DarioD’Amore–CorsodiElettrotecnica(AA08‐09)

  Si dice campo scalare uno scalare funzione del punto, per es. la temperatura in una stanza, la densità della materia in una regione dello spazio …

  Un campo vettoriale è un vettore funzione del punto, per es. la velocità dell’acqua in una regione di mare rispetto a un punto fisso sul fondo, il valore della forza agente su di una particella di ferro nei pressi di una calamita fissa …

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  Come per tutti i vettori, il vettore che rappresenta un campo vettoriale in un punto può essere scomposto nelle sue componenti rispetto ad un sistema di coordinate.

  In funzione del tipo di problema affrontato sarà conveniente usare coordinate cartesiane, cilindriche o sferiche.

  Esistono operatori che permettono di ottenere campi vettoriali da campi scalari e vice versa.

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  Rappresentazione di un campo scalare, per es. quota in ogni punto di una regione montagnosa:

Lafunzione:

descrivelaquotainognipuntodellaregione.Inquestafiguraidiversicolorisonoproporzionalialvaloredellaquota.

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h = h(x, y)

  campo vettoriale, per es. il vettore che indica la pendenza in ogni punto di una regione montagnosa

DalDalcamposcalare“quota”:

conl’operatoregradienteottengoilcampovettoriale“pendenza”:

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h = h(x, y)

P =!h(x, y)

!xi +

!h(x, y)!y

j

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Nasceunaforzadiattrazioneorepulsione:Laforzaelettrica

  Ifenomenielettricitrovanooriginenellastrutturadellamateria‐neutralità

  NelSIlacaricaelettricasimisuraincoulomb[C]

  Lacaricaelettricaèquantizzata:multiplodellacaricaelementarediunelettrone:

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!e = 1, 60206" 10!19 C

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ε0:Permettivitàdelvuoto

F =1

4!"0

qq0

r2u

"0 = 8, 88542! 10!12 C2

Nm2

  Lamisuradellacaricaelettricapuòessereeffettuataconl’elettroscopioalamelle

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CampoElettrostaticocreatodaunacaricaisolataq0postainP

CampoElettrostaticocreatodaunacoppiadicariche(sovrapposizione)

F =1

4!"0

q1q0

r2u

F = F1 + F2 =1

4!"0

q1q0

r21

u1 +1

4!"0

q2q0

r22

u2

E =Fq0

!NC

"

E =Fq0

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Lineediforzadelcampoelettrostaticocreatodaunacaricaisolataa)  Caricapositivab)  Caricanegativa

  Tangenteeconcordeinognipuntoconilcampoelettrostaticoinquelpunto

  Nonsiincrocianomai(ilcampoèdefinitounivocamente)

  Hannooriginenellecarichepositiveeterminanonellecarichenegative

  LineediforzadelcampoelettrostaticocreatodaunacoppiadicarichediugualvaloreQA)disegnooppostoB)disegnouguale

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Selaforzacheagiscesuunacaricaèdinaturadiversadaquellaelettrostatica(adesempioèdovutaaprocessichimicioadazionimeccaniche)possiamocomunquedefinireuncampoElettromotore

UnaforzachecausaunospostamentodellacaricadiΔscompieunlavoroΔW

!W = F · !s = q0Es!s

E =Fq0! F = q0E

  IllavorocompiutolungounalineaorientataC1siottienesommandoisingolicontributiΔWi

  Operandounpassaggioallimitelasommatoriadiventaunintegraledilinea(b)

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  IllavorocompiutodalleforzedelcampoelettromotoreperspostareunacaricaunitarialungolalineaC1orientatadaAaBsichiamaTensioneelettricatraAeBlungoC1:

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  LatensionehaorientamentooppostoaquellodellalineaC1

  Latensionesimisurainvolt[V],ilcampoelettricosimisurain[V/m]piuttostochein[N/C]

V (A! B lungo C1) = VC1 =!

C1

E · ds VC1

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W =!

F · ds ="

C1

F · ds +"

!C2F · ds =

"

C1

F · ds!"

C2F · ds = W1 !W2

W =!

CF · ds = q0

!

CE · ds = q0 fem

fem =!

CE · ds

  Quandoillavorocompiutodalleforzedelcampoinunpercorsochiusoènullo,allorailcampodiforzedidiceConservativo

  Ilcampoelettrostaticoèuncampoconservativo.

  Illavorocompiutodalleforzedelcamposuunacaricadipendesoltantodaipuntiestremidelpercorsoenondallaparticolarelinea

  Anchelatensionedipendesoltantodaipuntiestremienondallaparticolarelinea

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fem =!

CE · ds = 0

  Inuncampoelettrostaticolatensionediventaindipendentedallalineaconsiderata

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W1 =!

C1

F · ds =!

C2F · ds = W2

! VC2 = VC2 = VAB

VAB

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Flussoattraversounelementodisuperficie

Flussoattraversounasuperficie

Flussoattraversounasuperficiechiusa

d!(E) = E · usd! = Ecos"d! = Esd!

!(E) =!

!E · usd!

!(E) =!

!E · usd!

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LeggediGaussnelcasodicarichediscrete

LeggediGaussnelcasodiunadistribuzionedicarica

!(E) =!

!E · usd! =

qtot

"0

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  NelcasoparticolarediunacaricapuntiformepossiamoverificarelaLeggediGauss

!(E) =!

!E · usd! =

q

4"#0r2

!ur · usd! =

q

4"#0r2

!d! =

q0

#0

  PossiamoapplicarelaleggediGausspercalcolareilcampoelettricoprodottodaunpianoindefinitouniformementecarico(σ:densitàdicaricasuperficiale[C/m2])

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!(E) = E! + E! =2 E! =q

"0=

#!"0

! E =!

2"0

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Ilcampoelettricoall’internodiunconduttoreinequilibrioelettrostaticoènullo

Latensionetraduepuntiqualsiasidiunconduttoreèsemprenulla

VC1 =!

C1

E · ds = 0

VC2 =!

C2

E · ds = 0

  Ilcampoelettrostaticocreatodaunconduttorecaricohalelineediforzasempreperpendicolariallasuperficie

  IlcampoelettrostaticocreatodaunconduttorecaricosipuòcalcolareconlaleggediGauss

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d!(E) = E · und! = Ed!

!(E) = E! =q

"0=

#!"0

! E =!

"0un

  Campoelettricocreatodaunconduttoresfericocaricocondensitàdicaricasuperficialeσ:

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! E =!

"0un =

q

4#"0R2un

  Ilcampocreatodallabacheliteagiscesullecaricheliberepresentinelconduttore,spostandole.

  Questesidisporrannoinmododarenderenulloilcampoall’interno.

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!!! !!!

!!!

  Ilcampoelettrostaticocreatodaunacoppiadilastrepianeindefinitecarichecondensitàdicaricasuperficiale±σènullonellospaziononcompresotraleduelastre

  Nellospaziotralelastreilcampohavaloredoppiodiquellocalcolatoperunasingolalastra

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E =!

"0

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Datidueconduttoriconcaricarispettivamente+qe–q,sidicecapacitàilrapportotralacaricadepositatasulconduttoreelatensioneVchesistabiliscetradiessi.Ilversodellatensioneèdaintendersicomeinfigura.

C =q

V

LacapacitànelSIsimisurainFarad(F)1Farad=1Coulomb/1Volt

  LearmaturedistanohedhannosuperficieΣ.  Lacaricapresentesullearmatureè±q.  Ilcampoelettrostaticotralearmaturevale

  LatensioneVtralearmaturevale

  Lacapacitàdelcondensatoreè:

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E =!

"0=

q

!"0

C =q

V=

!0!h

V =! h

0E · ds = Eh =

qh

!!0

V

x

  Laprecendentederivazioneèapprossimata(effettidibordodelcampoelettrostatico)

  Illavorocompiutodaun“agenteesterno”(ades.unapiladivolta)persottrarrelacaricadq’daun’armaturaedepositarlasull’altraè

  Quandolacaricatotalespostatavaleq,illavorocomplessivoè

  Questaquantitàdipendesolodallostatofinaleenondalparticolareprocessodicarica

  Questafunzionesichiamaenergiadelcampoelettrostatico

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dW = V !dq! =q!

Cdq!

W =! q

0

q!

Cdq! =

q2

2C=

CV 2

2= E

  Duecarichepuntiformi+qe–qposteadistanzaaformanoundipoloelettrico

  Sidefiniscemomentodeldipoloelettricoilvettore

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p = qaConporientatodallacaricanegativaaquellapositiva

  IldipolodimomentopèpostoinunaregionesucuiagisceuncampoelettricoesternoE

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F1 = !qEF2 = +qE

  Nasceunmomentomeccanicochetendeafarruotarel’assedeldipolo

|M| = |p!E| = pEsin(!)

IlmomentodidipolofaruotareildipoloinmododaaverepedEparalleli

M = r2 ! F2 + r1 ! F1 = (r2 " r1)! F2 = qa!E = p!E

  Inseriamounalastraconduttricedispessorestraduelastreparalleledistantihcondensitàdicaricaσo

  Perinduzionecompleta,lalastrarendenulloilcampoalsuointernomentrenonalteraquelloesterno

  Se

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s! h V ! 0V = E0(h! s) < E0h = V0

V V

  Inseriamounalastradimaterialeisolantedispessorestraduelastreparalleledistantihcondensitàdicaricaσo

  Latensionediminuiscealcresceredismanontendeazero

  Se

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s! h V ! Vk ! =V0

Vk> 1 Costantedielettrica

relativa

V Vk

  Ladiminuzionedelcampoelettricosigiustificaconlacomparsasullefacceestremedeldielettricodiunacaricadipolarizzazionedidensità±σp

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Ek =!0

"0! !p

"0

  Lacapacitàdiuncondensatorepianoconundielettricotralearmaturecambia

  Quantoricavatoperilcalcolodellacapacitàcontinuaavalereutilizzandolapermettivitàdielettricaassoluta

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C! =q0

Vk=

!q0

V0= !C0

! = "!0

C =q

V= !

!d

[F ]

  Alivelloatomico,l’effettodelcampoelettricoproduceunmicro‐spostamentodeglielettronirispettoalnucleodell’atomo

  Questocausaunmomentodidipoloelettricopasuognisingoloatomo.

  Dettonilnumerodiatomiperunitàdivolumesipuòdefinireilvettorepolarizzazione

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P = n < p > <p>èilmomentodidipoloatomicomedio

DatocheognimomentodibipolopèparalleloadE,anchePèparalleloadE

IlvettorepolarizzazionesimisurainC/m2

  Consideriamoildielettricouniformementepolarizzatotralearmaturediuncondensatorepiano

  Ilmomentodidipolorelativoadunvolumettoinfinitesimoè:

  Possiamosostituireilprismaconundipoloelettrico

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dp = Pd!0dh = (dq)dh

±dq = ±Pd!0

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  Sullefacceinternelecarichesicompensano  Sullefacceestremelecarichenonsipossonocompensareacausadelladiscontinuitàdelmezzo

  Estendendolasomma(integrale)atuttiiprimsettichecompongoilvolumedeldielettricosiricavacheilmomentodidipolorisultanteè

p = qph = (!p!)h = P!h ±!p = ±P

LadensitàsuperficialedellecarichedipolarizzazioneèugualeallacomponentediPlungolanormaleallasuperficie

  Perlamaggiorpartedeidielettricirisulta(dielettricilneari):

P = !0("! 1)E

  LapresenzadellecarichedipolarizzazionelaleggediGausssiscrivecosì(carichelibereedipolarizzazione):

  Lacaricadipolarizzazionecontenutanellascatolaabasecilindricainazzurroènegativaevale:

!(E) =!

E · und" =q + qp

!0

Infatti,Pènulloall’internodelconduttore,edèparalleloadEtralearmature

SostituendonellaleggediGausssiottiene:

!(E) =!

E · und" =1!0

"q !

!P · und"

#

!P · und! = P! = !p! = !qp

qp = !!p! = !P!

Perlascatolapossiamoscrivereallora:

!(!0E + P) · und! = q

  Sidefiniscevettoreinduzionedielettricalaquantità:

  DacuisiricavalaleggediGaussperl’induzionedielettrica:

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D = !0E + P

!(D) =!

D · und" = q

Ilflussodell’induzionedielettricaattraversounasuperficiechiusaèugualeallasommadellecaricheliberecontenuteall’internodellasuperficie

  Inundielettricolinearelapolarizzazioneèproporzionalealcampoelettrico:

Risultaquindi:

All’internodiundielettrico:Nelvuoto:

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P = !0("! 1)E

D = !0E + P = !0E + !0("! 1)E = !0"E = !E

D = !0ED = !E