Nhị thức Newton
Dạng 11
Nhị thức Newton
và khai triển đa thức
Nhị thức Newton
Nội dung
Dạng 11. Nhị thức Newton và khai triển đa thức
• Dạng 11A. Tính hệ số của đa thức
• Dạng 11B. Tìm hệ số lớn nhất của đa thức
• Dạng 11C. Chứng minh hệ thức tổ hợp
Nhị thức Newton
Dạng 11A
Tính hệ số của đa thức
Nhị thức Newton
Bài tập mẫu
Tính số hạng không chứa x, khi khai triển biết rằng n
thoả mãn
Giải
Áp dụng công thức , ta có
Ta được giả thiết tương đương với
n
3 2P(x) x
x
6 7 8 9 8n n n n n 2C 3C 3C C 2C .
6 7 8 9 6 7 7 8 8 9n n n n n n n n n n
7 8 9 8 9 9n 1 n 1 n 1 n 2 n 2 n 3
C 3C 3C C C C 2 C C C C
C 2C C C C C
9 8n 3 n 2
15 k 30 5k15 1515 kk k k3 3 615 15
k 0 k 0
(n 3)! 2(n 2)! n 3C 2C 2 n 15
9!(n 6)! 8!(n 6)! 9
2 2Khi : P(x) x C x C 2 x
x x
®ã
k k 1 k 1n n n 1C C C
Nhị thức Newton
Bài tập mẫu (tt)
Số hạng không chứa x tương ứng với
Số hạng phải tìm là
30 5k0 k 6.
66 6
15C .2 320320.
Nhị thức Newton
Lưu ý:
Tính hệ số của số hạng x ( là một số hữu tỉ cho trước) trong khai triển
nhị thức Newton của ,ta làm như sau:
Viết số hạng chứa x tương ứng với g(k) = ; giải
phương trình ta tìm được k. Nếu k N, k n , hệ số phải tìm là ak; nếu
k N hoặc k > n, thì trong khai triển không có số hạng chứa x, hệ số
phải tìm bằng 0.
ng(k )
kk 0
P(x) a x
( ) ( )n
p x f x
Nhị thức Newton
Bài tập tương tự
Khi khai triển nhị thức Newton của , hãy tính hệ số của số
hạng chứa x10, biết rằng n là số tự nhiên thoả mãn phần tử
Giải
Hệ thức
Phương trình trên có nghiệm n = -10 (loại), n = 15 (nhận).
Với n = 15, có
Số hạng chứa x10, tương ứng với
Ta được hệ số phải tìm là Đs: -6435.
n3
2
1P(x) x
x4 2
n nC 13C .
4 2 2n n
n! 13.n! 1 13C 13C n 5n 150 0
4! n 4 ! 2! n 2 ! 12 n 2 n 3
15 k15 1515 k k3 k 3 k 45 5k
15 152 2k 0 k 0
1 1P(x) x C x C 1 x
x x
45 5k 10 k 7.
7 7151 C 6435.
Nhị thức Newton
Dạng 11B
Tìm hệ số lớn nhất của đa thức
Nhị thức Newton
Bài tập mẫu
Hãy tìm hệ số có giá trị lớn nhất của đa thức.
Giải
Do đó BĐT an -1 an đúng với n {1; 2; 3; 4} và dấu đẳng thức không xảy
ra. Ta được a0 < a1 < a2 < a3 < a4 và a4 > a5 > … > a13
13 13 120 1 13Gi s P(x) 2x 1 a x a x ... a ¶ ö
13
13 13 nn13
n 0
n 13 n n 1 14 nn 13 n 1 13
n 1 14 n n 13 nn 1 n 13 13
P(x) 2x 1 C 2x
Ta c : a C .2 a C .2 (n 1,2,...,13)
Xét BPT (v i n s n):
2.13! 13!a a C .2 C .2
(n 1)!(14 n)! n!(13 n)!
2 1 14n N
14 n n 3
® î
í È è
4 9n 4 13V y :max(a ) a C .2 366080 Ë
Nhị thức Newton
Lưu ý:
Để tìm hệ số có giá trị lớn nhất khi khai triển (ax + b)m thành đa một
thức, ta làm như sau:
Tính hệ số của số hạng tổng quát; giải BPT an-1 an với ẩn số n; hệ số
lớn nhất phải tìm tương ứng với số tự nhiên n lớn nhất thoả mãn BPT
trên.
Nhị thức Newton
Bài tập tương tự
Hãy tìm hệ số có giá trị lớn nhất của đa thức.
Giải
Xét BPT (với ẩn số n):
Do đó BĐT an-1 an đúng với n {1; 2; 3;…; 10} và dấu đẳng thức không xảy ra.
Ta được a0 < a1 < a2 < … a10 và a10 > a11 > … a15.
15 15 140 1 15Gi s :P(x) x 2 a x a x ... a ¶ ö
15
15 n 15 n n15
n 0
n n n 1 n 1n 15 n 1 15
P(x) x 2 C x .2
Ta c : a C .2 a C .2 (n 1,2,...,15)
® î
n 1 n 1 n nn 1 n 15 15
15! 2.15!a a C .2 C .2
(n 1)!(16 n)! n!(15 n)!
1 2 32n N
16 n n 3
10 10n 10 13V y : max(a ) a C .2 292864. Ë
Nhị thức Newton
Dạng 11C
Chứng minh hệ thức tổ hợp
Nhị thức Newton
Bài tập mẫu
Chứng minh rằng
Giải
Dễ thấy hệ số của xn trong VT là:
hệ số của xn trong VP = (x + 1)2n là
2 2 2 20 1 2 n nn n n n 2nC C C ... C C
n n 2n
0 n 1 n 1 n 0 1 n nn n n n n n
Ta c : (x 1) (1 x) (x 1)
VT C x C x ... C C C x ... C x
ã
2 2 2 20 1 2 nn n n nC C C ... C n2nC .
2 2 2 20 1 2 n n
n n n n 2nDo : C C C ... C C ( pcm)®ã ®
Nhị thức Newton
Lưu ý
• Xét đẳng thức (x + 1)n(1 + x)m = (x + 1)n+m . Sử dụng nhị thức Newton
để viết cả hai vế thành đa thức đối với x, đồng nhất hệ số của các số
hạng cùng bậc trong hai vế, bạn có thể viết ra nhiều hệ thức về tổ
hợp và đó cũng là cách chứng minh chúng.