Ders İçerik Bilgisi - Selçuk Üniversitesi HAFTA.pdf0,8’den daha yüksek olduğunda ise sistem aşırı sönümlü ve yavaştır. Sistemin aynı anda hem maksimum aşma hem de

03.05.2017

Dr. Hakan TERZİOĞLU 1

Dr. Hakan TERZİOĞLU

Ders İçerik Bilgisi• Sistem Davranışlarının Analizi

1. Geçici durum analizi

2. Kalıcı durum analizi

• MATLAB’da örnek çözümü

Dr. Hakan TERZİOĞLU KONTROL SİSTEMLERİ 2

03.05.2017


Dr. Hakan TERZİOĞLU 3KONTROL SİSTEMLERİ


Geçici ve Kalıcı Durum Davranışları

Bir sistemin cevabı geçici ve kalıcı durum cevabının toplamından oluşur ve aşağıdaki gibi ifade edilir,

)()()( tctctc sstr

ctr : Geçici durum cevabıcss : Kalıcı durum cevabı

03.05.2017



Sistem Davranışlarının Analizi

• Geçici ve kalıcı durum cevapları, sistemlerin transfer fonksiyonları bulunduktan sonra incelenir.

• Geçici durum cevabı çözümlemesinden sistemlerin bir giriş uyarısına hangi hızla tepki gösterdikleri belirlenir.

• Cevap hızından sistemin hangi temel parametrelerine bağlı oldukları da belirlenmiş olur.

• Böylelikle uygun bir davranışa sahip olmayan otomatik kontrol sistemlerinden daha iyi bir davranış elde etmek için neler yapılabileceği ortaya çıkar.



Bir sistemin cevabı (davranış şekli) hem o sistemin Transfer

Fonksiyonuna hem de giriş fonksiyonuna bağlıdır.

Sistemin belli bir giriş sinyali karşısında kalıcı durum hatası

gösterip göstermeyeceği, sistemin açık döngü transfer

fonksiyonunun tipine bağlıdır.

Pratikte kontrol sistemlerinin girişi her zaman kolayca

formüle edilebilen bir fonksiyon olmaz.

Çoğunlukla gelişigüzel esaslı girişler kendini gösterir.

Sistemi tanımak için sistemler bazı tipik giriş fonksiyonları

ile denenir. Bu girişlere verdikleri tepkiler incelenir.

03.05.2017




Bu amaçla sistemlere uygulanan giriş fonksiyonları şunlar

olabilir;

a) Basamak fonksiyonu, r(t)=Au(t)

b) Rampa fonksiyonu, r(t)=At

c) İvme fonksiyonu, r(t)=At2/2

d) İmpuls fonksiyonu, r(t)=Aδ(t)

e) Sinüs fonksiyonu, r(t)=A sin(ωt) veya r(t)=A cos(ωt)

olarak seçilir.


Bir kontrol sistemi, sürekli ve ani olarak sabit bir referansveya bozucu girişe maruz kalıyorsa, sistemi test etmek içinbasamak fonksiyonu seçilmelidir.

Sistemin cevap verme hızını ölçmede kullanılır.

f(t)

t

1

h f(t) = h u(t)

f(t) = u(t)

Basamak fonksiyonu

f(t)

t

h f(t) = h u(t-T)

Ötelenmiş birim basamak fonksiyonuT0 0

a. Basamak fonksiyonu

03.05.2017



Eğer kontrol sistemine git gide artan bir girişuygulanacaksa, kontrol sistemi rampa girişe göre incelenmelidir.

Rampa cevabı çıkışının girişi nasıl takip ettiğini göstermesibakımından yararlıdır.

Rampa fonksiyonu sabit hızlı girişlerin pozisyonkontrolünde tercih edilir.

b. Rampa fonksiyonuf(t)

t

f(t) = A t

Rampa fonksiyonu

0

A


İvme (Parabol) fonksiyonu sabit ivmeli uygulamalardakullanılır. Bir füzenin hareketinin izlenmesi gibi.

c. İvme (parabol) fonksiyonu

f(t)

t

İvme (parabol) fonksiyonu

0

f(t) = A t2

03.05.2017



Ani darbe (şok) şeklinde bir girişe maruz kalan kontrolsistemi ise impuls giriş ile incelenmelidir.

Bu giriş fonksiyonu sistemin parametrelerini ve TransferFonksiyonunu deneysel olarak elde etme bakımından önemlidir.

d. Ani darbe (impuls) fonksiyonu


Sinüs fonksiyonu sistemlerin sürekli rejim davranışlarınınincelenmesinde kullanılmaktadır.

e. Sinüs fonksiyonu

f(t)

t

Sinüs fonksiyonu0

f(t) = sinwt

03.05.2017



Yüksek dereceli sistemlerin basamak cevabı parametreleri


1. Gecikme zamanı (Delay time) td:Sistem cevabının istenilen nihai değerin %50’sine ilk varış

zamanıdır.1 0,7 ·

2. Yükselme zamanı (Rise time) tr:Az sönümlü bir sistem için sistem cevabının 0’dan %100’e

ilk ulaşması için geçen zamandır.

1


03.05.2017



3. Zirve zamanı (Peak time) tp:Sistem cevabının maksimum aşma noktasına ulaştığı zamandır.

1

4. Yerleşme (oturma) zamanı (Settling time) ts:Sistem cevabının nihai değere %2 veya %5 tolerans bandında

ulaştığı ve yerleştiği zamandır. 4T veya 5T olarak alınabilir (T=zamansabiti).

55·



5. Maksimum aşma (Peak overshoot)Mp:

Sistem çıkışının ulaştığı maksimum değer ile kararlı durumdeğeri arasındaki farkın normalize edilmesidir.


·

03.05.2017



Eğer yukarıda sözü edilen parametreler belirlenebilirse cevapeğrisinin şekli hemen hemen saptanabilir.

Burada tanımlanan tüm özelliklerin verilen herhangi bir durumaher zaman uygulanması gerekmez. Mesela aşırı sönümlü ikinciderece sistemler ile birinci derece sistemlerde tepe zamanı vemaksimum aşma tanımları uygulanmaz.

Sistem cevaplarının yeterince hızlı, kararlı durum hatalarının daolabildiğince küçük olması istenir. O nedenle 2. derecesistemlerde sönüm oranı olarak 0,4‐0,8 arasında bir değer alınır.



0,4’ten daha küçük sönüm oranında sistem cevabı aşırı salınımlı, maksimum aşma miktarı da o kadar yüksek olur.

0,8’den daha yüksek olduğunda ise sistem aşırı sönümlü ve yavaştır.

Sistemin aynı anda hem maksimum aşma hem de oturma zamanı değerleri küçük tutulamaz.

Eğer bunlardan biri küçük tutulursa diğerinin büyük tutulması gerekir.


03.05.2017



Birinci Dereceden Sistemlerin Geçici ve Kalıcı Durum Cevabı

-+R(s) 1

sC(s)

s+11R(s) C(s)

(a) Birinci derece bir sistemin blok diyagramı (b) İndirgenmiş Blok diyagram.

Şimdi, yukarıda verilen genelleştirilmiş bir birinci derecesistemin birim basamak giriş fonksiyonuna verdiği cevapincelenecektir.

Sistem değişkenlerinin başlangıç değerleri sıfır kabuledilmiştir.


Birinci Dereceden Sistemlerin Birim‐Basamak Girişine Cevabı

Birim‐basamak fonksiyonunun Laplace dönüşümü l/s’tir. Bu durumda R(s) = 1/s

ifadesi, indirgenmiş blok diyagramındaki sistemin transfer fonksiyonunda yerine

yazılırsa ve kısmı kesirlere ayırma yöntemi ile açılımı yapılırsa;

Burada 1, olarak bulunur. Buna göre;

11

1 11⁄

Denklemin ters Laplace dönüşümü alınarak sistemin zaman cevabı bulunur:

03.05.2017




Denklemin ters Laplace dönüşümü alınarak sistemin zaman cevabı bulunur:

/-1

1( )

1

1 1( ) ( ) 1

1t

C ss s

C s c t es s

L

Elde edilen eksponansiyel çıkış fonksiyonunun farklı zaman sabitlerinde ulaştığı değerler aşağıda verilmiştir.



03.05.2017




Birinci dereceden sistemin birim basamak girişe cevabı (T = t).

Şekil 6.2’deki eksponansiyel eğrinin önemli bir özelliği de t = 0 eğiminin 1/τolmasıdır.

1 ⁄ 1


İkinci Dereceden Sistemlerin Geçici ve Kalıcı Durum Cevabı

-+R(s) C(s)

ss+2)

n2

n

İkinci mertebeden bir sistemin kapalı çevrim blok diyagramı

R(s) C(s)

s +2s

n2

n2

n2

Yandaki sistemin kapalı çevrim transfer fonksiyonu

Yukarıdaki sistem standart ikinci derece sistem olarak adlandırılır. Bazı kaynaklar bu tarz sistemlere Titreşim tipi sistemler adını da vermektedir. Standart ikinci dereceden kapalı çevrim sistemin karakteristik denklemi:

2 0

Buradan sistemin kutupları aşağıdaki gibi bulunur:

21 2, 1n n ds s j j

03.05.2017






03.05.2017



İkinci Dereceden Sistemlerin Birim‐Basamak Girişine Cevabı



03.05.2017




Örnek 1:

Aşağıda transfer fonksiyonu verilen sistemingecikme, yükselme, maksimum aşma ve yerleşmesüreleri ile maksimum aşma değerini hesaplayınız.

43 4


03.05.2017


Çözüm:

43 4 2 · · ·

4 ⟹ 2 /

2 · · 3 ⟹ 0,75

Gecikme zamanı;

1 0,7 · 1 0,7 · 0,752

0,7625


Yükselme zamanı;

0,75 0,723 (Hesap makinesi radyan modunda!)

1 2 1 0,75 1,323 /0,723

1,3231,828

Maksimum aşmaya ulaşma zamanı;

1,3232,375


03.05.2017


Yerleşme zamanı;

44·

40,75 · 2

2,667

Maksimum aşma;· , ·

, 0,028

Buna göre maksimum aşma % 2,8’dir.



Örnek 2:

03.05.2017



Çözüm:


Çözüm:

03.05.2017



Çözüm:


Çözüm:

03.05.2017



Ödev: Aşağıdaki yolu izleyerek Örnek 1 ve farklı transferfonksiyonları için birim basamak cevaplarını elde ediniz. Sönümoranı ve doğal frekans değerleri ile oynandığında eğride nasıl birdeğişim olduğunu gözlemleyiniz.

%Öncelikle transfer fonksiyonu girilir.gh=tf(1,[1,3.55,4])%Basamak cevabını belli bir t aralığında hesaplatıp bunu %y isimli bir değişkene atmak için aşağıdaki kod yazılır.t=0:0.01:15;y=step(gh,t);%Elde edilen sayısal değerleri çizdirmek için aşağıdaki %komutlar yazılmalıdır.plot(t,y)grid on%Sönüm oranı (xsi) ve doğal frekans (wn) değerleri ise %aşağıdaki gibi bulunur:[wn xsi]=damp(gh)


Bu günlük bu kadar…

Teşekkürler

Documents

Ders İçerik Bilgisi - Selçuk Üniversitesi HAFTA.pdf0,8’den daha yüksek olduğunda ise sistem aşırı sönümlü ve yavaştır. Sistemin aynı anda hem maksimum aşma hem de