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DESARROLLO DE LA COMPETENCIA DEMOCRÁTICA EN LA CLASE DE
MATEMÁTICAS
EDNA PAOLA FRESNEDA PATIÑO
SERGIO ANDRÉS SARMIENTO PULIDO
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN
ÉNFASIS EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
BOGOTÁ, D.C
2018
DESARROLLO DE LA COMPETENCIA DEMOCRÁTICA EN LA CLASE DE
MATEMÁTICAS
EDNA PAOLA FRESNEDA PATIÑO
SERGIO ANDRÉS SARMIENTO PULIDO
Trabajo de grado para optar al título de Magíster en Educación
Director
JULIO HERNANDO ROMERO REY
Magíster en docencia de la matemática
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN
ÉNFASIS EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
BOGOTÁ, D.C
2018
Para todos los efectos, declaramos que el presente trabajo es original y de nuestra total
autoría. En aquellos casos en los cuales hemos recurrido al trabajo de otros autores o
investigadores, ubicamos los respectivos créditos y referenciamos las obras consultadas.
DEDICATORIA
A mi mami, a mi abuelita y a mis hermanas,
por apoyar cada uno de mis pasos e incentivarme
con su amor, su compañía y sus palabras
a no desfallecer ante los obstáculos.
A mi papi y a mi abuelito,
quienes desde el cielo son mi mayor inspiración
para hacer de mis sueños una hermosa realidad.
A mis padres, quienes con su amor incondicional,
su ejemplo, tenacidad y esfuerzo
me han enseñado a luchar por mis ideales,
porque con su apoyo fue más fácil
sobreponerme a las dificultades que se dieron en el camino.
AGRADECIMIENTOS
A Dios, por permitirnos transitar juntos en el desarrollo de este proyecto y por
llenarnos de paciencia, fortaleza y sabiduría para recorrer este camino lleno de
innumerables aprendizajes que nos motivan a ser mejores educadores.
A nuestro director, el profesor Julio Hernando Romero Rey, por guiarnos en esta
travesía, que estuvo llena de incertidumbres, desafíos y oportunidades, porque sin sus
cuestionamientos, aportes y reflexiones no hubiésemos logrado este propósito.
Al grupo de investigación Didáctica de la Matemática, y en especial al profesor
Francisco Javier Camelo Bustos, por brindarnos sus aportes y orientaciones y por
alentarnos a lograr cosas que parecían imposibles.
A los estudiantes del curso 803 de la Institución Educativa Departamental Ricardo
Hinestrosa Daza, quienes se convirtieron en los principales protagonistas de esta
experiencia y nos dieron esperanzas de cambio desde nuestra labor como educadores
matemáticos.
Al profesor Ole Skovsmose, de quien tomamos los principales referentes que
sustentan nuestra investigación y quien generosamente leyó nuestro escrito y realizó
apreciaciones y sugerencias al mismo.
A las profesoras Daniela Alves y Jussuara de Loiola Araújo quienes, sin importar las
fronteras, nos mostraron su disposición y generosidad para realizar apreciaciones a nuestra
investigación.
A la Universidad Distrital Francisco José de Caldas, nuestra alma máter; al cuerpo
docente y, en especial, al profesor Rodolfo Vergel, de quien tanto hemos aprendido en
nuestra formación como educadores matemáticos.
A nuestros compañeros y compañeras, con quienes recorrimos este proceso de
formación en la Maestría y de quienes tuvimos la oportunidad de aprender en nuestro
quehacer.
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN FICHA RAE N° 1
1. Información General
Tipo de documento
Trabajo de grado de maestría en investigación
Acceso al documento
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Centro de documentación sede posgrados
Número Topográfico
Título del documento
El desarrollo de la competencia democrática en la clase de matemáticas.
Autor(es)
Fresneda Patiño, Edna Paola Sarmiento Pulido Sergio Andrés
Director
Julio Hernando Romero Rey
Publicación
Bogotá, Universidad Distrital Francisco José de Caldas, 2018, 138 p.
Unidad Patrocinante
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Palabras clave
Competencia democrática, alfabetización matemática, conocimiento reflexivo, escenarios de aprendizaje, clase de matemáticas, educación matemática crítica.
2. Descripción El trabajo de grado de maestría de investigación que aquí se narra surge de la exploración del
desarrollo de la competencia democrática en la clase de matemáticas de los estudiantes del curso
803 de la Institución Educativa Departamental Ricardo Hinestrosa Daza, sustentados en un
enfoque sociopolítico de la educación matemática (Skovsmose y Valero 2012; Gutiérrez, 2013;
Valero, Andrade y Montecino, 2015). Al concluir que en el ambiente habitual de la clase de
matemáticas no existen las condiciones propicias para el desarrollo de la competencia democrática
(Skovsmose, 1999), se encuentra en el montaje de escenarios educativos de aprendizaje
(Skovsmose, 2012; García, Valero y Camelo, 2013) una herramienta que posibilita cambios en la
cultura de clase. Para posibilitar este espacio se reconoce el cuidado de sí: uso de las motos como
una situación social del contexto de los estudiantes que convoca los intereses de la mayoría de
ellos. A partir de esta situación se da lugar al desarrollo de tres escenas que permiten notar la
evolución del desarrollo de la competencia democrática entendida como un proceso que tiene lugar
en la clase de matemáticas al estudiar una situación social propia del contexto.
3. Fuentes
El documento cuenta con 35 referencias —5 libros, 7 capítulos de libro, 13 artículos de revista
científica, 4 presentaciones en eventos académicos, 3 trabajos de grado de maestría y doctorado, 2
documentos oficiales y una página web—, dentro de las cuales se destacan como fundamentales las
siguientes:
Alrø, H., Skovsmose, O. y Valero, P. (2006). Researching Multicultural Mathematics Classroom
through the Lens of Landscapes of Learning. Nordic Studies in Mathematics Education,
13(2), 329-336.
García, G.; Valero, P. y Camelo, F. (2013). Escenarios y ambientes educativos de aprendizaje de
las matemáticas. Constitución de subjetividades en educación matemática elemental. En G.
García, P. Valero, C. Salazar, G. Mancera, F. Camelo, J. Romero. (Eds.). Procesos de
Inclusión/Exclusión. Subjetividades en Educación Matemática (pp. 43-76). Bogotá: Fondo
Editorial Universidad Pedagógica Nacional.
Kvale, S. (1996). InterViews. An Introduction to Qualitative Research Interviewing. Thousand
Oaks, CA: Sage.
Skovsmose, (1997). Competencia democrática y conocimiento reflexivo en matemáticas. Revista
EMA, 2(3), 191-216.
Skovsmose, O. (1998). Linking Mathematics Education and Democracy: Citizenship,
Mathematical Archaelogy, Mathemacy and Deliberative Interaction. Zentralblat für
Didaktik der Mathematik, 98(6), 195-203.
Skovsmose, O. (1999). Hacia una filosofía de la educación matemática crítica. Bogotá: Uniandes.
Skovsmose, O. (2012). Escenarios de investigación. En P. Valero y O. Skovsmose. (Eds.).
Educación matemática crítica. Una visión sociopolítica del aprendizaje y la enseñanza de
las matemáticas (pp. 109-130). Bogotá: Uniandes.
Skovsmose, O. y Borba, M. (2004). Research Methodology and Critical Mathematics Education.
En P. Valero y R. Zevenbergen. (Eds.). Researching the Socio-Political Dimensions of
Mathematics Education (pp. 207-226). United States: Springer.
Skovsmose, O. y Valero, P. (2012). Rompimiento de la neutralidad política: El compromiso crítico
de la educación matemática con la democracia. En P. Valero y O. Skovsmose (Eds.).
Educación matemática crítica. Una visión sociopolítica del aprendizaje y la enseñanza de
las matemáticas (pp. 1-23). Bogotá: Uniandes.
Valero, P. (2002). Consideraciones sobre el contexto y la educación matemática para la
democracia. Quadrante, 11(1).
Vithal, R. (2004) Methodological Challenges for Mathematics Education Research from a Critical
Perspective. En Valero, P. y Zevenbergen, R. (Eds.). Researching the Socio-political
Dimensions of Mathematics Education: Issues of Power in Theory and Methodology (pp.
227-248). Kluwer academic publishers.
4. Contenidos Este documento está constituido por seis apartados. En el primer apartado, denominado
“Negociando intenciones” se muestra la intencionalidad de cada uno de los investigadores y la
manera como se fueron tejiendo sus intereses para establecer una problemática común de
investigación. En el segundo apartado, titulado “Explorando la competencia democrática en la
clase de matemáticas” se estudia el ambiente de clase de los estudiantes desde dos situaciones
diferentes, clase habitual y uso del piercing, llegando a reconocer que no hay condiciones mínimas
que posibiliten el desarrollo de la competencia democrática. En el tercer apartado, “Definiendo las
bases teóricas y metodológicas de la investigación” se presenta un panorama en relación a los
referentes que sustentan nuestra investigación situados en un enfoque sociopolítico de la educación
matemática. En el cuarto apartado, “Constituyendo el montaje el escenario de aprendizaje” se
describe el trabajo realizado por los estudiantes durante el desarrollo de la investigación frente al
cuidado de sí: uso de las motos que dio lugar a tres grandes escenas que permiten mostrar la
evolución el proceso. En el apartado cinco, “Construyendo, analizando y negociando datos” se
presentan once episodios que han sido seleccionados de las tres escenas que constituyen el montaje
del escenario y que permiten ver la evolución del desarrollo de la competencia democrática en la
clase de matemáticas. Finalmente, en el apartado seis, “Concluyendo y reflexionando” se ponen en
discusión aquellos elementos que permiten caracterizar el desarrollo de la competencia
democrática en la clase de matemáticas, reconociendo que es un proceso evolutivo que encuentra
asidero en el estudio de una situación social del contexto que convoque los intereses e intenciones
de los estudiantes.
5. Metodología Para desarrollar la investigación se adoptó el enfoque metodológico que es orientado por la
Investigación Crítica, entendida desde un enfoque dinámico que está en constante revisión y que se
relaciona con las preocupaciones de la educación matemática crítica. Desde este enfoque, se
pretende investigar, como lo menciona Skovsmose (2015) “lo que no es, pero podría ser”, es
decir, la investigación de las posibilidades; buscando cambios tanto en la realidad observada como
en la metodología usada. Aquí, se reconocen tres situaciones: actual, imaginada y dispuesta y tres
procesos que las vinculan: imaginación pedagógica, organización práctica y razonamiento crítico;
posibilitando una metodología dinámica y transformadora. Se reconoce la cooperación y la
negociación como elementos fundamentales en el desarrollo de la investigación, de acuerdo al rol
activo que desempeñan los participantes. En este proceso se hace uso de instrumentos de
recolección de información como: notas de campo, videograbaciones, grabaciones de audio,
transcripción de episodios y producciones de los estudiantes.
6. Conclusiones
De acuerdo al desarrollo de la investigación es posible concluir que el desarrollo de la competencia
democrática caracterizado por elementos como la alfabetización matemática, el conocimiento
reflexivo, las condiciones para la democracia: formales, materiales, éticas, de participación y
reacción, y las características de la democracia: colectividad, deliberación, transformación y
coflexión, es un proceso evolutivo que se logra a partir del montaje de un escenario de aprendizaje
que tome como punto focal el estudio de una situación social relevante para los estudiantes. Esta
evolución se identificó a partir del estudio de las tres escenas que constituyeron el montaje del
escenario en relación al estudio del cuidado de si: uso de las motos, donde fue posible evidenciar la
apropiación que fueron ganando los estudiantes frente a su asunto de interés en relación no sólo a
los elementos matemáticos que allí emergían sino además al tipo de reflexiones que hacían frente
al cuidado de si y de los demás.
Elaborado por: Fresneda Patiño Edna Paola Sarmiento Pulido Sergio Andrés
Revisado por: Julio Hernando Romero Rey
Fecha de elaboración del resumen 10 08 2018
TABLA DE CONTENIDO
RESUMEN EJECUTIVO ................................................................................................ 1
PREÁMBULO ................................................................................................................. 3
NEGOCIANDO INTENCIONES .................................................................................... 7
EXPLORANDO LA COMPETENCIA DEMOCRÁTICA EN LA CLASE DE MATEMÁTICAS ........................................................................................................... 15
Episodio 1: La clase de matemáticas desde la mirada de una estudiante ................. 18
Episodio 2: La clase de matemáticas desde la mirada del profesor ......................... 19
Episodio 3: Clase prototípica de matemáticas .......................................................... 22
Episodio 4: Discusión sobre el uso del piercing ....................................................... 25
Definiendo la intencionalidad de la investigación de forma preliminar................... 29
Pregunta orientadora................................................................................................ 29
Objetivo general ...................................................................................................... 29
Objetivos específicos ............................................................................................... 29
DEFINIENDO LAS BASES TEÓRICAS Y METODOLÓGICAS DE LA INVESTIGACIÓN ......................................................................................................... 30
Contextualizando la investigación desde fundamentos teóricos .............................. 30
Tesis de la resonancia intrínseca ............................................................................. 36
Tesis de la disonancia intrínseca ............................................................................. 37
Tesis de la relación crítica ....................................................................................... 38
Contextualizando la investigación desde fundamentos metodológicos ................... 39
Situación actual ....................................................................................................... 41
Situación imaginada ................................................................................................ 41
Situación acordada .................................................................................................. 42
Imaginación pedagógica .......................................................................................... 42
Organización práctica .............................................................................................. 43
Razonamiento crítico ............................................................................................... 43
Técnicas e instrumentos para la recolección de información ................................... 47
CONSTITUYENDO EL MONTAJE DEL ESCENARIO DE APRENDIZAJE........... 53
El escenario de aprendizaje desde elementos teóricos ............................................. 53
El escenario de aprendizaje desde elementos prácticos ........................................... 56
Escena I: Contextualizando y discutiendo el uso de las motos desde los aportes de la clase ..................................................................................................................... 57
Escena II: Trabajando en grupo sobre el asunto particular elegido para el desarrollo de la investigación ................................................................................................... 62
Escena III: Socializando los avances del proceso de investigación de los estudiantes ............................................................................................................... 65
Versión final de la intencionalidad de esta investigación ........................................ 67
Pregunta orientadora................................................................................................ 67
Objetivo general ...................................................................................................... 68
Objetivos específicos ............................................................................................... 68
CONSTRUYENDO, ANALIZANDO Y NEGOCIANDO DATOS ............................. 69
Categorías de análisis para la revisión de los episodios ........................................... 69
Seleccionando, construyendo y analizando episodios .............................................. 73
Escena I: Contextualizando y discutiendo el uso de las motos desde los aportes de la clase ..................................................................................................................... 74
Escena II: Trabajando en grupo sobre el asunto particular elegido para el desarrollo de la investigación ................................................................................................... 81
Escena III: Socializando los avances del proceso de investigación de los estudiantes ............................................................................................................... 90
Negociando datos con la entre-vista ....................................................................... 107
CONCLUYENDO Y REFLEXIONANDO ................................................................. 114
REFERENCIAS ........................................................................................................... 120
ANEXOS ...................................................................................................................... 124
Anexo 1. Comunicación escrita de consentimiento informado de la participación de los estudiantes en la investigación ........................................................................... 124
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 1. Factores que inciden en los accidentes de tránsito. ........................................................ 59 Tabla 2. Posibles preguntas para excavar las matemáticas. ......................................................... 61
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1. Red conceptual en relación con la competencia democrática. ..................................... 34
Figura 2. Situaciones y procesos que tienen lugar en la investigación crítica ............................. 44
Figura 3. Trabajo matemático desde equipos distintos ................................................................ 89 Figura 4. Proceso de tabulación y generalización ........................................................................ 92 Figura 5. Gráfica en Geogebra para validar los datos obtenidos ................................................. 92
Figura 6. Conversión de unidades de medida .............................................................................. 95 Figura 7. Regla de tres para determinar la distancia de reacción ................................................ 96
Figura 8. Generalización con los datos del modelo ................................................................... 100 Figura 9. Ejemplo de aplicación de los datos del modelo. ........................................................ 101 Figura 10. Solución de dudas sobre la aplicación del modelo ................................................... 101
1
RESUMEN EJECUTIVO
El proyecto de investigación que aquí se narra surge de la exploración del desarrollo de la
competencia democrática en la clase de matemáticas de los estudiantes del curso 803 de la
Institución Educativa Departamental Ricardo Hinestrosa Daza, sustentados en un enfoque
sociopolítico de la educación matemática (Skovsmose y Valero 2012; Gutiérrez, 2013; Valero,
Andrade y Montecino, 2015). Al concluir que en el ambiente habitual de la clase de matemáticas
no existen las condiciones propicias para el desarrollo de la competencia democrática
(Skovsmose, 1999), se encuentra en el montaje de escenarios educativos de aprendizaje
(Skovsmose, 2012; García, Valero y Camelo, 2013) una herramienta que posibilita cambios en la
cultura de clase.
Para caracterizar el desarrollo de la competencia democrática se hace uso de la relación
entre el conocimiento reflexivo, la alfabetización matemática, las condiciones para la democracia
(Skovsmose, 1997) y las características de la democracia (Skovsmose y Valero, 2012). A su vez,
el desarrollo metodológico de la investigación se centra en el modelo de la investigación crítica
(Vithal, 2000 y 2004; Skovsmose y Borba, 2004; Skovsmose, 2015), que busca investigar “lo
que no es, pero podría ser” a través de la consideración de las situaciones actual, imaginada y
acordada, las cuales se vinculan a través de los procesos de imaginación pedagógica,
organización práctica y razonamiento crítico.
Tales situaciones y procesos toman lugar en el montaje de un escenario de aprendizaje
que se estructura en tres grandes escenas, en las cuales se lleva a cabo el proceso de recolección
de información mediante el uso de videograbaciones de clase, notas de campo y producciones de
los estudiantes. Esta información, que se organiza en once episodios, se constituye en la fuente
principal para la construcción de los datos que son objeto de análisis y que permiten dar cuenta
del desarrollo de la competencia democrática en la clase de 803. Estos datos se negocian a través
de la entre-vista (Kvale, 1996), especialmente en relación con el desarrollo del conocimiento
reflexivo y el cambio de la cultura de clase como elementos constitutivos del desarrollo de la
competencia democrática.
Por último, se ponen en discusión los distintos elementos que forman parte constitutiva
del desarrollo de la competencia democrática y que han sido identificados con la puesta en
marcha de esta investigación. Se presenta una reflexión acerca de la evolución en el desarrollo de
2
la competencia democrática, la cual se entiende como un proceso que encuentra su asidero en el
montaje de un escenario educativo de aprendizaje a partir del estudio del cuidado de sí en el uso
de las motos, y que se asume como una situación social del contexto que convoca los intereses e
intenciones de la mayoría de los estudiantes de la clase de matemáticas del curso 803.
3
PREÁMBULO
Hace más o menos cuatro años que, en el quehacer y los pensamientos de Sergio y Paola
—autores de este trabajo, que son docentes de matemáticas y trabajan de manera directa e
indirecta con estudiantes de básica y media—, empezó a rondar la idea acerca de la forma en que
sería posible contribuir a la formación de competencias ciudadanas en los estudiantes desde el
aula de clase de matemáticas, en tanto que consideraban, desde esta época, a la escuela como uno
de los lugares en que los individuos pueden formar sus capacidades y habilidades básicas para
actuar de manera responsable en la sociedad. Si bien no había claridad sobre cómo llevar a cabo
esta idea, era una motivación y un asunto que interpelaba permanentemente su devenir como
docentes, cuyo principal propósito había sido —y continúa siendo— incidir en la transformación
de la vida de sus estudiantes y sus perspectivas de futuro.
La idea de que en la situación actual de los colombianos —caracterizada porque la
desigualdad social es el común denominador— se requiere que los ciudadanos ejerciten una
conciencia crítica y reflexiva que posibilite la toma de decisiones, lleva a reconocer la función
transformadora de la escuela y el papel fundamental de los docentes en esta tarea. A su vez, esta
idea rondaba con más fuerza los pensamientos de Sergio y Paola, con lo que se daba sentido a la
posibilidad de investigar sobre estos asuntos desde la educación matemática. Por ello, pese a que
no había claridad sobre la forma en que podían iniciar y a que los acompañaba la incertidumbre
sobre lo que podrían encontrar, decidieron aventurarse en un proceso de investigación al que
eran totalmente ajenos y del que solo habían escuchado algunas ideas con las que sus
pensamientos encontraban resonancia.
Paola y Sergio siempre estuvieron convencidos de que los docentes están llamados a
generar la reflexión e impulsar a sus estudiantes a empoderarse, en tanto que reconocen que ellos
son la semilla que hay que cultivar y regar para que florezcan cambios y la posibilidad de un
futuro más justo, solidario y humano en nuestro país. Sin duda, ahí está la clave. Es un hecho que
la escuela y la educación, como un derecho de todos, deben proporcionar a los niños y jóvenes
colombianos herramientas que les permitan empoderarse y generar posibilidades de reflexión y
transformación de la realidad social, política, cultural y económica, que a su vez propendan por
la garantía de los derechos de los colombianos y por una calidad de vida digna y equitativa para
todos.
4
La preocupación por la formación ciudadana de los estudiantes desde la clase de
matemáticas se convirtió en un asunto de interés permanente en el quehacer pedagógico de Paola
y Sergio. Ellos tenían la certeza de que las matemáticas escolares cumplían un papel importante
en dicho asunto, aunque no supieran con exactitud cuál. Fue así como decidieron iniciar esta
aventura académica y tomar una perspectiva en educación matemática de carácter sociopolítico
que, si bien llamaba su atención y se relacionaba con sus intereses de investigación, también les
generaba dudas y un poco de temor, relacionadas con la complejidad e incertidumbre propias de
su talante.
Al aproximarse desde una lectura inicial, Paola y Sergio reconocieron en la Educación
Matemática Crítica —EMC— un enfoque que les permitía estudiar el desarrollo de la formación
ciudadana. Sin embargo, les era necesario delimitar el campo de estudio. Por esta razón,
decidieron centrar su investigación en el desarrollo de la competencia democrática (Skovsmose,
1997) de los estudiantes del curso 803 de la Institución Educativa Departamental Ricardo
Hinestrosa Daza, ubicado en el municipio de la Vega, Cundinamarca. Sergio ya conocía a este
grupo, ya que durante dos años consecutivos había sido su director de curso, además de su
profesor de matemáticas. Por tal razón, para el desarrollo de la investigación, Paola desempeña
un rol de investigadora, mientras que Sergio es investigador y además el profesor de
matemáticas.
Los estudiantes del curso 803 se convirtieron en los principales protagonistas de este
transitar incierto que Paola y Sergio decidieron emprender, actuar y sentir en la clase de
matemáticas, lo que les posibilitaría caracterizar el desarrollo de la competencia democrática.
Para hacerlo, les fue necesario realizar el montaje de un escenario educativo de aprendizaje
relacionado con el cuidado de sí en el uso de las motos, con el cual la dinámica de clase
cambiaba tanto para los estudiantes como para Paola y Sergio, como docentes e investigadores.
Esto les generaba un profundo grado de incertidumbre y temor, a la vez que emoción y
expectativa, pues no sabían con certeza lo qué encontrarían en este recorrido.
No obstante, los estudiantes del curso 803 no son los únicos protagonistas, pues también
cobran importancia aquellas personas que, de una u otra manera, se vincularon con el montaje
del escenario, como padres de familia, docentes de otras áreas, amigos, etc. Además, Paola y
Sergio estuvieron acompañados y orientados por el profesor Julio Romero, quien tenía afinidad
con sus intenciones y les guiaría en el proceso de estudio, consolidación y desarrollo de su
5
propuesta de investigación. Él les presentó —en un sentido metafórico— autores e
investigadores del enfoque sociopolítico de la educación matemática como Ole Skovsmose y
Paola Valero, quienes desde sus documentos —basados en proyectos de investigación con un
amplio bagaje teórico e investigativo— les darían las herramientas para abordar y caracterizar el
desarrollo de la competencia democrática.
Es un hecho que en este proceso de investigación confluyen muchas intenciones e
intereses que dan lugar al montaje de un escenario educativo de aprendizaje (Skovsmose, 2012;
García, Valero y Camelo, 2013) que emerge del estudio de una situación social relacionada con
el uso de las motos, mediado por procesos de cooperación, deliberación y negociación. Para
caracterizar el desarrollo de la competencia democrática se identificó su relación con la
alfabetización matemática y el desarrollo del conocimiento reflexivo (Skovsmose, 1997 y 1999),
las características de la democracia (Valero, 1999, citado por Skovsmose y Valero, 2012) y las
condiciones para la democracia (Skovsmose, 1999). Estos elementos se constituyeron en las
categorías que se usarían para analizar la información recolectada a partir del uso de diversas
técnicas e instrumentos.
En este orden de ideas, es importante resaltar que esta propuesta de investigación se
fundamenta en un enfoque sociopolítico de la educación matemática (Skovsmose y Valero,
2012; Gutiérrez, 2013; Valero, Andrade y Montecino, 2015) y, frente a los elementos
metodológicos, se sitúa en el modelo de la investigación crítica, que se basa en la investigación
de las posibilidades y en los cambios que se dan en el aula de clase (Vithal, 2000 y 2004;
Skovsmose y Borba, 2004; Skovsmose, 2015). Estos elementos, que validan la intencionalidad
de la investigación, están presentes a lo largo del recorrido que Paola y Sergio han decidido
emprender, y se usan constantemente para dar vida a la narración de este escrito, a fin de mostrar
la forma en que las interacciones de los sujetos presentan reflexiones acerca de la manera en que
las matemáticas los empoderan para propiciar la transformación social.
Para relatar lo sucedido en el transcurso de esta experiencia se presentan seis apartados,
que corresponden a los grandes momentos del proceso de investigación. En ellos se muestran
episodios (Barbosa, 2006; Barbosa y Santos, 2007) que, en este caso particular, se constituyen a
través de las interacciones comunicativas que se dan entre estudiantes y entre estos y el profesor
en relación con el desarrollo del conocimiento reflexivo frente al uso de las motos. Con estos
fragmentos de realidad espacio-temporal que tienen lugar en el recorrido de la investigación, se
6
pretende visibilizar a los participantes con toda su carga de subjetividad, de forma que se muestre
un lado más humano y real en la investigación en educación matemática.
Para efectos de la lectura del presente documento, es importante aclarar que los sucesos
se relatan en el mismo orden en que se desarrolló el proceso de investigación; por tanto, se
espera hacer notorios los avances logrados tanto en la construcción teórica y metodológica como
en la definición de la intencionalidad del proyecto de investigación. Así, se encontrarán
versiones diferentes de los objetivos de la investigación, que responden a los avances, la toma de
decisiones y el trascurrir de la investigación. Además, se observará que existen elementos que se
toman de manera inicial y que, posteriormente, se desarrollan en los apartados correspondientes,
con el propósito de no saturar de información al lector.
Sin más preámbulos, se empieza a relatar el tránsito de Paola y Sergio en este proyecto de
investigación que, sin duda, ha sido muy enriquecedor en su formación como docentes y en su
iniciación en la investigación en educación matemática. Se deja que sean los hechos concretos
los que dibujen los altos y bajos, los desafíos, los obstáculos, la incertidumbre, las oportunidades
y los aprendizajes que tuvieron lugar en el desarrollo de su investigación, que dejó de ser solo un
anhelo para convertirse en una esperanzadora realidad en su sentir como educadores
matemáticos.
7
NEGOCIANDO INTENCIONES
He aprendido a no intentar convencer a nadie. El trabajo de convencer es una falta de respeto, es
un intento de colonización del otro.
José Saramago
Para Sergio y Paola, emprender el desarrollo de este proyecto de investigación no fue una
tarea fácil, y de hecho se dio hace mucho tiempo cuando, al terminar sus estudios de pregrado,
empezaron a escuchar sobre un enfoque reciente en educación matemática que vinculaba
elementos de carácter social y político, lo que constituía una novedad en tanto que los enfoques
de sus trabajos de grado se alejaban de esta perspectiva teórica y de investigación.
Específicamente, habían tenido la oportunidad de escuchar sobre Paola Valero, reconocida
autora e investigadora colombiana para quien la manera de concebir y de practicar la enseñanza
y el aprendizaje de las matemáticas generaba nuevos retos para los educadores colombianos,
debido al acelerado avance de nuestras sociedades (Valero, 2006).
Inicialmente, visualizaron la Educación Matemática Crítica —EMC— como una práctica
sociopolítica que trascendía la mera transmisión de conocimientos y en la que el proceso de
aprendizaje se entendía como una interacción entre sujetos —no cognitivos—, objetos
matemáticos y el contexto en el que estos tienen lugar. En palabras de Valero (2006), es
importante reconocer que las matemáticas escolares aportan a la formación del estudiante como
ciudadano crítico en tanto que trascienden de lo individual a lo colectivo, con lo que le
proporcionan valores como la racionalidad, la objetividad, la participación en debates y la
precisión en la toma de decisiones, además de que le dan la posibilidad de actuar dentro de un
mundo que valora estas cualidades.
Sin duda, esta idea les generó “ruido”, sobre todo cuando el ejercicio de su profesión les
llevaba a sentir que, de alguna manera, las matemáticas, la didáctica y la pedagogía que habían
estudiado en la universidad se alejaban mucho de la realidad social que se vivía al interior de las
aulas de clase. Notaban que aquel espacio social que era el aula de clase representaba, como la
describe Skovsmose (1999), una micro sociedad en la que existen múltiples diferencias entre
aquellos que la conforman y en la que la diversidad no se centra solamente en el género, la
religión, la raza o los ritmos de aprendizaje, sino que allí confluyen otros factores relacionados
8
con la desigualdad social, la pobreza, el desplazamiento forzoso, la diversidad familiar, entre
otras, que no se pueden ignorar en la clase de matemáticas.
Aquello generaba un reto para Sergio y Paola en tanto educadores matemáticos, además
de muchos cuestionamientos. No obstante, más que dar respuesta a las disposiciones educativas
del Estado, sentían desde sus intenciones una responsabilidad social y un compromiso con su
deber ser como educadores, que los llevaba a tener la esperanza de contribuir a la educación del
país pues, de acuerdo con el MEN (2006),
[...] La educación matemática debe responder a las demandas relacionadas con la educación
para todos, la atención a la diversidad, a la interculturalidad y la formación de ciudadanos con
las competencias necesarias para el ejercicio de sus deberes y derechos democráticos, para
desempeñarse de forma activa y crítica en su vida social y política, teniendo la capacidad de
interpretar información para tomar decisiones frente a situaciones de su entorno (p. 46).
En el caso de Paola, el inicio de su quehacer profesional posterior a la terminación de sus
estudios de pregrado consistió en la asesoría pedagógica a docentes de matemáticas de colegios
públicos y privados que decidían implementar con los estudiantes propuestas didácticas y
pedagógicas cuyo propósito era potenciar el desarrollo del pensamiento matemático de manera
lúdica y divertida. Si bien no interactuaba con los niños, y su función estaba relacionada con el
diseño de propuestas didácticas, desarrollo de talleres sobre contenidos matemáticos, pruebas
saber, uso de materiales didácticos, aplicación de olimpiadas matemáticas, entre otras, siempre
hubo en ella un cuestionamiento acerca de la forma en que aportaba a la transformación de la
sociedad desde su profesión como docente.
De hecho, su principal preocupación era generar interés en los niños por aprender
matemáticas, de forma que sintieran motivación y no les resultaran aburridas, pues para nadie es
un secreto que es una vivencia común en la escuela que las matemáticas generen temor y
desinterés para algunos estudiantes. Al respecto, tienen eco las palabras de Valero (2006) que
resaltan que
[...] La mayoría de los estudiantes son completamente ajenos y distantes a lo que los
educadores tratan de hacer con ellos en el aula porque la frustración y la falta de participación
interesada en aprender matemáticas no sólo no “atrapa” a los estudiantes sino que, sobre todo,
está lejos de contribuir a la equidad social, al establecimiento de conexiones con la vida diaria
y a la democratización de las relaciones sociales en nuestro país (p. 2).
9
Sin embargo, aunque desde su labor Paola intentaba “atrapar” a los estudiantes y generar
gusto por el aprendizaje de las matemáticas, pronto se daría cuenta de que su propósito estaba
muy lejos de lo que ella en verdad deseaba, en concordancia con su vocación y función social en
la escuela. Luego de trabajar por un tiempo prolongado en las mismas funciones —lejos de la
escuela y de compartir con los estudiantes—, empezó a cuestionarse acerca de qué tan satisfecha
se sentía con la labor que desempeñaba. Por eso, en cuando tuvo la oportunidad, se presentó al
concurso docente de méritos, a través del cual fue nombrada como docente en básica primaria,
cargo al que aspiró debido a que siempre tuvo claro que quería trabajar estos niños para lograr
enamorarlos de las matemáticas, pues consideraba que aún no estarían tan predispuestos hacia
ellas y, por tanto, le sería posible generar cambios en cuanto a su actuar en el mundo.
Este suceso se dio a la par con el proceso de admisión de la Maestría en Educación que
ofrece la Universidad Distrital Francisco José de Caldas. En tanto que ahora era docente
vinculada al Estado, tendría la oportunidad de aportar a la transformación social desde la escuela.
A su vez, y en tanto que reconocía el alto grado de desigualdad social que se encuentra en el
país, notaba que el “ruido” que había dejado la perspectiva de la educación matemática en
relación con elementos sociales y políticos dejaba de ser un ideal para convertirse en un nuevo
proyecto a realizar. Así, y de acuerdo con lo que había reconocido con anterioridad, comenzó a
rastrear el trabajo de Paola Valero, y en este camino se encontró con otros autores y con distintos
documentos que se constituyeron en elementos fundamentales en el proceso de investigación que
estaba por emprender.
En concordancia con sus pocos acercamientos a la teoría, encaminó su propuesta de
investigación en la búsqueda, análisis y reflexión de competencias o habilidades democráticas
desde la clase de matemáticas, con el propósito de propiciar un cambio en la visión social y
política que tenían los estudiantes de las situaciones que estaban involucradas en su cotidianidad.
Intentó basar su propuesta en una de las premisas fundamentales de la escuela, relacionada con
que aquello que se aprende en el aula debe ser útil al estudiante para que este pueda actuar de
manera informada y responsable en otros momentos y contextos de su vida, fuera del ámbito
educativo (Valero, 2006).
Ella consideraba que poner en marcha su investigación sería más difícil en la estructura
habitual de la clase de matemáticas, en la que el docente tiene el conocimiento y el estudiante
espera la explicación para luego usar el procedimiento explicado en ejercicios prácticos. Su
10
intuición la llevaba a buscar algo diferente y, en lo poco que había leído, encontró algo que
podría ser una herramienta para alcanzar su cometido: el montaje de escenarios educativos de
aprendizaje que posibilitan ver la relación que tienen las matemáticas con la construcción social
del estudiante como sujeto activo y crítico en la constitución de una sociedad participativa y
transformadora (Sánchez y Torres, 2009). Por eso, aunque no sabía mucho del tema, encontraba
en él una alternativa para la realización de su investigación. Con el transcurrir del tiempo, se
daría cuenta de si estaba caminando en la dirección correcta; sin embargo, en ese extenso mar de
información aún había muchos elementos teóricos y metodológicos que debía aclarar.
Sus ideales e intereses se encontraban un poco con los de Sergio, con quien hablaba
mucho sobre la realidad de la escuela, razón por la que habían decidido iniciar los estudios de
Maestría y transitar juntos por ese nuevo sendero, desconocido para ambos. Sin embargo, el
camino transitado por Sergio luego de terminar la Licenciatura fue distinto al de Paola. Él
empezó a ejercer como docente de aula con estudiantes de secundaria, pues sentía que trabajar
con los niños de primaria era más difícil. Sus experiencias iniciales como docente fueron en
colegios privados, en los que no solamente notó las dificultades sino también los retos que
encontraría en su labor. Esto lo motivó para continuar su proceso de formación, puesto que
reconocía que aún le hacía falta mucho por aprender y que algunos elementos irían apareciendo
en el camino.
Una de las grandes dificultades que encontró hacía referencia al hecho de que las clases
de matemáticas se desarrollaban de forma esquemática y, en su mayoría, buscaban desarrollar
contenidos, por lo que los docentes debían realizar seminarios y diplomados relacionados con
pedagogía conceptual —construcción de mentefactos— y, a partir de ellos, debían esquematizar
las clases. Además, se le daba mucha importancia a la realización de simulacros que preparaban
a los estudiantes para la presentación de pruebas externas que de manera arbitraria miden los
resultados obtenidos y deslegitiman la verdadera función de la escuela, pues intentan medir a
todos los estudiantes con los mismos parámetros, aun cuando es de conocimiento común que la
educación del país es muy heterogénea en términos de condiciones sociales, políticas, culturales,
de ubicación, de uso de recursos, etc. Sergio sentía que era necesario promover en los estudiantes
la discusión, la reflexión y la crítica, de forma que se generaran en ellos competencias útiles y
que los empoderaran para transformar su contexto. Sin embargo, esto no sería posible al llevar a
cabo la clase de matemáticas de la manera en que se hacía, pues se le daba prioridad al desarrollo
11
de contenidos de acuerdo con la solicitud de las directivas de la institución. Por el momento, el
aporte a la formación ciudadana de los estudiantes se tardaría un poco, y esto le preocupaba.
Posteriormente, se le presentó la oportunidad de trabajar en una institución educativa
comprometida con un movimiento de educación popular integral y de promoción social llevada a
cabo en nuestro país, que enmarca su quehacer en los valores de justicia, libertad, participación,
fraternidad, respeto a la diversidad y solidaridad. En ella se buscan seres humanos que sumen
(…) sus conocimientos, experiencias, competencias y convicciones a la apuesta humanizadora
que tiene como propósito intervenir educativamente en la sociedad desde el lugar de los
excluidos y marginados para ampliar sus capacidades y lograr que niñas, niños, jóvenes,
mujeres y hombres, sean protagonistas de la transformación social que necesita Colombia
(Fundación Fe y Alegría, s.f.).
Sin duda, este era un panorama totalmente diferente al que Sergio encontró en su anterior
colegio, en el que descubrió la importancia que tienen los estudiantes como seres humanos con
necesidades, deseos, intenciones, problemas, miedos y sueños; es decir, en palabras de Valero
(2006), como sujetos de carne y hueso. Esto implicó un proceso de reconocimiento de la parte
humana de los estudiantes, de su subjetividad y de sus características propias de ser, actuar, hacer
y sentir en el mundo, en tanto elementos que no pueden dejarse de lado.
Debido al carácter social que tenía esta institución, era posible brindar otras posibilidades
en la formación de los estudiantes, pero esto aún no era totalmente visible en la clase de
matemáticas, así que Sergio continúo cuestionándose acerca de la necesidad de ampliar su
mirada y su quehacer como docente, puesto que para él no bastaba con enseñar matemáticas si
estas no tenían un sentido para sus estudiantes, cuyas condiciones de vida —así como las de sus
familias— no eran fáciles debido a las características sociales, económicas y políticas propias de
su contexto inmediato. Sus continuos cuestionamientos pronto encontraron una posible
respuesta, o al menos un nuevo sendero por el cual transitarlos.
Con la motivación de Paola y su insistencia en lo importante que era participar en eventos
académicos, y con un poco de temor, Sergio y Paola presentaron en el 15° Encuentro
Colombiano de Matemática Educativa —ECME— una experiencia de aula titulada: Resolución
de problemas: Estrategia de aula para el desarrollo de operaciones con expresiones
algebraicas. Aunque ellos no trabajaban en el mismo colegio, su deseo por crecer
profesionalmente y por conocer las experiencias educativas de otros los motivó a presentar esta
12
ponencia. Sin imaginarlo, Sergio encontraría resonancia a los cuestionamientos que venía
haciéndose desde su labor como profesor de matemáticas en este evento, que pretendía contribuir
a la reflexión crítica sobre lo que significa e implica la formación de ciudadanos
matemáticamente competentes, y en el que se buscaba que la comunidad de educadores
matemáticos discutiera y esclareciera ideas para orientar la actividad matemática del aula en la
búsqueda del desarrollo de tales competencias.
Una de las invitadas internacionales más importantes en la programación del 15° ECME,
y que por supuesto llamó la atención de Sergio, fue Paola Valero, quien participó no solo en una
de las conferencias plenarias sino que también dirigió un curso en el que se develó un discurso
relacionado con su destacada producción intelectual en la línea de la EMC frente a las relaciones
sociales y políticas que tienen lugar en la clase de matemáticas. A partir de la participación en
estos espacios académicos de discusión, y al escuchar de la voz de la autora esas ideas que él
desconocía, Sergio se preguntó ¿cómo la política puede verse reflejada en su clase de
matemáticas? y ¿de qué manera él podría propiciar esos cambios en la formación de ciudadanos
matemáticamente competentes con sus estudiantes? Aunque cada vez surgían más interrogantes,
se sentía interesado por esta novedosa perspectiva teórica, que veía con otros ojos la clase de
matemáticas; al parecer, había encontrado un indicio del camino que sería posible recorrer, un
camino afín a sus intenciones.
Con el transcurrir del tiempo, las charlas de Paola y Sergio con respecto a sus
experiencias diarias en su labor como docentes empezaron a estar impregnadas por los
comentarios de Paola Valero, y tomaban más fuerza en la medida en que notaban que aquello
que hacían en la escuela estaba alejado de sus intereses e intenciones de cambio y transformación
en la vida de los estudiantes. Así, poco después de que Sergio ingresó a trabajar con el Estado,
decidió que era tiempo de emprender un nuevo viaje académico —el de iniciar sus estudios de
maestría—, en el que tendría claro que su investigación estaría orientada hacia la forma en que
era posible propender por la formación de ciudadanos críticos y reflexivos frente a las diferentes
problemáticas del país desde la clase de matemáticas. Por supuesto, él reconocía que este
propósito de investigación era muy general, pero allí era donde estaban centradas
fundamentalmente sus intenciones.
Si bien Paola y Sergio transitaron por caminos diferentes durante un tiempo de su labor
como docentes, coincidieron en la preocupación e interés por investigar cómo desde la clase de
13
matemáticas era posible promover la formación ciudadana de los estudiantes, así como trabajar
en el desarrollo de habilidades y competencias que les permitieran tener una mayor participación
en procesos sociales y políticos, a partir de las dinámicas que se daban en el aula. En este punto
reconocieron que generar estas dinámicas no solo implicaba concebir las matemáticas y la
educación matemática de forma diferente, sino además reconocer que al interior de las aulas se
dan relaciones de poder entre el profesor y los estudiantes, y que estos actores tienen igual
capacidad de decisión, aunque visiones distintas del mundo (Sánchez y Torres, 2009).
Investigar sobre la formación ciudadana desde la clase de matemáticas implicaba un
campo muy amplio, y difícilmente podrían dar cuenta de ese propósito. Por esta razón, era
necesario que Paola y Sergio acotaran el panorama de la investigación y definieran el rumbo del
camino que estaba por iniciar. Aquí intervinieron las intenciones del profesor Julio Romero,
quien fue el encargado de centrar las ideas y orientar el proceso de investigación que estaban por
emprender juntos. Cuando él conoció las propuestas de investigación que presentaron Paola y
Sergio, encontró un discurso con mucho espíritu de transformación desde la escuela y con ideas
sobre el enfoque de la EMC, que eran muy dispersas pero que tenían el claro propósito de aportar
a la formación ciudadana de los estudiantes desde las matemáticas.
El profesor Julio logró reconocer puntos de confluencia en las propuestas de ambos
estudiantes y, en su primer encuentro, intentó junto con ellos aclarar muchas de las ideas
expuestas en los documentos presentados, en los que se hacía referencia a ideas como:
competencia democrática, competencias ciudadanas, habilidades democráticas, valores
democráticos, formación ciudadana, sujetos críticos y reflexivos, entre otros. De alguna manera,
todos estos términos e ideas se relacionaban con el elemento “democracia”, por lo que centraron
la atención sobre él en el desarrollo de la investigación. En consecuencia, les fue necesario hacer
una búsqueda de información por diferentes autores reconocidos dentro del enfoque, de tal forma
que pudieran ampliar el panorama y establecer una red conceptual, construida en torno a la
democracia y que evidenciara las relaciones con otros conceptos propios de la EMC.
Esta labor también generó un reto para el profesor Julio, puesto que no tenía suficiente
experiencia con el trabajo de investigación relacionado con la democracia, así que en este
recorrido aprendieron juntos. La primera tarea consistió en hacer una revisión cronológica de
algunos documentos del enfoque de la EMC, en los que se hiciera alusión a la democracia, con el
fin de construir la red conceptual —ver Figura 1—, que sería el mapa que los guiaría en el
14
desarrollo de la investigación. Sin embargo, para desarrollar este proyecto era necesario definir
el medio que permitiría ponerlo en marcha. Fue en este punto que los escenarios de aprendizaje
tomaron su lugar en esta travesía, pues posibilitan la organización del trabajo en el aula y
propenden por el cambio de la cultura de clase, en tanto que permiten trabajar a partir de una
situación que moviliza —en lo posible— las intenciones de la mayoría de los estudiantes y está
relacionada con su contexto inmediato.
Las intenciones del profesor Julio se veían gratamente reflejadas, puesto que él hace parte
del grupo de investigación Didáctica de la Matemática y, en los últimos años, había trabajado de
manera constante en el montaje de escenarios de aprendizaje con poblaciones diversas en el país
y en la investigación de diferentes problemáticas sociales en las que las matemáticas tenían su
lugar. Para este momento, ya se tenía claridad sobre algunos elementos fundamentales en la
investigación, que se centraría en el estudio de la democracia —o del desarrollo de la
competencia democrática (Skovsmose, 1997) — a partir del montaje de un escenario educativo
de aprendizaje (Skovsmose 2012; García, Valero y Camelo, 2013). Aquí, se conjugaron las
intenciones de Paola, Sergio y Julio frente al desarrollo del proyecto que ya habían decidido
emprender y en el cual ya no había marcha atrás. Solo persistía un problema: era necesario
caracterizar la democracia o el desarrollo de la competencia democrática, así como definir una
situación social que desencadenara el montaje del escenario educativo de aprendizaje. Ese sería
el siguiente paso.
15
EXPLORANDO LA COMPETENCIA DEMOCRÁTICA EN LA CLASE D E MATEMÁTICAS
“Si ustedes los jóvenes no asumen la dirección de su propio país, nadie va a venir a salvárselo,
¡NADIE!”
Jaime Garzón
De acuerdo con la negociación de intenciones entre Paola, Sergio y Julio, se decidió
llevar a cabo el proyecto de investigación en torno al desarrollo de la competencia democrática
(Skovsmose, 1999) en la clase de matemáticas. Sin embargo, se debe reconocer que desde la
perspectiva teórica en la que se situaron no existe una definición clara y concisa acerca de qué es
la competencia democrática, y tampoco es su intención encontrarla o proponerla. Por ello, lo que
se intenta hacer en esta primera parte es caracterizar y explorar la competencia democrática
desde los elementos que se encuentran en el enfoque teórico de la EMC y en la práctica, a partir
del trabajo realizado con los estudiantes del curso 803, quienes son parte constitutiva de esta
experiencia.
En consecuencia, antes de explorar la competencia democrática como tal, es importante
hacer referencia a los estudiantes del curso 803 de la Institución Educativa Departamental
Ricardo Hinestrosa Daza del municipio de la Vega, Cundinamarca, que son los principales
participantes. Durante los dos años que Sergio ha sido director de este grupo, ha tenido la
oportunidad de conocer a los estudiantes y de identificar algunas de sus debilidades, fortalezas y
problemas, tanto en el colegio como en sus hogares, lo que le ha permitido identificar diferentes
características tanto de los estudiantes como del ambiente familiar y escolar.
El hecho de que Sergio conociera a los integrantes del curso y que ellos —en su
mayoría— hubieran estado juntos desde que iniciaron sus estudios de primaria incidió en gran
medida para que el desarrollo de la investigación se diera con este grupo. Esto quería decir que
los estudiantes se conocían y reconocían muy bien entre ellos debido al recorrido compartido, lo
que influiría en que hubieran consolidado buenos equipos de trabajo y, a la vez, que se
reconocieran algunas diferencias. A su vez, Sergio había logrado su conocimiento del grupo por
el tiempo que había compartido con los estudiantes, con quienes había desarrollado una relación
muy cercana, desde la confianza y la camaradería.
16
En la clase de matemáticas se evidenciaban grupos de estudiantes muy interesados en su
desempeño y apropiados de su rol como estudiantes, a la vez que se identificaban otros
estudiantes que, debido a situaciones familiares y del contexto, o al poco gusto por la clase,
obtenían bajos resultados. Usualmente había un par de equipos que lideraba las actividades que,
de acuerdo con lo programado por la institución, debían realizar como grupo, y esto en ocasiones
generaba molestia en el resto de la clase, por lo que se hacía necesario posibilitar oportunidades
de participación a otros estudiantes. Así, al considerar estos elementos que constituían el
contexto de la clase —en relación con el protagonismo, las dificultades habituales de
convivencia y el carácter subjetivo de cada uno de los estudiantes frente a las situaciones
sociales, políticas y culturales que tenían lugar en el aula—, además de que ya había una relación
previamente establecida entre Sergio y los estudiantes —por lo que se tendría un espacio ganado
con ellos para el desarrollo del proyecto—, se decidió explorar el desarrollo de la competencia
democrática con los estudiantes del curso 803.
Debido a que desde el enfoque sociopolítico de la educación (Skovsmose y Valero, 2012;
Valero, Andrade y Montencino, 2015) no se considera como participantes de los procesos de
investigación solamente a los docentes-investigadores y a los estudiantes, sino también a todos
aquellos que participan en las prácticas que tienen lugar en el desarrollo del proyecto —como los
padres de familia, docentes de otras áreas, directivos docentes, entre otros—, se informó —de
manera previa al desarrollo de la investigación— a los estudiantes, padres de familia, directivas y
docentes de la institución acerca del proyecto que se pretendía realizar, tanto de manera oral
como escrita. De hecho, se solicitó autorización escrita para trabajar con los estudiantes del curso
803 —ver formato en Anexo 1—, tanto a las directivas del colegio como a los padres de familia.
A través de este proceso de información se logró que todos los actores se mostraran muy
motivados e interesados por participar y aportar al desarrollo de la investigación.
Con toda la carga emocional y de expectativas que tenían Sergio y Paola por la aventura
que estaban por iniciar desde la clase de matemáticas, y aún sin tener claridad acerca de si los
estudiantes la compartían —aunque se evidenciaba interés por las conversaciones que Sergio
tenía con ellos—, se propuso la tarea de explorar la participación de los estudiantes en la clase de
matemáticas, con el fin de establecer elementos iniciales relacionados con la competencia
democrática. Para hacer esta exploración, se partió por reconocer que, de acuerdo con lo
propuesto por Skovsmose (1999), la democracia debe abrir el espacio para una ciudadanía crítica
17
en tanto que, en el proceso de enseñanza-aprendizaje, ofrezca oportunidades a los estudiantes
para participar en los procesos de democratización de la sociedad; es decir, la democracia no se
reduce a la elección del gobierno de turno, sino que implica procesos de participación y reacción
frente a las situaciones que aquejan a la comunidad.
Es importante reconocer que la democracia se refiere tanto a las condiciones formales
como a las éticas y materiales, así como a las posibilidades de participar y reaccionar
(Skovsmose, 1997, p11), de forma que se puede destruir si no se le da vida al desarrollo de la
ciudadanía crítica. Además, explorar estos elementos permitiría hacer inferencias en relación con
el modelo de la investigación crítica (Vithal 2000 y 2004; Skovsmose y Borba, 2004;
Skovsmose, 2015), desde el que se investiga “lo que no es, pero podría ser” —es decir, desde el
que se consideran las posibilidades—. Justamente, para proponer una situación imaginada a
través del proceso de imaginación pedagógica, y para que se logren cambios en la realidad
observada con el desarrollo del proyecto, se hace necesario identificar la situación actual de la
investigación.
Con estos elementos teóricos y metodológicos a la vista, resulta fundamental conocer
cómo era el ambiente usual de la clase de matemáticas y si allí era posible observar condiciones
para el desarrollo de la competencia democrática (Skovsmose, 1999), para lo que sería necesario
identificar rasgos de la cultura de clase en relación con la participación de los estudiantes, el tipo
de discusión, las temáticas abordadas, etc., de forma que se pudiera reconocer la situación actual
de la investigación (Skovsmose y Borba, 2004), entendida como aquello con lo que se encuentra
el investigador en el aula al iniciar el proceso. Para mostrar elementos de esta caracterización, se
resalta un fragmento tomado de una conversación con una estudiante del curso 803 —ver
Transcripción 1—, quien indica su percepción acerca de cómo es la clase de matemáticas, dentro
de la que resalta el quehacer del docente, de los estudiantes y de las matemáticas mismas en este
espacio.
En adelante, se hace alusión al término episodio para hacer referencia a las declaraciones
entre estudiantes y entre ellos y el profesor en las que se hace uso del conocimiento reflexivo, las
cuales pueden tener o no elementos de carácter matemático en relación con el cuidado de sí. Vale
la pena anotar que esta definición de episodio surge a partir de la idea de espacios de interacción
propuesta por Barbosa (2007) en relación con la modelación matemática.
18
Episodio 1: La clase de matemáticas desde la mirada de una estudiante
Con la idea de reconocer cómo es la clase usual de matemáticas, Sergio puso en discusión
este interrogante en una de las conversaciones que en ocasiones sostenía con los estudiantes. En
respuesta, una estudiante manifestó la siguiente declaración, tomada de una de las grabaciones de
audio:
[...] La clase de matemáticas es amena, bien explicada, muy cotidiana, normal, lo de siempre, como una clase más y ya. Es chévere porque el profe explica el tema, hacemos ejercicios y pues si uno no entiende, pregunta y ya. Me gusta la clase porque el profe siempre tiene el control, él explica muy bien y todos le entendemos, además tenemos claro cómo califica y nos gusta el tema de los sellos1. Siempre llegamos a clase, nos organizamos en nuestro puesto y el profe nos explica el tema y nos propone ejercicios, talleres o tareas para realizar, y así ganamos un sello. Para las notas sabemos que el profe califica el cuaderno con los sellos, la participación, los talleres o tareas, las pruebas bimestrales y de ahí sale la nota final [...]. Transcripción 1. Descripción de la clase habitual de matemáticas hecha por una estudiante
En la declaración de la estudiante se evidencia que ella se sentía a gusto con la forma
como se desarrollaba la clase de matemáticas y con la metodología usada por el profesor. Sin
embargo, también se puede observar que en la clase no se generaban espacios de discusión ni de
reflexión, y que la participación de los estudiantes se reducía a seguir las instrucciones e
indicaciones dadas y a preguntar cuando alguna temática no había quedado suficientemente
clara. Al parecer, existía aceptación en los estudiantes hacia este tipo de trabajo porque había
sido la manera en que se había desarrollado la clase desde sus años anteriores y ya se había
logrado establecer una rutina con respecto a su quehacer y actuar en la clase.
En suma a las declaraciones de la estudiante, se presenta el auto análisis que hizo Sergio
como profesor de matemáticas, quien reconoció que en su clase tenía un estilo muy específico,
con unas pautas disciplinarias que no tenían lugar a discusión, las cuales se establecían desde el
inicio del año escolar, por lo que hacían parte fundamental del desempeño de los estudiantes en
la clase de matemáticas. Esto implicaba que era necesario generar cambios en su quehacer en
relación con la metodología de clase, de manera que se generara mayor participación de los
estudiantes y se usaran las matemáticas como herramientas que permitieran tomar posición sobre
las situaciones sociales en las que estaban inmersos los estudiantes. Sin duda, estos cambios
1 El uso del sello es una estrategia usada por el docente para regular, verificar y motivar la participación de los estudiantes en la clase de matemáticas.
19
generaban incertidumbre y expectativa, a la vez que se reconocían como elementos que se
encontraban enmarcados en la situación imaginada acerca de los procesos desarrollados por los
investigadores.
Episodio 2: La clase de matemáticas desde la mirada del profesor
En el Fragmento 1 —tomado de las notas de campo— está la voz de Sergio, quien
describía cómo era su clase de matemáticas en ese momento, además de que reconocía algunas
generalidades de su quehacer y de lo que esperaba de los estudiantes.
[...] La clase de matemáticas se desarrolla de forma tradicional, los estudiantes como asistentes a la clase se disponen en filas para escuchar la clase, generalmente se hace la presentación de un concepto y/o algoritmo acompañado de una explicación y algunos ejemplos. Posteriormente, los estudiantes deben usar estos elementos para desarrollar ejercicios o problemas de aplicación. La forma de evaluar este proceso se da mediante talleres con ejercicios y problemas, eventualmente se hacen quices y evaluaciones; además, se tiene en cuenta la parte actitudinal, que depende de diferentes elementos comportamentales como: porte del uniforme, puntualidad, orden, respeto por la palabra, trabajo en clase, y el no uso de aparatos electrónicos u otros elementos que vayan en contra de las normas del Manual de Convivencia [...]. Fragmento 1. Descripción de la clase habitual de matemáticas hecha por el profesor
Al acudir a las voces de Sergio y de una de sus estudiantes para caracterizar la clase usual
de matemáticas, es posible notar que desde la posición de los protagonistas se siente comodidad
y que no se ven elementos negativos, pues todos están acostumbrados a este tipo de metodología
en la clase. En el caso de los estudiantes, han sido formados desde sus primeros años de
escolaridad bajo un enfoque con unas características predominantes en las que el profesor tiene
el control y el conocimiento, y ellos están allí para seguir instrucciones, aplicar lo aprendido en
ejercicios y preguntar cuando no entienden el procedimiento que se ha explicado. Desde el punto
de vista de la labor del profesor, esta podría situarse en lo que Skovsmose (2012) denomina el
paradigma de ejercicio —que hace parte de la educación matemática tradicional—, en el que el
profesor presenta algunas técnicas e ideas matemáticas, para que los estudiantes trabajen
posteriormente en ejercicios seleccionados por él.
Esta es la configuración que se pudo observar en la clase de matemáticas desde la voz del
docente y de uno de los estudiantes. Sin embargo, es posible reconocer que allí había poca
posibilidad de discusión —y menos frente a asuntos de carácter social—, pues la clase estaba
orientada hacia el desarrollo de conceptos matemáticos específicos.
20
Es un hecho que estos elementos no eran suficientes para describir el contexto inmediato
de los estudiantes —es decir, la situación actual de la investigación—, pues era necesario
encontrar indicios mucho más contundentes. Por tal razón, se llevó a cabo una exploración que
involucró a todos los participantes en el curso 803, que tomó como referencia una clase usual de
matemáticas, lo que permitiría explorar las condiciones que incidían en el desarrollo de la
competencia democrática. No obstante, es importante sentar algunas bases teóricas en relación
con los elementos que caracterizan la competencia democrática desde el enfoque de la EMC
antes de presentar tal exploración.
La educación matemática desde un enfoque sociopolítico es asumida por los
investigadores como una práctica social con dimensiones constitutivas en las relaciones de poder
entre los participantes en las prácticas y en los discursos que surgen en ellas (Valero, 2012). La
idea de poder que se desea plantear permite “considerarlo una característica de las relaciones
sociales, en la cual personas se posicionan en situaciones diferentes mediante el uso de varios
recursos de poder” (Valero, 2012; p. 209). Al entender la necesaria relación entre poder y
democracia, entonces se debe entender la democracia como una “manera de vivir”, una acción
política abierta, llevada a cabo por la gente en “la entremezcla compleja de relaciones y procesos
locales, nacionales, regionales y globales” (Held, 1995; citado por Skovsmose y Valero, 2012, p.
13).
De lo anterior se deriva la relación no trivial entre la educación matemática y la
democracia. No obstante, y para los efectos de este estudio, es necesario centrarse
particularmente en un asunto esencial de dicha relación: la competencia democrática. Para
abordar el desarrollo de esta competencia es importante cuestionar la idea de que la democracia
está solamente conectada a organizaciones formales, lo cual se evidencia en expresiones como la
“escuela es democrática” o el “salón de clase es democrático”, pues tales expresiones retratan la
creencia de que la democracia es externa a la gente, puesto que no reside en las relaciones
cotidianas entre las personas que la constituyen (Skovsmose y Valero, 2012). Vale la pena
aclarar que no existe una jerarquía de complejidad entre los conceptos de democracia y
competencia democrática, pero este segundo permite enmarcar de una manera más clara el
trabajo en el devenir en la clase de matemáticas.
Skovsmose (1997), quien cita a Giroux (1989), reformula el término alfabetización al
proponer que la alfabetización matemática, “como un constructo radical, tendría que enraizarse
21
en un espíritu de crítica y de proyecto de posibilidad que le permita a la gente participar en la
comprensión y transformación de su sociedad” (Skovsmose, 1997, p. 29). Esta interpretación
genera la relación de la alfabetización matemática con el concepto de democracia y, más
específicamente, con el aprendizaje para la democracia. A su vez, esta idea se evidencia cuando
se plantea que “la alfabetización matemática se puede relacionar con nociones como
empoderamiento, autonomía y aprendizaje para la democracia” (Jablonka, 2003, citado por
Skovsmose 2012, p. 65).
La relación entre la alfabetización matemática y la educación se especifica en la idea del
desarrollo de la competencia democrática. Al respecto, se reconoce que
(…) si la alfabetización matemática tiene un papel que jugar en la educación —similar pero no
idéntico al papel de la alfabetización— para tratar de desarrollar una competencia
democrática, entonces la alfabetización matemática debe verse como una composición de
diferentes competencias: la matemática, la tecnológica y la reflexiva (Skovsmose, 1997, p.
208).
En especial, se estarían planteando elementos para el desarrollo de la alfabetización
matemática, lo que necesariamente involucraría el aprendizaje para la democracia —es decir, la
competencia democrática—.
Mediante el uso de los elementos expuestos, se exploró el desarrollo de la competencia
democrática durante algunas sesiones de la clase prototípica de matemáticas —enmarcada en el
paradigma del ejercicio propuesto por Skovsmose (2012)— y otras sesiones de trabajo con los
estudiantes del curso 803 en relación con el uso del piercing. Para hacer este rastreo, y de
acuerdo con que el conocimiento reflexivo es fundamental en el desarrollo de la competencia
democrática, este se interpretó como la competencia necesaria para ser capaces de tomar una
posición justificada en una discusión sobre asuntos tecnológicos (Skovsmose, 1997). Es posible
explorar el desarrollo del conocimiento reflexivo en el establecimiento de una interacción en la
clase de matemáticas en la que sus participantes construyan espacios para plantear posiciones
relacionadas con las posibilidades, oportunidades, problemáticas y dificultades que caracterizan a
las diversas situaciones sociales en que las matemáticas actúan como su denominador.
Para iniciar la exploración, se tomó como referencia la clase prototípica de matemáticas a
la que estaban acostumbrados los estudiantes del curso 803. El propósito era encontrar —si los
había— elementos que dieran cuenta del desarrollo de la competencia democrática pues, en caso
22
contrario, se descartaría la clase prototípica como un ambiente que posibilitara su desarrollo en el
marco de la clase de matemáticas. Lo ideal era establecer un ambiente en el que la discusión —
en términos de diálogo— derivara en intervenciones de carácter reflexivo en relación con
situaciones sociales propias del contexto. En los siguientes episodios se intenta explorar esta
última posibilidad.
Episodio 3: Clase prototípica de matemáticas
El siguiente episodio es tomado de una de las videograbaciones de una sesión de clase del
curso 803 — ver Trascripción 2—, en la que se observan algunos elementos característicos de la
clase de matemáticas, como que el docente lidera y los estudiantes siguen las pautas e
instrucciones dadas.
Sergio: Bueno, entonces en qué habíamos quedado… Carla: Teníamos tres ejercicios de tarea. Sergio: Bueno, entonces vayan copiando la fecha mientras tanto… Me hacen el favor y guardan esos celulares, los niños que están comiendo terminan. … [Revisa el cuaderno de una estudiante] Multiplicación, ¿qué tanto hemos estudiado eso? Estudiantes: Como dos clases, como una clase [Respuesta grupal]. Sergio: ¡No, muy poquito! Listo, entonces vamos a recordar un poco ese tema y avanzamos hacia multiplicación de polinomios racionales. Yuleidy: ¿Qué? ¿Polinomios, qué? ¿Qué es eso? Sergio: Estábamos en que para multiplicar expresiones algebraicas teníamos que multiplicar los números normalmente, cierto, y ¿qué hacíamos con los exponentes? [Se dirige al tablero para escribir un ejemplo]. Sady: ¡Sumarlos! Transcripción 2. Sesión típica de la clase de 803
La sesión continuó con este tipo de interacción hasta que Sergio les pidió a los
estudiantes que se organizaran en grupos para resolver unos ejercicios que él les proponía. El
ambiente de clase que se evidencia en el anterior fragmento se inscribe en el paradigma del
ejercicio (Skovsmose, 2012), y desde allí era imposible que surgiera una situación que invitara a
los estudiantes a plantear argumentos que defendieran su posición frente a las implicaciones
sociales del uso de elementos tecnológicos, entendidos como procedimientos y algoritmos en
relación con las matemáticas. Es decir, se encontró inicialmente un ambiente nocivo, que
brindaba pocas posibilidades para el desarrollo del conocimiento reflexivo. Más adelante en la
sesión de clase, los estudiantes emprendieron un trabajo en grupo determinado por la descripción
que hizo Sergio en las notas de campo —ver Fragmento 2—.
23
Se observa que en algunos grupos los estudiantes desarrollan los ejercicios de forma individual, a pesar que tienen un compañero al lado, no se ve mayor comunicación e interacción entre ellos. En otros grupos se observa que están más interesados por otros temas diferentes al desarrollo de los ejercicios, puesto que se distraen un poco; por ejemplo, con el uso del celular, o con conversaciones sobre tareas y actividades relacionadas con otras clases. Algunos estudiantes se acercan al profesor con la intención de resolver dudas sobre el desarrollo de los ejercicios. Fragmento 2. Notas del diario de campo del día 25 de abril de 2017 Pese a que Sergio promovió el trabajo en grupo, se detecta que no se logró interacción
entre los estudiantes o, cuando esta se presentó, derivó en asuntos que no se relacionaban con la
tarea propuesta. Una vez más, no se encontraron condiciones propicias para el desarrollo del
conocimiento reflexivo y, en consecuencia, se puede afirmar que no había un ambiente propicio
para el desarrollo de la competencia democrática, en tanto que el propósito del conocimiento
reflexivo es tomar una postura crítica sobre asuntos tecnológicos (Skovsmose, 1999); es decir,
sobre asuntos relacionados con el contexto social de los estudiantes. Sin embargo, el trabajo
propuesto en la clase de matemáticas no propiciaba la discusión, por lo que estaba lejos de
generar un ambiente que propiciara el diálogo alrededor de una situación social. De ahí que fuera
muy complejo posibilitar la relación entre el conocimiento reflexivo y la competencia
democrática, ya que para ello se requería desarrollar la ciudadanía crítica (Skovsmose, 1999), de
manera que los sujetos pudieran reaccionar frente a los problemas de la sociedad actual.
En este momento, es posible pensar que esta primera hipótesis se puede comprender de
acuerdo con la idea expuesta por Skovsmose (1999) acerca de que el contenido de la
competencia democrática debe caracterizarse en relación con las principales problemáticas que
preocupan a la sociedad en cuestión, lo que quiere decir que este contenido depende de la
naturaleza de los problemas que enfrentan los sujetos en la sociedad. Aquí se plantea que un
elemento fundamental en el contenido de la competencia democrática son las matemáticas
porque, al reconocerlas y excavarlas en las diversas situaciones sociales del contexto, se
posibilita la alfabetización matemática (Skovsmose, 1997) en la medida en que los sujetos
desarrollan la capacidad de usar esas matemáticas de manera crítica para reflexionar, transformar
y empoderarse de los problemas sociales que los aquejan. Quizá la dificultad que se encontraba
era que desde la clase habitual de matemáticas no se consideraban posibles problemas del
contexto social de los estudiantes del curso 803. De ahí que fuese necesario explorar otro
ambiente en la clase de matemáticas, de forma que se posibilitara el diálogo y la discusión sobre
24
asuntos relacionados con su entorno, se les diera a tales asuntos la relevancia necesaria y se
reconocieran además las matemáticas.
Al reconocer el carácter sociopolítico de la educación matemática se reconoce que dicha
situación social no puede ser impuesta, sino que debe ser parte de las experiencias de vida de los
estudiantes, debe ser muy propia de ellos y, en lo posible, debe estar conectada con los
porvenires e intenciones de la mayoría de los integrantes del curso 803. Una manifestación de
esto pudo verse en tanto que, como ya se mencionó, Sergio era muy enfático en los asuntos
comportamentales y actitudinales de los estudiantes en su clase. Por ello, un día discutió con los
estudiantes Guzmán y Jerson, pues ellos no querían quitarse el piercing que llevaban inserto en
las orejas, lo que estaba prohibido según el manual de convivencia. Uno de ellos le mencionó al
profesor que no veía de qué manera el uso del piercing podía influir en el desempeño que tenía
en la clase de matemáticas, y esto generó, por supuesto, puntos de vista encontrados en los
integrantes de la clase.
Al parecer, Sergio había encontrado una situación que parecía podría tener afinidad con
las intenciones de los estudiantes del curso 803, razón por la cual discutió con Paola y Julio la
forma en que este suceso podría aprovecharse para explorar el desarrollo de la competencia
democrática desde una tarea que posibilitara la discusión desde una situación social del contexto.
Para abordarla, Sergio les propuso a Guzmán y Jerson que generaran un debate en el que, con
argumentos bien fundamentados, convencieran a toda la clase acerca de que el uso del piercing
no afectaba su desempeño en la clase de matemáticas, con la condición de que si lograban
persuadir al docente y a sus compañeros, no se les impediría usar este accesorio en la clase de
matemáticas.
Con muy altas expectativas acerca de este nuevo espacio que se posibilitaba en la clase de
matemáticas, Sergio, Paola y Julio esperaban generar una interacción entre los estudiantes que
fuera más allá de una tarea impuesta, de forma que les fuera posible encontrar indicios del
desarrollo de la competencia democrática. Desde su punto de vista, el espacio de interacción
comunicativa que se generaba tenía gran potencial para promover la discusión y el debate en
tanto que haría posible visibilizar argumentos de los estudiantes a favor y en contra, de manera
que se pudiera generar una aproximación al conocimiento reflexivo frente a la esencia de la
situación que hacía parte del contexto social de los estudiantes.
25
Episodio 4: Discusión sobre el uso del piercing
Lo sucedido en la sesión se puede evidenciar, de manera general, en el Fragmento 3 —
proveniente de las notas de campo de Sergio—, en el que describe brevemente los elementos que
caracterizaron su desarrollo.
Durante el inicio de una sesión, y atendiendo a las normas del colegio, se inicia una discusión sobre el uso del piercing. Jerson y Guzmán, que usan este accesorio, en colaboración con Yuleidy, forman un grupo para presentar argumentos en favor de su uso. En la siguiente sesión, el grupo presenta una cartelera y algunas ideas relacionadas con el libre desarrollo de la personalidad y argumentos sobre por qué su uso no afecta su desempeño académico. Estos argumentos generaron controversia, ya que otros estudiantes manifiestan, por un lado, que se deben cumplir las normas de la institución, y por otro lado, surgen argumentos relacionados con el futuro en un posible trabajo. La discusión atrajo la atención de la mayoría del grupo, y en algunos momentos la discusión fue acalorada debido al interés sobre el tema, tanto así, que no había la intención de escuchar al otro, sino simplemente imponer con voz fuerte los puntos de vista individuales, sin mostrar interés por propiciar acuerdos colectivos. Fragmento 3. Discusión sobre el uso del piercing en la clase de matemáticas
Como se evidencia en el Fragmento 3, pese a que Sergio promovió la discusión grupal
frente a un tema que podría haber sido relevante para los estudiantes en la clase de
matemáticas, se detectó que no había respeto ni interés por escuchar la palabra del otro, ya que
muchas veces lo que se buscaba era la defensa de una posición personal, que no involucraba la
escucha y reflexión sobre la validez de los argumentos del otro simplemente porque había un
desacuerdo. Otra posibilidad es que la temática de la discusión no fuera lo suficientemente
llamativa para todos y, por tanto, no se brindaron posibilidades para discutir. Así, se encontró
que aunque la temática abordada generó interés y diversas intervenciones alrededor de los
argumentos expuesto a favor y en contra del uso de este accesorio, no hubo condiciones
formales (Skovsmose, 1997) en relación con el respeto a la palabra del otro, pues los
estudiantes no se tomaron el tiempo para escuchar y analizar lo que otros estaban
mencionando —reflexión grupal— sino que dieron más peso a los puntos de vista
individuales. Por tanto, se considera que en esta ocasión no hubo condiciones éticas ni de
participación y reacción (Skovsmose, 1997).
Dado que el conocimiento reflexivo (Skovsmose, 1999) se reconoce como una
competencia necesaria para estar en capacidad de tomar una posición justificada en una
discusión sobre asuntos tecnológicos —es decir, para reaccionar como ciudadanos críticos en
26
la sociedad actual—, se considera que no se pudo evidenciar conocimiento reflexivo en el
desarrollo de esta sesión. Aunque se intentó modificar las dinámicas de la clase para ahondar
sobre una situación social desde la clase de matemáticas, la cultura de la clase a la que los
estudiantes estaban acostumbrados no lo posibilitó. Por supuesto, se reconoce que es muy
complejo lograr este tipo de condiciones de una sesión a otra, pues este cambio implica un
proceso de largo aliento en el que la escuela encarne aspectos democráticos a partir de su
reconocimiento como una micro sociedad, en la que los estudiantes puedan abordar aspectos
históricos, políticos, sociales, económicos y culturales propios de su contexto (Skovsmose y
Valero, 2012).
De este modo, no se evidenciaron condiciones propicias para el desarrollo del
conocimiento reflexivo ni en la clase usual de matemáticas ni en una sesión en la que se
posibilitó la discusión sobre una situación social del entorno de los estudiantes, por lo que era
evidente que una posible caracterización de la competencia democrática en la clase de
matemáticas del curso 803 resultaba lejana. No obstante, estos elementos permitieron denotar
la situación actual (Vithal, 2000) con que se encontraban los investigadores al iniciar el
proceso, que se estableció en primer lugar por la presencia de un ambiente de clase que
generaba una cultura en que las interacciones entre el profesor y los estudiantes eran de
comunicación en una sola vía —pues él pregunta y ellos responden—, que se relacionaba con
la caracterización de la clase usual de matemáticas desde el paradigma del ejercicio
(Skovsmose, 2012).
En segundo lugar, cuando se generaba un espacio para la discusión grupal en este
ambiente de clase, no se motivaba a su vez la pretensión de generar discusiones que generaran
reflexión sobre situaciones relevantes y que detonaran la toma de posturas sobre las
consecuencias sociales del uso de las matemáticas en la configuración del contexto
sociopolítico de los estudiantes, pues los estudiantes tendían a imponer su propia visión de la
situación y no daban espacio para la construcción de posturas colectivas a partir del diálogo, la
negociación y la cooperación (Vithal, 2004).
De esta manera, y a partir de las evidencias resaltadas desde la práctica tomada del
quehacer en la clase de matemáticas del curso 803 y analizadas de acuerdo con los elementos
teóricos esbozados en relación con el desarrollo de la competencia democrática, se identificó
que en la situación actual de la investigación había condiciones que no posibilitaban su
27
desarrollo; es decir, que en la cultura de clase del curso 803 no se posibilitaban las condiciones
mínimas —formales, materiales, éticas y de participación y reacción, propuestas por
Skovsmose (1999)— para el desarrollo del conocimiento reflexivo y, por tanto, de la
alfabetización matemática, que son elementos fundamentales que inciden en el desarrollo de la
competencia democrática. Esto implicaba un proceso de imaginación pedagógica (Skovsmose
y Borba, 2004) que busca la generación de cambios en la situación actual, que estarían
relacionados con la generación de un ambiente de clase que propiciara una mayor interacción,
participación y discusión entre los estudiantes y entre ellos y el profesor.
Desde un enfoque sociopolítico de la educación matemática se reconoció en el montaje
de escenarios educativos de aprendizaje (Skovsmose, 2012; García, Valero y Camelo, 2013)
una posibilidad para la transformación de la cultura de la clase de matemáticas del curso 803.
Para tal montaje, se parte por la identificación de una situación social del entorno de los
estudiantes que movilice los intereses, las intenciones, los antecedentes y porvenires de la
mayoría de ellos, y esto permite que los estudiantes puedan reflexionar y evaluar las posibles
soluciones a problemas relevantes social y culturalmente, o que se comprometan con el
desarrollo de proyectos que se identifican con su intencionalidad (Salazar et al., 2010). Esto
quiere decir que es fundamental involucrar a los estudiantes en el proceso de aprendizaje
mediante el reconocimiento de elementos constitutivos de su contexto social que puedan ser
estudiados con las matemáticas.
Los escenarios generan ambientes de aprendizaje que se sustentan en la democracia, lo
cual quiere decir que la micro sociedad del salón de clase debe encarnar aspectos
democráticos, en los que los sujetos realmente participan, se empoderan y toman decisiones
(Salazar et al, 2010). Aquí se encuentra una relación significativa entre el montaje de
escenarios educativos de aprendizaje y el desarrollo de la competencia democrática, lo que
permite dar resonancia al proceso de investigación que se desea realizar. Por ello, se parte por
reconocer que los contenidos de aprendizaje de las actividades que componen los escenarios
subyacen en rutinas y fenómenos sociales y culturales cercanos a los estudiantes, en los que se
busca explicar, explorar y usar las matemáticas para modelar tales fenómenos (p.5).
De acuerdo con esto, la noción de escenarios educativos de aprendizaje hace posible
identificar nueve dimensiones relevantes a considerar para una mejor comprensión de la
complejidad social de las aulas multiculturales de matemáticas (Alrø, Skovsmose y Valero,
28
2006), que son: a) los porvenires de los estudiantes como una realidad política; b) la
construcción de la identidad y la diversidad cultural de los estudiantes; c) las perspectivas del
profesor, opiniones y prioridades de la enseñanza; d) el contenido matemático para la
interacción en el aula; e) las herramientas o recursos para el aprendizaje que los estudiantes
tienen disponibles; f) la interacción en las aulas entre alumnos y entre alumnos y el profesor;
g) la familia, que influye en las prioridades de los estudiantes; h) los amigos, que son grupos
de referencia para los estudiantes; e i) el discurso público sobre los inmigrantes, la
escolarización y el multiculturalismo.
Para el caso particular de esta investigación, la atención se centra en dos de estas
dimensiones, las cuales tienen relación con la propuesta de investigación. La primera está
relacionada con los porvenires e intenciones de los estudiantes, que puede definirse como la
interpretación que hace una persona acerca de sus posibilidades de aprendizaje y
“oportunidades de vida” en relación con aquello que el contexto sociopolítico hace aceptable-
disponible (Skovsmose, 2005, citado por Alrø et. al, 2006). La segunda dimensión tiene que
ver con la materialidad para el aprendizaje, que se refiere a los recursos y herramientas para el
aprendizaje que son considerados importantes, de tal manera que los estudiantes puedan
disponer de ellos, tales como el tiempo, los espacios y el saber (García, Valero y Camelo,
2013).
La consolidación de estos elementos hacía parte del proceso de imaginación
pedagógica, que tenía el propósito de generar cambios en la situación actual encontrada en el
proceso de exploración de la competencia democrática. Por tanto, se decidió trabajar en el
montaje de un escenario educativo de aprendizaje que posibilitara la generación de cambios en
la cultura habitual de la clase de matemáticas del curso 803, de forma que involucrara a los
estudiantes a través del reconocimiento de su intencionalidad en el proceso escolar y de sus
motivaciones, antecedentes, porvenires y perspectivas de futuro en relación con los elementos
sociales, culturales, económicos y políticos de su entorno. En los apartados que siguen, se
pretende dar mayor profundidad al desarrollo del montaje del escenario educativo de
aprendizaje desde elementos teóricos y prácticos, de acuerdo con el abordaje realizado durante
la investigación.
29
Definiendo la intencionalidad de la investigación de forma preliminar
Sergio, Paola y Julio evidenciaron que en el ambiente escolar del curso 803 no había
condiciones propicias para caracterizar el desarrollo de la competencia democrática, y que en
virtud de ello encontraría asidero el desarrollo de la investigación desde un enfoque
sociopolítico de la educación matemática. De esta manera, surgió como razón de ser de este
proyecto de investigación una primera versión de la pregunta orientadora y de los objetivos —
general y específicos—. En virtud de que estos elementos podrían cambiar de manera
significativa en el transcurso de la investigación —como se irá mostrando en el desarrollo del
documento—, se muestra a continuación una versión preliminar de los mismos.
Pregunta orientadora
¿Cuáles son las posibles relaciones que pueden describirse entre el desarrollo de la
competencia democrática y las dimensiones de materialidad para el aprendizaje y porvenires e
intenciones de los estudiantes durante el montaje de un escenario de aprendizaje en un aula de
matemáticas?
Objetivo general
Describir las posibles relaciones entre el desarrollo de la competencia democrática y el
montaje de un escenario de aprendizaje a través de la materialidad para el aprendizaje y los
porvenires e intenciones de los estudiantes del curso 803 de la Institución Educativa
Departamental Ricardo Hinestrosa Daza.
Objetivos específicos
• Caracterizar las dimensiones materialidad para el aprendizaje y porvenires e
intenciones de los estudiantes del curso 803 de la Institución Educativa Departamental
Ricardo Hinestrosa Daza en el montaje de un escenario de aprendizaje.
• Analizar algunos elementos relacionados con el desarrollo de la competencia
democrática que emergen en la actividad de los estudiantes durante el montaje de un
escenario de aprendizaje.
30
DEFINIENDO LAS BASES TEÓRICAS Y METODOLÓGICAS DE LA
INVESTIGACIÓN
El mundo habrá acabado de joderse (…) el día en que los hombres viajen en primera clase y la
literatura en el vagón de carga.
Gabriel García Márquez
De acuerdo con la exploración realizada, se hizo necesario construir una ruta teórica que
permitiera determinar elementos que se relacionaran con el desarrollo de la competencia
democrática desde un enfoque sociopolítico de la educación matemática. Para dar cuenta de ello,
se parte por caracterizar el enfoque teórico en el que se sitúa esta propuesta, dentro del que se
resaltan los aportes de autores como Skovsmose y Valero (2012), Gutiérrez (2013) y Valero,
Andrade y Montecino (2015), junto con las ideas de carácter metodológico propias de la
investigación crítica planteadas por Vithal (2000 y 2004), Skovsmose y Borba (2004) y
Skovsmose (2015). En relación con los elementos metodológicos, se explicitan las técnicas e
instrumentos usados para la recolección de la información, que se constituyen en el insumo más
importante para abordar las intenciones a medida que se desarrolla este proyecto de
investigación.
Contextualizando la investigación desde fundamentos teóricos
Paola y Sergio sustentan su investigación en un enfoque sociopolítico de la educación
matemática, la EMC, que ha sido desarrollada desde comienzos de la década de 1980 y que tiene
sus raíces en el giro que se realizó durante este periodo hacia aspectos sociales y políticos en
educación matemática. Lerman (2000, citado por Valero, Andrade y Montecino, 2015) lo
menciona como un viraje hacia lo social, el cual favoreció el desarrollo de investigaciones que
abandonaban la psicología cognitiva como marco interpretativo principal, a favor de marcos con
orientaciones socioculturales.
En la voz de estos autores, este cambio propone expandir el propósito mismo de la
investigación para ir más allá de enfoques interesados principalmente en generar herramientas
que permitan mejorar la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. A su vez, este movimiento
31
permitió repensar la investigación y la forma de comprender los fenómenos de la educación
matemática, sus problemáticas y las relaciones existentes entre la educación matemática, la
sociedad, la democracia y la justicia social.
Es importante reconocer que en el aula de matemáticas hay mucho más que matemáticas
en juego, por lo que la labor del maestro requiere una buena dosis de crítica para dejar a un lado
la idea de que las matemáticas por sí solas van a “potenciar” las ideas de aquellos que logren
aprenderlas (Valero, 2005, p. 12). Así, romper las barreras del aula para abrirse a experimentar el
mundo y las actividades humanas en las que se generan prácticas que podrían describirse como
“matemáticas” puede ser una estrategia para vivir y desarrollar la competencia matemática real y,
por supuesto, su relación con la democracia (Valero, 2005).
Skovsmose (1999) resalta que la EMC se preocupa por el desarrollo de una educación
matemática que sustenta la democracia, lo que quiere decir que la micro sociedad del salón de
clase debe encarnar aspectos democráticos, ya que la democracia no se refiere solamente a una
materia que debe enseñarse y aprenderse, sino también al desarrollo de competencias
democráticas para interpretar y actuar en una situación social y política. En este sentido, se
reconoce el aula como un espacio público, un espacio social de debates en el que se anima a los
alumnos a mostrar apertura hacia los demás, responsabilidad, solidaridad, cuidado y conciencia
crítica.
La presente investigación coincide con esta mirada del aula como un espacio social en el
que se considera el contexto para la clase de matemáticas como un contexto sociopolítico, en el
cual se intenta conectar el macro contexto de la educación matemática con su micro contexto.
Allí se estudia el vínculo que existe entre lo que sucede en el aula con respecto a la enseñanza y
aprendizaje de las matemáticas y las estructuras económicas, sociales, políticas y los procesos
históricos que dan significado a estos fenómenos (Valero, 2002, p. 54). Además, se concibe a los
estudiantes como sujetos políticos, seres humanos actuantes y generadores de sus condiciones
sociales y materiales de vida. Los sujetos políticos, en la voz de Valero (2002, p. 56), no solo
actúan en el mundo en términos de su dimensión cognitiva-psicológica, sino que además
participan en el mundo social, económico, político, histórico y cultural, y a través de esta
participación piensan, conocen, producen, sueñan y se involucran.
Se reconoce entonces que el aprendizaje es un proceso en el que los individuos entran en
contacto con el mundo social mediante la acción y generación de significados que sustenten tal
32
acción. Esto quiere decir que el aprendizaje no solo es un proceso de cambio cognitivo individual
sino, sobre todo, que es un proceso social en el que tanto la interacción diaria y continuada entre
participantes como el campo social, político, económico y cultural en el que tal interacción se
lleva a cabo tienen influencia en los significados que se dan a la actividad de “enseñar y aprender
matemáticas” (Valero, 2005, p. 4).
Por esta razón, el proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas en la escuela
puede verse desde la EMC como una acción (Skovsmose, 1999, p. XVI). Esta acción es un acto
deliberado, consciente e intencionado en el que la persona puede escoger y tiene claridad acerca
del objetivo que persigue, que a su vez se relaciona con las intenciones y las disposiciones de la
persona. Las intenciones son guías para la acción que provienen de la habilidad de la persona
para dirigirse hacia un objeto no presente; por ello, la acción tiene por objetivo satisfacer las
intenciones de una persona.
A su vez, las intenciones se relacionan con las disposiciones de la persona, que incluyen
los antecedentes —o la red social e histórica en la que la persona se encuentra— y el porvenir —
o las posibilidades que la situación social le ofrece al individuo—, y que son una fuente de
intenciones a la vez que un resultado de las acciones de la persona. Así, la triada disposición-
intención-acción (Skovsmose, 1999, p. XVI) ofrece un marco para hablar del aprendizaje como
acción dentro de la educación matemática crítica. Esta triada es importante porque resalta la idea
de que un proceso de educación crítica no se realiza si las personas involucradas en él no tienen
la intención de actuar.
Este “vuelco hacia lo sociopolítico” en el campo de la educación matemática ha
permitido concebir nuevas posibilidades de relación entre los sujetos, las matemáticas y lo que
sucede en el mundo (Gutiérrez, 2002, citado en Valero, Andrade y Montecino, 2015). Gutiérrez
(2013, citado en Valero, Andrade y Montecino, 2015) muestra que las investigaciones políticas
en educación matemática han comenzado a entender las prácticas en educación matemática no
solo como transmisión de conocimiento matemático a nuevas generaciones sino que, al mismo
tiempo, han comenzado a ser entendidas como la fabricación de subjetividades deseadas —en
otras palabras, fabricación de los ciudadanos deseados— (p. 11).
Debido a que en la cotidianidad de las situaciones existen voces dominantes y dominadas,
así como espacios de disidencia, conflicto y subversión en los que los sujetos conciben y asumen
su visión y posición en el mundo, se quiere contribuir desde la clase de matemáticas a esta
33
concepción a través de la generación en los estudiantes de la competencia democrática que les de
herramientas y argumentos contundentes con los cuales puedan tomar posturas críticas y
reflexivas frente a los problemas de su realidad y buscar la transformación social de su contexto,
de forma que no consideren únicamente los intereses individuales sino que den prioridad al
bienestar colectivo.
Hasta este momento, se han mostrado elementos muy generales que dejan ver el
escenario sobre el cual se sitúa el desarrollo de la competencia democrática en la clase de
matemáticas; no obstante, resulta necesario agudizar la mirada sobre los aspectos que
permitieron caracterizarla. Para ello, y a partir de la lectura de diversos documentos relacionados
con la democracia y/o la competencia democrática, Sergio y Paola construyeron la red
conceptual presentada en la Figura 1, en la que es posible establecer distintas relaciones con
asuntos afines desde el enfoque teórico de la EMC.
El objetivo de esta red conceptual era situar elementos que estuvieran relacionados con la
competencia democrática o la democracia desde la perspectiva teórica, para caracterizar su
desarrollo en la clase de matemáticas del curso 803. De este modo, se produciría una relación
entre el conocimiento reflexivo y la competencia democrática, al entender el primero como la
competencia necesaria para ser capaces de tomar una posición justificada en una discusión sobre
asuntos sociales y políticos, lo que quiere decir que se requiere de esta competencia general para
reaccionar como sujetos críticos en la sociedad actual (Skovsmose, 1999).
Es necesario buscar esta competencia particular en términos de habilidades y
disposiciones —más que como la existencia de un cuerpo de conocimiento explícito o
autorizado— y, en consecuencia, entenderla como un proceso, por lo que se usan acepciones
como “reflexiones”, “reflexionar” o “conocer reflexivo” a cambio del término “conocimiento
reflexivo” en sí mismo. Adicionalmente, no se puede olvidar que para alcanzar el conocer
reflexivo se requiere de la conjugación del conocimiento matemático y el conocimiento
tecnológico, los cuales surgen en el trabajo que se realiza en el ambiente propuesto en la clase de
matemáticas a partir del estudio de una situación social que pueda ser relevante para los
estudiantes.
34
Figura 1. Red conceptual en relación con la competencia democrática.
Fuente: Elaboración propia.
35
Para Skovsmose (1997, p. 7), la competencia democrática hace referencia a la capacidad
de los ciudadanos para ejercer control sobre las acciones de sus gobernantes. Sin embargo, se
debe diferenciar la competencia para gobernar y la competencia democrática, ya que esta última
es propia de la mayoría de los ciudadanos y debe existir para que la democracia representativa
funcione adecuadamente, pues es la base de conocimiento y comprensión necesaria para que
haya algún tipo de control sobre la delegación de la soberanía y para la participación y reacción
en asuntos sociales y políticos que convocan a los ciudadanos como parte de la sociedad. Por tal
razón, cuando se habla de competencia democrática o democracia no se hace referencia a unas
reglas de elección de gobernantes —pues ese es tan solo un aspecto de lo que tal concepto
involucra—.
En este punto, se reconoce que la democracia se refiere tanto a las condiciones formales,
como a las condiciones éticas, materiales y a las posibilidades de participar y reaccionar, lo que
implica dar vida a una ciudadanía crítica para que esa democracia no se destruya (Skovsmose,
1997). En palabras de Dewey (1966, citado por Skovsmose, 1999), una democracia es más que
una forma de gobierno, pues en primera medida es un modo de vida en comunidad, en el que hay
una experiencia comunicativa conjunta. Este concepto representa una gama de ideas, esperanzas
y utopías diferentes, a la que hay que encontrarle un significado que pueda aportar a la
comprensión y discusión de los fenómenos sociales, políticos, económicos, históricos y
culturales que tienen lugar en nuestra sociedad.
Así, esta investigación reconoce que la democracia no es una realidad efectiva sino un
ideal que se quiere —o al menos se intenta— alcanzar. En tanto que este es un concepto abierto,
los investigadores coinciden con Skovsmose al considerar que no existe la intención de
proporcionar una definición tajante sobre la democracia y que, por el contrario, es necesario
cuestionar la idea de que la democracia está solamente conectada con organizaciones formales y
en expresiones como ”el gobierno es democrático”, “la escuela es democrática” o “el salón de
clase es democrático”, pues de esta forma se retrata la creencia de que la democracia es externa a
la gente —en el sentido en que reside solamente en organizaciones formales y no en las
relaciones cotidianas entre las personas que la constituyen— (Skovsmose y Valero, 2012).
Es necesario enfocar la democracia en la esfera de las interacciones sociales; es decir, en
aquella en la que día a día las personas se relacionan unas con otras para producir sus
condiciones materiales y culturales de vida. Allí, la democracia representa una “manera de
36
vivir”, una acción política abierta llevada a cabo por las personas en la entremezcla compleja de
relaciones y procesos locales, nacionales, regionales y globales” (Held, 1995, p. IX; citado por
Skovsmose y Valero, 2012). Ahora bien, considerar la democracia como acción política abierta
implica dejar de pensarla de forma individual para extenderla al trabajo en grupo, pues allí tienen
lugar cuatro características: colectividad —ya que de tal acción es responsable un grupo de
personas—, transformación —porque tiene un propósito—, deliberación —dado que requiere
comunicación—, y coflexión —puesto que implica comprensión y desarrollo— (Skovsmose y
Valero, 2012).
De este modo, ha sido crucial reconocer que la formación matemática de un ciudadano es
de fundamental importancia para la vida democrática de la sociedad, pues esto abrió espacios
para considerar la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas desde perspectivas que resaltan su
conexión intrincada con muchos otros fenómenos sociales y políticos en el aula y fuera de ella
(Skovsmose y Valero, 2012). Para estudiar la conexión entre la educación matemática y la
democracia se consideran tres tesis —la de la resonancia intrínseca, la de la disonancia y la de la
relación crítica—, las cuales se esbozan brevemente a continuación.
Tesis de la resonancia intrínseca
Esta tesis se basa en el supuesto de que, debido a la naturaleza de las matemáticas, la
educación matemática puede resguardar los intereses y valores democráticos, por lo que la
relación es armoniosa en el sentido en que hay correspondencia entre las cualidades básicas de la
educación matemática y los principios democráticos. Esto se debe a que, como lo mencionan
Skovsmose y Valero (2012), se piensa que los ciudadanos pueden presentar sus argumentos en
reuniones públicas y hacer oír sus voces en los procesos de toma de decisiones a través del
discurso preciso, bien sustentado, irrefutable y basado en el razonamiento matemático. En este
sentido, la educación matemática se convierte en un medio para dar oportunidad a todos los
ciudadanos —no solamente a la élite— de aprender este poderoso estilo de argumento que se
requiere para la vida política (p. 5).
Aquí se parte de la premisa de que la enseñanza de las matemáticas empodera a las
personas puesto que “si reciben una buena enseñanza matemática, esto les enseñará mucho de la
libertad, las habilidades y, desde luego, las disciplinas de expresar, disentir, y tolerar que necesita
la democracia para tener éxito” (Hannaford, 1998, p.186; citado en Skovsmose y Valero 2012).
37
Estos argumentos sugieren que hay una resonancia intrínseca entre la educación matemática y la
democracia. Sin embargo, si esto fuera realmente así, no es necesario que la investigación en
educación matemática discutiera explícitamente esta relación. Pese a esto, en la mayoría de
investigaciones en educación matemática no se hace referencia alguna a aspectos económicos,
culturales, políticos o sociales de la educación —y tampoco se anima a ello—, lo que podría
referir al supuesto de la existencia de una relación armoniosa entre la educación matemática y la
democracia, como lo mencionan Skovsmose y Valero (2012).
Tesis de la disonancia intrínseca
En contraposición a la tesis anterior, se considera que las matemáticas tienen influencia
negativa en la sociedad puesto que, con su uso en la construcción de modelos que apoyan la toma
de decisiones en asuntos sociales, las matemáticas se asocian con la creación de estructuras de
riesgo que amenazan a la humanidad (Skovsmose y Valero, 2012). Sumado a esto, la educación
matemática juega un papel negativo pues, pese a los discursos democráticos que justifican su
permanencia en la escuela, cumple funciones sociales de diferenciación y exclusión.
De acuerdo con Skovsmose y Valero (2012), en lugar de abrir oportunidades para todos,
la educación matemática genera selección, exclusión y segregación, de forma que establece una
demarcación entre aquellos que tienen acceso al poder y al prestigio dado por las matemáticas y
aquellos que no lo tienen. Este hecho no es consistente con la mayor parte de las concepciones de
la democracia como organización social en la que las personas tienen oportunidades y
posibilidades iguales para escoger durante su vida.
La forma en que realmente se usan y aplican las matemáticas en la sociedad, así como la
forma en que realmente opera la educación matemática en algunos salones de clase, se oponen
profundamente al desarrollo de los valores democráticos. Existen muchos ejemplos históricos en
los que es posible visualizar la manera en que se usaban las matemáticas para excluir o para
ejercer control social sobre una parte de la población, pese a la creencia de que las matemáticas
son inherentemente democráticas.
Apple (1995, citado por Skovsmose y Valero, 2012) señala que la mayor parte de las
discusiones con respecto a la educación matemática no han incluido “consideraciones críticas
sociales, políticas y económicas”, por lo que han limitado su alcance al ámbito individual —y,
por consiguiente, “han perdido todo sentido de las estructuras sociales, de raza, de género y de
38
las relaciones de clase” que constituyen a los individuos— y no han sido situadas en un contexto
social más amplio que incluya programas para la educación democrática y para una sociedad más
democrática.
Tesis de la relación crítica
Por último, y en concordancia con Skovsmose y Valero (2012), se sostiene que la
relación entre la educación matemática y la democracia es crítica, en tanto puede ir en “ambos
sentidos” y no tener una dirección previamente definida, puesto que no hay una lógica interna
que guíe el desarrollo de la educación matemática en uno u otro sentido. Una educación
matemática comprometida con la democracia no puede basarse simplemente en las cualidades
intrínsecas de las matemáticas o en los constructos conceptuales de la disciplina misma, pues
más bien requiere de la consideración de factores sociales, políticos, económicos y culturales que
dirijan y redirijan constantemente su desarrollo.
De acuerdo con estos autores, si se considera que las matemáticas no son las mismas de
hace varios años y que, además, se desarrollan constantemente —lo mismo que sus funciones
sociales—, entonces es fundamental que la educación matemática ayude a identificar los
diferentes roles y funciones sociales de las matemáticas a medida que la sociedad avanza y se
vuelve más compleja. Así, la educación matemática tiene el potencial de contribuir al desarrollo
de las fuerzas democráticas de la sociedad, aunque ese potencial no está en la naturaleza
intrínseca de las matemáticas o la educación matemática.
Pensar en el verdadero potencial de la educación matemática para el desarrollo de la
democracia o de la competencia democrática surge, de acuerdo con la propuesta de Skovsmose y
Valero (2012), al considerar cuestionamientos como: ¿quién está comprometido en las prácticas
de educación matemática?, ¿a los propósitos de quién sirven las prácticas?, ¿qué objetivos
persiguen?, ¿cuándo y dónde ocurren? y ¿por qué se ejecutan? Es importante considerar que si
bien la educación matemática puede servir al desarrollo de intereses democráticos, también lo ha
hecho a intereses antidemocráticos, razón por la que implica una fuerte dosis de crítica en el
desarrollo de los procesos de investigación.
De este modo, al considerar la conexión entre la educación matemática y la democracia a
través de una relación crítica, toma valor el hecho de considerar la democracia como una acción
política abierta que incluye colectividad, transformación, deliberación y coflexión, dado que la
39
educación matemática, en calidad de práctica social y de actividad académica, también posee una
naturaleza abierta (Skovsmose y Valero, 2012).
Contextualizando la investigación desde fundamentos metodológicos
Con el fin de generar articulación entre la teoría y la práctica en el proceso de
investigación, se trabajó bajo la metodología de la investigación crítica, de acuerdo con los
planteamientos de Vithal (2000 y 2004), Skovsmose y Borba (2004) y Skovsmose (2015),
quienes han propuesto llevar a la práctica rasgos de la teoría con base en que el conocimiento se
caracteriza a partir de evidencias empíricas no generalizables por la particularidad del contexto y
de los participantes en la investigación. A su vez, se considera que existe una resonancia en las
preocupaciones teóricas y prácticas del enfoque teórico de la EMC y la investigación crítica, lo
que representa un reto para los docentes e investigadores adheridos al paradigma crítico de la
investigación en educación matemática.
En este marco, surgió la necesidad de encontrar un enfoque metodológico en la
investigación que integrara las relaciones y procesos de investigación y que mantuviera las
preocupaciones teóricas y prácticas en la educación matemática desde una perspectiva crítica.
Esto implicaba reconocer tres paradigmas de la investigación —positivista, interpretativo y
crítico—, de manera que fuera posible localizar las preocupaciones de los investigadores en la
investigación (Vithal, 2004). Se abordó como central el paradigma crítico, puesto que se
relaciona justamente con esas preocupaciones y posibilita una relación entre teoría y práctica en
la que es necesaria la participación activa de los sujetos en la articulación, colaboración y
formulación de teorías inminentes en sus prácticas, lo que da paso al desarrollo de estas teorías a
través de la acción y la reflexión continua (Vithal, 2004).
Es importante considerar que, desde el paradigma crítico, la idea de un conjunto de
criterios, prescripciones o indicadores que se puedan aplicar en el proceso de investigación entra
en una contradicción grave y significativa, pues lleva a que las posiciones teóricas dentro de la
EMC entren en conflicto en el proceso educativo (Vithal, 2004). En este sentido, y aunque se
considera la investigación dentro de un paradigma crítico y con un espíritu de transformación, no
se acepta la idea de que se reconozcan previamente los cambios que pueden generarse en la
investigación, porque tales cambios incluyen un alto grado de incertidumbre y duda, que a su vez
40
requiere colaboración, compromiso y trabajo en equipo entre los participantes de la investigación
(Skovsmose y Borba, 2004).
Se debe reconocer que aunque se haga referencia a la resonancia entre un enfoque teórico
y uno metodológico, la mirada se centra en la investigación educativa que tiene lugar en la
generación de cambios en el aula de clase. Esto implica que tal resonancia no se dé uno a uno,
pues lo que se busca es identificar diferentes patrones de metodologías que resuenen con las
preocupaciones de la EMC, en cuyo caso se hace referencia al modelo de la investigación crítica
(Skovsmose y Borba, 2004). Si bien la investigación crítica considera elementos de otras
perspectivas de investigación, no es un conglomerado de actividades, pues tiene su propia
especificidad y debe propiciar fiabilidad y validez en el proceso. En este punto es fundamental
recordar nuevamente que este modelo de investigación se concentra en el material empírico
obtenido de alguna situación que ha tenido lugar en el aula, pero que también presta atención a lo
que pudo haber ocurrido, a lo que los participantes pudieron haber hecho, a las posibilidades y a
aquello que pudo ser diferente (Skovsmose y Borba, 2004).
En este sentido, la investigación crítica (Vithal, 2000 y 2004; Skovsmose y Borba, 2004;
Skovsmose, 2015) se reconoce como un enfoque dinámico, que está en constante revisión y que
se relaciona con las preocupaciones de la EMC, puesto que centra la atención en los cambios o
transformaciones posibles que tienen lugar en el salón de clase. Ahora, investigar desde este
enfoque significa explorar “lo que no hay y lo que no es actual” (Skovsmose y Borba, 2004); es
decir, investigar lo que podría ser, mediante la fijación de la atención en situaciones que pueden
llegar a ser diferentes a través de diversas alternativas.
Recientemente, Skovsmose (2015) hizo una actualización de estas ideas al explorar
específicamente lo que significa investigar lo que no es, pero podría ser, con lo que dio lugar a la
investigación de las posibilidades y trascendió los paradigmas de las investigaciones positivistas
y naturalistas. Con esto, se procura explorar nuevas posibilidades educativas a partir del
reconocimiento de diferentes situaciones que podrían abordarse con la investigación, de forma
que se posibilite la transformación en los procesos escolares. Es pertinente considerar una
metodología que genere elementos de análisis frente a lo que pensamos y nos gustaría realizar, a
lo que sucede en la práctica cotidiana y, finalmente, a lo que se puede generar entre estas dos
situaciones.
41
Desde una perspectiva sociopolítica de la enseñanza de las matemáticas se ubican
procesos de construcción que puedan hacer los estudiantes y que les permitan comprender y
transformar su realidad. De ese modo, en la investigación crítica se hace referencia a tres
situaciones —situación actual, situación imaginada y situación acordada2 (Vithal, 2000 y 2004;
Skovsmose y Borba 2004)— que ofrecen herramientas teórico metodológicas para pensar y
hacer investigación en la educación matemática desde una perspectiva crítica. Skovsmose (2015)
aborda, a partir de ejemplos de prácticas en la escuela y en la investigación, las tres situaciones
cuya interpretación —por parte de los autores y a partir de los textos consultados— se presenta a
continuación.
Situación actual
Es la situación que realmente existe en un aula y en una escuela, que se “limita a lo que
es” en tanto que existe en el contexto de los estudiantes y requiere el reconocimiento de las
normas y disposiciones de un sistema educativo específico, pues se encuentra situada en el
contexto escolar. Dicha situación se presenta antes de la investigación y se caracteriza por
evidenciar “rasgos problemáticos” que constituyen la pregunta de una investigación crítica. El
reconocimiento que hacen los investigadores y participantes de la situación actual es importante
para el análisis, teorización y explicación de lo que puede ocurrir en la situación imaginada, pues
de esta forma se posibilitan transformaciones y cambios frente a lo que se ha encontrado (Vithal,
2000 y 2004; Skovsmose y Borba, 2004; Skovsmose, 2015).
Situación imaginada
Hace referencia a la posibilidad de pensar la situación actual de una manera diferente, con
base en las expectativas de los participantes de la investigación sobre lo que podría ser, para dar
respuesta a la pregunta de investigación. En ella se considera la visión sobre las posibilidades y
alternativas imaginadas por los distintos participantes de la investigación, e implica un
alejamiento del escenario teórico que haga posible una reubicación en la práctica, con el fin de
reformar —o transformar— elementos de la teoría y de ofrecer cambios a la situación actual. La
situación imaginada puede presentar conflictos y contradicciones, lo que implica que no sea
2 Aunque en los documentos consultados las traducciones a estos términos cambian, se ha decidido usar estas tres en virtud de la propia interpretación de los investigadores.
42
estática sino que se desarrolle y cambie constantemente, por lo que permite la crítica y la
disidencia de los participantes frente a lo que ocurre en la escuela y el aula (Vithal, 2000 y 2004;
Skovsmose y Borba, 2004; Skovsmose, 2015).
Situación acordada
Se entiende como una alternativa a las dos situaciones anteriores en tanto que media entre
ellas, ya que se encuentra reorganizada por los participantes de la investigación y limitada por las
diferentes condiciones propias de la situación actual; en este sentido, es un producto de
cooperación y negociación entre los participantes de la investigación, inspirado en la situación
imaginada. Las descripciones de la situación acordada deben permitir a los investigadores la
reflexión sobre la situación imaginada, lo que hace que parte de la situación acordada se
convierta en datos que puedan ser analizados, interpretados y explicados en relación con la
situación imaginada y la pregunta de investigación (Vithal, 2000 y 2004; Skovsmose y Borba,
2004; Skovsmose, 2015).
Si bien las tres situaciones descritas se convierten en parte de la perspectiva de
investigación según la cual el cambio de la cultura de la clase de matemáticas juega un papel
fundamental y se considera que la investigación crítica es un proceso, a continuación se hace
referencia a la manera en que ellas se relacionan a través de los tres procesos específicos
propuestos por Skovsmose y Borba (2004). Es importante resaltar que Skovsmose (2015)
solamente hace referencia a dos de estos procesos —imaginación pedagógica y razonamiento
crítico—, lo que indica que, de acuerdo con las relaciones entre la situación actual, imaginada y
acordada, son fundamentales en la investigación de las posibilidades.
Imaginación pedagógica
Este proceso, que permite relacionar la situación actual y la situación imaginada, emerge
como un acto creativo que hace posible pensar alternativas pedagógicas y educativas de forma
diferente a partir del reconocimiento de las características de la situación actual en el contexto de
los estudiantes. Implica la exploración conceptual de posibilidades a la situación escolar actual, a
partir de elementos teóricos, filosóficos y prácticos, y a través de la cooperación entre las ideas
del profesor y de los investigadores, que a su vez implican procesos de negociación y
43
deliberación, basados en la idea de que no se tiene acceso a un conocimiento incuestionable
puesto que se consideran las ideas de todos (Skovsmose y Borba, 2004; Skovsmose, 2015).
Organización práctica
En tanto que se reconoce que el contexto educativo puede limitar la imaginación
pedagógica, surge la organización práctica con el fin de establecer una relación entre la situación
actual y la situación acordada, por medio de tareas prácticas de planificación. La calidad de la
organización lograda depende de la cooperación y negociación entre profesores, investigadores,
estudiantes y demás participantes en la investigación. Este proceso utiliza la situación actual
como punto de partida y representa una versión realista y pragmática de la imaginación
pedagógica, puesto que permite la ejecución de acciones específicas (Skovsmose y Borba, 2004).
Razonamiento crítico
Es el proceso mediante el que se reflexiona y considera la viabilidad de la imaginación
pedagógica y los elementos innovadores de la organización práctica. Este proceso analítico
permite buscar, a través de la situación acordada, una mejor interpretación de la situación
imaginada, por lo que concede el análisis de las posibilidades que no han sido tenidas en cuenta y
permite la pregunta sobre qué habría podido suceder. Adicionalmente, permite mirar a través de
los datos y ampliarlos, en tanto que no siempre los datos analizados son los datos observados.
Así, como los datos pudieron haberse dado de forma diferente, el razonamiento crítico es una
estrategia para el análisis de las posibilidades que no han sido representadas, que se apoya en una
negociación y cooperación entre los participantes de la investigación (Skovsmose y Borba, 2004;
Skovsmose, 2015).
Desde los planteamientos de Skovsmose y Borba (2004), se considera que la
investigación crítica se preocupa por los cambios en la clase a través de la relación entre
situaciones y procesos, que no son estáticos ni se dan de forma lineal. En la Figura 2 es posible
notar la manera en que tales elementos se vinculan en el proceso de investigación.
44
Figura 2. Situaciones y procesos que tienen lugar en la investigación crítica
Fuente: Elaboración propia, con base en Skovsmose y Borba (2004).
Hasta este momento de la investigación, la situación actual estaba enmarcada por una
dinámica de clase en la que no se encontraba un ambiente propicio para el desarrollo de la
competencia democrática, lo que implicaba la generación inicial de un cambio en la cultura de la
clase de matemáticas del curso 803. De esta manera, se dio lugar a los procesos de imaginación
pedagógica y organización práctica, que permitirían avanzar hacia la situación imaginada y
acordada en tanto se consideraran las diversas posibilidades en la investigación, con lo que se
generarían cambios durante el proceso educativo.
Es importante señalar que, además de las situaciones y procesos ya señalados, existen en
la investigación crítica unos elementos clave que permean el proceso de investigación, que ponen
un énfasis especial en los procesos de interacción y participación de los sujetos en la
investigación, y que hacen que elementos como la negociación, la cooperación y la deliberación
sean fundamentales. De acuerdo con los planteamientos de Vithal (2000 y 2004), una
metodología de investigación crítica que clarifique las relaciones teórico-prácticas considera
elementos relacionados con:
1. Elección, en tanto se considera que la opción de participar en la investigación reconoce la
libertad y la capacidad de decisión en el actuar de los sujetos, y esto se convierte en un
elemento fundamental dada su función central en un entorno escolar de carácter crítico.
Este elemento es importante en la investigación desde una perspectiva educativa crítica, y
45
es esencial para los participantes del proceso en tanto que les permite regular su propia
participación y la posibilidad de actuar de manera activa y propositiva.
2. Negociación, ya que una vez que se hace la elección de participar, se deben negociar
diferentes aspectos de la investigación relacionados con la identidad y los intereses de los
investigadores y de los demás participantes del proceso. La negociación es la clave para
crear la posibilidad de un cambio, ya que permite asumir cualquier idea que sea propuesta
por los sujetos participantes en tanto que puede ser desafiada, criticada, descartada,
reformada o transformada. En este sentido, la negociación es esencial y central en las
relaciones que se dan entre las situaciones: actual, imaginada y acordada, así como en los
procesos que vinculan tales situaciones.
3. Reciprocidad, que asegura que los objetivos y resultados en el proceso de investigación
satisfagan las necesidades e intereses tanto del investigador como de los participantes en
la investigación, puesto que mantiene vigilada la posibilidad de que el proceso se
derrumbe y asegura el compromiso y esfuerzo de los participantes. En virtud de que la
reciprocidad es crucial en enfoques críticos de investigación, los participantes se hacen
responsables unos a otros a través de alianzas recíprocas, por lo que se reconocen las
relaciones de poder y los diferentes intereses creados.Reflexividad, que es necesaria para
manejar las múltiples identidades e intereses de los participantes en la investigación y que
permite aplanar la jerarquía de relaciones de poder en la investigación y en el ambiente
escolar —dado que todas las reflexiones son consideradas y valoradas—, además de que
posibilita el desarrollo de relaciones teórico-prácticas a través de la reflexión y la crítica
compartida. Así, la reflexividad da la oportunidad a la práctica de hablar de nuevo con la
teoría, de modo que estos dos asuntos sean negociados por los participantes de la
investigación.
4. Subjetividad-objetividad, pues se reconoce que estos dos asuntos están separados pero en
diálogo, dado que la participación de los investigadores en el desarrollo del conocimiento
se entiende como acción social y política. Por eso, se da importancia a la manera en que
los investigadores piensan y resuelven posiciones de objetividad y subjetividad, pues esto
afecta las relaciones en la investigación, los datos —y su proceso de recolección y
análisis— y la producción de teoría. Los asuntos relacionados con la elección, la
negociación, la reciprocidad y la reflexividad se convierten en requisitos para que los
46
participantes en la investigación declaren sus subjetividades individuales en el centro de
una metodología desde la perspectiva crítica.
5. Contexto, cambio e inestabilidad, que han propiciado la investigación crítica en contextos
particulares, como respuesta a un conjunto específico de preocupaciones y condiciones, y
relacionada con grandes desigualdades mundiales. Así, el reto para los investigadores
críticos es tomar en serio la inestabilidad de las situaciones de investigación, tanto teórica
como metodológicamente, al otorgar importancia a datos disruptivos analizados
únicamente como asunto de procedimientos propios de la investigación, de forma que
desde la investigación crítica problematizada en el contexto y en las preocupaciones de
inestabilidad de teoría y metodología se pueda producir conocimiento.
6. Emancipación, empoderamiento y esperanza, que tienen una posición importante en la
situación imaginada pero que plantean dificultades en la situación acordada, pues a pesar
de que la investigación tiene una intención o propósito emancipador, esto no puede ser
predeterminado en tanto que no se conoce la dirección, la naturaleza, o el contenido del
empoderamiento ni su impacto en la vida de los participantes. Se reconoce que ninguna
metodología es inherentemente emancipadora, y que este carácter depende más bien de
los elementos teóricos incorporados, del significado que se le da a su uso y de la
inclinación teórica del investigador.
De acuerdo con estos elementos expuestos, Paola y Sergio reconocieron que había en
ellos, como investigadores críticos, una gran preocupación por la desigualdad y la relación de la
actividad humana, la cultura y las estructuras sociales y políticas (como lo mencionan
Carspecken y Apple, 1992, citado por Vithal, 2004), especialmente cuando se enfocaban en los
procesos que podían realizar desde la clase de matemáticas. Aquí se hizo explícito que el
propósito de la investigación crítica no es solo comprender las desigualdades e injusticias, sino
que propende por una investigación transformadora y emancipatoria, que genere cambio en la
vida de los participantes y sus contextos (Vithal, 2004), y que era justo allí donde se centraban
sus intenciones como investigadores y como educadores matemáticos.
Estos desafíos en la investigación involucran tanto al investigador como a los
participantes, a la vez que reconocen las diferencias de identidad, intereses, poder y voz dentro
de la investigación, por lo que se deben considerar como factores fundamentales en el proceso
las subjetividades de los investigadores, el profesor, los estudiantes y demás participantes. En
47
esta investigación se reconoció una gran carga de subjetividad y no se pretendió imponer
relaciones de poder entre estudiantes, profesor e investigadores, pues se considera que los
intereses podían no ser los mismos para todos los participantes; sin embargo, se esperaba
construir juntos nuevas posibilidades de aprendizaje desde la clase de matemáticas, de forma que
se propiciaran oportunidades de transformación y cambio acerca de las maneras en que unos y
otros veían el mundo y en las formas en que actuaban en él.
Técnicas e instrumentos para la recolección de información
En el desarrollo de la investigación se hizo uso de tres técnicas de recolección de
información: observación, entre-vista (Kvale, 2011) y análisis de videos (Planas, 2006). Para
estas técnicas, se tuvieron en cuenta diversos instrumentos que pueden ser usados para una o
varias técnicas, entre los que estuvieron las notas de campo, las videograbaciones, las
grabaciones de audio, la transcripción de episodios y las producciones de los estudiantes.
De acuerdo con el carácter y el contexto de la investigación, la primera técnica usada fue
la observación, en la que Sergio tuvo el rol de observador como participante (Gold, 1958, citado
por Flick, 2004), dado que el docente de aula fue a su vez observador de lo que allí sucedía, por
lo que identificó diferentes elementos que se convirtieron en insumos del proceso de
investigación. En este sentido, la técnica específica fue la observación participante, en la que se
combinó el análisis de documentos, la participación directa, la observación y la
retroalimentación. Uno de los rasgos principales de esta técnica es que el investigador interviene
de lleno en el campo observado, en tanto que hace parte de la comunidad conformada por el
curso 803, y no solo en su rol como participante sino también por las ideas e intenciones que
llevaba consigo desde una visión sociopolítica.
La observación participante se debía comprender como un proceso en dos aspectos. En
primer lugar, el investigador debía convertirse cada vez más en un participante y conseguir
cooperación entre todos los participantes del curso 803, para lo que se tenía un terreno abonado
en tanto que el investigador hacía parte del contexto de aula y conocía previamente a los
estudiantes. En segundo lugar, la observación también debía generar un proceso para acercarse
cada vez más, de forma concreta y concentrada, a los aspectos que resultaban esenciales para los
objetivos de la investigación.
48
La segunda técnica usada es la entre-vista, que permite entender el mundo desde el punto
de vista del sujeto (Hernández, 2014). Mediante las entre-vistas se pretende acercar al mundo de
“ahí fuera” y huir de entornos de investigación especializada como los laboratorios para
entender, describir y explicar “desde el interior” (Kvale, 2011, citado por Hernández, 2014).
Además, Skovsmose, Scandiuzzi, Valero y Alrø (2011, p.139) resaltan en el desarrollo de su
investigación que
[...] se retoma el concepto de entre-vista semiestructurada que Kvale (1996) desarrolla como
una conversación donde los involucrados “ven juntos” (entre-ven) y co-construyen ideas sobre
temas seleccionados. Así que una entre-vista semiestructurada es “una entrevista cuyo
propósito es obtener descripciones del mundo vital del entrevistado con respecto a la
interpretación del significado de los fenómenos descritos” (p.5). Esto también significa una
formulación de preguntas y una exploración de respuestas entre el entre-vistador y el entre-
vistado, que surgen a través de la conversación.
Kvale (2011) plantea la idea de entre-vista desde la siguiente metáfora: el “entrevistador
como minero”, que extrae el valioso metal enterrado en una mina —perspectiva de tradición más
positivista—, o el “entrevistador como viajero” que, tras hacer un viaje lejano, va a contar lo que
ha visto a su regreso. Para efectos de la presente investigación, se intenta mantener
metodológicamente la labor del entrevistador en esta segunda parte de la metáfora, ya que se
relaciona de forma más directa con el carácter de nuestra investigación.
De este modo, “la entre-vista permite la construcción de conocimiento a través de la
inter-acción entre el entrevistador y el entrevistado” (Kvale, 1996). Esto es posible a partir de
una conversación en la que emergen experiencias significativas de las personas, que buscan ser
comprendidas al intentar entender el mundo desde su punto de vista —es decir, desde la
perspectiva y con las palabras propias del entrevistado—, por lo que es óptimo que este hable
“libremente”.
Desde la propuesta de Kvale (1996, p. 2), la entre-vista presenta siete etapas en el proceso
y construcción de los datos:
1. Tematizar: en la cual se determina previamente el tema a ser investigado con unos
propósitos definidos. Este proceso se lleva a cabo antes de que comiencen las entrevistas.
2. Planificar el diseño del estudio: para lo que se consideran las siete etapas antes de que la
entrevista comience.
49
3. Entrevista: se lleva a cabo con referencia a una guía en la que se considera el qué, el
cómo y el porqué de la misma.
4. Transcripción: con la cual se realiza el cambio del discurso oral al texto escrito, y así se
da paso a la preparación del material para el proceso de análisis.
5. Proceso de análisis: se considera en función del objetivo y el tema de la investigación, de
acuerdo con naturaleza del material de la entrevista.
6. Verificación: permite determinar el grado de confiabilidad y validez de la entrevista con
base en los resultados, de acuerdo con los objetivos propuestos en la investigación.
7. Presentación de informes: en la cual se dan a conocer los resultados, de acuerdo con los
métodos utilizados y los objetivos propuestos.
De esta manera, la utilidad de las entre-vistas para el propósito de la investigación recae
en el proceso de ampliación y negociación de datos, de manera que se posibilita una interacción
entre todos los participantes de la investigación. Dicha interacción debe desencadenar en un
análisis tanto de aquello que efectivamente sucedió como de las situaciones alternativas a lo
ocurrido.
La tercera técnica es el análisis de videos, propuesto por Planas (2006) como técnica de
recolección de información, puesto que propone un modelo de análisis de videos en
investigaciones que buscan indagar entornos de aula y pautas de interacción que facilitan
procesos de construcción de conocimiento matemático. El modelo de análisis pretende indagar
relaciones entre entornos de aula ya existentes, interacciones sociales y procesos de construcción
de conocimiento matemático. Se reconoce entonces la interacción social como un medio a través
del cual se intercambian y reconstruyen significados matemáticos (César y Oliveira, 2005, y
Kumpulainen, 2005, citados por Planas, 2006).
1. Planas (2006) plantea un modelo de análisis de videos diferenciado según si la fuente
principal de datos es la interpretación del video o del contenido de la transcripción, lo
cual depende de los aspectos relevantes para observar en la investigación. De esta forma,
la autora plantea que la utilidad del modelo de análisis de videos se centra en el
reconocimiento de “situaciones de interacción social”, las cuales se vinculan a procesos
de construcción de conocimiento matemático. Para ello, se vale de las siguientes seis
fases lineales, que deben ser tenidas en cuenta para cada video de una sesión de
50
clase:Estudio y descripción general del video, mediante un informe descriptivo que
brinde una visión general de la situación y permita continuar con las siguientes fases del
análisis. Sin embargo, la autora reconoce que no es absolutamente necesario realizarlo.
2. Identificación de casos —episodios de revisión de significados matemáticos—, en la cual
se realiza la búsqueda y transcripción de episodios que permitan facilitar el análisis
posterior.
3. Búsqueda de procesos de reelaboración de los significados objeto de estudio, mediante la
revisión de la transcripción y del video en el intervalo de tiempo determinado por dicha
transcripción.
4. Caracterización de interacciones sociales mediante análisis y tipificación de las mismas.
5. Elaboración de historias explicativas para cada caso, de forma que se dé sentido a las
escenas del video y a su transcripción.
6. Comparación de los episodios y su organización mediante una narrativa, a fin de
establecer relaciones entre los procesos de construcción de conocimiento matemático y
los tipos de interacciones.
Este modelo ha sido pensado de una manera suficientemente abierta, con el fin de estar en
posibilidad de orientar diversos modelos de investigación centrados en la exploración de pautas
de interacción social. Planas (2006) menciona que “la estructuración del modelo en las fases
señaladas y los criterios generales planteados en el análisis de videos, no están directamente
relacionados con el tema de estudio. El tema se concreta en las categorías de análisis, que serán
una u otras según los intereses de cada investigador” (p. 44). Para el caso específico de esta
investigación, las categorías de análisis se relacionan con los elementos que caracterizan el
desarrollo de la competencia democrática durante el montaje del escenario de aprendizaje.
• Los instrumentos se derivan de las técnicas previamente expuestas. En consecuencia, se
consideran:Videograbaciones de clase: Se llevaron a cabo en todas las sesiones que
constituyeron el montaje del escenario de aprendizaje, mediante el uso de dos cámaras,
de las cuales una se ubicó de forma que tomaba un plano general del “salón” con el fin
de observar la organización de los estudiantes, así como el ambiente general de la clase;
la otra cámara era móvil y permitía focalizar el trabajo sobre los diversos grupos, con el
fin de evidenciar aquellos elementos que dieran cuenta o se aproximaran al objetivo de
51
la investigación; es decir, que estuvieran relacionados con las categorías teóricas que
caracterizan la competencia democrática en el curso 803 a través del montaje del
escenario de aprendizaje.
• Grabaciones de audio: Estas pueden verse enfocadas en dos aspectos. Primero,
estuvieron relacionadas con el trabajo que desarrollaron los estudiantes en pequeños
grupos, por lo que sirvieron para identificar las declaraciones, los diálogos y las
reflexiones que surgían allí. Segundo, estuvieron relacionadas con las entre-vistas
(Kvale, 1996), de manera que se pudo registrar y analizar la información suministrada
por los estudiantes a partir de las conversaciones e interacciones libres y espontáneas en
las que fue posible negociar los datos constituidos previamente, a partir de la escucha de
las declaraciones propias de los estudiantes.
• Transcripción de episodios: Se debe especificar que aquellos episodios que tienen lugar
tanto en las videograbaciones como en las grabaciones de audio y que resultan ser
representativos para los objetivos de la investigación fueron transcritos, con el fin de
hacer una mejor triangulación de la información obtenida y constituir un insumo valioso
para el uso de la técnica análisis de videos propuesta por Planas (2006). En la medida en
que se avanzó en el proceso de recolección de la información, y de acuerdo con las
categorías de análisis, se realizó la construcción, interpretación, sistematización y
organización de la información relevante que se iba encontrando, de manera que se
pudiera hacer un mejor análisis.
• Notas de campo: Se constituyeron en ellas los apuntes realizados por uno de los
investigadores que tenía el rol de observador participante, ya que hacía parte activa del
grupo poblacional con el que se desarrolló la investigación. En este caso, las notas de
campo no tuvieron un formato preestablecido, dado que lo que se buscaba era que el
docente-investigador relatara de manera libre aquello que observaba en la cultura de la
clase de matemáticas, de forma que considerara el avance en el proceso de desarrollo de
la competencia democrática. El propósito de estas notas era posibilitar a los
investigadores un proceso de reflexión y retroalimentación de lo que sucedía en el aula
de clase en relación con los elementos teóricos que sustentan la propuesta, de manera
que se realizaran posibles cambios y modificaciones durante el proceso.
52
• Producciones de los estudiantes: Se consideraron las exposiciones, guías, escritos,
presentaciones, carpetas, videos propios y apuntes que dieran cuenta del trabajo y de las
interacciones de los estudiantes en el desarrollo del montaje del escenario de
aprendizaje y que nos permitieran observar elementos relacionados tanto con el proceso
de producción de ideas matemáticas como con su relación con las categorías teóricas
que caracterizan el desarrollo de la competencia democrática.
53
CONSTITUYENDO EL MONTAJE DEL ESCENARIO DE APRENDIZA JE
Los problemas que tienes hoy, no los puedes solucionar pensando igual que pensabas cuando
los creaste.
Albert Einstein
El escenario de aprendizaje desde elementos teóricos
Cuando Sergio y Paola iniciaron el proceso de investigación, encontraron que la clase de
matemáticas del curso 803 estaba enmarcada en la educación matemática tradicional,
caracterizada por el paradigma del ejercicio. Aquí, el profesor es quien está al mando —pues
posee el conocimiento sobre las matemáticas—, en tanto que los estudiantes solo siguen
instrucciones y, en ocasiones, intervienen para preguntar sobre algún asunto matemático que no
quedó claro. De ahí que se evidencie en los estudiantes las caras largas, los bostezos, los grupos
de resistencia (Yosso, 2000; Alrø y Skovsmose, 2002; Solórzano y Bernal, 2001), el desinterés y
la falta de motivación por el aprendizaje de las matemáticas, pues no se le encuentra significado
en el contexto real de los estudiantes.
Con este escenario a la vista, y con la motivación por generar una propuesta de
investigación que no sólo trascendiera el paradigma del ejercicio —con su consecuente cultura
de clase— sino que permitiera el desarrollo de la competencia democrática —con miras a la
consolidación de espacios propicios para la constitución de sujetos críticos, capaces de
identificar su realidad, comprenderla y reaccionar frente a ella (Skovsmose, 1999)—, los
investigadores se dieron a la tarea de buscar una alternativa diferente para el desarrollo de la
clase de matemáticas.
En el proceso de indagación, y orientados por el profesor Julio, encontraron que el
paradigma del ejercicio podía contrastarse con un enfoque investigativo, ubicado dentro de un
“escenario” que ofrecía oportunidades para realizar investigaciones desde la clase de
matemáticas y que representaba un ambiente de aprendizaje muy diferente —en esencia— al que
se posibilitaba con el paradigma del ejercicio (Skovsmose, 2012). Este autor relaciona el enfoque
investigativo con la perspectiva teórica de la EMC, pues indica resonancia con el proceso
investigativo que se desea realizar, de acuerdo con los siguientes elementos:
54
Por un lado, el desarrollo de la alfabetización matemática referida no solo a las destrezas
matemáticas, sino también a la competencia para interpretar y actuar en una situación social y
política que ha sido estructurada por las matemáticas. Por otro lado, la educación matemática
crítica se preocupa por el desarrollo de una educación matemática que sustente la democracia,
es decir, la micro sociedad del salón de clase debe encarnar aspectos democráticos
(Skovsmose, 2012, p.110).
De este modo, el enfoque investigativo se encuentra en estrecha relación con el propósito
de la investigación en referencia al desarrollo de la competencia democrática, puesto que desde
la EMC las matemáticas no son simplemente una materia que debe enseñarse y aprenderse, sino
que debe percibirse como un “asunto” que requiere ser reflexionado, dado que las matemáticas
son una parte central de nuestra cultura, que permite tomar postura frente a las situaciones
sociales, culturales, políticas y económicas del contexto.
En este proceso de exploración teórica, los investigadores encontraron en las ideas
expuestas por Skovsmose (2012) una posibilidad para realizar una transformación de la cultura
de clase del curso 803, y así generar un ambiente propicio para el desarrollo de la competencia
democrática, en el que las clases de matemáticas no solamente se realicen a través del paradigma
del ejercicio y se dé la posibilidad a los estudiantes de que se apropien de su proceso de
aprendizaje. En el marco del enfoque investigativo, Skovsmose (2012) propone los escenarios de
investigación, entendidos como situaciones particulares que tienen la potencialidad de promover
un trabajo investigativo o de indagación, y en las que se invita a los estudiantes a formular
preguntas y a buscar explicaciones proponiendo retos de exploración y permitiendo que sean
ellos quienes tomen el mando en su proceso de aprendizaje.
De este modo, cuando se posibilita que los estudiantes se apropien del proceso de
exploración y explicación, se constituye un escenario de investigación que, a su vez, genera un
nuevo ambiente de aprendizaje; pero es indispensable generar una invitación motivadora para los
estudiantes, que pueda detonar el proceso de indagación esperado. Tales ambientes toman lugar
en los “escenarios de aprendizaje”, que Alrø, Skovsmose y Valero (2006, citado por García,
Valero y Camelo, 2013) definen de la siguiente manera:
[...] Se refiere a un campo de investigación constituido por diferentes prácticas de la educación
matemática, las cuales tienen un impacto en la forma en la cual el aprendizaje y la enseñanza
55
de las matemáticas toman lugar en el aula, reconociendo la complejidad de las dimensiones de
la vida social, política, económica y cultural de los individuos (p. 49-50).
Esta noción se vincula con el propósito de generar un ambiente propicio para el desarrollo
de la competencia democrática. Así al hacer referencia a los escenarios de aprendizaje, es posible
reconocer algunas dimensiones que permiten una mejor comprensión de la complejidad social y
política que constituye las aulas de matemáticas (García, Valero y Camelo, 2013). Estas
dimensiones están relacionadas con: a) las intenciones y los porvenires de los estudiantes como
una realidad sociopolítica; b) la construcción de la subjetividad social y el reconocimiento a las
diversidades culturales de los estudiantes; c) la materialidad para el aprendizaje; y d) la
interacción dialógica entre alumnos y entre alumnos y profesor en el aula (p. 56).
En el caso particular de esta propuesta de investigación, reconocer los porvenires e
intenciones de los estudiantes resultó fundamental en tanto que permitió identificar antecedentes,
esperanzas, expectativas y perspectivas de futuro, de manera que fuera posible reconocer sus
posibilidades de aprendizaje y oportunidades de vida en relación con lo que se disponía en su
contexto social y político (Alrø, Skovsmose y Valero, 2006). Además, reconocer la construcción
de la subjetividad social posibilitó la apertura de espacios para que en la clase de matemáticas se
reconocieran el respeto por las ideas propias y la diversidad, que reflejaron el modo en que los
estudiantes se identificaban a sí mismos en su entorno cultural y la forma en que daban lugar a
sus diferencias sociales, culturales o de pensamiento, con lo que posibilitaron un trabajo y
discusión colectivos.
En cuanto a la materialidad para el aprendizaje, se relacionó con la manera en que el uso
de diversas herramientas —libros, computadores, internet, celulares, etc.— posibilitó el
desarrollo del proceso de aprendizaje frente al asunto investigado, pero también se pudo
relacionar con las condiciones para la democracia, que tomaron un papel característico en la
propuesta y en la manera en que los estudiantes tenían la posibilidad de acceder a la información.
Finalmente, el proceso de interacción dialógica permitió reconocer y replantear la forma como se
daba el intercambio de ideas frente a la situación estudiada, así como avanzar hacia el proceso de
reflexión de las implicaciones sociales que allí se evidenciaron, de forma que se reconoció la
manera en que influían los argumentos matemáticos.
Estas dimensiones y su relación particular con el proceso de investigación han permitido
caracterizar algunos elementos del escenario de aprendizaje como herramienta que guió a los
56
investigadores en la exploración empírica de los ambientes de aprendizaje de las matemáticas.
Estos ambientes de aprendizaje son formas de representar recortes espacio-temporales
específicos dentro de una trama de aprendizaje extensa, que muestra expresiones vivas de las
relaciones educativas en la clase de matemáticas (García, Valero y Camelo, 2013). Además, la
imagen de autoridad del profesor se transforma en los ambientes de aprendizaje, ya que no hay
soluciones únicas en la actividad matemática; de esta manera, el principio de certidumbre es
modificado y el docente se sale de su zona confort, con lo que propicia el principio de
incertidumbre.
El escenario de aprendizaje desde elementos prácticos
El montaje del escenario de aprendizaje partió del descubrimiento de una situación social
del contexto de los estudiantes, que surgió a partir de la confluencia de varios elementos. Por un
lado, la cultura propia de los estudiantes del curso 803, enmarcada en su diario vivir en un
municipio de clima cálido en el que el uso de la moto es muy frecuente —no solo como medio
de transporte—. Por otro lado, al ser este un municipio turístico y cercano a la ciudad de Bogotá,
la visita de caravanas de motociclistas es frecuente, por lo que se pueden observar motos de
distintos cilindrajes que llaman la atención de propios y visitantes.
Esto influyó notablemente en las perspectivas presentes y de futuro de los estudiantes,
por lo que la mayoría de ellos usan este medio de transporte para asistir al colegio y movilizarse
en el municipio. Además, también ha influido en una creciente cultura de competencias ilegales,
en las que se han visto involucrados jóvenes y adultos del pueblo. Estos hechos, sumados al
deseo de los jóvenes por usar este medio de transporte, han generado la producción de
desafortunados accidentes de tránsito en los que los estudiantes se han visto afectados, incluso
con la pérdida de su vida.
De acuerdo con estos elementos, y al considerar que Sergio también conduce moto para
trasladarse al colegio, se dieron algunas conversaciones espontáneas con algunos estudiantes en
relación con el uso de la moto, las implicaciones en la conducción y la manera de acceder a ellas
aún sin tener la mayoría de edad o el suficiente dinero para poder hacerlo, entre otros aspectos.
En estas interacciones se percibía el interés por el tema, que hace parte del contexto social de los
estudiantes. Por eso, y luego de mucho escudriñar, los investigadores y los estudiantes del curso
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803 de la Institución Educativa Departamental Ricardo Hinestrosa Daza del municipio de La
Vega —Cundinamarca— establecieron el uso de la moto como un asunto social muy presente en
sus antecedentes y porvenires (Skovsmose, 1999) y, por tanto, se centraron en este para dar
marcha al proceso de investigación en el aula.
Se planteó como situación social el uso de las motos, y a partir de ella se realizó el
montaje del escenario de aprendizaje cuyo propósito era propiciar el desarrollo de la
competencia democrática en el curso803 y, por tanto, generar cambios en la cultura de clase. En
el montaje del escenario de aprendizaje fue posible visualizar tres escenas específicas que
permiten mostrar la manera en que se realizó el trabajo de indagación sobre la situación social
desde el cual fue posible evidenciar la caracterización de los elementos que influían en el
desarrollo de la competencia democrática. Vale la pena aclarar que el término escena se usa para
hacer referencia a los momentos que constituyeron el montaje del escenario de aprendizaje.
Las tres escenas que constituyeron el montaje del escenario se dieron en el desarrollo de
aproximadamente 25 sesiones de clase de 50 minutos, que permitieron el proceso de recolección
de información durante los meses de agosto y octubre del año 2017. Estas escenas, que permiten
diferenciar el transcurrir de las acciones en el montaje del escenario, se configuraron de acuerdo
con el tipo de quehacer de los estudiantes y del profesor. Sin embargo, en ellas también se
involucran los elementos constitutivos de la investigación crítica (Vithal, 2000 y 2004;
Skovsmose y Borba 2004; Skovsmose, 2015) en relación con las situaciones: actual, imaginada y
acordada, con los procesos de imaginación pedagógica, organización práctica y razonamiento
crítico, y con los elementos clave de la investigación. En ellas se intenta mostrar cómo estos
elementos tomaron relevancia en el montaje del escenario, con el propósito de caracterizar el
desarrollo de la competencia democrática.
Escena I: Contextualizando y discutiendo el uso de las motos desde los aportes de la clase
Se inició con una sensibilización frente al uso de la moto a partir del relato de la
experiencia vivida por dos estudiantes de grado undécimo, quienes el año anterior sufrieron un
accidente en moto al salir del colegio, en el que uno de ellos sufrió graves heridas. Julián y Ana
contaron su vivencia en relación con el accidente, las causas, las consecuencias y la reflexión que
ahora hacían frente a esta situación en la que se vio en riesgo su vida y su salud —física y
58
mental—. Este relato posibilitó el inicio del montaje del escenario de aprendizaje puesto que dio
lugar al reconocimiento de una situación social del contexto de los estudiantes que, desde ese
primer momento, evidenció el interés que generaba, por lo que la mayoría de los estudiantes
mostraron disposición por escuchar a Julián y Ana durante su intervención, y después de esta,
realizaron preguntas de manera muy respetuosa, sin criticar o cuestionar negativamente el actuar
de sus compañeros mientras ellos estuvieron presentes.
Este proceso de sensibilización se dio en el marco de la búsqueda de estrategias para
indagar los antecedentes y experiencias previas de los estudiantes, así como los conocimientos
empíricos y técnicos que tenían en relación con el uso de la moto, que resulta valiosa en tanto
que es una situación cercana y, sobre todo, común en el diario vivir de los estudiantes. Esta
aproximación a la situación se acompañó de un video3 que buscaba sensibilizar a las personas
sobre el exceso de velocidad, que mostraba cómo en un segundo se le puede cambiar la vida a
una familia. Con ello se buscaba plantear la necesidad de indagar acerca de los elementos que
allí intervenían, lo que propiciaba la necesidad de estudiar los distintos asuntos que se
relacionaban con el uso de las motos y el cuidado de sí.
Durante la realización de este ejercicio, y con posterioridad al mismo, se hizo evidente
que los estudiantes —en su mayoría— poseían conocimientos sobre la forma de conducir una
moto, que habían visto o vivido experiencias de accidentes y que, sin embargo, no hacían un uso
responsable de este medio de transporte. Se evidenció que había muy poca conciencia de los
efectos que tiene sobre la conducción elementos como el exceso de velocidad, el estado de las
vías, el estado del conductor y el estado del vehículo, y en los estudiantes en los que había algún
tipo de conciencia sobre esto, sus reflexiones se daban a través de suposiciones, creencias y
experiencias. Es así como este primer momento se constituyó como la situación actual; es decir,
aquello con lo que se encontraron los investigadores al iniciar el desarrollo del proceso.
Aquí, se retoma la premisa propuesta por Skovsmose (1999) en la que se reconoce que el
desarrollo de la competencia democrática tiene un contenido específico, que depende de la
naturaleza de los problemas de la sociedad en cuestión. Para este caso, el problema se
relacionaba con el uso de las motos por parte de los estudiantes y jóvenes del municipio, así
como con los graves accidentes que esto había acarreado y en los que su vida se había puesto en
3 Este video se encuentra disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=CpE3lx5nLoQ&t=33s&index=28&list=LLux-L9dE0Rwu_jvs7okyqIQ
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riesgo, y ello requería una reflexión, que se quería hacer desde la clase de matemáticas. Estos
elementos constituyeron parte de la situación imaginada de los investigadores, de acuerdo con la
intencionalidad de la investigación.
Para lograrlo, en el proceso de imaginación pedagógica se propuso el reconocimiento de
los factores que incidían en los accidentes de tránsito que involucraban a los motociclistas. De
acuerdo con algunas revisiones previas de los investigadores, se determinaron tres factores
fundamentales que incidían en los accidentes de tránsito: factores humanos, factores del vehículo
y factores ambientales. Sin embargo, el reconocimiento de factores consideró adicionalmente las
ideas y conocimientos previos que tenían los estudiantes y que se pusieron en discusión luego de
haber escuchado el relato de los compañeros de undécimo grado. De este modo, y a través de la
consideración de los aportes de los estudiantes —desde la participación grupal—, se construyó la
Tabla 1, en la que se determinó una clasificación de los distintos asuntos que confluían en los
accidentes de tránsito, de acuerdo con los factores humanos, factores asociados al vehículo y
factores ambientales. A continuación, se muestran los elementos que constituyeron la Tabla 1 y
que dibujaron el panorama de investigación en la clase sobre el asunto relacionado con el
cuidado de sí en el uso de las motos.
Tabla 1. Factores que inciden en los accidentes de tránsito.
Factores humanos Buen manejo del vehículo
Conocer y respetar las señales de tránsito, exceso de velocidad, usar intermitentes
Estados de ánimo Estrés, sueño, cansancio, depresión, estado de embriaguez, uso de sustancias psicoactivas.
Ropa de protección Dinero invertido, accesorios de protección más usados.
Factores asociados al vehículo Buen estado del vehículo
Estado de los frenos, de las llantas, de las luces y en general del vehículo.
Tener los documentos del vehículo vigentes Variables que inciden en el valor del SOAT4, porcentajes de gastos que cubre el SOAT
Factores ambientales Condiciones de la vía
Obstáculos: animales, reductores de velocidad, líneas, huecos etc.
Condiciones ambientales Lluvia, nieve, deslizamientos, nubosidad.
Fuente: Elaboración propia, a partir de la participación de los estudiantes y el profesor en la clase de matemáticas del curso 803.
4 En Colombia se establece por ley el pago del SOAT, sigla que significa “Seguro Obligatorio para Accidentes de Tránsito”.
60
Se resalta que la construcción de la Tabla 1 fue un trabajo propio e interesante, puesto
que los estudiantes dieron sus aportes de acuerdo con sus conocimientos sobre la situación, lo
que evidenció un rol activo y participativo en el trabajo propuesto. Esto representó indicios en el
cambio de la cultura de clase, pues la comunicación ya no tuvo un carácter unidireccional, sino
que se propició la interacción comunicativa entre estudiantes y entre ellos y el profesor. Aquí fue
posible evidenciar elementos de la investigación crítica como la elección (Vithal 2000 y 2004),
en el sentido en que los estudiantes consideraron la opción de participar o no en la investigación,
reconocieron qué tan interesante podía ser para ellos y si se encontraba o no en relación con sus
porvenires e intenciones.
Con el panorama investigativo que proporcionaba la Tabla 1 en relación con los diversos
factores —humanos, asociados al vehículo y ambientales— que incidían en los accidentes de
tránsito, se les propuso a los estudiantes seleccionar aquellos que les despertaran un mayor
interés para realizar el proceso de investigación. Al permitir esta elección, se dio a los
estudiantes la posibilidad de estudiar varios de esos asuntos y de ampliar el panorama frente a la
problemática, de manera que fuera posible construir información que no se restringiera a uno
solo de los asuntos relacionados con el uso de la moto, sino que en el desarrollo del montaje del
escenario se pudieran involucrar varios de ellos. Así, al considerar su propia investigación y la de
sus compañeros, los estudiantes tendrían a la mano más herramientas para tomar una postura
frente a la situación social relacionada con el cuidado de sí en el uso de las motos.
Nuevamente, y con la mediación del proceso de imaginación pedagógica, se reconoció
que el desarrollo de la alfabetización matemática posibilitaba a los estudiantes usar las
matemáticas para tomar una postura frente a las situaciones sociales del contexto. Resultaba
fundamental, entonces, que las matemáticas pudieran emerger en el proceso de investigación de
los estudiantes. Por esta razón, los investigadores plantearon unas preguntas para cada uno de los
asuntos relacionados en la Tabla 1, con las cuales se buscaba excavar las matemáticas que tenían
lugar en el asunto de investigación que despertara interés en los estudiantes, de forma que se
diera lugar a las posibilidades y alternativas propias de la situación imaginada. En la Tabla 2 se
muestran las preguntas planteadas por los investigadores como parte del proceso de imaginación
pedagógica.
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Tabla 2. Posibles preguntas para excavar las matemáticas.
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s qu
e in
cide
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los
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e tr
ánsi
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Factores humanos Buen manejo del vehículo
Conocer y respetar las señales de tránsito, exceso de velocidad, usar intermitentes
Estados de ánimo Estrés, sueño, cansancio, depresión, estado de embriaguez, uso de sustancias psicoactivas.
Ropa de protección
Dinero invertido, accesorios de protección más usados.
¿Cuáles son los límites de velocidad en diferentes lugares, zona escolar, dentro de un barrio en la autopista…? ¿Con cuánto tiempo de anticipación debo poner las direccionales? Mientras dos vehículos se mueven uno a tras de otro ¿cuál es la distancia prudencial que debe haber para que al realizar un frenada de emergencia no haya un choque?
¿Cómo afectan estos estados el tiempo de reacción del conductor? Buscar información que relacionen la afectación de estos estados con los accidentes de tránsito.
¿Cuánto dinero invierte una persona en ropa o accesorios de protección cuando compra una moto? ¿Cuánto dinero debería invertir una persona en protección?
Factores asociados al vehículo Buen estado del vehículo
Estado de los frenos, de las llantas, de las luces y en general del vehículo.
Tener los documentos del vehículo vigentes Variables que inciden en el valor del SOAT, porcentajes de gastos que cubre el SOAT
¿Cómo afectan el estado de los frenos, de las llantas… en caso de realizar una frenada de emergencia?
¿Qué variables inciden en el valor del SOAT para una moto? ¿Qué porcentaje paga la aseguradora, cómo se define quién paga? ¿Por qué los accidentes de en moto se están considerando como un problema de salud pública?
Factores ambientales Condiciones de la vía
Obstáculos: animales, reductores de velocidad, líneas, huecos etc.
Condiciones ambientales Lluvia, nieve, deslizamientos, nubosidad.
¿Cuál es la relación distancia-velocidad que permite evitar un accidente cuando me encuentro con un obstáculo en la vía? ¿Cuál de estos factores es causante de mayor cantidad de accidentes y con que otro factor está asociado?
¿Cómo afectan estos factores durante una situación de riesgo? ¿Cuál de estos factores afectan de mayor manera en una situación de riesgo?
Fuente: Elaboración propia.
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En la Tabla 2 se presentan algunas preguntas orientadoras que buscaban guiar el proceso
de investigación de los estudiantes y mostrar un panorama general de la situación del uso de las
motos. Con ese marco de referencia, los estudiantes se organizaron libremente en grupos e
iniciaron un proceso de estudio, indagación e interpretación, de acuerdo con el asunto que
despertó su interés, a fin de intentar el establecimiento de una relación entre ese asunto y el
cuidado de sí mismo en el uso de la moto y, a su vez, de posibilitar la toma de una postura crítica
y reflexiva, sustentada por las matemáticas.
Esta última declaración hace referencia a los elementos que constituyeron la situación
imaginada por parte de los investigadores, de acuerdo con la intencionalidad de su proyecto. El
trabajo en grupo, la negociación de los estudiantes con sus compañeros y el profesor sobre el
asunto que generaba interés, la tabla con los factores y las preguntas que buscaban que las
matemáticas emergieran en el proceso de estudio, la contextualización y sensibilización hecha
desde el relato de los compañeros de undécimo y desde el video, entre otros, hicieron parte de
ese proceso de imaginación pedagógica que buscaba propiciar el cambio de la situación actual a
la situación imaginada.
Es importante señalar que, hasta este momento del montaje del escenario, las sesiones de
clase se habían desarrollado en reunión plenaria, por lo que los estudiantes aún mantenían su
organización habitual en la clase —en filas y columnas—, de acuerdo con la ubicación indicada
por el profesor. Además, vale la pena resaltar que se había hecho uso de distintas herramientas
audiovisuales —video beam, computador, tablero inteligente, parlantes— para proyectar la
información y consolidar las ideas aportadas por los estudiantes, de manera que pudieran ser
observadas por todos los participantes en la clase.
Escena II: Trabajando en grupo sobre el asunto particular elegido para el desarrollo de
la investigación
La segunda escena del montaje del escenario se constituye por el trabajo en grupo que
realizan los estudiantes frente al asunto de investigación que despierta su interés en relación con
el cuidado de sí en el uso de la moto. El trabajo empezó con la selección —inicialmente de
manera individual— de uno de los temas propuestos en la Tabla 1 y cada estudiante realizó una
consulta preliminar que le permitiera constituir argumentos informados sobre su elección.
63
Con posterioridad a esta consulta, se les solicitó a los estudiantes que formaran equipos
de trabajo de manera libre, de manera que se sintieran a gusto con sus compañeros para el
proceso de indagación que se iniciaría en esta etapa del montaje del escenario. En esta sesión, se
les propuso compartir la consulta preliminar que cada uno había hecho sobre el asunto que
despertaba su interés, con el propósito de que dentro del equipo eligieran un tema común que
guiaría su proceso de investigación.
Dentro de las pautas que se acordaron para el desarrollo del trabajo, se resalta el hecho de
que cada estudiante debía investigar en casa —de manera individual— y llevar sus aportes a la
clase para discutirlos con su grupo. Esta instrucción estuvo mediada por políticas institucionales
en las que se sugiere a los docentes no proponer trabajos grupales, además de que, como parte de
la investigación, era fundamental que se generaran discusiones e interacciones comunicativas
que pudieran ser objeto de la recolección de información.
Cada grupo debía organizar la información consultada en una carpeta con los aportes de
todos, los cuales podían provenir de distintas fuentes —libros, páginas de internet, artículos,
videos, entrevistas, etc.—. Para visualizar la información, podían llevar computadores, imprimir
hojas de consulta y usar el celular —siempre que fuera con un propósito académico y no para
distraer a los integrantes del grupo—. Esto implicó un proceso de autorregulación por parte de
los estudiantes, ya que el uso de este elemento generaba distracción e indisciplina en la clase,
además de que estaba en contra de las normas del manual de convivencia.
Estos elementos hacen parte de lo que los investigadores consideraron el proceso de
organización práctica (Skovsmose y Borba, 2004), que permitió establecer una relación entre la
situación actual y la situación acordada en relación con las tareas de planificación de lo que tenía
lugar en el aula de clase durante el montaje del escenario. Estas pautas de organización
generaron cambios en la cotidianidad del quehacer de los estudiantes y del profesor, e implicaron
procesos de autorregulación, responsabilidad y compromiso con la realización del proceso de
investigación. Así, fue fundamental considerar acciones de acompañamiento, orientación,
revisión y regulación del trabajo realizado, mediante la consideración de las distintas
posibilidades.
Durante las sesiones que configuraron esta escena, el docente —que también tenía el rol
de investigador— intervino de manera regular en el proceso que cada equipo de trabajo
realizaba, con el propósito de regular, cuestionar y orientar las consultas realizadas, así como de
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propiciar avances en el proceso de indagación. Con apoyo de las notas de campo realizadas
frente a los acuerdos generados con cada grupo, se reconocieron elementos que fueron
fundamentales en el proceso de imaginación pedagógica, pues daban cuenta de la consideración
de las posibilidades y alternativas de cada grupo frente a los avances en su proceso, y de la
manera en que tales avances permitían un acercamiento al logro del objetivo de la investigación.
Los investigadores —en especial Sergio— se convirtieron en “un estudiante más” del
curso 803, puesto que los diversos asuntos de investigación abordados en cada equipo de trabajo
no hacían parte de la experticia de ninguno de ellos. Esto implicó que los investigadores también
debían consultar, leer, preguntar, investigar y estudiar cada uno de esos temas —para que fuera
posible apoyar a los estudiantes—, y los llevó a salir de su zona de confort y a reconocer que el
docente de matemáticas no poseía todo el saber alrededor de los temas de estudio y que también
estaba en constante aprendizaje.
De esta manera, se generó un cambio en la cultura de la clase de matemáticas del curso
803, pues el rol de los estudiantes se transformó: ahora era necesario consultar, preguntar,
compartir, cuestionar, discutir y socializar, y no solo sobre las matemáticas, sino también sobre
otros asuntos. Lo mismo sucedió con el papel del docente, que ahora no era visto como el
poseedor único del saber y que, por tanto, debía aventurarse a explorar territorios desconocidos
que generaran incertidumbre y, a la vez, nuevos retos en los que fuera necesario investigar,
analizar, construir y aprender junto a los estudiantes.
Dentro de esta dinámica, los estudiantes avanzaron paso a paso, se apropiaron de su
investigación y reconocieron su responsabilidad con el proceso, lo que llevó a que algunos
tomaran la decisión de hacer cambios de grupo en virtud de que argumentaban que sus
compañeros —aquellos que eligieron libremente— no aportaban al desarrollo del trabajo en
grupo. Aquí es posible evidenciar elementos clave de la investigación —como la elección y la
negociación— desde la labor y autorregulación de los estudiantes frente a su propio proceso de
aprendizaje, pues algunos de ellos reconocieron que, en ocasiones, los “amigos más cercanos” no
son los mejores compañeros de trabajo.
La negociación y la cooperación (Skovsmose y Borba, 2004) se reconocen como
elementos fundamentales en el desarrollo de esta escena del montaje del escenario y de la
investigación misma, dado que los diversos participantes —estudiantes, docente, investigadores,
docentes de otras áreas, padres de familia, amigos y conocidos— se vincularon de manera directa
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e indirecta con sus aportes a la exploración e indagación de los diversos asuntos que confluían en
el cuidado de sí. Estos elementos de negociación y deliberación se vincularon con los procesos
de imaginación pedagógica y organización práctica para posibilitar el paso de la situación actual
a la situación acordada, mediadas por la situación imaginada.
En esta escena, es posible notar un cambio sustancial entre la situación actual y la
situación imaginada con respecto a la cultura de clase, y en especial al rol de los estudiantes y el
docente en el proceso de indagación de los distintos elementos que constituyen el cuidado de sí
en relación con el uso de la moto. Para ello, fueron fundamentales los procesos de imaginación
pedagógica y organización práctica en relación con los elementos que se habían considerado y
dispuesto para la realización del montaje del escenario de aprendizaje que permitía aproximarse
al propósito de la investigación: el desarrollo de la competencia democrática.
Escena III: Socializando los avances del proceso de investigación de los estudiantes
En esta escena, cada grupo presentó los avances logrados durante el proceso de
indagación frente al asunto particular de su investigación, de forma que se mostraran los
elementos matemáticos encontrados y su relación con el cuidado de sí en el uso de la moto. Esta
fue una decisión de los investigadores con el propósito de encontrar evidencias frente a la
intención del proyecto desarrollado. Para ello, cada grupo construyó una presentación con
diapositivas o una cartelera con la cual daba a conocer su asunto de investigación, las preguntas
orientadoras que guiaron el proceso para llegar a una posible respuesta, los elementos
matemáticos y no matemáticos encontrados en el proceso de indagación en relación con el asunto
abordado y, en lo posible, una reflexión sobre la situación social estudiada.
Para ello, los equipos de trabajo usaron diversos recursos y herramientas que les
permitieran presentar a la clase los elementos que caracterizaban y apoyaban su proceso de
investigación —como videos, imágenes, gráficos estadísticos, tablas, modelos matemáticos,
entre otros—, y que les llevaban a consolidar y dar validez a la información presentada. Los
elementos expuestos por los diferentes equipos de trabajo en este proceso de socialización,
apoyados por el consolidado de las producciones de los grupos de estudiantes en su carpeta,
dejaban ver —en parte— su avance en el desarrollo de la investigación y se convertían en
insumos que fundamentaban la información presentada y puesta en discusión por los estudiantes.
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Por supuesto, se posibilitó el espacio para que los estudiantes pudieran debatir,
controvertir y discutir las ideas expuestas por sus compañeros, de acuerdo con el proceso de
estudio realizado, pues se consideró que los asuntos de investigación estaban fuertemente
relacionados. De esta forma, se logró una mejor comprensión de la situación social, en tanto que
no solo se construía información a partir del trabajo realizado por cada uno de los grupos sino
que, al ponerla en común, se abría la posibilidad de aprender y reflexionar desde los aportes de
los demás.
Pero también permitió notar el dominio logrado por los estudiantes frente a los elementos
matemáticos y no matemáticos que surgieron en su proceso de indagación, pues la capacidad de
explicarlos y hacerlos entendibles a otros mostró la propiedad que tenían sobre su proceso y
reflejó el trabajo realizado durante el montaje del escenario de aprendizaje. Además, en esta
escena se evidenciaron rasgos de la situación acordada en relación con el cambio de la situación
actual, enmarcados en el avance frente al estudio de la situación social y el cambio en la cultura
de clase, de forma que se permitió a los estudiantes el empoderamiento en la clase de
matemáticas y se logró que esta ya no estuviera únicamente en manos del docente.
Sin embargo, así como hubo grupos que mostraron un trabajo interesante, completo y en
el que se evidenciaba la responsabilidad asumida en el proceso de indagación en relación con el
asunto elegido, hubo otros que mostraron menor interés en el desarrollo de su trabajo de
indagación en relación con los procesos de imaginación pedagógica y organización práctica
contemplados por los investigadores. Esto puede deberse a diversos aspectos, relacionados con el
interés que pudo generar el trabajo propuesto en relación con la situación social, el cambio en la
cultura de la clase y el rol de los estudiantes. Además, las orientaciones dadas por el docente y
los investigadores quizá no fueron lo suficientemente claras y acertadas para que los estudiantes
se movilizaran de la situación actual, o no tomaron en consideración todas las posibilidades.
Sin duda, considerar la situación acordada como una alternativa a la situación actual
propició transformaciones sustanciales. Sin embargo, existen elementos en la investigación que
aún pueden ser interpretados y reformulados de acuerdo con lo encontrado, de forma que se
propician nuevas alternativas en el proceso. Esto tiene mucho que ver con la negociación entre
los diversos participantes que intervienen en el proceso (Skovsmose y Borba, 2004) y su libre
decisión de participar en el proceso de acuerdo con sus intereses. De este modo, la situación
acordada permitió generar un análisis frente a la situación imaginada y la pregunta de
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investigación, de forma que se notara el avance logrado en relación con el cambio de la cultura
de clase hacia la propiciación de condiciones para el desarrollo de la competencia democrática.
La caracterización de la competencia democrática, mediada por el montaje del escenario
de aprendizaje en relación con el estudio del cuidado de sí en el uso de la moto, fue analizada por
medio del proceso de razonamiento crítico. Allí, se consideró la viabilidad de la imaginación
pedagógica y los elementos innovadores de la organización práctica puestos en juego en la
investigación (Skovsmose y Borba, 2004), lo que llevó a los investigadores a pensar en las
posibilidades y a preguntarse qué hubiese sucedido si se hubieran considerado otras alternativas
que quizá no fueron estimadas al poner en juego los procesos de deliberación, negociación y
cooperación.
Paola y Sergio reconocieron que esto hacía parte de su proceso como investigadores, que
seguramente mejoraría y se haría más sólido con la experiencia. Es allí donde el principio de
incertidumbre se hace visible y donde la investigación crítica toma su papel relevante, pues se da
la posibilidad de pensar la investigación mediante la consideración de otras alternativas de
acción en el montaje del escenario, que podrían propiciar cambios y mejorar a partir de la
experiencia y la práctica investigativa en futuros proyectos. En este sentido, la investigación en
educación matemática desde un enfoque sociopolítico da la oportunidad de repensarse, no solo
como educadores matemáticos, sino como investigadores, a la vez que se cualifican las prácticas
pedagógicas.
Versión final de la intencionalidad de esta investigación
El avance, tanto en la construcción teórica y metodológica que sustenta el desarrollo de
este proyecto, como en la constitución del montaje del escenario de aprendizaje, busca
caracterizar el desarrollo de la competencia democrática. A continuación se muestra la versión
final de la pregunta orientadora y de los objetivos de investigación, que resaltan la
intencionalidad del desarrollo de este proyecto investigativo.
Pregunta orientadora
¿Cuáles son los posibles elementos que caracterizan el desarrollo de la competencia
democrática en relación con la alfabetización matemática y el conocimiento reflexivo durante
68
el montaje de un escenario de aprendizaje en la clase de matemáticas del curso 803 de la
Institución Educativa Departamental Ricardo Hinestrosa Daza frente al estudio del cuidado de
sí en el uso de la moto?
Objetivo general
Caracterizar el desarrollo de la competencia democrática a partir del conocimiento
reflexivo y la alfabetización matemática durante el montaje de un escenario de aprendizaje en
la clase de matemáticas del curso 803 de la Institución Educativa Departamental Ricardo
Hinestrosa Daza.
Objetivos específicos
• Identificar el papel de las características de la democracia y las condiciones para la
democracia en el proceso de indagación realizado por los estudiantes del curso 803 de
la Institución Educativa Departamental Ricardo Hinestrosa Daza, resaltando su
incidencia en el desarrollo de la competencia democrática.
• Posibilitar condiciones propicias para el desarrollo de la competencia democrática a
través del estudio de una situación social del contexto de los estudiantes del curso 803
de la Institución Educativa Departamental Ricardo Hinestrosa Daza desde el montaje
de un escenario de aprendizaje.
69
CONSTRUYENDO, ANALIZANDO Y NEGOCIANDO DATOS
Después de escalar una gran colina uno se encuentra sólo con que hay muchas más colinas
por escalar.
Nelson Mandela
En el proceso de la investigación, Sergio y Paola han planteado como hipótesis que,
desde el enfoque teórico de la EMC, el desarrollo de la competencia democrática se propicia a
partir del montaje de un escenario de aprendizaje, en el cual es fundamental considerar una
situación social del contexto de los estudiantes. En este apartado se muestran algunos episodios
que permiten notar evidencias del desarrollo de la competencia democrática a partir del estudio
del cuidado de sí en el uso de las motos en la clase de matemáticas.
Antes de presentar el análisis de los episodios que se han considerado más relevantes, se
muestra la construcción de las categorías teóricas usadas para caracterizar el desarrollo de la
competencia democrática, con lo que se resaltan los elementos más importantes que allí
confluyen. De esta manera, es posible definir claramente la idea de episodio, que se usa para
seleccionar y analizar los datos que se muestran con el fin de dar cuenta del propósito de esta
investigación.
Posteriormente, se explicita la construcción y análisis de los datos, dentro de lo que se
rescatan aquellos episodios que dejan ver evidencias del avance en el desarrollo de la
competencia democrática; para ello, se consideran las tres grandes escenas que constituyeron el
montaje del escenario de aprendizaje. Por último, se muestra la negociación de los datos a través
de la entre-vista (Kvale, 1996) realizada con algunos estudiantes del curso 803.
Categorías de análisis para la revisión de los episodios
Para caracterizar el desarrollo de la competencia democrática en el curso 803, los
investigadores usaron un camino específico para abordar el objetivo de la investigación, basado
en reconocer que la competencia democrática se ejerce gracias a la alfabetización matemática
(Skovsmose, 1997), y que ésta, a su vez, es necesaria para que los sujetos desarrollen el
conocimiento reflexivo (Skovsmose, 1997), que busca que se reconozcan las matemáticas como
70
una herramienta que empodera a los sujetos y que permite tomar una postura frente a las
situaciones sociales del contexto.
Por tanto, se requiere que en el montaje del escenario haya unas condiciones apropiadas
que posibiliten la caracterización —o no— del desarrollo de la competencia democrática en el
curso 803. Por eso, para Sergio y Paola fue importante analizar dos elementos que fueron la base
para realizar este proceso en la investigación: por un lado, las características de la democracia —
colectividad, transformación, deliberación y coflexión, según Valero (1999, citado por
Skovsmose y Valero, 2012) —, y por el otro, las condiciones para la democracia —formales,
materiales, éticas y de participación y reacción (Skovsmose, 1999) —.
Partieron por reconocer que, desde la perspectiva teórica, la competencia democrática se
ejerce gracias a la alfabetización matemática, que permite caracterizar la habilidad para calcular
y usar técnicas formales y matemáticas. Como un constructo radical enraizado en un espíritu de
crítica y proyecto de posibilidad, le permite a las personas participar en la comprensión y
transformación de la sociedad, de forma que se convierte en una condición previa para la
emancipación social y cultural (Skovsmose, 1997); es decir, permite usar elementos de carácter
matemático para interpretar, analizar y tomar decisiones frente a situaciones del contexto.
La alfabetización matemática era necesaria para el desarrollo del conocimiento reflexivo,
que sería estudiado a partir de la identificación de “declaraciones y posiciones justificadas” que,
a su vez, contenían o no elementos matemáticos. En este punto, se buscaba que los estudiantes
usaran distintos modelos, elementos y argumentos matemáticos a los que hubieran llegado a
partir del estudio de la problemática, con el fin de tomar decisiones y una posición frente a esta
situación social y su incidencia en el cuidado de sí. Se esperaba que este trabajo llevara a los
estudiantes a generar una reflexión y una transformación en su manera de pensar esta situación
social, y que se posibilitara la extensión a otras personas de estos nuevos conocimientos y
reflexiones.
Para propiciar estas discusiones se requería que el montaje del escenario de aprendizaje
estuviera a su vez constituido por unos elementos apropiados que posibilitaran el desarrollo de la
competencia democrática. Por un lado, estaban las características de la democracia, sobre la que
Held (1995, p. IX, citado por Skovsmose y Valero, 2012) plantea:
[…] la democracia puede ser enfocada en la esfera de las interacciones sociales, en la que las
personas, en este caso los estudiantes, se relacionan unos con otros para producir sus
71
condiciones materiales y culturales de vida en el aula de clase. Aquí la democracia representa
una “manera de vivir y convivir”, una acción política abierta llevada a cabo por los estudiantes
y el docente en la entremezcla compleja de relaciones y procesos locales, regionales,
nacionales y globales (p. 13).
Este proceso implica reconocer cuatro características. Primero, la colectividad, pues la
democracia es responsabilidad de un grupo de personas, y la acción humana es social y requiere
que estas personas compartan la conciencia de la necesidad de cooperar para tomar decisiones y
generar condiciones de vida apropiadas para todos (Skovsmose y Valero, 2012, p. 14). En este
caso particular, se esperaba que los estudiantes trabajaran juntos en el desarrollo de las
actividades, que se diera la posibilidad de que los argumentos e ideas de todos fueran escuchados
y, a partir de ello, se avanzara en el desarrollo de la situación común.
Segundo, la transformación, puesto que el cambio es el propósito de la acción política y
se entiende como la capacidad de propiciar acciones colectivas para modificar y mejorar las
condiciones de vida de quienes están involucrados (Skovsmose y Valero, 2012, p.14). En este
caso se buscaba que, de acuerdo con las situaciones específicas que cado grupo estaba
estudiando, se tomara conciencia de las implicaciones sociales que este suceso tenía para el
“cuidado de sí en el uso de las motos”, en el contexto particular y de acuerdo con sus intereses
específicos, lo que generaría cambio y transformación en las ideas que se manifestaran frente a
ello y las haría extensivas a otras personas.
Tercero, la deliberación, que refiere a un proceso comunicativo para discutir y tomar
decisiones, emitir juicios, reconocer ventajas y desventajas frente a diversas acciones antes de
comprometerse en ellas (Skovsmose y Valero, 2012, p.15). Para este caso, se esperaba que en
cada uno de los grupos, y en la clase en general, se diera un espacio de comunicación en el que
todas las voces fueran escuchadas y se pusieran diversos argumentos y consideraciones para
tomar decisiones y emitir juicios frente al cuidado de si en el uso de las motos.
Cuarto, la coflexión, que se entiende como un proceso de pensamiento en el que las
personas consideran de manera colectiva las ideas, acciones y experiencias vividas como parte de
un esfuerzo común, de forma que toman una posición crítica hacia la situación específica
(Skovsmose y Valero, 2012, p.16). En este caso puntual, se quería identificar declaraciones de
los estudiantes sobre la relación entre sus opiniones con respecto al uso de las motos y el trabajo
colectivo que los llevó a ellas. Aquí, no solo se consideró el trabajo de los grupos específicos
72
sino también las discusiones generales que tuvieron lugar en la clase del curso 803, y se intentó
notar si después del proceso realizado ¿piensan lo mismo con respecto al cuidado de sí mismo en
el caso del uso de las motos?, ¿hubo un cambio?, ¿cuál fue ese cambio?, ¿a qué se debe ese
cambio?
Ahora bien, de acuerdo con lo señalado por Dewey (1966, p.87, citado por Skovsmose,
1999, p.31), una democracia es más que una forma de gobierno, pues es un modo de vida en
comunidad en la que hay una experiencia comunicativa conjunta. En este sentido, la democracia
se refiere a las condiciones formales, materiales, éticas y aspectos relacionados con la
participación y reacción (Skovsmose, 1999, p.33), las cuales se abordan brevemente a
continuación.
Primero, las condiciones formales se relacionan con los procedimientos definidos para
elegir un gobierno, así como para la distribución del poder y la justicia en lo que tiene que ver
con las diversas instituciones de la democracia (Skovsmose, 1999). Para este caso, se esperaba
observar cómo se daba la distribución de roles en cada uno de los grupos de trabajo y, en general,
en la clase del curso 803, además de analizar cómo se daba la distribución y uso de la
información consultada.
Segundo, las condiciones materiales para la democracia proponen una distribución justa
de los servicios y los bienes sociales (Skovsmose, 1999). Así, lo que se quería ver era si en el
caso de la investigación era posible acceder a diversos medios de información —como
computadores y acceso a internet—, si había una distribución justa entre los estudiantes de estos
medios informáticos, sí todos tenían acceso a estos elementos tecnológicos, quienes presentaban
mayor dificultad para acceder a ellos, cómo resolvían esta dificultad, si existen obstáculos de tipo
político en la institución educativa para acceder a ellos, y de qué manera se resolvían estas
situaciones.
Tercero, para las condiciones éticas, la democracia asume que existe una igualdad de
oportunidades y obligaciones para cada miembro de la sociedad (Skovsmose, 1999). En el caso
del curso 803, se deseaba ver si existía igualdad de posibilidades de acción en el proceso de
investigación del cuidado de sí mismo en el uso de las motos, y si existía una conciencia
fundamentada en la axiología que moviera las acciones del sujeto durante el proceso de
investigación.
73
Por último, en las condiciones de participación y reacción, la democracia debe permitir
la posibilidad de que los ciudadanos participen en la discusión y evaluación de las condiciones y
consecuencias del gobierno de turno (Skovsmose, 1999). Puntualmente, era necesario notar si
todos los estudiantes del curso 803 tenían las mismas condiciones y posibilidades de
participación —relacionadas con el uso de las matemáticas y de un lenguaje común—, si todos
conocían el tema que se abordaba, si todos habían podido acceder a la información y si todos se
encontraban interesados por el estudio de esta situación social. A su vez, y desde la
investigación, era interesante notar qué posibilidades se habían dado para que todos tuvieran la
posibilidad de participar en el estudio de la situación social.
De este modo, la red categorial construida desde un enfoque sociopolítico de la educación
matemática para realizar el análisis de los datos y caracterizar el desarrollo de la competencia
democrática en la clase del curso 803 estaba conformada por los siguientes elementos:
conocimiento reflexivo (Skovsmose, 1997), alfabetización matemática (Skovsmose, 1997),
características de la democracia (Skovsmose y Valero, 2012) y condiciones para la democracia
(Skovsmose, 1999). Tales categorías teóricas permitieron caracterizar los episodios de la
información recolectada, en los que se buscaba evidenciar declaraciones y posiciones justificadas
en relación con el conocimiento reflexivo frente al asunto del cuidado de sí en el uso de las
motos.
Seleccionando, construyendo y analizando episodios
Mediante el uso de los lentes que les otorgan las categorías de análisis que construyeron,
Sergio y Paola hicieron el rastreo de episodios, que se entienden como recortes espacio
temporales de la información recolectada, y que fueron constituidos como una unidad —o
fragmento— en la que es posible observar declaraciones o justificaciones de los estudiantes que
evidencian el uso del conocimiento reflexivo y que pueden tener o no elementos de carácter
matemático en relación con el cuidado de sí en el uso de las motos.
Bajo esta idea de episodio, se seleccionaron, construyeron y analizaron los datos que se
presentan, de acuerdo con las tres escenas identificadas en el montaje del escenario de
aprendizaje. Es importante resaltar que en las tres escenas se presentan diez episodios que dan
evidencia del desarrollo de la competencia democrática. Para complementar el análisis, se pone
74
en discusión un episodio adicional que permite reflexionar en relación con el desarrollo de la
investigación crítica, puesto que permite reconocer “lo que no es, pero podría ser” (Skovsmose,
2015), en tanto que el trabajo de un grupo de estudiantes mostró una perspectiva diferente en la
investigación y dirigió la mirada hacia diversos elementos que quizá no fueron considerados.
Escena I: Contextualizando y discutiendo el uso de las motos desde los aportes de la
clase
En tanto que se buscaba generar una reflexión sobre los elementos que influían en los
accidentes de tránsito, se les propuso a los estudiantes abordar esta problemática con el objetivo
de que pudieran abrirse un panorama general de la situación y proporcionarse mayor información
y conocimiento sobre este asunto. En esta escena se presentaron tres episodios que resultan
relevantes para dar cuenta del propósito de la investigación.
Episodio 1: ¿Para evitar accidentes solo basta con ser precavidos?
En la sesión de clase posterior al relato de la experiencia comentada por Julián y Ana
sobre el accidente de tránsito que sufrieron, se inició una discusión en la que se resaltó la
importancia de ser precavido al momento de conducir y las distintas interpretaciones que causaba
la frase “ser precavido”. ¿Será suficiente con serlo?, ¿o existen otros factores que se deban
considerar para evitar al máximo los riesgos de usar la moto? Se consideró que muchas veces
esto no dependía solamente del conductor, sino que había otros factores que incidían en gran
medida en los accidentes de tránsito. Justamente algunos de estos se pusieron en discusión, y se
observan en el fragmento que se muestra en la Transcripción 3.
Sergio: ¿Usted ve muy lejana la posibilidad de que le pueda suceder algo como lo que nos contaron sus compañeros ayer? [Cuestionando a uno de los estudiantes]. Guzmán: Si profe [mostrando poca seguridad en sus palabras]. Sergio: ¿Por qué? ¿Usted es muy precavido para manejar? Guzmán: No [expresión de duda.] Sergio: Entonces por qué ve tan lejana esa posibilidad. Guzmán: No, no, no, a mí eso no me pasará. Yonier: Profe. Lo que pasa es que por más buen piloto que sea uno, a uno también le pueden pasar cosas, así uno sea precavido y sepa manejar mucho, uno también se puede caer. Sergio: [Solicita silencio y resalta que aquellos que quieran hacer sus intervenciones debe pedir la palabra]. Dayana: Por más que uno corra mucho y ya le tenga la práctica a la moto, uno no sabe que se le atraviese algo y se pueda caer, partirse un brazo o algo así.
75
Sady: Si, ser precavido, pero... [Se muestra insatisfecha] me parece que todos quieren llegar al punto en el que… [Se queda pensativa] o sea ya no manejen, no importa si se es precavido o no, siempre llegan a un punto como, no, pero “les puede pasar algo”, entonces, ¡no manejen! Todo el mundo quiere llegar como a lo mismo. Yuleidy: Para mí la conclusión de lo que venimos contando, de lo que venimos hablando es que… Dayana: Hay que manejar despacio [interrumpiendo a su compañera]. Yuleidy: No es sólo decir no maneje y listo, porque ese no es el hecho. Sady: Todo el mundo dice ¡hay que ser precavido! Yonier: Profe, no es tanto andar despacio, uno puede andar rápido respetando las señales de tránsito. Mafre: A mí me parece que lo que más nos protege en un accidente es el casco, la norma dice que el casco debe ser cerrado. Normalmente nosotros usamos el chavito5, que, pues estéticamente se ve más bonito, pero que en alguna caída o algo no sirven para nada, esos cascos no nos van a proteger la cabeza. Transcripción 3. ¿Es suficiente con ser precavidos en la conducción para evitar accidentes?
En este proceso de exploración de la situación social relacionada con el uso de las motos
y los riesgos de sufrir un accidente, se resaltó la importancia de ser precavidos, pero a la vez se
reconoció que esto no era suficiente para cuidarse. De hecho, la idea de “hay que ser precavidos”
causó inconformidad en Sady, pues ella reconoció que no era suficiente con esto, y sintió que sus
compañeros no le estaban encontrando al tema todas las implicaciones que tenía. En ese
momento, al escuchar los aportes de sus compañeros a la discusión, su conclusión fue que así
uno fuera precavido o no, siempre existía el riesgo de sufrir un accidente, por lo que para ella la
conclusión sería “no manejen”, y así se solucionaría el problema. Quizá su interés estaba en
reconocer que existían otros factores que influían allí y que era necesario conocerlos para ser
conscientes y responsables frente a la conducción.
Por supuesto, la mayoría de estudiantes reconocieron que por más precavidos que fueran
en la conducción, el riesgo de que les pudiera suceder algo estaba latente, como lo manifestaron
Dayana y Yonier. Por eso, empezaron a surgir otros elementos que no solamente se relacionaban
con ser precavido y conducir a baja velocidad, sino con el respeto a las señales de tránsito y al
uso de accesorios que pudieran proteger al conductor, de forma que redujeran al máximo las
lesiones en un posible accidente.
Se evidenció que algunos estudiantes reconocieron que ser conscientes de los riesgos, ser
precavidos, conducir despacio o ser cuidadosos en la conducción, no era garantía de que se
5 Tipo de casco plástico y abierto, que no genera mayor protección y que es usado habitualmente en zonas de clima cálido.
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evitara al máximo un accidente, pues siempre existiría la probabilidad de que sucediera. Sin
embargo, este parece ser un primer paso en la transformación de la cultura de la conducción y de
la responsabilidad social que tiene un motociclista consigo mismo y con los demás, pues decide
conducir una moto y reconocer los riesgos que esto implica. Si cada individuo tiene la capacidad
de reflexionar sobre este asunto e intenta desarrollar la conciencia para cuidarse a sí mismo, esto
también puede incidir en el cuidado de los otros.
Así, se hicieron presentes la colectividad y la coflexión como características de la
democracia (Skovsmose y Valero, 2012) en las que los estudiantes, de manera cooperativa,
consideraron las acciones y experiencias como parte de un esfuerzo común, y tomaron una
postura crítica sobre la situación. Estos rasgos empezaron a evidenciarse en las declaraciones de
los estudiantes, en las que se notaban indicios de un sentido de crítica, que requería más espacios
para ser desarrollado. Estos espacios deben propiciarse en la escuela para posibilitar el desarrollo
de tales competencias, en especial en la clase de matemáticas, razón por la que se centró allí
parte del interés de los investigadores.
Episodio 2: Y el casco, ¿qué características debe tener?
Se había definido previamente que no bastaba con ser precavidos o manejar despacio para
evitar los accidentes, que tampoco era suficiente vivir la experiencia de un accidente para
reconocer que era importante estudiar diferentes factores que influían en la conducción, y que
esto era fundamental como parte de la responsabilidad social consigo mismo y con los demás.
Uno de los elementos que merece ser resaltado se relacionó con el uso del casco, al que en
ocasiones no se le daba la verdadera importancia, por evitar un gasto adicional, por mala
costumbre o por desconocimiento. Se tendía a pensar que el casco solo se debía usar por evitar
una infracción, sin reconocer que su utilidad radicaba en proteger la vida. Frente a esta situación,
se dio una conversación con los estudiantes, en la que surgió la conversación que presenta la
Transcripción 4, que hace posible caracterizar el uso del casco con base en las declaraciones de
los estudiantes desde sus ideas previas.
Jonier: El casco reglamentario tiene que ser cerrado, tener la visera, la polvera, las gafitas, las que son oscuras para cuando le entra mucha luz, y debe ser un casco cómodo. Dayana: Que quede apretadito. Alexandra: Y que sea totalmente cerrado. Jonier: Porque por lo menos cuando usted se caiga y se pegue en la cabeza, la cabeza no se le mueva y no se le estalle.
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Sergio: Yo la verdad no es que conozca mucho sobre eso y por eso seguramente [perdón, perdón, solicitando el respeto a la palabra] habrá alguien o algunos que se encarguen de buscar información en relación con eso. Yuleidy: Esos cascos valen harto [Interrumpiendo a Sergio]. Sergio: Y que nos muestre ¿qué tipo de cascos son los que hay?, ¿cuáles son mejores? Dayana: ¡Yo! [Interrumpiendo a Sergio]. Sergio: Y también, seguramente en nuestro país, hay algunas normas sobre eso. Dayana: Pero mire que en los pueblos es muy diferente, porque por ejemplo en Tobia Grande, allá uno puede ir sin casco y no pasa nada, uno puede salir hasta Guaduas o hasta Honda solo con un chavito y no pasa nada, y ya es muy diferente en otro lado, uno se va a Faca y no tiene que pasar por donde los policías, porque si uno se pasa por ahí le sacan un parte y uno tiene que andar con rodilleras y con los cositos que van acá [se toca los codos], chaleco y el casco cerrado. Sergio: O sea, exigen más accesorios. Ahí hay otra cosa, de pronto alguien que tenga la posibilidad de hacerle ese tipo de cuestionamientos a un policía, ojo, de buena manera, decirle por qué, por ejemplo, eso que dice Dayana, por qué hay lugares donde se puede usar tan poca protección y no pasa nada. Yuleidy: Hasta que no pase algo, porque ahí sí [Interrumpiendo a Sergio]. Transcripción 4: Discusión inicial sobre las características del casco
Para el caso de este episodio, el asunto de discusión surgió a través de la intención de que
los estudiantes llevaran a la conversación información de afuera del aula en reacción a las
normas de conducción de la moto. Esto se hizo a partir de sus experiencias —en un nivel
anecdótico—, en un intento por vincular esa información con la posibilidad de lesionarse ante un
accidente. En la conversación suscitada se observan algunas de las características de la
democracia relacionadas con la colectividad, puesto que se generó una interacción comunicativa
entre algunos integrantes del curso 803, en la que es posible escuchar diversos puntos de vista,
que se apoyaban y se dirigían hacia la necesidad de llevar a la discusión información que
permitiera comprender la situación a partir de los aportes de aquellos que conocían algo del
tema. Se reconoce que la democracia es, en parte, una responsabilidad grupal, puesto que la
acción humana es social y se requiere que las personas compartan y cooperen para lograr
condiciones de vida apropiadas para todos (Skovsmose y Valero, 2012). Sin embargo, se debe
reconocer que la democracia también es una responsabilidad individual, pues cada persona
decide participar o no hacerlo de acuerdo con sus intereses e intenciones. La democracia es, sin
duda, un ir y venir entre lo individual y lo social.
Las condiciones formales (Skovsmose, 1999) relacionadas con los algoritmos
establecidos para la participación y respeto por la palabra del otro se hicieron presentes
implícitamente, aun cuando el entusiasmo por expresar sus ideas llevaba a algunos estudiantes a
interrumpir la intervención del otro, sin la intención de impedir su participación. Esto se observó
78
en el caso de Yuleidy, quien en dos ocasiones quiso dar a conocer su punto de vista a pesar de
que interrumpía la intervención de otro de los participantes. Frente a las condiciones materiales
(Skovsmose, 1999) en relación con el acceso a la información involucrada en la situación
estudiada, se evidenció que la mayoría tenía el mismo nivel de acceso a ella, por lo que no había
distinción alguna en las intervenciones de los estudiantes.
En cuanto a la alfabetización matemática y al conocimiento reflexivo como elementos
constitutivos del desarrollo de la competencia democrática, aporta elementos el Fragmento 4 —
tomado de las notas de campo de Sergio—, que está relacionado con las conclusiones del grupo
conformado por Sofía, Jorge y Romero, quienes centraron su atención en el asunto del casco y
cómo este influía en el cuidado de sí.
El grupo de estudiantes realizó una investigación sobre los diversos tipos de cascos y sus características, reconociendo que aquellos que son más costosos (cascos integrales) brindan mayor protección. Sin embargo, de acuerdo a algunas entrevistas que realizaron, notaron que la mayoría de personas prefiere no invertir mucho dinero en la compra del casco puesto que su preocupación está en evitar una infracción, más que en tener mayor protección al momento de un accidente. Los estudiantes encontraron que está comprobado que un cráneo humano no puede soportar un golpe a más de 17 km/h, ya que, a esa velocidad, los daños son muy graves. Con sumarle 13 km/h y circular a 30 km/h, (velocidad que no es habitual en la mayoría de los motociclistas), cualquier choque contra un objeto sólido y de cierta dureza supone la muerte en un 98% de los casos. Por ello, cobra tanta importancia el casco de seguridad. Sin embargo, quienes sí lo usan en ocasiones desconocen la realidad a la que se enfrentan: tallas, pesos, materiales, ajustes o calidades. Es normal en las personas usar un casco y usarlo mientras aguante, pero si realmente lo que importa es el cuidado de sí y no las multas, se debe saber muy bien cómo escoger un “buen” casco. Fragmento 4. Notas del diario de campo sobre las exposiciones finales
La referencia al conocimiento matemático inmerso en la consulta que hicieron los
estudiantes de este grupo —que estudió el uso del casco— plantea un indicio de desarrollo de la
alfabetización matemática, que posibilita el conocer reflexivo y, a su vez, resulta propicio para la
competencia democrática. Quizá en este primer indicio es posible la identificación de las
relaciones de poder implícitas en el ejercicio del montaje del escenario de aprendizaje, en
particular al excavar las matemáticas ocultas en las situaciones sociales.
Los elementos matemáticos encontrados por Sofía, Jorge y Romero en relación con la
velocidad, la fragilidad del cráneo y las características de los cascos, les permitieron plantear que
“el cráneo humano no puede soportar un golpe a más de 17 km/h”, que es, por cierto, una
velocidad bastante alejada de la realidad en la conducción de los motociclistas. Los estudiantes
no sólo reconocieron que usar el mejor casco no garantizaba una protección absoluta al momento
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de sufrir un accidente, sino que además existía una fuerte relación con el exceso de velocidad, lo
que les permitió tomar postura sobre la situación en sí misma. De esta manera, se observan
algunos indicios de la alfabetización matemática y del conocer reflexivo (Skovsmose, 1999).
Episodio 3: La importancia del cuidado de sí en relación con los diversos factores que inciden en los accidentes de tránsito
En sesiones anteriores se había realizado un trabajo colectivo para definir los distintos
factores que influían en los accidentes en los que se veían involucrados los motociclistas, y se
había propuesto la labor de responder algunas preguntas orientadoras que buscaban excavar las
matemáticas que podían estar presentes en cada uno de esos asuntos. A partir de esta información
y del trabajo realizado hasta el momento, los estudiantes ya habían analizado cuál podría ser su
tema de interés para realizar la investigación durante el desarrollo del montaje del escenario.
Así, en una discusión que se dio en clase, Yuleidy preguntó qué nombre se le podría dar
al proyecto que se deseaba realizar en la clase de matemáticas, de acuerdo con el proceso de
estudio sobre la situación relacionada con el uso de las motos. En este momento, se dio lugar
para que Sergio hiciera la relación de las dos situaciones de carácter social —uso del piercing y
uso de las motos— que se habían discutido en la clase de matemáticas con el propósito de
estudiar el desarrollo de la competencia democrática. Además, se cuestionó a los estudiantes
sobre la relación que ellos encontraban entre el cuidado de sí y el asunto que seleccionaron para
desarrollar la investigación, como se observa en la Transcripción 5.
Sergio: Se acuerdan que cuando yo les empecé a hablar de esto, de este cuento, se habló sobre el piercing, y dijimos que: ¿cuál era la idea que conectaba a esos dos temas? Jaider: !El cuidado de sí¡ Sergio: Exactamente, ese es el elemento que conecta las dos cosas. Lo que cada uno va a hacer es hablar de la relación del cuidado de sí con el tema que eligió. ¿Cuál es la relación ahí? Juan Pablo: Cuando uno usa un casco de esos, pequeño, es para evitar el parte, pero cuando usa un casco grande más completo, es porque se cuida, no sólo para que no le pongan el parte. Jerson: Cuando yo le pago al señor de la tecnomecánica para que pase la moto así le estén fallando cosas, no estoy pensando en mi cuidado, solo en evitar una multa. Jaider: Si yo compro ropa de protección me cuido a mí mismo, si respeto las normas, cuido de mí mismo, si no excedo los límites de velocidad, me cuido a mí mismo. Mafre: Si uno se quisiera a uno mismo, compraría el mejor casco, no solamente el casco como el chavito sino uno que realmente lo proteja a uno, lo mismo al pasajero, al pato. Si uno se cuida a sí mismo busca que todas las cosas de la moto estén bien como tal. Alexandra: Profe, y de lo que hemos hablado, ¿al finalizar este proyecto habrá una solución para este problema?
80
Sergio: Una solución como tal no porque este es un problema muy grande. Sady: Se trata de generar conciencia. Alexandra: Pero sería chévere realizar como algo más, siempre hablamos de mejorar, que vamos a poner de nuestra parte, respetar las normas de tránsito… Pero en sí no hacemos nada. Yuleidy: Hacer una campaña [interrumpiendo a la compañera]. Alexandra: Hacer algo, que no se quede en palabras, para concientizar a los demás de este problema. Sergio: A mí me gusta esa idea, pero eso depende de lo que todos podamos proponer a futuro cuando terminemos este trabajo. Eso depende de usted y su grupo. Transcripción 5. Relación del cuidado de investigación con los asuntos de investigación particulares
A partir del cuestionamiento realizado por Sergio a los estudiantes se definió el “cuidado
de sí” como el título de la situación social que se abordaría durante el montaje del escenario.
Además, los estudiantes, aún sin explorar las matemáticas en la situación social, lograron hacer
algunas reflexiones frente a los diversos asuntos que confluían en el uso de la moto cuando se
trataba de pensar en el propio bienestar y en el de los otros. De este modo, en las intervenciones
que tuvieron lugar en este fragmento se reconocieron algunas alusiones al cuidado de sí desde
diversos aspectos relacionados con el uso de la moto. Por ejemplo, en las declaraciones que
realizaron Juan Pablo y Jerson se evidencian formas de actuar en las que no se estaba pensando
en el cuidado propio y tampoco en el de los otros.
Además, en lo declarado por Jaider cuando afirmó que “Si yo compro ropa de protección
me cuido a mí mismo, si respeto las normas, cuido de mí mismo, si no excedo los límites de
velocidad, me cuido a mí mismo” se evidenció que se estaba estableciendo una relación clara
entre la importancia del cuidado de sí mismo y distintos asuntos vinculados con el uso de la
moto, que aunque no estaban impregnados de elementos matemáticos, nos dejaban ver una buena
aproximación reflexiva a la situación estudiada.
De manera similar, se podría analizar la intervención de Mafre cuando dijo que “Si uno se
quisiera a uno mismo, compraría el mejor casco, no solamente el casco como el chavito sino uno
que realmente lo proteja a uno, lo mismo al pasajero, al pato. Si uno se cuida a sí mismo busca
que todas las cosas de la moto estén bien como tal”, pues no solo pensaba en su cuidado sino
también en el de la persona que fuera con ella, lo que deja ver que su reflexión iba trascendiendo
del pensar solamente en su bienestar para pensar en el cuidado del otro.
Con estas declaraciones, resulta interesante notar el avance que se iba logrando en el
proceso de discusión de los elementos que confluían en el cuidado de sí en el uso de la moto.
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Aunque de momento no se hubiera hecho uso de elementos matemáticos y los argumentos con
los que participaban los estudiantes estaban mediados por sus conocimientos desde la
experiencia o desde lo que habían escuchado con respecto al tema, se veían presentes mejores
condiciones para el desarrollo de la competencia democrática, mediadas por algunas
características de la democracia como la colectividad y la deliberación, en el sentido en que se
reflexionaba de manera conjunta sobre la situación y se reconocían elementos que podían ser
positivos y negativos frente al uso de la moto y, por ende, frente al cuidado de sí.
En cuanto a las condiciones para la democracia, resulta interesante visualizar no solo las
condiciones formales y materiales, sino además las de participación y reacción, en la medida en
que los estudiantes se motivaban a participar y a enriquecer con sus aportes la construcción
conjunta que se estaba haciendo de la situación. Por ejemplo, Alexandra —con el posterior
apoyo de Yuleidy y Sady— manifestó su interés en que los avances que se lograran en el
desarrollo del proceso de investigación pudieran ser compartidos con otros, con el propósito de
que en otros se generara también la transformación y conciencia con respecto a la problemática
estudiada, de forma que se planteó la idea de que el trabajo de investigación que se realizara
pudiera trascender a otras personas en otros espacios.
Este resulta ser un indicio importante del desarrollo de la competencia democrática,
posibilitado por el estudio de una situación social en el montaje de un escenario de aprendizaje
en la clase de matemáticas. Poco a poco se iban notando los pasos que daban los estudiantes en
el proceso, y aunque no se había iniciado el proceso de indagación de los asuntos particulares
relacionados con el uso de la moto, las declaraciones que daban los estudiantes se iban haciendo
más estructuradas y con mayor conciencia frente al cuidado de sí.
Escena II: Trabajando en grupo sobre el asunto particular elegido para el desarrollo de
la investigación
Luego de la contextualización, discusión y definición de los factores que inciden en los
accidentes de tránsito en los que se ven involucradas las motos y que pueden depender del
conductor, del estado del vehículo o de condiciones ambientales, los estudiantes tuvieron la
posibilidad de decidir cuál de estos asuntos les generaba mayor interés para realizar el proceso de
indagación. Allí, eligieron libremente con quién querían trabajar, con el propósito de estudiar ese
asunto en relación con las matemáticas que podían surgir de acuerdo con las preguntas
82
orientadoras que se propusieron para cada tema. De esta manera, se esperaba que durante el
desarrollo del proceso se pudiera establecer —desde el trabajo realizado en la clase de
matemáticas— una postura crítica frente al cuidado de sí en el uso de la moto, y que ésta
generara cambios en la cultura habitual a la que estaban acostumbrados los estudiantes.
Episodio 4: Implicaciones del estado de embriaguez en la conducción
Otro aspecto que resultaba importante estudiar en relación con el cuidado de sí en el uso
de la moto se relacionaba con el estado del conductor. Se reconocía el alto grado de
irresponsabilidad de algunos conductores que no eran conscientes del peligro de conducir
mientras tenían presencia de alcohol en su cuerpo, o que al saberlo, le restaban importancia al
hecho de arriesgar su vida. Este grupo encontró en su investigación inicial una información
importante con respecto al ritmo en que se elimina el alcohol del cuerpo, que se puede evidenciar
en la Transcripción 6, que presenta un fragmento de la discusión del profesor con las estudiantes.
Sergio: Eso que tú me mostrabas ahorita del tiempo de reacción en condiciones normales que es entre 0,5 y 1 segundo, mira si de pronto ahí también está, si la persona está en estado de embriaguez, ¿cuál es el tiempo de reacción? Yuleidy: Pues es que acá había algo. Sergio: Para hacer una comparación. Yuleidy: El alcohol se elimina a ritmo de 0,2 gramos por hora, más despacio mientras dormimos, o sea porque si usted está en actividad suda y bota el alcohol más rápido. Estefanía: O sea, podríamos mirar cuánto tiempo se demora en desintoxicar el cuerpo. Sergio: Eso yo no lo sabía. Jesica: Dice: los efectos que produce el alcohol son el aumento en el tiempo de reacción, la disminución de la atención, de la capacidad de conducir, aumento en la fatiga y la somnolencia, la reducción del campo visual (“efecto túnel”) y la incorrecta apreciación de distancias y velocidades. Yuleidy: O sea, puede pensar que va lento, pero va rápido y por eso es que pasan accidentes. Estefanía: También se podrá castigar con penas de prisión por conducir en estado de embriaguez. Sergio: Ahorita decían que el alcohol se demora “no sé qué tanto” en desaparecer del cuerpo. Yuleidy: 0,2 gramos por hora. Sergio: Tengan presente ese dato, podríamos mirar, cuando uno se toma, por ejemplo, cinco cervezas, ¿cuánto alcohol le llega al cuerpo? Yuleidy: Depende del alcohol que uno tome. Sergio: Y entonces cuánto tiempo se demora, eso puede ser una cosa que ustedes pueden tratar de responder. Jesica: Pero entonces toca ver cuánto alcohol uno se está tomando, toca entonces poner la referencia de alguna marca de cerveza. Transcripción 6. Implicaciones de conducir en estado de embriaguez
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En este fragmento se pusieron en discusión elementos relacionados con el tiempo de
reacción de un conductor en condiciones normales —sin alteraciones en su cuerpo por consumo
de alcohol u otras sustancias—, el ritmo en que se elimina el alcohol del cuerpo y los efectos que
este produce para las aptitudes del conductor. Se evidenciaron entonces la presencia de
características como la colectividad y condiciones materiales y formales, que posibilitaron la
discusión del asunto hacia la misma dirección porque había una participación informada de todas
las integrantes del grupo, quienes apoyaron de manera respetuosa las ideas para posibilitar una
construcción colectiva.
Las declaraciones de los estudiantes salieron de la repetición de, por ejemplo, frases
como “si va a tomar no maneje” o “se estrelló porque estaba borracho”, que son expresiones que
provienen de la cotidianidad y la experiencia de otros a los que les han sucedido incidentes. A
cambio, se plantearon otros argumentos que daban validez a la importancia de estudiar el estado
de embriaguez para reconocer sus implicaciones en la conducción, como lo mencionó claramente
Jesica desde su consulta: “los efectos que produce el alcohol son el aumento en el tiempo de
reacción, la disminución de la atención, de la capacidad de conducir, aumento en la fatiga y la
somnolencia, la reducción del campo visual (“efecto túnel”) y la incorrecta apreciación de
distancias y velocidades”. De ahí que fuera fundamental no conducir bajo los efectos del alcohol,
lo que le daba fuerza a la reflexión que podía generarse desde este asunto en relación con el
cuidado de sí.
A partir del trabajo colectivo y de consulta, en este grupo parecía notarse un ambiente
propicio para el desarrollo de la competencia democrática, puesto que se evidenciaba un gran
potencial en relación con la alfabetización matemática y el conocimiento reflexivo, manifestado
en el interés de las estudiantes por el tema de investigación a partir de esos elementos
preliminares que habían encontrado desde la consulta. Por eso, con la orientación y
acompañamiento de Sergio, se propusieron indagar cuál sería el tiempo estimado en que el
alcohol desaparecería del cuerpo de un conductor para una cantidad específica de cervezas
consumidas, hecho que resultaría interesante para la reflexión que se pudiera establecer desde la
clase de matemáticas. Quedó una gran expectativa de lo que podría suceder con el trabajo de este
grupo.
84
Episodio 5: ¿Cuánta distancia se recorre en un segundo, a una velocidad de 80 km/h?
Durante el desarrollo del proceso de investigación por parte de los estudiantes, fue
necesario hacer una sesión en la que se dio una discusión para la que se convocó a todos los
estudiantes con el propósito de hacer llamados de atención y dar pautas frente al trabajo
realizado, en la que se resaltaba la importancia de considerar las preguntas propuestas para cada
asunto relacionado con las motos, con el propósito que se pudieran encontrar los elementos
matemáticos que allí pudieran surgir. En este sentido, Sergio empezó a realizar cuestionamientos
a los distintos grupos, lo que propició una discusión que resultó interesante y que se muestra en
la Transcripción 7.
Sergio: Teníamos pendiente responder ¿si el vehículo va a 80 km/h, cuánta distancia recorre en un segundo? Sofía: 22 m profe [levantando la mano]. Mafre: 0,022 km [reaccionando de inmediato]. Sofía: Yo averigüé cómo hacer todo el procedimiento y digamos me da 22.2 m. Sergio: ¿En un segundo recorre toda esa distancia? [Preguntando con sorpresa]. Vanesa: Si, sí. Sofía: Yo tengo la prueba. Jerson: Nooo, eso es mucho. Sergio: Todos tienen una idea de cuánto son 22 m. Estudiantes: Si, si… Sergio: En el pasillo, de esquina a esquina, ¿cuántos metros hay más o menos? Yuleidy: Unos diez más o menos. Estudiantes: Nooooo [expresión grupal]. Vanesa: Unos 35 m. Jerson: Como unos 40 m. Yonier: Yo no creo que la teoría sea de todos exacta. Sofía: Yo averigüé el proceso por internet. Sergio: ¿Alguien sabe cómo se llama el procedimiento matemático para calcular eso? Yuleidy: Regla de tres. Vanesa: Nosotros hicimos el proceso con ayuda del profesor Fernando y nos dio 0,022 km. Camila: Si, ahí tocaba pasarlo a metros. Sergio: ¿Alguien sabe cómo hacer esa conversión de kilómetros a metros?, ¿hay ahí una cosa matemática? Jorge: Multiplicando por 1.000. Sergio: Ah bueno, entonces si va a 80 km/h en un segundo, como en un parpadeo, recorre 22m. Jerson: Es falso. Alexandra: Obvio, es que son muchos metros. Transcripción 7. ¿Cuánta distancia se recorre en un segundo a 80 km/h?
Previamente, con la información que había encontrado el grupo de Yuleidy con respecto a
que un conductor en condiciones normales —es decir, que no está bajo los efectos del alcohol o
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de otras sustancias— se tarda entre 0,5 y 1 segundo para reaccionar, se produjo la necesidad de
conocer cuánta distancia se recorría en ese tiempo de reacción si el conductor iba a una velocidad
de 80 km/h. Como se evidenció en la conversación, algunos estudiantes realizaron
procedimientos matemáticos para resolver este cuestionamiento, y sus procesos variaron de
acuerdo con la unidad de medida en la que expresaron la respuesta —que podía ser en metros o
kilómetros—, con lo que llegaron a definir que la distancia recorrida era de 22,2 m.
En este proceso se pueden observar rasgos de la alfabetización matemática en el uso de
procedimientos como la regla de tres, la conversión de unidades de medida y la
proporcionalidad, para los cuales recurrieron a distintas fuentes de ayuda encontradas en
docentes de otras áreas o documentos en internet, lo que hace parte de las condiciones materiales
con que se disponía en el proceso de investigación. También es posible encontrar relaciones con
la estimación de distancias, al tratar de visualizar lo que representaban 22,2 m al establecer
algunas relaciones con distancias de su espacio cotidiano, sin llegar a un acuerdo común. Pese a
que tenían un argumento matemático en relación con que en 1 segundo, a una velocidad de 80
km/h, se recorrían 22,2 m, ellos no lo concibieron como cierto, pues para ellos era imposible que
en un segundo se recorriera tanta distancia.
Se observan indicios de la alfabetización matemática (Skovsmose, 1999) en la medida en
que los estudiantes dieron sus primeros pasos hacia la comprensión de lo que representaba el
exceso de velocidad y las implicaciones que esta traía en la conducción y en la maniobrabilidad
del conductor al usar elementos matemáticos en el abordaje de la situación. Por supuesto, y
aunque no fue fácil asimilarlo, este era un llamado de atención hacia la interpretación de los
asuntos matemáticos que tomaban lugar en el trabajo de indagación que estaban realizando los
estudiantes.
Lo anterior puede deberse a que algunos todavía estaban arraigados a su experiencia, lo
que les impedía aceptar la realidad de lo que representaban los procedimientos matemáticos y,
más aún, reconocer la implicación de esta distancia en la prevención de un accidente. Es
interesante notar la dificultad para llevar a la realidad esos elementos que se encontraban desde
las matemáticas en relación con la situación estudiada, lo que evidenció que aún no se tenía una
conciencia en relación con lo que representaba el exceso de velocidad, aunque la mayoría
manifestó previamente haber conducido o, al menos, haber sido pasajero en una moto.
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En este sentido, notamos que se posibilitaban algunas condiciones para la democracia
(Skovsmose, 1997) en relación con las condiciones formales y materiales que posibilitaban la
participación en la discusión, en el sentido en que la información sobre la situación estaba puesta
a disposición de todos, lo que les dio la oportunidad de participar y tomar una postura. De este
modo, se evidencian la colectividad y la deliberación como características de la democracia
(Skovsmose y Valero, 2012), en la medida en que, de manera conjunta, los estudiantes pusieron
en discusión algunos argumentos y propusieron unos indicios de debate para decidir sobre la
validez o no de un elemento de carácter matemático que posibilitaba la interpretación de la
situación.
Este trabajo, que se posibilitó en la clase de matemáticas del curso 803 a través del
estudio de los diversos asuntos relacionados con el uso de las motos, nos permitió notar que en
aquel momento existía una negativa por parte de los estudiantes para asumir como verdaderos los
elementos de carácter matemático que habían encontrado y que estaban intentando interpretar en
la situación real. Su actitud crítica y de duda frente a estos elementos matemáticos mostró un
acercamiento a lo que Skovsmose y Valero (2012) denominan relación crítica pues, a pesar de
tener un procedimiento matemático, los estudiantes no lo asumieron como una verdad
irrefutable, y desde sus conocimientos intentaban controvertirlos en tanto que aún no estaban
plenamente convencidos de su veracidad.
Episodio 6: Aprendiendo sobre la energía cinética y la energía de rozamiento
El grupo conformado por Carla y Vanesa mostró sus avances en relación con la energía
cinética y la energía de rozamiento a partir de algunas expresiones matemáticas que permitían
determinar la velocidad a la que iba un vehículo que realiza una frenada de emergencia y deja
marcas en el asfalto. Se mostró la necesidad de comprender cada uno de los elementos que
componían el modelo encontrado y de estar en capacidad de contextualizar esa información en
casos particulares y más concretos. Inicialmente, esto resultaba un tanto complejo, porque se
debía identificar lo que representaba cada una de las variables que aparecían en las fórmulas,
para lo que eran necesarios la orientación y los cuestionamientos del profesor, de forma que se
pudiera avanzar en el proceso de investigación, tal y como se observa en la Transcripción 8.
Sergio: ¿Este dibujo qué es lo que representa? Vanesa: Este representa la velocidad.
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Carla: Este representa la frenada cuando el perrito se le atraviesa [señalando el dibujo]. Sergio: ¿O sea, este tipo de dibujo se ve cuando qué? Vanesa y Carla: Cuando va a la velocidad que vaya. Sergio: Cuando se está moviendo. Carla: Y ésta es cuando se le atraviesa un perrito. Sergio: Un obstáculo, alguna cosa. Vanesa: Es cuando va frenando. Sergio: Al frenar se genera esa energía de rozamiento. Vanesa y Carla: Si. Carla: Y para calcular la energía cinética se utiliza ½ vm× (un medio masa por velocidad). Y para la de energía de rozamiento se utiliza masa por gravedad, por densidad por u…Vanesa, ¿qué es lo que es u? Vanesa: Algo del rozamiento. Carla: Es el coeficiente de rozamiento y esta cosita significa energía de rozamiento [señalando una de las variables de la fórmula]. Sergio: Bueno, ¿y esas fórmulas para qué sirven? Carla: Para hallar la velocidad a la que iba el vehículo cuando ve un obstáculo y realiza una frenada inesperada. Vanesa: Digamos que cuando usted frena, se puede decir que quema llanta y queda una marca. Carla: Y sólo hallando la longitud se puede hallar a la velocidad a la que usted iba. Sergio: Supongamos que el vehículo va a cierta velocidad, no se cuánta, tiene una frenada de emergencia y la rueda deja una marca de 50 cm, ¿y ahí cómo hago para saber la velocidad que llevaba el vehículo? Vanesa: Mido la longitud. Sergio: Listo, ya sabe que son 50 cm ¿ahora? Carla: Hay que hallar la energía cinética y la energía de rozamiento, y se hace con estas fórmulas [señalando las hojas de trabajo]. Transcripción 8. Interpretación de un modelo matemático ya establecido
En el trabajo de exploración que habían realizado Carla y Vanessa se evidenció un
proceso de consulta interesante en relación con el exceso de velocidad, que las llevó a
enfrentarse a un modelo matemático ya establecido, lo que a su vez implicó un proceso de
estudio para comprender e interpretar cada uno de los datos o variables que allí tenían lugar. Este
hecho implicó estudiar conceptos desconocidos para ellas —como la energía cinética y energía
de rozamiento—, a fin de relacionarlos con la situación estudiada.
Por supuesto, aquí se evidenció un trabajo colectivo que había llevado a las estudiantes a
avanzar en la comprensión del modelo encontrado, con lo que se reconoció que juntas mostraban
dominio de la información que sometieron a discusión. Aún no había rasgos evidentes de
deliberación, transformación y coflexión (Skovsmose y Valero, 2012), porque apenas estaban en
el proceso de interpretación de la información que habían consultado, que sin duda tenía un gran
potencial y que permitía esperar que estos elementos se vieran reflejados hacia el final del
trabajo. Sin embargo, este avance dejaba ver la puesta en común de unas condiciones formales y
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materiales, tanto para el acceso a la información como por la apropiación de ella y la
organización que habían consolidado al interior del grupo de trabajo. Todo esto dejaba ver,
nuevamente, que el montaje del escenario estaba proporcionando las condiciones que contribuían
al desarrollo de la competencia democrática de acuerdo con el contenido de la situación.
El proceso de exploración del modelo matemático encontrado —en relación con la
energía cinética y de rozamiento— para determinar la velocidad a la que iba un vehículo que
había dejado una marca luego de hacer una frenada de emergencia permitía pensar que si las
estudiantes lograban consolidar este proceso de alfabetización matemática, tendrían herramientas
importantes tanto para establecer una postura frente al cuidado de sí como para aportar otro tipo
de elementos matemáticos relacionados con la situación a la discusión grupal del curso 803.
Episodio 7: Construyendo elementos matemáticos con los aportes de estudiantes de grupos distintos
Este episodio resultó bastante interesante en la medida en que, de forma esporádica,
Jerson y Guzmán empezaron a aplicar procedimientos matemáticos en relación con velocidad,
tiempo y distancia, de acuerdo con los avances que habían logrado desde el trabajo en sus
diferentes grupos. Con los procesos e ideas matemáticas que realizaron y pusieron en juego en el
tablero, era posible notar cómo la alfabetización matemática iba tomando un lugar importante en
el quehacer de los estudiantes en la clase desde su propia iniciativa. Aquí se propiciaron procesos
comunicativos y de razonamiento entre los estudiantes y el profesor en relación con la situación
social estudiada, lo que mostró el cambio en el ambiente de clase que había generado el montaje
del escenario. En la Transcripción 9 se muestra esa interacción comunicativa y se evidencian
elementos de la alfabetización matemática.
Sergio: ¿Qué pasó? Jerson: Si está a 25m de distancia, quedaría 2,5m para no estrellarse, esa sería la distancia entre vehículo y vehículo. Sergio: No, es que lo que han investigado, por ejemplo, en el grupo de Guzmán es que a 50 km/h la distancia sugerida entre los vehículos es de 25m. Guzmán: Si, esas distancias varían de acuerdo a la velocidad que lleve el vehículo. Jerson: No, porque si frena. Sergio: Por eso, esos 25m cómo se distribuyen o por qué es que se sugiere que sean 25m. Jerson: Por los tiempos y distancia de reacción. Sergio: Exacto, ¿cuál es la distancia de reacción? Jerson: 0,75 segundos. Sergio: Ese es el tiempo de reacción, pero en esos 0,75 segundos, ¿cuánto recorre? Guzmán: Recorre 10.42 m [Ver Figura 3].
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Sergio: Ahora, están separados a 25m, mientras piensa si frena… Jerson: Recorre 10m y algo. Guzmán: 11m [haciendo una aproximación]. Sergio: Eso, ¿Cuánto falta para completar los 25m? Jerson: La distancia de frenado y la distancia total. Sergio: Ahí está la respuesta a lo que ustedes han estado preguntando, ¿cuál es la distancia de frenado? Jerson: Profe, no sabemos [mostrando preocupación]. Sergio: Pues lo que le falta para completar los 25m. Guzmán: Faltan 14m. Jerson: Ah, y ahí está la respuesta total de la distancia. Sergio: Eso explica lo que ustedes han querido decir frente a la distancia de reacción y de frenado. Jerson: Lo que pasa es que nosotros no teníamos este 25m. Sergio: Claro, eso lo tienen ellos en su grupo [refiriéndose a Guzmán]. Guzmán: Nosotros tenemos las distancias que deben haber entre vehículo y vehículo. Esos 25m es la distancia prudencial si un vehículo va a 50 km/h. Jerson: Ahora hay que buscar esa distancia para 80 km/h, hay que buscarla por internet. Guzmán: No, es que eso nosotros ya lo tenemos. Jerson: ¿De 80 km ya lo tienen? Ah, listo. Transcripción 9. Consolidando ideas matemáticas con los aportes de otros
Figura 3. Trabajo matemático desde equipos distintos
Fuente: Fotografías tomadas en la clase de matemáticas del curso 803.
En la Transcripción 9 se observa el proceso de interacción comunicativa entre Jerson,
Guzmán y Sergio con respecto a los procedimientos matemáticos puestos en juego, de acuerdo
con la investigación que cada uno de los estudiantes estaba realizando en relación con su tema
particular de indagación. Los procedimientos que realizaron en el tablero —y que se presentan
en la Figura 3—, así como la discusión y retroalimentación con el docente, buscaban dar
solución a un cuestionamiento que venía generando ruido en relación con la distancia de frenado,
distancia de reacción y tiempo de reacción, al considerar una velocidad en particular.
Este asunto venía siendo investigado por Jerson y su grupo; sin embargo, no habían dado
respuesta a cuál era la distancia de frenado —estaban estancados justo allí—. Mientras tanto, en
90
el grupo de Guzmán, venían investigando cuáles debían ser las distancias prudenciales entre
vehículos para evitar un choque si se producía una frenada de emergencia, de acuerdo con
velocidades específicas. Justo en este proceso de interacción y compartir de ideas y
procedimientos matemáticos, con ayuda del profesor, lograron establecer vínculos entre las
temáticas que venían indagando ambos grupos y, así, dar una posible solución a
cuestionamientos que antes no habían logrado resolver por sí solos.
Aquí se evidencia la manera en que las condiciones y características de la democracia que
se habían venido manifestando de manera frecuente —condiciones formales y materiales, o
características como la colectividad— posibilitaron el desarrollo de la alfabetización matemática
en relación con el dominio que habían logrado en el cálculo y en procesos de razonamiento
frente a la velocidad, distancia y tiempo que se involucraban, y cómo esto puede llevarlos a
entender mejor la situación social y sus implicaciones en el cuidado de sí. Este es un trabajo
importante en relación con los elementos matemáticos, pues permite considerar la interacción
comunicativa, el trabajo colectivo y la apropiación de los elementos matemáticos que surgieron
en la situación desde la conexión que existía entre los diferentes asuntos estudiados por los
grupos de trabajo.
Es interesante ver el proceso que se propició entre los estudiantes en relación con la
colectividad y la coflexión (Skovsmose y Valero, 2012), pues no requerían que el profesor
estuviera explicando temáticas ni que ellos realizaran ejercicios para visibilizar la comprensión
que habían logrado del tema; más bien, esto se dio desde el trabajo que ellos mismos estaban
realizando. Esto indica que las relaciones de poder cambiaron en la clase de matemáticas y en el
montaje del escenario, y que los estudiantes mostraban interés por el proceso realizado. Se
esperaba que este proceso que se reflejaba en el desarrollo de la alfabetización matemática diera
lugar al establecimiento del conocimiento reflexivo y que los estudiantes usaran esos elementos
matemáticos que habían construido para tomar una postura crítica frente a la situación social.
Escena III: Socializando los avances del proceso de investigación de los estudiantes
Luego del trabajo grupal que hicieron los estudiantes frente al tema de su interés en
relación con el cuidado de sí mismo en el uso de la moto, en el que algunos establecieron
construcciones importantes en relación con los elementos matemáticos que podían excavarse en
esta situación, se dio paso a la socialización de los avances de cada grupo. Esta labor fue
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fundamental para el montaje del escenario, puesto que permitió que los estudiantes compartieran
los conocimientos logrados durante el proceso de estudio y que en el curso 803 se lograra
consolidar un panorama más amplio acerca de los distintos asuntos que influían en el cuidado de
sí. Con este tipo de actividad se posibilitó notar las relaciones que existían entre los aspectos que
debían conocer los motociclistas para reducir los riesgos de usar este medio de transporte.
Episodio 8: Determinando el tiempo que se tarda en desaparecer el alcohol del cuerpo
Inicialmente, el grupo conformado por Yuleidy, Jessica y Estefanía había desarrollado un
trabajo interesante en relación con la forma en que el consumo de alcohol afectaba la
conducción, y había concentrado su interés en determinar cuánto tiempo se tardaba en
desaparecer del cuerpo el alcohol que tiene una cerveza. En el proceso de avance de la
investigación contaron con el apoyo de un nuevo integrante —Jaider—, que solicitó cambiarse
de grupo porque los compañeros con los que estaba trabajando no aportaban al proceso de
investigación, lo que lo desmotivó.
En el trabajo previo desarrollado por este grupo, realizaron una exploración en relación
con los efectos que tenía el consumo de alcohol para los conductores y cómo esto incidía en los
accidentes de tránsito. Habían encontrado que el alcohol desaparece a ritmo de 0,2 g/h, por lo
que se propusieron indagar cuánto tiempo se tardaría en desaparecer del cuerpo el alcohol que
había en una cerveza. De acuerdo con el proceso de indagación que había realizado el grupo, se
presentó la conversación entre Jaider y Sergio que se muestra en la Transcripción 10, mientras
Yuleidy, Jessica y Estefanía solo participan como oyentes.
Jaider: Profe ya arreglé eso, no son tres días con 224 minutos sino 2 días con 17 horas, porque como no da 62, acá la embarramos. Sergio: Dos días son 48 horas. Jaider: Y para que llegue a 65 se le suman 17 horas. Sergio: ¿Y la tabla al fin la organizaron? Jaider: Pues acá yo empecé a tomar el tiro y me di cuenta que solamente era multiplicar el 24 por el 0,2. Da: en un día, se elimina 4,8 g de alcohol. Sergio: Tres horas, cuatro horas. Jaider: Tampoco daría porque… Sergio: ¿Seguro que en 24 horas es 4,8g? ¿Cuántos gramos es que tiene la botella? Jaider: 13,18 g Sergio: A mentiras, si Jaider: Pero no daría Sergio: 4,8g ¿o sea en 2 días 9,6g? Jaider: Si, dos días con 17 horas. Entonces 9,6g más el 3,4g que elimina en las 17 horas
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Sergio: Ahí está, ¿no? ¿Y usted qué es lo que dice?, ¿que multiplicando qué por qué?, ¿cómo? Jaider: ¿qué? Sergio: Usted dijo que se había dado cuenta que multiplicando algo… Jaider: Ah, pues ese era fácil porque es 24 horas que es un día, por el 0,2g que es lo que se demora por hora, da 4,8g, que es el mismo resultado de arriba, y es más fácil así que ponerse hora por hora por hora. Sergio: Ah, ya le entiendo. ¿Usted dice multiplicar qué? Jaider: 24 horas por el 0,2g que se elimina cada hora. Para pues ahí saber en las 24 horas cuántos gramos se elimina. Transcripción 10. Tiempo que tarda el alcohol en desaparecer del cuerpo
Figura 4. Proceso de tabulación y generalización
Fuente: Fotografía tomada al trabajo realizado por los estudiantes en la clase de matemáticas del curso 803.
Figura 5. Gráfica en Geogebra para validar los datos obtenidos
Fuente: Fotografía tomada al trabajo realizado por los estudiantes en la clase de matemáticas del curso 803.
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Previo a esta discusión, los estudiantes concluyeron que una cerveza Poker6 contiene
13,18 g de alcohol. Este trabajo no fue sencillo, pues con ayuda de algunas pesas de precisión del
laboratorio de física calcularon el peso real del líquido; posteriormente debieron hacer una
conversión de centímetros cúbicos a gramos, lo que resultó complejo, incluso para el profesor.
Por esta razón, recurrieron a la ayuda de un profesor de física, quien les dio algunas
orientaciones para hacer una aproximación a esta conversión. Con esta información, lo que
buscaban era determinar el tiempo que se tarda en desaparecer ese alcohol del cuerpo, que
corresponde a una sola cerveza.
Durante el desarrollo de este proceso de interacción comunicativa solo uno de los
integrantes del grupo tomó la vocería para mostrar los avances que habían logrado, pese a que en
el trabajo realizado todos participaron de manera activa. Esto puede deberse a que, en este
momento del trabajo, el asunto que estaban investigando los llevó a tratar procedimientos
matemáticos un poco más complejos, y algunos no se sentían tan hábiles. Aquí, es posible
evaluar las condiciones éticas, de participación y reacción, en la medida en que no todos se
sentían en igualdad de condiciones para participar en la discusión, por lo que decidieron
solamente escuchar y aportar en la medida de sus posibilidades.
Esto quizá lleva, de manera implícita en el quehacer y actuar de los estudiantes, rasgos de
la deliberación, en la medida en que de acuerdo con lo observado y estudiado decidieron
mantenerse al margen y dejar que aquellos que eran más hábiles pudieran avanzar y dar
respuesta a la problemática que en su momento se habían planteado. De alguna forma, esto deja
ver rasgos del desarrollo de la competencia democrática en la medida en que, siendo conscientes
de sus debilidades, tomaron decisiones que no entorpecieran el trabajo grupal y que, de esta
manera, se pudiera avanzar en el proceso de investigación de acuerdo con las características y
habilidades propias.
A partir de lo observado en el proceso de investigación de este grupo podemos notar
cómo la alfabetización matemática tomó lugar en sus avances frente a la investigación que se
habían propuesto desde el principio, y que tal alfabetización se relacionó con los procesos de
conversión de unidades, tabulación de datos, generalización de procesos, uso de gráficas y
comprobación de los datos obtenidos, que se observan en las Figuras 4 y 5. Aquí se observó la
6 Marca de cerveza colombiana que se consume usualmente y que tiene un volumen de alcohol diferente a otras marcas de cerveza.
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riqueza de las matemáticas en los diversos asuntos relacionados con el cuidado de sí mismo, en
la medida en que permitieron dotar de sentido las decisiones, que se tomaban con un nivel de
conciencia y responsabilidad mayor.
Se esperaba que este tipo de elementos permearan las declaraciones de los estudiantes de
este grupo en relación con su postura frente al cuidado de sí mismo en relación con el asunto del
estado de embriaguez. Sin embargo, debido a las implicaciones del tiempo en el desarrollo del
montaje, no fue posible indagar sobre este aspecto; por esta razón, resultó fundamental hacer uso
de las entre-vistas para recopilar información al respecto y para concluir, con mayor
información, acerca del desarrollo del conocimiento reflexivo y, por ende, del desarrollo de la
competencia democrática.
Episodio 9: Analizando los elementos relacionados con el exceso de velocidad y sus implicaciones
En la Transcripción 11 se muestran avances del proceso de investigación de grupo de
Alexandra, Sady y Jerson, quienes estudiaron el exceso de velocidad y la relación entre
distancias y tiempos de reacción. Este episodio se situó en las exposiciones finales que se
realizaron para socializar y poner en discusión los avances logrados.
Alexandra: Nosotros les vamos a comentar sobre el tema que trabajamos, que fue el exceso de velocidad, y que se relaciona con distancias y tiempos de reacción. Jerson: Esta es la velocidad que recorre un vehículo por segundo, esta es la fórmula matemática que utilizamos (Ver Figura 6). Sady: ¿Por qué no la explica aquí? [Jerson se dirige al tablero]. Jerson: Entonces, 80 km/h sería igual a 80.000 dividido en 3.600 que es lo que tiene en segundos una hora, se divide y da este resultado, 22,22 m/s. Esta es la distancia que recorre un vehículo a 80 km/h en un segundo. Alexandra: Tenemos también el tiempo de reacción, que es el tiempo que transcurre desde que el conductor percibe un estímulo hasta que responde al mismo. Sady: El tiempo de reacción es de 0,75 segundos desde que vemos el estímulo, que va al cerebro y del cerebro pasa la información al pie, para frenar. Yuleidy: Eso es lo que gasta una persona en buen estado, ¿verdad? Alexandra: Si [asiente con la cabeza]. Jerson: La distancia de frenado es lo que tarda un vehículo en detenerse desde que el conductor oprime el freno hasta que el vehículo se detiene por completo. Sady: O sea, el conductor ve algo y antes de que llegue la información al cerebro, el vehículo sigue en movimiento; por lo tanto, recorre una distancia. Jerson: Por eso, se debe tener en cuenta la distancia de reacción, que se calcula usando una regla de tres (Ver Figura 7). 22 metros es el resultado de cuánto recorre un vehículo por segundo, multiplicado por 0,75 que es el tiempo de reacción, dividido en 1 segundo, da un
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total de 16.66 m/s, que es la distancia recorrida mientras el conductor reacciona y oprime el freno. Sergio: [hace algunos llamados de atención a los estudiantes que no muestran buena disposición frente al trabajo de sus compañeros]. Alexandra: Finalmente, tenemos la distancia total, que es la suma de la distancia de reacción y la distancia de frenado, lo cual varía de acuerdo a la velocidad del vehículo. Camila: ¿Cuándo dicen que esto varía, a qué se refieren? Jerson: Varía dependiendo de la velocidad. Si, por ejemplo, el vehículo va muy rápido, pues recorre más metros en reaccionar y en frenar; es decir, entre más rápido vaya, la distancia de reacción y frenado aumenta. Sady: Cuando consultamos sobre el exceso de velocidad encontramos que es uno de los principales factores de accidentalidad. Por eso tiene relación con el cuidado de sí mismo. Podemos decir que, si el conductor quiere cuidarse, respeta las señales de tránsito, y es consciente a la velocidad que va, porque si se le aparece un obstáculo necesita tener tiempo para frenar o reaccionar. Eso va como en cada quién, si usted se quiere, se cuida. Alexandra: Ese fue un lema que nosotros hicimos a partir de este trabajo, porque es realmente importante que usted tenga cuidado al conducir, ahí influye el estado en el que usted esté para poder reaccionar, me respeto a mí y respeto a los demás. Jerson: También tenemos que tener cuidado con la velocidad a la que vamos, porque como les mostramos, si conducimos muy rápido y se nos presenta un obstáculo, solo en el tiempo que nos demoramos reaccionando, si vamos a 80km/h, vamos a recorrer más o menos 16 metros antes de oprimir el freno, y tal vez sea muy difícil evitar chocarnos. Transcripción 11. Elementos matemáticos y reflexivos relacionados con el exceso de velocidad
Figura 6. Conversión de unidades de medida
Fuente: Fotografía tomada al trabajo realizado por los estudiantes en la clase de matemáticas del curso 803.
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Figura 7. Regla de tres para determinar la distancia de reacción
Fuente: Fotografía tomada al trabajo realizado por los estudiantes en la clase de matemáticas del curso 803.
En esta información se muestra el proceso de exploración matemática realizado por
Alexandra, Sady y Jerson frente a los elementos relacionados con el exceso de velocidad, que
resultó de vital importancia al hablar del cuidado de sí. En el proceso desarrollado por los
estudiantes durante el montaje del escenario, fue posible notar características de la competencia
democrática como la colectividad, dado que se evidenció un trabajo en equipo para construir,
entender, compartir y reflexionar sobre los elementos matemáticos —conversión de unidades,
regla de tres, proporcionalidad, análisis funcional entre las magnitudes físicas, etc.—, que se
evidencian en las Figuras 6 y 7. A su vez, se indagó sobre las consecuencias de los fenómenos
físicos presentes en la situación —tiempo de reacción, distancia de frenado, distancia de
reacción, tiempo de frenado, velocidad, etc.—.
En este sentido, se encuentra coincidencia con Skovsmose y Valero (2012) en la idea de
que la democracia requiere que las personas compartan la conciencia y la necesidad de cooperar
para tomar decisiones y generar condiciones de vida apropiadas para todos (p.14). De acuerdo
con esto, los aportes presentados por Alexandra y sus compañeros —que incluyen el análisis
matemático que lograron consolidar— contribuyeron a generar conciencia en los demás
estudiantes del curso 803 frente a la relación entre el exceso de velocidad y el cuidado de sí. Por
tal razón, el proceso que llevaron a cabo Alexandra, Sady y Jerson —búsqueda de información,
análisis, estudio de algunos fenómenos físicos, reflexiones y demás— les permitió generar
algunas consideraciones que podrían modificar las condiciones de vida de ellos mismos y de
quienes los escuchaban, de forma que se hacía posible la identificación de la transformación
97
como otra de las características de la democracia que tomaba lugar en el quehacer de los
estudiantes.
De acuerdo con la disposición del espacio y la organización de los estudiantes para la
realización de esta actividad —que se relaciona con las condiciones formales para la
democracia—, Alexandra, Sady y Jerson tenían la palabra para dar a conocer los avances de su
trabajo, y se esperaba que el auditorio mostrara respeto, aceptación y discusión por la
información que estaba siendo compartida. Sin embargo, se evidenciaron algunos apartes en los
que fue necesario hacer una pausa para convocar la atención de algunos estudiantes que se
encontraban dispersos. De este modo, se reconoce que todos los estudiantes del curso 803 que
hicieron parte de este trabajo —tanto quienes presentaron la información y las reflexiones como
quienes escuchaban o hacían parte del auditorio— tuvieron la posibilidad de acceder a la
información que se compartió, puesto que se hizo uso de medios tecnológicos —video beam y
computador— para darla a conocer, de manera que todos tuvieran acceso a ella y pudieran
apoyar, discutir o controvertir; estos elementos que están relacionados con las condiciones
materiales para la democracia.
En relación con lo observado en el episodio frente al trabajo, se hizo evidente la
utilización de argumentos de tipo matemático para la explicación de fenómenos físicos, y estos a
su vez permitieron al grupo dar mayor solidez a la presentación de sus ideas y, por lo tanto,
plantear reflexiones que fueron más allá del relato de experiencias. El hecho de reconocer que un
vehículo que se desplazaba a una velocidad de 80 km/h recorría, en un segundo, 22,22 m, llevó al
grupo a plantear —mediante una regla de tres— que en el tiempo de reacción —0,75 segundos,
si el conductor está en condiciones adecuadas— se recorrían aproximadamente 16,66 m. Este
argumento puso en el centro de la reflexión la importancia de ser conscientes del exceso de
velocidad, ya que si aparecía un obstáculo a menos de 20 m y se viajaba a esta velocidad,
resultaba físicamente imposible detener el vehículo antes de chocar. Además, había que tener en
cuenta que el vehículo recorría una distancia adicional —distancia de frenado— antes de
detenerse por completo.
En este sentido, cuando Jerson intentó responder la pregunta de una de sus compañeras,
hizo una conclusión frente a la relación funcional que existe entre las magnitudes físicas que se
involucran en la situación cuando menciona: “si por ejemplo el vehículo va muy rápido, pues
recorre más metros en reaccionar y en frenar, es decir, entre más rápido vaya la distancia de
98
reacción y frenado aumenta”. En el discurso de Jerson se pudieron notar indicios de la
alfabetización matemática para tomar una postura frente al exceso de velocidad como un asunto
que confluía de manera relevante en el cuidado de sí mismo y para hacer notar a sus compañeros
la dimensión del problema del exceso de velocidad, de forma que intentó generar en ellos un
punto de vista crítico sobre la situación.
Ahora bien, en consideración de la exploración matemática que realizó el grupo,
Alexandra, Sady y Jerson intentaron establecer una relación entre la accidentalidad de
conductores de moto a causa del exceso de velocidad y el cuidado de sí mismo, como se puede
observar en las tres últimas intervenciones del fragmento. Aquí se evidenció que los estudiantes
tenían argumentos que ya no se basaban solo en sus experiencias o en lo que conocían de manera
empírica sobre el asunto del exceso de velocidad, pues en las consideraciones emitidas
establecían relaciones con otros asuntos que influían en el cuidado de sí, como el estado del
conductor o el respeto a las señales de tránsito —como lo mencionan Sady y Alexandra—. Ellas
reconocieron que había una relación directa entre el cuidado propio y el de los demás cuando
propusieron las frases “si usted se quiere, se cuida” y “me respeto a mí y respeto a los demás”.
Esto quería decir que las estudiantes estaban tomando una postura frente a la situación
social con los argumentos que les habían dado las matemáticas involucradas en la situación, con
lo que se hacía evidente el conocer reflexivo en sus declaraciones. A su vez, estas posturas no
solo se quedaban para ellas sino que deseaban transmitirlas a sus compañeros, a fin de intentar la
generación de una conciencia colectiva de las implicaciones que el asunto del exceso de
velocidad traía para el cuidado de sí mismo. Estas consideraciones estaban impregnadas de
elementos matemáticos que posibilitaban tener una visión diferente de lo que implicaba conducir
una moto, y se evidenció en la observación que hacía Jerson al referirse a un ejemplo puntual en
el caso de un conductor que iba a una velocidad de 80 km/h, que resultaba ser muy común para la
mayoría de los motociclistas, pero que también generaba un gran riesgo.
En este sentido, se sugiere que el conocimiento reflexivo se hizo presente en tanto que en
el discurso de los estudiantes se evidenciaron apreciaciones que permitían cuestionar el hecho de
si saber conducir o respetar las señales de tránsito implicaba ser un conductor responsable ya
que, como se evidenció, esos elementos no bastaban para hacer conscientes a los conductores de
la responsabilidad social y de las consecuencias que se asumían consigo mismo y con los demás
cuando se decidía conducir una moto. Este conocer reflexivo se hizo más sólido en los discursos
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de los estudiantes cuando aparecieron argumentos matemáticos que permitían apoyar sus ideas
sobre los distintos asuntos relacionados con la situación social estudiada.
Episodio 10: Encontrando la velocidad a la que iba un vehículo aplicando un modelo matemático ya establecido
Al grupo de Carla y Vanesa llegó Juan David, quien abandonó el grupo que había
conformado inicialmente porque con sus compañeros no logró establecer un trabajo en términos
de la colectividad y la deliberación, ya que sus compañeros no aportaban al proceso de
indagación que estaba relacionado con el exceso de velocidad. Inicialmente, Carla y Vanesa
habían encontrado dos fórmulas en relación con la energía cinética y la energía de rozamiento
que, al ser igualadas, y mediante el despeje de la variable v, permitían encontrar un modelo para
hallar la velocidad a la que se desplazaba un vehículo si se conocía la longitud de la marca que
deja el neumático en el asfalto al realizar una frenada de emergencia. Carla, Vanessa y Juan
David se propusieron interpretar el modelo matemático de acuerdo con sus características para
llevarlo a la situación social estudiada, de manera que esa información les permitiera mostrar
otra perspectiva en relación con el exceso de velocidad y el cuidado de sí.
Lo interesante de este grupo fue notar la apropiación que lograron de su investigación en
relación con el manejo de los procedimientos matemáticos y la interpretación que dieron a la
información consultada con base en el significado asignado a cada uno de los elementos que
tomaban lugar en el modelo encontrado. Hicieron un trabajo significativo para que sus
compañeros también pudieran comprender el modelo y lo aplicaran a situaciones específicas en
la conducción de la moto, lo cual se observa en la Transcripción 12.
Carla: Nosotros encontramos una fórmula que sirve para saber a qué velocidad iba un
vehículo midiendo la marca que deja al frenar µ×××= dgv 2
Juan David: Nosotros queremos explicarles en qué consiste la fórmula que encontramos y para qué sirve. Vanesa: El 2 es un valor específico.
Carla: La g es la gravedad, la cual tiene un valor específico que es 9.81 2/ sm . Eso es una constante. Vanesa: La d es la distancia de la marca que dejó el vehículo cuando frenó. Carla: La µ es el coeficiente de rozamiento; para esto utilizamos la tabla de coeficientes de rozamiento. Y esto sería lo que necesitamos saber para hallar la velocidad. Juan David: Les vamos a explicar cómo funciona la fórmula [dirigiéndose con Carla al tablero].
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Vanesa: Nos dimos cuenta que en la fórmula siempre hay que multiplicar 2 por la gravedad,
entonces siempre vamos a tener como resultado 19,62 2/ sm y esto lo multiplicamos por la distancia y por el coeficiente de rozamiento, así es más rápido [Ver Figura 8]. Carla: Les vamos a mostrar un ejemplo con un coeficiente de rozamiento de 0,3, que es para un neumático viejo y asfalto mojado y una marca de frenado de 10m [realizan el procedimiento en el tablero]. Vanesa: Esto significa que, si vamos en un vehículo con neumáticos viejos en una carretera con asfalto mojado, a una velocidad de 14,55 km/h y frenamos en seco, el vehículo se desplazará aproximadamente 10 m [Ver Figura 9]. Sergio: ¿Será que sí, porque 14 km/h es muy despacio? Yonier: Pero es que el piso está liso. Carla: Y es un neumático viejo. Sergio: Hay que tener en cuenta que el coeficiente de rozamiento para estas características es entre 0,3 y 0,4 y ellos tomaron el menor valor, 0,3. Alexandra: No entiendo de dónde se toman esos coeficientes de rozamiento, ¿eso de dónde sale? Vanesa: Ya hay una tabla que indica los valores de los coeficientes de rozamiento de acuerdo a unas características específicas. Juan David: La idea es que ahora nosotros les demos unos valores de distancias y coeficientes de rozamiento y ustedes calculen la velocidad a la que iba el vehículo, por filas, puede ser. Carla: Teniendo en cuenta que los coeficientes de rozamiento se presentan en la tabla como dos valores, tomaremos el valor de la mitad. Por ejemplo, si el coeficiente está entre 0,3 y 0,4 tomaremos 0,35. Vanesa: De acuerdo con los siguientes datos, cada fila debe calcular la distancia a la que iba el vehículo [escriben la información en el tablero]. Sergio: Entonces fila 1 hace el ejercicio para neumático viejo asfalto seco con coeficiente de rozamiento 0,5; fila 2 neumático viejo asfalto mojado con coeficiente de rozamiento 0,35; fila 3 neumático nuevo asfalto seco con coeficiente de rozamiento 0,8 y fila 4 neumático nuevo asfalto mojado con coeficiente de rozamiento igual a 0,5. Juan David: Y el valor de la distancia o marca de frenado lo pone cada uno. Vanesa: Compañeros, intenten realizar la actividad y nosotros vamos pasando a sus puestos a resolver las dudas que ustedes tengan [Ver Figura 10]. Transcripción 12. Interpretación y aplicación de un modelo matemático dado
Figura 8. Generalización con los datos del modelo
Fuente: Fotografía tomada al trabajo realizado por los estudiantes en la clase de matemáticas del curso 803.
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Figura 9. Ejemplo de aplicación de los datos del modelo.
Fuente: Fotografía tomada al trabajo realizado por los estudiantes en la clase de matemáticas del curso 803.
Figura 10. Solución de dudas sobre la aplicación del modelo
Fuente: Fotografía tomada al trabajo realizado por los estudiantes en la clase de matemáticas del curso 803.
Es interesante notar que características como la colectividad y la transformación (Valero
y Skovsmose, 2012) y, en general las condiciones formales, materiales, éticas y de participación
y reacción (Skovsmose, 1999), se hicieron evidentes en el proceso que mostraron Carla, Vanessa
y Juan David. De manera colectiva, y haciendo uso de las herramientas que tenían a su
disposición, encontraron información que resultaba valiosa, la estudiaron, la interpretaron y la
discutieron con sus compañeros para que todos tuvieran las herramientas y tomaran libremente la
decisión de participar en la discusión en relación con el exceso de velocidad, para lo que
trabajaron desde un modelo que no había sido considerado por ningún otro grupo.
Esta puesta en común de las características y condiciones mínimas para la democracia
posibilita el desarrollo de la alfabetización matemática (Skovsmose, 1999), que se hace evidente
102
en la comprensión y dominio que lograron Carla, Vanessa y Juan David sobre cada uno de los
elementos que componían el modelo matemático en cuanto a su significado. Además, en el
análisis que hacían frente a los coeficientes de rozamiento, en el que reconocían de un lado las
condiciones de la vía —asfalto seco o mojado— y de otro las condiciones del vehículo —
neumático viejo o nuevo—, se posibilitó el logro de una mayor comprensión de la utilidad que
tenía este modelo en cuanto al tipo de reflexiones que posibilitaba.
Resulta interesante ver el trabajo colectivo y de transformación realizado y notar cómo se
apropiaron de esta información hasta el punto de tomar el liderazgo de la clase y proponer a sus
compañeros hacer el ejercicio con base en los distintos elementos que allí podían considerarse,
de manera que el conocimiento no solo fuera transmitido a los otros sino que ellos también
pudieran usarlo. Está fue una puesta en escena muy importante por parte de este grupo, y la
respuesta de sus compañeros también lo fue, en el sentido en que participaron activamente en la
propuesta con el fin de avanzar juntos en la comprensión de la situación desde otro punto de
vista.
Esto deja ver la manera en que el montaje del escenario de aprendizaje había generado
cambios significativos en la cultura de la clase de los estudiantes del curso 803, en la medida en
que no era el docente quien poseía el control absoluto de la clase; es decir, se evidenció un
cambio en las relaciones de poder. Ahora los estudiantes tomaban la iniciativa y dirigían las
actividades, pues estaban en capacidad de resolver las dudas que tuvieran sus compañeros, como
se observa en la declaración de Vanessa: “Compañeros, intenten realizar la actividad y nosotros
vamos pasando a sus puestos a resolver las dudas que ustedes tengan” —ver Figura 10—.
Esto resultó ser un gran avance hacia el desarrollo de la competencia democrática desde
el montaje del escenario de aprendizaje, porque se posibilitó que fueran los estudiantes quienes
se apropiaran de la clase de matemáticas en la medida en que no solo le encontraban sentido al
quehacer que realizaban, pues reconocían que el docente no era quien tenía el control sino que
actuaba como un orientador para que ellos excavaran las matemáticas que podían dotar de
significado el estudio de las situaciones sociales que el estudiante encontraba en su contexto. En
la medida en que las matemáticas permiten tomar una postura frente a esas situaciones cercanas a
los estudiantes, hay mayores acercamientos al desarrollo de la competencia democrática.
Este grupo mostró en su proceso avances notables hacia la competencia democrática, y se
evidenciaron algunas aproximaciones hacia el conocer reflexivo en el caso que ellos tomaron y
103
que fue explicado por Vanessa, cuando mencionó: “Esto significa que si vamos en un vehículo
con neumáticos viejos en una carretera con asfalto mojado, a una velocidad de 14,55 km/h y
frenamos en seco, el vehículo se desplazará aproximadamente 10 metros”. Aunque esta no
parecía una velocidad muy alta, el resultado radicaba en que se consideraban las condiciones más
complejas. Todas estas situaciones complejizaban la maniobrabilidad del conductor, lo que
generaba grandes probabilidades de que se produjera un accidente.
Al considerar estos elementos, que habían sido el resultado de las investigaciones de los
distintos grupos en los que la alfabetización matemática había tomado un lugar importante, se
esperaba que los estudiantes generaran el desarrollo del conocimiento reflexivo en relación con
el cuidado de sí.
Episodio 11: Cuestionando la importancia de tener todos los documentos del vehículo vigentes
El análisis de este episodio está pensado con el propósito de hacer una reflexión adicional
en relación con el uso de la investigación crítica, que permite estudiar “lo que no es, pero podría
ser” (Skovsmose, 2015). Aquí se considera que, aunque el grupo que se toma como referencia
realizó un buen trabajo de investigación, no fue posible que las matemáticas emergieran de
acuerdo con los procesos de imaginación pedagógica y organización práctica. Por lo tanto, es
importante hacer un análisis de las posibilidades y alternativas que no se consideraron y que
posiblemente incidieron en el desarrollo de su proceso de investigación.
El grupo conformado por Mafre, Camila y Alejandra abordó la problemática del uso de
las motos desde una perspectiva diferente, pues no se centró en analizar distancias, velocidades o
tiempos en la conducción. Su trabajo estuvo enfocado en hacer un análisis frente a la importancia
de ser responsables, no solo con la conducción, sino también con “saber manejar” y con tener el
vehículo en las mejores condiciones. También consultaron que era necesario tener vigentes todos
los documentos para transitar por las vías con tranquilidad, pues reconocieron que en caso de que
sucediera un imprevisto, el conductor tendría las mejores condiciones para salir de ese impase
sin tantas complicaciones. Se partió del hecho de que ningún conductor estaba exento de sufrir
un accidente. Por tanto, tener vigentes todos los documentos del vehículo hacía a los conductores
más responsables y conscientes del cuidado de sí y de los demás, como se puede observar en el
fragmento presentado en la Transcripción 13.
104
Mafre: El cuidado de sí va más por el lado de si uno se quiere, porque si uno se quiere va a hacer lo posible para que no le pase nada malo, independientemente si se sube a la moto propia y tenga los papeles o no, porque el accidente no va a ser por los papeles sino por culpa de uno, por no saber manejar o por no manejar prudentemente. Camila: Siempre es necesario revisar que el vehículo esté en buen estado, el sistema de frenos, respetar las señales de tránsito. Mafre: ¿A qué peligros me expongo al poner en marcha una moto sin la protección adecuada? Esto se refiere a como decía antes, antes de subirme a una moto hay que pensar si tenía bien los frenos, hay que revisar bien la moto para que, en algún momento dado, no haya un accidente mayor. Alejandra: Pero también es necesario respetar las señales de tránsito ya que, como vimos, también es un factor que incide bastante en los accidentes. Camila: Hay que tener en cuenta que existen muchos riesgos, no sólo cuando manejamos moto. Sergio: Bueno, pero entonces ¿cuál es la importancia de tener los papeles? Yo puedo saber manejar muy bien la moto, puedo inclusive ponerme mis accesorios de protección y salgo a andar en la moto sin esas cosas de las que ustedes nos hablaron (sin el SOAT, sin la tarjeta de propiedad, sin la licencia de conducción). Camila: Yo creo que en caso de que uno sufra un accidente, sabe que va a estar asegurado para protegerme, para sentirme más confiado. Mafre: Como habíamos mostrado en una gráfica, el seguro cubre varias cosas como: indemnización por muerte, intervenciones quirúrgicas y gastos hospitalarios, que sin el seguro sería una cuenta muy grande de dinero y, obviamente, ¿uno de donde va a sacar tanta plata de la noche a la mañana? Queda uno más endeudado. Alejandra: Es mejor tener los papeles, invertir en eso y no gastar más de lo debido cuando se sufra el accidente. Sergio: Me alegra un poquito que cuando yo hago esa pregunta la primera razón no es: porque me sacan un parte; de hecho, ustedes no mencionan ahora esa razón. Yonier: Profe, es que ahora sabemos que esa no es la razón más importante. Tenemos que pensar primero en que, si sufrimos un accidente, vamos a necesitar unos auxilios, unas ayudas. Camila: Ahora estamos pensando en nuestro bienestar. Alejandra: Y esas ayudas me las da el seguro, si lo tengo. Sergio: Además, es importante saber que cuando se sufre un accidente el seguro no sólo cubre lo mío sino que, si hay otra persona afectada, también cubre sus gastos. Mafre: A mí este trabajo me sirvió muchísimo porque, por ejemplo, mi papi maneja moto y pues a veces le da por ir rápido, y ahora yo le digo: papi, ten cuidado, porque tú no tienes el SOAT; cuídame, yo voy ahí contigo, y lo hace; por eso yo investigué más sobre el SOAT. Alejandra: Sabíamos que el SOAT era un papel importante, pero no sabíamos para qué servía, y con este trabajo, cuando seamos grandes y tengamos un vehículo, ya sabemos cuál es su utilidad.
Transcripción 13. Reflexión sin el uso de elementos matemáticos
105
En el trabajo de investigación realizado por este grupo se evidencia otro aspecto que
confluye en el cuidado de sí, pero más desde la responsabilidad del conductor con tener vigentes
los documentos del vehículo —tarjeta de propiedad, licencia de conducción, Seguro Obligatorio
de Accidentes de Tránsito (SOAT), revisión tecnomecánica, etc. —. El grupo hizo énfasis en el
Seguro Obligatorio de Accidentes de Tránsito al reconocer que este es fundamental en caso de
sufrir un accidente. En su proceso de indagación, encontraron los requisitos para obtener el
certificado de la revisión tecnomecánica y para adquirir el SOAT, que dependía del cilindraje del
vehículo; no se supo si también dependía del modelo, porque en cuanto a eso no encontraron
información puntual. Las estudiantes explicaron también la manera en que se distribuía el valor
que se pagaba por el SOAT a las distintas entidades asociadas a este, porque ese dinero no se
asigna solamente a la empresa aseguradora.
Como parte de la investigación que estaban realizando, intentaron dar respuesta al
cuestionamiento de por qué los accidentes de tránsito se consideraban un problema de salud
pública, y allí mostraron que esto se debía, en gran parte, a las imprudencias que dependían de
factores humanos, que habían influido en que los accidentes aumentaran notablemente. Allí se
evidencia que las principales causas que influyeron en este aspecto se relacionaban con
desobedecer las señales de tránsito, conducir en estado de embriaguez, manejar con exceso de
velocidad, tener malas condiciones en la vía y posibles fallas mecánicas, entre otros. De ahí, la
necesidad de que todos los conductores tuvieran el SOAT de su vehículo vigente, puesto que los
costos que se debían asumir a causa de un accidente son elevados.
Como se puede notar, este grupo presentó una particularidad en relación con la
profundización de la investigación en la que surgieron elementos de carácter matemático.
Aunque en diferentes ocasiones se hizo énfasis en los aspectos que se podían indagar con
respecto al asunto de los documentos del vehículo, y se dieron ideas sobre posibles rutas que
podrían tomar en su proceso de indagación, no emergieron elementos matemáticos. De este
modo, no se encontraron manifestaciones explícitas del desarrollo de la alfabetización
matemática (Skovsmose, 1997) más allá de la presentación e interpretación de algunos datos
estadísticos en relación con los factores que incidían en la accidentalidad de motociclistas en
Cundinamarca con respecto al año anterior.
Por lo anterior, es muy difícil evidenciar el desarrollo de un conocimiento reflexivo que
esté impregnado de elementos matemáticos. Sin embargo, el grupo fue muy juicioso en su labor
106
de consulta, y se logró evidenciar reflexiones en relación con la importancia de tener los
documentos del vehículo vigentes, lo cual sale del plano de las experiencias previas en las que se
consideraba su relevancia solamente con la necesidad de evitar una infracción, como se ve en las
declaraciones que hacen los estudiantes al respecto de la pregunta del profesor en relación con
¿cuál es la importancia de tener los papeles en orden? Allí, los estudiantes reconocieron otra
connotación relacionada con el cuidado de sí, como por ejemplo en la declaración de Mafre
cuando mencionó “Como habíamos mostrado en una gráfica el seguro cubre varias cosas como:
indemnización por muerte, intervenciones quirúrgicas y gastos hospitalarios, que sin el seguro
sería una cuenta muy grande de dinero y, obviamente, ¿uno de donde va a sacar tanta plata de
la noche a la mañana? Queda uno más endeudado”. También se observa en lo que afirmó
Camila: “ahora estamos pensando en nuestro bienestar”.
Los estudiantes ahora reconocían otra perspectiva en relación con el cuidado de sí, ya que
se partía del hecho de que todas las personas, sin importar que tan precavidos fueran en la
conducción, estaban expuestas a un accidente. Esto implicaba la necesidad de estar preparados
por si esto sucedía, de manera que fuera más fácil sobreponerse a esta situación tan compleja.
Así, se posibilitó una transformación y una coflexión (Skovsmose y Valero, 2012) sobre la
situación y las perspectivas de porvenires y futuros de las estudiantes, lo que posibilitó el proceso
de investigación observado en las declaraciones de Mafre: “A mi este trabajo me sirvió
muchísimo porque, por ejemplo, mi papi maneja moto y pues a veces le da por ir rápido, y ahora
yo le digo: papi, ten cuidado, porque tú no tienes el SOAT; cuídame, yo voy ahí contigo, y lo
hace; por eso yo investigué más sobre el SOAT”.
Aquí se evidencia otro pensamiento con respecto a la situación, pues reconoció las
consecuencias en mayor medida cuando era consciente de la gravedad de que su papá no tuviera
el SOAT y además le gustaba conducir rápido. Esto deja ver que la investigación había salido del
plano del salón de clase para tocar otras esferas. Además, en el comentario de Alejandra, cuando
dijo “sabíamos que el SOAT era un papel importante, pero no sabíamos para qué servía, y con
este trabajo, cuando seamos grandes y tengamos un vehículo, ya sabemos cuál es su utilidad”, se
muestra un estado inicial y un estado final en el proceso de investigación, que evidencia el
cambio en las ideas de los estudiantes y en lo que el trabajo de investigación aportó a su vida.
Lo sucedido en este grupo genera importantes cuestionamientos e invita a repensar y
considerar diversas posibilidades y alternativas en el proceso de investigación. Es importante
107
poner a disposición de los estudiantes mejores condiciones para que tanto la alfabetización
matemática como el conocimiento reflexivo tomen lugar en el proceso de estudio de la situación
social. De esta manera, es posible que se den mayores y mejores aproximaciones al desarrollo de
la competencia democrática desde la clase de matemáticas. Por tanto, se reconoce que tanto la
perspectiva teórica de la EMC como el modelo metodológico de la investigación crítica,
permiten replantear diversos aspectos para considerarlos en futuras investigaciones.
Negociando datos con la entre-vista
En el apartado anterior se mostraron elementos que caracterizan el desarrollo de la
competencia democrática en la clase de matemáticas del curso 803. De acuerdo con ello, surgió
desde los investigadores la hipótesis de que, a través del montaje de un escenario de aprendizaje
basado en una situación social del contexto de los estudiantes y que movilizara las intenciones de
la mayoría de ellos, se generaría un ambiente propicio para el desarrollo de la competencia
democrática. Lo anterior se planteó al considerar que en el inicio del desarrollo de la
investigación se encontró en la cultura de la clase de matemáticas un ambiente poco propicio
para su desarrollo; por tanto, fue necesario propiciar cambios allí.
De acuerdo con los datos que se han constituido y analizado a la luz de las categorías
teóricas construidas, se tienen indicios que aproximan al otorgamiento de validez a esa hipótesis.
En la búsqueda de opciones para negociar o validar la información encontrada, se tomó como
referencia el trabajo realizado por Barrios y Galvis (2015) en relación con la entre-vista, como un
instrumento que permitía la discusión con los estudiantes sobre la información recolectada, a fin
de validarla y/o alimentarla. De este modo, se hizo uso de la entre-vista grupal (Kvale, 1996) a
manera de una conversación informal de Sergio con siete estudiantes del curso 803: Camila,
Mafre, Yuleidy, Jaider, Vanesa, Carla y Jerson. Su propósito era ampliar información acerca de
la experiencia en el desarrollo del montaje del escenario de aprendizaje, con miras al desarrollo
de la competencia democrática desde el estudio de una situación social del contexto.
Los estudiantes fueron entre-vistados por Sergio, quien buscó develar elementos
relacionados con dos aspectos: la importancia del estudio del uso de las motos en relación con el
cuidado de si —especialmente para considerar los elementos matemáticos que se construyeron
108
durante el trabajo en equipo— y la transformación de la cultura de la clase de matemáticas del
curso 803 gracias al montaje del escenario.
Previamente, se consideraron las fases propuestas por Kvale (1996) para el desarrollo de
la entre-vista, se había avanzado en su tematización, planificación y desarrollo, de acuerdo con el
propósito de su realización. Para ello, se consideraron preguntas que permitieran orientar la
conversación con los estudiantes, con plena conciencia de que estas seguramente no se
desarrollarían en orden estricto, puesto que se tomaban distintos caminos. Se hizo uso de las
demás fases para constituir la información que se deseaba poner en discusión, de acuerdo con lo
encontrado en la conversación con los estudiantes.
Para presentar estos nuevos datos, se tomó como referencia el trabajo realizado por
Skovsmose, Alrø, Silvério, Scaniuzzi y Valero (2008), quienes tienen en cuenta la pregunta
realizada por el investigador, los comentarios de los estudiantes y la interpretación y análisis que
se puede hacer desde los elementos teóricos y metodológicos que sustentan el desarrollo de la
investigación. Se intentó usar estas pautas para negociar la información que proporcionara la
entre-vista con los estudiantes seleccionados, en virtud de que aportaron significativamente al
desarrollo de la investigación.
Al iniciar el desarrollo de la entre-vista, fue necesario hacer una contextualización y una
retroalimentación de lo sucedido durante el proceso de investigación, especialmente porque ya
había transcurrido bastante tiempo desde el momento en que se inició el proceso. Allí, los
estudiantes relataron en qué elementos centraron su interés de investigación y complementaron
las ideas de sus compañeros, sin importar si pertenecían a los mismos grupos de trabajo. Esto
muestra, en primera instancia, que el proceso permitió que los estudiantes no solo se apropiaran
de su tema de investigación sino que también aprendieran del trabajo de sus compañeros. En este
contexto, se les preguntó a los estudiantes ¿de qué manera percibían que el trabajo de sus
compañeros había aportado a la comprensión de la situación social estudiada? Frente a este
cuestionamiento se resaltan las siguientes declaraciones:
Mafre: Por ejemplo, el trabajo del grupo de Jaider y Yuleidy, yo no sabía que el alcohol de una cerveza se tardaba más o menos tres días en irse totalmente del cuerpo. Entonces me puse a pensar que, por ejemplo, un familiar que yo sé que toma mucho y a los dos días ya está manejando, entonces aún puede tener el riesgo de colisionar con otro vehículo. Además, porque no se toma solo una cerveza.
109
Yuleidy: Aunque se debe tener en cuenta que tal vez los efectos no estén tan vivos en ese momento. También dijimos que haciendo ejercicio y sudando se expulsaba el alcohol mucho más rápido, y que durmiendo demasiado el alcohol desaparece más lento.
Jerson: También aprendí sobre el estado de embriaguez, porque si una persona tomaba harto se demoraba más en evacuar todo el alcohol del cuerpo. Además, que si se considera otro tipo de bebidas alcohólicas, el tiempo puede aumentar.
Es interesante notar que los estudiantes resaltan cómo el trabajo de sus compañeros se
volvió importante en la medida en que aportaba para comprender la complejidad de la situación
al considerar diversos aspectos que allí influyen. Además, el estudio del estado de embriaguez
resultó un tema que llamaba la atención por el contexto social y el clima cálido, pues la mezcla
de alcohol con la conducción de motos es muy frecuente, y no es ajena a la comprensión de los
estudiantes. Ese nuevo conocimiento les permite tener argumentos para tomar decisiones
acertadas y, además, intentar formas que permitan generar la reflexión en otras personas de su
entorno; en el fondo, estos argumentos están impregnados de elementos de carácter matemático.
De esta manera, se hicieron visibles rasgos del proceso de imaginación pedagógica en
relación con los elementos que caracterizan el desarrollo de la competencia democrática y con el
montaje del escenario de aprendizaje. Se empezaron a notar cambios en la cultura de la clase,
pues se evidenció cómo las construcciones logradas en el grupo aportaban al trabajo de toda la
clase, en tanto que se intentaba evidenciar un panorama general de la problemática estudiada.
Además, los estudiantes dirigieron el proceso con los aportes que traían para discutir con sus
compañeros de clase y con el profesor, de manera que no era una única persona quien dirigía el
rumbo del trabajo sino que los estudiantes se empoderaron de su proceso y de la clase de
matemáticas en sí, con lo que se apoderaron también de su propio proceso de aprendizaje.
Como parte de la situación imaginada, y con el propósito de generar cambios en la
situación actual, se dispuso el trabajo en grupo sobre diversos elementos que se relacionaban con
el cuidado de sí en el uso de la moto, pues se consideró que esta organización permitiría abordar
algunas temáticas y posibilitar la construcción de un panorama más amplio sobre la problemática
social. En la siguiente declaración se ve reflejado este interés, no sólo en relación con el trabajo
en grupo sino también con la forma en que esa indagación grupal complementaba el proceso de
aprendizaje del curso 803.
Vanesa: El trabajo de Jerson me llamó la atención porque a la vez nos ayudó, o sea, nosotras investigamos una parte y ellos nos ayudaron a investigar la otra, con la
110
información que presentaron en la exposición. Nos complementamos porque, aunque se trataba del mismo tema, ellos tenían cosas distintas que nosotras no sabíamos. Es decir, usamos cosas del trabajo de ellos y aprendimos mutuamente.
En esta declaración se hace visible la manera en que el proceso de organización práctica
contribuyó al paso entre la situación actual y la situación acordada, no sólo en cuanto al cambio
de la cultura de la clase de matemáticas sino, además, porque hacía posible que se presentaran
elementos como la colectividad y la transformación en relación con el desarrollo de la
competencia democrática. Esto da una mayor certeza acerca de que la hipótesis planteada puede
ser correcta.
De manera puntual, en relación con el desarrollo del conocimiento reflexivo, se les
preguntó a los estudiantes acerca de la relación que encontraban entre su interés de investigación
en relación con el uso de las motos y el cuidado de sí, gracias a lo cual se encontraron las
siguientes declaraciones:
Jaider: La relación es que sabiendo los datos que obtuvimos con nuestra investigación y lo que estudiamos, una persona que tenga ese conocimiento ya va a pensar distinto a otras que no. Por decir algo, alguien que sepa que el cuerpo se demora tres días en eliminar una cerveza se va a prevenir en no manejar cuando ya esté tomado, pero para eso necesita estar informado sobre esas cosas, y así va a saber por qué no debe tomar cuando está manejando, o que si va a tomar tenga claro por qué no debe manejar. Por ejemplo, nosotros encontramos que el tiempo de reacción se ve perjudicado por la embriaguez, porque cuando se está en este estado se reacciona mucho más tarde, la reacción es más lenta. Entonces, si se fusiona el exceso de velocidad con el estado de embriaguez, obviamente se produce un accidente, porque se va rápido y se va con menos reflejos.
Yuleidy: Profe, pero eso es como todo porque hay personas a las que, personalmente, les comenté del tema e hicieron caso omiso. Entonces eso también es parte de uno y quererse y ponerle sentido…
Jerson: Si uno valora la vida, ayuda a cuidar su vida y la de otros, porque en lo que nosotros investigamos encontramos que en los accidentes de tránsito de motocicletas solo el 20% de las personas sobreviven, o sea en el 80% de los accidentes las personas fallecen. En las motos se corren más riesgos.
Fue satisfactorio para Paola y Sergio identificar en la oralidad de los estudiantes esa
conciencia crítica que desde hace tiempo anhelaban, y más aún verla reflejada de esta manera en
el conocimiento reflexivo (Skovsmose, 1997) que habían desarrollado. Tal conocer les ha
permitido tomar una postura en relación con la situación social del contexto que trasciende los
111
pensamientos individuales y trata de comunicar y exteriorizar esos aprendizajes a otros, con el
ánimo de generar una conciencia colectiva. Por supuesto, los estudiantes mismos reconocieron
que no todas las personas lograban esa conciencia en relación con la importancia del cuidado de
sí, porque aún no habían asumido y experimentado el proceso de estudio que ellos realizaron y
con el cual notaron cómo las matemáticas tomaban relevancia en la constitución de argumentos
que daban justificación a esos nuevos pensamientos.
Los estudiantes discutieron sobre los riesgos que se corrían al usar una moto, y aunque
sabían que no había garantía de que al ser cuidadosos se evitarían los accidentes, tenían claros
diversos aspectos que se debían considerar para minimizar tales riesgos. Tales reflexiones se
posibilitaron en este nuevo ambiente, y aunque a los estudiantes les gustaba la clase habitual de
matemáticas, en la que el profesor explicaba y ellos resolvían ejercicios, reconocieron que
realizar cambios en la rutina de la clase fue muy interesante y les permitió aprender otras cosas.
En este sentido, se les preguntó ¿qué pensaban de la idea de estudiar situaciones del contexto
social desde la clase de matemáticas? En respuesta, se encontraron las siguientes declaraciones:
Jerson: Es bueno, porque usted sabe por ejemplo el porcentaje de muertes y de accidentes que hay tanto en motos como en carros, y eso sirve para uno tomar conciencia, reconociendo que no es solo un mito, sino que ya está comprobado con la matemática y ya sabe la razón de por qué eso es así. Ya no se basa solamente en lo que dice uno u otro, sino que usted usa las matemáticas, tiene con qué comprobarlo.
Camila: Con las matemáticas se tiene más autoridad. O sea, teniendo el conocimiento sobre los elementos matemáticos de cada situación puede decir con más claridad sus ideas.
Yuleidy: Pero esa autoridad también sirve para sí mismo, porque con esos conocimientos tiene la autoridad de decidir, y por ejemplo si está tomando con un amigo decir: “si venga, lléveme”, o decir “no, yo estoy en sano juicio y usted está tomando, mejor prefiero irme caminando”. Es también tener la autoridad de decir no a las personas que saben que tomaron.
Los estudiantes reconocieron la importancia de usar las matemáticas en situaciones
cercanas a su vida cotidiana, ya que estas permiten que las personas se empoderen y tomen
decisiones frente a lo que dicen los demás y en relación con las creencias, pues pueden plantear
argumentos sólidos que han sido comprobados por las matemáticas, como lo menciona Jerson.
Además, apareció la autoridad en la toma de decisiones como un elemento que está impregnado
de matemáticas y que influye en las ideas y pensamientos, tanto individuales como colectivos;
112
así, no resulta fácil ser persuadidos por otros frente a alguna situación que pueda generar riesgo
para el cuidado de sí. Esto se pudo evidenciar en las palabras de Camila y Yuleidy al reconocer
la importancia de acceder o negarse a alguna situación, pues tenían conocimiento sobre sus
posibles implicaciones.
No se deben enunciar necesariamente los elementos y procedimientos matemáticos que
sustentan las decisiones que se toman, pues lo más importante es tener la conciencia de decidir
frente a una situación que puede generar riesgo, en virtud del conocimiento de que, de fondo,
existen esos elementos matemáticos que la validan. El hecho de tomar una situación cercana a
los estudiantes propició el cambio entre la situación actual y la situación acordada, con base en
los planteamientos de la situación imaginada. En las siguientes declaraciones se observa la
percepción de las estudiantes frente al trabajo realizado y la manera en que este puede aportar en
su proceso escolar desde la clase de matemáticas:
Yuleidy: En la clase de matemáticas que trabajamos sobre una situación real fue muy interesante porque nos auto exigíamos aún más en aprender nosotros externamente, era llegar a la casa a investigar más, buscar ecuaciones, fórmulas u otras cosas que nos sirvieran para avanzar, y aquí en el colegio lo complementamos con los demás compañeros y con lo que el profesor sabe para orientar el trabajo. Eso era lo que más nos gustaba.
Carla: A mí me gustaría que las clases se trabajaran con situaciones reales, porque yo creo que uno así viviendo la situación ya tiene más conciencia para decidir. Lo que hacemos aquí nos sirve para lo que vamos a vivir fuera del colegio.
Mafre: Lo bueno del proceso fue que usted nos guío. Lo malo fue que algunos compañeros no se esforzaron, porque fueron vagos, no tuvieron la autoridad de decirse “venga, de verdad, estudiemos”. Eso va en sí mismo, en uno exigirse, y no se puede obligar a otra persona a que estudie, no se puede estar todo el tiempo encima de ella si simplemente no le interesa aprender.
Estos comentarios de los estudiantes en relación con el trabajo realizado dejan a Paola y
Sergio muy esperanzados en que es posible contribuir en la generación de un cambio social
desde la clase de matemáticas. Esto seguramente no se puede en todos los casos, pero es un buen
indicio para seguir ahondando en propuestas de investigación desde un enfoque sociopolítico de
la educación matemática. Se observa que este tipo de trabajo implica un alto grado de
compromiso, tanto de parte de los estudiantes como del docente orientador, para despertar el
interés de todos los participantes en el proceso, de manera que se trascienda y aporte a los
113
porvenires y perspectivas de futuro de todos, y se minimice la brecha cuando el tema abordado
no sea de interés común.
114
CONCLUYENDO Y REFLEXIONANDO
Sólo con el corazón se puede ver bien; lo esencial es invisible a los ojos.
Antoine de Saint-Exupéry
El anhelo de contribuir desde su quehacer, actuar y sentir como educadores matemáticos
en la transformación de las prácticas que desarrollan, impulsó a Sergio y Paola a investigar cómo
es posible contribuir desde la clase de matemáticas a la formación de los estudiantes como
sujetos críticos, que sean agentes de cambio frente a las problemáticas de la sociedad actual. Esta
no fue una tarea fácil, no ha concluido y difícilmente lo hará, puesto que ellos reconocen que es
un proceso de largo aliento, que involucra constante investigación al interior de las escuelas y la
necesidad de que los docentes reconozcan su función social con la educación, de forma que
busquen la transformación de las dinámicas escolares y, de esta manera, aporten a los estudiantes
herramientas de cambio en sus contextos inmediatos.
Al asumir su proyecto de investigación desde un enfoque sociopolítico de la educación
matemática (Skovsmose y Valero, 2012; Gutiérrez, 2013 y Valero, Andrade y Montecino, 2015),
Paola y Sergio sintieron incertidumbre y expectativa, en tanto que este enfoque no había sido
explorado por ellos con anterioridad. Sin embargo, reconocen que ha sido un proceso de
innumerables aprendizajes, que continuarán fortaleciendo en este camino que emprenden pero
que no saben con exactitud hacia donde los pueda llevar. La motivación que tenían desde el
momento en que iniciaron su trabajo como docentes y que los llevó a pensarse como educadores
matemáticos que deseaban mejorar y modificar sus prácticas, ahora se hace visible y los llena de
una enorme satisfacción, al notar todo lo que han conseguido con el desarrollo de esta
investigación.
Para llegar a este punto, recorrieron un sendero lleno de vicisitudes en las que, desde el
principio, fue necesario definir y delimitar la intencionalidad de la investigación, en virtud de
elementos de carácter teórico y metodológico. Por ello, centraron su interés en el estudio de la
competencia democrática (Skvosmose, 1997 y 1999), con base en la construcción de una red
categorial específica para explorar y caracterizar el desarrollo de la competencia democrática en
la clase de matemáticas. Para realizar dicha caracterización, tomaron como elementos
fundamentales el conocimiento reflexivo (Skovsmose, 1997), la alfabetización matemática
115
(Skovsmose, 1999), las condiciones para la democracia —formales, materiales, éticas, de
participación y reacción (Skovsmose 1997 y 1999)— y las características de la democracia —
colectividad, deliberación, transformación y coflexión (Skovsmose y Valero, 2012)—.
Para que estos elementos se posibilitaran, fue urgente y necesario generar cambios en la
cultura de clase. Por esta razón se realizó el montaje de un escenario de aprendizaje (Skovsmose,
2012, García, Valero y Camelo, 2013) a partir del estudio de una situación social del contexto de
los estudiantes que convocara las intenciones de la mayoría de ellos. Tal reconocimiento fue
esencial, no solo para la realización del montaje del escenario sino, además, porque desde los
fundamentos teóricos se hacía énfasis en que el contenido de la competencia democrática debía
caracterizarse en relación con las principales problemáticas de la sociedad en cuestión
(Skovsmose, 1999).
Para este caso específico, la situación se relacionó con el cuidado de sí en el uso de la
moto, que se consideró hacía parte del contexto de la población elegida para el desarrollo de la
investigación, y que era una problemática constante y creciente. Para llegar a esta situación fue
necesario explorar las intenciones, antecedentes, porvenires y perspectivas de futuro de los
estudiantes del curso 803, a partir de su reconocimiento en conversaciones espontáneas con
Sergio, y del reconocimiento del contexto social y las problemáticas que más aquejaban a los
jóvenes del municipio de la Vega, Cundinamarca, que pertenecen a la institución.
Con el desarrollo de la investigación surgió una hipótesis relacionada con que, a partir del
montaje del escenario de aprendizaje que surgía del estudio del cuidado de sí en el uso de las
motos, era posible generar las condiciones propicias para el desarrollo de la competencia
democrática en la clase de matemáticas del curso 803. De acuerdo con el desarrollo de la
investigación se concluye que, para el caso puntual, esta conjetura es cierta, siempre y cuando se
reconozca el desarrollo de la competencia democrática como un proceso que va evolucionando y
se va complejizando en la medida en que los estudiantes avanzan en el proceso de estudio de la
situación social. Esto se debe a la complejidad de los elementos teóricos que caracterizan la
competencia democrática.
Al realizar el proceso de selección, construcción y análisis de los datos, se reconoce que
la competencia democrática (Skovsmose, 1997 y 1999) se constituye como un proceso, puesto
que no es posible determinar recortes espacio-temporales específicos que den evidencias del
desarrollo del conocimiento reflexivo o de la alfabetización matemática. Esto es más difícil de
116
identificar si se buscan tales reportes cuando el proceso de indagación de los estudiantes apenas
está iniciando, ya que aún no han hecho un proceso de exploración de la situación desde
información que salga de sus creencias, experiencias y conocimientos previos. Se requiere
investigar, validar y discutir la información que se ha encontrado, de forma que se haga posible
la emergencia de elementos matemáticos de forma espontánea, los cuales se constituyen en
insumos importantes para el desarrollo de la competencia democrática porque les permiten a los
estudiantes tomar una postura justificada de las situaciones sociales de su contexto.
En el transitar por el montaje del escenario de aprendizaje fue posible encontrar indicios
que permitieron caracterizar el desarrollo de la competencia democrática desde el cambio de la
cultura de la clase en relación con los procesos de comunicación, los roles de docente y
estudiante, la dinámica del trabajo en clase, el uso de las matemáticas, la participación de los
estudiantes, entre otros. Este proceso estuvo mediado por el papel de las condiciones para la
democracia (Skovsmose, 19997 y 1999) y las características de la democracia (Skovsmose y
Valero, 2012), las cuales fueron surgiendo en la medida en que se inició el trabajo de exploración
de los diversos aspectos que confluían en el cuidado de sí en relación con el uso de la moto. Allí,
no solo se consideró el hecho de que la situación social fuera interesante para la mayoría de los
estudiantes sino, además, que la información sobre esta temática estuviera a disposición de todos,
de manera que tuvieran la posibilidad de participar, discutir y exponer sus ideas.
En la medida en que los estudiantes ganaron confianza y argumentos sólidos con el
proceso de consulta, se mejoró el nivel de participación —en relación con el trabajo colectivo—,
de deliberación, y de procesos de trasformación y coflexión frente a la reflexión colectiva de las
situaciones sociales (Skovsmose y Valero, 2012). Sin lugar a dudas, las condiciones para la
democracia —formales, materiales, éticas y de participación y reacción (Skovsmose, 1997 y
1999)— pueden facilitar el montaje del escenario de aprendizaje, y viceversa. Así, la apropiación
por parte del estudiante toma valor en el momento en que sus argumentos son informados y están
impregnados de elementos matemáticos; es decir, van más allá de las creencias y de las
experiencias. Aquí es posible notar una aproximación al desarrollo de la competencia
democrática en la que toma lugar tanto la alfabetización matemática como el conocimiento
reflexivo, puesto que en las declaraciones de los estudiantes se reconocen argumentos validados
por la investigación y por las matemáticas.
117
Es fundamental el cambio en los roles de los estudiantes y el profesor, y abandonar la
idea de que el docente es quien posee el conocimiento y la autoridad absoluta sobre la clase. Este
es un cambio fundamental que se experimentó en el desarrollo de la investigación, porque el
docente salió de su zona de confort para explorar caminos que le generaban incertidumbre, pues
no conocía con certeza hacia dónde podía conducirlo el trabajo de los estudiantes. Sergio y Paola
asumieron el papel de estudiantes, pues les fue necesario investigar sobre los distintos asuntos
que surgieron en relación con el uso de las motos, ya que esta era una temática desconocida para
ellos, y la idea no era limitar el trabajo de exploración. Por el contrario, se intentó revisar todas
las rutas posibles y orientar a los estudiantes para que avanzaran de acuerdo con sus
posibilidades, de manera que se lograra una perspectiva mucho más amplia de los diversos
asuntos y que esta se pudiera analizar de forma más compleja.
Dado que en el montaje del escenario se encontraron diversos elementos que podían ser
investigados desde los múltiples factores que inciden en los accidentes de tránsito, esto mostraba
un amplio campo de estudio, por lo que se les dio la posibilidad a los estudiantes de elegir aquel
que más les generara interés; esta se constituyó en la situación acordada para el caso del cuidado
de sí. Esta diversidad de rutas que se pueden tomar en el proceso de indagación de los
estudiantes demanda del profesor mucho análisis, apropiación y estudio a profundidad de los
diversos elementos que pueden emerger en el proceso de exploración y consulta desarrollado por
los estudiantes. Esto hace parte de los procesos de imaginación pedagógica, organización
práctica y razonamiento crítico (Skovsmose y Borba, 2004), pues los investigadores deben
considerar las diversas posibilidades y alternativas que permitan el cambio de la situación actual
a la situación acordada, a través de la consideración de la situación imaginada.
Lo anterior muestra la complejidad del proceso de imaginación pedagógica, puesto que
resulta imposible predecir todos los caminos que los estudiantes podrían tomar durante su
investigación, y esto indica el alto grado de responsabilidad de los docentes e investigadores que
asumen esta postura. Por lo tanto, es importante disponer del tiempo necesario y suficiente para
reconocer las características de la situación actual y explorar diversas posibilidades para la
situación imaginada, a través de los procesos de imaginación pedagógica y organización práctica,
de forma que se reduzca la posibilidad de que haya caminos que el profesor no ha contemplado.
Por supuesto, llegar a estos análisis permite mejorar las prácticas de investigación, y se hace
posible debido al talante de la investigación crítica, en especial a partir del proceso de
118
razonamiento crítico (Skovsmose y Borba, 2014), que permite mirar la situación acordada a la
luz de la situación actual, de forma que se evidencie si se lograron los cambios y
transformaciones esperadas. Con este proceso se analiza la viabilidad de la imaginación
pedagógica y de la organización práctica, al interpretar si las diversas posibilidades que allí
tenían lugar fueron exploradas en la situación actual. Sin duda, en este ambiente se generaron los
cambios de la situación actual, pero hizo falta considerar algunas alternativas.
Se debe reconocer que quedan posibilidades que no fueron exploradas en el proceso de
investigación —quizá por la falta de experiencia sobre la situación estudiada—, lo que dificultó
dar las orientaciones a algunos grupos para que las matemáticas tomaran su papel relevante. Sin
embargo, se reconoce en el trabajo de los estudiantes su responsabilidad y compromiso con el
proceso de investigación de la situación del uso de las motos, al evidenciar los avances en el tipo
de declaraciones que ahora manifiestan. El rol de los estudiantes también se vio profundamente
modificado, pues se apropiaron de su proceso de aprendizaje, se auto exigieron frente a la
dinámica propuesta y reconocieron las matemáticas en el contexto de su vida cotidiana como una
oportunidad para reflexionar sobre las problemáticas que los involucran. Además, se convirtieron
en líderes y tomaron el papel del docente para explicarles a los compañeros aquello que habían
estudiado, con lo que lograron que sus compañeros también lo usaran en situaciones concretas.
Fue tal el nivel de compromiso y auto regulación logrado en el montaje del escenario que
algunos estudiantes solicitaron al docente cambiarse de grupo, bajo el argumento de que sus
compañeros no estaban comprometidos con el proceso y no querían trabajar, a pesar que desde el
principio se les permitió organizarse de manera libre. Aquí, se evidenciaron los procesos de
elección, negociación, deliberación y cooperación (Vithal, 2000 y 2004), en la medida en que los
estudiantes como participantes de la investigación decidieron su actuar en el desarrollo de la
misma.
Lo anterior puede estar mediado por el interés que generó la situación social que se había
propuesto, pero también depende de la motivación de los estudiantes por el proceso de
aprendizaje pues, como ellos mismos lo manifestaron, no se puede obligar a alguien a aprender si
no es su deseo. Esto se evidenció en algunos grupos de estudiantes que, aunque mostraban
interés por la situación, no tenían el mismo compromiso con el desarrollo de la investigación y
su participación en la discusión era muy poca. Esto lleva a reconocer que existe un sinnúmero de
circunstancias que influye de manera notable en su desempeño en la clase, que quizá son ajenas a
119
la escuela y que se desconocen por completo, lo que hace que su interés por el proceso de
aprendizaje pase fácilmente a un segundo lugar.
Ahora, desde su labor como educadores, Sergio y Paola reconocen que los antecedentes,
porvenires, intenciones y perspectivas de futuro se convierten en un elemento fundamental para
identificar en el contexto de los estudiantes una situación tan relevante que convoque a todos los
estudiantes. Ellos saben que esta no es una tarea fácil, pero es necesario seguir intentándola, si lo
que anhelan es una educación incluyente que reconozca las necesidades de todos los estudiantes.
Para terminar, es importante resaltar que la conversación con los estudiantes en la entre-
vista (Kvale, 1996) deja una sensación esperanzadora en relación con lo que es posible lograr
desde la investigación en educación matemática vista desde un enfoque sociopolítico. Es muy
interesante notar el tipo de reflexiones que logran establecer los estudiantes después del proceso
desarrollado durante el montaje del escenario de aprendizaje, pues sin duda se evidencia un
cambio entre la situación actual y la situación acordada. Es posible manifestar que se logró un
avance significativo en el proceso de desarrollo de la competencia democrática con los
estudiantes del curso 803 aunque, por supuesto, es necesario ahondar mucho más en el proceso
de constitución de argumentos, de deliberación, de debate y de cuestionamiento entre los mismos
estudiantes. Esto se logra con un trabajo constante en el que se posibilite la discusión y en el que
los estudiantes tengan la necesidad de tomar decisiones en relación con algún hecho que genere
la necesidad de concientizarse, transformar y pensar tanto en el bienestar individual como en el
bienestar común, equitativo y justo. Aún hay mucho trabajo por hacer y ese es el compromiso.
120
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ANEXOS
Anexo 1. Comunicación escrita de consentimiento informado de la participación de los estudiantes en la investigación
La Vega, 06 de febrero de 2017
Señores Padres de Familia Curso 803 Institución Departamental Ricardo Hinestrosa Daza
Asunto: Solicitud de consentimiento y autorización en el proceso de recolección y uso de la información sobre el trabajo de sus hijos en la clase de matemáticas.
Reciban un cordial y respetuoso saludo,
Por medio de la presente me permito comunicarles que en el marco de desarrollo de mi proyecto de grado como estudiante de la Maestría en Educación con Énfasis en Educación Matemática de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas se pretende realizar un trabajo de campo con los estudiantes de curso 803 en los espacios de encuentro de la clase de matemáticas, con el propósito de abordar la competencia democrática.
En este sentido, solicito su autorización para realizar grabaciones de audio y video, tomar fotografías y realizar entrevistas a sus hijos, referentes al desarrollo de las actividades propuestas en la clase de matemáticas. Es importante resaltar que la información así recolectada será usada única y exclusivamente con fines académicos y pedagógicos, relacionados con el desarrollo de mi trabajo de grado.
Se debe aclarar que las actividades que se abordarán hacen parte del currículo del área de matemáticas y que están encaminadas a mejorar los procesos académicos de los estudiantes en esta clase. Además, estos procesos de investigación son fundamentales en el desarrollo de mi proceso de cualificación docente y en el mejoramiento de las prácticas educativas realizadas en la institución, para beneficio de toda la comunidad educativa.
De antemano agradezco su colaboración y apoyo en el desarrollo de mi proyecto de grado, y solicito diligenciar completamente los siguientes datos, en los que se pone de manifiesto que usted conoce la información expuesta y que está de acuerdo o no con la participación de su hijo en el desarrollo de este trabajo de campo.
Cordialmente, ___________________________________ Sergio Andrés Sarmiento Pulido Lic. en Educación Básica con Énfasis en Matemáticas
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Yo ___________________________________, identificado con C.C. ___________, acudiente de _____________________________________, estudiante del curso 803 de la Institución Departamental Ricardo Hinestrosa Daza, declaro que conozco la información dada anteriormente y que Si___ , No___ autorizo a que mi hijo(a) sea grabado en video y audio, le tomen fotografías y entrevistas relacionadas con las actividades realizadas en clase de matemáticas, con el propósito de recolectar información para el desarrollo de la tesis de grado realizada en el marco de la Maestría en Educación con Énfasis en Educación Matemática, teniendo en cuenta que esta información será usada solamente con fines académicos, pedagógicos e investigativos.
Firma del Acudiente: _______________________________ C.C. __________________ Fecha: __________________________
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La Vega, 06 de febrero de 2017
Señor Rector PEDRO OMAR LOAIZA Institución Departamental Ricardo Hinestrosa Daza
Asunto: Intervención en el aula en el marco del desarrollo de la Maestría en Educación con Énfasis en Educación Matemática.
Reciba un cordial y respetuoso saludo, Por medio de la presente me permito comunicarle que en el marco del desarrollo de mi
proyecto de grado como estudiante de la Maestría en Educación con Énfasis en Educación Matemática de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas se pretende realizar un trabajo de campo con los estudiantes de curso 803 en los espacios de encuentro de la clase de matemáticas, con el propósito de abordar la competencia democrática.
En este sentido, solicito amablemente su autorización para realizar este proceso de intervención en el aula, en el cual se usarán diversos instrumentos y técnicas para adelantar el proceso de recolección de información. Además de su autorización para el ingreso a la institución de mi director de tesis, Julio Romero, y de mi compañera, Paola Fresneda, quienes eventualmente me apoyarán en la observación y recolección de los datos.
Atendiendo a las normas legales vigentes, se informará previamente a los padres de familia de los estudiantes de este curso sobre el desarrollo del proceso de investigación en el que ellos participarán, para solicitar su permiso para grabar a los estudiantes, de manera que la información recolectada solo pueda ser usada posteriormente con los fines académicos, investigativos y pedagógicos que caracterizan este tipo de trabajo.
Agradezco su colaboración y estaré muy atento a su pronta respuesta.
Cordialmente,
______________________________ Sergio Andrés Sarmiento Pulido Lic. en Educación con Énfasis en Matemáticas
