Diferensiasi

1. Pengantar

Gradien atau kemiringan (slope) garis lurus ditunjukkan

sebagai rasio dy

dx, yaitu :

jarak vertikal antara titik P dan Q

jarak horizontal antara titik P dan Q

dy

dx=

dimana nilai gradien dy

mdx

= adalah konstan.

Garis lurus yang naik ke kanan mempunyai gradien

positif sedangkan jika garis tersebut turun ke kanan

mempunyai gradien negatif.

Contoh:

Kemiringan kurva pada sebuah titik tertentu

Jika P adalah titik (x,y) dan Q titik lain sepanjang

kurva, maka y

x

δ

δ memberikan slope busur PQ dan

bukan slope kurva yang diperlukan pada titik P.

Namun jika Q berpindah lebih mendekat ke P maka

y

x

δ

δ akan lebih mendekati slope di titik P.

Slope di P adalah nilai limit y

x

δ

δdengan xδ

mendekati nol, yaitu 0

limx

dy ym

dx xδ

δ

δ→= =

Gradien/slope kurva pada titik P adalah gradien/slope tangen kurva di titik P.

Berikut penjelasan dan contohnya:

Cari gradien dari kurva 22 5y x= + pada titik P dengan 1,5x = .

Pertama-tama kita buat tabel yang memeberikan nilai y dari 22 5y x= + pada interval 0,5x

antara 0 dan 3x x= = .

x 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 2

2 5y x= + 5 5,5 7,0 9,5 13,0 17,5 23,0

Plot dalam grafik secara akurat dan tandai titik P pada grafik untuk 1,5x = .

Sekarang gunakan penggaris, atur di titik P dengan seksama hingga didapatkan posisi tangen

kurva.

Gunakan nilai di 0,5x = dan 3,0x = , hitung nilai slope tangen kurva pada titik P.

0,5 ; 3,42,5 dan 14,7

3,0 ; 18,1

14,75,9

2,5

x ydx dy

x y

dym

dx

= = ∴ = =

= =

= = =

Didapatkan gradien di titik P adalah kira-kira 5,9.

Determinasi aljabar slope kurva

Jika P adalah titik ( , )x y pada kurva 22 5y x= + , maka Q, titik sebelahnya P mempunyai

koordinat ( , )x x y yδ δ+ + .

Pada titik Q:

( )

[ ]( )[ ]

[ ] ( )[ ]

2

22

22

22 2

2

2 5

2 2 . 5

2 4 . 2 5

dikurangi dengan y di kedua sisi

2 4 . 2 5 2 5

4 . 2

bagi kedua sisi dengan

4 2

y y x x

x x x x

y y x x x x

y y y x x x x x

y x x x

x

yx x

x

δ δ

δ δ

δ δ δ

δ δ δ

δ δ δ

δ

δδ

δ

+ = + +

= + + +

+ = + + +

+ − = + + + − +

= +

= +

y

x

δ

δ menunjukkan gradien garis lurus melalui P dan Q.

Jika Q dipindah ke P, 0 dan 0x yδ δ→ → , sehingga gradien PQ akan mendekati gradien

tangen di titik P, gradien tangen di titik P = y dy

x dx

δ

δ→ .

0lim 4x

dy yx

dx xδ

δ

δ→= =

Ini adalah hasil umum untuk menentukan slope kurva di setiap titik pada kurva 22 5y x= + .

Jadi pada 1,5x = , 4(1,5) 6dy

dx= = , slope nyata kurva 2

2 5y x= + pada 1,5x = adalah

6. Solusi grafis sebelumnya diperoleh 5,9 sebagai pendekatan.

Proses untuk mendapatkan dy

dx disebut sebagai diferensiasi dan

dy

dx adalah bentuk koefisien

diferensial y terhadap x.

Koefisien diferensial pangkat x

Diferensial Polinomial

Untuk mendeferensialkan polinomial maka dideferensialkan untuk masing-masing suku.

Koefisien diferensial-notasi alternatif

Jika 22 5y x= + , maka 4

dyx

dx= . Ini adalah pernyataan ganda yang dapat dituliskan sebagai

pernyataan tunggal dengan menempaykan y dalam dy

dx, yaitu : ( )2

2 5 4d

x xdx

+ = .

Koefisien diferensial kedua 2

2 ditulis

d dy d y

dx dx dx

adalah koefisien diferensial kedua y terhadap x. Contoh:

Diferensial perkalian fungsi

Jika dimana u dan v adalah fungsi xy uv

dy dv duu v

dx dx dx

=

= +

Diferensial hasil bagi dua fungsi

2

Jika dimana u dan v adalah fungsi xu

yv

du dvv u

dy dx dx

dx v

=

−

=

Diferensial Fungsi dari Fungsi

Jika siny x= , y adalah fungsi dari sudut x , nilai y tergantung pada nilaix yang diberikan.

Jika sin(2 3)y x= − , y adalah fungsi dari sudut (2 3)x − yang merupakan fungsi x itu sendiri,

dapat dikatakan bahwa y adalah fungsi dari (fungsi x ).

Untuk mencari diferensial fungsi dari fungsi perlu memahami aturan rantai.

Dengan contoh di atas, sin(2 3)y x= − , gunakan 2 3u x= − sehingga siny u= dimana

2 3u x= − .

Jika x mempunyai penambahan xδ , u mempunyai penambahan uδ , sehingga y mempunyai

penambahan yδ , yaitu , , dan x x x u u u y y yδ δ δ→ + → + → + .

, , dan x u yδ δ δ memiliki nilai tertentu dimana dapat dikatakan bahwa y y u

xx u x

δ δ δ

δ δ δ= , jika

0, 0, dan 0x u yδ δ δ→ → → maka , dan y dy y dy u du

x dx u du x dx

δ δ δ

δ δ δ→ → → kemudian

pernyataan sebelumnya menjadi .dy dy du

dx du dx= . Inilah yang disebut sebagai aturan rantai yang

berguna dalam menentukan koefisien diferensial fungsi dari fungsi.

Penyelesaian contoh diatas menjadi:

sin(2 3)y x= − , gunakan 2 3u x= − sehingga siny u= dimana 2 3u x= − .

cos

2

. 2 cos 2 cos(2 3)

dyu

du

du

dx

dy dy duu x

dx du dx

=

=

= = = −

Diferensial logaritma natural

Jika ln

1

y x

dy

dx x

=

=

( )Jika ln F adalah fungsi x

1.

y F

dy dF

dx F dx

=

=

Jika

ln

x

x

y a

dya a

dx

=

=

Diferensial dari fungsi hiperbolik

2. Koefisien diferensial baku

( )y f x= dy

dx

1 nx 1n

nx−

2 xe x

e

3 kxe kx

ke

4 xa ln

xa a

5 ln x 1

x

6 loga x 1

.lnx a

7 sin x cos x

8 cos x sin x−

9 tan x 2sec x

10 cot x 2cosec x−

11 sec x sec .tanx x

12 cosec x cosec .cotx x−

13 sinh x cosh x

14 cosh x sinh x

3. Fungsi dari suatu fungsi

Jika ( ) dan ( )y f u u F x= = maka .dy dy du

dx du dx=

Jika lny F= dengan F adalah fungsi x , maka 1

.dy dy dF dF

dx dF dx F dx= =

Contoh: sin

sin

misalkan sin

cos

. cos cos .

x

u

u

u x

y e u x

y e

dye

du

dux

dx

dy dy due x x e

dx du dx

= =

=

=

=

= = =

ln sin

.

1

1cos cot

sin

y x

dy dy dF

dx dF dx

dF

F dx

dyx x

dx x

=

=

=

= =

Perkalian fungsi Jika dimana u dan v adalah fungsi xy uv

dy dv duu v

dx dx dx

=

= +

Pembagian fungsi

2

Jika dimana u dan v adalah fungsi xu

yv

du dvv u

dy dx dx

dx v

=

−

=

4. Diferensiasi Logaritmik

Jika ada lebih dari dua fungsi dengan berbagai susunan pembilang dan penyebut, koefisien

diferensial lebih baik dicari melalui diferensial logaritmik. Semuanya didasarkan pada kenyataan

bahwa ( )1

lnd

xdx x

= dan apabila x digantikan dengan satu fungsi F , maka

{ }1

lnd dF

Fdx F dx

= .

Sebagai contoh kasus uv

yw

= , dimana , , dan serta fungsi u v w y x . Pertama-tama

ambil logaritmanya dengan bilangan dasar e yaitu :

ln ln ln lny u v w= + −

Kemudian diferensialkan masing-masing ruas terhadap x , maka akan diperoleh:

1 1 1 1. . . .

1 1 1. . .

1 1 1. . .

dy du dv dw

y dx u dx v dx w dx

dy du dv dwy

dx u dx v dx w dx

dy uv du dv dw

dx w u dx v dx w dx

= + −

= + −

= + −

Contoh:

Jika 2sin

, tentukan cos 2

x x dyy

x dx=

Jika 4 3tan , tentukan

x dyy x e x

dx=

5. Fungsi implisit

Jika 24 2y x x= − + , y terdefinisi sepenuhnya oleh x dan y , ini disebut sebagai fungsi

eksplisit dari x . Lain halnya dengan sin 2xy y+ = bentuk seperti ini disebut sebagai fungsi

implisit karena hubungan dalam bentuk ( )y f x= tersirat didalamnya.

Contoh:

6. Persamaan parametrik

Dalam beberapa persoalan terkadang, suatu fungsi diungkapkan dengan menyatakan x dan y

dalam suayu variabel bebas ketiga, misalkan sebagai contoh cos 2 dan siny t x t= = .

Maka harga t akan memberikan pasangan harga untuk x dan y . Variabel ketiga disebut sebagai

parameter dan kedua persamaan untuk x dan y disebut sebagai persamaan parametrik.

Contoh: