Didaktik der Linearen Algebra - .• Alternative 2: œbergangsmatrizen, Matrizen-multiplikation als

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  • Didaktik der Linearen Algebra

    SS 2010Oliver Passon

    o.passon@psiquadrat.de

    Material zur Veranstaltung unter: www.psiquadrat.de

  • Oliver Passon Didaktik der Linearen Algebra 2

    Was ich ihnen heute erzhle:

    Organisation (Termine, Scheinkriterien) Lehrplan und Abituranforderungen in der

    Linearen Algebra Bildungswert der Mathematik didaktischer

    Rahmen fr das Seminar Neuere schulpolitische Entwicklungen:

    Bildungsstandards, Kompetenzorientierung und neue Aufgabenkultur

    Vortragsthemen des Seminars

  • Oliver Passon Didaktik der Linearen Algebra 3

    Organisatorisches

    Benoteter Schein bei: Anwesenheit Seminarvortrag + schriftliche Ausarbeitung

    (ca. 5-8 Seiten) Termine:

    Do. 16:15-17:45 in G15.25 Fr. 14:15-15:45 in G 14.34

  • Oliver Passon Didaktik der Linearen Algebra 4

    Lineare Algebra in der OberstufeIn der Einfhrungsphase:

    Koordinatengeometrie (Gerade, Parabel, Kreis, sowie Tangenten, LGS zur Bestimmung derselben)

    In der QualifikationsphaseFr den Grundkurs:

    Lineare Gleichungssysteme fr n>2, Matrix-Vektor-Schreibweise, systematisches Lsungsverfahren fr lineare Gleichungssysteme

    Geraden- und Ebenengleichungen in Parameterform und Koordinatenform, Lagebeziehung von Geraden und Ebenen

    Standard-Skalarprodukt mit den Anwendungen Orthogonalitt und Lnge von Vektoren

    Alternative 1: Abbildungsmatrizen, Matrizenmultiplikation als Abbildungsverkettungoder

    Alternative 2: bergangsmatrizen, Matrizenmultiplikation als Verkettung von bergngen

  • Oliver Passon Didaktik der Linearen Algebra 5

    Fr den Leistungskurs:

    Standard-Skalarprodukt mit den Anwendungen Orthogonalitt, Winkel und Lnge von Vektoren

    Normalenformen von Ebenengleichungen, Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen

    Abstandsprobleme (Abstand Punkt-Ebene)

    Alternative 1: Abbildungsmatrizen, Matrizen-multiplikation als Abbildungsverkettung, inverse Matrizen und Abbildungen, Eigenwerte und Eigenvektorenoder

    Alternative 2: bergangsmatrizen, Matrizen-multiplikation als Verkettung von bergngen, Fixvektoren

  • Oliver Passon Didaktik der Linearen Algebra 6

    Quelle:Vorgaben zu den unterrichtlichen Voraussetzungen fr die schriftlichen Prfungen im Abitur in der gymnasialen Oberstufe im Jahr 2012

    Unabhngig von den folgenden Festlegungen fr das Abitur 2012 im Fach Mathematik gelten als allgemeiner Rahmen die obligatorischen Vorgaben des Lehrplans Mathematik ()

  • Warum Mathematikunterricht?Anwendung vs. reine Mathematik Produkt vs. Prozessorientierung Bildungswert/Grunderfahrungen Konkretisierung fr die Lineare Algebra

  • Oliver Passon Didaktik der Linearen Algebra 8

    Ein alter Streit:Anwendungsorientierung vs. Begriffsorientierung

    Position 1Der Mathematikunterricht sollte:

    mathematische Intuition entwickeln.

    relevante Anwendungen diskutieren (selbst als black box).

    Anschaulichkeit anstreben.

    Position 2Der Mathematikunterricht sollte:

    begriffliche Zusammenhnge betonen.

    mathematische Strenge und Beweise nicht als lstiges bel abtun.

    Computersysteme als Chance nutzen, gedankliche Prozesse sichtbar zu machen.

  • Oliver Passon Didaktik der Linearen Algebra 9

    Ein weiterer Streit: Mathematik als Produkt vs. Prozess

    M als Produkt heit: Isolierte Probleme mit

    eindeutiger Lsung Vermittlung und

    Anwendung eines Kalkls Arbeiten in einem

    vorgegebenen Modell Ergebnisorientiert Fehler als Zeichen

    mangelhafter Produktbeherrschung

    Abgeschlossenheit

    M als Prozess heit: Vernetzte Probleme mit

    vielen Lsungen Einsichtige Erarbeitung

    eines Kalkls Realitt modellieren Prozessorientiert Fehler als Anlass fr

    konstruktive Verbesserung

    Offenheit

  • Oliver Passon Didaktik der Linearen Algebra 10

    These: All diese Sichtweise gehren zu einem gltigen Bild von Mathematik

    Guter Mathematikunterricht muss die Balance zwischen Produkt-und Prozessbild sowie Anwendungs-und Begriffsorientierung halten

  • Oliver Passon Didaktik der Linearen Algebra 11

    Grunderfahrungen, die die Mathematik ermglicht: (nach Winter, 1996) - diese haben Eingang in die Bildungsstandards gefunden

    (G1) Erscheinungen in der Welt auf eine spezifische Art wahrnehmen und verstehen ( Anwendungen).

    (G2) mathematische Gegenstnde als geistige Schpfungen und eine deduktiv geordnete eigene Welt kennen und begreifen lernen ( Begriffe, Beweise und Zusammenhnge).

    (G3) In Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlsungsfhigkeiten erwerben, die ber die Mathematik hinaus gehen.

  • Oliver Passon Didaktik der Linearen Algebra 12

    Unterrichtliche Wirklichkeit kaum relevante Anwendungen (eingekleidete

    Aufgaben)Bsp.: Die Unterseite einer Wolke wird durch

    folgende Ebene beschrieben Betonung des Kalkls zu Ungunsten des Verstehens

    Bsp.: Formel fr Abstand zweier Geraden keine der 3 Grunderfahrungen wird optimal

    gemacht

    These: Der volle Bildungswert der Mathematik entfaltet sich erst bei einer Integration dieser drei Grunderfahrungen.

  • Oliver Passon Didaktik der Linearen Algebra 13

    Unterrichtliche Wirklichkeit II

    Gerade genug begriffliche Strenge, um das Fach Mathematik abschreckend erscheinen zu lassen (Stichwort: magisches Verstndnis von Mathematik)

    Von einer Integration aller Grunderfahrungen kann gar keine Rede sein

    Zu wenig interessante Anwendungen, um Lernprozesse anzuregen

  • Oliver Passon Didaktik der Linearen Algebra 14

    Angewandte vs. reine MathematikM als Produkt vs. M als Prozess

    +Die Aufforderung, beide Sichtweisen zu

    verbinden!=

    Winters Grunderfahrungen mglich bzw. Bildungsstandards erfllt

  • Oliver Passon Didaktik der Linearen Algebra 15

    Was bedeutet das konkret?

    Orientierung an fundamentalen Ideen(Messen, Funktion, )

    Unterschied von Idee und Anwendungbetonen

    Suche nach echten Anwendungen Vernetzung der Inhalte anstreben

  • Oliver Passon Didaktik der Linearen Algebra 16

    Schlielich: Konkretisierung fr die Lineare Algebra:

    Die Lineare Algebra bietet das Werkzeug zur Modellierung interessanter Realprobleme (etwa die -Matrizen!) (G1 und G3)

    Die analytischen Beweise geometrischer Aussagen sind anspruchsvoll und erlauben im Besonderen die Erfahrung G2

    Der ausgeprgte Kalklaspekt erlaubt die Thematisierung des Spannungsverhltnisses: von Idee & Bedeutung und dem kalklhaften Arbeiten (Bsp.: Lagebeziehungen, Darstellungsformen).

    Vernetzung zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Analysis nahe liegend

    Die Lineare Algebra bietet Zugang/Vertiefung von fundamentalen Ideen: Zahl Messen funktionaler Zusammenhang

  • Oliver Passon Didaktik der Linearen Algebra 17

    Schulpolitik: von der Input- zur Outputsteuerung Bildungsstandards: Seit einiger Zeit beginnt das deutsche

    Schulsystem, sich immer mehr an den Ergebnissen des Lernens zu orientieren. Daher sind die bundesweiten Bildungsstandards auch eine Umschreibung von Kompetenzen, die Schlerinnen und Schler zum Zeitpunkt eines Abschlusses besitzen sollen.

    Kompetenzen: Kompetenzen sind allgemeine Bereitschaften und Fhigkeiten, die in variablen Situationen flexibel verfgbar sind. Sie knnen allgemein formuliert sein (z.B. Probleme strukturieren) oder sehr konkret (z.B. Winkel messen), sind aber anders als kurzfristige Lernziele die Ergebnisse lngerer Lernprozesse in unterschiedlichen Zusammenhngen.

    Kernlehrplne: Kernlehrplne beschreiben nicht den gesamten Unterricht und seine Ergebnisse (was weder mglich noch sinnvoll ist), sondern legen nur zentrale Anforderungen (Kerne) fest. Kernlehrplne, die in Form von Output-Standards formuliert sind, legen fr ein Land oder eine Schule fest, welche Kompetenzen Schlerinnen und Schler zu bestimmten Zeitpunkten besitzen sollen.

    Quelle: www.kernlehrplan.de (Timo Leuders, PH Freiburg)

  • Oliver Passon Didaktik der Linearen Algebra 18

    Kompetenzorientierung1: Prozesskompetenzen

    Problemlsen

    Kommunizieren, Argumentieren

    Modellieren

    Werkzeuggebrauch und Medien

  • Oliver Passon Didaktik der Linearen Algebra 19

    Kompetenzorientierung2: Inhaltskompetenzen

    Funktionen

    Arithmetik und Algebra

    Geometrie

    Stochastik

  • Oliver Passon Didaktik der Linearen Algebra 20

    Was bedeutet das alles?

    In der SekI sollen beide Kompetenzbereiche gleichberechtigt behandelt werden!

    Die Schulinternen Curricula mssen ausweisen, durch welche Manahmen und an welchen Stellen die systematische Kompetenzfrderung erfolgt

    Dies bentigt eine andere Unterrichtskultur Mehr dazu morgen

  • Oliver Passon Didaktik der Linearen Algebra 21

    VortragsthemenBei allen Themen soll versucht werden, Bezug zu Werkzeugen/Medien und neuer Aufgabenkultur herzustellen eventuell auch historische Bezgeanklingen zu lassen. Deshalb ist diesen Themen kein gesonderter Vortraggewidmet! Eigene Themenstellungen sind hchst willkommen!

    Einfhrung von Vektoren. Stichwort: neue Zahlen, durch die man nicht dividieren kann! Ort- vs. Richtungsvektor etc.pp.

    Die Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen. Lineare Unabhngigkeit. Basis?

    Das Skalar- und Vektorprodukt Einfhrung und Anwendungen Beweise geometrischer Stze mit Hilfe der Vektorrechnung. Ebenen: Parameterdarstellung, Koordinatendarstellung und Normalform Verknpfung von Vektorrechnung und anderen mathematischen