ONDA• Perturbazione che si propaga con velocità v, trasportando

energia senza che vi sia trasporto effettivo di materia• Le onde meccaniche hanno bisogno di un mezzo materiale per

propagarsi, le onde elettromagnetiche no.• Descrizione matematica della propagazione lungo x:

Funzione d’onda

• Equazione d’onda:

• Onde armoniche:

f (x, t) = f (x ± vt)

2

2

22

2 1tf

vxf

¶¶

=¶¶

f (x, t) = ymsenk x − vt( ) k = 2πλ

f (x, t) = ymsen kx −ωt( ) kv=wym x2

Esercizio 4Data la funzione di un’onda in una corday = 0.03 sen (3x – 2t) dove le lunghezze sono

espresse in metri e t in secondi, trovare:a) all’istante t = 0, lo spostamento in x = 0.3 m;b) nel punto x = 0.1 m, lo spostamento per t = 0.2 s;c) la velocità di oscillazione delle particelle

costituenti la corda;d) la velocità di propagazione dell’onda.e) la massima velocità trasversale di una particella

sulla corda.b) y(0.1,0.2)= - 3.10-3 ma) y(0.3,0)= 0.023 m

c) v(x,t)= - 0.06 cos(3x – 2t) m/s d) v = 0.667 m/se) vmax = 0.06 m/s

Classificazione:onde longitudinali e trasversali

• Longitudinali:se le particelle del mezzo oscillano lungo una direzione parallela alla direzione di propagazione dell’onda (ad es. le onde sonore)

• Trasversali:se le particelle del mezzo oscillano lungo una direzione perpendicolare alla direzione di propagazione dell’onda (ad es. le onde in una corda tesa, onde elettromagnetiche)

Esempio di onda meccanica trasversale:perturbazione che si propaga lungo una corda tesa

Considerazioni generali:

Se in un qualche punto si comunica alla corda una perturbazione | alla corda stessa, si osserva che la deformazione prodotta si

propaga lungo la corda con v µ T (tensione), e inversamente µ µ (massa per unità di lunghezza).

Ricaviamo l�espressione della velocità di propagazione v:

• Per oscillazioni sufficientemente piccole: T = costante, a1 e a2 piccoli

• Componenti della forza risultante sull�elemento di corda dx:

( ) 0coscos 12 @-= aaTFx

( ) ( ) 2

212

1212 tantanty

dxxy

xy

TTsensenTFy ¶¶

=÷øö

çèæ

¶¶

-¶¶

=-@-= µaaaa

2

2

2

2

ty

xy

T¶¶

=¶¶

Þ µ 2

2

2

2

ty

Txy

¶¶

=¶¶ µ

µTv

v=®= 2

1

a2a1

N.B. la velocità di propagazione dell’ondadipende dalle caratteristiche del mezzo

!"#!$"

dx

Velocità trasversaleN.B. Non si confonda la velocità di propagazione diun’onda con la velocità di oscillazione intorno alla posizionedi equilibrio di ciascun elemento del mezzo(ad esempio, ciascun elemento di una corda)

Energia trasportata da un�onda• Un’onda si propaga perchè ogni parte del mezzo comunica

il moto alle parti adiacenti.• Si dice intensità I l’energia trasmessa per unità di superficie

e di tempo perpendicolarmente alla direzione di propagazione:

I = !"!#!$ [W/m2]

• In un’onda meccanica armonica ogni punto compie un’oscillazione armonica; si può dimostrare che I ∝ω 2A2v

L’energia di un’onda è proporzionale al quadrato dell’ampiezzae della frequenza (risultato valido in generale)

Principio di sovrapposizione(già incontrato in Fisica)

• Se due o più onde attraversano contemporaneamente la stessa regione, l’onda risultante è la loro somma

Matematicamente:y’(x,t) = y1(x,t) + y2(x,t)se y1 e y2 sono soluzioni dell’equazioned’onda, anche y1 + y2 lo è

Le onde sovrapposte non si disturbano vicendevolmente

Interferenza• La perturbazione risultante può produrre sulla corda un

rafforzamento o una soppressione dello spostamento di ogni punto sulla corda (la propagazione dell’onda non viene alterata)

• Per due onde sinusoidali che sipropagano lungo la stessa direzionela “costruttività” dell’interferenzadipende dalla differenza di fase Df

Due onde si dicono “in fase” quando le creste e le valli sono allineate come in figura (a)

onde stazionarieConsideriamo due onde che si propagano lungo un corda tesa in versi opposti (ottenibile fissando un estremo, che genera un’onda riflessa):

y1(x,t) = ymsen(kx+wt)y2(x,t) = ymsen(kx-wt)

Non compare più l’argomento (kx�wt) tipico di un’onda che si propaga, ma un’oscillazione armonica semplice di pulsazione wuguale in ogni punto della corda e ampiezza funzione della posizione.

Se entrambi gli estremi della corda sono fissi, quali sono le onde stazionarie che si possono formare?

senα + senβ = 2sen 12α +β( )cos 1

2α −β( )

y(x, t) = y1(x, t)+ y2 (x, t) = 2ymsenkxcosωt

onde stazionarieEsiste una serie discreta di lunghezze d’onda ln e di frequenze fn:tali frequenze sono dette frequenze proprie del sistema oscillante.

L = n l/2, n = 1, 2, …

!" =2%&

'" = ()*

= n (+,

risonanza

Se la corda viene sollecitata con una delle frequenze proprie, si ha un fenomeno di risonanza.

Spettacolari effetti meccanici:https://www.youtube.com/watch?v=XggxeuFDaDU

Onde stazionarie: richiami

esercizioUna corda di chitarra in nylon ha una massa lineica di 7.20 g/m ed è sottoposta a una tensione di 150 N. I supporti fissi distano 90.0 cm. La corda oscilla secondo lo schema di onda stazionaria in figura:Calcolare: a) La velocità, b) la lunghezza d’onda, c) la frequenza delle onde la cui sovrapposizione

genera quest’onda stazionaria

v = 144 m/s l = 2/3 L = 60 cm

f = v / l = 240 Hz

esercizioUna fune, sottoposta a una tensione di 200 N e fissata ad entrambe le estremità, oscilla con un’onda stazionaria di 2a armonica (n = 2) secondo la:

Trovare:1) La lunghezza L della fune [L = 4 m]

2) La velocità v dell’onda [v = 24 m/s]

3) La massa M della fune [M = 1.39 kg]

4) Il periodo di oscillazione della 3a armonica [T3 = 0.11s].

y(x, t) = 010sen π2x

!

"#

$

%&cos 12π t( )

[x in m, t in s, x = 0 ad un'estremita' della fune]

.

generalizzazioneIn generale un’onda si può propagare nello spazio in

tutte le direzioni; viene descritta da una funzione d’onda f(x,y,z,t).

Casi particolari:

onde piane

( )txffzf

yf ,0 =Þ=

¶¶

=¶¶

i fronti d’onda (i punti dello spazio in cui l’onda è in fase) sono piani perpendicolari alla direzione di propagazione

x

y

z

onde sferiche

i fronti d’onda sono sfere che si allontanano radialmente dalla sorgente

•r

Fronte d’onda: luogo dei punti che hanno la stessa fase

Fronte d’ondapiano

Fronte d’onda piano

Fronte d’ondasferico

Fronte d’ondasferico

ondoscopio

x

zy

Effetto Doppler

La frequenza di un’onda percepita da un osservatore può essere diversa da quella prodotta dalla sorgente

Si verifica quando sorgente e osservatore sono in moto relativo.

Il fenomeno fu evidenziato per la prima volta con le onde sonore, ma si osserva in tutti i tipi di onde.

Physics Nobel prize 2019https://www.nobelprize.org/