Fizika za I razred gimnazije

DINAMIKA ROTACIJE

Kao i u kinematici prvo emo utvrditi koje se veliine koriste u dinamici rotacionog kretanja. Zato emo opet uvesti tablicu analognih translatornih i rotacionih veliina. Ova tablica sadri i ve poznate kinematike veliine, ali i po tri nove dinamike veliine:

TranslacijaRotacija

Preeni put S (m)Preeni ugao ( (rad)

Brzina v (m/s)Ugaona brzina ( (rad/s)

Ubrzanje a (m/s2)Ugaono ubrzanje ( (rad/s2)

Vreme t (s)Vreme t (s)

Masa m (kg)Moment inercije I (kg m2)

Impuls p (kg m/s)Moment impulsa L (kg m2/s)

Sila F (N)Moment sile M (N m)

Kao i u translaciji, pokazuje se da nijednu od osnovnih veliina iz dinamike translacije nije mogue upotrebljavati i u dinamici rotacije. Zato su u dinamiku rotacije uvedene tri analogne veliine.

Moment sile - M (N m)

U translaciji sila odreuje ubrzanje tela na koje deluje.

U rotaciji ugaono ubrzanje tela nije odreeno samo silom koja na to telo deluje, ve ga odreuju sledea tri faktora:

- sila - F

- krak sile - r i

- ugao - (.

Krak sile je vektor ija je napadna taka na osi rotacije, dok je njegov vrh u napadnoj taki sile. Pritom je ugao izmeu kraka sile i ose rotacije uvek prav, to znai da je duina kraka sile, u stvari, najkrae rastojanje od ose rotacije do take u kojoj sila deluje na telo.

Ugao ( za krake ima vektore: kraka sile i sile tj. ( = ( ( r , F ).

Ugaono ubrzanje tela koje rotira je direktno srazmerno: jaini sile i duini kraka sile, dok od ugla ( zavisi na sloeni sinusni nain:

ako je ( = 00 ( sin( = 0 ( ( = 0,

ako (( od 00 do 900 ( sin(( ( ((,

ako je ( = 900 ( sin(max ( (max,

ako (( od 900 do 1800 ( sin(( ( ((,

ako je ( = 1800 ( sin( = 0 ( ( = 0, itd.

Ovakvu zavisnost ugaonog ubrzanja ( od sile, kraka sile i ugla ( moemo objasniti na primeru pokretanja vrata. Pritom treba imati u vidu da vrata vre rotaciono kretanje oko ose rotacije koja prolazi kroz liniju arki. Jasno je da e vrata dobiti vee ugaono ubrzanje ako je sila koja na njih deluje jaa. Meutim, ukoliko, u dva posebna sluaja, istom silom delujemo na razliitim rastojanjima od ose rotacije ( a to znai da su u tim sluajevima kraci sile razliite duine) tada e sila koja deluje na duem kraku sile izazvati i vee ugaono ubrzanje. Uostalom zato su kvake na vratima uvek postavljene to dalje od ose njihove rotacije. Ako sada razmotrimo ta je ugao ( videemo da je to ustvari ugao izmeu vektora sile i povrine samih vrata ( zato to vektor kraka sile r lei

u povrini vrata). ( = 00 znai da sila i njen krak imaju

isti pravac i smer, a to je sluaj kada pokuavamo da

vrata istrgnemo iz arki, to nee dovesti do njihove Mrotacije. Isto e se desiti i ako delujemo pod uglom od ( F( = 1800 to znai da sila i njen krak imaju isti pravac,

a suprotan smer, a to je sluaj kada, suprotno od malo- ras, pokuavamo da vrata sabijemo prema arkama.

Najvee ugaono ubrzanje vrata emo dobiti ako na nji-

hovu povrinu delujemo pod uglom ( = 900. Bilo sma-

njenje, bilo poveanje ovog ugla dovee do smanjenja sl. 31.

ugaonog ubrzanja vrata. Upravo zato su kvake usaene u vrata pod uglom od 900.

Dakle, moe se rei da je ugaono ubrzanje tela direktno srazmerno proizvodu: kraka sile, sile i sinusa ugla izmeu njih tj. ( ( r F sin(.

Veliinu: r F sin( nazivamo moment sile M tj. M = r F sin(.

Sada se moe rei da moment sile odreuje ugaono ubrzanje tela.

Moment sile je vektorska veliina i s obzirom na definiciju njegove brojne vrednosti imamo:

M = r x FNa sl. 31. pravac i smer vektora momenta sile je odreen pravilom desne ruke.

Moment inercije I ( kg m2 )

Masa odreuje inertnost tela koje se kree translatorno.

Kada se telo kree rotaciono njegovu inertnost ne odreuje samo njegova masa ve ak etiri faktora, a to su:

- masa tela m,

- poluprenik rotacije r, to je rastojanje od najudaljenije take na telu do ose rotacije,

- oblik tela i

- poloaj ose rotacije.

Poslednja dva faktora zajedno odreuju broj n, pa se moe rei da je inertnost tela koje rotira odreena sledeom veliinom : n m r2.

Ova veliina se skraeno naziva moment inercije I, tj. I = n m r2. To znai da: inertnost tela koje rotira odreuje njegov moment inercije I.

Primeri:

Materijalna taka mase m koja rotira na rastojanju r od ose rotacije, ili

kruni prsten iste mase i istog poluprenika imaju:

(m n = 1

r pa je zato njihov moment inercije:

I = m r2 sl. 32. ( ovaj obrazac e biti izveden na kraju ove lekcije).

m r Ako je posmatrano telo disk mase m i poluprenika r , tada je:

n =

pa je zato moment inercije krune ploe:

I = m r2 sl. 33.

U sluaju rotacije tapa mase m i ako je polovina njegove duine r, imamo:

m n = 1/3

pa je u ovom sluaju moment inercije:

r I = 1/3 m r2 sl. 34.

U sluaju lopte mase m i poluprenika r brojni faktor n ima vrednost:

n = 2/5

m pa je moment inercije:

I = 2/5 m r2.

r U sva etiri prethodna sluaja, navedeni obrasci vae pod uslovom da osa

rotacije prolazi kroz centar tela, kao to je na slikama i prikazano.

sl. 35.

Sada emo pokazati da je za materijalnu taku mase m, koja rotira oko ose rotacije na rastojanju r moment inercije: I = m r2, to znai da je brojni faktor n = 1.

U primeru na sl. 36. na materijalnu taku mase m deluje sila F, na

M rastojanju r od ose rotacije, to izaziva kruno kretanje take, koje

( ( ( = 900 moemo smatrati i rotacijom, pa se tada rastojanje r moe smatrati

F za krak sile r, pri emu njenu rotaciju izaziva moment sile M, koji

r m ovom telu daje ugaono ubrzanje (, zbog ega dolazi do poveanja

ugaone brzine (. Sila deluje u odnosu na svoj krak pod pravim ug-

sl. 36. lom, pa je zato brojna vrednost momenta sile:

M = r F sin( = r F sin900 = r F = r m a = r m r ( = m r2 (.

U ovom izvoenju korien je zakon sile: F = m a, kao i relacija izmeu ubrzanja i ugaonog ubrzanja take koja se kree kruno: a = r ( .

Dakle imamo: M = m r2 (. Ako ovaj izraz uporedimo sa zakonom sile iz translacije: F = m a, moemo uoiti analogiju izmeu njih, pri emu je jasno da je: M analogno sa F, ( sa a, dok je izraz m r2 analogan sa masom tela m. Dakle ako masa tela odreuje njegovu inertnost pri translaciji, tada veliina m r2 odreuje inertnost tog tela pri njegovoj rotaciji i to je traeni moment inercije I materijalne take na sl. 36.

Moment impulsa L (kg m2/s)

Kada se telo kree translatorno, tada jainu njegovog sudara sa nepokretnom preprekom odreuje njegov impuls: p = m v.

Kada se telo kree rotaciono, tada jaina njegovog sudara sa nepokretnom preprekom ne zavisi samo od njegove mase i brzine tj. njegovog impulsa, ve zavisi od sledea etiri faktora:

- od mase tela m,

- od njegove brzine v,

- od rastojanja take, u kojoj se sudar deava, od ose rotacije r i

- od ugla (, ( = ( ( r , v ) to je, u stvari, ugao pod kojim telo stie na povrinu nepokretne prepreke.

Jasno je da je jaina sudara direktno srazmerna i masi i brzini tela. Meutim, jaina sudara je, takoe, direktno srazmerna i rastojanju r. Zato je u boksu zabranjen udarac sa strane ispruenom rukom, ve je dozvoljen samo ako je ruka savijena u laktu pod uglom od 900 tzv. kroe, jer bi udarac ispruenom rukom bio, u odnosu na kroe, dvostruko jai, pa bi mogao da bude vrlo opasan. Od ugla (, jaina udarca zavisi na sloen sinusni nain, tj. maksimalna je za 900. Dakle, jaina sudara tela koje rotira, sa nepokretnom preprekom je direktno srazmerna sa veliinom: r m v sin(. Ova veliina se u fizici naziva: moment impulsa i obeleava se sa L, pa je: L = r m v sin(. Na kraju, moe se rei da moment impulsa odreuje jainu sudara tela koje rotira sa nepokretnom preprekom.

Moment impulsa je vektorska veliina i s obzirom na definiciju njegove brojne vrednosti sledi:

L = r x mv, tj. L = r x p.

Zakoni dinamike rotacije

Kao i u kinematici, analogija izmeu fizikih veliina iz tabele se proiruje i na obrasce i definicije. Na primer, osnovni zakon dinamike translacije:

,

ima sebi analogan osnovni zakon dinamike rotacije:

.

Pritom, prvi itamo: sila je brojno jednaka promeni impulsa u jedinici vremena, a drugi: moment sile je brojno jednak promeni momenta impulsa u jedinici vremena.

Od vanijih obrazaca iz dinamike rotacije pomenimo jo:

, koji je analogan zakonu sile:

, koji je analogan izrazu za impuls: , itd.

Dinamika krunog kretanja

Kako je dinamika nauka o uzrocima odreene vrste kretanja, oigledno je da je osnovno pitanje u dinamici krunog kretanja: zato se telo kree kruno? Analiza krunih kretanja razliitih tela nas dovodi do zakljuka da postoje dva osnovna uzroka krunog kretanja, tj. da telo mora da ispuni dva uslova da bi se kretalo kruno, a to su:

1. Da na to telo deluje sila koja ga stalno privlai ka centru krune putanje centripetalna sila Fc i

2. Da to telo ima brzinu usklaenu sa centripetalnom silom. To znai da brojna vrednost njegove brzine ne sme biti ni premala jer bi tada telo po spiralnoj putanji palo u centar kruenja, ali ni preveliku jer bi u tom sluaju telo po spirali napustilo krunu orbitu udaljavajui se od centra kruenja. Usklaenost takoe znai da vektori brzine tela i centripetalne sile moraju zaklapati ugao od 900.

Uzmimo kao primer kretanje Zemlje oko Sunca. Centripe-

talna sila je gravitaciona i ona u svakoj taki Zemljine putanje nau Fcf m vplanetu privlai ka Suncu. Ako uzmemo primer kretanja elektrona

oko atomskog jezgra, tada je centripetalna sila Kulonova sila koja acp

je u ovom sluaju privlana jer su jezgro atoma i elektron suprotno

naelektrisani.

Centripetalna sila, po II Njutnovom zakonu, telu daje ubrza-

nje, koje je kao i sama sila uvek usmereno ka centru kruenja. Ako

se setimo normalnog ubrzanja tela koje se kree krivolinijski, pos-

taje jasno da je normalno ubrzanje upravo to ubrzanje koje telu daje

centripetalna sila. Kombinacijom obrasca za II Njutnov zakon:

i obrasca za normalno ubrzanje kod krunog kretanja:

dobija se obrazac za centripetalnu silu: sl. 37.

.

Ovaj obrazac je izuzetno znaajan u fizici, jer priroda centripetalne sile moe biti razliita, pa njegovo izjednaavanje sa obrascem specifinim za datu silu moe dovesti do mogunosti eksperimentalnog merenja raznih, uglavnom, teko merivih fizikih veliina.

Sada moemo razmotriti i jednu vanu posledicu krunog kretanja. Ako uzmemo u obzir da je kruno kretanje tela ubrzano, zato to telo ima normalno ubrzanje, tada je to telo ubrzan sistem, pa e za posmatraa koji se nalazi u njemu delovati fiktivna centrifugalna sila Fcf. Centripetalna i centrifugalna sila su iste jaine i pravca, a suprotnog smera:

Fc = - Fcf

Bez obzira to ovo isto vai i za sile akcije i reakcije, centripetalna i centrifugalna sila nisu akcija i reakcija, jer ako nastavimo analizu: one deluju istovremeno, ali i na isto telo pa se mogu meusobno ponitavati.

DODATAK. Razmotrimo sledei problem: Ako zamislimo kruno kretanje jednog autobusa po ravnoj i horizontalnoj betonskoj povrini, zato to voza dri volan uvek isto okrenut, postavlja se pitanje koja je sila u ovom sluaju centripetalna. Na autobus deluju tri spoljanje sile, a to su: gravitaciona sila zemljine tee, sila trenja sa podlogom i otpor vazduha na eonu povrinu vozila. Jedna od ove tri sile je centripetalna.

Gravitaciona sila odmah otpada zbog toga to deluje u pogrenom pravcu. Naime centripetalna sila bi trebalo da deluje ka centru krune putanje autobusa dakle paralelno sa podlogom, dok gravitaciona sila deluje u odnosu na taj pravac pod pravim uglom, tj. u vertikalnom pravcu. Na taj nain preostaju sila trenja i sila otpora vazduha. Ovaj problem moemo razreiti tako to emo iz primera ukloniti jednu od ovih sila, pa ako je ona uzrok krunog kretanja, telo se vie nee kretati kruno, a ako nije onda e telo nastaviti sa krunim kretanjem. Uklonimo prvo silu otpora vazduha: zamislimo autobus koji se kree na prethodno opisani nain, ali pod kupolom ispod koje je vakuum. Moemo, alternativno, zamisliti terensko vozilo sa tokovima i volanom na nekoj planeti koja nema atmosferu. Da li e nedostatak otpora vazduha spreiti kruno kretanje vozila bez obzira na okretanje volana? Ako paljivo razmislimo moemo zakljuiti da sila otpora vazduha nema nikakve veze sa krunim kretanjem vozila, tj. da e se vozilo nezavisno od prisustva ove sile kretati kruno. Sve sada ukazuje na silu trenja. Proverimo i nju na isti nain: zamislimo da se umesto po betonskoj podlozi, autobus kree po ravnoj, glatkoj i vlanoj ledenoj povrini, dok su gume na njegovim tokovima istroene, ili kako to vozai kau elave. Svi ovi dodaci su preduslov zanemarljivo male sile trenja. Ako pri ravnomerno pravolinijskom kretanju autobusa voza okrene volan, autobus nee otpoeti kruno kretanje, ve e proklizati pravolinijski. Ono malo sile trenja koja ipak deluje na njegove tokove moe samo prouzroiti rotaciju autobusa oko vertikalne ose.

Dakle u sluaju kretanja nekog vozila po krunoj putanji centripetalna sila je sila trenja sa podlogom.

Razmotrimo jo jedan problem. Zato se pri brzini veoj od kritine autobus prevrne u krivini tj. pri krunom kretanju? Odgovor za posmatraa iz autobusa je da ga je prevrnula centrifugalna sila i to je nesporno. Ali tek sada nastaje problem koji glasi: ali kako moe autobus biti prevrnut delovanjem centrifugalne sile kada na njega istovremeno deluje i centripetalna sila trenja. Kako su ove dve sile iste po jaini i pravcu, a suprotne po smeru, to znai da se one meusobno ponitavaju. Dakle kako autobus moe prevrnuti sila koja je pritom ponitena dejstvom druge sile? Usput, poreenja radi, Zemlja se pri kretanju oko Sunca ne prevre, iako je njena brzina jako velika oko 30 km/s. Inae Zemljina rotacija oko sopstvene ose nije izazvana njenim eventualnim prevrtanjem zbog dejstva centrifugalne sile, jer bi u tom sluaju poloaj ose rotacije Zemlje bio bitno drugaiji.

Reenje ovog problema je u prirodi centripetalnih sila u navedenim primerima. U sluaju prevrtanja autobusa centrifugalna sila deluje na svaku taku autobusa po celoj njegovoj visini, dok centripetalna sila trenja deluje samo na povrinu njegovih tokova na onim mestima gde oni dodiruju podlogu. U tim takama ove dve sile se i ponitavaju, ali na sve ostale take autobusa deluje samo centrifugalna sila, koja tako u njima ostaje neponitena, pa e njihov zbir pri dovoljno velikoj brzini biti dovoljno veliki da prevrne autobus. Ta zavisnost centrifugalne sile od brzine je ista kao i kod centripetalne sile jer su njih dve brojno jednake:

U sluaju kretanja Zemlje oko Sunca i centripetalna gravitaciona i centrifugalna sila deluju na svaku taku Zemlje, pa se u svakoj od njih i ponitavaju, pa zato u ovom sluaju nema prevrtanja.

r Fc

85

_1054056477.unknown

_1054056575.unknown

_1055889136.unknown

_1055889221.unknown

_1055922842.unknown

_1055889019.unknown

_1054056516.unknown

_1054056156.unknown

_1054056394.unknown

_1054056035.unknown