Diskreetne matemaatika

Sisukord Arvusüsteemid ................................................................................................................................................... 2

Kahendkoodid .................................................................................................................................................... 4

Loogikafunktsioonid ja loogikaavaldised ........................................................................................................... 5

Avaldiste teisendused ........................................................................................................................................ 8

Karnaugh’ kaart ................................................................................................................................................. 9

McCluskey’ minimeerimismeetod ................................................................................................................... 10

Loogikaskeemid. Funktsioonide täielikud süsteemid. Teisendused baasidesse ............................................. 11

Jääkfunktsioon. Tuletis. Shannoni arendus. Funktsioonide klassid ................................................................. 13

Hulgad .............................................................................................................................................................. 14

Vastavused ja relatsioonid............................................................................................................................... 16

Tükeldused ...................................................................................................................................................... 18

Järjestussuhe ................................................................................................................................................... 19

Graafid ............................................................................................................................................................. 20

Arvusüsteemid 1. Milline on tuntuim mittepositsiooniline arvusüsteem? Rooma numbrite süsteem.

2. Mis on positsioonilise arvusüsteemi alus? Mida ta määrab? Alus määrab ära positsioonilise

arvusüsteemi ning mitmest numbrimärgist arvusüsteem koosneb.

3. Mis on arvujärgu kaal? Kuidas on iga järgu kaal määratud? Igal arvujärgul on kaal , mille saame

arvusüsteemi alust p arvujärgu indeksiga i astendades: .

4. Mida näitab koma? Koma näitab, kus lähevad täisarvulised järgukaalud üle murdarvulisteks.

5. Millised arvujärgud on kõrgemad järgud? Kõrgemad järgud on suurema kaaluga ehk kaugemal täisosa

ja murdosa üleminekupunktist.

6. Millised arvujärgud on madalamad järgud? Madalamad järgud on väiksema kaaluga ehk lähemal

täisosa ja murdosa üleminekupunktile.

7. Milline on täisosa madalaima järgu kaal suvalises arvusüsteemis? Täisosa madalaima järgu kaal

kõikides arvusüsteemides on 1.

8. Mitu erinevat järguväärtust võib olla arvusüsteemi igas järgus? Igas järgus saab olla arvusüsteemi

alusega võrdne arv järguväärtusi.

9. Mis on number? Mis on arv? Number on arvusüsteemis olev järguväärtus. Arv koosneb numbritest.

10. Kuidas avaldub arvu väärtus? Arvu väärtus avaldub järgneva korrutiste summana:

, kus a on järk ja

p on arvusüsteemi alus.

11. Millise numbri lisamine täisosa ette või murdosa lõppu ei muuda arvu väärtust? Nulli lisamine täisosa

ette või murdosa lõppu ei muuda arvu väärtust.

12. Mis on arvu tüvenumbrid? Tüvenumbrid on arvu numbrid alates madalaimast mittenullisest numbrist

kuni kõrgeima mittenullise numbrini.

13. Millist teisendust nimetame ka arvu „väärtuse leidmiseks“? Väärtuse leidmise all mõeldakse

kümnendsüsteemi teisendamist.

14. Mida näitab arvu järel olev indeks? Arvu järel olev indeks näitab kasutatavat arvusüsteemi.

15. Milline on lihtsaim võimalik arvusüsteem? Lihtsaim arvusüsteem on kahendsüsteem.

16. Kuidas on määratud arvujärkude kaalud kahendsüsteemis? Kahendsüsteemi järgukaalud on arvu 2

täisarvastmed.

17. Kuidas toimub arvu teisendus mingisse teise arvusüsteemi? Teisendamisel uude avusüsteemi

jagatakse arv uue arvusüsteemi alusega.

18. Millised neli arvusüsteemi on kõige olulisemad? Kahend-, kaheksand-, kümnend- ja

kuueteistkümnendsüsteem.

19. Mis on oktaalarvud? Millisele arvusüsteemile viitab nimetus hex? Oktaalarvud on kaheksandarvud

ning hex tähistab kuueteistkümnendsüsteemi.

20. Kuidas tähistatakse kuueteistkümnendnumbreid väärtustega 10 11 12 13 14 15?

Kuueteistkümnendsüsteemis tähistatakse: 10=A, 11=B, 12=C, 13=D, 14=E, 15=F.

21. Milline on suurima alusega praktiliselt kasutatav arvusüsteem? Suurima alusega praktiliselt kasutatav

arvusüsteem on kuueteistkümnendsüsteem.

22. Milleks 16ndsüsteemi kõige enam kasutatakse? 16ndsüsteemi kasutatakse arvutimälus hoitavate

baitide sisu kompaktsemaks esitamiseks.

23. Kuidas saab arve teisendada 2ndsüsteemi, 8ndsüsteemi ja 16ndsüsteemi vahel?

2ndsüsteemist 8nd või 16ndsüsteemi teisendamiseks tuleb jagada 2ndarv vastavalt järkude

kolmikuks ( ) või nelikuks ( ) ning need teisendada soovitavasse arvusüsteemi.

| | | |

| | |

8ndarvu 16ndsüsteemi või 16ndarvu 8ndsüsteemi teisendamiseks tuleb arv teisendada kõigepealt

2ndsüsteemi ja seejärel soovitavasse arvusüsteemi.

24. Millised arvud on naturaalarvud? Naturaalarvud on mittenegatiivsed täisarvud ( ).

25. Millised arvud on algarvud? Algarvud on naturaalarvud, mis jaguvad ainult 1 või iseendaga.

26. Millised murdarvud on ratsionaalarvud? Ratsionaalarvud on sellised murdarvud, mis esituvad kahe

täisarvu jagatisena. Ratsionaalarvud on lõpliku või lõpmatu perioodilise murdosaga murdarvud.

Kahendkoodid 1. Mis on kahendvektor? Mis on kahendvektori pikkus? Kahendvektor on kahendnumbritena 0 ja 1

esitatud loogikaväärtuste ühemõõtmeline jada. Kahendvektori pikkus on tema 2ndjärkude arv.

2. Millised erinevused on kahendvektoril ja kahendarvul? Erinevalt kahendarvudest pole

kahendvektoritel järgukaale.

3. Millised kahendvektorid on lähisvektorid? Lähisvektorid on kahendvektorid, mis erinevad teineteisest

ühes kahendjärgus.

4. Mitu erinevat lähisvektorit on n-järgulised kahendvektoril? N-järgulisel kahendvektoril on n

lähisvektorit.

5. Mis on intervall? Intervall on võrdse pikkusega kahendvektorite hulk võimsusega , milles iga

hulgaelemendi jaoks leidub n lähisvektorit.

6. Millised järgud on intervalli olulised järgud? Vektorite need järgud, mille väärtus kõikidel vektoritel on

intervalli ulatses konstantne.

7. Kuidas on intervalli suurus seotud tema mitteoluliste järkude arvuga? Kui intervalli võimsus on , siis

n on mitteoluliste järgkude arv.

8. Millest koosneb intervalli vektoresitus? Kuidas ta moodustatakse? Intervalli vektoresitusel on olulised

järgud esitatud samade konstantidega 0 ja 1 ning mitteolulised järgud on tähistatud sümboliga -.

9. Mis on n-mõõtmeline Boole’i ruum? Boole’i ruum on kõigi n-järguliste kahendvektorite hulk

võimsusega (| | ).

10. Tuua näide võrreldavatest kahendvektoritest. 00010 < 00110

11. Tuua näide mittevõrreldavatest kahendvektoritest. Mittevõrreldavad vektorid on 10 ja 01.

12. Kas erinevate pikkustega kahendvektorid võivad olla võrreldavad? Omavahel saab võrrelda ainult

võrdsete pikkustega vektoreid.

Loogikafunktsioonid ja loogikaavaldised 1. Mis on loogikaalgebra? Loogikaalgebra on Boole’i algebra erijuht, kus alushulgaks on kaheelemendiline

hulk {0,1}.

2. Millest loogikaalgebra koosneb? Loogikaalgebra koosneb loogikaväärtuste hulgast {0,1}, millele on

defineeritud 3 elementaarset loogikatehet: unaarne tehe inversioon (¯) ja binaarsed tehted

konjunktsioon (∧) ja disjunktsioon (∨).

3. Mis on loogikamuutuja? Muutuja x on loogikamuutuja, kui ta saab omandada üksnes väärtusi {0 1}

4. Kuidas nimetatakse numbrimärkidega 0 ja 1 esitatud loogikaväärtusi? Konstant.

5. Mis on loogikaavaldis? Loogikaavaldise definitsioon. Loogikaavaldis on loogikamuutujatest,

konstantidest ja tehtemärke sisaldav kooslus, mis muutujate väärtustamisel omandab samuti väärtuse

0 või 1.

6. Millist loogikatehet tähendab tehtemärgi puudumine operandide vahel? Tehtemärgi puudumine

tähendab konjunktsiooni.

7. Mitu loogikatehet on olemas? Mitu operandi nendest igaühel on? Lausearvutuses kasutatakse 5

loogikatehet: 1 unaarne ja 4 binaarne. Unaarsel loogikatehtel on 1 operand ja binaarsel loogikatehtel

on 2 operandi.

8. Millisel tingimusel on kaks loogikaavaldist omavahel võrdsed? Kaks loogikaavaldist on võrdsed, kui

nad arvutavad muutujate väärtustamisel samad väärtused.

9. Kuidas saadakse mingi loogikavaldise jaoks tema duaalne kuju? Loogikaavaldise duaalne kuju

saadakse konjunktsiooni asendamisel disjunktsiooniga, disjunktsiooni asendamisel konjunktsiooniga,

konstandi 0 asendamisel konstandiga 1 ning konstandi 1 asendamisel konstandiga 0.

10. Milline seos on omavahel hulgaalgebral ja loogikaalgebral? Loogikaalgebra ja hulgaalgebra on

isomorfsed. Kõik loogikaalgebra seadused kehtivad ka hulgaalgebras, kui teha asendused:

konjunktsioon – ühisosa, disjunktsioon – ühend, konstant 0 – tühi hulk, konstant 1 – universaalhulk.

11. Milleks kasutatakse loogikatehete asendusseoseid? Millistele tehetele on nad olemas?

Asendusseosed asendavad mitteelementaarseid loogikatehteid implikatsioon, ekvivalents, summa

mooduliga 2 elementaarsete loogikatehete kaudu.

12. Mis on n-muutuja loogikafunktsioon? N-muutuja loogikafunktsioon on vastavus n-

muutuja Boole’i ruumist loogikaväärtuste hulka {0, 1}.

13. Mis on argumentvektor ja mida ta esitab? Argumentvektor ehk kahendvektor esitab funktsiooni igale

üksikule muutujale omistatavat väärtust 0 või 1.

14. Mida näitab loogikafunktsiooni tõeväärtustabel? Tõeväärtustabel esitab funktsiooni väärtused

tabelisse korrastatuna kõikide argumentvektorite korral. Tõeväärtustabel on loogikafunktsiooni

vahetuim esitus.

15. Mis on funktsiooni 1-de piirkond? Mis on 0-de piirkond? Kuidas neid tähistatakse? 1-de piirkond

näitab, milliste argumentvektorite korral omandab loogikafunktsioon väärtuse 1 ning 0-de piirkond

näitab, milliste argumentvektorite korral omandab loogikafunktsioon väärtuse 0. 1-de piirkonda

tähistatakse suure kreeka tähe „sigma“-ga ( ) ning 0-de piirkonda tähistatakse

suure kreeka tähe „pii“-ga ( ).

16. Mis on funktsiooni mitteoluline muutuja? Mitteolulise muutuja väärtusest ei sõltu funktsiooni väärtus.

17. Millisele kujule on mitteolulis(t)e muutuja(te)ga loogikaavaldis alati teisendatav? Mitteolulis(t)e

muutuja(te)ga loogikaavaldis on alati teisendatav kujule, kus need mitteolulised muutujad puuduvad.

18. Milline loogikafunktsioon on osaliselt määratud? Osaliselt määratud loogikafunktsiooni puhul leidub

selliseid argumentvektoreid, mille jaoks pole rangelt määratud, millise loogikaväärtuse funktsioon

omandama peab.

19. Mis on funktsiooni määramatuspiirkond? Kuidas seda tähistatakse? Määramatuspiirkonna

moodustavad need argumentvektorid, mille jaoks pole rangelt määratud, millise loogikaväärtuse

funktsioon omandama peab. Tähistatakse „_“-ga ( ).

20. Millega võrdub funktsiooni 1-de piirkonna, 0-de piirkonna ja määramatuspiirkonna ühend?

21. Millise väärtuse omandab funktsioon oma määramatuspiirkonnas? Funktsioon võib omandada

määramatuspiirkonna väärtuse 0 või 1.

22. Kuidas esitatakse tõeväärtustabelis funktsiooni määramatuspiirkonda? Määramatust tähistatakse

sümboliga „-“.

23. Mida tehakse funktsiooni määramatuspiirkonnaga? Määramatuspiirkond määratakse lõpuni.

24. Mitu täielikult määratud funktsiooni sobivad esitama funktsiooni, mille | | ? Funktsiooni, mille

määramatuspiirkonna moodustavad n argumentvektorit, sobivad esitama täielikult määratud

funktsiooni.

25. Millised on loogikafunktsioonide esitusviisid? Loogikafunktsioonide esitusviisid: tõeväärtustabel,

numbriline kümnendesitus, loogikaavaldis.

26. Kuidas koostatakse loogikafunktsioonide esitusviisid? Loogikafunktsioonide esituskujust peab

selguma, kuidas funktsioon väärtustub oma muutujate kõikvõimalike väärtuskombinatsioonid korral.

27. Kuidas koostatakse loogikafunktsioonide numbriline 10ndesitus? Numbriline 10ndesitus on

tõeväärtustabeli kompaktne üherealine esitus, kus 2ndvektorid on asendatud vastavate 10ndarvudega.

28. Mida esitab iga 10ndarv numbrilise 10ndesituse koosseisus? 10ndesituse koosseisus esitab 10ndarv

arvule vastavat 2ndvektorit.

29. Mis on algterm? Algterm on loogikaavaldise koosseisu kuuluv muutuja või selle inversioon.

30. Mis on elementaarkonjunktsioon? Elementaarkonjunktsioon on algterm või algtermide konjunktsioon.

31. Mis on elementaardisjunktsioon? Elementaardisjunktsioon on algterm või algtermide disjunktsioon.

32. Mis on disjunktiivne normaalkuju (DNK)? DNK on elementaarkonjunktsioon või

elementaarkonjunktsioonide disjunktsioon.

33. Mis on konjunktiivne normaalkuju (KNK)? KNK on elementaardisjunktsioon või

elementaardisjunktsioonide konjunktsioon.

34. Esitada näitena avaldisi, mis on samaaegselt nii DNK kui ka KNK? , , ∨

35. Mis on täielik disjunktiivne normaalkuju (TDNK)? TDNK on DNK, kus iga elementaarkonjunktsioon

sisaldab kõiki funktsiooni muutujad.

36. Mis on täielik konjunktiivne normaalkuju (TKNK)? TKNK on KNK, kus iga elementaardisjunktsioon

sisaldab kõiki funktsiooni muutujaid.

37. Mis on loogikaavaldise keerukus? Loogikaavaldise keerukus on temas sisalduvate algtermide arv.

38. Mis on minimaalne DNK (MDNK)? Mis on minimaalne KNK (MKNK)? MDNK (MKNK) on vähima

keerukusega DNK (KNK) ehk sisaldab kõige vähem algterme.

39. Millisest loogikafunktsiooni piirkonnast tuleneb DNK? Millisest piirkonnas tuleneb KNK? DNK tuleneb

1depiirkonnast. KNK tuleneb 0depiirkonnast.

40. Kuidas kirjutatakse funktsiooni tõeväärtustabelist välja funktsiooni TDNK või TKNK? TDNK

kirjutatakse välja 1depiirkonnast nii, et iga elementaarkonjunktsioon omandab väärtuse ainult ühe

argumentvektori korral. TKNK kirjutatakse välja 0depiirkonnast nii, et iga elementaardisjunktsioon

omandab väärtuse ainult ühe argumentvektori korral, kusjuures väärtus 0 annab

elementaardisjunktsiooni koosseisu muutuja otseväärtuse ning väärtus 1 annab

elementaardisjunktsiooni koosseisu muutuja inversiooni.

41. Mitu erinevat täielikku disjunktiivset normaalkuju (TDNK) on igal loogikafunktsioonil? Igal

loogikafunktsioonil on täpselt üks TDNK.

42. Mitu erinevat täielikku konjunktiivset normaalkuju (TKNK) on igal loogikafunktsioonil? Igal

loogikafunktsioonil on täpselt üks TKNK.

43. Mitu TDNK elementaarkonjunktsiooni väärtustub 1-ks suvalise argumentvektori korral? TDNK

väärtustub 1-ks nii mitme argumentvektori korral, kui palju on TDNK-s elementaarkonjunktsoone.

44. Mitu TKNK elementaardisjunktsiooni väärtustub 0-ks suvalise argumentvektori korral? TKNK

väärtustub 0-ks nii mitme argumentvektori korral, kui palju on TKNK-s elementaardisjunktsioone.

45. Milline loogikafunktsioon ei oma TDNK-d. Milline loogikafunktsioon ei oma TKNK-d?

Loogikfunktsioonil konstant 0 (1) puudub TDNK (TKNK).

Avaldiste teisendused 1. Mitu erinevat 1-muutuja loogikafunktsiooni on olemas? Eksisteerib 4 1-muutuja loogikafunktsiooni.

2. Milline on ainus oluline 1-muutuja loogikafunktsioon? Inversioon osutub ainsaks oluliseks 1-muutuja

loogikafunktsiooniks.

3. Kuidas võib nimetada 0-muutuja loogikafunktsioone? 0-muutuja loogikafunktsioone nimetatakse ka

konstantideks.

4. Mitu erinevat 2-muutuja loogikafunktsiooni on olemas? Eksisteerib 16 2-muutuja loogikafunktsiooni.

5. Millised 2-muutuja funktsioonid sõltuvad mõlemast muutujast? 2-muutuja loogikafunktsioonid, mis

sõltuvad mõlemas muutujast: konjunktsioon, disjunktsioon, implikatsioon, pöördimplikatsioon,

eelnevate inversioonid, ekvivalents ja nende inversioonid.

6. Milline erinevus on implikatsioonil ja pöördimplikatsioonil? Muutujate järjekord on vahetuses.

7. Mis on Peirce’i nool („Peirce arrow“)? Peirce’i nooleks nimetatakse disjunktsiooni inversiooni.

8. Mis on Shefferi kriips („Sheffer stroke“)? Shefferi kriipsuks nimetatakse konjunktsiooni inversiooni.

9. Mitu erinevat 3-muutuja loogikafunktsiooni on olemas? Eksisteerib 256 3-muutuja loogikafunktsiooni.

10. Miks nimetatakse loogikatehet „summa mooduliga 2“ ja välistav VÕI“? Võrdsete operandide korral

väärtustub funktsioon 0-ks.

11. Millest tuleneb lühend XOR? Lühend XOR tuleneb inglise keelsest sõnast eXcluseive OR.

12. Millise loogikatehte inversiooniks on loogikatehe summa mooduliga 2? Summa mooduliga 2 on

ekvivalentsi inversioon.

13. Millise 3-tähelise lühendiga tähistatakse loogikatehet summa mooduliga 2? Summa mooduliga 2

tähistatakse XOR.

14. Kuidas avaldatakse tehet elementaarsete loogikatehete kaudu? ∨

15. Mida teeb avaldisele konstandi 1 juurdeliitmine tehtega ? Avaldisele konstandi 1 juurdeliitmine

tehtega inverteerib avaldise väärtuse vastupidiseks.

16. Milline on tulemus paaritu arvu konstantide 1 kokkuliitmisel tehtega ? Paaritu arvu konstantide 1

kokkuliitmisel tehtega väärtustub avaldis 1-ks.

17. Milline on tulemus paarisarvu konstantide 1 kokkuliitmisel tehtega ? Paarisarvu konstantide 1

kokkuliitmiseks tehtega väärtustub avaldis 0-ks.

18. Milline on tulemus paaritu arvu muutujate x kokkuliitmisel tehtega ? Paaritu arvu muutujate x

kokkuliitmisel tehtega väärtustub avaldis x-ks.

19. Milline on tulemus paarisarvu muutujate x kokkuliitmisel tehtega ? Paarisarvu muutujate

kokkuliitmiseks tehtega väärtustub avaldis 0-ks.

20. Milline on tulemus muutuja x ja tema inversiooni kokkuliitmisel tehtega ? X-i ja tema inversiooni

kokkuliitmisel tehtega on tulemuseks alati 1.

21. Millal võib DNK-s asendada kõik disjunktsioonitehted ∨ tehtega ? Kui disjunktsioonitehte

operandidest on väärtusega 1 paaritu arv operande, siis võib sellest tehtest asendada kõik

disjunktsioonitehted ∨ tehtega .

22. Kuidas saab mittetäieliku DNK või KNK teisendada täielikuks? Mittetäieliku DNK (KNK) saab

teisendada täielikuks kleepimisseaduste abil.

23. Kumb normaalkuju (DNK või KNK) on praktikas olulisem? Praktikas on olulisem DNK.

24. Millise põhiseose abil saab DNK teisendada KNK-ks? DNK saab teisendada KNK-ks rakendades

topeltinversiooni ja DeMorgani seadust.

25. Leia põhjus, miks ühise teguri sulgude ette toomisel (tavaliselt) ei jää kunagi sulgudesse neeldumist

kujul ( ∨ )? Tavaliselt tuuakse sulgude ette võimalikult palju ühiseid tegureid.

Karnaugh’ kaart 1. Mis on Karnaugh’ kaart? Karnaugh’ kaart on funktsiooni tõeväärtustabeli sihipärane topoloogiline

ümberpaigutus tasandil või ruumis. Tõeväärtustabeli igale reale vastab Karnaugh’ kaardil üks ruut.

2. Millised on Karnaugh’ kaardi põhiomadused? Kaardi iga ruudu naaberruutude arv võrdub kaardi

muutujate arvuga. Suvalise kahe naaberruudu argumentvektorid on teineteise lähiskoodid.

3. Milline on suurim Karnaugh’ kaart? Suurim Karnaugh’ kaart on 6-muutuja kaart ehk 64 ruutu.

4. Millise suurusega Karnaugh’ kaardid on tasandilised? Millised on ruumilised? 2-,3- ja 4-muutuja

Karnaugh kaardid on tasandilised, 5- ja 6-muutuja kaardid on ruumilised.

5. Mis on Karnaugh’ kaardi kontuurid? Millised on kontuuride võimalikud suurused? Kontuurideks

nimetatakse Karnaugh’ kaardil välja valitud kindlate mõõtmetega ruutude gruppe.

6. Millist küljepikkus Karnaugh’ kaardi kontuuridel kunagi ei esine? Karnaugh’ kaartidel on lubatud vaid

küljepikkustega kontuure ehk kunagi ei esine kontuure, mille küljepikkus on 3.

7. Mida esitab Karnaugh’ kaardi iga kontuur? Karnaugh’ kaardi iga kontuur vastab ühele kahendvektorite

intervallile.

8. Mitu erinevat muutujaväärtuste piirkonda leidub n-muutuja Karnaugh’ kaardil? N-muutuja Karnaugh’

kaardil on 2n kattuvat piirkonda.

9. Milleks Karnaugh’ kaarti kõige enam kasutatakse? Karnaugh’ kaarti kasutatakse kuni 6-muutuja

funktsioonide käsitsi minimeerimiseks.

10. Mis on funktsiooni minimeerimine? Funktsiooni minimeerimine on vähima keerukusega ehk

minimaalse normaalkuju leidmine.

11. Kuidas kasutatakse Karnaugh’ kaarti funktsiooni minimeerimisel? Funktsiooni minimeerimisel

valitakse Karnaugh’ kaardil võimalikult suured kontuurid.

12. Millest oleneb elementaarkonjunktsioonide arv, kui MDNK saadakse Karnaugh’ kaardilt? MDNK

leidmisel Karnaugh’ kaardiga on elementaarkonjunktsioonide arv võrdne valitud kontuuride arvuga.

13. Kas kontuuri suurenemisel konstantsete muutujate arv kontuuri ulatuses suureneb või väheneb?

Kontuuri suurenemisel konstantsete muutujate arv kontuuri ulatuses väheneb.

14. Mitu konstantset muutujat on 1-ruudulises kontuuris? 1-ruudulises kontuuris on kõik muutujad

konstantsed.

15. Mitu konstantset muutujat on (suurimas võimalikus kontuuris), mis katab terve kaardi? Suurima

võimaliku kontuuri korral pole ühtegi konstantset muutujat ehk loogikafunktsiooni väärtus on kas 0 või

1 kogu kaardi ulatuses.

16. Miks on suuremad kontuurid minimaalse normaalkuju leidmisel eelistatud? Suuremate kontuuride

puhul on konstantsete muutujate arv väiksem ehk normaalkuju on väiksema keerukusega.

17. Miks eelistatakse katta vajalikud ruudud võimalikult väikse arvu erinevate kontuuridega? Ruudud

tuleb kaata võimalikult väikse arvu kontuuridega, et leitav normaalkuju oleks minimaalne.

18. Mille poolest erineb elementaardisjunktsiooni väljakirjutamine 0-de kontuurist (võrreldes

elementaarkonjunktsiooni väljakirjutamisega 1-de kontuurist)? 0-de piirkonna konstante muutuja

annab elementaardisjunktsiooni koosseisu vastava inversioonis muutuja

(otseväärtuses muutuja x), kui 1-de piirkonna konstantne muutuja annab

elementaarkonjunktsiooni koosseisu vastava otseväärtuses muutuja x (inversioonis muutuja ).

McCluskey’ minimeerimismeetod 1. Kui suure muutujatearvu korral on McCluskey’ minimeerimismeetod rakendatav?

2. Millised on McCluskey’ meetodi põhietapid?

3. Mis on McCluskey’ meetodis 10ndarvu indeks?

4. Millistele tingimustele peavad vastama McCluskey’ meetodiga kleebitavad 10ndarvud?

5. Millistele tingimustele peavad vastama McCluskey’ meetodiga kleebitavad intervallid?

6. Millised McCluskey’ meetodi 2 modifikatsiooni on olemas? Mille poolest nad erinevad?

7. Millised sarnasused on McCluskey’ meetodiga ja Karnaugh’ kaardiga minimeerimisel?

8. Mida teeb McCluskey’ minimeerimismeetod funktsiooni määramatuspiirkonnaga?

9. Mille poolest erinevad osaliselt määratud ja täielikult määratud funktsiooni minimeerimine

McCluskey’ meetodil?

10. Kuidas toimitakse, kui kleepimistabelis ei õnnestu mõnda seal leiduvat arvu/2ndvektorit kleepida

mitte ainsatki korda?

11. Kuhu (kuidas) paigutuvad kleepimistabeli koostamisel sellised arvud/2ndvektorid, mis Karnaugh’

kaardil asuvad kõrvuti naaberruutudes?

12. Mis määrab numbrilise McCluskey’ meetodi viimastel sammudel, millised 2ndjärgud intervalli

esindajaks valitud arvu 2ndkujus kuuluvad elimineerimisele?

13. Miks tohib numbrilises McCluskey’ meetodis valida intervalli esindajaks suvalise arvu selle intervalli

koosseisust?

Loogikaskeemid. Funktsioonide täielikud süsteemid. Teisendused

baasidesse 1. Millest koosnevad digitaalseadmed? Digitaalseadmed koosnevad loogikaelementidest.

2. Millest koosneb loogikaskeem? Loogikaskeemid saadakse loogikaelementide omavahelisel

kokkuühendamisel.

3. Mida loogikaskeemid (ja digitaalseadmed) töötlevad? Loogikaskeemid töötlevad 0de ja 1tede

kogumeid.

4. Mida teevad loogikaelemendid? Loogikaelemendid teevad loogikaväärtustega 0 ja 1 lihtsamaid

loogikatehteid.

5. Milline on lihtsaim loogikaelement? Lihtsaim loogikaelement on EI-element.

6. Milline loogikaelement realiseerib igat konkreetset loogikatehet?

7. Mida tähendavad lühendid NAND, NOR, XOR ? NAND tähistab JA-EI elementi ehk konjunktsiooni

inversiooni, NOR tähistab VÕI-EI elementi ehk disjunktasiooni inversiooni, XOR tähistab tehet summa

mooduliga 2.

8. Milliste loogikatehete jaoks on olemas oma spetsiaalsed loogikaelemendid? On olemas

loogikaelemendid inversiooni, konjunktsiooni, disjunktsiooni, konjunktsiooni inversiooni, disjunktsiooni

inversiooni ja summa mooduliga 2 jaoks.

9. Mis on multipleksor? Mitu väljundit on igal multipleksoril? Multipleksorid on loogikaskeemides

kasutatavad kommutatsioonielemendid. N-multipleksoril on 1 väljund.

10. Millist liiki sisendid on multipleksoril? Multipleksoril on juhtsisendid ja andmesisendid.

11. Kuidas on omavahel seotud multipleksori juhtsisendite ja andmesisendite arv? N-multipleksoril on n

juhtsisendit ja andmesisendit.

12. Milline on lihtsaim multipleksor? Kui palju sisendeid tal on? Lihtsaim multipleksor on 1 multipleksor,

millel on 1 juhtsisend ja andmesisendit.

13. Millise loogikaavaldiste teisendusmeetodiga on multipleksorskeemide koostamine seotud?

Funktsioonide avaldised saab multipleksorskeemina realiseerimiseks sobivale kujule teisendada

Shannoni disjunktiivse arendusega.

14. Mis on loogikafunktsioonide skeem? Loogikafunktsioonide skeem on loogikafunktsiooni esitus üle

loogikaelementide.

15. Mis on iseloomulik mingis konkreetses süsteemis esitatud loogikaavaldisele? Igasuguse esituse korral

on võimalik välja lugeda, milleks loogikafunktsioon suvalise argumentvektori korral ennast arvutab.

16. Milline loogikafunktsioonide süsteem on täielik? Loogikafunktsioonide süsteem on täielik, kui temas

sisalduvaid tehteid kasutades on võimalik esitada suvalist loogikaavaldist.

17. Süsteemi täielikkuse kriteerium. Loogikafunktsioonide süsteem on täielik, kui ta sisaldab:

a. Vähemalt ühte 0-lli mittesäilitavat funktsiooni.

b. Vähemalt ühte 1-te mittesäilitavat funktsiooni.

c. Vähemalt ühte mittepööratavat funktsiooni.

d. Vähemalt ühte mittemonotoonset funktsiooni.

e. Vähemalt ühte mittelineaarset funktsiooni.

18. Milline loogikafunktsioonide süsteem on nõrgalt täielik? Loogikafunktsiooni süsteem on nõrgalt

täielik, kui pärast konstantfunktsiooni lisamist süsteemile osutub selliselt laiendatud süsteem täielikuks.

19. Milline on nõrgalt täieliku süsteemi tunnus? Süsteem on nõrgalt täielik, kui ta sisaldab ühte

mittemonotoonset ja ühte mittelineaarset funktsiooni.

20. Milline loogikafunktsioonide süsteem on baas? Baas on minimaalne loogikafunktsioonide süsteem.

21. Mitu baasi saab koostada 2-muutuja loogikafunktsioonidest ? 2-muutuja

loogikafunktsioonidest saab moodustada 17 baasi.

22. Millised loogikatehted moodustavad üksiku baasi? Üksiku baasi moodustavad konjunktsiooni

inversioon ja disjunktsiooni inversioon.

23. Mis on Shefferi baas? Mis on Peirce’i baas? Shefferi baas ehk ja JA-EI baas on konjunktsiooni

inversioon. Peirce’i baas ehk VÕI-EI baas on disjunktsiooni inversioon.

24. Kuidas saab suvalise loogikaavaldise teisendada baasi { JA-EI }? JA-EI baasis avaldise saab DNK-le

topeltinversiooni ja DeMorgani seadust rakendades.

25. Kuidas saab suvalise loogikaavaldise teisendada baasi { VÕI-EI }? VÕI-EI baasis avaldise saab KNK-le

topeltinversiooni ja DeMorgani seadust rakendades.

26. Kuidas saab { JA-EI }-baasis avaldise teisendada baasi { VÕI-EI }?

27. Millistest tehetest koosnevad implikatiivsed baasid? Implikatsiivsed baasid koosnevad, kas konstant 0-

st ja implikatsioonist või inversioonist ja implikatsioonist.

28. Millistest tehetest koosneb Reed-Mulleri (Žegalkini) baas? Reed-Mulleri baas koosneb

konsjunktsioonist, summa mooduliga 2 ja konstant 1-st.

29. Mis on Reed-Mulleri polünoom? Redd-Mulleri polünoom on avaldis Reed-Mulleri baasis, kus ei sisaldu

sulge.

30. Kuidas saab funktsiooni esitada Reed-Mulleri baasis Karnaugh’ kaardi abil DNK kaudu? Karnaugh’

kaardil tuleb valida kontuurid nii, et iga 1 oleks kaetud paaritu arv kordi. Selliselt valitud kontuuride

väljakirjutamisel saadavas DNK-s võib asendada disjunktsioonitehted tehtega summa mooduliga 2.

31. Millisel tingimusel tohib DNK-s asendada tehted ∨ tehtega ? DNK avaldises võib asendada kõik

disjunktsioonitehted tehtega summa mooduliga 2, kui kõigi argumendiväärtuste kombinatsioonide

korral väärtustuvad paaritu arv DNK elementaarkonjunktsioone väärtusele 1.

32. Millised on (polünoomiks teisendamisel) muud võimalused tehtest ∨ vabanemiseks? Reed-Mulleri

baasi teisendamisel võib kasutada ka üleminekuseost ∨ ja inversiooni

asendustseost või rakendada avaldisele topelteitust, DeMorgani seadust ja inversiooni

asendusseost.

33. Mille abil toimub avaldise teisendus muudesse baasidesse? Avaldisi teisendatakse muudesse

baasidesse üleminekuseoseid rakendades.

34. Mille asendamiseks kasutatakse üleminekuseoseid konkreetsesse baasi? Üleminekuseosed asendavad

baasi mittekuuluvad tehted baasi kuuluvatega.

35. Püüa leida tunnus, mis võimaldab Reed-Mulleri polünoomi (avaldist) vaadates kohe ütelda, kas

sellise polünoomina esituv loogikafunktsioon on lineaarne. Reed-Mulleri baasi kuuluv tehe

konjunktsioon pole lineaarne.

Jääkfunktsioon. Tuletis. Shannoni arendus. Funktsioonide klassid 1. Mis on jääkfunktsioon? Millest oleneb jääkfunktsiooni muutujate arv? Jääkfunktsiooni on funktsioon,

mille avaldises on osa muutujad asendatud konstantidega 0 või 1.

2. Kus asub jääkfunktsiooni tõeväärtustabel Karnaugh’ kaardil?

3. Mis on loogikafunktsiooni tuletis? N-muutuja funktsiooni tuletis on (n-1)-muutuja funktsioon, kus

puudub see muutuja, mille järgi tuletis võeti.

4. Mis on Shannoni arendus?

5. Millised Shannoni arenduse liigid on olemas?

6. Milline loogikaavaldis on täieliku Shannoni arenduse tulemuseks?

7. Mis jäävad jääkfunktsioonideks täieliku Shannoni arenduse korral?

8. Millistesse klassidesse loogikafunktsioonid liigituvad? Kuidas igat klassi tähistatakse?

9. Milline on klassi kuuluvuse tunnus iga konkreetse klassi jaoks?

10. Millist tingimust täitev 2-muutuja loogikafunktsioon on lineaarne?

Hulgad 1. Millest hulk koosneb? Hulgaelementidest

2. Kuidas hulka tavaliselt tähistatakse? Hulka tähistatakse suurtähtedega: A,B,C jne.

3. Millised hulga esitusviisid on olemas?

Elementide täielik loetelu loogsulgude vahel: {a,e,i,o,u,õ,ä,ö,ü} või {a e i o u õ ä ö ü} (koma võib ära

jätta, kui element esitub üksiku tähemärgina)

Osaline loetelu, mis esitab regulaarset äratuntavat seaduspärasus: {0,1,2,3,...} või {0,2,4,...,10}

Avaldise kaudu, mis kehtib kõigi hulgaelementide jaoks: {x | x mod 2 = 0} või {a | a on algarv}

4. Millal on hulgad teineteisega võrsed? Hulgad on võrdsed, kui nad koosnevad samadest elementidest.

5. Kui palju (mitu tk.) võib ühte hulgaelementi hulgas sisalduda? Iga elementi on hulgas üks kord.

6. Milliste sümbolitega esitatakse elemendi kuulumist või mittekuulumist hulka?

Elemendi e kuulumine hulka A tähistatakse

Elemendi e mittekuulumist hulka A tähistatakse

7. Millal on mingi hulk teise hulga osahulgaks?

Hulk A on hulga B osahulk, kui hulga A elemendid on ka hulga B elemendid.

8. Millal on kaks hulka teineteise osahulkadeks? Kaks hulka on teineteise osahulkadeks, kui nad on

võrsed.

9. Mis on Venni diagramm? Venni diagramme kasutatakse hulkade graafiliseks esitamiseks. Diagrammil

esitatakse hulki ringjoontena, mille see on hulgaelemendid.

10. Milline on kahe hulga Venni diagramm? Kolme hulga Venni diagramm?

11. Milline on nelja hulga Venni diagramm?

12. Mis on universaalhulk? Universaalhulk on kõigi hulkade hulk.

13. Mis on hulga täiend? Hulka mittekuuluvad elemendid.

14. Millise hulga osahulgaks on iga hulk? Iga hulk on iseenda osahulk ning universaalhulga osahulk.

15. Mitu erinevat osahulka on n-elemendilisel hulgal? Igal hulgal on osahulka.

16. Mis on hulga astmehulk? Astmehulk on hulga kõigi osahulkade hulk.

17. Mitu elementi on n-elemendilise hulga astmehulgas? elementi.

18. Millist hulka nimetatakse lõplikuks hulgaks? Hulk on lõplik, kui ta sisaldab kindla arvu elemente.

19. Millist hulka nimetatakse lõpmatuks hulgaks? Lõpmatu hulk sisaldab lõpmatult palju elemente.

20. Millist hulka nimetatakse loenduvaks hulgaks? Hulk on loendub, kui tema elementidele saab

vastavusse seada naturaalarve {0,1,2,3,...}.

21. Mis on „loendamine“? Hulga elementidele naturaalarvude omistamine.

I

D A

B C

I A B

I A B

C

I

A B

C D

või

22. Tuua näide lõpmatust loenduvast hulgas ja lõpmatust mitteloenduvast hulgast.

Lõpmatud loenduvad hulgad on naturaalarvude hulk ja täisarvudehulk .

Lõpmatu mitteloenduv hulk on reaalarvude hulk .

23. Millised hulgaaritmeetilised tehted on olemas? Millised on nende tehtemärgid?

Hulga täiend ¯

Hulkade ühend ∪

Hulkade ühisosa ∩

Hulkade vahe \

Hulkade sümmeetriline vahe

24. Millised on unaarsed ja millised on binaarsed hulgaaritmeetilised tehted?

Unaarne rakendul ühele hulgale – hulga täiend.

Binaarsel tehtel on operandideks kaks hulka – hülkade ühend, ühisosa, vahe, sümmeetriline vahe.

25. Millisele aritmeetilisele tehtele vastab iga konkreetne hulgaaritmeetiline tehe?

Ühend – liitmine

Ühisosa – korrutamine

Vahe - lahutamine

26. Millist tehet nimetatakse hulgaaritmeetiliseks korrutamiseks? Hulkade ühisosa.

27. Millist tehet nimetatakse hulgaaritmeetiliseks liitmiseks? Hulkade ühend.

28. Selgita, millised elemendid kuuluvad kahe hulga ühendisse? Mõlema hulga elemendid.

29. Selgita, millised elemendid kuuluvad kahe hulga ühisosasse? Mõlema hulga ühised elemendid.

30. Millised hulgad on mittelõikuvad? Mittelõikuvatel hulkadel puudub ühisosa.

31. Mis on lõpliku hulga võimsus? Lõpliku hulga võimsus on tema elementide arv.

32. Mida väljendavad Grassmanni valemid? Hulkade ühendi või ühisosa elementide arvu.

33. Milliseid tehteid asendavad hulgaaritmeetilised asendusseosed? Hulkade vahe ja sümmeetriline vahe.

34. Milline on hulgaaritmeetiliste tehete prioriteedijärjestus? Millal see oluliseks osutub? Täiend,

ühisosa, ühend, vahe, sümmeetriline vahe. Oluline kui avaldises puuduvad sulud.

35. Mille poolest erinevad teineteisega duaalsed hulgaavaldised? Duaalses hulgaavaldises on ühend

asendatud ühisosaga, ühisosa ühendiga, universaalhulk tühihulgaga ja tühihulk universaalhulgaga.

36. Mis on hulgaavaldise Cantori normaalkuju? Avaldis, milles on hulgaaritmeetilistest tehetest ühend ja

ühisosa, täiend võib olla rakendatud vaid üksikutele hulkadele.

37. Milline on Cantori minimaalne normaalkuju? Minimaalne Cantori normaalkuju on vähima keerukusega

ehk vähima hulgatähistega Cantori normaalkuju.

38. Milline on Cantori täielik normaalkuju? Cantori täielik normaalkuju on selline ühisosade ühend või

ühendite ühisosa, kus igas tehtes osalevad kõik avaldises leiduvad hulgad.

39. Kuidas teisendatakse mittetäielik Cantori normaalkuju täielikuks? Mittetäieliku Cantori normaalkuju

teisendamiseks täielikule Cantori normaalkujule saab puudulikke hulki lisada kleepimisseadusega.

40. Mis on hulkade ristkorrutis? Hulkade ristkorrutis on hulga elementide järjestatud paaride hulk, kus

paari esimene element on esimeseks teguriks olevast hulgast ja paari viimane element on viimaseks

teguriks olevast hulgast.

41. Kuidas esitatakse järjestatud paari? <a,b>

42. Mis on hulkade otseruut? Hulkade otseruut on hulga ristkorrutis iseendaga.

43. Mis on korteež? Järjestatud paare, kolmikuid, nelikuid jne. nimetatakse ka n-kohalisteks korteežideks.

44. Kuidas on esitatav tasandi iga punkt? Tasandi iga punkt on esitatav tema koordinaatide järjestatud

paariga.

45. Kuidas on esitatav ruumi iga punkt? Ruumi iga punkt on esitatav tema koordinaatide järjestatud

kolmikuga.

Vastavused ja relatsioonid 1. Mis on vastavus? Vastavus ehk seos seab ühe hulga elementidele vastavaks teise hulga mingeid

elemente.

2. Mis on vastavuse lähtehulk? Lähtehulk on hulk, mille elementidele seatakse vastavaks mingi hulga

elemente.

3. Mis on vastavuse sihthulk? Sihthulk on hulk, mille elemente seatakse vastavaks lähtehulgale.

4. Millise hulga osahulgaks vastavus osutub? Vastavus on lähtehulga ja sihthulga ristkorrutise osahulk.

5. Mis on vastavuse määramispiirkond? Määramispiirkonna moodustavad vastavuses osalevad

lähtehulga elemendid.

6. Mis on vastavuse muutumispiirkond? Muutumispiirkonna moodustavad vastavuses osalevad sihthulga

elemendid.

7. Mis on vastavuse täiend? Vastavuse täiendi moodustavad järjestatud paarid, mis ei kuulu vastavusse.

8. Mis on vastavuse pöördvastavus? Vastavuse pöördvastavus seab sihthulga elementidele vastavaks

lähtehulga elemente.

9. Millist tehet saab vastavustega teha? Vastavustega saab teha kompositsioonitehet ehk vastavuste

korrutamist.

10. Milline vastavus on kõikjal määratud? Kõikjal määratud vastavuses osalevad kõik lähtehulga

elemendid.

11. Milline vastavus on kõikjale määratud?Kõikjale määratud vastavuses osalevad kõik sihthulga

elemendid.

12. Milline vastavus on ühene? Vastavus on ühene, kui igale määramispiirkonna elemendile vastav täpselt

üks muutumispiirkonna element.

13. Milline vastavus on üks-ühene? Vastavus on üks-ühene, kui ta on ühene ja muutumispiirkonna iga

element vastav täpselt ühele määramispiirkonna elemendile.

14. Mis on funktsioon? Funktsioon on kõikjal määratud ühene vastavus.

15. Milline funktsioon on osaliselt määratud? Funktsioon on osaliselt määratud, kui lähtehulgas leidub

vastavuses mitteosalevaid elemente.

16. Mis on pealekujutus? Pealekujutuseks nimetatakse sürjektsiooni.

17. Mis on sürjektsioon? Sürjektsioon on kõikjale määratud funktsioon.

18. Mis on injektsioon? Injektsioon on üks-ühene funktsioon.

19. Mis on bijektsioon? Bijektsioon on kõikjale määratud üks-ühene funktsioon. Bijektsioon on

samaaegselt nii sürjektsioon kui ka injektsioon.

20. Mis järeldub bijektsiooni korral lähtehulga ja sihthulga võimsuste kohta? Bijektsiooni korral on

lähtehulga ja sihthulga võimsused võrdsed.

21. Mis on binaarne relatsioon? Binaarne relatsioon on vastavuse erijuht, kus nii lähtehulk kui ka sihthulk

on üks ja sama hulk.

22. Mis on binaarsuhte alushulk? Binaarsuhte alushulk on hulk, millel on määratud relatsioon.

23. Mis on relatsioonikriteerium? Relatsioonikriteerium on reegel, mille abil on alushulga elemendid

seotud vastavuspaarideks.

24. Kas igal relatsioonil on relatsioonikriteerium alati olemas? Relatsioonil ei pea alati

relatsioonikriteerium olemas olema.

25. Millised on relatsiooni esitusviisid? Relatsioone võib esitada järjestatud paaride hulgana, orienteeritud

graafina, naabrus- ehk lähedusmaatriksiga.

26. Millised on relatsioonide omadused? Relatsioonide omadused:

a. Refleksiivsus – alushulga iga element on relatsioonis iseendaga.

b. Antirefleksiivsus – alushulga ükski element pole relatsioonis iseendaga.

c. Sümmeetria

d. Antisümmeetria

e. Transitiivsus

f. Antitransitiivsus

27. Milline relatsioon on mitterefleksiivne? Mittesümmeetriline? Mittetransitiivne? Mitterefleksiivne

funktsioon pole refleksiivne ega antirefleksiivne. Mittesümmeetriline funktsioon pole sümmeetriline

ega antisümmeetriline. Mittetransitiivne funktsioon pole transitiivne ega antitransitiivne.

28. Mis on relatsiooni kaugus mingi konkreetse omaduseni? Relatsiooni kaugus omaduseni on järjestatud

paaride arv, mis tuleb relatsiooni lisada või sellest eemaldada, et omadus kehtima hakkaks.

29. Mis on relatsiooni transitiivne sulund? Milline on tema tähis? Relatsiooni transitiivne sulund on

vähima paaridearvuga transitiivne relatsioon, mis sisaldab endas alamhulgana relatsiooni.

30. Millega osutub võrdseks transitiivse relatsiooni transitiivne sulund? Transitiivse relatsiooni

transitiivne sulund on võrdne transitiivse relatsiooni endaga.

Tükeldused 1. Milliste omadustega relatsioon on ekvivalentsisuhe? Relatsiooni nimetatakse ekvivalentsisuhteks, kui

ta on refleksiivne, sümmeetriline ja transitiivne.

2. Mis on ekvivalentsiklass? Ekvivalentsiklassiks nimetatakse ekvivalentsisuhte sellist osahulka, mille kõik

elemendid on omavahel relatsioonis.

3. Mis on hulga tükeldus? Hulga tükeldus on selle hulga mittelõikuvate osahulkade hulk, millel on kindlad

omadused.

4. Millest tükeldus koosneb? Tükelduse elementideks on ekvivalentsisuhte kõik ekvivalentsiklassid.

5. Mis on tükelduse plokk (ehk tükelduse tükk)? Tükelduse koosseisu kuuluvaid ekvivalentsiklasse

nimetatakse ka tükelduse plokkideks ehk tükelduse tükkideks.

6. Millisel juhul on kaks hulgaelementi (konkreetse ekvivalentsisuhte kohaselt) ekvivalentsed? Kaks

hulgaelementi on ekvivalentsed, kui nad kuuluvad ühte ekvivalentsiklassi.

7. Millised omadused on tükelduse osahulkadel? Ükski plokk pole tühi; mistahes kaks plokki ei oma

ühisosa; kõikide plokkide ühend võrdub tükeldatud hulgaga.

8. Milliseid tehteid saab tükeldustega teha? Tükeldustega saab teha tehteid: liitmine, korrutamine ja

võrdlustehted.

9. Kas erinevate hulkade tükeldustega saab teha tehteid? Omavahel liita, korrutada ja võrrelda saab

ainult sama hulga tükeldusi.

10. Mis on tükelduste korrutiseks või tükelduste summaks?

11. Millisel juhul on tükeldus mingist teisest tükeldusest väiksem?

12. Millisel juhul on tükeldused teineteisega mittevõrreldavad?

13. Millisel juhul on tükeldused võrdsed? Tükeldused on võrdsed, kui nad koosnevad samadest plokkidest.

14. Kas tükelduste korrutis on teguriteks olnud tükeldustest suurem või väiksem?

15. Kas tükelduste summa on liidetavateks olnud tükeldustest suurem või väiksem?

16. Mis on nulltükeldus? Mis on ühiktükeldus? Kuidas neid tähistatakse?

Järjestussuhe 1. Mis on osaline järjestussuhe? Osaline järjestussuhe on relatsioon, mis on antisümmeetriline ja

transitiivne.

2. Milline on range osaline järjestussuhe? Kui osaline järjestussuhe on ka antirefleksiivne, siis ta on range

osaline järjestussuhe.

3. Milline on mitterange osaline järjestussuhe? Kui osaline järjestussuhe on ka refleksiivne, siis ta on

mitterange osaline järjestussuhe.

4. Mis on järjestuskriteerium? Järjestuskriteerium on järjestussuhet määrav reegel.

5. Millist hulka nimetatakse osaliselt järjestatuks? Osaliselt järjestatuks nimetatakse hulka, kus vähemalt

2 elementi pole omavahel vaadeldava võrdluskriteeriumiga võrreldavad.

6. Kuidas esitatakse järjestussuhet lühidalt tema alushulga ja järjestuskriteeriumi abil?

7. Mis on täielik järjestussuhe? Tuua näiteid. Täielik järjestussuhe on relatsioon, kui hulga mistahes 2

elementi on relatsiooni järjestuskriteeriumi alusel võrreldavad.

8. Mis on Hasse diagramm? Kuidas ta koostatakse? Hasse diagramm on osalise järjestussuhte graafiline

esitus.

9. Millisel juhul ütleme, et üks element diagrammil „katab“ teist elementi? Element katab teist

elementi, kui osaliselt järjestatud hulga 2 elementi on Hasse diagrammil joonega ühendatud.

10. Mis on järjestussuhte minimaalne element? Mis on maksimaalne element?

11. Mis on järjestussuhte vähim element? Mis on suurim element?

12. Mis on osaliselt järjestatud hulga mingi osahulga ülemtõke?

13. Mis on osaliselt järjestatud hulga mingi osahulga alamtõke?

14. Mis on ülemraja? Kuidas teda teisiti nimetatakse ja kuidas tähistatakse?

15. Mis on alamraja? Kuidas teda teisiti nimetatakse ja kuidas tähistatakse?

16. Mis on võre? Võre on järjestussuhe, kus alushulga suvalise kahe elemendi jaoks leidub alamraja ja

ülemraja.

17. Millised 2 tehet on võres defineeritud tema elementidele?

18. Mis on võreavaldis?

19. Millised seadused kehtivad võreavaldiste jaoks?

20. Kuidas saadakse duaalne võreavaldis?

21. Mis on võreavaldiste duaalsusprintsiip?

22. Kuidas avalduvad võretehete kaudu võreelementide paari {a,b} alamraja ja ülemraja?

23. Mis on võre alamtõke? Mis on võre ülemtõke?

24. Millisel juhul võib alamtõke ja ülemtõke puududa?

25. Milline võre on tõkestatud?

26. Milline võre on distributiivne?

27. Mis on võreelemendi täiend? Kuidas teda tähistatakse?

28. Mitu täiendit saab olla tõkestatud distributiivse võre igal elemendil?

29. Milline võre on täienditega võre?

30. Milline võre on Boole’i algebra? Tuua näiteid Hasse diagrammidena? Boole’i algebrad on tõkestatud,

distributiivsed ja täienditega võred.

31. Milliseid osalise järjestussuhte elemente nimetatakse aatomiteks?`

32. Kuidas on Boole’i algebras tema kõik elemendid aatomite kaudu esitatavad?

Graafid 1. Mis on graaf? Millest graaf koosneb? Graaf on objektidevaheliste seoste joonismudel. Graaf koosneb

kahte tüüpi elementidest: tippudest ja neid ühendavatest kaartest.

2. Mille poolest erinevad orienteeritud graaf ja orienteerimata graaf? Orienteeritud graafi kõik kaared

on suunatud ja neid esitatakse graafi joonisel nooltega, orienteerimata graafi kõik kaared on

suunamata ja neid esitatakse graafi joonisel kahte tippu ühendava lihtsa joonega.

3. Mis on tühi graaf? Mis on täielik graaf (täisgraaf)? Tühi graaf on graaf, kus pole ühtegi kaart ehk tema

kaarte hulk on tühi ( ). Täielik graaf on graaf, kus iga tipp on ühendatud kõikide teiste tippudega.

4. Mis on tipu väljundaste? Mis on tipu sisendaste? Orienteeritud graafi tipu väljundaste on sellest tipust

väljuvate kaarte arv. Orienteeritud graafi tipu sisendaste on sellesse tippu saabuvate kaarte arv.

5. Mis on orienteerimata graafi tipu aste? Orienteerimata graafi tipu aste on selle tipuga seotud kaarte

arv.

6. Mis on paaristipp? Mis on paaritu tipp? Paaristipp on paarisarvulise astmega tipp. Paaritu tipp on

paarituarvulise astmega tipp.

7. Mitu paaritut tippu saab graafil olla? Igal graafil on paarisarv paarituid tippe.

8. Mis on tee? Mis on lihttee? Mis on elementaartee? Tee on orienteeritud graafi kaarte järjestus, kus iga

järgmise kaare algustipuks on eelmise kaare lõpptipp. Lihttee on tee, kus pole korduvaid kaari.

Elementaartee on tee, mis ei läbi ühtegi graafi tippu üle ühe korra.

9. Milline graaf on sidus? Milline graaf on ühepoolselt sidus? Orienteeritud graaf on sidus, kui igast tema

tipust leidub tee mistahes teise tippu. Orienteeritud graaf on ühepoolselt sidus, kui tema mistahes kahe

tipu a ja b korral leidub tee kas tipust a tippu b või tipust b tippu a.

10. Mis on ahel? Mis on lihtahel? Mis on elementaarahel? Orienteerimata graafi korral nimetatakse teele

vastavat kaartejärjestust ahelaks. Orienteerimata graafi lihtahelale vastab orienteeritud graafi lihttee ja

elementaarahelale vastab elementaartee.

11. Mis on suletud tee? Mis on kontuur? Mis on tsükkel? Suletud tee on tee orienteeritud graafil, mis

lõppeb oma algustipus. Kontuur on suletud elementaartee orienteeritud graafil. Tsükkel on

orienteerimata graafi suletud elementaarahel.

12. Mis on Hamiltoni kontuur? Mis on Hamiltoni tsükkel? Hamiltoni kontuur läbib täpselt 1 kord kõik

orienteeritud graafi tipud ja lõppeb oma algustipus. Hamiltorni tsükkel läbib täpselt 1 kord kõik

orienteerimata graafi tipud ja lõppeb oma algustipus.

13. Mis on Euleri kontuur? Mis on Euleri tsükkel? Euleri kontuur on suletud lihttee ehk kaartejärjestus, mis

läbib täpselt 1 kord kõik orienteeritud graafi kaared ja lõppeb oma algustipus. Euleri tsükkel on suletud

lihtahel ehk kaartejärjestus, mis läbib täpselt 1 kord kõik orienteerimata graafi kaared ja lõppeb oma

algustipus.

14. Milline on Euleri graafi tunnus orienteerimata graafi korral? Orienteerimata graaf on Euleri graaf, kui

ta omab Euleri tsüklit ehk tema kõikide tippude aste on paarisarvuline ehk kõik tipud on

paarisarvulised.

15. Milline on Euleri graafi tunnus orienteeritud graafi korral? Orienteeritud graaf on Euleri graaf, kui ta

omab Euleri kontuuri ehk iga tipu sisend- ja väljundaste on võrdsed.

16. Mis on jääkgraaf? Jääkgraaf on graaf, mis saadakse osade kaarte ärajätmisega, kusjuures kõik tipud

säilivad.

17. Mis on taandatud graaf? Taandatud graaf on graaf, kus on ära jäetud osad tipud ja nendega seotud

kaared.

18. Mis on alamgraaf? Alamgraaf on graaf, mis on mingi graafi taandatud graafi jääkgraaf ehk on sellele

graafile samaaegselt nii taandatud graaf kui ka jääkgraaf.

19. Milline graaf on kahealuseline? Graaf on kahealuseline, kui tema kõik tipud jagunevad kaheks

mittelõikuvaks osahulgaks selliselt, et graafi iga kaar seob ühe osahulga mingit tippu teise osahulga

mingi tipuga.

20. Milline graaf on tasandiline? Graaf on tasandiline, kui ta on paigutatav tasandile selliselt, et ta kaared

ei lõiku.

21. Mis on orienteeritud graafi baas? Kas baas on suurim või väikseim võimalik hulk? Orienteeritud graafi

baas on selline minimaalne tippude osahulk, kus selle osahulga tippudest leidub tee selle graafi

mistahes teise tipuni.

22. Mis on graafi sõltumatute tippude hulk? Kas ta on suurim või väikseim võimalik hulk? Graafi

sõltumatute tippude hulk on graafi tippude selline osahulk, kus suvalised 2 tippu selles hulgas pole

graafil kaarega seotud.

23. Millised graafid on isomorfsed? Graafid on isomorfsed, kui neil on samapalju tippe ja samapalju kaari

ning nende graafide nii tipud kui ka kaared on seatavad üks-ühesesse vastavusse selliselt, et mõlemas

graafis seovad vastavad kaared vastavaid tippe.

24. Mille poolest võivad isomorfsed graafid teineteisest erineda? Isomorfsed graafid võivad teineteisest

erineda tippude ja kaarte tähistuse ning paigutuse pooles.

25. Mis on pöördgraaf? Orienteerimata graafi pöördgraaf on samade tippudega orienteerimata graaf, mis

sisaldab kaari nende tippude vahel, kus esialgses graafis pole kaart ja vastupidi.

26. Mis on multigraaf? Multigraaf on graaf, mille tipupaaride vahel esineb mitu kaart.

27. Mis on puu? Kuidas on puu tippude ja kaarte arv omavahel seotud? Puu on sidus tsükliteta

orienteerimata graaf. Kui puul on n tippu, siis on tal (n-1) kaart.

28. Mis juhtub puu sidususega kui tema suvaline kaar eemaldada? Kui puus eemaldada üks kaar, siis pole

graaf enam sidus ja pole enam ka puu.

29. Mis juhtub, kui puule lisada 1 kaar juurde? Kui puule lisada 1 kaar, siis tekib tsükkel ja saadud graaf

pole enam puu.

30. Mis on „graafi värvimine“? Graafi värvimine on värvide omistamine graafi tippudele selliselt, et

mistahes kaks omavahel kaarega ühendatud tippu oleksid erinevat värvi.

31. Mis on graafi kromaatiline arv? Graafi kromaatiline arv on minimaalne arv, mis näitab, mitme erineva

värviga õnnestub graafi tipud värvida selliselt, et naabertipud oleksid erinevat värvi.

32. Millise graafi kromaatiline arv on 1? Kromaatiline arv 1 on ainult tühjal hulgal.

33. Millise graafi kromaatiline arv on 2? Kromaatiline arv 2 on kahealuselisel hulgal.

34. Kui suur võib maksimaalselt olla tasandilise graafi kromaatiline arv?