Upload
khaleem-poetra
View
38
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
materi untuk kalkulus 2, bab Diferensiasi. materi ini diresume dari buku Matematika Teknik yang ditulis oleh K.A Stroud. silahkan dimanfaatkan sebaik baiknya
Citation preview
Diferensiasi
1. Pengantar
Gradien atau kemiringan (slope) garis lurus ditunjukkan
sebagai rasio dy
dx, yaitu :
jarak vertikal antara titik P dan Q
jarak horizontal antara titik P dan Q
dy
dx=
dimana nilai gradien dy
mdx
= adalah konstan.
Garis lurus yang naik ke kanan mempunyai gradien
positif sedangkan jika garis tersebut turun ke kanan
mempunyai gradien negatif.
Contoh:
Kemiringan kurva pada sebuah titik tertentu
Jika P adalah titik (x,y) dan Q titik lain sepanjang
kurva, maka y
x
δ
δ memberikan slope busur PQ dan
bukan slope kurva yang diperlukan pada titik P.
Namun jika Q berpindah lebih mendekat ke P maka
y
x
δ
δ akan lebih mendekati slope di titik P.
Slope di P adalah nilai limit y
x
δ
δdengan xδ
mendekati nol, yaitu 0
limx
dy ym
dx xδ
δ
δ→= =
Gradien/slope kurva pada titik P adalah gradien/slope tangen kurva di titik P.
Berikut penjelasan dan contohnya:
Cari gradien dari kurva 22 5y x= + pada titik P dengan 1,5x = .
Pertama-tama kita buat tabel yang memeberikan nilai y dari 22 5y x= + pada interval 0,5x
antara 0 dan 3x x= = .
x 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 2
2 5y x= + 5 5,5 7,0 9,5 13,0 17,5 23,0
Plot dalam grafik secara akurat dan tandai titik P pada grafik untuk 1,5x = .
Sekarang gunakan penggaris, atur di titik P dengan seksama hingga didapatkan posisi tangen
kurva.
Gunakan nilai di 0,5x = dan 3,0x = , hitung nilai slope tangen kurva pada titik P.
0,5 ; 3,42,5 dan 14,7
3,0 ; 18,1
14,75,9
2,5
x ydx dy
x y
dym
dx
= = ∴ = =
= =
= = =
Didapatkan gradien di titik P adalah kira-kira 5,9.
Determinasi aljabar slope kurva
Jika P adalah titik ( , )x y pada kurva 22 5y x= + , maka Q, titik sebelahnya P mempunyai
koordinat ( , )x x y yδ δ+ + .
Pada titik Q:
( )
[ ]( )[ ]
[ ] ( )[ ]
2
22
22
22 2
2
2 5
2 2 . 5
2 4 . 2 5
dikurangi dengan y di kedua sisi
2 4 . 2 5 2 5
4 . 2
bagi kedua sisi dengan
4 2
y y x x
x x x x
y y x x x x
y y y x x x x x
y x x x
x
yx x
x
δ δ
δ δ
δ δ δ
δ δ δ
δ δ δ
δ
δδ
δ
+ = + +
= + + +
+ = + + +
+ − = + + + − +
= +
= +
y
x
δ
δ menunjukkan gradien garis lurus melalui P dan Q.
Jika Q dipindah ke P, 0 dan 0x yδ δ→ → , sehingga gradien PQ akan mendekati gradien
tangen di titik P, gradien tangen di titik P = y dy
x dx
δ
δ→ .
0lim 4x
dy yx
dx xδ
δ
δ→= =
Ini adalah hasil umum untuk menentukan slope kurva di setiap titik pada kurva 22 5y x= + .
Jadi pada 1,5x = , 4(1,5) 6dy
dx= = , slope nyata kurva 2
2 5y x= + pada 1,5x = adalah
6. Solusi grafis sebelumnya diperoleh 5,9 sebagai pendekatan.
Proses untuk mendapatkan dy
dx disebut sebagai diferensiasi dan
dy
dx adalah bentuk koefisien
diferensial y terhadap x.
Koefisien diferensial pangkat x
Diferensial Polinomial
Untuk mendeferensialkan polinomial maka dideferensialkan untuk masing-masing suku.
Koefisien diferensial-notasi alternatif
Jika 22 5y x= + , maka 4
dyx
dx= . Ini adalah pernyataan ganda yang dapat dituliskan sebagai
pernyataan tunggal dengan menempaykan y dalam dy
dx, yaitu : ( )2
2 5 4d
x xdx
+ = .
Koefisien diferensial kedua 2
2 ditulis
d dy d y
dx dx dx
adalah koefisien diferensial kedua y terhadap x. Contoh:
Diferensial perkalian fungsi
Jika dimana u dan v adalah fungsi xy uv
dy dv duu v
dx dx dx
=
= +
Diferensial hasil bagi dua fungsi
2
Jika dimana u dan v adalah fungsi xu
yv
du dvv u
dy dx dx
dx v
=
−
=
Diferensial Fungsi dari Fungsi
Jika siny x= , y adalah fungsi dari sudut x , nilai y tergantung pada nilaix yang diberikan.
Jika sin(2 3)y x= − , y adalah fungsi dari sudut (2 3)x − yang merupakan fungsi x itu sendiri,
dapat dikatakan bahwa y adalah fungsi dari (fungsi x ).
Untuk mencari diferensial fungsi dari fungsi perlu memahami aturan rantai.
Dengan contoh di atas, sin(2 3)y x= − , gunakan 2 3u x= − sehingga siny u= dimana
2 3u x= − .
Jika x mempunyai penambahan xδ , u mempunyai penambahan uδ , sehingga y mempunyai
penambahan yδ , yaitu , , dan x x x u u u y y yδ δ δ→ + → + → + .
, , dan x u yδ δ δ memiliki nilai tertentu dimana dapat dikatakan bahwa y y u
xx u x
δ δ δ
δ δ δ= , jika
0, 0, dan 0x u yδ δ δ→ → → maka , dan y dy y dy u du
x dx u du x dx
δ δ δ
δ δ δ→ → → kemudian
pernyataan sebelumnya menjadi .dy dy du
dx du dx= . Inilah yang disebut sebagai aturan rantai yang
berguna dalam menentukan koefisien diferensial fungsi dari fungsi.
Penyelesaian contoh diatas menjadi:
sin(2 3)y x= − , gunakan 2 3u x= − sehingga siny u= dimana 2 3u x= − .
cos
2
. 2 cos 2 cos(2 3)
dyu
du
du
dx
dy dy duu x
dx du dx
=
=
= = = −
Diferensial logaritma natural
Jika ln
1
y x
dy
dx x
=
=
( )Jika ln F adalah fungsi x
1.
y F
dy dF
dx F dx
=
=
Jika
ln
x
x
y a
dya a
dx
=
=
Diferensial dari fungsi hiperbolik
2. Koefisien diferensial baku
( )y f x= dy
dx
1 nx 1n
nx−
2 xe x
e
3 kxe kx
ke
4 xa ln
xa a
5 ln x 1
x
6 loga x 1
.lnx a
7 sin x cos x
8 cos x sin x−
9 tan x 2sec x
10 cot x 2cosec x−
11 sec x sec .tanx x
12 cosec x cosec .cotx x−
13 sinh x cosh x
14 cosh x sinh x
3. Fungsi dari suatu fungsi
Jika ( ) dan ( )y f u u F x= = maka .dy dy du
dx du dx=
Jika lny F= dengan F adalah fungsi x , maka 1
.dy dy dF dF
dx dF dx F dx= =
Contoh: sin
sin
misalkan sin
cos
. cos cos .
x
u
u
u x
y e u x
y e
dye
du
dux
dx
dy dy due x x e
dx du dx
= =
=
=
=
= = =
ln sin
.
1
1cos cot
sin
y x
dy dy dF
dx dF dx
dF
F dx
dyx x
dx x
=
=
=
= =
Perkalian fungsi Jika dimana u dan v adalah fungsi xy uv
dy dv duu v
dx dx dx
=
= +
Pembagian fungsi
2
Jika dimana u dan v adalah fungsi xu
yv
du dvv u
dy dx dx
dx v
=
−
=
4. Diferensiasi Logaritmik
Jika ada lebih dari dua fungsi dengan berbagai susunan pembilang dan penyebut, koefisien
diferensial lebih baik dicari melalui diferensial logaritmik. Semuanya didasarkan pada kenyataan
bahwa ( )1
lnd
xdx x
= dan apabila x digantikan dengan satu fungsi F , maka
{ }1
lnd dF
Fdx F dx
= .
Sebagai contoh kasus uv
yw
= , dimana , , dan serta fungsi u v w y x . Pertama-tama
ambil logaritmanya dengan bilangan dasar e yaitu :
ln ln ln lny u v w= + −
Kemudian diferensialkan masing-masing ruas terhadap x , maka akan diperoleh:
1 1 1 1. . . .
1 1 1. . .
1 1 1. . .
dy du dv dw
y dx u dx v dx w dx
dy du dv dwy
dx u dx v dx w dx
dy uv du dv dw
dx w u dx v dx w dx
= + −
= + −
= + −
Contoh:
Jika 2sin
, tentukan cos 2
x x dyy
x dx=
Jika 4 3tan , tentukan
x dyy x e x
dx=
5. Fungsi implisit
Jika 24 2y x x= − + , y terdefinisi sepenuhnya oleh x dan y , ini disebut sebagai fungsi
eksplisit dari x . Lain halnya dengan sin 2xy y+ = bentuk seperti ini disebut sebagai fungsi
implisit karena hubungan dalam bentuk ( )y f x= tersirat didalamnya.
Contoh:
6. Persamaan parametrik
Dalam beberapa persoalan terkadang, suatu fungsi diungkapkan dengan menyatakan x dan y
dalam suayu variabel bebas ketiga, misalkan sebagai contoh cos 2 dan siny t x t= = .
Maka harga t akan memberikan pasangan harga untuk x dan y . Variabel ketiga disebut sebagai
parameter dan kedua persamaan untuk x dan y disebut sebagai persamaan parametrik.
Contoh: