 247 E. A,B,C,D toate false

2. Fie sirul 1n n

a

de numere strict positive care formeaza o progresie aritmetica cu 1 3a . Daca

1 1 2

1n

n

k k k k

Sa a a

si daca 1

lim60

nn

S

, atunci valoarea lui *n pentru care

123na este:

A. 81 B. 25 C. 40 D. 21 E. 61

3. 1 2 3, , , ,k k k k

n n n nA n k C C C C sunt termenii consecutivi ai unei pregresii

aritmetice , si fie m numarul elementelor lui A . Decideti:

A. A B. 1m C. 2m D. 3m E. 4m

4. Fie sirul 1n n

a

de numere naturale ai carui termeni formeaza o progresie aritmetica cu 1 1a .

Fie *m astfel incat 1 2 2 3 1

1 1 1 4...

5m ma a a a a a

. restul impartirii lui

m la 16 este:

A. 1 B. 7 C. 5 D. 8 E. 3

5. Fie sirul 1n n

a

care formeaza o progresie aritmetica in care1 1a si ratia r si fie

1n nb

sirul care formeaza o progresie geometrica in care1 1b si ratia q , cu 1q .

Daca1

nk

n

k k

a

b

, aflati lim nn

l

A. 0l B.

2

1

r q ql

q

C.

2

1

1

r q ql

q

D.

21

r ql

q

E.

1

r q ql

q

6. Fie , , 2,M n k n n n k sunt termenii consecutivi ai unei pregresii

aritmetice si fie m numarul elementelor lui M . Atunci:

A. M B. 1m C. 2m D. 3m E. 4m

7. Fie sistemul

2

2

1

1 1 2 ,

2 2 2 1 3

x y z

x y z

x y z

cu , ,x y z solutia sistemului

pentru \ 0,1 si 2S x y z . Se considera tripletele 1

1, ,1

xt x y

y y

;

2 , , 11

yt x z

z

; 3 , ,t y x z y x z ; 4 , ,

1

x y zt

y z x

;

5 , ,1

yt y z x

z

. fieT tripletul ai carui termeni sunt in progresie aritmetica. Atunci:

A. 5S B. 0S C. 1S D. 5S E. 25S

A. 1T t B. 2T t C. 3T t D. 4T t E. 5T t

8. Fie sirul 1n n

a

o progresie aritmetica cu * *0, , , ,na n p q p q astfel incat

21 2

2

1 2

...

...

p

q

a a a p p

a a a q q

. Daca

p

q

a

a , atunci

A. p

q B.

1

1

p

q

C.

2 1

2 1

p

q

D.

2

2

1

1

p

q

E.

2 1

2 1

p

q


9. Fie ecuatia 3 23 0x x cx d ale carei radacini le notam1 2 3, ,x x x . Fie M multimea

perechilor ,c d cu proprietatea ca 1 2 3, ,x x x sunt in progresie aritmetica , iar

1 2 31, 1, 1x x x sunt in progresie geometrica si fie k numarul elementelor lui M . Decideti:

A. M B. 1k C. 2k D. 3k E. M este infinita

10. Se considera binomul lg 10 3 2 lg35

2 2x

n

x

. Stiind ca al 6-lea termen al dezvoltarii

binomului este egal cu 21si cooeficientii termenilor de rang doi, trei si patru sunt respective

primul, al 3-lea si al 5-lea termen al unei progresii aritmetice, atunci:

A. 1;2x B. 0;2x C. 1;2x

D. 3x E. 1x

11. Suma numerelor divizibile cu 12 cuprinse intre 100 si 1000 este:

A. 28500 B. 42000 C. 41500 D. 41000 E. 41400

12. Fiind data o progresie aritmetica in care sunt indeplinite simultan urmatoarele conditii:

a. Suma primilor 4 termeni este 40

b. Suma ultimilor 4 termeni este 104 ;

c. Suma tuturor termenilor este 216 ;

Primul termen si ratia sunt:

A. 1 7

2

a

r

B. 1 5

2

a

r

C. 1 7

3

a

r

D. 1 4

7

a

r

E. 1 4

8

a

r

13. Daca 1 2 3, , ,..., pS S S S sunt sumele primilor n termeni ale unor progresii aritmetice, avand primii

termeni 1,2,3,..., p si ratiile corespunzatoare1,3,5,... , atunci suma1 2 3 ... pS S S S S

este:

A. 1S n p

B. S np

C. 12

npS np

D. 2

npS

E. 1S np

14. Daca 1 2 3, , ,..., na a a a este o progresie aritmetica, atunci

2 1 2

2 2 2 2 2 2

1 2 3 4 ...k k

S a a a a a a

este:

A. 2 2

1 2

1

2 1kS a a

k

B. 2 2

1 2

2 1k

kS a a

k

C. 2 2

1 22 1

k

kS a a

k

D. 2 2

1 2

1

2kS a a

k E. 2 2

1 2

2

2 1k

kS a a

k

15. Daca , ,x y z au simultan proprietatile:

a. , 4,x y z sunt in progresie aritmetica

b. , ,x y z sunt in progresie geometrica

c. , 4, 32x y z sunt in progresie geometrica, atunci:

A.

6

2

18

x

y

z

B.

18

6

2

x

y

z

C.

2

6

18

x

y

z

D.

2

9

10

9

50

9

x

y

z

E. C Sau D

16. Se considera expresia 3 24 12 11 3,S x x ax x a . Ecuatia 0S x are

radacinile in progresie aritmetica pentru:

A. 2 10

1,4

a

B. 2 10

1,4

a

C. 2 10

1,4

a

D. 2 10

2,4

a

E. 1 10

2,4

a

17. Fie 1n n

b

un sir de numere reale cu proprietatea ca pentru 3k este satisfacuta

relatia1 25 6 0k k kb b b . Fie n numarul sirurilor care, pentru

1 0b dat sunt progresii

geometrice, 1 2 3, , ,..., nS S S S sumele primilor 5 termeni ai acestor progresii geometrice pentru

1 1b si1

n

i

i

S S

. stabiliti daca:

A. 1n B. 2n C. 3n D. 4n E. n


A. 120S B. 31S C. 121S D. 152S E. 169S

18. Fie , 3n n si 1 2 3, , ,..., na a a a primii n termeni ai unei progresii geometrice,

cu 0 , 1,ka k n . Daca1 2 1 2 3

1 1

1, , ...

n n

k n

k k k

s a s P a a a aa

, atunci:

A. 1

2

sP

s B. 1

2 1

n

n n

sP

s s

C. 1

2

n

sP

s

D. 1

2

n

sP

s

E.

1

2

1

n

sP

s

19. Fie S suma primilor 40 de termini ai unei progresii aritmetice 1n n

a

in care are loc relatia:

7 12 22 41 40a a a a . Atunci:

A. 120S B. 315S C. 605S D. 400S E. 342S

20. Fie 1n n

b

o progresie geometrica cu ratia q si *

1

2 1,n

n

k

k

b n

. Daca11T q b ,

atunci:

A. 1200T B. 1000T C. 1026T D. 1256T E. 914T

21. Fie 1n n

a

o progresie aritmetica, cu ratia nenula si *

1

,p

p k

k

S a p

. Daca suma primilor

n termeni este jumatate din suma urmatorilor n termeni si 3n

n

S

S , atunci:

A. 6 B. 5 C. 2 D. 3 E. 4

22. Fie 1n n

a

o progresie aritmetica avand 1 1a si ratia 0r . Daca

2001

1 1

1

k k k

Sa a

, atunci:

A. 2001

2002 1S

r

B. 1

2002

rS

C. 2001

2001 1S

r

D. 2002

2002 1S

r

E. 2002

2002 1S

r

23. Daca numerele , , sunt in progresie aritmetica de ratie r , iar , 2, 12 sunt in

progresie geometrica de ratie 1r , atunci:

A.

1

4

7

B.

1

2

3

2

5

2

C.

3

4

5

D.

2

4

6

E.

1

3

5

24. Daca S este suma numerelor naturale impare cuprinse intre 2 5 6n n si

2n n ,

unde , 4n n , atunci:

A. 3 23 9 15 9S n n n

B. 3 23 6 5 9S n n n

C. 3 22 3 6 7S n n n

D. 3 22 3 6 7S n n n

E. 3 23 2 7 8S n n n

25. Fie 1 2 9, ,...,a a a primii 9 termeni ai unei progresiii geometrice cu termeni pozitivi, in care

3a si

5a sunt respectiv cea mai mica sic ea mai mare radacina a ecuatiei

4 4

11 log 3 2 log 1 10 11

2x x . Daca

9

1

n

k

S a

, atunci:

A. 242 80 3

3S

B.

242 80 3

3S

C.

243 3 7

9S

D. 243 3 7

9S

E.

245

1 3S

26. Se considera progresia aritmetica *n nb

astfel incat

3 6 9 90b b b . Daca11

1

k

k

b

, atunci:

A. 90 B. 330 C. 225 D. 180 E. 495

27. Fie ori

4 42 422 ... 422...22n

S unde numerele sunt scrise in baza10 . Daca

2138 10 416

81S

, atunci:

A. 11n B. 16n C. 20n D. 18n E. 14n


28. Se considera numerele reale pozitive , 1,9ix i in progresie aritmetica de ratie 0r . Daca

3 3 1 3 2

2 2 2

3 1 3 2 3

1 1 1

, 1,3j j j j

j j j

y x x x j

x x x

si

1 3 2 31 2

3 1 3 2 2 1 2 3 1 2 1 3

y y y yy yT

y y y y y y y y y y y y

, atunci:

A. 1T B. 3T C. 2T r D. 1T r E. 3 22 3 3T r r r

29. Se considera 1n n

a

progreasia aritmetica de ratie 4r si1 2a , iar

1n nb

progresia

geometrica de ratie 2q si1 1b . Daca

2007

1

k

k k

aS

b

, atunci:

A. 2006

803412

2S B.

2005

802616

2S C.

2007

806413

3S

D. 72

403815

5S

E. 27S

30. Se considera sistemul 2 , ,

2 2 1

x y z a

x y z b a b

x y

astfel incat , ,x y z sunt in progresie

aritmetica (in aceasta ordine).Atunci:

A. 0a b

B. 2 1 0a b

C. 2 2 0a b

D. 2 0a b

E. 1 0a b

31. Se considera 1n n

a

progreasia aritmetica de ratie r si1 2a , iar

1n nb

progresia geometrica

de ratie q si1 1b . Calculati in functie de , ,n r q suma

1

nk

k k

aS

b

. In particular pentru

2005; 4; 2n r q , avem:

A. 2004

803412

2S B.

2004

802616

2S C.

2007

806413

3S

D. 72

403815

5S E. 2004

802612

2S

32. Fie 2 2006

1 1 1 ... 1S i i i . Sa se calculeze 2

T S :

A. 20072 B. 2007 10042 2 C. 20072 1 D. 2007 20042 2

E. 2007 10042 2 1

33. Fie *,a b astfel incat , 0a b a b . Calculati valoarea expresiei

2

2

2

2

1 ...

, ,

1 ...

n

n

n

n

a a a

b b bE a b nb b b

a a a

:

A. , ,

na

E a b nb

B. , , 1E a b n

C. , ,

nb

E a b na

D. , ,E a b n n E. , ,

aE a b n

b

34. Se considera progresia aritmetica *n na

cu

1 2a si suma primilor n termeni 2

nS n bn c .

Daca lim2 1

n

n

a

n

, atunci:

A. e B. 3 e C. 1

e D.

3

1

e E. e

Raspunsuri :

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. D

19. D 20. C 21. A 22. C 23. D 24. A 25. B 26. 27. C

28. A 29. A 30. B 31. E 32. E 33. A 34. C

BACALAUREAT (M1) - 2008

1) (v 1/s I/e 1) Sa se determine numarul natural n din

egalitatea1 5 9 ... 231n .

2) (v 6/s I/e 1) Sa se calculeze suma tuturor numerelor de doua cifre care se divid cu

11

3) (v 11/s I/e 1) Sa se determine

,a b stiind ca numerele 2, ,a b sunt in progresie

geometrica si 2,17,a sunt in progresie aritmetica.

4) (v 12/s I/e 1) Sa se calculeze suma primilor

20 de termeni ai unei progresii

aritmetice

1n na

, stiind c

a 4 2 4a a si 1 3 5 6 30a a a a

5) (v 22/s I/e 1) Sa se calculeze 2 101 ...i i i

6) (v 32/s I/e 1)

Se considera numarul real 2 2008

1 1 11 ...

2 2 2S . sa se


demonstreze ca 1;2s

7) (v 37/s I/e 1) Sa se calculeze suma 1 4 7 ... 31

8) (v 42/s I/e 1)

Sa se calculeze partea intreaga a numarului 2 3

1 1 11

3 3 3S

9) (v 46/s I/e 1) Fie o progresie aritmetica

1n na

. Stiind ca

3 19 10a a , sa se

calculeze 6 16a a

10) (v 60/s I/e 1) Sa se arate ca 2 8 92 1 3 3 ... 3 3

11) (v 61/s I/e 1) Sa se determine x stiind ca 1;1 ;4x x sunt in progresie

aritmetica.

12) (v 62/s I/e 1) Sa se determine 0x stiind ca ;6; 5x x sunt in progresie

geometrica.

13) (v 65/s I/e 1) Sa se determine primul termen al progresiei aritmetice 1 2, ,13,17,...a a

14) (v 67/s I/e 1) Sa se determine primul termen al progresiei geometrice cu termini

pozitivi 1 3,6, ,24,...b b

15) (v 77/s I/e 1) Se considera progresia aritmetica de ratie 2r cu

3 4 8a a . sa se

determine 1a

16) (v 90/s I/e 1) Se considera progresia aritmetica

1n na

de ratie 3r . Stiind ca suma

primilor 10 de termeni ai progresieii este 150 , aflati 1a

17) (v 90/s I/e 1) Numerele reale pozitive , , ,a b c d sunt in progresie geometrica. Stiind

ca 7d a si 2c b , sa se afle ratia progresiei.

18) (v 96/s I/e 1) Fie , ,a b c numere natural nenule in progresie geometrica. Stiind ca

a b c este un numar par, sa se arate ca numerele , ,a b c sunt pare.

BACALAUREAT (M2) – 2008

1) Să se determine valorile reale pozitive ale numărului x , ştiind că

3lg , , lg

2x x sunt trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

2) Să se determine al zecelea termen al şirului 1,7,13,19,... .

3) Să se calculeze suma primilor 5 termeni ai unei progresii aritmetice

1n n

a

ştiind că 1 1a şi 2 3a

4) Să se demonstreze că pentru orice x nr.

13 1;3 ;5 3 1x x x sunt termeni consecutivi într-o progresie

aritmetică.

5) Să se calculeze suma 1 5 9 13 ... 25

6) Să se determine al nouălea termen al unei progresii geometrice, ştiind

că raţia este egală cu 1

3 şi primul termen este 243.

7)

Să se calculeze suma 2 3 4

1 1 1 11 .

3 3 3 3

8) Să se determine numărul real x , ştiind că 12 1;4 ;2 3x x x sunt trei

termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

9) Să se determine numărul real x , ştiind că 3;4; 3x x , 4, 3x sunt

trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

10) Să se calculeze suma 1 3 5 7 ... 21

11) Se consideră progresia aritmetică

1n na

în care

3 5a şi 6 11a . Să

se calculeze 9a .

12) Să se calculeze suma 2 3 71 2 2 2 .. 2 .


1n na

în care

1 1a şi 5 13a . Să

se calculeze 2008a .

14) Să se determine raţia unei progresii aritmetice

1( )n na , ştiind că

10 2 16a a .


1( )n na în care

1 2a şi 2 4a . Să

se calculeze suma primilor 10 termeni ai progresiei.

16) Se consideră progresia geometică

1( )n nb în care

1 2b şi 2 6b . Să

se calculeze 5.b

17) Să se determine numărul real x , ştiind că şirul 1,2 1,9,13,...x este

progresie aritmetică.


1( )n na în care

1 6a şi 2 5a . Să

se calculeze 7a .


1( )n na în care

2 5a şi 3r . Să se

calculeze 8a .

20) Se consideră progresia geometrică

1( )n nb în care

1 1b şi 2 3b . Să

se calculeze 4 .b


1( )n na în care

1 7a şi 2 37a . Să


22) Se consideră progresia aritmetică 1( )n na în care 1 3a şi 3 7a . Să


23) Să se calculeze suma 1 11 21 ... 111

24) Să se determine numărul real x ştiind că numerele 1;2 3; 3x x x

sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

25) Să se determine numărul real pozitiv x ştiind că şirul 1; ; 2;8x x este

progresie geometrică.

26) Să se determine suma primilor 6 termeni ai progresiei aritmetice

1( )n na , în care

1 2a şi 2 5.a


27) Să se determine numărul real x ştiind că numerele 5 ; 7;3 11x x x

sunt termenii consecutivi ai unei progresii geometrice.

28) Să se arate că numerele 1

2 3log 2; ;5C sunt termeni consecutivi ai unei

progresii aritmetice.

29)

Să se determine suma primilor trei termeni ai unei progresii geometrice, ştiind că suma primilor doi termeni ai progresiei este egală cu 8, iar diferenţa dintre al doilea termen şi primul termen este egală cu 4.

30) Să se calculeze al cincilea termen al unei progresii aritmetice ştiind că

primul termen al progresiei este 7 şi al doilea termen este 9.

31) Să se determine raţia progresiei geometrice

1( )n nb ştiind că

1 3b şi

2 1 3.b b

32) Să se demonstreze că şirul cu termenul general 2 3,na n verifică

relaţia 1 2,n na a pentru orice *n .

33) Să se arate că numerele 3

31;log 9; 64 sunt termeni consecutivi dintr-o

progresie geometrică.

34) Să se determine numărul real a , ştiind că numerele 22 ;4 1;2a a a

sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

35) Să se determine numărul real x , ştiind că numerele

1; 1;2 1x x x sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

36)

Se consideră funcţia : ,f ( ) 2 3.f x x Să se arate că

numerele 1 ; 0 ; 3f f f sunt termeni consecutivi ai unei

progresii geometrice.


38)

Se consideră funcţia : (0; ) ,f 2( ) log .f x x Să se arate că

numerele 1 ; 2 ; 4f f f sunt termeni consecutivi ai unei progresii

aritmetice.

39) Să se determine al patrulea termen al unei progresii geometrice în

care primul termen este egal cu 16, iar raţia este 1

2

40) Să se determine termenul al patrulea al unei progresii aritmetice

ştiind că primul termen este 2 şi raţia este 3.


42) Să se calculeze suma 2 3 61 2 2 2 .. 2 .


44) Să se calculeze produsul primilor trei termeni ai unei progresii

geometrice, care are primul termen 2 şi raţia egală cu 2.


1;2 2; 3x x x sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.


1; 1;2 5x x x sunt termeni consecutivi ai unei progresii

geometrice.

47)

Să se determine produsul primilor trei termeni consecutivi ai unei

progresii geometrice 1( )n nb ştiind că primul termen este egal cu 1 şi

raţia este 2q

Documents

Progresii Aritmetice Si Geometrice