Derivadas y aplicaciones - euler.us. renato/clases/grado-cd/beamer-calculo-T5.pdf · PDF fileDerivadas y aplicaciones Calculo Inﬁnitesimal Grado en Matematicas Renato Alvarez-Nodarse´

Derivadas y aplicaciones

Calculo InfinitesimalGrado en Matematicas

Renato Alvarez-NodarseUniversidad de Sevilla

http://euler.us.es/˜renato/clases.html

Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Derivadas y aplicaciones

Un poco de historia: derivada de una funcion

Uno de los problemas mas antiguo de la Geometrıa y por tanto dela Matematica era el problema de encontrar las rectas tangentes ynormales a una curva dada. Este problema tiene un sinfın deaplicaciones practicas:

1 Calcular el angulo entre dos curvas (Descartes)

2 Construir telescopios (Galileo)

3 Encontrar maximos y mınimos (Fermat)

4 Velocidad y aceleracion del movimientos de cuerpos (Galileo,Newton)

5 Astronomıa, movimiento de los cuerpos celestes (Kepler,Newton)



Para algunas curvas los griegos sabıan como encontrar dichastangentes. Por ejemplo, la circunferencia.

x=a

y=p x+q

y=m x+n

0

y

x

Figura: La recta y = mx + n tangente a una curva f (x) y recta normal



Para algunas curvas los griegos sabıan como encontrar dichastangentes. Por ejemplo, la circunferencia.

x=a

y=p x+q

y=m x+n

0

y

x

Figura: La recta y = mx + n tangente a una curva f (x) y recta normal

El problema es mas complicado para una curva en general.



Intentemos calcular la pendiente m de la recta tangente.

y

0

x

a a+h

y=m x+n

f(x)

f(a+h)

b

f(a)

s+hs

De la figura podemos comprobar que la pendiente toma el valor:

m =f (a)

s=

b

s + h=

b − f (a)

h.


derivada de una funcion

m =f (a)

s=

b

s + h=

b − f (a)

h

Si h es “muy” pequeno b ≈ f (a + h)

m ≈ f (a + h)− f (a)

h.

Fermat usaba la formula anterior solopara aquellas curvas donde desapa-recıa el termino h del denominador yluego sustituıa h = 0.

Por ejemplo: Sea la parabola y = x2

m ≈ (a + h)2 − a2

h= 2a + h ⇒ m = 2a.


derivada de una funcion

m =f (a)

s=

b

s + h=

b − f (a)

h

Si h es “muy” pequeno b ≈ f (a + h)

m ≈ f (a + h)− f (a)

h.

Fermat usaba la formula anterior solopara aquellas curvas donde desapa-recıa el termino h del denominador yluego sustituıa h = 0.

Por ejemplo: Sea la parabola y = x2

m ≈ (a + h)2 − a2

h= 2a + h ⇒ m = 2a.

Esto no funciona para funciones mas “complicadas”: f (x) = sin x



Otro genial matematico que considero el problema fue Barrow

y

0

x

y=m x+n

f(x)

(x,y)

(x+h,y+k)

A B

k

h

C

Barrow tenıa un metodo geometrico muy ingenioso para las curvasdefinidas por la ecuacion f (x , y) = 0.



Ejemplo: la hiperbola f (x , y) = xy − p = 0, p ∈ R.

f (x + h, y + k) = 0 = (x + h)(y + k)− p = 0 ⇒(x · y − p)︸︷︷︸

=0

+h · y + x · k + h · k = 0,

por tanto

h · y + x · k = 0 ⇒ k

h= −y

x.

Los dos metodos descritos se hace uso de “cantidadesinfinitesimales”, pero ¿que son esas cantidades infinıtesimales?



Para evitar el uso de las cantidadesinfinitesimales Newton considera quelas cantidades matematicas estan des-critas por un movimiento continuo:“Las curvas son descritas y de estaforma generadas, no por una disposi-cion de partes, sino por el continuomovimiento de puntos. ”



Para evitar el uso de las cantidadesinfinitesimales Newton considera quelas cantidades matematicas estan des-critas por un movimiento continuo:“Las curvas son descritas y de estaforma generadas, no por una disposi-cion de partes, sino por el continuomovimiento de puntos. ” Newton enDe Methodis serierum et fluxionumdefine los dos principales problemasdel calculo:



Para evitar el uso de las cantidadesinfinitesimales Newton considera quelas cantidades matematicas estan des-critas por un movimiento continuo:“Las curvas son descritas y de estaforma generadas, no por una disposi-cion de partes, sino por el continuomovimiento de puntos. ” Newton enDe Methodis serierum et fluxionumdefine los dos principales problemasdel calculo:

P1 Dada la relacion entre las cantidades fluentes (variables),encontrar la relacion de las fluxiones (derivadas),

P2 Cuando una ecuacion para las fluxiones (derivadas) decantidades es dada, determinar la relacion de las cantidades.



En De quadratura curvarum (1704) describe un metodo directopara calcular las fluxiones: Veamos como ejemplo f (x) = xn



En De quadratura curvarum (1704) describe un metodo directopara calcular las fluxiones: Veamos como ejemplo f (x) = xn

Cuando la funcion x fluyendo se convierta en x + h, la funcion xn

se convierte en (x + h)n, esto es por el metodo de series infinitas

xn + nhxn−1 +n(n − 1)

2hhxn−2 + · · · + etc.

Y el incremento h (de x) y

nhxn−1 +n(n − 1)

2hhxn−2 + · · ·+ etc.

(de xn) es uno a otro como 1 a

nxn−1 +n(n − 1)

2hxn−2 + · · ·+ etc.

Ahora dejemos que estos incrementos (h) se desvanezcan y suultima razon sera como 1 a nxn−1.



Para resolver los inconvenientes de los infinitesimales senecesitaron mas de 200 anos. ¡Se necesitaba el concepto de lımite!

f′(a) = lım

h→0

f (a + h)− f (a)

h



Para resolver los inconvenientes de los infinitesimales senecesitaron mas de 200 anos. ¡Se necesitaba el concepto de lımite!

f′(a) = lım

h→0

f (a + h)− f (a)

h

(xn)′ = lımh→0

(x + h)n − xn

h= lım

h→0nxn−1+

(n

2

)

hxn−2+· · ·+hn−1 = nxn−1



El segundo descubridor del Calculo di-ferencial fue Leibniz. La idea originalde Leibniz era considerar las curvascomo una union de infinidad de seg-mentos indivisibles de longitud infini-tesimal de forma que la prolongacionde estos segmentos daban las rectastangentes a la curva en los distintospuntos. Leibniz afirmaba: Una figuracurvilınea debe ser considerada lo mis-mo que un polıgono con un infinitonumero de lados.

Se necesitarıan otros 100 anos mas hasta que apareciera en1960-70 el Calculo no estandard de A. Robinson que es lafundamentacion solida del calculo leibniziano.



Hoy dıa usamos la notacion introducida por Leibniz para el

diferencial d f (x), la derivadad f (x)

d xy

∫

para la integral

La notacion f ′(x) para la derivada se debe a Lagrange (1797).

Mas: http://euler.us.es/~libros/calculo.html


La derivada de una funcion

Definicion

(Bolzano 1817, Cauchy, 1821) Se dice que una funcion f : A ⇒ R

es derivable en x = a si existe el lımite

lımx→a

f (x)− f (a)

x − a= lım

h→0

f (a + h)− f (a)

h.

Dicho lımite se denomina derivada de f (x) en x=a.

Geometricamente significa que la pendiente de la recta tangente ala curva y = f (x) en el punto x = a es igual a f ′(a) y por lo tantola ecuacion de la recta tangente a la curva en x = a se escribecomo

y − f (a) = f ′(a)(x − a). (1)



y

a x

t

r

s

f(x)

a+3ha+h0

Figura: Construccion de la recta tangente a una curva f (x) en x = a.



Definicion

Se dice que una funcion f : A ⇒ R es derivable por la izquierda enx = a si existe el lımite lateral

lımx→a−

f (x)− f (a)

x − a= lım

h→0−

f (a + h)− f (a)

h,

que denominaremos derivada por la izquierda en x = a. Dichaderivada la denotaremos por f ′(a−).

Teorema

Una funcion f : A ⇒ R es derivable en x = a si y solo si f (x) esderivable por la izquierda y por la derecha en x = a.

Teorema

Si f es derivable en un punto x = a, f es continua en x = a.


Reglas de derivacion

Teorema

Sean f , g : A 7→ R dos funciones derivables en A. Entonces las

funciones f (x) + g(x), f (x) · g(x) y f (x)

g(x)son derivables y

d

d x[f (x) + g(x)] =

d f (x)

d x+

d g(x)

d x,

d

d x[f (x) · g(x)] = g(x)

d f (x)

d x+ f (x)

d g(x)

d x,

d

d x

[f (x)

g(x)

]

=g(x)

d f (x)

d x− f (x)

d g(x)

d x[g(x)]2

, si g(x) 6= 0.


Propiedades de las funciones derivables

Proposicion

Sea f (x) : [a, b] 7→ R una funcion continua en [a, b] y derivable en(a, b). Entonces, si la funcion f (x) es creciente en (a, b), f ′(x) ≥ 0en todo [a, b]. Si por el contrario f (x) es decreciente en (a, b),entonces f ′(x) ≤ 0 en todo (a, b).



Proposicion


Sea f una funcion continua en [a, b] y derivable en (a, b) ysupongamos que es creciente en (a, b). Sean c < x ∈ (a, b)cualesquiera. Entonces

f (x) − f (c)

x − c> 0, ⇒ lım

x→c

f (x)− f (c)

x − c= f ′(c) ≥ 0.



Proposicion


Sea f una funcion continua en [a, b] y derivable en (a, b) ysupongamos que es creciente en (a, b). Sean c < x ∈ (a, b)cualesquiera. Entonces

f (x) − f (c)

x − c> 0, ⇒ lım

x→c

f (x)− f (c)

x − c= f ′(c) ≥ 0.

Si f es decreciente en (a, b), entonces para c < x ∈ (a, b)cualesquiera

f (x) − f (c)

x − c< 0, ⇒ lım

x→c

f (x)− f (c)

x − c= f ′(c) ≤ 0.



Definicion

Diremos que una funcion f (x) tiene un maximo local en el puntox = a si existe un entorno (a− δ, a+ δ), de x = a, t.q. f (x) ≤ f (a).Diremos que una funcion f (x) tiene un mınimo local en el puntox = a si existe un entorno (a− δ, a+ δ), de x = a, t.q. f (x) ≥ f (a).



Definicion

Diremos que una funcion f (x) tiene un maximo local en el puntox = a si existe un entorno (a− δ, a+ δ), de x = a, t.q. f (x) ≤ f (a).Diremos que una funcion f (x) tiene un mınimo local en el puntox = a si existe un entorno (a− δ, a+ δ), de x = a, t.q. f (x) ≥ f (a).

y

0 2 4 6

f(x)

x

y

4

1

−4

0

y

x1 21/2 3/2

1

−1

f (x) =

{x2 −1 ≤ x < 2−2x + 8 2 ≤ x ≤ 6

g(x) = sinπx , x ∈ [0, 2]



Teorema (Lema de Fermat)

Si una funcion tiene un extremo local en x = a y f (x) es derivableen x = a, entonces, f ′(a) = 0.

0 x

y



Teorema (Teorema de Rolle)

Sea f (x) : [a, b] ⇒ R, continua en [a, b] y derivable (a, b) tal quef (a) = f (b). Entonces, ∃c ∈ (a, b), tal que f ′(c) = 0.

x

y

0

f(a)=f(b)

a c d b

Figura: Interpretacion geometrica del Teorema de Rolle.



a b

a b

a b

a b

a b

a b

Figura: Interpretacion geometrica del Teorema de Rolle.

Cuidado g : [−1, 1] 7→ R, g(x) =3√x2



Teorema (Teorema del valor medio de Lagrange)

Sea la funcion f (x) : [a, b] ⇒ R, continua en [a, b] y derivable en(a, b). Entonces, ∃c en el interior de [a, b], c ∈ (a, b), tal que

f ′(c) =f (b)− f (a)

b − a.





f ′(c) =f (b)− f (a)

b − a.

Sea g(x) = f (x)− f (a)− f (b)−f (a)b−a

(x − a). Usemos Rolle





f ′(c) =f (b)− f (a)

b − a.

Sea g(x) = f (x)− f (a)− f (b)−f (a)b−a

(x − a). Usemos Rolle

x

y

a bdc

0

f(b)

f(a)

Figura: Interpretacion geometrica del Teorema del Valor Medio deRenato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Derivadas y aplicaciones


Corolario

Sea f (x) : [a, b] 7→ R una funcion continua en [a, b] y derivable en(a, b). Si f ′(x) > 0 (f ′(x) ≥ 0) en (a, b), entonces f es creciente(no decreciente) en (a, b) y si f ′(x) < 0 (f ′(x) ≤ 0) en (a, b),entonces f (x) es decreciente (no creciente) en todo (a, b).



Corolario


Corolario

Si f (x) es derivable en (a, b) y f ′(x) = 0 para todo x del intervalo(a, b), entonces f (x) = const. Luego una funcion continua esconstante en [a, b] si y solo si f ′(x) = 0 para todo x ∈ (a, b)



Corolario


Corolario

Si f (x) es derivable en (a, b) y f ′(x) = 0 para todo x del intervalo(a, b), entonces f (x) = const. Luego una funcion continua esconstante en [a, b] si y solo si f ′(x) = 0 para todo x ∈ (a, b)

Corolario

Si dos funciones f (x) y g(x), derivables en (a, b) tienen derivadasiguales, o sea, f ′(x) = g ′(x) para todo x del intervalo (a, b),entonces dichas funciones difieren en una constate, es decir,f (x) = g(x) + const.



Teorema (Teorema del valor medio de Cauchy)

Sean dos funciones f (x) : [a, b] 7→ R y g(x) : [a, b] 7→ R, continuasen todo el intervalo cerrado [a, b] y derivables en el intervaloabierto (a, b). Entonces, existe un c en el interior de del intervalo[a, b], c ∈ (a, b), tal que [f (b)− f (a)]g ′(c) = [g(b)− g(a)]f ′(c).



Teorema (Teorema del valor medio de Cauchy)

Sean dos funciones f (x) : [a, b] 7→ R y g(x) : [a, b] 7→ R, continuasen todo el intervalo cerrado [a, b] y derivables en el intervaloabierto (a, b). Entonces, existe un c en el interior de del intervalo[a, b], c ∈ (a, b), tal que [f (b)− f (a)]g ′(c) = [g(b)− g(a)]f ′(c).

Sea la funcion

h(x) = [f (b)− f (a)]g(x) − [g(b)− g(a)]f (x).

Usemos Rolle.



Teorema (Regla de L‘Hospital para la indeterminacion 00)

Sean dos funciones f (x) y g(x) definidas y son derivables en unentorno del punto x = a (excepto quizas en x = a) tales que

1 lımx→a

f (x) = lımx→a

g(x) = 0

2 g ′(x) 6= 0 en un entorno de x = a (excepto quizas en x = a)

3 Existe el lımite lımx→a

f ′(x)

g ′(x)

Entonces existe el lımite lımx→a

f (x)

g(x)es igual a lım

x→a

f ′(x)

g ′(x).


Calculando derivadas

Calcular las derivadas de sen x , cos x , tan x y ex .


La derivada y la diferenciabilidad de una funcion

Definicion

Diremos que f : A 7→ R es diferenciable en x = a si ∃C t.q.f (x)− f (a) = C (x − a) + o(x − a). La funcion C (x − a) sedenomina diferencial de f en x = a y se denota por d f (a).


La derivada y la diferenciabilidad de una funcion

Definicion

Diremos que f : A 7→ R es diferenciable en x = a si ∃C t.q.f (x)− f (a) = C (x − a) + o(x − a). La funcion C (x − a) sedenomina diferencial de f en x = a y se denota por d f (a).

E diferencial de f en x = a es unico

lımx→a

f (x)− f (a)

x − a= lım

x→a

(

C +o(x − a)

x − a

)

= C .

Ademas C = f ′(a). Luego si f es diferenciable, f es derivable.

Supongamos que f es derivable en x = a ⇒ ∃α(x , a) tal que

f (x) − f (a)

x − a= f ′(a) + α(x , a), lım

x→aα(x , a) = 0 ⇒

f (x)−f (a) = f ′(a)(x−a)+α(x , a)(x−a), pero α(x , a)(x−a) = o(x−a),

es decir, f es diferenciable.Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Derivadas y aplicaciones

Significado geometrico del diferencial de una funcion

Es la distancia entre f (a) y el valor y(x) de la recta tangente a fen x = a.

y

0

x

y=m x+n

f(x)

h

(a,f(a))

a x

(x,f(x))

(x,y)

(x,f(a))

f’(a)(x−a)=df(a)

Figura: El diferencial df (a) de una funcion f (x) en el punto x = a.


Reglas de derivacion: La composicion de funciones

Teorema (Regla de la cadena)

Sea f : A 7→ R y g : B 7→ R tales que f (A) ⊂ B. Definamos lafuncion compuesta de g en f , g ◦ f : A 7→ R.

Supongamos que f es derivable en x = a y que g es derivable enx = f (a). Entonces la funcion compuesta g ◦ f : A 7→ R esderivable en x = a y ademas

(g ◦ f )′(a) = g ′[f (a)]f ′(a) ≡ d g(y)

d y

∣∣∣∣∣y=f (a)

· d f (x)

d x

∣∣∣∣∣x=a

.


Reglas de derivacion: La composicion de funciones

Teorema (Regla de la cadena)

Sea f : A 7→ R y g : B 7→ R tales que f (A) ⊂ B. Definamos lafuncion compuesta de g en f , g ◦ f : A 7→ R.

Supongamos que f es derivable en x = a y que g es derivable enx = f (a). Entonces la funcion compuesta g ◦ f : A 7→ R esderivable en x = a y ademas

(g ◦ f )′(a) = g ′[f (a)]f ′(a) ≡ d g(y)

d y

∣∣∣∣∣y=f (a)

· d f (x)

d x

∣∣∣∣∣x=a

.

Ejercicio: Si f (x) tiene inversa y es derivable prueba que

d f −1(x)

d x=

1

f ′[f −1(x)].

Aplicarlo a arc cos x , arcsin x , arctan x y log x .


Reglas de derivacion: las funciones elementales

Teorema

Todas las funciones elementales son derivables en su dominio y

1 (xα)′ = α xα−1, ∀α ∈ R, x ∈ R

2 (sen x)′ = cos x , (cos x)′ = − sen x , x ∈ R

3 (tan x)′ =1

cos2 x, x ∈ R \

{π

2+ nπ

}

, n ∈ Z

4 (arc sen x)′ =1√

1− x2, (arc cos x)′ = − 1√

1− x2, x ∈ (−1, 1)

5 (arctan x)′ =1

1 + x2, (arccotg x)′ = − 1

1 + x2, x ∈ R

6 (ax)′ = ax log a, ∀a > 0, a 6= 1, x ∈ R

7 (loga x)′ =

1

x log a, x > 0, a > 0

8 (sinh x)′ = cosh x , (cosh x)′ = sinh x , x ∈ R

9 (tanh x)′ =1

cosh2 x, x ∈ R


Derivadas de orden superior



Si existe f ′(x) ∀x ∈ (a, b) podemos definir la funcion

g(x) : (a, b) 7→ R, g(x) = f ′(x).

Obviamente podemos definir la derivada de f ′(x) en x0 ∈ (a, b)

lımx→x0

f ′(x)− f ′(x0)

x − x0= lım

h→0

f ′(x0 + h)− f ′(x0)

h= f ′′(x0).

Si existe f ′′(x0) ∀x ∈ (a, b) podemos definir la tercera derivada ...



Si existe f ′(x) ∀x ∈ (a, b) podemos definir la funcion

g(x) : (a, b) 7→ R, g(x) = f ′(x).

Obviamente podemos definir la derivada de f ′(x) en x0 ∈ (a, b)

lımx→x0

f ′(x)− f ′(x0)

x − x0= lım

h→0

f ′(x0 + h)− f ′(x0)

h= f ′′(x0).

Si existe f ′′(x0) ∀x ∈ (a, b) podemos definir la tercera derivada ...

Analogamente, si existe la derivada de orden n para todo x ∈ (a, b)podemos definir la funcion n-esima derivada de f , que

denotaremos por f (n)(x) odnf (x)

d xn, i.e.,

f (n)(x0) := lımx→x0

f (n−1)(x)− f (n−1)(x0)

x − x0, ∀x0 ∈ (a, b).


Teorema de Taylor y sus aplicaciones

Las funciones “elementales” no son tan elementales como sunombre indica. Por ejemplo, calcular la exponencial o el seno de unnumero real arbitrario no es un calculo sencillo. Las unicasfunciones que son sencillas de calcular son las potencias naturalesde los numeros, es decir las funciones f (x) = xn con n natural. Portanto vamos a intentar encontrar una formula general que nospermita aproximar cualquier funcion f (x) lo bastante buenamediante polinomios.


El polinomio de Taylor

Definicion

Dada una funcion f (x) n-veces derivable en un entorno de x = a,llamaremos polinomio de Taylor de orden n de f (x), y lodenotaremos por Pn(x , a), al polinomio

Pn(x , a) = f (a)+f ′(a)(x−a)+f ′′(a)

2!(x−a)2+· · ·+ f (n)(a)

n!(x−a)n

Notese que Pn(x , a) es un polinomio de grado a lo mas n.


El polinomio de Taylor

Definicion

Dada una funcion f (x) n-veces derivable en un entorno de x = a,llamaremos polinomio de Taylor de orden n de f (x), y lodenotaremos por Pn(x , a), al polinomio

Pn(x , a) = f (a)+f ′(a)(x−a)+f ′′(a)

2!(x−a)2+· · ·+ f (n)(a)

n!(x−a)n

Notese que Pn(x , a) es un polinomio de grado a lo mas n.

Teorema (Teorema local de Taylor)

Si f (x) es n−veces derivable en un entorno de x = a y Pn(x , a) esel polinomio de Taylor de orden n de la funcion f (x), entonces

lımx→a

f (x)− Pn(x , a)

(x − a)n= 0 ⇐⇒ f (x)− Pn(x , a) = o[(x − a)n].


Aproximando funciones

Del teorema anterior tenemos que una buena aproximacion local af en x = a es el polinomio Pn(x , a):

f (x) = Pn(x , a) + o[(x − a)n ⇐⇒ f (x) ≈ Pn(x , a).



Del teorema anterior tenemos que una buena aproximacion local af en x = a es el polinomio Pn(x , a):

f (x) = Pn(x , a) + o[(x − a)n ⇐⇒ f (x) ≈ Pn(x , a).

Ejercicio: Calcular los polinomios de Taylor (McLaurin) de orden nde ex , sen x , cos x , log(1− x) y (1 + x)α, α ∈ R en x = 0.

Comenzamos por ex . Como (ex )(k) = ex para todo k ∈ N, tenemos

ex =

n∑

k=0

xn

n!+ o(xn).



• Funcion sen x : (sen x)′ = cos x , (sen x)′′ = − sen x

(sen x)(2k−1) = (−1)k+1 cos x , (sen x)(2k) = (−1)k sen x .

Luego, el polinomio de Taylor del seno no tiene potencias pares

sen x =

n∑

k=0

(−1)kx2k+1

(2k + 1)!+ o(x2n+1).

y el orden de aproximacion es o(x2n+2) y no o(x2n+1) ¿por que?



• Funcion sen x : (sen x)′ = cos x , (sen x)′′ = − sen x

(sen x)(2k−1) = (−1)k+1 cos x , (sen x)(2k) = (−1)k sen x .

Luego, el polinomio de Taylor del seno no tiene potencias pares

sen x =

n∑

k=0

(−1)kx2k+1

(2k + 1)!+ o(x2n+1).

y el orden de aproximacion es o(x2n+2) y no o(x2n+1) ¿por que?

• Para el logaritmo tenemos

[log(1+x)]′ =1

1 + x, [log(1+x)]′′ =

−1

(1 + x)2, [log(1+x)]′′′ =

2

(1 + x)3· ·

[log(1+x)](k) =(−1)k+1(k − 1)!

(1 + x)k⇒ log(1+x) =

n∑

k=0

(−1)k+1xk

k+o(xn).


Polinomios de McLaurin de las funciones elementales

Teorema

1 sen x =

n∑

k=1

(−1)k−1 x2k−1

(2k − 1)!+ o(x2n).

2 cos x =n∑

k=0

(−1)kx2k

(2k)!+ o(x2k+1).

3 (1 + x)α = 1 +n∑

k=1

(α)kk!

xk + o(xn).

4 ex =

n∑

k=0

xk

k!+ o(xn).

5 log(1 + x) =

n∑

k=1

(−1)k+1 xk

k+ o(xn).


Aplicacion al calculo de lımites

Usando los desarrollos del teorema anterior tenemos, por ejemplo,

lımx→0

x − sen x

x3= lım

x→0

x − x + x3/6 + o(x3)

x3=

1

6+ lım

x→0

o(x3)

x3=

1

6.

Otro ejemplo es

lımx→0

ex − 1− x

1− cos x= lım

x→0

1 + x + x2/2 + o(x2)− 1− x

1− (1− x2/2 + o(x2))

= lımx→0

x2/2 + o(x2)

x2/2 + o(x2)= lım

x→0

1 +o(x2)

x2

1 +o(x2)

x2

= 1.


Propiedades del polinomio de Taylor

Sea f (x) n-veces derivable en un entorno de x = a y sea

Pn(x , a) = f (a)+f ′(a)(x−a)+f ′′(a)

2!(x−a)2+· · ·+ f (n)(a)

n!(x−a)n.

Entonces Pn(a, a) = f (a).




Pn(x , a) = f (a)+f ′(a)(x−a)+f ′′(a)

2!(x−a)2+· · ·+ f (n)(a)

n!(x−a)n.


P ′

n(x , a) = f ′(a)+f ′′(a)(x−a)+f ′′′(a)

2!(x−a)2+· · ·+ f (n)(a)

(n − 1)!(x−a)n−1.




Pn(x , a) = f (a)+f ′(a)(x−a)+f ′′(a)

2!(x−a)2+· · ·+ f (n)(a)

n!(x−a)n.


P ′

n(x , a) = f ′(a)+f ′′(a)(x−a)+f ′′′(a)

2!(x−a)2+· · ·+ f (n)(a)

(n − 1)!(x−a)n−1.

Entonces P ′

n(a, a) = f ′(a).




Pn(x , a) = f (a)+f ′(a)(x−a)+f ′′(a)

2!(x−a)2+· · ·+ f (n)(a)

n!(x−a)n.


P ′

n(x , a) = f ′(a)+f ′′(a)(x−a)+f ′′′(a)

2!(x−a)2+· · ·+ f (n)(a)

(n − 1)!(x−a)n−1.

Entonces P ′

n(a, a) = f ′(a).

P ′′

n (x , a) = f ′′(a)+f ′′′(a)(x−a)+f (4)(a)

2!(x−a)2+· · ·+ f (n)(a)

(n − 2)!(x−a)n−2.




Pn(x , a) = f (a)+f ′(a)(x−a)+f ′′(a)

2!(x−a)2+· · ·+ f (n)(a)

n!(x−a)n.


P ′

n(x , a) = f ′(a)+f ′′(a)(x−a)+f ′′′(a)

2!(x−a)2+· · ·+ f (n)(a)

(n − 1)!(x−a)n−1.

Entonces P ′

n(a, a) = f ′(a).

P ′′

n (x , a) = f ′′(a)+f ′′′(a)(x−a)+f (4)(a)

2!(x−a)2+· · ·+ f (n)(a)

(n − 2)!(x−a)n−2.

Entonces P ′′

n (a, a) = f ′′(a) . . .




Pn(x , a) = f (a)+f ′(a)(x−a)+f ′′(a)

2!(x−a)2+· · ·+ f (n)(a)

n!(x−a)n.


P ′

n(x , a) = f ′(a)+f ′′(a)(x−a)+f ′′′(a)

2!(x−a)2+· · ·+ f (n)(a)

(n − 1)!(x−a)n−1.

Entonces P ′

n(a, a) = f ′(a).

P ′′

n (x , a) = f ′′(a)+f ′′′(a)(x−a)+f (4)(a)

2!(x−a)2+· · ·+ f (n)(a)

(n − 2)!(x−a)n−2.

Entonces P ′′

n (a, a) = f ′′(a) . . .

P(n)n (a, x) = f (n)(a) ⇒




Pn(x , a) = f (a)+f ′(a)(x−a)+f ′′(a)

2!(x−a)2+· · ·+ f (n)(a)

n!(x−a)n.


P ′

n(x , a) = f ′(a)+f ′′(a)(x−a)+f ′′′(a)

2!(x−a)2+· · ·+ f (n)(a)

(n − 1)!(x−a)n−1.

Entonces P ′

n(a, a) = f ′(a).

P ′′

n (x , a) = f ′′(a)+f ′′′(a)(x−a)+f (4)(a)

2!(x−a)2+· · ·+ f (n)(a)

(n − 2)!(x−a)n−2.

Entonces P ′′

n (a, a) = f ′′(a) . . .

P(n)n (a, x) = f (n)(a) ⇒ P

(n)n (a, a) = f (n)(a).




Pn(x , a) = f (a)+f ′(a)(x−a)+f ′′(a)

2!(x−a)2+· · ·+ f (n)(a)

n!(x−a)n.


P ′

n(x , a) = f ′(a)+f ′′(a)(x−a)+f ′′′(a)

2!(x−a)2+· · ·+ f (n)(a)

(n − 1)!(x−a)n−1.

Entonces P ′

n(a, a) = f ′(a).

P ′′

n (x , a) = f ′′(a)+f ′′′(a)(x−a)+f (4)(a)

2!(x−a)2+· · ·+ f (n)(a)

(n − 2)!(x−a)n−2.

Entonces P ′′

n (a, a) = f ′′(a) . . .

P(n)n (a, x) = f (n)(a) ⇒ P

(n)n (a, a) = f (n)(a).

P(k)n (a, a) = f(k)(a), k = 1, 2, . . . n


Propiedades del polinomio de Taylor.

Definicion

Dos funciones n veces derivables f y g tienen un punto detangencia de orden n en x = a si f (a) = g(a) y sus derivadasf (k)(a) = g (k)(a), para k = 1, 2, . . . n.



Definicion


El polinomio de Taylor Pn(x , a) y f (x) tienen un punto detangencia de orden n en x = a.



Definicion



Teorema

El unico polinomio Pn, degPn ≤ n que tiene un punto de tangenciade orden n en x = a con f (x) es el polinomio de Taylor Pn(x , a).



Definicion



Teorema


Sea Pn(x) = an(x − a)n + an−1(x − a)n−1 + · · · a1(x − a) + a0 ysupongamos

f (a) = Pn(a), f ′(a) = P ′

n(a), f ′′(a) = P ′′

n (a), · · · , f (n)(a) = P(n)n (a).

Como P(k)n (a) = k!ak



Definicion



Teorema


Sea Pn(x) = an(x − a)n + an−1(x − a)n−1 + · · · a1(x − a) + a0 ysupongamos

f (a) = Pn(a), f ′(a) = P ′

n(a), f ′′(a) = P ′′

n (a), · · · , f (n)(a) = P(n)n (a).

Como P(k)n (a) = k!ak ⇒ ak =

f (k)(a)

k!, k = 0, 1, 2, . . . , n.


Formula del resto

Definicion

La funcion Rn(x , a) = f (x)− Pn(x , a) se denomina resto o error dela formula de Taylor.

Teorema (Estimacion del error del Teorema de Taylor)

Sea f una funcion n−veces derivable en [a, x ] tal que f (n) escontinua en [a, x ] y derivable en (a, x) y sea

Pn(x , a) =

n∑

k=0

f (k)(a)

k!(x − a)k ,

el polinomio de Taylor de la funcion f . Sea φ una funcion continuaen [a, x ] y derivable en (a, x) con φ′ 6= 0 en (a, x). Entonces∃c ∈ (a, x) tal que

Rn(x , a) =φ(x)− φ(a)

φ′(c)n!f (n+1)(c)(x − c)n, c ∈ (a, x).


Formula del resto

Corolario: Si f (n) es continua en [a, x ] y derivable en (a, x) ⇒1 Formula del resto de Taylor en forma de Cauchy.

Rn(x , a) =f (n+1)(c)

n!(x − c)n(x − a), c ∈ (a, x).

2 Formula del resto de Taylor en forma de Lagrange.

Rn(x , a) =f (n+1)(c)

(n + 1)!(x − a)n+1, c ∈ (a, x).

3 Formula del resto de Taylor en forma de Scholomilch.

Rn(x , a) =f (n+1)(c)

n! p(x−c)n+1−p(x−a)p , c ∈ (a, x), p > 0.


Formula del resto


Rn(x , a) =f (n+1)(c)

n!(x − c)n(x − a), c ∈ (a, x).


Rn(x , a) =f (n+1)(c)

(n + 1)!(x − a)n+1, c ∈ (a, x).


Rn(x , a) =f (n+1)(c)

n! p(x−c)n+1−p(x−a)p , c ∈ (a, x), p > 0.

φ(t) = x − tRenato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Derivadas y aplicaciones

Formula del resto


Rn(x , a) =f (n+1)(c)

n!(x − c)n(x − a), c ∈ (a, x).


Rn(x , a) =f (n+1)(c)

(n + 1)!(x − a)n+1, c ∈ (a, x).


Rn(x , a) =f (n+1)(c)

n! p(x−c)n+1−p(x−a)p , c ∈ (a, x), p > 0.

φ(t) = x − t φ(t) = (x − t)n+1


Formula del resto


Rn(x , a) =f (n+1)(c)

n!(x − c)n(x − a), c ∈ (a, x).


Rn(x , a) =f (n+1)(c)

(n + 1)!(x − a)n+1, c ∈ (a, x).


Rn(x , a) =f (n+1)(c)

n! p(x−c)n+1−p(x−a)p , c ∈ (a, x), p > 0.

φ(t) = x − t φ(t) = (x − t)n+1 φ(t) = (x − t)p


Aplicaciones del Teorema de Taylor

Ejercicio: Calcula e14 utilizando el polinomio de McLaurin de

grado 3 y estima el error cometido.





Solucion:

ex ≈ 1 + x +x2

2+

x3

6,





Solucion:

ex ≈ 1 + x +x2

2+

x3

6, R3(x) =

ec

24x4, c ∈ (0, 14) ,





Solucion:

ex ≈ 1 + x +x2

2+

x3

6, R3(x) =

ec

24x4, c ∈ (0, 14) ,

e14 ≈ 493

384≈ 1,28385, |R3(x)| ≤

e14

24

1

44<

3

24× 44≈ 5× 10−4.





Solucion:

ex ≈ 1 + x +x2

2+

x3

6, R3(x) =

ec

24x4, c ∈ (0, 14) ,

e14 ≈ 493

384≈ 1,28385, |R3(x)| ≤

e14

24

1

44<

3

24× 44≈ 5× 10−4.

e14 ≈ 493

384≈ 1,28385, |R3(x)| ≤

e14

24

1

44<

1,3

24× 44≈ 2× 10−4.



¿De que orden ha de ser el polinomio de Taylor en x = 0 para queaproxime la funcion ex hasta un orden dado, digamos 10−6, en uncierto intervalo, por ejemplo [0, 1]?




Solucion: Para responder a la pregunta tenemos que usar eltermino del error (por ejemplo en forma de Lagrange)

Rn(x , 0) =ecxn+1

(n + 1)!, c ∈ (0, x).

Como estamos trabajando en el intervalo [0, 1], ec ≤ e < 3 ⇒

|Rn(x , 0)| <3

(n + 1)!




Solucion: Para responder a la pregunta tenemos que usar eltermino del error (por ejemplo en forma de Lagrange)

Rn(x , 0) =ecxn+1

(n + 1)!, c ∈ (0, x).

Como estamos trabajando en el intervalo [0, 1], ec ≤ e < 3 ⇒

|Rn(x , 0)| <3

(n + 1)!

Como para n = 8, |Rn(x , 0)| < 39! ≈ 8× 10−6 y para n = 9

tenemos |Rn(x , 0)| < 310! ≈ 8,27× 10−7, concluimos que

necesitamos un polinomio de Tayor de orden 9.


Aplicaciones del Teorema de Taylor: El numero e es irracional

Sup. que e es racional. ⇒ ∃p, q ∈ N t.q. e = p/q y, por tanto,∃N ∈ N t.q. ∀n > N, n!e ∈ N.




Sea n > 3. Entonces usando el polinomio de Taylor de ex en [0, 1]con la formula de Lagrange para el resto en x = 1 tenemos

e = 1 +1

1!+

1

2!+ · · ·+ 1

n!+

ec

(n + 1)!, 0 < c < 1.





e = 1 +1

1!+

1

2!+ · · ·+ 1

n!+

ec

(n + 1)!, 0 < c < 1.

n!e =

(

n! + n! +n!

2+ · · ·+ n!

n!

)

+ec

n + 1.





e = 1 +1

1!+

1

2!+ · · ·+ 1

n!+

ec

(n + 1)!, 0 < c < 1.

n!e =

(

n! + n! +n!

2+ · · ·+ n!

n!

)

+ec

n + 1.

Escogemos n > N entonces n!e ∈ N, y n! + n! + n!2 + · · ·+ n!

n! ∈ N,

es decir queec

n + 1∈ N.

Pero como e < 3ec

n + 1<

e

n+ 1<

3

n + 1<

3

4





e = 1 +1

1!+

1

2!+ · · ·+ 1

n!+

ec

(n + 1)!, 0 < c < 1.

n!e =

(

n! + n! +n!

2+ · · ·+ n!

n!

)

+ec

n + 1.

Escogemos n > N entonces n!e ∈ N, y n! + n! + n!2 + · · ·+ n!

n! ∈ N,

es decir queec

n + 1∈ N.

Pero como e < 3ec

n + 1<

e

n+ 1<

3

n + 1<

3

4!!!


Aplicaciones del Teorema de Taylor: Extremos locales

maximo

mınimo



maximo

mınimo

Teorema (Condicion suficiente de extremo)

Sea f continua en todo un entorno de x = a y derivable en todoun entorno de x = a excepto quiza el propio punto x = a. Si f ′(x)cambia de signo al pasar por x = a, entonces f tiene un extremolocal en x = a.



Sea f (x) =

{2x2 + x2 sen 1

x, x 6= 0

0, x = 0.Esta funcion tiene un mınimo local (de hecho global) en x = 0 pues

x2 ≤ f (x) ≤ 3x2 ⇒ f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R.

Ademas, f es derivable en todo R siendo

f ′(x) =

{4x + 2x sen 1

x− cos 1

x, x 6= 0

0, x = 0.



Sea f (x) =

{2x2 + x2 sen 1

x, x 6= 0

0, x = 0.Esta funcion tiene un mınimo local (de hecho global) en x = 0 pues

x2 ≤ f (x) ≤ 3x2 ⇒ f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R.

Ademas, f es derivable en todo R siendo si x ≈ 0

f ′(x) =

{4x + 2x sen 1

x− cos 1

x, x 6= 0

0, x = 0.



f ′(x) =

{4x + 2x sen 1

x− cos 1

x, x 6= 0

0, x = 0.

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2

f(x)

x



f ′(x) =

{4x + 2x sen 1

x− cos 1

x, x 6= 0

0, x = 0.

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1

f(x)

x



f ′(x) =

{4x + 2x sen 1

x− cos 1

x, x 6= 0

0, x = 0.

0

5e-05

0.0001

0.00015

0.0002

0.00025

0.0003

-0.01 -0.005 0 0.005 0.01

f(x)

x




Sea f (x) : A 7→ R una funcion dos veces derivable con segundaderivada continua en un entorno de x = a tal que f ′(a) = 0,entonces la funcion tendra en x = a un maximo local si f ′′(a) < 0y un mınimo local si f ′′(a) > 0.





Dos ejemplos reveladores: f (x) = x3 y f (x) = x4.





Dos ejemplos reveladores: f (x) = x3 y f (x) = x4.

Ejercicio: Calcular los extremos de las funciones:

1 f (x) = e−x2 ,

2 f (x) = 1− x25 y

3 f (x) =

{

−x23 , x ≥ 0

x2 + 2x , x < 0.



Teorema (Criterio de la (n + 1)−esima derivada)

Supongamos que la funcion f (x) es (n + 1)−veces derivable conf (n+1)(x) continua en el intervalo abierto (a − δ, a + δ) y que

f ′(a) = f ′′(a) = f ′′′(a) = · · · = f (n)(a) = 0, f (n+1)(a) 6= 0.

Entonces si n es impar la funcion f (x) tiene un extremo local en ay es maximo si f (n+1)(a) < 0 y mınimo si f (n+1)(a) > 0.





f ′(a) = f ′′(a) = f ′′′(a) = · · · = f (n)(a) = 0, f (n+1)(a) 6= 0.


Demostracion: Supondremos que f (n+1)(a) > 0. Como f (n+1) escontinua en a, entonces f (n+1) > 0 en todo un entorno de a,digamos (a, x). Entonces aplicando el teorema de Taylor-Lagrange

f (x) =

n∑

k=0

f (k)(a)

k!(x−a)k+

f (n+1)(a)

(n + 1)!(x−a)n+1, c ∈ (a, x) ⇒





f ′(a) = f ′′(a) = f ′′′(a) = · · · = f (n)(a) = 0, f (n+1)(a) 6= 0.



f (x) =

n∑

k=0

f (k)(a)

k!(x−a)k+

f (n+1)(a)

(n + 1)!(x−a)n+1, c ∈ (a, x) ⇒

f (x)− f (a) =f (n+1)(c)

(n + 1)!(x − a)n+1 > 0 ∀x ∈ Uδ(a)





f ′(a) = f ′′(a) = f ′′′(a) = · · · = f (n)(a) = 0, f (n+1)(a) 6= 0.



f (x) =

n∑

k=0

f (k)(a)

k!(x−a)k+

f (n+1)(a)

(n + 1)!(x−a)n+1, c ∈ (a, x) ⇒

f (x)− f (a) =f (n+1)(c)

(n + 1)!(x − a)n+1 > 0 ∀x ∈ Uδ(a) ⇒ MIN


Funciones convexas: Definicion geometrica

Definicion

Una funcion f (x) es estrictamente convexa hacia abajo (concava)en un intervalo (a, b) si cualquier recta secante s que corte a f enlos puntos x1 < x2, x1, x2 ∈ (a, b), esta siempre por encima delgrafico de la curva y = f (x) en el intervalo (x1, x2).

s1

s2

s3

xa b

y

f(x)


Funciones convexas: Definicion geometrica

Definicion

Una funcion f (x) es estrictamente convexa hacia abajo (concava)en un intervalo (a, b) si cualquier recta secante s que corte a f enlos puntos x1 < x2, x1, x2 ∈ (a, b), esta siempre por encima delgrafico de la curva y = f (x) en el intervalo (x1, x2).

s1

s2

s3

xa b

y

f(x)


Funciones convexas: Definicion analıtica

Sea y(x) la secante que pasa (x1, f (x1)) y (x2, f (x2))

��

��

��

��

��

��

x1x2

y = f (x1)+f (x2)− f (x1)

x2 − x1(x−x1) =

(x2 − x

x2 − x1

)

︸︷︷︸

1−t

f (x1)+

(x − x1x2 − x1

)

︸︷︷︸

t

f (x2).




��

��

��

��

��

��

x1x2

y = f (x1)+f (x2)− f (x1)

x2 − x1(x−x1) =

(x2 − x

x2 − x1

)

︸︷︷︸

1−t

f (x1)+

(x − x1x2 − x1

)

︸︷︷︸

t

f (x2).

∀x ∈ (x1, x2) ⇒ x=

(x2−x

x2−x1

)

x1+

(x−x1x2−x1

)

x2=(1−t)x1+tx2




��

��

��

��

��

��

x1x2

y = f (x1)+f (x2)− f (x1)

x2 − x1(x−x1) =

(x2 − x

x2 − x1

)

︸︷︷︸

1−t

f (x1)+

(x − x1x2 − x1

)

︸︷︷︸

t

f (x2).

∀x ∈ (x1, x2) ⇒ x=

(x2−x

x2−x1

)

x1+

(x−x1x2−x1

)

x2=(1−t)x1+tx2

Si f (x) ≤ y en (x1, x2) ⇔ f [(1−t)x1 + tx2] ≤ (1−t)f (x1) + tf (x2).



Definicion: Una funcion es convexa hacia abajo si para todo x1, x2de (a, b), y todo x tal que x1 < x < x2,

∀x1, x2 ∈ (a, b), y ∀t ∈ [0, 1], f [(1−t)x1+tx2) < (1−t)f (x1)+tf (x2),





Entonces

(x2 − x1)f (x) < (x2 − x)f (x1) + (x − x1)f (x2),





Entonces

(x2 − x1)f (x) < (x2 − x)f (x1) + (x − x1)f (x2),

(x2 − x)f (x) + (x − x1)f (x) < (x2 − x)f (x1) + (x − x1)f (x2),





Entonces

(x2 − x1)f (x) < (x2 − x)f (x1) + (x − x1)f (x2),

(x2 − x)f (x) + (x − x1)f (x) < (x2 − x)f (x1) + (x − x1)f (x2),

(x2 − x)[f (x)− f (x1)] < (x − x1)[f (x2)− f (x)],

de donde tenemos

f (x)− f (x1)

x − x1<

f (x2)− f (x)

x2 − x.


Funciones convexas

Proposicion

Para que una f (x) derivable en (a, b) sea convexa hacia abajo(concava) en (a, b) es necesario que f ′(x) no decrezca.


Funciones convexas

Proposicion


Prueba: Como f es convexa hacia abajo, ∀x1 < x < x2.

f (x)− f (x1)

x − x1<

f (x2)− f (x)

x2 − x


Funciones convexas

Proposicion


Prueba: Como f es convexa hacia abajo, ∀x1 < x < x2. Tomandoel lımite x → x1 y x → x2

f ′(x1) =f (x)− f (x1)

x − x1≤ f (x2)− f (x)

x2 − x= f ′(x2)


Funciones convexas

Proposicion


Prueba: Como f es convexa hacia abajo, ∀x1 < x < x2. Tomandoel lımite x → x1 y x → x2

f ′(x1) =f (x)− f (x1)

x − x1≤ f (x2)− f (x)

x2 − x= f ′(x2)

O sea, si x1 < x2 ⇒ f ′(x1) ≤ f ′(x2).


Funciones convexas

Teorema

Para que una f (x) derivable en (a, b) sea convexa hacia abajo(concava) en (a, b) es necesario y suficiente que f ′(x) no decrezca.Ademas si f ′(x) es estrictamente creciente en todo (a, b), entoncesf (x) es estrictamente convexa hacia abajo en (a, b).


Funciones convexas

Teorema


Prueba: Usamos TVM de Lagrange. ∃c2 ∈ (x , x2), c2 < x2 t.q.

f (x2)− f (x)

x2 − x= f ′(c2) ≤ f ′(x2) ⇒ f ′(c2) ≤ f ′(x2)

Analogamente ∃c1 ∈ (x1, x), x1 < c1, t.q.

f ′(x1) ≤ f ′(c1) =f (x)− f (x1)

x − x1⇒ ∀x1 < x < x2,

Como f es convexa hacia abajo (necesidad)

f (x)− f (x1)

x − x1<

f (x2)− f (x)

x2 − x


Funciones convexas

Teorema



f (x2)− f (x)

x2 − x= f ′(c2) ≤ f ′(x2) ⇒ f ′(c2) ≤ f ′(x2)


f ′(x1) ≤ f ′(c1) =f (x)− f (x1)

x − x1⇒ ∀x1 < x < x2,

Como f es convexa hacia abajo (necesidad)

f ′(x1) ≤ f ′(c1) =f (x)− f (x1)

x − x1<

f (x2)− f (x)

x2 − x= f ′(c2) ≤ f ′(x2)


Funciones convexas

Teorema



f (x2)− f (x)

x2 − x= f ′(c2) ≤ f ′(x2) ⇒ f ′(c2) ≤ f ′(x2)


f ′(x1) ≤ f ′(c1) =f (x)− f (x1)

x − x1⇒ ∀x1 < x < x2,

Como f ′ es creciente (suficiencia)

f ′(c1) ≤ f ′(c2)


Funciones convexas

Teorema



f (x2)− f (x)

x2 − x= f ′(c2) ≤ f ′(x2) ⇒ f ′(c2) ≤ f ′(x2)


f ′(x1) ≤ f ′(c1) =f (x)− f (x1)

x − x1⇒ ∀x1 < x < x2,

Como f ′ es creciente (suficiencia)

f (x)− f (x1)

x − x1= f ′(c1) ≤ f ′(c2) =

f (x2)− f (x)

x2 − x


Funciones convexas

Teorema


⇓


Funciones convexas

Teorema


⇓

Corolario

Para que una f (x) dos veces derivable en (a, b) sea convexa haciaabajo (concava) en (a, b) es necesario y suficiente que f ′′(x) ≥ 0.Ademas si f ′′(x) > 0 en todo (a, b), entonces f (x) esestrictamente convexa hacia abajo.


Funciones convexas: Otra definicion geometrica

Si x0 < x y f es convexa ↓, f ′ ր f ′(x0) ≤ f ′(x).




La recta tangente a f en x = x0: y(x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) ⇒

f (x) − y(x) = [f (x)− f (x0)]− f ′(x0)(x − x0).




La recta tangente a f en x = x0: y(x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) ⇒

f (x) − y(x) = [f (x)− f (x0)]− f ′(x0)(x − x0).

Por el TVM de Lagrange ∃x0 < c < x t.q.f (x)− f (x0) = f ′(c)(x − x0)

f (x)− y(x) = [f ′(c)− f ′(x0)](x − x0) ≥ 0 ⇒

Definicion: Una funcion f (x) derivable en (a, b) es convexa haciaabajo (concava) si la curva y = f (x) esta por encima de cualquierade las rectas tangentes a ella en dicho intervalo.



Definicion: Una funcion f (x) derivable en (a, b) es convexa haciaabajo (concava) si la curva y = f (x) esta por encima de cualquierade las rectas tangentes a ella en dicho intervalo.

a

y

xb

f(x)



Una funcion es convexa hacia arriba si para todo x1, x2 de (a, b), ytodo x tal que x1 < x < x2,

∀x1, x2 ∈ (a, b), y ∀t ∈ [0, 1], f [(1−t)x1+tx2) > (1−t)f (x1)+tf (x2),

o, equivalentemente,

f (x)− f (x1)

x − x1>

f (x2)− f (x)

x2 − x.

Ello indica que todo lo que hemos visto lo podemos repetir perocambiando el signo de la desigualdad.

a

y

xb

f(x)

s

s

s

1

2

3f(x)

a

y

xb

f(x)


Funciones convexas

Convexa ↑ f (x) = −x2k , convexa ↓ (concava) f (x) = x2k , k ∈ N.


Funciones convexas

Convexa ↑ f (x) = −x2k , convexa ↓ (concava) f (x) = x2k , k ∈ N.

Definicion

Diremos que un punto x = a es un punto de inflexion de la funcionf (x) si en un entorno de dicho punto la grafica de la funcion f (x)tiene diferentes direcciones de convexidad (hacia abajo y haciaarriba) a la izquierda y derecha del punto

a

y

xb

f(x)

c a

y

xb

f(x)

c


Funciones convexas

De lo anterior se sigue que los puntos de inflexion de f (x) son losextremos de f ′(x).


Funciones convexas


Teorema (Condicion necesaria de existencia de pto. de inflexion)

Si f (x) tiene un punto de inflexion en x = a, entonces o f ′′(a) = 0o f ′′(a) no existe.


Funciones convexas


Teorema (Condicion necesaria de existencia de pto. de inflexion)

Si f (x) tiene un punto de inflexion en x = a, entonces o f ′′(a) = 0o f ′′(a) no existe.


Supongamos que la funcion f (x) es (n + 1)−veces derivable en elintervalo abierto (a, b) y que para cierto c ∈ (a, b) tenemos que

f ′′(c) = f ′′′(c) = · · · = f (n)(c) = 0, f (n+1)(c) 6= 0.

Entonces si n es par la funcion f (x) tiene un punto de inflexion enc. Ademas f (x) pasa de concava a convexa si f (n+1)(c) < 0 y deconvexa a concava si f (n+1)(c) > 0.


Representacion grafica de funciones

Esquema para la representacion de la funcion y = f (x).

1 Determinar el dominio de la funcion f (x).

2 Determinar si la funcion tiene simetrıa par o impar, o si esperiodica.

3 Determinar los puntos de discontinuidad de la funcion(evitables y no evitables) ası como las asıntotas verticales,horizontales y oblicuas de la funcion.

4 Encontrar los puntos de corte con los ejes, o sea, los ceros dela funcion f (x) = 0, y el punto f (0).

5 Encontrar los extremos de la funcion y los intervalos decrecimiento y decrecimiento.

6 Encontrar los puntos de inflexion de la funcion y los intervalosde concavidad y convexidad.


Representacion grafica de funciones

Esquema para la representacion de la funcion y = f (x).

1 Determinar el dominio de la funcion f (x).

2 Determinar si la funcion tiene simetrıa par o impar, o si esperiodica.

3 Determinar los puntos de discontinuidad de la funcion(evitables y no evitables) ası como las asıntotas verticales,horizontales y oblicuas de la funcion.

4 Encontrar los puntos de corte con los ejes, o sea, los ceros dela funcion f (x) = 0, y el punto f (0).

5 Encontrar los extremos de la funcion y los intervalos decrecimiento y decrecimiento.

6 Encontrar los puntos de inflexion de la funcion y los intervalosde concavidad y convexidad.

Ejercicio: Estudiar la funcion f (x) =x2 + 1

x2 − 1.


Documents

Derivadas y aplicaciones - euler.us. renato/clases/grado-cd/beamer-calculo-T5.pdf · PDF fileDerivadas y aplicaciones Calculo Inﬁnitesimal Grado en Matematicas Renato Alvarez-Nodarse´