8/18/2019 deducaonatural_regras_derivadas
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Dedução Natural – Regras derivadas
Adição do antecedente (AA)
A B ® A
Prova:
1. A
2. B ® A AA, 1
A linha 2 resulta de um uso ‘degenerado’ mas permitido da regra
de introdução da
condicional no qual é cancelada uma hipótese ‘invisível’, B (ver
Troelstra et al. Basic
Proof Theory, Cambridge University Press, p. 25). Na
prática, isso permite que em
qualquer linha de prova seja inserido um condicional no qual a
linha anterior é o
conseqüente e uma fórmula qualquer B é o antecedente. Essa regra
é utilizada na prova
do teorema (T2) |– A ® (B ® A), que aparece
freqüentemente como um axioma em
sistemas axiomáticos. Semanticamente, é fácil constatar que (T2)
é uma tautologia e seu
valor de verdade depende apenas de A. Suponha que A = F.
Logo, a condicional
principal tem um antecedente falso e é verdadeira. Suponha
que A = V. Nesse caso, a
condicional (B ® A) é verdadeira, e portanto a condicional
principal tem um
conseqüente verdadeiro e é verdadeira.
Repetição
A A
A regra de repetição é justificada pela definição de dedução a
partir de premissas.
Considere que A é a única linha de uma prova a partir do
conjunto G = {A}. Isso está perfeitamente de acordo
com a definição de dedução apresentada na seção 3 da apostila
Um sistema dedutivo.
Eliminação da negação (E
)
ØØA A
1. ØØA
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(i) Na linha 5, B resulta da hipótese A da linha 3, já o B da
linha 7 resulta da hipótese B
da linha 6. A e B são lançados como hipóteses nas linhas 3 e 6 e
descartados pela regra
EÚ na linha 8, posto que na linha 1 temos A Ú B.
(ii) Note que as regras foram apresentadas e provadas em uma
determinada ordem, de
modo a facilitar a prova da regra seguinte.
(iii) Aplicações reiteradas da regra I® nas provas acima
produzem os seguintes
teoremas:
|– A® (B ® A)
|– A® A
|– (ØB ® ØA)« (A® B)
|– (A® B) ® [(B ® C)® (A ® C)]
|– A® (ØA® B)
|– (A Ú B) ® (ØA® B)
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