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UNIVERSIDAD
UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA
CENTRO UNIVERSITARIO DE CIENCIAS ECONÓMICO ADMINISTRATIVAS
MAESTRÍA EN ECONOMÍA
“DETERMINACIÓN DE LA PROBABILIDAD DE
INCUMPLIMIENTO PARA EMPRESAS QUE COTIZAN EN
LA BMV UTILIZANDO EL MODELO DE MERTON CON
ACTIVOS CONTROLANDO CARACTERÍSTICAS DE
PERSISTENCIA”
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE
M A E S T R O E N E C O N O M Í A
PRESENTA
KATIA GUADALUPE GARCÍA LOREDO
BECADA POR EL CONSEJO NACIONAL DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
DR. GUILLERMO SIERRA JUÁREZ
DIRECTOR DE TESIS
Guadalajara, Jalisco. Noviembre 2012
RESUMEN
En este trabajo se realiza una estimación empírica de la probabilidad de
incumplimiento para diez empresas que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores (BMV)
utilizando el modelo de Merton y su variación con Brownianos fraccionales, esto con la
finalidad de obtener una herramienta de ayuda en la toma de decisiones. El análisis se
divide en dos períodos, iniciando con un backtesting para el período 2007-2010 y un
pronóstico para el año 2013.
La probabilidad de incumplimiento se calcula mediante el modelo de Merton
tradicional y con una modificación del modelo considerando características de persistencia
mediante brownianos fractales. Concretamente se busca realizar una comparación entre el
modelo de Merton tradicional y el modelo de Merton fraccional, el cual se desarrolla en
esta investigación. Además se incluye un análisis de tres métodos de volatilidad: la
volatilidad histórica, el proceso ARMA y el proceso GARCH.
Los resultados indican una subestimación de la probabilidad de incumplimiento por
parte del modelo tradicional en todas las empresas evaluadas al obtener una probabilidad de
incumplimiento mayor con el modelo fractal.
AGRADECIMIENTOS
A DIOS
Por sus bendiciones y por haberme permitido concluir esta etapa de mi vida.
A MIS PADRES Y HERMANA
Por el amor y confianza que siempre me han dado, por su comprensión que me ha ayudado
a tomar cada decisión importante y por su motivación que me ayuda a ser cada día mejor.
A MIS COMPAÑEROS Y AMIGOS
Por su apoyo y motivación a lo largo de la maestría.
A MIS CATEDRÁTICOS
Por compartir todos sus conocimientos, experiencias y consejos. En especial agradezco al
Dr. Guillermo Sierra Juárez, por su interés y paciencia en la dirección de este trabajo, así
como al Dr. Antonio Ruiz Porras y al Dr. Mauricio Ramírez por su tan acertada
colaboración.
AL CONSEJO NACIONAL DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
Por el financiamiento de mis estudios de posgrado en la Universidad de Guadalajara.
I
ÍNDICE DE CONTENIDOS
CAPÍTULO I. INTRODUCCIÓN ……………………………………….............. 1 CAPÍTULO II. MARCO TEÓRICO ……………………………………........ 5
Comité de Basilea …………………………..…………………………………………...... 5
Definición de Riesgo de Crédito ……………..………………………………………...... 6
Modelos de incumplimiento ………………...…......…......….......………………………...... 7
Modelos Tradicionales ……………………………..………………………...... 8
Modelos Estructurales ……………………………..………………………...... 8
Modelos de Forma Reducida …………………..………………………….... 10
Antecedentes del modelo de Merton ……...…………..…………..……….……...... 11
Sobre movimiento fractal ……...…………..…………..……..………...……...... 14
Síntesis del capítulo ……...............................................................................……… 14
CAPÍTULO III. MODELO DE BLACK – SCHOLES – MERTON …...…. 16
Supuestos del modelo ……...................................................................……… 17
Ecuación del modelo Black-Scholes ……...............................................…… 19
Trabajos que utilizan el Modelo Black – Scholes .....................................................…… 20
El modelo de Merton como extensión del Modelo Black – Scholes ....................…… 20
Síntesis del capítulo ……...............................................................................……… 21
CAPÍTULO IV. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS ………………….. 23
Procesos Estocásticos ……...………………………...…………...………….…….... 23
Brownianos Tradicionales ………………...…...………………………..……………...... 24
Brownianos Fraccionales ……...……………..…………...…………………...... 25
II
Volatilidad ……...……………………….......................................................................... 26
Volatilidad Histórica ...................................................................................... 27
ARMA .................................................................................................. 28
GARCH .............................................................................................................. 30
Exponente Hurst (H) ……............................................................………………………...... 32
Proceso Hurst ...................................................................................... 33
Significancia del coeficiente de Hurst .............................................................. 35
Síntesis del capítulo ……...............................................................................……… 36
CAPÍTULO V. METODOLOGÍA …………………………………………...... 38 Modelo de Merton para el cálculo de probabilidades de incumplimiento ………… 38
Modelo de Merton Fraccional ……............................................................................... 42
Precio de una opción call europea con MBF …................................................... 43
Ajuste con Brownianos Fraccionales …........................................................... 43
Modelo de Altman ……...............................................................................……… 45
Determinación de la Muestra ……...................................................................……… 46
Descripción de la muestra ….................................................................................. 49
Síntesis del capítulo ……...........................................................................… 54
CAPÍTULO VI. RESULTADOS …………………………………………….... 56 Backtesting ………………………..........................................................................……… 56
Modelo de Merton con Brownianos Tradicionales ……………........……… 57
Probabilidad con brownianos tradicionales ...........................……… 58
Sensibilidad del modelo al tiempo .......................................………..…..… 60
Sensibilidad del modelo a la deuda ...........................................................… 60
Modelo de Merton con Brownianos Fraccionales ……………........……… 61
Coeficiente Hurst ……...................................................................……… 62
III
Probabilidad con Brownianos Fraccionales ……....................……… 63
Sensibilidad del modelo ante el coeficiente de Hurst ................……… 65
Modelo de Altman …………………….......................................................……… 66
Prónostico de Incumplimiento para 2013 ……………...............................................…… 67
Modelo de Merton con Brownianos Tradicionales ……………........……… 68
Probabilidad con brownianos tradicionales ...........................………. 68
Modelo de Merton con Brownianos Fraccionales ……………........……… 69
Coeficiente Hurst ……...................................................................……… 69
Probabilidad con Brownianos Fraccionales ……....................……… 70
Síntesis del capítulo ……...........................................................................… 71
CAPÍTULO VII. CONCLUSIONES ………………………..…....... 73 BIBLIOGRAFÍA …………..……….……………...……………...... 77 ANEXOS
1. Programación VBA para Exponente Hurst ……………...............................……… 83
2. Interpretación de las calificaciones de Standard & Poors y Fitch ……........……… 86
3. Probabilidad de Incumplimiento por el modelo de Brownianos Tradicionales … 88
4. Valor Esperado del Rango Escalado Ajustado. ………......……..………...…… 91
5. Probabilidad de Incumplimiento por el modelo de Brownianos Fraccionales …… 92
6. Probabilidad de Incumplimiento por el Modelo de Altman ................……… 95
IV
GRÁFICAS
Gráfica 1-. Activos totales trimestrales …...................................................................…….......... 49
Gráfica 2-. Pasivos totales trimestrales …...................................................................………… 50
Gráfica 3-. Razón Activo-Pasivo …........................................................................................… 51
Gráfica 4-. Volatilidad histórica de América Móvil …...........................................................… 52
Gráfica 5-. Volatilidad histórica de Televisa …....................................................................….. 52
Gráfica 6-. Probabilidad de incumplimiento de Televisa en el año 2008 …............................... 60
Gráfica 7-. Probabilidad de Incumplimiento según porcentaje de Deuda sobre Activo Total ..…. 61
Gráfica 8-. Probabilidad de Incumplimiento con cambios en el coeficiente de Hurst …….….... 65
TABLAS Tabla 1-. Calificación a Febrero 2012 para las empresas analizadas …………….....…………. 53
Tabla 2-. Porcentaje que representa la deuda sobre las cuentas financieras principales …….… 56
Tabla 3-. Probabilidades de incumplimiento por modelo de Merton con Brownianos Tradicionales
(Backtesting) ……………………………………………………………………..………. 58
Tabla 4-. Prueba de hipótesis para el coeficiente de Hurst ……………………………………. 62
Tabla 5-. Probabilidades de incumplimiento por modelo de Merton con Brownianos Fraccionales
(Backtesting) ……………………………………………………………………………. 63
Tabla 6-. Probabilidad de incumplimiento por el modelo de Altman …………………………. 66
V
Tabla 7-. Porcentaje de la deuda sobre las cuentas financieras principales …………………… 67
Tabla 8-. Probabilidades de incumplimiento por modelo de Merton con Brownianos Tradicionales
(Pronóstico) …………………………………………………………………………….. 68
Tabla 9-. Prueba de hipótesis para el coeficiente de Hurst para pronóstico …………………... 69
Tabla 10-. Probabilidades de incumplimiento por modelo de Merton con Brownianos Fraccionales
(Pronóstico) ……………………………………………………………………………. 70
1
CAPÍTULO I. INTRODUCCIÓN Algunas de las más importantes crisis bancarias, han tenido su origen en la falta de controles sobre la
concentración en una u otra forma del riesgo crediticio y de su incumplimiento. El desarrollo de la
supervisión bancaria y de los mercados para transferencia de riesgo crediticio han obligado que la
industria financiera desarrollo nuevas herramientas para medir y manejar el riesgo.
El análisis de riesgo de crédito no pretende disminuir la incertidumbre de impago futuro, su objetivo es
ser una herramienta para la toma de decisiones oportunas.
Según el Banco de México (Banxico, 2009) en los últimos años se ha observado un aumento
importante en el valor en riesgo (VaR1) del crédito de la banca múltiple. En el 2007 el incremento en el
VaR obedeció al aumento en el saldo de la cartera de crédito, el incremento verificado en 2008 ha sido
producto de un aumento en los factores2 de riesgo que conforman al VaR. Además Banxico ha
reportado que la probabilidad de incumplimiento de la cartera de crédito para el periodo de 2007 al
2009, ha aumentado y tiene una tendencia creciente.
La crisis financiera del 2008 y la situación de aumento en la probabilidad de incumplimiento antes
mencionada, ha generado una serie de cuestionamientos sobre las políticas de administración de riesgos
y de gobierno corporativo de algunas empresas a nivel mundial, al igual que de las empresas
mexicanas. Una muestra de la relevancia que debe tener una correcta medición del riesgo es el comité
de supervisión bancaria de Basilea, formado en 1974 por los gobernadores centrales del G-10.
Uno de los intereses del comité de Basilea es establecer lineamientos para una adecuada medición del
riesgo de crédito. El riesgo de crédito se define como la pérdida potencial que se registra con motivo
1 VaR por su expresión en ingles, Value at Risk (Valor en Riesgo), es una medida de riesgo utilizada en el riesgo de mercado de activos financieros. Se define como la máxima perdida esperada a un nivel de confianza y en un horizonte de tiempo. 2 Los factores que conforman el VaR son las probabilidades de incumplimiento, la correlación entre los incumplimientos de los deudores y la concentración de la cartera.
2
del incumplimiento de una contraparte en una transacción financiera, De Lara (2003). Las
metodologías actuales sobre el riesgo de crédito dependen de sobremanera de métodos numéricos. Si es
cierto que no existe una regla explícita para la medición del riesgo crediticio, su objetivo siempre ha
sido asemejarse lo más posible a la realidad.
Entre las diversas herramientas y modelos de estimación para medir la probabilidad de incumplimiento
de las empresas y para poder medir su riesgo crediticio, existe el modelo de Merton. En este trabajo se
desarrolla la aplicación empírica del modelo de Merton utilizando un grupo de empresas que cotizan en
la Bolsa Mexicana de Valores (BMV), además se aporta el movimiento browniano fractal al modelo
tradicional.
El modelo de Merton se conoce desde 1974, supone que existe información completa, esta definido en
un plazo fijo y la probabilidad de incumplimiento solo se presenta cuando los activos están por debajo
de la deuda. Es un modelo ya desarrollado que es base para la medición de otros modelos de riesgo de
incumplimiento, es por esto que se busca proponer una generalización al introducir los brownianos
fraccionales, con los cuales se incorpora memoria o persistencia de la serie, con el fin de mejorar las
estimaciones.
El objetivo central de este trabajo es realizar una estimación empírica de la probabilidad de
incumplimiento de las empresas por la metodología de Merton y su variación con Brownianos
Fraccionales, y así poder obtener una herramienta para la toma de decisiones.
En análisis empírico esta conformado por 10 empresas mexicanas que cotizan en la BMV y emiten
bonos corporativos. El análisis se divide en dos períodos: iniciando con un backtesting, el cual abarca
del 2007 al 2010, y un pronóstico del año 2013. Se utilizan datos corrientes obtenidos de los estados
financieros de cada empresa y de ciertas empresas proveedoras de precios. Además se incluye un
análisis de tres métodos de volatilidad: la volatilidad histórica, el proceso ARMA y el proceso
3
GARCH. Con la intención de realizar una comparación entre modelos también se incluyen los cálculos
utilizando el modelo de Altman.
Esta investigación se podría considerar una extensión del trabajo de Sierra (2007) debido a que el ajuste
del movimiento fractal utilizado se toma de la propuesta que realiza Sierra sobre la fórmula de
valuación de opciones Black-Scholes fractal.
Se espera que al realizar la modificación al movimiento browniano fractal se consiga una mejor
aproximación de la probabilidad de incumplimiento de las empresas con el modelo de Merton. Los
resultados indican una subestimación de la probabilidad de incumplimiento por parte del modelo
tradicional en todas las empresas evaluadas al obtener una probabilidad de incumplimiento mayor con
el modelo fractal.
La investigación se divide en siete capítulos, siendo este el primero. El capítulo II presenta el marco
teórico que proporciona una visión general del riesgo crediticio, sus clasificaciones, y se mencionan
algunos de los modelos más conocidos de probabilidad de incumplimiento, así como se señala lo que es
el acuerdo de Basilea y sus metas. Además se mencionan investigaciones ya realizadas del modelo de
Merton y sus resultados.
El capítulo III señala la intuición económica detrás del modelo de Merton, por lo que se presenta el
modelo Black-Scholes, modelo del cual surge la adaptación para la valuación de empresas desarrollada
por Merton. En el capítulo IV presenta las herramientas matemáticas necesarias para entender el
desarrollo de los modelos utilizados, incluye los brownianos tradicionales, brownianos fraccionales,
volatilidades y el proceso de Hurst.
En el capítulo V se encuentra la sección metodológica en la cual se describe el modelo de Merton
tradicional, la ecuación de Black-Scholes fractal, el modelo de Merton Fraccional y el modelo de
4
Altman. El capítulo VI incorpora los resultados de la probabilidad de incumplimiento. Y por último en
el capítulo VII se presentan las conclusiones, así como una propuesta de investigación futura.
Al final se incluye una sección de anexos donde se presentan tablas para complementar los resultados e
información adicional para lograr un mejor entendimiento de conceptos mencionados y de los procesos
realizados.
5
CAPÍTULO II. MARCO TEÓRICO Esta sección inicia dando un panorama general de las regulaciones bancarias, en específico las de
crédito; es por ello que se empieza mencionando los acuerdos de Basilea para enfatizar los cambios que
se han tenido que hacer en las recomendaciones y regulaciones de la banca debido a las crisis
financieras anteriores. Se continúa definiendo el riesgo de crédito para poder entrar en la parte de los
modelos de probabilidad de incumplimiento. Así mismo se hace una clasificación de los modelos, entre
tradicionales, estructurales y de forma reducida. Después se describe cada uno de ellos, poniendo más
atención en los modelos estructurales para terminar haciendo comparaciones entre el modelo de Merton
y otros. Además se mencionan investigaciones que han utilizado el modelo de Merton y los resultados
obtenidos. Para finalizar se menciona el movimiento fractal utilizado en evaluaciones y se hace
mención de los resultados principales.
Comité de Basilea
Creado en 1974 cuando los países integrantes del G10 acuerdan la creación de un Comité, integrado
por los gobernadores de los bancos centrales, con el objetivo principal de uniformar criterios para la
supervisión de las instituciones financieras.
Los Acuerdos de Basilea I, en el año de 1988, fueron las primeras resoluciones del comité3. Estos
establecían el capital mínimo que debe tener una institución financiera para cubrir su exposición al
riesgo, principalmente el de crédito. En 1999, por el riesgo de mercado, se elabora los Acuerdos de
Basilea I.5, en los cuales se reconoce la posibilidad de obtener perdidas por movimientos adversos en
los principales factores macroeconómicos y de mercado.
3 La información presentada se toma del Bank for International Settlements.
6
Dado que el acuerdo de Basilea I no tomaba en cuenta las variaciones de riesgo y que ignoraba la
calidad crediticia, se elaboran los Acuerdos de Basilea II en 2004. Estos nuevos acuerdos incluyen el
riesgo operativo como factor importante a considerar. Los tres puntos más importantes de este acuerdo
son: Requerimientos de capital, Proceso de Supervisión y Disciplina de Mercado.
En diciembre del 2010 como consecuencia de la crisis mundial, se crea Basilea III con el propósito de
reforzar los requisitos de capital bancario e introducir nuevos requisitos en la liquidez bancaria y en el
apalancamiento bancario, todo esto con el fin de fortalecer la gestión de la regulación y la supervisión.
Los objetivos primordiales de Basilea III son mejorar la capacidad del sector bancario para absorber las
perturbaciones de la tensión financiera y económica; mejorar la administración de riesgo y de
gobernabilidad; fortalecer la transparencia los bancos; y la aplicación de medidas para aumentar la
calidad de los recursos propios de las entidades bancarias, medidas para reforzar la liquidez, y medidas
sobre la razón de apalancamiento y sobre el capital4.
A continuación nos centraremos en el riesgo de crédito y dejaremos los otros tipos de riesgos, como el
de mercado, ya que para esta investigación es necesario enfocarnos en el riesgo crediticio.
Definición de Riesgo de Crédito
El riesgo de crédito se define como la pérdida potencial que se registra con motivo del incumplimiento
de una contraparte en una transacción financiera o en alguno de los términos y condiciones de la
transacción, De Lara (2003). También se concibe como un deterioro en la calidad crediticia de la
contraparte o en la garantía o colateral pactado originalmente.
4 Si se quiere saber más sobre los cambios en los Acuerdos de Basilea así como en la administración bancaria para el caso de México se sugiere consultar Ruiz-Porras (2006).
7
Según Basilea (1988) el riesgo de crédito se define como el riesgo de que la contraparte incumpla en la
obligación. Y según la International Actuarial Association (2004) el riesgo de crédito se define como
el riesgo a que una compañía está expuesta por el incumplimiento o impago de una obligación de
crédito o por el cambio en la calidad de las garantías del crédito de la contraparte o de los
intermediarios que inicialmente habían sido acordadas.
El riesgo de crédito se refiere a la pérdida potencial derivada de que la contraparte no pueda cumplir
con sus obligaciones financieras en las condiciones definidas contractualmente, Sánchez (2001). La
versión de mercado indica que el riesgo de crédito se define como la pérdida potencial que podría sufrir
un tenedor de un portafolio de préstamos, instrumentos financieros o derivados, como consecuencia de
que el valor, al final del horizonte de inversión, es inferior al valor actual del portafolio, ambos
valuados a precios de mercado. Es decir, hay un riesgo de crédito aunque la contraparte no sufra
quebranto alguno.
Se han desarrollado diferentes modelos para estimar el riesgo de crédito, algunos orientados a estimar
el riesgo en su versión de mercado. En seguida se hará una descripción de los tipos de modelos que
existen.
Modelos de Incumplimiento
Se inicia con diferenciar las técnicas de medición del riesgo de crédito realizando una clasificación
entre modelos tradicionales, modelos estructurales y modelos de forma reducida (Jackson, et al., 1999;
Márquez, 2006) esto con base a los supuestos que cada tipo de modelo tiene.
Debido a que el modelo de Merton es de forma estructural nos centraremos en esta categoría y
extenderemos un poco más su explicación.
8
Modelos Tradicionales
Los modelos tradicionales de administración de riesgo se basan en conceptos de tipo fundamental, es
decir, en las variables financieras de la empresa. Su característica es que utilizan una ponderación de
factores para determinar la probabilidad de incumplimiento5 de las obligaciones. Las técnicas de tipo
fundamental parten de variables económicas y financieras, así como del desempeño de la empresa.
Estos modelos involucran el criterio subjetivo de cada analista, que por lo general se base en
valoraciones de acuerdo a su experiencia. Los modelos tradicionales comprenden: el modelo de las 5
Cs, el modelo de Altman6 (1968) y sus modificaciones, y el modelo estándar de Basilea (1988, 2001 y
2004).
Este tipo de modelos se ha quedado atrás por las condiciones cambiantes del ámbito financiero y se ha
sustituido por técnicas probabilísticas y estadísticas más sofisticadas.
Modelos Estructurales
Los modelos estructurales son de amplio reconocimiento en los mercados financieros, utilizados por
grandes firmas y de amplia divulgación en la literatura financiera. Su característica es que suponen que
los inversionistas tienen toda la información del mercado y tienen un conocimiento completo del valor
de los activos y de las deudas de todas las firmas (Jarrow y Protter, 2004); suponen un mercado con
competencia perfecta. Los modelos estructurales incluyen el modelo de Merton (1974), el de Geske
(1977), el modelo CreditMetrics de JP Morgan (1977) y el modelo Credit Portafolio Manager de KMV
Moody’s.
El modelo de Merton (1974) calcula la probabilidad de incumplimiento, la cual se presenta cuando el
valor de los activos es inferior al monto total de la deuda financiera de la empresa. El valor de los
5 Se entiende como probabilidad de incumplimiento el riesgo de que una empresa no cumpla con sus obligaciones. 6 El modelo de Altman se explicara más adelante en la Capítulo de Metodología.
9
activos se considera como una opción de compra con precio de ejercicio igual a el monto de la deuda
(conocido como call europeo7). Además el modelo considera que el valor de los activos de la firma
sigue una opción que demanda información específica sobre la estructura de vencimiento de la deuda.
El modelo Credit Portfolio Manager de KMV Moody’s aplica la teoría de las opciones para determinar
las probabilidades de incumplimiento y la evaluación del préstamo, y es también conocido como
modelo Credit Monitor.
El objetivo del Credit Monitor es establecer un marco metodológico consistente con la teoría
financiera, y en especial con la teoría de las opciones, que relaciona la situación financiera de la
contraparte con su probabilidad de incumplimiento. Calcula las probabilidades de incumplimiento de
cada deudor a través del modelo de Merton (1974). Estas probabilidades son función de la estructura de
capital, de la volatilidad de los retornos y del valor de los activos. Se basa en la distancia al
incumplimiento, (𝑑2(𝑡)), como una medida intermedia a la probabilidad de incumplimiento; además
de que el incumplimiento se presenta cuando el valor de los activos de la empresa cae por debajo de un
umbral, dicho umbral está definido entre el valor de los pasivos totales y la deuda de corto plazo. Con
la distancia al incumplimiento se determinan las probabilidades de incumplimiento, (Φ (–d2(t)), y se
calculan las clasificaciones, después se construyen las matrices de transición y por último se estima la
distribución de las pérdidas esperadas del portafolio.
El modelo CreditMetrics de JP Morgan supone que el riesgo de crédito depende de los cambios en la
calificación crediticia. Desarrolla el modelo de riesgo de crédito a través de etapas; primero específica
un sistema de calificaciones y una matriz de transición utilizando la información de las agencias
calificadoras (Moody’s o Standard & Poor’s 8), después establece un horizonte de tiempo que por lo
7 Un call europeo es una opción de compra que solo se puede ejercer en la fecha de vencimiento. El put europeo es la opción de venta que de igual forma solo se puede ejercer en la fecha de vencimiento. 8 Compañías que proporciona calificaciones crediticias y de investigación que cubren instrumentos de deuda y de valores.
10
general es de un año, luego desarrolla un modelo de valoración, así logra analizar los cambios en el
valor de la cartera de créditos, y por último define el incumplimiento como el momento en el cual el
valor de los activos se encuentra por debajo del valor nominal de los créditos.
Dado que el modelo CreditMetrics utiliza información de las agencias calificadoras, esto genera un
inconveniente el cual radica en que las probabilidades de incumplimiento actuales sean iguales al
promedio de las probabilidades de incumplimiento de la compañía calculada con datos históricos. Otro
inconveniente que presenta el modelo CreditMetrics es que supone que todas las compañías calificadas
en una misma categoría presentan la misma probabilidad de incumplimiento.
El modelo de Geske (1977) también utiliza el modelo de Merton (1974), pero se basa en que el valor de
los activos es una opción compuesta9. En este marco los deudores tienen una opción compuesta donde
la opción de impago del presente cupón (deuda de largo plazo) existe sólo si la corporación no ha
fallado el pago del cupón previo (deuda de corto plazo). Entonces permite una estructura de capital más
realista con deuda a corto plazo, pagos de cupones, deuda subordinada, fondos de amortización y otros
compromisos de pago. Mas sin embargo requiere contar con información detallada de los vencimientos
de la deuda de corto y largo plazo de la compañía.
Modelos de Forma Reducida
Los modelos de forma reducida asumen que los inversionistas no disponen de toda la información
sobre el manejo de la firma, y dicha falta de conocimiento no permite predecir la probabilidad de
incumplimiento de las firmas. Entre los modelos de forma reducida más importantes se encuentra el
modelo Credit Portafolio View de McKinsey, Márquez (2006). En esta categoría también están otros
9 Una opción compuesta es una opción cuyo subyacente es otro contrato de opción.
11
trabajos realizados por distintos autores que se basan en modelos logit, modelos probit, modelos
lineales de probabilidad y simulación.
Los modelos Logit-Probit asumen que la probabilidad es una función lineal de razones financieras
como variables independientes que consideran el nivel de capital contable, apalancamiento financiero y
rentabilidad, entre otros.
El Credit Portafolio View de McKinsey tiene como objetivo estimar la probabilidad de incumplimiento
de un acreditado en función del comportamiento de las variables macroeconómicas, trata de capturar la
relación entre los ciclos económicos y los ciclos de crédito. Mayores quebrantos y degradaciones se
presentan en las épocas de recesión, Sánchez (2001).
Antecedentes del modelo de Merton
Se puede observar que el modelo de Merton (1974) es el modelo base para los cálculos de las
probabilidades de incumplimiento en el modelo de KMV Moddy’s y del modelo de Geske (1977).
Sin embargo, en el modelo de Merton el incumplimiento se presenta cuando el valor de los activos es
inferior al monto total de la deuda financiera, mientras que en el modelo de KMV Moddy’s el
incumplimiento se presenta cuando el valor de los activos está por debajo de un umbral definido entre
los pasivos totales y la deuda de corto plazo. Esta diferencia en el establecimiento del umbral afecta
directamente la probabilidad de incumplimiento, pues manteniendo los demás factores constantes,
mientras más alejado se ubique el umbral del monto total de la deuda menor será la probabilidad de
incumplimiento.
En el modelo de Geske se considera que el valor de los activos de la firma es una opción compuesta
determinada por los montos y vencimientos de las deudas de corto y largo plazo de la compañía,
12
mientras que en el modelo de Merton el valor de los activos se considera como una opción de compra
con precio de ejercicio el monto de la deuda (conocido como call europeo).
Si se considera que el valor de los activos de la firma sigue una opción compuesta con información
específica sobre la estructura de vencimiento de la deuda; con esta información a través del modelo de
Geske se pueden estimar tres indicadores de probabilidad de incumplimiento para una firma: la
probabilidad conjunta que se incumplan las deudas de corto y largo plazo, la probabilidad que se
incumpla la deuda de corto plazo y la probabilidad que se incumpla la deuda de largo plazo dado que se
ha cumplido con el pago de la deuda de corto plazo.
La principal crítica que ha recibido el modelo de Merton es que los spread10, que se estiman a través del
modelo son muy bajos en comparación con los que se dan en la práctica. Chen y Panjer (2003) deducen
que el spread estimado a través del modelo de Merton es equivalente al spread obtenido en los modelos
de forma reducida, por esta razón podrían usarse la información de los spread del mercado para llegar a
estimaciones de la probabilidades de incumplimiento ajustadas a la información de los spread del
mercado. Los spread de mercado considerados en Chen y Panjer (2003) son dados por las agencias
calificadores como Moddy’s que se basan en las calificaciones obtenidas de las matrices de transición y
estas se establecen con las probabilidades de incumplimiento calculadas a través del modelo de Merton.
El trabajo de Cerezo, Bielsa y Ramón (2011) tiene como objetivo medir el riesgo de crédito de
empresas que cotizan en la bolsa de valores a través del modelo estructural de Merton (1974). En
concreto, se analizan empresas que cotizaron sus acciones en el mercado colombiano durante el
período 2005-2007. Además, es de interés en este trabajo analizar si hay diferencias en los indicadores
de riesgo de crédito entre las empresas cuando se agrupan por sectores económicos. En sus
conclusiones expresan que durante el período de estudio se puede apreciar una relación positiva entre la
10 Premio al riesgo por la deuda.
13
tasa libre de riesgo y la tasa de crecimiento del PIB, en la medida en que se presentó una mayor
capitalización bursátil también se incrementó el endeudamiento de las empresas consideras en el
estudio y se aprecia una correlación negativa entre el valor de los activos de las firmas y su volatilidad.
Para el caso de México, está el trabajo de Moreno (2007), se utiliza el modelo basado en el método de
valuación de opciones de Black-Scholes-Merton que permite valorar las acciones de una empresa
endeudada como opciones de compra en un horizonte de tiempo, así es posible el cálculo de la
distancia al incumplimiento, sea de una empresa o de una institución financiera. Define el
incumplimiento cuando los pasivos son mayores a los activos de la empresa. Se aplica al grupo
financiero Bancomer para el período de enero de 1998 a junio del 2000 y para grupo financiero BBVA-
BANCOMER de julio del 2000 a diciembre del 2003. Utiliza dos modelos, el de valoración de
opciones de Black y Scholes (1973) y el de Merton (1974). Como resultados obtiene que el método
desarrollado hace evidente que el período de 1998-1999, la institución transitaba estadísticamente por
un período de quiebra técnica (pasivos mayores a activos), y que tal situación hizo necesario aceptar la
oferta de Banco Bilbao Vizcaya Argentaria para fusionar las instituciones bancarias. Señala que la
adecuada alineación de los métodos descritos y específicamente del basado en la aplicación del modelo
Merton para el cálculo de la distancia de incumplimiento, hace posible tomar posturas de precaución o
cautela y anticiparse a situaciones de incumplimiento que tienen un gran costo para la sociedad cuando
tales ponen en riesgo la estabilidad del sistema financiero.
Las investigaciones realizadas utilizando el Modelo de Merton han obtenido el riesgo de crédito de las
empresas, han valuado las acciones y han calculado la distancia de incumplimiento, pero no se han
modificado los supuestos del modelo como se realizara en este trabajo, es por ello que se continua con
el movimiento fractal.
14
Sobre movimiento fractal
La geometría fractal esta formada por todo ese conjunto de estructuras irregulares que no pueden ser
descritas por las matemáticas tradicionales.
La geometría fractal también es conocida como geometría de la naturaleza y sus principales
características son la autosimilaridad11 y la dimensión fractal.
El movimiento fractal es utilizado por Sierra (2007) para deducir una forma general de la valuación de
derivados, de la ecuación de Black-Scholes, de la ecuación de bonos y de la estructura de plazos del
modelo de tasas de Vasicek.
En su trabajo encuentra que el modelo Black-Scholes fraccional teórico estima un precio menor para
las opciones calls y puts europeas en caso de que el activo subyacente llegue a poseer propiedades de
persistencia12; esta diferencia con la ecuación tradicional es mayor conforme mayor sea la dependencia
o correlación de las series. El modelo Black-Scholes fraccional desarrollado será utilizado como
referencia para llegar al modelo de Merton Fraccional.
Síntesis del Capítulo
En este capítulo se dio una breve explicación de lo que es el Comité de Basilea y de cuales han sido sus
acuerdos con su respectivos objetivos, después se definió el riesgo de crédito como la pérdida
potencial que se origina por motivos de incumplimiento.
Se presentó la clasificación de los modelos incumplimiento y se explicó cuales modelos conforman
cada uno de estos tipos; los modelos tradicionales utilizan la ponderación de variables financieras de la
empresa así como de variables económicas, los modelos estructurales suponen que los inversionistas
11 Propiedad que posee un objeto en el que todo es aproximadamente o exactamente similar a una parte de sí mismo. 12 Preservar la información de forma permanente.
15
tienen un conocimiento completo del valor de los activos y de la deuda, y por su parte los de forma
reducida asumen que los inversionistas no disponen de toda la información.
En la sección de modelos estructurales se menciona que los modelos KMV Moody’s y Geske tienen
como base al modelo de Merton, con la diferencia de que KMV Moody’s establece un umbral y el
Geske considera una opción compuesta con vencimientos en el corto y largo plazo.
Cerezo, Bielsa y Ramón (2011) y Moreno (2007) utilizan el modelo de Merton para analizar empresas
que cotizan en la bolsa; el primero para empresas colombianas y el segundo para el caso de Bancomer.
Sierra (2007) introduce el movimiento fractal a la ecuación de Black-Scholes obteniendo un precio
menor para las opciones cuando el activo cuenta con persistencia, esta ecuación será necesaria para el
desarrollo del modelo de Merton Fraccional.
El siguiente capítulo explica el modelo de Black – Scholes, modelo base para el modelo de Merton, con
la intención de señalar la intuición económica detrás de estos modelos.
16
CAPÍTULO III. MODELO DE BLACK – SCHOLES – MERTON El objetivo de este capítulo es mostrar la intuición económica detrás del modelo de Merton, por lo que
es necesario presentar el modelo Black-Scholes, modelo del cual surge la adaptación para la valuación
de empresas desarrollada por Merton. En la descripción13 del modelo Black – Scholes se presentan los
supuestos y la ecuación general. Se mencionan los trabajos de Saavedra (2005) y Carlos (2010), los
cuales utilizan el modelo de Black – Scholes para valuar empresas mexicanas que cotizan en la BMV.
Además se explica la intuición de Merton para adaptar el modelo hacia las empresas.
Fischer Black, Myron Scholes y Robert Merton elaboraron un modelo a principios de la década de
1970, el cual impuso una forma de valuar las opciones sobre acciones. El modelo Black - Scholes valúa
opciones de compra y de venta europea sobre acciones que no pagan dividendos.
La opción, como su nombre lo indica, le da al acreedor el derecho pero no la obligación de ejercer el
contrato de compra o venta. Si el precio del bien subyacente14 (𝑆) es suficientemente alto (mayor al
precio de ejercicio en el cual se puede ejercer la opción), el derecho será ejercido y la ganancia para el
comprador será la diferencia entre el precio del bien subyacente y el precio de ejercicio. Gráficamente
se puede observar una opción de compra de la siguiente manera:
Ilustración 1. Opción de compra.
13 Tanto el desarrollo del modelo como los supuestos son tomados de Hull (2009). 14 Cualquier variable que determina el valor de un instrumento financiero derivado.
17
Supuestos del Modelo
El modelo hace supuestos sobre la evolución de los precios de las acciones en el paso del tiempo. Se
considera una acción que no paga dividendos, también conocida como acción cupón cero15. Además se
asumen que los rendimientos se distribuyen normalmente.
Los supuestos sobre el modelo de valuación de opciones son:
- El comportamiento del precio de la acción corresponde al modelo logarítmico normal, con
media y varianza constantes.
- No hay costos de transacción ni impuestos. Todos los títulos son perfectamente divisibles.
- No hay dividendo sobre la acción durante la vida de la opción.
- No hay oportunidad de arbitraje libre de riesgo. Esto indica mercado eficientes o en equilibrio.
- La negociación de valores es continua.
- Los inversionistas puedes adquirir u otorgar préstamos a la misma tasa de interés libre de
riesgo.
- La Tasa de interés libre de riesgo a corto plazo, 𝑟, es constante.
El rendimiento esperado, 𝜇, que requieren los inversionistas de una acción depende del riesgo de la
acción. A mayor riesgo, se espera un rendimiento mayor. De igual forma depende del nivel de tasa de
la economía actual, a mayor tasa de interés mayor rendimiento esperado.
Para entender por qué el comportamiento del precio de la acción corresponde al modelo logarítmico
normal se define:
𝜇= rendimiento esperado sobre la acción.
15 Se le conoce como título cupón cero al cual no paga intereses durante el tiempo, sino hasta el momento en el que se amortiza (reembolso de la deuda).
18
𝜎= volatilidad del precio de la acción.
La media del rendimiento en el tiempo Δ𝑡 es 𝜇Δ𝑡. La desviación estándar del rendimiento es 𝜎 Δ𝑡, por
lo que el supuesto del modelo es:
𝚫𝑺𝑺∼ 𝝓(𝝁𝚫𝒕,𝝈𝟐𝚫𝒕) Ec. 1
Donde Δ𝑆 es el cambio en el precio de la acción 𝑆 en el tiempo Δ𝑡; y 𝜙(𝑚, 𝑣) indica una distribución
normal con media 𝑚 y varianza 𝑣. La varianza corresponde al rendimiento y es proporcional a Δ𝑡.
La ecuación (1) implica que el precio de la acción en cualquier fecha futura tiene una distribución
logarítmica normal, en la cual una variable solo puede tener valor positivo. Una variable con este tipo
de distribución tiene la propiedad de que su logaritmo natural se distribuye normalmente. Por lo tanto,
el supuesto de Black – Scholes para los precios de las acciones implica que ln 𝑆! es el precio de la
acción en un tiempo futuro 𝑇.
La media de ln 𝑆! se define como ln 𝑆! + 𝜇 − !!
!𝑇, donde 𝑆! es el precio actual de la acción; y la
desviación estándar de ln 𝑆! es 𝜎 𝑇. Por lo que
ln 𝑆! ∼ 𝜙(ln 𝑆! + 𝜇 − !!
!𝑇,𝜎!𝑇) Ec. 2
El valor esperado de 𝑆! es
𝐸 𝑆! = 𝑆!𝑒!" Ec. 3
Y la varianza de 𝑆! es
𝑣𝑎𝑟 𝑆! = 𝑆!!𝑒!!"(𝑒!!! − 1) Ec. 4
De la ecuación (2) y las propiedades de la distribución normal, se tiene que:
19
ln !!!!∼ 𝜙 𝜇 − !!
!𝑇,𝜎!𝑇 Ec. 5
Cuando 𝑇 = 1, la expresión ln !!!!
es el rendimiento continuamente compuesto que proporciona la
acción en un año. De esta manera la media del rendimiento continuamente compuesto en un año es
(𝜇 − !!
!), con una desviación estándar de 𝜎.
Ecuación del Modelo Black – Scholes
Las fórmulas para calcular los precios de opciones de compra y de venta europea sobre acciones que no
pagan dividendos son:
Precio de la opción de compra europea:
𝑐 = 𝑆!𝑁 𝑑! − 𝐾𝑒!!"𝑁(𝑑!) Ec. 6
Precio de la opción de venta europea:
𝒑 = 𝑲𝒆!𝒓𝑻𝑵 −𝒅𝟐 − 𝑺𝟎𝑵 −𝒅𝟏 Ec. 7
donde
𝒅𝟏 =𝒍𝒏 𝑺𝟎
𝑲 ! 𝒓!𝝈𝟐𝟐 𝑻
𝝈 𝑻 Ec. 8
𝒅𝟐 =𝒍𝒏 𝑺𝟎
𝑲 ! 𝒓!𝝈𝟐𝟐 𝑻
𝝈 𝑻= 𝒅𝟏 − 𝝈 𝑻 Ec. 9
La función 𝑁 𝑥 es la función de probabilidad acumulativa para una variable normal estandarizada, es
decir, es la probabilidad de que una variable con una distribución normal estándar sea menor que 𝑥. 𝑆!
como ya se definió anteriormente es el precio actual de la acción, 𝐾 es el precio de ejercicio, 𝑟 es la
tasa de interés libre de riesgo, 𝑇 es el tiempo de vencimiento y 𝜎 es la volatilidad del precio de la
acción.
20
La parte que representa 𝑆!𝑁 𝑑! es el beneficio esperado por la adquisición del activo, y 𝐾𝑒!!"𝑁(𝑑!)
representa el valor presente del pago del precio de ejercicio en la fecha de vencimiento. El precio de la
opción de compra se calcula en base a la diferencia de estos dos valores mencionados.
El rendimiento esperado no se incluye en la ecuación debido a que existe el principio de valuación
neutral al riesgo, el cual establece que cualquier título que depende de otros títulos negociados puede
valuarse bajo el supuesto de que el mundo es neutral al riesgo.
Trabajos que utilizan el Modelo Black – Scholes
Saavedra (2005) utiliza el modelo de Black- Scholes realizando una aplicación empírica a empresas
que cotizan en la BMV, utiliza información del período de 1991 a 2000. La investigación arroja datos
positivos y elevados que se interpreta como una sobrevaluación del valor de las empresas comparado
con el precio de mercado. Se encuentra correlación entre el precio de mercado y los valores obtenidos
por el modelo en seis de los nueve sectores analizados por la investigación, lo cual indica que es un
modelo bien especificado para el cálculo del valor de la empresa. Como resultado final encuentra que
el modelo incrementa el valor de la empresa cuando el riesgo es elevado.
Por su parte Carlos (2010) utiliza de igual manera el modelo de Black – Scholes para una aplicación
empírica de empresas que cotizan en la BMV, con la diferencia de que considera empresas no
financieras y un mercado bajo competencia imperfecta para el período 2004 - 2007. Se obtiene que
para la mayoría de las empresas consideradas, las valuaciones del modelo son iguales o casi iguales a
las del mercado, por lo que también señala la valuación del modelo como buena.
El modelo de Merton como extensión del Modelo Black – Scholes
Como ya se ha mencionado el modelo Black - Scholes valúa opciones de compra y de venta europea
sobre acciones, Merton realiza una extensión de este modelo de valuación de opciones hacia la
21
valuación de la capacidad de pago de las empresas. En esta extensión supone que la deuda corporativa
se toma como una opción de compra sobre el capital de la empresa, es decir, el precio de una opción
equivale al valor de la empresa. Al momento del vencimiento pueden ocurrir dos cosas, si la deuda es
menor al valor de la empresa los acreedores no ejercen su opción porque la deuda se puede liquidar,
pero si la deuda llega a ser mayor que el valor de la empresa entonces los acreedores pueden ejercer su
opción y tendrían derecho a quedarse con la empresa, lo cual es la alternativa más viable en caso de que
la empresa no puede cubrir su deuda.
Se realiza una analogía entre el modelo de Black – Scholes y el modelo de Merton por Carlos (2010) en
la cual se menciona que el capital y la presencia de un bono cupón cero son directamente
proporcionales a una opción europea de compra suscrita al valor de la empresa con un precio de
ejercicio igual al pago de la deuda y una fecha de expiración igual a una fecha de vencimiento. Es así
como el capital puede ser visto como una opción de compra con derecho a comprar la firma; el precio
de compra será el valor de la deuda que tiene la empresa en ese momento.
Suponiendo competencia perfecta es posible aplicar el modelo de Black- Scholes, se tendría un
inversionista o acreedor de una empresa que busca maximizar su utilidad sin pasar su restricción
presupuestal, por lo cual debe de elegir entre sus opciones de inversión. Es así como la teoría financiera
debe de ser consistente con el supuesto de racionalidad económica como lo menciona Venegas (2008).
Síntesis del capítulo
El modelo Black–Scholes se desarrolla en un contexto de volatilidad constante, neutral al riesgo y libre
de arbitraje, en otras palabras en competencia perfecta. El modelo original fue creado para valuar
opciones europeas que no pagan dividendos pero Merton modifica el modelo para valuar empresas y su
capacidad de pago. Merton supone que las deudas corporativas se puede tratar como contratos de
22
opciones, de esta manera se utiliza el modelo de Black- Scholes para valuar la capacidad de pago de las
empresas.
El modelo de Black – Scholes estima el precio de las opciones de un determinado activo subyacente
que a su vez depende del precio de la opción en el vencimiento, del precio actual de la acción, de la
tasa libre de riesgo y de la volatilidad del precio de la acción.
El acreedor de la opción o inversionista busca maximizar su utilidad con dos posibles resultados, que
la deuda sea mayor al valor de la empresa por lo cual ejercerá su opción y tendrá derecho a quedarse
con la empresa, ó que la deuda es menor al valor de la empresa y puede ser liquidada; en términos
prácticos al inversionista le interesa que la deuda sea menor para que la empresa pueda cubrir sus
obligaciones.
El siguiente capítulo presenta las herramientas matemáticas necesarias para la aplicación del modelo de
Merton tradicional así como para la contribución del modelo de Merton Fraccional.
23
CAPÍTULO IV. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS
En este sección se explican las herramientas cuantitativas que serán útiles para poder entender la
metodología que se desarrollará más adelante. Se inicia recordando la definición de un proceso
estocástico, definiendo el movimiento browniano tradicional, seguido por el browniano fraccional.
Posteriormente se presenta un apartado dedicado a la volatilidad y se presentan las formas de medirla
utilizadas en el presente trabajo. Se cierra el capítulo con el exponente de Hurst y el proceso utilizado
para obtenerlo, así como la manera de comprobar su significancia.
Procesos Estocásticos
Se entiende como proceso estocástico al modelo matemático de comportamiento en el tiempo de un
fenómeno aleatorio. La aleatoriedad del fénomeno se captura a través de un espacio medible, conocido
como espacio muestral, con un conjunto de eventos relevantes.
Este concepto es básico para el desarrollo de la teoría financiera en tiempo continuo y en ambientes de
riesgo e incertidumbre, Venegas (2008). Este tipo de procesos son útiles para describir el
comportamiento aleatorio de las variables financieras en el tiempo.
Un proceso estocástico es un conjunto de variables aleatorias 𝑋! !"# , donde 𝒯 es un conjunto, finito o
infinito, de tiempos. Cada una de estas variables aleatorias está definida sobre un espacio medible
(Ω,ℱ) y toma valores en otro espacio medible (ℝ,ℬ(ℝ)), donde ℬ(ℝ) es el álgebra de Borel sobre ℝ,
esta es la que contiene a todos los intervalos de la forma (−∞, 𝑥] con 𝑥𝜖ℝ.
La definición formal de proceso estocástico, tomada de Venegas (2008), en tiempo continuo es:
Definición 1-. Sea (𝛀,𝓕,𝐏) un espacio de probabilidad, es decir, 𝛀 es un espacio muestral, 𝓕es una 𝛔-
álgebra sobre 𝛀 𝐲 𝐏 ∶ 𝓕 → [𝟎,𝟏] es una medida de probabilidad. Sea 𝓣 un intervalo de tiempo,
24
específicamente se supone que 𝓣 = [𝟎,∞). Un proceso estocástico es un mapeo 𝐗:𝛀 × 𝓣 → ℝ, tal que
para cada 𝐭 ∈ 𝓣 la función :
𝑋!:𝑤 → 𝑋 𝑤, 𝑡 = 𝑋! 𝑤 :Ω → ℝ
satisface 𝑋!!!( −∞, 𝑥 ) ∈ ℱ para todo 𝑥 ∈ ℱ, es decir, 𝑋! es una función ℱ- medible. Si 𝑋! es un
proceso estocástico, entonces para cada 𝑤 ∈ Ω la función 𝑡 → 𝑋 𝑤, 𝑡 : 𝒯 → ℝ, es llamada una
trayectoria del proceso. Se dice que el proceso es continuo si cada trayectoria es continua en cada punto
de 𝒯.
Brownianos Tradicionales
El movimiento browniano es un proceso aleatorio que debe su nombre a Robert Brown. El movimiento
supone que las observaciones de la serie deben de ser independientes, dicho movimiento es continuo e
irregular. El movimiento browniano es en la actualidad una de las bases matemáticas que fundamentan
los conceptos y resultados de las finanzas y administración del riesgo, Sierra (2007).
Definición 2-. Sea (Ω,ℱ,𝑃) un espacio de probabilidad fijo, el movimiento browniano es una función
𝑊: 0,∞ ×Ω → ℝ, tal que para cada 𝑡 ≥ 0, la función 𝑊 𝑡,∙ : Ω → ℝ, es una variables aleatoria
definida en (Ω,ℱ). Mientras que para cada w ∈ Ω la función 𝑊 𝑡,∙ : [0,∞) → ℝ, es continua en
0,∞ . La familia de variables aleatorias 𝑊 𝑡,∙ es denotada, cuando no exista confusión, en forma
breve como 𝑊! !!!. Las funciones 𝑊 ∙,𝑤 son llamadas trayectorias y se denota por 𝑤(𝑡).
El movimiento Browniano 𝑊! !!! satisface además las siguientes propiedades16:
𝑖) 𝑊 0 = 0. Es decir,𝑃 𝑤𝜖ΩΙ𝑊! 𝑤 = 0 = 1..
16 Para una definición más completa consultar Venegas (2008).
25
El proceso empieza en 𝑡 = 0 con probabilidad uno.
𝑖𝑖) 𝑆𝑖 0 < 𝑡! < 𝑡! < 𝑡!, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑊 𝑡! −𝑊 𝑡! , 𝑊 𝑡! −𝑊 𝑡! , 𝑊 𝑡! −𝑊 𝑡!!! son
variables estocásticamente independientes.
𝑖𝑖𝑖)𝑆𝑖 𝑠 < 𝑡 → 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑊 𝑡 −𝑊 𝑠 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑦𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑁(0, 𝑡 − 𝑠).
El movimiento Browniano posee la propiedad de autosimilaridad, es decir, parte finita de una
trayectoria de movimiento browniano cuando es reescalada correctamente es indistinguible de la
trayectoria completa. Además el movimiento browniano posee una relación con el ruido blanco17.
Brownianos Fraccionales
El movimiento browniano fraccional fue definido por Kolmogorov en un espacio de Hilbert18.
Anteriormente nombrado proceso Wienerhelix hasta que Mandelbrot le dio el nombre de movimiento
browniano fraccional.
Los fractales son objetos geométricos irregulares que no pueden ser descritos por la geometría
tradicional y su primera y más importante propiedad es la autosimilaridad , que significa que todas sus
partes están relacionadas de alguna forma con el todo, es decir, que cada una de las partes del objeto
tienen las características del objeto completo o bien que los detalles o partes más pequeñas tienen una
relación estadística con sus propiedades globales, repitiéndose consecutivamente de manera infinita.
Esta propiedad hace a los fractales invariantes en la escala. Además cuentan con dimensión
fraccionaria.
El movimiento browniano fraccional, a diferencia del movimiento browniano tradicional, incorpora en
los modelos características de independencia o dependencia propias de las series.
17 El ruido blanco es un proceso estocástico, sus valores a través del tiempo oscilan en torno a una media constante, tienen volatilidad constante, además información pasada no es útil para predecir valores futuros. 18 Espacios de dimensión arbitraria, incluyendo a espacios de dimensión infinita.
26
Definición 3-. Un movimiento browniano fraccional (BH) con parámetro Hurst19 (H) es un proceso
Gaussiano que se define por las siguientes propiedades:
i. 𝐵! 0 = 0
ii. 𝐸 𝐵! 𝑡 = 0 ∀ 𝑡 ∈ 𝑅
iii. 𝐶𝑜𝑣! 𝑡, 𝑠 = 𝐸 𝐵! 𝑠 𝐵! 𝑡 = 𝐻 2𝐻 − 1 𝑡 − 𝑠 !!!!𝑑𝑠𝑑𝑡 = !!𝑠 !! + 𝑡 !! −!
!!!
𝑠 − 𝑡 !! ;∀ 𝑠 𝑦 𝑡 ∈ 𝑅
El movimiento browniano fraccional es un proceso más general en el cual se contemplan variables con
características de dependencia y descritas con movimientos brownianos tradicionales. Cuenta con la
propiedad de autosimilaridad, siendo esta la más importante de los sistemas fractales.
Volatilidad
La volatilidad de los activos financieros es la forma tradicional de considerar la varianza de los
rendimientos de estos activos20.
La volatilidad de activos e instrumentos financieros es estudiada a fondo, un ejemplo de esto es el
índice de volatilidad Mexicano, VIMEX, dado a conocer por el Mercado Mexicano de Derivados
(MexDer). Este indicador mide la volatilidad esperada para el mercado accionario mexicano en el corto
plazo.
La volatilidad tiende a ser una función creciente del vencimiento cuando las volatilidades a corto plazo
son históricamente bajas, esto debido a la expectativa de que las volatilidades aumenten. De igual
manera, la volatilidad tienda a ser una función decreciente del vencimiento cuando las volatilidades a
corto plazo son históricamente altas, esto por la expectativa de que las volatilidades disminuyan.
19 El parámetro sirve para detectar características de persistencia en la serie. 20 Según la teoría de los mercados eficientes, los precios de los activos financieros siguen un comportamiento aleatorio. El rendimiento de los instrumentos financieros muestran una media y desviación estándar estables a través del tiempo.
27
Si el valor de la acción de una empresa disminuye, el apalancamiento aumenta, por lo cual la acción se
vuelve más riesgosa y su volatilidad se incrementa. Al contrario, si el precio de la acción aumenta, se
vuelve menos riesgosa y la volatilidad disminuye.
El modelo Black-Scholes asume que la distribución de probabilidades del activo subyacente en una
fecha futura es logarítmica normal. Para que los precios de un activo tengan distribución logarítmica se
debe cumplir que la volatilidad del activo sea constante y que el precio del activo cambie suavemente;
por lo general esto no se cumple. Es por esto que los agente asumen que la distribución de probabilidad
del precio de una acción tiene una cola izquierda más pesada y una cola derecha menos pesada que la
distribución logarítmica normal, Hull (2009).
Se ha observado que la volatilidad presenta las siguiente características:
- Varía a lo largo del tiempo.
- Propiedad “clustering”, las volatilidades elevadas persisten por períodos largos antes de
disminuir a sus niveles de largo plazo.
- Efecto apalancamiento, cuando los rendimientos aumentan la volatilidad varía más que
proporcionalmente.
Existen diferentes modelos para calcular la volatilidad, cada uno con sus ventajas y desventajas, a
continuación se mencionan algunos de ellos, los cuales serán utilizados más adelante.
Volatilidad Histórica
La volatilidad histórica es la volatilidad del precio de un activo calculada a partir de datos históricos, es
por lo tanto una medición ex post. Esta es una medida estadística del movimiento pasado de los
precios.
Es un proceso en el cual las ponderaciones que se dan a la información pasada son fijas. Este
procedimiento no explota de forma óptima el efecto clustering.
28
Hull (2009) señala una forma de medir la volatilidad a partir de datos históricos utilizando un registro
de variaciones de precio de acción.
Se define
𝑛 + 1: número de observaciones.
𝑆!: precio de la acción al final del imo intervalo, donde 𝑖 = 0,1,… ,𝑛
𝜏: duración del intervalo en años.
Y se calcula
𝒓𝒊 = 𝐥𝐧( 𝑺𝒊𝑺𝒊!𝟏
) Ec. 10
Siendo 𝑟 el rendimiento. Una estimación 𝑑, de la desviación estándar de 𝑟! se obtiene por medio de
𝒅 = 𝟏𝒏!𝟏
(𝒓𝒊 − 𝒓)𝟐 Ec. 11
Donde 𝑟 es la media de 𝑟!. La desviación estándar de de 𝑟! es 𝜎 𝜏. Por lo tanto, la variable 𝑑 es una
estimación de 𝜎 𝜏 por lo que se deduce que 𝜎 puede calcularse como 𝜎, donde
𝝈 = 𝒔𝝉 Ec. 12
El error estándar de este cálculo es aproximadamente 𝜎/ 2𝑛. Elegir el valor de 𝑛 no es sencillo, por lo
general al tener mayor datos se logra obtener mayor exactitud, pero si 𝜎 cambia a través del tiempo
esto genera que los datos más antiguos no logren ser relevantes para predecir la volatilidad futura.
ARMA
El proceso autorregresivo y de promedios móviles (ARMA) es utilizado en los pronósticos del análisis
econométrico. Como su nombre lo indica, el proceso incluye un proceso autorregresivo (AR) y un
proceso de medias móviles (MA).
29
El proceso AR es en el cual el valor en el período actual depende de los valores en periodos anteriores.
El orden del proceso autorregresivo indica que periodos anteriores tienen relación con el valor actual,
por lo general se señala como 𝐴𝑅(𝑝) siendo 𝑝 el orden del proceso.
Por su parte el proceso MA es el resultado de una combinación lineal de una constante más un
promedio móvil de los términos de error del presente y del pasado. Igual que AR el proceso MA cuenta
con orden señalado generalmente como 𝑀𝐴(𝑞), donde 𝑞 indica el orden del proceso.
Si se supone una variable 𝑌! que sigue un proceso ARMA(1,1), es decir un término autorregresivo y
uno de promedio móvil, se escribe como:
𝒀𝒕 = 𝜽+ 𝜶𝟏𝒀𝒕!𝟏 + 𝜷𝟎𝒖𝒕 + 𝜷𝟏𝒖𝒕!𝟏 Ec. 13
Donde 𝜃 es un término constante, 𝑌!!! es la variable rezagada un periódo, 𝑢 es el término de error y
𝛼 y 𝛽 son coeficientes.
En un proceso 𝐴𝑅𝑀𝐴(𝑝, 𝑞) hay 𝑝 términos autorregresivos y 𝑞 términos de promedios móviles.
𝒀𝒕 = 𝜽+ 𝜶𝟏𝒀𝒕!𝟏 +⋯+ 𝜶𝒑𝒀𝒕!𝒑 + 𝜷𝟎𝒖𝒕 + 𝜷𝟏𝒖𝒕!𝟏 +⋯+ 𝜷𝒒𝒖𝒕!𝒒 Ec. 14
Las ponderaciones se estiman mediante métodos estadísticos, pero estas pueden ser erráticas por
problemas muestrales.
Este proceso permite estimar la estructura intertemporal de la volatilidad, tiende a un nivel de equilibrio
de largo plazo (volatilidad paramétrica), optimiza el efecto de clustering, pero las estimaciones pueden
ser estadísticamente inconsistentes.
Si se supone un modelo de regresión lineal para el cuadrado de los rendimientos con el modelo ARMA:
𝑹𝒕𝟐 = 𝜶𝟎 + 𝜶𝟏𝑹𝒕!𝟏𝟐 +⋯+ 𝜶𝑷𝑹𝒕!𝑷𝟐 + 𝜺 Ec. 15
30
donde
R2= Cuadrado de los rendimientos de un activo.
𝜀 =Término aleatorio, 𝑁(0,1).
La ecuación anterior indica que el cuadrado del rendimiento actual depende del cuadrado de los
rendimientos rezagados. Al calcular el valor esperado de la ecuación con la información disponible se
obtiene el modelo para estimar la volatilidad:
𝝈𝒕𝟐 = 𝜶𝟎 + 𝜶𝟏𝑹𝒕!𝟏𝟐 +⋯+ 𝜶𝑷𝑹𝒕!𝑷𝟐 + 𝜺 Ec. 16
El modelo ARMA es una generalización del modelo de volatilidad histórica antes visto. La diferencia
es que el modelo de volatilidad histórica tiene ponderaciones fijas y el ARMA las determina por los
datos mediante un mecanismo estadístico, es así como disminuye el problema de sobreestimación del
efecto “clustering”.
Las condiciones para que el proceso ARMA sea estacionario son:
-Las raíces del polinomio del proceso AR deben ser mayores que 1.
-La suma de los coeficientes del proceso MA debe ser finita.
-Los errores deben ser ruido blanco.
GARCH
Proceso autorregresivo generalizado con heterocedasticidad condicional, supone que la varianza
cambia a través del tiempo21. Estos procesos se caracterizan por la acumulación de la volatilidad, esto
significa que existen lapsos con amplias variaciones durante prolongados períodos seguidos por un
21 Desarrollado por Engle (1982).
31
intervalo de tranquilidad relativa. Su propósito es estimar la varianza no condicional de los
rendimientos de los activos financieros.
Es un proceso estocástico que permite modelar diferentes características de las distribuciones de los
rendimientos y además estima la estructura intertemporal de la volatilidad. Las ponderaciones
convergen a cero de forma suavizada.
El modelo 𝐺𝐴𝑅𝐶𝐻 (1,1) es el modelo más común en la estimación de la volatilidad. Estima la
varianza condicional en función del cuadrado de los errores rezagados un período y de la varianza
condicional anterior.
𝝈𝝉𝟐 = 𝜶𝟎 + 𝜶𝟏𝜺𝒕!𝟏𝟐 + 𝜷𝟏𝝈𝒕!𝟏𝟐 Ec. 17
Para que sea estacionario se debe cumplir:
𝛼! + 𝛽! ≤ 1; 𝛼! > 0; 𝛽! > 0
𝜀~𝑁(0,𝜎!!)
La suma de (𝛼! + 𝛽!) es la persistencia de la volatilidad, mientras mayor es la suma mayor es la
persistencia y viceversa. El término de error 𝜀 sigue una distribución normal con media cero y varianza
𝜎!!.
La varianza se estima con los residuales de la ecuación de regresión de la media condicional. Para
estimar la media se utiliza generalmente un modelo autorregresivo de orden uno:
𝑹𝒕 = 𝜶𝟎 + 𝜶𝟏𝑹𝒕!𝟏 + 𝜺𝒕 Ec. 18
Se puede pronosticar la volatilidad para cualquier período en el futuro (estructura intertemporal de
volatilidad) a través de:
𝝈𝒕!𝒌𝟐 = 𝝈𝟐 + (𝜶𝟏 + 𝜷𝟏)𝒌!𝟏(𝝈𝒕!𝒌𝟐 − 𝝈𝟐) Ec. 19
32
El modelo GARCH a diferencia de los modelos ARMA, donde la varianza se estima con base en los
rendimientos observados (Ec. 16), utiliza los rendimientos esperados22 (Ec. 19). Otra diferencia es que
el modelo GARCH no sobreestima el efecto de apalancamiento, por lo cual aprovecha mejor el capital.
Exponente Hurst (H)
El coeficiente de Hurst (H) debe su nombre a Harold Edwin Hurst quien fue el primero en estudiar las
series fractales. H tiene como objetivo medir el grado de independencia o memoria que presenta la
serie en sus observaciones, en otras palabras, que tanta relación existe entre las observaciones a través
del tiempo; distingue entre una serie tradicional que es independiente y una serie fractal que presenta
características de persistencia (memoria larga) o antipersistencia. Peters (1994) explica el coeficiente,
el significado de su valor y como obtenerlo.
Dependiendo del valor de H la serie indica:
𝐻 = 0.5 , la serie presenta características tradicionales de independencia.
0.5 < 𝐻 ≤ 1, la series es persistente, caracterizada por efectos de memoria larga. Lo que suceda
hoy impactará en el futuro. Se presentan comúnmente en la naturaleza, en el mercado de capitales y
en la economía.
0 ≤ 𝐻0 < 0.5, implica antipersistencia. Algunos teóricos igualan este comportamiento con un
proceso de reversión a la media, se vuelve a lo niveles previos medios.
22 Dado que los rendimientos esperados no son observables, la estimación de la volatilidad necesita de métodos de optimización.
33
La técnica para encontrar el coeficiente de H se conoce como rango escalado y se explicará a
continuación.
Proceso Hurst
Harold Hurst desarrolla el proceso de Rango Escalado con el propósito de determinar el coeficiente de
Hurst. Este proceso supone que:
(𝑹 𝑺)𝒏 = 𝒄𝒏𝑯 Ec. 20
Donde:
𝑐 = constante.
𝑛 = Indicador del valor de la serie de tiempo.
𝐻= Exponente de Hurst .
Los pasos a seguir son los siguientes:
1. Se tiene una serie 𝑀 de observaciones de activo o de precios de una acción, la cual es de
tamaño 𝑡. Se busca los rendimientos logarítmicos por lo cual se tiene una nueva serie, 𝑁 de
tamaño 𝑡 − 1. Cada rendimiento esta definido por:
𝑵𝒊 = 𝐥𝐨𝐠 𝑴𝒊!𝟏𝑴𝒊
, 𝒊 = 𝟏,… , 𝒕− 𝟏 Ec. 21
2. Se divide este período de tiempo 𝑁 en 𝐴 subperiodos continuos de longitud 𝑛, tal que
𝐴 ∗ 𝑛 = 𝑁. Cada subperíodo se nombra 𝐼! , 𝑎 = 1,… ,𝐴. Cada elemento en 𝐼! es nombrado
𝑁!,!, tal que 𝑘 = 1,… ,𝑛.
Para cada subperíodo 𝐼! el valor promedio es definido por:
34
𝒆𝒂 = 𝟏 𝒏 𝑵𝒌,𝒂𝒌𝒊!𝟏 Ec. 22
3. Las diferencias de cada elemento 𝑁!,! con respecto a la media 𝑒! para cada subperiodo 𝐼! se
suman para obtener una serie de tiempo acumulada (𝑋!,!).
𝑿𝒌,𝒂 = (𝑵𝒌,𝒂𝒌𝒊!𝟏 − 𝒆𝒂),𝒌 = 𝟏,𝟐… ,𝒏 Ec. 23
4. El rango 𝑅𝐼! será la diferencia entre el valor máximo y el mínimo de 𝑋!,! para cada subperíodo
𝐼!.
𝑹𝑰𝒂 = 𝑴𝒂𝒙 𝑿𝒌,𝒂 −𝑴𝒊𝒏(𝑿𝒌,𝒂) Ec. 24
5. También se debe de calcular, para cada período 𝐼!, la desviación estándar de la muestra, 𝑆𝐼!, de
la forma tradicional:
𝑺𝑰𝒂 = (𝟏 𝒏 (𝑵𝒌,𝒂 − 𝒆𝒂)𝟐𝒏𝒌!𝟏 )𝟏/𝟐 Ec. 25
6. Para cada período 𝐼!, su rango 𝑅𝐼! se normaliza dividiendo por su desviación estándar muestral
(𝑆𝐼!). El rango reescalado para cada subperíodo 𝐼! es 𝑅𝐼! 𝑆𝐼! . Se toma el valor promedio 𝑅/𝑆
de 𝐴 subperiodos.
(𝑹/𝑺)𝒏 = (𝟏𝑨) (𝑹𝑰𝒂 𝑺𝑰𝒂)
𝑨𝒂!𝟏 Ec. 26
7. La longitud n o el tamaño del subperíodo se incrementa al siguiente valor posible tal que !!!!
sea un entero. Se debe iniciar con el valor más pequeño a la condición anterior y se repiten los
pasos 1-6 hasta que 𝑛 = !!!!
.
35
8. Para finalizar se aplica una regresión MCO23 de 𝑙𝑜𝑔(𝑅/𝑆)! contra log (𝑛) con la finalidad de
obtener 𝐻. La pendiente de la ecuación estimada, es decir el coeficiente de la regresión, será el
valor del exponente Hurst (𝐻).
Se desarrolla una programación en visual basic (VBA) para facilitar la obtención de H, se incluye en el
Anexo 1.
Significancia del Coeficiente de Hurst
Dado que el número de elementos en la muestra puede alterar la significancia del exponente se debe de
plantear una prueba 𝑡. Con un número limitado de elementos no se asegura la significancia del
coeficiente, se recomienda que sean más de 10. El exponente de Hurst es sensible al tamaño de la
muestra y al momento de medición.
Se plantea una prueba de hipótesis tradicional.
𝐻!: 𝐻 = 0.5 Comportamiento de caminata aleatorio o browniano tradicional. Características de
independencia.
𝐻!: 𝐻 ≠ 0.5 Comportamiento persistente o antipersistente.
Se espera que el coeficiente de Hurst tenga un valor24 de:
𝑬 𝑹𝑺𝑵 = 𝒏!𝟎.𝟓
𝒏𝒏 ∗ 𝝅 𝟐
!𝟎.𝟓𝟎 ∗ 𝒏!𝒓𝒓
𝒏!𝟏𝒓!𝟏 Ec. 27
𝑽𝒂𝒓(𝑯)𝒏 = 𝟏𝑻 Ec. 28
23 Mínimos cuadrados ordinarios. 24 Para una explicación más extensa ver Peters (1994).
36
A partir de estas dos ecuaciones podemos determinar el nivel de significancia . Es importante señalar
que el exponente depende del tamaño de la muestra y del momento de medición. Si 𝐻 va en
decremento la serie muestra tendencia a alejarse de las características de persistencia.
Síntesis del capítulo
En este capítulo se presentaron las herramientas matemáticas necesarias para el desarrollo del modelo
utilizado en esta investigación. Herramientas tales como los procesos estocásticos, los cuales son
básicos para el desarrollo de la teoría financiera al describir comportamientos aleatorios.
Se entiende como fractal a un objeto irregular que al no poder ser descrito por la geometría tradicional
da pie al inicio de la geometría fractal.
El movimiento browniano es continuo e irregular, es un proceso aleatorio con observaciones
independientes. La diferencia con el movimiento browniano fractal es que este incorpora características
de persistencia propias de las serias. Ambos movimientos poseen la característica de autosimilaridad.
La volatilidad es la forma de considerar la varianza de los rendimientos de activos financieros. Dicha
volatilidad esta en función del vencimiento y de cambios en los activos. La volatilidad presenta las
características de clustering, efecto apalancamiento y además varía en el tiempo.
La volatilidad histórica al ser una medida estadística del movimiento pasado con ponderaciones fijas se
ve opacada por el proceso ARMA, el cual determina las ponderaciones mediante un mecanismo
estadístico, con lo que logra disminuir el efecto clustering.
El proceso ARMA incluye valores de periodos pasados (términos autorregresivos) y un promedio
móvil de los términos de error del presente y pasado, además permite estimar la estructura
intertemporal de la volatilidad.
37
El proceso GARCH se caracteriza por la acumulación de la volatilidad, supone que la varianza cambia
a través del tiempo. El modelo GARCH(1,1) es el más común en la estimación de la volatilidad. La
diferencia entre ARMA y GARCH es que el primero estima con base a rendimientos observados y el
segundo con rendimientos esperados, por lo que GARCH disminuye el efecto de apalancamiento.
Para cerrar el capítulo se introduce el exponente de Hurst (H), se explica la manera de obtenerlo con el
rango escalado y como comprobar su significancia. Dicho exponente tiene como función distinguir
entre series tradicionales y fractales, en otras palabras medir la persistencia en la serie. Se debe probar
la significancia del coeficiente debido a que es sensible al tamaño de la muestra y al momento de
medición.
Al conocer las herramientas matemáticas necesarias para el entendimiento del trabajo, a continuación
se presenta el capítulo de la metodología, en el que además se presenta la muestra utilizada en el
análisis empírico.
38
CAPÍTULO V. METODOLOGÍA El presente capítulo tiene como objetivo realizar una descripción de la metodología utilizada, así como
de las variables utilizadas; se expresa el modelo de Merton al igual que el ajuste con Brownianos
fraccionales, el cual incluye características de persistencia. Después se incluye el modelo de Altman,
esto con el fin de comparar probabilidades de incumplimiento entre los modelos tradicional y
estructural. Para terminar el capítulo se hace una breve descripción sobre el procedimiento empleado en
la construcción de la muestra y sobre las empresas utilizadas.
Modelo de Merton para el cálculo de probabilidades de incumplimiento.
El modelo de Merton se clasifica como estructural, supone que los inversionistas tienen información
perfecta del mercado y un conocimiento completo del valor de los activos y de la deuda de todas las
firmas.
En el modelo, el incumplimiento se presenta cuando el valor de los activos es inferior al monto total de
la deuda financiera. El valor de los activos se considera como una opción call europea que tiene como
precio de ejercicio el monto de la deuda.
Se utiliza la fórmula de valuación de Black y Scholes para calcular la probabilidad de incumplimiento.
El modelo de Merton25 supone que una empresa emite bonos cupón cero que vencen en una fecha
establecida llamada T. Las variables del modelo son:
𝑡 ∶ Fecha de referencia, hoy.
𝑇 ∶ Fecha de vencimiento.
𝑆! ∶ Valor de mercado de las acciones de la empresa, hoy.
𝑆! ∶ Valor de mercado de las acciones de la empresa en 𝑇.
25 Desarrollo del modelo tomado de Venegas (2008).
39
𝐵!(𝑡,𝑇) ∶ Valor de mercado de los bonos de la empresa, hoy.
𝑉! ∶ Valor de mercado de los títulos, de capital y deuda, de la empresa, hoy.
𝑉! ∶ Valor de mercado de los títulos, de capital y deuda, de la empresa en 𝑇.
𝐷 ∶ Principal e interés que la empresa debe pagar en 𝑇.
𝜎! ∶ Volatilidad de las acciones de la empresa.
𝜎! ∶ Volatilidad del valor de la empresa en el mercado.
Iniciamos definiendo 𝑉!, el cual esta compuesto por el valor de mercado de las acciones (𝑆!) y el valor
de mercado de los bonos (𝐵!) de la empresa:
𝑽𝒕 = 𝑺𝒕 + 𝑩𝒄(𝒕,𝑻) Ec. 29
Se supone además que
𝒅𝑽𝒕 = 𝝁𝑽𝑽𝒕𝒅𝒕+ 𝝈𝑽𝑽𝒕𝒅𝑾𝒕 Ec. 30
𝒅𝑺𝒕 = 𝝁𝑺𝑺𝒕𝒅𝒕+ 𝝈𝑺𝑺𝒕𝒅𝑾𝒕 Ec. 31
Dado que el proceso (𝑊!)!∈[!,!] es un movimiento Browniano definido sobre un espacio fijo de
probabilidad con su filtración aumentada, existe una correlación perfecta entre las ecuaciones (30) y
(31); estas ecuaciones hablan sobre los cambios en el valor de la empresa y en el valor de mercado de
las acciones de la empresa. La limitación de la (𝐸𝑐. 30) es que los parámetros 𝜇!𝑉! , 𝜎!𝑉! 𝑦 𝑉! no son
observables.
Si el valor de la empresa en el tiempo 𝑇 es menor que la deuda, 𝑉! < 𝐷, entonces la empresa
incumple, por lo menos parcialmente, con el pago de su deuda, y en este caso 𝑆! = 0. Si por el
contrario 𝑉! ≥ 𝐷, la empresa paga su deuda en 𝑇 y 𝑆! = 𝑉! − 𝐷. Esto se resume en:
𝑺𝑻 = 𝐦𝐚𝐱 (𝑽𝑻 −𝑫,𝑶) Ec. 32
Esto muestra que el valor de mercado de las acciones puede verse como una opción europea de compra
sobre el valor de mercado de la empresa con precio igual al pago de su deuda. La formulación de
40
Black-Scholes proporciona el valor inicial de las acciones de la empresa en 𝑡, en un mundo neutral al
riesgo, el cual está dado por:
𝑺𝒕 = 𝑽𝒕𝜱 𝒅𝟏 −𝑫𝒆!𝒓(𝑻!𝒕)𝜱(𝒅𝟐) Ec. 33
Donde
𝒅𝟏 =𝐥𝐧 𝑽𝒕
𝑫 ! 𝒓!𝟏𝟐𝝈𝒗𝟐 (𝑻!𝒕)
𝝈𝑽 𝑻!𝒕 Ec. 34
𝒅𝟐 = 𝒅𝟏 − 𝝈𝒗 𝑻− 𝒕 Ec. 35
El valor de la deuda hoy es 𝐵! 𝑡,𝑇 = 𝑉! − 𝑆!.
𝑆! = 𝑒!!(!!!) max 𝑣 − 𝐷, 0 𝑓!!|!! 𝑣 𝑉! 𝑑𝑣∞
!∞
= 𝑒!!(!!!)𝐸 𝑉!1 !!!! 𝑉! − 𝐷𝑒!!(!!!)ℙ 𝑉! > 𝐷 𝑉!
Donde 𝑓!!|!! 𝑣 𝑉! es la función de densidad de 𝑉!, condicional al valor inicial 𝑉!. La probabilidad
neutral al riesgo, de que la empresa cumpla con el pago de su deuda es:
ℙ 𝑽𝑻 > 𝑫 𝑽𝒕 = 𝜱(𝒅𝟐) Ec. 36
Siendo Φ la función de distribución normal estándar. Por lo tanto la probabilidad al riesgo, de que la
empresa incumpla con el pago de su deuda es:
ℙ 𝑽𝑻 < 𝑫 𝑽𝒕 = 𝟏−𝜱 𝒅𝟐 = 𝜱 −𝒅𝟐 = 𝟏𝟐𝝅𝒆!𝒙
𝟐𝟐𝒅𝒙𝒅𝟐
!! Ec. 37
Para calcular esta probabilidad se debe conocer a 𝜎! como 𝑉!. Sin embargo, ninguna de las dos es
directamente observable. No obstante, si la empresa emite acciones que son colocadas públicamente,
entonces 𝑆! puede estimarse como el número de acciones por su precio en el mercado. Por el lema de
Itȏ.
𝜇!𝑆!𝑑𝑡 + 𝜎!𝑆!𝑑𝑊! =𝑑𝑆!𝑑𝑡 + 𝜇!𝑉!
𝑑𝑆!𝑑𝑉!
+12𝜎!
!𝑉!!𝑑!𝑆!𝑑𝑉!!
𝑑𝑡 + 𝜎!𝑉!𝑑𝑆!𝑑𝑉!
𝑑𝑊!
Dado que los componentes estocásticos deben ser igual se sigue que:
41
𝜎!𝑆! = 𝜎!𝑉!𝑑𝑆!𝑑𝑉!
𝜎!𝑆! = 𝜎!𝑉!𝛷(𝑑!)
Si se cuenta con un estimador de la desviación estándar de los rendimientos, 𝜎!, entonces la ecuación
anterior es otra ecuación que 𝜎! y 𝑉! deben satisfacer.
𝜇!𝑆! = 𝐷𝑒!! !!! −𝑟𝛷 𝑑! +𝜎!𝛷′ 𝑑!2 𝑇 − 𝑡
+ 𝜇!𝜎!𝛷 𝑑! +𝜎!𝑉!𝛷′ 𝑑!2 𝑇 − 𝑡
Ya que 𝜎! y 𝑉! se han determinado, se sustituyen los valores y se obtiene el valor de µv.
Se debe realizar un pequeño ajuste en el modelo dado que para el valor de la empresa, 𝑉!, existen
diferentes definiciones pero no una fija. Se hace el ajuste del modelo con las cuentas financieras y se
tomará el valor de la empresa como los activos totales. Entonces para la (𝐸𝑐.𝑉. 1) se tiene:
𝐴! = 𝐶! + 𝑃!
Donde
𝐴!: Activo total de la empresa en tiempo 𝑡.
𝐶!: Capital de la empresa en tiempo 𝑡.
𝑃!: Pasivo de la empresa en tiempo 𝑡, y por pasivo entenderemos el valor de los bonos en el tiempo 𝑡.
Después para la 𝐸𝑐.𝑉. 4 se tiene:
𝑪𝑻 = 𝐦𝐚𝐱 (𝑨𝑻 − 𝑷𝑻,𝟎) Ec. 38
La formulación de Black-Scholes sigue siendo la misma con el ajuste de las variables de la 𝐸𝑐.𝑉. 5 a la
𝐸𝑐.𝑉. 7:
𝑪𝒕 = 𝑨𝒕𝜱 𝒅𝟏 − 𝑷𝑻𝒆!𝒓(𝑻!𝒕)𝜱(𝒅𝟐) Ec. 39
Donde
42
𝒅𝟏 =𝐥𝐧 𝑨𝒕
𝑷 ! 𝒓!𝟏𝟐𝝈𝒗𝟐 (𝑻!𝒕)
𝝈𝑽 𝑻!𝒕 Ec. 40
𝒅𝟐 = 𝒅𝟏 − 𝝈𝒗 𝑻− 𝒕 Ec. 41
Y para obtener la probabilidad de incumplimiento del pago de la deuda, antes descrita por la 𝐸𝑐. 37, se
tiene :
ℙ 𝑨𝑻 < 𝑷 𝑨𝒕 = 𝟏−𝜱 𝒅𝟐 = 𝜱 −𝒅𝟐 = 𝟏𝟐𝝅𝒆!𝒙
𝟐𝟐𝒅𝒙𝒅𝟐
!! Ec. 42
La razón principal por la cual se realiza el ajuste de las variables sobre las razones financieras como
activo, pasivo y capital, es que esta información esta al alcance público.
Modelo de Merton Fraccional
El modelo de Merton es base para la medición del riesgo de incumplimiento, es un modelo ya
desarrollado, por esto se busca una aportación al introducir los Brownianos Fraccionales, con los cuales
se incorporan características de persistencia a la seria buscando mejorar las estimaciones.
La motivación de incluir los fractales recae sobre la necesidad de buscar una mejor explicación al
comportamiento de ciertos fenómenos financieros, esto porque se ha encontrado y confirmado que
algunos de los supuestos financieros y/o matemáticos no se ajustan a la realidad, por lo que se requiere
cada vez de teorías más generales que expliquen estas diferencias y que incluyan como casos
particulares a las que ya existen.
El movimiento browniano fraccional (MBF) es un proceso más general, que como un caso particular
contempla variables con características de independencia y descritas con movimientos brownianos
tradicionales.
43
Precio de una opción call europea con MBF
Sierra (2007) desarrolla la fórmula para el precio de una opción call europea en un mercado Browniano
fraccional. La ecuación original de Black-Scholes asume que el comportamiento del subyacente
asociado al derivado puede modelarse con un movimiento browniano tradicional.
Para poder llegar a la ecuación de Black-Scholes Fraccional, Sierra considera una cuenta bancaria libre
de riesgo y una acción en un mundo neutral al riesgo modelado por un movimiento geométrico
browniano fraccional.
El precio de la opción call europea dentro de un período de tiempo 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇, con un precio de
ejercicio 𝐾, una tasa 𝑟 libre de riesgo, una volatilidad 𝜎!, una distribución normal estándar 𝑁(∙), un
vencimiento en el tiempo 𝑇 y un coeficiente de Hurst 𝐻, esta dado por:
𝑪(𝒕,𝑺 𝒕 ) = 𝑺(𝒕)𝑵 𝒅𝟏 −𝑲𝒆!𝒓(𝑻!𝒕)𝑵(𝒅𝟐) Ec. 43
Donde:
𝒅𝟏 =𝐥𝐧 𝑺(𝒕)
𝑲 !𝒓 𝑻!𝒕 !(𝝈𝒗𝟐/𝟐) (𝑻𝟐𝑯!𝒕𝟐𝑯)
𝝈𝑽 (𝑻𝟐𝑯!𝒕𝟐𝑯) Ec. 44
𝒅𝟐 =𝐥𝐧 𝑺(𝒕)
𝑲 !𝒓 𝑻!𝒕 !(𝝈𝒗𝟐/𝟐) (𝑻𝟐𝑯!𝒕𝟐𝑯)
𝝈𝑽 (𝑻𝟐𝑯!𝒕𝟐𝑯) Ec. 45
Si se quiere conocer más sobre el desarrollo o demostración de la fórmula de Black-Scholes fraccional,
revisar con detenimiento a Sierra (2007).
Ajuste con Brownianos Fraccionales
Para desarrollar el modelo de Merton con la aportación de los Brownianos Fraccionales es necesario
usar la metodología del modelo tradicional e introducir la fórmula de Black-Scholes fraccional
desarrollada por Sierra (2007).
44
Básicamente se parte de las ecuaciones originales, con la diferencia de que 𝜎! ya no será una varianza
fija, este supuesto se romperá para poder tener una varianza que pueda cambiar en el tiempo y que
pueda ser dependiente de los sucesos anteriores.
Con un proceso de un movimiento browniano fraccional, las ecuaciones y soluciones no cambian
radicalmente, la diferencia es que dependen del valor del coeficiente Hurst y del tiempo inicial del
proceso.
Se tiene de nuevo que :
𝐶! = max (𝐴! − 𝑃! , 0)
Donde 𝐴! es el activo total de la empresa, 𝐶! es el capital de la empresa y 𝑃! es el valor de los bonos,
todos en el tiempo 𝑇. Para la formulación de la ecuación del precio de compra de una opción europea,
por Black-Sholes, se tiene:
𝐶! = 𝐴!𝛷 𝑑! − 𝑃!𝑒!!(!!!)𝛷(𝑑!)
Como anteriormente se mencionó, el precio de la opción de compra es la diferencia entre el beneficio
esperado por adquirir el activo y el pago del precio de ejercicio en la fecha de vencimiento.
Antes de definir 𝑑! y 𝑑! es necesario señalar que aquí es donde entran el valor del exponente Hurst y
por lo tanto el movimiento Browniano fraccional.
𝒅𝟏 =𝐥𝐧 𝑨𝒕
𝑷𝑻!𝒓 𝑻!𝒕 !(𝝈𝒗𝟐/𝟐) (𝑻𝟐𝑯!𝒕𝟐𝑯)
𝝈𝑽 (𝑻𝟐𝑯!𝒕𝟐𝑯) Ec. 46
𝒅𝟐 =𝐥𝐧 𝑨𝒕
𝑷𝑻!𝒓 𝑻!𝒕 !(𝝈𝒗𝟐/𝟐) (𝑻𝟐𝑯!𝒕𝟐𝑯)
𝝈𝑽 (𝑻𝟐𝑯!𝒕𝟐𝑯) Ec. 47
Recordando que al asignar el valor de H=0.5 se obtiene la ecuación de brownianos tradicionales.
45
Y por último recordar la fórmula para obtener probabilidad de incumplimiento del pago de la deuda
(Ec.42):
ℙ 𝑨𝑻 < 𝑷 𝑨𝒕 = 𝟏−𝜱 𝒅𝟐 = 𝜱 −𝒅𝟐 = 𝟏𝟐𝝅𝒆!𝒙
𝟐𝟐𝒅𝒙𝒅𝟐
!!
Modelo de Altman
El modelo de Altman (1968), se refiere principalmente al tema de quiebra, fue desarrollado por Edward
Altman y se denominó Z-Score. La Z-Score es una ecuación lineal compuesta de cinco relaciones que
son controladores para medir riesgos de finanzas corporativas. Al incluirse el Z-Score se genera un
análisis con más enfoque corporativo para los inversionistas.
Altman tomó una muestra de 66 empresas para desarrollar el modelo, de las cuales 33 habían quebrado
durante los 20 años anteriores y 33 seguían operando. A la muestra le calculó 22 razones financieras
que clasificó en 5 categorías estándar: liquidez, rentabilidad, apalancamiento, solvencia y actividad.
Después de numerosas regresiones, se seleccionaron las 5 variables que juntas dieron el mejor
resultado en la predicción de insolvencia.
El Z-Score está compuesto por cinco razones26:
𝑍 = 1.2𝑋! + 1.4𝑋! + 3.3𝑋! + 0.6𝑋! + .999𝑋! Ec. 48
𝑋! = Capital de trabajo27 Total de activos.
26 Las ponderaciones de las razones que componen el Z-Score corresponden al modelo original de Altman de 1968. 27 El capital de trabajo es activo corriente menos pasivo corriente.
46
𝑋! = Utilidades retenidas Total de activos.
𝑋! = Ganancias antes de intereses e impuestos Total de activos.
𝑋! = Precio de las acciones en circulación Total de pasivos.
𝑋! = Ventas Total de activos.
Para poder interpretar el Z-Score es necesario saber que a menor puntaje mayor es la probabilidad de
quiebra de la empresa, y a mayor puntaje menor es la probabilidad de quiebra.
Los intervalos del Z-Score con su interpretación son:
• 𝑍 − 𝑆𝑐𝑜𝑟𝑒 ≤ 1.1 ∶ Probabilidad alta de quiebra.
• 1.2 ≤ 𝑍 − 𝑆𝑐𝑜𝑟𝑒 ≤ 2.6 ∶ Probabilidad de quiebra posible.
• 𝑍 − 𝑆𝑐𝑜𝑟𝑒 ≥ 2.7 ∶ Probabilidad de quiebra baja, o lo que se conoce como zona segura.
Ya que se analiza a la empresa, se obtiene el Z-Score y se puede dar un diagnóstico de su probabilidad
de incumplimiento. El modelo de Altman no puede utilizarse para pronósticos porque es necesaria la
información del período analizado.
Determinación de la Muestra
Para conformar la muestra del presente trabajo se seleccionan a las empresas mexicanas que cotizaban
en la Bolsa Mexicana de Valores (BMV), esto por la disponibilidad de la información. Además es
necesario que estas empresas emitan bonos corporativos no perpetuos con vencimiento fijo debido al
supuesto que el modelo de Merton plantea.
El análisis empírico está formado por un período de backtesting y otro período de pronóstico. El
período de backtesting comprende del 2007 al 2010, se analiza el Modelo de Merton tradicional, el
47
fraccional y el de Altman. El período de pronóstico sólo abarca el año 2013 e implementa el modelo de
Merton en sus dos versiones.
La razón por la cual se ubica el análisis del 2007 al 2010 es debido a la crisis financiera que tomó lugar
en este período. El Banco de México afirmó en el 2007 sobre la severa crisis del sistema financiero,
pero que para el caso de México al ser economía emergente no tuvo el impacto que pudo llegar a tener.
Si se desea mayor información sobre la crisis revisar el trabajos de Ruiz-Porras (2010) y la literatura de
Eiteman, Stonehill y Moffett (2010).
El período de backtesting se centra en el año 2007 con la intención de hacer una simulación acerca de
la probabilidad de incumplimiento para el período de la crisis inmobiliaria. Es decir, analizaremos si
estas empresas podían cumplir con sus obligaciones contraídas en los años siguientes (2008-2010).
Para ello se utilizan datos de los estados financieros anuales en miles de pesos corrientes de cada
empresa para el período analizado. Se cuenta con datos trimestrales desde el año 2000 hasta el 2012.
Para realizar el pronóstico se utiliza a las empresas que tengan bonos con vencimiento en el 2013, y se
analiza la situación desde el último estado financiero, que es el primer trimestre del 2012. De igual
manera se utilizan datos trimestrales de los estados financieros.
Para seleccionar las empresas se toman a las que están incluidas en el Índice de Precios y Cotizaciones
(IPC), ya que del total de las que cotizan en la BMV, estas son las que presentan mayor bursatilidad.
Es importante señalar que las empresas deben de contar con bonos corporativos con vencimiento en
2008, 2009 y 2010, así como 2013. Sólo diez empresas de las 35 incluidas en el IPC cumplen con esta
características, pero representan 53.26% del índice.
48
La muestra final está conformada por diez empresas de diferentes sectores que cumplen con los
requisitos del período de evaluación, y se presentan a continuación junto con el porcentaje que cada
empresa representa sobre el IPC:
Clave de la
emisora Razón social % DEL IPC
AC ARCA CONTINENTAL, S.A.B. DE C.V. 1.51%
AMX AMERICA MOVIL, S.A.B. DE C.V. 24.24%
BIMBO GRUPO BIMBO, S.A.B. DE C.V. 2.01%
CEMEX CEMEX, S.A.B. DE C.V. 2.94%
FEMSA FOMENTO ECONÓMICO MEXICANO, S.A.B. DE C.V. 8.11%
GEO CORPORACION GEO, S.A.B. DE C.V. 0.39%
GFNORTE GRUPO FINANCIERO BANORTE, S.A.B DE C.V. 4.42%
KIMBER KIMBERLY - CLARK DE MEXICO S.A.B. DE C.V. 1.8%
TLEVISA GRUPO TELEVISA, S.A. 7.37%
URBI URBI DESARROLLOS URBANOS, S.A.B. DE C.V. 0.47%
Elaboración propia con datos de la BMV
Para la obtención de los datos se utilizan diferentes proveedores de precios, tales como VALMER y
BLOOMBERG; y de software financieros como Economática e Infosel.
Se toma como valor de la empresa los activos totales de cada una, reportados en cada uno de sus
estados financieros. Para el cálculo de la deuda se emplea un procedimiento más complejo, debido a
que la empresa puede tener varios o ningún bono en cada año analizado. La deuda se calcula sumando
49
los bonos de cada empresa con vencimiento en cada uno de los años, cada bono se lleva a un fecha en
común, utilizando la fórmula de interés simple, para facilitar el cálculo de la suma.
Para el cálculo de la volatilidad se plantean tres procedimientos, la volatilidad histórica, el proceso
ARMA y el proceso GARCH. Para los dos últimos casos fue necesario realizar un análisis para obtener
la volatilidad de cada empresa en cada período. Los criterios de decisión entre los diferentes modelos
fueron: coeficientes significativos, varianza mínima, errores ruido blanco y criterio Akaike.
Descripción de la muestra
Las diez empresas seleccionadas para el estudio empírico corresponden a diferentes sectores
económicos y manejan diferentes niveles de activos y de capital. Se trata de realizar una descripción
general sobre algunas razones financieras que son importantes para el estudio, en específico de activos
y pasivos.
La siguiente gráfica muestra los activos totales trimestrales desde el 2000 para cada una de las
empresas analizadas.
Gráfica 1-. Activos totales trimestrales. Las cifras están en miles de millones de pesos.
Elaboración propia con datos de los estados financieros de cada empresa tomados de Infosel y Economática.
$ 0
$ 200
$ 400
$ 600
$ 800
$ 1,000
$ 1,200
01/0
3/00
01
/10/
00
01/0
5/01
01
/12/
01
01/0
7/02
01
/02/
03
01/0
9/03
01
/04/
04
01/1
1/04
01
/06/
05
01/0
1/06
01
/08/
06
01/0
3/07
01
/10/
07
01/0
5/08
01
/12/
08
01/0
7/09
01
/02/
10
01/0
9/10
01
/04/
11
01/1
1/11
AMX
ARCA
BANORTE
BIMBO
CEMEX
FEMSA
GEO
KIMBERLY
TELEVISA
URBI
50
Aún cuando los rangos de cantidades son diferentes, podemos observar una tendencia creciente en los
activos totales de todas las empresas. Las empresas con mayores activos totales son América Móvil,
seguida por Banorte y Cemex. Las que manejan activos menores son Urbi, Kimberly y Geo.
Los pasivos totales también muestran una tendencia creciente a lo largo de los últimos años. Los datos
son trimestrales desde el 2000 para cada una de las empresas:
Gráfica 2-. Pasivos totales trimestrales. Las cifras están en miles de millones de pesos.
Elaboración propia con datos de los estados financieros de cada empresa tomados de Infosel y Economática.
Las empresas con mayores pasivos son América Móvil, Banorte y Cemex; las empresas con menores
pasivos totales son Urbi, Arca y Geo. Las tres empresas con mayores activos coinciden con tener los
mayores pasivos; para las de menores activos y menores pasivos solo Urbi y Geo coinciden.
Otra razón financiera interesante es la de Activo-Pasivo, esta nos indica la capacidad de sustentabilidad
que tiene una empresa. En otras palabras, esta razón muestra cuantas veces la empresa puede pagar sus
pasivos con sus activos, a mayor sea el número mayor sustentabilidad, a menor número menor
$ 0
$ 100
$ 200
$ 300
$ 400
$ 500
$ 600
$ 700
$ 800
01/0
3/00
01
/11/
00
01/0
7/01
01
/03/
02
01/1
1/02
01
/07/
03
01/0
3/04
01
/11/
04
01/0
7/05
01
/03/
06
01/1
1/06
01
/07/
07
01/0
3/08
01
/11/
08
01/0
7/09
01
/03/
10
01/1
1/10
01
/07/
11
AMX
ARCA
BANORTE
BIMBO
CEMEX
FEMSA
GEO
KIMBERLY
TELEVISA
URBI
51
sustentabilidad. Cuando las empresas obtienen 1 ó muy cercano a 1, están en una situación delicada de
incumplimiento. La siguiente gráfica muestra esta razón para las empresas analizadas:
Gráfica 3-. Razón Activo-Pasivo. El eje vertical muestra el coeficiente obtenido.
Elaboración propia con datos de los estados financieros de cada empresa tomados de Infosel y Economática.
Las empresas con mayor razón de activo-pasivo son Arca, Femsa y Bimbo, lo que indica un buen
apalancamiento de deuda. Las empresas con razones de activo-pasivo menores son Televisa y
Kimberly.
En los modelos de incumplimiento usualmente se toma la volatilidad del precio de las acciones para los
estudios financieros, pero en este trabajo se analizó que la volatilidad del precio de las acciones y la
volatilidad de los activos no tiene una relación directa como tal. Esto se puede deber a que la
volatilidad del precio de las acciones trae consigo especulación de los mercados y correlación con otro
tipos de acciones. A continuación se muestra una gráfica de la volatilidad del precio de las acciones y
la volatilidad de los activos de América Móvil y de Televisa debido a que dentro de las empresas
seleccionadas son de las más bursátiles.
0
1
2
3
4
5
6
01/0
3/00
01
/12/
00
01/0
9/01
01
/06/
02
01/0
3/03
01
/12/
03
01/0
9/04
01
/06/
05
01/0
3/06
01
/12/
06
01/0
9/07
01
/06/
08
01/0
3/09
01
/12/
09
01/0
9/10
01
/06/
11
01/0
3/12
AMX
ARCA
BANORTE
BIMBO
CEMEX
FEMSA
GEO
KIMBERLY
TELEVISA
URBI
52
Gráfica 4-. Volatilidad histórica de América Móvil.
Elaboración propia con datos de los estados financieros de cada empresa tomados de Infosel y Economática.
Para el caso de América Móvil podemos observar como la volatilidad del activo es más estable que la
de las acciones; se da una excepción en el año 2009, donde la volatilidad se dispara por un fuerte
incremento de los activos de la empresa.
Gráfica 5-. Volatilidad histórica de Televisa.
Elaboración propia con datos de los estados financieros de cada empresa tomados de Infosel y Economática.
Para el caso de Televisa observamos que la volatilidad de las acciones oscila mucho más que la
volatilidad de los activos. Muy parecido sucede para las otras empresas analizadas.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
mar
-00
oct-0
0 m
ay-0
1 di
c-01
ju
l-02
feb-
03
sep-
03
abr-0
4 no
v-04
ju
n-05
en
e-06
ag
o-06
m
ar-0
7 oc
t-07
may
-08
dic-
08
jul-0
9 fe
b-10
se
p-10
ab
r-11
Volatilidad Acción
Volatilidad Activo
0 0.05 0.1
0.15 0.2
0.25 0.3
0.35 0.4
0.45 0.5
mar
-00
oct-0
0 m
ay-0
1 di
c-01
ju
l-02
feb-
03
sep-
03
abr-0
4 no
v-04
ju
n-05
en
e-06
ag
o-06
m
ar-0
7 oc
t-07
may
-08
dic-
08
jul-0
9 fe
b-10
se
p-10
ab
r-11
Volatilidad Activo
Volatilidad Acción
53
Dado que se observa que la volatilidad de los activos es más estable que la de las acciones, se utilizará
la volatilidad de los activos para el análisis.
Con la finalidad de conocer la situación o percepción actual de las empresas ante las calificadores, se
muestra la siguiente tabla de la calificación obtenida por cada una de las empresas en Febrero del 201228
por Standard & Poor’s y Fitch.
Tabla 1-. Calificación a Febrero 2012 para las empresas analizadas29.
Clave de la emisora
Razón social Standard & Poors
Escala Nacional Fitch Ratings
AC ARCA CONTINENTAL, S.A.B. DE C.V.
mxAAA/Estable/ AAA
AMX AMERICA MOVIL, S.A.B. DE C.V. mxAAA/Estable/mxA-1+ AAA
BIMBO GRUPO BIMBO, S.A.B. DE C.V. mxAA+/Negativa/ AA+
CEMEX CEMEX, S.A.B. DE C.V. mxBB/Negativa/mxB BB-
FEMSA FOMENTO ECONÓMICO MEXICANO, S.A.B. DE C.V.
mxAAA/Estable/ AAA
GEO CORPORACION GEO, S.A.B. DE C.V. mxBBB+/Estable/mxA-2 A-
GFNORTE
GRUPO FINANCIERO BANORTE, S.A.B DE C.V.
mxAA/Estable/mxA-1+ AA+
KIMBER KIMBERLY - CLARK DE MEXICO S.A.B. DE C.V.
mxAAA/Estable/mxA-1+ AAA
TLEVISA GRUPO TELEVISA, S.A. mxAAA/Estable/ AAA
URBI URBI DESARROLLOS URBANOS, S.A.B. DE C.V.
mxBBB/Estable/ A-
28 No se incluyen calificaciones anteriores debido a que es complicado recabar información anterior de las calificadoras. 29 En el Anexo 2 se describe el significado de cada una de estas calificaciones.
54
Se puede observar de la tabla 1 que empresas como ARCA, América Móvil, FEMSA, Kimberly y
Televisa muestran una capacidad de pago extremadamente fuerte y estable. Bimbo y Banorte tienen
una capacidad de pago fuerte, pero la primera tiene tendencia negativa, lo que significa que la
calificación de Bimbo puede bajar. GEO y Urbi tienen una capacidad de pago fuerte y estable. Por su
parte Cemex muestra incertidumbre a circunstancias adversas y una tendencia negativa en su
calificación.
Síntesis del capítulo
El capítulo de metodología tenía como objetivo hacer una presentación del modelo de Merton, del
ajuste que se realiza a las variables y de la aportación por medio de los brownianos fraccionales. El
modelo de Merton supone información perfecta en el mercado por parte de los inversionistas. Con la
aportación se introducen características de persistencia buscando mejorar las estimaciones. La
motivación de incluir los fractales recae sobre la necesidad de buscar una mejor explicación al
comportamiento de ciertos fenómenos financieros.
Sierra (2007) desarrolla la fórmula de valuación de opciones Black-Scholes fractal, con esta y el ajuste
de variables hacia activos, pasivos y capital se logra obtener el modelo de Merton fractal. La
adaptación fractal es un proceso más general ya que incluye al tradicional al asignar al exponente Hurst
(𝐻) un valor de 0.5. El movimiento browniano fraccional captura las propiedades de dependencia o
independencia en el coeficiente Hurst; las ecuaciones y soluciones no cambian radicalmente.
Se incluye el modelo de Altman (1968), principalmente utilizado para quiebra y conformado por el
Z-Score. Consiste en una ecuación lineal compuesta de cinco razones financieras. Según sea el valor
del Z-Score es la probabilidad de quiebra; a menor puntaje mayor es la probabilidad de quiebra de la
empresa.
55
La muestra está conformada por 10 de las 35 empresas mexicanas que conforman el IPC, de diferentes
sectores y representan 53.26% del índice, estas emiten bonos corporativos no perpetuos con
vencimiento fijo.
El análisis empírico está dividido en dos periodos; el primero es el período de backtesting, comprende
del 2007 al 2010, se analiza el Modelo de Merton tradicional, el fraccional y el de Altman; el otro
período es el de pronóstico, sobre el año 2013, e implementa el modelo de Merton tradicional y el
fractal.
En esta investigación se decide utilizar la volatilidad de los activo debido a que la volatilidad del precio
de las acciones y la volatilidad de los activos no tiene una relación directa como tal, y la de los activos
es más estable.
Tanto los activos totales como los pasivos totales muestran una tendencia creciente desde el 2000. La
razón de activo-pasivo muestra la sustentabilidad de las empresas; Arca, Femsa y Bimbo son las que
tienen mayor razón de activo-pasivo. Además se incluyen las calificaciones de Standard & Poors y de
Fitch para las empresas analizadas; Cemex y Bimbo fueron las únicas con tendencia negativa.
Ya que se presento la metodología y la elaboración de la muestra se puede continuar con los resultados
del presente trabajo.
56
CAPÍTULO VI. RESULTADOS La idea de esta capítulo es obtener la probabilidad de incumplimiento para las diez empresas
estudiadas, es un análisis que se divide en dos periodos, el de backtesting del 2007 al 2010 y el de
pronóstico para el año 2013. Cada período calcula la probabilidad de incumplimiento bajo ambos
modelos de Merton, brownianos tradicionales y brownianos fractales, con diferentes métodos de
volatilidades, y por el modelo de Altman sólo para el caso de backtesting.
Mediante el desarrollo de este sección se explicaran los resultados, así como una breve descripción del
proceso seguido para obtenerlos. Se inicia con el período de backtesting, después se cierra el capítulo
con el pronóstico.
Backtesting
El análisis backtesting o prueba de retrospectiva consiste en el período 2007-2010. La idea es
posicionar el estudio en el año 2007 y analizar cual es la probabilidad de incumplimiento para cada
empresa cada uno de los siguientes años (2008-2010). El objetivo es probar el modelo de Merton en
este período de crisis y saber si se pudo obtener información para prevenir ciertos eventos de
incumplimiento, al igual que comparar el modelo tradicional con el modelo fractal.
Se presenta el porcentaje que tiene cada deuda de los bonos emitidos según su año de vencimiento para
cada una de las empresas respecto a sus cuentas financieras.
Tabla 2-. Porcentaje que representa la deuda sobre las cuentas financieras principales.
RELACIÓN DE LA DEUDA CON CUENTAS FINANCIERAS 2008
Activo Total Activo
Circulante Pasivo Total Pasivo
Circulante AMX 1.61% 6.30% 2.66% 5.15% ARCA 8.26% 28.91% 30.01% 90.61% BIMBO 7.08% 30.88% 18.11% 32.76%
57
CEMEX 0.72% 4.64% 1.19% 1.93% FEMSA 2.26% 13.01% 5.16% 16.37% GEO 2.65% 3.53% 4.82% 7.68% TELEVISA 59.11% 111.01% 104.79% 654.90% URBI 4.52% 4.70% 8.97% 19.75%
2009
Activo Total Activo
Circulante Pasivo Total Pasivo
Circulante AMX 0.74% 2.90% 1.22% 2.37% BIMBO 4.71% 20.53% 12.04% 21.78% CEMEX 1.08% 6.99% 1.79% 2.90% FEMSA 2.42% 13.90% 5.51% 17.49% GEO 3.88% 5.17% 7.05% 11.24%
2010
Activo Total Activo
Circulante Pasivo Total Pasivo
Circulante AMX 1.32% 5.17% 2.18% 4.22% ARCA 13.80% 48.27% 50.11% 151.29% BANORTE 1.80% 9.88% 2.04% 4.80% CEMEX 0.74% 4.78% 1.22% 1.99% KIMBERLY 15.82% 46.11% 25.14% 51.17% TELEVISA 12.91% 24.24% 22.89% 143.03% URBI 14.56% 15.16% 28.90% 63.66%
Elaboración propia. Relación que tiene la deuda de los bonos corporativos cada año de vencimiento para cada empresa con sus respectivas razones financieras. En otras palabras que porcentaje de la razón financiera representa la deuda de los bonos.
Se observa que solo la deuda de bono por parte de Televisa en el año 2008 representa un porcentaje
alarmante con el 59% respecto a su activo total. Para el año 2009 ninguna es muy significativa. Y para
el año 2010 Arca, Kimberly, Televisa y Urbi están entre el 12% y el 16%. Lo que respecta al porcentaje
sobre el pasivo total, vuelve a ocurrir lo mismo con Televisa en 2008 al ser demasiado grande, seguido
por ARCA con un 30%. Y para el 2010 el caso de Arca de nuevo con un 50%, es decir, la deuda en
bonos con vencimiento en 2010 representa la mitad de los pasivos totales.
Modelo de Merton con Brownianos Tradicionales
Se realizó el cálculo de la probabilidad de incumplimiento con el modelo de Merton tradicional. Se
calcula con los tres diferentes métodos de volatilidad (explicados en Capítulo IV).
58
Probabilidad con brownianos tradicionales
La probabilidad de incumplimiento con el modelo de Merton tradicional necesita variables como el
valor de la empresa, el monto de la deuda en el vencimiento, la tasa y la volatilidad, en este caso de los
activos. Una vez que se tienen las diferentes volatilidades, se calcula la probabilidad de incumplimiento
para cada uno de estos métodos de volatilidad. Para cada año (del 2008 al 2010) se suman los bonos
con vencimiento en ese año y esa cantidad representa la deuda de la empresa, se establece el
vencimiento al final del año para todos los casos con el fin de que el análisis sea comparable. La deuda
se mueve de plazo con la sencilla fórmula de interés simple.
Tabla 3-. Probabilidades de incumplimiento por modelo de Merton con Brownianos Tradicionales.
Probabilidad de Incumplimiento con Brownianos Tradicionales 2008
r = 7.68% Vt D Probabilidad de Incumplimiento VOL HIST ARMA GARCH
AMX $ 332,443,292 $ 5,355,027 0.0002% 0.0000% 0.0000% ARCA $ 16,705,269 $ 1,531,852 0.0470% 0.0004% 0.0000% BIMBO $ 41,482,285 $ 2,938,775 0.0014% 0.0021% 0.0000% CEMEX $ 484,731,600 $ 3,471,394 0.0000% 0.0000% 0.0000% FEMSA $ 77,458,168 $ 1,750,274 0.0000% 0.0046% 0.0000% GEO $ 17,692,924 $ 469,228 0.0000% 0.0000% 0.0000% TELEVISA $ 77,803,320 $ 51,033,572 20.6495% 18.3370% 4.6389% URBI $ 18,295,891 $ 826,423 0.0000% 0.0003% 0.0006%
2009
r = 5.42% Vt D Probabilidad de Incumplimiento VOL HIST ARMA GARCH
AMX $ 332,443,292 $ 2,467,624 1.1384% 0.0163% 0.0000% BIMBO $ 41,482,285 $ 1,953,727 3.5236% 0.9249% 0.0006% CEMEX $ 484,731,600 $ 5,224,279 0.0003% 0.0130% 0.0000% FEMSA $ 77,458,168 $ 1,870,706 0.0000% 10.0790% 0.0150% GEO $ 17,692,924 $ 686,598 0.0000% 0.0008% 0.0002%
2010
r = 4.4% Vt D Probabilidad de Incumplimiento VOL HIST ARMA GARCH
AMX $ 332,443,292 $ 4,392,365 7.2553% 0.5613% 0.0094% ARCA $ 16,705,269 $ 2,938,390 0.3394% 4.0904% 1.6296% BANORTE $ 261,204,948 $ 4,692,258 0.4305% 1.0951% 0.0000%
59
CEMEX $ 484,731,600 $ 3,576,867 0.0002% 0.0695% 0.0000% KIMBERLY $ 21,656,917 $ 4,367,768 0.4142% 3.1477% 0.0000% TELEVISA $ 77,803,320 $ 13,144,321 1.4969% 2.8830% 0.0120% URBI $ 18,295,891 $ 2,663,611 0.3886% 3.1850% 4.0477%
Elaboración propia. Se entiende por Vt el valor de la empresa o activos totales, D como la deuda de los bonos y r como la tasa de interés. Se obtiene la probabilidad de incumplimiento con la volatilidad histórica, el proceso ARMA y el proceso GARCH.
Podemos observar como con las diferentes volatilidades se generan diferentes probabilidades de
incumplimiento, esto se debe a que la fórmula del modelo de Merton es muy sensible a la varianza.
Aunque se esperaba obtener una probabilidad de incumplimiento mayor para el caso de Cemex, esto no
ocurre, se puede deber a que la deuda no representa una cantidad muy elevada sobre sus activos y
además de que creó un plan de refinanciamiento30.
Se observa como la probabilidad de incumplimiento es mayor para el caso de la volatilidad histórica y
para el proceso ARMA en la mayoría de los casos. Es importante recordar que cada método de
volatilidad se calcula de manera diferente; la volatilidad histórica asigna ponderaciones fijas, el proceso
ARMA permite la estructura intertemporal y optimiza el efecto clustering, y el proceso GARCH
modela diferentes características de la distribución de rendimientos. Se selecciono el mejor proceso de
ARMA y GARCH para cada empresa en cada año, los criterios fueron coeficientes significativos,
varianza mínima, errores como ruido blanco y el criterio Akaike.
Para el 2008 Televisa fue la empresa que arrojó probabilidad de incumplimiento alarmante, para el
2009 todos tienen buenos resultados a excepción de FEMSA con el modelo ARMA. Y para el 2010
todas se mantienen por debajo del 8% de probabilidad de incumplimiento.
En el Anexo 3 se incluye la tabla completa con los valores de las varianzas, desviaciones estándar y
cálculo de d1 y d2 para cada uno de los métodos de volatilidad utilizados.
30 Cemex crea en diciembre del 2008 su plan de refinanciamiento, él cual logra con cinco bancos, en enero del 2009, para extender su vencimiento un año más.
60
Sensibilidad del modelo al tiempo
Se realiza un ejercicio con la deuda de Televisa con vencimiento en 2008, ya que este caso fue el que
arrojó resultados de probabilidad de incumplimiento más altos. La idea es ir corriendo el tiempo desde
el 2007 hasta llegar al vencimiento de la deuda en 2008. Se utiliza la volatilidad histórica debido a que
fue la más alta.
Gráfica 6-. Probabilidad de incumplimiento de Televisa en el año 2008.
Elaboración propia.
Se tomó la deuda y se corre hasta el vencimiento en diciembre del 2008, el valor de la empresa fue
cambiando según el valor en libros de activo total para cada trimestre. En este caso la probabilidad de
incumplimiento fue bajando debido a que Televisa tuvo un crecimiento significativo en sus activos
totales, lo cual hacia más posible cubrir su deuda. Si se deja el activo fijo se obtiene un incremento en
la probabilidad de incumplimiento debido a que el tiempo para cubrir la deuda es menor.
Sensibilidad del modelo a la deuda
Se realiza un ejercicio parecido pero ahora se supone el caso en el que la deuda aumenta para ver que
tan sensible es el modelo a la deuda establecida. Se selecciona el caso de Televisa ya que es el extremo.
0.00%
5.00%
10.00%
15.00%
20.00%
25.00%
jun-
07
jul-0
7 ag
o-07
se
p-07
oc
t-07
nov-
07
dic-
07
ene-
08
feb-
08
mar
-08
abr-0
8 m
ay-0
8 ju
n-08
ju
l-08
ago-
08
sep-
08
61
Se aumenta la deuda como porcentaje del activo total, se obtiene que cuando mayor es la deuda, mayor
es la probabilidad de incumplimiento dejando fijo el activo total.
En la Gráfica 7 se puede observar como va aumenta la probabilidad de incumplimiento, el eje de las
Y’s es el porcentaje que representa la deuda sobre el activo total y el eje de las X’s es la probabilidad
de incumplimiento.
Es importante tener en consideración que deudas muy pequeñas no son relevantes debido a que el
modelo es muy sensible al monto de deuda.
Gráfica 7-. Probabilidad de Incumplimiento según porcentaje de Deuda sobre Activo Total.
Elaboración propia. El eje de las Y’s es el porcentaje que representa la deuda sobre el activo total; el eje de las X’s es la probabilidad de
incumplimiento.
Modelo de Merton con Brownianos Fraccionales
Ahora se obtendrá la probabilidad de incumplimiento por el modelo de Merton utilizando brownianos
fraccionales. Antes de obtener la probabilidad es necesario obtener el coeficiente de Hurst para poder
utilizar el modelo, dicho coeficiente señala las características de persistencia de las series. Ya que se
obtenga el coeficiente, se probará su significancia y después se realiza el cálculo de la probabilidad de
incumplimiento con las diferentes volatilidades.
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%
100%
15.41% 19.20% 23.19% 27.31% 31.49% 35.65%
Probabilidad de Incumplimiento segun Deuda
62
Coeficiente Hurst
Para calcular el modelo con brownianos fraccionales se tuvo que obtener el coeficiente de Hurst
mediante el proceso de rango escalado presentado en el Capítulo IV. De igual manera se calcula si
dicho exponente es significativo. Recordemos que la hipótesis nula es independencia.
La Tabla 4 muestra la prueba de hipótesis del coeficiente de Hurst para probar su significancia.
Tabla 4-. Prueba de hipótesis para el coeficiente de Hurst.
T n H E(H) DES STD (H) H-E(H)/DSTD(H) H0
AMX 2008 30 6 0.6740 0.6762 0.1826 -0.0122 ACEPTO 2009 36 7 0.5409 0.6762 0.1667 -0.8119 ACEPTO 2010 40 6 0.5877 0.6762 0.1581 -0.5600 ACEPTO
ARCA 2008 24 6 0.5848 0.6762 0.2041 -0.4479 ACEPTO 2010 30 6 0.5145 0.6762 0.1826 -0.8859 ACEPTO
BANORTE 2010 42 6 0.6350 0.6762 0.1543 -0.2668 ACEPTO
BIMBO 2008 30 6 0.6737 0.6762 0.1826 -0.0136 ACEPTO 2009 36 7 0.6846 0.6762 0.1667 0.0504 ACEPTO
CEMEX 2008 30 6 0.6513 0.6762 0.1826 -0.1367 ACEPTO 2009 36 7 0.6135 0.6762 0.1667 -0.3764 ACEPTO 2010 42 6 0.6442 0.6762 0.1543 -0.2072 ACEPTO
FEMSA 2008 30 6 0.5799 0.6762 0.1826 -0.5275 ACEPTO 2009 36 7 0.5772 0.6762 0.1667 -0.5939 ACEPTO
GEO 2008 30 6 0.6637 0.6762 0.1826 -0.0684 ACEPTO 2009 36 7 0.5687 0.6762 0.1667 -0.6450 ACEPTO
KIMBERLY 2010 42 6 0.5878 0.6762 0.1543 -0.573143746 ACEPTO
TELEVISA 2008 30 6 0.5947 0.6762 0.1826 -0.446191227 ACEPTO 2010 42 6 0.5375 0.6762 0.1543 -0.899086119 ACEPTO
URBI 2008 30 6 0.6044 0.6762 0.1826 -0.393122388 ACEPTO
63
2010 40 6 0.6117 0.6762 0.1581 -0.408136204 ACEPTO Elaboración propia. Siendo T el número de observaciones de la serie, n las observaciones del rango escalado, H el coeficiente obtenido, E(H) el esperado de Hurst, DesStd(H) la desviación estándar, después H-E(H)/DSTD(H) es el cálculo y H0 (Browniano tradicional) señala si la hipótesis nula es aceptada o rechazada. Los valores esperados de Hurst se presentan en el Anexo 4.
Al no poder rechazar H0 aunque los coeficientes son mayores a 0.50 no se puede decir con certeza que
las series tienen características de persistencia debido a que no superan la prueba de significancia. Este
problema se puede deber al número de la muestra ya que son menos de 10 observaciones, se sugiere un
número mayor a 10 observaciones, y se podría afirmar que los resultados son certeros. Este es un
inconveniente con la información, dado a que ya se obtuvo el coeficiente se calculara el modelo de
Merton fraccional.
Probabilidad con Brownianos Fraccionales
Ya que se obtiene el coeficiente de Hurst se ingresa a la fórmula del modelo de Merton fraccional y se
obtiene la probabilidad que arrojaría si los coeficientes de Hurst llegarán a ser persistentes.
Se sigue básicamente el mismo procedimiento que con el modelo tradicional y se obtiene la
probabilidad de incumplimiento para cada una de las empresas en los años de vencimiento con las tres
volatilidades diferentes.
Tabla 5-. Probabilidades de incumplimiento por modelo de Merton con Brownianos Fraccionales.
Probabilidad de Incumplimiento con Brownianos Fraccionales 2008
r = 7.68% Vt D Probabilidad de Incumplimiento VOL HIST ARMA GARCH
AMX $ 332,443,292 $ 5,355,027 0.0008% 0.0000% 0.0000% ARCA $ 16,705,269 $ 1,531,852 0.0725% 0.0008% 0.0000% BIMBO $ 41,482,285 $ 2,938,775 0.0052% 0.0074% 0.0000% CEMEX $ 484,731,600 $ 3,471,394 0.0000% 0.0002% 0.0000% FEMSA $ 77,458,168 $ 1,750,274 0.0000% 0.0081% 0.0000% GEO $ 17,692,924 $ 469,228 0.0000% 0.0000% 0.0000% TELEVISA $ 77,803,320 $ 51,033,572 21.8874% 19.5552% 5.3581% URBI $ 18,295,891 $ 826,423 0.0000% 0.0008% 0.0014%
64
2009
r = 5.42% Vt D Probabilidad de Incumplimiento VOL HIST ARMA GARCH
AMX $ 332,443,292 $ 2,467,624 1.5305% 0.0291% 0.0000% BIMBO $ 41,482,285 $ 1,953,727 7.9018% 2.9076% 0.0142% CEMEX $ 484,731,600 $ 5,224,279 0.0027% 0.0607% 0.0000% FEMSA $ 77,458,168 $ 1,870,706 0.0000% 13.1403% 0.0425% GEO $ 17,692,924 $ 686,598 0.0000% 0.0028% 0.0006%
2010
r = 4.4% Vt D Probabilidad de Incumplimiento VOL HIST ARMA GARCH
AMX $ 332,443,292 $ 4,392,365 11.6613% 1.4103% 0.0499% ARCA $ 16,705,269 $ 2,938,390 0.3880% 4.3881% 1.7887% BANORTE $ 261,204,948 $ 4,692,258 1.7479% 3.4873% 0.0000% CEMEX $ 484,731,600 $ 3,576,867 0.0081% 0.5383% 0.0001% KIMBERLY $ 21,656,917 $ 4,367,768 0.9854% 5.2552% 0.0000% TELEVISA $ 77,803,320 $ 13,144,321 2.0037% 3.6672% 0.0239% URBI $ 18,295,891 $ 2,663,611 1.1747% 6.1089% 7.3865%
Elaboración propia. Se entiende por Vt el valor de la empresa o activos totales, D como la deuda de los bonos y r como la tasa de interés. Se obtiene la probabilidad de incumplimiento con la volatilidad histórica, el proceso ARMA y el proceso GARCH.
De nuevo se observa que la fórmula es sensible a la varianza y que por esto se obtienen probabilidades
diferentes. Los coeficientes obtenidos no son mucho mayores a 0.50 por lo que la probabilidad de
incumplimiento no cambia drásticamente pero existe un aumento.
La persistencia en los activos significa que estos tienen memoria, se esperaba que los activos
estudiados contaran con esta propiedad, aún cuando los resultados de los coeficientes de Hurst son
mayores a 0.5 no fue posible garantizar este resultado .
Al comparar los resultados de la probabilidad de incumplimiento entre el modelo de Merton tradicional
y el modelo de Merton fraccional, se observa un incremento en la probabilidad por parte del modelo
fraccional. Esto podría llegar a indicar que el modelo tradicional subestima la probabilidad de
incumplimiento y que el modelo de Merton fraccional logra una mejor estimación que hubiera sido útil
en el período de crisis.
65
En el Anexo 5 se presentan las tablas completas con los valores de varianza, desviación estándar y
calculo de d1 y d2 para el modelo de Merton fraccional.
Sensibilidad del modelo ante el coeficiente de Hurst
Se realiza un ejercicio para ver que tan sensible es el modelo de Merton Fraccional ante el coeficiente
de Hurst. Se toma el caso de Urbi con su deuda en 2010, ya que es uno de los casos en los que el
incremento de la probabilidad es mayor entre modelo tradicional y fraccional. La idea es ir aumentando
el coeficiente de Hurst, la volatilidad utilizada para el cálculo es la de GARCH, debido a que arrojo la
probabilidad más grande.
La Gráfica 8 muestra como al aumentar el coeficiente de Hurst, es decir, la medida de persistencia de la
serie, la probabilidad de incumplimiento aumenta. Entre mayor sea la persistencia mayor será la
probabilidad de incumplimiento. El eje de las Y’s indica el valor del coeficiente de Hurst y el eje de las
X’s indica la probabilidad de incumplimiento obtenida. Cabe mencionar que la relación Activo-Pasivo
para Urbi desde finales del 2008 tiende a disminuir, esto indica que sus pasivos aumentaron en
comparación a sus activos, por lo que su capacidad de pago disminuye; al aumentar el grado de
dependencia con el coeficiente de Hurst y con la perdida de capacidad de pago por parte de la empresa,
da como resultado un incremento en la probabilidad de incumplimiento.
Gráfica 8-. Probabilidad de Incumplimiento con cambios en el coeficiente de Hurst
Elaboración propia. El eje de las Y’s es el valor del coeficiente de Hurst y el eje de las X’s es la probabilidad de incumplimiento obtenida.
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
7.39% 10.89% 13.18% 15.69% 18.39% 21.25%
Prob de
66
Modelo Altman
Como parte del backtesting se realiza el cálculo de la probabilidad de incumplimiento por el modelo de
Altman, esto con el fin de comparar resultados con el modelo de Merton. Para desarrollar este modelo
se debe de obtener el Z-score, presentado en el Capítulo V, para la empresas en los años 2008, 2009 y
2010.
Tabla 6-. Probabilidad de incumplimiento por el modelo de Altman.
Índice Z-Score de Altman
Jun-10 Jun-09 Jun-08
AMX 3.39 3.87 4.57
Arca 5.31 4.65 6.84
Banorte 0.17 0.14 0.32
Bimbo 3.49 2.60 5.15
Cemex 1.12 0.81 1.28
Femsa 4.35 2.63 2.96
Geo 2.26 2.54 3.07
Kimberly 4.67 3.20 3.61
Televisa 2.64 2.68 2.91
Urbi 2.74 3.02 4.19
Elaboración propia. Metodología en Capítulo V.
Recordando que un Z-Score menor a 1.1 indica probabilidad de quiebra, entre 1.2 y 2.6 probabilidad de
quiebra posible y mayor a 2.7 probabilidad baja de quiebra. Este modelo le pronostica a Cemex en
2008 un índice alto de quiebra y es hasta el 2010 cuando su probabilidad mejora pasando ha ser solo
posible. Banorte también tiene índices bajos de Z-score, pero esto se puede deber a su estructura
financiera. Las demás empresas mantienen índices normales que no indican quiebra. La empresa que
67
arroja mejores resultados es la empresa ARCA con índices de Z-Score mayores a las demás,
posicionándose en una zona segura.
Las discrepancias entre el modelo de Altman y el de Merton son: en el 2008 Televisa, Merton indica
una probabilidad alta de incumplimiento y Altman indica una probabilidad baja de quiebra; lo mismo
sucede con Bimbo y Cemex en el 2009; y con Urbi en 2010 aunque en menor medida.
Pronóstico de Incumplimiento para 2013
Se realiza el cálculo de la probabilidad de incumpliendo para la empresas que tienen bonos con
vencimiento en 2013, solo fueron cuatro, América Móvil, Geo, Femsa y Kimberly. Se sigue el mismo
procedimiento que en el período de backtesting; primero se obtiene la probabilidad de incumplimiento
por el modelo de Merton tradicional y después el modelo de Merton con brownianos fraccionales, cada
uno con los tres tipos de volatilidades.
La siguiente tabla muestra el porcentaje que representa la deuda de bonos sobre las razones financieras
principales de cada empresa.
Tabla 7-. Porcentaje de la deuda sobre las cuentas financieras principales.
RELACION DE LA DEUDA CON CUENTAS FINANCIERAS 2013
Activo Total Activo
Circulante Pasivo Total Pasivo
Circulante AMX 2.84% 12.81% 9.75% 16.75% GEO 0.72% 1.44% 0.95% 1.71% FEMSA 2.16% 9.73% 7.41% 12.73% KIMBERLY 10.33% 26.31% 12.90% 31.32%
Elaboración propia. Relación que tiene la deuda de los bonos corporativos con vencimiento 2013 para cada empresa con sus respectivas razones financieras. En otras palabras que porcentaje de la razón financiera representa la deuda de los bonos.
68
De las cuatro empresas solo el caso de Kimberly tiene una deuda de bonos que representa un porcentaje
importante sobre sus activos y pasivos para el año 2013, siendo su deuda en bonos el 10% de sus
activos totales, el 26% de su pasivo total y el 31% de su pasivo corriente.
Modelo de Merton con Brownianos Tradicionales
Se sigue el mismo procedimiento que en el período de backtesting. Estas empresas tienen un bono con
vencimiento en el 2013, para facilitar el análisis y hacerlo compatible, se establece la deuda con
vencimiento al final del año con la ayuda de la formula de interés simple. Se tiene la información
necesaria sobre los estados financieros de la empresa y sobre la volatilidad.
Probabilidad con brownianos tradicionales
Se calcula la probabilidad de incumplimiento por el modelo de Merton tradicional para cada una de
estas empresas con los tres métodos de volatilidad utilizados, resultados en la siguiente tabla:
Tabla 8-. Probabilidades de incumplimiento por modelo de Merton con Brownianos Tradicionales.
Probabilidad de Incumplimiento con Brownianos Tradicionales 2013
r = 4.39% Vt D Probabilidad de Incumplimiento VOL HIST ARMA GARCH
AMX $ 255,796,491 $ 7,275,528 5.8483% 0.1617% 0.0035% GEO $ 42,070,785 $ 301,465 0.0000% 0.0000% 0.0000% FEMSA $ 255,796,491 $ 5,527,609 0.0003% 3.3253% 0.0007% KIMBERLY $ 29,017,440 $ 2,996,145 0.0000% 0.0231% 0.0000%
Elaboración propia. Se entiende por Vt el valor de la empresa o activos totales, D como la deuda de los bonos y r como la tasa de interés. Se obtiene la probabilidad de incumplimiento con la volatilidad histórica, el proceso ARMA y el proceso GARCH.
Como se observa se obtienen diferentes resultados entre las diferentes volatilidades, esto debido a la
sensibilidad de la fórmula sobre la volatilidad. América Móvil obtiene la probabilidad de
incumplimiento mayor bajo el método de volatilidad histórica. Ningún resultado es alarmante.
69
Modelo de Merton con Brownianos Fraccionales
Para obtener la probabilidad de incumplimiento por el modelo fraccional se debe de obtener el
coeficiente de Hurst y probar su significancia.
Coeficiente Hurst
El coeficiente o exponente de Hurst se obtiene mediante el proceso de Rango Escalado, ya que se
cuenta con el exponente se realiza una prueba de hipótesis (la hipótesis nula es H=0.5, lo que señala
características de independencia) para probar su significancia. La siguiente tabla muestra los resultados
y la prueba de hipótesis:
Tabla 9-. Prueba de hipótesis para el coeficiente de Hurst para pronóstico.
T n H E(H) DES STD (H)
H-E(H)/DSTD(H) H0
AMX 2013 48 8 0.5425 0.6762 0.1443 -0.9264 ACEPTO
FEMSA 2013 48 8 0.6633 0.6762 0.1443 -0.0892 ACEPTO
GEO 2013 48 8 0.5935 0.6762 0.1443 -0.5728 ACEPTO
KIMBERLY 2013 48 8 0.5135 0.6762 0.1443 -1.127318432 ACEPTO
Elaboración propia. Siendo T el número de observaciones de la serie, n las observaciones del rango escalado, H el coeficiente obtenido, E(H) el esperado de Hurst, DesStd(H) la desviación estándar, después H-E(H)/DSTD(H) es el cálculo y H0 (Browniano tradicional) señala si la hipótesis nula es aceptada o rechazada.
Aún cuando los coeficientes obtenidos son mayores a 0.5 no se puede probar su significancia, esto es
un problema con los datos porque es recomendable una muestra mayor a 10 observaciones en el rango
escalado. Aunque no pasaron la prueba de hipótesis se utilizaran estos coeficiente obtenidos para el
modelo fraccional.
70
Probabilidad con Brownianos Fraccionales
Ya que se cuenta con el coeficiente de Hurst de cada empresa, se calcula la probabilidad de
incumplimiento con los tres métodos de volatilidad.
Tabla 10-. Probabilidades de incumplimiento por modelo de Merton con Brownianos Fraccionales.
Probabilidad de Incumplimiento con Brownianos Fraccionales 2013
r = 4.39% Vt D Probabilidad de Incumplimiento VOL HIST ARMA GARCH
AMX $ 255,796,491 $ 7,275,528 6.5355% 0.2096% 0.0054% GEO $ 42,070,785 $ 301,465 0.0000% 0.0000% 0.0000% FEMSA $ 255,796,491 $ 5,527,609 0.0023% 5.4458% 0.0044% KIMBERLY $ 29,017,440 $ 2,996,145 0.0000% 0.0257% 0.0000%
Elaboración propia. Se entiende por Vt el valor de la empresa o activos totales, D como la deuda de los bonos y r como la tasa de interés. Se obtiene la probabilidad de incumplimiento con la volatilidad histórica, el proceso ARMA y el proceso GARCH.
De nuevo tenemos que la probabilidad de incumplimiento varía en la misma empresa en el mismo año
debido a las diferentes formas de calcular la volatilidad, esto por la sensibilidad que tiene la fórmula
ante la volatilidad. Ninguna de estas 4 empresas tiene probabilidad de incumplimiento significativa
para el año 2013, se vuelve a tener América Móvil con la probabilidad de incumplimiento más alta.
Estos resultados coinciden con las calificaciones por parte de Standard & Poors y Fitch para las
empresas en febrero del 2012 presentadas en la Tabla 1.
Los resultados entre el modelo tradicional y modelo fraccional discrepan un poco, el modelo fraccional
obtiene probabilidades ligeramente mayores. Que la diferencia entre modelos sea pequeña se puede
deber a que los coeficientes de Hurst obtenidos no son muy grandes, recordando que H=0.5 es el
movimiento browniano tradicional. Aunque la diferencia sea poca se podría afirmar que el modelo
tradicional subestima la probabilidad de incumplimiento y esto indicaría que el modelo fraccional
genera mejores estimaciones.
71
En el Anexo 3 se presentan las tablas completas con los valores de varianza, desviación estándar, d1 y
d2 para el caso de Merton tradicional, y en el Anexo 5 para el caso de Merton fraccional.
Síntesis del capítulo
Este capítulo presenta los resultados obtenidos en el análisis empírico del modelo de Merton tradicional
y en la aportación de la versión fraccional. Dicho análisis se divide en dos: un backtesting que incluye
los años del 2007 al 2010 y un pronóstico del año 2013. Además de incluir resultados del modelo de
Altman para el backtesting.
El backtesting incluye las 10 empresas analizadas, como resultados sobresalientes obtenemos que las
diferentes formas de medir la volatilidad generan diferentes probabilidades de incumplimiento, esto
debido a que la fórmula del modelo de Merton es muy sensible a la varianza.
Además se analiza la sensibilidad del modelo de Merton al tiempo y al monto de la deuda. De la
sensibilidad al tiempo podemos decir que también depende de la tendencia de los activos en el plazo
del análisis, pero suponiendo que los activos quedaran fijos se obtiene un incremento en la probabilidad
de incumplimiento debido a que el tiempo para cubrir la deuda es menor. De la sensibilidad a la deuda
se tiene que deudas muy pequeñas no generan resultados relevantes.
Al momento de calcular el coeficiente de Hurst no se pudo rechazar la hipótesis nula aún cuando los
valores son mayores a 0.50; este problema se debe a los datos, se sugiere un número mayor a 10
observaciones en el proceso del rango escalado. Aunque el coeficiente de Hurst es no significativo se
emplea en el modelo de Merton fraccional como ejercicio.
72
Al comparar los resultados de la probabilidad de incumplimiento entre el modelo de Merton tradicional
y el modelo de Merton fraccional se obtiene un incremento en la probabilidad de incumplimiento por
parte del modelo fraccional. Esto podría llegar a indicar que el modelo tradicional subestima la
probabilidad de incumplimiento y que el modelo de Merton fraccional logra una mejor estimación, lo
cual hubiera sido útil en el período de crisis.
De igual forma se analiza la sensibilidad del modelo ante el coeficiente de Hurst y se obtiene que entre
mayor sea la persistencia de la serie (H más grande) mayor será la probabilidad de incumplimiento.
Las diferencias entre los resultados del modelo de Altman y del de Merton no son muchas, Altman a
diferencia de Merton si da un índice alto de quiebra a Cemex para los años 2008 y 2009. Otra caso es el
de Banorte, Altman le otorga probabilidades de quiebra alta y el modelo de Merton no genera
probabilidades de incumplimiento alarmantes. Es importante recordar que el modelo de Merton es de
forma estructural y el de Altman es tradicional. Con las excepciones mencionadas, los modelos
coinciden en el análisis del resto de las empresas.
En el pronóstico realizado a las cuatro empresas (América Móvil, Geo, Femsa y Kimberly) que tenían
bonos con vencimiento en 2013, se vuelve ha tener que los resultados entre el modelo tradicional y
modelo fraccional discrepan un poco, dado que el modelo fraccional obtiene probabilidades de
incumplimiento mayores. Además de que ninguna de las cuatro empresas tiene probabilidad de
incumplimiento significativa para el año 2013 y estos resultados coinciden con las calificaciones por
parte de Standard & Poors y Fitch para las empresas en febrero del 2012, por lo que se puede afirmar
que el modelo de Merton genera buenas estimaciones.
73
CAPÍTULO VII. CONCLUSIONES
Las crisis financieras anteriores y la especulación que se genera alrededor de la bolsa ha puesto en
evidencia la deficiencia en cuanto a la capacidad que tienen los modelos para evaluar o predecir sobre
el sistema financiero, es por ello que la meta principal de este trabajo era analizar el modelo de Merton
tradicional y aportar una inclusión del movimiento browniano fractal al modelo, además de realizar un
análisis empírico para evaluar ambos.
Este trabajo se inicia dando un marco legal acerca del riesgo de crédito, con la finalidad de dar a
conocer los diferentes modelos de probabilidad de incumplimiento. Se definió el riesgo de crédito
como la pérdida potencial que se origina por motivos de incumplimiento.
El modelo de Merton está dentro de los modelos de forma estructural, los cuales suponen que existe
información perfecta; el modelo de Merton es base para los modelos KMV Moody’s y Geske, con la
diferencia de que KMV Moody’s establece un umbral y el Geske considera una opción compuesta con
vencimientos en el corto y largo plazo.
El modelo Black–Scholes original fue creado para valuar opciones europeas que no pagan dividendos,
pero Merton modifica el modelo para valuar empresas y su capacidad de pago. Merton supone que las
deudas corporativas se puede tratar como contratos de opciones y así valuar la capacidad de pago de las
empresas.
También se presento el movimiento browniano tradicional y el fraccional, la diferencia entre ellos, es
que el segundo incorpora características de persistencia propias de las serias.
Para el análisis del modelo, se considera la volatilidad como la forma de considerar la varianza de los
rendimientos de activos financieros. Se emplean tres métodos distintos para medirla utilizados en el
modelo: la volatilidad histórica, el proceso ARMA y el proceso GARCH. La volatilidad histórica al ser
una medida estadística del movimiento pasado con ponderaciones fijas se ve opacada por el proceso
74
ARMA, el cual determina las ponderaciones mediante un mecanismo estadístico, con lo que logra
disminuir el efecto clustering, además de que permite estimar la estructura intertemporal de la
volatilidad. El proceso GARCH se caracteriza por la acumulación de la volatilidad, supone que la
varianza cambia a través del tiempo. La diferencia entre ARMA y GARCH es que el primero estima
con base a rendimientos observados y el segundo con rendimientos esperados, por lo que GARCH
disminuyendo el efecto de apalancamiento.
Además se presento el exponente de Hurst (H), el cual tiene como función distinguir entre series
tradicionales y fractales, en otras palabras medir la persistencia en la serie. H es sensible al tamaño de
la muestra y al momento de medición. Dicho exponente es indispensable para el modelo fractal.
El modelo de Merton supone información perfecta en el mercado por parte de los inversionistas, con la
aportación se introducen características de persistencia que buscaban mejorar las estimaciones. La
aportación del modelo de Merton fractal se logra gracias al desarrollo de la fórmula de valuación de
opciones Black-Scholes fractal por Sierra (2006). La adaptación fractal es un proceso más general ya
que incluye al tradicional al asignar al exponente Hurst (𝐻) un valor de 0.5.
La muestra se conformó por 10 de las 35 empresas mexicanas que conforman el IPC, las cuales emiten
bonos corporativos no perpetuos con vencimiento fijo. El análisis empírico está dividido en dos
períodos; el primero es un backtesting del 2007 al 2010; y el otro es el pronóstico del año 2013.
Además se utilizó la volatilidad de los activo debido a que la volatilidad del precio de las acciones y la
volatilidad de los activos no tiene una relación directa como tal, y la de los activos es más estable.
Los resultados muestran que en el backtesting se obtiene que las diferentes formas de medir la
volatilidad generan diferentes probabilidades de incumplimiento, esto debido a que la fórmula del
modelo de Merton es muy sensible a la varianza.
75
La sensibilidad del modelo al tiempo depende de la tendencia de los activos en el plazo del análisis,
pero a menor plazo mayor probabilidad. La sensibilidad del modelo a la deuda indica que con montos
muy pequeños de deuda el modelo es insensible. Los bonos contraídos por las empresas aquí evaluadas
representaban un porcentaje pequeño del activo total, esto puede explicar porque no se presentan
probabilidades altas de incumplimiento. De igual forma se analiza la sensibilidad del modelo ante el
coeficiente de Hurst y se obtiene que entre mayor sea la persistencia de la serie mayor será la
probabilidad de incumplimiento.
Uno de los problemas que se tuvo en el análisis fue que no se pudo comprobar la significancia del
coeficiente de Hurst, esto se debe a los datos, ya que se sugiere un número mayor a 10 observaciones
en el proceso del rango escalado.
Al comparar los resultados de la probabilidad de incumplimiento entre el modelo de Merton tradicional
y el modelo de Merton fraccional se obtiene un incremento en la probabilidad de incumplimiento por
parte del modelo fraccional, lo que podría indicar que el modelo tradicional subestima la probabilidad
de incumplimiento y que el modelo de Merton fraccional logra una mejor estimación.
En general se obtiene que la modificación al modelo de Merton por medio de los brownianos
fraccionales, la cual engloba las características de persistencia de las series, logró una buena
estimación de la probabilidad de incumplimiento de las empresas.
El modelo de Altman a diferencia de Merton si da un índice alto de quiebra a Cemex para los años
2008 y 2009. Además valúa a Banorte, desde el 2008, con probabilidades de quiebra alta, lo que no
sucede en el modelo de Merton y no cuadra con la realidad. Para las demás empresas ambos modelos
manejan una valuación similar.
76
En el pronóstico para el 2013 se encontró que las cuatro empresas analizadas no arrojan probabilidad
de incumplimiento significativa, esto coincide con la valuación de Standard & Poors y Fitch de esta
año (2012), por lo que se puede afirmar que el modelo de Merton genera buenas estimaciones.
La mayor limitación del modelo es la obtención de los datos, la información financiera de las empresas
que cotizan en la BMV es pública, pero es difícil obtener la información de períodos pasados.
Como extensiones de esta investigación sobre el modelo de Merton esta el análisis en dos períodos, es
decir un bono con dos fechas de vencimiento, una de corto y otra de largo plazo; el utilizar datos
constantes y por último analizar la volatilidad con el proceso EGARCH, el cual tiene como objetivo
modelar el efecto de apalancamiento e incorporar a la estimación la asimetría de la volatilidad en
condiciones de alza o baja de los mercados; la volatilidad se estima mediante un modelo logarítmico
por lo que no impone restricciones en los parámetros. Y para el caso del modelo de Altman se podría
realizar un futuro estudio que encuentre nuevos coeficientes para la ecuación de Z-Score con el
objetivo de buscar mejores estimaciones.
77
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ANEXOS
ANEXO 1-. Programación VBA para Exponente Hurst.
Public Sub exph()
Dim M As Integer
Dim N As Integer
Dim x, y, r As Integer
Sheet1.Select
M = 2
Do While Cells(M, 2) <> ""
M = M + 1
Loop
M = M - 2
N = M - 1
For AT = 2 To M
Cells(AT, 3) = Application.WorksheetFunction.Ln(Cells(AT + 1, 2) / Cells(AT, 2))
Next AT
f = 2
For x = 2 To Sheet1.Cells(2, 1) - 1
If Sheet1.Cells(2, 1) Mod x = 0 Then
Sheet1.Cells(f, 2) = x
Sheet1.Cells(f, 3) = Sheet1.Cells(2, 1) / x
f = f + 1
End If
Next x
For x = 2 To Sheet1.UsedRange.Rows.Count
84
Hoja1.Range("D2:I10000").Clear
rango1 = Sheet1.Cells(x, 2)
rango2 = Sheet1.Cells(x, 3)
y = 2
For r = 1 To rango1
Hoja1.Cells(y, 4) = "=+AVERAGE(C" & y & ":C" & (rango2 + y - 1) & ")"
Hoja1.Cells(y, 5) = "= C" & y & " - D" & y & ""
Hoja1.Cells(y, 7) = "=(C" & y & " - $D$" & y & ")^2 "
For Z = y + 1 To y + rango2 - 1
Hoja1.Cells(Z, 5) = "= C" & Z & " - $D$" & y & " + E" & Z - 1
Hoja1.Cells(Z, 7) = "= (C" & Z & " - $D$" & y & ")^2 "
Next Z
Hoja1.Cells(y, 6) = "=Max(E" & y & ":E" & (rango2 + y - 1) & ") - Min(E" & y & ":E" & (rango2 + y - 1) & ")"
Hoja1.Cells(y, 8) = "=(AVERAGE(G" & y & ":G" & (rango2 + y - 1) & "))^(1/2)"
If Hoja1.Cells(y, 8).Value = 0 Then
Hoja1.Cells(y, 9) = Hoja1.Cells(y, 6).Value / 1
Else
Hoja1.Cells(y, 9) = Hoja1.Cells(y, 6).Value / Hoja1.Cells(y, 8).Value
End If
y = y + rango2
Next r
Sheet1.Cells(x, 4) = "=+AVERAGE(Hoja1!I:I)"
Sheet1.Cells(x, 4).Select
85
Selection.Copy
Selection.PasteSpecial Paste:=xlPasteValues, Operation:=xlNone, SkipBlanks _
:=False, Transpose:=False
Application.CutCopyMode = False
Next x
Hoja1.Range("C1:I10000").Clear
End Sub
86
ANEXO 2-. Interpretación de las calificaciones de Standard & Poors y Fitch.
CAPACIDAD DE PAGO S&P FITCH
Extremadamente Fuerte mxAAA AAA (mex)
Muy Fuerte mxAA+ AA+ (mex) mxAA AA (mex) mxAA- AA- (mex)
Fuerte mxA+ A+ (mex) mxA A (mex) mxA- A- (mex)
Adecuada mxBBB+ BBB+ (mex) mxBBB BBB (mex) mxBBB- BBB- (mex)
Incertidumbre a circunstancias adversas,
menor vulnerabilidad
mxBB+ BB+ (mex) mxBB BB (mex) mxBB- BB- (mex)
Mayor vulnerabilidad a circunstancias adversas
mxB+ B+ (mex) mxB B (mex) mxB- B- (mex)
Posibilidad de Incumplimiento
mxCCC CCC (mex) mxCC CC (mex)
C(mex)
Incumplimiento mxD D (mex)
*Tabla tomada de Valmer.
87
Calificación de recuperación
S&P
Descripción de la expectativa de recuperación
Rango de la recuperación
(%)
Niveles* (notches) en la calificación
de emisión * 1+ Expectativa más alta de
recuperación total 100 3
1 Recuperación muy alta 90-100 2 2 Recuperación sustancial 70-90 1 3 Recuperación significativa 50-70 0 4 Recuperación promedio 30-50 0 5 Recuperación modesta 10-30 -1 6 Recuperación
insignificante 0-10 -2
*Indica los niveles (notches) de diferencia en la calificación de la emisión respecto de la calificación de riesgo crediticio de emisor de Standard & Poor’s. Tabla de S&P.
TENDENCIA DE LAS CALIFICACIONES
DEFINICIONES DE PERSPECTIVA
Positiva La calificación puede ser subida. Negativa La calificación puede ser bajada. Estable Probablemente la calificación no cambiará.
En desarrollo La calificación puede ser revisada al alza o a la baja.
N.M. No es significativa. *Elaboración propia con información tomada de S&P.
88
ANEXO 3-. Probabilidad de Incumplimiento por el modelo de Brownianos Tradicionales.
VOLATILIDAD HISTÓRICA Probabilidad de Incumplimiento
2008 T-t = 1.5 r = 7.68% Vt D Var DesvStd d1 d2 Prob Inc AMX $ 332,443,292 $ 5,355,027 0.1032 0.3213 5.0460 4.6526 0.0002% ARCA $ 16,705,269 $ 1,531,852 0.0734 0.2710 3.6397 3.3079 0.0470% BIMBO $ 41,482,285 $ 2,938,775 0.0569 0.2385 4.4762 4.1840 0.0014% CEMEX $ 484,731,600 $ 3,471,394 0.1045 0.3233 5.9069 5.5110 0.0000% FEMSA $ 77,458,168 $ 1,750,274 0.0106 0.1028 14.0503 13.9244 0.0000% GEO $ 17,692,924 $ 469,228 0.0027 0.0519 26.6293 26.5657 0.0000% TELEVISA $ 77,803,320 $ 51,033,572 0.0628 0.2506 1.1255 0.8186 20.6495% URBI $ 18,295,891 $ 826,423 0.0415 0.2038 5.9763 5.7268 0.0000%
2009 T-t = 2.5 r = 5.42% Vt D Var DesvStd d1 d2 Prob Inc AMX $ 332,443,292 $ 2,467,624 0.2821 0.5311 3.1171 2.2773 1.1384% BIMBO $ 41,482,285 $ 1,953,727 0.1852 0.4304 2.4894 1.8089 3.5236% CEMEX $ 484,731,600 $ 5,224,279 0.0785 0.2801 4.9695 4.5266 0.0003% FEMSA $ 77,458,168 $ 1,870,706 0.0065 0.0809 13.7636 13.6357 0.0000% GEO $ 17,692,924 $ 686,598 0.0058 0.0761 12.9211 12.8008 0.0000%
2010 T-t = 3.5 r = 4.4% Vt D Var DesvStd d1 d2 Prob Inc AMX $ 332,443,292 $ 4,392,365 0.3035 0.5509 2.4878 1.4570 7.2553% ARCA $ 16,705,269 $ 2,938,390 0.0285 0.1690 3.0231 2.7070 0.3394% BANORTE $ 261,204,948 $ 4,692,258 0.1185 0.3443 3.2713 2.6272 0.4305% CEMEX $ 484,731,600 $ 3,576,867 0.0633 0.2516 5.0921 4.6214 0.0002% KIMBERLY $ 21,656,917 $ 4,367,768 0.0264 0.1626 2.9444 2.6403 0.4142% TELEVISA $ 77,803,320 $ 13,144,321 0.0438 0.2092 2.5623 2.1709 1.4969% URBI $ 18,295,891 $ 2,663,611 0.0349 0.1867 3.0112 2.6618 0.3886%
ARMA Probabilidad de Incumplimiento
2008 T-t = 1.5 r = 7.68% Vt D Var DesvStd d1 d2 Prob Inc AMX $ 332,443,292 $ 5,355,027 0.0523 0.2286 6.9540 6.6740 0.0000% ARCA $ 16,705,269 $ 1,531,852 0.0418 0.2045 4.7271 4.4766 0.0004% BIMBO $ 41,482,285 $ 2,938,775 0.0592 0.2433 4.3934 4.0954 0.0021% CEMEX $ 484,731,600 $ 3,471,394 0.1275 0.3571 5.3869 4.9496 0.0000% FEMSA $ 77,458,168 $ 1,750,274 0.1215 0.3486 4.3382 3.9113 0.0046% GEO $ 17,692,924 $ 469,228 0.0473 0.2174 6.4863 6.2201 0.0000% TELEVISA $ 77,803,320 $ 51,033,572 0.0543 0.2330 1.1880 0.9026 18.3370%
89
URBI $ 18,295,891 $ 826,423 0.0655 0.2558 4.8173 4.5039 0.0003% 2009 T-t = 2.5 r = 5.42%
Vt D Var DesvStd d1 d2 Prob Inc AMX $ 332,443,292 $ 2,467,624 0.1359 0.3687 4.1771 3.5942 0.0163% BIMBO $ 41,482,285 $ 1,953,727 0.1234 0.3513 2.9109 2.3555 0.9249% CEMEX $ 484,731,600 $ 5,224,279 0.1151 0.3393 4.1886 3.6522 0.0130% FEMSA $ 77,458,168 $ 1,870,706 0.3914 0.6256 2.2663 1.2771 10.0790% GEO $ 17,692,924 $ 686,598 0.0475 0.2180 4.6595 4.3149 0.0008%
2010 T-t = 3.5 r = 4.4% Vt D Var DesvStd d1 d2 Prob Inc AMX $ 332,443,292 $ 4,392,365 0.1416 0.3763 3.2396 2.5356 0.5613% ARCA $ 16,705,269 $ 2,938,390 0.0604 0.2457 2.2000 1.7403 4.0904% BANORTE $ 261,204,948 $ 4,692,258 0.1468 0.3831 3.0088 2.2921 1.0951% CEMEX $ 484,731,600 $ 3,576,867 0.1204 0.3470 3.8458 3.1966 0.0695% KIMBERLY $ 21,656,917 $ 4,367,768 0.0483 0.2198 2.2708 1.8595 3.1477% TELEVISA $ 77,803,320 $ 13,144,321 0.0547 0.2339 2.3358 1.8983 2.8830% URBI $ 18,295,891 $ 2,663,611 0.0641 0.2533 2.3281 1.8543 3.1850%
GARCH Probabilidad de Incumplimiento
2008 T-t = 1.5 r = 7.68% Vt D Var DesvStd d1 d2 Prob Inc AMX $ 332,443,292 $ 5,355,027 0.0446 0.2112 7.5073 7.2486 0.0000% ARCA $ 16,705,269 $ 1,531,852 0.0190 0.1378 6.9157 6.7469 0.0000% BIMBO $ 41,482,285 $ 2,938,775 0.0234 0.1529 6.8468 6.6595 0.0000% CEMEX $ 484,731,600 $ 3,471,394 0.0328 0.1811 10.3016 10.0798 0.0000% FEMSA $ 77,458,168 $ 1,750,274 0.0257 0.1604 9.0608 8.8643 0.0000% GEO $ 17,692,924 $ 469,228 0.0390 0.1974 7.1163 6.8745 0.0000% TELEVISA $ 77,803,320 $ 51,033,572 0.0190 0.1380 1.8499 1.6809 4.6389% URBI $ 18,295,891 $ 826,423 0.0690 0.2627 4.7000 4.3782 0.0006%
2009 T-t = 2.5 r = 5.42% Vt D Var DesvStd d1 d2 Prob Inc AMX $ 332,443,292 $ 2,467,624 0.0573 0.2395 6.1715 5.7928 0.0000% BIMBO $ 41,482,285 $ 1,953,727 0.0418 0.2045 4.6858 4.3625 0.0006% CEMEX $ 484,731,600 $ 5,224,279 0.0469 0.2166 6.3108 5.9683 0.0000% FEMSA $ 77,458,168 $ 1,870,706 0.0832 0.2884 4.0711 3.6151 0.0150% GEO $ 17,692,924 $ 686,598 0.0410 0.2026 4.9891 4.6688 0.0002%
2010 T-t = 3.5 r = 4.4% Vt D Var DesvStd d1 d2 Prob Inc AMX $ 332,443,292 $ 4,392,365 0.0742 0.2723 4.2454 3.7359 0.0094% ARCA $ 16,705,269 $ 2,938,390 0.0431 0.2076 2.5256 2.1371 1.6296% BANORTE $ 261,204,948 $ 4,692,258 0.0235 0.1532 6.7731 6.4865 0.0000% CEMEX $ 484,731,600 $ 3,576,867 0.0398 0.1995 6.3111 5.9378 0.0000%
90
KIMBERLY $ 21,656,917 $ 4,367,768 0.0029 0.0538 8.4915 8.3908 0.0000% TELEVISA $ 77,803,320 $ 13,144,321 0.0170 0.1305 3.9166 3.6725 0.0120% URBI $ 18,295,891 $ 2,663,611 0.0706 0.2657 2.2422 1.7452 4.0477%
VOLATILIDAD HISTÓRICA Probabilidad de Incumplimiento
2013 T-t = 1.75 r = 4.39% Vt D Var DesvStd d1 d2 Prob Inc AMX $ 255,796,491 $ 7,275,528 0.3847 0.6202 2.3881 1.5676 5.8483% GEO $ 42,070,785 $ 301,465 0.0223 0.1493 11.3493 11.1518 0.0000% FEMSA $ 255,796,491 $ 5,527,609 0.0789 0.2809 4.8745 4.5030 0.0003% KIMBERLY $ 29,017,440 $ 2,996,145 0.0200 0.1415 5.7700 5.5828 0.0000%
ARMA Probabilidad de Incumplimiento
2013 T-t = 1.75 r = 4.39% Vt D Var DesvStd d1 d2 Prob Inc AMX $ 255,796,491 $ 7,275,528 0.1471 0.3836 3.4519 2.9445 0.1617% GEO $ 42,070,785 $ 301,465 0.0517 0.2274 7.5359 7.2351 0.0000% FEMSA $ 255,796,491 $ 5,527,609 0.3499 0.5916 2.6175 1.8350 3.3253% KIMBERLY $ 29,017,440 $ 2,996,145 0.0485 0.2203 3.7929 3.5015 0.0231%
GARCH Probabilidad de Incumplimiento
2013 T-t = 1.75 r = 4.39% Vt D Var DesvStd d1 d2 Prob Inc AMX $ 255,796,491 $ 7,275,528 0.0865 0.2941 4.3655 3.9764 0.0035% GEO $ 42,070,785 $ 301,465 0.0487 0.2207 7.7536 7.4616 0.0000% FEMSA $ 255,796,491 $ 5,527,609 0.0845 0.2907 4.7228 4.3383 0.0007% KIMBERLY $ 29,017,440 $ 2,996,145 0.0204 0.1428 5.7194 5.5305 0.0000%
91
ANEXO 4. Valor Esperado del Rango Escalado Ajustado.
Valor esperado del rango escalado ajustado
n E(Rn) H(n) 5 1.9274 0.6762
10 3.0233 0.6274 20 4.6111 0.5926 40 6.8895 0.5672
100 11.4533 0.5429 200 16.6214 0.5315 500 26.9 0.5202
1000 38.4969 0.5141 5000 87.4706 0.5065
1000000 1252.1499 0.5005
92
ANEXO 5-. Probabilidad de Incumplimiento por el modelo de Brownianos Fraccionales.
VOLATILIDAD HISTÓRICA Probabilidad de Incumplimiento
2008 T-t = 1.5 r = 7.68% Vt D Var DesvStd d1 d2 Prob Inc AMX $ 332,443,292 $ 5,355,027 0.1032 0.3213 4.7302 4.3079 0.0008% ARCA $ 16,705,269 $ 1,531,852 0.0734 0.2710 3.5282 3.1847 0.0725% BIMBO $ 41,482,285 $ 2,938,775 0.0569 0.2385 4.1923 3.8789 0.0052% CEMEX $ 484,731,600 $ 3,471,394 0.1045 0.3233 5.5798 5.1589 0.0000% FEMSA $ 77,458,168 $ 1,750,274 0.0106 0.1028 13.6065 13.4764 0.0000% GEO $ 17,692,924 $ 469,228 0.0027 0.0519 24.9232 24.8552 0.0000% TELEVISA $ 77,803,320 $ 51,033,572 0.0628 0.2506 1.0949 0.7760 21.8874% URBI $ 18,295,891 $ 826,423 0.0415 0.2038 5.7391 5.4788 0.0000%
2009 T-t = 2.5 r = 5.42% Vt D Var DesvStd d1 d2 Prob Inc AMX $ 332,443,292 $ 2,467,624 0.2821 0.5311 3.0339 2.1621 1.5305% BIMBO $ 41,482,285 $ 1,953,727 0.1852 0.4304 2.2176 1.4117 7.9018% CEMEX $ 484,731,600 $ 5,224,279 0.0785 0.2801 4.5249 4.0334 0.0027% FEMSA $ 77,458,168 $ 1,870,706 0.0065 0.0809 12.8326 12.6953 0.0000% GEO $ 17,692,924 $ 686,598 0.0058 0.0761 12.1404 12.0123 0.0000%
2010 T-t = 3.5 r = 4.4% Vt D Var DesvStd d1 d2 Prob Inc AMX $ 332,443,292 $ 4,392,365 0.3035 0.5509 2.3425 1.1921 11.6613% ARCA $ 16,705,269 $ 2,938,390 0.0285 0.1690 2.9842 2.6623 0.3880% BANORTE $ 261,204,948 $ 4,692,258 0.1185 0.3443 2.8717 2.1089 1.7479% CEMEX $ 484,731,600 $ 3,576,867 0.0633 0.2516 4.3359 3.7720 0.0081% KIMBERLY $ 21,656,917 $ 4,367,768 0.0264 0.1626 2.6714 2.3319 0.9854% TELEVISA $ 77,803,320 $ 13,144,321 0.0438 0.2092 2.4632 2.0530 2.0037% URBI $ 18,295,891 $ 2,663,611 0.0349 0.1867 2.6671 2.2653 1.1747%
ARMA Probabilidad de Incumplimiento
2008 T-t = 1.5 r = 7.68% Vt D Var DesvStd d1 d2 Prob Inc AMX $ 332,443,292 $ 5,355,027 0.0523 0.2286 6.5002 6.1997 0.0000% ARCA $ 16,705,269 $ 1,531,852 0.0418 0.2045 4.5760 4.3168 0.0008% BIMBO $ 41,482,285 $ 2,938,775 0.0592 0.2433 4.1156 3.7958 0.0074% CEMEX $ 484,731,600 $ 3,471,394 0.1275 0.3571 5.0933 4.6283 0.0002% FEMSA $ 77,458,168 $ 1,750,274 0.1215 0.3486 4.2138 3.7728 0.0081% GEO $ 17,692,924 $ 469,228 0.0473 0.2174 6.0874 5.8029 0.0000% TELEVISA $ 77,803,320 $ 51,033,572 0.0543 0.2330 1.1542 0.8576 19.5552%
93
URBI $ 18,295,891 $ 826,423 0.0655 0.2558 4.6308 4.3039 0.0008% 2009 T-t = 2.5 r = 5.42%
Vt D Var DesvStd d1 d2 Prob Inc AMX $ 332,443,292 $ 2,467,624 0.1359 0.3687 4.0453 3.4402 0.0291% BIMBO $ 41,482,285 $ 1,953,727 0.1234 0.3513 2.5523 1.8945 2.9076% CEMEX $ 484,731,600 $ 5,224,279 0.1151 0.3393 3.8309 3.2357 0.0607% FEMSA $ 77,458,168 $ 1,870,706 0.3914 0.6256 2.1815 1.1198 13.1403% GEO $ 17,692,924 $ 686,598 0.0475 0.2180 4.3970 4.0299 0.0028%
2010 T-t = 3.5 r = 4.4% Vt D Var DesvStd d1 d2 Prob Inc AMX $ 332,443,292 $ 4,392,365 0.1416 0.3763 2.9802 2.1944 1.4103% ARCA $ 16,705,269 $ 2,938,390 0.0604 0.2457 2.1754 1.7073 4.3881% BANORTE $ 261,204,948 $ 4,692,258 0.1468 0.3831 2.6624 1.8136 3.4873% CEMEX $ 484,731,600 $ 3,576,867 0.1204 0.3470 3.3280 2.5502 0.5383% KIMBERLY $ 21,656,917 $ 4,367,768 0.0483 0.2198 2.0797 1.6206 5.2552% TELEVISA $ 77,803,320 $ 13,144,321 0.0547 0.2339 2.2492 1.7907 3.6672% URBI $ 18,295,891 $ 2,663,611 0.0641 0.2533 2.0907 1.5457 6.1089%
GARCH Probabilidad de Incumplimiento
2008 T-t = 1.5 r = 7.68% Vt D Var DesvStd d1 d2 Prob Inc AMX $ 332,443,292 $ 5,355,027 0.0446 0.2112 7.0142 6.7367 0.0000% ARCA $ 16,705,269 $ 1,531,852 0.0190 0.1378 6.6878 6.5131 0.0000% BIMBO $ 41,482,285 $ 2,938,775 0.0234 0.1529 6.3944 6.1934 0.0000% CEMEX $ 484,731,600 $ 3,471,394 0.0328 0.1811 9.7024 9.4666 0.0000% FEMSA $ 77,458,168 $ 1,750,274 0.0257 0.1604 8.7784 8.5754 0.0000% GEO $ 17,692,924 $ 469,228 0.0390 0.1974 6.6753 6.4169 0.0000% TELEVISA $ 77,803,320 $ 51,033,572 0.0190 0.1380 1.7867 1.6111 5.3581% URBI $ 18,295,891 $ 826,423 0.0690 0.2627 4.5188 4.1831 0.0014%
2009 T-t = 2.5 r = 5.42% Vt D Var DesvStd d1 d2 Prob Inc AMX $ 332,443,292 $ 2,467,624 0.0573 0.2395 5.9587 5.5656 0.0000% BIMBO $ 41,482,285 $ 1,953,727 0.0418 0.2045 4.0115 3.6287 0.0142% CEMEX $ 484,731,600 $ 5,224,279 0.0469 0.2166 5.7233 5.3432 0.0000% FEMSA $ 77,458,168 $ 1,870,706 0.0832 0.2884 3.8254 3.3359 0.0425% GEO $ 17,692,924 $ 686,598 0.0410 0.2026 4.7049 4.3638 0.0006%
2010 T-t = 3.5 r = 4.4% Vt D Var DesvStd d1 d2 Prob Inc AMX $ 332,443,292 $ 4,392,365 0.0742 0.2723 3.8599 3.2913 0.0499% ARCA $ 16,705,269 $ 2,938,390 0.0431 0.2076 2.4951 2.0995 1.7887% BANORTE $ 261,204,948 $ 4,692,258 0.0235 0.1532 5.7677 5.4284 0.0000% CEMEX $ 484,731,600 $ 3,576,867 0.0398 0.1995 5.3356 4.8885 0.0001%
94
KIMBERLY $ 21,656,917 $ 4,367,768 0.0029 0.0538 7.6184 7.5061 0.0000% TELEVISA $ 77,803,320 $ 13,144,321 0.0170 0.1305 3.7485 3.4927 0.0239% URBI $ 18,295,891 $ 2,663,611 0.0706 0.2657 2.0192 1.4476 7.3865%
VOLATILIDAD HISTÓRICA Probabilidad de Incumplimiento
2013 T-t = 1.75 r = 4.39% Vt D Var DesvStd d1 d2 Prob Inc AMX $ 255,796,491 $ 7,275,528 0.3847 0.6202 2.3515 1.5113 6.5355% GEO $ 42,070,785 $ 301,465 0.0223 0.1493 10.7809 10.5729 0.0000% FEMSA $ 255,796,491 $ 5,527,609 0.0789 0.2809 4.4828 4.0756 0.0023% KIMBERLY $ 29,017,440 $ 2,996,145 0.0200 0.1415 5.7281 5.5394 0.0000%
ARMA Probabilidad de Incumplimiento
2013 T-t = 1.75 r = 4.39% Vt D Var DesvStd d1 d2 Prob Inc AMX $ 255,796,491 $ 7,275,528 0.1471 0.3836 3.3829 2.8633 0.2096% GEO $ 42,070,785 $ 301,465 0.0517 0.2274 7.1674 6.8505 0.0000% FEMSA $ 255,796,491 $ 5,527,609 0.3499 0.5916 2.4605 1.6031 5.4458% KIMBERLY $ 29,017,440 $ 2,996,145 0.0485 0.2203 3.7666 3.4730 0.0257%
GARCH Probabilidad de Incumplimiento
2013 T-t = 1.75 r = 4.39% Vt D Var DesvStd d1 d2 Prob Inc AMX $ 255,796,491 $ 7,275,528 0.0865 0.2941 4.2722 3.8737 0.0054% GEO $ 42,070,785 $ 301,465 0.0487 0.2207 7.3735 7.0658 0.0000% FEMSA $ 255,796,491 $ 5,527,609 0.0845 0.2907 4.3455 3.9242 0.0044% KIMBERLY $ 29,017,440 $ 2,996,145 0.0204 0.1428 5.6779 5.4875 0.0000%
95
ANEXO 6. Probabilidad de Incumplimiento por el Modelo de Altman.
ALTMAN SCORE AM
X CEMEX GE
O ARC
A FEMS
A BIMB
O BANORTE TELEVISA KIMBERLY URB
I 31/03/08 5.57 1.65 3.88 7.05 2.98 5.52 0.32 3.21 3.62 8.49 30/06/08 4.85 1.60 3.07 6.84 3.00 5.44 0.32 3.04 3.61 4.19 30/09/08 4.44 1.46 2.77 6.22 2.94 5.08 0.26 3.12 3.84 3.66 31/12/08 3.63 1.06 2.39 4.32 2.63 4.56 0.15 2.39 3.91 3.13 31/03/09 3.62 0.99 2.35 4.34 2.45 2.64 0.12 2.62 3.30 2.80 30/06/09 4.23 0.98 2.24 4.65 2.68 3.23 0.14 2.78 3.20 3.02 30/09/09 4.47 1.24 2.66 4.88 2.86 3.30 0.18 3.23 4.11 2.99 31/12/09 4.65 2.36 2.60 4.78 3.75 4.65 0.15 2.41 4.01 3.09 31/03/10 4.02 1.14 2.46 5.34 3.08 4.15 0.19 2.83 3.75 2.93 30/06/10 3.39 1.12 2.26 5.31 4.35 3.49 0.17 2.64 4.67 2.74 30/09/10 3.06 1.03 2.40 4.48 4.37 3.97 0.18 2.83 5.20 2.83 31/12/10 3.29 1.16 2.36 4.21 4.47 3.98 0.18 2.90 5.21 2.64
