DESIGUALDADES LINEALES Y NO DESIGUALDADES LINEALES Y NO LINEALESLINEALES

INTERVALOS ABIERTOS Y

CERRADOS

Mediante las desigualdades podemos establecer intervalos que representen conjuntos de números que bien pueden ser soluciones de inecuaciones o regiones que satisfacen ciertas condiciones.

Una desigualdad se establece con los símbolos “<” ó “>” ( menor que... , mayor que...) para relacionar dos cantidades de las cuales solo podemos afirmar una de estas proposiciones:

a) a > b “a es mayor que b”b) a < b “ a es menor que b”c) a = b “ a es igual a b”

Afirmaciones que tienen un apoyo gráfico representado en la recta real:

a > b

a está a la derecha de b

a < b

a está a la izquierda de b

a = ba y b ocupan el mismo sitio en la recta real.

Observemos la gráfica de la desigualdad x≤ 5 que genera un intervalo de soluciones para ella llamado semiabierto a la izquierda puesto que el extremo izquierdo no está definido como un valor concreto; no así el extremo derecho , completamente definido e incluido en el conjunto de soluciones:

S= (∞; 5 ]

Y la de la desigualdad x≥1 cuya representación en la recta real se le llama intervalo semiabierto por la derecha precisamente porque no hay cota a su derecha , al contrario del límite que existe por la izquierda : el 1 .

S= [1 ;∞)

Si unimos las dos soluciones anteriores crearemos el intervalo 1≤ x ≤ 5 llamado cerrado dado que sus extremos se incluyen en el conjunto constituyendo una cota a cada extremo del intervalo de soluciones para la desigualdad arriba propuesta

S= [1 ; 5]

Dado lo anterior podemos formar varias combinaciones con intervalos:

•Intervalos semiabiertos a la derecha

•Intervalos semiabiertos a la izquierda

•Intervalos abiertos

intervalo cerrado

Para resolver una desigualdad podemos considerar este proceso como el mismo al de la resolución de una ecuación lineal, salvo por algún ¨detalle¨ a mencionar enseguida en estos principios sobre ellas:

I) Sean a > b y c > 0 todos números reales, entonces

c a > c b ycb

ca

Una desigualdad ( o inecuación) puede ser multiplicada o dividida por cualquier cantidad positiva diferente de cero sin alterarse

2x 8

2

8

2

2 x

4x

13

x

1)3(3

3

x

3x

(II) Sean a < b y c < 0 , todos número reales, entonces

c a > c b y cb

ca

Una inecuación cambia de sentido si se le multiplica o divide por una cantidad negativa

2 x

2)1())(1( x

2x(III) Si a > b y c son cualquier número real, entonces

a + c > b + c o también a+ c < b + c

Veamos algunos ejemplos para ver cómo se resuelven las desigualdades o inecuaciones.

Ejemplo 1 resolver y graficar en la recta real el conjunto de soluciones de3x – 2 > x – 1 estableciendo también el resultado en notación de intervalos

3x -x > 2 – 1

2x > 1

x > ½

La solución en notación de intervalos es S= (1/2 ; ∞)Y en la

recta real

Observemos que , a diferencia de las ecuaciones, no hay una solución , sino todo un conjunto de valores de ellas y son todos los valores mayores a ½ ; por lo mismo , queda excluido el ½ como parte de este conjunto de soluciones. Tal situación se representa con el uso de paréntesis para indicar la exclusión del valor frontera.

Ejemplo 2 : Resuelve la desigualdad 951)1( 22 xxx

Empezamos desarrollando el binomio 95112 22 xxxx

97 x

79x

Las representaciones en la recta de los números reales

y notación de intervalos quedan así:S=[9/

7 ;∞)

Al usar corchetes en la notación de intervalos y la gráfica estamos diciendo

que el valor de 1 también es parte de la solución.

5123 x

Esta doble desigualdad se resuelve con la misma idea de sumar, restar, multiplicar o dividir toda

la expresión por cualquier cantidad ateniéndonos a los postulados establecidos.

3 + 1 < 2x –1 +1≤ 5 +1 sumamos 1 a toda la expresión

enseguida dividimos entre dos todo

4 < 2x ≤ 6

2 < x ≤ 3

Luego, S = ( 2 ; 3]

Ejemplo3: Resolver

Ejemplo 4: resolver-2 < 3 –

3x < -4Comenzamos restando 3 a toda la doble desigualdad - 2 – 3 < 3 – 3 – 3x < - 4 - 3

- 5 < - 3x < -7

multiplicamos por -1 5 > 3x > 7

y dividimos entre 3 ¿¿¿ 37

35 x

Solución que nos da una representación en intervalos de S = { φ } y en la recta real no hay intervalo que la represente :

EJERCICIOS 1.1 Representa en la recta real las siguientes desigualdades

EJERCICIOS 1.2 Expresa analíticamente como una desigualdad las siguientes gráficas

Ejemplo 5 Resolver 52

1

3

2

x

Empezamos multiplicando todo por 6 4x + 3 ≥ 30

4x ≥ 27

427

x S=[27/4 ;∞)

ECUACIONES Y DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO

Definamos valor absoluto:

0 u si

0u si 0

0 u si

u

u

u Alternativamente 2uu

Empezaremos usando la primera de ellas Ejemplos

77 )( 8)8(8

31 x En el caso de una ecuación es preciso aplicar la definición enunciada en primer término

La gráfica de las respuestas en la recta real se ve así

752 xAhora veamos este ejemplo : resuelve

Podemos resolver ya desigualdades con valor absoluto:

Ejemplo 7 Resuelve para 23 x

Como hemos afirmado en la definición , existen dos posibilidades

a) si x – 3 es positivo ( x – 3 >0), entonces su valor absoluto es x – 3

x – 3 < 2

x < 2+ 3

x < 5

solución parcial puesto que nos hace falta explorar la segunda posibilidad

b) si x – 3 es negativo (x – 3 < 0) ,entonces su valor absoluto es –(x – 3), luego

-(x – 3) < 2-x + 3

< 2-x < 2- 3

-x < - 1 multiplicamos por -1

x > 1 segunda solución parcial

Si intersectamos ambas soluciones obtenemos el conjunto de ellas que satisface la desigualdad propuesta inicialmente.

S= ( 1 ; 5) ó 1 < x < 5

Ejemplo 8: Resolver 2

532 x

Volvemos a tomar las dos posibilidades:

a) Si 2x – 3 > 0 entonces su valor absoluto es 2x- 3

2x – 3 < 5/2 2x < 3 + 5/2 2x < 11/2 x < 11/4

b) Si 2x – 3 < 0 entonces su valor absoluto es - ( 2x – 3)

-(2x – 3)< 5/2 -2x + 3 < 5/2 -2x < 5/2 –3 -2x < - ½ divido todo entre -2

x > ¼

La solución final es S = (1/4 ; 11/4)

Ejemplo 9 Resolver 12 x

a) Si x+ 2 > 0 entonces x + 2 > 1

x > 1- 2

x > -1

b) Si x + 2 < 0 entonces -(x + 2) > 1 -x – 2 > 1- x > 1+2 multiplicamos por

-1x

< -3 si sumamos ambas soluciones obtenemos el conjunto de valores que satisface a la desigualdad propuesta.

S= (-∞ ; -3) U (-1; +∞)

Ejemplo 10 Resolver 41 x

1) Si x + 1 > 0 entonces 11 xx

luego x + 1 ≥ 4

x ≥ 3

2) Si x + 1 < 0 entonces | x+ 1| = -(x + 1)

-( x + 1) ≥ 4

-x - 1 ≥ 4

-x ≥ 5x

≤ - 5

Su representación en notación de intervalos es S= (- ∞ ; -5] U [3; +∞)

Ejemplo 11 Resolver y graficar en la recta de los reales 0 < |x+2| < 1

Tenemos una doble desigualdad formada por 0<|x+2| y |x+2| < 1

por lo cual daremos curso al procedimiento en ambas y el resultado final serán aquellos valores que satisfagan ambas.

a) para 0 < |x + 2| tomamos ambas alternativas

si x+2 >0 entonces si x + 2 < 0 entonces 0 < x + 2 0 < -(x + 2)-2 < x ó x > -2 0 < -x – 2 ó x < -2

queda como x > - 2 ó x < -2

b) para | x + 2|< 1 hacemos lo mismo

si x + 2 > 0 entonces si x + 2 < 0 entonces

x + 2 < 1 -(x + 2) < 1x < -1 -x – 2 < 1

- 2 – 1 < x ó x > -3

Al intersectar ambos conjuntos de soluciones obtenemos:

S= (-3 ; -2) U (-2 ; 1)

Ejemplo 12 Resuelve 1 < |x+2 | < 3

a) Tomamos la primera desigualdad 1 < | x+2| y la resolvemos

Si x + 2 > 0 entonces si x + 2 < 0 entonces 1 < x + 2 1 < -( x + 2) 1 – 2 < x 1 < - x - 2 -1 < x 1+2 < -x

3 < -x ó -3 > x x < -3Uniendo ambas soluciones : x < -3 ó x > -1

b) Resolvemos ahora la segunda desigualdad |x + 2| < 3

x + 2 > 0 entonces si x + 2 < 0 entoncesx+ 2 < 3 - (x + 2) < 3 x < 1 -x – 2 < 3

-x < 5 x > -5

En conjunción se escribe como -5 < x < 1

intersectando ambas soluciones:

Como podrá haberse dado cuenta el lector, una vez analizados los ejercicios anteriores se podrían hacer algunas conjeturas que nos van a permitir resolver cualquiera de las desigualdades anteriores de forma inmediata sin vulnerar cualquier análisis lógico correspondiente. Veamos:

Supongamos | x – a | < b Se trata de un intervalo cuyo centro está en x=a y tiene anchura b unidades tanto a la izquierda como a la derecha de a como se indica en la figura.

Si fuera el caso de | x – a | > b los valores que satisfacen la desigualdad están centrados en relación a x=a pero empieza a partir de a+b unidades hacia la derecha y a partir de a-b hacia la izquierda de a como se muestra en la figura

Cuando se trate de |x –a | ≥ b o |x – a|≤ b solo tenemos que sustituir los paréntesis por los corchetes para los valores extremos correspondientes.

Cuando se trate de una desigualdad doble , consideremos 0 < |x – a| < b por ejemplo, pensemos que en realidad se trata de dos, precisamente: 0 < | x - a | y | x – a| < b , la solución final es la intersección de las soluciones particulares de cada una de ellas ilustradas así

Sin embargo, cuando se trate de una expresión más general como c < | x- a | <b donde c<b , la superposición de ambas soluciones se puede visualizar así:

EJERCICIOS 1.3 Resuelve , grafica en la recta real el conjunto de soluciones y exprésalo también en notación de intervalos.