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Escuela Superior Politcnica de Chimborazo

Ingeniera AutomotrizDeber No. 3

Mtodos Numricos

10 de enero de 2016

1. Use la eliminacin gaussiana con sustitucin hacia atras y la aritmtica de redondeo a dos dgitos pararesolver los sistemas lineales siguientes. (La solucin exacta de cada sistema es x1 = 1,x2 = 1,x3 = 3).

a)4x1 x2+ x3 = 82x1+ 5x2+ 2x3 = 3x1+ 2x2+ 4x3 = 11

b)4x1+ x2+ 2x3 = 92x1+ 4x2 x3 = 5x1+ x2 3x3 = 9

2. Use eliminacin de Gauss para resolver los sistemas:

a)8x1+ 2x2 2x3 = 210x1+ 2x2+ 4x3 = 412x1+ 2x2+ 2x3 = 6

b)x1 x2+ 3x3 = 23x1 3x2+ x3 = 1x1+ x2 = 3

3. Dado el sistema siguiente de ecuaciones

3x2+ 7x3 = 2x1+ 2x2 x3 = 35x1 2x2 = 2

a) Emplee la eliminacin de Gauss con pivoteo parcial para obtener cules seran los valores de x:

b) Sustituya sus resultados en las ecuaciones originales para efectos de comprobacin.

4. Dado el sistema siguiente de ecuaciones

2x1 6x2 x3 = 383x1 x2+ 7x3 = 348x1+ x2 2x3 = 20

a) Emplee la eliminacin de Gauss con pivoteo parcial. Efecte todos los pasos del clculo.

b) Sustituya sus resultados en las ecuaciones originales para comprobar sus respuestas.

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5. Emplee la eliminacin de Gauss-Jordan para resolver el sistema siguiente:

2x1+ x2 x3 = 15x1+ 2x2+ 2x3 = 43x1+ x2+ x3 = 5

6. Resuelva el sistema:x1+ x2 x3 = 36x1+ 2x2+ 2x3 = 23x1+ 4x2+ x3 = 1

a) Por eliminacin de Gauss simple

b) Por eliminacin de Gauss con pivoteo parcial

c) Por el mtodo de Gauss-Jordan

7. Resuelva los sistemas de ecuaciones por medio de la descomposicinLU (Crout y Doolittle).

a)

8x1+ 4x2

x3 = 112x1+ 5x2+ x3 = 42x1 x2+ 6x3 = 7

b)2x1 6x2 x3 = 383x1 x2+ 7x3 = 348x1+ x2 2x3 = 20

8. Las ecuaciones algebraicas lineales pueden surgir al resolver ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, laecuacin diferencial siguiente proviene de un balance de calor para una barra larga y delgada (vase lagura):

d2T

dx2 + h0(Ta T) = 0 (1)

dondeT= temperatura (oC),x = distancia a lo largo de la barra (m), h0 = coeciente de transferenciade calor entre la barra y el aire del ambiente ( m2), y Ta = temperatura del aire circundante ( C).Esta ecuacin se transforma en un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales por medio del uso de unaaproximacin en diferencias nitas divididas para la segunda derivada,

d2T

dx2 =

Ti+1+ Ti+ Ti1x2

donde Ti denota la temperatura en el nodo i. Esta aproximacin se sustituye en la ecuacin (1) y seobtiene

Ti1+ (2 + h0x2)Ti Ti+1 = h

0x2Ta

Se puede plantear esta ecuacin para cada uno de los nodos interiores de la barra, lo que resulta en unsistema tridiagonal de ecuaciones. Los nodos primero y ltimo en los extremos de la barra estn jospor las condiciones de frontera.

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a) Para una barra de 10 m con Ta = 20, T(x = 0) = 40, T(x = 10) = 200 y h0 = 0;02. Desarrolle

una solucin numrica, con el uso de una solucin en diferencias nitas con cuatro nodos interioressegn se muestra en la gura (x = 2 m).

9. Determinar las corrientes de malla en el circuito de la gura, utilice uno de los mtodos vistos.

10. Use el mtodo de Cholesky para resolver los sistemas lineales siguientes:

a)4x1 2x2 = 0

2x1+ 4x2 x3 = 0;5

x2+ 4x3 = 1

b)

5x1+ x2+ 2x3 x4= 1x1+ 7x2 +3x4 = 22x1 +5x3+ x4 = 3x1+ 3x2+ x3+ 8x4 = 4

11. Use el mtodo de Crout y Doolittle para resolver los sistemas lineales siguientes:

a)4x1+ x2 x3 = 82x1+ 5x2 = 53x1+ 8x2+ 9x3 = 0

b)

4x1+ 5x2+ 2x3

x4 = 35x1+ 8x2+ 7x3+ 6x4 = 23x1+ 7x2 4x3 2x4 = 0x1+ 6x2 2x3+ 5x4 = 1

12. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales mediante los mtodos de Gauss-Seidel y de Jacobi

a)5x1 x2 x3 = 3x1 x2+ 2x3 = 03x1 x2+ 2x3 = 4

b)2x1+ x2+ x3 = 4x1+ 2x2+ x3 = 4x1+ x2+ 2x3 = 4

13. Use el mtodo de Cholesky para resolver los sistemas lineales siguientes:

a)4x1 2x2 = 02x1+ 4x2 x3 = 0;5

x2+ 4x3 = 1

b)

5x1+ x2+ 2x3 x4= 1x1+ 7x2 +3x4 = 22x1 +5x3+ x4 = 3x1+ 3x2+ x3+ 8x4 = 4

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14. Use el mtodo de Crout y Doolittle para resolver los sistemas lineales siguientes:

a)4x1+ x2 x3 = 82x1+ 5x2 = 53x1+ 8x2+ 9x3 = 0

b)

4x1+ 5x2+ 2x3

x4 = 35x1+ 8x2+ 7x3+ 6x4 = 23x1+ 7x2 4x3 2x4 = 0x1+ 6x2 2x3+ 5x4 = 1

15. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales mediante los mtodos de Gauss-Seidel y de Jacobi

a)5x1 x2 x3 = 3x1 x2+ 2x3 = 03x1 x2+ 2x3 = 4

b)2x1+ x2+ x3 = 4x1+ 2x2+ x3 = 4x1+ x2+ 2x3 = 4

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