12012/13 6 T.Bai DI04 1

3.KrivuljenaZemljinomrotacijskomelipsoidu3.1Dvojnostnormalnihpresjeka3.2Razilaenjeuzajamnihnormalnihpresjeka3.3Duinalukanormalnogpresjeka3.4Formulezakutoveizmeuuzajamnihnormalnihpresjeka3.5Geodetskalinija,njenaprirodaisvojstva3.6Pojednostavljeniizvodosnovnejednadbegeodetskelinije3.7Oblikihodgeodetskelinijenarotacijskomelipsoidu3.8Kutizmeugeodetskelinijeidirektnognormalnogpresjeka3.9Azimutalnakorekcijailikorekcijazbogvisinevizurnetoke

Dravnaizmjera2012/13. 04TomislavBai

2012/13 6 T.Bai DI04 2

3.1Dvojnostnormalnihpresjeka (1)Normalni ili vertikalni presjek jest presjek elipsoidaravninom poloenom normalom u nekoj toki, podnekim azimutom prema drugoj toki. Duina normalepoklapa se s duinom polumjera zakrivljenosti poprvom vertikalu N.Neka su na slici toke A1 i A2 definirane na plohiZemljina rotacijskog elipsoida, i to tako da je 2>1.Povuemo li normale, tada normala u toki A1 lei umeridijanu toke A1 i presjeca malu os PNPS u toki K1,dok normala u toki A2 lei u meridijanu toke A2 ipresjeca malu os PNPS u toki K2. Pri tome vrijedi:

.

Treba dokazati da normale u tokama A1 i A2, koje imajurazliite irine 1 i 2, ne presjecaju malu os PNPS ujednoj te istoj, ve u dvije toke!

AK N A K N1 1 1 2 2 2

,

Sa slike vrijedi (vidi raniji izraz 2.14): (3.1)

Udaljenost Ao od K1 odreena je iz trokuta A1K1Ao: (3.2)

1

221

2

12

101sin1

sin1sin1

e

eaeNOAy

1221

1110sin1

sinsin

e

aNKA

22012/13 6 T.Bai DI04 3

Dvojnostnormalnihpresjeka (2)Razlika izraza (3.2) i (3.1) daje:

(3.3)

Analogno e za toku A2 biti udaljenost presjecita K2 odcentra O:

(3.4)

Budui je 2 >1, to iz izraza (3.3) i (3.4) proizlazi:(3.5)

tj. normala u toki manje irine A1 presjeca malu os PNPSblie centru O nego normala u toki vee irine A2 .

2222

2

02022sin1

sin

e

aeOAKAOKd

1122 OKddOK

Openito vai da je normalna ravnina u toki A1 kroz toku A2 razliita od normalneravnine u toki A2 kroz toku A1. Te dvije ravnine zato presjecaju plohu elipsoida u dvijekrivulje. Nastaju tzv. uzajamno obratni normalni presjeci, odnosno kaemo da naelipsoidu postoji dvojnost normalnih presjeka! Samo u iznimnim sluajevima, kada suobje toke na istom meridijanu (2=1) ili na istoj paraleli (2=1), odnosno obje naekvatoru (2=1=00), ne postoji dvojnost normalnih presjeka!

1221

2

01011sin1

sin

e

aeOAKAOKd

2012/13 6 T.Bai DI04 4

Dvojnostnormalnihpresjeka (3)

Posljedica dvojnosti normalnih presjeka:U tokama na fizikoj povrini Zemlje, utriangulaciji izmjereni pravci odnosno kutovi utokama (vrhovima) trokuta, pojavljuju senakon redukcije (korekcije) na plohi elipsoidaiskljuivo kao pravci odnosno kutovi izmeupravih normalnih presjeka u svakoj toki, pazbog dvojnosti normalnih presjeka takvi kutovine zatvaraju promatrani trokut na povriniZemljina rotacijskog elipsoida jednoznano(slika).

Ovo se moe izbjei spajanjem vrhova trokuta uz pomo geodetskih linija, a to zahtjevada se svaki kut (azimut) odnosno pravac popravi jo i za pripadno kutno odstupanjegeodetske linije od pravog normalnog presjeka (dolazi kasnije!).

Normalni presjek A1aA2 to ga s plohom elipsoida ini normalna ravnina u toki A1 kroztoku A2 naziva se pravi ili direktni normalni presjek za toku A1 (on je istovremeno tzv.obratni ili obrnuti normalni presjek za toku A2, tj. presjek A2aA1). Drugi normalnipresjek A1bA2 je obratni ili obrnuti normalni presjek za toku A1, a tvori ga na plohielipsoida normalna ravnina u toki A2 kroz toku A1 (ovaj presjek je za toku A2meutim pravi ili direktni presjek, tj. krivulja A2bA1).

3Iz slike uz izraze (3.3) i (3.4) sljedi egzaktnaformula za odsjeak K1K2:

(3.6)Imajui u vidu da se N1 ustvari vrlo malorazlikuje od N2 moe se s dovoljnom tonouuzeti da je N1=N2= Nm, pa uz(3.6) prelazi u:

(3.6a)

Rastavimo , pa za=21, kao vrlo mali kut stavimo:to konano sljedi:

(3.7)

2012/13 6 T.Bai DI04 5

3.2Razilaenjeuzajamnihnormalnihpresjekaa)Kutizmeuravninauzajamnihnormalnihpresjeka(1)

12

122

21221 sinsin eNeNddKKd

122 sinsin eNd m 2/21 fNm

2

sin2

cos2sinsin 121212

22sin

mmeNd cos2

tj. uz akceptiranje pogreke reda veliine (ae4): (3.7a)Kod duina strana triangulacije I. reda razlike irina su do 30', pa je d ustvari malaveliina drugog reda, te stoga moemo slobodno koristiti formule (3.7) i (3.7a)!

maeKKd cos221

2012/13 6 T.Bai DI04 6

Kutizmeuravninauzajamnihnormalnihpresjeka(2)

Spojimo li sada K2 s tokom A1 i K1 s tokomA2, te e spojnice odstupiti od normala u timtokama za male kutove 1 i 2. Egzaktneformule (slika) glase:

(3.8)

Budui da su kutovi 1 i 2 male veliinedrugog reda, to i ovdje moemo koristitipribline formule. Iz trokuta A2K1K2 vrijedi:

(3.9)

Zbog malih veliina 1, 2 i d moe se staviti da je A2K1=N2, te dalje uz pogreku redaveliine (e4) da je N2=(N1)= a, pa tada iz (3.9), uz pomo (3.7) odnosno (3.7a), sljedi:

(3.10)

22

22

11

11 sin

cos,sin

cos

dNdtg

dNdtg

21221

2

290sinsin

Nd

KAKK

mmmm eNeN 22222 cos/coscossin

42012/13 6 T.Bai DI04 7

Zbog male veliine d moemo duine direktnog i obratnog presjeka a i b smatratijednakima, tj. jednakim duini luka S kruga s polumjerom Nm (sa irinom (1+2)/2).Sredinji kut u K1 bit e =S/N1S/Nm. Budui da priblino vrijedi:

(3.13)

to stavljajui u (3.12) da je 21121800, dobivamo uz prihvaanje da je cos(/2)=1,konani izraz za kut izmeu ravnina uzajamnih normalnih presjeka:

(3.14)

Napomena: kao veliina drugog reda iznosi kut u trokutima triangulacije I. reda svega 2"3" !

Kutizmeuravninauzajamnihnormalnihpresjeka(3)Uzmimo sada toku A1 kao sredite pomone sfereproizvoljnog polumjera. Iz sfernog trokuta A1K'1K'2proizlazi:

(3.11)

odnosno uz pomo izraza (3.10) dobivamo za kut :(3.12)

2221 90sinsin

360sinsin

)cos(

1sincossin2

2122

me

12121

coscos NS

1222

122

122 2sincos

2sincoscos mm ee

2012/13 6 T.Bai DI04 8

b)Razilaenjeizmeupravogiobratnognormalnogpresjeka(1)Razilaenje izmeu pravog i obratnog normalnogpresjeka na plohi elipsoida, tj. izmeu krivuljeA1aA2 i krivulje A1bA2 dobiti emo tako dauzmemo na krivulji A1aA2 tekuu toku I,povucimo tetivu IA1; centralni kut A1K1A2 je ,dok kut moe poprimiti vrijednosti od 00 do .

Postavimo u toki I na krivulji A1aA2 ravninuokomito na tetivu A1A2. Tada tu ravninu tetivaA1A2 probada u toki I1, dok ju krivulja A1bA2probada u toki I2. U malom trokutu II1I2 je uvrhu I1 kut , dok je luk II2 oznaen sa q ipredstavlja razilaenje izmeu uzajamnihpresjeka na elipsoidu, tj. izmeu krivulje A1aA2 ikrivulje A1bA2.

2/;

290;

290

1121121

011

0112

KAAKIAAIAKIAKAA

Iz slike (b) proizlazi:

pa iz trokuta A1II1 (slika a) sljedi: (3.15)2

sin2 11NIA

2sin

2sin2

2sin 111

NIAII

52012/13 6 T.Bai DI04 9

Razilaenjeizmeupravogiobratnognormalnogpresjeka(2)Sa crtea (c) vrijedi za luk q relacija:

(3.16)

pri emu je h=II1=I2I1. Uvrtavajui zadnji izraziz (3.14) za u (3.16), te za II1 (tj. h) relaciju(3.15), nalazimo konano:

(3.16a)

Maksimalno razilaenje javlja se u sredini lukaA1A2, tj. kod =/2. U tom sluaju poprimaizraz (3.16a) sljedei oblik:

(3.17)

Pri tome se centralni kut rauna kao =S/Nm, tj. kao kvocijent duine luka S krunice spolumjerom Nm na irini m. Formula (3.17) koristi se i kod geodetske linije.Primjer: za =450 i =450 poprima linearna udaljenost q maksimalnu vrijednost; tako za

S = 30, 100, 150 km iznosi q = 0.14, 5.11, 17.25 mm.

hIIq 2

12221 2sincos4 meNq

122321

max 2sincos16 meNq

odnosno: (3.19)

Od ranije poznajemo relacije za d=K1K2 = ae2cosmNme2cosm (izrazi 3.7 i 3.8) isin2=e2cos2m (izraz 3.10). Uzevi uz to da su (S/N) ili e2 male veliine 1. reda,poprima (3.19) oblik (3.19a) odnosno nakon razvoja u Newtonov binomni red (3.20):

3.19a), (3.20)

2012/13 6 T.Bai DI04 10

Duinu luka normalnog presjeka pod proizvoljnimazimutom izrazimo preko duine luka krunice iji jeradijus jednak N1 u poetnoj toki A1. Krivulja A1A2 je lukdirektnog (pravog) normalnog presjeka iz A1 u A2, njegovaje duina S, a azimut 12 (slika).U ravnini tog luka je krunica radijusa N1, koju spojnicaK1A2 presjeca u toki A'2, pa se oba luka A1A2 i A1A'2 videpod centralnim kutom . Oznaimo jo sa z udaljenostA2K1, a sa 2 kut spojnice K1A2 i radijusa N2=K2A2 u toki A2.Takoer od prije vrijedi da je d=K1K2. Iz trokuta A2K1K2sljedi uz pomo kosinusovog pouka:

(3.18))sin(2))(90cos(2)90180cos(2)90cos(2

22222

2220

222

2

2200

222

220

222

22

dNdNdNdN

dNdNdNdNz

222

22

2

22

2sin21

Nd

Nd

Nz

3.3Duinalukanormalnogpresjeka

22

22

2sin21

Nd

Nz 2

22sin1

Nd

Nz

2

62012/13 6 T.Bai DI04 11

Duinalukanormalnogpresjeka(2)Za prijelaz ka izrazu koji koristi argumente poetne toke A1 koristimo se jednakostima:

(3.21) (3.22)

pa (3.20), uz pomo izraza (3.7) za d, glasi: (3.23)Uz i , dobiva se za: (3.24)

...2 1

2

22

112

d

NdddNNN 1

2

112 sin2cossinsin

2cos1

222

1

meNz

121

12 coscos N

S 2 2 2 e cos

2cos1 12

222

1Nz

Sa slike je diferencijalno mali luk normalnog presjeka:

(3.25)

dok iz (3.24) sljedi: (3.26)

kao i (3.27)

22222

ddzzddzdzdS

124242

1

2cos Nd

dz

2

12222

21

22cos1

Nz

Nakon uvrtenja u (3.25): (3.28)

12424

212

2222

1 cos2cos1 NddS

2012/13 6 T.Bai DI04 12

Duinalukanormalnogpresjeka(3)Zanemari li se lanove 4. i viih redova, tada (3.28)glasi:

(3.28a)

odakle prijelazom na konanu duinu proizlazi:(3.29)

Integriranjem se dobiju definitivne formule za duinuluka normalnog presjeka:

(3.30)

odnosno pripadni kut u sekundama:

(3.31)

Napomena: Ovi izrazi osiguravaju tonost od 0,"0001 za S=150 km, pa se za S

72012/13 6 T.Bai DI04 13

3.4Formulezakutoveizmeuuzajamnihnormalnihpresjeka(1)Trokut A1II2 nastaje ako u tekuoj toki I nadirektnom normalnom presjeku iz toke K1postavimo ravninu okomito na tetivu A1A2, pa se utoki I2 nalazi probodite krivulje obratnognormalnog presjeka A1bA2 s tom ravninom. Neka jetoka I blizu toke A1, tada je ovaj trokut mali pamoemo toku A1 spojiti s tokama I i I1 pravcimakoji su tetive za dijelove direktnog i obratnognormalnog presjeka.Prema slici: (3.32)

dok za duine II2 i A1I vrijedi (vidi 3.15):

(3.33)

IAIIIIA1

221

111 2sin2 NNIA Uvrstimo li raniji izraz (3.16a) za II2 = q skupa sa (3.33) u (3.32) proizlazi:

(3.32a) 4

2sincos4

2sincos 1222

1

1222

121

mm eN

eNIIA

2012/13 6 T.Bai DI04 14

Za vee udaljenosti vrijedi:

gdje je: "12 = A1aA2 A1bA2 ,a 2=e'2 cos2m .

Formulezakuteveizmeuuzajamnihnormalnihpresjeka(2)Ako se udaljenost A1I, a time i kut , smanjuje nadiferencijalno malu veliinu, nastupa granini sluajkada tetive A1I i A1I2 postaju tangente direktnog iobrnutog normalnog presjeka. Tada se kut IA1I2pretvara u kut izmeu uzajamnih normalnihpresjeka u toki A1, dok u (3.32a) kut tei nuli, paimamo:

(3.34)

Pri tome je istovremeno i razlika azimutauzajamnih normalnih presjeka u A1. Tonost gornjeformule zadovoljava ako udaljenost toaka A1 i A2 neprelazi nekoliko desetaka kilometara. Uz pomopoznatog izraza za duinu luka normalnog presjeka(3.30) moe se ovaj izraz transformirati u novi oblik:

(3.35)

Primjer: za =450 i =450 poprima kut maksimalnuvrijednost; tako za S = 30, 100 i 150 km je = 0."004,0."042, 0."095 .

122

222sincos

4 me

122

2

222sincos

4 m

mNSe 3

1

11232

12

1

121222

112 4

sin2

cossinN

tgSN

S

82012/13 6 T.Bai DI04 15

3.5Geodetskalinija,njenaprirodaisvojstva(1)Uvoenjem geodetske linije uklanja se neodreenost uuspostavljanju geometrijskih figura na povrini (Zemljinarotacijskog) elipsoida te se postie jednoznanost urjeavanju zadataka na toj plohi.

Geodetska linija se odreuje po definiciji kao najkraaudaljenost izmeu dviju toaka na promatranoj plohi (1.definicija). Ona na plohi elipsoida igra ulogu velikog kruga nasferi, odnosno pravca u ravnini.

Po 2. definiciji, geodetska linija na promatranoj plohi je ona krivulja u ijoj svakoj (!) tokioskulaciona ravnina prolazi normalom na tu plohu u odnosnoj toki.Dokaz (skraeno): Dvije toke A1 i A2 se mogu spojiti openito s beskonano mnogokrivulja, ali najkraa je samo jedna (slika), i to ona koja ima najvei polumjerzakrivljenosti, odnosno najmanju zakrivljenost. Prema teoremu Meusniera najveipolumjer u nekoj toki (npr. A1) imati e od svih krivulja sa zajednikom tangentom onakrivulja do beskonano bliske toke, u ijoj oskulacionoj ravnini lei normala na plohu utoj toki. Iz ova dva zakljuka slijedi da je najkraa linija izmeu dviju beskonano bliskihtoaka upravo element one krivulje u ijoj oskulacionoj ravnini lei normala na plohu(elipsoida). Proirenje na krivulju konane duine daje gore spomenutu drugu definicijugeodetske linije. Po prirodi je geodetska linija takva krivulja u ijoj se svakoj toki glavnanormala poklapa s normalom na plohu (elipsoida).

2012/13 6 T.Bai DI04 16

Geodetskalinija,njenaprirodaisvojstva(2)

Geometrijska metoda utvrivanja geodetske linije:Pretpostavimo da je u A1 (slika) postavljen teodolit tako da senjegova vertikalna os podudara s normalom A1K1, pa sazadanim smjerom obiljeimo na plohi elipsoida toku "a", kojase nalazi beskonano blizu toki A1. Prenesimo teodolit u a,postavimo njegovu vertikalnu os u smjer normale aKa,usmjerimo durbin prema A1, zatim okrenimo alhidadu za 1800 iobiljeimo toku "b", opet beskonano blisku toki a. Prebacimozatim teodolit u b, pa ponavljamo isti postupak dok nestignemo do toke A2.

Rezultat takovog postupka je geodetska linija od A1 do A2, jer je ravnina "A1abKa"oskulaciona ravnina ovako dobivene krivulje u toki a, budui da u toj ravnini leeodsjeci "aA1" i "ab", koje se moe smatrati tangentama na krivulju u toki a, dok sdruge strane u toj ravnini lei i normala "aKa", pa su zato ispunjeni uvjeti za geodetskuliniju (po definiciji).

92012/13 6 T.Bai DI04 17

Geodetskalinija,njenaprirodaisvojstva(3)Budui da normale A1K1, aKa, bKb, cKc ... sjeku malu os PNPS sve junije ako se irine 1,a, b, c, ... poveavaju, tj. openito sjeku u razliitim tokama, to se ne poklapaju niravnine A1abKa, abcKb, bcdKc , , pa one na plohi elipsoida daju neprekinutu krivuljudvojake zakrivljenosti (poznato je iz matematike da prostorne krivulje posjeduju 1. i 2.zakrivljenost, gdje se 2. zakrivljenost jo naziva i torzija).

Neka svojstva geodetske linije na plohi elipsoida:

a) Geodetska linija je uvijek u promatranoj toki poloena bliepravom normalnom presjeku i dijeli kut izmeu pravog i obratnognormalnog presjeka u omjeru 1:2 (slika).

b) Geodetska linija zatvara u tokama A1 i A2 s pravim normalnimpresjekom 1/3 kuta izmeu uzajamnih normalnih presjeka (slika).

c) Meridijani i ekvator Zemljina rotacijskog elipsoida su geodetskelinije, dok paralele to nisu.

2012/13 6 T.Bai DI04 18

3.6Pojednostavljeniizvodosnovnejednadbegeodetskelinije(1)Promotrimo elementarni polarni trokut A1PNA2, kojitvore lukovi A1PN i A2PN obadva meridijana ielementarni luk dS geodetske linije (slika). Smjerpoetnog elementa dS u toki A1 je zadan azimutom .Povucimo iz toke A2 elementarni luk paralele A2C ioznaimo razliku geodetskih irina i duljina toaka A2 i Csa d i d. Zblienje meridijana u toki A2 oznaimo sad. Iz elementarnog trokuta A1A2C sljedi:

(3.36)

kao i luk A2C uz pomo radijusa paralele :(3.37)

Budui da je kut u vrhu A2 trokuta CPNA2 jednak (900d), to moemo pisati:(3.38a)

cosdSdM

sincos dSdNdr

dtgdtgdctgdctg sin9090cos 00

10

Zbog diferencijalno malih veliina iz (3.38a) slijedi:, (3.38)

a nakon uvrtenja d iz (3.37):

(3.39)

2012/13 6 T.Bai DI04 19

sindd

NtgdSd sin

Pojednostavljeniizvodosnovnejednadbegeodetskelinije(2)

Konano, iz izraza (3.36), (3.37) i (3.39), uz pomonu veliinu V2=(1+e2cos2), proizlazisustav diferencijalnih jednadbi geodetske linije

(3.40)

sinsin

sinsecsecsin

coscoscos23

tgcVtg

NdSd

cV

NdSd

NV

cV

MdSd

2012/13 6 T.Bai DI04 20

Pojednostavljeniizvodosnovnejednadbegeodetskelinije(3)

Dokaimo sada osnovni teorem za geodetsku liniju, poznat kaoClairautov teorem:

, (3.41)

koji kae da je produkt polumjera paralele r i sinusa azimuta usvakoj toki geodetske linije konstantna veliina. Zato prikaimomeridijan toke A1 u ravnini crtea (slika), radijus paralele utoki A1 oznaimo sa r, a u toki C kao r+dr, pri emu je:

(3.42)

.sin....sinsin 2211 konstrrr

sindMdr

Primjetimo da se prve dvije jednadbe tog sustava mogu odnositi na bilo koju krivuljuna plohi elipsoida (jer izraavaju linearne elemente na plohi), dok se trea jednadbaodnosi iskljuivo na gedetsku liniju.

Na temelju jednadbi (3.36) i (3.37) nalazimo:

(3.43) (3.44)dSdM cos

dSdr sin

11

2012/13 6 T.Bai DI04 21

Pojednostavljeniizvodosnovnejednadbegeodetskelinije(4)Mnoenjem izraza (3.43) sa rd te (3.44) sa dr, uz koritenje (3.38) za d i (3.42) za dr:

(3.45) (3.46)

Zbrojimo li izraze (3.45) i (3.46) proizlazi: (3.47)

Desna strana tog izraza predstavlja totalni diferencijal, iji je integral upravo jednak(3.48)

ime je ovaj vani teorem ujedno dokazan.Za polumjer paralele imali smo ve ranije da je (3.49)pa izraz (3.41) prelazi u: a cosu sin = konst., odnosno jednadba (3.48) u:

(3.50)

Izraz (3.50) pokazuje vano svojstvo geodetske linije na plohi rotacijskog elipsoida, a to je da jeumnoak kosinusa reducirane irine bilo koje toke geodetske linije i sinusa njenog azimuta uistoj promatranoj toki uvijek konstantna veliina.

ddSdMrdr sincos sinsin d

dSdMr

dSdrdrdr

0sincos drdr

.sin konstr

uaxr cos

.sincos...sincossincos 2211 konstuuu

2012/13 6 T.Bai DI04 22

3.7Oblikihodgeodetskelinijenarotacijskomelipsoidu(1)Analizirajui Clairautovu jednadbu geodetske linije rsin=konst. (3.41), moemo pratitioblik odnosno hod geodetske linije na elipsoidu (slika).

a) Iz toke A geodetska linija polazi pod azimutom =00 ili =1800.Budui da je tada sin=0, to je i rsin=0, bez obzira na veliinuradijusa r. Uoimo kako je meridijan krivulja s azimutom 00 odnosno1800, odnosno da su meridijani geodetske linije.

b) Ako bi toka A bila na ekvatoru, tj. AE, a azimut pod kojim polazigeodetska linija =900 ili =2700, tada je sin=1. Kako je na ekvatorur=a, sljedi: rsin=a, to zakljuujemo da je ekvator geodetska linija.Paralele to nisu, jer na elipsoidu one nisu najkraa spojnica izmeutoaka uzetih na paraleli.

c) Opi sluaj: Geodetska linija polazi od toke A na irini +, podazimutom 00

12

2012/13 6 T.Bai DI04 23

II. U nastavku geodetska linija zaokree prema jugu, a azimut prelazi uII. kvadrant. Jer je azimut >900 i nalazi se u II. kvadrantu, smanjuje sepoveanjem kuta vrijednost sin. Posljedica toga je da idui na juggeodetska linija sjee paralele s rastuim polumjerima r, tako dajednadba geodetske linije (3.41) ostaje zadovoljena. Na ekvatoru jeradijus r=a maksimalan, pa tu mora sin biti minimalan, no jer je kut u II. kvadrantu, poprima na ekvatoru azimut svoj maksimum.

III. im je geodetska linija prela ekvator, sjee paralele iji se radijusi rsmanjuju, pa se sin mora poveavati, odnosno s time povezano kut se smanjuje. Kada sin dostigne maksimum (sin=1, tj. =900) morazbog (3.41) radijus r biti minimalan. To se oito dogaa za promatranugeodetsku liniju na paraleli sa irinom 0.

Oblikihodgeodetskelinijenarotacijskomelipsoidu(2)

IV. Dodirnuvi graninu paralelu na 0 geodetska linija zaokree opet prema sjeveru. Radijusr se poveava pa se sin smanjuje kao i sam azimut (sada je opet u I. kvadrantu). Ujednom trenutku geodetska linija dolazi do toke gdje po drugi put sjee ekvator. Nakonprelaska ekvatora ( se opet poveava dok se rovi smanjuju), geodetska linija dolazi dopoetne irine +, tj. do poetne paralele, ali ne prolazi kroz poetnu toku A, ve tuparalelu presjeca zapadnije u toki A. Razlika duljina ovih toaka je .

2012/13 6 T.Bai DI04 24

Oblikihodgeodetskelinijenarotacijskomelipsoidu(2)

Nainimo li jo jedan puni obrt geodetskelinije ili njih vie, u svima njima egeodetska linija dodirivati paralele sairinama +o odnosno o, ali e svaki puniobrt odstupati od prethodnog za veliinu:

(3.51) sincos2e

Odavde proizlazi da suprotne toke u kojima geodetska linija sjee ekvator nisu krajnje tokejednog te istog polumjera, tj. razlika njihovih geodetskih duina nije 1800, ve se od togarazlikuje za iznos:

(3.52)

Na isti nain se moe odrediti hod geodetske linije na rotacijskom elipsoidu u sluaju kada jepoetni azimut u III. ili IV. kvadrantu. Razumljivo je da emo dobiti istu sliku, jer se po istojgeodetskoj liniji moe ii u dva suprotna smjera. irina graninih paralela (+o i o), kao isam oblik geodetske linije na rotacijskom elipsoidu ovisi o izboru konstante.

o ...geodetska irina graninih paralela

0cos ekv

13

2012/13 6 T.Bai DI04 25

3.8Kutizmeugeodetskelinijeidirektnognormalnogpresjeka(1)Kut izmeu geodetske linije i direktnog normalnogpresjeka nalazimo priblino na temelju svojstavageodetske linije kod azimuta koji je blizak 900 ili2700, i to kao funkciju kuta izmeu uzajamnihnormalnih presjeka. Kut je kut poetnogelementa geodetske linije u toki A1 s direktnimnormalnim presjekom ka toki A2, tj. s krivuljomA1aA2 (slika). Za ovaj sluaj geodetske linije, kada jeazimut blizak 900 ili 2700, dijeli normalna ravninapostavljena normalom na plohu elipsoida u sredinitetive izmeu dvije promatrane toke popola kutizmeu uzajamnih normalnih presjeka, pa imamoove kutove izmeu parova krivulja:

1) A1cC i A1aA2 jednak /2 ; 2) A1cC i A1aC jednak /4;3) A1d1D i A1cC jednak /8; 4) A1d1D i A1aA2 jednak /2 /8;5) A1d1D i A1a1D jednak /16; 6) A1d1D i A1fD jednak /32;7) A1fD i A1aA2 jednak /2 /8 /32; itd.

Granini sluaj nastupa ako postupak produimo dovoljno daleko, jer tada kut izmeukrivulje A1aA2 i normalnog presjeka postavljenog normalom u sredini beskonano maletetive izmeu toke A1 i njoj najblie toke poprima upravo vrijednost .

2012/13 6 T.Bai DI04 26

Kutizmeugeodetskelinijeidirektnognormalnogpresjeka(2)Uz pomo gornjih veliina proizlazi:

(3.53)

odnosno (3.54)

Poto je suma geometrijske progresije u okrugloj zagradi 1/3, to konano proizlazi:(3.55), tj. uvrtenjem (3.55) u (3.34) i (3.35):

(3.56) (3.57)

Za vee udaljenosti koristimo tonije formule, dobivene uz pomo izraza (3.35a):

...5121283282

...

2561

641

161

411

2...

2561

641

161

411

2

3311

2

122sincos 12

222 me 2 12222

122sincos

m

mN

Se

31

11232

12

1

121222

121

31

11232

12

1

121222

112

8sin

3cossin

24sin

6cossin

Ntgs

Ns

Ntgs

Ns

Specijalni sluajevi:(3.58) meridijan 12=00 ili 1800 =00

paralela 1. lan = 0, a 2. lan 0.

14

2012/13 6 T.Bai DI04 27

3.9Azimutalnakorekcijailikorekcijazbogvisinevizurnetoke(1)Openito se toke na fizikoj povrini Zemlje nepoklapaju s njihovim korespodentnim tokama naplohi rotacijskog elipsoida, zbog razliitosti tihploha. Neka se vizurna toka A2 nalazi na visini hiznad plohe elipsoida. Stajalina toka je A1, a njenanormala presjeca malu os u toki K1. Postavimo linormalnu ravninu u A1 (sadri normalu u A1) kroztoku A2, tada ona projicira vizurnu toku A2 naplohu elipsoida u toki A2. Pravi poloaj toke A2 naplohi elipsoida odreuje normala u A2, koja probadaplohu elipsoida u toki A2. Da doemo do pravogpoloaja toke A2 na elipsoidu treba odrediti kut idodati ga azimutu 1, kako bi se dobio definitivniazimut:

(3.59)

Kako se toke A'2 i A''2 nalaze na istom meridijanu, to sa slike temeljem sinusnog pouka iuz sin , odnosno tg2 2 (mali kutevi), sljedi:

(3.60), uz (3.61)

gdje je t1=tg1, 12=e2cos21 i V=(1+e2cos21).

1'1

222222 sin hAAiAAS

2

112

1

212 2

31V

tV

2012/13 6 T.Bai DI04 28

Azimutalnakorekcijailikorekcijazbogvisinevizurnetoke(2)U daljnjem pojednostavljenu moemo pisati:

(3.62), a ve smo imali: (3.63)Uzmemo li da je 21, pa uvrstimo (3.63), (3.62) i desnu formulu (3.60) u lijevi izraz(3.60):

(3.64)

odnosno uz sin2=2sincos: (3.65)Prvi je lan izraza direktno proporcionalan s visinom vizurne toke h i ne ovisi o duinivizure S. Drugi lan ovisi i o visini vizurne toke h i o duini vizure S. Izraunamo li drugilan s duinom vizure S=100 km i visinom h=1000 m, on dosee 0",001, te ga za svepraktine potrebe moemo slobodno zanemariti! U tom sluaju glasi izraz (3.65):

(3.66)

Napomena: vrijednost ove korekcije dostie maksimalne iznose za azimut =450 !Primjer: za h=1000 m, 1=450, =450 (1350,2250,3150) iznosi kut = 0",054. To je znaajnaveliina, koju u triangulaciji I. reda treba obavezno kao korekciju uzeti u obzir!

1212 231 t

1

1cosM

S

11

1

21

2 cos231cossinsin

MSt

MS

Sh

Sh

1121111 cos2312sin2 tgMSMh

2sincos2

2sin2 1

22

1

21

1

eMh

Mh