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1/11 P�i?22333ML232
Dipartimento di Matematica per le scienze economiche esociali Universita di Bologna
Matematica aa 2007-2008
lezione 18
professor Daniele Ritelli
2/11 P�i?22333ML232
Questo esempio interessa la gestione delle scorte.
Siano a, b > 0 Consideriamo la funzione:
c(x) = a x +b
x, x > 0
2/11 P�i?22333ML232
Questo esempio interessa la gestione delle scorte.
Siano a, b > 0 Consideriamo la funzione:
c(x) = a x +b
x, x > 0
Dimostrare che c(x) raggiunge il suo minimo assoluto in x =
√b
a
2/11 P�i?22333ML232
Questo esempio interessa la gestione delle scorte.
Siano a, b > 0 Consideriamo la funzione:
c(x) = a x +b
x, x > 0
Dimostrare che c(x) raggiunge il suo minimo assoluto in x =
√b
ae
che il valore dell’estremo e 2√
ab
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In primis osserviamo che
limx→0+
c(x) =∞, limx→∞
c(x) =∞
Poi:
c′(x) =a x2 − b
x2 ⇒ c′(x) = 0 ⇐⇒ x = ±√
b
a:= x±
3/11 P�i?22333ML232
In primis osserviamo che
limx→0+
c(x) =∞, limx→∞
c(x) =∞
Poi:
c′(x) =a x2 − b
x2 ⇒ c′(x) = 0 ⇐⇒ x = ±√
b
a:= x±
e ancora
c′′(x) =2b
x3 ⇒ c′′(x+) > 0 ∨ c′′(x−) < 0
3/11 P�i?22333ML232
In primis osserviamo che
limx→0+
c(x) =∞, limx→∞
c(x) =∞
Poi:
c′(x) =a x2 − b
x2 ⇒ c′(x) = 0 ⇐⇒ x = ±√
b
a:= x±
e ancora
c′′(x) =2b
x3 ⇒ c′′(x+) > 0 ∨ c′′(x−) < 0
Dunque x+ =
√b
ae punto di minimo per c(x)
3/11 P�i?22333ML232
In primis osserviamo che
limx→0+
c(x) =∞, limx→∞
c(x) =∞
Poi:
c′(x) =a x2 − b
x2 ⇒ c′(x) = 0 ⇐⇒ x = ±√
b
a:= x±
e ancora
c′′(x) =2b
x3 ⇒ c′′(x+) > 0 ∨ c′′(x−) < 0
Dunque x+ =
√b
ae punto di minimo per c(x)
relativo o assoluto?
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In questo specifico caso e assoluto in quanto si era preliminarmente
visto che:
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In questo specifico caso e assoluto in quanto si era preliminarmente
visto che:
limx→0+
c(x) =∞, limx→∞
c(x) =∞
4/11 P�i?22333ML232
In questo specifico caso e assoluto in quanto si era preliminarmente
visto che:
limx→0+
c(x) =∞, limx→∞
c(x) =∞
Quindi abbiamo provato che per ogni x > 0 vale:
4/11 P�i?22333ML232
In questo specifico caso e assoluto in quanto si era preliminarmente
visto che:
limx→0+
c(x) =∞, limx→∞
c(x) =∞
Quindi abbiamo provato che per ogni x > 0 vale:
c(x) = a x +b
x≥ 2√
a b = c(x+)
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L’analisi del grafico di c(x) mette in luce un’altra interessante pro-
prieta di questa funzione.
6/11 P�i?22333ML232
L’analisi del grafico di c(x) mette in luce un’altra interessante pro-
prieta di questa funzione.
Per x→∞ il grafico di c(x) tende a quello della retta ax per il fatto
che il contributo del termineb
xdiventa trascurabile per x→∞
6/11 P�i?22333ML232
L’analisi del grafico di c(x) mette in luce un’altra interessante pro-
prieta di questa funzione.
Per x→∞ il grafico di c(x) tende a quello della retta ax per il fatto
che il contributo del termineb
xdiventa trascurabile per x→∞
Formalizziamo. . .
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Definizione Diciamo che la funzione f(x) ha come asintoto obli-
quo per x → ∞ la retta di equazione y = m x + q se esistono i due
limiti
7/11 P�i?22333ML232
Definizione Diciamo che la funzione f(x) ha come asintoto obli-
quo per x → ∞ la retta di equazione y = m x + q se esistono i due
limiti
m = limx→∞
f(x)
x
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Definizione Diciamo che la funzione f(x) ha come asintoto obli-
quo per x → ∞ la retta di equazione y = m x + q se esistono i due
limiti
m = limx→∞
f(x)
x
q = limx→∞
(f(x)−m x)
7/11 P�i?22333ML232
Definizione Diciamo che la funzione f(x) ha come asintoto obli-
quo per x → ∞ la retta di equazione y = m x + q se esistono i due
limiti
m = limx→∞
f(x)
x
q = limx→∞
(f(x)−m x)
c(x) = f(x) = a x +b
x⇒ m = a q = 0
7/11 P�i?22333ML232
Definizione Diciamo che la funzione f(x) ha come asintoto obli-
quo per x → ∞ la retta di equazione y = m x + q se esistono i due
limiti
m = limx→∞
f(x)
x
q = limx→∞
(f(x)−m x)
c(x) = f(x) = a x +b
x⇒ m = a q = 0
y = a x
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Gli asintoti obliqui possono apparire anche per x→ −∞
Ad esempio f(x) =√
x2 + x + 1−x ha asintoto obliquo y = −2x− 1
2
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Gli asintoti obliqui possono apparire anche per x→ −∞
Ad esempio f(x) =√
x2 + x + 1−x ha asintoto obliquo y = −2x− 1
2per x→ −∞
9/11 P�i?22333ML232
Gli asintoti obliqui possono apparire anche per x→ −∞
Ad esempio f(x) =√
x2 + x + 1−x ha asintoto obliquo y = −2x− 1
2per x→ −∞ Infatti
√x2 + x + 1− x
x= −
√1 +
1
x+
1
x2 − 1
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Gli asintoti obliqui possono apparire anche per x→ −∞
Ad esempio f(x) =√
x2 + x + 1−x ha asintoto obliquo y = −2x− 1
2per x→ −∞ Infatti
√x2 + x + 1− x
x= −
√1 +
1
x+
1
x2 − 1
Dunque limx→−∞
√x2 + x + 1− x
x= −2
9/11 P�i?22333ML232
Gli asintoti obliqui possono apparire anche per x→ −∞
Ad esempio f(x) =√
x2 + x + 1−x ha asintoto obliquo y = −2x− 1
2per x→ −∞ Infatti
√x2 + x + 1− x
x= −
√1 +
1
x+
1
x2 − 1
Dunque limx→−∞
√x2 + x + 1− x
x= −2
Infine f(x)− (−2x) =√
x2 + x + 1 + x
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Gli asintoti obliqui possono apparire anche per x→ −∞
Ad esempio f(x) =√
x2 + x + 1−x ha asintoto obliquo y = −2x− 1
2per x→ −∞ Infatti
√x2 + x + 1− x
x= −
√1 +
1
x+
1
x2 − 1
Dunque limx→−∞
√x2 + x + 1− x
x= −2
Infine f(x)− (−2x) =√
x2 + x + 1 + x=x2 + x + 1− x2√
x2 + x + 1− x
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Gli asintoti obliqui possono apparire anche per x→ −∞
Ad esempio f(x) =√
x2 + x + 1−x ha asintoto obliquo y = −2x− 1
2per x→ −∞ Infatti
√x2 + x + 1− x
x= −
√1 +
1
x+
1
x2 − 1
Dunque limx→−∞
√x2 + x + 1− x
x= −2
Infine f(x)− (−2x) =√
x2 + x + 1 + x=x2 + x + 1− x2√
x2 + x + 1− xquindi
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Gli asintoti obliqui possono apparire anche per x→ −∞
Ad esempio f(x) =√
x2 + x + 1−x ha asintoto obliquo y = −2x− 1
2per x→ −∞ Infatti
√x2 + x + 1− x
x= −
√1 +
1
x+
1
x2 − 1
Dunque limx→−∞
√x2 + x + 1− x
x= −2
Infine f(x)− (−2x) =√
x2 + x + 1 + x=x2 + x + 1− x2√
x2 + x + 1− xquindi
limx→−∞
x + 1
−x√
1 + 1x + 1
x2 − x= −1
2
