DESKRIPTIVNA STATISTIKADESKRIPTIVNA STATISTIKA

Numeričku seriju podataka opisujemo pomoćuNumeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera.

•Pokazatelji centralne tendencije

Aritmetička sredina, Medijana, Modus, KvartiliKvartili

•Pokazatelji varijacijeInterval varijacije, Interkvartilna razlika, Varijansa, Standardna Devijacija, Srednjej , j j , japsolutno odstupanje, Koeficijent varijacije,Koeficijent interkvartilne varijacijeKoeficijent interkvartilne varijacije, Standardizovano odstupanjeA i t ič t•Asimetričnost

•Oblik distribucije

Numerički pokazatelji Numerički pokazatelji karakteristika distribucijekarakteristika distribucijekarakteristika distribucijekarakteristika distribucije

Centralna TendencijaTendencija (Lokacija)

VarijacijaVarijacija

(Disperzija)

Simetričnost

MerMeraa centralnecentralne tendencijetendencije (srednja vrednost)(srednja vrednost)MerMeraa centralnecentralne tendencijetendencije (srednja vrednost) (srednja vrednost) je vrednost oko koje se numeričke vrednosti je vrednost oko koje se numeričke vrednosti obeležja grupišuobeležja grupišuobeležja grupišu.obeležja grupišu.

Iako mera centralne tendencije nije dovoljnaIako mera centralne tendencije nije dovoljnaIako mera centralne tendencije nije dovoljna Iako mera centralne tendencije nije dovoljna da u potpunosti opiše jedan skup, ona je da u potpunosti opiše jedan skup, ona je najnajvavažniji pokazatelj od koga se polazi užniji pokazatelj od koga se polazi unajnajvavažniji pokazatelj od koga se polazi u žniji pokazatelj od koga se polazi u određivanju drugih pokazatelja.određivanju drugih pokazatelja.

Prema načinu utvrđivanja srednjePrema načinu utvrđivanja srednje vrednosti se dele na:

Matematičke (izračunate)• Aritmetička ( geometrijska, harmonijska sredina)j )• odsečena aritmetička sredinaPozicionePozicione• modus• medijana• medijana

MereMere centralnecentralneMere Mere centralnecentralnetendencijetendencije zazatendencijetendencije zaza

negrupisanenegrupisane podatkepodatkenegrupisanenegrupisane podatkepodatke

Aritmetička sredina populacijeAritmetička sredina populacije3-2

ΣXμ =N

μ =

N b j ij l ijN b j ij l ijN broj opservacija populacijeN broj opservacija populacijeX vrednosti obeležjaX vrednosti obeležja

Nxxx

Nxx N21 +++=∑=

L

NN

AritmetičkaAritmetička sredinasredina uzorkauzorka3-4

AritmetičkaAritmetička sredinasredina uzorkauzorka

XX ∑n

X =

gdegde X je X je aritmetičkaaritmetička sredinasredinaličiliči kkn n veličinaveličina uzorkauzorka

Aritmetička sredina (mean, average)( , g )

nx

n

1ii∑

= nxxx n+•••++

= 21=x

n n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14

= 5 =65x = 6x =

SvojstvaSvojstva aritmetičkearitmetičke sredinesredine

Najčešće korišćena mera centralnetendencijetendencijePrimenjujePrimenjuje se se kodkod numerinumeričkog obeležjačkog obeležjaSviSvi podacipodaci učestvujuučestvuju uu izračunavanjuizračunavanjuSviSvi podacipodaci učestvujuučestvuju u u izračunavanjuizračunavanjuaritmetičke aritmetičke sredinesredineSkupSkup podatakapodataka imaima jedinstvenujedinstvenu aritmetičkuaritmetičkuSkupSkup podatakapodataka imaima jedinstvenujedinstvenu aritmetičku aritmetičku sredinusredinuNaNa aritmetičkuaritmetičku sredinusredinu utičuutiču ekstremnoekstremnoNa Na aritmetičkuaritmetičku sredinusredinu utičuutiču ekstremnoekstremnovelikevelike ii male male vrednostivrednosti (”outliers”) JedinaJedina meramera zaza kojukoju jeje ispunjenoispunjeno dada jeje zbirzbirJedinaJedina meramera zaza kojukoju je je ispunjenoispunjeno dada je je zbirzbirodstupanjaodstupanja odod sredinesredine jednakajednaka nulinuli

PRIMERPRIMER3-7

X: 3, 8, and 4. X: 3, 8, and 4. Aritmetička sredina: 5Aritmetička sredina: 5

(3(3--5) + (85) + (8--5) + (45) + (4--5) = 5) = --2 +3 2 +3 --1 = 0. 1 = 0.

Σ( )X X− = 0( )

Odsečena aritmetička sredinaIzračunava se tako što iz skupa izbace

Odsečena aritmetička sredina

ekstremne vrednosti sa oba kraja raspodele (najniže i najviše vrednosti

Uobičajeno je da se odbaci 5-25% vrednosti i onda se izračunava srednja vrednost

Eliminiše se uticaj ekstremnih vrednosti

Uticaj ekstremnih vrednosti na aritmetičku sredinuUticaj ekstremnih vrednosti na aritmetičku sredinu

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

srednja vrednost = 3 srednja vrednost = 4

35

155

54321==

++++ 4520

5104321

==++++

Ponderisana aritmetička srednja vrednost izračunava se kada su podaci prikazani kao distribucija frekvencija:

∑ ii xf

kada su podaci prikazani kao distribucija frekvencija:

∑∑=

i

ii

fxfx

Ako su podaci grupisani u grupne intervale, ponderisana aritmetička sredina se izračunava primenom formule:

∑ ii )x(f∑

∑=i

isi

f)x(fx

MedijanaMedijana3-10

MedijanaMedijanaMedijana je sMedijana je središnjiredišnji člančlan statističkestatističke serijeserije u u l č j b j d t kl č j b j d t kslučaju neparnog broja podatakaslučaju neparnog broja podataka. .

U U slučajuslučaju parnogparnog brojabroja podatakapodataka medijanamedijanaje je jednakajednaka aritmetičkojaritmetičkoj sredinisredini dvadva središnsredišnjja a članačlana statističkestatističke serijeserije

IIspodspod ii iznadiznad medijane je jmedijane je jednakednak brojbrojIIspodspod ii iznadiznad medijane je jmedijane je jednakednak brojbrojčlanovačlanova serijeserije

MedijanaMedijana

•Važna mera centralne tendencije•Na medijanu ne utiču ekstremne vrednosti

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14

Medijana = 5Medijana = 5

SvojstvaSvojstva medijanemedijaneSvojstvaSvojstva medijanemedijanePrimenjujePrimenjuje se se kodkod numerinumeričkog obeležjačkog obeležja iirangoverangoveSkupSkup podatakapodataka imaima jedinstvenujedinstvenu sredinusredinumedijanumedijanumedijanumedijanuNa Na medijanumedijanu ne ne utičuutiču ekstremnoekstremno velikevelike iimalemale vrednostivrednostimale male vrednostivrednosti

ModusModusVrednost obeležja koja ima najveću frekvencijuN d tič k t d ti•Na modus ne utiču ekstremne vrednosti

•Modus ne postoji ukoliko sve vredmosti obeležja •imaju istu frekvencijuimaju istu frekvenciju•Modus nije jedinstven•Modus može da se izračuna kod numeričkih i• kategorijalnih podataka

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0 1 2 3 4 5 6

Mo = 9 Nema modusa

Simetričnost distribucijeSimetričnost distribucijeSimetričnost distribucijeSimetričnost distribucije

Utvrđivanje simetričnosti distribucije na osnovu aritmetičke Utvrđivanje simetričnosti distribucije na osnovu aritmetičke sredine,modusa i medijanesredine,modusa i medijane

Asimetrija udesnoAsimetrija ulevo SimetričnostS di M dij M dS di M dij M d M dji S diM d Sredina = Medijana= ModusSredina Medijana Modus Medjiana SredinaModus