Differentialligninger og tungmetallermedia.mentoreurope.eu/static/SRP2015/Differentialligninger_og_tung... · Spektrofotometri ... så den starter med generel teori omkring differentialligninger

Studieretningsprojekt HTX-Esbjerg Afl. 18/12 2009 Matematik A & Kemi A

Side 1 af 26 Simon Klinge Nielsen, 3.E

Studieretningsprojekt

Differentialligninger og tungmetaller

𝑦′ = ℎ(𝑥) ∗ 𝑔(𝑦)

Af Simon Klinge Nielsen

HTX-Esbjerg

Matematik A & kemi A

Vejledere:

Helle Kruchov Laursen

Sonja Poulsen

Periode:

11/12 2009 – 18/12 2009

Afleveres:

18/12 2009



Abstract In this assignment, I have been working with differential equations and heavy metals. My problem

statement was to describe the differential equations and to prove solution methods. I should also set

up a model, with differential equations, which could describe a pollution of a biotope. I should

explain what is meant by spectrophotometry and Lambert-Beer’s law. Finally I should explain why

atomic absorption spectrophotometry is particular suited to heavy metals. I found out, that a

differential equation is an equation that contains a derivative. There are a lot of different types of

differential equations. I described those that were relevant to my assignment. I managed to set up a

model for a lake, contaminated with nickel. Spectrophotometry is a chemical analysis method which

is based on colors and color intensities. Lambert-Beer’s law describes a connection between

absorption and concentrations. The reason why atomic absorption spectrophotometry is particular

suited to heavy metals, is that a high proportion of the metal is on the atomic form at a high

temperature, and therefore a large part of the light beam energy is absorbed.

Indholdsfortegnelse Abstract ................................................................................................................................................... 2

Indledning................................................................................................................................................ 3

Problemformulering ................................................................................................................................ 3

Opgaven .................................................................................................................................................. 4

Matematik ............................................................................................................................................... 4

Differentialligninger ............................................................................................................................ 4

Løsning af differentialligninger ........................................................................................................... 6

𝒚′ = 𝒈𝒙 ........................................................................................................................................... 6

𝒚′ = 𝒉𝒙 ∗ 𝒈(𝒚) ............................................................................................................................... 7

𝒚′ = 𝒌 ∗ 𝒚 ........................................................................................................................................ 9

𝒚′ = 𝒃 − 𝒂𝒚 .................................................................................................................................. 11

Modelopstilling via differentialligninger ........................................................................................... 13

Forurening af sø ............................................................................................................................ 14

Rensning af sø ............................................................................................................................... 17

Kemi....................................................................................................................................................... 18

Spektrofotometri ............................................................................................................................... 18

Lambert-Beers lov ............................................................................................................................. 20

AAS-metoden .................................................................................................................................... 21

Konklusion ............................................................................................................................................. 23

Kilder ..................................................................................................................................................... 26

30.139 tegn u. mellemrum/2000 = 15,06 normalside



Indledning

Denne opgave omhandler differentialligninger og tungmetaller, hvor modelopstillinger med

differentialligninger indgår. Jeg er meget interesseret i naturen, hvilket betyder at jeg har drejet

opgaven i en retning så emnet er interessant for mig. Jeg synes det er fascinerende, at man via

matematiske ligninger kan opstille en model, som eksempelvis beskriver, hvordan en biotop

forurenes over tid, når den bliver påvirket af visse faktorer. Ligeså spændende er det at se, hvordan

modellen ændrer sig, hvis parametrene, som modellen bygger på, ændres. I opgaven vil jeg

bearbejde differentialligninger generelt, og undersøge hvordan forskellige typer, af disse ligninger,

kan løses analytisk. Jeg vil også beskrive, hvordan modeller af scenarier fra dagligdagen, kan opstilles

via differentialligninger. Jeg har som mål, at opstille en model, som beskriver forureningen af en sø,

samt rensningen af samme. I opgaven vil jeg endvidere undersøge, hvordan forureningen af

tungmetaller, kan analyseres kemisk via metoden atomabsorptionsspektrofotometri (AAS).

Opgaven vil ikke omhandle numeriske løsningsmetoder af differentialligninger, ligesom jeg heller ikke

vil beskrive alle slags differentialligninger og deres løsningsmetoder. Jeg arbejder kun med de

differentialligninger, som er relevante for forståelsen af differentialligningsbegrebet og som er

relevante for min opgave. Da opgaven omhandler differentialligninger, vil jeg ikke bevise og beskrive

integrationstekniker samt øvrige regneregler, som jeg inddrager i opgaven, men blot nævne disse.

Problemformulering

Differentialligninger er et vigtigt matematisk redskab, når det handler om at beskrive natur-

videnskabelige fænomener.

Forklar hvad man forstår ved begrebet differentialligning.

Redegør for hvordan forskellige typer af differentialligninger kan løses analytisk.

I naturvidenskab anvender man bl.a. differentialligninger til at opstille en model af en virkelighed.

Du skal vise et eksempel på, hvordan man kan opstille en differentialligningsmodel for en biotop

som forurenes af et tungmetal, herunder skal du redegøre for opstilling af modellen samt dens

løsning.



Undervejs i forløbet udtages prøver fra biotopen. Disse prøver analyseres for indhold af tungmetal

ved analysemetoden AAS

Redegør kort for begrebet spektrofotometri, herunder Lambert- Beer’s lov.

Beskriv hvordan analysemetoden AAS ( AtomAbsorptionsSpektrofotometri ) virker og hvorfor

denne er anvendelig til bestemmelse af tungmetaller.

Opgaven

Jeg har opbygget opgaven, så den starter med generel teori omkring differentialligninger. Herefter

har jeg redegjort for forskellige typer af differentialligninger, samt løsningsmetoderne for disse. Efter

dette afsnit omhandlende differentialligninger generelt, har jeg vist, hvordan en model baseret på en

sø forurenet med nikkel, kan opstilles via differentialligninger. Metoden til opstillingen er bygget på

massebalance. Jeg har opstillet en model for forureningen af søen, samt en model der viser

rensningen samme sø.

I min kemidel har jeg redegjort for begrebet spektrofotometri samt Lambert-Beer’s lov. Herefter har

jeg arbejdet med analysemetoden atomabsorptionsspektrofotometri, om hvordan denne virker, og

hvordan den kan have relevans for søen, jeg beskrev i matematikdelen.

Matematik

Differentialligninger

1I hverdagen møder vi mange eksempler på differentialligninger. Med ligningerne kan man opstille

modeller, der kan beskrive mange ting såsom befolkningsvækst, reaktionshastigheder,

nedbrydningsprocessers hastighed og mange andre ting. Fælles for dem er, at de beskriver

udviklingen af en funktion, hvad enten den er positiv eller negativ. I differentialligninger indgår altid

en differentialkvotient. Differentialkvotienten beskriver tangenthældningen til en funktion, og det er

derfor at en differentialligningen beskriver en udviklingshastighed for en funktion.

Differentialkvotienten kan skrives på mange måder: 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦′ = 𝑓′(𝑥), men alle er de et aflede til en

funktion. Der findes mange forskellige typer af differentialligninger. Man inddeler disse i ordner. En

1 Differentialligninger: Madsen, Preben. Erhvervsskolernes forlag, Teknisk matematik 3, s. 163.



differentialligning af 1. Orden, indeholder en differentialkvotient til en funktion: 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦′ = 𝑓′(𝑥). En

differentialligning af 2. Orden indeholder differentialkvotienten til en differentialkvotient, altså det

dobbelte aflede. Skrivemåden for det dobbelte aflede er: 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 = 𝑦′′ = 𝑓′′(𝑥). En differentialligning

kan indeholde flere differentialkvotienter, men navngives altid efter den højeste orden der

forekommer i ligningen. Når man løser differentialligninger ønsker man ofte at finde y, som er den

funktion der indsat i differentialligningen opfylder denne.

Når en løsning til en differentialligning indtegnes som graf, kaldes denne for en integralkurve eller en

løsningskurve. Denne kurve vil give et grafisk overblik over udviklingen af en funktion.

Til differentialligninger findes et uendeligt antal løsninger. Dette fremkommer at, at

differentialligninger løses via integralregning. Og til et ubestemt integral vil der altid komme en

konstant, k. Kender man en specifik værdi, som funktionen skal antage til et bestemt tidspunkt kan

man bestemme konstanten. En løsning, hvor man ikke kan et koordinatsæt til funktionen, kaldes det

fuldstændige integral eller den fuldstændige løsning. Kender man derimod et punkt på

løsningskurven har man en specifik løsning også kaldet et partikulært integral. Har man en

differentialligning, kan man danne sig et overblik over dennes løsningskurves forløb via

linjeelementer. Linjeelementer indeholder et koordinatsæt, men samtidig beskriver det også

tangenthældningen til dette koordinatsæt. Tangenthældningen, eller differentialkvotienten,

symboliseres via α, og et linjeelement skrives derfor således: (𝑥, 𝑦; α). En anden skrivemåde er:

(𝑥0, 𝑓(𝑥0); 𝑓′(𝑥0))

Et eksempel kunne være differentialligningen: 𝑦′ = 4𝑥3. Man udvælger et vilkårligt punkt: (𝑥, 𝑦) =

(2,1). I dette punkt bestemmes tangenthældningen ved at indsætte x-værdien i

differentialkvotienten: 𝑦′ = 4 ∗ 23 = 32. Dette medfører at linjeelementet bliver (2,1; 32). Således

kan en rækken linjeelementer beregnes og indtegnes i et koordinatsystem, hvorved man kan danne

sig et indtryk af løsningskurvens udvikling. Måden man indtegner linjeelementer på, er som en kort

linje der har hældningen α i det givne punkt.

Ved almindelig funktionsteori snakker man om definitionsmængder for funktioner, altså de x-værdier

som en funktion kan antage. Når man snakker differentialligninger, indføres et udtryk der hedder

definitionsintervaller. Disse intervaller beskriver, hvori en graf i en løsningskurve er kontinuer, altså

intervaller, hvor alle x-værdier for funktionen kan antages. Et eksempel kan være med



differentialligningstypen 𝑦′ = 𝑓(𝑥), hvor 𝑓(𝑥) = 7𝑥 + 8. Her er der ingen x-værdier som funktionen

f(x) ikke kan antage, og derfor bliver definitionsintervallet 𝐼: 𝑥 ∈ 𝑅. Har vi derimod en funktion

𝑔(𝑥) =2

3−𝑥 så kan funktionen ikke antage x-værdien 3, da nævneren i brøken så vil blive lig nul,

hvilket ikke er muligt så 𝑥 ≠ 3. Derfor bliver der to

intervaller for denne funktion 𝐼1: 𝑥 < 3 𝑜𝑔 𝐼2: 𝑥 > 3.

De to intervaller kan også ses ud af grafen for denne

funktion, som er vist her til højre:

Løsning af differentialligninger

Som tidligere nævnt findes der mange forskellige typer af

differentialligninger. I dette afsnit vil jeg redegøre for

løsningsmetoder af forskellige typer differentialligninger. Jeg vil holde mig til ligninger af 1. Orden og

hvordan disse løses analytisk. Differentialligninger kan også løses via numeriske metoder, men disse

udelader jeg i denne opgave.

𝒚′ = 𝒈(𝒙) 2En type af differentialligninger er 𝑦′ = 𝑔(𝑥), 𝑥 ∈ 𝐼. Altså differentialkvotient af y lig med en funktion

af x.

Denne type kan løses ved at ophæve differentialet, hvilket gøres ved at integrerer funktionen g(x), og

derved bestemme y.

Til et eksempel tager vi udgangspunkt i samme funktion, som blev brug tidligere: 𝑓(𝑥) = 7𝑥 + 8,

𝑥 ∈ 𝐼.

For at finde den fuldstændige løsning skal vi integrere f(x), hvorved vi den

generelle løsningsformel kan opskrives: 𝑦 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) +

𝑘, hvor F(x) er stamfunktion til 𝑓(𝑥)

Eksempel: 𝑦 = ∫ 7𝑥 + 8𝑑𝑥 =7

2𝑥2 + 8𝑥 + 𝑘 , 𝐼: 𝑥 ∈ 𝑅. Dette er bestemt

via integrationsregnereglerne. Løsningen vi har fået, er den fuldstændige løsning, da konstanten k er

ukendt. Definitionsintervallet er 𝑥 ∈ 𝑅 da y kan antage alle x-værdier.

Havde vi for eksempel vidst at løsningen skal antage funktionsværdien 4 ved x-værdien 2, (2,4),

kunne vi bestemme den specifikke løsning ud fra den fuldstændige løsning:

2 Differentialligninger af typen y’ = g(x), Madsen, Preben. Teknisk matematik 3, s. 167-172.

Integrationsregneregler

f(x) F(x)

A ax

Ax a*xn+1/n+1



𝑦 =7

2𝑥2 + 8𝑥 + 𝑘, 𝑥 ∈ 𝑅, så indsætter vi koordinaterne i løsningen, hvorved vi har en ligning med

én ubekendt, k, som kan bestemmes: 𝑦 =7

2𝑥2 + 8𝑥 + 𝑘 4 =

7

222 + 8 ∗ 2 + 𝑘 𝑘 = −26

Så den specifikke løsning for differentialligningen 𝑦′ = 7𝑥 + 8, der går gennem punktet (2,4) er 𝑦 =

7

2𝑥2 + 8𝑥 − 26, 𝑥 ∈ 𝑅.

Et andet eksempel, hvor definitionsintervallet ikke er 𝑥 ∈ 𝑅.

Differentialligningen:

𝑦′ = √𝑥 − 7

Definitionsinterval fastlægges:

𝐼: 𝑥 ≥ 7

Omskriver:

𝑦 = ∫ √𝑥 − 7 𝑑𝑥 = (𝑥 − 7)12𝑑𝑥

Integrerer via substitutionsmetoden:

𝑢 = 𝑥 − 7 Bestemmer u

𝑑𝑢 = 1Bestemmer differentialet af u, du

𝑑𝑢

𝑑𝑥= 1𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 Bestemmer udtryk for differentialet af x, dx.

Integrerer med hensyn til u

∫(𝑢)12𝑑𝑢 =

𝑢12

+1

12 + 1

+ 𝑘 =2

3𝑢

32 + 𝑘

Indsætter udtrykket for u

𝑦 =2

3(𝑥 − 7)

32 + 𝑘, 𝐼: 𝑥 ≥ 7

Hermed har vi den fuldstændige løsning

Denne type af differentialligninger er en af de mest simple vi har.

𝒚′ = 𝒉(𝒙) ∗ 𝒈(𝒚)

Ser vi derimod på typen 𝑦′ = ℎ(𝑥) ∗ 𝑔(𝑦) så er løsningsmetoden noget mere kompliceret, da denne

har to variable; x og y. Løsningsmetoden kaldes separationsmetoden. Metoden bygger på at samle

variablerne på hver side af lighedstegnet.



Vi benytter 𝑑𝑦

𝑑𝑥 som udtryk for differentialkvotienten, og får derved ligningen:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= ℎ(𝑥) ∗ 𝑔(𝑦). Vi

betragter 𝑑𝑦

𝑑𝑥 som en brøk, hvilket ikke er korrekt, da det er et udtryk for den afledede funktion.

Vi omskriver ligningen ved at dividerer g(y) på begge sider og får: 1

𝑔(𝑦)∗

𝑑𝑦

𝑑𝑥= ℎ(𝑥).

For at komme videre substituerer vi leddet 1

𝑔(𝑦) med

𝑑𝐺(𝑦)

𝑑𝑦, hvor G(y) er stamfunktion til

1

𝑔(𝑦)

Nu kommer ligningen til at se således ud: 𝑑𝐺(𝑦)

𝑑𝑦∗

𝑑𝑦

𝑑𝑥= ℎ(𝑥). Via brøkregneregler kan man omskrive

ligningen således: 𝑑𝐺(𝑦)

𝑑𝑥= ℎ(𝑥). Denne ligning svarer nu til formen 𝑦′ = 𝑔(𝑥), så vi kan løse den via

metoden vi tidligere anvendte, hvorved vi får: 𝐺(𝑦) = ∫ ℎ(𝑥)𝑑𝑥. Da vi tidligere bestemte at G(y) er

stamfunktionen til 1

𝑔(𝑦) kan vi indsætte leddet ∫

1

𝑔(𝑦)𝑑𝑦 i stedet for G(y), hvorved ligningen kommer

til at se således ud: ∫1

𝑔(𝑦)𝑑𝑦 = ∫ ℎ(𝑥)𝑑𝑥. Hermed er separationsmetoden færdig, da vi har afskilt

variablerne x og y. Forudsætningerne for separationsmetodens anvendelse er, at h er kontinuer i

intervallet I, mens g er kontinuer og har konstant fortegn i intervallet J.

Ser vi på et eksempel:


𝑦′ = 𝑦 ∗ 5𝑥

Bestemmer h og g, og indsætter i løsning via separationsmetode:

ℎ(𝑥) = 5𝑥 𝑜𝑔 𝑔(𝑦) = 𝑦

∫1

𝑦𝑑𝑦 = ∫ 5𝑥 𝑑𝑥

Fastlægger intervaller:

𝐼: 𝑥 ∈ 𝑅

𝐽1: 𝑦 < 0 𝐽2: 𝑦 > 0

Da y står i næveren må denne ikke give nul, og derfor får vi to definitionsintervaller, hvor y er større

og mindre end nul. h(x) kan antage alle x-værdier.

Integrerer:

ln(𝑦) =5

2𝑥2 + 𝑘

Isolerer y:

Anvender potensregnereglen: 𝑎𝑟 ∗ 𝑎𝑠 = 𝑎𝑟+𝑠



𝑦 = 𝑒5

2𝑥2+𝑘 𝑦 = 𝑒

5

2𝑥2

∗ 𝑒𝑘

Omskriver ligning:

Da e er en konstant og k er en konstant, kalder jeg leddet 𝑒𝑘 = 𝑐, hvilket giver mig ligningen:

𝑦 = 𝑒52

𝑥2

∗ 𝑐, 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 < 0, 𝑦 > 0

Dermed har jeg fundet den fuldstændige løsning for differentialligningen 𝑦′ = 𝑦 ∗ 5𝑥.

Med separationsmetoden kan vi løse mange former for differentialligninger. Jeg vil koncentrere mig

om yderlige to typer, 𝑦′ = 𝑘 ∗ 𝑦 og 𝑦′ = 𝑏 − 𝑎𝑦, da disse to kan er egnet til at beskrive modeller i

virkeligheden:

𝒚′ = 𝒌 ∗ 𝒚

3Det gælder for denne type, at konstanten k ikke må være lig nul. Med udgangspunkt i

separationsmetoden fastlægges g(y) og h(x). g(y) sættes til y, mens h(x) er konstanten k. Nu

indsættes de to funktioner i løsningsmodellen fra separationsmetoden, hvorved vi får:

∫1

𝑦𝑑𝑦 = ∫ 𝑘 𝑑𝑥

Så fastsættes definitionsintervallerne. y må ikke antage værdien nul, da den står i nævneren, som

ikke må være nul, så derfor fremkommer følgende intervaller: 𝐽1: 𝑦 < 0 𝐽2: 𝑦 > 0.

Nu integreres der på begge sider af lighedstegnet:

ln(𝑦) = 𝑘 ∗ 𝑥 + 𝑘1

y isoleres, men der tages forbehold for de to intervaller, hvor y skal være større eller mindre end nul.

𝑦 > 0 𝑦 < 0

y= 𝑒𝑘∗𝑥+𝑘1 −y = 𝑒𝑘∗𝑥+𝑘1

y = 𝑒𝑘∗𝑥 ∗ 𝑒𝑘1 −y = 𝑒𝑘∗𝑥 ∗ 𝑒𝑘1

Ligesom tidligere erstattes 𝑒𝑘1 med konstanten c i de to løsninger.

y = 𝑒𝑘∗𝑥 ∗ 𝑐 −y = 𝑒𝑘∗𝑥 ∗ 𝑐

For at undgå den negative y-værdi i løsningen, hvor y skal være mindre end nul, kan konstanten c

gøres negativ, hvorved vi får at 𝑐 < 0. Dette gælder da 𝑒𝑘∗𝑥 altid vil give et positivt tal, uanset

hvilken x-værdi der indsættes. Produktet af 𝑒𝑘∗𝑥 ∗ 𝑐, hvor c-værdien er negativ vil derfor give et

3 Differentialligninger af typen y’ = k * y, Madsen, Preben. Teknisk matematik 3, s. 178-180



negativ resultat, og derved 𝑦 < 0. Løsningen hvor y skal være større end nul, kan vi fastslå intervallet

𝑐 > 0.

y = 𝑒𝑘∗𝑥 ∗ 𝑐, 𝑐 > 0 −y = 𝑒𝑘∗𝑥 ∗ 𝑐, 𝑐 < 0.

Ser vi på et eksempel med differentialligningen 5𝑦′ = 25𝑦, hvis løsningskurve skal gå gennem

punktet (1,140) løses den sådan:

y’ isoleres:

5𝑦′ = 25𝑦 𝑦′ =

25

5𝑦 = 5𝑦

Da y i vores løsning er 140 skal 𝒚 > 0, bliver løsningen således, når konstanten 𝒌 = 𝟓 indsættes i

løsningsmodellen:

𝑦 = 𝑐 ∗ 𝑒5𝑥, 𝑐 > 0

For at finde den specifikke løsning indsættes punktet, hvorved c beregnes:

140 = 𝑐 ∗ 𝑒5∗1

𝑐 =140

𝑒5 = 0,9433

Dermed bliver løsningen for differentialligningen 𝟓𝒚′ = 𝟐𝟓𝒚:

y = 𝑒5∗𝑥 ∗ 0,9433, x ∈ 𝑅, 𝑦 > 0

Løsningskurven for denne ligning er indtegnet til højre herfor:

Det kan ses at væksten er uhæmmet og c-værdien angiver skæring

med y-aksen. Dette kan ses ud fra forskriften, hvis x-værdien nul

indsættes: 𝑒5∗0 = 𝑒0 = 1, og 1 ∗ 𝑐 = 𝑐

Ser vi generelt på typen 𝑦′ = 𝑘 ∗ 𝑦 så vil funktionsværdien altid stige eller falde uhæmmet, da x-

værdien står i potens og derfor altid vil forøge værdien. Denne type er derfor ikke god til at beskrive

kemiske/biologiske modeller, da disse ofte afhænger af mange faktorer, og derfor vil nå et

maksimum. Det kan vi blandt andet se på eksemplet, som senere skal behandles i opgaven. En sø der

har et tilløb og et udløb, hvor vandgennemstrømningen er den samme i begge vandløb. Søen bliver

forurenet af tilløbet, hvilket vil sige at søen aldrig blive mere forurenet end forureningskilden, altså

tilløbet. Dette eksempel kan derfor ikke beskrives med ovenstående type differentialligning. Derfor

har man udviklet en differentialligning, hvis løsning kan tilnærme sig en bestemt funktionsværdi,

altså kurven får en vandret asymptote.



Selve differentialligningen er opbygget sådan: 𝑦′ = 𝑏 − 𝑎𝑦, altså to konstante, a og b, samt den

variable y.

𝒚′ = 𝒃 − 𝒂𝒚 4Løsningsmodellen til denne type af differentialligning bevises her. Den bygger på

separationsmetoden, som er gennemgået tidligere.


𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑏 − 𝑎 ∗ 𝑦, 𝑎 ≠ 0

Omskriver ligningen:

𝑑𝑦

𝑑𝑡= (𝑏 − 𝑎 ∗ 𝑦) ∗ 1

Omskriver igen:

1

𝑏 − 𝑎 ∗ 𝑦∗ 𝑑𝑦 = 1 ∗ 𝑑𝑡

Integrerer på begge sider af lighedstegnet via integrationsregnereglen: 𝑭(𝒙) = 𝒌 → 𝒇(𝒙) = 𝒌 ∗

𝒙 + 𝒌

∫𝑑𝑦

𝑏 − 𝑎 ∗ 𝑦= 𝑡 + 𝑘

Da vi umiddelbart ikke kan integrerer venstre side af lighedstegnet anvender vi

substitutionsmetoden, som tidligere er beskrevet.

Bestemmer u:

𝑢 = 𝑏 − 𝑎 ∗ 𝑦

Bestemmer differentialkvotienten til u:

𝑑𝑢

𝑑𝑦= −𝑎

Bestemmer udtryk for dy:

𝑑𝑢

𝑑𝑦= −𝑎

1

−𝑎𝑑𝑢 = 𝑑𝑦

Indsætter udtryk i ligning:

4 Differentialligninger af typen 𝑦′ = 𝑏 − 𝑎𝑦: Clausen, Flemming all. Gyldendals Gymnasiematematik grundbog A. s. 202-203.



∫1

𝑢∗

1

−𝑎𝑑𝑢 = 𝑡 + 𝑘

Sætter konstanten uden for integrationstegn:

1

−𝑎∗ ∫

1

𝑢∗ 𝑑𝑢 = 𝑡 + 𝑘

Integrerer med hensyn til u, via integrationsregnereglen 1

𝑥→ ln (𝑥):

1

−𝑎∗ ln (𝑢) = 𝑡 + 𝑘

Indsætter u-værdien i ligningen:

1

−𝑎∗ ln (𝑏 − 𝑎 ∗ 𝑦) = 𝑡 + 𝑘

Ganger hvert led med værdien – a, for at fjerne brøk:

ln(𝑏 − 𝑎 ∗ 𝑦) = −𝑎 ∗ 𝑡 + 𝑘 ∗ (−𝑎)

Omskriver og da – 𝒂 ∗ 𝒌 er produktet af to konstanter skrives denne blot som en ny konstant 𝒌𝟐:

ln(𝑏 − 𝑎 ∗ 𝑦) = −𝑎 ∗ 𝑡 + 𝑘2

Opløfter hver side i e for at fjerne den naturlige logaritme:

𝑒ln(𝑏−𝑎∗𝑦) = 𝑒−𝑎∗𝑡+𝑘2 𝑏 − 𝑎 ∗ 𝑦 = 𝑒−𝑎∗𝑡 ∗ 𝑒𝑘2

Isolerer y ved at substituerer b på hver side, hvorefter jeg dividerer med – a i hvert led:

𝑦 = 𝑒−𝑎∗𝑡 ∗𝑒𝑘2

−𝑎−

𝑏

−𝑎

Omskriver ligning. Brøken 𝒆𝒌𝟐

−𝒂 består udelukkende af konstanter, derfor omdøber jeg denne

𝒆𝒌𝟐

−𝒂=

𝒄:

𝑦 = 𝑒−𝑎∗𝑡 ∗ 𝑐 +𝑏

𝑎 𝑦 =

𝑏

𝑎+ 𝑐 ∗ 𝑒−𝑎∗𝑡 , 𝑎 ≠ 0

Dermed er løsningsmetoden for differentialligningen af typen 𝑦′ = 𝑏 − 𝑎𝑦 bevist. Grunden til at a

ikke må antage værdien nul, er at den under udledning fremkommer som nævner, hvilket den også

gør i løsningsformlen, og derfor må den ikke antage værdien nul.

Herunder vil jeg gennemgå et eksempel, hvor denne type differentialligning løses.

Differentialligningen 𝑦′ = 2 − 0,5 ∗ 𝑦 er givet. Dennes løsningskurve skal gå gennem punktet (0,0):

Bestemmer konstanterne a og b:

𝑎 = 0,5 𝑏 = 2

Indsætter punktet (𝟎, 𝟎) i løsningsmetoden for denne type differentialligning:

𝑦 =𝑏

𝑎+ 𝑐 ∗ 𝑒−𝑎∗𝑡 0 =

𝑏

𝑎+ 𝑐 ∗ 𝑒−𝑎∗0



Omskriver ligning. 𝒆−𝒂∗𝟎 = 𝟏 da 𝒆𝟎 = 𝟏:

0 =𝑏

𝑎+ 𝑐 −

𝑏

𝑎= 𝑐

Indsætter udtryk for c i løsningsmetoden:

𝑦 =𝑏

𝑎−

𝑏

𝑎∗ 𝑒−𝑎∗𝑡 𝑦 =

𝑏

𝑎∗ (1 − 𝑒−𝑎∗𝑡)

Bestemmer værdi for 𝒃

𝒂:

2

0,5= 4

Indsætter værdi for 𝒃

𝒂 i løsningsformel:

𝑦 = 4 ∗ (1 − 𝑒−4∗𝑡)

Hermed er den specifikke løsning for differentialligningen

𝑦′ = 2 − 0,5 ∗ 𝑦 der går gennem (0,0) fundet, og

løsningskurven er indtegnet til højre herfor. Som det kan ses på

løsningskurven vil funktionen nærme sig en vis funktionsværdi

når 𝑡 → ∞. Man kan meget simpelt bestemme denne værdi, der fungerer som en vandret asymptote

for funktionen.

5Ser vi på parentesen (1 − 𝑒−4∗𝑡) i funktionsudtrykket, så vil leddet −𝑒−4∗𝑡 gå mod nul, hvilket kan

skrives således: lim𝑡→∞

−𝑒−4∗𝑡 → 0. Når dette led bliver nul, vil funktionsudtrykket kunne skrives

således:

𝑦 = 4 ∗ (1 − 0) = 4, hvilket svarer til 𝑏

𝑎. Så generelt for løsningerne af differentialligningerne af

typen 𝑦′ = 𝑏 − 𝑎𝑦 vil 𝑏

𝑎 være lig med den vandrette asymptote for funktionen.

Modelopstilling via differentialligninger

Som tidligere omtalt kan differentialligninger hjælpe med at beskrive væksthastigheden for alle

mulige fænomener i vores verden. Jeg vil arbejde med et eksempel, hvor en sø bliver udsat for

forurening af tungmetallet nikkel. En sådan model vil bygge på, at noget tungmetal føres ind i en ren

sø, hvorved det blandes op med det rene vand samtidig med, at der løber noget tungmetal ud af

søen igen. På et tidspunkt vil søen opnå en forureningsgrad, der svarer til den, der indføres via

5 Vandret asymptote: Carstensen al. MAT B til A, Systime, 2. Udgave. S. 218.



tilløbet. Når dette tidspunkt nås er forureningen i tilløbet lig forureningen i udløbet, og

koncentrationen af tungmetal vil være den samme i tilløb, søen og udløbet. Under hele

forureningsforløbet gælder massebalancen. Massebalancen er en lov der siger, at massen altid er

konstant. Masse forsvinder ikke eller dannes ud af den blå luft. Der kan selvfølgelig ske en

produktion, eksempelvis algeproduktion i en sø, men dette sker ikke i tilfældet med tungmetaller.

Loven for massebalance lyder:

𝑴𝒂𝒔𝒔𝒆𝒃𝒂𝒍𝒂𝒏𝒄𝒆: 𝑰𝒏𝒅 + 𝑷𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒆𝒓𝒆𝒕 = 𝑼𝒅 + 𝑨𝒌𝒌𝒖𝒎𝒖𝒍𝒆𝒓𝒆𝒕

Forurening af sø

I mit eksempel med søen der bliver forurenet med nikkel, er Ind lig med forureningen i tilløbet til

søen. Der er ikke noget tungmetal der bliver produceret i søen, og derfor er denne faktor lig nul. Ud

er lig med den forurening der løber væk fra søen. Den akkumulerede værdi er lig med

ophobningen/ændringen af tungmetallet, hvilket kan skrives som dy. Ud fra min model skal man

kunne se forureningsindholdet af tungmetal i søen over tid. Ud fra min model vil jeg bestemme,

hvornår grænseværdien for nikkel i vand nås. 6Grænseværdien for nikkel i overfladevand er 160 µg/L.

For at opstille en model fastsætter jeg nogle værdier for de forskellige faktorer. Forureningen

stammer fra et vandtilløb til søen. Søen indeholder 35 ∗ 106𝐿 rent vand. Det lille vandløb, som

tilfører vand til søen, har en vandgennemstrømning på 9 𝐿𝑠⁄ , og vandet der tilføres indeholder

17𝑚𝑔

𝐿⁄ . Udløbet fra søen fører den samme vandmængde væk som tilløbet fører ind, det vil sige

9 𝐿𝑠⁄ , så vandstanden i søen er den samme hele tiden. Hvis mængden af vand der bliver ført ind ikke

er lig mængden der bliver ført ud, vil vandmængden i søen ændres. Herunder er der indtegnet en

model af søen med tilløb og udløb.

6 Grænseværdi for nikkel: http://www2.dmu.dk/1_viden/2_Publikationer/3_fagrapporter/rapporter/FR585.pdf

http://www2.dmu.dk/1_viden/2_Publikationer/3_fagrapporter/rapporter/FR585.pdf



Tungmetalsmængden vil jeg have i enheden milligram (mg). Indholdet af tungmetal i søen betegner

jeg som y(t), så enheden for y(t) er milligram (mg). For at finde, hvor meget tungmetal der er i én liter

vand (𝑚𝑔

𝐿) i søen opstiller vi

𝑦(𝑡)

𝑉𝑠ø𝑒𝑛=

𝑦(𝑡)

35∗106𝐿. Derfor er den tungmetalsmængde, der føres ud af søen

lig med tungmetalsmængden pr. liter søvand * antal liter der føres ud, hvilket kan skrives således:

𝑦(𝑡)

35∗106𝐿∗ 9

𝐿

𝑠 . Nu kan massebalancen opstilles:

9𝐿

𝑠∗ 17

𝑚𝑔

𝐿∗ 𝑑𝑡 =

𝑦(𝑡)

35 ∗ 106𝐿∗ 9

𝐿

𝑠∗ 𝑑𝑡 + 𝑑𝑦

Jeg omskriver ligningen ved at gange brøker sammen:

9 ∗ 17𝑚𝑔

𝑠∗ 𝑑𝑡 = 9 ∗

𝑦(𝑡)

35 ∗ 106𝑠∗ 𝑑𝑡 + 𝑑𝑦

Jeg dividerer med dt i alle led, for at få ændringen af tungmetal pr. tid, dvs. 𝑑𝑦

𝑑𝑡:

153𝑚𝑔

𝑠= 9 ∗

𝑦(𝑡)

35 ∗ 106𝑠+

𝑑𝑦

𝑑𝑡

Jeg isolerer 𝑑𝑦

𝑑𝑡 i ligningen:

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 153

𝑚𝑔

𝑠− 9 ∗

𝑦(𝑡)

35∗106𝑠

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 153

𝑚𝑔

𝑠−

9

35∗106𝑠∗ 𝑦(𝑡)

Jeg har nu en differentialligning af typen 𝑦´ = 𝑏 − 𝑎 ∗ 𝑦. Enheden 𝑚𝑔

𝑠 er gældende i begge led, da

y(t)har enheden mg som deles med s, altså 𝑚𝑔

𝑠. Konstanterne a og b er lig: 𝑏 = 153og 𝑎 =

9

35∗106𝑠.

Jeg ved at søens vand var rent, før forurenings start, dvs. til tiden 𝑡 = 0 er 𝑦(0) = 0, og derfor må

løsningskurven for differentialligningen gå gennem punktet (0,0). Dette punkt indsætter jeg i

løsningsmetoden for differentialligningen af typen 𝑦´ = 𝑏 − 𝑎 ∗ 𝑦, hvorved jeg får:



𝑦 =𝑏

𝑎+ 𝑐 ∗ 𝑒−𝑎∗𝑡 0 =

𝑏

𝑎+ 𝑐 ∗ 𝑒−𝑎∗0

Omskriver ligning. 𝒆−𝒂∗𝟎 = 𝟏 da 𝒆𝟎 = 𝟏:

0 =𝑏

𝑎+ 𝑐 −

𝑏

𝑎= 𝑐

Indsætter udtryk for c i løsningsmetoden:

𝑦 =𝑏

𝑎−

𝑏

𝑎∗ 𝑒−𝑎∗𝑡 𝑦 =

𝑏

𝑎∗ (1 − 𝑒−𝑎∗𝑡)

Bestemmer værdi for 𝒃

𝒂:

153𝑚𝑔

𝑠9

35 ∗ 106𝑠

= 5,95 ∗ 108𝑚𝑔

Indsætter værdi for 𝒃

𝒂 i løsningsformel:

𝑦(𝑡) = 5,95 ∗ 108𝑚𝑔 ∗ (1 − 𝑒−

9

35∗106𝑠∗𝑡

)

Nu er modellen for søen opstillet og løsningskurven

der beskriver tungmetalindholdet i søen (milligram)

som funktion af tiden (sekunder) er indtegnet til højre

herfor. Som vi tidligere har fastlagt vil

funktionsværdien nærme sig 𝑏

𝑎𝑣æ𝑟𝑑𝑖𝑒𝑛, som er en

vandret asymptote, hvilket også fremgår af løsningskurven, da funktionen nærmer sig værdien 5,95 ∗

108𝑚𝑔.

For at beregne hvornår grænseværdien for nikkel nås, skal jeg bestemme, hvor meget nikkel der skal

være i søen, før grænsen på 160 µg/L nås. Dette gøres på følgende måde. Vi kender volumen af søen,

35 ∗ 106 𝐿. Vi kan opstille følgende ligning: 𝑥∗𝜇𝑔

35∗106𝐿= 160

𝜇𝑔

𝐿 𝑥 ∗ 𝜇𝑔 = 160

𝜇𝑔

𝐿 ∗ 35 ∗ 106𝐿 =

5,6 ∗ 109𝜇𝑔 = 5,6 ∗ 106𝑚𝑔. Så når der er 5,6 ∗ 106𝑚𝑔 nikkel i søen er grænseværdien nået. Jeg

bestemmer til hvilket tidspunkt denne mængde er nået, ved at sætte 𝑦(𝑡) = 5,6 ∗ 106 hvorved 𝑡 →

36774,6𝑠 =36774,6

60∗24= 25,54 𝑑ø𝑔𝑛. Så efter 25,54 døgn med forurening fra tilløbet er

grænseværdien for nikkel nået.



Rensning af sø

Nu vil jeg opstille en model, der beskriver rensningen af den samme sø efter nikkelforureningen. Man

har påvist forureningen i tilløbet og renset denne, men i mellemtiden er vandgennemstrømningen i

tilløbet faldet til 8 𝐿𝑠⁄ , hvilket også er gældende for udløbet. Dermed er der følgende faktorer:

𝑉𝑠ø𝑒𝑛 = 35 ∗ 106𝐿. Nikkelforureningen er 5,95 ∗ 108𝑚𝑔. Udløb: 8𝐿

𝑠∗

𝑦(𝑡)

35∗106𝐿. Indløbet bidrager ikke

med noget nikkel, og da der ikke bliver produceret noget tungmetal i søen er venstre side af

massebalancen lig nul. Herunder er der opstillet en model der viser faktorerne der nu påvirker søen.

Massebalancen ser således ud: 0 + 0 = 8𝐿

𝑠∗

𝑦(𝑡)

35∗106𝐿∗ 𝑑𝑡 + 𝑑𝑦. y(t) er stadig en betegnelse for

mængden af nikkel til tiden t, som har enheden milligram (mg). Ligningen omskrives og der divideres

med dt i alle led for at få 𝑑𝑦

𝑑𝑡, hvorved ligningen ser sådan ud: 0 + 0 = 8

𝐿

𝑠∗

𝑦(𝑡)

35∗106𝐿∗ 𝑑𝑡 + 𝑑𝑦 0 =

8

35∗106𝑠∗ 𝑦(𝑡) +

𝑑𝑦

𝑑𝑡. Hvis

𝑑𝑦

𝑑𝑡 isoleres i ligningen fremkommer udtrykket:

𝑑𝑦

𝑑𝑡= −

8

35∗106𝑠∗ 𝑦(𝑡).

Hermed har vi en differentialligning af formen 𝑦′ = 𝑘 ∗ 𝑦, hvis løsningsmetode er udledt tidligere.

𝑑𝑦

𝑑𝑡= −

8

35 ∗ 106𝑠∗ 𝑦(𝑡)

Ud af ovenstående differentialligning kan vi fastlægge konstanten, k, som er −8

35∗106𝑠 .

Løsningsmetoden til denne type ligning er: y = 𝑒𝑘∗𝑥 ∗ 𝑐, 𝑐 < 0. Da vi ved, at søen indeholder 5,95 ∗

108𝑚𝑔 til tiden 𝑡0 kender vi punktet (𝑡0; 𝑦(𝑡0)) = (0; 5,95 ∗ 108), som kan indsættes i

løsningsmetoden og konstanten c kan beregnes:

5,95 ∗ 108 = 𝑒−

8

35∗106𝑠∗0

∗ 𝑐 5,95 ∗ 108 = 𝑐. c-

værdien indsættes i løsningsformlen, hvorved den

specifikke løsning fremkommer:



y(t) = 𝑒−

8

35∗106𝑠∗𝑡

∗ 5,95 ∗ 108. Løsningskurven der beskriver rensningen af søen er vist til højre

herfor.

Jeg vil nu beregne, hvornår nikkelindholdet i søen igen er overholdt i henhold til grænseværdien for

nikkel der er 160 µg/L. Under den tidligere modelopstilling, beregnede jeg, at der måtte være 5,6 ∗

106𝑚𝑔 nikkel i søen, før nikkelgrænsen var opnået. Dermed sætter jeg denne funktionsværdi ind i

min funktion der beskriver rensningen, for at bestemme tiden t til denne funktionsværdi.

y(t) = 𝑒−

8

35∗106𝑠∗𝑡

∗ 5,95 ∗ 108 5,6 ∗ 106 = 𝑒−

8

35∗106𝑠∗𝑡

∗ 5,95 ∗ 108, hvorved jeg bestemmer t i

ligningen. Det medfører at 𝑦(𝑡) = 5,6 ∗ 106 𝑡 =2,041∗107𝑠

60∗24∗365= 38,84 å𝑟. Så først efter 38,84 år er

tungmetalindholdet i søen nede på maksimumsgrænsen for nikkel i overfladevand, hvis startværdien

for nikkel i søen var 5,95 ∗ 108𝑚𝑔.

Kemi

Spektrofotometri

Spektrofotometri er en meget udbredt analysemetode indenfor fysik og kemi. Spektrofotometri

bygger på farve og farveintensiteter. Grunden til at denne analyse er mulig, er at farvede stoffer

absorberer synligt lys, hvilket er årsagen til, at de er farvede. Absorption afhænger af

koncentrationen af stoffet. Jo mere koncentreret opløsningen er, altså jo flere molekyler, jo mere lys

bliver der absorberet. Med spektrofotometri er det muligt at bestemme koncentrationer af

opløsninger, ved at sammenligne farven af disse med opløsninger af samme stof, som har en kendt

koncentration. Disse sammenligninger kan foretages visuelt med øjet, men dette kræver, at det

testede stof har en synlig farve og stofkoncentrationerne er tilpas høje, så farveintensiteten er så høj,

at det menneskelige øje kan se det. Denne fremgangsmåde er meget upræcis og begrænsende med

hensyn til rækken af stoffer man kan undersøge. Derfor har man et instrument kaldet et

spektrofotometer. Ideen bygger på, at man sender en lysstråle af hvidt lys gennem et gitter. Dette

gitter opdeler det hvide lys i dets forskellige bølgelængder, hvorved farverne som det hvide lys består

af, fremkommer på en række. Via en spalte kan man nu udvælge én farve, f.eks. grøn. En spalte

sørger for, at lyset kun kommer igennem netop der, hvor det grønne lys er. Nu har man en lysstråle

der består af én farve, såkaldt monochromatisk lys. Monochromatisk lys kender vi også fra laser, da

denne kun består af én farve. Når man har udvalgt farven man vil undersøge for, sendes denne



gennem en kuvette, som indeholder en opløsning af det stof man vil undersøge koncentrationen af.

En kuvette er en glasbeholder, som det monochromatiske lys sendes igennem. Efter lyset har

passeret kuvetten registrerer en fotocelle intensiteten af lyset.

7Hvis man har en blå opløsning er det ikke egnet at analysere denne med blåt monochromatisk lys,

da blå ikke absorbere blå. Havde man analyseret den blå opløsning med den rette nuance af orange

lys, ville alt lys blive absorberet. Det skyldes at blå er komplementærfarven til orange. Altså intet

orange lys kan sendes igennem en blå opløsning. Det samme havde været gældende omvendt, med

en orange opløsning og blåt lys. Komplementærfarver er bestemt ud fra farvecirklen, som er vist i

figur 1 herunder. Komplementærfarver står diametralt overfor hinanden i cirkelen. Til en analyse i et

spektrofotometer er det altid bedst med en farve, hvis bølgelængde har en høj absorption i den

pågældende farve af analysens opløsning.

Figur 1. Farvecirkel. Kilde: http://da.wikipedia.org/wiki/Farvecirkel

Hvis man undersøger absorbansen ved forskellige bølgelængder, dvs. forskellige lysfarver, kan man

indtegne et absorptionsspektrum, der viser absorbansen som funktion af bølgelængden. Et sådant

spektrum er vist i figur 2. Af kurven kan vi se, at det pågældende stof absorberer meget af det blå og

røde lys, mens næsten intet af det grønne lys absorberes, derfor må stoffet være grønt.

7 Spektrofotometri og komplementærfarver: Aurum 3, s. 78-82

Figur 2. Absorptionsspektrum. Kilde: http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Fysik/Svingninger_i_faste_stoffer,_v%C3%A6sker_mv./absorptionsspektrum

http://da.wikipedia.org/wiki/Farvecirkel

http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Fysik/Svingninger_i_faste_stoffer,_v%C3%A6sker_mv./absorptionsspektrum





Princippet med absorberingen er vist i figur 3, hvor man kan se at det hvide lys spaltes, hvorefter det

blå og det grønne monochromatiske lys, sendes gennem en grøn opløsning. Af figuren fremgår det at

noget af det blå lys absorberes i den grønne opløsning, mens intet af det grønne lys absorberes i den

samme opløsning.

Figur 3. Absorbering af blåt lys. Kilde: Svante Åberg, http://school.chem.umu.se/Experiment/195

Lambert-Beers lov

8Loven er opbygget af J.H. Lambert og den tyske fysiker August Beer. Hele begrebet spektrofotometri

hviler på Lambert-Beer’s lov. Loven bygger på svækkelsen af stråling igennem en absorberende

væske. Loven fortæller, at der er en sammenhæng mellem absorptionen, lysets vej og

koncentrationen, og er givet ved: 𝐴 = 𝜀 ∗ 𝑙 ∗ [𝐹], 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 𝐴 = 𝑘 ∗ 𝑙 ∗ 𝑐.

Absorbansen A er givet ved logaritmen til transmittansen T. Transmittansen er givet ved 𝑇 =𝐼

𝐼0. 𝐼0 er

et udtryk for intensiteten af det lys, man sender igennem kuvetten uden stof, også kaldet referencen.

𝐼 er et udtryk for intensiteten af lyset, når det sendes igennem kuvetten med stoffet. Forholdet

mellem 𝐼 𝑜𝑔 𝐼0 betegnes transmittansen. Kender man transmittansen kan absorbansen bestemmes.

Der er ingen enhed for A. Ekstinktionskoefficienten, 𝜀, afhænger af lysets bølgelængde, som

anvendes til analysen, samt tykkelsen af kuvetten. Tykkelsen af kuvetten angives oftest i centimeter,

cm, mens [F], som er koncentrationen af opløsningen i analysen, som regel har enheden molær

(𝑚𝑜𝑙

𝐿). Da absorbansen ikke har nogen enhed, fordi lysintensiteten både indgår i tæller og nævner

ved transmittansen, og denne er et produkt af tykkelsen af kuvetten, koncentrationen og

ekstinktionskoefficienten, må enheden for ekstinktionskoefficienten være 𝑐𝑚−1 ∗ 𝑀−1.

8 Lambert-Beer’s lov: Simonsen, Flemming. Apparat-teknik, s. 227-228.

http://school.chem.umu.se/Experiment/195



Ekstinktionskoefficienten kaldes også for den molære absorption koefficient eller absorbanindeks.

Ekstinktionskoefficienten er en konstant, der kun afhænger af, hvilket stof man måler på.

Hvis Lambert-Beer’s lov er opfyldt, kan man indtegne en graf der viser absorptionen A som funktion

af koncentrationen [F]. Grafen danner en ret linje, der går gennem punktet (0,0). Denne graf kaldes

for en standardkurve. En standardkurv gælder

kun for ét stof ved én lysvej (kuvette tykkelse).

Hvis man bestemmer absorbansen via et

spektrofotometer for en ukendt opløsning af et

stof, kan man derved aflæse koncentrationen af

stoffet i opløsningen9. Et eksempel på en

standardkurve kan ses i figur 4.

AAS-metoden

10AtomAbsorptionsSpektrofotometri er en metode

der kan avendes til at bestemme koncentrationer af metalioner i en opløsning herunder

tungmetaller. Der findes mange definitioner på tungmetaller, men det er en række af grundstoffer

som har høj massefylde og fremstår som metaller ved stuetemperatur11. Princippet i AAS-metoden

fremgår af navnet, nemlig atomabsorption. Metalatomer der bestråles vil opfange noget af energien i

strålerne, altså atomerne absorbere noget energi. Denne svækkelse af lyset kan hermed måles.

Måden hvorpå AAS virker er: I en opløsning har man en ukendt koncentration af kendt type

metalioner. Disse metalioner skal spaltes til enkelte atomer. Dette gøres ved, at opløsningen

forstøves og pustes op i en brændende flamme. Når metalionerne opvarmes i flammen, bliver

ionerne til atomer. Dette kan skrives som følgende reaktion, hvor m er ionen og x er tallet der

angiver ladningen, som altid er positiv for metaller: 𝑚𝑥+ + 𝑥 ∗ 𝑒− → 𝑚. Nu da metalatomerne findes

i flammen, sendes et lys med en bestemt bølgelængde, afhængig af metallet man undersøger for,

gennem flammen. Nu vil atomerne exciteres med bestrålingen, hvilket vil sige at de opsluger noget af

strålingsenergien. Så måler man lysintensiteten i strålerne efter de har passeret flammen, hvorved

man kan bestemme, hvor mange atomer der er i flammen. Antallet af atomer kan nu sammenholdes

9 Standardkurve: http://www.otg.ots.dk/laerer-sider/andkaer/%C3%98velser%20og%20opgaver-word/Spektrofotometer_vejl.doc 10 AAS-metoden: Simonsen, Flemming. Apparatteknik s. 287-288. 11 Definition på tungmetal: http://da.wikipedia.org/wiki/Tungmetal

Figur 4. Standardkurve. Kilde: http://statnoter.biolyt.dk/index.php?pageID=63

http://www.otg.ots.dk/laerer-sider/andkaer/%C3%98velser%20og%20opgaver-word/Spektrofotometer_vejl.doc


http://da.wikipedia.org/wiki/Tungmetal

http://statnoter.biolyt.dk/index.php?pageID=63



med volumen af den oppustede opløsning, hvorved man kan bestemme koncentrationen af

metalionerne i den pågældende opløsning. Ser vi nærmere på omdannelsen af metalioner til

metalatomer indstiller der sig en ligevægt mellem disse. Et eksempel fra Flemming Simonsens bog,

Analyse-teknik, viser en ligevægt med calcium: 𝐶𝑎2+ + 2𝑒− ↔ 𝐶𝑎. Det viser sig at fordelingen

mellem ioner og atomer, også kaldet exciterede atomer og atomer på grundform, forskydes kraftigt i

grundformens retning når temperaturen øges. I calciums tilfælde er 99,99 % på atomform ved

2400oC 12. Når metalatomerne opvarmes i flammen, vil nogen af disse exciteres på grund af

flammens varme, og ikke som følge af lysstrålernes energi. Antallet af disse atomer er dog så

forsvindende lille, at de ikke har nogen betydning for resultatet. Atomerne der exciteres som følge af

varmeenergi, danner grundlag for metoden atomemission, som er en anden form for analyse. Denne

metode vil jeg dog ikke beskrive. Grunden til at AAS-metoden er så velegnet til tungmetaller er så

stor en del af metallet findes på atomform, hvor de kan exciteres og dermed måles i lysintervallet.

13Apperaturet som skal anvendes til AAS er hulkatodelampe, atomiseringsenhed, monochromator og

en detektor.

Hulkatodelampen er lyskilden i forsøget. Inde i sådan i en lampe sidder en anode og en katode. Når

man skal undersøge en opløsning for en bestemt metalart er det vigtigt at bruge lys der lige netop

har den energi der skal til, for at atomerne exciteres. Det gøres ved at katoden konstrueres i den type

metal, der skal undersøges for. Det betyder at man skal have mange forskellige hulkatodelamper,

hvis man skal undersøge for andre typer metaller. Selve virkningen inde i lampen vil jeg ikke komme

ind på.

Atomiseringsenheden er blot et navn for brænderen samt forstøveren.

Monochromatoren har til opgave at isolerer linjespektrummet som kommer fra lysrøret.

Detektoren modtager signalet/lyset fra monochromatoren, hvorved energien i disse stråler

bestemmes. Derved bestemmes absorptionen.

Sammenhængen mellem lysstrålernes energitab og antallet af atomer kan beskrives via Lambert-

Beer’s lov, som vi tidligere har beskrevet. Absorbtionen er stadig angivet ved forholdet mellem

lysintensiteten I0 og I. En forskel er at lysvejen 𝑙 ved AAS stort set er konstant, da denne afhænger af

12 Eksempel med calcium: Simonsen, Flemming. Analyseteknik s. 176. 13 Apparaturets funktion: Simonsen, Flemming. Apparatteknik s. 291-292.



brænderens fysiske udformning. Derfor kan vi opskrive loven sådan: 𝐴 = 𝑘 ∗ 𝑐, hvor konstanten k er

et produkt af lysvejen og ekstinktionskoefficienten. Derfor er k ikke den samme her, som i loven: 𝐴 =

𝑘 ∗ 𝑐 ∗ 𝑙14.

Hvis vi ser på eksemplet med søen fra matematikdelen, så kan der løbende udtages prøver af

søvandet. Disse prøver undersøges for nikkel, så man anvender hulkatodelampen med en katode

opbygget af nikkel, og resten af AAS processen gennemføres. Herved kan man bestemme indholdet

af nikkel i de forskellige prøver, og derved holde øje med, om nikkelkoncentrationen i søen falder

eller stiger som forventet.

Konklusion

Jeg har nu redegjort for følgende typer af differentialligninger og bevist deres løsningsmetode.

Differentialligning Løsningsmodel

y'=g(x) y=∫g(x) dx

y'=h(x)*g(x) y=∫1/g(y) dy=∫h(x)dx

y'=k*y y=∫1/y dy=∫k dx

y'=b-ay y= (b/a)+c*e^(-a*t)

Jeg har endvidere opstillet en model over en sø, hvor følgende faktorer er gældende:

Søen bliver forurenet af tungmetallet nikkel. Modellen viser forureningsmassen, som funktion af

tiden. Differentialligningen samt dens specifikke løsning og løsningskurven er opstillet herunder:

14 Lambert-Beer’s lov til AAS: Simonsen, Flemming. Analyseteknik s. 177



𝐷𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑖𝑎𝑙𝑙𝑖𝑔𝑛𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛:

9𝐿

𝑠∗ 17

𝑚𝑔

𝐿∗ 𝑑𝑡 =

𝑦(𝑡)

35 ∗ 106𝐿∗ 9

𝐿

𝑠∗ 𝑑𝑡 + 𝑑𝑦

𝑆𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑘𝑘𝑒 𝑙ø𝑠𝑛𝑖𝑛𝑔: 𝑦(𝑡) = 5,95 ∗ 108𝑚𝑔 ∗ (1 − 𝑒−

9

35∗106𝑠∗𝑡

)

Jeg konkluderer, at der går 25,54 døgn, før

grænseværdien for nikkel er oversteget, jævnfør

ovenstående model.

Følgende model beskriver rensningen af søen og bygger på følgende parametre:

får differentialligningen: 𝑑𝑦

𝑑𝑡= −

8

35∗106𝑠∗ 𝑦(𝑡)og den specifikke løsning:

y(t) = 𝑒−

8

35∗106𝑠∗𝑡

∗ 5,95 ∗ 108.

Løsningskurven:



Jeg konkluderer, at det vil tage 38,84 år før nikkelindholdet i søen igen er nede på grænseværdien,

hvis startværdien for nikkel i søen var 5,95 ∗ 108𝑚𝑔.

Jeg er nået frem til, at spektrofotometri bygger på farver og farveintensiteter, at man via et

spektrofotometer kan bestemme absorptionen af lys gennem en opløsning, og derfra bestemme

koncentrationen af en opløsning. Lambert-Beer’s lov bygger på sammenhængen mellem lys

absorbansen, koncentrationen og lysvejen. Loven er givet ved: 𝐴 = 𝜀 ∗ 𝑙 ∗ [𝐹] 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 𝐴 = 𝑘 ∗ 𝑙 ∗ 𝑐.

Jeg vil til slut konkludere, at jeg finder metoden atomabsorptionsspektrofotometri velegnet til

bestemmelse af tungmetaller, da andelen af atomer på grundformen i flammen, som anvendes til

metoden, er meget høj. Lysstrålerne kan derfor excitere atomerne, og energien, som atomerne

optager til exciteringen, kan måles i lysintensiteten, hvorved antallet af atomer kan bestemmes og

koncentrationen kan udledes.



Kilder

Bøger

Carstensen al. MAT B til A, Systime, 2. Udgave.

Clausen, Flemming al. Gyldendals forlag, 1. Udgave 2. Oplag, 2008. Gyldendals Gymnasiematematik

grundbog A.

Kristiansen, Kim Rongsted. L&R Uddannelse, 2008, Aurum 3, Kemi for gymnasiet 3

Madsen, Preben. Erhvervsskolernes forlag, 1997, Teknisk matematik 3.

Simonsen, Flemming. Polyteknisk forlag, 3. Udgave 3. Oplag 2000. Apparat teknik

Simonsen, Flemming. Polyteknisk forlag, 3. Udgave 3. Oplag 2000. Apparat teknik

Hjemmesider

Grænseværdi for nikkel: Miljøministeriet, faglig rapport, 2003. Miljøfremmede stoffer og

tungmetaller i vand:


Standardkurve: Forsøgsvejledning til spektrofotometer forsøg: http://www.otg.ots.dk/laerer-

sider/andkaer/%C3%98velser%20og%20opgaver-word/Spektrofotometer_vejl.doc

Definition på tungmetal: Wikipedia: http://da.wikipedia.org/wiki/Tungmetal




http://da.wikipedia.org/wiki/Tungmetal

Documents

Differentialligninger og tungmetallermedia.mentoreurope.eu/static/SRP2015/Differentialligninger_og_tung... · Spektrofotometri ... så den starter med generel teori omkring differentialligninger