O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Produção Didático-Pedagógica

Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

FOLHAS

NRE: Cornélio Procópio Nome do Professor: Hatsue Aoki Hayashi1 Orientador: Ms. Mário Sérgio Benedeti Guilhem – UENP / Campus Cornélio Procópio e-mail: hatsueaokihayashi@seed.pr.gov.br Nível de Ensino: Fundamental Série: 5ª Título: O encanto do senso comum no Origami: Uma alternativa para a avaliação

em Matemática.

Disciplina: Matemática Relação interdisciplinar: Arte Conteúdo Estruturante: Números Conteúdo Específico: Frações e Números Decimais

1 Professora da rede pública estadual, docente de Matemática no Colégio Estadual Barão do Rio Branco – EFMP em cidade Assai- Pr.

1

Fotografia 1 - Tsuru Fonte: Hayashi (2010)

“[...] O papel nem sempre é branco como

a primeira manhã”

João Cabral de Melo Neto

Como aprender matemática com o origami?

Primeiramente vamos conhecer um pouco da história do origami.

O origami tem alguma relação com a matemática?

A sua origem é tão remota quanto à história do próprio papel, que foi

inventado na China, há aproximadamente dois milênios, por Ts´ai Lun.

Desde o século VI se conhece o origami. Ele vem se desenvolvendo desde meados

do século XIX, principalmente pelos criadores do repertório moderno dessa arte,

pelos trabalhos de Akira Yoshizawa e Kunihiko Kasahara, seguido do alemão

Friedrich Froebel, manifestando-se em diferentes formas e criativas peças,.

A palavra origami foi criada em 1880 pela fusão das palavras ori (dobrar) e

kami (papel).

No Brasil, o origami chegou com os colonizadores portugueses. No Paraná se

mantém viva essa cultura, através da Aliança Cultural Brasil Japão, por meio de

oficinas que incentivam e orientam na confecção de origami, com o propósito de

cultivar e disseminar a cultura japonesa, de acordo com a história contada por

ASCHENBACH; FAZENDA; ELIAS, (1997).

Um exemplo de um origami

Conhecendo o tsuru

Observe esta imagem do tsuru

da fotografia 1, com atenção!

Esta imagem é de um origami

de um pássaro, conhecido pela

tradição japonesa como tsuru, uma

ave que simboliza a paz, a sorte e a

longevidade.

2

O tsuru, além de uma peça bonita, é muito utilizado para presentear as

pessoas amigas, pois esse pássaro simboliza a longevidade e a felicidade.

Dessa forma, o origami tornou-se, nas últimas décadas, inspiração de busca

de soluções. Conta-se que, no dia 6 de agosto no Japão, são depositados inúmeros

tsurus no mausoléu erguido em homenagem aos mortos da tragédia de Hiroshima.

Segundo a lenda, esse pássaro vive mil anos e tem o poder de atender os desejos.

Uma das vítimas da guerra, Sadako Sassaki, fez um pedido prometendo dobrar mil

tsurus em retribuição, mas conseguiu somente 964 tsurus até 25 de outubro de

1955, quando morreu vítima de leucemia. Para concluir sua missão e pagar a

promessa, seus amigos dobraram o restante, a tempo de seu enterro. Pouco depois,

a cinco de maio de 1958, foi erguido o monumento da Paz das Crianças no Parque

da Paz em Hiroshima.

A partir desse contexto, conta-se que quem fizer mil tsurus, concentrado em

algum desejo que realmente espera alcançar, será atendido.

Aprendendo matemática com o origami A Matemática faz parte da vida das pessoas, pois em nosso cotidiano

utilizamos de pequenas situações-problema, tais como fazer compras, medir

distância da casa à escola, medidas e tamanho da sala de aula, medidas da carteira,

formas do material escolar, bem como dos ambientes escolares, dentre outras

situações.

Nesse contexto de contar, comparar, classificar, enquanto atividades do

cotidiano, o origami é uma fonte matemática criativa, que pode favorecer a

compreensão de diversos conceitos, por meio da dobradura de figuras geométricas

como o retângulo , o triângulo e o quadrado, permitindo explorar as divisões do

papel em partes iguais e, dessa forma, colocar a nossa astúcia para descobrir essa

arte.

Pela confecção de origami, você pode perceber que é possível utilizar a

matemática, fazendo frações e números decimais, brincando com papéis na arte de

dobrar sucessivas imagens num processo prazeroso, criativo, bem detalhado e

bastante próximo da técnica de desenhos animados.

Começando a atividade do origami, vamos observar como se inicia a dobra do

papel e tentar fazer, é bem fácil. Siga atentamente os passos:

3

• Corte um papel no formato quadrado, pode ser nas dimensões 10 cm X

10 cm. Também pode ser maior ou menor conforme a sua preferência.

• No sentido diagonal, junte as pontas e você verificará o formato de um

triângulo.

• No sentido horizontal, junte as pontas e você perceberá um retângulo.

De acordo, com as instruções, pode-se verificar pelo diagrama detalhado, a

justaposição de pontas e dos lados, conforme especificado abaixo:

Figura1 – Dobra básica do papel

Fonte: Hayashi (2010) Observando os diagramas, as duas formas diferentes representam a mesma

quantidade de papel. Assim, temos a fração do inteiro. Embora tenhamos dobrado

ao meio ou pela metade, o papel continua inteiro.

O quadrado que formou o triângulo continua inteiro, mas cada triângulo é a

metade ou ½ ou ainda 0,5.

O quadrado que compôs o retângulo também continua inteiro, pois cada

retângulo representa um meio ou ½ ou mesmo 0,5.

Fique atento...

Para que o seu origami, fique bonito e apresentável, sem deformação é

necessário que você acentue bem os vincos das dobras, passando a unha sobre

elas.

E a Matemática como arte?

É possível brincar e aprender matemática?

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Vamos aprender como fazer a metade do inteiro!

Através do origami vamos aprender muitas coisas como representar a metade do

inteiro, vamos aprender!

Vamos construir um copo? É bem simples, basta seguir atentamente as

instruções de como dobrar.

• Dobre o papel quadrado na diagonal, formando um triângulo, conforme

Fotografia 2a.

• Dobre uma ponta do papel para dentro, conforme o tracejado da Fotografia

2b.

• Dobre a outra ponta para dentro, também, conforme tracejado da Fotografia

2c.

• Na parte de cima, ficaram duas pontas iguais, abertas; dobre uma para cada

lado, de acordo com a Fotografia 2d.

• Abra a dobradura e arredonde-a, dando a ela formato de copo, de acordo

com a Fotografia 2e.

Para você entender melhor, os passos do origami do copo estão detalhados na

Fotografia abaixo:

a b c d e

Fotografia 2 - Copo Fonte: Hayashi (2010)

Você viu como é fácil? O copo pode ser utilizado como porta-recados. E, de

quebra, você aprendeu o conceito de metade, ao dobrar o quadrado, do qual você

obteve um triângulo, no primeiro passo.

Dobrando o papel e aprendendo frações.

Nesta figura, o quadrado está inteiro, sendo representado em

matemática como um inteiro ou 1

1 ou ainda 1,0.

5

Nestas, o quadrado está dobrado na metade ou dividido ao meio, o que é

representado como um meio ou ½ ou 0,5.

Aqui, dobramos novamente ao meio, de modo que o quadrado da Figura 1,

apresenta quatro quadrados menores, a partir do que representamos à quarta parte

do inteiro ou ¼ ou 0,25.

Construindo uma árvore e desvelando a oitava parte.

Para se construir o origami de uma árvore, para você que já fez os origamis

anteriores, vai ser uma tarefa bem simples, é só seguir atentamente os passos:

• Prepare uma folha quadrada e dobre-a ao meio na diagonal, unindo suas

pontas, conforme a Fotografia 3b.

• Agora, dobre novamente ao meio, levando uma ponta sobre a outra, de

maneira a formar um triângulo menor, conforme Fotografia 3c.

• Saliente a dobra, vincando o meio do triângulo da Fotografia 3c. Com essa

saliência da dobra, o papel quadrado ficou marcado com oito triângulos

iguais, conforme mostra a Fotografia 3a. Portanto, cada triângulo representa

um oitavo do quadrado inicial, que pode ser representado por 8

1 ou 0, 125).

• Depois de vincar, obtendo os oito triângulos, abra a face, como na Fotografia

3c e coloque o dedo dentro do triângulo de cima e dobre-a sobre si mesma

Vamos pensar e responder:

a) A metade da metade é...

b) Duas quartas partes representam o que?

c) Qual é o resultado da soma das duas quartas partes?

d) Qual é o resultado de três vezes quarta parte?

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determinando um losango, de modo que a ponta que estava à esquerda

aponte para baixo, conforme a Fotografia 3d.

• Pegue a peça e vire-a do outro lado, repetindo o mesmo passo anterior, de

acordo com a fotografia 3e, de forma a obter o formato da Fotografia 3f.

• Dobre e abra uma das pontas do losango no pontilhado conforme a Fotografia

3f (observe que o pontilhado não está no meio. Ao dobrar, eleve essa ponta

até o local do ponto, de maneira que sobre uma margem branca).

• Repita o mesmo passo anterior nas outras três faces do losango.

• Pronto, uma parte da copa da árvore já está finalizada; agora, é só fazer mais

duas peças iguais.

• Monte a árvore como mostra a Fotografia 3i.

a b c d e

f g h i

Fotografia 3 - Árvore Fonte: Hayashi (2010)

Aplicando os conhecimentos de fração e números decimais.

Observe a Figura abaixo e complete com os números decimais corretamente:

8

2 =……….

8

4= ………

8

3 = …….

7

8

1 =........

8

6 = ………..

8

5=..........

8

8=……..

Construindo um barco de origami e aprendendo a décima parte.

Para se construir a peça do barco, basta seguir atentamente as instruções a seguir:

• Pegue um quadrado de dobradura e dobre ao meio do lado avesso do papel,

juntando lado com o lado, de acordo com a Fotografia 4a.

• Dobre para dentro na linha tracejada no sentido vertical, dos dois lados,

conforme a Fotografia 4b e você obterá o formato da Fotografia 4c.

• Como pode notar, a Fotografia 4c ficou um retângulo. Ao juntar lado com lado,

você vai obter um quadrado, de acordo com a Fotografia 4d.

• Desse quadrado da Fotografia 4d, dobre no meio lado com o lado e desdobre.

• Agora saliente, vincando as quatro pontas do quadrado, conforme a Fotografia

4e e você obterá a Fotografia 4f.

• Segure por dentro e abra no sentido da dobra e, em seguida, vire do outro lado,

conforme a Fotografia 4g.

• Novamente, segurar por dentro e abrir no sentido da dobra, conforme as

Fotografias 4h, 4i e 4j (observe que nas Fotografias 4i e 4j, formaram-se 10

triângulos).

• Assim, está pronto o barco, conforme a Fotografia 4k.

a b c d

e f g h

8

i j k

Fotografia 4 - barco Fonte: Hayashi (2010)

Pensando um pouco:

Na Fotografia 4j, você observou que se formaram 10 triângulos iguais. Dessa

forma, vamos considerar que essa foto é um inteiro. Portanto, pode-se concluir que

cada triângulo é a décima parte dessa figura, que é representado por 10

1 ou 0,1.

Figura 2 – Vamos pensar e colorir

Fonte: Hayashi (2010)

Vamos pensar e colorir: As partes da Figura, de acordo com os números

decimais e frações indicadas abaixo:

0,5 ou ½ 0,4 ou10

4

0,1 ou 10

1 0,2 ou

10

2

Vamos pensar e resolver: As partes pintadas nas Figuras abaixo correspondem

as quais frações e números decimais? Indique as duas formas de

representação.

.......... ou .......... .......... ou .......... .......... ou ..........

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Figura 3 – Vamos pensar e resolver

Fonte: Hayashi (2010)

Divertindo-se um pouco: Vamos fazer tsuru ?

No início do texto vimos a lenda do tsuru, lembra? Para fazer o tsuru, necessita-se fazer várias dobras, mas para você que fez alguns origamis, vai ser

uma atividade fácil e interessante, basta seguir os passos descritos abaixo:

• Dobre o papel na metade, na diagonal, formando um triângulo com o lado

colorido para fora, de acordo com a Fotografia 5a, conforme o tracejado e flecha

indicativa.

• Dobre esse triângulo ao meio, transformando-o em um triângulo menor,

conforme Fotografia 5b.

• Dobre mais uma vez esse triângulo ao meio, conforme Fotografia 5c.

• Desdobre a última dobra, conforme Fotografia 5d e observe a flecha

indicativa.

• Para o próximo passo, sua dobradura dever estar de acordo com a Fotografia

5e.

• Agora, coloque o dedo por dentro da dobradura, no local indicado pela flecha,

e junte as pontas A e B, conforme a Fotografia 5f.

• Junte a ponta que ficou para cima até a ponta de baixo do triângulo, formando

um quadrado, de acordo com a Fotografia 5g.

• Vire o papel e em seguida dobre a ponta de cima do triângulo na metade, até

a ponta de baixo do quadrado. Não se esqueça de marcar bem o vinco, de acordo

com a Fotografia 5h.

• Dobre as pontas direita e esquerda pela metade, até o vinco formado no meio

do quadrado e em seguida dobre a ponta de cima até a linha formada pelas pontas

direita e esquerda, de acordo com os tracejados e flechas indicativas da Foto 5i.

• Depois desses passos sua dobradura terá o formato da Fotografia 5j.

.......... ou .......... .......... ou .......... .......... ou ..........

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• Agora, desdobre as três pontas, conforme tracejados da Fotografia 5k.

• Levante a ponta inferior , de acordo com a flecha indicativa da Fotografia 5l.

• Vire do outro lado e repita o passo anterior, conforme Fotografia 5m.

• Depois de realizar esses dois passos, sua dobradura vai obter o formato da

Fotografia 5p.

• Dobre as laterais nos pontilhados indicados, conforme a Fotografia 5q e abra

ligeiramente, cada lado da dobradura, levantando as pontas para cima, seguindo as

flechas indicativas, dessa forma você obterá uma dobradura com o formato da

Fotografia 5r.

• Dobre uma das pontas para baixo, seguindo o vinco e volte à posição inicial

e introduza a ponta para dentro desse vinco, para formar o bico do tsuru, conforme

a Fotografia 5s.

• A Fotografia 5t, apresenta o detalhe do bico.

• Puxe as pontas da asa para fora e de forma que ele infle o corpo , formando o

tsuru, conforme a fotografia 5u.

a b c d

e f g h

i j k l

m n o p

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q r s t

u

Fotografia 5 - Tsuuru Fonte: Hayashi (2010)

Agora você pode fazer o tsuru e outras dobraduras, é só usar a sua

imaginação e criar, pois “o conhecimento artístico tem como características centrais

a criação [...]”, ideia apontada em PARANÁ, (2008).

Referências Bibliográficas:

ASCHENBACH, Maria Helena Costa Valente; FAZENDA, Ivani Catarina Arantes; ELIAS, Marisa Del Cioppo. A Arte-Magia das Dobraduras: Histórias e atividades pedagógicas com origami. São Paulo: Scipione, 1997.

COSTA, Eliane Moreira da. Matemática e Origami: Trabalhando Frações. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2007.

IMENES, Luiz Márcio. Geometria das Dobraduras. São Paulo: Scipione, 1997.

PARANÁ. Diretrizes Curriculares da Educação Básica. Curitiba: SEED, 2008.