Mecanica de Solidos 2

Diseo de Estructuras de Concreto

ANALISIS DE CARGAS SSMICAS

DINMICA ESTRUCTURALI. Ecuacin de Movimiento

La estructura es modelada a travs de una masa y un resorte. Para obtener la ecuacin de movimiento se establece el equilibrio dinmico.

Figura 1 Modelo de marco estructural

(1)

(2). Frecuencia de vibracin.

(3). Frecuencia natural de vibracin.

(4). Periodo natural de vibracin.

Como se puede observar de la ecuacin (1), la aceleracin y el desplazamiento de la masa dependen de la rigidez de la estructura (k) y de la cantidad de masa que hay que mover (m).

La masa y rigidez de la estructura se pueden relacionar en un mismo parmetro llamado frecuencia natural de vibracin, ecuacin (3), o a travs de su periodo natural de vibracin, ecuacin (4).

La rigidez (k) de la estructura depende principalmente de la rigidez de las columnas y de sus condiciones de apoyo.

La masa (m) de la estructura se calcula a travs de dividir el peso por la gravedad.

II. Vibracin libre

La respuesta a una vibracin libre es encontrar la expresin de u que satisface a la ecuacin de movimiento, ecuacin (1), esto es:

(1)

Como la ecuacin esta igualada a cero, entonces la solucin es homogenea nicamente.

Note que la respuesta del sistema (desplazamiento) esta en funcin de dos parmetros:

, la frecuencia natural de vibracin y

, el tiempo al cual se quiera la respuesta.

(5)

La solucin es una funcin armnica, por lo tanto esperamos que la estructura comience a vibrar con una cierta amplitud y un cierto periodo.Si el desplazamiento al tiempo cero es , entonces:

Si se deriva con respecto al tiempo la ecuacin (5) obtenemos la velocidad: (6)

Si la velocidad al tiempo cero es nula, entonces:

Finalmente

(7)

III. Vibracin armnica

Ahora vamos a obtener la respuesta si se aplica una fuerza armnica a la estructura. Dicha fuerza se aplica con una ampliacin y una frecuencia de vibracin.

Figura 2 Marco sujeto a una fuerza armnica.

Ahora la ecuacin de movimiento es:

(8)

La solucin de la ecuacin (8) esta formada por una funcin homogenea ms una particular.

(9)

La solucin homogenea es:

La solucin particular es:

Derivando una y dos veces obtenemos: (10)

(11)

Sustituyendo las ecuaciones (10) y (11) en la ecuacin (8) obtenemos:

(

Donde . El desplazamiento esttico.

Entonces, (11)

Donde . El factor de carga dinmica (Dynamic Load Factor).

Sustituyendo en la ecuacin (9) obtenemos:

(

Si el desplazamiento al tiempo cero es nulo, entonces:

Si se deriva con respecto al tiempo el desplazamiento, obtenemos la velocidad:

Si la velocidad al tiempo cero es nula, entonces:

(

Finalmente

, donde y

(12)

Qu pasa si ?

Qu pasa si ?

Cunto tiene que ser el valor de para que los desplazamientos dinmicos sean menores a los estticos?

De que factores depende la respuesta de un sistema sujeto a vibracin armnica?

IV. Vibracin ssmica

V. Vibracin amortiguada

VI. Espectro de aceleraciones

VII. Mltiples grados de libertad

VIII. Mtodo de fuerzas estticas equivalentes (MFEE)

IX. Ejemplo MFEEPAGE 4

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