1

8Dinamica zborului Note de curs

Prelegere 2

Influena Pmntului asupra zborului

Prelegere 2. Influena Pmntului asupra zborului

La acest punct al cursului va fi analizat influena unor termeni secundari, cum ar fi modificarea acceleraiei greutii cu latitudinea i altitudinea precum i influena rotaiei Pmntului asupra traiectoriei.

2.1 Fora de atracie a Pmntului

ntr-o prim aproximaie se poate considera c Pmntul este sferic, pentru determinarea forei de atracie putndu-se scrie:

,

(2.1)

n care:

- masa Pmntului;

- masa aparatului de zbor;

- distana curent de la aparatul de zbor la centrul Pmntului;

- constanta atraciei universale.

Considernd masa aparatului unitar, acceleraia dup direcia razei se poate scrie cu ajutorul funciei poteniale :

,

(2.2)

unde produsul dintre constanta atraciei universale i masa Pmntului are valoarea:.

n realitate Pmntul are forma unui elipsoid cu semiaxa mare , i turtirea , unde este semiaxa mic. n acest caz, dup cum se arat n [L1] potenialul se rescrie ca o serie de polinoame Legendre care depind de latitudinea geocentric :

(2.3)

unde:

; . (2.4)

Fig. 2.1Descompunerea acceleraiei forei de atracie dup direcia radial i direcia polarPentru aceast expresie a potenialului, componentele acceleraiei dup direcia radial i tangenial ( fig. 2.1) sunt:

(2.5)

n continuare este util s se pun n eviden componenta orientat pe direcia polar (N-S) i componenta pe direcia radial (fig.2.1):

(2.6)

Reinnd termenii principali din relaiile anterioare, componentele acceleraiei corespunztoare forei de atracie a Pmntului sunt:

(2.7)

unde primii termeni ai acestor serii rezult din valorile:

; . (2.8)

n acest mod s-au obinut componentele acceleraiei forei de atracie a Pmntului ca funcii de latitudinea geocentric i de distana curent a aparatului de la centrul Pmntului:

,

(2.9)

unde: sunt coordonatele aparatului n triedrul Pmnt, iar raza Pmntului este aproximat cu:

. (2.10)

n continuare, aceste relaii vor fi folosite pentru a gsi componentele acceleraiei greutii proiectate dup axele triedrului Pmnt.

2.2 Acceleraia greutii i acceleraia Coriolis

Dac pentru scrierea ecuaiilor de micare vom considera un sistem neinerial, care se rotete odat cu Pmnt, datorit micrii de rotaie diurne trebuie ca n membrul drept al ecuaiilor de micare s se considere dou acceleraii suplimentare: acceleraia de transport (centrifug), dat de expresia: i acceleraia Coriolis dat de: , unde viteza de rotaie a Pmntului are valoarea: .

Fig. 2.2 Descompunerea acceleraiei centrifuge dup direcia radial i polar

Modulul acceleraiei centrifuge este:

, iar componenta radial i polar, dup cum reiese din figura 2.2, devin:

,

(2.11)

respectiv:

(2.12) Fora centrifug datorat rotaiei Pmntului mpreun cu fora de atracie formeaz fora de greutate , iar acceleraia corespunztoare poart numele de acceleraia greutii . Componentele radiale i polare ale acceleraiei greutii, dac inem cont i de expresiile acceleraiei forei de atracie determinate anterior (2.7), devin:

; . (2.13)

n acest caz, componentele acceleraiei greutii dup axele triedrului legat de Pmnt se obin prin proiectarea celor dou componente determinate anterior dup axele triedrului legat de Pmnt:

; ; , (2.14)

unde s-au notat: - componentele vitezei de rotaie a Pmntului dup sistemul de axe legat de Pmnt, componente date de relaiile:

; ; , (2.15)

n care cele dou unghiuri utilizate sunt: - unghiul de azimut i - latitudinea geocentric.

Pe de alt parte, acceleraia Coriolis este:

,

(2.16)

componentele acesteia n triedrul Pmnt fiind date de:

;;,

(2.17)

unde sunt componentele vitezei aparatului n triedrul Pmnt.

2.3 Legtura dintre triedrul Pmnt i triedrul mobil

Deoarece n final se are n vedere determinarea micrii aparatului n raport cu un observator legat de suprafaa Pmntului, deci de un observator care se rotete odat cu Pmntul, se pornete de la un triedru neinerial, legat de Pmnt care particip la micarea de rotaie diurn a acestuia. Triedrul astfel ales, este un sistem geocentric, cu originea n centrul de mas al Pmntului, neinerial, termenii datorit rotaiei diurne urmnd a fi evideniai separat.

Pentru a ajunge la triedrul mobil al aparatului vom trece printr-o serie de triedre intermediare. Astfel, un prim sistem intermediar este triedrul de start , care este un sistem geodezic, cu axa orientat n exteriorul elipsoidului, perpendicular pe suprafaa acestuia (fig.2.3). Att triedrul Pmnt ct i triedrul de start, participnd la micarea de rotaie a Pmntului sunt triedre neineriale. Deoarece ulterior vom introduce coreciile cu acceleraia Coriolis, iar pentru acceleraia gravitaional vom inut cont de componenta centrifug, vom putea realiza integrarea ecuaiilor dinamice de micare in triedrul Pmnt ca n cazul unui triedru inerial, dup cum vom arta n prelegerea 3. Dup cum arat [L1], dac notm cu unghiul dintre normala geodezic i normala geocentric:

,

(2.18)

i cu unghiul de azimut, legtura dintre triedre triedrul Pmnt i triedrul de start devine:

.

(2.19)

Fig. 2.3 Triedrul Pmnt i triedrul de start

Suprapunerea triedrului Pmnt peste triedrul de start se face prin trei rotaii succesive:

,

de unde, matricea de rotaie dintre cele dou triedre este:

(2.20)

Pentru a calcula unghiul dintre cele dou normale se pornete de la relaia geometric indicat n [L1] :

,

(2.21)

unde sunt semiaxele Pmntului.

n baza relaiei , innd cont c turtirea Pmntului este cunoscut, din relaia (2.21) se obine:

,

(2.22)

relaie care pentru valori mari ale tangentei unghiului de latitudine geocentric (n apropierea polilor), poate fi aproximat astfel:

.

(2.23)

Evident c dac originea triedrului de start este situat pe ecuator sau la unul din poli, unghiul dintre normale este nul, matricea de rotaie cptnd forma unitar.

Urmtorul triedru intermediar este triedrul iniial de start , care are aceeai origine cu triedrul de start, dar ale crui axe nu particip la rotaia diurn a Pmntului (fig.2.4). Acest triedru avnd aceeai origine cu triedrul de start i triedrul Pmnt, ntr-un punct de pe suprafaa Pmntului, particip la micarea de translaie a suprafeei acestuia, datorat rotaiei diurne, odat cu celelalte triedre, dar spre deosebire de acestea, deoarece nu particip la rotaia diurn este un triedru inerial propriu-zis. Dei integrarea ecuaiilor dinamice de micare s-ar putea face n cadrul acestui triedru fr adugarea acceleraiei Coriolis i a termenilor centrifugali, deoarece este impropriu pentru definirea traiectoriei, acest triedru are o utilitate pur teoretic, fcnd trecerea de la triedrul de start la triedrul mobil legat de aparat. Triedrul de start, se rotete n jurul axei polare fa de triedrul iniial de start, considerat fix, cu un unghi egal cu unghiul de rotire al Pmntului n intervalul de timp. Legtura dintre cele dou triedre se poate scrie astfel:

(2.24)

Suprapunerea triedrului de start peste triedrul de start iniial se face prin cinci rotaii succesive:

(2.25)

Fig. 2.4 Triedrul de start i triedrul iniial de start

de unde, elementele matricei de rotaie sunt:

;

;

;

;

;

;

;

;

.

(2.26)

Evident c dac timpul de zbor este foarte mic, matricea de rotaietinde spre forma unitate.

n continuare, triedrul iniial de start se va rsuci cu radiani n jurul axei cu ajutorul matricei , obinndu-se un triedrul sol fix care are axa orientat n jos, perpendicular pe suprafaa Pmntului. n sfrit, cu ajutorul unghiurilor de atitudine tip Euler sau a componentelor cuaternionului Hamilton triedrul sol mobil, obinut din triedrul sol fix prin translatare, va fi suprapus peste triedrul mobil legat de rachet, forma matricei de rotaie , care realizeaz aceast transformare, urmnd a fi prezentat ulterior.

n concluzie, pentru trecerea unor mrimi din triedrul Pmnt la triedrul mobil legat de aparat este necesar s se aplice succesiv rotaiile prezentate anterior, rotaii care pot fi concentrate ntr-o singur matrice:

,

(2.27)

care reprezint matricea de rotaie ntre triedrul legat de Pmnt i triedrul mobil al aparatului de zbor.

OBSERVAIE - Pentru durate mici de zbor influena rotaiei Pmntului se poate neglija, triedrul iniial de start coinciznd cu triedrul de start. Pe de alt parte, dac se neglijeaz i turtirea Pmntului, triedrul de start coincide cu triedrul Pmnt. n acest caz, pentru simplificarea terminologiei, dac nu exist posibilitatea apariiei de confuzii, se poate utiliza pentru oricare din cele trei triedre noiunea de triedru inerial, sau prin abuz de limbaj triedru fix sau triedru Pmnt. Astfel, n cazul rachetelor balistice sau antiaeriene, uzual se utilizeaz ca sistem de referin triedrul de start, pe care l vom considera ca sistem inerial, iar n cazul aparatelor de zbor de tip avion se obinuiete s se utilizeze ca sistem de referin triedrul Pmnt, care va fi de asemenea considerat sistem de referin inerial.

[L1] Lebedev, A.A., Gerasiota, N.F., Balistika raket, Ed. Mainostroenie, Moskva, 1970.

_1423423462.unknown

_1423423555.unknown

_1423423600.unknown

_1423423663.unknown

_1423423678.unknown

_1423423700.unknown

_1423424575.unknown

_1423424693.unknown

_1423425902.unknown

_1423423707.unknown

_1423423799.unknown

_1423423711.unknown

_1423423703.unknown

_1423423689.unknown

_1423423693.unknown

_1423423696.unknown

_1423423684.unknown

_1423423670.unknown

_1423423673.unknown

_1423423666.unknown

_1423423625.unknown

_1423423631.unknown

_1423423635.unknown

_1423423628.unknown

_1423423606.unknown

_1423423621.unknown

_1423423605.unknown

_1423423584.unknown

_1423423591.unknown

_1423423597.unknown

_1423423587.unknown

_1423423579.unknown

_1423423581.unknown

_1423423561.unknown

_1423423512.unknown

_1423423537.unknown

_1423423547.unknown

_1423423554.unknown

_1423423539.unknown

_1423423531.unknown

_1423423534.unknown

_1423423525.unknown

_1423423483.unknown

_1423423490.unknown

_1423423507.unknown

_1423423486.unknown

_1423423488.unknown

_1423423467.unknown

_1423423480.unknown

_1423423471.unknown

_1423423463.unknown

_1423423389.unknown

_1423423421.unknown

_1423423442.unknown

_1423423450.unknown

_1423423459.unknown

_1423423446.unknown

_1423423447.unknown

_1423423430.unknown

_1423423439.unknown

_1423423426.unknown

_1423423402.unknown

_1423423417.unknown

_1423423418.unknown

_1423423413.unknown

_1423423395.unknown

_1423423399.unknown

_1423423392.unknown

_1423423351.unknown

_1423423368.unknown

_1423423377.unknown

_1423423386.unknown

_1423423371.unknown

_1423423356.unknown

_1423423364.unknown

_1423423355.unknown

_1423423330.unknown

_1423423337.unknown

_1423423346.unknown

_1423423333.unknown

_1423423335.unknown

_1423423287.unknown

_1423423318.unknown

_1423423321.unknown

_1423423290.unknown

_1359129971.unknown

_1374252091.doc

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

_990112440.unknown

_990113169.unknown

_990113709.unknown

_990114090.unknown

_990114091.unknown

_990120151.unknown

_990113903.unknown

_990113310.unknown

_990113673.unknown

_990113229.unknown

_990112684.unknown

_990112829.unknown

_990112552.unknown

_990111664.unknown

_990111712.unknown

_990111635.unknown

_1423423284.unknown

_1374250578.doc

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

_990125498.unknown

_1365158557.unknown

_1374250625.unknown

_1374250636.unknown

_1365157320.unknown

_990125372.unknown

_990125415.unknown

_990125282.unknown

_1359131661.unknown

_1025375017.doc

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

normala la suprafaa

elipsoidului

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

_990125372.unknown

_990125415.unknown

_990125556.unknown

_990125662.unknown

_990125672.unknown

_990125661.unknown

_990125498.unknown

_990125393.unknown

_990125307.unknown

_990125328.unknown

_990125282.unknown

_1297922665.doc

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

_990113229.unknown

_990116353.unknown

_1007616622.unknown

_1007616623.unknown

_1297922572.unknown

_1007616620.unknown

_990114234.unknown

_990114578.unknown

_990114200.unknown

_990111712.unknown

_990113169.unknown

_990111635.unknown