1

DİFERANSİYEL DENKLEMLER

TANIM:

DİFERANSİYEL DENKLEM: Bağımsız değişken, bu değişkenin

fonksiyonu ve bu fonksiyonun türevlerini içeren bir bağıntıdır. Diğer bir ifade ile

içerisinde türev bulunduran denklemlere diferansiyel denklem denir.

Diferansiyel Denklemler Genel Olarak İki Grupta Toplanır:

1) Adi Diferansiyel Denklemi: Bir tek bağımsız değişken, bu değişkenin

fonksiyonu ve bu fonksiyonun türevlerini içeren diferansiyel denklemidir.

Bunlar genel olarak;

( )( ) ( )xyy..A0l.,.........y,y,xf n1 == ΔΔ

( )y,xzz..K0dydz,

dxdz,z,y,xf ==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΔΔ

Bir diferansiyel denklemin çözümü; genel çözüm, özel çözüm ve tekil çözüm

olmak üzere 3’e ayrılır. Diferansiyel denklemin c sabitine bağlı çözümüne genel

çözüm; c’ye değerler verilerek elde edilen çözümlere özel çözüm denir. Ayrıca bu

genel çözümdeki integral sabitine özel değerler verilerek elde edilemeyen fakat

denklemi sağlayan çözümlere de tekil çözüm denir.

Örneğin: 21 y1y −= diferansiyel denkleminin çözümlerini bulalım.

21 y1y −=

2y1dxdy

−=

dxy1

dy2=

−

∫ ∫=−

dxy1

dy2

2

cxyarcsin +=

( )cxsiny += genel çözüm

( )( ) ⎪

⎭

⎪⎬

⎫

+==+==

==

2xsiny2c1xsiny1c

xsiny0c özel çözüm

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=−=

=

=

0110

0y1y

2

1 tekil çözüm

I. Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler:

I. mertebeden adi diferansiyel denklemin genel formu;

( )y,xfy1 = şeklinde olup eğer ( ) ( )( )y,xQ

y,xPy,xf −= şeklinde bir fonksiyon

ise ( )( )y,xQ

y,xPdxdy −

=

( ) ( )dy.y,xQdx.y,xP =−

( ) ( ) 0dy.y,xQdx.y,xP =+ olur.

Bu eşitlikte P ve Q fonksiyonları x ve y’nin ayrı fonksiyonları olarak

yazılabiliyor ise bu tür denklemlere değişkenliklerine ayrılabilen diferansiyel

denklem denir. Yani;

( ) ( ) ( ) ( ) 0dy.yQ.xPdx.xQxP 2211 =+

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) 0

yQ.xPdy.yQ.xP

xPyQdx.yQxP

12

2

21

11 =+

( )( )

( )( ) 0dy.yQyQdx.

xPxP

2

1

2

1 =+

[ ]ΔΔΔ ..A.0dy.Mdx.N =+

3

Örnek: xcosy1 = denkleminin genel çözümünü bulunuz.

xcosdxdy

=

∫ ∫= dx.xcosdy

cxsiny +=

I. Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler:

Genel forma ( ) ( )xQy.xPy1 =+ şeklinde olan denklemlere I. Mertebeden

lineer diferansiyel denklem denir. Bu türden denklemlerin genel çözümü 2 yol ile

yapılır.

1- Sabitin değişimi metodu.

2- ( ) ( )x.xy ϑϑ= dönüşümü.

1- Sabitin Değişimi Metodu: Bu metod ile önce homojen kısmın genel

çözümü bulunur. Bu genel çözümdeki integral sabiti x’in bir fonksiyonu olup

denklemi sağlayacak şekilde belirlenir.

( ) ( ) ( )ΔΔ..LxQy.xPy1 =+

( ) 0y.xPy1 =+

( ) y.xPdxdy

−=

( )∫ ∫ −= dx.xPy

dy

( ) ( )∫ =+−= xKK,nKdx.xPny

( )∫−=− dxxPnkny

( )∫−= dx.xPkyn

4

( )∫=− dx.xP

eky

( )∫=− dx.xP

e.ky

( ) ( )( ) ( )k.e.xPe.ky

dx.xPdx.xP11 ∫−+∫=−−

( ) ( )xQy.xPy1 =+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xQxP.e.kk.e.xPe.kdx.xPdx.xPdx.XP1 =∫+∫−∫ −−−

( ) ( )xQe.kdx.xP1 =∫−

( ) ( )∫=dx.xP1 e.xQk

( ) ( )∫ +∫= ce.xQk

dx.XP

( )∫=− dx.xP

e.ky

( ) ( ) ( )∫⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +∫=

−

∫dx.xPdx.xP

e.ce.xQy ’dir.

Örnek:

x1 eyy −=+ diferansiyel denklemin çözümünü bulunuz.

( ) 1xP = , ( ) xexQ −= ( )ΔΔ..L

x1 e.ky0yy −==+

ydxdy

−= xx11 e.ke.ky −− −=

dxdxdy

−= x1 eyy −=+

xxxx1 ee.ke.ke.k −−−− =+−

5

nKxny +−= xx1 ee.k −− =

xnKny −=− 1k 1 =

xkyn −= cxk +=

xeky −= xe.ky −=

( ) xe.cxy −+= ’dir.

2- .uy = dönüşümü:

111 .u.uy +=

( ) ( )xQy.xPy1 =+

( ) ( )xQ.u.xP.u.u 11 =++

( ) ( )==+

=+ xQ.u

0u.xPu 11

( ) ( )xQu.0u.xPu 11 ==+ Λ

( ) ( )xQu.dxdu.xP

dxdu

=−=

( ) ( ) ( )xQe.dxddx.xP

udu dx.xP

=∫−−

( ) ( ) ( )dx.e.xQddx.xPnu

dx.xP∫=−=−

∫

( )∫=

− dx.xPeu ( ) ( )

∫ +∫= cdx.e.xQdx.xP

.uy =

( ) ( ) ( ).dir'cdx.e.xQ.ey

dx.xPdx.xP

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +∫∫= ∫

−

6

Örnek: 2x1y.

x1

dxdy

=− diferansiyel denklemi çözünüz.

.uy =

( ) ( )

( ) ( )

21

111

2

1

x1y.

x1y

.u.uy.uyx1xQ,

x1xP

xQy.xPy

=−

+=⇒=

=−=

=+

211

x1.u.

x1.u.u =−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − u

x1u1 + 2

1

x1.u =

=0 =

211

x1.u0u.

x1u ==− Λ

21

x1x.

xdx

udu

==

31

x1enxenu ==

xu = 31 x−=

∫ −= dx.x 3

cx.21

2 +−=

.uy =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−= c

x.21.xy 2

7

c.xx2

1y +−= genel çözümdür.

Çalışma Soruları

Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin genel çözümünü bulunuz.

1) nydxdy.xtan =

2) x3yx1y1 =+

3) ( ) 31 xyx3y1x2 =+−