Univerzitet u Novom Sadu Prirodno-matematiki fakultet, Departman za fiziku Smer: Fizika,meteorologija i modeliranje ivotne sredine

Seminarski rad (1) iz Uvoda u meteorologiju II

Sara Stojsavljevi

Jednaina kretanja u sistemu koji rotira

Novi Sad, 23. april 2007. godine

SADRAJ

1. Uvod........................................................................................................................................2 2. Kretanje materijalne take u koordinatnom sistemu..............................................................2 2.1. Brzina i ubrzanje materijalne take................................................................................4 2.2. Vrste kinematikih kretanja............................................................................................5 3. Ravnomerno kruno kretanje materijalne take....................................................................6 4. Jednaina kretanja u sistemu koji rotira.................................................................................7 4.1. Stvarne sile......................................................................................................................9 4.2. Inercijalne sile...............................................................................................................10 Literatura.....................................................................................................................................11

2

1. UvodKretanje je, kao nain postojanja materije, neodvojivo od materije, a i materija je, takoe, neodvojiva od kretanja. Dakle, sve se nalazi u stalnom i neprekidnom kretanju tako da je, u stvari, apsolutna jedino promena kojoj podleu sva tela bez izuzetka. Jo je 1687. Njutn ( Isaac Newton ) u svom delu Matematiki zakoni prirodne nauke (Philosophiae naturalis principia mathematica) postavio osovne aksiome o kretanju tela, polazei od osnovnih pojmova fizike: prostora, vremena, mase i saznanja o kretanju tela. Prvi Njutnov zakon (zakon inercije) ustanovio je jo Galilej i on glasi: svako telo(materijalna taka) ostaje u stanju mira ili ravnomernog pravolinijskog kretanja sve dok dejstvom sile nije prinueno da to stanje promeni. Meutim, kao to je na poetku reeno, sve se nalazi u neprekidnom kretanju, pa se namee pitanje kako onda definisati mirovanje ili ravnomerno pravolinijsko kretanje tela, kada je ono, samo po sebi, relativno. Njutn je bio svestan ovog problema, pa je ova dva vida kretanja definisao u odnosu na apsolutni prostor i vreme. Ovakvo shvatanje o kretanju je metafiziko i ne odgovara realnosti. U realnom prostoru poloaji tela i njihova kretanja mogu biti odreeni samo u odnosu na materijalna tela. Svako od njih moe se uslovno smatrati nepokretnim i za njega vezati koordinatni sistem. Kretanja tela u odnosu na uslovno nepokretni koordinatni (referentni) sistem nazivaju se apsolutnim kretanjima. Koordinatni sistemi, pak, u odnosu na koje izolovana tela miruju ili se ravnomerno pravolinijski kreu, nazivaju se inercijalnim (Galilejevim) koordinatnim sistemima. Slino, koordinatni sistemi u odnosu na koje se izolovana tela ubrzano ili krivolinijski kreu, nazivaju se neinercijalnim koordinatnim sistemima. Kretanja tela u neinercijalnim koordinatnim sistemima spadaju u sloenija kretanja. Naime, kretanje svakog tela na Zemlji jeste sloeno kretanje u neinercijalnom sistemu, to je posledica Zemljine rotacije. Prouavanje kretanj u atmosferi bi se, stoga, u sutini, trebalo svoditi na prouavanje kretanja delia vazduha u neinercijalnom koordinatnim sistemu koji podrazumeva Zemljinu i revoluciju i rotaciju oko sopstvene ose. Meutim, kako je uticaj rotacije Zemlje oko Sunca mali na kretanja u atmosferi Zemlje, on se zanemaruje, a kretanje delia vazduha se posmatra samo u odnosu na rotaciju Zemlje i neko njegovo sopstveno kretanje u odnosu na povrinu Zemlje. Stoga e u ovom radu biti opisano ono kretanje delia vazduha kod koga se zanemaruju sva ostala kretanja itavog sistema, sem Zemljine rotacije.

3

2. Kretanje materijalne take u koordinatnom sistemuPoloaj materijalne take moe biti odreen samo u odnosu na neko drugo telo uzeto kao referentno (telo uporeivanja) (Slika 2.1). U svakoj taki referentnog tela mogu se povui tri orijentisana pravca i , j , k koji lee u jednoj ravni, a seku se u posmatranoj taki. Ova tri orijentisana pravca predstavljaju koordinatni sistem, a njihova taka preseka O jeste poetak koordinatnog sistema. U mehanici se najee upotrebljava desni Dekartov (Descartes) koordinatni sistem, a po potrebi cilindrini, sferni, itd. Poloaj materijalne take A u odnosu na koordinatni poetak O odreuje se ili pomou njenih koordinata x, y, z: x = x(t ) + y (t ) + z (t ) (2.1)

ili pomou njenog vektora poloaja r = OA (vektor koji povezuje poloaj take sa koordinatnim poetkom). Ovaj vektor moe se razloiti na komponente du osa Ox, Oy, Oz, koje su odreene ortovima (jedininim vektorima) i , j , k , pa se dobija: r = xi + yj + zk gde su x, y, z projekcije vektora poloaja r na oznaene ose.

(2.2)

Slika 2.1: Poloaj materijalne take u odnosu na referentnu taku O.

4

2.1 Brzina i ubrzanje materijalne take

Neka se materijalna taka kree u odnosu na koordinatni sistem O (Slika 2.1.1). Geometrijsko mesto uzastopnih poloaja u kojima se nalazila taka A u toku vremena t, tj. kriva A, A1, A2, ... koju je opisala posmatrana taka naziva se putanja (trajektorija). Poloaj take A u odnosu na koordinatni poetak odreen je vektorom poloaja r . U toku kretanja take njen vektor poloaja menja se s vremenom tako da njegov vrh opisuje trajektoriju posmatrane take. Poloaj materijalne take je tada opisan jednainama (2.1) i (2.2) koje se nazivaju konanim jednainama kretanja. Na slici 2.1.1 vektor AA1 = r je vektor promene (prirataj) vektora poloaja r za interval vremena t i naziva se jo i vektor pomeraja take. Kolinik prirataja vektora poloaja i intervala vremena u kome je nastao naziva se vektor srednje brzine: r = sr t koji ima isti pravac i smer kao i vektor pomeraja, ali mu se intenzitet razlikuje jer je t >0. Granina vrednost odnosa (2.1.1) kada t0 naziva se trenutna brzina take A u trenutku t: r dr = lim = = (r ) t 0 t dt

(2.1.1)

(2.1.2)

Slika 2.1.1: Brzina i ubrzanje materijalne take.

5

Na slian nain mogue je opisati i promenu vektora trenutne brzine s vremenom (slika 2.1.1), pri emu granina vrednost: d a = lim = = (r ) t 0 t dt odgovara vektoru trenutnog ubrzanja take A u trenutku t. (2.1.3)

2.2 Vrste kinematikih kretanja

Pojmovi vektora poloaja, brzine, ubrzanja i njihovi odnosi omoguuju potpuno odreivanje kretanja materijalne take bez poznavanja uzroka toga kretanja. Dakle, za poznavanje kretanja take potrebno je znati sledee funkcionalne zavisnosti od vremena: r = r (t ) = (t ) a = a (t ). Prema obliku funkcije u jednaini (2.2.1) kretanja materijalne take dele se na: 1) prema obliku putanje na pravolinijska i krivolinijska; 2) prema brzini kretanja na ravnomerna i promenljiva; 3) prema ubrzanju kretanja na jednako ubrzana i nejednako ubrzana. Naravno, postoji mogunost kombinovanja ovih elemanata pri kretanju take. Tako, na primer, najjednostavniji vid kretanja jeste ravnomerno pravolinijsko kretanje, dok je primer za sloeno kretanje nejednako ubrzano krivolinijsko kretanje. Kako je za dinamiku atmosfere bitan vid kretanja koji ukljuuje rotaciju Zemlje, to e u daljem tekstu panja biti posveena ovom vidu kretanja.

(2.2.1)

6

3. Ravnomerno kruno kretanje materijalne takeKretanje materijalne take po krugu brzinom stalnog intenziteta naziva se ravnomerno kruno kretanje stalnom ugaonom brzinom iji je vektor normalan na ravan u kojoj se vri kretanje, a ima smer napredovanja desnog zavrtnja (Slika 3.1).

Slika 3.1: Ravnomerno kruno kretanje materijalne take.

Brzina ovog kretanja data je kao: dr = =r dt gde je r vektor poloaja take, a vektor ugaone brzine rotacije.

(3.1)

7

4. Jednaina kretanja u sistemu koji rotiraOsnovni cilj dinamike meteorologije jeste prouavanje kretanja u atmosferi kao posledice dejstva sila i vaenja osnovnih zakona kretanja. Ono se, naime, bazira na reavanju onovnih jednaina dinamike atmosfere: jednaine kretanja, prvog principa termodinamike, kontinuiteta, stanja, itd. Jednaina od koje se polazi jeste upravo jednaina kretanja, koja se izvodi za sistem koji rotira (tj. sistem vezan za Zemlju), pri emu se koristi osobina krutog tela (u ovom sluaju Zemlje) da sve njegove take rotiraju istom ugaonom brzinom oko zajednike ose rotacije, tj. ose rotacije krutog tela. Kako je potrebno dobiti jednainu kretanja, prirodno je uzeti za premisu drugi Njutnov zakon zakon kretanja koji, za inercijalne sisteme, glasi: d 2r F =m 2 dt

(4.1)

d 2r gde je m - masa tela, a kolinik drugi izvod vektora poloaja po vremenu, odnosno ubrzanje dt 2 materijalne take. Prva transformacija koju je potrebno izvriti jeste prikazivanje ove jednaine u obliku podesnom za primenu na veliine u atmosferi. Naime, kako je atmosfera kontinuum i teko je definisati masu na koju bi se jednaina kretanja primenila, poeljno je da se ona koristi u sledeem obliku: d 2r F , = dt 2 m F gde kolinik predstavlja vektor rezultante sila koje deluju na jedinicu mase. m Druga transformacija je prilagoavanje jednaine za primenu na kretanja u neinercijalnim sistemima. U daljem tekstu e, stoga, veliine koje odgovaraju inercijalnom sistemu biti obeleene indeksom a (apsolutan), dok e veliine relativnog sistema biti bez indeksa. Tada jednaina (4.2) dobija oblik: d a d a r F = . dt dt m

(4.2)

(4.3) 8

Neka posmatra u taki O, u odnosu na svoj koordinatni sistem posmatra promenu vektora A u malom intervalu vremena dt (Slika 4.1). Promena koja se dogodi, ako vektor A rotira zajedno sa posmatraem ugaonom brzinom oznaena je sa d A i pritom vai: d A = A dt . Stvarna promena A je d a A . Posmatra ne vidi promenu d A , on vidi promenu dA : d a A = d A + dA .

(4.4)

(4.5)

Slika 4.1: Odnos relativne i apsolutne promene vektora A u malom intervalu vremena dt. Zamenom (4.4) u (4.5) i deljenjem sa dt dobija se sledea relacija: d a A dA = + A dt dt definisan u odnosu na nepokretni koordinatni poetak dobija se : d a r dr = +r dt dt

(4.6)

koja se, dalje, moe primeniti na bilo koji vektor. Ukoliko se primeni na vektor poloaja r

(4.7)

9

a ukoliko se primeni na apsolutnu brzinu: d a v a dv a = + va , dt dt

(4.8)

dar gde je v a = . Odavde sledi: dt da dar d dar dar = + , tj. dt dt dt dt dt d a d a r d dr dr +r + +r . = dt dt dt dt dt Tada, jednaina kretanja u sistemu koji rotira ima oblik: dr d 2r F = 2 ( r ) , m dt dt 2

(4.9)

(4.10)

gde su: F - lan koji oznaava stvarne sile; m dr 2 - Koriolisova sila i dt ( r ) - centrifugalna sila.

4.1 Stvarne sile

Kada se razmatra jednaina kretanja u sistemu koji rotira, pod stvarnim silama se podrazumevaju sila gradijenta pritiska i sila trenja. Sila gradijenta pritiska (gradijentna sila) jeste sila koja nastaje kao rezultat postojanja razlike u pritiscima u dvema takama prostora, a u krajnjoj liniji je posledica nejednake temperature posmatranih taaka. Njene vrednosti u pravcu koordinatnih osa su: 1 p , x

Fgx =

(4.1.1)

10

Fgy = Fgz =

1 p i y 1 p g z

(4.1.2) (4.1.3)

gde je g sila Zemljine tee po jedinici mase. Sila trenja potie od unutranjeg (molekularnog i turbulentnog) i spoljanjeg trenja i u optem obliku je data sa: Ftr = k tr zapremini vazduha koji se kree. (4.1.4)

gde je ktr koeficijent trenja koji zavisi od hrapavosti podloge, kao i od intenziteta turbulencije u

4.2 Inercijalne sile

Po definiciji, inercijalne sile se javljaju u neinercijalnim sistemima. Kako je sistem koji rotira neinercijalni, u izrazu za kretanje materijalne take u ovom sistemu pojavljuju se dva lana koji, upravo, predstavljaju inercijalne sile Koriolisovu i centrifugalnu. dr FD = 2 = 2 , je otklanjajua sila Koriolisova (devijacijska) sila, data sa dt izazvana rotacijom Zemlje. Ona uvek ima smer normalan na smer kretanja tela i, prema tome, uzrokuje promene njegovog smera, ali ne i brzine. Veliina ugla za koji se smer vetra otklanja od smera gradijenta pritiska zavisi od veliine otklanjajueg ubrzanja izazvanog rotacijom Zemlje, a to ubrzanje zavisi od brzine vetra i geografske irine mesta na kom vetar duva, to se moe uoiti analizom vektorskog proizvoda = sin . Centrifugalna sila, FC = ( r ) je sila koja se javlja kao posledica krivolinijskog kretanja zapremine vazduha, a intenzitet joj zavisi od ugaone brzine kretanja i poluprenika krivine putanje (zakrivljenosti). Ova sila je uzrok mnogih vanih prirodnih pojava kao to su, na primer, plima i oseka, poveanje duine dana, dnevni hod pritiska, itd.

11

Literatura:

- ii, B., Fizika mehanika; - Vujanovi, B., 1992., Dinamika, Univerzitet u Novom Sadu, Novi Sad, 435; - Mihailovi, D., Materijal sa predavanja na Prirodno-matematikom fakultetu Univerziteta u Novom Sadu.

12