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8/9/2019 Curso Mec Genral
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Curso de doctorado: El Métodode los Elementos de Contorno
Objetivos del curso:
Fundamentos del método
Aplicación del Método a Problemas:Estacionarios:
PotencialEc, de Poissón y LaplaceEc de Navier
in!micos: PotencialEc" de #elm$olt%
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Curso de doctorado: El Métodode los Elementos de Contorno
M.E.C.El grupo de Profesores compuesto por:
Francisco Chirino GodoyOrlando Maeso Fortuny Traba an en:
!uan !. "#n$re# Gon#$le#
!osé M. Emperador "l#ola%a&id Greiner '$nche#
Mec$nica de los Medios
Continuos
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Curso de doctorado: El Métodode los Elementos de Contorno
M.E.C.( )ué es Mec$nica del MedioContinuo*
Mec$nica: Parte de la ciencia +ue estudia elmo&imiento de los cuerpos
Medio Continuo: Es un cuerpo en +ue la&ariable fundamental es continua en unentorno de un punto cual+uiera del cuerpo
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Curso de doctorado: Técnicas
,uméricas en -ngenier a
/as materias +ue engloba la Mec$nica delMedio Continuo son:Mec$nica de Fluidos Termodin$micaElasticidadElectromagnetismo
Tales condiciones no est$n restringidas as0lidos sino +ue un Medio Continuotambién puede ser: un l +uido o un gas
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Curso de doctorado: Técnicas
,uméricas en -ngenier a
1n cuerpo se dice +ue es el$stico cuando
recupera su forma inicial una &e# handesaparecido las cargas +ue lo handeformado
/a Elasticidad se basa en:El Modelo matem$tico de ,a&ier2Cauchy/a ley de 3oo4e
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Curso de doctorado: Técnicas
,uméricas en -ngenier a
/os Profesores anteriormente citados han
traba ado en Elasticidad y Elastodin$mica ypor e5tensi0n en fen0menos de propagaci0nde ondas
6 dentro de la elasticidad en los siguientescampos:
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Curso de doctorado: Técnicas
,uméricas en -ngenier a
"plicando un Método
,umérico
Propagaci0n deOndas 'onoras
Medios Poroel$sticos
Mec$nica de laFractura
Método de los Elementos de
Contorno
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• En general los Métodos Numéricos de Cálculose dividen en dos grupos:
Métodos de%ominio
Métodos deContorno
M. E.F.
M. %.F.
M. E.C.
Las variables secalculan en todo el
dominio
Las variables secalculan en el
contorno
'O78E /O' M9TO%O' ,1M98-CO'
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'O78E /O' M9TO%O' ,1M98-CO'
enta as e-ncon&enientes
Métodos dedominio
Métodos deContorno
-mplementaci0n es sencilla/a discreti#aci0n escomplicada
'on m$s generali#ables/as geometr as in;nitastienen dif cil tratamiento
-mplementaci0n m$scomplicada%iscreti#aci0n muy sencilla'on menos generali#ables/as geometr as in;nitastienen f$cil tratamientoComportamiento ;able antefuertes gradientes de las
&ariables
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'O78E /O' M9TO%O' ,1M98-CO'
'oluciones apro5imadas
&&'
=∇ u Ωenuu =&
qnuq o =∂∂=&
en
en
(Γ
'Γ
φ α in
iu ⋅= ∑
(
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'O78E /O' M9TO%O' ,1M98-CO'
'oluciones apro5imadas
&'
≠∇ u Ωen&≠− uu
en
en
(Γ
'Γ E5iste un error al ser u una 'oluci0napro5imada
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'O78E /O' M9TO%O' ,1M98-CO'
'oluciones apro5imadas
&'
≠∇= uε Ωen&( ≠−= uuε
&' ≠−= qqε
en
en
(Γ
'Γ '( Γ +Γ =Γ
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'O78E /O' M9TO%O' ,1M98-CO'
Técnica de los residuosponderados
∑ ⋅= m iiw(
ψ β
&'( == ε ε )e satis*acen las condiciones de contorno
)e distribuye el error de acuerdo con una *unción de ponderación +
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'O78E /O' M9TO%O' ,1M98-CO'
Técnica de los residuosponderados
( ) &' =Ω⋅∇=Ω⋅ ∫ ∫ ΩΩ wd uwd ε Multiplicando las *unciones de ponderación por el error e inte rando
-omo los coe*icientes β son arbitrarios también se puede escribir
(
( ) &' =Ω⋅∇∫ Ω d u iψ mi """"(=∀
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'O78E /O' M9TO%O' ,1M98-CO'
Técnica de los residuosponderados
-uando la *unción de ponderación es :
)iendo la *unción δ la elta de irac
././
..//i
i
i
N
x x x x
x x N sinlim −=−
−∞→
δ π
∑ ⋅= m iiww(
δ
La e0presión ( puede representar a las di*erencias *initas
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'O78E /O' M9TO%O' ,1M98-CO'
Técnica de los residuosponderados
(././ =−=− ∫ ∫ +−∞
∞−dx x xdx x x
a x
a x ii
i
i
δ δ
Las propiedades de elta de irac son:
1 para cual2uier *unción */0. continua en 0i
./././././ x f dx x x x f dx x x x f a x
a x ii
i
i
=−⋅=−⋅ ∫ ∫ +
−
∞
∞−δ δ
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'O78E /O' M9TO%O' ,1M98-CO'
Técnica de los residuosponderados
Las *unción de apro0imación se puede poner como:
)ubstituyendo en (
&==Ω⋅∫ Ω iid ε δ ε
Φ∑ ⋅= in
iuu(
Φi polinomios de ' rado estamos en di*erencias *initas centradas
Φi coordenadas curvil3neas estamos en métodos de celdas de colocación
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'O78E /O' M9TO%O' ,1M98-CO'
Técnica de los residuosponderados
( ) &' =Ω⋅∇=Ω⋅ ∫ ∫ ΩΩ wd uwd ε Esta ecuación da ori en a muc$os otros métodos
Método de los momentos: tomar momentos de ε con respecto a
(
⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅= '4'( ( x xw β β β """,,,( ' x x
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'O78E /O' M9TO%O' ,1M98-CO'
Técnica de los residuosponderados
( ) &' =Ω⋅∇=Ω⋅ ∫ ∫ ΩΩ wd uwd ε Esta ecuación da ori en a muc$os otros métodos
Método de 5aler6in:tomando las mismas *unciones para u y +
(
⋅⋅⋅+Φ⋅+Φ⋅+Φ⋅= 44''(( α α α u⋅⋅⋅+Φ⋅+Φ⋅+Φ⋅= 44''(( β β β w
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'O78E /O' M9TO%O' ,1M98-CO'
Técnica de los residuosponderados
&=ΩΦ⋅=Ω⋅ ∫ ∫ ΩΩ d wd iε ε La e0presión ( 2ueda:
Método de 5aler6in:se suele adoptar +7 ∆u
⋅⋅⋅+Φ⋅∆+Φ⋅∆+Φ⋅∆= 44''(( α α α w
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'O78E /O' M9TO%O' ,1M98-CO'
Formulaci0n %ébil
Γ ⋅−=Ω⋅∇ ∫ ∫ Γ Ω wd qqwd u ' ./')i asumimos 2ue ε(7& y ε' lo apro0imamos la e0presión ( 2ueda:
8nte rando por partes el primer término:
Γ ⋅=Ω⋅ ∫ ∫ Γ Ω wd wd '
'ε ε
Γ ⋅=Ω∇⋅∇ ∫ ∫ Γ Ω wd qwd u ' ./
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'O78E /O' M9TO%O' ,1M98-CO'
Formulaci0n %ébil: Elementos;nitos
)i tomamos u y +7 ∆u
2ueda:
⋅⋅⋅+Φ⋅+Φ⋅+Φ⋅= 44''(( uuuu
Γ ⋅=Ω∆∇⋅∇ ∫ ∫ Γ Ω wd qd uu ' ././
⋅⋅⋅+Φ⋅∆+Φ⋅∆+Φ⋅∆= 44''(( uuuw
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'O78E /O' M9TO%O' ,1M98-CO'
Problema -n&erso
Γ ∂∂⋅−−Γ ⋅−=Ω⋅∇ ∫ ∫ ∫ Γ Γ Ω d nwuuwd qqwd u '' ././'
)i asumimos 2ue ε(y ε' los apro0imamos la e0presión ( 2ueda:
Γ ∂∂⋅−Γ ⋅=Ω⋅ ∫ ∫ ∫ Γ Γ Ω d nwwd wd ( ('' ε ε ε
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'O78E /O' M9TO%O' ,1M98-CO'
Problema -n&erso
8nte rando por partes el primer término:
Γ ∂∂⋅+Γ ∂∂⋅−
Γ ⋅+Γ ⋅=Ω∇⋅∇
∫ ∫
∫ ∫ ∫ Γ Γ
Γ Γ Ω
d nwud nwu
wd qwd qwd u
((
''
E0presión t3pica de los métodos de dominio: E"F"
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'O78E /O' M9TO%O' ,1M98-CO'
Problema -n&erso
8nte rando de nuevo por partes :
Γ ∂∂⋅+Γ ∂∂⋅+
Γ ⋅−Γ ⋅−=Ω∇⋅
∫ ∫
∫ ∫ ∫ Γ Γ
Γ Γ Ω
d nwud nwu
wd qwd qwd u
((
''
'
E0presión inversa de la ori inal y es v!lida para el M"E"-"
8/9/2019 Curso Mec Genral
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'O78E /O' M9TO%O' ,1M98-CO'
8esumen técnicas deapro5imaci0n
9esiduo Ori "
wu ≠wu =
Form" ebil
5aler6in Or"
F E" M" Fr" ebil 5en
Prob 8nversore*t%" -ontorno
i*" Finitas
Momentos
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M9TO%O' de CO,TO8,O
Formulaci0ndirecta
Partiendo de la e0presión del problema inverso
para una + 2ue cumpla la E" "Γ ∂
∂⋅+Γ ∂∂⋅=Γ ⋅+Γ ⋅ ∫ ∫ ∫ ∫ Γ Γ Γ Γ d nwud nwuwd qwd q ((''
;sando *unciones de apro0imación i uales en u y +
Γ ∂∆∂
⋅+Γ ∂∆∂
⋅=Γ ∆⋅+Γ ∆⋅ ∫ ∫ ∫ ∫ Γ Γ Γ Γ d nuud nuuud qud q ././ ((''En este caso también u veri*ica la E" " e obierno
y podemos partir desde la e0presión ori inal
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M9TO%O' de CO,TO8,O
Formulaci0ndirecta
Partiendo de la e0presión ori inal
Partiendo del teorema de 59EEN( ) Γ ∂
∆∂⋅−=Γ ∆⋅− ∫ ∫ Γ Γ d n
uuuud qq
././ ('
( ) Γ ⋅∂
∂−∂
∂=Ω⋅∇−∇
∫ ∫ Γ Ωd
nwu
nuwd uwwu ./ ''
Γ ∂∆∂
⋅=Γ ∆⋅ ∫ ∫ Γ Γ d nuuud q ./