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noemi-micheli
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Disegno del modello di analisi dei dati sperimentali
Lezione 1:
Modelli Lineari Generalizzati
e disegno degli esperimenti
Esempi di Modelli Lineari Generalizzati (GLM)
Regressione lineare Semplice:
xy 10
Es: Profondità alla quale un disco bianco non è più visibile in un lago
y = Profondità alla scomparsax = concentrazione d'azoto nell'acqua
0 2 4 6 8 10
N/volume water
0
2
4
6
8
10
Dep
th (
m)
Il residuo ε esprime la deviazione tra il modello e l’osservazione eseguita
β0
Intercept
β1
Slope
variabiledipendente
variabileIndipendente
regression Polinomiale:
Es: : y = Profondità alla scomparsax = concentrazione d'azoto nell'acqua
0 2 4 6 8 10
N/volume water
0
2
4
6
8
10
Dep
th (
m)
2210 xxy
regressione Multipla :
21322110 xxxxy
Es: y = Profondità alla scomparsax1 = Concentrazione di N
x2 = Concentrazione di P
02
4
6
8Concentration of N
0
2
4
6
8
Concentration of P
0
2
4
6
8
10
Depth
0
2
4
6
8
10
Depth
Es: y = Profondità alla scomparsax1 = disco Blue
x2 = disco verde
White Blue Green
Disc color
0
2
4
6
8
10
De
pth
22110 xxy
x1= 0; x2 = 0x1= 1; x2= 0x1= 0; x2= 1
analisi della varianza (ANOVA)
Analisi di covarianza (ANCOVA):
3253143322110 xxxxxxxy
Es: y = Profondità alla scomparsax1 = disco Blue
x2 = disco verde
x3 = Concentrazione di N
0 2 4 6 8 10
Concentration of N
0
2
4
6
8
10
Dep
th
Nested analisi della varianza (Annidata):
jiiy )(
Es: y = Profondità alla scomparsaαi = effetto del i-mo lago
β(i)j = effetto del j-ma misurazione nel i-mo lago
Che cosa non è un modello generale lineare ?
y = β0(1+β1x)
y = β0+cos(β1+β2x)
Altre tecniche coperte da questo corso:
• Analisi della varianza multivariata (MANOVA)
• Misurazioni ripetute
• Regressione Logistica
disegno sperimentale
Esempi
disegno di studio randomizzato
• Gli effetti di p trattamenti (i.e. farmaci) sono comparati
• il numero totale di unità sperimentali (persone) è n
• Il trattamento i è somministrato a ni unità
• L’assegnazione dei trattamenti tra le unità sperimentali è casuale
Esempio di disegno randomizzato
• 4 farmaci (chiamato A, B, C, e D) sono testati (i.e. p=4)
• 12 persone sono disponibili (i.e. n = 12)
• ogni trattamento è dato a 3 persone (i.e. ni = 3 for i = 1,2,..,p) (i.e. disegno è bilanciato)
• Le persone sono assegnate ”random” ai trattamenti
n
yy ij
farmaci
A B C D Total
y1A
y2A
y3A
y1B
y2B
y3B
y1C
y2C
y3C
y1D
y2D
y3D
A
jAA n
yy
B
jBB n
yy
C
jCC n
yy
D
jDD n
yy
DD
CC
BB
AA
yy
yy
yy
yy
Nota!Persone Differenti
DD
CC
BB
AA
yy
yy
yy
yy
0Ay
10 By AB yy 1
ADD
ACC
yyy
yyy
330
220
30
20
10
0
11 x
12 x
13 x
3322110 xxxy
Fonte Gradi di libetrtà
stima di
trattamenti ( )
Residui
1
p - 1 = 3
n-p = 8
Total n = 12
0
321
disegno a blocchi randomizzati
• tutti i trattamenti sono assegnati alle stesse unitàsperimentali
• i trattamenti sono assegnati a caso
B C B
A B D
D A A
C D C
blocchi (b = 3)
trattamenti (p = 4)
trattamenti
persone
A B C D Average
1
2
3
Average
Cy1 Dy1
Ay2
Ay3
Cy2By2 Dy2
By3 Cy3 Dy3
Ay By
1y
2y
3y
Cy Dy y
55443322110 xxxxxy
blocchi (b-1) trattamenti (p-1)
Ay1 By1
fonte Gradi di libetrtà
stima di
blocchi (persone)
trattamenti (farmaci)
Residuo
1
b - 1 = 2
p-1 = 3
n-[(b-1)+(p-1)+1] = 6
Total n = 12
0
disegno a blocchi randomizzati
disegno a blocchi doppi (quadrati-latini)
Persone
Sequence
1 2 3 4
1 B D A C
2 A C D B
3 C A B D
4 D B C A
Righe(a =4)
Colonne (b = 4)
9988776655443322110 xxxxxxxxxy
Sequence (a-1) persone (b-1)
farmaci (p-1)
fonte Gradi di libetrtà
stima di
Righe (sequences)
blocchi (persone)
trattamenti ( farmaci )
Residui
1
a-1 = 3
b - 1 = 3
p-1 = 3
n-[3(p-1)+1] = 6
Total n = p2 = 16
0
disegno Latin-square
disegno fattoriale
• Sono usati quando gli Effetti combinati dovuti o più di fattori sono studiati simultaneamente.
• Come esempio, supponga che il fattore A sia un farmaco ed il fattore B sia la via di somministra-zione del farmaco
• Il fattore A accade in tre differenti livelli (chiamati farmaco A1, A2 e A3)
• Il fattore B accade in 4 differenti livelli (chiamati B1, B2, B3 e B4)
disegno fattorialefattore B
fattore A
B1 B2 B3 B4 Average
A1 y11 y12 y13 y14
A2 y21 y22 y23 y24
A3 y31 y32 y33 y34
Average
1y
2y
3y
1y 2y 3y 4y y
55443322110 xxxxxyij
effetto di A effetto di B Non interazione tra A e B
esperimento fattoriale senza interazione
• tempo di Sopravvivenza a 15oC e 50% UR: 17 giorni
• tempo di Sopravvivenza a 25oC e 50% UR: 8 giorni
• tempo di Sopravvivenza a 15oC e 80% UR: 19 giorni
• Qual’è il tempo di Sopravvivenza atteso a 25oC e 80% UR?
• Un aumento in temperature da 15oC a 25oC at 50% UR decresce il tempo di Sopravvivenza di 9 giorni
• Un aumento in UR da 50% ad 80% a 15oC accresce il tempo di Sopravvivenza di 2 giorni
• Un aumento in temperatura da 15oC a 25oC e un aumento in UR da 50% a 80% fa attendere una variazione del tempo di Sopravvivenza di –9+2 = -7 giorni
esperimento fattoriale senza interazione
10 15 20 25 30
Temperature (oC)
0
5
10
15
20
25S
urv
ival
tim
e (d
ays)
50 % UR
80 % RH
esperimento fattoriale senza interazione
10 15 20 25 30
Temperature (oC)
0
5
10
15
20
25S
urv
ival
tim
e (d
ays)
50 % UR
80 % RH
esperimento fattoriale senza interazione
10 15 20 25 30
Temperature (oC)
0
5
10
15
20
25S
urv
ival
tim
e (d
ays)
50 % UR
80 % UR
esperimento fattoriale senza interazione
10 15 20 25 30
Temperature (oC)
0
5
10
15
20
25S
urv
ival
tim
e (d
ays)
50 % UR
80 % UR
10 15 20 25 30
Temperature (oC)
0
5
10
15
20
25S
urv
ival
tim
e (d
ays)
esperimento fattoriale senza interazione
22110 xxyij
0
1
2
esperimento fattoriale con interazione
10 15 20 25 30
Temperature (oC)
0
5
10
15
20
25S
urv
ival
tim
e (d
ays)
0
1
2
3
21322110 xxxxyij
disegno fattoriale s
fattore B
fattore A
B1 B2 B3 B4 Average
A1 y11 y12 y13 y14
A2 y21 y22 y23 y24
A3 y31 y32 y33 y34
Average
1y
2y
3y
1y 2y 3y 4y y
effetto di A effetto di B
5211421032951841731655443322110 xxxxxxxxxxxxxxxxxyij
Interazioni tra A e B
fonte Gradi di libetrtà
stima di
fattore A (drug)
fattore B (somministrazione)
Interazioni tra A e B
Residui
1
a-1 = 2
b - 1 = 3
(a-1)(b-1) = 6
n- ab = 0
Total n = ab = 12
0
disegno fattoriale a due-way con interazione, ma senza replicazione
fonte Gradi di libetrtà
stima di
fattore A (drug)
fattore B (somministrazione)
Residui
1
a-1 = 2
b - 1 = 3
n- a-b+1 = 6
Total n = ab = 12
0
disegno fattoriale a due-vie senza repliche
In assenza di repliche, è necessario assumere l’assenza di interazione tra fattori!
fonte Gradi di libetrtà
stima di
fattore A (drug)
fattore B (somministrazione)
Interazioni tra A e B
Residui
1
a-1
b - 1
(a-1)(b-1)
ab( r-1)
Total n = rab
0
disegno fattoriale a due-vie con repliche
fonte Gradi di libetrtà
stima di
fattore A (drug)
fattore B (somministrazione)
Interazioni tra A e B
Residui
1
a-1 = 2
b – 1 = 3
(a-1)(b-1) = 6
ab( r-1) = 12
Total n = rab = 24
0
disegno fattoriale a due-vie con interazione (r = 2)
Factor CFactor B
Factor A
Factor A
10109988776655443322110 xxxxxxxxxxyijk
fattore B fattore C
disegno fattoriale a tre-vie
fattore A
42203219101189117811671156114511341123111 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 10 Main Effetti
31 due-way interazioni
107272972718727094145841441031439314283141 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
30 Three-way interazioni
fonte Gradi di libetrtà
stima di
fattore A
fattore B
fattore C
Interazioni tra A e B
Interazioni tra A e C
Interazioni tra B e C
Interazioni tra A, B e C
Residui
1
a-1 = 2
b – 1 = 5
c-1 = 3
(a-1)(b-1) = 10
(a-1)(c-1) = 6
(b-1)(c-1) = 15
(a-1)(b-1)(c-1) = 30
abc( r-1) = 0
Total n = rabc = 72
0
disegno fattoriale a Tre-vie
perchè più di due livelli di un fattore dovrebbero essere usati in un disegno
fattoriale ?
due-livelli di un fattore
10 15 20 25 30
Temperature (oC)
0
5
10
15
20
25
30S
urv
ival
tim
e (d
ays)
10 15 20 25 30
Temperature (oC)
0
5
10
15
20
25
30S
urv
ival
tim
e (d
ays)
Tre-livelli
fattore qualitativo
22110 xxy
1
Low Medium High
0
2
10 15 20 25 30
Temperature (oC)
0
5
10
15
20
25
30S
urv
ival
tim
e (d
ays)
Tre-livelli
fattore quantitative
2210 xxy
Perchè in un un disegno fattoriale devono
essere usati non molti livelli di ogni fattore ?
Perchè ogni livello di ogni fattore accresce il numero di unità sperimentali da usare
per esempio, un esperimento a cinque fattori con quattro livelli per fattore da origine a 45 = 1024 differenti combinazioni
se non tutte le combinazioni sono applicate in un esperimento, il disegno è partialmente fattoriale