Desigualdades, Inecuaciones Lineales y Cuadraticas

SEDE - PIURA

MATERIAL ELABORADO POR: PEDRO MONJA RUIZ

TEMA 03: DESIGUALDADES, INECUACIONES LINEALES Y

CUADRATICAS, REPRESENTACIONES EN EL PLANO

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IDENTIDADEs toda igualdad que siempre se cumple, sea cual seas el valor

de la incógnita o incógnitas: x = x (x – 2).(x + 2) = x2 – 4 (x – y )2 = x2 – 2.x.y + y2

ECUACIÓNEs una igualdad que sólo se cumple para uno o varios valores concretos de la incógnita o incógnitas que intervienen: 2x = 4 Sólo para x = 2 x2 = 4 Sólo para x = 2 y para x = - 2 y = 2x Sólo cuando y sea doble que el valor de x.

INECUACIÓNEs una desigualdad que se cumple en un intervalo finito o infinito de valores de la incógnita o incógnitas que intervienen: x < 2 ( - oo , 2 )

x ≥ - 4 [ - 4 , + oo ) |x| < 3 ( - 3, 3)


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Una inecuación es toda desigualdad en la que intervienen incógnitas o valores desconocidos.

En las desigualdades se emplean símbolos que es necesario saber leer e interpretar.

Signo: Se lee: x < - 3 x es siempre MENOR

que - 3 x ≤ 5 x es MENOR o IGUAL que 5 x > 7 x es siempre MAYOR que 7 x ≥ - 2 x es MAYOR o IGUAL que - 2MATERIAL ELABORADO POR: PEDRO MONJA RUIZ

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EQUIVALENCIA DE INECUACIONESDos o más inecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma

solución.

Ejemplos:

x > 4 y x – 4 > 0 son inecuaciones equivalentes.

x2 – 4 < 0 y (x + 2).(x – 2) < 0 son equivalentes.

SOLUCIONES DE UNA INECUACIÓN

Las soluciones de una inecuación son los valores que pueden tomar las incógnitas, tales que al sustituirlos en la inecuación la desigualdad sea cierta.

Ejemplos:

x > 4 x = 5 es solución; también x = 6, x = 7, etc

x2 – 4 < 0 x = 1 es solución; también x = - 1 , x = 0, etc


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GRÁFICAS DE SOLUCIONES DE INECUACIONES:

1.- 2 + x ≥ 4 x ≥ 4 – 2 x ≥ 2Solución = [ 2, + oo )Como x puede valer 2, se empleará intervalos semicerrados.En la gráfica, la inclusión del 2 se representa por un punto

sólido.

2.- 2x < x -5 2x – x < - 5 x < - 5 Solución = ( - oo, - 5 )Como x no puede valer - 5, se empleará intervalos abiertos.En la gráfica, la exclusión del - 5 se representa por un punto

hueco.

2

R

R

- 5MATERIAL ELABORADO POR: PEDRO MONJA RUIZ

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PRINCIPIOS DE EQUIVALENCIA

Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o resta un mismo número o expresión algebraica, resulta una inecuación equivalente a la dada.

Si x – 3 > 1 x – 3 + 3 > 1 + 3 x > 4

Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica por un número real positivo, resulta una inecuación equivalente a la dada.

Si x / 3 < 5 3. x / 3 < 3. 5 x < 15

Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica por un número negativo, resulta una inecuación equivalente a la dada, pero con el signo de desigualdad contrario al de la inecuación original.

Si - x < 3 (- 1).( - x ) > (- 1).3 x > - 3MATERIAL ELABORADO POR: PEDRO MONJA RUIZ

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RESOLUCIÓN DE INECUACIONESSean las inecuaciones:

1.- 2 + x ≥ 4 2.- 2x ≤ x -5 3.- x > x + 2


SOLUCIONES:

1.- 2 + x ≥ 4 x ≥ 4 – 2 x ≥ 2Solución = [ 2, + oo )

2.- 2x < x -5 2x – x < - 5 x < - 5 Solución = ( - oo, - 5 )

3.- x > x + 2 x - x > 2 0 > 2 FALSOSolución = Ø (Conjunto vacío)

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1) 2 – x x – 3

-------- – ----------- + 2 > x 5 6 2) x – 1

x ------------ + 2 <

------ 5 33) 2

------- + 3 ≥ 4

x + 1

1) SOLUCIÓN:

2 – x x – 3 -------- – ----------- + 2 > x 5 6

6(2 – x) – 5( x – 3 ) ----------------------------- + 2 > x 30 12 – 6x – 5x + 15 + 60 > 30x 87 > 41x x < 87/41 Solución = (- oo , 87/41)

3) SOLUCION: 2 + 3.(x+1) ----------------- -- 4 ≥ 0 x + 1

2 + 3.(x+1) – 4.(x + 1) -------------------------------------- ≥ 0 x + 1 1 – x -------- ≥ 0 x + 1 Las raíces de numerador y denominador

son el 1 y el -1 Se estudia el signo en (-oo, -1), (- 1, 1] y [1,

+oo) Solución = ( - oo, 1 ] – { - 1}

2) SOLUCION:

3.(x – 1) + 30 5.x----------------------- < --------- 15 15 3.(x – 1) + 30 < 5.x

3.x – 3 + 30 < 5.x

– 3 + 30 < 5.x – 3.x

27 < 2.x x > 13,5

Solución = ( 13,5 , oo )

EJERCICIOS


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Una inecuación de segundo grado o inecuación cuadrática es la que tiene la forma:

ax2 + bx + c ≤ 0 , ( o ≥ 0, o > 0, o < 0)Siendo a > 0 siempre. Para resolverlas se hallan las dos raíces, tomada la expresión

como una ecuación, x1 y x2 . Luego se factoriza el polinomio característico: (x - x1).( x - x2 ) ≤ 0 ó (x - x1).( x - x2 ) ≥ 0 Y por último se halla el signo de cada factor en cada uno de

los siguientes intervalos: (-oo, x1), ( x1 , x2 ) y ( x2, +oo) La solución será un intervalo abierto o cerrado si las raíces

halladas, x1 y x2 , pertenecen o no a la solución del sistema.


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RESUELVE LA INECUACIÓN: X2 - 5X + 6 ≤ 0

- oo 2 3 +oo

( x – 2 )

( x – 3 )

- + +

- - +

Productos + - +

En [ 2, 3 ] el producto es NEGATIVO ( < 0 ), luego Solución = x ε [ 2, 3 ]

Se hallan las dos raíces: x1 = 2 , x2 = 3Se factoriza el polinomio: (x - 2) * ( x - 3 ) ≤ 0 Se halla el signo de cada factor:


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Resuelve la inecuación: x2 + 3x - 10 > 0 SOLUCION. Se hallan las dos raíces: x1 = 2 , x2 = - 5 Se factoriza el polinomio:

x - 2).( x + 5 ) > 0 Se halla el signo de cada factor:

- oo - 5 2 +oo

( x – 2 )

( x + 5 )

- - +

- + +

Productos + - +

En (-oo.-5) y en ( 2, +oo) el producto es POSITIVO ( > 0 ), luego

Solución = { V x ε R / x ε ( -oo, -5 ) U ( 2, +oo ) }

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Resuelve la inecuación: x2 + 2x + 1 < 0 Se hallan las dos raíces: x1 = -1 , x2 = - 1 Se factoriza el polinomio: (x + 1 ).( x + 1 ) < 0 Se halla el signo de cada factor:

- oo - 1 +oo

( x +1 )

( x + 1 )

- +

- +

Productos + +

No hay ningún intervalo cuyo producto sea NEGATIVO, luego Solución = Ø


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La solución de una inecuación de dos incógnitas es un semiplano.

Los pasos a seguir para resolverla son:

1er paso:representar la recta (cambiamos el símbolo por un igual)

2º paso: elegir un punto del plano (que no esté en la recta anterior) y estudiar cómo responde a la inecuación.

3er paso:colorear el semiplano solución.

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Resuelve la inecuación: 3y2x5

Represento la recta: 3y2x5

Despejo la variable y:2

x53y

Tabla de valores: x y

1 -1

3 -6

Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación:

3030205

Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está es la solución.

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0x)a 0y)b 3x)c 2x)d 4y)e

Si la inecuación tiene una sola variable, la recta es paralela a

alguno de los ejes.

Asocia cada inecuación con su solución

b

a

c

d

e


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6y3x2)a

Asocia cada inecuación con su solución

b a

cd

yx2)b 4y2x)c 7y4x3)d

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La solución de un sistema de inecuaciones de dos incógnitas es una región (si existe).

Los pasos a seguir para resolverla son:

1er paso: representar la recta (cambiamos el símbolo por un igual)

2º paso: elegir un punto del plano (que no esté en la recta anterior) y estudiar cómo responde a la inecuación.

3er paso: colorear el semiplano solución.

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Resuelve el sistema de inecuaciones:

7y3x2

1yx3

Represento la recta: 1yx3

Despejo la variable y: 1x3y

Tabla de valores: x y

1 4

-2 -5


141223

Como el punto (2,2) NO RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está NO ES LA SOLUCIÓN.

1er paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación

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Despejo la variable y: 3x27

y

Tabla de valores:x y

2 1

-2 3Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación:

7070302

Como el punto (0,0) NO RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está NO ES LA SOLUCIÓN.

2º paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación


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2º paso: Tengo el semiplano solución de la segunda inecuación

1er paso: Tengo el semiplano solución de la primera inecuación

3er paso: Busco la intersección de los dos semiplanos anteriores

La solución del sistema y del problema está representado en esta región. Realmente, sólo valen los valores x e y no decimales (los puntos de intersección de las cuadrículas)

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Resuelve los sistemas de inecuaciones:

4yx2

3yx)a

Asocia cada sistema con su solución

b

a

c

d

6yx2

4yx2)b

6y

1yx

9yx3)c

6y

3x

1yx

4yx)d

5 / 5

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Problemas de texto con inecuaciones

Los pasos a seguir para resolverlo son:

1er paso: plantear el sistema de inecuaciones.

2º paso: resolver el sistema dibujando la región solución.

3er paso: resolver el problema, dando la solución con una frase si es posible.


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PROBLEMA. Para fabricar una torta de chocolate necesitamos medio kilo de azúcar y 5 huevos; para fabricar la de manzana necesitamos un kilo de azúcar y 6 huevos. Si en total tenemos 60 huevos y 9 kilos de azúcar, ¿qué cantidad de cada tipo de torta se pueden elaborar?

1er paso: Organizamos los datos en una tabla y hallamos las inecuaciones Torta

Cantidad

Azúcar (kg)

Huevos (u.)

Chocolate

x 0’5x 5x

Manzana y 1y 6y

Disponible 9 60

0y

0x

60y6x5

9yx5'0

2º paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación

Represento la recta: 9yx5'0 Despejo la variable y: x5'09y

Tabla de valores:

x y

2 8

6 6Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: 909005'0

Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN.

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3er paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación


Despejo la variable y:6

x560y

Tabla de valores:

x y

6 5

12 0


600600605

Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN.

4º paso: Busco los semiplano solución de las últimas inecuaciones

0x 0y

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5º paso: Busco la región solución del sistema como intersección de los semiplanos anteriores

La solución del sistema y del problema está representado en esta región. Realmente, sólo valen los valores x e y no decimales (los puntos de intersección de las cuadrículas)


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a) Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de acabado, ¿cuántas puede fabricar de cada tipo?

b) Una panadería fabrica dos tipos de kekes: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Si se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema, ¿cuántos kekes de cada tipo puede elaborar?

c) Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaña llevan 2 kg de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. ¿Cuántas puede fabricar de cada tipo?

d) ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4 autobuses de 50, y sólo tiene 6 conductores. ¿Cuántos vehículos de cada tipo puede utilizar?

Asocia cada problema con su solución

cbad

5 / 9

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Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de acabado, ¿cuántas puede fabricar de cada tipo?

Definimos las incógnitas:

Planteamos las inecuaciones:

Hallamos y representamos los semiplanos solución de cada inecuación, y la región solución del sistema:

)decenasen(lujodeneverasdecantidad:y

)decenasen(normalesneverasdecantidad:x

0y

0x

18y6x3

12y3x3

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Una panadería fabrica dos tipos de kekes : el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Si se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema, ¿cuántos kekes de cada tipo puede elaborar?




)(:

)(:

decenasenBtipokekesdecantidady

decenasenAtipokekesdecantidadx

0y

0x

5'1y25'0x25'0

2y25'0x5'0

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Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaña llevan 2 kg de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. ¿Cuántas puede fabricar de cada tipo?




)decenasen(montañadebicisdecantidad:y

)decenasen(paseodebicisdecantidad:x

0y

0x

12y2x3

8y2x

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ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4 autobuses de 50, y sólo tiene 6 conductores. ¿Cuántos vehículos de cada tipo puede utilizar?




autobusesdecantidad:y

microbusesdecantidad:x

4y

5x

0y

0x

6yx

200y50x25


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GRACIAS

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