Andreas Berglund & Per-Olof Nilsson

46 NämNareN  Nr 3 • 2010

Det blir ju pi!

Att ge elever utmaningar som inte hör ihop med ett visst avsnitt i läroboken erbjuder tillfälle att söka samband, leta efter mönster och hitta egna ingångar till problemlösning. Newtontävlingen är ett sätt att organisera sådana utmaningar för gymnasiet och den går att anpassa till alla åldrar.

Elever ska i matematik ”utveckla sin förmåga att tolka en problemsituation och att formulera den med matematiska begrepp och symboler samt välja metod och hjälpmedel för att lösa problemet”, enligt styrdokumenten.

Detta tycker vi är en mycket viktig del i elevernas utveckling mot att för-stå vad matematik egentligen handlar om. För matematik är inte enbart att ”räkna ut en massa saker” utan målet är att eleven ska lära sig se mönster och med utgångspunkt i dessa mönster kunna se generella samband. För att detta ska fungera måste eleven lära sig abstrahera. När man finner dessa samband kan matematiken upplevas som en vacker konstform där vi med några få bok-stäver och symboler kan visa ett mönster.

En av orsakerna till att många av oss lärare undviker den här delen av mate-matiken är att man kan möta motstånd från eleverna. Eleverna förväntar sig att snabbt finna ett svar till uppgiften, helst ett numeriskt värde som de kan lämna in för bedömning – själva arbetsprocessen mot svaret är för det mesta inte intressant utan snabbheten är oftast det viktigaste för dem.

Elever använder gärna nyinlärda formler, men de reflekterar sällan över hur formeln härleds och därmed förstår de inte varför den fungerar. Vi tror att orsa-ken till detta är att elever inte är vana vid att härleda formler utan bara lär sig dem utantill. Det är till exempel en väsentlig skillnad på en elev som med hjälp av en inlärd formel beräknar trigonometriska funktioner genom att använda en räknare och en elev som med hjälp av enhetscirkeln visar en djupare förstå-else av hur beräkning av trigonometriska funktioner fungerar. Den senare kan utan större problem gå vidare från det ”enkla” användningsområdet trigono-metri och vidareutveckla sina kunskaper till mer generella studier av abstrak-tioner och mönster. En elev som bara använder inlärda formler får en begränsad matematisk upplevelse och för eleven ter sig matematik därför som ett oänd-ligt beräknande och inte som ett sökande efter samband. Det är just i detta sökande som den matematik börjar som inte bara finns i klassrummet, utan som stimulerar eleverna till att samtala om matematik utanför lektionstiden.

47NämNareN  Nr 3 • 2010

NewtontävlingenPå Igelstavikens gymnasium i Södertälje har vi angripit denna problematik genom att ha en matematiktävling som löper under hela läs-året. Tävlingen är döpt till Newtontävlingen. Varje termin får eleverna ett antal problem som är konstruerade för att stimulera matema-tiska samtal elever sinsemellan men även mel-lan elever och lärare.

Vi kunde snabbt se resultat av tävlingen. Både elever och personal, blev engagerade i frågeställningarna. För många blev det en aha-upplevelse att matematik inte enbart handlar om tal och räkning utan att många olika typer av problem kan stimulera tänkandet.

Vi har försökt att blanda problem från tre olika typer av problemområden: logik, kombina-torik och geometri eftersom dessa typer av pro-blem kan rymma en lättförståelig frågeställning och samtidigt också vara lite knepiga att lösa. Vi lämnar ut ett nytt problem varannan måndag. Problemen görs av lärare i skolan och inspireras ofta av uppgifter från t ex Nämnaren och andra webb-platser med matematikuppgifter. De anslås på skolans anslagstavla och via sko-lans monitorer informeras eleverna om att ett nytt problem är ute.

Eleverna får två veckor på sig att lösa problemet och svaren lämnas till oss skriftligt. Enbart lösningar med ett följbart resonemang bedöms. Vid osäker-het räcker det oftast med ett par följdfrågor för att avgöra om eleven själv gjort lösningen.

Vi försöker att variera innehållet och har flertalet av de mer avancerade pro-blemen mot slutet av terminen. På så sätt kan alla känna att de kan vara med i början. Med tiden höjer vi nivån och fördjupar det matematiska resonemanget. Tanken är att elever ur alla årskurser och program ska ha verktyg att besvara problemen.

Ett exempel på problem som vi använde i början av en termin:

En man kommer in på en bar, beställer en drink och börjar småprata med bartendern. Efter att ha pratat en stund får mannen veta att bartendern har tre barn.

– Hur gamla är barnen? frågar mannen. – Ja, produkten av deras ålder är 72, svarar bartendern. Mannen funderar en stund och säger sedan: – Det är inte tillräckligt med information. – Okej, svarar bartendern, men om du går ut och tittar på husnumret som

står ovanför ingången till baren så ser du summan av barnens ålder. Mannen går ut, och efter en liten stund kommer han in igen och utbrister: – Det är ändå inte tillräckligt! Bartendern ler och säger: – Den yngsta älskar jordgubbsglass. – Aha! Då vet jag. Hur gamla är barnen?

Sir Isaac Newton

48 NämNareN  Nr 3 • 2010

Senare under terminen höjde vi svårighetsgraden med ett kombinatoriskt pro-blem som bygger på ett problem från Nämnaren:

I en nyligen upptäck cell från en ”Alien” har man funnit något mycket intres-sant. I vanliga celler på jorden kopieras DNA av ett enzym som heter DNA-polymeras. Kopieringen sker ett baspar åt gången, så för att kopiera 15 bas-par använder DNa-polymeras 15 steg. 

I ”Alien”-cellen har man hittat ett mycket annorlunda DNA-polymeras. Skillnaden  ligger  i  att  polymeraset  kan  kopiera  alltifrån  1-10  baspar  åt gången.

Wolfram Stanley, professor i Xenobiologi, behöver lite hjälp. Han und-rar: ”På hur många olika sätt kan alienenzymet kopiera 15 baspar DNa?” (d v s på hur många olika sätt kan man kopiera 15 baspar (steg) om man kan variera steglängden mellan 1–10 baspar per steg?)

Elevernas reaktionerHur ser då eleverna på tävlingen? Eleverna tycker att tävlingen stimulerar till samtal utanför klassrummet, speciellt när uppgifterna är lite tuffare. Problemen i tävlingen skiljer sig från uppgifterna de är vana vid i böckerna. Några känner att de har fått vidgade vyer för vad matematik är. En elev utryckte att det var positivt ”att få tävla och ha roligt med matte utan att behöva tänka på betyg etc”. En annan elev sa att ”man börjar tänka utanför lådan”, dvs att man ser matematiken med nya ögon.

Hur var det då med användbarheten? Kunde eleverna se en koppling mellan det de gjorde i tävlingen och det de gjorde på lektionen? I de flesta fall ansåg eleverna att de hade nytta av de färdigheter de övat upp under tävlingen.

– Jag har lärt mig att man måste granska en fråga ordentligt och tänka efter innan man räknar ut den för att få en så enkel uträkning som möjligt. Det tror jag att jag börjat göra på lektionstid.

En svårknäckt nötEn av de mer avancerade problemställningar som vi gav våra elever byggde på Arkimedes sökande efter värdet på pi. Problemet var:

Jämför omkretsen av en regelbunden månghörning inskriven i en cirkel med omkretsen på cirkeln och formulera ett generellt samband.

Problemet visade sig vara en svår nöt för eleverna att knäcka. Det diskutera-des friskt på skolan och många olika lösningsmodeller presenterades för oss. Flera elever såg snart ett samband: om de delade upp varje liksidig polygon med hjälp av bisektriser i likbenta trianglar, fick de en ny likbent triangel för varje nytt hörn. Frågan var nu hur man kunde vidareutveckla detta samband. Elever i årskurs tre använde den nyinlärda cosinussatsen för att lösa problemet medan elever i de tidigare årskurserna använde sig av definitionen av sinus för vinkeln.

49NämNareN  Nr 3 • 2010

Eleverna knäcker uppgiftenGenerellt satte eleverna antalet hörn i en liksidig polygon till en variabel. Villkoret för variabeln var att den måste vara större än eller lika med 3, d v s minst en triangel. Omkretsen satte de till en annan variabel.

Elevlösning 1 (cosinussatsen):

– Vi sätter A som antalet hörn i en mång-hörning och x för längden på en sida i en månghörning. Villkor för en månghör-ning är att A ≥ 3 för om A är lägre än 3 kom-mer den bara att bli ett streck!

– Jag sätter OA = omkretsen på en månghör-

ning och Oc = omkrets på en cirkel. Då blir:

– Jag löser ut x med cosinus-satsen:

– Nu tar jag reda på det generella förhållandet mellan OA och O

c :

Svar: om A ≥ 3

OA = A · x Oc = d · π = 2rπ v =360o

A

x2 = r2 + r2 − 2r2 · cos(360o

A

)x2 = 2r2 − 2r2 · cos

(360o

A

)

x =

√

2r2(1− cos

(360o

A

))

OA = A · xOA = A ·

√

2r2(1− cos

(360o

A

))

OA = A ·√2 · r ·

√(1− cos

(360o

A

))

OA

Oc=

A ·√2 · r ·

√(1− cos

(360o

A

))

2πr

=A ·

√2 ·

√(1− cos

(360o

A

))

2π

=A ·

√2 ·

√(1− cos

(360o

A

))

2π

xr

v =360o

A

r

50 NämNareN  Nr 3 • 2010

Elevlösning 2 (sinus för en vinkel):

n = antal sidor

hypotenusan= r

Som vi ser är det ingen av eleverna som har reflekterat över att analysera det generella förhållandet mer utförligt då antalet hörn i polygonen växer.

ReflektionerHur får vi då eleverna till att göra sådana reflektioner? Vi tror att det är här som vår främsta pedagogiska uppgift finns. Vid feedbacken till sådana här fråge-ställningar kan vi hjälpa eleverna att ta steget vidare så att de börjar reflektera över sina egna lösningsmodeller.

Vid vår feedback gick det upp för eleverna att det samband som de kom-mit fram till faktiskt var att täljaren går mot pi då n växer och hela uttrycket går mot 1. När väl den insikten kom, infann sig också aha-upplevelsen. Som en elev utryckte sig:

Det blir ju pi!

LITTERATUR

Brannan, D. (2006). A first course in mathematical analysis. Cambridge University Press, s 76–79.Krulik, S. (2009). Problem och matematik – några favoriter. Nämnaren 2009 (4), s 56–59.Lundgren, U., Pramling Samuelsson, I., Säljö, R., Börlin, A., Richardson, G., m fl (2008). Lärarens

handbok: läroplaner, skollag, diskrimineringslag, yrkesetiska principer, FN:s barnkonvention (8:e upplagan). Lund: Studentlitteratur.

Wikström, F. Att forska i matematik. abel.math.umu.se/fo_info/attforsk/index.html

sin

(180o

n

)=

x2

r⇒ sin

(180o

n

)· 2r = x

v =360o

2n

y =x

2⇒ x = 2y

sin v =y

r⇒ sin

(360o

2n

)=

y

r

On = sin

(180o

n

)· 2r · n

Oc = 2πr

On

Oc=

sin(180o

n

)· 2r · n

2πr=

sin(180o

n

)· n

π, n ≥ 3

v

r x

(360o

n

)

y

(360o

2n

)