Embed Size (px)
Citation preview
2008-01-16
1
Cyfrowe przetwarzanie łósygnałów
Dr inż. Andrzej KotyraE310, tel. 5381312, [email protected]
Literatura:
1. A.V.Oppenheim, R.W.Schafer: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów, WKiŁ, Warszawa, 19792. R.G.Lyons: Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów, WKiŁ, Warszawa ,19993. T.Zieliński: Od teorii do cyfrowego przetwarzania sygnałów, Wydział AIiE AGH, Kraków
20024. J.Izydorczyk, J.Konopacki: Filtry analogowe i cyfrowe, Wydawnictwo Pracowni
Komputerowej Jacka Skalmierskiego Gliwice 2003Komputerowej Jacka Skalmierskiego, Gliwice 20035. D.Strenneby, Cyfrowe Przetwarzanie Sygnałów – metody, algorytmy zastosowania, BTC,
Warszawa, 2004.
1. Sygnały – klasyfikacja. Właściwości układów LTI (Linear Time-Invariant - liniowe niezmienne w czasie)
Program:
Materiały do wykładów zostały opracowane na podstawie powyższej literatury
niezmienne w czasie)
2. Reprezentacja częstotliwościowa układów LTI. Rozwinięcie funkcji ciągłej w szereg funkcji wzajemnie ortogonalnych. Ciągła transformata Fouriera –własności. Transformaty Fouriera wybranych sygnałów.
3. Okna czasowe. Próbkowanie sygnałów – twierdzenie o próbkowaniu.
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
1
Cyfrowe przetwarzanie łósygnałów
Dr inż. Andrzej KotyraE310, tel. 5381312, [email protected]
Literatura:
1. A.V.Oppenheim, R.W.Schafer: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów, WKiŁ, Warszawa, 19792. R.G.Lyons: Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów, WKiŁ, Warszawa ,19993. T.Zieliński: Od teorii do cyfrowego przetwarzania sygnałów, Wydział AIiE AGH, Kraków
20024. J.Izydorczyk, J.Konopacki: Filtry analogowe i cyfrowe, Wydawnictwo Pracowni
Komputerowej Jacka Skalmierskiego Gliwice 2003Komputerowej Jacka Skalmierskiego, Gliwice 20035. D.Strenneby, Cyfrowe Przetwarzanie Sygnałów – metody, algorytmy zastosowania, BTC,
Warszawa, 2004.
1. Sygnały – klasyfikacja. Właściwości układów LTI (Linear Time-Invariant - liniowe niezmienne w czasie)
Program:
Materiały do wykładów zostały opracowane na podstawie powyższej literatury
niezmienne w czasie)
2. Reprezentacja częstotliwościowa układów LTI. Rozwinięcie funkcji ciągłej w szereg funkcji wzajemnie ortogonalnych. Ciągła transformata Fouriera –własności. Transformaty Fouriera wybranych sygnałów.
3. Okna czasowe. Próbkowanie sygnałów – twierdzenie o próbkowaniu.
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
2
5. Krótkoczasowa transformata Fouriera. Rozdzielczość na płaszczyźnie czas-częstotliwość. Zasada nieoznaczoności Heisenberga
6. Ciągła transformata falkowa. Przegląd falek. Rozwinięcie w szereg falkowy. Dyskretna fransformata falkowa. Analiza wielorozdzielcza.
7. Transformata Z – własności. Przykłady obliczania TZ. Określanie obszaru zbieżności. Metody obliczania odwrotnej TZMetody obliczania odwrotnej TZ.
8. Dyskretne przekształcenie Fouriera – właściwości. Algorytm obliczania szybkiej transformaty Fouriera
9. Filtry cyfrowe – klasyfikacja. Struktury filtrów NOI (IIR) oraz SOI (FIR). Metody projektowania filtrów NOI oraz SOI
10. Procesory sygnałowe – przegląd
‘ Andrzej Kotyra
Niektóre zastosowania cyfrowego przetwarzania sygnałów
Komercyjne: kompresja dźwięku, obrazu; efekty specjalne (FX), instrumenty muz.
Motoryzacja: sterowanie wtryskiem paliwa, ABS, systemy nawigacyjne, sterowanie głosem.
Medyczne: Tomografia komputerowa, MRI, USG, EKG, przechowywanie danych.
Przetwarzanie dźwięków: efekty dźwiękowe (reverb, chorus itp.) rozpoznawanie mowy, systemy dźwięku przestrzennego, synteza mowy, poczta głosowa
Przetwarzanie obrazów: rozpoznawanie obrazów, animacja, mapy cyfrowe, kompresja obrazów
Przemysł: sterowanie numeryczne, robotyka, systemy bezpieczeństwa
Telekomunikacja: modemy, repeatery, telefonia komórkowa, fax, multipleksowanie kanałów, wideokonferencje, szyfrowanie rozmów, redukcja echa.
Wojsko: nawigacja, systemy naprowadzające, systemy radarowe, sonary
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
2
5. Krótkoczasowa transformata Fouriera. Rozdzielczość na płaszczyźnie czas-częstotliwość. Zasada nieoznaczoności Heisenberga
6. Ciągła transformata falkowa. Przegląd falek. Rozwinięcie w szereg falkowy. Dyskretna fransformata falkowa. Analiza wielorozdzielcza.
7. Transformata Z – własności. Przykłady obliczania TZ. Określanie obszaru zbieżności. Metody obliczania odwrotnej TZMetody obliczania odwrotnej TZ.
8. Dyskretne przekształcenie Fouriera – właściwości. Algorytm obliczania szybkiej transformaty Fouriera
9. Filtry cyfrowe – klasyfikacja. Struktury filtrów NOI (IIR) oraz SOI (FIR). Metody projektowania filtrów NOI oraz SOI
10. Procesory sygnałowe – przegląd
‘ Andrzej Kotyra
Niektóre zastosowania cyfrowego przetwarzania sygnałów
Komercyjne: kompresja dźwięku, obrazu; efekty specjalne (FX), instrumenty muz.
Motoryzacja: sterowanie wtryskiem paliwa, ABS, systemy nawigacyjne, sterowanie głosem.
Medyczne: Tomografia komputerowa, MRI, USG, EKG, przechowywanie danych.
Przetwarzanie dźwięków: efekty dźwiękowe (reverb, chorus itp.) rozpoznawanie mowy, systemy dźwięku przestrzennego, synteza mowy, poczta głosowa
Przetwarzanie obrazów: rozpoznawanie obrazów, animacja, mapy cyfrowe, kompresja obrazów
Przemysł: sterowanie numeryczne, robotyka, systemy bezpieczeństwa
Telekomunikacja: modemy, repeatery, telefonia komórkowa, fax, multipleksowanie kanałów, wideokonferencje, szyfrowanie rozmów, redukcja echa.
Wojsko: nawigacja, systemy naprowadzające, systemy radarowe, sonary
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
3
Sygnał (ogólnie) jest to funkcja, która przenosi informację o stanie lub zachowaniu się pewnego układu fizycznego. Sygnał może przyjmować postać zmienną w czasie (np. sygnały mowy) lub położenia (obraz)
Postać matematyczna: funkcja jednej lub wielu zmiennych.
Sygnały:
ciągły argument i wartość - sygnały ciągłe
dyskretny argument i ciągła wartość - sygnały dyskretne
ciągły argument, dyskretna wartość
dyskretny argument i wartość - sygnały cyfrowe
Przetwarzanie sygnału - przekształcenie jednej postaci sygnału w inną, która w danej chwili jest bardziej pożądana
Układy dyskretne - układy, których sygnały na wejściach i wyjściach są dyskretne
Układy cyfrowe - układy, których sygnały na wejściach i wyjściach są cyfrowe.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów - przekształcanie sygnałów dyskretnych co wartości i argumentu
‘ Andrzej Kotyra
Dygresja:
kodowanie
kodowanie1 bitowe
kodowanie2 bitowe
2008-01-16
3
Sygnał (ogólnie) jest to funkcja, która przenosi informację o stanie lub zachowaniu się pewnego układu fizycznego. Sygnał może przyjmować postać zmienną w czasie (np. sygnały mowy) lub położenia (obraz)
Postać matematyczna: funkcja jednej lub wielu zmiennych.
Sygnały:
ciągły argument i wartość - sygnały ciągłe
dyskretny argument i ciągła wartość - sygnały dyskretne
ciągły argument, dyskretna wartość
dyskretny argument i wartość - sygnały cyfrowe
Przetwarzanie sygnału - przekształcenie jednej postaci sygnału w inną, która w danej chwili jest bardziej pożądana
Układy dyskretne - układy, których sygnały na wejściach i wyjściach są dyskretne
Układy cyfrowe - układy, których sygnały na wejściach i wyjściach są cyfrowe.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów - przekształcanie sygnałów dyskretnych co wartości i argumentu
‘ Andrzej Kotyra
Dygresja:
kodowanie
kodowanie1 bitowe
kodowanie2 bitowe
2008-01-16
4
CzułośćIlość poziomówRozdzielczość
Kwantyzacja sygnałów dyskretnych
4,88 mV10
195,3 mV8 1,25 V2 2,5 V1 bit 221 =
422 =
25628 =
1024210 =
76,3 μV161,22 mV12 4096212 =
65536216 =
Zakres przetwarzanych napięć: 0 - 5V‘ Andrzej Kotyra
[ ]{ } ∞<<∞= n-nxx Sygnały dyskretne opisywane są za pomocą ciągów liczbowych.
[ ] ( ) ∞<<∞= n-nTxnx a , T - okres próbkowania, 1/T - częstotliwość próbkowania
n-ty wyraz ciągu liczb
próbkowania
xa - sygnał analogowyx[n] - n- ta próbka z szeregu
[ ]∑∞
−∞=
=n
nxE 2 Energia sygnału
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
4
CzułośćIlość poziomówRozdzielczość
Kwantyzacja sygnałów dyskretnych
4,88 mV10
195,3 mV8 1,25 V2 2,5 V1 bit 221 =
422 =
25628 =
1024210 =
76,3 μV161,22 mV12 4096212 =
65536216 =
Zakres przetwarzanych napięć: 0 - 5V‘ Andrzej Kotyra
[ ]{ } ∞<<∞= n-nxx Sygnały dyskretne opisywane są za pomocą ciągów liczbowych.
[ ] ( ) ∞<<∞= n-nTxnx a , T - okres próbkowania, 1/T - częstotliwość próbkowania
n-ty wyraz ciągu liczb
próbkowania
xa - sygnał analogowyx[n] - n- ta próbka z szeregu
[ ]∑∞
−∞=
=n
nxE 2 Energia sygnału
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
5
Sygnał analogowy
Ciąg próbek uzyskany w wyniku spróbkowania sygnału analogowego
Podstawowe operacje na sygnałach dyskretnych:
• dodawanie mnożenie• dodawanie, mnożenie
• mnożenie przez stałą α
• opóźnienie][][ 0nnxny −= n0 - liczba całkowita
[ ] [ ]{ }[ ] [ ]{ }nynxyx
nynxyx+=+
⋅=⋅
[ ]{ }nxx ⋅=⋅ αα
‘ Andrzej Kotyra
Podstawowe szeregi 1-wymiarowe:Jednostkowy szereg próbkujący(impuls jednostkowy)
⎩⎨⎧
=≠
=0 ,10 ,0
][nn
nδ
Skok jednostkowy⎨⎧ ≥ 0 ,1
][n
nu
[ ]1][][ −−= nununδ
j y
⎩⎨ <
=0 ,0
][n
nu
∑∑−∞=
∞
=
=−=n
kk
kknnu ][][][0
δδ
⎩⎨⎧
<≥
=0n 0,0n ,
][nA
nxα
Ciąg wykładniczy rzeczywisty
][][ nuAnx nα=
( )ϕω += nAnx 0cos][
Sinusoida
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
5
Sygnał analogowy
Ciąg próbek uzyskany w wyniku spróbkowania sygnału analogowego
Podstawowe operacje na sygnałach dyskretnych:
• dodawanie mnożenie• dodawanie, mnożenie
• mnożenie przez stałą α
• opóźnienie][][ 0nnxny −= n0 - liczba całkowita
[ ] [ ]{ }[ ] [ ]{ }nynxyx
nynxyx+=+
⋅=⋅
[ ]{ }nxx ⋅=⋅ αα
‘ Andrzej Kotyra
Podstawowe szeregi 1-wymiarowe:Jednostkowy szereg próbkujący(impuls jednostkowy)
⎩⎨⎧
=≠
=0 ,10 ,0
][nn
nδ
Skok jednostkowy⎨⎧ ≥ 0 ,1
][n
nu
[ ]1][][ −−= nununδ
j y
⎩⎨ <
=0 ,0
][n
nu
∑∑−∞=
∞
=
=−=n
kk
kknnu ][][][0
δδ
⎩⎨⎧
<≥
=0n 0,0n ,
][nA
nxα
Ciąg wykładniczy rzeczywisty
][][ nuAnx nα=
( )ϕω += nAnx 0cos][
Sinusoida
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
6
ϕωαα jnj AA e ,e 0 ==
( )
( ) ( )ϕωαϕωα
ααα ϕωωϕ
+++
==⋅== +
nAjnA
AAAnx njnjjn
00 sincos
eee][ 00
gdzie α - zespolone
Jeżeli |α| = 1, x[n] - zespolony ciąg wykładniczy
Sygnały ciągłe - okres sygnału sinusoidalnego i zespolonego wykładniczego = 2π/f
Sygnały dyskretne są periodyczne jeśli: (N jest całkowite)
][][ Nnxnxn
+=∧Dyskretna sinusoida:y
( ) ( ) kNNnAnA πωϕωωϕω 2 coscos 0000 =⇒++=+
Dyskretny sygnał sinusoidalny (zespolony wykładniczy) nie musi być okresowy z okresem 2π /ω0
‘ Andrzej Kotyra
πωω 2 ,0 00 ==4
7 ,4 00
πωπω ==
Sygnał cos(ω0n) dla kilku różnych wartości ω0
815 ,
8 00πωπω == 0 πω =
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
6
ϕωαα jnj AA e ,e 0 ==
( )
( ) ( )ϕωαϕωα
ααα ϕωωϕ
+++
==⋅== +
nAjnA
AAAnx njnjjn
00 sincos
eee][ 00
gdzie α - zespolone
Jeżeli |α| = 1, x[n] - zespolony ciąg wykładniczy
Sygnały ciągłe - okres sygnału sinusoidalnego i zespolonego wykładniczego = 2π/f
Sygnały dyskretne są periodyczne jeśli: (N jest całkowite)
][][ Nnxnxn
+=∧Dyskretna sinusoida:y
( ) ( ) kNNnAnA πωϕωωϕω 2 coscos 0000 =⇒++=+
Dyskretny sygnał sinusoidalny (zespolony wykładniczy) nie musi być okresowy z okresem 2π /ω0
‘ Andrzej Kotyra
πωω 2 ,0 00 ==4
7 ,4 00
πωπω ==
Sygnał cos(ω0n) dla kilku różnych wartości ω0
815 ,
8 00πωπω == 0 πω =
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
7
Niech będzie dany sygnał dyskretny p[n]:
Sygnał p[n] można wyrazić w postaci:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]7213 7213 −+−++++= −− nananananp δδδδ
Zatem dowolny sygnał dyskretny można zapisać w postaci:
[ ] [ ] [ ]∑∞
−∞=
−⋅=k
knkxnx δ
‘ Andrzej Kotyra
Systemy czasu dyskretnego
[ ]{ }nxTny =][Tx n[ ] y n[ ]
Np. T Odwzorowanie ciągu wejściowego
opóźnienie [ ] ∞<<∞−= nnnxny d - ][
średnia ruchoma [ ]∑−=
−++
=2
11
1][12
M
Mkknx
MMny
p
Systemy nie posiadające pamięci
x[n] w ciąg wyjściowy y[n]
Systemy nie posiadające pamięci
Sygnał wyjściowy w każdym punkcie y[n] zależy tylko od sygnału wejściowego x[n]
[ ]( )2][ nxny =Np.
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
7
Niech będzie dany sygnał dyskretny p[n]:
Sygnał p[n] można wyrazić w postaci:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]7213 7213 −+−++++= −− nananananp δδδδ
Zatem dowolny sygnał dyskretny można zapisać w postaci:
[ ] [ ] [ ]∑∞
−∞=
−⋅=k
knkxnx δ
‘ Andrzej Kotyra
Systemy czasu dyskretnego
[ ]{ }nxTny =][Tx n[ ] y n[ ]
Np. T Odwzorowanie ciągu wejściowego
opóźnienie [ ] ∞<<∞−= nnnxny d - ][
średnia ruchoma [ ]∑−=
−++
=2
11
1][12
M
Mkknx
MMny
p
Systemy nie posiadające pamięci
x[n] w ciąg wyjściowy y[n]
Systemy nie posiadające pamięci
Sygnał wyjściowy w każdym punkcie y[n] zależy tylko od sygnału wejściowego x[n]
[ ]( )2][ nxny =Np.
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
8
Systemy liniowe - systemy spełniające zasadę superpozycji:
[ ] [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }nxbTnxaTnbxnaxT 2121 +=+ Dla każdego n, a, b (a,b- stałe)
[ ] [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }nxTnxTnxnxT +=+c
addytywność[ ] [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }nxTnxTnxnxT 2121 +=+ addytywność
∧[ ]{ } [ ]{ }nxaTnaxT = homogeniczność
Systemy nieliniowe - systemy nie spełniające zasady superpozycji
Wystarczy znaleźć tylko jedno takie n dla którego nie spełniona jest zasada addytywności lub homogeniczności - łatwiejsze do udowodnienia niż liniowość.
i
Systemy kumulujące (accumulator systems)
∑−∞=
=n
k
kxny ][][
Można udowodnić, że system kumulujący jest systemem liniowym
‘ Andrzej Kotyra
Systemy przyczynowe (niezmienne w czasie)
Systemy kompresujące
Są to systemy, w których opóźnienie (przesunięcie) sygnału jest takie same na wejściu jak i na wyjściu układu
][][ ][][ 0101 nnynynnxnx −=⇒−=
0 ,- ][][ >∞<<∞= MnMnxnySygnał wyjściowy zawiera co M- ty wyraz z sygnału wejściowegoNie jest to system niezmienny w czasie
Systemy stabilneSystem jest stabilny w sensie ograniczonego wejścia-wyjścia (BIBO - bounded input bounded output) wtedy i tylko wtedy gdy każde ograniczony sygnał wejściowy daje na wyjściu ograniczony sygnał wyjściowywyjściu ograniczony sygnał wyjściowy
Sygnał (ciąg) jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego n istnieje takie B > 0, że
[ ] ∞<≤ Bnx
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
8
Systemy liniowe - systemy spełniające zasadę superpozycji:
[ ] [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }nxbTnxaTnbxnaxT 2121 +=+ Dla każdego n, a, b (a,b- stałe)
[ ] [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }nxTnxTnxnxT +=+c
addytywność[ ] [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }nxTnxTnxnxT 2121 +=+ addytywność
∧[ ]{ } [ ]{ }nxaTnaxT = homogeniczność
Systemy nieliniowe - systemy nie spełniające zasady superpozycji
Wystarczy znaleźć tylko jedno takie n dla którego nie spełniona jest zasada addytywności lub homogeniczności - łatwiejsze do udowodnienia niż liniowość.
i
Systemy kumulujące (accumulator systems)
∑−∞=
=n
k
kxny ][][
Można udowodnić, że system kumulujący jest systemem liniowym
‘ Andrzej Kotyra
Systemy przyczynowe (niezmienne w czasie)
Systemy kompresujące
Są to systemy, w których opóźnienie (przesunięcie) sygnału jest takie same na wejściu jak i na wyjściu układu
][][ ][][ 0101 nnynynnxnx −=⇒−=
0 ,- ][][ >∞<<∞= MnMnxnySygnał wyjściowy zawiera co M- ty wyraz z sygnału wejściowegoNie jest to system niezmienny w czasie
Systemy stabilneSystem jest stabilny w sensie ograniczonego wejścia-wyjścia (BIBO - bounded input bounded output) wtedy i tylko wtedy gdy każde ograniczony sygnał wejściowy daje na wyjściu ograniczony sygnał wyjściowywyjściu ograniczony sygnał wyjściowy
Sygnał (ciąg) jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego n istnieje takie B > 0, że
[ ] ∞<≤ Bnx
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
9
Liniowe systemy niezmienne w czasie (LTI - Linear Time-Invariant systems)
Taki system w sposób kompletny określony poprzez jego odpowiedź impulsową.Niech hk[n] oznacza odpowiedź systemu na impuls δ[n-k] - (odpowiedź impulsowa)Dowolny sygnał dyskretny można wyrazić jako ważoną sumę pojedynczych dyskretnych impulsów,
⎫⎧ ∞
{ } [ ]⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−== ∑−∞=k
knkxTnxTny δ][][][
Z zasady superpozycji wynika, że :
[ ]{ } ][][][][ nhkxknTkxny kkk∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
=−= δ
Z niezmienności w czasie wynika, że:∞
suma splotowa
[ ]{ } [ ]knhknT −=−δ ][][][ knhkxnyk
−= ∑∞
−∞=
][][][ knhnxny −∗= Splot dyskretny
‘ Andrzej Kotyra
Wyjście liniowego systemu niezmiennego w czasie jako superpozycja odpowiedzi na pojedyncze impulsy.
Sygnał wejściowy
odpowiedź impulsowa
Sygnał wyjściowy
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
9
Liniowe systemy niezmienne w czasie (LTI - Linear Time-Invariant systems)
Taki system w sposób kompletny określony poprzez jego odpowiedź impulsową.Niech hk[n] oznacza odpowiedź systemu na impuls δ[n-k] - (odpowiedź impulsowa)Dowolny sygnał dyskretny można wyrazić jako ważoną sumę pojedynczych dyskretnych impulsów,
⎫⎧ ∞
{ } [ ]⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−== ∑−∞=k
knkxTnxTny δ][][][
Z zasady superpozycji wynika, że :
[ ]{ } ][][][][ nhkxknTkxny kkk∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
=−= δ
Z niezmienności w czasie wynika, że:∞
suma splotowa
[ ]{ } [ ]knhknT −=−δ ][][][ knhkxnyk
−= ∑∞
−∞=
][][][ knhnxny −∗= Splot dyskretny
‘ Andrzej Kotyra
Wyjście liniowego systemu niezmiennego w czasie jako superpozycja odpowiedzi na pojedyncze impulsy.
Sygnał wejściowy
odpowiedź impulsowa
Sygnał wyjściowy
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
10
Znajdowanie szeregu h[n-k] dla danego h[k], gdy n = 4 .
kk −→
‘ Andrzej Kotyra
Przykład 1: obliczanie sygnału wyjściowego dla systemu LTI o odpowiedzi impulsowej h[n]
⎩⎨⎧ −≤≤
=−−=hpozostalyc dla 010 dla 1
][][][Nn
Nnununh dla sygnału [ ]nuanx n=][
[ ] [ ] [ ] [ ] 10 dla ][0
−≤≤−⋅=−⋅= ∑∑=
∞
−∞=
Nnknhkxknhkxnyn
kkb)
aanyNnany
nn
k
k
−−
=⇒−≤≤=+
=∑ 1
1][ 10 dla ][1
0
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=
−−
=⇒<−= +−++−
+−=∑ a
aaa
aanynNanyN
NnnNnn
Nnk
k
11
1][ 1 dla ][ 1
11
1
12
1
,1
212
1
NNaaaa
NNN
Nk
k ≥−−
=+
=∑
⎪⎧
c)
zatem: [ ]
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
<−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−
−<≤−
−
<
=
+−
+
nNa
aa
Nna
an
ny
NNn
n
1 dla 1
1
10 dla 1
10 dla 0
1
1
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
10
Znajdowanie szeregu h[n-k] dla danego h[k], gdy n = 4 .
kk −→
‘ Andrzej Kotyra
Przykład 1: obliczanie sygnału wyjściowego dla systemu LTI o odpowiedzi impulsowej h[n]
⎩⎨⎧ −≤≤
=−−=hpozostalyc dla 010 dla 1
][][][Nn
Nnununh dla sygnału [ ]nuanx n=][
[ ] [ ] [ ] [ ] 10 dla ][0
−≤≤−⋅=−⋅= ∑∑=
∞
−∞=
Nnknhkxknhkxnyn
kkb)
aanyNnany
nn
k
k
−−
=⇒−≤≤=+
=∑ 1
1][ 10 dla ][1
0
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=
−−
=⇒<−= +−++−
+−=∑ a
aaa
aanynNanyN
NnnNnn
Nnk
k
11
1][ 1 dla ][ 1
11
1
12
1
,1
212
1
NNaaaa
NNN
Nk
k ≥−−
=+
=∑
⎪⎧
c)
zatem: [ ]
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
<−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−
−<≤−
−
<
=
+−
+
nNa
aa
Nna
an
ny
NNn
n
1 dla 1
1
10 dla 1
10 dla 0
1
1
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
11
Graficzne wyznaczanie splotu dyskretnego dla przykładu 1
Jeżeli 0<n0][ =nya)
10 −≤≤ Nn 10 +−< Nn
b)c)
d)
‘ Andrzej Kotyra
Właściwości LTIPrzemienność ][][][][ nxnhnhnx ∗=∗
Rozdzielczość operacji dodawania względem operacji dyskretnego splotu
( ) ][][][][][][][ 2121 nhnxnhnxnhnhnx ∗+∗=+∗
Połączenie szeregowe (kaskadowe) i równoległe dwóch systemów LTI
szeregowe równoległe
x[n] y[n]h1[n] h2[n]
h1[n]
h2[n]
+x[n] y[n]
x[n] y[n]h2[n] h1[n]
x[n] y[n]h1[n] * h2[n]
h2[n]
x[n] y[n]h1[n] + h2[n]
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
11
Graficzne wyznaczanie splotu dyskretnego dla przykładu 1
Jeżeli 0<n0][ =nya)
10 −≤≤ Nn 10 +−< Nn
b)c)
d)
‘ Andrzej Kotyra
Właściwości LTIPrzemienność ][][][][ nxnhnhnx ∗=∗
Rozdzielczość operacji dodawania względem operacji dyskretnego splotu
( ) ][][][][][][][ 2121 nhnxnhnxnhnhnx ∗+∗=+∗
Połączenie szeregowe (kaskadowe) i równoległe dwóch systemów LTI
szeregowe równoległe
x[n] y[n]h1[n] h2[n]
h1[n]
h2[n]
+x[n] y[n]
x[n] y[n]h2[n] h1[n]
x[n] y[n]h1[n] * h2[n]
h2[n]
x[n] y[n]h1[n] + h2[n]
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
12
Stabilność
System LTI jest stabilny ⇔ [ ] ∞<= ∑∞
∞−
khSkażde ograniczone pobudzenie powoduje ograniczoną odpowiedź (warunek konieczny i wystarczający)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∞<<−≤−= ∑∑∑∞∞∞
khMknxkhknxkhnyponieważ ( ) ⇒<∧∨ MnxM
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑−∞=−∞=−∞= kkk
ponieważ ( )nM
Aby wykazać, że jest to też warunek wystarczający należy pokazać, że dlaograniczone wejście powoduje nieograniczoną odpowiedź:
∞=S
[ ][ ] [ ]
[ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠−
=
0 ,0
0 , ][
*
nh
nhnh
nhnx [ ] [ ] [ ]
[ ]∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
==−=kk
Skhkh
khkxy
]0[2
Przyczynowość( ) ( ) ( ) ( ) 021021 , , nnnynynnnxnx <=⇒<=
zmiany na wejściu nie poprzedzają zmian na wyjściu
Zatem jeśli ∞=S , to możliwe jest aby ograniczony sygnał wejściowy dawał na wyj. nieograniczony sygnał wyjściowy.
‘ Andrzej Kotyra
Układy LTI opisywane liniowymi równaniami różnicowymi o stałych współczynnikach
[ ] [ ]∑ ∑= =
−=−N
k
N
rkk rnxbknya
0 0
równanie różn. N -tego rzędu w ogólnym przypadku nie musi być przyczynowe
Taka postać bez dodatkowych informacji nie określa zależności pomiędzy wy i we (podobnie jak w przypadku równań różniczkowych - warunki początkowe)
Przykład 2 Wyznaczyć równanie różnicowe dla układu kumulacyjnego:
∑−∞=
=n
kkxny ][][
∑−
−∞=
=−1
][]1[n
k
kxny [ ] ∑−
−∞=
+=1
][][n
k
kxnxny
[ ] ]1[][ −+= nynxny
jak w przypadku równań różniczkowych warunki początkowe)
[ ]nxnyny =−− ]1[][-[ ]nx [ ]ny
[ ]1−ny
Z-1
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
12
Stabilność
System LTI jest stabilny ⇔ [ ] ∞<= ∑∞
∞−
khSkażde ograniczone pobudzenie powoduje ograniczoną odpowiedź (warunek konieczny i wystarczający)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∞<<−≤−= ∑∑∑∞∞∞
khMknxkhknxkhnyponieważ ( ) ⇒<∧∨ MnxM
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑−∞=−∞=−∞= kkk
ponieważ ( )nM
Aby wykazać, że jest to też warunek wystarczający należy pokazać, że dlaograniczone wejście powoduje nieograniczoną odpowiedź:
∞=S
[ ][ ] [ ]
[ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠−
=
0 ,0
0 , ][
*
nh
nhnh
nhnx [ ] [ ] [ ]
[ ]∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
==−=kk
Skhkh
khkxy
]0[2
Przyczynowość( ) ( ) ( ) ( ) 021021 , , nnnynynnnxnx <=⇒<=
zmiany na wejściu nie poprzedzają zmian na wyjściu
Zatem jeśli ∞=S , to możliwe jest aby ograniczony sygnał wejściowy dawał na wyj. nieograniczony sygnał wyjściowy.
‘ Andrzej Kotyra
Układy LTI opisywane liniowymi równaniami różnicowymi o stałych współczynnikach
[ ] [ ]∑ ∑= =
−=−N
k
N
rkk rnxbknya
0 0
równanie różn. N -tego rzędu w ogólnym przypadku nie musi być przyczynowe
Taka postać bez dodatkowych informacji nie określa zależności pomiędzy wy i we (podobnie jak w przypadku równań różniczkowych - warunki początkowe)
Przykład 2 Wyznaczyć równanie różnicowe dla układu kumulacyjnego:
∑−∞=
=n
kkxny ][][
∑−
−∞=
=−1
][]1[n
k
kxny [ ] ∑−
−∞=
+=1
][][n
k
kxnxny
[ ] ]1[][ −+= nynxny
jak w przypadku równań różniczkowych warunki początkowe)
[ ]nxnyny =−− ]1[][-[ ]nx [ ]ny
[ ]1−ny
Z-1
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
13
Przykład 3 Zbadać układ, którego równanie różnicowe wynosi:
[ ]nxnayny +−= ]1[][
Sygnał wejściowy wynosi: przy warunku[ ]nBnx δ=][ cy =− ]1[
B]0[Dla 1−>n
Bacy +=]0[( ) aBcaBacaayy +=+=+= 20]0[]1[( ) BacaaBcaaayy 2320]1[]2[ +=+=+=
( ) BacaBacaaayy 34230]2[]3[ +=+=+=
1 Bacany nn += +1][ 0≥n
[ ] ( )][][]1[ ]1[][ 1 nxnyanynxnayny −=−⇒+−= −
( )]1[]1[][ 1 +−+= − nxnyany
Dla 1−<n
‘ Andrzej Kotyra
( ) caxyay 11 ]1[]1[]2[ −− =−−−=−
Ponieważ: dlacy =− ]1[
( ) cacaaxyay 2111 ]2[]2[]3[ −−−− ==−−−=−
( ) 3211
1−<n
1−<n
( ) cacaaxyay 3211 ]3[]3[]4[ −−−− ==−−−=−
cany n 1][ += dla
[ ]nuBacany nn += +1][ ∞>>∞− ndla
• Układ jest nieliniowy ponieważ gdy B = 0 [ ] cany n 1+=• Układ jest nieliniowy, ponieważ gdy B = 0 [ ] cany =
• Układ nie jest niezależny od przesunięcia, ponieważ:
[ ]01
100][][ nnuBacanynny nnn −+==− −+
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
13
Przykład 3 Zbadać układ, którego równanie różnicowe wynosi:
[ ]nxnayny +−= ]1[][
Sygnał wejściowy wynosi: przy warunku[ ]nBnx δ=][ cy =− ]1[
B]0[Dla 1−>n
Bacy +=]0[( ) aBcaBacaayy +=+=+= 20]0[]1[( ) BacaaBcaaayy 2320]1[]2[ +=+=+=
( ) BacaBacaaayy 34230]2[]3[ +=+=+=
1 Bacany nn += +1][ 0≥n
[ ] ( )][][]1[ ]1[][ 1 nxnyanynxnayny −=−⇒+−= −
( )]1[]1[][ 1 +−+= − nxnyany
Dla 1−<n
‘ Andrzej Kotyra
( ) caxyay 11 ]1[]1[]2[ −− =−−−=−
Ponieważ: dlacy =− ]1[
( ) cacaaxyay 2111 ]2[]2[]3[ −−−− ==−−−=−
( ) 3211
1−<n
1−<n
( ) cacaaxyay 3211 ]3[]3[]4[ −−−− ==−−−=−
cany n 1][ += dla
[ ]nuBacany nn += +1][ ∞>>∞− ndla
• Układ jest nieliniowy ponieważ gdy B = 0 [ ] cany n 1+=• Układ jest nieliniowy, ponieważ gdy B = 0 [ ] cany =
• Układ nie jest niezależny od przesunięcia, ponieważ:
[ ]01
100][][ nnuBacanynny nnn −+==− −+
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
14
Wnioski:• Dla danego sygnału wejściowego, sygnał wyjściowy nie jest jednoznacznie określony. Potrzebne są dodatkowe warunki początkowe.• Jeżeli dodatkowe warunki początkowe są dane w postaci N wartości wyjściowych, wartości następne i poprzednie uzyskuje się poprzez odpowiednie przekształcenie równania różnicowego• Liniowość, niezależność od przesunięcia w czasie zależą od warunków początkowych. Jeśli
Systemy FIR (SOI) Finite-duration Impulse Response (o Skończonej Odpowiedzi Impulsowej)
Jeżeli każdy impuls ma skończoną amplitudę ⇒ system FIR jest stabilny
Skończona liczba próbek o niezerowej amplitudzie
Liniowość, niezależność od przesunięcia w czasie zależą od warunków początkowych. Jeśli dodatkowo przy braku wymuszenia y[n] = 0 to układ będzie liniowy i niezależny od przesunięcia
System IIR jest stabilny, jeżeli S jest zbieżne, np. dla
[ ] [ ] 1a dla , <= nuanh n
Systemy IIR (NOI) Infinite-duration Impulse Response (o Nieskończonej Odpowiedzi Impulsowej)
‘ Andrzej Kotyra
Reprezentacja częstotliwościowa liniowych układów niezmiennych w czasie
Jeżeli ciągiem wejściowym jest ciąg taki, że , wówczas odpowiedź układu LTI będzie wynosiła:
[ ] ( )∞∞−∈= ; e nnx njω
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] kjjkj∞∞∞∞
∑∑∑∑ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] kj
k
njknj
kkkkhkhknxkhknhkxny ωωω −
−∞=
−
−∞=−∞=−∞=
⋅=⋅=−⋅=−⋅= ∑∑∑∑ eee][
( ) [ ] układu ościowaczęstotliw stykacharaktery ee kj
k
j khH ωω −∞
−∞=
⋅= ∑
[ ] ( )ωω jnj Hny ee= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )ωωωωω jHjjjI
jR
j HjHHH eargeeee e =+=
Przykład 4: Znaleźć charakterystykę częstotliwościową idealnego układu opóźniającego
[ ] [ ] całkowita liczba stałagdzie dd nnnxny −=
[ ] ( ) ( ) ddd njjnjnjnnj Hny ωωωωω −−− =⇒== eeeee
( ) 1e =ωjH ( )[ ] dj nH ωω −=earg
⇓
[ ] ( )∞∞−∈= ; e nnx njω
ciąg wejściowy
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
14
Wnioski:• Dla danego sygnału wejściowego, sygnał wyjściowy nie jest jednoznacznie określony. Potrzebne są dodatkowe warunki początkowe.• Jeżeli dodatkowe warunki początkowe są dane w postaci N wartości wyjściowych, wartości następne i poprzednie uzyskuje się poprzez odpowiednie przekształcenie równania różnicowego• Liniowość, niezależność od przesunięcia w czasie zależą od warunków początkowych. Jeśli
Systemy FIR (SOI) Finite-duration Impulse Response (o Skończonej Odpowiedzi Impulsowej)
Jeżeli każdy impuls ma skończoną amplitudę ⇒ system FIR jest stabilny
Skończona liczba próbek o niezerowej amplitudzie
Liniowość, niezależność od przesunięcia w czasie zależą od warunków początkowych. Jeśli dodatkowo przy braku wymuszenia y[n] = 0 to układ będzie liniowy i niezależny od przesunięcia
System IIR jest stabilny, jeżeli S jest zbieżne, np. dla
[ ] [ ] 1a dla , <= nuanh n
Systemy IIR (NOI) Infinite-duration Impulse Response (o Nieskończonej Odpowiedzi Impulsowej)
‘ Andrzej Kotyra
Reprezentacja częstotliwościowa liniowych układów niezmiennych w czasie
Jeżeli ciągiem wejściowym jest ciąg taki, że , wówczas odpowiedź układu LTI będzie wynosiła:
[ ] ( )∞∞−∈= ; e nnx njω
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] kjjkj∞∞∞∞
∑∑∑∑ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] kj
k
njknj
kkkkhkhknxkhknhkxny ωωω −
−∞=
−
−∞=−∞=−∞=
⋅=⋅=−⋅=−⋅= ∑∑∑∑ eee][
( ) [ ] układu ościowaczęstotliw stykacharaktery ee kj
k
j khH ωω −∞
−∞=
⋅= ∑
[ ] ( )ωω jnj Hny ee= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )ωωωωω jHjjjI
jR
j HjHHH eargeeee e =+=
Przykład 4: Znaleźć charakterystykę częstotliwościową idealnego układu opóźniającego
[ ] [ ] całkowita liczba stałagdzie dd nnnxny −=
[ ] ( ) ( ) ddd njjnjnjnnj Hny ωωωωω −−− =⇒== eeeee
( ) 1e =ωjH ( )[ ] dj nH ωω −=earg
⇓
[ ] ( )∞∞−∈= ; e nnx njω
ciąg wejściowy
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
15
[ ] ( )∞∞−∈= ∑ ; e nanxk
njk
kωJeżeli ciąg wejściowy będzie określony następująco:
Wówczas na podstawie zasady superpozycji [ ] ( ) ( )∞∞−∈= ∑ ; ee nHanyk
njjk
kk ωω
Jeżeli ciąg wejściowy można przedstawić jako superpozycję ciągów wykładniczych zespolonych,wówczas można znaleźć ciąg wyjściowy y[n]
Przykład 5: Znaleźć odpowiedź idealnego układu opóźniającego na sygnał sinusoidalny:
[ ] ( ) njjnjj AAnAnx 00 ee2
ee2
cos 0ωϕωϕϕω −−+=+= [ ] njjAnx 0ee
21ωϕ= [ ] njjAnx 0ee
22ωϕ −−=
Na podstawie zasady superpozycji:
AAA
( ) ( )( )ϕω
ϕωϕω
+=+ +−+
0cos2
00 jj ee
[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]njjjnjjjnjjjnjjj HHAAeHAHnynyny 00000000 eeeeee2
ee2
ee2
e21ωϕωωϕωωϕωωϕω −−−−−− +=+=+=
( ) ( ) ( )[ ]000 argeee
ωωω jeHjj HH =
[ ] ( ) ( ) ( )[ ]00 arg cos 0ωω θθϕω jj eHneHAny =++= gdzie
faza systemu dla 0ω
( ) [ ] ( )000 e ee ωωω jkj
k
j HkhH ∗∞
−∞=
− =⋅= ∑ jeśli [ ]kh jest rzeczywiste
‘ Andrzej Kotyra
Dla idealnego układu opóźniającego mamy (z przykładu 4):
( ) 1e =ωjH ( )[ ] dj nH ωω −=earg
[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]ϕωωϕωθϕωω +−=−+=++= ddj nnAnnAneHAny 0000 coscoscos0
Odpowiedź częstotliwościowa dyskretnych liniowych systemów niezmiennych w czasie jest zawsze funkcją okresową
( ) [ ] [ ] ( )nj
n
nj
n
j nhnheH πωωω 2ee +−∞
−∞=
−∞
−∞=∑∑ == ( ) njnjnjnj ωπωπω −−−+− =
== e
1eee 22321
( )( ) ( )ωπω jj eHeH =+2
Przykład 6: Odpowiedź częstotliwościowa układu średniej ruchomej
⎪⎧ 1 1N NN
[ ]⎪⎩
⎪⎨⎧ −≤≤−
++=n
MnMMMnh
0
, 1
121
21
hpozostałyc dla21
1
, 1
2
1
21
NNaaaa
N
Nk
NNk ≥
−−
=∑=
+
( )( )
ω
ωωωω
j
MjMjM
Mn
njj
MMMMH −
+−
−=
−
−−
++=
++= ∑ e1
ee1
1e1
1e1
2121
212
1
( ) [ ] kj
k
j khH ωω −∞
−∞=
⋅= ∑ ee
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
15
[ ] ( )∞∞−∈= ∑ ; e nanxk
njk
kωJeżeli ciąg wejściowy będzie określony następująco:
Wówczas na podstawie zasady superpozycji [ ] ( ) ( )∞∞−∈= ∑ ; ee nHanyk
njjk
kk ωω
Jeżeli ciąg wejściowy można przedstawić jako superpozycję ciągów wykładniczych zespolonych,wówczas można znaleźć ciąg wyjściowy y[n]
Przykład 5: Znaleźć odpowiedź idealnego układu opóźniającego na sygnał sinusoidalny:
[ ] ( ) njjnjj AAnAnx 00 ee2
ee2
cos 0ωϕωϕϕω −−+=+= [ ] njjAnx 0ee
21ωϕ= [ ] njjAnx 0ee
22ωϕ −−=
Na podstawie zasady superpozycji:
AAA
( ) ( )( )ϕω
ϕωϕω
+=+ +−+
0cos2
00 jj ee
[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]njjjnjjjnjjjnjjj HHAAeHAHnynyny 00000000 eeeeee2
ee2
ee2
e21ωϕωωϕωωϕωωϕω −−−−−− +=+=+=
( ) ( ) ( )[ ]000 argeee
ωωω jeHjj HH =
[ ] ( ) ( ) ( )[ ]00 arg cos 0ωω θθϕω jj eHneHAny =++= gdzie
faza systemu dla 0ω
( ) [ ] ( )000 e ee ωωω jkj
k
j HkhH ∗∞
−∞=
− =⋅= ∑ jeśli [ ]kh jest rzeczywiste
‘ Andrzej Kotyra
Dla idealnego układu opóźniającego mamy (z przykładu 4):
( ) 1e =ωjH ( )[ ] dj nH ωω −=earg
[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]ϕωωϕωθϕωω +−=−+=++= ddj nnAnnAneHAny 0000 coscoscos0
Odpowiedź częstotliwościowa dyskretnych liniowych systemów niezmiennych w czasie jest zawsze funkcją okresową
( ) [ ] [ ] ( )nj
n
nj
n
j nhnheH πωωω 2ee +−∞
−∞=
−∞
−∞=∑∑ == ( ) njnjnjnj ωπωπω −−−+− =
== e
1eee 22321
( )( ) ( )ωπω jj eHeH =+2
Przykład 6: Odpowiedź częstotliwościowa układu średniej ruchomej
⎪⎧ 1 1N NN
[ ]⎪⎩
⎪⎨⎧ −≤≤−
++=n
MnMMMnh
0
, 1
121
21
hpozostałyc dla21
1
, 1
2
1
21
NNaaaa
N
Nk
NNk ≥
−−
=∑=
+
( )( )
ω
ωωωω
j
MjMjM
Mn
njj
MMMMH −
+−
−=
−
−−
++=
++= ∑ e1
ee1
1e1
1e1
2121
212
1
( ) [ ] kj
k
j khH ωω −∞
−∞=
⋅= ∑ ee
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
16
( )( ) ( )
( )
( ) ( )( )
( )[ ]( )
( ) 221
222
2121
21
212121
21
12
122121
122121
e21sin1
eeeee
11
ee1ee
11e
MMj
MMjjj
MMjMMj
MMjj
MMjMMjj
MM
MM
MMH
−−
−−−−
++−++
+−−−
++−++
++=
=−−
++=
=−−
++=
ω
ωωω
ωω
ωω
ωωω
ω( )21 2sin1MM ++ ω
układ ma charakter filtru dolnoprzepustowego
‘ Andrzej Kotyra
Odpowiedź układu LTI na wymuszenie o postaci [ ] [ ]nunx njωe=
Zakładamy, że n = 0
[ ][ ]⎪
⎩
⎪⎨
⎧
≥⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
<
=∑
=
− 0 ,ee
0 ,0
0nkh
n
nynj
n
k
kj ωω suma splotowa
skok jednostkowy
Dla n ≥ 0 : ⎩ ⎠⎝Dla n ≥ 0 :
[ ] [ ] [ ] ( ) [ ] nj
nk
kjnjjnj
nk
kjnj
k
kj khHkhkhny ωωωωωωωω eeeeeeee110
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∑∑∑
∞
+=
−∞
+=
−∞
=
−
składowa ustalona składowa przejściowa
Składowa przejściowa jest identyczna z odpowiedzią układu na s gnał kładnic postaci [ ] ( )∞∞−∈= ;e nnx njωsygnał wykładniczy w postaci: [ ] ( )∞∞∈ ; e nnx
Składowa przejściowa może zanikać:
[ ] [ ]∑∑∞
+=
∞
+=
− ≤11
eenknk
njkj khkh ωω
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
16
( )( ) ( )
( )
( ) ( )( )
( )[ ]( )
( ) 221
222
2121
21
212121
21
12
122121
122121
e21sin1
eeeee
11
ee1ee
11e
MMj
MMjjj
MMjMMj
MMjj
MMjMMjj
MM
MM
MMH
−−
−−−−
++−++
+−−−
++−++
++=
=−−
++=
=−−
++=
ω
ωωω
ωω
ωω
ωωω
ω( )21 2sin1MM ++ ω
układ ma charakter filtru dolnoprzepustowego
‘ Andrzej Kotyra
Odpowiedź układu LTI na wymuszenie o postaci [ ] [ ]nunx njωe=
Zakładamy, że n = 0
[ ][ ]⎪
⎩
⎪⎨
⎧
≥⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
<
=∑
=
− 0 ,ee
0 ,0
0nkh
n
nynj
n
k
kj ωω suma splotowa
skok jednostkowy
Dla n ≥ 0 : ⎩ ⎠⎝Dla n ≥ 0 :
[ ] [ ] [ ] ( ) [ ] nj
nk
kjnjjnj
nk
kjnj
k
kj khHkhkhny ωωωωωωωω eeeeeeee110
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∑∑∑
∞
+=
−∞
+=
−∞
=
−
składowa ustalona składowa przejściowa
Składowa przejściowa jest identyczna z odpowiedzią układu na s gnał kładnic postaci [ ] ( )∞∞−∈= ;e nnx njωsygnał wykładniczy w postaci: [ ] ( )∞∞∈ ; e nnx
Składowa przejściowa może zanikać:
[ ] [ ]∑∑∞
+=
∞
+=
− ≤11
eenknk
njkj khkh ωω
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
17
Jeżeli odpowiedź impulsowa ma skończoną długość, tzn. [ ] Mnnh ≤≤= 0 0 oprócz
[ ] ( ) 1 ,ee −>= MnHny njj ωω
Jeżeli odpowiedź impulsowa ma długość nieskończoną, wówczas.
[ ] [ ] [ ]∑∑∑∞
=
∞
+=
∞
+=
− ≤≤011
eeknknk
njkj khkhkh ωω Jeżeli [ ]∑∞
=
∞<0
k
kh układ jest stabilny ++ 011 knknk
Warunkiem wystarczającym zanikania składowej przejściowej jest stabilność układu.
Warunek stabilności jest również warunkiem wystarczającym istnienia odpowiedzi w dziedzinie częstotliwości
( ) [ ] [ ] [ ]∑∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
−∞
−∞=
− ≤≤=kk
kj
k
kjj khkhkhH ωωω eee
[ ]∑∞
=
∞<0
k
kh Ogólny warunek istnienia odpowiedzi w dziedzinie częstotliwości
‘ Andrzej Kotyra
Rozwijanie funkcji ciągłej w szereg funkcji wzajemnie ortogonalnych. Szereg Fouriera
Niech będzie dana funkcja x(t) określona w zbiorze liczb rzeczywistych. Chcemy znaleźć aproksymację tej funkcji dla t∈⟨t0;t0+T⟩ za pomocą zbioru bazowych funkcji ortogonalnych fk(t)
( ) ( )Tt
∫+0
il k l f k ji ( ) ( ) jitftffft
jiji ≠== ∫ 0,0
* dla
( ) ( ) ( ) ( ) ε+=⇒≈ ∑∑∞
−∞=
∞
−∞= kkk
kkk tfctxtfctx
błąd
Należy tak dobrać współczynniki ck, aby błąd był minimalny (średniokwadratowy)
( ) ( )2
1∫ ∑+ ∞
⎥⎤
⎢⎡
−=Tt
kk
o
tfctxε
iloczyn skalarny funkcjizespolonych fi, fj na ⟨t0;t0+T⟩
aproksymacja x(t) za pomocą zbioru funkcji bazowych fk(t)
( ) ( )∫ ∑−∞=
⎥⎦
⎢⎣t k
kk
o
tfctxT
ε
022110
=∂∂=
∂∂=
∂∂=
∂∂=
∂∂
−−
Lcccccεεεεε
dla dowolnego cn ( ) ( ) 01 0
0
2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
∂∂
∫ ∑+ ∞
−∞=
Tt
t kkk
n
dttfctxTc
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
17
Jeżeli odpowiedź impulsowa ma skończoną długość, tzn. [ ] Mnnh ≤≤= 0 0 oprócz
[ ] ( ) 1 ,ee −>= MnHny njj ωω
Jeżeli odpowiedź impulsowa ma długość nieskończoną, wówczas.
[ ] [ ] [ ]∑∑∑∞
=
∞
+=
∞
+=
− ≤≤011
eeknknk
njkj khkhkh ωω Jeżeli [ ]∑∞
=
∞<0
k
kh układ jest stabilny ++ 011 knknk
Warunkiem wystarczającym zanikania składowej przejściowej jest stabilność układu.
Warunek stabilności jest również warunkiem wystarczającym istnienia odpowiedzi w dziedzinie częstotliwości
( ) [ ] [ ] [ ]∑∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
−∞
−∞=
− ≤≤=kk
kj
k
kjj khkhkhH ωωω eee
[ ]∑∞
=
∞<0
k
kh Ogólny warunek istnienia odpowiedzi w dziedzinie częstotliwości
‘ Andrzej Kotyra
Rozwijanie funkcji ciągłej w szereg funkcji wzajemnie ortogonalnych. Szereg Fouriera
Niech będzie dana funkcja x(t) określona w zbiorze liczb rzeczywistych. Chcemy znaleźć aproksymację tej funkcji dla t∈⟨t0;t0+T⟩ za pomocą zbioru bazowych funkcji ortogonalnych fk(t)
( ) ( )Tt
∫+0
il k l f k ji ( ) ( ) jitftffft
jiji ≠== ∫ 0,0
* dla
( ) ( ) ( ) ( ) ε+=⇒≈ ∑∑∞
−∞=
∞
−∞= kkk
kkk tfctxtfctx
błąd
Należy tak dobrać współczynniki ck, aby błąd był minimalny (średniokwadratowy)
( ) ( )2
1∫ ∑+ ∞
⎥⎤
⎢⎡
−=Tt
kk
o
tfctxε
iloczyn skalarny funkcjizespolonych fi, fj na ⟨t0;t0+T⟩
aproksymacja x(t) za pomocą zbioru funkcji bazowych fk(t)
( ) ( )∫ ∑−∞=
⎥⎦
⎢⎣t k
kk
o
tfctxT
ε
022110
=∂∂=
∂∂=
∂∂=
∂∂=
∂∂
−−
Lcccccεεεεε
dla dowolnego cn ( ) ( ) 01 0
0
2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
∂∂
∫ ∑+ ∞
−∞=
Tt
t kkk
n
dttfctxTc
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
18
( ) ( ) ( ) ( ) 021 0
0
22 =⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−
∂∂
∫ ∑ ∑+ ∞
−∞=
∞
−∞=
Tt
t k kkkkk
n
dttfctfctxtxTc
( )[ ] ( ) ( ) ( ) 012112
20
0
0
0
0
0
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
−∂∂ ∑∫∫ ∑∫
∞
−∞=
++ ∞
−∞=
+
dttfccT
dttfcc
txT
dttxcT k
kk
Tt
t n
Tt
t kkk
n
Tt
t n
( ) ( )∫ ∑∫ ∑+ ∞
−∞=
+ ∞
−∞=
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂ Tt
t kkk
n
Tt
t kkk
n
dttfccT
dttfccT
0
0
0
0
22
211
( )[ ] 01 0
0
2 =∂∂
∫+Tt
t n
dttxcT
( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ∑++ ∞
−∞=
=∂∂ Tt
tn
Tt
t kkk
n
dttftxT
dttfcc
txT
0
0
0
0
2121
⎞⎜⎛∂
∫∫∫∫++++ TtTtTtTt 00001 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++++
∂∂
+ ∫∫∫∫ KKtt
nnttn
dtctftfcdtctftfcdtctftfcdtctftfccT
0000
33221133112211 22221
ze względu na ortogonalność fk(t) całe to wyrażenie =0
( ) ( ) ( )∫∫ ∑∫ ∑++ ∞
−∞=
+ ∞
−∞=
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂ Tt
tnn
Tt
t kkk
n
Tt
t kkk
n
dttfcT
dttfccT
dttfccT
0
0
0
0
0
0
222
2
2111stąd
‘ Andrzej Kotyra
ostatecznie: ( ) ( ) ( ) 02121 0
0
0
0
2 =+− ∫∫++ Tt
tnn
Tt
tn dttfc
Tdttftx
T
stąd
( ) ( )∫+Tt
tn dttftx
0
0stąd
( )∫+= Tt
tn
tn
dttfc
0
0
0
2
Dla zespolonych funkcji ortogonalnych fk(t) i zespolonych sygnałów x(t):
( ) ( )∫+Tt
dttftx0
*( ) ( )
( ) ( )∫
∫+= Tt
tnn
tn
dttftf
dttftxc
n
0
0
0
*
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
18
( ) ( ) ( ) ( ) 021 0
0
22 =⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−
∂∂
∫ ∑ ∑+ ∞
−∞=
∞
−∞=
Tt
t k kkkkk
n
dttfctfctxtxTc
( )[ ] ( ) ( ) ( ) 012112
20
0
0
0
0
0
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
−∂∂ ∑∫∫ ∑∫
∞
−∞=
++ ∞
−∞=
+
dttfccT
dttfcc
txT
dttxcT k
kk
Tt
t n
Tt
t kkk
n
Tt
t n
( ) ( )∫ ∑∫ ∑+ ∞
−∞=
+ ∞
−∞=
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂ Tt
t kkk
n
Tt
t kkk
n
dttfccT
dttfccT
0
0
0
0
22
211
( )[ ] 01 0
0
2 =∂∂
∫+Tt
t n
dttxcT
( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ∑++ ∞
−∞=
=∂∂ Tt
tn
Tt
t kkk
n
dttftxT
dttfcc
txT
0
0
0
0
2121
⎞⎜⎛∂
∫∫∫∫++++ TtTtTtTt 00001 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++++
∂∂
+ ∫∫∫∫ KKtt
nnttn
dtctftfcdtctftfcdtctftfcdtctftfccT
0000
33221133112211 22221
ze względu na ortogonalność fk(t) całe to wyrażenie =0
( ) ( ) ( )∫∫ ∑∫ ∑++ ∞
−∞=
+ ∞
−∞=
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂ Tt
tnn
Tt
t kkk
n
Tt
t kkk
n
dttfcT
dttfccT
dttfccT
0
0
0
0
0
0
222
2
2111stąd
‘ Andrzej Kotyra
ostatecznie: ( ) ( ) ( ) 02121 0
0
0
0
2 =+− ∫∫++ Tt
tnn
Tt
tn dttfc
Tdttftx
T
stąd
( ) ( )∫+Tt
tn dttftx
0
0stąd
( )∫+= Tt
tn
tn
dttfc
0
0
0
2
Dla zespolonych funkcji ortogonalnych fk(t) i zespolonych sygnałów x(t):
( ) ( )∫+Tt
dttftx0
*( ) ( )
( ) ( )∫
∫+= Tt
tnn
tn
dttftf
dttftxc
n
0
0
0
*
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
19
Harmoniczne zespolone funkcje bazowe
Jeżeli założymy, że fn(t) są zespolonymi sygnałami harmonicznymi w postaci:
Tak określony zbiór funkcji jest ortogonalny, ponieważ dla : nm ≠
( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==== t
nTjt
nTtf tTnjtnfjtnj
nππππω 2sin2coseee 22 00
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( )( )[ ][ ]
( )[ ]( ) ( )[ ]
( )( )[ ]
( )[ ]
( )( )[ ]
( )( )[ ]1e
2e
21ee
2eee
2
eee,
222
2
222
222*
00
000
0
0
0
0
0
0
0
=−−
=−
−=
=−−
=−
=
====
−−−
−
−+−+−
+−
+−
+
∫∫∫
TnmjTnmj
TnmjnmjT
dtdtdttftfff
nmjtTnmjTTnmj
tTnmj
tTnmjTtTnmjTt
ttTnmj
Tt
t
tTnmjTt
t
tTnjtTmjTt
tnmnm
ππ
ππ
πππ
π
πππ
πππ
( )[ ]
( ) ( )( ) ( )( ) 012sin2cos2e
01
2 0
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−−−
−=
−
44 344 2144 344 21nmjnm
Tnmj
tTnmj
πππ
π
( ) ( ) ( )[ ] TdtdtdttftfffTt
t
Tt
t
tTnmjTt
tnmnm ==== ∫∫∫
++−
+ 0
0
0
0
0
0
02* ee, πnm =Jeśli ,
‘ Andrzej Kotyra
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫ +−
+
+−
+−
+−
+
+
====Tt
t
tjnTt
t
Tt
t
tjn
Tt
t
tjntjn
Tt
t
tjn
Tt
tnn
Tt
tn dttx
Tdt
dttx
dt
dttx
dttftf
dttftxc
n 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
00
0
0
0
0
0
0
0 e1
e
e
ee
e
0*
*
ω
ω
ωω
ω
Wówczas:
K,2 ,1 0, ±±=n
Jeśli n=0 ( )∫+
=Tt
dttxc01 Wartość średnia dla t∈⟨t0; t0+T⟩
Jeśli n=0 ( )∫=t
dttxT
c0
0
Załóżmy, że x(t) przyjmuje wyłącznie wartości rzeczywiste.
( ) ( )txtx =*
( ) ∑∞
−∞=
=k
tjkkctx 0e ω jeśli wykonamy operacje sprzężenia równ. oraz
zmienimy kierunek sumowania:
( )∞∞∞∞
kk −→*cc =
Wtedy:
( ) ∑∑∑∑−∞=
−−∞=−∞=
−−∞=
− =⇒==k
tjkk
k
tjkk
k
tjkk
k
tjkn cccctx 0000 ee ee **** ωωωω
( ) [ ] [ ]∑∑∑∞
=
−∞
=
−−
∞
−∞=
=++=++==1
*0
10
00000 eeeeek
tjkk
tjkk
k
tjkk
tjkk
k
tjkn ccccccctx ωωωωω
[ ]∑∞
=
+=1
00eRe2
k
tjkkcc ω
kk cc −=
kk cc −=*
, ponieważ: ( )xajbajbaxx Re22* ==−++=+
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
19
Harmoniczne zespolone funkcje bazowe
Jeżeli założymy, że fn(t) są zespolonymi sygnałami harmonicznymi w postaci:
Tak określony zbiór funkcji jest ortogonalny, ponieważ dla : nm ≠
( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==== t
nTjt
nTtf tTnjtnfjtnj
nππππω 2sin2coseee 22 00
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( )( )[ ][ ]
( )[ ]( ) ( )[ ]
( )( )[ ]
( )[ ]
( )( )[ ]
( )( )[ ]1e
2e
21ee
2eee
2
eee,
222
2
222
222*
00
000
0
0
0
0
0
0
0
=−−
=−
−=
=−−
=−
=
====
−−−
−
−+−+−
+−
+−
+
∫∫∫
TnmjTnmj
TnmjnmjT
dtdtdttftfff
nmjtTnmjTTnmj
tTnmj
tTnmjTtTnmjTt
ttTnmj
Tt
t
tTnmjTt
t
tTnjtTmjTt
tnmnm
ππ
ππ
πππ
π
πππ
πππ
( )[ ]
( ) ( )( ) ( )( ) 012sin2cos2e
01
2 0
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−−−
−=
−
44 344 2144 344 21nmjnm
Tnmj
tTnmj
πππ
π
( ) ( ) ( )[ ] TdtdtdttftfffTt
t
Tt
t
tTnmjTt
tnmnm ==== ∫∫∫
++−
+ 0
0
0
0
0
0
02* ee, πnm =Jeśli ,
‘ Andrzej Kotyra
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫ +−
+
+−
+−
+−
+
+
====Tt
t
tjnTt
t
Tt
t
tjn
Tt
t
tjntjn
Tt
t
tjn
Tt
tnn
Tt
tn dttx
Tdt
dttx
dt
dttx
dttftf
dttftxc
n 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
00
0
0
0
0
0
0
0 e1
e
e
ee
e
0*
*
ω
ω
ωω
ω
Wówczas:
K,2 ,1 0, ±±=n
Jeśli n=0 ( )∫+
=Tt
dttxc01 Wartość średnia dla t∈⟨t0; t0+T⟩
Jeśli n=0 ( )∫=t
dttxT
c0
0
Załóżmy, że x(t) przyjmuje wyłącznie wartości rzeczywiste.
( ) ( )txtx =*
( ) ∑∞
−∞=
=k
tjkkctx 0e ω jeśli wykonamy operacje sprzężenia równ. oraz
zmienimy kierunek sumowania:
( )∞∞∞∞
kk −→*cc =
Wtedy:
( ) ∑∑∑∑−∞=
−−∞=−∞=
−−∞=
− =⇒==k
tjkk
k
tjkk
k
tjkk
k
tjkn cccctx 0000 ee ee **** ωωωω
( ) [ ] [ ]∑∑∑∞
=
−∞
=
−−
∞
−∞=
=++=++==1
*0
10
00000 eeeeek
tjkk
tjkk
k
tjkk
tjkk
k
tjkn ccccccctx ωωωωω
[ ]∑∞
=
+=1
00eRe2
k
tjkkcc ω
kk cc −=
kk cc −=*
, ponieważ: ( )xajbajbaxx Re22* ==−++=+
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
20
jeśli oznaczymy: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=+=−=
k
knkkkkkk a
bbacjbac arctg , , 22 ϕ
[ ] ( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )[ ]tkbtkatkjtkjbac kkkktjk
k 0000 sincossincosReeRe 0 ωωωωω +=+−=
( ) [ ] ( ) ( )[ ]∑∑∞∞
++=+= sincos2eRe2 0tjk tkbtkaccctx ωωωOstatecznie: ( ) [ ] ( ) ( )[ ]∑∑
==
++=+=1
0001
0 sincos2eRe2k
kkk
k tkbtkaccctx ωωOstatecznie:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kk
Tt
t
Tt
t
Tt
t
tjkk jbadttktx
Tjdttktx
Tdtetx
Tc −=−== ∫∫∫
+++−
0
0
0
0
0
0
000 sin1cos11 ωωω
( ) ( )∫+
=Tt
tk dttktx
Ta
0
0
0cos1 ω ( ) ( )∫+
=Tt
tk dttktx
Tb
0
0
0sin1 ω
Jeśli postać rozwinięcia w szereg jest: ( ) ( ) ( )[ ]∑∞
=
++=1
000 sincosk
kk tkbtkactx ωω
wówczas ( ) ( )∫+
=Tt
tk dttktx
Ta
0
0
0cos2 ω ( ) ( )∫+
=Tt
tk dttktx
Tb
0
0
0sin2 ω
(Postać częściej spotykana)
‘ Andrzej Kotyra
Całkowe przekształcenie Fouriera
Definicja
( ) ( ) ( ) ( ) ωωω ωω djXtxdttxjX tjtj ∫∫∞∞
− == e21 e
proste przekształcenie Fouriera odwrotne przekształcenie Fouriera
( ) ( ) ( ) ( )π
jj ∫∫∞−∞− 2
Warunkiem istnienia transformaty Fouriera jest spełnienie przez x(t) warunków Dirichleta:
( )∫∞
∞
∞<dttx1.
całka Fouriera jest miarą „zawartości” oscylacji o pulsacji ω w funkcji x(t)
0.5
1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
x1sin
∞−
2. x(t) posiada skończone wartości maksimów i minimów w każdym skończonym przedziale
3. posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości w każdym skończonym przedziale
-0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3
-1
-0.5
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
20
jeśli oznaczymy: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=+=−=
k
knkkkkkk a
bbacjbac arctg , , 22 ϕ
[ ] ( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )[ ]tkbtkatkjtkjbac kkkktjk
k 0000 sincossincosReeRe 0 ωωωωω +=+−=
( ) [ ] ( ) ( )[ ]∑∑∞∞
++=+= sincos2eRe2 0tjk tkbtkaccctx ωωωOstatecznie: ( ) [ ] ( ) ( )[ ]∑∑
==
++=+=1
0001
0 sincos2eRe2k
kkk
k tkbtkaccctx ωωOstatecznie:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kk
Tt
t
Tt
t
Tt
t
tjkk jbadttktx
Tjdttktx
Tdtetx
Tc −=−== ∫∫∫
+++−
0
0
0
0
0
0
000 sin1cos11 ωωω
( ) ( )∫+
=Tt
tk dttktx
Ta
0
0
0cos1 ω ( ) ( )∫+
=Tt
tk dttktx
Tb
0
0
0sin1 ω
Jeśli postać rozwinięcia w szereg jest: ( ) ( ) ( )[ ]∑∞
=
++=1
000 sincosk
kk tkbtkactx ωω
wówczas ( ) ( )∫+
=Tt
tk dttktx
Ta
0
0
0cos2 ω ( ) ( )∫+
=Tt
tk dttktx
Tb
0
0
0sin2 ω
(Postać częściej spotykana)
‘ Andrzej Kotyra
Całkowe przekształcenie Fouriera
Definicja
( ) ( ) ( ) ( ) ωωω ωω djXtxdttxjX tjtj ∫∫∞∞
− == e21 e
proste przekształcenie Fouriera odwrotne przekształcenie Fouriera
( ) ( ) ( ) ( )π
jj ∫∫∞−∞− 2
Warunkiem istnienia transformaty Fouriera jest spełnienie przez x(t) warunków Dirichleta:
( )∫∞
∞
∞<dttx1.
całka Fouriera jest miarą „zawartości” oscylacji o pulsacji ω w funkcji x(t)
0.5
1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
x1sin
∞−
2. x(t) posiada skończone wartości maksimów i minimów w każdym skończonym przedziale
3. posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości w każdym skończonym przedziale
-0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3
-1
-0.5
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
21
Całkowe przekształcenie Fouriera można wyprowadzić jako przypadek graniczny szeregu Fouriera.
( ) ( ) ( )∑ ∫∑ ∫∑∞
−∞= −
−∞
−∞= −
−∞
−∞=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
k
tjkT
T
tjk
k
tjkT
T
tjk
k
tjkk dttx
Tdttx
Tctx 00000 ee
212ee1e
2
2
2
2
ωωωωω
ππ
π2 ωπω dT
T →=⇒∞→2 0
Jeśli skokowa zmiana pulsacji przechodzi w ciągła, a suma po k przechodzi w całkę po ω
( ) ( ) ( )∫∫ ∫∑ ∫∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
−∞
−∞= −
−
∞→=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
πω
ππ
πωωωωω djXddttx
Tdttx tjtjtj
k
tjkT
T
tjk
Te
21ee
212ee
21lim 00
2
2
Dla rzeczywistego x(t) :a ec y stego x(t)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ωωωωω IR jXXdtttxjdtttxjX +=−= ∫∫∞
∞−
∞
∞−
sincos
( ) ( ) ( )( )ωωω jXjjXjX arge= ( ) ( ) ( )( )[ ]∫∞
∞−
+−= ωωπ
ωω dejXtx jXtj arg
21
‘ Andrzej Kotyra
Podstawowe własności przekształcenia Fouriera
Liniowość ( ) ( ) ( ) ( )ωω jbYjaXtbytax +⇔+
D: Własność ta wynika bezpośrednio z liniowości operacji całkowania
Symetria ( ) ( )ωπ −⇔ xjtX 2
Ω→t( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )ωπ
ππ ωω −⋅=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΩΩ== ∫∫
∞
∞−
−Ω∞
∞−
− xdjXdtjtXjtX jtj 2e212eF
D:
Skalowanie ( ) ⎟⎞
⎜⎛⇔ Xatx ω1( ) ⎟
⎠⎜⎝
⇔a
Xa
atx
D:
( )( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=== ∫∫
∞
∞−
−∞
∞−
−
aX
adx
adtatxatx a
jtj ωτττωω 1e1eF
adtdat =⇒= ττ
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
21
Całkowe przekształcenie Fouriera można wyprowadzić jako przypadek graniczny szeregu Fouriera.
( ) ( ) ( )∑ ∫∑ ∫∑∞
−∞= −
−∞
−∞= −
−∞
−∞=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
k
tjkT
T
tjk
k
tjkT
T
tjk
k
tjkk dttx
Tdttx
Tctx 00000 ee
212ee1e
2
2
2
2
ωωωωω
ππ
π2 ωπω dT
T →=⇒∞→2 0
Jeśli skokowa zmiana pulsacji przechodzi w ciągła, a suma po k przechodzi w całkę po ω
( ) ( ) ( )∫∫ ∫∑ ∫∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
−∞
−∞= −
−
∞→=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
πω
ππ
πωωωωω djXddttx
Tdttx tjtjtj
k
tjkT
T
tjk
Te
21ee
212ee
21lim 00
2
2
Dla rzeczywistego x(t) :a ec y stego x(t)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ωωωωω IR jXXdtttxjdtttxjX +=−= ∫∫∞
∞−
∞
∞−
sincos
( ) ( ) ( )( )ωωω jXjjXjX arge= ( ) ( ) ( )( )[ ]∫∞
∞−
+−= ωωπ
ωω dejXtx jXtj arg
21
‘ Andrzej Kotyra
Podstawowe własności przekształcenia Fouriera
Liniowość ( ) ( ) ( ) ( )ωω jbYjaXtbytax +⇔+
D: Własność ta wynika bezpośrednio z liniowości operacji całkowania
Symetria ( ) ( )ωπ −⇔ xjtX 2
Ω→t( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )ωπ
ππ ωω −⋅=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΩΩ== ∫∫
∞
∞−
−Ω∞
∞−
− xdjXdtjtXjtX jtj 2e212eF
D:
Skalowanie ( ) ⎟⎞
⎜⎛⇔ Xatx ω1( ) ⎟
⎠⎜⎝
⇔a
Xa
atx
D:
( )( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=== ∫∫
∞
∞−
−∞
∞−
−
aX
adx
adtatxatx a
jtj ωτττωω 1e1eF
adtdat =⇒= ττ
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
22
Skalowaniu w dziedzinie czasu odpowiada odwrotne skalowanie w dziedzinie częstotliwości
Jeżeli zmniejszymy skalę czasową („ściśniemy” sygnał) to będzie temu odpowiadać poszerzenie widma tego sygnału
‘ Andrzej Kotyra
Przesunięcie w dziedzinie czasu
( ) ( )ωω jXttx tj 0e0−⇔−
D:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]{ }
00
arg
00 eeee
tjXjtj
jtjtjtj
jXjX
dxdxdtttxttx
ωωω
ωτωτωω ττττ
−−
∞
∞−
−−∞
∞−
+−∞
∞−
− ===−=− ∫∫∫F
( ) ( ) ( )[ ]{ }00 argee tjXjtj jXjX ωωω ωω −− ==
Przesunięcie sygnału w dziedzinie czasu odpowiada przesunięciu w fazie jego transformaty Fouriera. Moduły dowolnego (spełniającego warunki transf.) sygnału i sygnału przesuniętego są sobie równe.
Przesunięcie w dziedzinie częstotliwości (modulacja zespolona)
( ) ( )( )00e ωωω mjXtxtj ⇔±
Modulacja (wymnożenie) sygnału x(t) przez sygnał daje przesunięcie widma do pulsacji ±ω0
( ) ( )( )0e ωω mjXtx ⇔
D: ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )( )0000 eeee ωωωωωωω mm jXdttxdttxtx tjtjtjtj ∫∫
∞
∞−
−∞
∞−
−±± ===F
0e tjω±
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
22
Skalowaniu w dziedzinie czasu odpowiada odwrotne skalowanie w dziedzinie częstotliwości
Jeżeli zmniejszymy skalę czasową („ściśniemy” sygnał) to będzie temu odpowiadać poszerzenie widma tego sygnału
‘ Andrzej Kotyra
Przesunięcie w dziedzinie czasu
( ) ( )ωω jXttx tj 0e0−⇔−
D:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]{ }
00
arg
00 eeee
tjXjtj
jtjtjtj
jXjX
dxdxdtttxttx
ωωω
ωτωτωω ττττ
−−
∞
∞−
−−∞
∞−
+−∞
∞−
− ===−=− ∫∫∫F
( ) ( ) ( )[ ]{ }00 argee tjXjtj jXjX ωωω ωω −− ==
Przesunięcie sygnału w dziedzinie czasu odpowiada przesunięciu w fazie jego transformaty Fouriera. Moduły dowolnego (spełniającego warunki transf.) sygnału i sygnału przesuniętego są sobie równe.
Przesunięcie w dziedzinie częstotliwości (modulacja zespolona)
( ) ( )( )00e ωωω mjXtxtj ⇔±
Modulacja (wymnożenie) sygnału x(t) przez sygnał daje przesunięcie widma do pulsacji ±ω0
( ) ( )( )0e ωω mjXtx ⇔
D: ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )( )0000 eeee ωωωωωωω mm jXdttxdttxtx tjtjtjtj ∫∫
∞
∞−
−∞
∞−
−±± ===F
0e tjω±
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
23
Modulacja rzeczywista
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )[ ]000
000
2sin
21cos
ωωωωω
ωωωωω
+−−−
⇔
++−⇔
XXjttx
XXttx
D:W ik ó E l ł ś i ( ) [ ]tjtj 00
1 ωω −Wynika ze wzorów Eulera, z własności liniowości operacji całkowania oraz modulacji zespolonej.
( ) [ ]
( ) [ ]tjtj
tjtj
eejt
eet
00
00
2sin
2cos
0
0
ωω
ωω
ω
ω
−−−⇔
+⇔
Iloczyn sygnałów
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ωωννωνπ
ω jYjXdjYjXjZtytxtz ⊗=−=⇔= ∫∞
∞−21
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )tytxdjYdjX
ddjYjXtz
tjtj
tj
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΩΩ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
∫∫
∫ ∫∞
∞−
Ω∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
e21e
21
e21
21
πνν
π
ωννωνππ
ν
ωD: νωνω +Ω=⇒−=Ω
‘ Andrzej Kotyra
Splot sygnałów
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ωωωτττ jYjXjZdtyxtytxtz ∫∞
∞−
=⇔−=⊗=
D:( ) ( ) ( ) ( ) ( )τξξτττττ ωξωτω ddydxdtdtyx jjtj =+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− ∫ ∫∫ ∫ −
∞
∞−
∞
∞−
−−∞
∞−
∞
∞−
eee
( ) ( ) ( ) ( )ωωξξττ ωξωτ jYjXdydx jj =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∫∫
∞
∞−
−∞
∞−
− eeτξ
τξτξ
dddt
tt
+=⇒
+=⇒−=
Pochodna sygnału( ) ( ) ( )ωω jXj
dttxd n
n
n
⇔
D ( ) ( )nd
∫∞1D: ( ) ( ) n
tj
dtddjXtx ωω
πω∫
∞−
= e21
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫∫−−
==ω
ω
ωω
ω
ω ωωωπ
ωωωπ
djXjdjXjdt
txd tjntjnn
n
e21e
21
( ) ( )ωω jXj n jest transformatą Fouriera n-tej pochodnej x(t)
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
23
Modulacja rzeczywista
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )[ ]000
000
2sin
21cos
ωωωωω
ωωωωω
+−−−
⇔
++−⇔
XXjttx
XXttx
D:W ik ó E l ł ś i ( ) [ ]tjtj 00
1 ωω −Wynika ze wzorów Eulera, z własności liniowości operacji całkowania oraz modulacji zespolonej.
( ) [ ]
( ) [ ]tjtj
tjtj
eejt
eet
00
00
2sin
2cos
0
0
ωω
ωω
ω
ω
−−−⇔
+⇔
Iloczyn sygnałów
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ωωννωνπ
ω jYjXdjYjXjZtytxtz ⊗=−=⇔= ∫∞
∞−21
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )tytxdjYdjX
ddjYjXtz
tjtj
tj
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΩΩ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
∫∫
∫ ∫∞
∞−
Ω∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
e21e
21
e21
21
πνν
π
ωννωνππ
ν
ωD: νωνω +Ω=⇒−=Ω
‘ Andrzej Kotyra
Splot sygnałów
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ωωωτττ jYjXjZdtyxtytxtz ∫∞
∞−
=⇔−=⊗=
D:( ) ( ) ( ) ( ) ( )τξξτττττ ωξωτω ddydxdtdtyx jjtj =+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− ∫ ∫∫ ∫ −
∞
∞−
∞
∞−
−−∞
∞−
∞
∞−
eee
( ) ( ) ( ) ( )ωωξξττ ωξωτ jYjXdydx jj =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∫∫
∞
∞−
−∞
∞−
− eeτξ
τξτξ
dddt
tt
+=⇒
+=⇒−=
Pochodna sygnału( ) ( ) ( )ωω jXj
dttxd n
n
n
⇔
D ( ) ( )nd
∫∞1D: ( ) ( ) n
tj
dtddjXtx ωω
πω∫
∞−
= e21
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫∫−−
==ω
ω
ωω
ω
ω ωωωπ
ωωωπ
djXjdjXjdt
txd tjntjnn
n
e21e
21
( ) ( )ωω jXj n jest transformatą Fouriera n-tej pochodnej x(t)
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
24
Całka sygnału
( ) ( ) ( ) ( )ωδπωω
ττ∫∞−
+⇔t
XjXj
dx 01
Korelacja sygnału
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ωωωτττ jYjXjZdtyxtz ** =⇔−= ∫∞
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ωωωτττ jYjXjZdtyxtz =⇔= ∫∞−
D: Analogiczny jak dla splotu
Równość Parservala
( ) ( )∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
= ωωπ
djXdttx 22
21
∞ ∞ ∞ ∞ ⎞⎛ 1D: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛== txdjXdttxtxdttx tj **2 e
21 ωωπ
ω
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
πωωω
πωω
πω djXdjXjXddttxjX tj 2**
21
21e
21
Przekształcenie Fouriera zachowuje energię sygnału
‘ Andrzej Kotyra
Transformaty Fouriera niektórych sygnałów
impuls prostokątny: ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
≤
>=
T
TtpT
t dla 1
t dla 0
( ) [ ] ( ) ( ) ( )TTT
TTTjj
dtdttpTjTj
TT
tjT
T
tjtjT ω
ωωω
ωωω
ωωωωω Sa2sin2sin2eee1ee ===
−−
=−
==−
−−
−
−∞
∞−
− ∫∫
delta Diraca:
D lt Di ż t kt ć j k i d k i l t k t dl T 0Deltę Diraca można potraktować jako graniczny przypadek impulsu prostokątnego, dla T→0:
( ) ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
→tp
Tt TT 2
1lim0
δ
( ) ( ) ( ) 1sinlime21lime
21lim
000=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
→
∞
∞−
−
→
∞
∞−
−
→ ∫∫ TTdttp
Tdttp
T T
tjTT
tjTT ω
ωωω
reguła d’Hospitala
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
24
Całka sygnału
( ) ( ) ( ) ( )ωδπωω
ττ∫∞−
+⇔t
XjXj
dx 01
Korelacja sygnału
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ωωωτττ jYjXjZdtyxtz ** =⇔−= ∫∞
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ωωωτττ jYjXjZdtyxtz =⇔= ∫∞−
D: Analogiczny jak dla splotu
Równość Parservala
( ) ( )∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
= ωωπ
djXdttx 22
21
∞ ∞ ∞ ∞ ⎞⎛ 1D: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛== txdjXdttxtxdttx tj **2 e
21 ωωπ
ω
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
πωωω
πωω
πω djXdjXjXddttxjX tj 2**
21
21e
21
Przekształcenie Fouriera zachowuje energię sygnału
‘ Andrzej Kotyra
Transformaty Fouriera niektórych sygnałów
impuls prostokątny: ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
≤
>=
T
TtpT
t dla 1
t dla 0
( ) [ ] ( ) ( ) ( )TTT
TTTjj
dtdttpTjTj
TT
tjT
T
tjtjT ω
ωωω
ωωω
ωωωωω Sa2sin2sin2eee1ee ===
−−
=−
==−
−−
−
−∞
∞−
− ∫∫
delta Diraca:
D lt Di ż t kt ć j k i d k i l t k t dl T 0Deltę Diraca można potraktować jako graniczny przypadek impulsu prostokątnego, dla T→0:
( ) ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
→tp
Tt TT 2
1lim0
δ
( ) ( ) ( ) 1sinlime21lime
21lim
000=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
→
∞
∞−
−
→
∞
∞−
−
→ ∫∫ TTdttp
Tdttp
T T
tjTT
tjTT ω
ωωω
reguła d’Hospitala
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
25
( )[ ] 1=tδF
nieskończenie krótki czas trwania
nieskończenie szerokie widmo
Szereg impulsów Diraca:
( ) ( ) ∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
=−=k
tjkk
kTT ckTtt 0e ωδδ szereg impulsów Diraca jest funkcją okresową,
zatem współczynniki rozwinięcia w szereg Fouriera
( )T
dttT
cT
T
tjkk
1e1 2
2
0 == ∫−
− ωδ ( ) 1=∫∞
∞−
dttδ ( ) ∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
=−⇒k
tjk
kT T
kTt 0e1 ωδ
‘ Andrzej Kotyra
( )[ ] ( )
( ) ( ) ( )∑∑∑ ∫
∑ ∫∫ ∑∫ ∑∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
∞−
−−
∞
−∞=
∞
∞−
−∞
∞−
−∞
−∞=
∞
∞−
−∞
−∞=
−=−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
kkk
tkj
k
tjtjktj
k
tjktj
kTT
kT
kT
dtT
dtT
dtT
dtkTtt
00221e1
ee1ee1e
0
00
ωωδπωωπδ
δδ
ωω
ωωωωωF
sygnał sinusoidalny (kosinusoidalny):
( )[ ] ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )00
00
2221
ee21e
2eeesinsin 00
00
ωωπδωωπδ
ωω ωωωωωωω
ω
+−−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
−== ∫∫∫∫
∞
∞−
+−∞
∞−
−−∞
∞−
−−∞
∞−
−
j
dtdtj
dtj
dttt tjtjtjtjtj
tjF
( )[ ] ( ) ( )( )000 2221cos ωωπδωωπδω ++−=tF
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
25
( )[ ] 1=tδF
nieskończenie krótki czas trwania
nieskończenie szerokie widmo
Szereg impulsów Diraca:
( ) ( ) ∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
=−=k
tjkk
kTT ckTtt 0e ωδδ szereg impulsów Diraca jest funkcją okresową,
zatem współczynniki rozwinięcia w szereg Fouriera
( )T
dttT
cT
T
tjkk
1e1 2
2
0 == ∫−
− ωδ ( ) 1=∫∞
∞−
dttδ ( ) ∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
=−⇒k
tjk
kT T
kTt 0e1 ωδ
‘ Andrzej Kotyra
( )[ ] ( )
( ) ( ) ( )∑∑∑ ∫
∑ ∫∫ ∑∫ ∑∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
∞−
−−
∞
−∞=
∞
∞−
−∞
∞−
−∞
−∞=
∞
∞−
−∞
−∞=
−=−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
kkk
tkj
k
tjtjktj
k
tjktj
kTT
kT
kT
dtT
dtT
dtT
dtkTtt
00221e1
ee1ee1e
0
00
ωωδπωωπδ
δδ
ωω
ωωωωωF
sygnał sinusoidalny (kosinusoidalny):
( )[ ] ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )00
00
2221
ee21e
2eeesinsin 00
00
ωωπδωωπδ
ωω ωωωωωωω
ω
+−−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
−== ∫∫∫∫
∞
∞−
+−∞
∞−
−−∞
∞−
−−∞
∞−
−
j
dtdtj
dtj
dttt tjtjtjtjtj
tjF
( )[ ] ( ) ( )( )000 2221cos ωωπδωωπδω ++−=tF
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
26
Część sygnału kosinusoidalnego wycięta przez okno prostokątne
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )
000
eee1e1ee
e2
eeecosecoscos
000000
00
ωωω
ωωωωωωωωωωωω
ωωω
ωω
−+
=+
===
++−−−+−−+−
− −
−−
−∞
∞−
−
∫
∫ ∫∫ dtdttdttpttpt
TjTjTtjTtjT tjtj
T
T
T
T
tjtjtj
tjtjTTF
[ ]( )
[ ]( ) ( )
( ) ( )
( )( )[ ]
( )( )[ ]
( )0
0
0
0
0
000
sinsin2
ee
2eee
21e
21
2ee
00
ωωωω
ωωωω
ωω
ωωωωωωωωωω
−−
+++
=−−
+
++
−=−
++
−=+
=
−−−
−−
−∫
TTj
jjjdt
TjTj
TT
T
‘ Andrzej Kotyra
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
26
Część sygnału kosinusoidalnego wycięta przez okno prostokątne
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )
000
eee1e1ee
e2
eeecosecoscos
000000
00
ωωω
ωωωωωωωωωωωω
ωωω
ωω
−+
=+
===
++−−−+−−+−
− −
−−
−∞
∞−
−
∫
∫ ∫∫ dtdttdttpttpt
TjTjTtjTtjT tjtj
T
T
T
T
tjtjtj
tjtjTTF
[ ]( )
[ ]( ) ( )
( ) ( )
( )( )[ ]
( )( )[ ]
( )0
0
0
0
0
000
sinsin2
ee
2eee
21e
21
2ee
00
ωωωω
ωωωω
ωω
ωωωωωωωωωω
−−
+++
=−−
+
++
−=−
++
−=+
=
−−−
−−
−∫
TTj
jjjdt
TjTj
TT
T
‘ Andrzej Kotyra
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
27
Widmo części sygnału kosinusoidalnego wyciętej oknem prostokątnym zawiera wąski tzw. listek główny i wiele listków bocznych.
Wpływ szerokości okna prostokątnego na jego widmo amplitudowe
‘ Andrzej Kotyra
Możliwe jest stosowanie okien innych niż prostokątne. Aby zminimalizować ilość i amplitudę listków bocznych można np. dodawać odpowiednio przeskalowane i przesunięte widma okna prostokątnego
Np. okno Tukeya lub Tukeya-Hanninga (od Juliusa Von Hanna)
( ) ( ) ( ) ( )TWTWWW prostprostprostHanninga πωπωωω ++−+= 25,025,05,0
( ) ( ) ( ) ( ) TtjTtj( ) ( ) ( ) ( ) Ttjprost
TtjprostprostHanninga twtwtwtw ππ −++= e25,0e25,05,0
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )twTttwtw prostprostTtjTtj
Hanninga πππ cos5,05,0ee25,05,0 +=++= −
Okno Hanninga
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
27
Widmo części sygnału kosinusoidalnego wyciętej oknem prostokątnym zawiera wąski tzw. listek główny i wiele listków bocznych.
Wpływ szerokości okna prostokątnego na jego widmo amplitudowe
‘ Andrzej Kotyra
Możliwe jest stosowanie okien innych niż prostokątne. Aby zminimalizować ilość i amplitudę listków bocznych można np. dodawać odpowiednio przeskalowane i przesunięte widma okna prostokątnego
Np. okno Tukeya lub Tukeya-Hanninga (od Juliusa Von Hanna)
( ) ( ) ( ) ( )TWTWWW prostprostprostHanninga πωπωωω ++−+= 25,025,05,0
( ) ( ) ( ) ( ) TtjTtj( ) ( ) ( ) ( ) Ttjprost
TtjprostprostHanninga twtwtwtw ππ −++= e25,0e25,05,0
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )twTttwtw prostprostTtjTtj
Hanninga πππ cos5,05,0ee25,05,0 +=++= −
Okno Hanninga
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
28
Definicje niektórych okien czasowych (dyskretnych)
Okno prostokątne:( ) 1 , ... 2, 1, ,0 dla 1 −== Nnnw
Okno Bartletta (okno trójkątne)
10dla2⎪⎪⎧ −
≤≤Nnn
( ) 1
21 dla
122
20 dla
1
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
−≤≤−
−−
≤≤−=
NnNN
n
nNnw
Okno Kaisera (parametryczne)
1121
2
0 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+−−
NNnI β
( ) ( ) 1 , ... 2, 1, ,0 dla 0
−=⎠⎝ ⎠⎝= Nn
Inw
β
( ) ( ) !
211
2
0 ∑∞
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=
m
m
mxxI
Zmodyfikowana funkcja Bessela pierwszego rodzaju zerowego rzęduprzy czym:
Okna w postaci:
( ) 1 , ... 2, 1, ,0 dla 1
6cos1
4cos1
2cos −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−−= Nn
NnD
NnC
NnBAnw πππ
• Okno von Hanna (częściej nazywane o. Hanninga):
0 0 5,0 5,0 ==== DCBA ( ) 1 , ... 2, 1, ,0 dla 1
2cos15,0 −=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−= Nn
Nnnw π
• Okno(a) Blackmana:
0 08,0 5,0 42,0 ==== DCBA podstawowe
• Okno Hamminga):
0 0 46,0 54,0 ==== DCBA ( ) 1 , ... 2, 1, ,0 dla 1
2cos46,054,0 −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−= Nn
Nnnw π
( ) 1 , ... 2, 1, ,0 dla 1
4cos08,01
2cos5,042,0 −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−−= Nn
Nn
Nnnw ππ
0 07922,0 49755,0 42323,0 ==== DCBA
0 05677,0 49364,0 44959,0 ==== DCBA
01168,0 14128,0 48829,0 35875,0 ==== DCBA
00183,0 09392,0 49703,0 40217,0 ==== DCBA
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
28
Definicje niektórych okien czasowych (dyskretnych)
Okno prostokątne:( ) 1 , ... 2, 1, ,0 dla 1 −== Nnnw
Okno Bartletta (okno trójkątne)
10dla2⎪⎪⎧ −
≤≤Nnn
( ) 1
21 dla
122
20 dla
1
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
−≤≤−
−−
≤≤−=
NnNN
n
nNnw
Okno Kaisera (parametryczne)
1121
2
0 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+−−
NNnI β
( ) ( ) 1 , ... 2, 1, ,0 dla 0
−=⎠⎝ ⎠⎝= Nn
Inw
β
( ) ( ) !
211
2
0 ∑∞
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=
m
m
mxxI
Zmodyfikowana funkcja Bessela pierwszego rodzaju zerowego rzęduprzy czym:
Okna w postaci:
( ) 1 , ... 2, 1, ,0 dla 1
6cos1
4cos1
2cos −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−−= Nn
NnD
NnC
NnBAnw πππ
• Okno von Hanna (częściej nazywane o. Hanninga):
0 0 5,0 5,0 ==== DCBA ( ) 1 , ... 2, 1, ,0 dla 1
2cos15,0 −=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−= Nn
Nnnw π
• Okno(a) Blackmana:
0 08,0 5,0 42,0 ==== DCBA podstawowe
• Okno Hamminga):
0 0 46,0 54,0 ==== DCBA ( ) 1 , ... 2, 1, ,0 dla 1
2cos46,054,0 −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−= Nn
Nnnw π
( ) 1 , ... 2, 1, ,0 dla 1
4cos08,01
2cos5,042,0 −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−−= Nn
Nn
Nnnw ππ
0 07922,0 49755,0 42323,0 ==== DCBA
0 05677,0 49364,0 44959,0 ==== DCBA
01168,0 14128,0 48829,0 35875,0 ==== DCBA
00183,0 09392,0 49703,0 40217,0 ==== DCBA
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
29
Typ okna maksymalnaamplituda
listkabocznego
[dB]
Szerokośćlistka
głównego[pulsacja
znormalizowana]
prostokątne –13 4π/N
von Hanna 31 8π/Nvon Hanna –31 8 /N
Hamminga –41 8π/N
Blackmana –57 12π/N
‘ Andrzej Kotyra
Twierdzenie o próbkowaniu
Próbkowanie równomierne sygnału ciągłego x(t) może zostać przedstawione jako mnożenie tego sygnału przez szereg impulsów Diraca
( ) ( ) ( )∑∞
−∞=
−⋅=k
kTttxtx δδ
Iloczyn w dziedzinie czasu ⇔ splot w dziedzinie częstotliwości
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )T
ωkjX
kjXkjXjX
pk
pp
kpp
kpp
πωωωπ
ωωδωωπ
ωωδωωπ
ωδ
2 ,21
21
21
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⊗=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−⊗=
∑
∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
( )ωδ jX
( )ωjX Widmo sygnału
Widmo sygnału po spróbkowaniu
Widmo spróbkowanego sygnału analogowego Xδ(jω) składa się z powielonych i poprzesuwanych widm sygnału oryginalnego X(jω) . Aby można było odtworzyć widmo X(jω) na podstawie widmaXδ(jω), sygnał x(t) powinien posiadać widmo ograniczone.
po spróbkowaniu
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
29
Typ okna maksymalnaamplituda
listkabocznego
[dB]
Szerokośćlistka
głównego[pulsacja
znormalizowana]
prostokątne –13 4π/N
von Hanna 31 8π/Nvon Hanna –31 8 /N
Hamminga –41 8π/N
Blackmana –57 12π/N
‘ Andrzej Kotyra
Twierdzenie o próbkowaniu
Próbkowanie równomierne sygnału ciągłego x(t) może zostać przedstawione jako mnożenie tego sygnału przez szereg impulsów Diraca
( ) ( ) ( )∑∞
−∞=
−⋅=k
kTttxtx δδ
Iloczyn w dziedzinie czasu ⇔ splot w dziedzinie częstotliwości
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )T
ωkjX
kjXkjXjX
pk
pp
kpp
kpp
πωωωπ
ωωδωωπ
ωωδωωπ
ωδ
2 ,21
21
21
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⊗=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−⊗=
∑
∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
( )ωδ jX
( )ωjX Widmo sygnału
Widmo sygnału po spróbkowaniu
Widmo spróbkowanego sygnału analogowego Xδ(jω) składa się z powielonych i poprzesuwanych widm sygnału oryginalnego X(jω) . Aby można było odtworzyć widmo X(jω) na podstawie widmaXδ(jω), sygnał x(t) powinien posiadać widmo ograniczone.
po spróbkowaniu
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
30
Widmo sygnału próbkowanego
Jeśli fmax jest maksymalną częstotliwością sygnału analogowego x(t), wówczas aby z sygnału spróbkowanego odtworzyć sygnał oryginalny, częstotliwość próbkowania fp musi musi być co najmniej dwa razy większa.
maxp ff 2≥ Tw. Shannona-Kotielnikowa
o ograniczonym widmie
Widmo sygnału spróbkowanego z pulsacją ωp , ωp > ωmax/2
Charakterystyka częstotliwościowa idealnego filtru rekonstruującego z pulsacją ωp ,ωg > ωp1/2
‘ Andrzej Kotyra
Widmo zrekonstruowanego sygnału, próbkowanego z ωp > ωmax/2
Widmo sygnału spróbkowanego z pulsacją ωp , ωp < ωmax/2
Widmo zrekonstruowanego sygnału, próbkowanego z ωp < ωmax/2
ALIASING
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
30
Widmo sygnału próbkowanego
Jeśli fmax jest maksymalną częstotliwością sygnału analogowego x(t), wówczas aby z sygnału spróbkowanego odtworzyć sygnał oryginalny, częstotliwość próbkowania fp musi musi być co najmniej dwa razy większa.
maxp ff 2≥ Tw. Shannona-Kotielnikowa
o ograniczonym widmie
Widmo sygnału spróbkowanego z pulsacją ωp , ωp > ωmax/2
Charakterystyka częstotliwościowa idealnego filtru rekonstruującego z pulsacją ωp ,ωg > ωp1/2
‘ Andrzej Kotyra
Widmo zrekonstruowanego sygnału, próbkowanego z ωp > ωmax/2
Widmo sygnału spróbkowanego z pulsacją ωp , ωp < ωmax/2
Widmo zrekonstruowanego sygnału, próbkowanego z ωp < ωmax/2
ALIASING
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
31
Jeżeli oznacza transformatę Fouriera filtru, wówczas synteza sygnału ma postać:( )ωjΠ
( ) ( ) ( )[ ]ωωω
πδ jjXtx
p
Π⋅= −∧
12 F przy założeniach, że pmp ωωωω == g ,2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
∧
−−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⊗⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−=
k m
mm
km kTtkTtkTx
ttkTtktxtx
ωω
πωδ
ωπ sinsin
sygnał po zrekonstruowaniu
odwrotne przekształcenie Fouriera widma filtra rekonstruującego (prostokątnego w dziedzinie ω ):
( ) [ ] [ ] ( )t
tjtjt
ddj mtjtjjjj mmm
m
m
m
m πω
ππω
πωω
πωωω
ωω
ω
ω
ωωω
sinee121e1
21e
21e
21
=−===Π −−
−
∞
∞−∫∫
Jeśli mp T ωπω 22 ==
⎞⎛⎞⎛ ω( )( )
( )
( )
( )
( )
( )=
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=−
−
kTtT
kTtT
kTt
kTt
kTtkTt
p
p
m
m
π
π
ω
ω
ωω
sin
2
2sin
sin⎪⎩
⎪⎨⎧
==
≠=
kmmTt
kmmTt
, dla 1
, dla 0
Funkcja rekonstruująca przesunięta do kT i pomnożona przez x(kT) daje x(kT) dla innych wielokrotności T, =0.
‘ Andrzej Kotyra
Próbkowanie sygnałów pasmowych
W przypadku sygnałów pasmowych możliwa jest rekonstrukcja sygnału z częstotliwością próbkowania mniejszą niż ω - brak inwersji częstotliwości
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
31
Jeżeli oznacza transformatę Fouriera filtru, wówczas synteza sygnału ma postać:( )ωjΠ
( ) ( ) ( )[ ]ωωω
πδ jjXtx
p
Π⋅= −∧
12 F przy założeniach, że pmp ωωωω == g ,2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
∧
−−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⊗⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−=
k m
mm
km kTtkTtkTx
ttkTtktxtx
ωω
πωδ
ωπ sinsin
sygnał po zrekonstruowaniu
odwrotne przekształcenie Fouriera widma filtra rekonstruującego (prostokątnego w dziedzinie ω ):
( ) [ ] [ ] ( )t
tjtjt
ddj mtjtjjjj mmm
m
m
m
m πω
ππω
πωω
πωωω
ωω
ω
ω
ωωω
sinee121e1
21e
21e
21
=−===Π −−
−
∞
∞−∫∫
Jeśli mp T ωπω 22 ==
⎞⎛⎞⎛ ω( )( )
( )
( )
( )
( )
( )=
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=−
−
kTtT
kTtT
kTt
kTt
kTtkTt
p
p
m
m
π
π
ω
ω
ωω
sin
2
2sin
sin⎪⎩
⎪⎨⎧
==
≠=
kmmTt
kmmTt
, dla 1
, dla 0
Funkcja rekonstruująca przesunięta do kT i pomnożona przez x(kT) daje x(kT) dla innych wielokrotności T, =0.
‘ Andrzej Kotyra
Próbkowanie sygnałów pasmowych
W przypadku sygnałów pasmowych możliwa jest rekonstrukcja sygnału z częstotliwością próbkowania mniejszą niż ω - brak inwersji częstotliwości
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
32
Próbkowanie sygnałów pasmowych
rekonstrukcja sygnału pasmowego z częstotliwością próbkowania mniejszą niż ω - inwersja częstotliwości
‘ Andrzej Kotyra
Dyskretna transformata Fouriera
Ogólny przypadek analizy fourierowskiej sygnałów można podzielić na cztery przypadki:• przekształcenie Fouriera dla sygnałów ciągłych (ciągły czas i częstotliwość)
• szereg Fouriera dla sygnałów ciągłych (ciągły czas i dyskretna częstotliwość)
• przekształcenie Fouriera dla sygnałów dyskretnych (dyskretny czas i ciągła częstotliwość)
Dla sygnałów ciągłych: ( ) ( )∫∫++
− ==Tt
t
Tt
t
tjnn dttx
Tcdttx
Tc
0
0
0
0
01 ,e1
0ω
J ż li i d N ób k k ł ( ) k i N któ dl ł l d
• szereg Fouriera dla sygnałów dyskretnych (dyskretny czas i dyskretna częstotliwość) –Dyskretna Transformata Fouriera (DTF)
Jeżeli posiadamy N próbek okresowego sygnału x(t) o okresie N, które odległe są względem siebie o Δt (okres próbkowania):
( ) ( )tNT
TnxnxΔ⋅=
+=
tNkfkf
tNTf
k Δ⋅=⋅=
Δ⋅==
0
011
k- ta harmoniczna
Harmoniczna podstawowa
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
32
Próbkowanie sygnałów pasmowych
rekonstrukcja sygnału pasmowego z częstotliwością próbkowania mniejszą niż ω - inwersja częstotliwości
‘ Andrzej Kotyra
Dyskretna transformata Fouriera
Ogólny przypadek analizy fourierowskiej sygnałów można podzielić na cztery przypadki:• przekształcenie Fouriera dla sygnałów ciągłych (ciągły czas i częstotliwość)
• szereg Fouriera dla sygnałów ciągłych (ciągły czas i dyskretna częstotliwość)
• przekształcenie Fouriera dla sygnałów dyskretnych (dyskretny czas i ciągła częstotliwość)
Dla sygnałów ciągłych: ( ) ( )∫∫++
− ==Tt
t
Tt
t
tjnn dttx
Tcdttx
Tc
0
0
0
0
01 ,e1
0ω
J ż li i d N ób k k ł ( ) k i N któ dl ł l d
• szereg Fouriera dla sygnałów dyskretnych (dyskretny czas i dyskretna częstotliwość) –Dyskretna Transformata Fouriera (DTF)
Jeżeli posiadamy N próbek okresowego sygnału x(t) o okresie N, które odległe są względem siebie o Δt (okres próbkowania):
( ) ( )tNT
TnxnxΔ⋅=
+=
tNkfkf
tNTf
k Δ⋅=⋅=
Δ⋅==
0
011
k- ta harmoniczna
Harmoniczna podstawowa
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
33
Dla takiego (spróbkowanego) sygnału x(t)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑−
=
−−
=
ΔΔ⋅
−−
=
Δ− ⋅=⋅=Δ⋅ΔΔ
=1
0
21
0
21
0e1e1e1
0
N
n
knN
jN
n
tntN
jkN
n
tnjkk nx
Nnx
Nttnx
tNc
ππω
tnt Δ= tdt Δ=
K,2 ,1 ,0 ±±=k
Można zatem obliczyć współczynniki Fouriera tylko dla dodatnich (albo tylko ujemnych) k
Ponieważ funkcja jest okresowa względem N, zatem kn
Nj π2
e− ( )nNk
Njkn
Nj +−−
=ππ 22
ee
Ostatecznie:
( )∑−
=
−⋅=
1
0
2
e1 N
n
knN
j
k nxN
cπ
1,,2 ,1 ,0 −= Nk K=0n
W praktyce nie jest możliwe zrealizowanie sumowania nieskończonej ilości składników, zatem transformacie podlega tylko fragment sygnału
Transformowaniu ulega iloczyn sygnału i okna prostokątnego zatem w dziedzinie częstotliwości wyznaczany jest splot widma sygnału i okna prostokątnego
‘ Andrzej Kotyra
Dyskretna transformata Fouriera: Odwrotna dyskretna transformata Fouriera:
( ) ( ) ( )∑−
=
Ω−Ω ⋅=1
0
eeN
n
njjN nxX ( ) ( )( )∫−
ΩΩ Ω=π
ππdXnx njjN ee
21
Ilość prążków widma może być dowolna, ale najczęściej przyjmuje się ilość prążków widma równą N, tzn. tyle ile wynosi ilość próbek sygnału transformowanego
( ) ( )ΩjNX e
1,,2 ,1 ,0 −= Nk K
( ) ( )∑−
=
−⋅=
1
0
2
e1 N
n
knN
jnx
NkX
π
Dyskretna transformata Fouriera: Odwrotna dyskretna transformata Fouriera:
( ) ( )∑−
=
⋅=1
0
2
eN
n
knN
jkXnx
π
1,,2 ,1 ,0 −= Nk K
W literaturze istnieje również następująca definicja DTF
1,,2 ,1 ,0 −= Nk K
( ) ( )∑−
=
−⋅=
1
0
2
eN
n
knN
jnxkX
π
( ) ( )∑−
=
⋅=1
0
2
e1 N
n
knN
jkX
Nnx
π
1,,2 ,1 ,0 −= Nk K
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
33
Dla takiego (spróbkowanego) sygnału x(t)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑−
=
−−
=
ΔΔ⋅
−−
=
Δ− ⋅=⋅=Δ⋅ΔΔ
=1
0
21
0
21
0e1e1e1
0
N
n
knN
jN
n
tntN
jkN
n
tnjkk nx
Nnx
Nttnx
tNc
ππω
tnt Δ= tdt Δ=
K,2 ,1 ,0 ±±=k
Można zatem obliczyć współczynniki Fouriera tylko dla dodatnich (albo tylko ujemnych) k
Ponieważ funkcja jest okresowa względem N, zatem kn
Nj π2
e− ( )nNk
Njkn
Nj +−−
=ππ 22
ee
Ostatecznie:
( )∑−
=
−⋅=
1
0
2
e1 N
n
knN
j
k nxN
cπ
1,,2 ,1 ,0 −= Nk K=0n
W praktyce nie jest możliwe zrealizowanie sumowania nieskończonej ilości składników, zatem transformacie podlega tylko fragment sygnału
Transformowaniu ulega iloczyn sygnału i okna prostokątnego zatem w dziedzinie częstotliwości wyznaczany jest splot widma sygnału i okna prostokątnego
‘ Andrzej Kotyra
Dyskretna transformata Fouriera: Odwrotna dyskretna transformata Fouriera:
( ) ( ) ( )∑−
=
Ω−Ω ⋅=1
0
eeN
n
njjN nxX ( ) ( )( )∫−
ΩΩ Ω=π
ππdXnx njjN ee
21
Ilość prążków widma może być dowolna, ale najczęściej przyjmuje się ilość prążków widma równą N, tzn. tyle ile wynosi ilość próbek sygnału transformowanego
( ) ( )ΩjNX e
1,,2 ,1 ,0 −= Nk K
( ) ( )∑−
=
−⋅=
1
0
2
e1 N
n
knN
jnx
NkX
π
Dyskretna transformata Fouriera: Odwrotna dyskretna transformata Fouriera:
( ) ( )∑−
=
⋅=1
0
2
eN
n
knN
jkXnx
π
1,,2 ,1 ,0 −= Nk K
W literaturze istnieje również następująca definicja DTF
1,,2 ,1 ,0 −= Nk K
( ) ( )∑−
=
−⋅=
1
0
2
eN
n
knN
jnxkX
π
( ) ( )∑−
=
⋅=1
0
2
e1 N
n
knN
jkX
Nnx
π
1,,2 ,1 ,0 −= Nk K
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
34
Własności Dyskretnego przekształcenia Fouriera
Liniowość ( ) ( )[ ] ( ) ( )∑∑∑−
=
−−
=
−−
=
−⋅+⋅=⋅+
1
0
21
0
21
0
2
e1e1e1 N
n
knN
jN
n
knN
jN
n
knN
jny
Nbnx
Nanbynax
N
πππ
Niewrażliwość na przesunięcie 0nnm −=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑−
=
−−−−
=
+−−
=
−=⋅=⋅=⋅−
1
0
2221
0
21
0
2
0000 ee1ee1e1 N
m
knN
jkmN
jknN
jN
m
nmkN
jN
n
knN
jkXmx
Nmx
Nnnx
N
πππππ
Splot sygnałów dyskretnych
[ ] [ ] [ ]kYkXkZ ⋅=
N NNNN πππππ 21 1 21 21 21 2 ⎤⎡ ⎞⎛⎞⎛( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) klN
jN
k
N
m
kmN
jN
n
knN
jN
n
klN
jN
n
klN
jmynxkYkXkZlz
πππππ 21
0
1
0
21
0
21
0
21
0
2
eeeee ⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⋅=⋅= ∑ ∑∑∑∑
−
=
−
=
−−
=
−−
=
−
=
( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑
−
=
−−−
=
−
=
=1
0
21
0
1
0
e1 N
k
nmlkN
jN
m
N
n
mynxN
lzπ
‘ Andrzej Kotyra
21
1
, 1
2
1
21
NNaaaa
N
Nk
NNk ≥
−−
=∑=
+
( )∑
−
=
−−1
0
2
eN
k
nmlkN
j π
Oszacujmy:
( )( )
( )
( )nmlkj
nmlkN
j
NnmlkN
jN
k
nmlkN
j
−−
−−Π
−−−
=
−−=
−
−=∑
π
ππ
2
2
21
0
2
e1e1
e1e
( )nmlkN
ja
−−Π
=2
e
111
01
0
1
0
≠−
=−
=⇒
−+==⇒= ∑∑−
=
−
=
aaaS
aaSaSaaSa
NN
NN
k
kN
k
k
( )
( )nmlkN
j −−−
−= π2
e1
e1
( )
( )[ ] ( )[ ] 12sin2cose 2
=−−−−−=== −−
nmlkpjnmlkpa pnmlkjpN
ππ
π
Jeśli wyrażenie będzie całkowitą wielokrotnością N, (p-tą wielokrotną), wówczas: nml −−
NN
kpjN kpN
Nj
=+++== ∑∑−−
31 K 111ee1
21 2
ππ
W przeciwnym przypadku wyrażenie w liczniku, a
1 ,11
≠−
=−
=⇒ aaa
S
Nkk∑∑
==43421
00 więc i całość =0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑∑−
=
−
=
−−−
=
−
=
−==1
0
1
0
21
0
1
0
e1 N
n
N
k
nmlkN
jN
m
N
n
nlynxmynxN
lzπ
Ostatecznie:
Splot cykliczny (kołowy)
1,,2 ,1 ,0 −= Nl K
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
34
Własności Dyskretnego przekształcenia Fouriera
Liniowość ( ) ( )[ ] ( ) ( )∑∑∑−
=
−−
=
−−
=
−⋅+⋅=⋅+
1
0
21
0
21
0
2
e1e1e1 N
n
knN
jN
n
knN
jN
n
knN
jny
Nbnx
Nanbynax
N
πππ
Niewrażliwość na przesunięcie 0nnm −=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑−
=
−−−−
=
+−−
=
−=⋅=⋅=⋅−
1
0
2221
0
21
0
2
0000 ee1ee1e1 N
m
knN
jkmN
jknN
jN
m
nmkN
jN
n
knN
jkXmx
Nmx
Nnnx
N
πππππ
Splot sygnałów dyskretnych
[ ] [ ] [ ]kYkXkZ ⋅=
N NNNN πππππ 21 1 21 21 21 2 ⎤⎡ ⎞⎛⎞⎛( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) klN
jN
k
N
m
kmN
jN
n
knN
jN
n
klN
jN
n
klN
jmynxkYkXkZlz
πππππ 21
0
1
0
21
0
21
0
21
0
2
eeeee ⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⋅=⋅= ∑ ∑∑∑∑
−
=
−
=
−−
=
−−
=
−
=
( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑
−
=
−−−
=
−
=
=1
0
21
0
1
0
e1 N
k
nmlkN
jN
m
N
n
mynxN
lzπ
‘ Andrzej Kotyra
21
1
, 1
2
1
21
NNaaaa
N
Nk
NNk ≥
−−
=∑=
+
( )∑
−
=
−−1
0
2
eN
k
nmlkN
j π
Oszacujmy:
( )( )
( )
( )nmlkj
nmlkN
j
NnmlkN
jN
k
nmlkN
j
−−
−−Π
−−−
=
−−=
−
−=∑
π
ππ
2
2
21
0
2
e1e1
e1e
( )nmlkN
ja
−−Π
=2
e
111
01
0
1
0
≠−
=−
=⇒
−+==⇒= ∑∑−
=
−
=
aaaS
aaSaSaaSa
NN
NN
k
kN
k
k
( )
( )nmlkN
j −−−
−= π2
e1
e1
( )
( )[ ] ( )[ ] 12sin2cose 2
=−−−−−=== −−
nmlkpjnmlkpa pnmlkjpN
ππ
π
Jeśli wyrażenie będzie całkowitą wielokrotnością N, (p-tą wielokrotną), wówczas: nml −−
NN
kpjN kpN
Nj
=+++== ∑∑−−
31 K 111ee1
21 2
ππ
W przeciwnym przypadku wyrażenie w liczniku, a
1 ,11
≠−
=−
=⇒ aaa
S
Nkk∑∑
==43421
00 więc i całość =0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑∑−
=
−
=
−−−
=
−
=
−==1
0
1
0
21
0
1
0
e1 N
n
N
k
nmlkN
jN
m
N
n
nlynxmynxN
lzπ
Ostatecznie:
Splot cykliczny (kołowy)
1,,2 ,1 ,0 −= Nl K
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
35
Iloczyn sygnałów dyskretnych
( ) ( ) ( )nynynz ⋅= [ ] ( ) ( )∑−
=
−=1
0
1 N
p
pkYpXN
kZ
Iloczynowi dwóch sygnałów okresowych odpowiada cykliczny splot ich widm dyskretnych
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )∑ ∑∑∑∑−− −−−−−−
=⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
===21 1 21 22121
ee1e1eekn
NjN N qn
NjN pn
Njkn
NjNkn
NjN
qYN
pXN
nynxnzkZπππππ
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑ ∑ ∑
∑ ∑∑∑∑−
=
−
=
−
=
−
=
−+
= ====
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎟⎠
⎜⎝
⎟⎠
⎜⎝
1
0
1
0
1
0
1
0
2
2
0 0000
1e1 N
p
N
p
N
q
N
n
kqpnN
j
n qpnn
pkYpXN
qYpXN
qN
pN
y
π
Symetra/Asymetria
Jeśli x(n) jest sygnałem rzeczywistym
[ ]− Π− Π− ⎟⎞
⎜⎛ +
Π⎞⎛ 1 21 21 2 N kN kN kNjN ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑∑∑
−
=
Π−−
=
Π−Π−
−
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
−⋅=⋅=⋅=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
1
0
21
0
21
0
2 e1eee2
N
n
knN
jnN
n
knN
jnjN
n
nkN
jnxnxnxkNX
( ) ( ) ( ) ( )[ ] =−⋅=⋅=⋅=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ − ∑∑∑
−
=
Π−
=
ΠΠ−
−
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
Π− 1
0
21
0
21
0
22
e1eee2
N
n
knN
jnN
n
knN
jnjN
n
nkNN
jnxnxnxkNX
( ) ( )[ ]*
1
0
2
e1 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⋅= ∑
−
=
Π−N
n
knN
jnnx
‘ Andrzej Kotyra
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + kNXkNX
22*
Część rzeczywista widma jest symetryczna względem jego środka (N/2)
Część urojona widma jest asymetryczna względem jego środka (N/2)
widmo sygnału zespolonego
widmo sygnału rzeczywistego
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
35
Iloczyn sygnałów dyskretnych
( ) ( ) ( )nynynz ⋅= [ ] ( ) ( )∑−
=
−=1
0
1 N
p
pkYpXN
kZ
Iloczynowi dwóch sygnałów okresowych odpowiada cykliczny splot ich widm dyskretnych
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )∑ ∑∑∑∑−− −−−−−−
=⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
===21 1 21 22121
ee1e1eekn
NjN N qn
NjN pn
Njkn
NjNkn
NjN
qYN
pXN
nynxnzkZπππππ
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑ ∑ ∑
∑ ∑∑∑∑−
=
−
=
−
=
−
=
−+
= ====
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎟⎠
⎜⎝
⎟⎠
⎜⎝
1
0
1
0
1
0
1
0
2
2
0 0000
1e1 N
p
N
p
N
q
N
n
kqpnN
j
n qpnn
pkYpXN
qYpXN
qN
pN
y
π
Symetra/Asymetria
Jeśli x(n) jest sygnałem rzeczywistym
[ ]− Π− Π− ⎟⎞
⎜⎛ +
Π⎞⎛ 1 21 21 2 N kN kN kNjN ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑∑∑
−
=
Π−−
=
Π−Π−
−
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
−⋅=⋅=⋅=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
1
0
21
0
21
0
2 e1eee2
N
n
knN
jnN
n
knN
jnjN
n
nkN
jnxnxnxkNX
( ) ( ) ( ) ( )[ ] =−⋅=⋅=⋅=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ − ∑∑∑
−
=
Π−
=
ΠΠ−
−
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
Π− 1
0
21
0
21
0
22
e1eee2
N
n
knN
jnN
n
knN
jnjN
n
nkNN
jnxnxnxkNX
( ) ( )[ ]*
1
0
2
e1 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⋅= ∑
−
=
Π−N
n
knN
jnnx
‘ Andrzej Kotyra
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + kNXkNX
22*
Część rzeczywista widma jest symetryczna względem jego środka (N/2)
Część urojona widma jest asymetryczna względem jego środka (N/2)
widmo sygnału zespolonego
widmo sygnału rzeczywistego
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
36
Dane są dwa sygnały sinusoidalne, charakteryzujące się skokową zmianą częstotliwości
-1
Jeżeli sygnał jest rzeczywisty, wówczas brana jest pod uwagę połowa widma.
Widmo amplitudowe obydwu sygnałów jest identyczne (sygnały są rzeczywiste)
2pω
[Hz] sk fNkf =
k- ty współczynnik FFT odpowiada częstotliwości fk wyrażonej w Hz, przy czym: N – ilość próbek sygnału przetwarzanego,fs – częstotliwość próbkowania.
‘ Andrzej Kotyra
Dwa sygnały sinusoidalne, charakteryzujące się skokową zmianą częstotliwości
-1
Krótkoczasowe transformaty Fouriera powyższych sygnałów (okno prostokątne)
Dostarcza informacji na płaszczyźnie czas-częstotliwość
Częstotliwość
Czas
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
36
Dane są dwa sygnały sinusoidalne, charakteryzujące się skokową zmianą częstotliwości
-1
Jeżeli sygnał jest rzeczywisty, wówczas brana jest pod uwagę połowa widma.
Widmo amplitudowe obydwu sygnałów jest identyczne (sygnały są rzeczywiste)
2pω
[Hz] sk fNkf =
k- ty współczynnik FFT odpowiada częstotliwości fk wyrażonej w Hz, przy czym: N – ilość próbek sygnału przetwarzanego,fs – częstotliwość próbkowania.
‘ Andrzej Kotyra
Dwa sygnały sinusoidalne, charakteryzujące się skokową zmianą częstotliwości
-1
Krótkoczasowe transformaty Fouriera powyższych sygnałów (okno prostokątne)
Dostarcza informacji na płaszczyźnie czas-częstotliwość
Częstotliwość
Czas
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
37
Transformata świergotowa (chirp transform)
Przeznaczona jest do obliczania widma Fouriera analizowanego sygnału w zadanym zakresie częstotliwości z założoną rozdzielczością.
fkffk Δ⋅+= 0 Mk K,0=[ ] 1,0 −= Nnnx K[ ]
[ ] [ ] MknxkXN-
n
nfj k K,0 e1
0
2 == ∑=
− π sygnał w dziedzinie czasu – N próbek,jego transformata – M+1 próbek
[ ] [ ] ( )∑=
Δ+−=1
0
2 0eN-
n
nfkfjnxkX π
fjfj WA Δ−− == ππ ee 02Jeśli oznaczymy:
[ ] MknxN-
n
fnkjnfj K,0 ee 1
0
22 0 == ∑=
Δ−− ππ
fjfj WA == e e 0Jeśli oznaczymy:
[ ] [ ] MkWAnxkXN-
n
knn K,0 1
0
2 == ∑=
‘ Andrzej Kotyra
( ) knnknk 2222 −+=− ( )2222 nknkkn −−+=⇒
Uwzględniając to, można zapisać: [ ] [ ] 1
0
2∑=
==N-
n
knnWAnxkX [ ] ( ) 1
0
222
∑=
−−+ =N-
n
nknknWAnx
( )1N-[ ]( ) ( ) ,,0
1
0
222
∑=
−− =N-
n
nknnk MkWWAnxW K
Powyższe równanie reprezentuje splot sygnałów w dziedzinie czasu:
[ ] [ ] [ ] 22
21 nnn WnyWAn xny −==
W dziedzinie częstotliwości jest to równoważne iloczynowi widm sygnałów, Y1(k), Y2(k)W dziedzinie częstotliwości jest to równoważne iloczynowi widm sygnałów, Y1(k), Y2(k)
realizacja:
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
37
Transformata świergotowa (chirp transform)
Przeznaczona jest do obliczania widma Fouriera analizowanego sygnału w zadanym zakresie częstotliwości z założoną rozdzielczością.
fkffk Δ⋅+= 0 Mk K,0=[ ] 1,0 −= Nnnx K[ ]
[ ] [ ] MknxkXN-
n
nfj k K,0 e1
0
2 == ∑=
− π sygnał w dziedzinie czasu – N próbek,jego transformata – M+1 próbek
[ ] [ ] ( )∑=
Δ+−=1
0
2 0eN-
n
nfkfjnxkX π
fjfj WA Δ−− == ππ ee 02Jeśli oznaczymy:
[ ] MknxN-
n
fnkjnfj K,0 ee 1
0
22 0 == ∑=
Δ−− ππ
fjfj WA == e e 0Jeśli oznaczymy:
[ ] [ ] MkWAnxkXN-
n
knn K,0 1
0
2 == ∑=
‘ Andrzej Kotyra
( ) knnknk 2222 −+=− ( )2222 nknkkn −−+=⇒
Uwzględniając to, można zapisać: [ ] [ ] 1
0
2∑=
==N-
n
knnWAnxkX [ ] ( ) 1
0
222
∑=
−−+ =N-
n
nknknWAnx
( )1N-[ ]( ) ( ) ,,0
1
0
222
∑=
−− =N-
n
nknnk MkWWAnxW K
Powyższe równanie reprezentuje splot sygnałów w dziedzinie czasu:
[ ] [ ] [ ] 22
21 nnn WnyWAn xny −==
W dziedzinie częstotliwości jest to równoważne iloczynowi widm sygnałów, Y1(k), Y2(k)W dziedzinie częstotliwości jest to równoważne iloczynowi widm sygnałów, Y1(k), Y2(k)
realizacja:
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
38
Przykład: Dany jest sygnał będący superpozycją trzech sygnałów harmonicznych
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 128 25,332sin 5,302sin2 102sin2,0 321 ==== Nt nxt nxt nx πππ
-1
0
1
2
3
4A
mpl
ituda
0 20 40 60 80 100 120 140-3
-2
Czas
‘ Andrzej Kotyra
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
|FFT
|
Dyskretna transformata Fouriera
0 20 40 60 80 100 120 1400
0.2
f [Hz]
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Transformata świargotowafd = 25Hz, fg = 40HzM = 256
25 30 35 400
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f [Hz]
|FFT
|M = 256
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
38
Przykład: Dany jest sygnał będący superpozycją trzech sygnałów harmonicznych
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 128 25,332sin 5,302sin2 102sin2,0 321 ==== Nt nxt nxt nx πππ
-1
0
1
2
3
4
Am
plitu
da
0 20 40 60 80 100 120 140-3
-2
Czas
‘ Andrzej Kotyra
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
|FFT
|
Dyskretna transformata Fouriera
0 20 40 60 80 100 120 1400
0.2
f [Hz]
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Transformata świargotowafd = 25Hz, fg = 40HzM = 256
25 30 35 400
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f [Hz]
|FFT
|M = 256
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
39
Transformata Wignera-Ville’a
• Reprezentacja czasowo-częstoliwościowa• Idealnie odwzorowuje na płaszczyźnie czas-częstotliwość liniową zmianę częstotliwośc
Definicja: ( ) ∫+∞
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ += τττ τπ detxtxftS fjVW
x2)(
2*
2,( ) ∫
∞− ⎠⎝⎠⎝ 22
( ) ∫+∞
∞−
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ += ννν νπ defxfxftS fjVW
X2)(
2*
2,
sygnał x(t) jest rzeczywisty (definicja Wignera) lub analityczny (definicja Ville’a)
Reprezentacja VW posiada najlepszą koncentrację energii w przestrzeni czas-częstotliwość, ale występują pasożytnicze interferencje wzajemne o charakterze oscylacyjnymKonieczne jest redukcja interferencji – lokalne wygładzanie widma
( ) ( ) ( )m
NkjVW
x emnxmnxknSπ4
)( *,−∞+
∞−∑ −+=Wersja dyskretna:
‘ Andrzej Kotyra
Krótkoczasowa transformata Fouriera
Krótkoczasowa t.F. - Short-Time Fourier Tranform STFT, wprowadzona przez Gabora w 1946 r .
( ) ( ) ( ) dtutwtxwxuSX tju ∫
∞
∞−
−−== ωωω e,, ,
przy czym ( ) ( ) tjutwtw ωe−=( ) ( )u utwtw ω e,
oznacza rzeczywistą funkcję okna, przy czym okno jest symetryczne, tzn. ( ) ( )twtw −=
( ) ( ) ( ) ( )2
2 e,, dtutwtxuSXuXP tjS ∫
∞
∞−
−−== ωωω
- gęstość energii zlokalizowaną w oknie czasowym - nazywana jest spektrogramem( )tw
( )twjest przesuwane o u w dziedzinie czasu i modulowane z częstością ω( )tw
Jeżeli norma funkcji okna =1
( ) ( )∫∞
∞−
== 122 dttwtwJeżeli norma funkcji okna =1
( )2twWówczas można interpretować jako funkcję rozkładu prawdopodobieństwa wystąpienia swobodnej cząstki dookoła punktu u, który jest środkiem okna, ogólniej:
( )( ) 2
21 twtw
Z cząstką można skojarzyć falę opisaną przez funkcję ( )tw
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
39
Transformata Wignera-Ville’a
• Reprezentacja czasowo-częstoliwościowa• Idealnie odwzorowuje na płaszczyźnie czas-częstotliwość liniową zmianę częstotliwośc
Definicja: ( ) ∫+∞
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ += τττ τπ detxtxftS fjVW
x2)(
2*
2,( ) ∫
∞− ⎠⎝⎠⎝ 22
( ) ∫+∞
∞−
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ += ννν νπ defxfxftS fjVW
X2)(
2*
2,
sygnał x(t) jest rzeczywisty (definicja Wignera) lub analityczny (definicja Ville’a)
Reprezentacja VW posiada najlepszą koncentrację energii w przestrzeni czas-częstotliwość, ale występują pasożytnicze interferencje wzajemne o charakterze oscylacyjnymKonieczne jest redukcja interferencji – lokalne wygładzanie widma
( ) ( ) ( )m
NkjVW
x emnxmnxknSπ4
)( *,−∞+
∞−∑ −+=Wersja dyskretna:
‘ Andrzej Kotyra
Krótkoczasowa transformata Fouriera
Krótkoczasowa t.F. - Short-Time Fourier Tranform STFT, wprowadzona przez Gabora w 1946 r .
( ) ( ) ( ) dtutwtxwxuSX tju ∫
∞
∞−
−−== ωωω e,, ,
przy czym ( ) ( ) tjutwtw ωe−=( ) ( )u utwtw ω e,
oznacza rzeczywistą funkcję okna, przy czym okno jest symetryczne, tzn. ( ) ( )twtw −=
( ) ( ) ( ) ( )2
2 e,, dtutwtxuSXuXP tjS ∫
∞
∞−
−−== ωωω
- gęstość energii zlokalizowaną w oknie czasowym - nazywana jest spektrogramem( )tw
( )twjest przesuwane o u w dziedzinie czasu i modulowane z częstością ω( )tw
Jeżeli norma funkcji okna =1
( ) ( )∫∞
∞−
== 122 dttwtwJeżeli norma funkcji okna =1
( )2twWówczas można interpretować jako funkcję rozkładu prawdopodobieństwa wystąpienia swobodnej cząstki dookoła punktu u, który jest środkiem okna, ogólniej:
( )( ) 2
21 twtw
Z cząstką można skojarzyć falę opisaną przez funkcję ( )tw
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
40
Wtedy: ( )∫∞
∞−
= dttwtu 2 ogólniej: ( )
( )∫∞
∞−
= dttwttw
u 22
1
Miarą rozrzutu dookoła punktu u jest wariancja
( ) ( )∫∞
⋅−= dttwutt222σ
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa jej momentu daje się zapisać jako:( )
( ) 22
1 ωWtw
∞−2tσ jest wtedy promieniem okna czasowego, natomiast - jego szerokością22 tσ
Ogólniej: ( ) ( ) ( )∫
∞
∞−
⋅−==Δ dttwuttwtw
222 1σ Średniokwadratowy czas trwania sygnału analogowego
Korzystając z równości Parservala można analogiczne rozważania przeprowadzić w dziedzinie częstości ω
ŚŚrodek okna w dziedzinie częstości wynosi:
( )∫∞
∞−
= ωωωπ
ξ dW 2
21 ( )ωW - transformata Fouriera funkcji okna ( )tw
( ) ( )∫∞
∞−
⋅−= dtW 222
21 ωξωπ
σω ( ) ( ) ( )∫∞
∞−
⋅−==Δ dtWtw
222
21 ωξω
πσωω
‘ Andrzej Kotyra
4122 ≥ωσσ t
Wariancja jest miarą koncentracji energii wokół punktu u (w dziedzinie czasu), podobnie2tσ
2ωσ jest miarą koncentracji energii wokół punktu ξ (w dziedzinie częstości),natomiast:
Zasada nieoznaczoności Heisenberga
Zakładając: u = 0 ξ 0:
( )( ) ( )
( )( ) ( )∫∫
∫∫∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
′⋅
=⋅⋅=
dttwdttwttw
dWdttwttw
t
224
224
22
1
21 ωωω
πσσ ω
Zakładając: u = 0, ξ = 0:
( ) ( )∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
= ωωπ
djWdttw 22
21
( ) ( )∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
⋅=′ ωωωπ
djWjdttw 22
21
⇓ z nierówności Schwarza
równanie Parservala
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∞∞∞
≥ dttgtfdttgdttf 222
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( )( )
41
41
211
22
4
2
**4
2
*4
22
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
≥⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡′+′≥⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡′⋅≥
∫
∫∫∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
dttwtw
dttwtwtwtwttw
dttwtwttw
t ωσσ
całkując przez części i zakładając, że ( ) 0lim =∞→
ttwt
∫∫∫∞−∞−∞−
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
40
Wtedy: ( )∫∞
∞−
= dttwtu 2 ogólniej: ( )
( )∫∞
∞−
= dttwttw
u 22
1
Miarą rozrzutu dookoła punktu u jest wariancja
( ) ( )∫∞
⋅−= dttwutt222σ
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa jej momentu daje się zapisać jako:( )
( ) 22
1 ωWtw
∞−2tσ jest wtedy promieniem okna czasowego, natomiast - jego szerokością22 tσ
Ogólniej: ( ) ( ) ( )∫
∞
∞−
⋅−==Δ dttwuttwtw
222 1σ Średniokwadratowy czas trwania sygnału analogowego
Korzystając z równości Parservala można analogiczne rozważania przeprowadzić w dziedzinie częstości ω
ŚŚrodek okna w dziedzinie częstości wynosi:
( )∫∞
∞−
= ωωωπ
ξ dW 2
21 ( )ωW - transformata Fouriera funkcji okna ( )tw
( ) ( )∫∞
∞−
⋅−= dtW 222
21 ωξωπ
σω ( ) ( ) ( )∫∞
∞−
⋅−==Δ dtWtw
222
21 ωξω
πσωω
‘ Andrzej Kotyra
4122 ≥ωσσ t
Wariancja jest miarą koncentracji energii wokół punktu u (w dziedzinie czasu), podobnie2tσ
2ωσ jest miarą koncentracji energii wokół punktu ξ (w dziedzinie częstości),natomiast:
Zasada nieoznaczoności Heisenberga
Zakładając: u = 0 ξ 0:
( )( ) ( )
( )( ) ( )∫∫
∫∫∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
′⋅
=⋅⋅=
dttwdttwttw
dWdttwttw
t
224
224
22
1
21 ωωω
πσσ ω
Zakładając: u = 0, ξ = 0:
( ) ( )∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
= ωωπ
djWdttw 22
21
( ) ( )∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
⋅=′ ωωωπ
djWjdttw 22
21
⇓ z nierówności Schwarza
równanie Parservala
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∞∞∞
≥ dttgtfdttgdttf 222
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( )( )
41
41
211
22
4
2
**4
2
*4
22
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
≥⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡′+′≥⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡′⋅≥
∫
∫∫∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
dttwtw
dttwtwtwtwttw
dttwtwttw
t ωσσ
całkując przez części i zakładając, że ( ) 0lim =∞→
ttwt
∫∫∫∞−∞−∞−
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
41
Równość w zasadzie nieoznaczoności Heisenberga występuje wówczas, jeśli istnieje takie b
( ) ( )twbttw ⋅−=′ 2
⇓( ) 2
e btatw −=a,b - zespolone
istnieje takie a
ω
tb1
ξ1
ξ2
b2
2Δt
2Δ ω
Kostki Heisenberga
• Rozdzielczość w dziedzinie czasu i częstotliwości jest ograniczona• Im większa rozdzielczość w dziedzinie czasu (mniejsza szerokość okna w dziedzinie czasu), tym mniejsza w dziedzinie częstotliwości (szersze okno w dziedzinie częstotliwości) i na odwrót.• Największa rozdzielczość w dziedzinie czasu i częstotliwości - najmniejsze pole kostki Heisenberga- uzyskuje się dla okna Gaussa - transformata Gabora.
‘ Andrzej Kotyra
Krótkoczasowa transformata Fouriera dla przykładowego sygnału okna prostokątne o różnych długościach
Okno 512
0
20
40 200500
1000
60
80
0
10
20
30
100
0
0
10
20
30
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
41
Równość w zasadzie nieoznaczoności Heisenberga występuje wówczas, jeśli istnieje takie b
( ) ( )twbttw ⋅−=′ 2
⇓( ) 2
e btatw −=a,b - zespolone
istnieje takie a
ω
tb1
ξ1
ξ2
b2
2Δt
2Δ ω
Kostki Heisenberga
• Rozdzielczość w dziedzinie czasu i częstotliwości jest ograniczona• Im większa rozdzielczość w dziedzinie czasu (mniejsza szerokość okna w dziedzinie czasu), tym mniejsza w dziedzinie częstotliwości (szersze okno w dziedzinie częstotliwości) i na odwrót.• Największa rozdzielczość w dziedzinie czasu i częstotliwości - najmniejsze pole kostki Heisenberga- uzyskuje się dla okna Gaussa - transformata Gabora.
‘ Andrzej Kotyra
Krótkoczasowa transformata Fouriera dla przykładowego sygnału okna prostokątne o różnych długościach
Okno 512
0
20
40 200500
1000
60
80
0
10
20
30
100
0
0
10
20
30
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
42
Okno 2048
Krótkoczasowa transformata Fouriera dla przykładowego sygnału okna prostokątne o różnych długościach
0
20
40
60
100
200
300
60
80
0
10
20
30
40
20
400
0
10
20
30
40
‘ Andrzej Kotyra
Okno 8192
Krótkoczasowa transformata Fouriera dla przykładowego sygnału okna prostokątne o różnych długościach
10
15
20
40
60
80
0
20
40
0
20
40
60
5
10
0
20
40
60
60
80
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
42
Okno 2048
Krótkoczasowa transformata Fouriera dla przykładowego sygnału okna prostokątne o różnych długościach
0
20
40
60
100
200
300
60
80
0
10
20
30
40
20
400
0
10
20
30
40
‘ Andrzej Kotyra
Okno 8192
Krótkoczasowa transformata Fouriera dla przykładowego sygnału okna prostokątne o różnych długościach
10
15
20
40
60
80
0
20
40
0
20
40
60
5
10
0
20
40
60
60
80
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
43
Transformata falkowa (wavelet transform)
( ) ( )∫∞
∞−
= dtttfsf s ττ ,*ψ)(,W Ciągła transformata falkowa
Analizowana funkcja powinna być całkowalna z kwadratem tzn:
( ) { } RR ∈−∈⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= ττ
τ ,0 ,ψ1ψ , ss
ts
ts
( ) ∞<∫∞
∞−
dttf 2
Sygnał powinien charakteryzować się skończoną energią. Warunku tego nie spełnia np. zarówno sygnał stały, jaki i sinusoida
Zbiór funkcji generowanych z tzw. prototypu funkcji - falki matki (mother wavelet)
s - współczynnik skali τ - współczynnik przesunięcia (translacji)
‘ Andrzej Kotyra
( ) ( )∫ ∫∞
∞−
∞
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
Ψ=a
ddsss
ts
sc
tf τττ 2
1ψ1,1odwrotna ciągła transformata falkowa
przy czym( )
∫∞ Ψ
=2
ωω
dc ∫0 ω
Ψ(ω) - transformata Fouriera falki ψ(t).
stt ='Wprowadzając nawą zmienną otrzymujemy zależność:
⎞⎛( ) ( ) ''ψ', dta
tatfaa ∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=Ψ
ττ
skalowaniu może podlegać zarówno falka jak i analizowana funkcja.
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
43
Transformata falkowa (wavelet transform)
( ) ( )∫∞
∞−
= dtttfsf s ττ ,*ψ)(,W Ciągła transformata falkowa
Analizowana funkcja powinna być całkowalna z kwadratem tzn:
( ) { } RR ∈−∈⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= ττ
τ ,0 ,ψ1ψ , ss
ts
ts
( ) ∞<∫∞
∞−
dttf 2
Sygnał powinien charakteryzować się skończoną energią. Warunku tego nie spełnia np. zarówno sygnał stały, jaki i sinusoida
Zbiór funkcji generowanych z tzw. prototypu funkcji - falki matki (mother wavelet)
s - współczynnik skali τ - współczynnik przesunięcia (translacji)
‘ Andrzej Kotyra
( ) ( )∫ ∫∞
∞−
∞
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
Ψ=a
ddsss
ts
sc
tf τττ 2
1ψ1,1odwrotna ciągła transformata falkowa
przy czym( )
∫∞ Ψ
=2
ωω
dc ∫0 ω
Ψ(ω) - transformata Fouriera falki ψ(t).
stt ='Wprowadzając nawą zmienną otrzymujemy zależność:
⎞⎛( ) ( ) ''ψ', dta
tatfaa ∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=Ψ
ττ
skalowaniu może podlegać zarówno falka jak i analizowana funkcja.
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
44
Funkcje używane jako falki mają następujące właściwości:
1. Nie mogą mieć składowej stałej co odpowiada warunkom:
( )∫∞
( ) 0=∫∞−
tdtψ Ψ(ω) = 0 dla ω = 0
2. Warunek admisyjności (warunek konieczny istnienia transformaty odwrotnej)
( )∞<
Ψ∫
+∞
∞−
ωωω
d2
3. Powinny dostatecznie szybko zmierzać do zera (lokalizacja w dziedzinie czasu) (warunek ten nie zawsze musi być spełniony).
‘ Andrzej Kotyra
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
44
Funkcje używane jako falki mają następujące właściwości:
1. Nie mogą mieć składowej stałej co odpowiada warunkom:
( )∫∞
( ) 0=∫∞−
tdtψ Ψ(ω) = 0 dla ω = 0
2. Warunek admisyjności (warunek konieczny istnienia transformaty odwrotnej)
( )∞<
Ψ∫
+∞
∞−
ωωω
d2
3. Powinny dostatecznie szybko zmierzać do zera (lokalizacja w dziedzinie czasu) (warunek ten nie zawsze musi być spełniony).
‘ Andrzej Kotyra
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
45
Rozdzielczość czasowo-częstotliwościowa
Jeżeli oznaczają odpowiednio środek i szerokość okna ψ(t).ψΔ2 ,*t
Wówczas dla falki ψτ,s(t) środek okna będzie przypadał w punkcie *stb +
szerokość w dziedzinie czasu ψΔs2
Sygnał f(t) określony jest w oknie czasowym:
[ ]Δ++Δ−+ sstbsstb ** ,ψ
Korzystając z równania Parservala można obliczyć rozmiary odpowiedniego okna w dziedzinie częstotliwości - dla transformaty Fouriera falki ψτ,s(t):
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ+Δ− ΨΨ s
sss
ss1,1 ** ωω
ΨΔ2 ,*ω oznaczają odpowiednio środek i szerokość okna Ψ(ω).
Okno czasowo-częstotliwościowe (kostka Heisenberga) falki ψτ,s(t) wynosi zatem:
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ+Δ−×Δ++Δ−+ ΨΨ s
sss
sssstbsstb 1,1,
**** ωω
ψ
‘ Andrzej Kotyra
ω
ω∗
2s1Δψ
s1
s12Δψ
|ψ (ω)|s ,τ
t
ω∗2s2Δ ψ
s2
|ψ (ω)|s ,τ
t* t*
s2
2Δψ
Wnioski:• Dla małych wartości skali s szerokość kostki Heisenbrga w dziedzinie czasu jest mała a duża w dziedzinie częstotliwości
• Dla dużych wartości skali s szerokość kostki Heisenbrga w dziedzinie czasu jest duża a• Dla dużych wartości skali s szerokość kostki Heisenbrga w dziedzinie czasu jest duża a mała w dziedzinie częstotliwości
• Jeżeli sygnał f(t) zostanie poddany przekształceniu falkowemu, to na płaszczyźnieczasowo-częstotliwościowej zawarta jest informacja o zawartości wolno- i szybkozmiennychskładowych oraz ich lokalizacji w czasie z rozdzielczością zdeterminowaną przez kostkęHeisenberga
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
45
Rozdzielczość czasowo-częstotliwościowa
Jeżeli oznaczają odpowiednio środek i szerokość okna ψ(t).ψΔ2 ,*t
Wówczas dla falki ψτ,s(t) środek okna będzie przypadał w punkcie *stb +
szerokość w dziedzinie czasu ψΔs2
Sygnał f(t) określony jest w oknie czasowym:
[ ]Δ++Δ−+ sstbsstb ** ,ψ
Korzystając z równania Parservala można obliczyć rozmiary odpowiedniego okna w dziedzinie częstotliwości - dla transformaty Fouriera falki ψτ,s(t):
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ+Δ− ΨΨ s
sss
ss1,1 ** ωω
ΨΔ2 ,*ω oznaczają odpowiednio środek i szerokość okna Ψ(ω).
Okno czasowo-częstotliwościowe (kostka Heisenberga) falki ψτ,s(t) wynosi zatem:
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ+Δ−×Δ++Δ−+ ΨΨ s
sss
sssstbsstb 1,1,
**** ωω
ψ
‘ Andrzej Kotyra
ω
ω∗
2s1Δψ
s1
s12Δψ
|ψ (ω)|s ,τ
t
ω∗2s2Δ ψ
s2
|ψ (ω)|s ,τ
t* t*
s2
2Δψ
Wnioski:• Dla małych wartości skali s szerokość kostki Heisenbrga w dziedzinie czasu jest mała a duża w dziedzinie częstotliwości
• Dla dużych wartości skali s szerokość kostki Heisenbrga w dziedzinie czasu jest duża a• Dla dużych wartości skali s szerokość kostki Heisenbrga w dziedzinie czasu jest duża a mała w dziedzinie częstotliwości
• Jeżeli sygnał f(t) zostanie poddany przekształceniu falkowemu, to na płaszczyźnieczasowo-częstotliwościowej zawarta jest informacja o zawartości wolno- i szybkozmiennychskładowych oraz ich lokalizacji w czasie z rozdzielczością zdeterminowaną przez kostkęHeisenberga
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
46
Rozwinięcie w szereg falkowy
Współczynniki skali i przesunięcia - zdyskretyzowane, sygnał przetwarzany - ciągły
Zbiór falek tworzy bazę ortogonalną (najczęściej)
∫∞
⋅= dtttfc kjkj )()( ,, ψ rozwinięcie falkowe sygnału ciągłego f(t) o skończonej energii
Diadyczna siatka próbkowania
dyskretny zbiór falek
∫∞−
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −= j
j
jkj sskt
st
0
00
0, ψ1ψ τ
Zazwyczaj 1 ,2 00 == τs
współczynniki skali zmieniają się co oktawę, czyli z całkowitą wielokrotnością potęgi 2
)( - ),()( ,, tfctcctx kjj k
kj sygnału od niezależna stałaψ⋅= ∑∑Rekonstrukcja sygnału:
‘ Andrzej Kotyra
s
S0
2S0
Diadyczna siatka próbkowania
τ
4S0
Warunkiem koniecznym bezstratnej rekonstrukcji sygnału jest warunek stabilności
( ) ( ) ( ) ( )22
,2 ψ, tfBttftfA s ≤≤ ∑ τ( ) ( ) ( ) ( )
,,
kjs∑ τ
A, B liczby dodatnie, takie że ∞<≤< BA0
Rodzinę falek ψτ,s(t) taką że spełnia w/w warunek nazywa się rozpięciem (frame) o
granicach A, B
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
46
Rozwinięcie w szereg falkowy
Współczynniki skali i przesunięcia - zdyskretyzowane, sygnał przetwarzany - ciągły
Zbiór falek tworzy bazę ortogonalną (najczęściej)
∫∞
⋅= dtttfc kjkj )()( ,, ψ rozwinięcie falkowe sygnału ciągłego f(t) o skończonej energii
Diadyczna siatka próbkowania
dyskretny zbiór falek
∫∞−
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −= j
j
jkj sskt
st
0
00
0, ψ1ψ τ
Zazwyczaj 1 ,2 00 == τs
współczynniki skali zmieniają się co oktawę, czyli z całkowitą wielokrotnością potęgi 2
)( - ),()( ,, tfctcctx kjj k
kj sygnału od niezależna stałaψ⋅= ∑∑Rekonstrukcja sygnału:
‘ Andrzej Kotyra
s
S0
2S0
Diadyczna siatka próbkowania
τ
4S0
Warunkiem koniecznym bezstratnej rekonstrukcji sygnału jest warunek stabilności
( ) ( ) ( ) ( )22
,2 ψ, tfBttftfA s ≤≤ ∑ τ( ) ( ) ( ) ( )
,,
kjs∑ τ
A, B liczby dodatnie, takie że ∞<≤< BA0
Rodzinę falek ψτ,s(t) taką że spełnia w/w warunek nazywa się rozpięciem (frame) o
granicach A, B
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
47
Jeśli A, B wówczas rozpięcie jest rozpięciem ciasnym (tight frame), a zbiór falek tworzy bazę ortonormalną:
( ) ( )⎩⎨⎧
≠≠⇔==⇔
=∫∞
∞− i 0 i 1
ψψ ,, nkmjnkmj
tt nmkj
( )oraz ( ) 1ψ , =tkj
Jeśli A≠B bezstratna rekonstrukcja jest możliwa, ale do dekompozycji i rekonstrukcji
używane są różne rodziny falek - rozpięcie dualne.
Ortogonalność bazy falkowej zapewnia uniknięcie nadmiaru informacji o sygnale w jego rozwinięciu falkowym - nie jest to bezwględnie wymagane
wada rozwinięcia w szereg falkowy: brak tzw. niezmienności przesunięcia (shift invariance)
‘ Andrzej Kotyra
t
tx
sjτ0
W t ś i i i ć f lk h i t h l d i bi łóWartości rozwinięć falkowych przesuniętych względem siebie sygnałów mogą mieć różne wartości.
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
47
Jeśli A, B wówczas rozpięcie jest rozpięciem ciasnym (tight frame), a zbiór falek tworzy bazę ortonormalną:
( ) ( )⎩⎨⎧
≠≠⇔==⇔
=∫∞
∞− i 0 i 1
ψψ ,, nkmjnkmj
tt nmkj
( )oraz ( ) 1ψ , =tkj
Jeśli A≠B bezstratna rekonstrukcja jest możliwa, ale do dekompozycji i rekonstrukcji
używane są różne rodziny falek - rozpięcie dualne.
Ortogonalność bazy falkowej zapewnia uniknięcie nadmiaru informacji o sygnale w jego rozwinięciu falkowym - nie jest to bezwględnie wymagane
wada rozwinięcia w szereg falkowy: brak tzw. niezmienności przesunięcia (shift invariance)
‘ Andrzej Kotyra
t
tx
sjτ0
W t ś i i i ć f lk h i t h l d i bi łóWartości rozwinięć falkowych przesuniętych względem siebie sygnałów mogą mieć różne wartości.
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
48
Dyskretna transformata falkowa
Ciągłe p.f. - ciągły sygnał, nieskończenie wiele falekRozwinięcie w szereg falkowy - sygnał dyskretny, nieskończenie wiele falek
Realizacja praktyczna jest niemożliwa do osiągnięcia (w sensie przedstawionych zależności)
widmo funkcji skalującej - φ
widma falek dyskretnych
Widmo falki - filtr pasmowoprzepustowy o szerokości zmieniającej się wraz ze zmianą skali
Zwiększenie skali 2-krotne - 2 krotne zmniejszenie pasma falki i przesunięcie w stronę składowej stałej
Wprowadzenie tzw. funkcji skalującej - filtr dolnoprzepustowy
ωωn/8 ωn/4 ωn /2 ω n
j=n+1 j=n
widma falek dyskretnych
j=n+2j=n+3
‘ Andrzej Kotyra
Sygnał
Aproksymacja
Detale
Detale
2
22
W1
Analiza wielorozdzielcza (multiresolution analysis)
Aproksymacja
Aproksymacja
Detale
2
2
2
2
2 ...
V1W2
W3V2
j = 1 j = 2 j = 3
R o z d z i e l c z o ś ć
...V3
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
48
Dyskretna transformata falkowa
Ciągłe p.f. - ciągły sygnał, nieskończenie wiele falekRozwinięcie w szereg falkowy - sygnał dyskretny, nieskończenie wiele falek
Realizacja praktyczna jest niemożliwa do osiągnięcia (w sensie przedstawionych zależności)
widmo funkcji skalującej - φ
widma falek dyskretnych
Widmo falki - filtr pasmowoprzepustowy o szerokości zmieniającej się wraz ze zmianą skali
Zwiększenie skali 2-krotne - 2 krotne zmniejszenie pasma falki i przesunięcie w stronę składowej stałej
Wprowadzenie tzw. funkcji skalującej - filtr dolnoprzepustowy
ωωn/8 ωn/4 ωn /2 ω n
j=n+1 j=n
widma falek dyskretnych
j=n+2j=n+3
‘ Andrzej Kotyra
Sygnał
Aproksymacja
Detale
Detale
2
22
W1
Analiza wielorozdzielcza (multiresolution analysis)
Aproksymacja
Aproksymacja
Detale
2
2
2
2
2 ...
V1W2
W3V2
j = 1 j = 2 j = 3
R o z d z i e l c z o ś ć
...V3
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
49
Przegląd wybranych falek
Falki Daubechies
Nazwa od nazwiska Ingrid Daubechies - pierwsze falki o zwartym nośniku - o skończonej liczbie niezerowych współczynników filtrów cyfrowych - analiza falkowa mogła być realizowana na rzeczywistych (dyskretnych) sygnałach. Rząd N falki związany jest liczbą momentów zanikających, która wynosi 2N+1. - (M.Z. miara stromości w dziedzinie t i fją y , y (
Moment falki:( )∫
∞
∞−
= dtttM pp ψ
Rozwinięcie transformaty w szereg Taylora przy pomocy momentów falki:
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++++= ++ 21
13
1
22
1
1
0 !0
!20
!1001,0 nn
n
sOsMn
fsMfsMfsMfs
sWf K⎦⎣
Na podstawie warunku admisyjności pierwszy człon w nawiasie [ ] zanika. Jeśli tak dobierze się falkę, że pozostałe momenty również znikają, wówczas rozwinięcie falkowe będzie malało jak 2+ns
‘ Andrzej Kotyra
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
49
Przegląd wybranych falek
Falki Daubechies
Nazwa od nazwiska Ingrid Daubechies - pierwsze falki o zwartym nośniku - o skończonej liczbie niezerowych współczynników filtrów cyfrowych - analiza falkowa mogła być realizowana na rzeczywistych (dyskretnych) sygnałach. Rząd N falki związany jest liczbą momentów zanikających, która wynosi 2N+1. - (M.Z. miara stromości w dziedzinie t i fją y , y (
Moment falki:( )∫
∞
∞−
= dtttM pp ψ
Rozwinięcie transformaty w szereg Taylora przy pomocy momentów falki:
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++++= ++ 21
13
1
22
1
1
0 !0
!20
!1001,0 nn
n
sOsMn
fsMfsMfsMfs
sWf K⎦⎣
Na podstawie warunku admisyjności pierwszy człon w nawiasie [ ] zanika. Jeśli tak dobierze się falkę, że pozostałe momenty również znikają, wówczas rozwinięcie falkowe będzie malało jak 2+ns
‘ Andrzej Kotyra
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
50
F lki d i D b hi i t ( ó D b hi 1) t lFalki z rodziny Daubechies są niesymetryczne (oprócz Daubechies1), ortogonalne, a związane z nimi funkcje skalujące są filtrami minimalnofazowymi.
Falka Daubechies 1 (1 moment zanikający; długość nośnika wynosi 1) nazywana jest także falką Haara - zwarta postać analityczna
‘ Andrzej Kotyra
Falki Symlet
Falki Symlet stanowią modyfikację falek Daubechies, która ma na celu poprawienie ich symetrii. Pozostałe właściwości (długość nośnika, ortogonalność itp.) są takie same jak w przypadku falek Daubechies.
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
50
F lki d i D b hi i t ( ó D b hi 1) t lFalki z rodziny Daubechies są niesymetryczne (oprócz Daubechies1), ortogonalne, a związane z nimi funkcje skalujące są filtrami minimalnofazowymi.
Falka Daubechies 1 (1 moment zanikający; długość nośnika wynosi 1) nazywana jest także falką Haara - zwarta postać analityczna
‘ Andrzej Kotyra
Falki Symlet
Falki Symlet stanowią modyfikację falek Daubechies, która ma na celu poprawienie ich symetrii. Pozostałe właściwości (długość nośnika, ortogonalność itp.) są takie same jak w przypadku falek Daubechies.
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
51
Falki Meyera
Baza falkowa jest ortogonalna, ale falki Meyera nie posiadają zwartego nośnika
(dł ść ś ik j t i k ń i i lk ) N bli i d k t j
Falki Meyera (nazwa pochodzi od nazwiaska Y. Meyera) wraz z ich funkcjami skalującymi otrzymywane są na podstawie odpowiadąjcych im transformat Fouriera
(długość nośnika jest nieskończenie wielka). Numeryczne obliczenie dyskretnej
transformaty falkowej dla falek Meyera jest możliwe, ale nie za pomocą algorytmu,
którego struktura jest analogiczna do struktury algorytmu stosowanego przy obliczaniu
szybkiej transformaty Fouriera.
Falki Meyera można aproksymować za pomocą filtrów cyfrowych o skończonej
odpowiedzi (FIR)
Falki Meyera są symetryczne, charakteryzując się przy tym ograniczoną szerokością w dziedzinie widma
‘ Andrzej Kotyra
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
51
Falki Meyera
Baza falkowa jest ortogonalna, ale falki Meyera nie posiadają zwartego nośnika
(dł ść ś ik j t i k ń i i lk ) N bli i d k t j
Falki Meyera (nazwa pochodzi od nazwiaska Y. Meyera) wraz z ich funkcjami skalującymi otrzymywane są na podstawie odpowiadąjcych im transformat Fouriera
(długość nośnika jest nieskończenie wielka). Numeryczne obliczenie dyskretnej
transformaty falkowej dla falek Meyera jest możliwe, ale nie za pomocą algorytmu,
którego struktura jest analogiczna do struktury algorytmu stosowanego przy obliczaniu
szybkiej transformaty Fouriera.
Falki Meyera można aproksymować za pomocą filtrów cyfrowych o skończonej
odpowiedzi (FIR)
Falki Meyera są symetryczne, charakteryzując się przy tym ograniczoną szerokością w dziedzinie widma
‘ Andrzej Kotyra
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
52
Falki Spline (Battle–Lemarié)
Nazwa tych falek pochodzi od sposobu ich konstrukcji. Są one funkcjami sklejanymi z odcinków aproksymowanych wielomianami stopnia m
Falka Spline posiada m+1 momentów zanikających i charakteryzuje się szybkim zanikaniem w dziedzinie czasu. Mniej regularna od f. Meyera ale szybciej zanika.
‘ Andrzej Kotyra
Nazwa falki Opis matematyczny
falki
Transformata Fouriera
falki
Uwagi
Zmodulowana
funkcja Gaussa
(falka Morleta)
( ) 20 ttj eet −= ωψ( )
( )2
20
2ωω
πω−
=Ψ e( ) 00 ≡Ψ
dla ω0>>1
Druga pochodna
funkcji Gaussa ( ) ( ) 221 tett −−=ψ( ) 22
2
2ω
ωπω e=Ψ
Inne falki i ich transformaty Fouriera
„Mexican hat”( ) ( )ψ
(rys. 4.15)
Funkcja Harra ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧=tψ ( ) ( )
44sin 2
2
ωωω
ωjje
−=Ψ
Funkcja
Shannona ( ) ( ) ( )tt ππ
πψ 5,1cos5,0
5,0sin=
( )
⎩⎨⎧
=
=Ψ ω
1 dla 0 ≤ t ≤ 0,5-1 dla 0,5 ≤ t < 1 0 dla t < 0 i t ≥ 1
1 dla π < |ω| < 2π0 dla |ω| < π i |ω| ≥ 2π
Wycinek
sinusoidy o
szerokości T
( ) ( )tt 0cos ωψ = ( ) ( )20
2sin
ωωωωω
−=Ψ
t
Zależności
słuszne dla:
ω0T = 2πm
m = 1,2,3...
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
52
Falki Spline (Battle–Lemarié)
Nazwa tych falek pochodzi od sposobu ich konstrukcji. Są one funkcjami sklejanymi z odcinków aproksymowanych wielomianami stopnia m
Falka Spline posiada m+1 momentów zanikających i charakteryzuje się szybkim zanikaniem w dziedzinie czasu. Mniej regularna od f. Meyera ale szybciej zanika.
‘ Andrzej Kotyra
Nazwa falki Opis matematyczny
falki
Transformata Fouriera
falki
Uwagi
Zmodulowana
funkcja Gaussa
(falka Morleta)
( ) 20 ttj eet −= ωψ( )
( )2
20
2ωω
πω−
=Ψ e( ) 00 ≡Ψ
dla ω0>>1
Druga pochodna
funkcji Gaussa ( ) ( ) 221 tett −−=ψ( ) 22
2
2ω
ωπω e=Ψ
Inne falki i ich transformaty Fouriera
„Mexican hat”( ) ( )ψ
(rys. 4.15)
Funkcja Harra ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧=tψ ( ) ( )
44sin 2
2
ωωω
ωjje
−=Ψ
Funkcja
Shannona ( ) ( ) ( )tt ππ
πψ 5,1cos5,0
5,0sin=
( )
⎩⎨⎧
=
=Ψ ω
1 dla 0 ≤ t ≤ 0,5-1 dla 0,5 ≤ t < 1 0 dla t < 0 i t ≥ 1
1 dla π < |ω| < 2π0 dla |ω| < π i |ω| ≥ 2π
Wycinek
sinusoidy o
szerokości T
( ) ( )tt 0cos ωψ = ( ) ( )20
2sin
ωωωωω
−=Ψ
t
Zależności
słuszne dla:
ω0T = 2πm
m = 1,2,3...
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
53
100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
0.5
1
1.5
2Analyzed Signal (length = 1024)
Ca,b Coefficients - Coloration mode : init + by scale + abs
Symlet4 wavelet
25
29
33
37
41
4549
5357
61
Scale of colors from MIN to MAX
1
5
913
1721
‘ Andrzej Kotyra
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1Analyzed Signal (length = 1000)
Ca,b Coefficients - Coloration mode : init + by scale + abs
Coiflet4 wavelet
25
29
33
37
41
45
49
5357
61
Scale of colors from MIN to MAX
1
5
9
13
1721
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
53
100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
0.5
1
1.5
2Analyzed Signal (length = 1024)
Ca,b Coefficients - Coloration mode : init + by scale + abs
Symlet4 wavelet
25
29
33
37
41
4549
5357
61
Scale of colors from MIN to MAX
1
5
913
1721
‘ Andrzej Kotyra
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1Analyzed Signal (length = 1000)
Ca,b Coefficients - Coloration mode : init + by scale + abs
Coiflet4 wavelet
25
29
33
37
41
45
49
5357
61
Scale of colors from MIN to MAX
1
5
9
13
1721
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
54
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1Analyzed Signal (length = 1000)
Ca,b Coefficients - Coloration mode : init + by scale + abs
Haar wavelet
25
29
33
37
41
4549
5357
61
Scale of colors from MIN to MAX
1
5
913
1721
‘ Andrzej Kotyra
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
-0.5
0
0.5
Analyzed Signal (length = 1000)
Ca,b Coefficients - Coloration mode : init + by scale + abs
Coiflet4 wavelet
25
29
33
37
41
4549
5357
61
Scale of colors from MIN to MAX
1
5
913
1721
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
54
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1Analyzed Signal (length = 1000)
Ca,b Coefficients - Coloration mode : init + by scale + abs
Haar wavelet
25
29
33
37
41
4549
5357
61
Scale of colors from MIN to MAX
1
5
913
1721
‘ Andrzej Kotyra
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
-0.5
0
0.5
Analyzed Signal (length = 1000)
Ca,b Coefficients - Coloration mode : init + by scale + abs
Coiflet4 wavelet
25
29
33
37
41
4549
5357
61
Scale of colors from MIN to MAX
1
5
913
1721
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
55
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
-0.5
0
0.5
Analyzed Signal (length = 1000)
Ca,b Coefficients - Coloration mode : init + by scale + abs
Daubechies5 wavelet
25
29
33
37
41
4549
53
57
61
Scale of colors from MIN to MAX
1
5
9
13
1721
‘ Andrzej Kotyra
-1
0
1a
5
-1
0
1s
Decomposition at level 5 : s = a5 + d5 + d4 + d3 + d2 + d1 . Daubechies5 wavelet
0 5
0
0.5d
3
-101
d4
-0.20
0.2d
5
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.2
00.20.4
d1
-0.10
0.10.2
d2
-0.5
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
55
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
-0.5
0
0.5
Analyzed Signal (length = 1000)
Ca,b Coefficients - Coloration mode : init + by scale + abs
Daubechies5 wavelet
25
29
33
37
41
4549
53
57
61
Scale of colors from MIN to MAX
1
5
9
13
1721
‘ Andrzej Kotyra
-1
0
1a
5
-1
0
1s
Decomposition at level 5 : s = a5 + d5 + d4 + d3 + d2 + d1 . Daubechies5 wavelet
0 5
0
0.5d
3
-101
d4
-0.20
0.2d
5
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.2
00.20.4
d1
-0.10
0.10.2
d2
-0.5
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
56
358638104034Skala
11221346157017942018224224662690291431383362
2 226 450 674 898
Skala kolorów MIN MAX
0 32 64
Czas [s]Haar
‘ Andrzej Kotyra
358638104034Skala
11221346157017942018224224662690291431383362
2 226 450 674 898
Skal a kolorów MIN MAX
0 32 64Czas [s]Daubechies4
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
56
358638104034Skala
11221346157017942018224224662690291431383362
2 226 450 674 898
Skala kolorów MIN MAX
0 32 64
Czas [s]Haar
‘ Andrzej Kotyra
358638104034Skala
11221346157017942018224224662690291431383362
2 226 450 674 898
Skal a kolorów MIN MAX
0 32 64Czas [s]Daubechies4
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
57
Haar
‘ Andrzej Kotyra
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
57
Haar
‘ Andrzej Kotyra
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
58
1000
2000
50 100 150 200 250
1000
2000
Współczynniki rozwinięcia falkowego dla wybranych współczynników skali
5 10 15 20 25 30
-1000 -2000
-1000
500
1000
100
200
200 400 600 800 1000
-1000
-500
1000 2000 3000 4000
-200
-100
‘ Andrzej Kotyra
Przekształcenie Z
Definicja:
( ) [ ]( ) [ ] n
n
znxnxzX −∞
−∞=∑ ⋅== Z
dwustronne przekształcenie Z
( ) [ ] ωω jnj nxX −∞
∑ ⋅= ee przekształcenie Fouriera ciągu [ ]
zmienna zespolona
( ) [ ] n
n
znxz −∞
=∑ ⋅=
0
X jednostronne przekształcenie Z
( ) [ ]n
nxX−∞=
∑ ⋅= ee przekształcenie Fouriera ciągu x[n]
ωjrz e=Jeżeli
( ) [ ] ( ) [ ]( ) nj
n
nnj
n
j rnxrnxrX ωωω −∞
−∞=
−−∞
−∞=∑∑ ⋅=⋅= eee
Transformata Fouriera iloczynu ciągu x[n]i szeregu r -n
Jeśli r=1 → Transformata Fouriera ciągu x[n] (Dyskretna Transformata Fouriera)
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
58
1000
2000
50 100 150 200 250
1000
2000
Współczynniki rozwinięcia falkowego dla wybranych współczynników skali
5 10 15 20 25 30
-1000 -2000
-1000
500
1000
100
200
200 400 600 800 1000
-1000
-500
1000 2000 3000 4000
-200
-100
‘ Andrzej Kotyra
Przekształcenie Z
Definicja:
( ) [ ]( ) [ ] n
n
znxnxzX −∞
−∞=∑ ⋅== Z
dwustronne przekształcenie Z
( ) [ ] ωω jnj nxX −∞
∑ ⋅= ee przekształcenie Fouriera ciągu [ ]
zmienna zespolona
( ) [ ] n
n
znxz −∞
=∑ ⋅=
0
X jednostronne przekształcenie Z
( ) [ ]n
nxX−∞=
∑ ⋅= ee przekształcenie Fouriera ciągu x[n]
ωjrz e=Jeżeli
( ) [ ] ( ) [ ]( ) nj
n
nnj
n
j rnxrnxrX ωωω −∞
−∞=
−−∞
−∞=∑∑ ⋅=⋅= eee
Transformata Fouriera iloczynu ciągu x[n]i szeregu r -n
Jeśli r=1 → Transformata Fouriera ciągu x[n] (Dyskretna Transformata Fouriera)
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
59
Transformata Z jest przypadkiem ogólnym transformaty Fouriera ciągu x[n]
Obliczenie transformaty Z na okręgu jednostkowym →transformata Fouriera
0 1 =→= ωz
Im(z)
Re(z)ω
1
Zbiór takich z, że dla danego ciągu x[n] transformata Z jest zbieżna → obszar zbieżności
[ ] ∞<∑∞
−∞=
−
n
nrnx
2 πω =→= jzπω =→−= 1z
warunek zbieżności transformaty Z
okrągjednostkowy
Transformata Z może być zbieżna dla ciągów, których transformata Fouriera nie jest zbieżna
np. skok jednostkowy [ ] [ ]nunx =
[ ]∑∞
−∞=
−
n
nrnu jest zbieżny dla 1>r
w ogólnym przypadku nie jest absolutnie sumowalnyale gdy wówczas jest abs. sumowalny1>r
‘ Andrzej Kotyra
[ ] n
n
znx −∞
−∞=∑ ⋅ze zbieżność wynika, że [ ] ∞<⋅ −
∞
−∞=∑ n
n
znx
Obszar zbieżności zależy tylko od z i zawiera wszystkie z dla których transformata Z istnieje
Obszarem zbieżności (OZ) jest pierścień Im(z)
na płaszczyźnie zespolonej, którego zewnętrzny promień może → ∞
Jeśli OZ zawiera okrąg jednostkowy, wówczas istnieje transformata (dyskretna) Fouriera
Re(z)
wielomian, miejsce zerowe - zera transformaty
( ) ( )( )
( )
( ) NN
NN
MM
MM
zqzqzqzqqzpzpzpzpp
zQzPzX −−−
−−−
−−−−
−−
++++++++++
== 11
22
110
11
22
110
K
K
Transformata Z zazwyczaj daje się wyrazić w postaci funkcji wymiernej:
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
59
Transformata Z jest przypadkiem ogólnym transformaty Fouriera ciągu x[n]
Obliczenie transformaty Z na okręgu jednostkowym →transformata Fouriera
0 1 =→= ωz
Im(z)
Re(z)ω
1
Zbiór takich z, że dla danego ciągu x[n] transformata Z jest zbieżna → obszar zbieżności
[ ] ∞<∑∞
−∞=
−
n
nrnx
2 πω =→= jzπω =→−= 1z
warunek zbieżności transformaty Z
okrągjednostkowy
Transformata Z może być zbieżna dla ciągów, których transformata Fouriera nie jest zbieżna
np. skok jednostkowy [ ] [ ]nunx =
[ ]∑∞
−∞=
−
n
nrnu jest zbieżny dla 1>r
w ogólnym przypadku nie jest absolutnie sumowalnyale gdy wówczas jest abs. sumowalny1>r
‘ Andrzej Kotyra
[ ] n
n
znx −∞
−∞=∑ ⋅ze zbieżność wynika, że [ ] ∞<⋅ −
∞
−∞=∑ n
n
znx
Obszar zbieżności zależy tylko od z i zawiera wszystkie z dla których transformata Z istnieje
Obszarem zbieżności (OZ) jest pierścień Im(z)
na płaszczyźnie zespolonej, którego zewnętrzny promień może → ∞
Jeśli OZ zawiera okrąg jednostkowy, wówczas istnieje transformata (dyskretna) Fouriera
Re(z)
wielomian, miejsce zerowe - zera transformaty
( ) ( )( )
( )
( ) NN
NN
MM
MM
zqzqzqzqqzpzpzpzpp
zQzPzX −−−
−−−
−−−−
−−
++++++++++
== 11
22
110
11
22
110
K
K
Transformata Z zazwyczaj daje się wyrazić w postaci funkcji wymiernej:
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
60
( ) ( )( )
( )( )
( )( )∏
∏∏∏
=
=
=−
=−
−
−=
−
−== N
l lN
M
l lM
N
l l
M
l l
zqz
zpz
zq
zpzQzPzX
10
10
11
0
11
0
1
1
λ
γ
λ
γ
Wielomiany w liczniku i mianowniku dają się rozłożyć na czynniki:
W wielomianach występuje z-1 - kwestia przyjętej konwencji - zgodność z definicją transformaty Z
( ) ∏∏ == ll 11
pierwiastki licznika transformaty → zera transformatyMll K1 =γ
pierwiastki mianownika transformaty → bieguny transformatyNll K1 =λ
Im(z)bieguny
Re(z)
1
zera
‘ Andrzej Kotyra
Przykład 7 : Znaleźć transformatę Z i OZ dla ciągu prawostronnego [ ] [ ]nuanx n=
( ) [ ] ( )∑∑∞
=
−−∞
−∞=
=⋅=0
1
n
nn
n
n azznuazX
jest zbieżna jeśli( )zX ∞<∑∞
=
−
0
1
n
naz az >obszar zbieżności
( ) ( )∑∞
=−
−
−=
−==
01
1
11
n
n
azz
azazzX
zero (z=0)
biegun (z=a)
Im(z)
Re(z)
okrągjednostkowy
Re(z)
1a
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
60
( ) ( )( )
( )( )
( )( )∏
∏∏∏
=
=
=−
=−
−
−=
−
−== N
l lN
M
l lM
N
l l
M
l l
zqz
zpz
zq
zpzQzPzX
10
10
11
0
11
0
1
1
λ
γ
λ
γ
Wielomiany w liczniku i mianowniku dają się rozłożyć na czynniki:
W wielomianach występuje z-1 - kwestia przyjętej konwencji - zgodność z definicją transformaty Z
( ) ∏∏ == ll 11
pierwiastki licznika transformaty → zera transformatyMll K1 =γ
pierwiastki mianownika transformaty → bieguny transformatyNll K1 =λ
Im(z)bieguny
Re(z)
1
zera
‘ Andrzej Kotyra
Przykład 7 : Znaleźć transformatę Z i OZ dla ciągu prawostronnego [ ] [ ]nuanx n=
( ) [ ] ( )∑∑∞
=
−−∞
−∞=
=⋅=0
1
n
nn
n
n azznuazX
jest zbieżna jeśli( )zX ∞<∑∞
=
−
0
1
n
naz az >obszar zbieżności
( ) ( )∑∞
=−
−
−=
−==
01
1
11
n
n
azz
azazzX
zero (z=0)
biegun (z=a)
Im(z)
Re(z)
okrągjednostkowy
Re(z)
1a
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
61
[ ] [ ]1−−−= nuanx n
( ) [ ] ( )∑∑∑∑∞
=
−∞
=
−−
−∞=
−−∞
−∞=
−=−==⋅−−−=0
1
1
1
11n
n
n
nn
n
nnn
n
n zazazaznuazX
Zbieżność transformaty zachodzi jeśli azza <⇒<− 11
Przykład 8 : Znaleźć transformatę Z i OZ dla ciągu lewostronnego
ciąg lewostronny
Zbieżność transformaty zachodzi jeśli azza <⇒< 1
( ) ( )az
zza
zaza
zazXn
n
−=
−−−
=−
−=−= −
−
−
∞
=
−∑ 1
1
10
1
111
1111
zero (z=0)
biegun (z=a)
Im(z)okrągjednostkowy
Wynik jest taki sam jak dla ciągu
Re(z)
1a
prawostronnego, ale OZ są różne !
‘ Andrzej Kotyra
[ ] [ ] [ ]nununxnn
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
31
21
( ) [ ] [ ] [ ] [ ] =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
∞
−∞=
∞
−∞=
−−−∞
−∞=∑ ∑∑ 3
121
31
21 znuznuznunuzX
n n
nn
nn
n
n
nn
Przykład 9 : Znaleźć transformatę Z i OZ sumy szeregów
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
++−=
++
−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
−
−−
−−
−−
∞
=
−∞
=
− ∑∑
31
21
1212
311
211
12112
311
211
311
211
311
1
211
131
21
11
1
11
11
110
1
0
1
zz
zz
zz
z
zz
zz
zzzz
n
n
n
n
zera: 0; 1/12⎟⎠
⎜⎝
⎟⎠
⎜⎝
⎟⎠
⎜⎝
⎟⎠
⎜⎝ 3232
bieguny: 1/2; -1/3
Obszar zbieżnościzzzz <<⇒<−< −−
31 i
21 1
31 i 1
21 11
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
61
[ ] [ ]1−−−= nuanx n
( ) [ ] ( )∑∑∑∑∞
=
−∞
=
−−
−∞=
−−∞
−∞=
−=−==⋅−−−=0
1
1
1
11n
n
n
nn
n
nnn
n
n zazazaznuazX
Zbieżność transformaty zachodzi jeśli azza <⇒<− 11
Przykład 8 : Znaleźć transformatę Z i OZ dla ciągu lewostronnego
ciąg lewostronny
Zbieżność transformaty zachodzi jeśli azza <⇒< 1
( ) ( )az
zza
zaza
zazXn
n
−=
−−−
=−
−=−= −
−
−
∞
=
−∑ 1
1
10
1
111
1111
zero (z=0)
biegun (z=a)
Im(z)okrągjednostkowy
Wynik jest taki sam jak dla ciągu
Re(z)
1a
prawostronnego, ale OZ są różne !
‘ Andrzej Kotyra
[ ] [ ] [ ]nununxnn
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
31
21
( ) [ ] [ ] [ ] [ ] =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
∞
−∞=
∞
−∞=
−−−∞
−∞=∑ ∑∑ 3
121
31
21 znuznuznunuzX
n n
nn
nn
n
n
nn
Przykład 9 : Znaleźć transformatę Z i OZ sumy szeregów
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
++−=
++
−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
−
−−
−−
−−
∞
=
−∞
=
− ∑∑
31
21
1212
311
211
12112
311
211
311
211
311
1
211
131
21
11
1
11
11
110
1
0
1
zz
zz
zz
z
zz
zz
zzzz
n
n
n
n
zera: 0; 1/12⎟⎠
⎜⎝
⎟⎠
⎜⎝
⎟⎠
⎜⎝
⎟⎠
⎜⎝ 3232
bieguny: 1/2; -1/3
Obszar zbieżnościzzzz <<⇒<−< −−
31 i
21 1
31 i 1
21 11
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
62
Im(z)
Re(z)
11
Im(z)
Re(z)
11
obszar zbieżności dla [ ]nun
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
31[ ]nu
n
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
21
obszar zbieżności dla
112
Im(z)
3
Re(z)
112
13
112[ ] [ ]nunu
nn
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
31
21
obszar zbieżności dla
‘ Andrzej Kotyra
[ ] [ ] [ ]121
31
−−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−= nununx
nn
[ ]31
311
131
1>
+=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
−z
znu
n
Z [ ]21
211
1121
1<
−=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
−z
znu
n
Z
Przykład 10 : Znaleźć transformatę Z i OZ sumy szeregów
[ ] [ ]21 ,
31
211
1
311
1121
31
11<>
−+
+=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
−−zz
zznunu
nn
Z
⎞⎛⎞⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⎞⎛⎞⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=
−
1212
12112 1 zzz
Im(z)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ − −−
31
21
311
211 11 zzzz
wynik taki sam jak w przykładzie 9, ale inny jest OZ !
Re(z)
12
13 1
12
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
62
Im(z)
Re(z)
11
Im(z)
Re(z)
11
obszar zbieżności dla [ ]nun
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
31[ ]nu
n
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
21
obszar zbieżności dla
112
Im(z)
3
Re(z)
112
13
112[ ] [ ]nunu
nn
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
31
21
obszar zbieżności dla
‘ Andrzej Kotyra
[ ] [ ] [ ]121
31
−−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−= nununx
nn
[ ]31
311
131
1>
+=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
−z
znu
n
Z [ ]21
211
1121
1<
−=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
−z
znu
n
Z
Przykład 10 : Znaleźć transformatę Z i OZ sumy szeregów
[ ] [ ]21 ,
31
211
1
311
1121
31
11<>
−+
+=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
−−zz
zznunu
nn
Z
⎞⎛⎞⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⎞⎛⎞⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=
−
1212
12112 1 zzz
Im(z)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ − −−
31
21
311
211 11 zzzz
wynik taki sam jak w przykładzie 9, ale inny jest OZ !
Re(z)
12
13 1
12
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
63
[ ]⎩⎨⎧ −≤≤
=hpozostałyc dla 0
10 Nnanx
n
( ) ( ) ( )∑∑−
=−−
−−−
−
= −−
=−
−===
1
011
11
1
0
11
1N
n
NN
N
Nnn
N
n
n
azaz
zazazazzazX
Przykład 11 : Znaleźć transformatę Z i OZ szeregu skończonego
0 , 1
0
1 ≠∞<⇒∞<∑−
=
− zaazN
n
n
obszar zbieżności
10 ,16 <<= aN zera transformaty: Im(z)
Re(z)
15-krotnybiegun π
8( ) 1, ,1 ,0 ,e 2 N-kaz Nkj
k K== π
OZ jest cała płaszczyzna zespolona
oprócz punktu 0
Re(z)
1
a
okrągjednostkowy
‘ Andrzej Kotyra
Przykład 12 : Znaleźć transformatę Z i OZ szeregu dwustronnego
[ ] ∞<<∞−= nanx n
[ ] [ ] [ ]1−−+== nuanuaanx nnn
[ ] [ ] [ ] ( )
( ) ( ) ( )∑∑∑∑
∑∑∑∑∞
=
−∞
=
−∞
=
−∞
=
−
−
−∞=
−∞
=
−−∞
−∞=
−∞
−∞=
−+=−=
=+=⋅−−+⋅=
0
1
0
1
10
1
1
0
1
1
1
n
n
n
n
n
nn
n
n
n
nn
n
nn
n
nn
n
n
zaazzaaz
zaazznuaznuazX
1>⇒<− 11azza <⇒<− 11azaz >⇒< 11
Nie istnieje obszar zbieżności dla dowolnego z – nie istnieje transformata ZNie istnieje z, dla którego transformata Z byłaby zbieżna
OZ
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
63
[ ]⎩⎨⎧ −≤≤
=hpozostałyc dla 0
10 Nnanx
n
( ) ( ) ( )∑∑−
=−−
−−−
−
= −−
=−
−===
1
011
11
1
0
11
1N
n
NN
N
Nnn
N
n
n
azaz
zazazazzazX
Przykład 11 : Znaleźć transformatę Z i OZ szeregu skończonego
0 , 1
0
1 ≠∞<⇒∞<∑−
=
− zaazN
n
n
obszar zbieżności
10 ,16 <<= aN zera transformaty: Im(z)
Re(z)
15-krotnybiegun π
8( ) 1, ,1 ,0 ,e 2 N-kaz Nkj
k K== π
OZ jest cała płaszczyzna zespolona
oprócz punktu 0
Re(z)
1
a
okrągjednostkowy
‘ Andrzej Kotyra
Przykład 12 : Znaleźć transformatę Z i OZ szeregu dwustronnego
[ ] ∞<<∞−= nanx n
[ ] [ ] [ ]1−−+== nuanuaanx nnn
[ ] [ ] [ ] ( )
( ) ( ) ( )∑∑∑∑
∑∑∑∑∞
=
−∞
=
−∞
=
−∞
=
−
−
−∞=
−∞
=
−−∞
−∞=
−∞
−∞=
−+=−=
=+=⋅−−+⋅=
0
1
0
1
10
1
1
0
1
1
1
n
n
n
n
n
nn
n
n
n
nn
n
nn
n
nn
n
n
zaazzaaz
zaazznuaznuazX
1>⇒<− 11azza <⇒<− 11azaz >⇒< 11
Nie istnieje obszar zbieżności dla dowolnego z – nie istnieje transformata ZNie istnieje z, dla którego transformata Z byłaby zbieżna
OZ
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
64
Przykład 12 : Znaleźć transformatę Z i OZ szeregu:
[ ] ( ) [ ]nunanx n0cos ω=
[ ] ( ) [ ] [ ]( ) ( )[ ]njnjn aanununanx 00 ee21cos 0
ωωω −+==
[ ] [ ]( ) [ ]( )
( ) ( )[ ] ( )
[ ] 2210
1
2211
1
110
1
0
1
11
ee1cos1
ee1ee2
21
e11
e11
21e
21e
21
e21e
21
0000
00
00
00
00
−−−
−
−−−−
−−
−−−
∞−−
∞−
−−∞
∞−
−∞
∞−
=++−
−=
+−−+−
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−+
−=+=
+=
∑∑
∑∑
zaazaz
zazazaaz
zazazaza
zanuzanuzX
jjjj
jj
jj
njnj
njnj
ωωωωω
ωω
ωωωω
ωω
[ ]( )
( ) 220
10
1
cos21cos1
eeee
−−
−
+−−
=zaaz
azaaaaa
ωω
OZ: zaazza jj <<< −−−− 1e 1e 11 00 ωω
‘ Andrzej Kotyra
Właściwości obszaru zbieżności transformaty Z
1. OZ ma kształt dysku lub pierścienia ze środkiem w środku układu współrzędnych na płaszczyźnie zespolonej z
2. Transformata Fouriera ciągu x[n] jest bezwzględnie zbieżna wtedy i tylko wtedy, jeśli OZ transformaty sygnału x[n] zawiera okrąg jednostkowyjeśli OZ transformaty sygnału x[n] zawiera okrąg jednostkowy
3. OZ nie zawiera żadnych biegunów
4. Jeśli x[n] jest ciągiem skończonym wówczas OZ jest cała płaszczyzna zespolona oprócz punktu z=0 lub z=∞
5. Jeśli x[n] jest nieskończonym ciągiem prawostronnym, OZ jest obszar położony na zewnątrz okręgu o promieniu równym modułowi największego bieguna Z{x[t]}
6. Jeśli x[n] jest nieskończonym ciągiem lewostronnym, OZ jest obszar położony wewnątrz okręgu o promieniu równym modułowi najmniejszego bieguna Z{x[t]}
7. Jeśli x[n] jest nieskończonym ciągiem dwustronnym, OZ będzie pierścieniem ograniczony biegunami (nie zawiera oczywiście wewnątrz żadnych biegunów)
8. OZ jest obszarem spójnym
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
64
Przykład 12 : Znaleźć transformatę Z i OZ szeregu:
[ ] ( ) [ ]nunanx n0cos ω=
[ ] ( ) [ ] [ ]( ) ( )[ ]njnjn aanununanx 00 ee21cos 0
ωωω −+==
[ ] [ ]( ) [ ]( )
( ) ( )[ ] ( )
[ ] 2210
1
2211
1
110
1
0
1
11
ee1cos1
ee1ee2
21
e11
e11
21e
21e
21
e21e
21
0000
00
00
00
00
−−−
−
−−−−
−−
−−−
∞−−
∞−
−−∞
∞−
−∞
∞−
=++−
−=
+−−+−
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−+
−=+=
+=
∑∑
∑∑
zaazaz
zazazaaz
zazazaza
zanuzanuzX
jjjj
jj
jj
njnj
njnj
ωωωωω
ωω
ωωωω
ωω
[ ]( )
( ) 220
10
1
cos21cos1
eeee
−−
−
+−−
=zaaz
azaaaaa
ωω
OZ: zaazza jj <<< −−−− 1e 1e 11 00 ωω
‘ Andrzej Kotyra
Właściwości obszaru zbieżności transformaty Z
1. OZ ma kształt dysku lub pierścienia ze środkiem w środku układu współrzędnych na płaszczyźnie zespolonej z
2. Transformata Fouriera ciągu x[n] jest bezwzględnie zbieżna wtedy i tylko wtedy, jeśli OZ transformaty sygnału x[n] zawiera okrąg jednostkowyjeśli OZ transformaty sygnału x[n] zawiera okrąg jednostkowy
3. OZ nie zawiera żadnych biegunów
4. Jeśli x[n] jest ciągiem skończonym wówczas OZ jest cała płaszczyzna zespolona oprócz punktu z=0 lub z=∞
5. Jeśli x[n] jest nieskończonym ciągiem prawostronnym, OZ jest obszar położony na zewnątrz okręgu o promieniu równym modułowi największego bieguna Z{x[t]}
6. Jeśli x[n] jest nieskończonym ciągiem lewostronnym, OZ jest obszar położony wewnątrz okręgu o promieniu równym modułowi najmniejszego bieguna Z{x[t]}
7. Jeśli x[n] jest nieskończonym ciągiem dwustronnym, OZ będzie pierścieniem ograniczony biegunami (nie zawiera oczywiście wewnątrz żadnych biegunów)
8. OZ jest obszarem spójnym
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
65
sygnał x(n) Transformata Z Obszar zbieżności
( )⎩⎨⎧
≠=
=0 ,00 ,1
nn
nδ1 ∞≤≤ z0
( )0nn −δ 0nz − ∞≤< z0
( )( )0nn +δ 0nz ∞<≤ z0
( )⎩⎨⎧
<≥
=0 ,00 ,1
nn
nu ( )111
−− z1>z
( )nun ⋅
( )21
1
1 −
−
− zz 1>z
( )11( )nun ⋅2 ( )( )31
11
11
−
−−
−
+
zzz 1>z
( )nun ⋅3 ( )( )41
211
141
−
−−−
−
++
zzzz 1>z
‘ Andrzej Kotyra
sygnał x(n) Transformata Z Obszar zbieżności
( )nuan ⋅ ( )111
−− azaz >
( )nunan ⋅( )21
1
1 −
−az az >( )11− az
( )nuan n ⋅2 ( )( )31
11
11
−
−−
−
+
azazaz az >
( ) ( )nuan n ⋅+1( )211
1−− az
az >
( )( ) ( ) ( )aknnn n+++ 21 1 az >( )( ) ( ) ( )nuk
aknnn⋅
+++!
21 K
( )kaz 11 −−az >
( )nunan
⋅!
zae 0>z
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
65
sygnał x(n) Transformata Z Obszar zbieżności
( )⎩⎨⎧
≠=
=0 ,00 ,1
nn
nδ1 ∞≤≤ z0
( )0nn −δ 0nz − ∞≤< z0
( )( )0nn +δ 0nz ∞<≤ z0
( )⎩⎨⎧
<≥
=0 ,00 ,1
nn
nu ( )111
−− z1>z
( )nun ⋅
( )21
1
1 −
−
− zz 1>z
( )11( )nun ⋅2 ( )( )31
11
11
−
−−
−
+
zzz 1>z
( )nun ⋅3 ( )( )41
211
141
−
−−−
−
++
zzzz 1>z
‘ Andrzej Kotyra
sygnał x(n) Transformata Z Obszar zbieżności
( )nuan ⋅ ( )111
−− azaz >
( )nunan ⋅( )21
1
1 −
−az az >( )11− az
( )nuan n ⋅2 ( )( )31
11
11
−
−−
−
+
azazaz az >
( ) ( )nuan n ⋅+1( )211
1−− az
az >
( )( ) ( ) ( )aknnn n+++ 21 1 az >( )( ) ( ) ( )nuk
aknnn⋅
+++!
21 K
( )kaz 11 −−az >
( )nunan
⋅!
zae 0>z
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
66
Własności przekształcenia Z
1. Liniowość
[ ] [ ]1
11 X
ZRzXnx :zbieżności Obszar↔ [ ] [ ]
2 22 X
ZRzXnx :zbieżności Obszar↔
[ ] [ ] [ ] [ ]zbXzaXnbxnaxZ
2121 +↔+
Obszar zbieżności jest co najmniej równy 21 XX RR ∩ jeżeli bieguny i zera nie znoszą się
[ ] [ ] [ ]⎩⎨⎧ −≤≤
=−−=hpozostałyc dla 0
10 NnaNnuanuanx
nnn
az > az >
obszary zbieżności
( ) ( )∑∑−
=
−−−
=
==1
0
11
0
N
n
nnN
n
n azzazX0 ,
1
0
1 ≠∞<⇒∞<∑−
=
− zaazN
n
n
Obszar zbieżności sumy ciągów jest większy niż obszary zbieżności poszczególnych ciągów
‘ Andrzej Kotyra
2. Przesunięcie w czasie
[ ] [ ]zXznnx nZ
100−↔− Obszar zbieżności może ulec zmianie
[ ] [ ]0nnxny −= ( ) [ ]∑∞
−−= nznnxzY 0 0nnm −=∑−∞=n
( ) [ ] ( ) [ ] ( )zXzzmxzzmxzY n
m
mn
m
nm 000 −∞
−∞=
−−∞
−∞=
+− === ∑∑
3. Mnożenie przez szereg wykładniczy
[ ] ⎥⎤
⎢⎡
↔⋅zXnxz
Zn 00 zrzzrrzr zwzw <<⇒<<[ ] ⎥
⎦⎢⎣
↔0
10 zXnxz
obszar zbieżności [ ]( )nxZ obszar zbieżności [ ]( )nxzn ⋅0Z
[ ]( ) [ ] [ ]n
n
nn
n
n
zznxzznxnxz
−∞
−∞=
−∞
−∞=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=⋅=⋅ ∑∑
000Z
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
66
Własności przekształcenia Z
1. Liniowość
[ ] [ ]1
11 X
ZRzXnx :zbieżności Obszar↔ [ ] [ ]
2 22 X
ZRzXnx :zbieżności Obszar↔
[ ] [ ] [ ] [ ]zbXzaXnbxnaxZ
2121 +↔+
Obszar zbieżności jest co najmniej równy 21 XX RR ∩ jeżeli bieguny i zera nie znoszą się
[ ] [ ] [ ]⎩⎨⎧ −≤≤
=−−=hpozostałyc dla 0
10 NnaNnuanuanx
nnn
az > az >
obszary zbieżności
( ) ( )∑∑−
=
−−−
=
==1
0
11
0
N
n
nnN
n
n azzazX0 ,
1
0
1 ≠∞<⇒∞<∑−
=
− zaazN
n
n
Obszar zbieżności sumy ciągów jest większy niż obszary zbieżności poszczególnych ciągów
‘ Andrzej Kotyra
2. Przesunięcie w czasie
[ ] [ ]zXznnx nZ
100−↔− Obszar zbieżności może ulec zmianie
[ ] [ ]0nnxny −= ( ) [ ]∑∞
−−= nznnxzY 0 0nnm −=∑−∞=n
( ) [ ] ( ) [ ] ( )zXzzmxzzmxzY n
m
mn
m
nm 000 −∞
−∞=
−−∞
−∞=
+− === ∑∑
3. Mnożenie przez szereg wykładniczy
[ ] ⎥⎤
⎢⎡
↔⋅zXnxz
Zn 00 zrzzrrzr zwzw <<⇒<<[ ] ⎥
⎦⎢⎣
↔0
10 zXnxz
obszar zbieżności [ ]( )nxZ obszar zbieżności [ ]( )nxzn ⋅0Z
[ ]( ) [ ] [ ]n
n
nn
n
n
zznxzznxnxz
−∞
−∞=
−∞
−∞=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=⋅=⋅ ∑∑
000Z
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
67
4. Różniczkowanie X(z)
[ ] ( )( )dz
zXdznxnZ
−↔⋅ Obszar zbieżności jest taki sam jak dla [ ]( )nxZ
( ) [ ] n
n
znxzX −∞
−∞=∑ ⋅=
( )( ) ( ) [ ] 1−−∞
−∞=∑ ⋅−= n
n
znxndz
zXd ( )( ) ( ) [ ] 1−−∞
−∞=∑ ⋅−−=− n
n
znxnzdz
zXdz
( ) [ ] [ ] [ ]( )nxnznxnznxnz n
n
n
n
⋅=⋅⋅=⋅−− −∞
−∞=
−−∞
−∞=∑∑ Z1
5. Sprzężenie szeregu zespolonegop ę g p g
[ ] [ ]*** zXnxZ
↔ Obszar zbieżności jest taki sam jak dla [ ]( )nxZ
‘ Andrzej Kotyra
6. Odwrócenie czasu
[ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡↔−
*1**z
XnxZ 0
11 zr
zr
rzrzw
zw <<⇒<<
[ ]( )nxZ obszar zbieżności [ ]( )nx −*Zobszar zbieżności
⎤⎡Jeżeli wyrazy szeregu są rzeczywiste [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡↔−
zXnx
Z 1
7. Splot ciągów[ ] [ ] [ ] [ ]zXzXnxnx
Z
2121 ⋅↔∗
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]knxkxnxnxnyk
−⋅=∗= ∑∞
2121k −∞=
( ) [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( )zXzXzzmxkxzknxkx
zknxkxznyzY
km
mk
n
nk
n
n k
n
n
212121
21
⋅=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅=⋅−=
=⋅⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−⋅=⋅=
−−∞
−∞=
∞
−∞=
−∞
−∞=
∞
−∞=
−∞
−∞=
∞
−∞=
−∞
−∞=
∑∑∑∑
∑ ∑∑ knm −=
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
67
4. Różniczkowanie X(z)
[ ] ( )( )dz
zXdznxnZ
−↔⋅ Obszar zbieżności jest taki sam jak dla [ ]( )nxZ
( ) [ ] n
n
znxzX −∞
−∞=∑ ⋅=
( )( ) ( ) [ ] 1−−∞
−∞=∑ ⋅−= n
n
znxndz
zXd ( )( ) ( ) [ ] 1−−∞
−∞=∑ ⋅−−=− n
n
znxnzdz
zXdz
( ) [ ] [ ] [ ]( )nxnznxnznxnz n
n
n
n
⋅=⋅⋅=⋅−− −∞
−∞=
−−∞
−∞=∑∑ Z1
5. Sprzężenie szeregu zespolonegop ę g p g
[ ] [ ]*** zXnxZ
↔ Obszar zbieżności jest taki sam jak dla [ ]( )nxZ
‘ Andrzej Kotyra
6. Odwrócenie czasu
[ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡↔−
*1**z
XnxZ 0
11 zr
zr
rzrzw
zw <<⇒<<
[ ]( )nxZ obszar zbieżności [ ]( )nx −*Zobszar zbieżności
⎤⎡Jeżeli wyrazy szeregu są rzeczywiste [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡↔−
zXnx
Z 1
7. Splot ciągów[ ] [ ] [ ] [ ]zXzXnxnx
Z
2121 ⋅↔∗
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]knxkxnxnxnyk
−⋅=∗= ∑∞
2121k −∞=
( ) [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( )zXzXzzmxkxzknxkx
zknxkxznyzY
km
mk
n
nk
n
n k
n
n
212121
21
⋅=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅=⋅−=
=⋅⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−⋅=⋅=
−−∞
−∞=
∞
−∞=
−∞
−∞=
∞
−∞=
−∞
−∞=
∞
−∞=
−∞
−∞=
∑∑∑∑
∑ ∑∑ knm −=
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
68
Odwrotne przekształcenie Z
Wyznaczenie ciągu x[n] na podstawie jego transformaty i informacji o obszarze zbieżności
[ ] ( ) dzzzXj
nx n 1
21 −
Γ
⋅= ∫πΓ zamknięty kontur całkowania zawierający
początek układu współrzędnych
⎩⎨⎧
≠=
=∫Γ
−
0 , 00 , 1
21 1
nn
dzzj
n
π Twierdzenie całkowe Cauche’ego
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∑ ∫∑∫Γ
∞
−∞= Γ
−+−−∞
−∞=
−−
Γ
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⋅k
nkn
k
kn nxdzzj
kxdzzzkxj
dzzzXj
111
21
21
21
πππ
Sposoby obliczania odwrotnej transformaty Z:
• bezpośrednio ze wzoru• metoda „długiego” dzielenia wielomianów• metoda rozkładu na ułamki proste• metoda residuów
‘ Andrzej Kotyra
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 43214321 432102436 −−−−−−−− ++++=++−+= zxzxzxzxxzzzzzX
( ) ∑=
−=2
1
n
nn
nn zbzX , przykładowo:
Bezpośrednio ze wzoru
stąd:
( ) 50 =x ( ) 31 =x ( ) 42 −=x ( ) 23 =x ( ) 14 =x
Metoda „długiego dzielenia wielomianów
dla pozostałych n ( ) 0=nx
( ) 1
21
122
−
−−
+++
=z
zzzX
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
68
Odwrotne przekształcenie Z
Wyznaczenie ciągu x[n] na podstawie jego transformaty i informacji o obszarze zbieżności
[ ] ( ) dzzzXj
nx n 1
21 −
Γ
⋅= ∫πΓ zamknięty kontur całkowania zawierający
początek układu współrzędnych
⎩⎨⎧
≠=
=∫Γ
−
0 , 00 , 1
21 1
nn
dzzj
n
π Twierdzenie całkowe Cauche’ego
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∑ ∫∑∫Γ
∞
−∞= Γ
−+−−∞
−∞=
−−
Γ
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⋅k
nkn
k
kn nxdzzj
kxdzzzkxj
dzzzXj
111
21
21
21
πππ
Sposoby obliczania odwrotnej transformaty Z:
• bezpośrednio ze wzoru• metoda „długiego” dzielenia wielomianów• metoda rozkładu na ułamki proste• metoda residuów
‘ Andrzej Kotyra
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 43214321 432102436 −−−−−−−− ++++=++−+= zxzxzxzxxzzzzzX
( ) ∑=
−=2
1
n
nn
nn zbzX , przykładowo:
Bezpośrednio ze wzoru
stąd:
( ) 50 =x ( ) 31 =x ( ) 42 −=x ( ) 23 =x ( ) 14 =x
Metoda „długiego dzielenia wielomianów
dla pozostałych n ( ) 0=nx
( ) 1
21
122
−
−−
+++
=z
zzzX
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
69
2122 −− ++ zz122 −+ z( )112 −+⋅ z )(−
wielomian licznika
wielomian mianownika pomnożony przez 2
2−z( )12 1 −− +⋅ zz 32 −− + zz)(−
różnica
wielomian mianownika 2−⋅ z3−− z różnica
( )13 1 −− +⋅− zz 43 −− −− zz)(−4−z
wielomian mianownika 3−−⋅ z
itd.
Zatem: ( ) K+−+−+= −−−− 54322 zzzzzX stąd,
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥−
==<
=
2 ,1
1 ,00 ,20 ,0
n
nnn
nx
n( ) ( ) ( ) ( ) ( )nunnnx n11 −+−+= δδ
‘ Andrzej Kotyra
,0
00 a
bc = ,0
1011 a
acbc −= ,
0
201122 a
acacbc −−= ,
0
1
aacb
ck
i iikkk
∑ = −−=
∑∑∑=
−
=
−∞
=
− =N
n
nn
M
m
mm
k
kk zazbzc
000przy założeniu postaci transformaty Z
Metoda rozkładu na ułamki proste
( ) ( ) 1 ,1
111
111122
11
1
111
1
21
>+
++=+
++++=
+++
= −−
−
−−−
−
−−
zz
zz
zzzz
zzzX
Metoda wymaga umiejętności przekształcania wielomianów do postaci, pozwalające wykorzystać tablice.
Transformata o postaci wielomian/wielomian
Jeżeli stopień wielomianu w liczniku ma większy niż w mianowniku, wówczas:
( ) ( ) ( )∑
∑∑
=
−
=
−
=
− +=+= N
n
nn
M
m
mmK
k
kk
zc
zczczXzXzX
0
0
021 NM ≤
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
69
2122 −− ++ zz122 −+ z( )112 −+⋅ z )(−
wielomian licznika
wielomian mianownika pomnożony przez 2
2−z( )12 1 −− +⋅ zz 32 −− + zz)(−
różnica
wielomian mianownika 2−⋅ z3−− z różnica
( )13 1 −− +⋅− zz 43 −− −− zz)(−4−z
wielomian mianownika 3−−⋅ z
itd.
Zatem: ( ) K+−+−+= −−−− 54322 zzzzzX stąd,
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥−
==<
=
2 ,1
1 ,00 ,20 ,0
n
nnn
nx
n( ) ( ) ( ) ( ) ( )nunnnx n11 −+−+= δδ
‘ Andrzej Kotyra
,0
00 a
bc = ,0
1011 a
acbc −= ,
0
201122 a
acacbc −−= ,
0
1
aacb
ck
i iikkk
∑ = −−=
∑∑∑=
−
=
−∞
=
− =N
n
nn
M
m
mm
k
kk zazbzc
000przy założeniu postaci transformaty Z
Metoda rozkładu na ułamki proste
( ) ( ) 1 ,1
111
111122
11
1
111
1
21
>+
++=+
++++=
+++
= −−
−
−−−
−
−−
zz
zz
zzzz
zzzX
Metoda wymaga umiejętności przekształcania wielomianów do postaci, pozwalające wykorzystać tablice.
Transformata o postaci wielomian/wielomian
Jeżeli stopień wielomianu w liczniku ma większy niż w mianowniku, wówczas:
( ) ( ) ( )∑
∑∑
=
−
=
−
=
− +=+= N
n
nn
M
m
mmK
k
kk
zc
zczczXzXzX
0
0
021 NM ≤
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
70
( )zX1
( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( ) ( )112
21
1
10
112
11
22
110
22
110
2
111
111
−−−
−−−−−−
−−−
−++
−+
−+=
=−−−
=++++++++
=
zpc
zpc
zpcc
zpzpzpzB
zazazaazbzbzbbzX
N
N
NN
N
MM
K
KK
K
bezpośrednio z tablic
( ) ( ) ( )21 ppp N
N
N
abc =0
( )( ) NkzpzXckpzkk K 3, 2, 1, ,1 1 =−= =
−
Jeśli posiada m-krotnym biegun:( )zX1
( ) ∑∑−m l
lk zdcX1
( ) ( ) ( )∑∑=
−− +−
++−
+=j
lk
l
k k
k
zpzd
zpcczX
11102
11KK
( ) ( ) ( )kpz
ml
jm
jm
jl zpzX
dzd
jmd =−
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⋅
−=
1!
1,
‘ Andrzej Kotyra
Metoda residuów
( )zXJeżeli jest funkcją wymierną (wielomian/wielomian), wówczas: ( ) ∑=k
knx ρ
kρ residua funkcji ( ) ( )zXzzF n 1−=
( ) ( )n zXzpz −= 1ρ ( ) ( )kpzkk zXzpz =−=ρ
( ) ( ) ( )[ ]kpz
mkm
m
k zFpzdzd
m =−
−
−⋅−
= 1
1
!11ρ
dla bieguna pojedynczego
dla bieguna m-krotnego
( ) ( )zzzz
zzzz
zzzzX
+++
=+
++=
+++
= −
−−
1122122
122 2
2
2
1
21
( )( ) ( )( )
( )zzzzz
zzzzzzF
nn
+++
=+
++= −
1122
1122
2
221
(podwójny)0,y)(pojedyncz 1 :bieguny dwa 00,1 pojedynczebieguny dwa 1
1 pojedynczybiegun jeden 2
21
21
1
=−===−==
−=≥
ppnppn
pn
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
70
( )zX1
( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( ) ( )112
21
1
10
112
11
22
110
22
110
2
111
111
−−−
−−−−−−
−−−
−++
−+
−+=
=−−−
=++++++++
=
zpc
zpc
zpcc
zpzpzpzB
zazazaazbzbzbbzX
N
N
NN
N
MM
K
KK
K
bezpośrednio z tablic
( ) ( ) ( )21 ppp N
N
N
abc =0
( )( ) NkzpzXckpzkk K 3, 2, 1, ,1 1 =−= =
−
Jeśli posiada m-krotnym biegun:( )zX1
( ) ∑∑−m l
lk zdcX1
( ) ( ) ( )∑∑=
−− +−
++−
+=j
lk
l
k k
k
zpzd
zpcczX
11102
11KK
( ) ( ) ( )kpz
ml
jm
jm
jl zpzX
dzd
jmd =−
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⋅
−=
1!
1,
‘ Andrzej Kotyra
Metoda residuów
( )zXJeżeli jest funkcją wymierną (wielomian/wielomian), wówczas: ( ) ∑=k
knx ρ
kρ residua funkcji ( ) ( )zXzzF n 1−=
( ) ( )n zXzpz −= 1ρ ( ) ( )kpzkk zXzpz =−=ρ
( ) ( ) ( )[ ]kpz
mkm
m
k zFpzdzd
m =−
−
−⋅−
= 1
1
!11ρ
dla bieguna pojedynczego
dla bieguna m-krotnego
( ) ( )zzzz
zzzz
zzzzX
+++
=+
++=
+++
= −
−−
1122122
122 2
2
2
1
21
( )( ) ( )( )
( )zzzzz
zzzzzzF
nn
+++
=+
++= −
1122
1122
2
221
(podwójny)0,y)(pojedyncz 1 :bieguny dwa 00,1 pojedynczebieguny dwa 1
1 pojedynczybiegun jeden 2
21
21
1
=−===−==
−=≥
ppnppn
pn
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
71
Obliczanie dyskretnego przekształcenia Fouriera dla (algorytm radix-2)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=⋅++⋅=⋅=
+−−
=
−−
=
−−
=∑∑∑
12212
0
2212
0
21
0e12e2e
nkN
j
N
n
nkN
j
N
n
knN
jN
nnxnxnxkX
πππ
1 , 2, ,1 ,0 −= Nk K
Można wydzielić dwa podciągi danych wejściowych: o indeksach parzystych i nieparzystych
nN 2=
Można wydzielić dwa podciągi danych wejściowych: o indeksach parzystych i nieparzystych
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )=⋅+⋅+⋅=
=⋅⋅++⋅=
−−
−−−
−−−
=
−−
=
∑∑
∑∑
nkN
j
N
kN
jnkN
j
N
kN
jnkN
j
N
n
nkN
j
N
n
nxnx
nxnx
22122221
2
22212
0
2212
0
e12ee2
ee12e2
πππ
πππnie zależy od n
==∑∑nn 00
( ) ( ) nkN
N
n
kN
nkN
N
nWnxWWnx 2
12
0
21
2
0122 ⋅+⋅+⋅= ∑∑
−
=
−
=
Czynnik dla uproszczenia oznacza się jako NWNj π2
e−
‘ Andrzej Kotyra
12
22222 ee NN
jN
j
N WW ===−⋅⋅−
ππ
Ponieważ:
( ) ( ) ( )NN
nkN
N
n
kN
nkN
N
nWnxWWnxkX
12
12
21
2
0
21
2
0122 =⋅+⋅+⋅= ∑∑
−−
−
=
−
=
( ) ( ) nkN
n
kN
nkN
nWnxWWnx 2
2
02
2
0122 ⋅+⋅+⋅= ∑∑
==
Reasumując:
( ) ( ) ( ) ( ) nkN
N
n
kN
nkN
N
n
nkN
N
nWnxWWnxWnxkX 2
12
02
12
0
1
0122 ⋅+⋅+⋅=⋅= ∑∑∑
−
=
−
=
−
=
nkNW 2
czynnik występuje w obydwu sumach → można go obliczyć jeden raz
→ zmniejszenie czasu obliczeń
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
71
Obliczanie dyskretnego przekształcenia Fouriera dla (algorytm radix-2)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=⋅++⋅=⋅=
+−−
=
−−
=
−−
=∑∑∑
12212
0
2212
0
21
0e12e2e
nkN
j
N
n
nkN
j
N
n
knN
jN
nnxnxnxkX
πππ
1 , 2, ,1 ,0 −= Nk K
Można wydzielić dwa podciągi danych wejściowych: o indeksach parzystych i nieparzystych
nN 2=
Można wydzielić dwa podciągi danych wejściowych: o indeksach parzystych i nieparzystych
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )=⋅+⋅+⋅=
=⋅⋅++⋅=
−−
−−−
−−−
=
−−
=
∑∑
∑∑
nkN
j
N
kN
jnkN
j
N
kN
jnkN
j
N
n
nkN
j
N
n
nxnx
nxnx
22122221
2
22212
0
2212
0
e12ee2
ee12e2
πππ
πππnie zależy od n
==∑∑nn 00
( ) ( ) nkN
N
n
kN
nkN
N
nWnxWWnx 2
12
0
21
2
0122 ⋅+⋅+⋅= ∑∑
−
=
−
=
Czynnik dla uproszczenia oznacza się jako NWNj π2
e−
‘ Andrzej Kotyra
12
22222 ee NN
jN
j
N WW ===−⋅⋅−
ππ
Ponieważ:
( ) ( ) ( )NN
nkN
N
n
kN
nkN
N
nWnxWWnxkX
12
12
21
2
0
21
2
0122 =⋅+⋅+⋅= ∑∑
−−
−
=
−
=
( ) ( ) nkN
n
kN
nkN
nWnxWWnx 2
2
02
2
0122 ⋅+⋅+⋅= ∑∑
==
Reasumując:
( ) ( ) ( ) ( ) nkN
N
n
kN
nkN
N
n
nkN
N
nWnxWWnxWnxkX 2
12
02
12
0
1
0122 ⋅+⋅+⋅=⋅= ∑∑∑
−
=
−
=
−
=
nkNW 2
czynnik występuje w obydwu sumach → można go obliczyć jeden raz
→ zmniejszenie czasu obliczeń
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
72
Obliczanie można rozdzielić, obliczając osobno dla( )kX 12
, 2, ,1 ,0 −=Nk K
oraz dla , wtedy:
( )kX
1 , 2,2
,12
,2
−++= NNNNk K
( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
2NkXkXkX
1 , 2, ,1 ,0 −= Nk K 12
, 2, ,1 ,0 −=Nk K
( ) ( ) ( ) ( )22
12
0
222
12
0122
2Nkn
N
N
n
NkN
NknN
N
nWnxWWnxNkX +
−
=
++
−
=
⋅+⋅+⋅=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + ∑∑
12
, 2, ,1 ,0 −=Nk K
( ) njnkNn
Nj
nkNnnkNkn WWWWW 22
22
22 ee ===⋅= ⋅−⋅⋅−
⋅+ ππ
2
( ) ( )[ ] nkN
nkN
NNNNN
WnjnW
WWWWW
22
22222
2sin2cos
ee
=−⋅=
===⋅=
ππ
‘ Andrzej Kotyra
( ) ( )[ ] kN
kN
jkN
NN
jkN
NN
kN
NkN WjWWWWWW −=−⋅=⋅=⋅=⋅= −⋅−+ πππ
π
sincosee 22
22
( ) ( ) nkN
N
kN
nkN
N
WnxWWnxNkX 2
12
02
12
0122
2⋅+⋅−⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + ∑∑
−−
Stąd:
( ) ( ) nkN
N
kN
nkN
N
WnxWWnxNkX 2
12
02
12
0
1222
⋅+⋅−⋅=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + ∑∑
−−
nn 002 ⎠⎝ ==
( ) ( ) ( ) ( ) nkN
N
n
kN
nkN
N
n
nkN
N
nWnxWWnxWnxkX 2
12
02
12
0
1
0122 ⋅+⋅+⋅=⋅= ∑∑∑
−
=
−
=
−
=
Zatem:
12
, 2, ,1 ,0 −=Nk K
444 3444 2144 344 21 nn 002 ⎠⎝ ==
( )kA ( )kB
( ) ( ) ( )kBWkAkX kN ⋅+= ( ) ( )kBWkANkX k
N ⋅−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
2
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
72
Obliczanie można rozdzielić, obliczając osobno dla( )kX 12
, 2, ,1 ,0 −=Nk K
oraz dla , wtedy:
( )kX
1 , 2,2
,12
,2
−++= NNNNk K
( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
2NkXkXkX
1 , 2, ,1 ,0 −= Nk K 12
, 2, ,1 ,0 −=Nk K
( ) ( ) ( ) ( )22
12
0
222
12
0122
2Nkn
N
N
n
NkN
NknN
N
nWnxWWnxNkX +
−
=
++
−
=
⋅+⋅+⋅=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + ∑∑
12
, 2, ,1 ,0 −=Nk K
( ) njnkNn
Nj
nkNnnkNkn WWWWW 22
22
22 ee ===⋅= ⋅−⋅⋅−
⋅+ ππ
2
( ) ( )[ ] nkN
nkN
NNNNN
WnjnW
WWWWW
22
22222
2sin2cos
ee
=−⋅=
===⋅=
ππ
‘ Andrzej Kotyra
( ) ( )[ ] kN
kN
jkN
NN
jkN
NN
kN
NkN WjWWWWWW −=−⋅=⋅=⋅=⋅= −⋅−+ πππ
π
sincosee 22
22
( ) ( ) nkN
N
kN
nkN
N
WnxWWnxNkX 2
12
02
12
0122
2⋅+⋅−⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + ∑∑
−−
Stąd:
( ) ( ) nkN
N
kN
nkN
N
WnxWWnxNkX 2
12
02
12
0
1222
⋅+⋅−⋅=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + ∑∑
−−
nn 002 ⎠⎝ ==
( ) ( ) ( ) ( ) nkN
N
n
kN
nkN
N
n
nkN
N
nWnxWWnxWnxkX 2
12
02
12
0
1
0122 ⋅+⋅+⋅=⋅= ∑∑∑
−
=
−
=
−
=
Zatem:
12
, 2, ,1 ,0 −=Nk K
444 3444 2144 344 21 nn 002 ⎠⎝ ==
( )kA ( )kB
( ) ( ) ( )kBWkAkX kN ⋅+= ( ) ( )kBWkANkX k
N ⋅−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
2
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
73
W celu obliczenia N - punktowej dyskretnej transformaty Fouriera wystarczy obliczyć dwie N/2punktowe transformaty dla , a następnie wykorzystać je do 12,2,,1,0 −= Nk K
Aby obliczyć drugą połowę widma można wykorzystać obliczenia dokonywane przy obliczaniu
pierwszej połowy, zmieniając znak stojący przy drugim członie wyrażenia.
p y , ęp y y j
obliczenia N - punktowej transformaty Fouriera12, 2,,1,0 Nk K
Niech N = 8
( ) ( ) ( ) 3 2, ,1 ,0 223
04
12
02 =⋅=⋅= ∑∑
=
−
=
kWnxWnxkAn
nk
N
n
nkN
( ) ( ) ( ) 3 2, ,1 ,0 12123
04
12
02 =⋅+=⋅+= ∑∑
=
−
=
kWnxWnxkBn
nk
N
n
nkN
‘ Andrzej Kotyra
x(0)
x(2)
x(4)
(6)
A(0)
A(2)
A(4)
A(6)
X(0)
X(1)
X(2)
X(3)
N = 4
( ) ( ) 3 2, ,1 ,0 23
04 =⋅= ∑
=
kWnxkAn
nk( ) ( ) ( )kAWkAkX nk 8 ⋅+=
x(6) ( ) X(3)
( ) ( ) 3 2, ,1 ,0 123
04 =⋅+= ∑
=
kWnxkBn
nk
( ) ( ) ( )kAWkAkX nk 4 8 ⋅−=+
x(1)
x(2)
x(5)
x(7)
B(0)
B(1)
B(2)
B(3)
−1W 08
W 18
W 28
W 38
−1
−1
−1
X(4)
X(5)
X(6)
X(7)
N = 4
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
73
W celu obliczenia N - punktowej dyskretnej transformaty Fouriera wystarczy obliczyć dwie N/2punktowe transformaty dla , a następnie wykorzystać je do 12,2,,1,0 −= Nk K
Aby obliczyć drugą połowę widma można wykorzystać obliczenia dokonywane przy obliczaniu
pierwszej połowy, zmieniając znak stojący przy drugim członie wyrażenia.
p y , ęp y y j
obliczenia N - punktowej transformaty Fouriera12, 2,,1,0 Nk K
Niech N = 8
( ) ( ) ( ) 3 2, ,1 ,0 223
04
12
02 =⋅=⋅= ∑∑
=
−
=
kWnxWnxkAn
nk
N
n
nkN
( ) ( ) ( ) 3 2, ,1 ,0 12123
04
12
02 =⋅+=⋅+= ∑∑
=
−
=
kWnxWnxkBn
nk
N
n
nkN
‘ Andrzej Kotyra
x(0)
x(2)
x(4)
(6)
A(0)
A(2)
A(4)
A(6)
X(0)
X(1)
X(2)
X(3)
N = 4
( ) ( ) 3 2, ,1 ,0 23
04 =⋅= ∑
=
kWnxkAn
nk( ) ( ) ( )kAWkAkX nk 8 ⋅+=
x(6) ( ) X(3)
( ) ( ) 3 2, ,1 ,0 123
04 =⋅+= ∑
=
kWnxkBn
nk
( ) ( ) ( )kAWkAkX nk 4 8 ⋅−=+
x(1)
x(2)
x(5)
x(7)
B(0)
B(1)
B(2)
B(3)
−1W 08
W 18
W 28
W 38
−1
−1
−1
X(4)
X(5)
X(6)
X(7)
N = 4
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
74
N /2- punktowa dyskretnej transformata Fouriera może być podzielona na dwie N /4 punktowe
dyskretne transformaty Fouriera.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑−
=
+
−
=
−
=
=⋅++⋅=⋅=1
4
0
122
14
0
22
12
02 2442
N
n
knN
N
n
nkN
N
n
nkN WnxWnxWnxkA
( ) ( )∑∑−
=
−
=
⋅++⋅1
4
0
222
14
0
22 244
N
n
nkN
kN
N
n
nkN WnxWWnx 12 , 2, ,1 ,0 −= Nk K
nkN
nkN
jnkN
jnk
N WW 44
222
22
2 ee ===⋅−⋅−
ππ
Ponieważ:
( ) ( ) ( )∑∑−
=
−
=
⋅++⋅=1
4
042
14
04 244
N
n
nkN
kN
N
n
nkN WnxWWnxkAReasumując:
‘ Andrzej Kotyra
Podobnie, jak w przypadku obliczania również można rozbić na dwa ciągi składowe
dla oraz dla ( ) 14 , 2, ,1 ,0 −= Nk K ( ) ( ) ( ) 12 , 2,4 ,14 ,4 −++= NNNNk K
( )kX ( )kA
( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
2NkAkAkA
( ) 12 , 2, ,1 ,0 −= Nk K 14
, 2, ,1 ,0 −=Nk K
( ) ( ) ( ) ( )44
14
0
42
44
14
0244
4Nkn
N
N
n
NkN
NknN
N
nWnxWWnxNkA +
−
=
++
−
=
⋅+⋅+⋅=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + ∑∑
4
( ) njnkN
NnN
jnk
NNn
Nnk
NNkn
N WWWWW 24
44
2
44
444
4 ee ===⋅= ⋅−⋅⋅−
⋅+ ππ
( ) ( )[ ] nkN
nkN WnjnW 44 2sin2cos =−⋅= ππ
( ) ( )[ ] kN
kN
jkN
NN
jk
NN
Nk
NNk
N WjWWWWWW 22242
2
24
224
2 sincosee −=−⋅=⋅=⋅=⋅= −⋅−
+ ππππ
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
74
N /2- punktowa dyskretnej transformata Fouriera może być podzielona na dwie N /4 punktowe
dyskretne transformaty Fouriera.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑−
=
+
−
=
−
=
=⋅++⋅=⋅=1
4
0
122
14
0
22
12
02 2442
N
n
knN
N
n
nkN
N
n
nkN WnxWnxWnxkA
( ) ( )∑∑−
=
−
=
⋅++⋅1
4
0
222
14
0
22 244
N
n
nkN
kN
N
n
nkN WnxWWnx 12 , 2, ,1 ,0 −= Nk K
nkN
nkN
jnkN
jnk
N WW 44
222
22
2 ee ===⋅−⋅−
ππ
Ponieważ:
( ) ( ) ( )∑∑−
=
−
=
⋅++⋅=1
4
042
14
04 244
N
n
nkN
kN
N
n
nkN WnxWWnxkAReasumując:
‘ Andrzej Kotyra
Podobnie, jak w przypadku obliczania również można rozbić na dwa ciągi składowe
dla oraz dla ( ) 14 , 2, ,1 ,0 −= Nk K ( ) ( ) ( ) 12 , 2,4 ,14 ,4 −++= NNNNk K
( )kX ( )kA
( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
2NkAkAkA
( ) 12 , 2, ,1 ,0 −= Nk K 14
, 2, ,1 ,0 −=Nk K
( ) ( ) ( ) ( )44
14
0
42
44
14
0244
4Nkn
N
N
n
NkN
NknN
N
nWnxWWnxNkA +
−
=
++
−
=
⋅+⋅+⋅=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + ∑∑
4
( ) njnkN
NnN
jnk
NNn
Nnk
NNkn
N WWWWW 24
44
2
44
444
4 ee ===⋅= ⋅−⋅⋅−
⋅+ ππ
( ) ( )[ ] nkN
nkN WnjnW 44 2sin2cos =−⋅= ππ
( ) ( )[ ] kN
kN
jkN
NN
jk
NN
Nk
NNk
N WjWWWWWW 22242
2
24
224
2 sincosee −=−⋅=⋅=⋅=⋅= −⋅−
+ ππππ
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
75
Ostatecznie otrzymujemy:
( ) ( ) nkN
N
n
kN
nkN
N
nWnxWWnxNkA 2
14
024
14
0244
4⋅+⋅−⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + ∑∑
−
=
−
=
NN 14
14
−−Zatem:
( ) ( ) ( ) nkN
n
kN
nkN
nWnxWWnxkA 4
4
024
4
0244 ⋅+⋅+⋅= ∑∑
==
14
, 2, ,1 ,0 −=Nk K
( )kC ( )kD
( ) ( )444 3444 2144 344 21
nkN
N
n
kN
nkN
N
nWnxWWnxNkA 4
14
024
14
0244
4⋅+⋅−⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + ∑∑
−
=
−
=
Podobnie można postąpić z rozbijając na dwie składowe ( )kB ( ) ( )kFkE ,→
‘ Andrzej Kotyra
x(0)
x(4)
C(0)
C(1)
A(0)
A(1)N = 2
( ) ( ) 1 ,0 ,4 4
1
0
=⋅= ∑=
kWnxkC nkN
n
( ) ( ) 1,0 ,24 4
1
=⋅+= ∑ kWnxkD nkN
( ) ( ) ( )kDWkCkA k ⋅+= 4
( ) ( ) ( )kDWkCkA k ⋅+=+ 42
x(1)
x(5)
E(0)
E(1)
B(0)
B(1)N = 2
x(2)
x(6)
D(0)
D(1)
−1W 04
W 14 −1
A(2)
A(3)N = 2
( ) ( ) 40
∑=
Nn
( ) ( ) ( )kDWkCkA ++ 42
x(5)
x(3)
x(7)
F(0)
F(1)
−1W 04
W 14 −1
B(1)
B(2)
B(3)N = 2
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
75
Ostatecznie otrzymujemy:
( ) ( ) nkN
N
n
kN
nkN
N
nWnxWWnxNkA 2
14
024
14
0244
4⋅+⋅−⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + ∑∑
−
=
−
=
NN 14
14
−−Zatem:
( ) ( ) ( ) nkN
n
kN
nkN
nWnxWWnxkA 4
4
024
4
0244 ⋅+⋅+⋅= ∑∑
==
14
, 2, ,1 ,0 −=Nk K
( )kC ( )kD
( ) ( )444 3444 2144 344 21
nkN
N
n
kN
nkN
N
nWnxWWnxNkA 4
14
024
14
0244
4⋅+⋅−⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + ∑∑
−
=
−
=
Podobnie można postąpić z rozbijając na dwie składowe ( )kB ( ) ( )kFkE ,→
‘ Andrzej Kotyra
x(0)
x(4)
C(0)
C(1)
A(0)
A(1)N = 2
( ) ( ) 1 ,0 ,4 4
1
0
=⋅= ∑=
kWnxkC nkN
n
( ) ( ) 1,0 ,24 4
1
=⋅+= ∑ kWnxkD nkN
( ) ( ) ( )kDWkCkA k ⋅+= 4
( ) ( ) ( )kDWkCkA k ⋅+=+ 42
x(1)
x(5)
E(0)
E(1)
B(0)
B(1)N = 2
x(2)
x(6)
D(0)
D(1)
−1W 04
W 14 −1
A(2)
A(3)N = 2
( ) ( ) 40
∑=
Nn
( ) ( ) ( )kDWkCkA ++ 42
x(5)
x(3)
x(7)
F(0)
F(1)
−1W 04
W 14 −1
B(1)
B(2)
B(3)N = 2
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
76
x(0) C(0)
−1W 02x(4) C(1)
x(2) D(0)
x k( )
Pojedynczy motylek dla N = 2
( ) (0)
−1W 02x(6) D(1)
x(1) E(0)
−1W 02x(5) E(1)
−1W 02x k N( + /2)
1e0
22
02 ==
⋅−πj
W
Ponieważ:
1W 2x(5) ( )
x(3) F(0)
−1W 02x(7) F(1)
x k( )
−1x k N( + /2)
Ostatecznie:
‘ Andrzej Kotyra
x(0)
−1W 02
x(4)
x(2)W 1D(0)
C(0)
C(1)
A(2)
A(0)
A(1)
X(0)
X(1)
X(2)
8 - punktowa FFT (algorytm radix-2)
−1W 02
x(6)
x(1)
−1W 02
x(5)
−1
−1
W 04
W 14
E(0)
E(1)
( )
D(1)
B(0)
B(1)
( )
A(3)
W 18
W 08
−1
−1
X(3)
X(4)
X(5)
I etap II etap III etap
x(3) F(0)
−1W 02
x(7) F(1)−1
−1
W 04
W 14
B(1)
B(3)W 3
8
W 28
−1
−1X(6)
X(7)
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
76
x(0) C(0)
−1W 02x(4) C(1)
x(2) D(0)
x k( )
Pojedynczy motylek dla N = 2
( ) (0)
−1W 02x(6) D(1)
x(1) E(0)
−1W 02x(5) E(1)
−1W 02x k N( + /2)
1e0
22
02 ==
⋅−πj
W
Ponieważ:
1W 2x(5) ( )
x(3) F(0)
−1W 02x(7) F(1)
x k( )
−1x k N( + /2)
Ostatecznie:
‘ Andrzej Kotyra
x(0)
−1W 02
x(4)
x(2)W 1D(0)
C(0)
C(1)
A(2)
A(0)
A(1)
X(0)
X(1)
X(2)
8 - punktowa FFT (algorytm radix-2)
−1W 02
x(6)
x(1)
−1W 02
x(5)
−1
−1
W 04
W 14
E(0)
E(1)
( )
D(1)
B(0)
B(1)
( )
A(3)
W 18
W 08
−1
−1
X(3)
X(4)
X(5)
I etap II etap III etap
x(3) F(0)
−1W 02
x(7) F(1)−1
−1
W 04
W 14
B(1)
B(3)W 3
8
W 28
−1
−1X(6)
X(7)
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
77
Wynik obliczeń w
-tym kroku( )1−m
( )pX m 1− ( )pX m
Wynik obliczeń
w -tym krokum
Ogólniej:
−1W kN
( )qX m 1− ( )qX m
( ) ( ) ( )pXWpXpX mk
Nmm 11 −− ⋅+=
( ) ( ) ( )qXWqXqX mk
Nmm 11 −− ⋅−=( ) ( ) ( )qqq mNmm 11
Każdy motylek wymaga jednego mnożenia zespolonego i dwóch dodawań zespolonych
W każdym kroku algorytmu radix-2 obliczanych jest motylków2N
‘ Andrzej Kotyra
Im(z)
W 5
W 68 W 7
8
W 34
kNW − współczynnik obrotu k
Njk
NW⋅−
=π2
e
Re(z)
W 08
W 18
W 28
W 38
W 48
W8
W 04 W 0
2
W 24W 1
2
8
W 14
Uwzględnienie nadmiarowości współczynników obrotu umożliwia dalsze zmniejszenie
liczby wykonywanych operacji
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
77
Wynik obliczeń w
-tym kroku( )1−m
( )pX m 1− ( )pX m
Wynik obliczeń
w -tym krokum
Ogólniej:
−1W kN
( )qX m 1− ( )qX m
( ) ( ) ( )pXWpXpX mk
Nmm 11 −− ⋅+=
( ) ( ) ( )qXWqXqX mk
Nmm 11 −− ⋅−=( ) ( ) ( )qqq mNmm 11
Każdy motylek wymaga jednego mnożenia zespolonego i dwóch dodawań zespolonych
W każdym kroku algorytmu radix-2 obliczanych jest motylków2N
‘ Andrzej Kotyra
Im(z)
W 5
W 68 W 7
8
W 34
kNW − współczynnik obrotu k
Njk
NW⋅−
=π2
e
Re(z)
W 08
W 18
W 28
W 38
W 48
W8
W 04 W 0
2
W 24W 1
2
8
W 14
Uwzględnienie nadmiarowości współczynników obrotu umożliwia dalsze zmniejszenie
liczby wykonywanych operacji
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
78
Zysk obliczeniowy algorytmu radix-2
W każdym kroku algorytmu FFT wymagane jest przeprowadzenie N/2 mnożeń zespolonych oraz N sumowań zespolonych
Każdy dodatkowy współczynnik w potędze liczby 2 przy ilości N próbek wymaga przeprowadzenia osobnego kroku algorytmu FFT Zatem zawsze mamy B = log N kroków wprzeprowadzenia osobnego kroku algorytmu FFT. Zatem zawsze mamy B log2N kroków w algorytmie FFT.
W całym algorytmie przeprowadzanych jest N/2⋅log2N mnożeń zespolonych oraz N⋅log2N
sumowań zespolonych.
‘ Andrzej Kotyra
Obliczanie odwrotnego dyskretnego przekształcenia Fouriera z wykorzystaniem FFT
[ ] [ ] nN
jkN
nnx
NkX
π21
0
e1 −−
=∑ ⋅=
Proste dyskretne przekształcenie Fouriera
[ ] [ ] nN
jkN
kkXnx
π21
0
e∑−
=
⋅=
Odwrotne dyskretne przekształcenie FourieraProste dyskretne przekształcenie Fouriera Odwrotne dyskretne przekształcenie Fouriera
[ ] [ ]*21
0
* e ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅= ∑
−
=
nN
jkN
kkXnx
π ( ) *** baba +=+ ( ) *** baab =
[ ] [ ] nN
jkN
k
kXnxπ21
0
** e−−
=∑ ⋅= [ ] [ ]
*21
0
* e ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=
−−
=∑
nN
jkN
k
kXnxπ
1. Obliczyć wartości szeregu X*[k]2. Obliczyć proste przekształcenie Fouriera sprzężonego szeregu na podstawie algorytmu FFT3. Pomnożyć każdy składnik przez N4. Obliczyć sprzężenie wartości uzyskanych wyników aby otrzymać szereg wartości x [n]
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
78
Zysk obliczeniowy algorytmu radix-2
W każdym kroku algorytmu FFT wymagane jest przeprowadzenie N/2 mnożeń zespolonych oraz N sumowań zespolonych
Każdy dodatkowy współczynnik w potędze liczby 2 przy ilości N próbek wymaga przeprowadzenia osobnego kroku algorytmu FFT Zatem zawsze mamy B = log N kroków wprzeprowadzenia osobnego kroku algorytmu FFT. Zatem zawsze mamy B log2N kroków w algorytmie FFT.
W całym algorytmie przeprowadzanych jest N/2⋅log2N mnożeń zespolonych oraz N⋅log2N
sumowań zespolonych.
‘ Andrzej Kotyra
Obliczanie odwrotnego dyskretnego przekształcenia Fouriera z wykorzystaniem FFT
[ ] [ ] nN
jkN
nnx
NkX
π21
0
e1 −−
=∑ ⋅=
Proste dyskretne przekształcenie Fouriera
[ ] [ ] nN
jkN
kkXnx
π21
0
e∑−
=
⋅=
Odwrotne dyskretne przekształcenie FourieraProste dyskretne przekształcenie Fouriera Odwrotne dyskretne przekształcenie Fouriera
[ ] [ ]*21
0
* e ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅= ∑
−
=
nN
jkN
kkXnx
π ( ) *** baba +=+ ( ) *** baab =
[ ] [ ] nN
jkN
k
kXnxπ21
0
** e−−
=∑ ⋅= [ ] [ ]
*21
0
* e ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=
−−
=∑
nN
jkN
k
kXnxπ
1. Obliczyć wartości szeregu X*[k]2. Obliczyć proste przekształcenie Fouriera sprzężonego szeregu na podstawie algorytmu FFT3. Pomnożyć każdy składnik przez N4. Obliczyć sprzężenie wartości uzyskanych wyników aby otrzymać szereg wartości x [n]
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
79
Filtry cyfrowe
Filtr cyfrowy - algorytm (zrealizowany programowo lub sprzętowo) przekształcający sygnał wejściowy x[n] w sygnał wyjściowy y[n], który posiada pożądane właściwości zależne od konkretnego zastosowania - np. redukcja szumu, eliminacja nadmiaru informacji w sygnale akustycznym w celu jego kompresji etc.
Zalety filtrów cyfrowych
à Bardzo dobre parametry charakterystyk częstotliwościowych – poziomy tłumienia są dużo większe niż w przypadku f. analogowych tego samego rzędu – większe stromości – pasmo przejściowe pozbawione zafalowań.à Możliwość uzyskania filtru o liniowej fazie w paśmie przepustowym (brak zniekształceń fazowych w paśmie użytecznym)à Parametry filtru są stałe w czasie (nie istnieje problem starzenia elementów)à Współczynniki filtru oraz jego struktura może być łatwo zmodyfikowana – i to bez zmiany sprzętowejà Możliwość projektowania filtrów adaptacyjnych – dostosowujących swoje charakterystyki do aktualnego sygnału na wejściu.
‘ Andrzej Kotyra
Wady filtrów cyfrowych
Œ Pasmo przenoszenia ograniczone od połowy częstotliwości próbkowania użytej w układzie.Œ Mały przedział dostępnych amplitud (np. wartość skuteczna napięcia szumów dla 16-bitowego przetwornika A/C wynosi ok. 10μV – typowy układ filtru analogowego na WO ok. 2μV) – Wynik mnożenia dwóch liczb umieszczany w rejestrze jest ucinany – dodatkowe źródło szumu
[ ] [ ]∑∑==
−−−=M
kk
N
ll knyalnxbny
10
][
[ ] [ ]∑∑ −=−+N
l
M
k lnxbknyany ][ [ ] [ ]∑∑ −=−N
l
M
k lnxbknya
Rozpatrywane będą filtry cyfrowe należące do grupy układów LTI.
Œ Mniejsza szybkość działania - górna częstotliwość jest rzędu MHz,w przypadku f. analogowych - setki MHz
( ) ( )( ) ∑
∑
=
−
=
−
+== M
k
kk
N
l
ll
za
zb
zXzYzH
1
0
1
== lk 01 == lk 00
transformata Z
( ) ( )∑∑=
−
=
− ⋅=⋅N
l
ll
M
k
kk zXzbzYza
00
, transmitancja filtru:
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
79
Filtry cyfrowe
Filtr cyfrowy - algorytm (zrealizowany programowo lub sprzętowo) przekształcający sygnał wejściowy x[n] w sygnał wyjściowy y[n], który posiada pożądane właściwości zależne od konkretnego zastosowania - np. redukcja szumu, eliminacja nadmiaru informacji w sygnale akustycznym w celu jego kompresji etc.
Zalety filtrów cyfrowych
à Bardzo dobre parametry charakterystyk częstotliwościowych – poziomy tłumienia są dużo większe niż w przypadku f. analogowych tego samego rzędu – większe stromości – pasmo przejściowe pozbawione zafalowań.à Możliwość uzyskania filtru o liniowej fazie w paśmie przepustowym (brak zniekształceń fazowych w paśmie użytecznym)à Parametry filtru są stałe w czasie (nie istnieje problem starzenia elementów)à Współczynniki filtru oraz jego struktura może być łatwo zmodyfikowana – i to bez zmiany sprzętowejà Możliwość projektowania filtrów adaptacyjnych – dostosowujących swoje charakterystyki do aktualnego sygnału na wejściu.
‘ Andrzej Kotyra
Wady filtrów cyfrowych
Œ Pasmo przenoszenia ograniczone od połowy częstotliwości próbkowania użytej w układzie.Œ Mały przedział dostępnych amplitud (np. wartość skuteczna napięcia szumów dla 16-bitowego przetwornika A/C wynosi ok. 10μV – typowy układ filtru analogowego na WO ok. 2μV) – Wynik mnożenia dwóch liczb umieszczany w rejestrze jest ucinany – dodatkowe źródło szumu
[ ] [ ]∑∑==
−−−=M
kk
N
ll knyalnxbny
10
][
[ ] [ ]∑∑ −=−+N
l
M
k lnxbknyany ][ [ ] [ ]∑∑ −=−N
l
M
k lnxbknya
Rozpatrywane będą filtry cyfrowe należące do grupy układów LTI.
Œ Mniejsza szybkość działania - górna częstotliwość jest rzędu MHz,w przypadku f. analogowych - setki MHz
( ) ( )( ) ∑
∑
=
−
=
−
+== M
k
kk
N
l
ll
za
zb
zXzYzH
1
0
1
== lk 01 == lk 00
transformata Z
( ) ( )∑∑=
−
=
− ⋅=⋅N
l
ll
M
k
kk zXzbzYza
00
, transmitancja filtru:
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
80
Filtry cyfrowefiltry cyfrowe nierekursywne
filtry cyfrowe rekursywne
klasyfikacja filtrów cyfrowych
Przynajmniej jeden ze współczynników ak mianownika transmitancji jest różny od zera.
Sygnał wyjściowy filtru rekursywnego zależy od próbek sygnału wejściowego i poprzednich wartości sygnału wejściowego.
Zazwyczaj odpowiedź impulsowa filtru rekursywnego jest nieskończona w czasie (z
Właściwości cyfrowych filtrów rekursywnych:
y j p p y g j (wyjątkiem przypadku, kiedy wszystkie bieguny kompensowane są przez zera) → filtry o
nieskończonej odpowiedzi impulsowej (NOI, IIR)
Przyczynowy filtr NOI jest stabilny, jeżeli bieguny jego transmitancji leżą wewnątrzokręgu jednostkowego
‘ Andrzej Kotyra
Właściwości cyfrowych filtrów nierekursywnych:
Wszystkie współczynniki ak mianownika transmitancji są równe zeru.
Sygnał wyjściowy filtru nierekursywnego zależy tylko od próbek sygnału wejściowego.Odpowiedź impulsowa filtru nierekursywnego jest zawsze skończona w czasie → filtry o
skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI, FIR) są zawsze stabilnej p p j ( , ) ą
Nie każdy filtr SOI , jest nierekursywny
realizacja filtru cyfrowego: → przetworzenie sygnału wejściowego w sygnał wyjściowy →
np. na podstawie równania różnicowego
opis struktury filtru: schematy blokowe, grafy przepływu sygnałów, zapis macierzowy
Podstawowe elementy schematu blokowego
sumator układ mnożący układ opóźniający
x
y
x + y x
a
ax x n( ) x n ( 1)−z−1
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
80
Filtry cyfrowefiltry cyfrowe nierekursywne
filtry cyfrowe rekursywne
klasyfikacja filtrów cyfrowych
Przynajmniej jeden ze współczynników ak mianownika transmitancji jest różny od zera.
Sygnał wyjściowy filtru rekursywnego zależy od próbek sygnału wejściowego i poprzednich wartości sygnału wejściowego.
Zazwyczaj odpowiedź impulsowa filtru rekursywnego jest nieskończona w czasie (z
Właściwości cyfrowych filtrów rekursywnych:
y j p p y g j (wyjątkiem przypadku, kiedy wszystkie bieguny kompensowane są przez zera) → filtry o
nieskończonej odpowiedzi impulsowej (NOI, IIR)
Przyczynowy filtr NOI jest stabilny, jeżeli bieguny jego transmitancji leżą wewnątrzokręgu jednostkowego
‘ Andrzej Kotyra
Właściwości cyfrowych filtrów nierekursywnych:
Wszystkie współczynniki ak mianownika transmitancji są równe zeru.
Sygnał wyjściowy filtru nierekursywnego zależy tylko od próbek sygnału wejściowego.Odpowiedź impulsowa filtru nierekursywnego jest zawsze skończona w czasie → filtry o
skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI, FIR) są zawsze stabilnej p p j ( , ) ą
Nie każdy filtr SOI , jest nierekursywny
realizacja filtru cyfrowego: → przetworzenie sygnału wejściowego w sygnał wyjściowy →
np. na podstawie równania różnicowego
opis struktury filtru: schematy blokowe, grafy przepływu sygnałów, zapis macierzowy
Podstawowe elementy schematu blokowego
sumator układ mnożący układ opóźniający
x
y
x + y x
a
ax x n( ) x n ( 1)−z−1
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
81
Przykład 12 Narysować schemat blokowy oraz graf przepływu filtru opisanego równaniem:
[ ] [ ] [ ]11][ −+−+= naynbxnxny
Schemat blokowy:
x n[ ] y n[ ]
Graf przepływu:
z−1b z−1
a
z−1
b z−1
a
x n[ ] y n[ ]
‘ Andrzej Kotyra
Przykład 12 Narysować schemat blokowy oraz graf przepływu filtru opisanego równaniem:
[ ] [ ] [ ]21][ 21 −+−+= nyanyanbxny
z−1a1
x n[ ] y n[ ]
z−1
y n[ 1]−
a2
⇔z−1
y n[ ]
z−1
a1
a2
x n[ ]
y n[ 2]−
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
81
Przykład 12 Narysować schemat blokowy oraz graf przepływu filtru opisanego równaniem:
[ ] [ ] [ ]11][ −+−+= naynbxnxny
Schemat blokowy:
x n[ ] y n[ ]
Graf przepływu:
z−1b z−1
a
z−1
b z−1
a
x n[ ] y n[ ]
‘ Andrzej Kotyra
Przykład 12 Narysować schemat blokowy oraz graf przepływu filtru opisanego równaniem:
[ ] [ ] [ ]21][ 21 −+−+= nyanyanbxny
z−1a1
x n[ ] y n[ ]
z−1
y n[ 1]−
a2
⇔z−1
y n[ ]
z−1
a1
a2
x n[ ]
y n[ 2]−
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
82
Podstawowe struktury sieci filtrów NOI (IIR)
Postać bezpośrednia typu I
Wynika wprost z równania różnicowego:
[ ] [ ]∑∑MN
knyalnxbny ][ [ ] [ ]∑∑==
−−−=k
kl
l knyalnxbny00
][
z−1
x n[ ] y n[ ]
z−1
z−1
z−1
b0
b1
b2
−a1
−a2NM =
Graf filtru przy założeniu, że
z−1z−1
2
bN
2
−aM
Ponieważ jest to układ LTI, można zamienić gałęzie miejscami
‘ Andrzej Kotyra
x n[ ] y n[ ]
z−1
z−1
b0
b1
b2
z−1
z−1
−a1
−a2
x n[ ] y n[ ]b0
b1
b2
z−1
z−1
−a1
−a2
Postać bezpośrednia typu II
z−1
2
bN
z−1
2
−aM
b2
bN
z−1
a2
−aM
⇔
Jest to struktura kanoniczna − w oparciu o taką strukturę potrzeba minimalną liczbę
układów opóźniających, sumatorów i układów mnożących.
Jeśli M = N, wówczas w strukturze kanonicznej występuje N, opóźnień, 2N, operacji dodawania oraz 2N + 1mnożeń.Transponowanie grafu − w grafie o jednym wejściu i jednym wyjściu jeśli zamianie ulegnie
wejście z wyjściem oraz kierunki we wszystkich gałęziach grafu ulegną odwróceniu, wówczas transmitancja opisana tym grafem nie ulegnie zmianie → struktura odwrócona II
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
82
Podstawowe struktury sieci filtrów NOI (IIR)
Postać bezpośrednia typu I
Wynika wprost z równania różnicowego:
[ ] [ ]∑∑MN
knyalnxbny ][ [ ] [ ]∑∑==
−−−=k
kl
l knyalnxbny00
][
z−1
x n[ ] y n[ ]
z−1
z−1
z−1
b0
b1
b2
−a1
−a2NM =
Graf filtru przy założeniu, że
z−1z−1
2
bN
2
−aM
Ponieważ jest to układ LTI, można zamienić gałęzie miejscami
‘ Andrzej Kotyra
x n[ ] y n[ ]
z−1
z−1
b0
b1
b2
z−1
z−1
−a1
−a2
x n[ ] y n[ ]b0
b1
b2
z−1
z−1
−a1
−a2
Postać bezpośrednia typu II
z−1
2
bN
z−1
2
−aM
b2
bN
z−1
a2
−aM
⇔
Jest to struktura kanoniczna − w oparciu o taką strukturę potrzeba minimalną liczbę
układów opóźniających, sumatorów i układów mnożących.
Jeśli M = N, wówczas w strukturze kanonicznej występuje N, opóźnień, 2N, operacji dodawania oraz 2N + 1mnożeń.Transponowanie grafu − w grafie o jednym wejściu i jednym wyjściu jeśli zamianie ulegnie
wejście z wyjściem oraz kierunki we wszystkich gałęziach grafu ulegną odwróceniu, wówczas transmitancja opisana tym grafem nie ulegnie zmianie → struktura odwrócona II
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
83
x n[ ] y n[ ]b0
b1
b2
z−1
z−1
−a1
−a2
Odwrócona struktura
bezpośrednia typu II dla M = N
Każdą transmitancję można
bNz−1
−aM
przedstawić w postaci:
( ) ( )( )
( )( ) MN
zd
zczXzYzH M
i i
N
i i ≤−
−==
∏∏
=−
=−
1
1
11
11
Zera i bieguny (zespolone) występują w parach sprzężonych, zatem lepiej zastosować czynniki stopnia drugiego
( ) ( )( ) NM
zzz
zzzz
zXzYzH
K
k kk
kkK
kkk
kk =++
++=
++++
== ∑∏=
−−
−
= −−
−−
11
11
22
11
110
01 22
11
22
11
ααγγγ
ααββ
K jest częścią całkowitą liczby M /2
struktura kaskadowa struktura równoległa
‘ Andrzej Kotyra
x n[ ] y n[ ]
b0
b1 1
b2 2
z−1
z−1
−a1 1
−a2 1
b1 K
b2 K
z−1
z−1
−a1 K
−a2 K
struktura kaskadowa
x n[ ]
b0
γ1 1z−1
z−1
−a1 1
−a2 1
γ1 0
γ0
y n[ ]
struktura równoległa
γ1 Kz−1
z−1
−a1 K
−a2 K
γ1 K
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
83
x n[ ] y n[ ]b0
b1
b2
z−1
z−1
−a1
−a2
Odwrócona struktura
bezpośrednia typu II dla M = N
Każdą transmitancję można
bNz−1
−aM
przedstawić w postaci:
( ) ( )( )
( )( ) MN
zd
zczXzYzH M
i i
N
i i ≤−
−==
∏∏
=−
=−
1
1
11
11
Zera i bieguny (zespolone) występują w parach sprzężonych, zatem lepiej zastosować czynniki stopnia drugiego
( ) ( )( ) NM
zzz
zzzz
zXzYzH
K
k kk
kkK
kkk
kk =++
++=
++++
== ∑∏=
−−
−
= −−
−−
11
11
22
11
110
01 22
11
22
11
ααγγγ
ααββ
K jest częścią całkowitą liczby M /2
struktura kaskadowa struktura równoległa
‘ Andrzej Kotyra
x n[ ] y n[ ]
b0
b1 1
b2 2
z−1
z−1
−a1 1
−a2 1
b1 K
b2 K
z−1
z−1
−a1 K
−a2 K
struktura kaskadowa
x n[ ]
b0
γ1 1z−1
z−1
−a1 1
−a2 1
γ1 0
γ0
y n[ ]
struktura równoległa
γ1 Kz−1
z−1
−a1 K
−a2 K
γ1 K
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
84
Podstawowe struktury sieci filtrów SOI (FIR) - nierekursywnych
( ) ( )( ) ∑
−
=
−==1
0
N
i
ii zb
zXzYzHTransmitancja nierekursywnego filtru SOI:
Niech oznacza odpowiedź impulsową filtru. Transformata Z tego filtru jest jednocześnie transmitancją układu:
( )nhtransmitancją układu:
( ) ( )( ) ( )∑
=
−⋅==N
i
izihzXzYzH
0
elementami filtru nierekursywnego jest ciąg odpowiedzi impulsowej
( ) ( ) ( )∑−
=
−⋅=1
0
N
i
inxihny Sygnał wyjściowy jest splotem jego współczynników i sygnału wejściowego
struktura bezpośrednia filtru SOI
( ) ( )∏=
−− ⋅+⋅+=K
kkkk zzzH
1
22
100 βββ
struktura kaskadowa filtru SOI
‘ Andrzej Kotyra
x n[ ] z−1
h(0) h(1)
z−1 z−1
h(2) h N( 2)− h N( 1)−
struktura bezpośrednia filtru SOI
y n[ ]
x n[ ]
y n[ ]z−1
βz−1
β
β0 1 β0 2
z−1
β
β0 K
struktura kaskadowa filtru SOI
z−1
β1 1
β2 1
z−1
β1 2
β2 2
z−1
β1 K
β2 K
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
84
Podstawowe struktury sieci filtrów SOI (FIR) - nierekursywnych
( ) ( )( ) ∑
−
=
−==1
0
N
i
ii zb
zXzYzHTransmitancja nierekursywnego filtru SOI:
Niech oznacza odpowiedź impulsową filtru. Transformata Z tego filtru jest jednocześnie transmitancją układu:
( )nhtransmitancją układu:
( ) ( )( ) ( )∑
=
−⋅==N
i
izihzXzYzH
0
elementami filtru nierekursywnego jest ciąg odpowiedzi impulsowej
( ) ( ) ( )∑−
=
−⋅=1
0
N
i
inxihny Sygnał wyjściowy jest splotem jego współczynników i sygnału wejściowego
struktura bezpośrednia filtru SOI
( ) ( )∏=
−− ⋅+⋅+=K
kkkk zzzH
1
22
100 βββ
struktura kaskadowa filtru SOI
‘ Andrzej Kotyra
x n[ ] z−1
h(0) h(1)
z−1 z−1
h(2) h N( 2)− h N( 1)−
struktura bezpośrednia filtru SOI
y n[ ]
x n[ ]
y n[ ]z−1
βz−1
β
β0 1 β0 2
z−1
β
β0 K
struktura kaskadowa filtru SOI
z−1
β1 1
β2 1
z−1
β1 2
β2 2
z−1
β1 K
β2 K
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
85
struktura filtru SOI z próbkami częstotliwości
( ) ( )( ) ( )∏ ∑
−
=
−
=−
−
−−==
1
0
1
01
1
11
N
k
N
k k
kn zz
AzzzXzYzH
Transmitancję filtru można wyrazić za pomocą wielomianu Lagrange’a, interpolującego transmitancję filtru w postaci:
( )( )∏
−−−
= 1
0
11N
nnk
kk
zz
zHA
≠=0
mnn
( )10 −≤≤ Nnzn stanowi N dowolnie wybranych punktów na płaszczyźnie zespolonej
Jeżeli punkty są równomiernie rozmieszczone na okręgu jednostkowym: nz
1 , .... ,2 ,0 e 2 −== ⋅ Nnz Nnjn
π
( ) ( )NN
k
Nnj zz −−
=
− −=−∏ 1e11
0
21 π ( )( )
( ) ( )NzH
zzzzHzzzHA kN
k
zzkNk
zzkkkk
=−
−=
−= −
−
→−−
−
→
∏ 11lim
1
1lim1
11
1
( )zzn
n−=
∏ 10
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )∑∑∏ ∑
−
=−
−−
=−
−−
=
−
=−
−
−−
=−
−=
−−==
1
021
1
021
21
0
1
01
1
e11
e1e1
11
N
kNj
NN
kNj
NjNN
k
N
k k
kn z
kHNz
zH
Nz
zzAzz
zXzYzH ππ
π
‘ Andrzej Kotyra
struktura z próbkami częstotliwości
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
85
struktura filtru SOI z próbkami częstotliwości
( ) ( )( ) ( )∏ ∑
−
=
−
=−
−
−−==
1
0
1
01
1
11
N
k
N
k k
kn zz
AzzzXzYzH
Transmitancję filtru można wyrazić za pomocą wielomianu Lagrange’a, interpolującego transmitancję filtru w postaci:
( )( )∏
−−−
= 1
0
11N
nnk
kk
zz
zHA
≠=0
mnn
( )10 −≤≤ Nnzn stanowi N dowolnie wybranych punktów na płaszczyźnie zespolonej
Jeżeli punkty są równomiernie rozmieszczone na okręgu jednostkowym: nz
1 , .... ,2 ,0 e 2 −== ⋅ Nnz Nnjn
π
( ) ( )NN
k
Nnj zz −−
=
− −=−∏ 1e11
0
21 π ( )( )
( ) ( )NzH
zzzzHzzzHA kN
k
zzkNk
zzkkkk
=−
−=
−= −
−
→−−
−
→
∏ 11lim
1
1lim1
11
1
( )zzn
n−=
∏ 10
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )∑∑∏ ∑
−
=−
−−
=−
−−
=
−
=−
−
−−
=−
−=
−−==
1
021
1
021
21
0
1
01
1
e11
e1e1
11
N
kNj
NN
kNj
NjNN
k
N
k k
kn z
kHNz
zH
Nz
zzAzz
zXzYzH ππ
π
‘ Andrzej Kotyra
struktura z próbkami częstotliwości
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
86
Projektowanie filtrów NOI
( ) ( )( ) ( )
∑
∑∑
=
−
=
−
−∞
= +=⋅== M
k
kk
N
l
ll
n
n za
zbznh
zXzYzH
1
0
0 1
Transmitancja filtru NOI
h(n) – odpowiedź impulsowa filtru NOI
Odpowiedź będzie nieskończona w czasie, jeżeli przynajmniej
1) jeden ze współczynników mianownika ak będzie różny od zera,2) nie wszystkie bieguny mianownika zostaną skompensowane przez zera licznika
transmitancji
Metody projektowania filtrów NOI
Na podstawie wzorca analogowego –przekształcenie filtru analogowego o transmitancji Ha(s) w filtr cyfrowy o transmitancji H (z)
Bezpośrednia synteza transmitancji H (z)filtru cyfrowego – na podstawie pożądanej odpowiedzi impulsowej lub charaktery-styki częstotliwościowej
‘ Andrzej Kotyra
Projektowanie filtrów NOI na podstawie wzorca analogowego
Metoda polega na takim przekształceniu płaszczyzny s w płaszczyznę z, aby ze stabilnego filtru analogowego uzyskać stabilny filtr cyfrowy, przy czym:
osi urojonej na płaszczyźnie s odpowiada okrąg jednostkowy na płaszczyźnie zlewej półpłaszczyźnie s odpowiada wnętrze koła o promieniu jednostkowym na płaszczyźnie z
Cel ten można (najczęściej) uzyskać stosując metody:niezmienności odpowiedzi impulsowejtransformacji biliniowej (dwuliniowej)
Metoda niezmienności odpowiedzi impulsowej
Odpowiedź impulsowa filtru cyfrowego stanowią próbki odpowiedzi impulsowej filtru analogowego.Zakładając, że transmitancja filtru analogowego posiada M pojedynczych biegunów, oraz rząd licznika transmitancji < rząd mianownika, transmitancję filtru analogowego Ha(s) można rozłożyć na ułamki proste:
( ) ∑= −
=M
k k
ka ds
csH1
( ) ( )kadsk dssHck
−⋅=→lim, gdzie:
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
86
Projektowanie filtrów NOI
( ) ( )( ) ( )
∑
∑∑
=
−
=
−
−∞
= +=⋅== M
k
kk
N
l
ll
n
n za
zbznh
zXzYzH
1
0
0 1
Transmitancja filtru NOI
h(n) – odpowiedź impulsowa filtru NOI
Odpowiedź będzie nieskończona w czasie, jeżeli przynajmniej
1) jeden ze współczynników mianownika ak będzie różny od zera,2) nie wszystkie bieguny mianownika zostaną skompensowane przez zera licznika
transmitancji
Metody projektowania filtrów NOI
Na podstawie wzorca analogowego –przekształcenie filtru analogowego o transmitancji Ha(s) w filtr cyfrowy o transmitancji H (z)
Bezpośrednia synteza transmitancji H (z)filtru cyfrowego – na podstawie pożądanej odpowiedzi impulsowej lub charaktery-styki częstotliwościowej
‘ Andrzej Kotyra
Projektowanie filtrów NOI na podstawie wzorca analogowego
Metoda polega na takim przekształceniu płaszczyzny s w płaszczyznę z, aby ze stabilnego filtru analogowego uzyskać stabilny filtr cyfrowy, przy czym:
osi urojonej na płaszczyźnie s odpowiada okrąg jednostkowy na płaszczyźnie zlewej półpłaszczyźnie s odpowiada wnętrze koła o promieniu jednostkowym na płaszczyźnie z
Cel ten można (najczęściej) uzyskać stosując metody:niezmienności odpowiedzi impulsowejtransformacji biliniowej (dwuliniowej)
Metoda niezmienności odpowiedzi impulsowej
Odpowiedź impulsowa filtru cyfrowego stanowią próbki odpowiedzi impulsowej filtru analogowego.Zakładając, że transmitancja filtru analogowego posiada M pojedynczych biegunów, oraz rząd licznika transmitancji < rząd mianownika, transmitancję filtru analogowego Ha(s) można rozłożyć na ułamki proste:
( ) ∑= −
=M
k k
ka ds
csH1
( ) ( )kadsk dssHck
−⋅=→lim, gdzie:
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
87
( ) 0 ,e1
≥= ∑=
tcthM
k
tdk
k odpowiedź impulsowa filtru analogowego
( ) K 2, 1, 0, ,e1
== ∑=
ncnThM
k
nTdk
k spróbkowana z odstępem T odpowiedź impulsowa filtru
( )∞∞∞ MMM c( ) ( ) ( ) ∑∑∑∑∑∑
=−
=
−
== =
−
=
−
−==⋅=⋅=
kTd
k
n
nTd
kk
n k
nnTdk
n
n
zczczcznThzH
k
kk
11
0
1
10 10 e1ee
( ) ∑= −
=M
k k
ka ds
csH1
Transmitancję filtru cyfrowego H(z) można uzyskać na podstawie transmitancji filtru analogowego Ha(s) wykonując podstawienie mianownika, o ile transmitancję Ha(s) można rozłożyć na ułamki proste:proste:
1e1 −−→− zds Tdk
k
biegun o wartości d na płaszczyźnie zespolonej s przechodzi w biegun edT na płaszczyźnie zespolonej z (zer to nie dotyczy)
‘ Andrzej Kotyra
Jeżeli bieguny są zespolone sprzężone parami, wówczas współczynniki ck będą zespolone i sprzężone
11*
*
*
e1e1 −− −+
−→
−+
− zc
zc
dsc
dsc
Tdk
Tdk
k
k
k
k
kk
Jeżeli odpowiedź impulsowa filtru analogowego o charakterystyce Ha(s) zostanie spróbkowana, wówczas charakterystyka filtru cyfrowego wynosi:
( ) ∑∞
−∞=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
ka
j kT
jjHT
H πωω 21e
Aby nie zachodziło zjawisko aliasingu, musi zachodzić warunek:
( )T
jHaπωω >= 0 dla
Metody niezmienności odpowiedzi impulsowej nie można stosować do przekształcania ó t filt l fgórnoprzepustowego filtru analogowego w cyfrowy.
W celu zachowania wzmocnienia, na ogół przyjmuje się, że transmitancja projektowanego filtru cyfrowego z wykorzystaniem wzorca analogowego metodą niezmienności odpowiedzi impulsowej ma postać:
( ) ∑=
−−⋅
=M
kTdk
zecTzHk
111
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
87
( ) 0 ,e1
≥= ∑=
tcthM
k
tdk
k odpowiedź impulsowa filtru analogowego
( ) K 2, 1, 0, ,e1
== ∑=
ncnThM
k
nTdk
k spróbkowana z odstępem T odpowiedź impulsowa filtru
( )∞∞∞ MMM c( ) ( ) ( ) ∑∑∑∑∑∑
=−
=
−
== =
−
=
−
−==⋅=⋅=
kTd
k
n
nTd
kk
n k
nnTdk
n
n
zczczcznThzH
k
kk
11
0
1
10 10 e1ee
( ) ∑= −
=M
k k
ka ds
csH1
Transmitancję filtru cyfrowego H(z) można uzyskać na podstawie transmitancji filtru analogowego Ha(s) wykonując podstawienie mianownika, o ile transmitancję Ha(s) można rozłożyć na ułamki proste:proste:
1e1 −−→− zds Tdk
k
biegun o wartości d na płaszczyźnie zespolonej s przechodzi w biegun edT na płaszczyźnie zespolonej z (zer to nie dotyczy)
‘ Andrzej Kotyra
Jeżeli bieguny są zespolone sprzężone parami, wówczas współczynniki ck będą zespolone i sprzężone
11*
*
*
e1e1 −− −+
−→
−+
− zc
zc
dsc
dsc
Tdk
Tdk
k
k
k
k
kk
Jeżeli odpowiedź impulsowa filtru analogowego o charakterystyce Ha(s) zostanie spróbkowana, wówczas charakterystyka filtru cyfrowego wynosi:
( ) ∑∞
−∞=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
ka
j kT
jjHT
H πωω 21e
Aby nie zachodziło zjawisko aliasingu, musi zachodzić warunek:
( )T
jHaπωω >= 0 dla
Metody niezmienności odpowiedzi impulsowej nie można stosować do przekształcania ó t filt l fgórnoprzepustowego filtru analogowego w cyfrowy.
W celu zachowania wzmocnienia, na ogół przyjmuje się, że transmitancja projektowanego filtru cyfrowego z wykorzystaniem wzorca analogowego metodą niezmienności odpowiedzi impulsowej ma postać:
( ) ∑=
−−⋅
=M
kTdk
zecTzHk
111
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
88
Metoda wykorzystująca transformację biliniową
Metoda transformacji biliniowej pozwala na uniknięcie problemów związanych z aliasingiem
Im s
j T3 /π
j Tπ/
Im z każdy pas o szerokości jest przekształcany w
całą płaszczyznę zTπ2
Re s
− πj T/
− πj T3 /
Re z
Im s Im s’
przekształcenie płaszczyzny s w płaszczyznę z dla metody niezmienności odpowiedzi impulsowej
zss →→ 'Transformacja biliniowa:
Niejednoznaczność
Re s Re s’
− πj T/
j Tπ/
‘ Andrzej Kotyra
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
2arctgh
2
' sTTs⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
2arctgh2' sT
Ts ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
2tgh2 'Ts
Ts
( )zT
sz Ts ln1 e ''
=⇒=podstawiamy: ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
2lntgh2 z
Ts
xxx 2e1ee −−( )
12ln2
12e12 −⋅−z
z
ponieważ: ( ) xxxx 2e1e1
eeeetgh −− +
−=
+−
= ( ) 12
ln2
2
112
e1
e12−⋅− +
−⋅=
+
−⋅=
zz
TTs z
( )( )1
1
112
−
−
+−
=zz
Ts
( )( )sT
sTz−+
=22
Ω+→ js σ
⇒
⇒( )( )
Ω++=
jTz σ2 ⇒Ω++
=jT
zσ2
j ( )Ω−− jT σ2 Ω−− jT σ2
jeśli (punkty położone na osi urojonej)0=σ 1=⇒ z odwzorowanie w okrąg jednostkowy
jeśli (punkty położone w lewej półpłaszczyźnie)0<σ 1<⇒ zodwzorowanie we wnętrze okręgu jednostkowego
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
88
Metoda wykorzystująca transformację biliniową
Metoda transformacji biliniowej pozwala na uniknięcie problemów związanych z aliasingiem
Im s
j T3 /π
j Tπ/
Im z każdy pas o szerokości jest przekształcany w
całą płaszczyznę zTπ2
Re s
− πj T/
− πj T3 /
Re z
Im s Im s’
przekształcenie płaszczyzny s w płaszczyznę z dla metody niezmienności odpowiedzi impulsowej
zss →→ 'Transformacja biliniowa:
Niejednoznaczność
Re s Re s’
− πj T/
j Tπ/
‘ Andrzej Kotyra
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
2arctgh
2
' sTTs⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
2arctgh2' sT
Ts ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
2tgh2 'Ts
Ts
( )zT
sz Ts ln1 e ''
=⇒=podstawiamy: ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
2lntgh2 z
Ts
xxx 2e1ee −−( )
12ln2
12e12 −⋅−z
z
ponieważ: ( ) xxxx 2e1e1
eeeetgh −− +
−=
+−
= ( ) 12
ln2
2
112
e1
e12−⋅− +
−⋅=
+
−⋅=
zz
TTs z
( )( )1
1
112
−
−
+−
=zz
Ts
( )( )sT
sTz−+
=22
Ω+→ js σ
⇒
⇒( )( )
Ω++=
jTz σ2 ⇒Ω++
=jT
zσ2
j ( )Ω−− jT σ2 Ω−− jT σ2
jeśli (punkty położone na osi urojonej)0=σ 1=⇒ z odwzorowanie w okrąg jednostkowy
jeśli (punkty położone w lewej półpłaszczyźnie)0<σ 1<⇒ zodwzorowanie we wnętrze okręgu jednostkowego
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
89
Wnioski:
transmitancja filtru cyfrowego:
nie ma aliasingu – cała oś urojona zostaje przekształcona w okrąg jednostkowy
zależność pomiędzy częstotliwością analogową Ω i cyfrową ω nie jest liniowa
( ) ( ) ( )( )1
1
112
−
−
+−
==
zTzsa sHzH
ωjzjs e , =Ω→jeśli ( )( )
( )( ) ( )2tg2
eeee2
e1e12
22
22
TT
jTT
j TjTj
TjTj
Tj
Tj
ωωω
ωω
ω
ω
=+−
=+−
=Ω −
−
−
−
( )2tg2 TT
ω=ΩRozbieżność pomiędzy częstotliwością analogową i cyfrową jest większa dla dużych Ω
ωπ
Ω
−π
‘ Andrzej Kotyra
Transformacje częstotliwościowe dolnoprzepustowego filtru cyfrowego
Projektowanie filtru cyfrowego na podstawie wzorca analogowego można przeprowadzić w dwojaki sposób:
dolnoprzepustowy analogowy filtr dolnoprzepustowydolnoprzepustowy wzorzec
analogowyfiltr cyfrowy
dolnoprzepustowy cyfrowy filtr dolnoprzepustowy→ cyfrowy filtr o pożądanym typie
analogowy filtr dolnoprzepustowy→ analogowy filtr o pożądanym
typie przepustowości
wzorzec analogowy
→ cyfrowy filtr o pożądanym typie przepustowości
filtr cyfrowy
Transformacja polega na podstawieniu za każdą zmienną z−1 odpowiedniego wyrażenia
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
89
Wnioski:
transmitancja filtru cyfrowego:
nie ma aliasingu – cała oś urojona zostaje przekształcona w okrąg jednostkowy
zależność pomiędzy częstotliwością analogową Ω i cyfrową ω nie jest liniowa
( ) ( ) ( )( )1
1
112
−
−
+−
==
zTzsa sHzH
ωjzjs e , =Ω→jeśli ( )( )
( )( ) ( )2tg2
eeee2
e1e12
22
22
TT
jTT
j TjTj
TjTj
Tj
Tj
ωωω
ωω
ω
ω
=+−
=+−
=Ω −
−
−
−
( )2tg2 TT
ω=ΩRozbieżność pomiędzy częstotliwością analogową i cyfrową jest większa dla dużych Ω
ωπ
Ω
−π
‘ Andrzej Kotyra
Transformacje częstotliwościowe dolnoprzepustowego filtru cyfrowego
Projektowanie filtru cyfrowego na podstawie wzorca analogowego można przeprowadzić w dwojaki sposób:
dolnoprzepustowy analogowy filtr dolnoprzepustowydolnoprzepustowy wzorzec
analogowyfiltr cyfrowy
dolnoprzepustowy cyfrowy filtr dolnoprzepustowy→ cyfrowy filtr o pożądanym typie
analogowy filtr dolnoprzepustowy→ analogowy filtr o pożądanym
typie przepustowości
wzorzec analogowy
→ cyfrowy filtr o pożądanym typie przepustowości
filtr cyfrowy
Transformacja polega na podstawieniu za każdą zmienną z−1 odpowiedniego wyrażenia
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
90
cyfrowy filtr dolnoprzepustowy → cyfrowy filtr dolnoprzepustowy
( )[ ]( )[ ]2sin
2sin ,
1 1
11
TT
zzz
up
up
⋅+⋅−
=⋅−−
→ −
−−
ωωωω
αα
α
−pω pulsacja graniczna dolnoprzepustowego filtru cyfrowego (transformowanego)−ω pożądana pulsacja granicznauω pożądana pulsacja graniczna
cyfrowy filtr dolnoprzepustowy → cyfrowy filtr górnoprzepustowy
( )[ ]( )[ ]2sin
2sin ,
1 1
11
TT
zzz
l
lp
⋅−
⋅+−=
⋅−−
→ −
−−
ωωωω
αα
α( )[ ]2sin1 Tz lp ωωα
−pω pulsacja graniczna dolnoprzepustowego filtru cyfrowego (transformowanego)−lω pożądana pulsacja graniczna
‘ Andrzej Kotyra
cyfrowy filtr dolnoprzepustowy → cyfrowy filtr pasmowoprzepustowy
( ) ( )[ ]( )[ ]2sin
2sincos ,1
12
11
11
12
012
12
1
TTT
zk
kzkk
kkz
kkz
zlu
lu
⋅−⋅+
==+
+⋅−
+−
+−+
+⋅−
−→−−
−−
−
ωωωωωαα
α
−ω pulsacja graniczna dolnoprzepustowego filtru cyfrowego (transformowanego)
( )[ ] ( )2tg2ctg TTk plu ⋅⋅⋅−= ωωω
pω pulsacja graniczna dolnoprzepustowego filtru cyfrowego (transformowanego)
−ul ωω , dolna pulsacja graniczna, górna pulsacja graniczna −lω pulsacja środkowa pasma przepustowego
cyfrowy filtr dolnoprzepustowy → cyfrowy filtr pasmowozaporowy
( ) ( )[ ]( )[ ]2i
2sincos ,2111
12
0
12
1
TTTkk
kkz
kkz
z lu ⋅+==+
−−+⋅−
→
−−
− ωωωαα
α
( ) ( )[ ]2sin11
211 0
12 Tzk
kzkk
lu ⋅−++⋅−
+−− −− ωωα
−pω pulsacja graniczna dolnoprzepustowego filtru cyfrowego (transformowanego)
−ul ωω , dolna pulsacja graniczna, górna pulsacja graniczna
( )[ ] ( )2tg2ctg TTk plu ⋅⋅⋅−= ωωω
−lω pulsacja środkowa pasma zaporowego
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
90
cyfrowy filtr dolnoprzepustowy → cyfrowy filtr dolnoprzepustowy
( )[ ]( )[ ]2sin
2sin ,
1 1
11
TT
zzz
up
up
⋅+⋅−
=⋅−−
→ −
−−
ωωωω
αα
α
−pω pulsacja graniczna dolnoprzepustowego filtru cyfrowego (transformowanego)−ω pożądana pulsacja granicznauω pożądana pulsacja graniczna
cyfrowy filtr dolnoprzepustowy → cyfrowy filtr górnoprzepustowy
( )[ ]( )[ ]2sin
2sin ,
1 1
11
TT
zzz
l
lp
⋅−
⋅+−=
⋅−−
→ −
−−
ωωωω
αα
α( )[ ]2sin1 Tz lp ωωα
−pω pulsacja graniczna dolnoprzepustowego filtru cyfrowego (transformowanego)−lω pożądana pulsacja graniczna
‘ Andrzej Kotyra
cyfrowy filtr dolnoprzepustowy → cyfrowy filtr pasmowoprzepustowy
( ) ( )[ ]( )[ ]2sin
2sincos ,1
12
11
11
12
012
12
1
TTT
zk
kzkk
kkz
kkz
zlu
lu
⋅−⋅+
==+
+⋅−
+−
+−+
+⋅−
−→−−
−−
−
ωωωωωαα
α
−ω pulsacja graniczna dolnoprzepustowego filtru cyfrowego (transformowanego)
( )[ ] ( )2tg2ctg TTk plu ⋅⋅⋅−= ωωω
pω pulsacja graniczna dolnoprzepustowego filtru cyfrowego (transformowanego)
−ul ωω , dolna pulsacja graniczna, górna pulsacja graniczna −lω pulsacja środkowa pasma przepustowego
cyfrowy filtr dolnoprzepustowy → cyfrowy filtr pasmowozaporowy
( ) ( )[ ]( )[ ]2i
2sincos ,2111
12
0
12
1
TTTkk
kkz
kkz
z lu ⋅+==+
−−+⋅−
→
−−
− ωωωαα
α
( ) ( )[ ]2sin11
211 0
12 Tzk
kzkk
lu ⋅−++⋅−
+−− −− ωωα
−pω pulsacja graniczna dolnoprzepustowego filtru cyfrowego (transformowanego)
−ul ωω , dolna pulsacja graniczna, górna pulsacja graniczna
( )[ ] ( )2tg2ctg TTk plu ⋅⋅⋅−= ωωω
−lω pulsacja środkowa pasma zaporowego
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
91
Projektowanie filtrów NOI na podstawie bezpośredniej syntezy transmitancji
Metoda ta pozwala na syntezę dowolnego kształtu charakterystyki amplitudowej – w odróżnieniu do metody wykorzystującej wzorzec analogowy.
Możliwe są dwa podejścia:
synteza w dziedzinie częstotliwościsynteza w dziedzinie czasu
Metoda wykorzystująca syntezę w dziedzinie częstotliwości
Metoda ta polega na wyznaczeniu wektora θ współczynników transmitancji H(z) poszukiwanego filtru, jeżeli znanych jest M wartości pożądanej charakterystyki amplitudowej |Hd(ejω)| dla dyskretnych pulsacji ωi (i = 1, 2, ... M)
Należy zminimalizować błąd średniokwadratowy poszukiwanej aproksymacji charakterystyki:
( ) ( ) ( )( )∑=
−=M
i
jd
j ii HHE1
2ee ωωθ
‘ Andrzej Kotyra
Istotnym jest wybór struktury filtru → najdogodniejsza jest struktura kaskadowa ze względu
na małą wrażliwość położenia biegunów transmitancji na zmianę współczynników mianownika :
( ) ∏=
−−
−−
++++
=K
k kk
kk
zdzczbzaAzH
121
21
11,θ
Wektor θ zawiera 4K+1 elementów: [A a b c d a b c d ]Wektor θ zawiera 4K+1 elementów: [A, a1, b1 , c1 , d1 , ... , aK, bK , cK , dK]
Funkcja błędu zależy liniowo tylko od A, → można obliczyć pochodną cząstkową błędu
względem i na tej podstawie wyznaczyć wartość optymalną dla której błąd jest minimalny:
A~A
( ) ( )
( )∑
∑=
⋅= M
j
M
i
jd
j
i
ii
H
HHA
2
11
e
e,e~
Φ
Φ
ω
ωω
( )∑=i
j iH1
1 ,e Φ
Φ jest wektorem [ a1, b1 , c1 , d1 , ... , aK, bK , cK , dK]
Poszczególne (optymalne) współczynniki wektora θ można wyznaczyć poprzez
znalezienie ekstremów funkcji błędu – metody iteracyjne.
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
91
Projektowanie filtrów NOI na podstawie bezpośredniej syntezy transmitancji
Metoda ta pozwala na syntezę dowolnego kształtu charakterystyki amplitudowej – w odróżnieniu do metody wykorzystującej wzorzec analogowy.
Możliwe są dwa podejścia:
synteza w dziedzinie częstotliwościsynteza w dziedzinie czasu
Metoda wykorzystująca syntezę w dziedzinie częstotliwości
Metoda ta polega na wyznaczeniu wektora θ współczynników transmitancji H(z) poszukiwanego filtru, jeżeli znanych jest M wartości pożądanej charakterystyki amplitudowej |Hd(ejω)| dla dyskretnych pulsacji ωi (i = 1, 2, ... M)
Należy zminimalizować błąd średniokwadratowy poszukiwanej aproksymacji charakterystyki:
( ) ( ) ( )( )∑=
−=M
i
jd
j ii HHE1
2ee ωωθ
‘ Andrzej Kotyra
Istotnym jest wybór struktury filtru → najdogodniejsza jest struktura kaskadowa ze względu
na małą wrażliwość położenia biegunów transmitancji na zmianę współczynników mianownika :
( ) ∏=
−−
−−
++++
=K
k kk
kk
zdzczbzaAzH
121
21
11,θ
Wektor θ zawiera 4K+1 elementów: [A a b c d a b c d ]Wektor θ zawiera 4K+1 elementów: [A, a1, b1 , c1 , d1 , ... , aK, bK , cK , dK]
Funkcja błędu zależy liniowo tylko od A, → można obliczyć pochodną cząstkową błędu
względem i na tej podstawie wyznaczyć wartość optymalną dla której błąd jest minimalny:
A~A
( ) ( )
( )∑
∑=
⋅= M
j
M
i
jd
j
i
ii
H
HHA
2
11
e
e,e~
Φ
Φ
ω
ωω
( )∑=i
j iH1
1 ,e Φ
Φ jest wektorem [ a1, b1 , c1 , d1 , ... , aK, bK , cK , dK]
Poszczególne (optymalne) współczynniki wektora θ można wyznaczyć poprzez
znalezienie ekstremów funkcji błędu – metody iteracyjne.
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
92
Metoda wykorzystująca syntezę w dziedzinie czasu
( ) MM
NN
zazazaazbzbzbbzH −−−
−−−
++++++++
=K
K2
21
10
22
110Niech H(z) oznacza transmitancję filtru NOI:
Metoda polega na wyznaczeniu współczynników ai bi, aby uzyskana w ten sposób odpowiedź impulsowa h(k) aproksymowała rzeczywistą odpowiedź impulsowa hd(k) z minimalnym błędem średniokwadratowym:
( ) ( )[ ]∑−
=
−=1
0
2K
kd khkhε
h(k) jest nieliniową funkcją ai bi → do ich wyznaczenia wykorzystuje się metody iteracyjne
Rozwiązanie może prowadzić do rozwiązania niestabilnego,Algorytm (Prony’ego) zaimplementowany jest w pakiecie MATLAB
‘ Andrzej Kotyra
Projektowanie filtrów SOI
Metoda okien czasowych
Metoda próbkowania w dziedzinie częstotliwości
Metody optymalne (w sensie Czebyszewa najmniejszych kwadratów)
Najczęściej stosowane metody projektowania filtrów cyfrowych SOI
Metody optymalne (w sensie Czebyszewa, najmniejszych kwadratów)
Metoda okien czasowych
Charakterystyka częstotliwościowa dowolnego filtru cyfrowego Hd(jω) jest okresowa, zatem
może być przedstawiona w postaci szeregu Fouriera:
( )∞
( )∞
( ) ( )∑−∞=
−=n
njd
jd nhH ωω ee ( ) ( )∑
−∞=
−=n
njjdd dHnh ωωω ee
odpowiedź impulsowa jest nieskończona w czasieodpowiedź zaczyna się w −ω
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
92
Metoda wykorzystująca syntezę w dziedzinie czasu
( ) MM
NN
zazazaazbzbzbbzH −−−
−−−
++++++++
=K
K2
21
10
22
110Niech H(z) oznacza transmitancję filtru NOI:
Metoda polega na wyznaczeniu współczynników ai bi, aby uzyskana w ten sposób odpowiedź impulsowa h(k) aproksymowała rzeczywistą odpowiedź impulsowa hd(k) z minimalnym błędem średniokwadratowym:
( ) ( )[ ]∑−
=
−=1
0
2K
kd khkhε
h(k) jest nieliniową funkcją ai bi → do ich wyznaczenia wykorzystuje się metody iteracyjne
Rozwiązanie może prowadzić do rozwiązania niestabilnego,Algorytm (Prony’ego) zaimplementowany jest w pakiecie MATLAB
‘ Andrzej Kotyra
Projektowanie filtrów SOI
Metoda okien czasowych
Metoda próbkowania w dziedzinie częstotliwości
Metody optymalne (w sensie Czebyszewa najmniejszych kwadratów)
Najczęściej stosowane metody projektowania filtrów cyfrowych SOI
Metody optymalne (w sensie Czebyszewa, najmniejszych kwadratów)
Metoda okien czasowych
Charakterystyka częstotliwościowa dowolnego filtru cyfrowego Hd(jω) jest okresowa, zatem
może być przedstawiona w postaci szeregu Fouriera:
( )∞
( )∞
( ) ( )∑−∞=
−=n
njd
jd nhH ωω ee ( ) ( )∑
−∞=
−=n
njjdd dHnh ωωω ee
odpowiedź impulsowa jest nieskończona w czasieodpowiedź zaczyna się w −ω
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
93
Rozwiązanie problemu:
☺ ucięcie nieskończonej odpowiedzi:
( )( )
⎩⎨⎧
>
≤≤−=
MnMnMnh
nh d
, 0 ,
efekt Gibbsa
☺ przesunięcie o M otrzymanej odpowiedzi → odpowiedź jest wówczas przyczynowa
☺ zastosowanie
jednego z okien czasowych → w(n)
→→
Typ okna Max. szerokość listka głównego
Szerokość listka głównego (pulsacja znorm.)
Szerokość pasma przejściowego (pulsacja znorm.)
Minimalne tłumienie filtru w paśmie zaporowym [dB]
Prostokątne −13 4π/N 0,9/N −21
( ) ( ) ( )nhnwnh d⋅=Odpowiedź impulsowa projektowanego filtru →
von Hanna −31 8π/N 3,1/N −44
Hamminga −41 8π/N 3,3/N −53
Blackamana (exact)
−57 12π/N 5,5/N−74
‘ Andrzej Kotyra
Etapy projektowania filtru SOI metodą okien czasowych:
1. Opisać pożądany filtr w dziedzinie częstotliwości → Hd(ejω). Uwzględnić należy zależności fazową → Zazwyczaj przyjmowana jest zależność liniowa, można przyjąć
fazę zerową.2 Obliczyć odpowiedź impulsową filtru → ( ) ( )∑
∞jj2. Obliczyć odpowiedź impulsową filtru →
3. Uciąć otrzymaną odpowiedź impulsową → przyjąć Ν. Jeżeli przyjęto fazę zerową należy przesunąć odpowiedź impulsową w prawo o → przyczynowość
4. Wyznaczyć charakterystykę częstotliwościową (FFT) z wyznaczonych współczynników filtru (uzupełnionych zerami)
5. Jeżeli zaprojektowany filtr nie spełnia założeń, należy zwiększyć Ν (pasmo
( ) ( )∑−∞=
−=n
njjdd dHnh ωωω ee
2/N
przejściowe jest zbyt szerokie) lub zmienić okno (jeśli tłumienie w paśmie jest za małe)
6. Powtarzać pkt. 4 i 5, aż wymagania projektowe zostaną spełnione.
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
93
Rozwiązanie problemu:
☺ ucięcie nieskończonej odpowiedzi:
( )( )
⎩⎨⎧
>
≤≤−=
MnMnMnh
nh d
, 0 ,
efekt Gibbsa
☺ przesunięcie o M otrzymanej odpowiedzi → odpowiedź jest wówczas przyczynowa
☺ zastosowanie
jednego z okien czasowych → w(n)
→→
Typ okna Max. szerokość listka głównego
Szerokość listka głównego (pulsacja znorm.)
Szerokość pasma przejściowego (pulsacja znorm.)
Minimalne tłumienie filtru w paśmie zaporowym [dB]
Prostokątne −13 4π/N 0,9/N −21
( ) ( ) ( )nhnwnh d⋅=Odpowiedź impulsowa projektowanego filtru →
von Hanna −31 8π/N 3,1/N −44
Hamminga −41 8π/N 3,3/N −53
Blackamana (exact)
−57 12π/N 5,5/N−74
‘ Andrzej Kotyra
Etapy projektowania filtru SOI metodą okien czasowych:
1. Opisać pożądany filtr w dziedzinie częstotliwości → Hd(ejω). Uwzględnić należy zależności fazową → Zazwyczaj przyjmowana jest zależność liniowa, można przyjąć
fazę zerową.2 Obliczyć odpowiedź impulsową filtru → ( ) ( )∑
∞jj2. Obliczyć odpowiedź impulsową filtru →
3. Uciąć otrzymaną odpowiedź impulsową → przyjąć Ν. Jeżeli przyjęto fazę zerową należy przesunąć odpowiedź impulsową w prawo o → przyczynowość
4. Wyznaczyć charakterystykę częstotliwościową (FFT) z wyznaczonych współczynników filtru (uzupełnionych zerami)
5. Jeżeli zaprojektowany filtr nie spełnia założeń, należy zwiększyć Ν (pasmo
( ) ( )∑−∞=
−=n
njjdd dHnh ωωω ee
2/N
przejściowe jest zbyt szerokie) lub zmienić okno (jeśli tłumienie w paśmie jest za małe)
6. Powtarzać pkt. 4 i 5, aż wymagania projektowe zostaną spełnione.
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
94
Metoda próbkowania w dziedzinie częstotliwości
Metoda próbkowania w dziedzinie częstotliwości polega na:
określeniu pożądanej charakterystyki częstotliwościowej (prototypu charakterystyki) → H(z),
spróbkowaniu H(z) w N punktach,wyznaczeniu współczynników struktury równoległej filtru albo znalezieniu wyznaczeniu współczynników struktury równoległej filtru albo znalezieniu
odpowiedzi czasowej projektowanego filtru (odwrotna DTF) → zastosowanie
typowej struktury SOI.
Istotą metody jest takie kształtowanie pasma przejściowego, aby zwiększyć tłumienie w paśmie zaporowym
( ) ( )∑−
=−
−
−⋅
−=
1
021 e1
1 N
kNj
dN
zkH
NzzH πTransmitancja filtru z próbkami częstotliwości →
H (k) → próbki częstotliwości rozłożone równomiernie na okręgu jednostkowym:Hd(k) → próbki częstotliwości rozłożone równomiernie na okręgu jednostkowym:
( ) ( )Nk
jdd HkH
πω
ω
2e
==
( )( ) ( ) ( )
( )∑−
=
−
−⋅=
1
0
21
2sin2sineee
N
k
Nkjd
Njj
NkNkH
NH
πωωωω
ω
‘ Andrzej Kotyra
Zazwyczaj projektantowi zależy na liniowej zależności od fazy
( ) ( ) ( )kjdd kHkH θe⋅= 1 , .... ,2 ,0 −= Nk
1. charakterystyka amplitudowa → symetryczna (względem
osi rzędnych) ; 2. charakterystyka fazowa → antysymetryczna (symetria
względem początku układu współrzędnych)
Jeżeli współczynniki filtrusą rzeczywiste →
Ad1. ( ) ( )kNHkH dd −= 1 , .... ,2 ,0 −= Nk
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
94
Metoda próbkowania w dziedzinie częstotliwości
Metoda próbkowania w dziedzinie częstotliwości polega na:
określeniu pożądanej charakterystyki częstotliwościowej (prototypu charakterystyki) → H(z),
spróbkowaniu H(z) w N punktach,wyznaczeniu współczynników struktury równoległej filtru albo znalezieniu wyznaczeniu współczynników struktury równoległej filtru albo znalezieniu
odpowiedzi czasowej projektowanego filtru (odwrotna DTF) → zastosowanie
typowej struktury SOI.
Istotą metody jest takie kształtowanie pasma przejściowego, aby zwiększyć tłumienie w paśmie zaporowym
( ) ( )∑−
=−
−
−⋅
−=
1
021 e1
1 N
kNj
dN
zkH
NzzH πTransmitancja filtru z próbkami częstotliwości →
H (k) → próbki częstotliwości rozłożone równomiernie na okręgu jednostkowym:Hd(k) → próbki częstotliwości rozłożone równomiernie na okręgu jednostkowym:
( ) ( )Nk
jdd HkH
πω
ω
2e
==
( )( ) ( ) ( )
( )∑−
=
−
−⋅=
1
0
21
2sin2sineee
N
k
Nkjd
Njj
NkNkH
NH
πωωωω
ω
‘ Andrzej Kotyra
Zazwyczaj projektantowi zależy na liniowej zależności od fazy
( ) ( ) ( )kjdd kHkH θe⋅= 1 , .... ,2 ,0 −= Nk
1. charakterystyka amplitudowa → symetryczna (względem
osi rzędnych) ; 2. charakterystyka fazowa → antysymetryczna (symetria
względem początku układu współrzędnych)
Jeżeli współczynniki filtrusą rzeczywiste →
Ad1. ( ) ( )kNHkH dd −= 1 , .... ,2 ,0 −= Nk
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
95
( )
( )⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−
=
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−
=
1 , 1,2 ,2
122 ,0
12 , 1, 0, ,2
12
NNkNkNN
Nk
NkNkN
K
K
π
π
ωθ jeśli N jest parzyste
jeśli N jest nieparzyste( )( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−
−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−=
1 , ,2
1 0, ,2
122
1 , 1, 0, ,2
12
NNkNkNN
NkNkN
K
K
π
π
ωθ
( ) ( ) ( ) ( )( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
−+
++
−−
= ∑−
=−−
−
−−
− 12
021
1
11
0
2cos211
1e
1e1 N
kk
jd
jd
N
zzNkzB
zH
zH
NzzH
π
π
stąd:
( ) ( )[ ]NknkHB dk 1cos2 −⋅= π
‘ Andrzej Kotyra
Metoda optymalna w sensie Czebyszewa (algorytm Remeza)
Najczęściej stosowany algorytm projektowania filtrów cyfrowych
Aproksymacji podlega pożądana charakterystyka amplitudowa → Hd(Ω).
Minimalizowana jest funkcja błędu → ε(Ω) określona następująco:
( ) ( ) ( ) ( )∑=
Ω−Ω⋅Ω=ΩM
ndn HncW
0cosε
W(Ω) → dowolna dodatnia funkcja wagowa
Istnieje zawsze zbiór pulsacji taka że, funkcja błędu ε(Ω) dla tych { }221 , , , +ΩΩΩ MK
Ω → pulsacja znormalizowana
probkωω
=Ω
wartości przyjmuje wartości tylko ±ε (ale nie wiadomo jaki i dlatego trzeba go wyznaczyć){ }221 +M
( ) ( ) ( ) ( ) εmM
nmdmnm HncW 1cos
0−=Ω−Ω⋅Ω ∑
=
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
95
( )
( )⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−
=
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−
=
1 , 1,2 ,2
122 ,0
12 , 1, 0, ,2
12
NNkNkNN
Nk
NkNkN
K
K
π
π
ωθ jeśli N jest parzyste
jeśli N jest nieparzyste( )( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−
−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−=
1 , ,2
1 0, ,2
122
1 , 1, 0, ,2
12
NNkNkNN
NkNkN
K
K
π
π
ωθ
( ) ( ) ( ) ( )( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
−+
++
−−
= ∑−
=−−
−
−−
− 12
021
1
11
0
2cos211
1e
1e1 N
kk
jd
jd
N
zzNkzB
zH
zH
NzzH
π
π
stąd:
( ) ( )[ ]NknkHB dk 1cos2 −⋅= π
‘ Andrzej Kotyra
Metoda optymalna w sensie Czebyszewa (algorytm Remeza)
Najczęściej stosowany algorytm projektowania filtrów cyfrowych
Aproksymacji podlega pożądana charakterystyka amplitudowa → Hd(Ω).
Minimalizowana jest funkcja błędu → ε(Ω) określona następująco:
( ) ( ) ( ) ( )∑=
Ω−Ω⋅Ω=ΩM
ndn HncW
0cosε
W(Ω) → dowolna dodatnia funkcja wagowa
Istnieje zawsze zbiór pulsacji taka że, funkcja błędu ε(Ω) dla tych { }221 , , , +ΩΩΩ MK
Ω → pulsacja znormalizowana
probkωω
=Ω
wartości przyjmuje wartości tylko ±ε (ale nie wiadomo jaki i dlatego trzeba go wyznaczyć){ }221 +M
( ) ( ) ( ) ( ) εmM
nmdmnm HncW 1cos
0−=Ω−Ω⋅Ω ∑
=
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
96
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )⎥
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΩΩ
ΩΩ
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
Ω−ΩΩΩ−ΩΩ
Ω−ΩΩΩΩΩ
++
+++ 1
2
1
1
0
1111
222
111
1coscos11coscos1
1coscos11coscos1
Md
d
d
MM
MM
MM
HH
HH
c
cc
WMWM
WMWM
MM
L
L
MMOMM
L
L
ε
Etapy algorytmu Remeza:
1. Należy przyjąć wejściowy zbiór pulsacji
2. Rozwiązać układ równań, obliczając c0, c1, ... cM oraz ε
3. Sprawdzić, czy amplituda oscylacji błędu jest większa niż ε. Jeśli tak to koniec obliczeń
{ }221 , , , +ΩΩΩ MK
( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦⎢⎣ Ω⎥⎦⎢⎣⎦⎣ Ω−ΩΩ ++++ 2222 1coscos1 MdMMM HWML ε
4. Wyznaczenie nowego zbioru pulsacji dla których funkcja błędu posiada ekstrema. Powrót do pkt. 2.
{ }221 , , , +ΩΩΩ MK
Nowe wartości można wyznaczyć techniką interpolacji Lagrange’a { }221 , , , +ΩΩΩ MK
‘ Andrzej Kotyra
przetwarzanie dźwięku
Procesory sygnałowe
obszary zastosowań
- zmiana w dziedzinie częstotliwości (korektory graficzne) i fazy (regulatory panoramiczne)
- efekty specjalne (echo, pogłos, dodawanie głębi), - systemy dźwięku wielokoanałowego- usuwanie echa (telefony komórkowe, łączność cyfrowa)- kodowanie (CD, MP3, telefon i radio cyfrowe)- systemy rozpoznawania i syntezy mowy- systemy aktywnego wyciszania – usuwanie hałasu - echolokacja i lokalizacja bierna: sonary ultradźwiękowe, wykrywanie,
lokalizacja i identyfikacja obiektów
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
96
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )⎥
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΩΩ
ΩΩ
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
Ω−ΩΩΩ−ΩΩ
Ω−ΩΩΩΩΩ
++
+++ 1
2
1
1
0
1111
222
111
1coscos11coscos1
1coscos11coscos1
Md
d
d
MM
MM
MM
HH
HH
c
cc
WMWM
WMWM
MM
L
L
MMOMM
L
L
ε
Etapy algorytmu Remeza:
1. Należy przyjąć wejściowy zbiór pulsacji
2. Rozwiązać układ równań, obliczając c0, c1, ... cM oraz ε
3. Sprawdzić, czy amplituda oscylacji błędu jest większa niż ε. Jeśli tak to koniec obliczeń
{ }221 , , , +ΩΩΩ MK
( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦⎢⎣ Ω⎥⎦⎢⎣⎦⎣ Ω−ΩΩ ++++ 2222 1coscos1 MdMMM HWML ε
4. Wyznaczenie nowego zbioru pulsacji dla których funkcja błędu posiada ekstrema. Powrót do pkt. 2.
{ }221 , , , +ΩΩΩ MK
Nowe wartości można wyznaczyć techniką interpolacji Lagrange’a { }221 , , , +ΩΩΩ MK
‘ Andrzej Kotyra
przetwarzanie dźwięku
Procesory sygnałowe
obszary zastosowań
- zmiana w dziedzinie częstotliwości (korektory graficzne) i fazy (regulatory panoramiczne)
- efekty specjalne (echo, pogłos, dodawanie głębi), - systemy dźwięku wielokoanałowego- usuwanie echa (telefony komórkowe, łączność cyfrowa)- kodowanie (CD, MP3, telefon i radio cyfrowe)- systemy rozpoznawania i syntezy mowy- systemy aktywnego wyciszania – usuwanie hałasu - echolokacja i lokalizacja bierna: sonary ultradźwiękowe, wykrywanie,
lokalizacja i identyfikacja obiektów
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
97
przetwarzanie obrazu
- regulacja parametrów (barwa, nasycenie, kontrast)- usuwanie szumu (kamery, aparaty cyfrowe)- PIP („obraz w obrazie”) w TV- elementy montażu nieliniowego (przejścia między scenami, dodawanie
napisów)- przechwytywanie i zatrzymywanie- kodowanie/kompresja (JPG, DIVX)- rozpoznawanie obrazów (medycyna, systemy widzenia maszynowego)- synteza obrazu (w prostszych systemach graficznych)- zmiana parametrów obrazu - rozdzielczość, interpolacja
‘ Andrzej Kotyra
Cechy szczególne procesów sygnałowych
o Intensywne obliczenia numeryczne wykonywane w petlacho Istotna jest jakość obliczeń numerycznych (reprezentacja liczb), co odzwierciedla podział na:
• procesory stałoprzecinkoweprocesory stałoprzecinkowe • procesory zmiennoprzecinkowe
o Wysoka przepustowość pamięcio Praca w czasie rzeczywistym
Powyższe wymagania powinny zostać spełnione przy minimalizacji:kosztówzużycia energiiilości niezbędnej pamięciczasu projektowania i wdrożenia
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
97
przetwarzanie obrazu
- regulacja parametrów (barwa, nasycenie, kontrast)- usuwanie szumu (kamery, aparaty cyfrowe)- PIP („obraz w obrazie”) w TV- elementy montażu nieliniowego (przejścia między scenami, dodawanie
napisów)- przechwytywanie i zatrzymywanie- kodowanie/kompresja (JPG, DIVX)- rozpoznawanie obrazów (medycyna, systemy widzenia maszynowego)- synteza obrazu (w prostszych systemach graficznych)- zmiana parametrów obrazu - rozdzielczość, interpolacja
‘ Andrzej Kotyra
Cechy szczególne procesów sygnałowych
o Intensywne obliczenia numeryczne wykonywane w petlacho Istotna jest jakość obliczeń numerycznych (reprezentacja liczb), co odzwierciedla podział na:
• procesory stałoprzecinkoweprocesory stałoprzecinkowe • procesory zmiennoprzecinkowe
o Wysoka przepustowość pamięcio Praca w czasie rzeczywistym
Powyższe wymagania powinny zostać spełnione przy minimalizacji:kosztówzużycia energiiilości niezbędnej pamięciczasu projektowania i wdrożenia
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
98
x n[ ] z−1
h(0) h(1)
z−1 z−1
h(2) h N( 2)− h N( 1)−
Przykład: Struktury filtrów są powtarzalne, np
SOI – s. bezpośrednia
x n[ ] y n[ ]
b0
b1 1z−1
−a1 1 b1 Kz−1
−a1 K
NOI – s. kaskadowa
y n[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b2 2z−1
−a2 1 b2 Kz−1
−a2 K
Zazwyczaj elementarna iteracja przy realizacji filtrów cyfrowych składa się z:
dwóch operacji czytania z pamięci
mnożeniaZ-1
mnożenia
akumulowania
zapis z opóźnieniem do pamięci
‘ Andrzej Kotyra
Realizacja filtru FIR w architekturze Von Neumanna
Problemy:loop:
mov *r0, x01 0
• Stosunkowo niska przepustowość
pamięci
• Powolna operacja mnożenia
• Duży nakład na adresowanie i kontrolę
kodu
mov *r1, x0mpy x0, y0, aadd a, bmov y0, *r2inc r0inc r1inc r2dec ctrdec ctrtst ctrjnz loop
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
98
x n[ ] z−1
h(0) h(1)
z−1 z−1
h(2) h N( 2)− h N( 1)−
Przykład: Struktury filtrów są powtarzalne, np
SOI – s. bezpośrednia
x n[ ] y n[ ]
b0
b1 1z−1
−a1 1 b1 Kz−1
−a1 K
NOI – s. kaskadowa
y n[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b2 2z−1
−a2 1 b2 Kz−1
−a2 K
Zazwyczaj elementarna iteracja przy realizacji filtrów cyfrowych składa się z:
dwóch operacji czytania z pamięci
mnożeniaZ-1
mnożenia
akumulowania
zapis z opóźnieniem do pamięci
‘ Andrzej Kotyra
Realizacja filtru FIR w architekturze Von Neumanna
Problemy:loop:
mov *r0, x01 0
• Stosunkowo niska przepustowość
pamięci
• Powolna operacja mnożenia
• Duży nakład na adresowanie i kontrolę
kodu
mov *r1, x0mpy x0, y0, aadd a, bmov y0, *r2inc r0inc r1inc r2dec ctrdec ctrtst ctrjnz loop
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
99
Realizacja filtru FIR w procesorze TMS32010
LT X4 ;Load T with x(n-4); ( )MPY H4 ;P=H4*X4LTD X3 ;Load T with x(n-3); x(n-4)= x(n-3)
;Acc = Acc + PMPY H3 ;P=H3*X3
LTD X2MPY H2
...
‘ Andrzej Kotyra
Porównanie procesorów DSP i ogólnego przeznaczenia
DSP Procesor ogólnego przeznaczenia
Pamięćprogramu
Procesor
• architektura harwardzka• 2-4 dostępy do pamięci w 1 cyklu• Brak pamięci podręcznej SRAM• Dedykowane bloki generujące adres
• architektura Von Neumanna• 1 dostęp /cykl (typowo)• Używanie pamięci SRAM• Instrukcje ogólnego przeznaczenia
Pamięćdanych
Procesor Procesor Pamięć
• Dedykowane bloki generujące adres• Specjalizowane tryby adresowania
(autoinkrementacja, modulo, odwracanie bitów (FFT))
• Instrukcje ogólnego przeznaczenia• Zazwyczaj brak osobnych bloków
generacji adresu• Tryby adresowania ogólnego
przeznaczenia
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
99
Realizacja filtru FIR w procesorze TMS32010
LT X4 ;Load T with x(n-4); ( )MPY H4 ;P=H4*X4LTD X3 ;Load T with x(n-3); x(n-4)= x(n-3)
;Acc = Acc + PMPY H3 ;P=H3*X3
LTD X2MPY H2
...
‘ Andrzej Kotyra
Porównanie procesorów DSP i ogólnego przeznaczenia
DSP Procesor ogólnego przeznaczenia
Pamięćprogramu
Procesor
• architektura harwardzka• 2-4 dostępy do pamięci w 1 cyklu• Brak pamięci podręcznej SRAM• Dedykowane bloki generujące adres
• architektura Von Neumanna• 1 dostęp /cykl (typowo)• Używanie pamięci SRAM• Instrukcje ogólnego przeznaczenia
Pamięćdanych
Procesor Procesor Pamięć
• Dedykowane bloki generujące adres• Specjalizowane tryby adresowania
(autoinkrementacja, modulo, odwracanie bitów (FFT))
• Instrukcje ogólnego przeznaczenia• Zazwyczaj brak osobnych bloków
generacji adresu• Tryby adresowania ogólnego
przeznaczenia
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
100
Najważniejsze rodziny procesorów DSP
- Texas Instruments: - stałoprzecinkowe 16-bitowe: TMSC32-2xx- zmiennoprzecinkowe 32-bitowe:
TMSC320 6xxTMSC320-6xx- dedykowane: TMS24xx, TMS28xx
- Analog Devices: - stałoprzecinkowe 16-bitowe: ADSP21xx- zmiennoprzecinkowe 32-bitowe:
ADSP21xxx- dedykowane: ADMCx01, ADMC2199x
- Motorola: t ł i k 24 bit DSP56- stałoprzecinkowe 24-bitowe: DSP56xxx
- mikroprocesory z dodatkową jednostką DSP: - jednostka MACC, architektura Harvard
‘ Andrzej Kotyra
Elementy procesora sygnałowego:
- układy arytmetyczno-logiczne ALU dostosowane do szybkiego wykonywania działań typu mnożenie i dodawanie (jednostka Multiple and Accumulate MACC)
- operowanie na sygnałach rzeczywistych (stało lub zmiennoprzecinkowych)p yg y y ( p y )- mechanizmy nasycania wyniku, zaokrąglania- mechanizmy do szybkiego indeksowania wektorów (tablic) i macierzy- szybka jednostka przesuwająca bity (Shifter) głównie procesory
stałoprzecinkowe- elementy wejścia i wyjścia (I/O): przetworniki analogowo/cyfrowe i
cyfrowo/analogowe, szybkie interfejsy szeregowe,- szybka pamięć typu Harvard
j d tk t j (CPU) t i l k t i- sprawna jednostka przetwarzająca (CPU) - często zwielokrotnione jednostki ALU
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
100
Najważniejsze rodziny procesorów DSP
- Texas Instruments: - stałoprzecinkowe 16-bitowe: TMSC32-2xx- zmiennoprzecinkowe 32-bitowe:
TMSC320 6xxTMSC320-6xx- dedykowane: TMS24xx, TMS28xx
- Analog Devices: - stałoprzecinkowe 16-bitowe: ADSP21xx- zmiennoprzecinkowe 32-bitowe:
ADSP21xxx- dedykowane: ADMCx01, ADMC2199x
- Motorola: t ł i k 24 bit DSP56- stałoprzecinkowe 24-bitowe: DSP56xxx
- mikroprocesory z dodatkową jednostką DSP: - jednostka MACC, architektura Harvard
‘ Andrzej Kotyra
Elementy procesora sygnałowego:
- układy arytmetyczno-logiczne ALU dostosowane do szybkiego wykonywania działań typu mnożenie i dodawanie (jednostka Multiple and Accumulate MACC)
- operowanie na sygnałach rzeczywistych (stało lub zmiennoprzecinkowych)p yg y y ( p y )- mechanizmy nasycania wyniku, zaokrąglania- mechanizmy do szybkiego indeksowania wektorów (tablic) i macierzy- szybka jednostka przesuwająca bity (Shifter) głównie procesory
stałoprzecinkowe- elementy wejścia i wyjścia (I/O): przetworniki analogowo/cyfrowe i
cyfrowo/analogowe, szybkie interfejsy szeregowe,- szybka pamięć typu Harvard
j d tk t j (CPU) t i l k t i- sprawna jednostka przetwarzająca (CPU) - często zwielokrotnione jednostki ALU
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
101
Pierwsza generacja DSP (1982) Texas Instruments TMS32010
Struktura pamięci
• Architektura harwardzkaArchitektura harwardzka,
• Stałopozycyjny, 16 bitowy,
• Specjalizowany zbiór instrukcji,
• 390ns czasu trwania operacji MAC (mnożenie i akumulacja)
(obecnie ok. 228ns)
‘ Andrzej Kotyra
Druga generacja DSP (1987) np. Motorola DSP56001, ADSP-2100 (Analog Devices), TMS320C50 (Texas Instruments)
Struktura pamięci• 24 bitowa długość danych, instrukcji,
• Podział pamięci na 3 części (X, Y, P)
• Sprzętowa realizacji pętli (jedno- i wielokrotnych)
• adresowanie modulo
• 75ns czasu trwania operacji MAC
(obecnie ok. 21ns)
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
101
Pierwsza generacja DSP (1982) Texas Instruments TMS32010
Struktura pamięci
• Architektura harwardzkaArchitektura harwardzka,
• Stałopozycyjny, 16 bitowy,
• Specjalizowany zbiór instrukcji,
• 390ns czasu trwania operacji MAC (mnożenie i akumulacja)
(obecnie ok. 228ns)
‘ Andrzej Kotyra
Druga generacja DSP (1987) np. Motorola DSP56001, ADSP-2100 (Analog Devices), TMS320C50 (Texas Instruments)
Struktura pamięci• 24 bitowa długość danych, instrukcji,
• Podział pamięci na 3 części (X, Y, P)
• Sprzętowa realizacji pętli (jedno- i wielokrotnych)
• adresowanie modulo
• 75ns czasu trwania operacji MAC
(obecnie ok. 21ns)
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
102
Trzecia generacja DSP (1995) np. Motorola DSP56301, TMS320C541 (Texas Instruments)
• dalsze ulepszenie konwencjonalnej struktury procesora DSP
• Zasilanie 3,0V lub 3,3V
• Więcej pamięci w strukturze
• Zastosowanie specyficznych dla obszaru zastosowań dodatkowych
bloków funkcjonalnych (koprocesory)
• Zaawansowane narzędzia uruchomieniowe (debugowanie)
• 20ns czasu trwania operacji MAC (obecnie ok. 10ns)
• Wiele procesorów na pojedynczej strukturze krzemowej – np.
Motorola MC68356, TI TMS320C80
‘ Andrzej Kotyra
Czwarta generacja DSP (1997 - 1998) TMS320C6201/6701 (Texas Instruments), ZSP16401, MMX Pentium
• SIMD (Single Instruction, Multiple Data) (np. MMX, AltiVec, MDMX)
• VLIW (Very Long Instruction Word)
• Więcej pamięci w strukturze
• Zastosowanie specyficznych dla obszaru zastosowań dodatkowych bloków
funkcjonalnych (koprocesory)
• Zaawansowane narzędzia uruchomieniowe (debugowanie)
• 20ns czasu trwania operacji MAC (obecnie ok. 10ns)
• Wiele procesorów na pojedynczej strukturze krzemowej – np. Motorola
MC68356, TI TMS320C80
‘ Andrzej Kotyra
2008-01-16
102
Trzecia generacja DSP (1995) np. Motorola DSP56301, TMS320C541 (Texas Instruments)
• dalsze ulepszenie konwencjonalnej struktury procesora DSP
• Zasilanie 3,0V lub 3,3V
• Więcej pamięci w strukturze
• Zastosowanie specyficznych dla obszaru zastosowań dodatkowych
bloków funkcjonalnych (koprocesory)
• Zaawansowane narzędzia uruchomieniowe (debugowanie)
• 20ns czasu trwania operacji MAC (obecnie ok. 10ns)
• Wiele procesorów na pojedynczej strukturze krzemowej – np.
Motorola MC68356, TI TMS320C80
‘ Andrzej Kotyra
Czwarta generacja DSP (1997 - 1998) TMS320C6201/6701 (Texas Instruments), ZSP16401, MMX Pentium
• SIMD (Single Instruction, Multiple Data) (np. MMX, AltiVec, MDMX)
• VLIW (Very Long Instruction Word)
• Więcej pamięci w strukturze
• Zastosowanie specyficznych dla obszaru zastosowań dodatkowych bloków
funkcjonalnych (koprocesory)
• Zaawansowane narzędzia uruchomieniowe (debugowanie)
• 20ns czasu trwania operacji MAC (obecnie ok. 10ns)
• Wiele procesorów na pojedynczej strukturze krzemowej – np. Motorola
MC68356, TI TMS320C80
‘ Andrzej Kotyra
![PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW W ... - · PDF file38 K. Jemielniak kule [34]. Tu pokrótce omówiono jedynie przetwarzanie sygnałów w układach DNiPS. 2. WSTĘPNA OBRÓBKA SYGAŁÓW Sygnały](https://img.pdfslide.net/doc/110x75/5a7c60af7f8b9a2e358cacca/przetwarzanie-sygnalw-w-k-jemielniak-kule-34-tu-pokrtce-omwiono-jedynie.jpg)
![Spis treści - Zespół Przetwarzania Sygnałów [DSP AGH]dydaktyka:probkowanie.pdf · 1 PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW ANALOGOWYCH NA SYGNAŁY CYFROWE Spis treści 1. Definicja próbkowania](https://img.pdfslide.net/doc/110x75/5a7c60af7f8b9a2e358cacf2/spis-tresci-zespl-przetwarzania-sygnalw-dsp-agh-dydaktyka-przetwarzanie.jpg)