BLM IDFERANSYEL DENKLEMLER VE ZMLER LE LGL TEMEL KAVRAMLAR1.1. GiriFizik, mhendislik, kimya, astronomi, biyoloji, tp, psikoloji, sosyal bilimler ve ekonomi gibi dallardaki belli problemleri temsil etmek iin bir matematiksel model gerekli olur. Bu matematiksel modeller, iinde deikenleri ve trevleri bulunduranbir denklemi ve budenklemi baz koullarda salayan bir bilinmeyen fonksiyonu bulmak iin kaynak oluturur. Buradaki btn durumlar birbirleri ile balantl olarak deiirler. rnein den bir cismin hz mesafe ile, frlatlanbir roketin izleyecei yol hz veateleme anndaki as ile deimektedir. Matematikte birbirine bal olarak deien bu byklklere deikenler yani baml ve bamsz deikenler; bir deikenin dier bir deikene gre deime oranna (kabaca) trev; baml deiken, bamsz deiken ve trevleri arasndaki bantya da diferansiyel denklem ad verilir.Fizik ve mhendislikteki bir ok dalda karlalan problemlerin diferansiyel denklemlerle ilgisi vardr. Bunlardan bazlar roket ve uydularn hareketi, bir elektrik devresindeki akm veya elektrik yk, bir tel veya zarn titreimi, iletken bir ubuktaki s akm, radyoaktif bir maddenin paralanmas, kimyasal reaksiyonlarn belirlenmesi, belirli bir geometrik zellikteki erilerin bulunmas gibi... Bir baka deyile, bu tr problemlerin 1matematiksel modeli karmza diferansiyel denklemler olarak kar. rnein, radiumun halihazrdaki miktarna gre belli bir oranda paraland (deneylerden) varsaylmaktadr ve bu matematiksel olarakksdtds diferansiyel denklemi ile ifade edilmektedir. Bu denklemi, 100 mg bir para iin zerek ve deneyden bulunan sonular kullanarak,te s041 . 0100denklemi bulunur. Bu bize, bundan 20 yzyl sonra mg e 0 . 44 100) 20 ( 041 . 0brakacan ve 20 yzyl nce braklan birikintininmg e 0 . 227 10082 . 0olduunu aklar. Genel olarak, belirtilen herhangi bir zamandaki bantlarda tanmlanabilir. Newton yerekimi kanununu tasarlayp dnyann, yrngesinin birindegne olanyaklakbir elips evresincegne etrafndahareket ettiini gstermek iin ilgili diferansiyel denklemler sistemini zd. Uydular, uydularnyrngeleri veilgili yntemleri renmekiinhalen ayn teorileri kullanrz. 1865lerdeMaxwell bir elektrikakm vekar gelenmanyetikalanarasndakibir banty tasarlayp banty bir ksmi diferansiyel denklem sistemi olarak ifade etti. Bunlar zp sonularndan radyo dalgalarn tahmin etti. Diferansiyel denklemler genellikle radyo, radar, televizyonveelektrikteorisiningeliimindenemli birrol oynad. Benzer dnceler hemen hemen bilimin her dalna uygulanmaktadr.21.2. Genel Kavramlar ve TanmlarTanm1.Birveyadahaokbaml deiken, birveyadahaok bamsz deikenve baml deikenlerin bamsz deikenlere gre trevlerini veya diferansiyellerini ieren bir bantyadiferansiyel denklem denir. rnek 1. xdxdysin ,x y sin veya0 sin dy xdx(1)ifadeleri, bir diferansiyel denklemin deiik formlardaki yazldr. Birinci ve ikinci denklemy baml, x bamsz deikenli trev formundaki diferansiyel denklem; nc denklem ise diferansiyel formdaki diferansiyel denklemdir. (1) denklemi, xbaml, ybamszdeikenli olarakecxdydxcos ,1 sin xdydx,0 sin dy xdxeklinde yazlabilir.rnek 2. wt Bw sKCdtdsAdt s dcos22 + +diferansiyel denklemindesbaml, t bamszdeiken; A,B,C,Kvew sabitleri de belli fiziksel sabitlerdir.rnek 3. ( )ax axae edxd,( )dxduvdxdvu v udxd+ .ifadeleri birer diferansiyel zdelikleri olupherbiri diferansiyel denklem deildir.3rnek 4. 0522 +

,_

sdxdsxdxs d

diferansiyel denkleminde s baml deiken, x bamsz deiken;

,_

+22222ysxsats

diferansiyel denkleminde ise s baml deiken, x,y ve t bamsz deiken olup a ise belli bir sabittir.Tanm2.Bir veyadahaokbaml deiken, bir tekbamsz deiken ve baml deikenin (veya deikenlerin) bir tek bamsz deikene gre trevlerini veya diferansiyellerini ieren bir diferansiyel denklemeadidiferansiyel denklemdenir.Ksaca birdiferansiyel denklemde bir tek bamsz deiken varsa denklemeadidiferansiyel denklem denir.Genelolarakybaml, xbamszdeikenli biradi diferansiyel denklem, ) 2 ( + n bilinmeyenli0 ) , , , , , () ( ny y y y x F (2)eklinde bir fonksiyon olarak tanmlanr.Tanm 3. Bir veya daha ok baml deikenin birden ok bamsz deikene gre ksmi trevleri ile beraber baml ve bamsz deikenleri ieren diferansiyel denkleme ksmi diferansiyeldenklem denir. Ksaca bir diferansiyel denklemde birden ok bamsz deiken varsa denkleme ksmi diferansiyeldenklem denir.Genel olarak u baml, x ve y bamsz deikenli bir ksmi diferansiyel denklem,40 ) , , , , , , , , ( yy xy xx y xu u u u u u y x F(3)eklinde bir fonksiyon olarak tanmlanr.rnek 5.x ydxdyydxy dtan233 + , 0 3 ) (2 3 3 + dy xy dx y x ,nt asdt s d +22 denklemleri adi diferansiyel denklemler,02222+yuxu , 0222+ yuy x uxu , nfyfyxfx + denklemleri ise ksmi diferansiyel denklemlerdir.Tanm4.Bir diferansiyel denklemiinde bulunan en yksek mertebeli trevin mertebesinediferansiyel denklemin mertebesi;en yksekmertebeli trevinderecesinedediferansiyel denkleminderecesi denir. Diferansiyeldenklemin derecesi hesaplanrken,denklem trevlerine gre polinom olarak yazlmaldr.rnek 6. 0 3 3422 ,_

+ ydxdyxdxy d ; 2. mertebe ve 1. dereceden1 5 3422+ +

,_

x xydxdydxy d;2. mertebe ve 4. dereceden0222+ yuy x uxu ;2. mertebe ve 1. dereceden( ) x y y y y sin 4 33 + ; 3. mertebe ve 1. dereceden( ) ( ) 1 4 45 3+ + x y y y; 2. mertebe ve 3. dereceden5( ) ( ) ( ) y y 1532 ; 3. mertebe ve 6. dereceden( ) ( ) y k y +2321 ; 3. mertebe ve 2. derecedenTrevleregrecebrikbir adidiferansiyel denkleminderecesi, en yksek mertebeli trevin cebrik derecesidir. Fakat bir diferansiyel denklem bir dereceye sahip olmayabilir. rnein5 3 cos + ,_

xdxdydxdydiferansiyel denklemi hibir dereceye sahip deildir.Tanm 5. y baml deiken ve x bamsz deiken olmak zere n. mertebeden bir lineer adi diferansiyel denklem ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1111 0x b y x adxdyx adxy dx adxy dx an nnnnn + + + +(4)eklinde ifade edilebilen bir denklemdir. Dier bir deyile, bir diferansiyel denklemde her baml deiken ve her mertebeden trevler 1. dereceden ise ve ayn zamanda baml deikenler veya trevler arpmhalinde yer almyorlarsabuekildeki denklemlerelineer (dorusal); aksi haldelineer olmayan (nonlinear) diferansiyel denklemler denir.rnek 7. xdydxsec ,wt Bw sKCdtdsAdt s dcos22 + +,nt sdt s d +322diferansiyel denklemleri lineer,0522 +

,_

sdxdsxdxs d,0 3 3422 ,_

+ ydxdyxdxy d, ( ) ( ) ( ) y y 15326diferansiyel denklemleri ise lineer deildir.Tanm 6. y baml, x bamsz deikenli n. mertebeden ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1111 0x b y x adxdyx adxy dx adxy dx an nnnnn + + + +diferansiyel denklemindeki y baml deiken ve trevlerinin ) ( , ), ( ), (1 0x a x a x ankatsaylarnn hepsi reel sabitlerden oluuyorsa denklemesabitkatsayl diferansiyel denklem;) ( , ), ( ), (1 0x a x a x an katsaylarnn en az bir tanesi bamsz deiken olan xe bal ise denkleme deiken katsayl diferansiyel denklemad verilir.rnek 8.xdxdysec ,1 4 5 322 + + x ydxdydxy d ,nt sdt s d +322denklemleri sabit katsayl diferansiyel denklem,0 3 ) 1 3 (22 + + ydxdyxdxy d , 3 3 8 722 x ydxdyxdxy dxdenklemleri ise deikenkatsayl diferansiyel denklemlerdir. Diferansiyel Denklemlerin Snflandrlmas1. Bir diferansiyel denklem, iinde bulunan bamsz deikenlerin saysna gre nce ikiye ayrlr.a) Adi trevli diferansiyel denklemler (bamsz deiken says bir tekise)b) Ksmi trevli diferansiyel denklemler (bamsz deiken saysbirden fazla ise)72. Diferansiyel denklemler, denklemde bulunan en yksek mertebeli trevin mertebe ve derecesine gre snflandrlabilir.3. Denklemde bulunan baml deiken ve trevlerinin lineerlik koullarn salamasna grea) Lineer (dorusal) diferansiyel denklemlerb) Lineer olmayan (nonlinear) diferansiyel denklemler eklindesnflandrlabilir.4. Baml deikenler ve trevlerinin katsaylarnn cinsine grea) Sabit katsayl diferansiyel denklemlerb) Deiken katsayl diferansiyel denklemler olarak snflandrlabilir.5.Diferansiyel denklemler, yapsnagrehomojenvehomojenolmayan olarak da snflandrlabilir.rnek 9. x y y y sin 3 5 3 + ; 3. mertebe, 1. derece, homojen olmayan, sabit katsayl, lineer adi diferansiyel denklem.1 4 5 ) ( 33 2+ + x y y x y x ; 2. mertebe, 1. derece, homojen olmayan, deiken katsayl, lineer olmayan adi diferansiyel denklem.0 ) 1 ( 5 3 + + y x y y x ; 3. mertebe, 1. derece, homojen, deiken katsayl, lineer adi diferansiyel denklem. Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel DenklemlerTanm7.Bamsz deiken x, bilinmeyen fonksiyon y(x) ve bilinmeyenfonksiyonunbamszdeikenegretrevi olan) (x yi ieren,80 ) y , y , (x F (5)ifadesinebirinci mertebeden adi diferansiyeldenklemdenir.) y , y , (x F fonksiyonuxveydeikenlerininbirineveyaher ikisinebirdenbalolabilecei gibi (5) denkleminin diferansiyel denklem olmas iin bu fonksiyonun y ye bal olaca aktr.) y , y , (x F fonksiyonunun boyutlu uzayn herhangi bir G blgesinde tanmlanan srekli fonksiyon olduunu kabul edelim.Tanm 8.(a,b) aralnda srekli treve sahip (x) y fonksiyonu her x(a,b) iin 0 (x)) (x), x, ( , G (x)) (x), , (x' ' F koullarn salarsa (x) y fonksiyonuna (5) denkleminin zm denir.(5) adi diferansiyel denkleminin zmnn grafiine diferansiyel denklemin integralerisidenir.(5) denklemi y ye gre ak formda yazlrsa,) y , x ( f y (6)diferansiyel denklemi bulunur. Bu denklemebirinci mertebeden ak diferansiyel denklem denir. Buksmda, (6) denklemi iindiferansiyel denklemler teorisinin genel kavramlar verilip, daha sonra bu tip denklemlerin baz eitleri incelenecektir.) , ( y x ffonksiyonuxydzlemininherhangibirDblgesinde tanml bir fonksiyonolsun. Eer(a,b)aralnda diferansiyellenebilir bir(x) y fonksiyonu,a) b) , (a x , D (x)) , (x 9b) b) , (a x , (x)) , f(x (x)

koullarn salarsa,(x) y fonksiyonuna(6)denkleminin (a,b) aralndakizmdenir.rnek 10. yxy fonksiyonu x 1 y2 denkleminin (-1,1) aralndakizmdr.zm: 2x 1 y2x 1xy dir.yveynin bu ifadelerini denklemde yerine yazarsak,2 2x 1xx 1x , ( ) 1 , 1 x elde ederiz. Bu ise,2x 1 y fonksiyonununyxy denkleminin ( ) 1 , 1 aralnda zm olduunu gsterir.(6) diferansiyel denkleminin[a,b] aralndaki zmbenzer ekilde tanmlanabilir. Bazhallerde, diferansiyeldenkleminzmnkapalfonksiyon veyaparametrikbiimdebulmak dahafaydalolur. Eer (x,y) = 0(7)eitliinden kapal fonksiyongibitanmlanan (x) y fonksiyonu (6)denkleminin zm ise, (7) ifadesine(6)denkleminin kapal formdaki zmdenir.(7) eitliinin ne zaman (6) denkleminin zm olduunu belirtmek iin,( ) y x, fonksiyonundayyi xinfonksiyonugibi dnptrevini bulursak, bu trevyy x + . olur. Buradaynn yerine( ) y x f , 10yazdmzda( ) 0 , . + y x fy x zdelikgibisalanrsa, (7)eitlii (6) denkleminin kapal ekildeki zm olur.rnek 11.yxy fonksiyonu 1 y x2 2 +denkleminin kapal formdaki zmdr.zm:Gerekten( ) 1 y x y , x2 2 + dir. Bu fonksiyonun trevi y y 2 x 2 + dir. Burada y nn yerine yx yazarsak,0 x 2 x 2yx. y 2 x 2

,_

+olur. Bylece0 1 y x2 2 +ifadesiyxy diferansiyel denkleminin kapal formdaki zmdr. Parametrik formda,) , ( t , (t) y , (t) x (8)fonksiyonu verilmiolsunveher bir) , ( t iin,a) D (t)) , (t) ( b) 0) (t) ( , (t) y , (t) x sonlu trevler mevcutc) (t)) , (t) f((t)(t) olur.Bu takdirde (8) fonksiyonuna (6) denkleminin) , ( aralndakiparametrik formdakizmdenir.rnek 12. yxy fonksiyonu int y , ost x s c denkleminin [ ] 2 , 0 aralnda parametrikformdakizmdr.11rnek13.Bir bardakaynbalangdaki scakl0100 olsun.030 scaklndak bir odada scakl 1 dakikada 090 ye drrsek, ayn scaklnn 070 ye dmesi iin gereken zaman bulunuz.zm: Newtonunsoumakanununagre,souyanbircismin scaklndaki deime hz, cismin ve d ortamn scaklklar arasndakifarkileorantldr. Herhangibirtannda cisminscakln T(t) ile gsterelim. Ozaman cismin scakln zamann fonksiyonuolarakverendiferansiyeldenklem,) 30 k(dt0+ Td(9)olur. Buradakpozitifbirkatsaydr. (9)denklemiyenidendzenlenirse, o0 k3 kdt Tdeldeedilir. Budiferansiyeldenkleminzmise,kt oce 30 (t) + T (10)dir. aynt = 0anndascakl100oolduundan ((10)denkleminden ) c = 70obulunur. c ninbudeeri(10)denklemindeyerinekonulursa,kt o oe 70 30 (t) + T (11)olur. Probleminartnagre t=1 iin T(1)=90o olduundan ,

ke 70 30 900 0+ veya76ke12olur .O halde;( )tt T ,_

+ 7670 300 0elde edilr.070 T iin t arandna gre t

,_

+ 7670 30 700 0 0dir. Buradan 74log76 tdakika bulunur.rnek 14.Bir lkenin nfusu, lkede yaayan insan says ile orantl olarak artmakta ve bu art 40 ylda 2 kat olmaktadr. Bu lkenin u andaki nfusunun 4 kat olmas iinka yl gemesi gerektiini bulunuz.zm:t=0 anndak nfus0Nvetylndak nfus N(t) olsun. k,orant katsays olduuna gre lkedeki nfus art hz,kNdtdN (12)olur. O halde , bu denklemin genel zm ( )ktce t N olarakeldeedilir. t=0iin, 0) 0 ( N N olduundan 0N c bulunur. O halde, ( )kte N t N0(13)elde edilir. Nfus 40 ylda 2 kat artyorsa ,yani t=40 iin,( )02 40 N N koulu kullanlrsa,ke N N400 02 13bulunur. Buradan; 4012 keelde edilir. Bunu (13) ifadesinde yerine yazarsak ,4002 ) (tN t N bulunur. imdi nfusun 1t yl sonra 4 kat olacan bulmak iin, ( )0 14N t N koulu kullanlrsa, 400 012 4tN N elde edilir. Buradan ise, 801 t yl bulunur.1.5. DiferansiyelDenkleminGeometrikAnlam Buksmda,(6) diferansiyel denkleminin geometrik anlamn inceleyeceiz.y) , f(xDblgesinde, xile yninsrekli bir fonksiyonu ve(x) y fonksiyonu da (6) denkleminin (a,b) aralndaki bir zmolsun.(x) y ilebelirtileneriye(6) denklemininintegralerisidenir. ntegralerisizerindebir) y , (xo o noktasn ele alalm.) y , (xo o noktasnda buerininteetininx eksenininpozitif ynyleyapmolduuayilegsterelim. Trevingeometrikanlamnagre, tg ) (xo dr.

14( ) x y

ekil 1.1.Dier taraftan(x) y fonksiyonu (6) denkleminin zm olduundan ( ) ) (x , x f ) (xo o o dr. Bylece ) y , f(x tgo o ,( ) ( )0 0x y olur.Bunagre,integral erisi zerindeki her bir) y , (xo onoktasnda teetineimi,y) , f(x fonksiyonununaynnoktadaki deerine eittir. Bu ise, (6) denkleminin D blgesinin her bir noktasnda bir yn tanmladn gsterir. Buynler kmesine(6) denklemininynler alan (dorultu alan) denir.Bylece, (6) denklemini zmek demek, yle bir eri bulmak demektirki, bueriyekeyfibirnoktadaizilen teetinyn,alann ayn noktadaki yn ile aksn. Diferansiyel denklemi zmeden nce, denkleminynler alannnyardm ileintegral erilerini yaklakolarak kurmak mmkndr. Bunu elde etme yntemine izoklin yntemi denir.imdi (6) denkleminde y) , f(xfonksiyonunun x ve yye gre birincimertebedensrekliksmitrevlerininmevcutvebutrevlerin sonluolduunukabuledeceiz.kbirsabitolmakzere ; 15k y) , f(x denklemiiletanmlananeriailesiniizelim. Akolarakbuerilerden her biriy) , f(x y denklemininintegral erilerinineit eimli noktalarnngeometrik yeridir. k sabitine mmkn olanbtndeerler verilirse eriailesini elde edebiliriz. Bu erilerin her birine izoklin denir. k = 0 deerine uygunolanizoklineextremaldenir.Birinci mertebeden diferansiyel denklemin zmlerini bulma problemi, izoklinlerdenher birini,oizoklinekargeleneimlekesen eriler izmektenibarettir. Belirli bir izoklininfarkl noktalarndan hareketedilirse,sonsuzsaydaintegral erisinin elde edilebileceiaka grlr. Birinci mertebeden diferansiyel denklemleri zmeye yarayan buyntemeizoklinyntemiad verilir. Bylece, verilen denklemin integral erilerini izoklin yntemi ile yaklakolarakkurmakiin, birbirineyakn,... ,2 1k ksaylarnauygun ( ) ,... 2 , 1 , , i k y x fiizoklinlerini kururuz. Daha sonra yle eriler izebiliriz ki, onlarn her birinin( )ik y x f ,izoklini ile kesime noktasnda izilen teetin eim as ik olsun.Yukardaki bilgilere ek olarak baz denklemlerin integral erilerini dahakesinkurmak mmkn olur.Dblgesinin y) , f(x y >0koulunusalayanksmnda integral erileri artan,y) , f(x y < 0 olan ksmlarnda ise, azalan fonksiyondur.y) , f(xfonksiyonununyye gre birinci mertebeden 16ksmi trevlerinin var olduunu kabul edelim. Bu takdirde (6) denkleminegrey) y)f(x, (x, f y) (x, f y y) (x, f y) (x, f yy x y x+ + dir. ByleceDblgesinin 0 y) y)f(x, (x, f y) (x, f yy x> + koulunusalayanksmlarndaintegralerileri, konveks0 y) y)f(x, (x, f y) (x, f yy x< + olanksmlarndaisekonkavolur. Bundanbakaintegral erilerinin eimnoktalarnda0 y) y)f(x, (x, f y) (x, f yy x + olur. Bu denklemin belirttii eriye denklemin eim hatt denir.rnek 15.zoklin yntemini kullanarakx y y + diferansiyel denkleminin integral erisini yaklak olarak kurunuz. zm: Bu denklem iin, izoklinler ailesi k x y + paralel dorular ailesidir. Burada k reel parametredir. 0 k a uygun olan x y izoklini (extremal izoklin) Y X0 koordinat sisteminde II.,IV. blgelerin aortaylardr.x y dorusu dzlemi iki ksma ayrr. x y < , 0olanksmda0 > yolduundan x y dorusunun altnda integral erileri azalan, ayn dorudan yukarda ise, artandr. Buradan elde edilir ki, integral erileri x y dorusunu keserek azalma blgesinden artma blgesine geer. Bylece,x y dorusu zerindeki noktalar integral erilerinin minimumnoktalardr. 1 k e 17ekil 1.2.uygun olan 1 x yizoklini zerinde integral erilerine izilen teetler xekseni ile0135 , 1 k e uygun olan1 + x yizoklini zerinde integral erilerine izilenteetler ise,xekseni ile045 a oluturur. 1 x yizoklininin ayn zamanda integral erisi olduunu belirtmemiz gerekir.x y y x f + ) , (fonksiyonu, zmn varl ve teklii hakknda teoremin koullarn saladndan, dier inregral erileri bu izoklinle kesiemez.kinci mertebedentrev alrsak1 1 + + + x y y ybulunur. Bylece integral erilerinin bkmnoktalar1 + + x y ydorusu zerinde olmaldr. Bu dorunun kendisi de bir izoklindir. ntegral erilerininminimumnoktalarnnyerletiix y izoklini1 x y izoklininden yukarda yerletiinden,1 x yizoklininden aada yerleen integral erilerinin ekstremum noktalar yoktur.1 x y izokliniY X0dzlemini iki ksma ayrr. Bu izoklinden yukarda 0 > y, aada ise,0 < ydr. Bylece,1 x ydorusunun yukardaki integral erileri konveks, aadaki integral erileri ise, konkavdr. ntegral erileri bu doruyu kesmediinden, onlarn bkm noktalar yoktur. Bu bilgilere gre integral erilerinin yaklak olarak ekil 1.2.deki gibi kurabiliriz. 18rnek 16.zoklin yntemini kullanarak yxy (14)diferansiyel denklemin integral erisini yaklak olarak kurunuz.zm: Kolayca gsterebiliriz ki, 2 2 2c y x +(15)denkleminden kapal fonksiyon gibi tanmlanan fonksiyon keyfi c says iin (14) denkleminin zmdr. Denklemin izoklinleri kyx (16)denkleminden tanmlanr. Buradan xky1 (17)bulunur.19ekil 1.3.Bylece izoklinler koordinat merkezinden geen ve eim as k1 olan dorulardr. (14) denkleminin sa taraf koordinat merkezinde tanml olmadndan, (17) de 0 , 0 y x alnr. Yani alann yn k1dr. Yukardaki bilgilere gre (14) denkleminin herhangi integral erisine ( ) y x,( ) 02 2> + y x noktasnda izilen teetin eim as k ya eittir, yani teet izokline diktir.(Eim alar2 1, k k olan dorularn diklii kouluna gre) (15) ailesi merkezi, koordinat merkezinde ve yarapcolan emberler ailesi olduundan embere izilen teet deme noktasnda izilen yarapa diktir. Bubilgileregreintegral erilerini yaklakolarakekil 1.3.deki gibi kurabiliriz.rnek 17.Kapal formda verilen ( )3y x y y + diferansiyel denkleminin integral erilerini yaklak olarak kurunuz. 20ekil 1.4.zm: k y yazarsak izoklinler( ) k k x y3 erileridir. Onlar 3x y extremal izoklinini0 > kolduunda saa ve aa veya0 k kolduundan sa tarafta artandr. 1 k ele alndnda izoklin ( ) 1 13+ + x y dir vebuizoklin zerinde integral erileriOXekseninin pozitif yn ile 0135a yapyor.1 k alndnda ( ) 1 13 x y izoklini zerindeintegral erileri OXekseninin pozitif yn ile 045a oluturur. k ya dier deerlerde vererekk tan dan y bularak , uygun izoklinler zerinde ynleri tanmlayabiliriz. Daha sonra ise, onlarn esasnda integral erilerini yaklak olarak ekildeki gibi kurabiliriz.Bubilgilere gre integralerilerini yaklak olarakekil 1.4.deki gibikurabiliriz.211.6. Bir Eri Ailesinin Diferansiyel Denkleminin KurulmasBundanncebirinci mertebedenbir diferansiyel denklemingenel integralinin bir keyfi sabiti kapsadn grdk.1.xydzlemindebirparametreli bireri ailesi alalm. Buailenin denklemi0 ) c , y , x ( (18)olsun. (18) ifadesinin xe gre trevini alalm. Bylece0 y ) c , y , x ( ) c , y , x (y x + dr. Buradan22) c , y , x () c , y , x (yyx (19)bulunur.(18) ifadesinden) y , x ( c olarak zlm olsun. c nin bu deeri (19) de yerine konulursa,)) y , x ( , y , x ()) y , x ( , y , x () c , y , x () c , y , x (yyxyx eldeedilir. Buifadedenakaynnyalnzxveyyebal olduu grlr. Bu durumda bu ifadey) , f(x y veya0 ) , , ( y y x F eklinde gsterilebilir. Bu da verilen eri ailesinin diferansiyel denklemidir. Buna grebirparametreye bal bir eri ailesinin diferansiyel denklemini bulmakiineri ailesinindenklemindedeikenegretrevalnr, elde edilendenklemleeri ailesinindenklemi arasndaparametreyokedilerek eri ailesinin diferansiyel denklemi elde edilir.2. 1c ve 2c keyfi sabitlerini ieren 0 ) , , , (2 1 c c y x (20)eri ailesini alalm. (20) ifadesinin xe gre birinci ve ikinci trevleri alnp bu fonksiyon ve trevleri arasnda 1c ve 2c keyfi sabitleri yok edilirse 0 ) , , , ( y y y x Fformunda 2. mertebeden bir diferansiyel denklem elde edilir.3. 1c, 2c ve3c gibi keyfi sabit ieren 230 ) , , , , (3 2 1 c c c y x (21)eri ailesinin diferansiyel denklemini bulmak iin (21) ifadesinin xe gre birinci, ikinci ve nc trevleri alnp bu fonksiyon ve trevleri arasnda 1c, 2c ve 3c keyfi sabitleri yok edilirse 0 ) , , , , ( y y y y x Fformunda 3. mertebeden bir diferansiyel denklem elde edilir.4.Bu ilemleri genelletirirseknc c c , , ,2 1gibi n tane keyfi sabit ieren 0 ) , , , , , (2 1nc c c y x (22)eri ailesinin diferansiyel denklemini bulmak iin (22) ifadesinin xe gre n. mertebeye kadar trevleri alnp bu fonksiyon ve trevleri arasnda nc c c , , ,2 1 keyfi sabitleri yok edilirse 0 ) , , , , , () ( ny y y y x F formunda n. mertebeden bir diferansiyel denklem elde edilir.rnek 18.y 2 cy x2 2 + eri ailesinindiferansiyel denklemini kurunuz.zm: Bu ifadenin xe gre trevini alalm. Bylecey 2 y cy 2 x 2 +elde edilir. Buradancy 1xy bulunur, bu denklemde2422yx y 2cifadesi yerine yazlrsa,y y xy y x2 diferansiyel denklemi eldeedilir.Bu daverileneri ailesinindiferansiyel denklemidir.rnek19.Merkezix y 2 dorusuzerindeveyarap 1eeit olan emberler ailesinin diferansiyel denklemini kurunuz.zm:Merkezi ( ) b a,noktasnda ve yarap 1e eit olan emberler ailesinin denklemi( ) ( ) 12 2 + b y a x(23)dir. ( ) b a, noktas x y 2 dorusu zerindeolduundan,a b 2 dr. bnin bu deerini denklemde yerine yazarsak,( ) ( ) 1 22 2 + a y a xbulunur. Bu ifadeden xe gre trev alrsak, ( ) 0 2 + y a y a xelde edilir. Buradan, yy y xa + +2 1bulunur.a b 2 olduundan, yy y xb + +2 12olur. a ve bnin bu deerlerini (23)de yerine yazarsak, 12 122 12 2

,_

+ + +

,_

+ +yy y xyyy y xx25veya( ) ( ) ( )2222 1 1 2 y y y x+ +denklemi elde edilir. Bu istenen ailenin diferansiyel denklemidir.rnek 20. x xe c e c y+ 2 1eri ailesinindiferansiyel denklemini kurunuz.zm: Bu ifadenin xe gre birinci ve ikinci trevlerini alrsak,x xe c e c y 2 1 ve x xe c e c y+ 2 1olur. Bu denklem arasnda 1c ve 2c keyfi sabitleri yok edilirse0 y yikinci mertebeden diferansiyel denklemi elde edilir. Buda verilen eri ailesinin diferansiyel denklemidir.rnek 21 3 2 1cos sin c x c x c y + + eri ailesinindiferansiyel denklemini kurunuz.zm:Buifadeninxegrebirinci, ikinci venctrevlerini alrsak,x c x c y sin cos2 1 x c x c y cos sin2 1 x c x c y sin cos2 1+ olur. Bu drt denklem arasnda 1c ,2c ve 3c keyfi sabitleri yok edilirse0 + y yncmertebedendiferansiyel denklemi eldeedilir. Budaverileneri ailesinin diferansiyel denklemidir.26ProblemlerAada verilen eri ailelerinin diferansiyel denklemlerini kurunuz. 1.cx y (Cevap: y x y )2. cx y x 2 2(Cevap: 0 22 2 + y xy y x )3.2c cx y + (Cevap:2y y x y+)4.t tce t y ce x + 2,(Cevap:x y x y x + 2)5.cxx cy+1(Cevap: ( ) 0 1 12 2 + y y x )6.xe c y21+ (Cevap: ( ) 0 12 2 +x xye y e )7. ( ) 1 12 + x c ey(Cevap: ( ) ( ) 1 2 12+ +y ye x y x e )8. bxae y 9. 2 22 c cx y + 10. x x xe c e c e c y+ + 322 111. x B x A y sin cos + , ( sabit)12. c y x y x +5 3 3 213.D Cx Bx Ax y + + + 2 314. Bx Ax y + 215. ) sin( . b x a y + 16. ) sin( c x x y + 17.12 2 + + cy bxy ax18. Eksenleri x ve y olan elipsler ailesinin diferansiyel denklemini kurunuz.19. Eksenleri x ve y olan hiperboller ailesinin diferansiyel denklemini kurunuz.2720. ) 0 , 0 ( ve ) 0 , 2 ( noktalarndan geen emberler ailesinin diferansiyel denklemini kurunuz.1.7. CauchyProblemi, Genel, zel ve Tekil zmlerVerilen D ) y , (xo o noktasiin

y) , f(x y (6)denklemini veo oy ) y(x (24) koulunu salayan(x) y zmnn bulunmas problemine Cauchy problemi denir. (24) koulunaise, Balangkoulu veo oy , x saylarna daBalangdeerleri denir. (6) denkleminin(24) balangkoulunu salayanzmnnbulunmas, geometrik olarak D blgesinin ) y , (xo onoktasndangeenintegral erisininbulunmas demektir. y) , f(x fonksiyonu ) y , (xo onoktasnn herhangi bir komuluunda srekliise, (6) denkleminin(24) balang koulunu salayan en az birzmvardr.(x) y fonksiyonu, [ ] h x , h xo o+ aralnda (6) denkleminin (24) balang koulunu salayan birzmolsun. Budenklemin (16) balang koulunu salayanher birx) ( yzmiinyle birh) ( 0 >says vardr ki,) x , (xo o+ aralnda x) ( (x) dir. Bu takdirde(6) denkleminin(24) balang koulunu salayan zm tektir denir. Tersine olarak ) y , (xo o noktasndan geenintegralerisi yoksa veyavar ve birdenfazlaise, (6) denkleminin (24) balang koulunu salayan zmntekliibozulur.28Daha sonra gstereceiz ki,) y , (x fonksiyonu y) , f(xo o noktasnn herhangi bir komuluunda srekli bir fonksiyon ve yye gre birinci mertebedensrekli ksmi trevesahipise, (6) denkleminin(24) balang koulunu salayantekzmvardr.Cauchy probleminin bir tek zmnn var olduunu verdikten sonra denklemin genel, zel ve tekil zmlerinin tanmlarn verelim.Genel zm:D D0ile(6)denklemininbirtekzmesahip olduublgeyi gsterelim. Yani0Dblgesininherbirnoktasndan(6) denkleminin bir tek integral erisi geer. Keyfi c sabitine bal ( ) c x y , (25)eriler ailesi verilsin.Tanm9.a)Her bir( )0, D y x iin (25) denklemi cye gre zlebilirse, yani ( ) y x c , (26)eklinde ise, b)( ) D y x ,iin c sabitinin (26) ile tanmlanan her bir deerinde (25) ifadesi (6) denkleminin zm ise, bu takdirde (25) ailesine (6) denkleminin genel zm denir. Genel zm ( ) 0 , , c y x veya ( ) c y x , kapal ekilde verilebilir. zm ( ) 0 , , c y x eklinde verildiinde, ona denklemin genel integrali ,( ) c y x , eklinde verildiinde ise,( ) y x, ye onun integrali denir. zel zm: (x) y fonksiyonu (a,b) aralnda (6) denkleminin zm olsun. Eer her bir x(a,b) iin (6) denkleminin 29(x)) , (x noktasndangeenintegral erisi tekise,(x) y zmne(6)denklemininzelzmdenir.(25)ailesi (6)denkleminingenel zmolduunukabul edelim. Onun (24) balang koulunu salayan zmn genel zmden bulmak iin aadaki ilemleri yapmak gerekir. 1. (25) ifadesinde x,y yerine 0 0, y x yazlr , yani ( ) c x y ,0 0 (27)dir.2. (27) ifadesi c ye gre zlebilir. Kabul edelimki,c c 0onun kkdr.3.0c c deerini (26)da yerine yazarz. Elde edilen( )0, x x y fonksiyonu(6)denkleminin (24) balang koulunu salayan zm olur.Tekil zm:(x) y fonksiyonu (a,b) ak aralnda (6) denkleminin zm olsun. Eer her bir x(a,b) iin(x)) , (x noktasndan(6) denkleminin(x) y eait olacakekildeenaziki integral erisi geerse,(x) y zmne (6) denkleminintekil zmdenir.Bylece, Cauchy probleminin zmnn teklii, bozulan noktalarn geometrik yerinden oluan integral erisine uygun zm tekil zm olur. 0Dile (6) denkleminin bir tek zme sahip olduu blgeyi gsterelim.) x ( y ise, bu denklemin (a,b) aralnda tanmlanm tekil zm olsun.) x ( y zmnn grafiinin hibir noktas 0D blgesine ait olamayaca aktr. Buna gre de, tekil zm (eer varsa) 30genel zmden c sabitine saysal deerler vermekle elde edilemez ve bu zmn grafii 0D blgesinin snrndadr. rnek 22. xy yy 2diferansiyel denklemini ele alalm. Bu denklem( ) 0 , 0,( ) 1 , 0noktalar hari her yerde tanmldr. Kolayca gsterebilirizki,cxy11ailesi verilendiferansiyel denklemingenel zmdr ve 0 y dan farkl integral erilerinin hepsi ( ) 1 , 0 noktasndan geer.xy22fonksiyonu( ) 2 , aralnda verilen denklemin ( ) 2 1 y koulunu salayan zmdr ve genel zmde 21 c koymakla eldeedilir.Uygunintegral erisi zerinde keyfi bir( )11 1 122, ,xy y x noktasn elealpvedenklemin ( )1 1y x y koulunusalayanzmn bulalm.01 xolduundaxy22zm ,01 xolduunda ise, 1 yzm elde edilir. Bylece( ) 1 , 0noktasndan hemxy22 integral erisi, hemde1 yintegral erisi geer. Bylece,xy22 integral erisinin ( ) 1 , 0 noktasndan farkl tm noktalarnda zmn teklii salanr.( ) 1 , 0noktasndan verilen denklemin sonsuz sayda integral erisiningeeceini belirtmemizgerekir. Bununnedeni ise, ayn noktada denklemin tanml olmamas, bundan dolay da bu integral erilerinin ( ) 1 , 0 31noktasna yaklamasdr. ( ) 0 , 0 noktas iin de benzer ilemler yaplabilir ve 0 y integral erisi bu noktaya yaklar. Eeryyebamsz deiken,xe ise, aranan fonksiyon gibi bakp denklemiy yxx 2eklinde yazarsak, elde ederiz ki, 0 x integral erisidir ve( ) 0 , 0 noktasna yaklar.rnek 23. y y diferansiyel denklemini ele alalm. ( ) y y x f ,fonksiyonuXOY dzleminde tanml ve sreklidir.Buna gre,verilen denklemin ( )0 0, y xnoktasndan geen integral erisi vardr. ( ) 00 x yise, verilen denklemin( )0 0, y xnoktasnda bir tek integral erisinin getiini yani, y y , ( )0 0y x y Cauchy probleminin bir tek zmnn var olduunu gsterelim.zm: 00 > yolsun. Buna gre( )0 0, y xnoktasnn x ekseni ile keimeyen bir komuluunda( ) y y x f ,sreklidir ve srekli ( )yy x fy21, trevi vardr. Byleceverilendenklemin,her bir( ) ( ) 0 , ,0 0 0> y y xnoktasndan birtekintegral erisigeer.00 < yolduundadabusonucundoruluu benzer ekilde elde edilebilir. Keyfi bir0xiin ( ) 0 ,0xnoktasnda ( ) 0 ,0x fy olduunda bu noktada zmn teklii bozulur. Bu noktalarn geometrik yeri0 y 32dorusunu verir ve bu doru verilen diferansiyel denkleminin integral erisidir. Bundan baka ,