Nhị thức Newton

Dạng 11

Nhị thức Newton

và khai triển đa thức

Nhị thức Newton

Nội dung

Dạng 11. Nhị thức Newton và khai triển đa thức

• Dạng 11A. Tính hệ số của đa thức

• Dạng 11B. Tìm hệ số lớn nhất của đa thức

• Dạng 11C. Chứng minh hệ thức tổ hợp

Nhị thức Newton

Dạng 11A

Tính hệ số của đa thức

Nhị thức Newton

Bài tập mẫu

Tính số hạng không chứa x, khi khai triển biết rằng n

thoả mãn

Giải

Áp dụng công thức , ta có

Ta được giả thiết tương đương với

n

3 2P(x) x

x

6 7 8 9 8n n n n n 2C 3C 3C C 2C .

6 7 8 9 6 7 7 8 8 9n n n n n n n n n n

7 8 9 8 9 9n 1 n 1 n 1 n 2 n 2 n 3

C 3C 3C C C C 2 C C C C

C 2C C C C C

9 8n 3 n 2

15 k 30 5k15 1515 kk k k3 3 615 15

k 0 k 0

(n 3)! 2(n 2)! n 3C 2C 2 n 15

9!(n 6)! 8!(n 6)! 9

2 2Khi : P(x) x C x C 2 x

x x

®ã

k k 1 k 1n n n 1C C C

Nhị thức Newton

Bài tập mẫu (tt)

Số hạng không chứa x tương ứng với

Số hạng phải tìm là

30 5k0 k 6.

66 6

15C .2 320320.

Nhị thức Newton

Lưu ý:

Tính hệ số của số hạng x ( là một số hữu tỉ cho trước) trong khai triển

nhị thức Newton của ,ta làm như sau:

Viết số hạng chứa x tương ứng với g(k) = ; giải

phương trình ta tìm được k. Nếu k N, k n , hệ số phải tìm là ak; nếu

k N hoặc k > n, thì trong khai triển không có số hạng chứa x, hệ số

phải tìm bằng 0.

ng(k )

kk 0

P(x) a x

( ) ( )n

p x f x

Nhị thức Newton

Bài tập tương tự

Khi khai triển nhị thức Newton của , hãy tính hệ số của số

hạng chứa x10, biết rằng n là số tự nhiên thoả mãn phần tử

Giải

Hệ thức

Phương trình trên có nghiệm n = -10 (loại), n = 15 (nhận).

Với n = 15, có

Số hạng chứa x10, tương ứng với

Ta được hệ số phải tìm là Đs: -6435.

n3

2

1P(x) x

x4 2

n nC 13C .

4 2 2n n

n! 13.n! 1 13C 13C n 5n 150 0

4! n 4 ! 2! n 2 ! 12 n 2 n 3

15 k15 1515 k k3 k 3 k 45 5k

15 152 2k 0 k 0

1 1P(x) x C x C 1 x

x x

45 5k 10 k 7.

7 7151 C 6435.

Nhị thức Newton

Dạng 11B

Tìm hệ số lớn nhất của đa thức

Nhị thức Newton

Bài tập mẫu

Hãy tìm hệ số có giá trị lớn nhất của đa thức.

Giải

Do đó BĐT an -1 an đúng với n {1; 2; 3; 4} và dấu đẳng thức không xảy

ra. Ta được a0 < a1 < a2 < a3 < a4 và a4 > a5 > … > a13

13 13 120 1 13Gi s P(x) 2x 1 a x a x ... a ¶ ö

13

13 13 nn13

n 0

n 13 n n 1 14 nn 13 n 1 13

n 1 14 n n 13 nn 1 n 13 13

P(x) 2x 1 C 2x

Ta c : a C .2 a C .2 (n 1,2,...,13)

Xét BPT (v i n s n):

2.13! 13!a a C .2 C .2

(n 1)!(14 n)! n!(13 n)!

2 1 14n N

14 n n 3

®­ î

í È è

4 9n 4 13V y :max(a ) a C .2 366080 Ë

Nhị thức Newton

Lưu ý:

Để tìm hệ số có giá trị lớn nhất khi khai triển (ax + b)m thành đa một

thức, ta làm như sau:

Tính hệ số của số hạng tổng quát; giải BPT an-1 an với ẩn số n; hệ số

lớn nhất phải tìm tương ứng với số tự nhiên n lớn nhất thoả mãn BPT

trên.

Nhị thức Newton

Bài tập tương tự

Hãy tìm hệ số có giá trị lớn nhất của đa thức.

Giải

Xét BPT (với ẩn số n):

Do đó BĐT an-1 an đúng với n {1; 2; 3;…; 10} và dấu đẳng thức không xảy ra.

Ta được a0 < a1 < a2 < … a10 và a10 > a11 > … a15.

15 15 140 1 15Gi s :P(x) x 2 a x a x ... a ¶ ö

15

15 n 15 n n15

n 0

n n n 1 n 1n 15 n 1 15

P(x) x 2 C x .2

Ta c : a C .2 a C .2 (n 1,2,...,15)

®­ î

n 1 n 1 n nn 1 n 15 15

15! 2.15!a a C .2 C .2

(n 1)!(16 n)! n!(15 n)!

1 2 32n N

16 n n 3

10 10n 10 13V y : max(a ) a C .2 292864. Ë

Nhị thức Newton

Dạng 11C

Chứng minh hệ thức tổ hợp

Nhị thức Newton

Bài tập mẫu

Chứng minh rằng

Giải

Dễ thấy hệ số của xn trong VT là:

hệ số của xn trong VP = (x + 1)2n là

2 2 2 20 1 2 n nn n n n 2nC C C ... C C

n n 2n

0 n 1 n 1 n 0 1 n nn n n n n n

Ta c : (x 1) (1 x) (x 1)

VT C x C x ... C C C x ... C x

ã

2 2 2 20 1 2 nn n n nC C C ... C n2nC .

2 2 2 20 1 2 n n

n n n n 2nDo : C C C ... C C ( pcm)®ã ®

Nhị thức Newton

Lưu ý

• Xét đẳng thức (x + 1)n(1 + x)m = (x + 1)n+m . Sử dụng nhị thức Newton

để viết cả hai vế thành đa thức đối với x, đồng nhất hệ số của các số

hạng cùng bậc trong hai vế, bạn có thể viết ra nhiều hệ thức về tổ

hợp và đó cũng là cách chứng minh chúng.