A DEMONSTRAÇÃO DO ALGORIMO DE EUCLIDES PARA

DETERMINAÇÃO DO MÁXIMO DIVISOR COMUM ENTRE DOIS NÚMEROS.

Por Alzir Fourny Marinhos

DEMONSTRAÇÃO QUE ESTÁ NOS ELEMENTOS DE EUCLIDES- 300 aC.

Teorema

Seja a = bq + r.

mdc (a,b) = mdc (b,r)

Demonstração:

Supor mdc (a,b) = d

Então d divide a e d divide b.

Se a = bq + r, então, como d divide a temos que d divide bq + r.

Daí: se d divide b e divide bq + r, então d divide r.

d é divisor comum de b e r .

Temos que verificar se é o maior, se é o mdc.

Supor que exista um divisor comum c de b e r.

Então c divide b e r.

Então c divide bq + r.

Então c divide a, pois a = bq + r.

Então c divide a e b.

Mas c < d, pois existe um divisor d de a e b, que é o maior, na hipótese.

Logo o mdc(b,r) é d.

Logo mdc(a,b) = mdc(b,r) = d.

Demonstração do Algoritmo de Euclides:

Q1 Q2 Q3 . . . . Qn Qn+1

a b R1 R2 . . . . R n - 1 R n 0

R1 R2 R3 . . . . . . . 0

mdc (a,b) = mdc (b, R1) = mdc (R1, R2) = . . . = mdc (Rn – 1, Rn) = mdc( Rn, 0) = Rn .