DERET

Fungsi dan Tujuan Matematika (1) Deret Hitung (2) Deret Ukur (3) Fungsi Pangkat Satu (4, 5, 6) Fungsi Pangkat Dua (7,8) Limit (9) Diferensial Fungsi Sederhana (10, 11) Diferensial Parsial (12) Integral Tak tentu (13) Integral Tertentu (14)Matematika Ekonomi Alifatul

Muzdalifah

DeretDeret Deret ialah rangkaian bilangan yang tersusun

secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu.

Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk sebuah deret dinamakan suku.

DERET Deret ukur

Deret hitung

Deret harmoni

Matematika Ekonomi Alifatul Muzdalifah

4

DeretDeret Deret hitung (DH)

Deret hitung ialah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu.

Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung ini dinamakan pembeda, yaitu selisih antara nilai-nilai dua suku yang berurutan.

Contoh: 1) 8, 13, 18, 23, 28 (pembeda = 5) 2) 100, 90, 80, 70, 60 (pembeda = - 10) 3) 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 (pembeda = 2)


DeretDeret Suku ke-n dari deret hitung

Besarnya nilai suku tertentu (ke-n) dari sebuah deret hitung dapat dihitung melalui sebuah rumus.

a : suku pertama atau S1

b : pembeda n : indeks suku

Sebagai contoh, nilai suku ke-10 (S10) dari deret hitung 7, 12, 17, 22, 27, 32 adalah S10 = a + (n - 1)b S10 = 7 + (10 - 1)5 S10 = 7 + 45 S10 = 52.

Suku ke-10 dari deret hitung 7, 12, 17, 22, 27, 32 adalah 52.

Sn = a +(n-1)bSn = a +(n-1)b


DeretDeret Jumiah n suku deret hitung

Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu adalah jumlah nilai suku-sukunya, sejak suku pertama (S1 atau a) sampai dengan suku ke-n (Sn) yang bersangkutan.

Menghitung jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu n, terdapat empat bentuk rumus yang bisa digunakan

Jumlah deret hitung 7, 12, 17, 22, 27, 32 sampai suku ke-10 adalah

J 10 = 10/2 (7 + S10) J10 = 5 (7 + 52) J10 = 295

n

1iin SJ b1-n2a

2

nJn

nn Sa2

nJ b1-n

2

nnaJn

Jika Sn belum diketahui


DeretDeret Deret ukur (DU)

Deret ukur ialah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu.

Bilangan yang membedakan suku-suku sebuah deret ukur dinamakan pengganda, yakni merupakan hasil bagi nilai suatu suku terhadap nilai suku di depannya.

Contoh 5, 10, 20, 40, 80,160 (pengganda = 2) 512, 256, 128, 64, 32, 16 (pengganda = 0,5) 2, 8, 32, 128, 512 (pengganda = 4)


DeretDeret Suku ke-n dari DU

Rumus penghitungan suku tertentu dari sebuah deret ukur: Sn = apn-1

a : suku pertama p : pengganda n : indeks suku

Contoh Nilai suku ke 10 (S10) dari deret ukur 5, 10, 20, 40, 80,160

adalah S10 = 5 (2)10-1

S10 = 5 (512) S10 = 2560

Suku ke 10 dari deret ukur 5, 10, 20, 40, 80,160 adalah 2560


Deret Jumlah n suku deret ukur

Jumlah sebuah deret ukur sampai suku tertentu adalah jumlah nilai sukunya sejak suku pertama sampai dengan suku ke-n yang bersangkutan.

Rumus jumlah deret ukur sampai dengan suku ke-n, yakni:

Jika p <1, penggunaan rumus yang di sebelah kiri akan lebih mempermudah perhitungan. Jika p >1, menggunakan rumus yang di sebelah kanan.

Contoh: Jumlah n suku dari deret ukur 5, 10, 20, 40, 80, 160

adalah

1 -p

1)a(pJatau

p1

)pa(1J

n

n

n

n

51151

5(1023)J

1 -2

1)5(2J

10

10

10


Deret dalam Penerapan Ekonomi Model Perkembangan Usaha

Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha (produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau penanaman modal) bertambah secara konstan dari satu periode ke periode berikutnya.

Model Bunga Majemuk Model bunga majemuk merupakan penerapan deret ukur

dalam kasus simpan-pinjam dan kasus investasi. Dengan model ini dapat dihitung; misalnya, besarnya

pengembalian kredit di masa datang berdasarkan tingkat bunganya. Atau sebaliknya, untuk mengukur nilai sekarang dari suatu jumlah hasil investasi yang akan diterima di masa datang.

Model Pertumbuhan Penduduk Penerapan deret ukur yang paling konvensional di bidang

ekonomi adalah dalam hal penaksiran jumlah penduduk. Sebagaimana pernah dinyatakan oleh Malthus, penduduk dunia tumbuh mengikuti pola deret ukur.


Deret dalam Penerapan Ekonomi Model Perkembangan Usaha Contoh

Sebuah perusahaan jamu “roso" menghasilkan 3.000 bungkus jamu pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktivitas, perusahaan mampu meningkatkan produksinya sebanyak 500 bungkus setiap bulan. Jika perkembangan produksinya tetap, berapa bungkus jamu yang dihasilkannya pada bulan kelima? Berapa bungkus yang telah dihasilkan sampai dengan bulan tersebut?

Diketahui: a = 3.000 S5 = 3.000 + (5 - 1)500 = 5.000 b = 500 n = 5

Jumlah produksi pada bulan kelima adalah 5.000 bungkus, sedangkan jumlah seluruh jamu yang dihasilkan sampai dengan bulan tersebut 20.000 bungkus.

20.0005.0003.0002

5J5

Sn = a +(n-1)b nn Sa2

nJ


Deret dalam Penerapan Ekonomi

Model Bunga Majemuk Jumlah di masa datang dari suatu jumlah sekarang

adalah Fn = P(1 + i)n

P : jumlah sekarangi : tingkat bunga per tahun n : jumlah tahun

Nilai sekarang (present value) dari suatu jumlah uang tertentu di masa datang adalah:

F : jumlah di masa datangi : tingkat bunga per tahun n : jumlah tahun

F

i1

1P

n


Deret dalam Penerapan Ekonomi Model Bunga Majemuk Seorang nasabah meminjam uang di bank sebanyak Rp 5 juta

untuk jangka waktu 3 tahun, dengan tingkat bunga 2% per tahun. Berapa jumlah seluruh uang yang harus dikembalikannya pada saat pelunasan?

Dikteahui: P = 5.000.000 n = 3 i = 2% = 0,02

Penyelesaian: F = P (1 + i )n

F = 5.000.000 (1 + 0,02)3

F = 5.000.000 (1,061208) F = 5.306.040



Model Bunga Majemuk Tabungan seorang mahasiswa akan menjadi sebesar

Rp.532.400 tiga tahun yang akan datang. Jika tingkat bunga bank yang berlaku 10% per tahun, berapa tabungan mahasiswa tersebut pada saat sekarang ini?

F = 532.400 n = 3 i = 10% = 0,1

P = 400.000 Jadi besarnya tabungan sekarang adalah Rp. 400.000,00.

F

i1

1P

n

532.400

0.11

1P

3



Model Pertumbuhan Penduduk Pt = P1 R t-1

Dimana R = 1 + r

Pi : Jumlah pada tahun pertama (basis) Pt : Jumlah pada tahun ke-t r : persentase pertumbuhan per tahun t : indeks waktu (tahun)


Deret dalam Penerapan Ekonomi Model Pertumbuhan Penduduk

Penduduk suatu kota berjumlah 1 juta jiwa pada tahun 1991, tingkat per tumbuhannya 4% per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2006. Jika mulai tahun 2006 pertumbuhannya menurun menjadi 2,5%, berapa jumlahnya 11 tahun kemudian ?

Pt = P1 R t-1 Dimana: R = 1 + r P1 = 1 juta P tahun 2006 = P16 = 1 juta (1,04)15

r = 0,04 = 1 juta (1,800943) R = 1,04 = 1.800.943 jiwa

P1= 1.800.943 P 11 tahun kemudian = P11 r = 0,025 R = 1,025 P11 = 1.800.943 (1,025)10

P11 = 2.305.359 jiwa


soal Pabrik sepatu Nara Group memproduksi

240.000 pasang sepatu pada tahun ke 6 operasinya. karena tingginya persaingan produksi terus menurun secara konstan sehingga pada tahun ke 10 hanya memproduksi 180.000 pasang sepatu

Berapakah pasang sepatu penurunan produksinya ?

Pada tahun ke berapa pabrik sepatu tidak berproduksi ?

Berapa sepatu yang dihasilkan selama operasi?


soal A meminjam uang 1 juta rupiah pada B untuk

jangka waktu dua tahun dengan bunga 10% pertahun, berapakah jumlah uang yang harus dibayarkan oleh A pada saat jatuh tempo, jika pembayaran bunganya dilakukan (a) dibayarkan setuap akhir tahun? (b) pada setiap akhir semester ? (c) mana yang lebih menguntungkan, bunga dibayarkan pada setiap akhir tahun ataukah pada setiap akhir semester ?


Soal

Penduduk surabaya 2,5 juta pada tahun 2006 dan sebesar 3 juta jiwa pada tahun 2010. jika tahun 2004 sebagai tahun dasar: (a) berapa persen tingkat pertumbuhannya ? (b) berapa jumlah penduduknya pada tahun 2004? (c) berapakah jumlah pada tahun 2013 ? (d) pada tahun berapa penduduknya berjumlah 6 juta?


Anuitas:adalah pembayaran angsuran atas sejumlah pokok pinjaman yang besarnya tetap. Besaran Anuitas = pokok angsuran ditambah bunga pinjaman.

Besar Pinjaman

Nilai anuitasSisa PinjamanBunga Pokok

Angsuran

Mo Bo = i (Mo) P1 = A – iMo M1 = Mo – P1

M1 B1 = i (M1) P2 = A – iM1 M2 = M1 – P2

M2 B2 = i(M2) P3 = A – iM2 M3 = M2 – P3

Contoh:Jika Anuitas sebesar Rp 424.313,14 dan pinjaman Rp 2.000.000 akan dilunasi selama 5 kali angsuran dengan bunga 2% perbulanMatematika Ekonomi Alifatul

Muzdalifah

Besar Pinjaman

Nilai aunitasSisa PinjamanBunga Pokok

Angsuran

2.000.000,00

40.000,00 384.313,141.615.686,86

1.615.686,86

32.313,74 391.999,401.233.687,46

1.233.687.46

24.473,75 399.839,34823.848,07

823.848.07 16.476,96 407.836,18 416.011,89

416.011,89 8.320,24 415.992,96 18,991. Andi adalah seorang pengusaha batik di Madura

merencanakan meyimpan dananya ke bank x demi keamanan. Dana yang akan disimpan/ditabung sebesar Rp 200.000.000 dengan bunga tabungan yang diberikan bank adalah 1,2%. Berapakah jumlah tabungannya setelah 5 tahun?


2. Pabrik Roti “Narakami” menghasilkan 50.000 pcs roti setiap harinya. Pada hari ke-10 roti yang diproduksi berjumlah 500.000 pcs . Ditanya :

a. Berapakah tambahan produksinya per harib. Berapakah roti yang diproduksi pada hari ke 30c. Berpakah jumlah produksi selama 30 hari

3. Nakami meminjam dana di bank sebesar Rp 5 juta untuk jangka waktu 2 tahun dengan bunga 10% pertahun. Berapakah jumlah uang yang harus dibayar oleh Nakami pada saat jatuh tempo, jika pembayaran bunga dilakukan :

a. Pada setiap akhir tahunb. Pada tiap akhir semesterc. Mana yang lebih menguntungkan, bunga yang

dibayarkan setiap akhir tahun atau akhir semester?


d. Perusahaan A memulai produksinya dengan 10.000 unit barang dan berkurang 1000 unit setiap bulannya, sedangkan perusahaan B mengawali produksinya dengan 5000 unit dan meningkat 250 perbulan

a. Pada tahun berapakah produksinya akan sama jumlahnyab. Kapan perusahaan A akan memproduksi barang sebesar 0c. Berapakah unit barang yang diproduksi Perusahaan B saat produksi perusahaan A = 0

e. Damiran adalah seorang pengusaha sikat mesin produksi pabrik. Karena permintaan akan sikat meningkat, Damiran berencana meminjam dana dari sebuah bank terkenal sebesar Rp 200.000.000 dengan besarnya angsuran tetap perbulan 4.243.678 dengan suku bunga 2% perbulan

a. Hitunglah besar pokok angsuran pada bulan pertama dan besarnya bunga pada bulan pertamab. Hitunglah besarnya pokok angsuran ke 5c. Buatlah tabel angsurannya


Documents

DERET