Desdobramentos Para a Modelagem Matemática Decorrentes Da Formulação de Hipóteses

7/25/2019 Desdobramentos Para a Modelagem Matemtica Decorrentes Da Formulao de Hipteses

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ANAIS DO VI SIPEM

1UEL Londrina PR - [email protected]

2UENP- Cornlio Procpio- PR- [email protected]

3UTFPR

Toledo

PR- [email protected]

RESUMO

ABSTRACT

15 a 19 de novembro de 2015Pirenpolis - Gois - Brasil

Palavras-chave:

Keywords

Desdobramentos Para A ModelagemMatemtica Decorrentes Da

Formulao De Hipteses1Lourdes Maria Werle de Almeida, 2Brbara Nivalda PalhariniAlvim Sousa, 3Emerson Tortola

Educao Matemtica; Modelagem Matemtica;Hipteses; Wittgenstein.

Com a inteno de incitar discusses ou reflexes com relao aopapel das hipteses e de sua formulao em atividades demodelagem matemtica, neste artigo, pautamo-nos na questo: aque desdobramentos para a atividade conduzem as hipteses namodelagem matemtica? Inicialmente apresentamos consideraescom relao a hipteses trazendo ideias sobre o significado dotermo. Com esta finalidade trazemos tona ponderaes dofilsofo Ludwig Wittgenstein, seja para elucidar que diferentessignificados podem transitar a partir da identificao de diferentescontextos, seja para apresentar indicaes do prprio Wittgensteinpara as hipteses. A anlise empreendida a partir dos pressupostostericos sobre o desenvolvimento de uma atividade nos permiteinferir que a atividade de modelagem matemtica tem umencaminhamento em consonncia com as hipteses em que sefundamenta. Novas experincias dos modeladores podem conduzira novas hipteses, a novos modos de ver e de compreender, pormeio da matemtica, um fenmeno da realidade.

With the intention of inciting discussions or thoughts about thehypotheses and its formulation on mathematical modelingactivities, in this article, we base on the question: whatconsequences for the activity leading hypotheses in mathematical

modeling? Initially we present considerations regardinghypotheses bringing ideas about the meaning of the term. Forthis purpose we bring to light weightings of the philosopherLudwig Wittgenstein, to elucidate that different meanings maybe carried forward from the identification of different contexts,and to present indications of Wittgenstein himself to thehypothesis. The analysis undertaken based on theoreticalassumptions about the development of an activity allows us toinfer that the activity of mathematical modeling has a referral inaccordance with the hypotheses on which it is based. Newexperiences of modelers can lead to new hypotheses, new waysof seeing and understanding, through mathematics, aphenomenon of reality.

Mathematics Education; Mathematical Modeling;Hypotheses; Wittgenstein.
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]


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VI Seminrio Internacional de Pesquisa em Educao Matemtica

Lourdes Maria Werle de Almeida, Brbara Nivalda Palharini Alvim Sousa, Emerson Tortola 2

15 a 19 de novembro de 2015 | Pirenpolis - Gois - Brasil

Os interesses com relao modelagem matemtica na Educao Matemtica tm se

direcionado para diferentes aspectos, seja com relao a sua caraterizao, seja com relao a

sua implementao na sala de aula.

No que se refere a alguma especificidade de atividades de modelagem matemtica em

relao a outras atividades matemticas, a literatura tem indicado a formulao de hipteses e

aproximaes simplificadoras (BEAN, 2001). No entanto, qual o significado da palavra

hiptese? Em que consiste a sua formulao? Qual a finalidade da formulao de hipteses no

desenvolvimento de atividades de modelagem matemtica?

Com a inteno de incitar discusses ou reflexes com relao ao papel das hipteses e

de sua formulao em atividades de modelagem matemtica, neste artigo, pautamo-nos na

questo: a que desdobramentos para a atividade conduzem as hipteses na modelagem

matemtica?

Inicialmente apresentamos consideraes com relao a hipteses, trazendo ideias

sobre o significado do termo hiptese. A natureza do significado, todavia, pode ser

examinada. Com esta finalidade trazemos tona ponderaes do filsofo Ludwig

Wittgenstein, seja para elucidar que diferentes significados podem transitar a partir da

identificao de diferentes contextos, seja para apresentar indicaes do prprio Wittgenstein

para as hipteses.

No mbito da modelagem matemtica as discusses com relao temtica, no so,

entretanto, ignoradas. Assim, servimo-nos de ideias j apresentadas na literatura da rea com

relao temtica (BEAN, 2012; BEAN, 2015; ALMEIDA, 2014, BASSANEZI, 2002).

Nossas argumentaes sobre possveis desdobramentos para atividades de modelagem

decorrentes da formulao de hipteses so ento direcionadas ao desenvolvimento de uma

atividade de modelagem matemtica por alunos de uma disciplina de Modelagem Matemtica

na Perspectiva da Educao Matemtica.

Embora possa se reconhecer uma pluralidade de ideias, ou at mesmo de concepes,

sobre o que vem a ser modelagem na Educao Matemtica, pautamo-nos no entendimentode que ela orientada pela busca de soluo para um problema cuja origem est, de modo

geral, associada a uma situao da realidade.

Introduo

Sobre Modelagem Matemtica


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Nesse contexto a modelagem matemtica viabiliza uma leitura, ou at mesmo uma

interpretao, ainda que parcial e idiossincrtica, de fenmenos no matemticos com o apoio

da matemtica. Sob esse entendimento, trata-se de um procedimento criativo e interpretativo

que faz uso ou estabelece uma estrutura matemtica que deve incorporar, com certo nvel de

fidelidade, caractersticas essenciais do fenmeno, indicando uma possvel soluo para um

problema associado a este fenmeno.

A atividade de modelagem matemtica revela assim uma compreenso do fenmeno, a

qual, segundo Bean (2015),

adotada em qualquer poca ou em qualquer local, alm de se apoiar em quadros

conceituais de uma variedade de comunidades, como a dos bilogos, matemticos,entre outras, remete s linguagens, informaes, tecnologias e conhecimentosdisponveis aos modeladores, bem como s problemticas abordadas e aos interessesdos modeladores em abord-las (BEAN, 2015, p. 3).

Nesse sentido, cada atividade de modelagem matemtica traz consigo conceitos,

linguagens, problemticas e interesses daqueles que a desenvolvem. Ou seja, ela uma

idealizao realizada pelos modeladores a qual, segundo Husserl (2012 p.40), adapta ao

mundo permanentemente dado como efetivo na nossa vida concreta, uma roupagem de

ideias da matemtica que o substitui e o mascara, como a natureza objetivamente efetiva everdadeira.

Caberia discutir, portanto, como se d essa idealizao nas atividades de modelagem, o

que fazem os modeladores visando uma leitura e interpretao matemtica para problemas

no matemticos. Nesse contexto, o empreendimento neste texto dirige-se discusso sobre a

formulao de hipteses em atividades de modelagem matemtica.

Considerando, como j ponderamos na seo anterior, a possvel leitura ou possvel

interpretao e compreenso de fenmenos da realidade associada modelagem matemtica,

interessa-nos trazer tona uma discusso sobre um aspecto que tem relao direta com a

compreenso do fenmeno e com as deliberaes sobre ele estabelecidas: as hipteses.

A indicao de que as hipteses tm um papel relevante nas atividades de modelagem

matemtica, participando da idealizao do fenmeno, como referenciado por Husserl (2012),

pode ser percebida nas argumentaes de diferentes autores. Bean (2001, p. 53) aponta,

Sobre as Hipteses em Atividades de Modelagem Matemtica


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chamados de jogos de linguagem, de modo que ele afirma chamarei tambm de jogos de

linguagem o conjunto da linguagem e das atividades com as quais est

entrelaada (WITTGENSTEIN, 2012, 07) e em outro momento coloca o significado de uma

palavra seu uso na linguagem (WITTGENSTEIN, 2012, 43) e a esses usos denominou de

jogos de linguagem.

No que se refere ao significado da palavra hiptese, parecem se configurar diferentes

jogos de linguagem, considerando o que dicionrios apresentam para se referir hiptese ou

falar de seu significado.

Segundo Abbagnano (2007), hiptese diz respeito a um enunciado que s pode ser

comprovado, examinado, verificado, indiretamente atravs de suas consequncias. ParaJapiass e Marcondes (2008), hiptese uma explicao provisria de um fenmeno devendo

ser provada pela experimentao. J em Houaiss (2009), uma hiptese pode ser uma

proposio que admite um princpio a partir do qual se pode deduzir um determinado

conjunto de consequncias.

Levando em considerao estes diferentes significados, poderamos perguntar: quando o

contexto a modelagem matemtica, como falar da natureza das hipteses? possvel falar

de experimentao em modelagem matemtica? As hipteses utilizadas no desenvolvimentoda modelagem matemtica so verificveis por meio de suas consequncias?

Algumas reflexes sobre estas questes podem advir do pensamento de Wittgenstein

com relao s hipteses. O filsofo, ao tratar da natureza das hipteses, em sua Gramtica

Filosfica, afirma que uma hiptese pode resultar de nossas experincias e, justamente por

isso, ela pode se modificar, ela pode ser substituda, e exemplifica sua conjectura assim:

Se nossas experincias resultam em pontos sobre uma linha reta, a proposio de queessas experincias so vrias vises de uma linha reta uma hiptese. A hiptese uma maneira de representar essa realidade, pois uma nova experincia pode coincidir

com ela ou no, possivelmente, tornar necessrio modificar ahiptese (WITTGENSTEIN, 2003, p. 169).

Nesse contexto, a formulao de uma hiptese parece estar associada aos modos como

vemos a situao sobre a qual iremos formular hipteses. Os modos de ver, entretanto,

decorrem da observao, da experincia. No mbito da modelagem matemtica, o modo de

ver do modelador que orienta a sua formulao de hipteses. Nesse sentido, no existem, a

priori, hipteses certas ou hipteses erradas. No entanto a experincia do modelador, as suas

informaes sobre o fenmeno, podem conduzir a formulaes cuja adequao e veracidade

podem se confirmar quando o modelo for considerado adequado ou quando atender aos

interesses do modelador e de uma comunidade. Wittgenstein, neste sentido, pondera que


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preciso confirmar a veracidade de uma hiptese, para que ela seja til no jogo de linguagem

em que estamos. De fato, ele afirma:

Pode ser duvidoso se o corpo que vejo uma esfera, mas no pode ser duvidoso que,daqui, parea ser algo como uma esfera. O mecanismo da hiptese no funcionaria sea aparncia tambm fosse duvidosa de modo que no pudssemos verificar para almda dvida mesmo uma faceta da hiptese. Se houvesse uma dvida no caso, o queeliminaria a dvida? Se tambm essa ligao fosse frouxa, no haveria nada com queconfirmar uma hiptese e ela pairaria no ar inteiramente, inteiramente sem objetivo (e,portanto, intil) (WITTGENSTEIN, 2003, p. 171).

Assim, preciso ponderar que, por um lado, a formulao de hipteses em atividades de

modelagem matemtica no pode se dar de forma desvinculada das caractersticas do

fenmeno. Por outro lado, entretanto, a experincia do modelador, seja com relao aoconhecimento sobre o fenmeno, seja com respeito matemtica, seja em relao sua

experincia com o desenvolvimento de atividades de modelagem favorecem que o

mecanismo da hiptese funcione, como considera Wittgenstein. Neste sentido, a reflexo que

apresentamos neste artigo visa fomentar e ampliar as perspectivas apontadas e incitar

discusses sobre a formulao de hipteses no desenvolvimento de atividades de modelagem

matemtica.

Para olhar sobre os desdobramentos em atividades de modelagem matemtica

decorrentes da formulao de hipteses, consideramos o desenvolvimento de uma atividade

de modelagem que ocorreu em uma disciplina de Modelagem Matemtica na Perspectiva da

Educao Matemtica, ministrada em um programa de ps-graduao em Educao

Matemtica em uma universidade pblica no primeiro semestre de 2014. Os autores deste

artigo foram, professor e alunos, respectivamente, desta disciplina. O olhar sobre as hipteses

formuladas para o desenvolvimento da atividade realizado considerando: anotaes de aula

entregues pelos alunos e contendo diferentes estgios do desenvolvimento da atividade; o

relatrio final da atividade entregue pelos alunos; os slides da apresentao da atividade

durante encontro presencial da referida disciplina; uma entrevista semiestruturada com o

grupo de alunos que desenvolveu a atividade. No artigo apresentamos uma anlise

interpretativa, luz de pressupostos de Wittgenstein e da modelagem matemtica como

entendida neste texto, com relao formulao de trs hipteses realizada por estes alunos.

Aspectos Metodolgicos


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A discusso acerca das hipteses vem, neste artigo, orientada pela questo: a que

desdobramentos para a atividade conduzem as hipteses na modelagem matemtica?

Considerando a importncia da temtica monitoramento da frequncia cardaca dos

indivduos durante a prtica de exerccios fsicos e a importncia de conhecer a aptido fsica

de cada pessoa na realizao de exerccios, o tema da atividade Variao da Frequncia

Cardaca no Teste de Lger e Lambert1 foi definido pelo grupo.

A atividade de modelagem matemtica foi desenvolvida a fim de investigar um problema

especfico: como se comporta a variao da frequncia cardaca de um indivduo durante a

realizao do teste de Lger e Lambert, popularmente conhecido como teste aerbico de

corrida de vai-vm de 20 metros?

A coleta de dados foi feita com quatro sujeitos, corredores, dois sedentrios e dois que

declararam praticar exerccios fsicos regularmente. Os materiais utilizados para a coleta de

dados foram: cronmetro, frequencmetro, fita mtrica, fita adesiva e udios referentes ao

teste. A distncia foi demarcada em uma quadra esportiva e a realizao do teste gravada em

udio e vdeo. Neste artigo, analisamos a modelagem matemtica desenvolvida com os dados

obtidos no teste de apenas um corredor (Figura 1).

Os encaminhamentos para o desenvolvimento da atividade foram sendo delineados na

medida em que trs hipteses foram sendo formuladas pelos alunos.

H1: H uma regularidade na variao da frequncia cardaca

Essa hiptese fundamenta-se na caracterstica primeira do fenmeno frequncia cardaca:

A Atividade de Modelagem: Um Olhar sobre a Formulao de Hipteses

1O Teste de Lger e Lambert, desenvolvido por Luc Lger e Lambert em 1982, compreende 21 estgios de aproximadamente 1 minuto e a cada estgioincrementa-se a velocidade em 0,5 km/h. Mais informaes em Duarte e Duarte (2001).

Figura 1Performance de um dos corredores no Teste de Lger e LambertFonte: Dos autores.


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a variabilidade dos batimentos. Embora a variabilidade seja marcante, tambm fato que

algumas regularidades podem ser observadas, considerando o preparo fsico do corredor.

Ento, como usada essa hiptese na atividade de modelagem? Podemos dizer que H1visa

elucidar caractersticas do problema a ser investigado, sua leitura e sua interpretao atuam

como um meio de abrir caminhos e possibilidades para a abordagem do problema. Trata-se de

um modo de ver a situao, uma interpretao. E, segundo Wittgenstein (2012, p. 276)

interpretar pensar, agir; ver um estado. A ao, nesse caso, possibilita o pensar sobre

qual matemtica usar para resolver o problema e como us-la visando compreenso da

variao do batimento cardaco durante o teste de Lger e Lambert. Nesse contexto, H1 foi

tomada como ponto de partida para esboar um raciocnio, um caminho a seguir na buscapela soluo do problema, ou seja, um guia para a pesquisa (ALMEIDA, 2014).

H2: Existe relao entre a variao da frequncia cardaca e a distncia percorrida pelo

corredor

A observao da variao da frequncia cardaca durante o teste possibilita dois

encaminhamentos no que diz respeito abordagem da varivel tempo: a considerao do

tempo gasto pelo corredor ou a considerao do tempo padronizado pelo teste.

Considerar o tempo gasto pelo corredor implica na utilizao de trs variveis: frequncia

cardaca, distncia e tempo. A utilizao de tal varivel implicaria na construo de um modelo

baseado em uma funo de duas variveis, ou, em duas funes de uma varivel real.

Como no teste de Lger e Lambert o intervalo entre um estgio e outro padronizado,

os alunos do grupo informaram, tanto no relatrio quanto na entrevista, que para ser fiel ao

teste a opo foi elaborar um modelo considerando a variao da frequncia cardaca em

funo da distncia percorrida. Isso indica claramente que, dependendo da hiptese assumida,

diferentes encaminhamentos podem ser tomados. Isso corrobora a indicao de Almeida e

Vertuan (2011) de que as hipteses so fatores que se colocam no caminho para indicar

direes e em que diferentes resolues matemticas so empreendidas para resolver o

problema.

A hiptese aqui tem, portanto, uma natureza de delimitao, no sentido de simplificar a

situao. Neste caso, a deciso de desconsiderar a varivel tempo na elaborao do modelo

decorre dos modos de ver a situao, da observao, da experincia dos modeladores, das

informaes que eles tm sobre o fenmeno. resultado de uma leitura, de uma idealizao,

como pontua Husserl (2012), em que ideias matemticas entram em jogo, e a formulao de


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hipteses e de aproximaes simplificadoras so requisitos para a criao do modelo,

conforme defende Bean (2012) e Bean (2015).

H3: O comportamento da frequncia cardaca crescente e tende a se estabilizar na

medida em que se aproxima da frequncia cardaca mxima do corredor

Essa hiptese foi formulada com base no comportamento dos dados da Figura 1, a partir

de um experimento, e no clculo da frequncia cardaca mxima do corredor. A realizao do

teste, se repetida, poderia conduzir a resultados que no coincidem com os do teste anterior.

Assim, a hiptese uma maneira de representar essa realidade, pois uma nova experincia

pode coincidir com ela ou no, possivelmente, tornar necessrio modificar a hiptese

conforme j pondera Wittgenstein ( 2003, p. 169).

A hiptese H3 funciona como direo para a abordagem matemtica do fenmeno,

considerando o comportamento dos dados para a construo de um modelo matemtico

capaz de incorporar este comportamento crescente, mas com um limitante, ou seja, uma

assntota. Dentre as curvas analisadas os alunos enxergaram, de acordo com seu modo de ver,

que uma funo logstica, ou seja, , em que e a frequncia cardaca

(bpm), d a distncia (m), poderia se ajustar aos dados da Figura 1.

H3, inicialmente formulada em linguagem natural, interpretada por meio da linguagem

matemtica, como uma lei que guia os alunos. Com base em Wittgenstein (2003), podemos

dizer que a lei forma uma expectativa do grupo com relao a qual matemtica usar para

construir o modelo matemtico. E, por conseguinte, uma expectativa para obter uma soluo

para o problema.

H3 que remete ao uso da linguagem matemtica disponvel aos modeladores, uma

linguagem idealizada, de natureza objetiva, com regras e gramtica especficas. Por meio do

jogo de linguagem da matemtica os modeladores tentam aproximar uma curva dos dados

coletados a fim de realizar previses e compreender, por meio da matemtica, o fenmeno

estudado (Figura 2).

O grfico da Figura 2 indica que o comportamento da curva logstica (em vermelho) no

corresponde, ponto a ponto, aos dados coletados durante o teste do corredor (pontos em

azul), o que corrobora com a ideia de que uma hiptese conduz a uma aproximao da

descrio do fenmeno e que pode ser modificada de acordo com a experincia do

modelador, com o modo de ver e interpretar o fenmeno.

1.)(

deb

adF

Rba ,, F


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O grfico da Figura 2 indica que o comportamento da curva logstica (em vermelho) no

corresponde, ponto a ponto, aos dados coletados durante o teste do corredor (pontos em

azul), o que corrobora com a ideia de que uma hiptese conduz a uma aproximao da

descrio do fenmeno e que pode ser modificada de acordo com a experincia do

modelador, com o modo de ver e interpretar o fenmeno.

Quando os alunos entram no jogo de linguagem da matemtica, regras especficas so

necessrias. O ajuste da curva logstica feito com base nos dados da Figura 1, no entanto ocomportamento da curva , de certo modo, determinado. Eles observaram que o valor

limitante, para a frequncia cardaca do sujeito, obtido por meio de um mtodo matemtico,

de 211,00 bpm estava alm da frequncia cardaca mxima estimada segundo a literatura da

rea de sade, de 186,7 bpm. A objetividade da matemtica vai de encontro realidade, em

que o limitante, quando o sujeito atinge mais estgios do teste, varia conforme o

condicionamento fsico individual do corredor. Dos 21 estgios do teste o corredor avaliado

chegou ao estgio 9 nvel 9, a uma velocidade de 12,5 km/h e, em consonncia com as

indicaes da literatura da rea consultada pelos alunos, o nvel de aptido fsica do corredor

foi considerado bom pelos alunos que desenvolveram a atividade. O modelo foi ento utilizado

para responder como se d a variao da frequncia cardaca do corredor durante sua

performance no teste de Lger e Lambert, o que pode ser visto por meio da anlise de H3.

A discusso acerca das hipteses vem, neste artigo, orientada pela questo: a quedesdobramentos para a atividade conduzem as hipteses na modelagem matemtica? A

palavra desdobramentosrefere-se aqui a possveis consequncias para o desenvolvimento da

Figura 2Encaminhamento dos estudantes a partir de H3

Fonte: Dos autores.

Resultados


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atividade e s escolhas dos alunos, seja com relao seleo de informaes e variveis do

fenmeno, seja com relao matemtica a ser usada na atividade, decorrentes das hipteses

formuladas.

O que podemos inferir a partir do esforo analtico empreendido que as trs hipteses

formuladas pelos alunos, ao mesmo tempo em que tm diferentes origens, tambm tm

diferentes finalidadespara o desenvolvimento da atividade.

A hiptese 1, com base no conhecimento dos alunos sobre o fenmeno, seria o guia

para compreenso do problema. De fato, admitir que H uma regularidade na variao da

frequncia cardaca (H1) seria o primeiro passo para investigar como se comporta a variao

desta frequncia.

J a formulaode H2(Existe relao entre a variao da frequncia cardaca e a distncia

percorrida pelo corredor) est fundamentada no que os alunos estudaram sobre o fenmeno,

vindo a saber que a frequncia pode ser descrita de forma direta considerando apenas a

distncia percorrida (tempo varivel considerada de forma implcita). A sua consequncia

para o desenvolvimento da atividade seria, entretanto decisiva. No considerar de forma

explcita a varivel tempo, traria uma descrio matemtica especfica, diferente daquela caso

o tempo fosse tambm uma varivel definida.

A hiptese 3, por sua vez, corresponde a uma leitura dos dados coletados. Ela indicaria o

encaminhamento para a construo do modelo matemtico. Admitir um comportamento

assinttico dos dados foi o que definiu a escolha do modelo logstico para a compreenso da

variao dos batimentos cardacos.

Assim, as hipteses so formuladas a partir de um modo de ver e a partir deste modo,

elas regem um comportamento, e tem o carter de guia para a compreenso do fenmeno.

por meio delas que os sujeitos expem o que veem do fenmeno e ao mesmo tempo

conseguem aprofundar seu conhecimento sobre o mesmo.

Nesse sentido, em uma atividade de modelagem matemtica, uma hiptese no como

um enunciado que s pode ser comprovado, examinado, verificado, indiretamente atravs de

suas consequncias (ABBAGNANO, 2007). Nem tampouco, uma hiptese em modelagem

uma explicao provisria de um fenmeno devendo ser provada pela experimentao

(JAPIASS; MARCONDES, 2008).

A observao do fenmeno e a identificao de um problema a ser solucionado geram

hipteses cujo papel incorporar na modelagem matemtica caractersticas relevantes do


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problema na viso do modelador, e ao mesmo tempo, orientar o encaminhamento da

atividade, seja nas estratgias de resoluo, seja no uso da matemtica, seja na construo de

modelos para o fenmeno em estudo.

Desse modo, a natureza de uma hiptese em modelagem matemtica tem caractersticas

de uma suposio bem fundamentada, como pondera Almeida (2014). O modelador,

sobretudo, precisa se prover de informaes sobre o fenmeno, sobre a matemtica, de modo

a garantir que o mecanismo da hiptese funcione, como pondera Wittgenstein (2003). A

validao do modelo, a anlise da resposta obtida para o problema podem ser elementos que

balizam este funcionamento. Parece ter sido este o encaminhamento dos alunos para estudar

o comportamento dos batimentos cardacos em corredores submetidos ao teste de Lger e

Lambert.

A reflexo que se pretende instaurar neste artigo com relao formulao de hipteses,

entretanto, contempla argumentaes como a de Wittgenstein a que j nos referimos: A

hiptese uma maneira de representar essa realidade, pois uma nova experincia pode

coincidir com ela ou no, possivelmente, tornar necessrio modificar a

hiptese (WITTGENSTEIN, 2003, p. 169). Ou seja, a atividade de modelagem matemtica tem

um encaminhamento em consonncia com as hipteses em que se fundamenta. Novas

experincias dos modeladores podem conduzir a novas hipteses, a novos modos de ver e de

compreender, por meio da matemtica, um fenmeno da realidade.


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Referncias

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