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Curso de Processamento Digital de Sinais e Imagens
Mestrado de Instrumentaçãodo CBPF
Profs: Marcelo Portes de Albuquerque e Márcio Portes de Albuquerque
Aula 04
DFT e Sinais Aleatórios
A4 2
Transformada de Fourier Discreta - DFT
• A Transformada de Fourier Discreta tem um papel importante em várias aplicações do PDS– Filtragem linear
– Análise de correlação
– Análise espectral
• Alguns algoritmos para calcular a DFT são muito eficientes
• Um algoritmo importante é chamado de FFT porque computa a DFT quando o tamanho N da sequência é uma potência de 2
A4 3
A DFT e algumas de suas propriedadesTransformada de Fourier Discreta - DFT
A04
A4 4
Algumas propriedades da DFTTransformada de Fourier Discreta - DFT
A04
A4 5
Algumas propriedades da DFTTransformada de Fourier Discreta - DFT
A04
Multiplication of Two DFTs and Circular Convolution
A4 6
Algumas propriedades da DFTTransformada de Fourier Discreta - DFT
A04
Exemplo: Multiplication of Two DFTs and Circular Convolution
6
A4 7
Algumas propriedades
da DFT
Transformada de Fourier Discreta - DFT
A04
Exemplo ilustrando o cálculo de x3(n) através da DFT e da IDFT
A4 8
Algumas propriedades da DFTTransformada de Fourier Discreta - DFT
A4 9
Algumas propriedades
da DFT
Transformada de Fourier Discreta - DFT
A04
A4 10
Filtragem Linear Baseada na DFTTransformada de Fourier Discreta - DFT
• DFT provides a discrete frequency representation of a Finite Duration sequence
• We can explore its use as a computational tool for linear system analysis and for linear filtering
• A system with frequency response H(), when excited with an input signal X(), possesses an outup spectrum Y()= H()X()
• The output sequence y(n) is determined from its spectrum via the inverse Fourier transform
• The DFT allow us a computation of the TF on a digital computer
• We will see a computational procedure that serves as an alternative to time domain convolution
A4 11
Uso da DFT na
Filtragem Linear
Transformada de Fourier Discreta - DFT
A04
A4 12
Exemplo: DFT na Filtragem
Linear
Transformada de Fourier Discreta - DFT
A0412
A4 13
Exemplo: DFT na Filtragem LinearTransformada de Fourier Discreta - DFT
A4 14
Exemplo: DFT na Filtragem Linear
Transformada de Fourier Discreta - DFT
A04
A4 15
Fenômenos Aleatórios• Muitos fenômenos físicos encontrados na natureza
são caracterizados de forma mais adequada por funções estatísticas
– Exemplo: fenômenos meteorológicos como a temperatura do ar e a pressão atmosférica variando aleatóriamente como uma função do tempo
• Os sinais aleatórios são modelizados como sinais de duração infinita e energia infinita
Sinais Aleatórios
A4 16
Função de Distribuição de Probabilidade
• Uma variável aleatória X é uma variável que pode ter valores aleatórios
• Uma variável aleatória pode ser pensada como sendo a saída de algum exerimento aleatório
• A maneira de especificarmos a probabilidade para os diferentes valores obtidos por uma variável aleatória é através da utilização da função de distribuição de probabilidade F(x)
F(x) = Pr(X x)
• Ou pela função de densidade de probabilidade f(x)
f(x) = dF(x) / dx
Sinais Aleatórios
A4 17
Função de Distribuição de Probabilidade
• A relação inversa da função de densidade de probabilidade f(x) é:
F(x) = -x f(u) du
• Uma característica evidente da função de densidade de probabilidade é
F() = -
f(u) du = 1
função de distribuição de probabilidade
função de densidade de probabilidade
Sinais Aleatórios
A4 18
Esperança de uma Variável Aleatória
A esperança de uma variável aleatória é definida como sendo a soma de todas os valores que esta pode ter ponderada pela probabilidade destes valores
E[X] = -
x f(x) dx
Esta esperança é tambem chamada de média de X, ou média da distribuição de X ou ainda o primeiro momento de X
Isto é definido como sendo o número para o qual X “tende” quando o número de observações aumenta
Sinais Aleatórios
A4 19
Valor Médio Quadrático de uma Variável Aleatória Um outro parâmetro estatistico importante que descreve a distribuição de X é o seu valor médio quadrático
O valor esperado do quadrado de X é:
E[X2] = -
x2 f(x) dx
E[X2] também é chamado de segundo momento de X
O valor RMS (root mean square) de X é a raiz quadrada de E[X2]
A variância de uma variável aleatória é o desvio médio quadrático da variável aleatória de sua média
O desvio padrão de uma variável aleatória é a raiz quadrada da variância
O valor RMS e o desvio padrão são iguais somente para variáveis aleatórias de média zero
Sinais Aleatórios
A4 20
Soma e Produto de Variáveis Aleatórias
Outras funções de interesse povêm da soma ou do produto de variáveis aleatórias
O valor esperado da soma de variáveis aleatórias é a soma dos valores esperados sendo ou não as variáveis independentes
A variância da soma de variáveis aleatórias é a soma das variâncias se as variáveis forem independentes
O valor esperado do produto de variáveis aleatória é igual ao produto dos valores esperados somente se as variáveis forem independentes
Sinais Aleatórios
A4 21
Correlação Estatística entre Variáveis Aleatórias
• Um conceito importante é a correlação estatística entre variáveis aleatórias
• A covâriancia é a indicação parcial do nível de realação entre variáveis aleatórias
• O termo E[XY] é o segundo momento de X e Y
Sinais Aleatórios
A4 22
Covariância Normalizada
• A covariância normalizada pelos desvios padrões de X e Y é chamada de coeficiente de correlação
• O coeficiente de correlação é a medida do grau de dependência linear entre X e Y
• Se X e Y são independentes =0
• Se Y é uma função linear de X, =1
Sinais Aleatórios
A4 23
Função de Distribuição de Probabilidade Normal e Uniforme
Sinais Aleatórios
A04
A4 24
Processos Aleatórios
• Um processo aleatório pode ser pensado como um conjunto (ensemble) de funções no tempo
• A notação {x(t)} é um conjunto de funções
• Uma função do conjunto é x(t)
• O valor observado de uma função em um conjunto no determindado tempo é x(t1)
• A probabilidade de x(t1) assumir um valor em um intervalo é dada pela função de distribuição de probabilidade
• Neste caso a dependencia do tempo é evidenciada
F(x1, t1 )= Pr[x(t1) x1 ]
Sinais Aleatórios
A4 25
Processos Aleatórios
• As funções de probabilidade são utilizadas na definição do intervalo de amplitude que o processo aleatório pode apresentar
• A função de distribuição de probabilidade de segunda ordem é definida como
F(x1, t1 ; x2, t2 )= Pr[x(t1) x1 and x(t2) x2 ]
• Função de distribuição de probabilidade conjunta de ordem superior pode ser estendida usando a formula acima para t3, t4,...
• Entretanto estas funções são raramente utilizadas
Sinais Aleatórios
A4 26
Função de Correlação
Sinais Aleatórios
A4 27
Processos Estacionários
• Processos estacionários são aqueles que as propriedades estatísitcas são invariantes no tempo
• Isto implica que a função de densidade de probabilidade do processo F(x1, t1) é independente do tempo de observação t1
• Todos os momento desta distribuição, como por exemplo E[x(t1)] e E[x2(t1)] são constantes
• A função de densidade de probabilidade de segunda ordem, neste caso é independente do valor absoluto dos tempos de observação t1 e t2, porém é dependente da diferença entre eles
Sinais Aleatórios
A4 28
Processos Ergódicos• Um conceito associado a processos
aleatórios e estacionários é a hipotése de ergodicidade
• A média dos membros em um determinado tempo pode ser calculada pela média de uma representação em todo tempo
• Uma única função representa o todo
• Se um função particular do experimento representa estatísticamente o todo, esta deve mostrar em vários pontos no tempo todo o intervalo de amplitude, taxa de variação da amplitude etc. O que também é encontrada dentre todos os membros do experimento
memberAnothermember
Sinais Aleatórios
A4 29
Exemplo de um Processo
Estacionário e Ergódico
Sinais Aleatórios
A04
A4 30
Densidade Espectral de Potência
Sinais Aleatórios
A04
A4 31
RuídoBranco
Sinais Aleatórios
A04
A4 32
Resumo• A DFT tem um papel importante no Processamento
Digital de Sinais
• Vimos que a multiplicação de duas DFTs tem como conseqüência uma convolução circular
• Filtragem Linear Baseada na DFT
• Apresentamos a função de densidade de probabilidade e a função de distribuição de probabilidade
• Introduzimos os conceitos de processos aleatórios, estacionários e ergódicos.
• Ruído Branco e sua DSP