135

GLAVA IX

DINAMIČKA ANALIZA

1. Pojam i značaj

Promena jedne pojave je posledica delovanja niza drugih pojava, ali

uspostavljanjem veze izmeĎu vremena i date pojave, sve druge pojave koje utiču

na posmatranu pojavu definišu se trajanjem vremena. Znači, varijacije pojava

možemo posmatrati kao funkcije vremena.

Dinamička analiza posmatra kvantitativne promene kako u obimu tako i u strukturi,

odnosno u kvalitetu samih pojava tokom vremena. Zasniva se na posmatranju

vremenskih serija, koje formiramo tako što vreme shvatamo kao jedno obeležje, a

posmatranu pojavu kao drugo. Pri formiranju vremenskih serija najbolje je da

koristimo jednake vremenske intervale čija dužina zavisi od prirode pojave, ali i od

cilja istraživanja. Kod pojava koje su relativno stabilne dovoljno je raspolagati

godišnjim, petogodišnjim ili čak desetogodišnjim podacima. Na primer, ako se

bavimo dohotkom, društvenim proizvodom, kapacitetima u privredi, najčešće

koristimo godišnje podatke, dok o nekim strukturnim odnosima stanovništva

možemo koristiti i desetogodišnje podatke. Znači za vremenska obeležja se

najčešće upotrebljavaju kalendarska razdoblja kao što su godina, semestar, kvartal,

mesec, nedelja i dan.

Važna pretpostavka za valjanost dinamičke analize je uporedivost podataka, pa je

problem uporedivosti veoma čest u formiranju i analizi vremenskih serija. Naime,

tokom vremena mogu se promeniti metodi merenja, definicija pojedinih pojava, pa

i sama koncepcija pojedinih kategorija.

2. Metode dinamičke analize

Zadatak analize konkretnih pojava je utvrĎivanje zakona u toku varijacije tih

pojava. Uočeno je da postoje ponavljanja u varijacima svake pojave, što naravno ne

znači identičnost već sličnost u načinu i dužini varijacija na višem kvantitativnom i

kvalitativnom nivou.

Kod ispitivanja vremenskih serija se najčešće koristimo podacima o veličini pojave

na godišnjem nivou. Vremenski razmaci kraći od godinu dana karakteristični su za

pojave čiji se ciklusi varijacije ponavljaju u toku godine. Na primer, sezonska vrsta

kretanja karakteristična je za proizvodnju poljoprivrednih i industrijskih proizvoda

čije su varijacije pod jakim uticajm kratkoročnih klimatskih promena i broja dana u

mesecu odnosno broja radnih dana.

Pri analizi vremenskih serija koristimo se grafičkim prikazom, metodom indeksnih

brojeva i metodom trenda.

Indeksni brojevi su relativni brojevi koji predstavljaju odnos nivoa pojave u

jednom periodu sa nivoom pojave u drugom periodu.

Dinamička analiza

136

Trend predstavlja osnovni tok razvoja pojave u dužem periodu dobijen kao

prosečno kretanje kakvo bi imali u primeru da su promene pojave ravnomerne.

2.1 Indeksni brojevi

Varijacije vremenskih serija se mogu posmatrati kao apsolutne i relativne promene.

Apsolutne varijacije se izračunavaju kao razlika izmeĎu nivoa pojava u dva

vremenska perioda. Iako pružaju korisne informacije o dinamici pojava, nisu

pogodne za analizu varijacija različitih pojava tokom vremena, pa se češće koriste

relativni pokazatelji ili indeksni brojevi.

2.1.1 Individualni indeksni brojevi

Individualni indeksi pokazuju relativne promene samo jedne pojave (npr.

proizvodnja mesa, prodaja jednog nedeljnog časopisa, itd.).

Označimo sa:

n21 Y ..., , ..., , , tYYY ........................................................................................ (1)

članove vremenskog niza, odnosno nivoe pojava u jednakim vremenskim

intervalima.

Tada indeksne brojeve možemo izračunavati na dva načina:

1. Svaki član niza (1) stavljamo u odnos sa jednim njegovim članom koga

zovemo bazni indeks i tako dobijamo indekse sa stalnom bazom ili bazne

indekse.

2. Svaki član niza uporeĎujemo s prethodnim članom niza i tako dobijamo

lančane indekse, odnosno, indekse s promenljivom bazom.

Indeksi sa stalnom bazom

Ako nivo pojave u posmatranom periodu t označimo sa n ..., ,1tYt , a u baznom

sa 0Y , tada se bazni indeks dobija na sledeći način:

1000

Y

YI t

t .............................................................................................. (2)

Primer:

1. Na osnovu podataka vremenske serije o proizvodnji mesa u periodu od 2001.

do 2005. godine, koji su dati u tabeli 1, izračunati bazne indekse sa bazom u

2001. godini.

Umesto opšte oznake za vremenski period 5 ,4 ,3 ,2 ,1t koristićemo oznaku

za godinu za koju računamo indeks (na primer, umesto I3 koristićemo oznaku

I2003). Naznačićemo i informaciju koju smo godinu koristili kao bazu, pa u

našem primeru za i = 3, pišemo

100 2001 2003 I .

Dr Veda Kilibarda

137

Bazni indeks u svakoj godini računamo prema izrazu (2):

100100130

130100

2001

2001100 2001 2001

Y

YI

9,106100130

139100

2001

2002100 2001 2002

Y

YI itd.

Slično izračunavamo i indekse za ostale godine, a serija dobijenih podataka

prikazana je u tabeli 1.

Tabela 1. Proizvodnja mesa od 2001. do 2005. godine

Godina Proizvodnja u (000) tona Bazni indeksi 100 2001tI

2001. 130 100,0

2002. 139 106,9

2003. 142 109,2

2004. 144 110,7

2005. 145 111,5

Vidimo da bazni indeks u 2002. godini iznosi 106,9, što znači da je

proizvodnja mesa u 2002. godini u odnosu na proizvodnju u baznoj 2001.

godini povećana za 6,9%, a u 2003. godini rast proizvodnje je 9,2% u odnosu

na baznu 2001. godinu, itd.

Važno je napomenuti da pri izboru bazne godine moramo voditi računa o

varijacijama posmatrane pojave i za bazu se ne uzima veličina pojave u

vremenskom periodu (godini) kad je zbog „vanrednih“ okolnosti ostvareno

visoko povećanje ili smanjenje veličine pojave. TakoĎe, ako analiziramo

relativno dug period i za bazu izaberemo početni period, to nas isto može

odvesti nekorektnom zaključku o dinamici posmatrane pojave. Tako da u

statističkoj praksi, bazna godina se menja na svakih pet do deset godina.

Indeksi sa promenljivom bazom

Indekse sa promenljivom bazom, odnosno, lančane indekse dobijamo na sledeći

način:

1001

t

tt

Y

YL n ..., 2, ,1t ......................................................................... (3)

Koristeći podatke iz primera 1. možemo izračunati lančane indekse. Jasno je da ne

možemo izračunati lančani indeks za 2001. godinu, jer nemamo podatak za

prethodnu 2000. godinu. Znači, svaka serija lančanih indeksa je za jedan podatak

kraća u odnosu na originalnu vremensku seriju.

Na osnovu izraza (3) sledi:

Dinamička analiza

138

9,106100130

139100

2001

20022002

Y

YL

1,102100139

142100

2002

20032003

Y

YL itd.

Lančani indeks 2002L pokazuje da se proizvodnja povećala u odnosu na prethodnu

2001. godinu za 6,9%, a lančani indeks 2003L pokazuje na porast proizvodnje od

2,1% u odnosu na prethodnu 2002. godinu. Računamo lančane indekse i u ostalim

godinama, a rezultati su dati u tabeli 2.

Tabela 2.

Godina Proizvodnja u (000) tona Lančani indeksi tL

2001. 130 /

2002. 139 106,9

2003. 142 102,1

2004. 144 101,4

2005. 145 100,6

Ako imamo seriju lančanih indeksa bez originalnih podataka, tada se za

izračunavanje baznih indeksa možemo koristiti izrazom:

1001

t

tt

L

II ................................................................................................ (4)

odakle je

100

1 tt

t

ILI ................................................................................................... (5)

Postupak izračunavanja baznih indeksa je sledeći:

- odaberemo baznu godinu i označimo je sa 100 i prepišemo lančani indeks za

sledeću godinu kao već dati bazni indeks;

- za godine koje prethode baznoj, označenoj sa 100, bazne indekse dobijamo

deleći dobijeni bazni indeks naredne godine sa lančanim indeksom te godine,

odnosno za 1t godinu prema izrazu (4);

- za godine koje slede baznoj godini, bazne indekse izračunavamo prema

izrazu (5).

U tabeli 3. dobili smo kolonu baznih indeksa iz lančanih indeksa dinamike

proizvodnje pšenice u periodu 1997. – 2004. godine.

Dr Veda Kilibarda

139

Tabela 3.

Godina Lančani indeksi Bazni indeksi (2000 = 100)

1997. - 113,79

1998. 86,1 97,98

1999. 108,1 105,92

2000. 94,4 100,00

2001. 86,7 86,7

2002. 137,0 118,77

2003. 116,3 138,12

2004. 95,5 131,90

U prethodnom primeru smo pokazali kako se računaju individualni (bazni i

lančani) indeksi količina. MeĎutim, individualni indeksi se mogu odnositi i na

druge ekonomske veličine, kao što su cena i vrednost. Sledeći izrazi pokazuju

individualne indekse cene, količina i vrednosti rasta:

1000

p

pI t

tp , 1000

q

qI t

tq i 10000

qp

qpI tt

tpq ...................................... (6)

gde su 0p , 0q i 00qp cena, količina i vrednost pojedinačnog proizvoda u baznom

periodu, dok tp , tq i ttqp predstavljaju cenu, količinu i vrednost istog proizvoda

u tekućem periodu.

Srednji pokazatelj dinamike

Umesto lančanih indeksa kojima se izražavaju promene iz perioda u period,

koristimo sintetičke pokazatelje, kojim opisujemo prosečnu relativnu promenu

pojave u čitavom periodu obuhvaćenom vremenskom serijom.

Geometrijska sredina lančanih indeksa predstavlja srednji tempo rasta:

1

1

1

12

3

1

221 ......

nn

n

n

ninn

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

YLLLG .......................................... (7)

odnosno u logaritamskoj transformaciji

1loglog

1-n

1loganti YYG n .................................................................. (8)

Koristeći se podacima iz tabele 2. dobijamo da je

73,102118175,0antil130log145log4

1loganti

ogG

što pokazuje srednji godišnji tempo proizvodnje mesa u periodu od 2001. – 2005.

godine.

Dinamička analiza

140

Da bismo utvrdili za koliko u procentima pojava u proseku raste ili opada na

osnovu geometrijske sredine G, izračunavamo prosečnu stopu rasta gr :

100Grg .................................................................................................... (9)

Tako, u našem primeru na osnovu geometrijske sredine dobijamo dalje prosečnu

geometrijsku stopu rasta:

%73,2100Grg .

Prosečna stopa rasta od 2,73% pokazuje da se proizvodnja mesa u periodu od 2001.

do 2005. godine u proseku godišnje povećavala po stopi od 2,73%.

2.1.2 Grupni indeksi

Grupnim indeksnim brojevima izražavamo dinamičke, odnosno, relativne promene

više pojava. Radi se o zajedničkom vremenskom indeksu kao statističkom

pokazatelju varijacija različitih, ali (relativno) srodnih pojava (npr. proizvodnja

mlečnih proizvoda, prodaje svih nedeljnih časopisa neke izdavačke kuće i slično).

Grupni indeksi, kao i individualni, mogu biti bazni ili lančani, kao i indeksi cene,

količine i indeksi vrednosti. Nadalje, pokazaćemo postupak konstrukcije grupnih

indeksa pomoću metoda agregata i metoda preseka.

Metod agregata

Metodom agregata grupni indeks se konstruiše kao odnos zbira podataka svih

sastavnih serija u tekućem periodu i zbira podataka istih serija u izabranom baznom

periodu, tj.:

100

1

0

1

n

i

i

n

i

it

tp

p

p

I - indeks cene

100

1

0

1

n

i

i

n

i

it

tq

q

q

I - indeks količine ............................................................. (10)

100

1

00

1

n

i

ii

n

i

itit

tpq

qp

qp

I - indeks vrednosti.

Dr Veda Kilibarda

141

Primer:

1. Na osnovu podataka iz tabele 4. odredite kolike su relativne promene cene,

količine i vrednosti proizvodnje mleka, šećera i ulja u 1981. godini u odnosu na

1980. godinu.

Tabela 4.

Proizvod

Cena (din/kg, din/l) Ostvarena proizvodnja

Vrednost proizvodnje (mil. din.)

1980.

0p

1981

1p

1980.

0q

1981

1q

1980.

00qp

1981

11qp

Mleko (mil.l) 6,03 6,05 341 350 2056,23 2117,50

Ulje (000t) 18,59 21,69 187 196 3476,33 4251,24

Šećer (000t) 12,89 13,02 667 783 8597,63 9022,86

Ukupno: 37,51 40,76 1195 1329 14130,19 15391,60

Indeks cene, količine i vrednosti sve tri vrste proizvoda po metodu agregata

dobijamo:

60,10810051,37

76,40100

89,1259,1803,6

02,1369,2105,6100

3

1

0

3

1

i

i

i

it

tp

p

p

I

21,1111001195

1329100

3

1

0

3

1

i

i

i

it

tq

q

q

I

93,10810019,14130

60,153913

1

00

3

1

i

ii

i

itit

tpq

qp

qp

I

Metod prosečnih odnosa

Metodom prosečnih odnosa grupni indeks se računa kao prosečna vrednost

individualnih indeksa sastavnih serija. Može biti aritmetički, geometrijski,

harmonijski u zavisnosti koju srednju vrednost individualnih indeksa koristimo. Mi

ćemo koristiti samo aritmetički grupni indeks, odakle:

n

p

p

n

I

I

n

i io

itn

i

p

tp

ti100

11

- indeks cene

Dinamička analiza

142

n

q

q

n

I

I

n

i io

itn

i

q

tq

ti100

11

- indeks količine............................................. (11)

n

I

I

n

i

tqp

tpq

ii 1 - indeks vrednosti

Primer:

2. Koristeći podatke iz tabele 4. i prethodno izračunate individualne indekse date

u tabeli 5, izračunaćemo grupne indekse cena, količina i vrednosti sve tri vrste

proizvoda po metodu prosečnih odnosa.

Tabela 5. Individualni indeksi

Proizvod tI p tIq tI pq

Mleko 100,33 102,64 102,98

Ulje 116,67 104,81 122,29

Šećer 101,01 103,90 104,94

00,1063

01,10167,11633,100

3

10089,12

02,13

59,18

69,21

03,6

05,6

tpI

78,1033

90,10381,10464,202

tqI

07,1103

94,10429,12298,102

tpqI

2.1.3 Ponderisanje grupnih indeksa

U našem primeru smo korišćenjem proste (neponderisane) aritmetičke sredine svim

sastavnim serijama dali podjednak značaj, iako u suštini nije tako. Naime, primena

metoda agregata i metoda prosečnih odnosa opravdana je samo kada sve sastavne

serije imaju približno jednak značaj. MeĎutim u praksi je najčešće suprotno, tj.

sastavne serije agregata za koje računamo grupni indeks nemaju isti značaj. Na

primer, ako ne bi ponderisali grupni indeks cena u trgovini na malo, onda bi skuplji

proizvodi imali veći uticaj za opšti nivo cena, bez obzira što ti proizvodi imaju

manji obim prometa u trgovini. Znači, da kad konstruišemo grupne indekse

moramo imati na umu koliko se puta cena svakog proizvoda javlja, tj. mora se

pridati veći značaj (ponder) cenama onih proizvoda koje imaju veći uticaj na opšti

nivo cena, odnosno, cenama proizvoda koji imaju veće učešće u prometu.

Dr Veda Kilibarda

143

Ponderisanjem grupnih indeksa ističemo relativni značaj svake sastavne serije koju

uključujemo u grupni indeks i na taj način povećavamo reprezentativnost grupnih

indeksa.

Ponderisanje indeksa dobijenih po metodu proseka.

Izračunavanje grupnog indeksa metodom proseka pretpostavlja izračunavanje

individualnih indeksa koje množimo sa svojim panderom, a potom sumu ovih

proizvoda delimo sa sumom pandera:

n

i

i

n

i

iti

t

I

I

1

1

........................................................................................... (12)

gde su tiI individualni indeksi količine ili cene, a za panderacioni faktor i se

najčešće koristi vrednost iz baznog perioda 00qp .

Primer:

1. Koristeći podatke iz tabela 4. i 5. izračunaćemo indeks cena i količina

izabranih proizvoda metodom proseka.

70,10463,859733,347623,2056

63,859701,10133,347667,11623,205633,100

tpI

94,10363,859733,347623,2056

63,859790,10333,347681,10423,205664,102

tqI

Ponderisanje indeksa dobijenih po metodu agregata

Grupne indekse je podesnije izračunavati metodom agregata. Razlikujemo

Laspejresov i Pašeov metod ponderisanja, u zavisnosti da li se ponderi odreĎuju

prema strukturi sastavnih serija u baznom ili tekućem periodu.

Laspejresov agregatni indeks:

100

1

00

1

n

i

ii

n

i

ioit

tp

qp

qp

I cene,

odnosno ......................................................................................................... (13)

100

1

00

1

n

i

ii

n

i

ioit

tq

pq

pq

I količine.

Dinamička analiza

144

Vidimo da Laspejresov metod ponderisanja kao pondere koristi cene ili količine iz

baznog perioda. tačnije, ako računamo agregatni indeks cena po Laspejresovom

metodu množimo cenu svakog od n proizvoda u tekućem i u baznom periodu sa

količinom istog proizvoda iz baznog perioda. Kako množimo cene sa količinama iz

baznog perioda, vidimo da će dobijeni rezultati pokazati samo relativnu promenu

cena. Slično, pri računanju agregatnog indeksa količine po Laspejresovom metodu

za pondere uzimamo cene iz baznog perioda, pa grupni indeks pokazuje relativne

promene samo količine.

Pašeov grupni indeks

100

1

0

1

n

i

iti

n

i

itit

tp

qp

qp

I cene,

odnosno ......................................................................................................... (14)

100

1

0

1

n

i

iti

n

i

itit

tq

pq

pq

I .

Kod Pašeove metode grupisanja za pondere se koriste cene ili količine iz tekućeg

perioda. Na primer, prilikom računanja ponderisanog indeksa cena, cenu svakog od

n proizvoda i u tekućem i u baznom periodu množimo sa količinom istog

proizvoda iz tekućeg perioda.

Nameće se pitanje koji od ova dva metoda daje bolji rezultat. Kao što smo videli

Laspejresov metod koristi pondere iz baznog perioda, a tokom vremena dolazi do

promena u strukturi posmatranih sastavnih serija u agregatu, pa što je tekući period

udaljeniji od baznog, relativni značaj pondera se sve više menja.

MeĎutim, i Pašeov metod ima svoje mane. Najčešće nemamo podatke o ponderima

iz tekućeg perioda, a samo korišćenje pondera iz tekućeg perioda znači da bi se

svake godine morao menjati sistem pondera, pa u praksi ovaj metod se retko

primenjuje.

Da bi otklonili nedostatke oba metoda ponderisanja, možemo primeniti Fišerov

indeks koji predstavlja geometrijsku sredinu Laspejresovog i Pašeovog agregatnog

indeksa:

PLF III .

MeĎutim, primena Fišerovog indeksa se u praksi izbegava zbog složenog načina

izračunavanja, pa u praksi se najčešće koristi Laspejresov metod ponderisanja, a

periodično se revidira sistem baznih pondera.

Dr Veda Kilibarda

145

Primer:

2. Koristeći podatke iz tabela 4. i 5. izračunati grupni indeks cena i količina

izabranih proizvoda po Laspejresovom i Pašeovom metodu.

Tabela 6. Radna tabela

Proizvod 00 ii qp iti qp 0 0iitqp ititqp

Mleko 2056,23 2110,5 2063,05 2117,50

Ulje 3476,33 3643,64 4056,03 4251,24

Šećer 8597,63 10092,87 8684,34 9022,86

Ukupno 14130,19 15847,01 14803,42 15391,60

Kod računavanja Laspejresovog indeksa cena kao ponder koristimo količinu i-

tog proizvoda iz baznog perioda:

76,10410019,14130

42,14803100

3

1

00

3

1

0

i

ii

i

iit

tp

qp

qp

I

Slično, pri računanju Laspejresovog indeksa količine kao ponder koristimo

cenu i-tog proizvoda iz baznog perioda:

15,11210019,14130

01,15847100

3

1

00

3

1

0

i

ii

i

iit

tq

pq

pq

I

2.2 Ispitivanje razvojne tendencije pojave

Promene koje pojava pokazuje tokom vremena, a koje su nastale pod uticajem

drugih pojava s kojima je u uzročnoj vezi, definišemo kao razvoj pojave. Osnovni

tok kretanja pojave u dužem vremenskom periodu je trend ili razvojna tendencija

pojave. Trend se može odrediti i iz vremenskih nizova na kvartalnom ili mesečnom

nivou, kada su izražene sezonske varijacije. Statistika je razvila metode za

izolovanje sezonskog ritma što doprinosi odreĎivanju cikličkih i neregularnih

varijacija. Vremensku seriju možemo zamisliti kao rezultat četiri faktora: trenda,

sezonskog ritma, cikličnih fluktuacija i neregularnih promena. U slučaju analize

podataka na godišnjem nivou, stvarno kretanje pojave se razlaže na dve

komponente: trend i rezidium (ostatak), jer iz godišnjih podataka se ne može

utvrditi uticaj sezonskih faktora.

Pri odreĎivanju sekularnih tendencija vremenske serije služimo se raznim

empirijskim i analitičkim postupcima. Najčešće primenjivan empirijski postupak je

metod pokretnih sredina, a analitički metod najmanjih kvadrata.

Dinamička analiza

146

2.2.1 Metod pokretnih sredina

Kod metoda pokretnih sredina računaju se aritmetičke sredine iz odreĎenog broja

podataka u seriji, tj. svaki podatak iz serije se zamenjuje sa aritmetičkom sredinom

zbira toga podatka i jednog ili više prethodnih i narednih podataka.

Neka je dat jedan vremenski niz

nn yyyyy ..., , ..., , , , 1321 ................................................................................ (15)

Uzimajući grupe od po tri člana, prva sredina će biti

3

3212

yyyy

i u vremenskom nizu će zameniti 2y .

Sredina

3

4323

yyyy

je druga pokretna sredina i zameniće 3y . Na kraju, dobijamo pokretnu sredinu

3

121

nnnn

yyyy

.

Ovako smo dobili niz pokretnih sredina

1232 ..., , ..., , , n-n yyyy . .............................................................................. (16)

UporeĎujući nizove (15) i (16) zaključujemo da su prvi i zadnji član niza (15) ostali

bez svoje sredine, što je jasno kod računanja pokretnih sredina od po tri člana. Ovaj

postupak se može nastaviti i za grupe od pet, sedam i više članova.

U slučaju grupisanja parnog broja članova niza (15), neophodno je uraditi

„centriranje“, gde posle odreĎivanja pokretnih sredina, računamo sredine dve

uzastopne pokretne sredine i na taj način dobijamo pokretne sredine koje

odgovaraju i -tom članu serije.

Na primer, za grupe od četiri člana niza prva pokretna sredine je

4

3,2 4321 yyyyy

,

a druga pokretna sredina je

4

4,3 5432 yyyyy

,

dok je centrirana pokretna sredina

2

4,33,23

yyy

Dr Veda Kilibarda

147

i ona u nizu (15) odgovara članu 3y . I ovde, po dva člana s početka i kraja će ostati

bez odgovarajućih proseka.

Izračunavanjem pokretnih proseka, kao aritmetičkih sredina, izravnavaju se

apsolutne varijacije u seriji i na taj način se eliminiše veći deo varijacija date

pojave i lakše se uočava razvojna tendencija pojave. Pokretne proseke koristimo za

izračunavanje apsolutnih varijacija vremenskih serija prilagoĎenih potrebama

istraživanja, ali oni imaju ograničenu analitičku vrednost, jer se na osnovu njih ne

mogu predvideti buduće promene.

2.2.2 Metod najmanjih kvadrata

Da bi odredili model koji najadekvatnije izražava kretanje date pojave, treba

odrediti matematičku funkciju čije vrednosti odgovaraju najpribližnije vrednostima

vremenske serije. Tip funkcije najčešće odreĎujemo metodom najmanjih kvadrata,

polazeći od činjenice da seriju koju posmatramo najbolje aproksimira funkcija čije

je odstupanje od te serije minimalno, odnosno zbir kvadrata odstupanja je

minimalan.

Podatke vremenskog niza označimo sa iy , periode sa ix , a vrednost funkcije koje

tražimo sa ty , onda metod najmanjih kvadrata izražavamo:

0tyy .............................................................................................. (17)

odnosno

.min2

ti yy ...................................................................................... (18)

Oblik funkcije koji najbolje odgovara datoj seriji podataka odreĎujemo na osnovu

dijagrama rasturanja i pokretnih sredina. Jednačine za odreĎivanje parametara

funkcije dobijamo zamenom opšteg oblika funkcije u izraze (17) i (18).

2.2.3 Linearni trend

Ako smo zaključili da je kretanje pojave približno pravolinijsko, onda opšti oblik

funkcije koja odgovara tom kretanju je oblika

it bxay ,................................................................................................... (19)

gde je ty vrednost funkcije trenda za svaku datu godinu ix , a i b su parametri

funkcije. Na osnovu izraza (17), (18) i (19) parametre a i b odreĎujemo iz

normalnih jednačina (analogno pravolinijskoj regresiji):

n

i

n

i

ii

n

i

ii

n

i

n

i

ii

yxxbxa

yxbna

1 11

2

1 1, ............................................................................ (20)

gde je n broj perioda date vremenske serije.

Dinamička analiza

148

Dalje, iz (20) sledi:

22

ii

iiii

xxn

yxyxnb

xbya

. ................................................................................. (21)

Kako ix predstavlja periode (godine) koji se razlikuju za jedan, u praktičnom radu

zamenjujemo ih rednim brojevima, koje možemo uvek označiti tako da zbir rednih

brojeva bude 0.

U slučaju neparnog broja podataka u seriji, središnju godinu označavamo nulom, a

prethodne godine sa negativnim rednim brojevima, a naredne sa pozitivnim rednim

brojevima.

U slučaju parnog broja podataka dve središnje godine, označimo sa -0,5 i +0,5, a

potom unazad za jedan manje, a unapred za jedan više.

Na ovaj način postižemo da je 0 ix i 0x , pa izrazi (21) dobijaju oblik:

2i

ii

x

yxb

ya

. .................................................................................................. (22)

Primer:

1. Na osnovu podataka o prometu u jednom trgovinskom preduzeću u periodu od

1966. do 1970. godine u milionima dinara (tabela 7), odrediti frekvenciju

trenda.

Tabela 7. Promet u trgovinskom preduzeću u mil. dinara

Godina Redni

broj ix Promet iy ix iy 2

ix ty ti yy 2ti yy

1966. 1 20 20 1 24 -4 16

1967. 2 30 60 4 31 -1 1

1968. 3 50 150 9 38 12 144

1969. 4 40 160 16 45 -5 25

1970. 5 50 250 25 52 -2 4

Suma 15 190 640 55 190 0 190

Rešenje:

Kako apsolutne promene parametra ne pokazuju veće oscilacije, može se uzeti

da takvom kretanju odgovara najbolje model linearnog trenda. Zaključak se

može izvesti i iz dijagrama rasturanja (slika 1.). Na osnovu vrednosti iz tabele i

sistema jednačina (20) imamo:

Dr Veda Kilibarda

149

190155 ba

6405515 ba ,

odakle dobijamo da je 17a i 7b , pa je funkcija trenda

xyt 717 .

Slika 72.

Srednje kvadratno odstupanje stvarnih podataka od vrednosti trenda predstavlja

standardnu grešku trenda i izračunavamo je prema izrazu:

n

yyS ti

t

2

........................................................................................... (23)

U našem primeru je

2,65

190tS .

Ako znamo funkciju trenda i standardnu grešku, onda možemo predvideti

kretanje pojave i u budućnosti. Na primer, prosečni promet u 1971. godini

dobijamo iz funkcije trenda za 6x :

5967171971 y

Procena nije dovoljno pouzdana, jer su moguće i neravnomernosti u kretanju

pojave. Ako uzmemo u obzir prosečnu meru odstupanja, standardnu grešku

trenda, možemo da odredimo interval u kome se može očekivati visina prometa

u 1971. godni. Polazimo od modela:

ttitt tSyySty . ................................................................................ (24)

Broj standardnh grešaka, za utvrĎivanje širine intervala poverenja, odreĎujemo

na osnovu unapred date verovatnoće procene, a vrednost t računamo prema

formuli Čebiševa

2

11

tps . ................................................................................................... (25)

Na primer 75,0sp za 2t ili 84,0sp za 5,2t itd. iz (25), sledi da je:

Dinamička analiza

150

spt

1

1. .................................................................................................. (26)

Za 75,0sp interval očekivanja visine prometa je:

2,62592,6259 iy

4716,46 iy

tj. izmeĎu 46,6 i 71,4 miliona dinara.

Procenjivanje budućeg kretanja prema modelu (24) je opravdana, samo u

slučaju da se sa velikom verovatoćom može očekivati u naredom periodu

kretanja pojave u približno istim uslovima.

2.2.4 Krivolinijski trend

U slučaju da skup tačaka ii yx , u ravni xOy ima tendenciju da zauzme

krivolinijski raspored, onda za funkciju trenda najčešće uzimamo kvadratnu

funkciju:

2iit cxbxay ........................................................................................... (27)

čije koeficijente cba , , odreĎujemo metodom najmanjih kvadrata na osnovu kog

smo dobili sistem normalnih jednačina:

iiiii

iiiii

iii

yxxcxbxa

yxxcxbxa

yxcxbna

2432

32

2

............................................................. (28)

U slučaju da redne brojeve perioda (godina) označimo tako da je 0 ix , sistem

(28) prelazi u sistem:

iiii

iii

ii

yxxcxa

yxxb

yxcna

242

2

2

, .......................................................................... (29)

odakle izrazi za izračunavanje paraboličkog trenda su:

224

22

2

2

ii

iiii

i

ii

i

xxn

xyyxnc

x

yxb

xn

cya

........................................................................... (30)

Dr Veda Kilibarda

151

Primer:

1. Na osnovu podataka iz tabele 8. utvrditi oblik trenda i njegovu funkciju.

Tabela 8. Potrošnja jednog artikla u periodu 1980 – 1987. godine u hiljadama dinara

Godina Vreme

ix

Potrošnja

iy 2ix

3ix

4ix ix iy 2

ix iy

yty

1980 1 12,1 1 1 1 12,1 12,1 11,9

1981 2 11,5 4 8 16 23,0 46,0 11,5

1982 3 10,6 9 27 81 31,8 95,4 11,5

1983 4 11,2 16 64 256 44,8 179,2 11,6

1984 5 12,9 25 125 625 64,5 322,5 12,1

1985 6 13,2 36 216 1296 79,2 475,2 12,7

1986 7 13,6 49 343 2401 95,2 666,4 13,6

1987 8 14,5 64 512 4096 116,0 928,0 14,7

36 99,6 204 1296 8772 466,6 2724,8 99,6

Rešenje:

Na bazi dijagrama rasturanja (slika 2.) uočavamo da potrošnja artikla pokazuje

neravnomeran rast i takvom kretanju odgovara parabolični trend. Normalne

jednačine su:

6,99204368 cba

6,446129620436 cba

8,172487721296204 cba

odakle je 41,12a , 67,0b , 12,0c te je parabola oblika:

212,067,041,12 iit xxy

odakle zamenom vrednosti 8 ,..., 2 ,1ix dobijamo vrednosti ty što je

prikazano u gornjoj tabeli.

Slika 2.

Dinamička analiza

152

2.2.5 Eksponencijalni trend

U slučaju da se kretanje pojave menja tako da iz perioda u period pokazuje istu

relativnu promenu, tada to kretanje najbolje se izražava pomoću esponencijalnog

modela trenda čiji je oblik:

ixt aby ....................................................................................................... (31)

gde ix označava redne brojeve perioda (godina), a a i b su parametri trenda.

Da bi odredili parametre trenda izvršićemo transformaciju modela i tako dobijamo

linearni logaritamski trend:

bxay it logloglog .................................................................................. (32)

Korišćenjem metode najmanjih kvadrata dobijamo sistem normalnih jednačina:

iiii

ii

yxxbxa

yxban

logloglog

logloglog

2

............................................................ (33)

pomoću kojeg ćemo odrediti parametre a i b . U slučaju da periode označimo

tako da je 0 ix , onda sistem (33) prelazi u sistem:

2

loglog

loglog

i

ii

i

x

yxb

n

ya

....................................................................................... (34)

Primer:

1. U tabeli 9. dati su podaci o prometu trgovine na malo u jednom preduzeću u

periodu od 1980. do 1988. godine u milionima dinara. Odrediti oblik funkcije

koja najbolje aproksimira datu seriju podataka.

Tabela 9. Promet trgovinskog preduzeća od 1981. do 1988. godine u milionima dinara

Godina Vreme ix Promet iy iylog ix iylog 2ix tylog

1980. -4 395 2,59659 -10,38636 16 2,60270

1981. -3 459 2,66118 -7,98543 9 2,66744

1982. -2 558 2,74663 -5,49326 4 2,73218

1983. -1 607 2,78319 -2,78319 1 2,79692

1984. 0 751 2,87564 0,00000 0 2,86166

1985. 1 816 2,91169 2,91169 1 2,92640

1986. 2 956 2,98046 5,96092 4 2,99114

1987. 3 1137 3,05576 9,16728 9 3,05588

1988. 4 1328 3,12320 12,49280 16 3,12062

0 7007 25,75497 3,88445 60 25,75494

Dr Veda Kilibarda

153

Rešenje:

Na osnovu dijagrama rasturanja (slika 3.) vidimo da se eksponencijalni model

funkcije može prilagoditi kretanju prometa preduzeća, pa ćemo prema izrazima

(33) odrediti parametre linearnog logritamskog trenda:

86166,29

75497,25log a

06474,060

88445,3log b

odakle dobijamo funkciju linearnog logaritamskog trenda:

it xy 06474,086166,2log .

Zamenom vrednosti ix u dobijenoj funkciji linearnog logaritamskog trenda

izračunali smo njegove vrednosti, koje smo iskazali u poslednjoj koloni tabele

9. Vidimo da je ti yy loglog . Antilogaritmovanjem funkcije linearnog

logaritamskog trenda dobijamo funkciju eksponencijalnog trenda:

xty 161,14,727 .

Kako smo metod najmanjih kvadrata primenili na logaritamske vrednosti iy ,

to zbir vrednosti eksponencijalnog trenda nije identičan zbiru originalnih

podataka tj. it yy . Ali, te razlike nisu velike, pa se u praksi

zanemaruju ili se uradi korekcija vrednosti ty , tako što vrednosti

eksponencijalnog trenda pomnožimo sa korektivnim faktorom

t

i

y

yk .

Slika 3.

U našem primeru je 161,1b , odnosno u procentima 116,1%, pa srednji tempo

rasta prometa izražen indeksom iznosi 116,1%, a izražen stepen rasta iznosi

16,1%.

U slučaju 1b , imamo opadajući trend, pa srednji indeks pada je manji od 100.

U rastućim razvojnim tendencijama pojave, parametar a je takoĎe pozitivan.