NQUYEN-XUAN HIJNQ, Biegeschwingungen von Rechteckplatten rnit grolen Amplituden 459

ZAMM 49 (1969) Heft 8, Seite 469-470

Die Biegeschwingungen von Rechteckplatten mit grof3en Amplituden

Von NGUYEN-XUAN HUNG

Ausgehend von den Gleichungen von Th. v. K d r m d n , werden Plattenschwingungen rnit der Methode der Storungsrechnung untersucht. Die Losung wird rnit Ergebnissen aus der Gal erkinschen Methode bei An- wendung eines eingliedrigen Ansatzes verglichen. Es wird gezeigt, dap in der ersten Naherung die beiden Methoden dieselben Ergebnisse liefern. In der zweiten Naherung unterscheiden sich die beiden Ergebnisse wesentlich.

On the basis of T h . v. Kdrmdn’s equations, plate oscillations are investigated by the method of successive approximations. The solution i s compared with the results obtained by using the G a l e r k i n method with one term. In the first approximation the two methods give the same results. In the second approximation the results differ essentially.

Mcnonbays Meionmy pacq2iTa IIOTOKOB uccnenymcs ~ o n e 6 a ~ u s nnacmn Ha ocHoBe y p a m e m i T. ICapMana. PemeHue c p a ~ ~ u s a e ~ c s c p e 3 y ~ r b ~ a ~ a ~ u MeTona Fanep ~ n a a B npnMeHeHuM K onHouneHHoMy BfdpameHuIo. I I o K ~ ~ ~ H o , w o B nepBoM n p u 6 n u ~ e ~ u ~ o6a MeTona I I ~ H B O ~ I I T K Tern me camm peaynma-ratd. Bo BTOPOM n p ~ 6 n u m e ~ a u mee-rcs cyuecmemoe oTnuwe Memny o6enmu p e 3 y n b ~ a ~ a ~ u .

1. Sehwingungsgleiehungen und Storungsrechnung Die elementare Theorie der Plattenbiegung beruht auf der Annahme, da13 die Mittelebene bei

der Ausbiegung ungedehnt ist. Wenn die Dehnung der Mittelflache berucksichtigt werden soll, ergeben sich nichtlineare Differentialgleichungen, denn es erweist sich als notwendig, in die ent- sprechenden Gleichungen eine Komponente endlicher Verzerrung einzufuhren. So haben die bekannten Differentialgleichungen der Plattenschwingungen, wenn die Langs- und Rotations- tragheitskrafte vernachlassigt werden, unter Wirkung einer sinusformigen Belastung die Gestalt

E 2 v 4 CD = - - L(w, w) y

D P - V4 w $- e wgt = L(w, @) + - cos 9 t . (2) h h Dabei sind @(x, y) die Amysche Spannungsfunktion, W die Durchbiegung der Plattenmittelebene,

e = die Dichte der Platte, 8 a die Frequenz der Krafterregung,

D E h3 die Biegesteifigkeit rnit D = 12 (1 - Y2) ’

h die Dicke der Platte und Y die PoIssoNsche Konstante.

a 4 a 4 a 4 p4 ist der Differentialoperator V4 = - ax4 + 2 - + ~ ,

aaw a v azw a w a2w a=@ ax2 a p a p ax2 a x a y a x a y L der nichtlineare Operator L(w, CD) = - - + __ - - 2 - -

Wir betrachten die Schwingungen einer Rechteckplatte mit den Abmessungen

Fuhren wir die dimensionslosen Grol3en Lange: a in z-Richtung, Breite: b in y-Richtung.

(3) W a3 , u = - , C D = a a E H , I = - p X Y

Y 17’- [ = - a a a D

460 NGUYEN-XUAN HUNG, Biegeschwingungen von Rechteckplatten mit groI3en Amplituden

ein, so erhalten wir die Gleichungen 1 F4 H = - L(o, 11) , (4) 2

D D - 174 u + e a4 utt = E L(H, u) + 7i- a cios Q i . (5) h

Mit der Annahme, daI3 v und A kleine GroBen sind, konnen wir zur Losung dieser Aufgabe die Methode der Storungsrechnung anwenden. Dazu fiihren wir die neuen Veranderlichen

(6) U = u , H = 1213 F (7)

ein und betrachten PI3 = E als kleinen Parameter, Dann ergeben sich die Gleichungen D D - V4 u + e a4 utt = a 2 E E L(F, U ) + - E cos SZ t , h h (8)

1 I 7 4 F = - - L(u, U ) . (9) 2

Zur Losung (8) und (9) entwickeln wir die Verschiebung u, die Spannungsfunktion F, die Frequenz Ja und die Phasendifferene 0 in eine Potenzreihe von E.

u = u,(E, 17, t ) + & udEt 71, t ) + E2 ua(A q, t ) + * * * 9

P = Fo(5, 71, t ) + E F I ( t , 7 1 9 1 ) + ea F*(C, ~9 t ) + * * * 7

a = a, + .? a, + €2 B, + - * ',

e = e o + E e l + E a e , + .... I (10)

Dabei setzen wir

(1 1) uo(f, 7, = co(t, 7) A cos (Q t + 8) . Durch Einfiihrung der Veranderlichen P, = Q f + 8 haben die Gleichungen (8) und (9) die Gestalt

D D h h - i 7 4 u + @ a4 Jzz upp = U,EEL(F, u) + - & cos(P, - O ) ,

I74 F = - - L(u, u) ,

(1 2)

(13) 1 2

Nach einigen Umformungen folgt aus der vierten Gleichung von (10)

(14) cos (P, - 8 ) = cos (P, - 8,) + E 8, sin (P, - 8,) + 81 cos (9, - 80)] + &3 [. . .] .

21 + 8, sin (P, - 8,) - [ Durch Einsetzen der Reihen (10) und (14) in die Gleichungen (12) und (13) und Vergleich nach gleichen Potenzen des kleinen Parameters E erhalten wir eine Folge von Differential-Gleichungs- systemen, die sich sukzessive losen lassen. In der ersten Naherung haben wir

D (1 5)

(16) 0 -

v4 4)(& q) - @ a4 mo Go(& 7) = 0 Y

COSa 9, L(iio, Go) . 1 2

I 7 4 F - - - A 2

In der zweiten Naherung bekommen wir D D

(17)

(18)

174 U, + e a4 ma, u l q p = - 2 e a4 s2, Q, u O q p + U W L ( F ~ , u0) + ?;- cos (P, - 8,) ,

I 74 Fl = - L(uo, 11,) . In der dritten Naherung erhalten wir

D + as EIL(Fo, ul) + L(Fl;zio)] + 8, sin (P, - 8,) .

NOUYEN-XUAN HUNQ, Biegeschwingnngen von Rechteckpletten mit groDen Amplituden 461

Im folgenden sol1 die Betrachtung auf den Fall der Rechteckplatte mit gelenkigen Randern be- schrankt bleiben. Die Resultierenden der an jedem Rand wirkenden Krafte seien gleich Null. Fur diese Platte gelten die Randbedingungen

aau U = - - r O , aE2 ( = O , ( = 1 : I

2. Behandlung der Differentialgleichungen der ersten Nilherung

Die Gleichung (15) ist die bekannte Differentialgleichung der Schwingungen von Platten nach der klassischen linearen Theorie, deren Losung wir leicht bestimmen konnen. Es ist

n n B

Go = van = sin m 7c 5 sin ~ 7 , . (21)

E - -

m,n = 1 , 2 , 3 , . . . . E 3 (1 - Y2) @

'

e,, ,, sind die Eigenschwingungsformen der Platte.

Grundschwingung vn, die das groBte praktische Interesse beansprucht. Urn den EinfluB der hoheren Schwingungen anzugeben, betrachten wir im folgenden nur die

Setzen wir Zo = vI1 in die Gleichung (15) ein, so erhalten wir die Losung

3. Behandlung der Differentialgleiehungen der zweiten NiCherung

Die rechte Seite der G1. (17) ist bereits bekannt. Durch Einsetzen von u, und F, nach (ll), (21), (23) in diese Gleichung erhalten wir

D (24) V4 u1 + e a4 @J u lPI= 2 p u4 SZ, SZ, vll A cos e, +

D h + aa E P(5 7) A3 c0s3 e, + - (cos 0, cos e, + sin 0, sin e,) .

Dabei ist 324 n 7 n4 nrl 2 n 7

8P4 B 8 B cos 7- P(Eq) = - s inn E c o s n t sin - + - s inn E sin - (25)

In der Gleichung (24) sind ul, 52,, 0, Unbekannte.

der Relation cos8 e, = - (cos 3 91 + 3 cos e,) fur Q den Ausdruck

Setzen wir die rechte Seite der Gleichung (24) gleich Q, so erhalten wir bei Berucksichtigung 1 4

462 NGUYEN-XUAN Hum, Biegeschwingungen von Rechteckplatten mit groI3en Amplituden

Dabei sind y1 = cos y , y2 = sin y , y3 = cos 3 y und F&, q) die Funktionen, die q~ nicht enthalten. Zur Losung (24) entwickeln wir die Funktionen Fi in Reihen der Eigenschwingungen (21)

1 B

Die d$ werden

7; ( i)) h (z) 3 4 d:, = Z e d SZ,Q, A - - aZA3E - 1 + - + 4 cos B , ,

n = 3,5, 7 , . . .

n = 1, 3, 5, . . .

Aus (24), (26) und (27) konnen wir fur die gesuchte Losung u1 von (24) den Ansatz rneehc L

3 . % I = 2 2' ..Z c & n W i V m n *

m n r = l (38)

Setzen wir (38) in die Gleichung (24) ein, so erhalten wir durch I(oeffizieiitenverg1eich die I<onstanten

.__-. ___ (i = 1 , 2 ) , i dn n rlnn = .--__

dk n

(39)

m2 7c2 + naejiJzt '

h B2 (40) G n =

Mit Kiicksiclit auf

Bruches (XI), (40) Null wird und damit der Wert des Bruches uber alle Grenzerl strcbt. Die Reihendarstellung behalt jedoch auch an dieser Stelle Giiltigkeit, wenn die Koeffizienten d h (i = 1, 2) Null werden. Damit erhalten wir zwei Gleichungen zur Bestimmung von GI und 00:

(41) 41 = 0 (i = 1 , 2 ) , oder aus (29) und (33)

= e a4 Qt schen wir, dafi fur m = 1, n = 1 der Ncnner des h

(43)

~ Q U ~ Q ~ G , A

n 4 2 71- (--) sin 0, = 0 .

NGUYEN-XUAN HUNG, Biegeschwingungen von Rechteckplatten mit groDen Amplituden 463

Daraus finden wir sin 0, = 0 , cos 8, = t 1 (44)

und

(45)

* In der ersten Naherung erhalten wir somit

dabei ist A* die Amplitude der Verschiebung w.

der Eigenfrequenz in der ersten Naherung zu Bei der Eigenschwingung ergibt sich aus (46) die Beziehung zwischen der Amplitude und

(47)

Es ist leicht zu sehen. da13 die Gleichungen (41) der Bedingung aquivalent sind, da13 die ,,Grund- harmonischen" der rechten Seite von (24) gleich Null sein miissen, d. h. die Koeffizienten der Glieder, die y&, q) cos y und yll(t, q) sin y enthalten, mussen gleich Null sein.

Anders ausgedruckt, die Bedingungen (41) sind aquivalent den Bedingungen

(49)

Dabei ist Q wie oben die rechte Seite der Gleichung (24). Jetzt kommen wir zur Bestimmung der Funktion Fl. Die rechte Seite der Gleichung (18)

ist bereits bekannt. Durch Einsetzen von uo und u1 nach (ll), (21), (38) in die Gleichung (18) erhalten wir nach einigen Umformungen die Gleichung

(50)

464 NQUYEN-XUAN HUNG, - Biegeschwingungen von Rechteokplatten mit groDen Amplituden _.

( c f n + ~h,) - - ( c f n + Gan) + 2B2 n2 n4

cos (m - 1) 3t 5 cos (n + 1)

2 B " I B n2 n4 m2 n4

m2 n4 +-T (cLn + c k n ) + cos(m + l ) n E c o s ( n - 1)- q x

(cia n + 4t n ) + (4 n + G k n) + ~

2 B2

Die Gleichung (50) lionnen wir abgekiirzt wie folgt schreiberi

4 4

V4F1 = z C z z CdkniDiRj, In n j = l i = l

(51)

mit

R, = a , R, = a sill 297, R3 = a cos 297, R, = a cos 497, n . 1 7c D - - cos (m - 1) n 5 cos (n + 1) - q ,

D - - cos (m + l )nEcos (n + 1) - q ,

1 I - 4 B 2 - 4 B

B 4 - 4 B

D - - cos (m - 1) n E cos (n - 1) - q ,

D - - cos (rn + l )nEcos(n - 1) - q , 1 n 1 7c

3 - 4

Die Gleichung (51) ist eine lineare Differentialgleichung, die sich leicht losen lafit. Fur die gesuchte Losung Fl machen wir den Ansatz

NGUYEN-XUAN HUNG, Biegeschwingungen von Rechteckplatten mit groBen Amplituden 465

Durch Koeffizientenvergleich erhalten wir die Konstanten

(53)

4. Behandlung der Differentialgeichungen der dritten Ntiherung Nachdem wir die Funktionen ul, Fl ermittelt haben, ist die rechte Seite der Gleichung (19)

Analog wie bei der Behandlung der Gleichung (17) besteht die Bedingung zur Bestimmung

Wenn wir die rechte Seite von (19) mit R bezeichnen, haben wir zwei Gleichungen zur Be-

bestimmt. In dieser Gleichung sind Us, Qa, dl Unbekannte.

von Qz, darin, daB die rechte Seite von (19) keine Grundharmonischen enthalt.

stimmung von Q2 und dl 1 B Z n s s s R p l n ( E , 7) sin 9, d5 dq dp, = 0 Y

0 0 0 (54)

(55)

Dabei ist (55) R = - 2 e a4 Q, Ql u1 IQ - e a4 (In: + 2 Qo Q2) uo p p + a2 E (FOE€ ~1 q q 3-

D + F1 e p UO q q + FO 6 6 111 q q + F1 q q UO 6 c - 2 FOE q u1 c q - 2 FI 6 q UO E q + 7; 01 sin (~l-00) *

Wir bestimmen die Grundschwingung eines jeden Gliedes von (55). Im folgenden verstehen wir unter ,,Grundschwingung“ Glieder, die vll(E 7) cos Q], ~ ~ ( 6 , 7) sin

Grundschwingung { 2 e a4 Qo Ql u1 q } = 0 , Grundschwingung { e a4 (9; + 2 Qo QJ uo IB = A e a4 (Qi + 2 Qo Q2) vll cos y ,

Grundschwingung - 0, sin (9, - 8,) = - - cp,l (0, cos 8, sin 9, - sin 8, cos 9) ,

Grundschwingung {Foe€ u l V q + FO,, u l t e - 2F0eq u l~ , , ) = 0 . Zur Bestimmung der Grundschwingung von uo ‘I rt F16 6 + uo E FI nach einigen Rechnungen die Grundschwingung

enthalten. Wie man leicht sieht, gilt

1: * } (:)Y - 2 uo 6 F1 e q ergibt sich

n4 { u o l i I I F l e e + u o a e F , q q - 2 ~ o e q F l C , } = --AAa [ f ~ l l + 2 f ; 1 3 + f i 3 1 + 2 f i 1 2 ] 9 , ~ , C O S p l - B” --c [fill + 2 fh + fq31 + 2 f h ] yll sin y~ - a - [fill + 2 fils + fbl + 2 f h ] yll cosy . Dabei sind

n4 A 2 n4 A2 B2 2 B 2

466 NGUYEN-XUAN HUNG, Biegeschwingungen von Rechteckplatten mit groBen Amplituden

Gemall (54), (55) mu13 die Grundschwingung von (56) gleich Null sein; daraus erhalten wir zwei Gleichungen zur Bestiinmung von JZ, und 0,:

(58) n4

- 0, sin O, + u2 E - - ~2 [(fill + ris1) 4- e a 4 A (fX + 2 R,, 0,) + ($)z 1

P

I + 3- (/;I1 + 2 f i l s + f i 3 1 + 2 f : l e ) = 0 I

Aus (44) und (58) erlialten wir

Durch Obergang auf die urspriinglichen Veranderlichen erhalten wir gemalj (3), (C), (22), (57) die Frequenz in der zweiteri Nlherung

52 (61)

Q, l." f." 128 @ Q; /92 112 u4

l2En4(l - V ~ ) A * ~ -- x - _ _ _ _ ~ '8 p - E R, E".n,

= 1 +-- + __ - __

Bei der Eigenschwingung haben wir im Falle der zweiten Naherung die folgende Beziehung zwi- schen der Amplitude und der Eigenfrequenz

5? (62)

Q"

1 2 ~ ~ 4 ( 1 - v 2 ) ~ * 4 X

(82 ._.______~- + +) (1 +f ) __ - 3 3 P4 256/9' l o + - 256 2 + - ( i2)

-

( ;) --

256 (1 + f)'

1 -

--

5. Behandlung der Ergebnisse und Vergleich niit der Galerkin schen Lasung Aus (46) und (47) konnen wir die Hesonanzkurve der erzwungeneri Schwirigungeri und die

Frequenz-Amplituden-Kurve bei der Eigenschwingung in der ersten Naherung zeichnen. Wir sehen, da13 in dem Bereich, in dem die Storungsmethode giiltig ist, die Ergebnisse (46), (47) mit den Ergebnissen von [ 11, [2] unter Anwendung der GALERmNschcn Methode (eingliedriger A i m tz) ganz iibereinstimmen.

NQUYEN-XUAN HUNQ, Biegeschwingungen von Rechteckplatten mit groDen Amplituden 467

Wir konnen das wie folgt erklaren: Zur Anwendung der GALERKINsChen Methode machen wir fur die Durchbiegung (I in (8), (9) den Ansatz

(63) = v1d59 17) W) 9

dabei ist k(f) nur eine Zeitfunktion. Aus (9) finden wir

Setzen wir (I und F in die Gleichung (8) ein, multiplizieren sie mit vI1(t, q) und integrieren die beiden Seiten uber die Plattenflache, so erhalten wir eine gewohnliche nichtlineare Differential- gleichung dritter Ordnung zur Bestimmung von U(f). Zum Vergleich untersuchen wir die er- haltene Gleichung wieder nach der Methode der Storungsrechnung. Es zeigt sich, daB diese Me- thode dieselben Ergebnisse ergibt, die man erhalt, wenn man die Gleichungen (8) und (9) nach der Methode der Storungsrechnung lost, dabei nur die Zeitfunktion entwickelt, die Ortsfunktion beibehalt und bei jedem Schritt wieder die GALERKINsChe Methode anwendet. Man entwickelt also die Losung in Reihen

= ~ ~ ~ ( 5 , q) [a cos (a t + 0) + E W) + &(f ) + . .I , F = F; + E F ; + E ' F ; + * - . , a= .no + & a; + E Z a ; . . . , o = 0; + e; + & 2 e ; + . . . .

I I (65)

In der ersten Naherung erhalt man wieder nur die Gleichungen (15), (16). In der zweiten Naherung folgt die Gleichung

(66) ~ ~ 4 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 , , + ~ 1 ~ = ~ ~ a 4 ~ 1 1 ( ~ , q ) ~ 0 ~ ~ A c o s 9 7 + D h + a2 E A3 P(5, q) C O S ~ v + - cos (v - 0;) ,

dabei ist P(5, 7) gemal3 (25) zu wahlen. Nach Multiplikation der gesamten Gleichung (66) mit I&, q) und Integration iiber den

gesamten Plattenbereich erhalten wir eine Gleichung, die nur die unbekannte Funktion Ul(v) enthalt,

(67) ea4sz;:(./S~/11d5dq)(ul,,+ ul)=2ea4(Jfvqid5dq)SZ,SZ;Acospl + D + a2 E A3 (Jf P(E, 7) ~ ( 5 , 7)) c0s3 v + 7;- (JJ vn d t dq) (V - 0:) *

Diese Gleichung enthalt 3 Unbekannte U&), a;, 0;. Die Bedingung zur Bestimmung !2; und 0; besteht darin, daR die Funktion Ul(v) beschrankt

bleiben mul3; d. h. die Koeffizienten von cos q und sin v der rechten Seite mussen gleich Null sein. Diese Bedingung ist wiederum der Bedingung aquivalent, daB die rechten Seiten der Glei- chungen (1 7) oder (66) keine ,,Grundharmonischen" enthalten. Wir erhalten wieder die Glei- chungen (48) und (49). Deshalb sind in der ersten Naherung nicht nur die Schwingungsformen, sondern auch die Formen der Hesonanzkurve nach beiden Methoden vollkommen ahnlich.

Aus (65) finden wir

Durch Vergleich der beiden Losungen (38) und (68) sehen wir, daR auRer der Losung (68) die Losung (38) noch die hoheren Schwingungen enthalt.

Diese hoheren Schwingungen haben grol3en EinfluR auf die Charakteristiken der Schwingung in der zweiten Naherung.

Um diese Bemerkung klarzumachen, bestimmen wir die Grofle J?; bei der Entwicklung (65). Nach einiger Rechnung erhalten wir

468 NGUYEN-XUAN HUNQ, Biegeschwingungen von Rechteckplatten mit groBen Amplituden

Zur Untersuchung der Verstimmung der nach beiden Methoden ermittelten Werte (zweite Naherung) betrachten wir das Verhaltnis zwischen 52, aus (60) und 52;. Aus (60), (70), (57), (45) folgt

9 9 P4 L-Il.p.@+f) +2(2+;)+P6(12+.&-;) +(4+;;&]

Tabelle 1. Verstimmung als Funktion

des Seitenverhiiltnisses

1,0959 1,4809 1,6606 2,9324

-24,2235 - 2,0435

Diese Verstimmung ist vom Seitenverhaltnis abhangig. Wir sehen, da13 die Verstimmung grog sein kann, wenn

das Seitenverhaltnis groR ist. In diesem Pall ist die GALERKIN- sche Methode bei Anwendung des eingliedrigen Ansatzes nur in der ersten Naherung anwendbar.

Jetzt betrachten wir die Verstimmung zwischen der ersten Naherung und der zweiten Naherung bei Anwendung, der Methode der Storungsrechnung. Aus (61) erhalten wir nach einigen Umforniungen

- X

3 3 8 4 3 1 -- - - r - -~ 256 /P (10 + f ) 256 (2 + g) - 512 p6 (10 + $) 64 ,Y’ (12 + f ) (6 - f )

Aus (71) konnen wir die Resonanzkurve zeichnen.

freien Schwingung. Setzen wir in dieser Gleichung p gleich Null, so erhalten wir die nichtlineare Frequenz der

1 Enl &2 n, 9

-1+ -+ -=1+- - (1 -Y2) i2

32 (72) - -

520 Qo Qo

1 - - (1 - Y”)” 1: 82(1 +f)l

1 -

9 9 P 4 - 256 (1 +$)Z 512B6

81 (1 - vz) (1 + b)

NQUYEN-XUAN HUNG, Biegeechwingungen von Rechteckplattan mit grohn Amplituden 469

(75)

Fur die rechnerische Behandlung setzen wir Y = 0,25, dann erhalten wir die nichtlineare Frequenz der freien Schwingung in der ersten Naherung bei

I (Ah*)( 0,117017 p = 1 : = 1 +0,131836 - &

= 1 + 0,200967 (;,* - )” f 0,347849

\

p = 2 3 :

(73)

p = 1 : = 1 + 0,131836

,9 = 2,5:

In der zweiten Naherung ist

p = 1: 1 (E)II=l + 0,200967 (“h‘ - )1 + O,oooO92 (Ah* - . (74) ,9 = 2,5:

P a4 Setzen wir bei der erzwungenen Schwingung - = 5, so haben wir aus (71) die Gleichung der Resonanzkurve. E h4

In der ersten Naherung wird

In der zweiten Naherung ergibt sich

(:)4 0,117017

(76) (g)II = 1 -j- 0,200967 - ( y 1 4 0,347849

= 1 + 0,131836 - - 0,008811 __ f p = 1: (“h‘ )” p = 2,5: (yy - 0,000092 - &

\ (F)

(:)4 0,117017 = 1 + 0,131836 - - 0,008811 __ f p = 1: (“h‘ )”

(g)II = 1 -j- 0,200967 - (yy - 0,000092 - & ( y 1 4 0,347849 p = 2,5:

(F) In Bild 1 und 2 werden die Frequenz-Amplituden-Kurve der freien Schwingung und die Resonanz kurve dargestellt.

Wir sehen, daB die Verstimmung zwischen (L?/QJI und (Q/Q,JI1 sehr klein ist, wenn die Amplitude nicht zu grolj wird. Im Fall (A*/h) r; 1,2 uberschreitet die Verstimmung bei /I = 1 nicht die Grenze 1,53% und bei p = 2,5 nicht die Grenze 0,014%. Deshalb konnen wir bei tach- nischen Problemen die zweite Naherung vernachlassigen. In diesem Fall konnen wir die GALEB- m s c h e Methode bei Anwendung eines eingliedrigen Ansatzes anwenden.

erste Naherung

Bild 1. EinfluD der Amplitude auf die Frequenz der Qrundschwingung einer Rechteckplatte

Bild 2. Resonanzkurve der quadratisohen Platte

470 NQUYEN-XUAN HUNG, Biegeschwingungen von Rechteckplatten mit groDen Amplituden

Literatur 1 N. YAMAKI,

a) Influence of Large Amplitudes on Flexural Vibrations of Elastic Plates. ZAMM 41, S. 501-510 (1961). b) Influence of Large Amplitudes on Flexural Vibrations of Elastic Plates, Science Reports of the Research Instituts Tohoku University, Rep. Inst. high Speed Mechen. 16, S. 169- 187, (1963/1964).

2 P ~ ~ H H O B M ~ , O B 0 6 0 A M H e ~ o n e 6 a ~ ~ r r n 1 6 ~ 1 . i ~ IIpHMOyrOJlbHbIX IIJIBCTHHOK. M 3 B . BbIILI. yse6a. 3 a ~ e - A e I m t 4 . CTP - BO, 3! 1, 63-64, 1966.

Manuskriptcingang: 10. 10. 1968

Anschrift : Dip1.-Ing. NGUYEN-XUAN-HUNG, Universitkit Rostock, Sektion Schiffstechnik, FB Mechanik faster Korper.